Математические модели технических систем на микроуровне

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ Лекция №3 Математ ические модели технических систем на микроуровне. Микроуровень Микроуровень – нижний иерархический уровень, на котором осуществляется детальное описание физических свойств технические объекты. Это распределенные модели (объекты с распределенными параметрами) и они представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных. При создании математических моделей целесообразно исходить из основных физических законов в их наиболее «чистом», фундаментальном виде. Такой подход обеспечивает наиболее адекватное описание объектов, протекания процессов и явлений. 2 Закон сохранения в общем виде Фундамент альны е ф изические законы это законы сохранения массы, количества движения, энергии. Эти законы можно сформулировать в одном общем виде: изменение во времени некоторой субст анции в элемент арном объ еме равно сумме притока-стока этой субст анции через поверхност ь элемент арного объ ема. Субстанцией служат масса, количество движения, энергия. Эта формулировка остается справедливой и для некоторых других субстанций, например, количества теплоты, количества зарядов, количества элементарных частиц и др. Если внутри элементарного объема происходит генерация или уничтожение рассматриваемой субстанции, то к сумме притока-стока нужно добавить соответствующий член, отражающий данное явление. В этом случае общий вид уравнений, составляющих основу большинства распределенных моделей, будет следующим: где φ – некоторая фазовая переменная, выражающая субстанцию (плотность, энергию и т. п.); – поток фазовой переменной; G – скорость генерации субстанции; t – время. Поток фазовой переменной φ есть вектор = (Jx, Jy, Jz). Дивергенция (расходимость) этого вектора является скалярной величиной, характеризует сумму притока-стока через поверхность элементарного объёма и определяется общим соотношением 3 Уравнение непрерывности гидродинамики В течении жидкости или газа имеем в любой точке M определенное значение скорости движущейся частицы, т. е. векторное поле скорости. Обозначим через ρ плотность жидкости в данной точке. Понятие дивергенции позволяет описать поведение этой плотности в отдельной точке: Это уравнение описывает закон сохранения массы и называется уравнением непрерывности. При одномерном исполнении 4 Уравнение теплопроводности Связь изменения температуры во времени и пространстве со свойствами среды описывается с помощью уравнения теплопроводности. Это уравнение вытекает из закона сохранения энергии: изменение во времени количества теплоты в элементарном объеме равно сумме притока-стока теплоты и изменения теплоты за счет ее превращения в другие виды энергии в том же объеме: где Q – количество теплоты; – вектор плотности теплового потока; GQ – количество теплоты, выделяемой (или поглощаемой) в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме. 5 Уравнение непрерывности электрического тока Движение электрических зарядов через поверхность элементарного объема записывается в виде: где ρ – объемная плотность электрических зарядов; – вектор плотности тока проводимости и смещения. 6 Заключение по моделированию микроуровня Приведенные примеры показывают однотипность математических моделей на микроуровне. В то же время использование математических моделей объектов в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных возможно для простых технических систем, так как их решение наталкивается на значительные трудности. Методы дискретизации пространства (конечных разностей и конечных элементов), которые используются для приближенного решения этих уравнений, приводят к решению систем с числом уравнений 106 и более. 7