Математические и компьютерное моделирование в целом

Компьютерное моделирование к.т.н., доцент Катермина Т.С. Литература • Вольтерра, Вито. Математическая теория борьбы за существование. 2004 • Советов, Борис Яковлевич. Моделирование систем. 1999 • Введение в математическое моделирование. В. Н. Ашихман [и др.]. 2005. • Ризниченко, Галина Юрьевна. Математические модели в биофизике и экологии. 2003. • Зарубин, Владимир Степанович. Математическое моделирование в технике. 2003. Компьютерное моделирование 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Общая теория математических моделей Общая теория дифференциальных моделей Качественная теория динамических систем Биологические модели Химические модели Дифференциальные модели Теория предельных циклов Самоорганизация и образование структур Теория фракталов Теория хаоса Теория стохастических моделей Теория перколяции Модели дендритов Стохастические модели Теория клеточных автоматов Модель Изинга Генетические алгоритмы Глава 1. Математические и компьютерное моделирование в целом • Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. • Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. • Математическое моделирование —метод познания окружающего мира, прогнозирования, управления. Типы мат. моделей • Прямая задача. Все параметры исследуемой системы известны. Изучается поведение модели в различных условиях. PV=(m/M)RT => P,V, =>T • Обратная задача. Требуется определить значения параметров модели по известному поведению системы как целого. Ид. газ => PV=(m/M)RT • Управляющие системы. Модель имеет дело с автоматизированными информационными системами управления (все модели в информатике). Этапы построения мат. модели • Формирование законов, связывающих основные объекты модели • Исследование математической задачи • Проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики • Анализ модели и ее модификация Этапы изучения математической модели I. Создание качественной модели. Выясняется характер законов и связей, действующих в системе. Эти модели м/б физическими, биологическими, химическими. Задача моделирования – выявить главные черты поведения объекта. На практике не всегда имеет очевидное решение. м V E=mV2/2 Модель Ньютона E=mс2 Уравнение релятивистского эффекта (Эйнштейна) Этапы изучения математической модели II. Создание математической модели. Качественная -> математическая. Математическое выражение: система уравнений, СДУ, набор правил. Дифференциальная модель – ДУ, СДУ. Детерминированная модель – уравнения. Стохастическая м. – вероятностные законы. Этапы изучения математической модели II. Создание математической модели. Подзадачи: a) Выделение существенных факторов b) Выяснение нач., граничных и доп. условий y U  2U  2U t  x  y Излучение волн телом D в область L (L - граница) D L x Этапы изучения математической модели II. Создание математической модели. U(x,y,t) – локальное возмущение в точке (x,y) в соотв. время t.  Начальные условия: U(x,y,0)=0,  x,y  Граничные условия: U(x,y,t)=0, x,y  L  Дополнительные условия: U(x,y,t)=0, x,y  Этапы изучения математической модели III. Изучение математической задачи. Изучается поведение модели в крайних и предельных ситуациях -> можно предугадать некоторые особенности поведения системы. Иногда мат. Задача допускает точное аналитическое решение. Пусть g=0, тогда будем иметь точное аналитическое решение. Этапы изучения математической модели IV. Разработка алгоритма решения задачи. Если аналитическое решение невозможно – задача решается численными методами. V. Создание и реализации программы. VI. Вывод и накопление результатов. Обоснование модели, сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа, модификация модели. VII.Использование полученных результатов Глава 2. Качественная теория динамических систем Рассмотрим колебания тела неправильной формы относительно точки подвеса, несовпадающей с центром масс. Предположение модели: 1. Сила трения в т.О пренебрежимо мала; 2. Сопротивление движения отсутствует; 3. Тело при движении не деформируется. Обозначения: I – момент инерции относительно т.О L – длина отрезка ОС m – масса тела - угол отклонения  О С Уравнение движения тела: IE=M M –сумма моментов всех сил, действующих на тело Е – угловое ускорение О d 2 С E  2   dt M  mgl sin  I  mgl sin   0 | разделим на I   02 sin   0 (1) - уравнение ангармонического осциллятора где  2  mgl I x  f x   0 (2) (1) и (2) неразрешимы в элементарных функциях Движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия   0 , sin    => (1) =>   02  0 (3) (уравнение малых колебаний) С Пусть   Z  d  dt  Z  dZ   02  dt 02 dZ  d Z ZdZ   d 2 2 ZdZ    0  d  О (4) (5) Z2  2 2  C2 (6) Движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия  Пусть Z>0   0 =>  Интегральные кривые, на которых указано направление движения, называются фазовыми траекториями. Z 0 (0,0) C1 C2 Z Координатная плоскость - фазовая плоскость. Замкнутые фазовые траектории соответствуют финитному или ограниченному движению. Точка с нулевыми координатами является особой точкой покоя мат. маятника. Обезразмеривание уравнения Предположим, что время движения описывается в единицах периода 2t Пусть   , где Т – период колебаний T d d d d   0 dt d dt d d 2  sin   0 2 d без 0 из (1) уравнение является безразмерным и не содержит параметров Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия  0        0 sin   sin     02 sin   0    02  0 (1) Z    d  dt  Z  dZ   02  dt (2) из (1)    Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия 0 dZ 02  d Z 2 ZdZ   0  d  Z2 02   C 2 (0,0)  0 2 Данная фазовая плоскость имеет одну фазовую точку (0,0), которая является пересечением прямых: (0,0) – седловая точка Z    1 Z 2  0 Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия седло центр седло центр седло центр Точное решение задачи о маятнике Wk  WP  const I 2 , Wk  2  - угловая скорость d     dt WP  mgl1  cos   WP max  mgl1  cos  max  I 2 mgl 1  cos  max    mgl 1  cos   2 2mgl cos   cos  max     I  max Точное решение задачи о маятнике I 2 mgl 1  cos  max    mgl 1  cos   2 2mgl cos   cos  max     I Если   , то   0 (1) (2)  max Точное решение задачи о маятнике При дальнейшем преобразовании можно получить эллиптический интеграл. Функции, обратные к эллиптическим интегралам, называют эллиптическими функциями (функциями Якоби). Через них можно получить зависимости угла отклонения от времени. При решении данной задачи необходимо использовать аппарат специальных функций. Движение математического маятника с затуханием Модель более реалистична – учитывается сопротивление среды. FC  kv k – коэффициент среды v – скорость движения v   2      2  0 sin   0 (1)  - коэффициент затухания Движение математического маятника с затуханием Модель более реалистична – учитывается сопротивление среды. FC  kv k – коэффициент среды v – скорость движения v   2      2  0 sin   0 (1)  - коэффициент затухания Движение математического маятника с затуханием Решая данное уравнение, приходим к уравнению логарифмической спирали, которая является фазовой траекторией маятника с затуханием. Особая точка (0,0) – фокус (устойчивый). Если сила трения отсутствует, то фокус преобразуется в центр Движение математического маятника с затуханием В отличие от центра фокус является грубой особой точкой, т.е. ее характер не меняется при изменении параметров системы. Особая точка центр соответствует единственному значению параметра t=0. Изолированная особая точка является аттрактором, если все фазовые траектории стремятся к ней при t   Движение математического маятника с затуханием В положении неустойчивого равновесия особая точка – седло. Характер особой точки не зависит от изменений параметров, т.е. особая точка – грубая. Сводка результатов по классификации динамических систем Систему уравнений, моделирующую некое явление, можно представить в виде системы первого рода: P(x,y)=ax+by  dx Q(x,y)=cx+dy  dt  P x, y   dy (1)   dt  Q  x, y  Подставим x  Aet y  Be t M= |a b| |c d| Сводка результатов по классификации динамических систем Особые точки динамических систем определяются решением уравнения: , 2   trM  det M  i где tr – след матрицы коэффициентов системы (1), След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы det - определитель матрицы коэффициентов системы (1), i– мнимая единица. Сводка результатов по классификации динамических систем 1. 1 , 2   1  2  trM  0  det M  2 2 В этом случае фазовыми траекториями будут параболы. Если корни характеристического уравнения положительны, то решения будут возрастать и фазовые траектории будут стремиться к ∞. В случае отрицательных корней решения будут ограниченно уменьшаться, а траектории → 0. Сводка результатов по классификации динамических систем а. корни положительны, а trM<0 устойчивый узел Сводка результатов по классификации динамических систем б. корни отрицательны, а trM>0 неустойчивый узел Сводка результатов по классификации динамических систем 2. 1 , 2   1  2  0 В этом случае особой точкой будет являться вырожденный или дикретический узел.  0  0 Сводка результатов по классификации динамических систем 1 , 2   3. 1  2 12  0 Фазовыми траекториями будут являться гиперболы. Особая точка – седло. 1  0 2  0 Сводка результатов по классификации динамических систем 4. 1 , 2  C 1, 2  R  iI R0  trM  det M  2 Убрать дельту х! 2 устойчивый фокус R0 неустойчивый фокус R0 Сводка результатов по классификации динамических систем 5. 1, 2  iI trM  0 det M  0 чисто мнимые корни. Особая точка - центр, фазовые траектории эллиптические кривые. Сводка результатов по классификации динамических систем 6. 1  0 или 2  0 В данном случае особые точки полностью заполняют одну из координатных осей. 1  0 2  0 Алгоритм исследования динамической системы 1. Определить особые точки динамической системы из уравнения P(x,y)=Q(x,y)=0 2. Вблизи особых точек с координатами (x0,y0) привести систему уравнений к виду:  dx  dt  ax  by  dy   cx  dy  dt 3. Определить тип особых точек динамической системы. Алгоритм исследования динамической системы Такая система является линеаризованной, т.к. содержит только линейные слагаемые. При линеаризации тип особой точки сохраняется, кроме следующих случаев: А. Особой точкой линеаризованной системы является центр. Особой точкой исходной системы может быть либо центр, либо фокус. или при процедуре линеаризации теряется решение, соответствующее фокусу Алгоритм исследования динамической системы Б. Если хотя бы один из корней линеаризованной системы = 0, то для анализа исходной системы требуется дополнительное исследование. Хорошая статья для исследования особых точек и траекторий Глава 3. Моделирование биологических систем Модель Мальтуса Пусть x(t) – численность популяции некоторых организмов в момент времени t => dx (1)  x , dt где α – скорость роста популяции, α>0. Ограничения модели: 1. x(t) – величина непрерывная, т.е. принимает любые значения и по смыслу модели – целочисленная. 2. Рост популяции ограничен различными факторами. Глава 3. Моделирование биологических систем Модель Мальтуса Решение: xt   x0et , x0- популяция для x0=х(0) Недостатки модели: не учитывается ограниченность ресурсов Глава 3. Моделирование биологических систем Логистическая модель Модель Мальтуса ->Логистическая модель Если популяция расположена на ограниченной территории, то возможна естественная конкуренция. Убыль популяции, связанная с этим фактором пропорционально равна х2 => уравнение динамики популяции имеет вид dx  x  x  , dt α – рост, β - убыль ,   0 Глава 3. Моделирование биологических систем Логистическая модель Эти графики описывают поведение логистической кривой в зависимости от соотношений параметров модели Недостаток модели: отсутствие в системе других видов. Глава 3. Моделирование биологических систем Модель Вольтерры 1931 г. (Модель хищник-жертва) Описывает взаимодействие двух конкурирующих популяций. Если в системе нет хищников, то жертвы размножаются беспредельно (модель Мальтуса). Если бы в системе не было жертв, то численность популяции хищников со временем = 0. Глава 3. Моделирование биологических систем Модель Вольтерры dy  y dt y  y0 e t в случае отсутствия жертв Параметры модели: γ>0 – коэффициент убыли хищников, у(t) – численность хищников в любой момент времени, у0(t) – численность хищников в начальный момент времени t 0, у0=у (t 0) . Глава 3. Моделирование биологических систем Уравнения модели Вольтерры  dx  dt  x  y   dy    y   x   dt Модель Вольтерры является неустойчивой: при скачкообразном изменении одной популяции, другая популяция также меняет свой характер, и система переходит из одной фазовой траектории на другую. Особая точка не является грубой, т.е. при внесении в систему бесконечно малых возмущений, она может изменить свой характер. Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания k0 k1 k2 A  X Y  B Предположения для химических реакций: 1. Вещество А дано в избытке и молекулы вещества А превращаются в молекулы Х со скоростью V=k0. 2. Молекулы вещества Х превращаются в молекулы У со скоростью тем большей, чем больше концентрации веществ Х и У. 3. Вещество У необратимо распадается на вещество В. 4. Скорость химической реакции при постоянной t0 пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент в реакции. Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания Пусть вещества Х, У, В имеют концентрации x(t), y(t), b(t). Можно построить математическую модель:  dx  dt  k0  k1 xy  dy   k xy  k y 2  dt 1   db  k y  dt 2 (1) Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания Найдем особые точки системы:  k0  k1 xy  0 Последнее уравнение системы k xy  k y  0 2 1 не рассматривается, т.к. k 2 y  0 изменение концентрации вещества В находить нужды нет => yk1x  k2   0 y0 k2 x k1 или Из (1): если у=0, то х не существует => k0 k0 y x k1 k2 Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания Введем переменные: ~x  x  k 2 ~x , ~y , такие что k1 ~y  y  k0 Получим: x  d~  dt    k1k0 ~ ~  k2 y  x k2 d~ y k1k0 ~  x dt k2 k2 Матрица коэффициентов  k1k0  k2  M  k1k0  k  2   k2    0   Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания   k1k0         k 2   k2 0  det M  E   det    k1k0     k2   1 0  Е   0 1 k1k0 k1k0    0 k2 k2 2 2 1, 2  k1k0     4k1k0 k1k0  k2    k2 2 2  k1k0     4k1k0  0  k2  Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания 2 Пусть  k1k0     4k1k0  0  k2  Тогда   C 1, 2 Глава 4. Моделирование химических процессов Затухающие химические колебания 2 Пусть  k1k0     4k1k0  0  k2  Тогда 1, 2   1, 2  0 Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Лотка (1925) Рассмотрим цепочку химических реакций: k1 A  X  2X k2 X  Y  2Y k3 X B Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Предположение модели: Вещество А дано в избытке и все реакции необратимы. Система:  dx  dt  k1ax  k 2 xy  dy   k 2 xy  k3 y  dt Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Найдем особые точки:  xk1a  k 2 y   0   y k 2 x  k3   0 1. (x,y)=(0,0) k3 x k2 2. k1a y k2 Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Найдем особые точки: 1. (0,0)=>(1)=>  dx  dt  k1ax  dy    k3 y  dt  k1a M    0  k1a   det M  E   det    k1a      k3   0 0    k3        k3  Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Найдем особые точки: 1. (0,0)=>(1)=> 1  k1a, 2   k3 центр седло Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Найдем особые точки: 2. x  k3 k2 k1a y k2 Пусть k3 ~ x  x k2 ~ y  y => k1a k2 k3 ~ xx k2 k1a ~ y y k2 =>(1) => Глава 4. Моделирование химических процессов Незатухающие химические колебания Найдем особые точки: x  d~ ~   k y 2  dt  d~ y   k1a~ x  dt  0 M    k1a   det M  E   det    k1a  2  k1k 2 a  0 1, 2   k1k2 ai  k2   0  центр  k2      => особая точка – центр, фазовые траектории – эллиптические кривые Глава 5. Теория предельных циклов. Автоколебания. Если система описывается уравнениями:  dx  dt  P x, y  ,  dy   Q  x, y   dt то движение можно назвать периодическим c периодом Т, если x(t+T)=x, y(t+T)=y => замкнутая фазовая траектория. И наоборот, замкнутая фазовая траектория => периодическое движение. Глава 5. Теория предельных циклов. Автоколебания. Предельные циклы Изолированная траектория, в окрестности которой нет других замкнутых траекторий – предельный цикл. Особенность этой траектории - все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории. Предельные циклы. Простые примеры. Система с устойчивым предельным циклом. 1   2 2 2   x1   x2  x1 1  x1  x2      1   x2  x1  x2 1  x12  x22 2        (1)  Особая точка – x1=0 x2=0 1 (1) =>  x1   x2  x1 M   x2  x1  x2  1 1 1    Предельные циклы. Простые примеры. Найдем характеристическое уравнение системы:   1    1   2  1  0 det M  E   det   1 1   1    2 1  1, 2  1  i 1, 2  1  i Корни системы комплексно-сопряженные, R>0, особая точка – неустойчивый фокус Предельные циклы. Простые примеры. Умножим первое уравнение (1) на x1, а второе на x2: 1  2 2 2  x1 x1  x2 x2  x1  x 2 1  x1  x2    2 2 1 d x1  x 2  x1 x1  x2 x2 2 dt x12  x 22  R 2   2     dR  2 R 2 1  R  dt x1 x2  x2 x1  R 2 x2 tg   x1 2  cos 2  R  cos 2   x1 x2  x2 x1 x12 x12 x12  x 22 x1 x2  x2 x1 R2   1   x1 , x2   Предельные циклы. Простые примеры. Все точки окружности с R=1 являются особыми, т.к. соответствуют нулевому значению производной. Окружность единичного радиуса делит плоскость на две области (внешнюю и внутреннюю). dR  R1  R  dt dR 0  R 1 0 dt dR R 1 0 dt Во внешней области производная R отрицательна, т.е. все фазовые траектории приближаются к окружности извне. Во внутренней области производная от R положительна, т.е. все фазовые траектории раскручиваются от центра, приближаясь к окружности. Предельные циклы. Простые примеры. Система с неустойчивым предельным циклом r  r r  1r  2   1   r ,  - полярная система координат Особые точки – окружности r=0, r=1, r=2. 0  r  1  r  0  1  r  2  r  0  r  2  r  0  окружность с r=1 – устойчивый предельный цикл окружность с r=2 – неустойчивый предельный цикл Предельные циклы. Простые примеры. Полуустойчивый предельный цикл r  r r  12     1 r ,  - полярная система координат Особые точки – окружности r=0, r=1. 0  r  1  r  0  r  1  r  0  окружность с r=1 – полуустойчивый предельный цикл Классификация предельных циклов В физических, химических, биологических системах могут возникать автоколебания – незатухающие колебания. На фазовой плоскости автоколебанию соответствует предельный цикл. Предельный цикл – замкнутая траектория, на которую наматываются все фазовые траектории из некоторой ее окрестности. Фазовая траектория, которая соответствует предельному циклу – аттрактор – изолированная особая траектория. 1. Устойчивый предельный цикл – все фазовые траектории из некоторой окрестности стремятся к нему при t→+∞. 2. Неустойчивый предельный цикл – все фазовые траектории из некоторой окрестности стремятся к нему при t→-∞. 3. Полуустойчивый предельный цикл – фазовые траектории с одной стороны стремятся к нему, а с другой стороны от него. Автоколебания в физических, химических, биологических системах Автоколебания – незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счет энергии внешнего источника, параметры которых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения начальных условий. Термин автоколебания введён А. А. Андроновым в 1928. Характерная особенность – отсутствие внешнего периодического воздействия. Схематично систему автоколебаний можно представить в виде: источник энергии + осциллятор затухания + нелинейный элемент На схеме: S — источник постоянного (непериодического) воздействия; R — нелинейный регулятор, преобразующий постоянное воздействие в переменное (например, в прерывистое во времени), которое и «раскачивает» осциллятор V — колеблющийся элемент (элементы) системы, а колебания осциллятора через обратную связь B управляют работой регулятора R, задавая фазу и частоту его действия. Диссипация (рассеивание энергии) в автоколебательной системе возмещается за счёт поступления в неё энергии из источника постоянного воздействия, благодаря чему автоколебания не затухают. Пример: храповой механизм маятниковых часов На ось храпового колеса A (нелинейный регулятор) действует постоянный момент силы M, передающийся через зубчатую передачу от заводной пружины или от гири. При вращении колеса A его зубцы сообщают кратковременные импульсы силы маятнику P (осциллятору), благодаря которым его колебания не затухают. Кинематика механизма играет роль обратной связи в системе, синхронизируя вращение колеса с колебаниями маятника таким образом, что за полный период колебания колесо поворачивается на угол, соответствующий одному зубцу. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Распределенные системы Точечные модели – модели в которых искомые величины зависят только от времени. Ранее рассматривались распределенные модели – модели, в которых переменные меняются не только во времени, но и в пространстве. Системы, в которых могут возникать устойчивые пространственные неоднородные связи в результате развития неустойчивостей в однородной диссипативной среде – диссипативные. 1952 г. – А. Тьюринг – основы теории. И. Пригожин – терминология, развитие теории. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем:  x 2 x   Px, y   Dx 2 t r ,  2  y    Q  x, y   D y x  t r 2 Иногда данные уравнения называют диффузионными (распространения). где x(t), y(t) – функции, описывающие процессы в распределенных системах; P(x,y), Q(x,y) – функции среды; Dx, Dy – скорости распределения возмущений по координатам x и y соответственно; r  x 2  y 2 - радиальная координата. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем Модель Пригожина описывает процессы самопроизвольного возникновения волн и структур в распределенных системах, т.е. процессы самоорганизации. Автоволны – периодические, самоподдерживающиеся волны или активности. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Примеры автоволн 1. Ряд костяшек домино, которые последовательно падают, если уронить крайнюю (принцип домино). 2. Распространение фронта огня при горении травы в поле. При достижении порогового значения температуры трава начинает гореть, выделяется теплота, воспламеняются соседние участки -> образуется фронт огня, который бежит по полю. Через какое-то время вырастает новая трава, территория снова может воспламеняться. 3. Колебательные химические реакции в активных средах (брюсселятор, реакция Белоусова-Жаботинского -gif). 4. Распространение импульса возбуждения по нервному волокну. 5. Волны химической сигнализации в колониях некоторых микроорганизмов. 6. Автоволны в сегнетоэлектрических и полупроводниковых пленках. 7. Популяционные автоволны. 8. Распространение эпидемий и генов и др. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем В зависимости от вида функций P(x,y), Q(x,y) и коэффициентов Di в системах могут возникать следующие типы поведения переменных или вида самоорганизации: I. Распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса: y t x t Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем II. Стоячие волны: y x t t III.Синхронные автоколебания разных элементов во всем пространстве: y x t t Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем IV. Квазистохастические волны, которые получаются при случайном возмущении разности фаз колебаний в 2-хточках пространства: y x x<>0 t t V. Стационарное неоднородное распределение переменных в пространстве - диссипативные структуры: y x t t Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем VI. Генерация волн автономным источником импульсной активности. В качестве такого источника могут быть локальные возмущения переменных: y x t t Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем Общим условием развития процессов самоорганизации является появление неустойчивости в исходной распределенной системе. Такие неустойчивости возникают, если отклонения от состояния равновесия превышает критическое значение. В частности, появление неустойчивости седлового типа вызывает появление диссипативных структур, а появление неустойчивого узла может вызвать возникновение бегущих волн конечной амплитуды или стоячих волн. Глава 6. Самоорганизация и образование структур Базовая модель теории распределенных систем Диссипативная структура, возникающая в результате неустойчивости в распределенной системе, поддерживается за счет постоянного притока энергии и вещества и может наблюдаться только в открытых системах. Для возникновения диссипативных структур, необходимо, чтобы уравнения, описывающие процессы в системе, были нелинейными, а кроме того, процессы в системе должны протекать согласованно. Синергетика – междисциплинарная область или наука, занимающаяся изучением процессов образования структур. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Динамический хаос – хаотическое поведение динамических систем, которое описывается полностью детерминированными дифференциальными уравнениями. Для возникновения хаоса необходимо выполнение 2-х условий: 1. Система должна быть нелинейна. 2. Система дифференциальных уравнений, описывающая дифференциальную модель, должна проявлять зависимость от начальных условий. 3. Не менее 3-х переменных (придерживаются не все исследователи). Эффект Лоренца: ничтожно малое воздействие приводит к принципиальному изменению динамики хаотической системы. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Аттрактор странный – область приближения фазовых траекторий, имеющая фрактальную структуру; некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри. Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Странные аттракторы появляются в фазовом пространстве диссипативных систем и представляют собой сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения. Динамический хаос Воспроизведение фрактальной структуры аттрактора ЭНО Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Раздел 1. Дискретная модель . Уравнение Ферхюльста (Логистическая модель) Предположим, что в биологической модели динамики популяции, в которой поколения популяции не взаимодействуют между собой: Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Раздел 1. Дискретная модель . Уравнение Ферхюльста (Логистическая модель) В этой модели время является дискретной величиной и динамика описывается уравнением: xn1  rxn 1  xn  r  0,1 - коэффициент роста популяции В зависимости от величины r поведение системы имеет следующие классы решений: lim xn  0 1. Вымирание популяции n  lim xn  xстаб 2. Стабилизация численности n  3. Численность популяции совершает xn  xn m колебания с периодом Т. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Раздел 1. Дискретная модель . Уравнение Ферхюльста (Логистическая модель) 4. Численность популяции может меняться хаотически, т.е. быть различной в каждый момент времени. • Для небольших r (r < 3) численность популяции стремится к устойчивому равновесию; • Когда график становится более крутым, устойчивое равновесие переходит в устойчивые циклы. По мере увеличения численности длина цикла растет, и значения численности повторяются через 2, 4, 8,..., 2n поколений; • При величине параметра r > 2,570 происходит хаотизация решений. При достаточно больших r динамика численности демонстрирует хаотические всплески (вспышки численности). Вид функции зависимости численности на последующем шаге от численности на предыдущем шаге при разных значениях параметра r для дискретной модели логистического роста: 1 – ограниченный рост; 2 – колебания; 3 – хаос. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Раздел 1. Модель Фейгенбаума Общая черта: поведение системы меняется от простого к хаотическому. Имеется определённый диапазон значений внешнего параметра, в котором поведение системы упорядочено и периодично (Т- период). Вне этого диапазона процесс перестаёт воспроизводиться через T секунд; этого времени почти достаточно, но требуются два интервала T, чтобы процесс воспроизвёлся. Эта новая периодичность сохраняется, пока не будет достигнуто новое критическое значение, после чего поведение почти воспроизводится через 2T , и требуется 4T секунд. Процесс последовательного удвоения периода продолжается (интервал значений параметра, при котором период равен 2nT, с ростом n уменьшается), пока период не станет бесконечным, а поведение системы перестанет быть периодическим. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Раздел 1. Модель Фейгенбаума 1975 г. xn1  f xn  - универсальность Фейгенбаума Если обозначить через rn значение параметра r, при котором происходит n-ое удвоение периода, то r  rn    n rn 1  rn   rn  2  rn 1 δ – величина Фейгенбаума n   lim  n  4.6692016 n r  0.892486117967 r 1 Радиус хаоса модели Фейгенбаума Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) — один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при бесконечном удвоении периода. Последовательность Фейгенбаума имеет самоподобную, фрактальную структуру — увеличение какой-либо области выявляет подобие выделенного участка всей структуре. Глава 7. Хаотическое поведение динамических систем Применение в шифровании (Куомо, Оппенгейм, Пекора) Глава 8. Клеточные автоматы Явления макромира - математические модели (бесконечные и непрерывные). Микромир->? 1970 г. А.Н. Колмогоров Программные и аппаратные комплексы ->Математические системы - принцип мелкозернистого параллелизма. Основная особенность: возможность одновременного (параллельного) изменения состояния всей системы, в то время как каждый участок системы взаимодействует только со своими непосредственными соседями. Это свойство позволяет при моделировании связать события, происходящие на микроуровне, с изменениями макроуровневого моделируемого объекта. Глава 8. Клеточные автоматы Если состояние системы в произвольный момент времени характеризуется лишь ее предыдущим состоянием и набором правил, регламентирующих ее переход, то она называется автоматом. Клеточные автоматы широко применяются для моделирования систем, в которых важную роль играет пространственное взаимодействие между элементами. Простейшие клеточные автоматы используются в криптографии, системах телекоммуникации, моделировании физических процессов, поведения людей, в биологии. В физике, например, клеточные автоматы применяются для анализа явлений переноса (теплопроводности, диффузии и вязкости) и моделирования твердого тела. Классической системой с мелкозернистым параллелизмом является клеточный автомат. Игра Джона Конвея "Жизнь" - дискретная динамическая система. Пространство - равномерная сетка, каждая клетка которой содержит информацию о своем состоянии. клеточные автоматы Игра Жизнь Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов 1975 Бенуа Мандельброт «Какова длина побережья Великобритании?» Изучение графика шумовых помех -основы теории -терминология Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов Реалистичные изображения ландшафтов, растительности, воды, огня, облаков и дыма Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов Уменьшение размеров антенн в сотовых телефонах Натан Коэн - снежинка Коха -> выше КПД, более широкий частотный диапазон Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов 1883 г. – Кантор Георг – первый фрактал «пыль Кантора»/ «множество Кантора» 1 Фрактал – структура, состоящая из частей, которые подобны целому. Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов 1886 г. – функция Вейерштрасса  f x   a n cos b nx  f x    f n x   0  a 1 ab  1 n 1 Функция непрерывна, но недифференцируема в каждой своей точке Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов 1904 г. – Хельге Фон Кох кривая Коха, снежинка Коха, остров Коха Модель определяет фигуру с бесконечным периодом, но конечной площадью Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов 1915 г. – Вацлав Серпинский Салфетка Серпинского Ковер Серпинского Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов Множество Фату- Жюлиа Z n 1  Z n2  C Если мы зафиксируем С и будем менять Z(0), то получим множество Жюлиа. C  const 0  C 1 0 C   C1 : Z n   C2 : Z n  0 C1  C2 Глава 9. Фракталы 1. Математическая теория фракталов Множество Мандельброта Z n 1  Z n2  C 1) Z n  0 2) Z n 1  Z n 3) Z n  L 2 L Если мы зафиксируем Z(0)=0 и будем менять C, то получим множество Мандельброта. 1 3 Глава 9. Фракталы 2. Примеры Фракталов Снежинка Коха Дракон Хаттера-Хайтвея Глава 9. Фракталы 2. Примеры Фракталов Кривая Госпера Кривая Серпинского Глава 9. Фракталы 2. Примеры Фракталов Кривая Гильберта Глава 9. Фракталы 2. Примеры Фракталов Дерево Пифагора обдуваемое классическое обнаженное Множество Мандельброта – фрактал с бесконечным самоподобием Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Размерность самоподобия Рассмотрим отрезок единичной длины, введем разбиение отрезка на N равных отрезков l=1/N 1=l*N (длина исходного отрезка) Рассмотрим единичный квадрат. Введем разбиение на N равных квадратов со стороной l  1 N , единичная площадь 1  l 2 N Рассмотрим единичный куб. Введем разбиение на N 1 равных кубов l  1 N 3 , 1  l 3 N В общем случае 1  l d N , d – размерность самоподобия Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Во всех рассмотренных случаях размерность самоподобия d является целым числом, и совпадает с Евклидовой размерностью. Размерность самоподобия может быть вычислена ln N d  ln l Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Множество Кантора 1/3 1/3 l  1/ 3 N 2 ln 2 ln 2 d    0.6308 ln 3 ln 1 3 Фигура имеет промежуточную размерность между точкой (0) и прямой (1) Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Салфетка Серпинского 1 Салфетка = 3 салфетки со стороной 1/2 l  1/ 2 N 3 ln 3 ln 3 d    1.5850 ln 2 ln 1 2 Фигура имеет промежуточную размерность между отрезком (1) и фигурой (2) Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Кривая Коха l  1/ 3 N 4 ln 4 ln 4 d    1.2618 ln 3 ln 1 3 Фигура имеет промежуточную размерность между отрезком (1) и фигурой (2) Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Кривая Пеано Дж. (1890 г.) d=2 1 1 Бесконечное заполнение Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей Размерность Хаусдорфа-Безиковича Для измерения длины L0 кривой найдем число N(σ) прямолинейных отрезков длины σ, необходимых, чтобы покрыть её. L0 L= N(σ) σ-> L0 σ0, при σ->0. Двумерное пространство, разбиение квадратами σ S= N(σ) σ2 -> L0 σ1, при σ->0. Разбиение кубами (объем): V= N(σ) σ3 -> L0 σ2, при σ->0. В пределе длина кривой конечна, а S =0 и V=0. Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей В пределе длина кривой конечна, а площадь и объем =0. В то же время для фрактальной кривой (например, кривой Коха или Пеано) длина будет бесконечной. Вычисляя длину, площадь или объем, т.е. меру Md, мы покрываем множество d-мерными объектами. M d    d  d γ(d) – геометрический коэффициент, который зависит от меры покрывающего объекта. d – размерность меры Глава 9. Фракталы 2. Теория размерностей  0, если _ d  D  M d    d    d M       0  , если _ d  D   Величина D, при которой этот предел отличен от 0 и бесконечности, является размерностью ХаусдорфаБезиковича. Для фрактальных структур размерность ХаусдорфаБезиковича не целочисленна. Фрактал – объект, у которого размерность ХаусдорфаБезиковича строго больше его геометрической размерности. • Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1. • Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность =ln 3/ln 2= 1,585 d d