Математические методы в политологии

Конспект лекций по курсу «Математические методы в политологии» Тема 1. Элементы комбинаторики Практика часто ставит перед нами следующую стандартную задачу: дана совокупность n элементов различной природы, требуется составить из данного перечня всевозможные комбинации по m элементов из этого состава, подчиня-ющиеся определенным правилам и определить количество этих комбинаций. Этим занимается комбинаторика – часть высшей математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций можно составить из n данных элементов по m элементов, составленных по определенным правилам. Пример 1. Дана совокупность n=4 букв: а, b, c, d: Ставится задача: составить различные комбинации из данных набора по m=2 буквы по следующему правилу: состав и порядок входящих букв в каждую комбинацию должен быть различен. Определить количество полученных комбинаций. Получаем полный перечень 12 комбинаций из n=4 по m=2 буквы, отличающиеся и составом и порядком расположения, входящих в комбинации букв (таблица 1): Таблица 1 Данные комбинации, составленные по определенному правилу (в нашем примере из 4-х букв по 2-е буквы, которые отличаются или составом, или по-рядком) называются размещениями. В общем случае, размещения (обозначение ) – это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются или составом элементов, или их порядком расположения. Определение количества размещений следует определять по следующему алгоритму: – в нашем случае комбинация состоит из m=2 мест (в общем случае m мест) и I-ое место в комбинации может занять любая из n=4-х букв: а, b, c, d [или в общем случае любой элемент из n, имеющихся в множестве]; – II-е место в комбинации может занять любая из 3-х оставшихся букв [или любой из (n–1) оставшихся элементов в данном множестве] (Рис.1). 2-е место 1-е место 3 элемента 4 элемента Всего получаем =4∙3=12 комбинаций. Рис.1. Расчет количества комбинаций Если бы число мест в комбинации было не два, а в общем случае m, то на III-е место претендовало (n–2) оставшихся элементов множества; на IV-е – (n–3) элементов; на V-е место (n–4) элементов и т.д. и, наконец, на последнее m-е место претендовало бы [n–(m–1)]=(n–m+1) из оставшегося числа элементов (Рис.2). m-е место … 3-е место (n–m+1) элементов 2-е место (n–2) элементов 1-е место (n–1) элементов n элементов Т.о. всего получаем =n∙(n–1)∙(n-2)∙ … ∙(n–m+1) комбинаций. Рис.2. Алгоритм расчета количества размещений из n комбинаций по m. Получили формулу для расчета количества размещений из n элементов по m: =n∙(n–1)∙(n–2)∙ … ∙ (n–m+1). Преобразуем полученную формулу, разделив и умножив его на выраже-ние (n–m)∙(n–m–1)∙(n–m–2)∙…∙1. =. В математике принято произведение вида n∙(n–1)∙(n–2)∙(n–3)∙(n–4)∙…∙1 записывать в краткой форме n! (читается как «эн факториал»), т.е. n!= n∙(n–1)∙(n–2)∙(n–3)∙(n–4)∙…∙1. Например, 8!=8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=40320; 6!=6∙5∙4∙3∙2∙1=720; 3!=3∙2∙1=6 и т.д. Примечание 1: принято считать, что 0!=1. Окончательно получаем: =. Пример 2. У ребенка на столе шесть цветных карандашей. Он составляет комбинации из двух карандашей. Сколько всего таких комбинаций он может составить? В данном случае речь идет о размещениях, поскольку комбинации будут отличаться и составом и порядком расположения карандашей. Тогда = Пример 3. Заданы цифры 1,2,3,4,5. Сколько трехзначных чисел можно из них составить? Речь опять идет о размещениях. Получаем = Пример 4. В автосалоне на продажу выставлены 9 машин различных марок. Сколько вариантов расстановки из имеющихся машин можно составить? В данном случае задается следующее правило: в каждую комбинацию входят все машины (или в общем случае все элементы, т.е. m=n) и отличаться данные комбинации будут только составом. В этом случае они носят название перестановок. Перестановки (обозначение Рn) – это комбинации, составленные их всех элементов заданного множества, отличающиеся только составом. Перестановки это размещения при условии m=n. Тогда Рn====n!. Пример 5. На полке находиться шесть книг. Сколько комбинаций мож-но из них составить? Речь идет о перестановках. Получаем Р6=6!=6∙5∙4∙3∙2∙1=720. Пример 6. Заданы числа 8,7,6. Сколько трехзначных чисел можно из них получить? Имеем Р3=3!=6. Пример 7. Дана совокупность n=4 букв: а, b, c, d: Ставится задача: составить различные комбинации из данных набора по m=2 буквы по следующему правилу: полученные комбинации должны отли-чаться между собой только составом (порядок расположения букв в комбина-ции соблюдать не требуется). Нужно определить количество полученных ком-бинаций. Получаем перечень 6 комбинаций из n=4 по m=2 буквы, отличающиеся составом, входящих в комбинации букв (таблица 2): Таблица 2 Данные комбинации, составленные по определенному правилу (в нашем примере из 4-х букв по 2-е буквы, которые отличаются только составом) назы-ваются сочетаниями. Таким образом, сочетания (обозначение ) – это комбинации, состав-ленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются лишь составом, входящих в них элементов. Условие данной задачи не требует в отличие от примера 6 учитывать по-рядок расположения букв в комбинации. Если мы получаем полный перечень комбинаций, отличающийся только составом: (а, b); (a, c); (a, d); (b, c); (b, d); (c, d), то менять порядок расположения букв для получения комбинаций (b, а); (с, а); (d, а); (c, b); (d, b); (d, c) по условию задачи уже не требуется. Т.о., получается, что количество сочетаний =6 для данной задачи ровно в 2! раза меньше (а в общем случае в m! меньше), чем количество размещений =12 в примере 6, т.к., переставив буквы в комбинации мы можем дополнительно по-лучить еще 2! (в общем случае еще m!) комбинаций, которые будут отличаться от предыдущих только порядком расположения букв (или элементов), что уже не требуется по условию задачи. Получаем ===6 комбинаций для нашей задачи. А в общем случае =. Пример 8. В турнире участвует десять шахматистов и каждые два шах-матиста встречаются один раз. Сколько партий было сыграно? По условию задачи в комбинацию входит два шахматиста, причем поря-док расположения шахматистов в сыгранной партии не принципиален, т.е. речь идет о сочетаниях. Тогда == Пример 9. В группе восемь человек. Сколькими способами можно выбрать четыре человека на конференцию? Не важно в каком порядке участники конференции будут находиться в комбинации, поэтому речь идет о сочетаниях. Имеем == Правило суммы и произведения. В комбинаторике действуют правило суммы и правило умножения. Правило суммы: Если объект А1 может быть выбран из некоторой сово-купности объектов n1 способами, а другой объект А2 – из некоторой совокуп-ности объектов n2 способами, то выбрать А1 или А2 можно (n1+n2) способами. Пример 10. В корзине 9 грибов, из них 3 белых, 4 подосиновика и 2 под-березовика. Сколькими способами можно достать из корзины или белый, или подберезовик. Тогда для нашей задачи по правилу суммы (n1+n2)=3+2=5. Правило умножения: Если объект А1 может быть выбран из некоторой совокупности объектов n1 способами и после каждого такого выбора объект А2 можно выбрать n2 способами, то пара объектов А1 и А2 в указанном порядке мо-жет быть выбрана (n1×n2) способами. Пример 11. В партии из 6 деталей 4 стандартные. Найти вероятность того, что среди 3 взятых наудачу деталей 2 окажутся стандартными. В нашем случае всего 4 стандартные детали. Из них составляются комби-нации, куда входят по 2 стандартных деталей. Всего можно составить таких комбинаций из стандартных деталей = Þ ==6. Здесь n=4; m=2. Аналогично общее количество нестандартных деталей равно 6–4=2. Из них в составляемую комбинацию входит по 3–2=1 детали. Всего можно из нестандартных деталей составить = Þ ==2. Здесь n=2; m=1. Тогда по правилу умножения количество комбинаций, где из 3 деталей 2 окажутся стандартными и 1 нестандартной равняется ×=6×2=12. Тема 2. Предмет теории вероятностей. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Основные формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона Познание мира происходит через опыт. Опыт (или наблюдение, или испытание, или эксперимент) есть опреде-ленная совокупность условий S, ведущая к определенному конечному результа-ту. Пример 1. Опыт – студент социального вуза сдает экзамен по правоведе-нию. Совокупность условий S: социальный вуз, студент, экзаменатор, билеты по правоведению. Пример 2. Опыт – подросток подбросил игральную кость. Совокупность условий S: подросток, игральная кость, движение воздуха и т. д. Опыт всегда заканчивается каким-то результатом или, как говорят, собы-тием. Событие (обозначение А, В, С, …) есть конечный результат любого опы-та. Пример 3. Опыт – студент социального вуза сдает экзамен по правоведе-нию. Возможные события в результате данного опыта: А – студент сдал экза-мен на «отлично»; В – студент сдал экзамен на «удовлетворительно» и т. д. Пример 4. Опыт – подросток подбросил игральную кость. События: А – выпало одно очко; В – выпало четное число очков; С – вы-пало нечетное число очков; Д – не менее 2-х очков; Е – 6 очков и т.д. Все эти события в примерах 3-4 носят название случайных. Они могут про-изойти или не произойти в результате данного опыта. Мы не можем заранее предсказать реальность данного события. Однако, если при одинаковых усло-виях S опыт повторять многократно, то результат предсказать становится воз-можным. Этим занимается теория вероятностей – раздел высшей математи-ки, исследующий закономерность появления случайных событий при многок-ратном повторении одного и того же опыта. Теория вероятностей делится на две большие части: случайные события и случайные величины. Классификация событий Итак, событие есть конечный результат какого-то опыта. Среди всех событий выделяют следующие: 1. Равновозможные события. Пример 5. Опыт – подросток подбросил игральную кость. Здесь среди всех событий возможными являются варианты: А – выпало одно очко; В – выпало два очка; С – выпало три очка; D – выпало четыре очка; E – выпало пять очков; F – выпало шесть очков. Все эти события имеют одинаковые шансы реализоваться в результате опыта и нет оснований считать, что одно событие более возможно, чем другое. Такие события носят название равновозможных. Равновозможными событиями называются события одного опыта, если нет оснований считать, что одно событие более возможно, чем другое. 2. Достоверное, невозможное и случайное события. Пример 6. Опыт – малыш достал один шар из урны, в которой находятся два красных и один зеленый шары. В результате данного опыта возможны события: А – малыш достал шар черного цвета; В – малыш достал цветной шар; С – малыш достал красный шар. Событие А в данном случае будет являться невозможным событием, по-тому что в урне вообще нет черных шаров. Невозможным событием называется событие, которое никогда не про-изойдет в результате данного опыта. Событие В будет являться достоверным событием. Шар, который достали из урны окажется только либо красного, либо зеленого цвета, т.е. обязательно будет цветным. Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате данного опыта. Событие С будет случайным событием. Оно может произойти и не про-изойти в результате данного опыта. Случайным событием называется событие, которое может произойти и не произойти в результате данного опыта. 3. Несовместные и совместные события. Пример 7. Опыт – подросток подбросил игральную кость. Здесь возможными являются следующие события: А – выпало два очка; В – выпало четное количество очков; С – выпало нечетное количество очков; D –выпало шесть очков. Два события А и D, В и С не могут одновременно произойти в результате одного опыта. Такие события называются несовместными. Два события называются несовместными событиями, если в результа-те данного опыта наступает только одно из них. Аналогично несколько событий называются несовместными, если в ре-зультате одного опыта они попарно несовместны. Несовместными являются события А, С, D. Наоборот, два события А и В, В и D могут одновременно произойти в ре-зультате одного опыта. Такие события называются совместными. Два события называются совместными, если в результате одного и то-го же опыта они могут произойти одновременно. Пример 8. Опыт – социальный педагог планирует провести беседу с под-ростками девиантного поведения. Возможные события: А – беседа будет проведена с подростком Ивано-вым; В – беседа будет проведена с подростком Степановым. Здесь события А и В являются совместными событиями, т.к. социальный педагог может провести беседу с обоими подростками. 4. Противоположные события. Пример 9. Опыт – летом в городе Москве должен пройти социальный конгресс по правам человека. Возможные события в результате данного опыта: А – конгресс состоится, – конгресс не состоится. Данные события носят название противоположных. Событие называется противоположным событию А, если они несов-местны и в результате опыта одно из них обязательно произойдет. Обычно событие , противоположное событию А, сопровождается час-тичкой «не». Например, событие В – государственное учреждение будет прово-дить прием граждан завтра, – государственное учреждение не будет прово-дить прием граждан завтра. 5. Полная группа событий. Пример 10. Опыт – студент социального вуза сдает экзамен по правоведению. Здесь возможно предсказать все возможные события, которые могут про-изойти в данном опыте: А – студент получит оценку «5»; В – «4»; С – «3»; D – «2». Причем события А, В, С, D в данном случае отвечают трем условиям: – они равновозможные; – попарно несовместны; – в результате опыта одно из них обязательно произойдет. Тогда говорят, что данные события образуют полную группу событий. Полной группой событий А, В, С, …, D называются все возможные события одного опыта, если они равновозможные, попарно несовместные и в результате данного опыта одно из них обязательно произойдет. 6. Элементарные события или исходы. Все события А, В, С, …, D, составляющие полную группу событий, назы-ваются элементарными событиями или исходами. В примере 10 А, В, С, D являются элементарными событиями или исхода-ми. 7. Событие А, благоприятствующее событию В. Пример 11. Опыт – подросток подбросил игральную кость. В результате опыта могут реализоваться следующие события: А – выпало одно очко; В – два очка; С – три очка; D – четыре очка; E – пять очков; M – шесть очков; N – четное количество очков. Здесь события А, В, С, D, E, M являются элементарными событиями или исходами и образуют полную группу событий. А событие N реализуется в данном опыте, если происходит одно из сле-дующих событий В, D, M. В этом случае события В, D, M называют благо-приятствующими событию N, так как наступление одного из этих событий вле-чет за собой появление события N (Рис.1). Рис.1. События В, D, M, благоприятствующие событию N Т.о., событие А называется благоприятствующим событию В, если нас-тупление события А влечет за собой наступление события В. Алгебра событий Пусть даны два события А и В. Тогда суммой двух событий А и В называется событие А+В=АВ, сос-тоящее в том, что хотя бы одно из этих событий произойдет (или А, или В, или А и В сразу). Произведением двух событий А и В называется событие АВ=АВ, сос-тоящее в том, что произойдут два эти события одновременно. Пример 12. Опыт – ребенок идет на рынок. Возможные события: А – ребенок купит яблоки; В – ребенок купит гру-ши. Тогда событие А+В=АВ будет состоять в том, что ребенок купит или яблоки, или груши, или яблоки и груши сразу. Событие АВ=АВ – купит яблоки и груши одновременно. Аналогично суммой нескольких событий А, В, …, С называется событие А+В+ … +С=АВ … С, состоящее в том, что хотя бы одно из этих событий произойдет. Произведением нескольких событий АВС называется событие АВ … С= =АВ … С, состоящее в том, что произойдут все эти события одновре-менно. Пример 13. Опыт – школьник может достать из портфеля один предмет. Там у него находятся книга, тетрадь и ручка. Возможные события: А – школьник достанет из портфеля книгу; В – тет-радь; С – ручку. Тогда событие А+В+С=АВС будет состоять в том, что он достанет или книгу, или тетрадь, или ручку, или книгу и тетрадь, или книгу и ручку, или тетрадь и ручку, или книгу, тетрадь и ручку одновременно. Событие АВС=АВС будет состоять в том, что он достанет книгу, тетрадь и ручку одновременно. Определение вероятности события Вероятностью события А [обозначение Р(А)] называется число, харак-теризующее степень возможности появления данного события. Различают классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Классическое определение вероятности события Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа элемен-тарных событий m, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий n, т.е. получили – классическое определение вероятности события. Свойства вероятности события: – вероятность невозможного события равна 0 (m=0); – вероятность достоверного события равна 1 (m=n); – вероятность случайного события А 0≤Р(А)≤1 (0≤m≤n). Пример 14. Подросток подбросил игральную кость. Какова вероятность, что выпадет одно очко и четное количество очков. В – выпало одно очко; С – выпало четное количество очков. Согласно классического определения вероятности события Р(А)= . Тогда Р(В) =, так как благоприятствующему событию В является всего одно событие. Это само событие В, т.е. m=1. Всего здесь возможно 6 элемен-тарных исходов (одно очко, два очка, три очка, четыре очка, пять очков, шесть очков), т.е. n=6. Событию С будут благоприятствовать три события (два очка, четыре оч-ка, шесть очков), т.е. m=3. Аналогично n=6. Тогда Р(С)= =. Пример 15. В мешочке четыре одинаковых кубиков. На всех гранях каж-дого кубика написана одна из следующих букв б, а, ы, р. Найти вероятность то-го, что на вынутых по одному ребенком и расположенных в одну линию куби-ков можно будет прочесть слово «рыба». Здесь событие А – выпало слово «рыба». Число всех возможных элемен-тарных исходов n=4!=24, и только одно из них будет благоприятствовать на-шему событию А, т.е. m=1. Тогда Р(А)= . Пример 16. Библиотечка студента, посвященная социальной тематике, сос-тоит из 10 различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три кни-ги по 1 рублю и две книги по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые нау-гад студентом две книги стоят пять рублей [3, с. 30]. Пусть событие В – взятые наугад студентом две книги стоят пять рублей. Данное событие состоится только тогда, когда взята одна из пяти книг стоимостью 4 рубля (всего таких случаев может быть ), а вторая книга – одна из трех книг стоимостью по одному рублю (таких случаев может быть – ). Тогда количество событий, благоприятствующих событию В равно m= =∙ согласно правилу умножения, действующему в комбинаторике [10, 11]. А общее число всех элементарных исходов n= (студент наугад достает из 10 книг по 2 книги). Тогда Р(В)=. Пример 17. Среди группы студентов социального вуза из 10 человек 6 эко-логов. Найти вероятность того, что среди наудачу отобранных 4 студентов ока-жется 2 эколога. Событие А – среди наудачу отобранных 4 студентов окажется 2 эколога. Событие А произойдет, когда из 4 студентов двое окажутся экологами (всего таких случаев возможно =15, т.к. всего экологов 6, а среди 4 студентов их должно быть 2), а 2 студентов не окажутся экологами (таких случаев может быть =6, т.к всего студентов, не являющихся экологами, может быть 10–6=4 человека, а среди 4 отобранных студентов их должно быть 2). Тогда количество событий, благоприятствующих событию В, равно m=∙ по правилу умно-жения, действующему в комбинаторике [11, 12]. Общее число всех элементар-ных исходов n==210. Тогда Р(А)= . Пример 18. Подростки, развлекаясь, подбрасывают две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших очков на двух игральных костях равна 3. Перечень выпавших очков на одной игральной кости может быть равен 1, 2, 3, 4, 5, 6. Те же самые очки могут выпасть и на второй игральной кости. Тогда одновременно на двух игральных костях могут выпасть следующие комбинации очков (Рис.2). Рис.2. Различные комбинации выпавших очков на двух игральных костях Пусть событие А – сумма выпавших очков на двух игральных костях рав-на трем. Тогда событию А благоприятствуют m=3 комбинации (комбинации: 11, 12, 21). Всего случаев выпадения разной суммы очков на двух игральных костях возможно n=36. Окончательно получаем Р(А)==. Иногда сложно определить количество всех благоприятствующих данно-му событию элементарных исходов m или количество всех элементарных исхо-дов n одного опыта. В этом случае классическое определение вероятности со-бытия малопригодно, поэтому используют статистическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события Пусть произведено n опытов, в которых событие А состоялось m раз. Относительной частотой Р*(А) или статистической вероятностью со-бытия А называют отношение , где n – количество произведенных опытов, а m – количество случаев, когда событие А произошло, т.е. получили – относительная частота или статистическое определение события А. Пример 19. Подросток выстрелил из рогатки по мишени 10 раз. Попал при этом 4 раза. Найти классическую и статистическую вероятности события А – «попадание» в мишень. По определению Р*(А)= ==0,4; Р (А)==0,5 (всего исходов n=2: «попал» или «не попал» в мишень; из них событию А благоприятствует одно, т.е. m=1). Иногда вероятность некоторого события А задается с помощь геометри-ческих понятий (длины L, площади S, объема V), то следует использовать гео-метрическое определение вероятности события. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий Теорема 1: вероятность суммы двух событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны. Пусть n – число всех элементарных событий в одном опыте, из них событию А благоприятствуют k элементарных событий [тогда Р(А)=]; собы-тию В благоприятствуют f элементарных событий [аналогично, Р(В)=]. По условию А и В – несовместные события. Отсюда следует, что ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Тогда событию (А+В) благоприятствуют (k+f) элементарных со-бытий. Согласно классического определения вероятности события: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Пример 20. Вероятность того, что подросток при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,2; вероятность выбить 9 очков равна 0,1; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле подросток выбьет не менее 9 очков [3, с. 36]. Пусть А – подросток выбьет 10 очков; В – подросток выбьет 9 очков. Со-бытия А и В являются несовместными событиями. Тогда событие А+В состоит в том, что подросток выбьет не менее 9 очков (или 10, или 9). Согласно теореме 1: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,2+0,1=0,3. Теорема 2: вероятность суммы нескольких несовместных событий А, В, …, С равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В+ … + С)=Р(А)+ +Р(В)+ +… +Р(С) – следует из теоремы 1. Пример 21. Студент выбирает книги в магазине. Он может купить только одну книгу. Вероятность того, что он купит книгу по психологии, равна 0,13; по экономике – 0,34; по педагогике – 0, 35; по экологии – 0,18. Какова вероятность события, что он купит книгу или по психологии, или по экономике, или педагогике ? Пусть А – студент купит книгу по психологии; В – по экономике; С – по педагогике; D – по экологии. По условию данной задачи А, В, С, D – несовмест-ные события. Тогда событие А+В+С – студент купит книгу или по психологии, или по экономике, или по педагогике. Согласно теореме 2: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,13+0,34+0,35=0,82. Теорема 3: сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. Р(А)+Р()=1 – следует из теоремы 1. Пример 22. Студент сдает экзамен по социальной политике. Вероятность того, что он сдаст его на пять равна 0,45. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен на пять? Пусть А – студент сдаст экзамен по социальной политике на пять. По ус-ловию задачи Р(А)=0,45. Тогда согласно теореме 3: Р()=1–Р(А)=0,55. Теорема 4: сумма вероятностей событий А+В+ … +С, образующих пол-ную группу событий равна 1, т.е. Р(А)+Р(В)+ … +Р(С)=1 – следует из теоремы 1. Пример 23. Ребенок пришел в магазин, где он может купить или игрушку, или книжку, или конфеты. Вероятность того, что он купит игрушку равна 0,15, книжку – 0,21. Какова вероятность того, что он купит конфеты? Пусть А – ребенок купит игрушку; В – купит книжку; С – купит конфеты. По условию Р(А)=0,15; Р(В)=0,21. Тогда согласно теореме 4: Р(С)=1– Р(А)–Р(В)=0,64. Теорема 5: вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ). Пусть n – число всех элементарных событий в одном опыте, из них собы-тию А благоприятствуют k элементарных событий [тогда Р(А)=]; событию В – f элементарных событий [аналогично, Р(В)=]; событиям А и В одновремен-но – m элементарных исходов. Тогда событию (А+В) одновременно будут бла-гоприятствовать (k+f–m) элементарных исходов. Согласно классическому определению вероятности события: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ). Теоремы умножения вероятностей событий Продолжим тему классификации событий. Независимые и зависимые события. Пример 24. Опыт – два подростка бьют по цели. Возможные события: А – цель поражена первым подростком; В – цель поражена вторым подростком. Причем вероятность события А не зависит от то-го, произошло или нет событие В и, наоборот, вероятность события В не зави-сит от исхода события А. Такие события называются независимыми. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появле-ния каждого из них не зависит от того, появилось или нет другое событие. В обратном случае два данных события называются зависимыми. Аналогично, несколько событий называются независимыми в совокуп-ности или просто независимыми, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо рассматриваемые другие события. Пусть А и В – два зависимых события. Это означает, что вероятность по-явления события А будет зависит от появления события В. В этом случае, что-бы подчеркнуть зависимость вероятности события А от события В, ее обозна-чают следующим образом: РВ(А) или Р(А/В) и называют условной вероят-ностью (вероятность события А при условии появления события В) в отличие от безусловной вероятности Р(А), когда вероятность события А не зависит от появления события В. Условной вероятностью события А [обозначение РВ(А) или Р(А/В)] назы-вают вероятность события А, найденную в предположении, что событие В уже наступило. Пример 25. Два вуза социального профиля в один год выпустили специа-листов по экологии. Первый вуз выпустил 200 специалистов, причем из них 50 человек закончили вуз без троек. Второй вуз – 300 специалистов и из них 100 человек закончили вуз без троек. Найти вероятности следующих событий: наугад отобранный из двух вузов специалист закончил его без троек; специалист, наугад отобранный с первого вуза, закончил его без троек; специалист, наугад отобранный со второго вуза, закончил его без троек. Пусть А – наугад отобранный из двух вузов специалист закончил его без троек; В – специалист, наугад отобранный с первого вуза, закончил его без тро-ек; С – наугад отобранный со второго вуза, закончил его без троек; D – студент отобран с первого вуза; E – студент отобран со второго вуза. Тогда вероятность события В будет зависеть от появления события D и вероятность события С – от появления события Е. Таким образом, мы имеем де-ло с условными вероятностями РD(В) и РЕ(С). Вероятность события А не зависит от появления каких-либо других событий и здесь будет просто безусловная вероятность Р(А). Согласно классического определения вероятности: Р(А)= =; РD(В)= =; РЕ(С)= =. Перейдем к теоремам умножения вероятностей событий. Теорема 6: вероятность появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность РА(В) другого события В, найденную в предположении, что первое событие А уже наступи-ло, т.е. Р(АВ)=Р(А)∙РА(В). Пусть n – число всех элементарных событий; из них k событий благоприятствуют событию А [Р(А)= ] и пусть из k событий f событий благоприятст-вуют событию В, а значит и событию АВ [Р(АВ)= ]. Тогда Р(АВ)= ==Р(А)∙РА(В). Пример 26. 80% клиентов, состоящих на учете в одном из социальных учреждений, являются пенсионерами, причем 45% из них старше 70 лет. Найти вероятность того, что отобранный наудачу пенсионер данного социального уч-реждения, старше 70 лет. Пусть В – пенсионер, состоящий на учете в данном социальном учрежде-нии; А – пенсионер старше 70 лет; тогда событие ВА – пенсионер состоит на учете в данном социальном учреждении и имеет возраст старше 70 лет. Тогда вероятность события ВА требуется определить по условию задачи. Вероятность события В Р(В)=0,8, а вероятность события А определяется наступлением события В, т.е. речь идет об условной вероятности РВ(А)=0,45. Тогда согласно теореме 6: Р(ВА)=Р(В)∙РВ(А)=0,8∙0,45=0,36. Теорема 7: вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(АВ)=Р(А)∙Р(В). Согласно теореме 6 для двух зависимых событий Р(АВ)=Р(А)∙РА(В), но А и В – независимые события и РА(В)=Р(В). И окончательно получаем Р(АВ)= =Р(А)∙Р(В). Пример 27. Найти вероятность совместного появления герба при одновре-менном бросании двух монет подростком. Пусть А – появился герб при бросании первой монеты; В – появился герб при бросании второй монеты; тогда АВ – совместное появление герба при од-ном бросании двух монет. События А и В – независимые события, причем Р(А)=Р(В)=. Согласно теореме 7: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)= ∙=. Пример 28. В двух ящиках находятся шары: в первом – 10 (из них 5 крас-ных), во втором 20 (из них 15 красных). Из каждого ящика малыш наудачу вы-нимает по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся крас-ными. Пусть А – шар, вынутый из первого ящика, красный; В – шар, вынутый из второго ящика, красный; тогда АВ – оба вынутых малышом шара красного цве-та. События А и В – независимые события, причем согласно классическому определению вероятности события Р(А)=0,5; Р(В)=. Согласно теореме 7: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)= 0,5∙=. Пример 29. Вероятность попадания в мишень в тире первым и вторым подростком равны 0,32 и 0,14. Найти вероятность попадания в мишень при од-новременных выстрелах обоими подростками хотя бы одним из них. Пусть А – попал в мишень первый подросток; В – попал в мишень второй подросток. По условию Р(А)=0,32; Р(В)=0,14. Тогда событие А+В – поражение цели хотя бы одним подростком. События А и В являются совместными собы-тиями (мишень может быть поражена двумя подростками сразу при одновре-менных выстрелах) и независимыми. Согласно теореме 5 и 7: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ)=Р(А)+Р(В)–Р(А)Р(В)= =0,32+0,14–0,32∙0,14=0,4152. Теорема 8: вероятность появления нескольких независимых событий А, В, …, С равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А∙В∙ … ∙С)= =Р(А)∙Р(В)∙ … ∙Р(С) – следует из теоремы 7. Пример 30. Имеется три вазочки, содержащих по 10 фруктов. В первой ва-зе 5, во второй – 6, в третьей – 7 апельсин. Из каждой вазочки ребенок наудачу вынимает по одному фрукту. Найти вероятность того, что все три вынутых фрукта окажутся апельсинами. Пусть А – фрукт, вынутый с первой вазы, апельсин; В – фрукт, вынутый со второй вазы, апельсин; С – фрукт, вынутый с третьей вазы, апельсин; тогда АВС – все три вынутые фрукты оказались апельсинами. А, В, С – независимые события и согласно классическому определению вероятности события Р(А)=0,5; Р(В)=0,6; Р(С)=0,7. На основании теоремы 8: Р(АВС)=Р(А)∙Р(В)∙Р(С)=0,5∙0,6∙0,7=0,21. Формула полной вероятности Пусть событие А происходит вместе с одним из событий Н1; Н2; Н3 … Нn, образующих полную группу событий [т.е. согласно теореме 4 Р(Н1)+Р(Н2)+ +Р(Н3)+ … +Р(Нn)=1]. Известны вероятности этих событий Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3), … , Р(Нn) и условные вероятности события А Р(А), Р(А), Р(А), … , Р(А). Ставится задача: определить при заданных условиях вероятность собы-тия А, т.е. Р(А). Событие А=Н1А+Н2А+Н3А+ … +НnА (согласно определения суммы нес-кольких событий событие А осуществится, если произойдут события или Н1А, или Н2А, или Н3А, … или НnА) (см. 1.1.2). Тогда вероятность события А: Р(А)=Р(Н1А+Н2А+Н3А+ … +НnА)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+Р(Н3А)+ … +Р(НnА) согласно теореме 2, т.к. события Н1А, Н2А, Н3А, …, НnА несовместны. Кроме того, события А и Н1, А и Н2, А и Н3, … , А и Нn зависимы, т.к. по условию событие А может произойти только вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3, … , Нn. Тогда согласно теореме 6 о вероятности произведения двух зависимых событий: Р(А)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+Р(Н3А)+ … +Р(НnА)= =Р(Н1)∙Р(А)+Р(Н2)∙Р(А)+Р(Н3)∙Р(А)+…+Р(Нn)∙Р(А)= =. Окончательно получаем – формула полной вероятности. Заранее неизвестно, какое из событий Н1, Н2, Н3, … , Нn произойдет, по-этому они называются гипотезами. Пример 31. Перед студентом-экологом лежат три билета. Вероятности того, что он сдаст экзамен, вытащив первый, второй и третий билеты соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что, вытянув наугад выбранный билет, студент-эколог сдаст экзамен. Пусть событие А – вытянув наугад выбранный билет, студент-эколог сдаст экзамен. Гипотеза Н1 – студент-эколог вытащил первый билет; Гипотеза Н2 – студент-эколог вытащил второй билет; Гипотеза Н3 – студент-эколог вытащил третий билет. Согласно классического определения вероятности Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=. По условию задачи Р(А)=0,6; Р(А)=0,7; Р(А)=0,9 Тогда искомая вероятность рассчитывается по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)∙Р(А)+ Р(Н2)∙Р(А)+Р(Н3)∙Р(А)=×0,6+×0,7+×0,8=0,7. Формула Байеса Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, Н3, … , Нn, образующих полную группу событий [т.е. согласно теореме 4 Р(Н1)+ +Р(Н2)+Р(Н3)+ … +Р(Нn)=1]. В этом случае вероятность события А определяет-ся по формуле полной вероятности Р(А)=. Опыт произведен, событие А появилось. Ставится задача: определить как при этом изменились вероятности собы-тий или гипотез Н1, Н2, Н3 … Нn. Согласно примечания 3: Р(А)∙РА(В)=Р(В)∙РВ(А) или для нашей задачи в случае первой гипотезы Р(Н1)∙Р(А)=Р(А)∙РА(Н1). Отсюда РА(Н1)= – вероятность гипотезы Н1 после того, как событие А произошло. Аналогично для любой i-ой гипотезы Нi: РА(Нi)= – вероятность гипотезы Нi пос-ле того, как событие А произошло. Окончательно имеем – формула Байеса. Пример 32. Два студента – один эколог, другой специалист по социальной работе должны придти для пересдачи экзамена по математике. Вероятности того, что на экзамен первым придет эколог, равна 0,8; первым придет специа-лист по социальной работе – 1. Шансы пересдать экзамен экологом и специа-листом по социальной работе оцениваются соответственно как 0,6 и 0,4. Науда-чу пришедший первым студент сдал экзамен по математике. Кто из них вероят-нее всего первым пришел на экзамен: эколог или специалист по социальной работе? Пусть событие А – наудачу пришедший студент сдал экзамен по матема-тике. Гипотеза Н1 – первым на экзамен пришел эколог; Гипотеза Н2 – первым на экзамен пришел специалист по социальной ра-боте. По условию задачи Р(Н1)=0,8; Р(Н2)=1; Р(А)=0,6; Р(А)=0,4. Тогда согласно формуле Байеса вероятности прихода студентов первыми на экзамен, после того как событие произошло, т.е. экзамен сдан: РА(Н1)===; РА(Н2)===. Т.о., вероятнее всего первым пришел на экзамен эколог. Формула Бернулли Опыты или испытания называются независимыми, если в каждом из них некоторое событие А наступает с одинаковой вероятностью (обозначим дан-ную вероятность р). Пример 33. Вероятность того, что подросток попадет в мишень в тире, постоянна при всех выстрелах и равна 0,9 (в общем случае р). Он произвел три выстрела (в общем случае n). Найти вероятность того, что из трех выстрелов два являются попаданиями (в общем случае m). Обозначим вероятность события «из трех выстрелов два попадания» как Р3(2) [а в общем случае Рn(m)]. По условию задачи все испытания независимы (т.к. вероятность того, что попадания при всех выстрелах одинакова). Пусть А – попал при одном выстреле; тогда – не попал при одном выстреле. Тогда по условию Р(А)=р; а Р()=1–р согласно теореме 3 о сумме противоположных событий. Обозначим Р() за q, т.е q=1–р. Произведено три выстрела, из которых два являются попаданиями, а один – промахом, т.е. получили одно из возможных событий, например, АА. Тогда согласно теореме 8 о вероятности произведения нескольких незави-симых событий Р(АА)=Р(А)∙Р(А)∙Р()=Р(А)2 ∙Р()1=р2∙q1 =р2∙q3–2. АА лишь одно из возможных событий «из трех выстрелов два попада-ния», а всего таких событий согласно правилам комбинаторики =3 (есть еще два таких возможных события АА и АА) [10, 11]. Тогда вероятность события «из трех выстрелов два попадания» согласно теореме 2 сложения нескольких несовместных событий: Р3(2)=Р(АА+АА+АА)=Р(АА)+Р(АА)+Р(АА)=∙р2∙q3–2, т.к. Р(АА)=Р(АА)=Р(АА)=р2∙q1, т.к. АА, АА, АА – лишь варианты одного и того же события «из трех выстрелов два попадания» и всего таких возможных событий . Окончательно имеем Р3(2)= ∙р2∙q3–2=3∙0,752(1–0,75)3–2≈0,4219. Здесь по условию задачи n=3; m=2. Тогда для общего случая получим: – формула Бернулли. Формула Бернулли отвечает на вопрос: какова вероятность того, что из n независимых испытаний некоторое событие наступит m раз, если вероятность наступления этого события в одном испытании равна р. Пример 34. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток в одном социальном учреждении не превысит установленной нор-мы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток в этом учреждении не превысит нормы. Воспользуемся формулой Бернулли Рn(m)=∙рm ∙qn–m В нашем случае р=0,75; q=1–0,75=0,25; n=6; m=4. Тогда Р6(4)= (0,75)4(0,25)6–4≈0,2966. Асимптотические формулы При большом количестве испытаний n формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям, поэтому при определенных условиях ее заменяют приближенными формулами, или как говорят асимптотическими. 1. Если npq≥10, и р≠0, р≠1 и р0,5, то следует использовать локальную теорему Муавра-Лапласа: Pn(m)≈, где ; . Функция протабулирована (представлена приложением 1 справоч-ного материала). Свойства функции (Рис. 3): – = – четность; – точки перегиба х=±1; – максимальное значение – (0; ); – при х≥4, 0 (например, ≈0,0001), поэтому функция протабулирована только для 0≤х≤4. – 4 0 4 х Рис.3. Графическое изображение функции Пример 35. Подросток выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Здесь npq=400·0,8·0,2=64≥10, р≠0, р≠1 и р0,5. Следовательно, надо воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа: Pn(m)≈, где ; . Получаем х=0,63, ≈0,3271, Р400(325)≈·0,3271≈0,041. 2. Если npq<10, и р<0,1, то локальная теорема Муавра-Лапласа дает боль-шую погрешность и следует использовать формулу Пуассона: Pn(m)≈, где =np. Пример 36. Экологи установили, что вероятность заражения одного дерева в лесу определенным видом заболевания равно 0,0002. Найти вероятность, что из 5000 деревьев лесного массива 3 дерева окажутся зараженными данным ви-дом заболевания. Здесь npq=5000·0,0002·0,9998=0,9998<10 и р<0,1. Следовательно, надо воспользоваться формулой Пуассона: Pn(m)≈, где =np. Получаем Р5000(3)≈≈0,061 [4, с. 51]. 3. При больших значениях n, когда требуется ответить на вопрос: какова вероятность, что событие в n независимых испытаниях произойдет от m1 до m2 раз используют интегральную теорему Муавра-Лапласа: Pn(m1≤m≤m2)≈Ф(х2)–Ф(х1), где ; ; Ф(х)= – функция Лапласа. Функция Ф(х) протабулирована (представлена приложением 2 справочно-го материала). Свойства функции Лапласа Ф(х)= (Рис.4): – Ф(–х)= –Ф(х) – нечетность, поэтому для Ф(–х) берут значения Ф(х) со знаком «–»; – Функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси; – Ф(0)=0; Ф(5)=0,499997≈0,5; – для Ф(≥5)=0,5 – для значений х≥5 считают, что функция Лапласа Ф(х)=0,5. Ф(х) 0,5 0 х –0,5 Рис. 4. Графическое изображение функции Лапласа Ф(х) Пример 37. Подросток выполнил 400 выстрелов, вероятность одного попа-дания 0,8. Найти вероятность, что он попадет от 310 до 325 раз. В данном случае n=400 достаточно велико, поэтому следует воспользо-ваться интегральной теоремой Муавра-Лапласа: Pn(m1≤m≤m2)≈Ф(х2)–Ф(х1), где ; ; Ф(х)= – функция Лапласа. Получаем P400(310≤m≤325)≈Ф(х2)–Ф(х1), где: и . Окончательно имеем: P400(310≤m≤325)≈Ф(0,63)–Ф(–1,25)=Ф(0,63)+Ф(1,25)=0,6301, т.к. согласно Ф(0,63)=0,2357 и Ф(1,25)=0,3944. Тема 3. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Законы распределения, числовые характеристики Пример 37. Опыт – подросток подбрасывает игральную кость. Здесь возможен ряд чисел или величин: 1, 2, 3, … , 6. Эти числа или вели-чины носят название случайных. Их предсказать невозможно. Они зависят от ряда факторов. Случайной величиной (обозначение Х, Y, Z) называют величину, которая в результате опыта примет некоторое значение, заранее неизвестное и завися-щее от ряда случайных факторов. Случайная величина (сокращенно СВ) делится на дискретную и непре-рывную. Пример 38. Опыт – студент сдает экзамен по социальной экологии. Здесь случайной величиной Х будет являться оценка, на которую студент сдаст экзамен: «5», «4», «3», «2». В данном случае он принимает отдельные, изолированные или, как гово-рят, дискретные (т.е. прерывистые) значения. Их число всегда ограничено или конечно (Рис.1). 2 3 4 5 Х Рис.1. Оценки студента на координатной прямой Такие случайные величины называют дискретными. Дискретной случайно величиной (сокращенно ДСВ) называют случайную величину, которая принимает конечное число значений. Возможные значения случайной величины Х, которые она принимает во время опыта, обозначают как х1, х2, х3, … , хn, например, х1=2, х2= =3; х3=4; х4=5. Пример 38. Опыт – ребенок кидает камешек, который при падении ляжет в некоторый промежуток (a; b). Здесь случайной величиной Х будут являться все значения точек из от-резка (a; b) (Рис.2). а b Х Рис.2. Значения точек падения камешка Ясно, что таких точек от a до b может быть бесконечное множество. В данном случае мы рассматривали конечный промежуток (a; b). Но в отдельных случаях он может быть и бесконечным (–∞; +∞). Непрерывной случайной величиной (сокращенно НСВ) называют слу-чайную величину, которая принимает бесконечное число значений, заполняю-щий собой бесконечный или конечный промежуток. Каждому возможному значению х1, х2, х3, … , хn случайной величины Х (ДСВ или НСВ) можно сопоставить вероятность р, характеризующая возможность появления этого значения в данном опыте и обозначающаяся как р1, р2, р3, … , рn . Тогда законом распределения или просто распределением случайно вели-чины Х (ДСВ или НСВ) называется всякое соответствие между возможными ее значениями хi и соответствующими им вероятностями рi, т.е. совокуп-ность пар чисел (хi; рi). Дискретные случайные величины Существует несколько способов задания закона распределения ДСВ. Ос-новным из них являются табличный, который иногда называют также рядом распределения, при котором возможные значения случайной величины х1, х2, х3, … , хn и соответствующие им вероятности р1, р2, р3, … , рn заданы в виде таблицы (Рис.3). Х х1 х2 … хn р р1 р2 … рn Рис.3. Табличный способ задания или ряд распределения ДСВ Примечание 1: ДСВ Х при конечном количестве значений х1, х2, х3, … , хn образует равновозможные, попарно несовместные события, одно из которых обязательно произойдет, т.е. х1, х2, х3, … , хn является полной группой событий и согласно теореме 4 всегда. Пример 39. Возможные значения Х таковы: х1=4; х2=5; х3=6. Известны вероятности первых двух возможных значений: р1=0,2; р2=0,4. Найти вероят-ность р3 значения х3. Согласно примечания 6 р1+р2+р3=1, тогда р3=1–0,2–0,4=0,4. Числовые характеристики дискретной случайной величины 1. Математическое ожидание (сокращенно МО). Пусть задан закон распределения ДСВ. Х х1 х2 … хn р р1 р2 … рn Математическим ожиданием М(Х) ДСВ называется сумма произведений значений случайной величины Х на соответствующие им вероятности р, т.е. М(Х)=х1∙р1+х2∙р2+ …+хn∙рn=. Пример 40. Дан ряд распределения случайной величины Х. Найти М(Х). Х 3 5 2 р 0,1 0,6 0,3 По определению М(Х)=х1∙р1+х2∙р2+ х3∙р3=3∙0,1+5∙0,6+2∙0,6=3,9 Определим смысл математического ожидания. Пусть произведено n опы-тов, где случайная величина Х приняла m1 раз значение х1, m2 раз значение х2, …, mk раз значение хk, причем m1+m2+ … +mk=n. Обозначим среднее арифметическое значение Х как . Тогда среднее арифметическое значение случай-ной величины Х: == ==М(Х), где – относительные частоты или статистические вероятности наб-людаемых значений случайной величины Х. Т.о., математическое ожидание М(Х) равно среднему арифметическому всех возможных значений случайной величины Х. Свойства математического ожидания: – М(С)=С (С есть const или постоянная величина) – МО постоянной вели-чины есть сама эта величина; – М(С∙Х)=С∙М(Х) – постоянный множитель можно выносить за знак МО; – М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y) (где Х и Y – случайные величины) – МО двух слу- чайных величин равно произведению их МО, если они независимы; – М(Х±Y)=М(Х)±М(Y) (где Х и Y – случайные величины) – МО суммы или разности двух любых случайных величин (зависимых и независимых) рав-но сумме или разности МО этих величин. 2. Отклонение случайной величины Х. Отклонением случайной величины Х называют разность Х–М(Х) между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М(Х). Теорема 9: математическое ожидание отклонения равно 0, т.е. М[Х––М(Х)]=0. Согласно свойств МО: М[Х–М(Х)]=М(Х)+М[–М(Х)]=М(Х)–М[М(Х)]= М(Х)–М(Х)=0. Пример 41. Дан ряд распределения случайной величины Х. Проверить, что МО отклонения равно 0. Х 1 3 5 р 0,2 0,5 0,3 Согласно изложенному алгоритму вычисления МО отклонения найдем сначала М(Х)=х1∙р1+х2∙р2+х3∙р3=1∙0,2+3∙0,5+5∙0,3=3,2. Построим закон распределения для отклонения случайной величины Х. Х–М(Х) –2,2 –0,2 1,8 р 0,2 0,5 0,3 Вычисляем М[Х–М(Х)]=[х1–М(Х)]∙р1+[х2–М(Х)]∙р2+[х3–М(Х)]∙р3=(–2,2)∙ ∙0,2+(–0,2)∙0,5+1,8∙0,3=0. Т.о., МО отклонение не характеризует величину отклонения или рассеяния выстрелов от цели. Поэтому вводят новую величину – дисперсию. 3. Дисперсия случайной величины Х. Дисперсией случайной величины Х [обозначение D(Х)] называется мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее ма-тематического ожидания,т.е.D(Х)=М[Х–М(Х)]2=[х1–М(Х)]2∙р1+[х2–М(Х)]2∙р2 + + … +[хn–М(Х)]2∙рn=. По данной формуле считать дисперсию довольно неудобно, поэтому для расчета дисперсии предлагается другая формула. Теорема 10: D(Х)=М(Х2)–М2(Х). По определению D(Х) = М[Х–М(Х)]2 = М[Х2–2Х∙М(Х)+М2(Х)] = М(Х2)+ +М[–2Х∙М(Х)]+М[М2(Х)]=М(Х2)–2∙М(Х)∙М(Х)+М2(Х)=М(Х2)–2∙М2(Х)+М2(Х)= =М(Х2)–М2(Х), что и требовалось доказать. При доказательстве использовались свойства МО. Пример 42. Дан ряд распределения случайной величины Х. Вычислить значение дисперсии по определению и по упрощенной формуле. Х 1 2 3 р 0,1 0,8 0,1 Вычислим дисперсию согласно определению. Сначала рассчитываем МО случайной величины Х. М(Х)=х1∙р1+х2∙р2+х3∙р3=1∙0,1+2∙0,8+3∙0,1=2. [Х–М(Х)]2 1 1 р 0,1 0,8 0,1 Согласно определения D(Х)=[х1–М(Х)]2∙р1+[х2–М(Х)]2∙р2+[х3–М(Х)]2∙р3= =1∙0,1+0∙0,8+1∙0,1=0,2. Теперь вычислим дисперсию по упрощенной формуле D(Х)=М(Х2)–М2(Х). Как мы уже определили М(Х)=2; тогда М2(Х)=4. Для определения МО случайной величины Х2 построим ряд распределения для нее. Х2 1 4 9 р 0,1 0,8 0,1 Тогда М(Х2)=х12∙р1+х22∙р2+х32∙р3=1∙0,1+4∙0,8+9∙0,1=4,2. Окончательно получаем D(Х)=М(Х2)–М2(Х)=4,2–4=0,2. Как мы видим, значения дисперсии совпали. Свойства дисперсии: – D(С) – дисперсия постоянной величины равна 0; – D(СХ)=С2∙D(Х) – постоянный множитель можно выносить за знак дис персии, возводя его в квадрат; – D(Х±Y)=D(Х)+D(Y) – дисперсия суммы или разности двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, если эти величины независимы; – D(С+Х)=D(Х) – дисперсия суммы постоянной и случайной величин рав- на дисперсии случайной величины; Дисперсия есть среднее значение квадрата отклонения случайной вели-чины Х от ее математического ожидания. Она характеризует меру рассеяния случайной величины Х от ее математического ожидания или среднего арифметического значения . Но дисперсия имеет один существенный недостаток. По определению дисперсия есть квадрат отклонения, значит ее размерностью являются м2, см2, мм2 и т.д., что не совсем удобно. Для устранения этого недос-татка вводят еще одну характеристику – среднее квадратическое отклонение. 3. Среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х на-зывается корень квадратный из ее дисперсии, т.е. σ(Х)=. Таким образом, σ(Х) имеет ту же размерность, что и случайная величина Х. Пример 43. D(X) =0,09. Найти σ(Х). По определению σ(Х)=. Тогда σ(Х)= =0,3. Функция распределения дискретной случайной величины Ряд распределения не единственный способ задания дискретной случай-ной величины Х. Также случайная величина Х задается с помощью функции распределения или интегральной функции распределения F(х). Функцией распределения или интегральной функцией распределения F(х) для ДСВ и НСВ Х называется функция, определяемая равенством F(х)=Р(Х<х), т.е. значения функции F(х) для каждого х равно вероятности того, что слу-чайная величина Х примет значения меньше х. Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероят-ность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Пример 44. Дан ряд распределения случайной величины Х. Требуется построить график функции распределения F(х). Х х1= –2 х2=1 х3=3 р 0,2 0,4 0,4 Разобьем все значения случайной величины Х на интервалы: х≤х1; х1<х≤х2; х2<х≤х3; … ; хn–1<х≤хn; х>хn. Для нашего случая получим следующие интервалы: 1. х≤–2 F(х)=0; 2. –2<х≤1 F(х)=0+0,2=0,2; 3. 1<х≤3 F(х)=0,2+0,4=0,6; 4. х>3 F(х)=0,6+0,4=1. Тогда по условию задачи получаем следующий график функции распре-деления F(х) дискретной случайной величины Х (Рис.3). F(х) 1 0,6 0,2 –2 1 3 Х Рис.3. График функции распределения F(х) дискретной случайной величины Х Непрерывные случайные величины Табличный способ задания закона распределения, использовавшийся для ДСВ, для непрерывной случайной величины неприменим, т.к. непрерывная случайная величина может иметь любые возможные значения внутри проме-жутка (a; b) или бесконечного промежутка (–∞; +∞). Количество таких возможных значений х непрерывной случайной величины Х бесконечно и вероятность р каждого такого возможного значения х равна 0. Поэтому одним из основных способов задания НСВ является функция распределения или интегральная функция распределения F(х), которая является общим универсальным законом, использующимся для ДСВ и НСВ. Функция распределения непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина имеет следующие функции распределения при Х(a; b) и Х(–∞; +∞). (Рис.4): F(х) 1 0 a b Х Х(a; b) F(х) 1 0 Х Х(–∞; +∞) Рис.4. Функция распределения НСВ при Х(a; b) и Х(–∞; +∞) Свойства функции распределения: 1. 0≤ F(х)=Р(Х<х)≤1, т.к. функция распределения является вероятностью; 2. F(х) – неубывающая функция (возрастающая или постоянная на опре-деленных участках), т.е. F(х2)≥F(х1), если х2>х1; 3. Р(a≤Х0 выполнется равенство . Это означает, что при увеличении объема выборки n θ*→ θ. В математической статистике доказано, что для нормального распределе-ния выборочная средняя арифметическая является несмещенной, эффектив-ной и состоятельной оценкой математического ожидания М(Х)=а. Для оценки дисперсии D(X)=s2 нормального распределения предлагается использовать выборочную дисперсию , но доказано, что она не отвечает всем трем требованиям, которые предъявляют к оценкам. Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой, но не отвечает условиям несмещенности и эффективности. Для устранения этого недостатка предлагается использовать исправлен-ную выборочную дисперсию s2. Исправленной выборочной дисперсией s2 называется дисперсия, определяемая по формуле s2=. Коэффициент носит название поправки Бесселя. При n≥30 ≈1 и исправленная выборочная дисперсия s2≈. Исправ-ленную выборочную дисперсию s2 следует применять при объемах выборки n<30. В этом случае поправка Бесселя значительно отличается от 1. Доказано, что исправленная выборочная дисперсия s2 отвечает условиям состоятельности и несмещенности, но не является эффективной оценкой. Всем трем условим (несмещенности, эффективности и состоятельности) для нормального распределения отвечает дисперсия, вычисляемая по формуле: . Однако, использовать данную формулу не представляется возможным, т.к. для ее применения надо знать значения математического ожидания М(Х)= =а, которое практически всегда неизвестно. Поэтому, при объемах выборки n<30 в качестве оценки дисперсии s2 ге-неральной совокупности, распределенной нормально, применяют исправлен-ную выборочную дисперсию s2. В случае, когда объем выборки n≥30 можно ис-пользовать в качестве оценки выборочную дисперсию . Аналогично, для оценки среднего квадратического отклонения s нор-мального распределения по выборке при n<30 следует использовать исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s=. При n≥30 можно применять выборочное среднее квадратическое отклонение . Интервальное оценивание параметров распределения В случае малых объемах выборок точечная оценка θ* неизвестного пара-метра θ дает большую погрешность. Поэтому оптимальным вариантом являет-ся интервальное оценивание неизвестного параметра θ. Качество оценки θ*определяется разницей между истинным значением параметра θ и его оценкой θ*, т.е. (|θ – θ*|). Обозначим |θ – θ*|<δ, где δ – вели-чина, которую называют точностью оценки параметра θ. Гарантировать, что разница между неизвестным параметром θ и его оценкой θ* будет меньше точности δ можно только с определенной степенью вероятности. Назовем ее γ. Эту вероятность γ называют доверительной веро-ятностью, надежностью или коэффициентом доверия. Доверительной вероятностью, надежностью или коэффициентом дове-рия γ называется вероятность, с которой осуществляется неравенство Р(|θ – –θ*|<δ)=γ или Р(θ*–δ<θ<θ*+δ)=γ. Тогда (θ*–δ; θ*+δ) носит название доверительного интервала для θ с за-данной доверительной вероятностью γ. Доверительный интервал есть интервал (θ*–δ; θ*+δ), в который с за-данной надежностью γ, попадает значение оцениваемого параметра θ. Здесь θ*–δ=θ*min и θ*+δ=θ*max – граничные точки доверительного ин-тервала. Интервальное оценивание параметров нормального распределения Пусть имеется генеральная совокупность, подчиняющаяся закону нор-мального распределения с параметрами а (математическое ожидание) и σ (сред-нее квадратическое отклонение). Часто требуется оценить неизвестное значе-ние математическое ожидание а. Здесь возможно два варианта: оценка матема-тического ожидания при известном параметре σ и оценка математического ожидания при неизвестном параметре σ. Интервальное оценивание математического ожидания а нормального распределения при известном средним квадратическом отклонении σ Пусть задано нормальное распределение, имеющее плотность f(х)= . Причем математическое ожидание а нормального распределения неиз-вестно и его требуется оценить, а среднее квадратическое отклонение σ извест-но. Для нормального распределения выведена формула Р(|Х–а|<δ)=2 (4), определяющая вероятность отклонения нормально распределенной СВ Х от ее математического ожидания а (см. 1.2.2.5.). Как мы уже знаем, несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой θ* математического ожидания а является среднее арифметическое выбороч-ных данных. Выборочные данные х1, х2, х3, …, хn также являются случайными величинами, т.к. извлекаются из генеральной совокупности произвольным об-разом. Т.о., выборка есть набор случайных величин Х1, Х2, Х3, …, Хn и среднее арифметическое этих величин тоже является случайной величиной. Обозначим ее за . Тогда θ*=. Перечень случайных величин Х1, Х2, Х3, …, Хn имеет нормальное расп-ределение, т.к. выборка извлечена из генеральной совокупности, имеющей нор-мальное распределение, и среднее арифметическое этих случайных величин Х1, Х2, Х3, …, Хn тоже распределено нормально, т.к. оно определяется через эти величины. Т.о. формулу (4) можно применить для случайной величины : Р(|–а|<δ)=2 (5). Здесь а=М() и σ2=D(). Найдем эти значения для . Среднее арифметическое =. Согласно свойств МО (см. 1.2.1.2 ) М()=[М(Х1)+М(Х2)+ … +М(Хn)]= =∙n∙М(Х1)=а, т.к. М(Х1)=М(Х2)= … =М(Хn)=а [случайные величины Х1, Х2, …, Хn извлекаются из одной и той же генеральной совокупности с М(Х)=а]. Дисперсия D()=D[∙(Х1+Х2+ … +Хn)]. В соответствии со свойствами дисперсии (см. 1.2.1.2) D()=D[∙(Х1+ +Х2+ … +Хn)]=D(Х1+Х2+ … +Хn)=∙n∙D(X1)=∙D(X1)=, т.к. D(Х1)= =D(Х2)= … =D(Хn)=σ2 [случайные величины Х1, Х2, …, Хn извлекаются из од-ной и той же генеральной совокупности с D(Х)=σ2]. Тогда σ()==. Окончательно получаем для М()=а и σ()=. Подставляем найденные значения в формулу (5): Р(|–а|<δ)=2 (6). Доверительная вероятность Р(|θ – θ*|<δ)=γ [или для нашего случая Р(|а – –|=Р(|–а|<δ)=γ] по условию задачи задается заранее (обычно γ=0,95; 0,99; 0,999). Тогда получаем Р(|–а|<δ)=2=γ (7). Из формулы (7) =. Обозначим в формуле (7) =t Þ δ=. Окончательно получаем: Р(|–а|<δ)=Р(–δ<а<+δ)= Р(–<а<+)=2=γ. Здесь (–<а<+) – доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а с заданной наперед надежностью γ при известном среднем квадратическом отклонении σ. В случае одной выборки случайная величина принимает определенное значение . Тогда (–<а<+) – доверительный интервал для одной выборки. Алгоритм вычисления доверительного интервала следующий: – вычисляем и объем выборки n по выборочным данным; – зная γ, определяем =Ф(t)=; – по функции Лапласа Ф(t) определяем значение t (приложение 2 спра-вочного материала); – получаем доверительный интервал (–<а<+). Интервальное оценивание математического ожидания а нормального распределения при неизвестном средним квадратическом отклонении σ Для распределения Стьюдента аналогично формуле (4) для нормального распределения выведена следующая формула: Р(|t(k)| kправ. кр.)=α обл. доп. знач. Н0 крит. обл. 0 k прав. кр.>0 положительное число б) левосторонняя критическая область: условие Р(Кk прав. кр.)= крит. обл. обл. доп. знач. Н0 крит. обл. kлев. кр.<0 0 k прав. кр.>0 отрицательное число положительное число Рис.1. Три случая расположения области принятия решения и критической области В случае в) имеем критическую область, состоящую из двух частей, поэ-тому уровень значимости α уменьшается в два раза, распределяясь между дву-мя частями. Область допустимых значений Н0 и критическая области соприкасаются в определенных точках, которые носят название критические точки или границы. Критические точки или границы (обозначение kправ. кр. и kлев. кр.) – точки, отделяющие критическую область от области допустимых значений H0. По виду альтернативной гипотезы Н1 определяют, каким из трех случаев расположения критической области следует воспользоваться. 5. Наблюдаемое значение критерия Н0. Статистическое доказательство основной гипотезы Н0 осуществляется по выборке, представляющей собой наблюдаемые значения генеральной совокупности. Поэтому согласно выборочным данным вычисляют наблюдаемое значе-ние критерия К набл. Наблюдаемое значение критерия (обозначение Кнабл.) – значение статис-тического критерия К, вычисленное по выборочным данным. 6. Принятие основной гипотезы Н0. После определения наблюдаемого значения К набл. следует сделать вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Кнабл. попадает в область допустимых значений Н0, то гипотеза Н0 принимается; если наблюдаемое значение критерия Кнабл. попадает в критическую область, то ги-потеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Т.о., процесс проверки любой статистической гипотезы сводится к сле-дующим этапам: 1) сформировать основную Н0 и альтернативную Н1 гипотезы; 2) задать ошибку 1-го рода (0,05; 0,01; 0,0005; 0,0001); 3) выбрать статистический критерий К; 4) определить вид критической области (правосторонняя, левосторонняя, двусторонняя симметричная) и значения критических точек; 5) вычислить наблюдаемое значение критерия Кнабл. по выборке; 6) сделать вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Кнабл. попадает в область допустимых значений Н0, то гипо-теза Н0 принимается; если наблюдаемое значение критерия Кнабл. попадает в критическую область, то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии Пусть дана нормально распределенная генеральная совокупность с неиз-вестным математическим ожиданием а и известной дисперсией s2. Выдвинем основную гипотезу Н0 о том, что численное значение неизвест-ного математического ожидания а равно некоторому конкретному значению а0, т.е. Н0: а=а0. В случае формирования альтернативной гипотезы Н1 возможно три варианта: а>а0; а<а0; а≠а0. Рассмотрим каждый из этих трех вариантов: Первый вариант. Согласно изложенным выше этапам проверки гипотезы: 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а=а0 Н1: а>а0; 2) задаем уровень значимости a; 3) в математической статистике доказано, что при данных условиях сле-дует в качестве статистического критерия К выбрать случайную величину К= =, которая является нормально распределенной случайной величиной с параметрами а=0; s=1. 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а>а-0 следует воспользоваться правосторонней критической областью с ус-ловием Р(К>kправ. кр.)=α. Далее требуется найти kправ. кр. Знаем, что плотность нормального распределения имеет вид f(х)= . При а=0 и s=1 плотность нормального распределения равна f(х)= и при графическом изображении носит название нормированной (стандартной) кривой Гаусса. Согласно теореме 11: Р(a≤Хх)= (14). По условию Р(К>kправ. кр.)=α и критерий К есть нормально распределен-ная случайная величина с параметрами а=0 и s=1. Т.о., критерий К можно вместо случайной величины Х подставить в формулу (14). Дополнительно при-мем х=kправ. кр. На основании формулы (14) получим Р(0≤Кkправ. кр., то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Второй вариант. 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а=а0 Н1: а<а0; 2) задаем уровень значимости a; 3) аналогично выбираем К=; 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а<а0 следует воспользоваться левосторонней критической областью с ус-ловием Р(Кkлев. кр., то гипотеза Н0 принимается; если наблюдае-мое значение критерия Кнабл.k прав. кр.)= [см. рис.43 в)]. Для определения k прав. кр. и kлев. кр. достаточно воспользоваться одним ус-ловием Р(К>k прав. кр.)=. Определить из него k прав. кр., а kлев. кр.= –kправ. кр. В пункте 4 первого варианта согласно условия Р(К>kправ. кр.)=α для опре-деления kправ. кр. была выведена формула (16) Ф(kправ. кр.)=. Для первого варианта ошибка 1-го рода равна a, в третьем варианте . Тогда формула (16) для определения k прав. кр. в случае третьего варианта будет иметь аналогичный вид Ф(kправ. кр.)==. Т.о., получаем следующий алгоритм для вычисления k прав. кр. и kлев. кр.: – знаем a; – вычисляем функцию Лапласа Ф(kправ. кр.)=; – определяем kправ. кр. (приложение 2 справочного материала); – тогда kлев. кр.= –kправ. кр. 5) вычисляем по выборке Кнабл.=; 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Кнабл. хотя бы устраивает одному из условий Кнабл.>kправ. кр. или Кнабл.а0; а<а0; а≠а0. Первый вариант. Согласно изложенным выше этапам проверки гипотезы: 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а=а0 Н1: а>а0; 2) задаем уровень значимости a; 3) в математической статистике доказано, что при данных условиях сле-дует в качестве статистического критерия К выбрать случайную величину T= =, которая является t-распределением с k=n–1 степенями свободы. 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а>а-0 следует воспользоваться правосторонней критической областью для t-распределения с условием Р(T>tправ. кр.)=α (17). Определение tправ. кр. в зависимости от уровня значимости a и числу степеней свободы k=n–1 по условию (17) для t-распределения протабулировано (представлено нижней строкой приложения 6 справочного материала). Т.о., получаем следующий алгоритм для вычисления tправ. кр.: – знаем a; – определяем tправ. кр. по a и k=n–1 (нижняя строка приложения 6 справоч-ного материала); 5) вычисляем по выборке Tнабл.=. В этом случае случайные величи-ны и S принимают определенные значения и s. 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Tнабл.tправ. кр., то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Второй вариант. 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а=а0 Н1: а<а0; 2) задаем уровень значимости a; 3) аналогично, выбираем T=; 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а<а0 следует воспользоваться левосторонней критической областью для t- распределения с условием Р(Ttлев. кр., то гипотеза Н0 принимается; если наблюдаемое значение критерия Tнабл.t прав. кр.)= [см. рис.43 в)]. Для определения t прав. кр. и tлев. кр. достаточно воспользоваться одним ус-ловием Р(T>t прав. кр.)=. Определить из него t прав. кр., а tлев. кр.= –tправ. кр. Т.о., получаем следующий алгоритм для вычисления t прав. кр. и tлев. кр.: – знаем a; – определяем tправ. кр. по и k=n–1 (нижняя строка приложения 6 спра-вочного материала) [в случае двусторонней критической области можно опре-делять tправ. кр. по a и k=n–1 (верхняя строка приложения 6 справочного материа-ла)]. – тогда tлев. кр.= –tправ. кр. 5) вычисляем по выборке Tнабл.= ; 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Tнабл. хотя бы устраивает одному из условий Tнабл.>tправ. кр. или Tнабл.а2; а1<а2; а1≠а2. Рассмотрим каждый из этих трех вариантов: Первый вариант. Согласно изложенным выше этапам проверки гипотезы: 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а1=а2 Н1: а1>а2; 2) задаем уровень значимости a; 3) в математической статистике доказано, что при данных условиях сле-дует в качестве статистического критерия К выбрать случайную величину К= , которая является нормально распределенной случайной величиной с параметрами а=0; s=1. 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а1>а-2 следует воспользоваться правосторонней критической областью с ус-ловием Р(К>kправ. кр.)=α. Требуется найти kправ. кр. Т.к. критерий К имеет нормальное распределе-ние с параметрами а=0; s=1, то получаем следующий аналогичный алгоритм для вычисления kправ. кр.: – знаем a; – вычисляем функцию Лапласа Ф(kправ. кр.)=; – определяем kправ. кр. (приложение 2 справочного материала); 5) вычисляем по выборке Кнабл.. В этом случае случай-ные величины , принимают определенные значения , . 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Кнабл.kправ. кр., то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Второй вариант. 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а1=а2 Н1: а1<а2; 2) задаем уровень значимости a; 3) аналогично выбираем К; 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а1<а2 следует воспользоваться левосторонней критической областью с ус-ловием Р(Кkлев. кр., то гипотеза Н0 принимается; если наблюдае-мое значение критерия Кнабл.k прав. кр.)=. Аналогично, получаем следующий алгоритм для вычисления k прав. кр. и kлев. кр.: – знаем a; – вычисляем функцию Лапласа Ф(kправ. кр.)=; – определяем kправ. кр. (приложение 2 справочного материала); – тогда kлев. кр.= –kправ. кр. 5) вычисляем по выборке Кнабл. ; 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Кнабл. хотя бы устраивает одному из условий Кнабл.>kправ. кр. или Кнабл.а2; а1<а2; а1≠а2. Рассмотрим каждый из этих трех вариантов: Первый вариант. Согласно изложенным выше этапам проверки гипотезы: 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а1=а2 Н1: а1>а2; 2) задаем уровень значимости a; 3) в математической статистике доказано, что при данных условиях сле-дует в качестве статистического критерия К выбрать случайную величину T= , где – средневзвешенная дисперсия. Величина Т является t-распределением с k=n1+n2–2 степенями свободы. 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а1>а-2 следует воспользоваться правосторонней критической областью для t-распределения с условием Р(T>tправ. кр.)=α. Требуется найти tправ. кр. Т.к. критерий T имеет t-распределение с k=n1+ +n2–2 степенями свободы, то получаем следующий аналогичный алгоритм для вычисления tправ. кр. : – знаем a; – определяем tправ. кр. по a и k=n1+n2–2 (нижняя строка приложения 6 спра-вочного материала); 5) вычисляем по выборке Tнабл. и . В этом случае случайные величины , , S, S1, S2 принимают опреде-ленные значения , , s, s1, s2. 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Tнабл.tправ. кр., то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Второй вариант. 1) формируем основную и альтернативную гипотезы: Н0: а1=а2 Н1: а1<а2; 2) задаем уровень значимости a; 3) аналогично выбираем T и ; 4) определяем критическую область. По виду альтернативной гипотезы Н1: а<а0 следует воспользоваться левосторонней критической областью для t- распределения с условием Р(Ttлев. кр., то гипотеза Н0 принимается; если наблюдаемое значение критерия Tнабл.t прав. кр.)= [см. рис.43 в)]. Аналогично, получаем следующий алгоритм для вычисления t прав. кр. и tлев. кр. : – знаем a; – определяем tправ. кр. по и k=n1+n2–2 (нижняя строка приложения 6 справочного материала) [в случае двусторонней критической области можно определять tправ. кр. по a и k=n1+n2–2 (верхняя строка приложения 6 справочного материала)]. – тогда tлев. кр.= –tправ. кр. 5) вычисляем по выборке Tнабл. и . 6) делаем вывод о принятии основной гипотезы Н0: если наблюдаемое значение критерия Tнабл. хотя бы устраивает одному из условий Tнабл.>tправ. кр. или Tнабл.