Математические методы в исследовании экономики. Этапы построения математических моделей. Управление запасами

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экономическая теория и мировая экономика» Плетнев Д.А. Математические методы в исследовании экономики Материалы к лекциям Челябинск 2004 Плетнев Д.А. Математические методы в исследовании экономики //Материалы к лекциям – Челябинск: ЮУрГУ, 2022. – 59 стр. Автор-составитель: доцент кафедры «Экономическая теория и мировая экономика», кандидат экономических наук Плетнев Д.А. Набор текста, компьютерный дизайн: Плетнев Д.А. В состав материалов входят: структура курса (выдержка из рабочей программы и расшифровка содержания отдельных тем), лекционно-иллюстративный материал по избранным темам, задание для выполнения контрольной работы, список литературы. Материалы к лекциям предназначены для более полного и всестороннего рассмотрения предлагаемых тем, а также помощи в самостоятельном освоении отдельных разделов дисциплины и выполнении самостоятельной работы. Материалы к лекциям предназначены для студентов экономических специальностей.  Кафедра ЭТиМЭ ЮУрГУ, 2022. Южно-Уральский государственный университет Кафедра “Экономическая теория и мировая экономика” Формат 60*84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. ___ Кафедра ЭТиМЭ. 454080, Челябинск, пр. Ленина 76, ауд. 506, 508, 514, 516 (гл. корпус). Содержание Структура курса «Математические методы в исследовании экономики» 6 1. Теоретические основы использования математических методов 12 1.1 Сущность математических методов и их место в математических моделях экономики 12 1.2 Этапы построения математических моделей 14 2. Линейное программирование 15 2.1 Постановка задачи линейного программирования 15 2.3 Транспортная задача 27 2.4 Модификации транспортной задачи 33 2.5 Общая распределительная задача линейного программирования 34 3. Балансовые математические модели 37 3.1 Базовая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) 37 3.2 Модель равновесных цен 42 3.3 Учет в модели межотраслевого баланса невозобновляемых факторов 43 3.4 Максимизация дохода в модели Леонтьева 45 4. Методы сетевого планирования и управления 47 4.1 Сущность и этапы сетевого планирования и управления 47 4.2 Структурное планирование 47 4.3 Календарное планирование 55 4.4 Оптимизация сетевых моделей 62 5. Управление запасами 72 5.1 Общие положения модели управления запасами 72 5.2 Базовая модель управления запасами (Модель Уилсона) 74 5.3 Модель экономичного размера партии 77 5.4 Модель планирования дефицита 79 5.5 Модель, учитывающая скидки 82 Задание для выполнения контрольной работы 86 Список литературы 97 Структура курса «Математические методы в исследовании экономики» СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ: В табл. 1 указано название тем для изучения и объем занятий по видам учебной работы в часах. Таблица 0.1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий № темы Наименование тем дисциплины Объем в часах по видам Всего Л ПЗ С ЛР СРС 1 Предмет и метод экономико-математического моделирования 4 – – – 4 2 Экономические показатели как случайные величины 4 – – – – 4 3 Общая постановка и решение задачи линейного программирования 6 – – – – 6 4 Развитие методов линейного программирования 18 2 2 – – 12 5 Модель потребительского выбора 10 – – – – 10 6 Нелинейное программирование 4 – – – – 4 7 Модели межотраслевого баланса 4 – – – – 4 8 Динамический межотраслевой баланс и магистральные модели 4 – – – – 4 9 Производственные функции 4 – – 4 10 Моделирование экономического роста 4 – – 4 11 Моделирование управления запасами 16 2 – – – 14 12 Детерминированный факторный анализ 4 – – – – 4 13 Модель сетевого планирования и управления 22 2 2 – – 18 14 Методы оценки эффективности инвестиционного проекта 4 – – – – 4 15 Оценка доходности и риска финансовых активов 4 – – – – 4 16 Портфельный анализ 4 – – – – 4 17 Моделирование систем массового обслуживания. Методы имитационного моделирования в экономике 4 – – – – 4 18 Моделирование календарного планирования в условиях риска (метод PERT) 4 – – – – 4 19 Модели управления элементами оборотных средств в условиях риска 4 – – – – 4 20 Экономико-статистические методы прогнозирования 6 – – – – 6 21 Интеллектуальные методы прогнозирования 6 – – – – 6 Итого 140 6 4 – – 130 Контрольная работа 30 Структура разделов и тем дисциплины. Модуль 0. (Вводный модуль) Тема 1. Предмет и метод экономико-математического моделирования Эволюция и современное состояние экономико-математического моделирования. Виды экономико-математических моделей. Информационное обеспечение и компьютерная поддержка математического моделирования Тема 2. Экономические показатели как случайные величины Направления анализа экономических показателей как случайных величин. Распространенные законы распределения экономических показателей. Основные параметры и общая характеристика нормального распределения. Моделирование случайных величин. Модуль 1. Оптимизационные модели в условиях определенности Тема 3. Общая постановка и решение задачи линейного программирования Общая постановка и структура задачи линейного программирования (ЛП). Каноническая форма задачи ЛП. Метод приведения задачи к канонической форме. Графический метод решения задачи ЛП. Использование компьютерных программ для решения задач ЛП. Тема 4. Развитие методов линейного программирования Целочисленные задачи линейного программирования. Транспортная задача и задача о назначениях. Анализ чувствительности решения задачи линейного программирования. Тема 5. Модель потребительского выбора Предпосылки и инструментарий анализа. Оптимум потребителя. Моделирование функции полезности. Выявленные предпочтения. Использование теории потребительского выбора Тема 6. Нелинейное программирование Постановка задачи. Виды моделей, их использование. Квадратическое программирование. Модуль 2. Математические модели национальной экономики Тема 7. Модели межотраслевого баланса Постановка задачи. структура межотраслевого баланса. Модель Леонтьева. Анализ продуктивности в модели Леонтьева. Добавленная стоимость. Равновесные цены. Обобщенная модель Леонтьева. Тема 8. Динамический межотраслевой баланс и магистральные модели Модель Неймана. Равновесный рост в модели Неймана. Продуктивность модели Неймана. Оптимизационные динамические межотраслевые модели. Магистральная теория. Тема 9. Производственные функции Сущность и использование производственной функции (ПФ). Виды ПФ. Основные переменные, параметры и характеристики ПФ. ПФ с постоянной эластичностью замены. Динамические производственные функции. Моделирование производственных функций. Тема 10. Моделирование экономического роста Неоклассическая модель роста Солоу. Кейнсианская и посткейнсианская модель экономического роста. Модуль 3. Математические модели операционного процесса на предприятии Тема 11. Моделирование управления запасами Общая постановка задачи. Модель Уилсона. Модель планирования производственного процесса. Модель планирования дефицита. Модель, учитывающая скидки. Направления развития моделей управления запасами. Тема 12. Детерминированный факторный анализ Виды детерминированных факторных моделей. Типовые задачи детерминированного факторного анализа. Основные методы детерминированного факторного анализа Модуль 4. Математические модели инвестиционного процесса на предприятии Тема 13. Модель сетевого планирования и управления Сетевое планирование. Календарное планирование. Оптимизация сетевой модели. Компьютерная поддержка. Тема 14. Методы оценки эффективности инвестиционного проекта Основные подходы к оценке эффективности инвестиционных проектов. Внутренняя норма доходности. Чистая приведенная стоимость. Альтернативные подходы. Интегрированный подход. Анализ чувствительности инвестиционных решений. Модуль 5. Математические модели на финансовых рынках Тема 15. Оценка доходности и риска финансовых активов Методы оценки ожидаемой доходности. Оценка риска: дисперсия и альтернативные прогнозы. Использование деревьев решений в анализе доходности финансовых операций. Субъективная оценка риска и ее моделирование. Тема 16. Портфельный анализ Постановка задачи. Модель Марковица. Модель портфеля с безрисковым активом. Анализ чувствительности. Модуль 6. Вероятностные модели деятельности предприятия Тема 17. Моделирование систем массового обслуживания. Методы имитационного моделирования в экономике Общая характеристика систем массового обслуживания. Основные характеристики и методы расчета систем массового обслуживания. Моделирование систем массового обслуживания. Тема 18. Моделирование календарного планирования в условиях риска (метод PERT) Модификация постановки задачи. Расчет параметров календарного графика. Интерпретация результатов. Анализ чувствительности. Тема 19. Модели управления элементами оборотных средств в условиях риска Модель управления запасами в условиях риска. Модель управления дебиторской задолженностью в условиях риска. Модель управления остатком денежных средств в условиях риска. Модуль 7. Методы прогнозирования в экономике Тема 20. Экономико-статистические методы прогнозирования Оценка точности прогноза. Доверительные интервалы. Интерполяция и экстраполяция. Проблема спецификации. Использование компьютерных программ. Тема 21. Интеллектуальные методы прогнозирования Сущность и классификация интеллектуальных систем. Нейронные сети. Генетические алгоритмы. Использование компьютерных программ. 1. Теоретические основы использования математических методов 1.1 Сущность математических методов и их место в математических моделях экономики Математические методы – это … Среди математических методов можно выделить три основные группы: 1) синтаксические (структурные); 2) семантические (связанные со смысловой интерпретацией получаемых зависимостей) 3) прагматические (направленные на решение прикладных задач) Рис. 1.1 Классификация математических методов Также к классификации математических методов можно подойти с позиции тех дисциплин, которые используют математические методы для анализа экономических явлений и процессов. Рис. 1.2 Виды математических методов Математические методы являются основным инструментом в математических моделях. Различают следующие виды математических моделей: I. По характеру решаемых проблем: 1. Функциональные. 2. Структурные (в том числе игровые). II. По учету фактора времени: 1. Статические 2. Динамические III. По определенности результата 1. Детерминированные 2. Стохастические IV. По интерпретации результата 1. Дескриптивные 2. Нормативные 1.2 Этапы построения математических моделей Рис. 1.3 Этапы построения математической модели 2. Линейное программирование 2.1 Постановка задачи линейного программирования Под задачей линейного программирования (ЗЛП) понимают оптимизационную задачу, в которой целевая функция и ограничения являются линейной комбинацией переменных факторов. Общий вид модели: – целевая функция ограничения: В матричной форме: Методы решения 1. Графический. 2. Симплекс-метод 3. Численные компьютерные методы Допустимое решение – это совокупность чисел (план), удовлетворяющих ограничениям задачи Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение. 1. Графический метод решения ЗЛП Возможные ситуации графического решения задач ЛП Таблица 2.1 Примечания L(X)max L(X)min L(X)max L(X)min Количество ограничений больше одного Все ограничения - неравенства Все ограничения - неравенства Все ограничения - неравенства Ограничения в виде равенств и неравенств Вид оптимального решения Единственное решение Единственное решение Бесконечное множество решений ЦФ не ограничена снизу ЦФ не ограничена сверху Единственное решение Бесконечное множество решений Единственное решение ЦФ не ограничена сверху ЦФ не ограничена снизу Единственное решение Бесконечное множество решений Решений нет Решений нет Решений нет Вид области допустимых решений Многоугольная замкнутая Многоугольная незамкнутая Луч Отрезок Единственная точка № 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5 6 7 8 1. Пример графического решения задачи Найдем оптимальное решение задачи, математическая модель которой имеет вид Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2.2). (1) – (2) – (3) – Прямая (4) проходит через точку параллельно оси . Рис.2.2. Графическое решение задачи 2. Решение с использованием Симплекс-метода Основная идея метода – оптимальное решение находится в одной из вершин многогранника, описанного системой ограничений. Наша задача – найти, в какой именно вершине. Для решения используют преобразование ЗЛП к канонической форме: 1. Целевая функция минимизируется 2. Все ограничения имеют вид равенств 3. Свободные члены (B) в ограничениях неотрицательны 4. Все переменные неотрицательны Преобразование ЗЛП к канонической форме реализуется через следующий алгоритм: 1. Если целевая функция исходной задачи максимизируется, то она умножается на (–1) и минимизируется. 2. Если ограничение имеет вид неравенства, то вводится фиктивная неотрицательная переменная xn+l , которая добавляется к ограничению (если оно имеет вид «меньше или равно» или же вычитается (если ограничение имеет вид «меньше или равно») 3. Если bi отрицательна, то i-е ограничение умножается на -1 4. Если на переменную не наложено условие неотрицательности, то она представляется как разность двух неотрицательных переменных. ЗЛП в канонической форме: – целевая функция ограничения: В матричной форме: Затем составляется симплексная таблица: Таблица 2.2 Исходная таблица для решения задачи Симплекс-методом Свободные переменные Свободные члены x1 x2 … xn Базисные (фиктивные переменные) xn+1 a11 a12 … a1n b1 xn+2 a21 a22 … a2n b2 … … … … … … xn+l an1 an2 … ann bn Коэффициенты при целевой функции c1 c2 … cn Z Затем путем последовательных преобразований получают таблицу, в которой в последнем столбце получают положительные числа. Значения свободных переменных (факторов) будут находиться в столбце свободных членов. Подробнее о реализации этого метода можно прочитать в дополнительной литературе (см. список литературы). 3. Численное решение с использованием компьютерных программ: 2.3 Транспортная задача Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в несколько пунктов назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции. Исходные параметры модели ТЗ 1) n – количество пунктов отправления, m – количество пунктов назначения. 2)  – запас продукции в пункте отправления () [ед. прод.]. 3)  – спрос на продукцию в пункте назначения () [ед. прод.]. 4)  – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправления в пункт назначения [ден.ед./ед. прод.]. Искомые параметры модели ТЗ 1)  – количество продукции, перевозимой из пункта отправления в пункт назначения [ед. прод.]. 2)  – транспортные расходы на перевозку всей продукции [ден.ед.]. Этапы построения модели I. Определение переменных. II. Проверка сбалансированности задачи. III. Построение сбалансированной транспортной матрицы. IV. Задание ЦФ. V. Задание ограничений. Вид транспортной модели ; Транспортная задача называется сбалансированной, если: , если равенство не выполняется, то необходимо: 1) если вводится фиктивный пункт назначения со спросом, равным: и с затратами на доставку в него, равными либо 0, либо штрафу за недоотправление. 2) если вводится фиктивный пункт отправления с запасом, равном: и с затратами на доставку из него, либо равными 0, либо штрафу за недоотправку. Сбалансированная транспортная матрица будет иметь вид: Таблица 2.3 Общий вид транспортной матрицы Пункты отправления, Пункты потребления, Запасы, … , … … … … … … … … … Потребность … Этапы решения модели: I. Определение опорного плана II. Нахождение оптимального решения I. Опорный план является допустимым решением транспортной задачи и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существует три метода нахождения опорных планов: • метод северо-западного угла; • метод минимального элемента; • метод Фогеля. «Качество» опорных планов, полученных этими методами, различается: в общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение (зачастую оптимальное), а метод северо-западного угла – наихудшее. Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения. Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода. Метод северо-западного угла На каждом шаге метода северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя (северо-западная) клетка. Другими словами, на каждом шаге выбирается первая из оставшихся не вычеркнутых строк и первый из оставшихся не вычеркнутых столбцов. Для того, чтобы заполнить клетку (i,j), необходимо сравнить текущий запас товара в рассматриваемой i-й строке с текущей потребностью в рассматриваемом j-м столбце . Если существующий запас позволяет перевезти всю потребность, то • в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение потребности ; • j-й столбец вычеркивается, поскольку его потребность уже исчерпана; • от существующего запаса в i-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток, т.е. . Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то • в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение запаса ; • i-я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан; • от существующей потребности в j-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее записывается остаток, т.е.. Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы. Метод минимального элемента На каждом шаге метода минимального элемента из всех не вычеркнутых клеток транспортной матрицы выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки . Заполнение выбранной клетки производится по правилам, описанным выше. Метод Фогеля На каждом шаге метода Фогеля для каждой i-й строки вычисляются штрафы как разность между двумя наименьшими тарифами строки. Таким же образом вычисляются штрафы для каждого j-го столбца. После чего выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом . Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом . Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка (i,j) с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по i-й строке и j-му столбцу. Формально и реальные и фиктивные столбцы и строки в транспортной матрице абсолютно равноправны. Поэтому при нахождении опорных планов фиктивные строки, столбцы и тарифы необходимо анализировать и использовать точно так же как и реальные. Но при вычислении значения целевой функции фиктивные перевозки не учитываются, поскольку они реально не были выполнены и оплачены. Если величина фиктивных тарифов превышает максимальный из реальных тарифов задачи [], то методы минимального элемента и Фогеля позволяют получить более дешевые планы перевозок, чем в случае с нулевыми фиктивными тарифами. II. Для отыскания оптимального решения транспортной задачи используется метод потенциалов. 2.4 Модификации транспортной задачи Недопустимые перевозки Иногда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов . Запрещающие тарифы должны сделать невыгодными перевозки в соответствующих направлениях. Для этого величина запрещающих тарифов должна быть больше реальных тарифов в транспортной матрице . Многопродуктовые модели Если в задаче идет речь о том, что из каждого пункта отправления можно перевозить продукцию нескольких видов, то при построении модели можно использовать один из следующих вариантов: • каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица; • все виды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающих тарифов в клетках, связывающих разные виды продукции. Задача о назначениях Задача о назначениях – частный случай ТЗ. В задаче о назначениях количество пунктов отправления равно количеству пунктов назначения. Объемы потребности и предложения в каждом из пунктов назначения и отправления равны 1. Примером типичной задачи о назначениях является распределение работников по различным видам работ, минимизирующее суммарное время выполнения работ. Переменные задачи о назначениях определяются следующим образом 2.5 Общая распределительная задача линейного программирования Общая распределительная задача (ОРЗ) линейного программирования – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов. Исходные параметры модели ОРЗ 1) n – количество исполнителей; 2) m – количество видов выполняемых работ; 3)  – запас рабочего ресурса исполнителя () [ед.ресурса]; 4)  – план по выполнению работы () [ед. работ]; 5)  – стоимость выполнения работы исполнителем [руб./ед. работ]; 6)  – интенсивность выполнения работы исполнителем [ед. работ/ед.ресурса]. Искомые параметры модели ОРЗ 1)  – планируемая загрузка исполнителя при выполнении работ [ед. ресурса]; 2)  – количество работ , которые должен будет произвести исполнитель [ед. работ]; 3)  – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ [руб.]. Этапы построения модели I. Определение переменных. II. Построение распределительной матрицы (табл.2.4). III. Задание ЦФ. IV. Задание ограничений. Таблица 2.4 Общий вид распределительной матрицы Исполнители, Работы, Запас ресурса, ед.ресурса … … … … … … … … … … План, ед.работы … Модель линейного программирования: где  – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем. Этапы решения ОРЗ I. Преобразование ОРЗ в ТЗ: 1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов : ; 2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей : [ед. ресурса]; 3) пересчет планового задания : ; 4) пересчет себестоимостей работ: . II. Проверка баланса пересчитанных параметров и построение транспортной матрицы. III. Поиск оптимального решения ТЗ. IV. Преобразование оптимального решения ТЗ в оптимальное решение РЗ , причем переход выполняется по формуле: [ед. ресурса], где и  – соответственно элементы решения РЗ и ТЗ. V. Определение количества работ , соответствующее оптимальному решению РЗ : . VI. Определение ЦФ распределительной задачи согласно исходной модели 3. Балансовые математические модели 3.1 Базовая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) Модель позволяет проследить взаимосвязи между объемом конечного спроса и структурой выпуска в экономике. С точки зрения общей модели равновесия классическая модель Леонтьева имеет следующие особенности: • рассматривается экономика, состоящая из «чистых» отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта; • рассматривается замкнутая экономика, то есть нет внешней торговли; • взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология); • вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей; • вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм; • равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается. Обозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом. Предположим, что на данном плановом периоде времени известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n (). Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j, необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина (3.1) - суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе. Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса (табл. 3.1). Таблица 3.1 Общий вид схемы межотраслевого баланса Отрасли как поставщики Отрасли как потребители ресурсов Потребление Валовой выпуск 1 2 … n Производ­ственное Конечное 1 … a01 c1 x1 2 … a02 c2 x2 … … … … … … … … n … a0n cn xn Балансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству: (3.2) Левую часть равенства (3.2) можно трактовать как итоговый (производственный плюс конечный) спрос на продукцию отрасли j (на j-ый товар), а правую - как предложение j-го товара. Поэтому, во-первых, уравнения (3.2) отражают общее равновесие (т.е. равновесие по всем видам товаров) в экономике. Во-вторых, они показывают самодостаточность производства – для выпуска любого товара достаточно иметь воспроизведенную продукцию рассматриваемых отраслей. В-третьих, из уравнений (3.2) следует, что весь валовой выпуск полностью распределяется между потребителями. Таким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений (3.1). Для учета невоспроизводимых факторов (в частности, полезных ископаемых), импортируемых ресурсов, а также резервов на начало планируемого периода в модель дополняются фиктивные отрасли n+1 ,...,n+k , для которых при . В модели (3.2) можно учитывать и экспорт товаров и инвестирование, фиксируя их объемы в столбике конечного потребления по видам товаров, т.е. рассматривая вместо величины . Межотраслевой баланс может формироваться как в натуральном, так и в денежном выражении. В первом случае межотраслевой баланс содержит только два раздела: формирование производственных ресурсов и использование результатов производства на производственное и конечное потребление. Схема межотраслевого баланса в денежном выражении имеет более сложную структуру, включающую четыре раздела: промежуточного продукта, конечного продукта, амортизации, вновь созданной стоимости и ее перераспределения. Подставляя технологические коэффициенты в (3.2), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение (3.3) С помощью технологической матрицы (3.4) эту систему уравнений можно написать в векторной форме: (3.5) Уравнение (3.4), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы относительно переменных . Условия существования и единственности решения такой системы хорошо известны из курса алгебры. Однако здесь речь идет о решении этой системы, имеющем подходящий экономический смысл. А именно, все элементы модели Леонтьева по их определению являются неотрицательными величинами, в том числе переменные . Поэтому мы должны говорить о существовании неотрицательных решений системы (3.4). Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (3.4) имеет неотрицательное решение , . Перепишем систему (3.4) в виде . Тогда или (3.7) где E - единичная матрица размером. Существование неотрицательного решения системы (3.4) определяется существованием невырожденной матрицы , обратной к матрице . При выполнении этого и некоторых других условий, то вектор выпуска x определяется по формуле (3.7). Матрица предоставляет информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением . Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида. Матрицу можно представить в виде степенного ряда матриц: где , , и т.д. Вычисление (аппроксимация) обратной матрицы связано со сходимостью бесконечного степенного ряда (3.8) Для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом Слагаемые Ac, , ... интерпретируются как промежуточные затраты, а именно, Ac - затраты, необходимые для производства (выпуска) c , - затраты, необходимые для производства (выпуска) Ac и т.д. Содержательный смысл этой последовательности таков: для того чтобы получить чистый выпуск c , нужно затратить вектор продуктов Ac; затем, чтобы произвести в системе этот набор продуктов Ac , придется дополнительно затратить и т.д. Сумма вектора чистого выпуска c (вектора конечного потребления) и всех векторов промежуточных затрат (производственного потребления) и составляет вектор валового выпуска. Из предыдущего равенства следует, что решение уравнения (2) можно получить итерационно по формуле с начальным условием . 3.2 Модель равновесных цен Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели (модели равновесных цен) (3.9) где - транспонированная матрица A . можно интерпретировать как вектор цен продуктов отраслей, - как вектор добавленной стоимости (т.е. прибавка к стоимости товара после ее производства) на единицу выпуска, - как вектор суммы издержек на единицу выпуска. Тогда разность есть вектор чистого дохода от единицы выпуска. Этот чистый доход и приравнивается добавленной стоимости . Если уравнение (3.9) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями. 3.3 Учет в модели межотраслевого баланса невозобновляемых факторов Одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модифицируем модель, учтя в ней первичные факторы. Такая модификация превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу. Предположим, что в модели (3.2) каждый товар производится с использованием продукций всех отраслей и еще m видов первичных ресурсов. Обозначим через количество k-го первичного фактора, затрачиваемого в производство xj количества j-го товара, а через - количество k -го первичного фактора, необходимое для производства одной единицы товара вида j . Из определения этих величин следует, что, как и в случае вторичных ресурсов, имеет место выражение . Таким образом, для каждого товара j мы имеем n+m видов представления его выпускаемого объема: (3.10) Поэтому производство во всех n отраслях может быть описано n линейными производственными функциями (3.11) (для всех ресурсов вида i и k , участвующих в выпуске товара вида j , предполагаются условия ). Следовательно, для любых i и k Справедливы уравнения: Суммируя обе части этих уравнений по j, получают выражения, определяющие суммарные по всем отраслям объемы затрат вторичных и первичных факторов производства: (3.12) (3.13) Так как уравнения (3.12) относятся к товарам каждой отрасли, используемым как на производственное, так и на конечное потребление, должно быть или в матричной форме . Введем в рассмотрение матрицу трактуемую как технологическая матрица для первичных ресурсов, и предположим, что известен вектор запасов всех первичных ресурсов, т.е. Тогда из (3.13) следует условие . Обозначим через и векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно. 3.4 Максимизация дохода в модели Леонтьева При помощи балансовой модели Леонтьева можно решить одну очень важную с точки зрения экономического роста задачу: установить, при каком векторе выпуска реализация конечного продукта приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса первичных ресурсов Для этого составляется следующая задача линейного программирования: Так как по смыслу задачи максимизация дохода осуществляется через вектор выпуска, эту задачу целесообразно переписать, выразив в целевой функции вектор спроса c из уравнения (3.2): (3.14) при ограничениях: (3.15) Для задачи (14)-(15) существует двойственная задача с новой переменной : (3.16) при ограничениях: (3.17) Введем изменение масштаба цен и запишем двойственные задачи в более компактном виде: (3.18) (3.19) Решение задачи (3.18) дает вектор спроса на товары , а решение задачи (3.19) - вектор предложения первичных факторов . 4. Методы сетевого планирования и управления 4.1 Сущность и этапы сетевого планирования и управления Сетевое планирование и управление – совокупность математических методов, направленных на анализ последовательности выполнения проекта, его временных и ресурсных характеристик. Цель сетевого планирования и управления – построение и реализация структурной модели проекта, которая бы позволила выполнить его максимально эффективно. Этапы сетевого планирования и управления (рис. 4.1) Рис. 4.1 Этапы сетевого планирования и управления Рассмотрим эти этапы последовательно 4.2 Структурное планирование Рассмотрим некоторые понятия, связанные со структурным планированием. Рис. 4.2 Виды работ Событие – это момент времени, когда заканчиваются одни работы и начинаются другие. Обозначение работ и событий представлено на рис. 1.3: Рис. 4.3 Обозначение работ и событий Правила построения структурных графиков 1. В проекте может быть только одно событие, не являющееся конечным ни для одной работы. Это событие называется исходным событием проекта 2. В проекте может быть только одно событие, не являющееся начальным ни для одной работы. Это событие называется заключительным событием проекта (рис. 4.4) Рис. 4.4 Исходное и заключительное события проекта 3. Номер конечного события работы всегда больше номера ее начального события (рис. 4.5). При этом нумерация событий осуществляется последовательно от 1 до n, где n – число событий. Рис. 4.5 Неправильная нумерация событий 4. Действительная работа обозначается сплошной стрелкой, а фиктивная – пунктирной (рис. 4.6) Рис. 4.6 Изображение на сетевом графике действительной и фиктивной работы 5. Два события могут быть соединены только одной работой 6. Направление стрелок-работ – слева направо (рис. 4.7). Рис. 4.7 Неправильное направление работ 7. Следует избегать пересечения стрелок-работ. Путь – любая последовательность работ, в которой начальное событие каждой следующей является конечным событием каждой предыдущей. Полный путь – путь от исходного до заключительного события. Пример построения Постройте сетевую модель, включающую работы A, B, C, ..., L, которая отображает следующее упорядочение работ: 1) A, B и C – исходные операции проекта; 2) A и B предшествуют D; 3) B предшествует E, F и H; 4) F и C предшествует G; 5) E и H предшествуют I и J; 6) C, D, F и J предшествуют K; 7) K предшествует L. Рис. 4.8 Устранение параллельности работ A и B Рис. 4.9 Окончательный сетевой график примера Практические задания 1. Найдите нарушения правил построения сетевых графиков в сетевой модели на рисунке: 2. Используя данные о непосредственно предшествующих работах (из табл.), перечислите работы, которые неверно отображены на сетевом графике, устраните найденные ошибки. Название Непосредственно предшествующие работы Длительность, ед.времени A – 9 B D 6 C B, F, G 5 D – 8 E B, F, G 8 F A, N 4 G – 5 H C, L 7 I B, G 1 J I,M 12 K H,I,M 6 L I,M 4 M D 2 N – 6 4.3 Календарное планирование Рассмотрим поэтапно календарное планирование. 1 этап. Расчет временных параметров событий: 1) ранний срок наступления события i – – это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i. 2) поздний срок наступления события i – - это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. 3) резерв времени наступления события i – - это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения сроков выполнения проекта в целом. Рис. 4.10 Обозначение временных параметров событий Алгоритм расчета временных параметров событий Внимание! Расчет ранних сроков наступления событий ведется от исходного к завершающему событию, а поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному событию. 1) Для исходного события . 2) Для всех остальных событий , где максимум берется по всем работам , входящим в событие i. Рис. 4.12 Расчет раннего срока наступления события 3) Для завершающего события , где Тпр – время выполнения всего проекта. 4) , где минимум берется по всем работам , выходящим из события i. Рис. 4.13 Расчет позднего срока наступления события 5) . 2 этап. К наиболее важным временным параметрам работы относятся:  ранний срок начала работы – момент времени, в который, самое раннее, может начаться работа (i,j);  поздний срок начала работы – наиболее поздний момент времени, в который должна начаться работа (i,j) без изменения срока выполнения всего проекта;  ранний срок окончания работы – момент времени, в который, самое раннее, может закончиться работа (i,j);;  поздний срок окончания работы – наиболее поздний момент времени, в который должна закончиться работа (i,j) без изменения срока выполнения всего проекта;;  полный резерв – показывает максимальное время, на которое может быть увеличена продолжительность работы или отсрочено ее начало без увеличения времени выполнения всего проекта  свободный резерв – показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность отдельной работы или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок. Таблица 4.2 Алгоритм расчета временных параметров работ Параметр Формула расчета через временные параметры событий Формула расчета через временные параметры работ – – Критический путь - максимальный по продолжительности полный путь. Подкритический путь - полный путь, ближайший по длительности к критическому пути. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Коэффициент напряженности: где – продолжительность максимального из некритических путей, проходящих через работу. Таблица 4.3 Классификация работ по напряженности: №п/п Вид работы Значения коэффициента напряженности 1. критические 1 2. напряженные 0,8 … 1 3. подкритические 0,6 … 0,8 4. резервные менее 0,6 3 этап. Построение графика загрузки и графика привязки График загрузки показывает потребность в ресурсах в каждый момент времени выполнения проекта. График привязки показывает последовательность выполнения работ проекта на ост времени и существующие резервы Таблица 4.4 Исходные данные к построению сетевого графика (i,j) t(i,j) С(i,j) 1,2 5 3 1,3 2 2 1,4 4 2 2,3 4 5 2,5 2 4 3,5 1 3,6 8 2 4,7 3 2 5,8 7 4 6,9 6 3 7,8 9 3 7,9 8 5 8,9 10 2 Рис. 4.14 График загрузки (вверху) и график привязки (внизу) 4.4 Оптимизация сетевых моделей Существует два основных типа оптимизации сетевых моделей: • оптимизация использования ресурсов (минимизация максимальной потребности в ресурсе и равномерное распределение потребности в ресурсе по проекту) • оптимизация времени выполнения проекта (минимизация времени выполнения проекта исходя из заданной максимально допустимой потребности в ресурсе). I. Оптимизация использования ресурсов достигается при помощи двух основных инструментов: 1. Использование резервов некритических работ путем их начала не в ранние сроки. 2. Использование соотношения «затраты-время» для уменьшения потребности в ресурсе у некритических работ. Рис. 4.15 Соотношение «затраты-время» при ресурсной оптимизации В простых моделях предполагается, что ресурсоемкость операции постоянна: где: Сн и tн – потребность в ресурсе и время выполнения работы в нормальном режиме; Cс и tс – потребность в ресурсе и время выполнения работы при сокращении потребности в ресурсе на работу II. Оптимизация времени выполнения проекта. Основной инструмент оптимизации – соотношение «затраты-время»: Рис. 4.15 Соотношение «затраты-время» при временной оптимизации В этом случае также, как правило, предполагается, что ресурсоемкость операции постоянна: где: Сн и tн – потребность в ресурсе и время выполнения работы в нормальном режиме; Cу и tу – потребность в ресурсе и время выполнения работы в ускоренном режиме Результаты оптимизации: 1. Оптимизация ресурсов с использованием резервов работ (работы (1,3) и (7,9)): Рис. 4.16 Оптимизация ресурсов с использованием резервов некритических работ 2. Оптимизация ресурсов с использованием соотношения «затраты-время» (работа (2,5)): Рис. 4.17 Оптимизация ресурсов с использованием соотношения «затраты-время» 2. Оптимизация времени выполнения проекта с использованием соотношения «затраты-время» (работы (1,2), (1,4), (7,8)): Рис. 4.18 Оптимизация ресурсов с использованием соотношения «затраты-время» 5. Управление запасами 5.1 Общие положения модели управления запасами Запасы – любые элементы оборотных средств, необходимые в производстве продукции, хранение которых связано с затратами. Цель управления запасами – минимизация затрат на управление запасами. Затраты на управление запасами = затраты на формирование заказа + затраты на хранение запаса L=L1+L2 Основная управляемая переменная – размер заказываемой партии. Рис. 5.1 Элементы затрат на управление запасами Управление запасами осуществляется для каждого элемента запасов. Агрегирование при помощи стоимостных показателей недопустимо. 5.2 Базовая модель управления запасами (Модель Уилсона) Рис. 5.2 «Черный ящик» модели Уилсона Допущения модели Уилсона: 1. Величина спроса (интенсивности потребления запаса) постоянна (ν=const) 2. Затраты на формирование заказа постоянны и не зависят от размера заказа (K=const) 3. Затраты на хранение единицы запаса постоянны (s=const) 4. Дефицит недопустим (Q≥0) 5. Пополнение заказа осуществляется мгновенно Вывод уравнений модели: Расчетные формулы модели Уилсона: 1. 2. 3. 4. Рис. 5.3 Цикл изменения запасов в модели Уилсона 5.3 Модель экономичного размера партии Часто в экономических системах пополнение запаса осуществляется не мгновенно, а с конечной интенсивностью (λ). Пример – производственный процесс, состоящий из двух станков: Рис. 5.4 Производственный процесс, состоящий из двух станков В этом случае модель управления запасами претерпит изменения: , где – средний размер запаса на складе , где Qmax – максимальный размер запаса на складе. Таким образом, расчетные формулы имеют вид: 1. 2. 3. Рис. 5.5 Изменение уровня запасов в модели планирования экономичного размера партии 5.4 Модель планирования дефицита В экономических системах, связанных со сбытом продукции, дефицит, как правило, допустим. Возможны два варианта: 1) отказ от выполнения заявки на отсутствующий товар – приводит к потерям возможной прибыли от реализации товара; 2) отсрочка выполнения заказа и его выполнения, когда запас пополнится – связано с предоставлением более льготных, по сравнению с немедленной продажей, условий (более низкая цена и т.п.) В этом случае задача управления запасами – установить размер партии заказа, минимизирующий затраты на управление запасами с учетом штрафа за отсутствие запаса (g). Расчетные формулы: 1. 2. 3. Если заказ пополняется немедленно: 1. 2. 3. Рис. 5.6 Цикл изменения запасов в модели планирования дефицита 5.5 Модель, учитывающая скидки , где C=(p-p1) – размер скидки Алгоритм: 1. Определить Qw – оптимальный размер заказа по модели Уилсона 2. Если (область I), где Qp1 – точка разрыва цен L C I область II область III область Q Рис. 5.7. то ; иначе найти значение , при котором общие затраты, рассчитанные для цен C и совпадают, для этого решить уравнение . 3. Если (область II), L C I область II область III область Q то . 4. Если (область III), L C I область II область III область         Q то . так повторить для каждой скидки таким образом, Список литературы 1. Альсевич В.В. Математическая экономика. Конструктивная теория: Учеб. пособие. – Минск: Изд-во Дизайн ПРО, 1998. – 238 с. (1470255-ООЛ) 2. Амелькин Д.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 1978. -92 с. 3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1984. - 293 с. 4. Ашманов С.А. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1980. – 199 с. (1104962-ООЛ) 5. Багриновский К.А., Бусыгин В.П. Математика плановых решений. - М.: Наука, 1980. 6. Большие системы: моделирование организационных механизмов/ В.Н. Бурков и др. - М.: Наука, 1989. 7. Букан Дж., Кенинсберг Э. Научное управление запасами. М.: Наука, 1967. 8. Вагнер Г. Основы исследования операций, 1-3 т. - М.:, 1972-73. 9. Вайну Я. Я.-Ф. Корреляция рядов динамики. - М.: "Статистика", 1977 г. - 119 с. 10. Варфоломеев В.И., Назаров С.В., Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. – М.: Финансы и статистика - 2004, 263 стр. 11. Вентцель Е.С. Исследование операций. М, Советское радио, 1972. 12. Воркуев Б.Л., Анализ решений экономико-математических моделей. М., изд. МГУ, 1987. 13. Воркуев Б.Л., Грачева М.В., Лукаш Е.Н. Математические методы анализа экономики. Модель межотраслевого баланса. М., изд. МГУ, 1990. 14. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Кремера Н.Ш. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 471 с. 15. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов -6-е изд. - М.: Высшая школа, 2002. -405с. 16. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. - М.: Наука, 1977. - 17. Горчаков А.А., Орлов И.В. Компьютерные экономико-математические модели. -М.: ЮНИТИ, 1995. - 134 с. (1451168-КХ) 18. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. Учебное пособие для экон. вузов и фак. - М.: Экономика, 1978. - 351 с. 19. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М., Экономика, 1988. 20. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. М., Радио и связь, 1993. 21. Дробушевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике. - М.: Наука, 1980. - 144 с. 22. Ермольев Ю.М. и др. Математические методы исследования операций. Учебное пособие для вузов. - Киев, "Вища школа", 1979. - 312 с. 23. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Изд-во ДИС, 1998. - 365 с. 24. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике: Учеб. пособие. – М: Наука, 1979. - 303 с. 25. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Изд-во Прогресс, 1975. – 605 с. (938168-ООЛ) 26. Исследование операций в экономике Учебное пособие для вузов./ Под ред. Н.Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ, 2000. -407 с. 27. Калихман И. Л., Войтенко Динамическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1979. - 125 с., ил. 28. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. - М.: Высшая школа, 1975. - 270 с. 29. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании: Учеб. пособие для эконом. вузов. - М.: Экономика, 1987. 30. Катулев А.Н., Северцев Н.А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М., Наука, 2000. 31. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов -М.: ЮНИТИ, 1998. -240с 32. Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2000г. 33. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. - М.: Вита-Пресс, 1996. 34. Коссов В.В. Межотраслевые модели (теория и практика использования). М., Экономика, 1973. 35. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 г. - 543 с. 36. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике. Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ, 2004, 407 стр 37. Крушевский А.В. Справочник по экономико-математическим моделям и методам. - К.: Техника, 1982. - 208 с. 38. Крыньский Х.Э. Математика для экономистов. - М.: Статистика, 1970. 39. Кузьмин П.И. Симплекс-метод для решения задач линейного программирования. Методические указания для студентов-математиков. - Барнаул: Изд-во АГУ, 1987. - 16 с. 40. Куликов Ю.Г., Шеховцова Н.Ф., Зикеева Л.П. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для практических занятий. – М.: МПСИ, 2000. – 89 с. (1483654-КХ) 41. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975. - 432 с. 42. Кухарев В.Н., Салли В.И., Эрперт А.М. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении: Учебник. - Киев: Выща школа, 1991. - 300 с. (1413380-КХ) 43. Лагоша Б.А., Шаркович В.Г., Дегтярева Т.Д. Методы и модели совершенствования организационных структур. Наука, 1988. Москва 44. Леонтьев В.В. Экономическое эссе: теории, исследования, факты и политика. - М., Политиздат, 1990. - 414 С. 45. Лившиц А.Л. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. М.: 1978 г. 46. Линейное программирование (коллектив авторов). - М., 1961. 47. Линник Ю.Б. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. - М.: Гос. издат. Физ.-мат.лит., 1958. - 334 с. 48. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений: Учебное пособие для вузов. - М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. - 400 с. 49. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие -М.: ИНФРА-М, 1999. -356с. 50. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. Учебно-практическое пособие для ВУЗов / УРАО. - М.: Изд-во УРАО, 1998. - 160 с. 51. Математическая экономика на ПК /под ред. Кубонива М. М., ФиС, 1991. 52. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд./Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. -М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, "Дело и Сервис", 1999. -368 с. 53. Математический энциклопедический словарь (гл. редактор Прохоров Ю.В.). - М.: Советская энциклопедия, 1988. 54. Математическое моделирование. Под ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак-Лоуна. Пер с англ. Ю.П. Гупало. - М.: Мир, 1979 - 279 с. 55. Моделирование народнохозяйственных процессов /под ред. Дадаяна В.С. М., 1972. 56. Моделирование народнохозяйственных процессов /под ред. Котова И.В. Л., изд. ЛГУ, 1990. 57. Моделирование народно-хозяйственных процессов. Учебное пособие для экон. вузов и фак. под ред. Дадаяна В.С. - М.: Экономика, 1973. - 479 с. 58. Моисеев Н.Н. и др. Методы оптимизации, Наука, 1978. - 352 с. 59. Назаров А.А. Управление системами массового обслуживания и их оптимизация. - Томск, 1984 г. 60. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. Пер. с англ. - М.: Мир, 1975 - 500 с. 61. Овсиенко Ю.В., Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. // Экономика и математические методы. - 1998. - ©3. 62. Овчаренко Е. К., Ильина О.П., Балыбердин Е. В. Финансово-экономические расчёты в EXCEL. - М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1997 - 152 с. 63. Орлов И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL: Практикум- М.: Финстатинформ, 2000. - 135 с. (1483105-КХ) 64. Плоткин Б.К. Экономико-математические методы и модели в управлении материальными ресурсами: Учеб. пособие. – СПб.: Изд-во СПб. ун-та экономики и финансов, 1992. – 63 с. 65. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М., Наука, 1983. 66. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1979. - 128 с. 67. Сетевое планирование и управление. Под ред. Д.И.Голенко. М., Экономика, 1967. 68. Сетевые графики в планировании. Под ред. Разумова. М., Высшая школа, 1975. 69. Солодовников А. С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 218 с. 70. Спирин А.А., Фомин П.П. Экономико-математические методы и модели в торговле.: Учебное пособие. - М., "Экономика", 1988. - 145 с. 71. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. М., Наука, 1974. 72. Суспицын С.А. Общие модели экономики и экономическая реформа (опыт аксиоматических построений). Препринт. Новосибирск: ИЭиОПП СО РАН, 1991. 73. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986. 74. Тарасевич В.М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании: Учебник. -Л.: Изд-во ЛФЭИ, 1991. - 178 с. 75. Таха X. Введение в исследование операций. М.: Мир, 1985. 76. Терехов Л.Л. Экономико-математические методы: Учеб. пособие для эконом. вузов. - М.: Статистика, 1972. 77. Терехов Л.Л., Куценко В.А., Сиднев С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. - Киев.: Выща школа, 1979. 78. Уткин Э.А. Цены и ценообразование. Ценовая политика. М., Изд-во ЭКМОС, 1997г. - 224с. 79. Федосеев В.В. и др., Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие для ВУЗов.– М.: НИТИ - 2002, 391 стр. 80. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: Учебное пособие / ВЗФЭН / - М.: АО "Финстартинформ", 1996. - 110 с. 81. Филиппов Л.А. Оценка бизнеса и смежные вопросы. Учебное пособие. Барнаул: Изд-во Алт. Университета, 2001. - 470 с. 82. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. Учебное пособие. - М.: Издательство БЕК, 1998. - 141 с. 83. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967. 84. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 1977. 85. Шелобаев с.И. Математические методы и модели: Учеб. пособие. -М.: ЮНИТИ, 2000. - 366 с. (1474968-ООЛ) 86. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие. - М.Ж Дело, 200. - 440 с. 87. Шухов Н.С., Фрейдлин М.П. Математическая экономия в России (1865-1995 гг.). М.: Наука, 1996. - 351 с. 88. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решений/ Пер. с англ. Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Аудит, Юнити, 1997. - 590 с. 89. Экономико-математические методы и модели: Метод. указ. / Сост. с.В. Местников. – Якутск: Изд-во ЯГУ, 2001. - 37 с. 90. Экономико-математические методы и модели: Метод. указ. к выполнению контрольной работы / Сост. с.В. Местников, И.В. Николаева. – Якутск: Изд-во ЯГУ, 2001. - 39 с. 91. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Под общ. ред. А.Л. Кузнецова. – Минск: БГЭУ, 2000. - 411 с. 92. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В.Федосеева -М.: ЮНИТИ, 1999. -391с.