Математическая теория нечетких множеств

Введение Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое. Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из составляющих которых является нечеткая логика. Математическая теория нечетких множеств была предложена в 1965 г. Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли. Эта теория позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы, т.е. был определен формальный аппарат для обработки высказываний естественного языка. Теория нечетких множеств позволяет фразам «риск проекта довольно велика» или «доход проекта намного превысит 150000 руб. », которые могут возникнуть в результате экспертной оценки, придать конкретный математический смысл. Основанные на теории нечетких множеств методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. №1 Понятие нечеткого множества Опр. 1. Пусть Х –некоторое множество элементов х , и А : Х 0;1. Нечетким подмножеством А в Х называется график отображения А, т.е. совокупность упорядоченных пар вида ( х, А(х)), где хХ; значение. Нечеткое число – это нечеткое множество А на множестве вещественных чисел R c функцией принадлежности A(х)  [0, 1], х  R, где его (A(х)) значение показывает правдоподобность того, что действительное значение величины А равно х. Обозначение нечеткого множества : A = YxX А(х) / x. (1.1) т.е. нечеткое множество А можно рассматривать как объединение нечетких чисел. Опр. 2. А(х) называется степенью принадлежности х к А. Опр. 3. Множество Х, являющееся универсальным множеством, так же называется областью рассуждений. Опр. 4. Задание нечеткого подмножества А в Х эквивалентно заданию его функции принадлежности А(х). Замечание. Вместо более корректного термина «нечеткие подмножества» будем употреблять, следуя традиции, термин «нечеткие множества». Опр. 5. Значение А(х) = 0 означает отсутствие принадлежности к множеству, т.е. нечеткое множество А называется пустым для любых х. Значение А(х) = 1 означает полную принадлежность. Замечание. Т.о., А(х) показывает возможность того, что нечеткая величина А принимает значение х. Теория возможностей отличается от теории вероятностей. Покажем это на примере из работы Заде: Некто Ганс на завтрак ест яичницу из несколько яиц. Обозначим через А количество яиц, которое Ганс ест утром. Мы можем рассматривать А как нечеткое число и связать с ним функцию принадлежности А(х). С другой стороны можно считать А случайной величиной, тогда рА(х) обозначает вероятность того, что за завтраком будет съедено х яиц. Распределение возможностей и вероятностей образуют следующую таблицу: х 1 2 3 4 5 6 7 8 А(х) 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 рА(х) 0.1 0.8 0.1 Из таблицы видно, что высокий уровень возможности не означает высокую вероятность события, однако, если событие невозможно, то оно невероятно. Пример показывает, что теория возможностей более грубо оценивает ситуацию. Поэтому она более устойчиво работает в тех случаях, когда информации о том, что происходит, немного. Примеры записи нечетких множеств. Пример №1 Формализуем неточное определение «горячий чай». В качестве области рассуждений Х будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяться от 0оС до 100оС. Нечеткое множество для понятия «горячий чай» может выглядеть с.о: А =0/0, 0/10, 0/20, 0.15/30, 0.30/40, 0.60/50, 0.80/60, 0.90/70, 1/80, 1/90, 1/100 Здесь чай с температурой 0оС, 10оС, 20оС принадлежит к множеству «горячий» со степенью принадлежности 0 (т.е. 0% людей считают чай при такой температуре горячим); при 30оС – 15% людей считают чай при такой температуре горячим, остальные –не слишком горячим,…, при 60оС – 80% и т.д. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества. Пример №2. Если Х = a, b, c, d, e, f ; функция принадлежности А =  0, 0.5,1, тогда нечеткое множество А можно представить в виде: А =  0/a, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f . Пример №3. Если А =  0.8/a1, 1/а2, 0.4/а3, 0.2/а4, 0.5/а5, 0/а6, то функция принадлежности А =  0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1, а Х = a1, а2, а3, а4, а5, а6  Пример №4. Если элементы множества Х являются числовыми значениями, то порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). Х =  1,2,3,4,5,6; А =  0, 0.5, 1, тогда А =  0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6 Пример №5. Х =  0;10, = рис. 1 В общем виде функция принадлежности множества А будет выглядеть так: Х =  аL;аR, (1.2) Вид (1.2) называют треугольным. Функция принадлежности множества А вида: (1.3) называется трапецеидальной. рис. 2 Опр. 6. Функции принадлежности (1.2) и (1.3) называются линейными функциями принадлежности типа L – R. Опр. 7. Функциями принадлежности типа L и R называют функции, удовлетворяющие требованиям: 1) L(0) = R(0) =1 2) L и R – невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел и имеющие вид: (1.4) Примеры функций L и R. 1) L(х) = , p  0. 2) , p  0. 3) Функции принадлежности типа L и R являются частными случаями s -  функций. Задание s -  функций: (1.5) рис. 3 (1.6) рис. 4 Пример№7. Пусть Х={Запорожец, Жигули, Мерседес, …}- множество марок автомобилей, а = 0;) – универсальное множество «Стоимость». Тогда на можно определить нечеткие множества типа: «Для бедных(I)», «Для среднего класса(II)», «Престижные(III)», с функциями принадлежности вида: рис.5 Имея эти функции и зная стоимость автомобилей из Х в данный момент времени, мы тем самым определим на нечеткие множества с этими же названиями. Пример№8. Пусть Х={Запорожец(I), Жигули(II), Мерседес(III), …}- множество марок автомобилей, а = 0;) – универсальное множество «Престижность», тогда нечеткое множество может выглядеть так. рис.6 Опр 8. Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Функцией принадлежности обычного множества В  Х является функция: (1.7) Опр 9. Нечеткое множество А называется пустым, если = 0 при любых . Опр 10. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек Х, для которых величина положительна. Носитель обозначается suppA: suppA ={x│x , > 0} (1.8) Опр 11. Высотой h(A) нечеткого множества А называется h(A) = supxX А(х) (1.9) Опр 12. Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткого множества А субнормально. Замечание. Субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив функцию принадлежности А на величину h(A) = supxX А(х). Опр.13. Элементы множества Х, для которых степень принадлежности А(х)= 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А. Пример№9. Пусть универсальное множество Х представимо в виде: Х = a, b, c, d, e  и нечеткое подмножество А, заданное на множестве Х, имеет вид: А =  0/a, 0.5/b, 0.64/c, 0.72/d, 0.8/e . Тогда носителем нечеткого множество А является sиррА =  b, c, d, e ; высотой - h(A) = 0.8; точка перехода х = b; множество А – субнормально; нормализованное множество получим , если разделим каждый элемент множества А на 0.8. А =  0/a, 0.6/b, 0.8/c, 0.9/d, 1/e . Пример№10. Пусть универсальное множества представляет интервал от  100;200 и переменная х, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «цена акции», тогда нечеткое множество А, обозначаемое «умеренная» можно определить функцией принадлежности: А (х) = умеренная(х) = = Здесь  умеренная(147 руб.) = умеренная(х) носителем нечеткого множество А т.е. sиррА является интервал 130;160; высотой - h(A) = 1; точки перехода х =135 и х = 150 ; множество А – нормально. Пример№11. Пусть универсальное множества представляет интервал от  0;100 и переменная х, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст», тогда нечеткое множество «молодой», можно определить функцией принадлежности: А (х) = молодой(х) = Нечеткое множество «молодой» на универсальном множестве = {Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции принадлежности  молодой(х) на Х =  0;100, называемой по отношению к функцией совместности, при этом:  молодой(Петров) = молодой(х), где х – возраст Петрова. носителем нечеткого множество А т.е. sиррА является интервал 1;100; высотой - h(A) = 1; точки перехода х =30. Опр.14. А есть подмножество В или содержится в В тогда и только тогда, когда А(х)  В(х) для любого хХ, то есть А В  А(х)  В(х), х Х. Пример № 12. Пусть универсальное множество Х = а, б, в, г, определенные на нем нечеткие подмножества А и В равны соответственно А = 0.5/а, 0.8/б, 0.3/ г, В= 0.7/а, 1/б, 0.3/в,1/ г, тогда А В (т.к. 0.5  0.7 при а; 0.8  1 при б; 0.3  1 при г) Опр.15. Множеством  - уровня нечеткого множества А является обычное множество А всех таких элементов универсального множества Х, степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна : А =х│хХ, А(х)   Множество  - уровня называют сечением  нечеткого множества А. Причем, если А(х)  , то говорят о сильном сечении, если А(х)  , то о слабом сечении. Нечеткое множество А можно разложить по его множествам уровня следующим образом: А = , где А - произведение числа  на множество А; знак  -знак объединения множеств А по . Пример № 13. Если нечеткое множество А= 0.3/а, 0.4/д, 0.7/в,0.8/ г,0.6/б, то множеством  - уровня при  =0,7 будет множество А0.7 = в,г. Множество А, разложенное по его множествам - уровня, имеет вид: А= 0.3а,б,в,г,д  0.4б,в,г,д  0.6б,в,г,  0.7в,г  0.8г. №2. Методы построения функции принадлежности. Рассмотрим физический смысл функции принадлежности. Спектр мнений по этому вопросу очень широк. Так, очень часто на функцию принадлежности накладывается условие нормировки, тем самым, в качестве функции принадлежности выбирается плотность распределения вероятности. В одной из работ Л.А. Заде, предполагается, что функция принадлежности - это некоторое «невероятностное субъективное измерение неточности», и что она отлична от плотности вероятности и от функции распределения вероятности. Иногда под функцией принадлежности понимают возможность или полезность того или иного события. Наиболее распространенным является суждение, предложенное в работе Л.А.Заде «Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений». Согласно данному суждению под значением функции принадлежности А(х) нечеткого множества А для любого хХ понимается вероятность того, что лицо, принимающее решение (ЛПР), отнесет элемент хк множеству А. В случае, когда А – некоторое понятие естественного языка (например, «престижный») , а Х – множество объектов (например, «Жигули», «Мерседес»), обозначаемых этим понятием А, А(х) – есть вероятность того, что ЛПР использует А в качестве имени объекта (т.е. посчитает например, что иметь «Мерседес» престижно). Такая интерпретация функции принадлежности называется вероятностной и не исключает существование других интерпритаций. Замечания к определению: 1) элемент х, как следует из определения, уже предъявлен ЛПР, а последний и решает задачу отнесения элемента к нечеткому множеству А; 2) в приведенной интерпретации А(х) не является ни функцией распределения вероятности (т.к. А(х) может быть убывающей функцией), ни плотностью распределения вероятности (т.к. интеграл от А(х) по всей области определения может превышать единицу). Методы построения функций принадлежности. Частотный метод. Сущность метода. Пусть имеется коллективный ЛПР, состоящий из п экспертов. О том, что хХ принадлежит нечеткому множеству А, п1 (п1  п) экспертов отвечают положительно. В этом случае А(х) = (2.1) Схема вычисления соответствует вероятностной интерпретации функции принадлежности. Пример. Экскурсия из 10 человек посетила «Русский музей», в котором им было представлено на обозрение следующие картины К.И.Брюллова: «Всадница», «Бахчисарайский фонтан», «Последний день Помпеи». Определить нечеткое множество, построенное на оценке «Сильное впечатление». Пусть 5 человек считают что этой оценке достойна картина «Последний день Помпеи» (принадлежность: = 0.5) , 3 - С, (принадлежность: = 0.3) 2 - «Бахчисарайский фонтан» (принадлежность: = 0.2), тогда нечеткое множество А будет иметь вид: А = 0.5/«Последний день Помпеи»; 0.3/«Всадница»; 0.2/«Бахчисарайский фонтан» Метод на основе стандартного набора графиков Сущность метода. ЛПР выбирает наиболее подходящий, по его мнению, график из стандартного набора, а затем в диалоговом режиме с компьютером выясняет и корректирует (при необходимости) параметры выбранного графика. Метод парных соотношений. Суть метода. Пусть имеется п экспертов и необходимо найти степени принадлежности k точек. Каждый i – ый эксперт должен определить парные соотношения (по своему усмотрению) типа: , l,j =1,2,…,k (2.2) Экспертная оценка для i – го эксперта находится по формуле: (2.3) Окончательно, функция принадлежности для l – го параметра имеет вид: , l =1,2,…,k (2.4) Пример №1. Два эксперта (i=1,2) должны определить насколько три дома (l=1,2,3) соответствуют оценке «Пригоден для жилья». Мнения каждого из них основывается на собственных предпочтениях. Построим матрицы парных соотношений для каждого эксперта Мi =тlj , l,j =1,2,…,k; i=1,2. Пусть -матрица предпочтения первого эксперта: Равенстве первого параметра l единице, т.е l =1, в нашей задаче определяет первый дом. Рассмотрим j =1 (т.е. оцениваем первый дом). Так как l = j = 1, тоl =j, следовательно по формуле (2.2) т11 = 0, т.к. оценка одного и того же дома дает равные значения. Рассмотрим j =2 (т.е. оцениваем второй дом относительно первого (l =1) ). Так как l =1; j = 2, и эксперт отдает предпочтение первому дому по сравнении со вторым l=1  j=2, т.е 1  2, следовательно по формуле (2.2): т12 = 1 - первый дом более пригоден для жилья, нежели второй. Рассмотрим j =3 (т.е. оцениваем третий дом относительно первого (l =1) ). Так как l =1; j = 3 и эксперт не отдает предпочтение первому дому по сравнении с третьим( т. е. считает, что первый дом не лучше третьего или такой же ) то l=1  j=3, т.е 1  3, следовательно по формуле (2.2): т13 = 0 - первый и третий дом имеют равные значения или первый дом хуже третьего. Равенстве второго параметра l двум, т.е l =2, в нашей задаче определяет второй дом. Рассмотрим j =1 (т.е. оцениваем первый дом относительно второго (l =2) ). Так как l =2; j = 1 и эксперт уже не может отдать предпочтение второму дому по сравнении с первым ( т. е. считать, что второй дом лучше первого) так как он уже сделал выбор в пользу первого дома (см. т12 =1) ) т.о. l=2  j=1, т.е 2  1, следовательно по формуле (2.2) т21 =0 – второй дом не предпочтительней первого. Рассмотрим j =2 (т.е. оцениваем второй дом). Так как l = j = 2, тоl =j, следовательно по формуле (2.2) т22 = 0 - оценка одного и того же дома дает равные значения; т23 = 1 - второй дом более пригоден для жилья, нежели третий; т31 =1 - третий дом предпочтительней первого, т.е. более пригоден для жилья (т.к. эксперт не отдал предпочтение первому дому перед третьим (см. т13=0), то теперь он может предпочесть третий дом перед первым). т32 =0 , т.к. третий менее пригоден для жилья чем второй (см.т23 =1), т33 = 0, т.к. оценка одного и того же дома дает равные значения. Оценка первого эксперта для 1-го параметра (1-го дома) равна Замечание. В числителе стоит сумма единиц в строке l, а в знаменателе – сумма всех единиц матрицы парных соотношений. Пусть -матрица второго эксперта, т11 = 0 - оценка одного и того же дома дает равные значения; т12 = 0 - первый домне не предпочтительнее второго; т13 = 0 - первый не предпочтительней третьего; т21 = 1 - второй предпочтительней первого ( см. т12= 0); т22 = 0 - оценка одного и того же дома дает равные значения, т23 = 0 - второй дом не предпочтительней третьего; т31 =1 - третий дом предпочтительней первого (см. т13 =0); т32 =1 - предпочтительней второго (см.т23= 0), т33 = 0 - оценка одного и того же дома дает равные значения. Оценки второго эксперта равны соответственно: а21 = ; а22 = ; а23 = . Т.о., функция принадлежности нечеткому множеству «Пригоден для жилья» -первого дома равна согласно формулы (2.3): ; -второго дома равна согласно формулы (2.3): ; -третьего дома равна согласно формулы (2.3): . Т.е. нечеткое множество А будет иметь вид: А = 1, /2,/3 или А = 1, 0.33/2,/3. № 3 Операции над нечеткими множествами. Пусть А и В - нечеткие множества, supp(А) и supp(В)- их носители. Опр.3.1. Операция включения (А  В). Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что А содержится в В, если для  x  X A(x) < B(x). Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А  В, говорят, что В доминирует А. Рассмотрим Пример(*) Пусть А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 C=0.1/ х1 + 1/ х2 +0.2/ х3 +0.9/ х4, тогда A  B, т.е. А содержится в В или В доминирует А; С не сравнимо ни с А, ни с В, т.е. пары {А, С} и {В, С} - пары недоминируемых нечетких множеств. А  В  С. Опр.3.2. Равенство. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве X. Говорят, что А и В равны (А = В), если для  x  X A(x) = B(x). Опр.3.3. Пусть А и В - нечеткие множества на универсальном множестве X. Объединением нечетких множеств А и В в Х называют наименьшее нечеткое подмножество А Y В, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности вида: АВ (х) = max (А (х), В(х)), х Х (3.1) Объединение соответствует союзу ИЛИ. Таким образом, если А и В - символы нечетких множеств, то А ИЛИ В = А  В = А  В (3.1.2) если Для примера (*) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 А  В = max{0.4,0.7}/х1 + max {0.2,0.9}/х2 + max {0,0.1}/х3 + max {1,1}/х4= 0.7/х1 + 0.9/х2 +0/1/х3 +1/х4 Опр.3.3. Пересечением нечетких множеств А и В в Х называют наибольшее нечеткое подмножество А I В, содержащееся одновременно в А и В, с функцией принадлежности вида: АIВ(х) = min(А (х), В(х)), х Х (3.2) Пересечение соответствует союзу И. Таким образом, если А и В - символы нечетких множеств, то А И В = АIВ =АВ (3.2.1) Для примера (*) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 А  В = min{0.4,0.7}/х1 + min{0.2,0.9}/х2 + min{0,0.1}/х3 + min{1,1}/х4= 0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 Опр.3.4. Дополнением нечеткого множества А называют нечеткое множество A с функцией принадлежности: (3.3) Операция Дополнение соответствует операции НЕ, т.е. (НЕ A) = = YxX (1-A(x))/x (3.3.1) Для примера (*) = (1-0.4)/х1 +(1- 0.2)/х2 +(1-0)/х3 +(1-1)/х4 = 0.6/х1 + 0.8/х2 +1/х3 +0/х4 Опр.3.5. Разность нечетких множеств А и В определяется по-разному, введением двух независимых операций (3.4) и (3.5): A-B = (3.4) или А - В = А  с функцией принадлежности A-B(x) = (3.5) Для примера (*) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 По формуле (3.5): A –B = А  = min{0.4, (1-0.7)}/х1 + min{0.2,(1-0.9)}/х2 + min{0,(1-0.1)}/х3 + min{1,(1-1)}/х4= min{0.4, 0.3}/х1 + min{0.2,0.1} х2 + min{0,1}/х3 + min{1,0}/х4= = 0.3/х1 + 0.1/х2 +0/х3 +0/х4 Опр.3.6 Дизъюнктивная сумма А  В определяется выражением вида А  В = (A I) Y ( ) с функцией принадлежности вида: AB(x) = max[min(),min()] (3.6) Для примера (*) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 А  В= max[min()),min(()] / х1 + + max[min()),min(()] / х2 + + max[min()),min(()] / х3 + + max[min()),min(()] / х4 = = max[min(),min(()] / х1 + max[min()),min(()] / х2 + + max[min()),min(()] / х3 + max[min(,min()] / х4 = = max[,] / х1 + max[, / х2 + max[] / х3 + max[, 0)] / х4 = = 0.6/ х1+ 0.8/ х2 +0.1/ х3 +0/ х4 . Свойства операций I и Y. Пусть А, В, С - нечеткие множества, являющиеся подмножествами универсального множества Х, такого что  xX, A (x) = 1. Тогда справедливыми являются следующие свойства: Коммутативность: А I В = В I А (3.7) А Y В = В Y А (3.7.1) Ассоциативность: (А I В) I С = А I (В I С) (3.8) (А YВ) Y С = А Y (В Y С) (3.8.1) Докажем (3.8.1), т.е.,что для  xX выполнено max[)] = max[max ()]. Зафиксируем некоторую точку xX. Пусть , тогда max[] = ) max[ = ). Т.о. свойство доказано. Идемпотентность: А I А = А (3.9) А Y А = А (3.9.1) Дистрибутивность: А I (В YС) =(А I В) Y (А I С) (3.10) А Y (В I С) =(А YВ) I (В YС) (3.11) Пример доказательства формулы (3.10). Т.е. надо доказать, что для  xX выполнено max[)] = max[min(), min()]. Зафиксируем некоторую точку xX. Пусть . Докажем первое из всевозможных пятнадцати выражений: 1) a > b > c; 2) a > b = c; 3) a = b > c; 4) a = b = c; 5) a > c > b; … 15) c > b> a. a > b > c: min[)] = min[] = b; max[min(), min()] = max[] = b. Т.о. первое выражение доказано. Аналогично доказываются четырнадцать оставшихся. Докажем 4) a = b = c: min[)] = min[] =a = b =c; max[min(), min()] = max[] = a = b =c. Т.о. четвертое выражение доказано. Аналогично доказываются остальные. А I  =  (3.12) А I X = A (3.13) А Y Х = Х (3.14) А Y  = A, где  - пустое множество, т.е. (х) = 0 xX (3.15) Инволюция: . (3.14) Теоремы де Моргана (3.15) (3.16) Докажем (3.15). Для этого необходимо доказать в соответствии с определениями равенства, пересечения, объединения, дополнения нечетких множеств, что для любого xX выполнено 1-min[] = max[1-]. (3.17) Зафиксируем некоторую точку xX. Пусть Докажем всевозможных варианты: 1) a > b; 2) a = b; 3) b > а. Проверим выполнения формулы (3.17) в каждом из трех случаев. 1) 1- min[a, b] =1 – b; max[1- a, 1 – b ] =1 - b. 2) 1- min[a, b] =1 – a; max[1- a, 1 – b ] =1 - a. 3) 1- min[a, b] =1 – a; max[1- a, 1 – b ] =1 - b. Т.о. (3.17) выполнена в трех случаях. Свойство доказано. В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае: А I   (3.18) А Y  Х (3.19) Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max min, поэтому доказательство свойств достаточно просто. Алгебраические операции над нечеткими множествами Опр.3.7. Алгебраическое произведение А и В обозначается АВ и определяется функцией принадлежности вида AB (x ) = A (x)B (x) для  xX. Для примера (*) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 . AB (x )= 0.40.7/ х1+ 0.20.9/ х2 +00.1/ х3 +11/ х4= 0.28/ х1+ 0.18/ х2 +0/ х3 +1/ х4 Опр.3.8. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и определяется функцией принадлежности A+B (x) = A (x) + B (x) - A(x)B (x) для  xX. Для примера (*) A+B (x )= (0.4+0.7)/ х1+( 0.2+0.9)/ х2 +(0+0.1)/ х3 +(1+1)/ х4 - - (0.40.7/ х1+ 0.20.9/ х2 +00.1/ х3 +11/ х4) = = 1.4/ х1+ 1.1/ х2 +0.1/ х3 +2/ х4 - 0.28/ х1+ 0.18/ х2 +0/ х3 +1/ х4 = = (1.4-0.28)/ х1+ (1.1-0.18)/ х2 +(0.1-0)/ х3 +(2-1)/ х4 = = 1.12/ х1+ 0.92/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 = A+B (x ) = 1.12/ х1+ 0.92/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 . Свойства операции ( и +) Коммутативность: А  В = В  А (3.20) А + В = В + А (3.20.1) Ассоциативность: (А  В)  С = А  (В  С) (3.21) (А +В) + С = А + (В + С) (3.21.1) Для примера (*) проверить формулу (3.21) А=0.4/х1 + 0.2/х2 +0/х3 +1/х4 B=0.7/ х1+ 0.9/ х2 +0.1/ х3 +1/ х4 C=0.1/ х1 + 1/ х2 +0.2/ х3 +0.9/ х4. (А  В)  С = (0.4  0.7)0.1/х1 + (0.2  0.9)1/х2 +(0  0.1) 0.2/х3 +(11)0.9/х4 = = 0.028/ х1+ 0.18/ х2 +0/ х3 +0.9/ х4 А  (В  С) = 0.4  (0.70.1)/х1 + 0.2  (0.91)/х2 +0  (0.1 0.2)/х3 +1(10.9)/х4 = = 0.028/ х1+ 0.18/ х2 +0/ х3 +0.9/ х4 . А   =  (3.22) А  X = A (3.23) А + Х = Х (3.24) А +  = A, где  - пустое множество, т.е. (х) = 0,  xX (3.25) Теоремы де Моргана (3.26) (3.27) Не выполняются свойства: Идемпотентность: А А = А (3.28) А+А = А (3.29) Дистрибутивность: А  (В +С) =(АВ) +(А С) (3.30) А+(В С) =(А+В)  (В+С) (3.31) А = 0 (3.32) А+  Х (3.33) При совместном использовании операций {Y, I , , +} выполняются свойства: А (В Y С) = (АВ) Y (А С) (3.34) А (В I С) = (АВ) I (АС) (3.35) А+(В YС) = (А+В) Y (В+С) (3.36) А+(В I С) = (А+В) I (В+С) (3.37) На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень  нечеткого множества А, где  - положительное число. Опр.3.9. Степенью нечеткого множества A называется нечеткое множество А с функцией принадлежности. (x) = (x), xX,  >0. (3.38) При  = 2 получаем операцию концентрирование (уплотнение) (CON): CON(A) = A2 (3.39) В результате применения этой операции к множеству А снижается степень нечеткости описания, причем для элементов с высокой степенью принадлежности это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности относительно велико. При  = 0.5 получаем операцию растяжения (DIL): DIL(A) = A0.5 (3.40) DIL(A) = (0.4)0.5/х1 + (0.2)0.5/х2 +(0)0.5/х3 +(1)0.5/х4 согласно определению 3.9 Эта операция увеличивает степень нечеткости исходного нечеткого множества. Операция контрастной интенсификации (INT) определяется с помощью функции принадлежности следующим образом: (3.41) Эта операция отличается от концентрирования тем, что она увеличивает значение A (x), которое больше 0.5 и уменьшает те, которые меньше 0.5. Таким образом, контрастная интенсификация, по существу уменьшает нечеткость А. Операции концентрирования, растяжения и контрастной интенсификации используются при работе с лингвистическими неопределенностями. Опр.3.10. Умножение на число. Если  - положительное число, такое, что  1 , то нечеткое множество А имеет функцию принадлежности А (х) = А (х) (3.42) Опр.3.11. Выпуклой комбинацией нечетких множеств А1  А2 … Ап в Х называется нечеткое множество А с функцией принадлежности вида: А (х) = , i  0, i =, =1 (3.43) Выпуклые комбинации нечетких множеств нужны для принятия решений с несколькими нечеткими ограничениями. Для обычных множеств эта операция не имеет смысла. Опр.3.12. Декартово (прямое) произведение. Пусть А1 , А2 ,…, Ап нечеткие подмножества универсальных множеств X1, X2,…, Xn соответственно. Декартово произведение А= А1  А2 … Ап является нечетким подмножеством декартового произведения X = X1 X2… Xn c функцией принадлежности вида: А (х) = min, x=(x1, x2,…, xn)X. (3.44) Опр.3.13. Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть А - нечеткое множество, X - универсальное множество и для всех xX определены нечеткие множества K(x). Совокупность всех K(x) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида Ф( А, К) = (3.45) xX где A(x) K (x) произведение числа на нечеткое множество. Пример Пусть X={1, 2, 3, 4}; А = 0.8/1 + 0.6/2 + 0/3 + 0/4; K(1) = 1/1 + 0.4/2; K(2) = 1/2 + 0.4/1 + 0.4/3; K(3) = 1/3 + 0.5/4; K(4) = 1/4. Тогда Ф(А,К) = A(1) K (1)  A(2) K (2)  A(3) K (3)  A(4) K (4) = =0.8 (1/1 + 0.4/2)  0.6 (1/2 + 0.4/1 + 0.4/3) 0 0 = 0.8/1 + 0.6/2 + 0.24/3 Контрольные вопросы Дайте определение нечеткого множества. Какое множество называется субнормальным? Как субнормальное множество можно привести к нормальному виду? Приведите определение высоты, носителя и точек перехода нечеткого множества. Какие методы построения функции принадлежности Вы знаете? Опишите физический смысл функции принадлежности. Определите логические операции над нечеткими множествами. Перечислите свойства логических операций. В чем заключается отличие свойств логических операций над нечеткими множествами и логических операций над обычными множествами? Определите алгебраические операции над нечеткими множествами. Перечислите свойства алгебраических операций. Дайте определение оператора увеличения нечеткости нечеткого множества. Упражнения Дано нечеткое множество A = (0.4/яблоко; 0.3/груша; 0.7/слива; 0.2/ранет; 0.5/вишня; 0.8/черешня; 1/манго). Определите: носитель нечеткого множества A; высоту нечеткого множества A; точки перехода A;  -уровневое подмножество А0,3; разложение нечеткого множества A. На универсальном множестве X = {a, b, c, d, e, f, g} даны нечеткие множества A = (0.3/a; 0.4/b; 0.55/c; 0.7/d; 0.9/e; 1/f; 0.5/g) В = (0.3/a; 0.4/b; 0.3/c; 0/d; 0,9/e; 0.8/f; 0.5/g) С= (1/a; 0.5/b; 0.5/c; 0.2/d; 0/e; 0.2/f; 0.9/g) . Определите: 1) A B, B  C, (A  B)  C, B  ,  C, A - B, B  C 2) C  B, A  C B, (АВ)С, (А+В)  С, DIL B, INT B, CON C 3) Пусть K(a) = 1/a + 0.4/b; K(b) = 1/b + 0.4/c + 0.4/d; K(c) = 1/c + 0.5/e; K(d) = 1/d, K(e) = 1/e + 0.4/d; K(f) = 1/a + 0.4/c + 0.4/f; K(g) =1/d + 0.4/e + 0.4/g. Вычислите Ф(А,К). Докажите все свойства логических операций над нечеткими множествами. Упростите выражение (A ((B  C) (A  C))) C. Пусть универсальное множество X представляет собой множество дисциплин, преподаваемых на специальности 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Переменная и, принимающая значения на этом множестве, интерпретируется как дисциплина. X = {программирование, дискретная математика, история, операционные системы, базы данных} Определить значения функции принадлежности нечеткого множества А, обозначающего понятие « пригодится в работе»: -методом парных соотношений, - частотным методом. 5 Нечеткие отношения и операции над ними Опр.5.1 Пусть X = х и  = у - обычные множества. Прямое произведение Х множеств Х и есть множество упорядоченных пар вида (х,у), т.е. Х = (х, у): хХ, у Пусть М – множество принадлежностей. Тогда нечеткое множество R, такое, что  (х, у)  Х R (х, у)  М называется нечетким бинарным отношением R в Х . Пример № 5.1 Пусть X = х1, х2, х3 ,  = у1,у2, у3,у4,у5, М =  0; 1. Тогда нечеткое бинарное отношение может быть задано следующей таблицей Пример № 5.2 1. Пусть заданы: а) четкое отношение R1 : x >y, где x  [0,1]; б) нечеткое отношение R2 : x >> y На рис. 5.1а приведены пары (x,y) из интервала [0,1], связанные отношением x > y. Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек. Строя нечеткое отношение R2: x>>y на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары (x,y), которые можно определенно отнести ко множеству R2 (например, точка (0.9, 0.01)), а также те, которые определенно не принадлежат R2 (например, (0.01,0.9)). Кроме того, имеется несчетное множество пар (x,y), о принадлежности которых к множеству R2 можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка (0.8, 0.6)). Поэтому нечеткое множество R2 характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества R2, и степень принадлежности (x, y) пары (x,y) следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 5.1 б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения R2 при фиксированном х0. Соответствующее семейство функций (x0, y) приведено на рис. 5.1 в. Если нечеткое отношение R на X конечно, то его функция принадлежности R (x, y) задается в виде квадратной матрицы || rij|| , i, j = 1,…, п с элементами rij [0,1]. Если rij =, то это означает, что степень выполнения отношения равна . Пример № 5.3 Пусть X = Y = (-; ). Отношение x>>y можно задать функцией принадлежности 4. Нечеткое отношение R , для которого , при достаточно больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу числа» Опр.5.3. Носителем нечеткого отношения R на множестве U = Х называется подмножество декартова произведения Х , определяемое так: suppR = {(x,y) : R (x,y) > 0, x  X,y  Y} (5.1) Пример № 5.4 Пусть нечеткое отношение R задано в виде: R y1 y2 y3 y4 x1 0.1 0.2 x2 0.3 0.9 x3 0.4 0.7 1 1 Тогда носитель данного отношения будет иметь вид: suppR =  (x1, y1); (x1, y3); (x2, y1); (x2, y4); (x3, y1); (x3, y2); (x3, y3); (x3, y4)  2. Рассмотрим отношение R где xR+, y  R+ , тогда имеем suppR = {(x,y) | 0 < |y - x|  0,46} Опр.5.4. Пусть на множестве Х заданы два нечетких отношения A и B с функциями принадлежности A(x,y), B(x,y). Тогда множество C = AB представляет собой объединение нечетких отношений A и B на множестве U, если его функция принадлежности определяется выражением С (х, у) = maxA (х, у); B (х, у)  (5.2) Аналогично множество D = A  B является пересечением нечетких множеств A и B, если С (х, у) = minA (х, у); B (х, у) (5.3) Пример № 5.5 Ниже в виде таблиц определены отношения R1 и R2 ,а также объединение и пересечение этих отношений. R1 y1 y2 y3 y4 x1 0.3 0.4 0.2 x2 0.8 1 0.2 x3 0.5 0.4 R1  R2 R1  R2 y1 y2 y3 y4 x1 0.3 0.4 0.7 x2 0.8 1 1 1 x3 0.6 0.9 0.4 0.2 Пример № 5.6 На рис. 5.2а изображено нечеткое отношение R1 где xR+, y R+ содержательно означающее, что «числа х и y очень близкие». Рис.5.2а Рис.5.2б Рис.5.2в На рис. 5.2б изображено нечеткое отношение R2 где xR+, y R+ содержательно означающее, что «числа х и у очень различные».Объединением отношений R1 и R2 является отношение R3, содержательно означающее «числа х и у очень близкие или/и очень различные» и определяющееся кривой (х, y): где  - такое значение |y - х|, при котором (x,y) = (x,y). В логике основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде «числа х и у очень близкие или/и очень различные» должно быть сокращено до «х и у очень близкие или очень различные» с разделительным «или». Однако в теории нечетких подмножеств первое предложение вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функций принадлежности, когда об х и у нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга. Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей теории. Опр.5.5. Нечеткое отношение B включает в себя (или содержит) нечеткое отношение A (A  B), если для них выполняется соотношение A(x,y)  B(x,y),  x,y  U =X  Y. Пример№ 5.7 Легко проверить, что R1 содержит R2. R1 y1 y2 y3 y4 x1 0.3 0.4 0.2 x2 0.5 1 0.9 x3 0.4 0.1 0.8 Пример№ 5.8 Рассмотрим нечеткое отношение R1 , где x  R + и y  R +, такое, что y >> x, т.е. «у много больше х», и пусть функция принадлежности этого отношения определяется выражением Пусть теперь k2>k1. Тогда отношение R2 с функцией принадлежности содержит R1 . Опр.5.6. Если R - нечеткое отношение с функцией принадлежности R (x, y), то отношение , характеризующееся функцией принадлежности (x, y) = 1-R(x, y), называется дополнением R на множестве XY. Опр.5.7. Обратное к R отношение на XY определяется следующим образом: R-1, при этом функции принадлежности связаны между собою равенством (x, y) = R (у, х). Опр.5.8. Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности R (х, у). Обычное отношние, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением Опр.5.9. Обычное подмножество а-уровня нечеткого отношения. Пусть   [0,1]. Обычным подмножеством -уровня нечеткого отношения R ХХ будем называть обычное подмножество G = { (x, y) | R (x, y) } (5.4) Функция принадлежности подмножества  - уровня задается следующим образом Если 1 > 2, то R1  R2 Пример№ 5.9 1. Для отношения R y1 y2 y3 y4 x1 0.3 0.8 0.3 x2 0.5 1 0.3 0.9 x3 1 0.2 0.6 0.7 обычное подмножество -уровня будет G0.8= (x1, y2); (x2, y2); (x2, y4); (x3, y1) . Утверждение (о декомпозиции). Любое отношение R можно представить в виде: Доказательство. Утверждение доказано. Пример№ 5.10. Разложить нечеткое множество А по уровням 0.2 0.5 1 0.4 0.3 0.9 0 .1 0.7 0.5 = 1 1 1 1 1 mах[0.2 1 1 1 , 0.3 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 0.4 1 1 , 0.5 1 , 1 1 1 1 1 1 0.7 1 , 0.9 1 , 1 1 1 1 .] 1 Пример№ 5.11 Рассмотрим нечеткое отношение, определяемое формулой Подмножество уровня 0.3 будет определяться условием или х2 + у2  3/7, т.е это область вне круга радиусом и с центром в начале координат, включая его границу – окружность. Опр.5.10. Первая проекция нечеткого отношения R определяется функцией принадлежности (5.5) Аналогично вторая проекция – ( Опр.5.11. Вторая проекция первой проекции (или наоборот) называется глобальной проекцией нечеткого отношения и обозначается h(R). Т. о, h(R) = = (5.7) Если h(R)=l – отношение нормально, если h(R) < 1 – субнормально. Присер№ 5.11 Вычислим первую, вторую и глобальную проекции отношения R, заданного матрицей. R у1 у2 у3 у4 1-я х1 0.1 0.2 1 0.3 1 х2 0.6 0.8 0.1 0.8 х3 1 0.3 0.6 1 х4 0.8 0.1 1 1 х5 0.9 0.7 0.5 0.9 х6 0.9 0.3 0.7 0.9 2-я 0.9 1 1 0.7 h(R)=1 Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию нечетких отношений можно определить разными способами. Опр.5.12. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений A и B на U характеризуется функцией принадлежности вида AB(x,z) = maxyU min{A(x, y); B(y, z)} (5.8) Опр.5.13. Минимаксная композиция нечетких отношений A и B на U (обозначаетсяA °B) определяется функцией принадлежности вида A B(x,z) = minyU max{A(x, y); B(y, z)} (5.9) Опр.5.14. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений A и B на U есть нечеткое отношение A*В с функцией принадлежности вида A*B(x,z) = supyU {A(x, y); B(y, z)} (5.10) Пример № Пусть заданы два нечетких отношений A и B на U, состоящих из двух элементов U = {u1, u2}, где матрицы нечетких отношений таковы Тогда композиция(произведение) нечетких отношений определяется так: а) максиминная (принцип умножения матриц: max{ min(0.2;0.5), min (0.6;0.3)} = max{0.2;0.3} = 0.3 – это элемент стоящий на пересечении первой строки и первого столбца). б) минимаксная (принцип умножения матриц: min{ max(0.2;0.5), max (0.6;0.3)} = min{0.5;0.6} = 0.5 – это элемент стоящий на пересечении первой строки и первого столбца). в) максимультиплекатильная (принцип умножения матриц: max{0,20,5; 0,60,3 } = max{0,1;0,18}=0,18 - это элемент стоящий на пересечении первой строки и первого столбца) Свойства нечетких отношений Опр.5.15. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется рефлексивным на U, если выполняется условие R (х, х) = 1, (х, х)  U =X  Y. Пример № 1. Интуитивно понятно, что отношения «у примерно равно х», «у близко х» являются рефлексивными. 2. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D} матрицей. По виду матрицы понятно, что отношение R рефлексивно, на главной диагонали стоят 1. R A B C D A 1 0.2 0.3 B 1 0.1 1 C 0.2 0.7 1 0.4 D 1 0.4 1 Опр.5.16. Антирефлексивность. Нечеткое отношение R на U антирефлексивно, если R (x, x) = 0, x  U (Например, R - много больше) Опр.5.17. Симметричность. Нечеткое отношение R на U симметрично, если для всех (x, y)  Х  : R (x, y) = R (y, x). Пример № 1. Пусть отношение R задано на множестве U = {A,B,C,D,E}. Матрица симметричного отношения симметрична. Опр.5.18. Антисимметричность. Нечеткое отношение R на U антисимметрично, если для всех (x, y)  Х  : R (x, y)  R (y, x) или R (x, y) = R (y, x)=0. Опр.5.19. Пусть х, у, z  U, нечеткое отношение R транзитивно, если  (х, у), (у, z), (х, z) U х U: R (х, z) > max[min(R (х, у), R(у, z))] Пример№ 1. Данное отношение R транзитивно. Покажем это. у Чтобы проверить транзитивность, для конечного множества U мощности n, если нет правила, позволяющего доказать это с помощью функции принадлежности, нужно выполнить n2 раз n операций. Дуга (А, А). (А,А) (А,А)=0,20,2=0,2 (А,В)(В,А) = 1  0 = 0 (А,С) (С,А) = 0,4  0 = 0  (A,D)(D,А)=0,40,1=0,1 МAХ[0.2;0;0;0.1]=0.2  (А,А)=0.2  0.2 Дуга (А,B). (А,А)(А,В) = 0,21 = 0,2 (А,В)(В,В) = 10,6 = 0,6 (А,С)(С,В) = 0,41= 0,4 (A,D)(D,B) = 0,41= 0,4 МAХ[0.2;0,6;0,4;0.4]=0,6 (А,В)=1 >= 0,6 и т. д. 2. Следующие нечеткие отношения транзитивны: «Y много больше X», «А чище, чем В». Отношения «X - дальний родственник Y», «X похож на Y» нетранзитивны. Здесь все зависит от характера функции принадлежности, оценивающей сходство. Так, например, может случиться так, что «X похож на Y» и «Y похож на Z», но X не обязательно похож на Z. 6. Понятие нечеткой и лингвистической переменных Целью введения нечеткого множества чаще всего является формализация нечетких понятий и отношений естественного языка (ЕЯ). Данную формализацию можно выполнить, воспользовавшись понятиями нечеткой и лингвистической переменных. Опр.6.1. Нечеткой переменной называется совокупность (кортеж) вида >, где X - наименование нечеткой переменной; U = {и} область ее определения (универсальное множество); (u) / u - нечеткое множество на U, описывающее ограничения (т.е. (u)) на значения нечеткой переменной X. Опр.6.2. Лингвистической переменной (ЛП) называется кортеж вида <, T, U, G, M> где  - наименование лингвистической переменной. Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименование нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество U. Множество Т называется базовым терм-множеством лингвистической переменной G - синтаксическая процедура, описывающая процесс образования из элементов множества Т новых, осмысленных для данной задачи значений лингвистической переменной (терм). М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество. Примеры лингвистических переменных 1. Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «Малая толщина», «Средняя толщина» и «Большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм. Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей ЛП <, T, U, G, M>, где  - толщина изделия; Т- {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»}; U = [10,80]; G - синтаксическая процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или», и модификаторов (лингвистических неопределенностей) типа «очень», «не», «слегка» и т.п. Например, «Малая или средняя толщина», «Очень малая толщина», «Не очень большая толщина» и т.д. М - семантическая процедура задания на U = [10;80] нечетких множеств А1=«Малая толщина», А2=«Средняя толщина», А3=«Большая толщина», а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких связок, лингвистических неопределенностей и других операций над нечеткими множествами. 2. Пусть  - посадочная скорость самолета (скорость). Тогда Скорость := (скорость, <малая, небольшая, средняя, высокая>, [0..300], G, M), где G - процедура перебора элементов базового терм-множества. M - процедура экспертного опроса. 3. Рассмотрим еще один пример лингвистической переменной.  - дисциплина; Т - {«Сложная дисциплина», «Интересная дисциплина», «Пригодится в будущей работе»}; U = [«Программирование», «Базы данных», «Нечеткая логика», «САОД»] - множество дисциплин, изучаемых студентами специальности 220400; G - процедура перебора элементов базового терм-множества; M - процедура экспертного опроса. 4. Для лингвистической переменной <, T, U, G, M> представленной на рис. 6.1: T = {T1,T2 Т3} u0 < u1 < u2 < u3 < и4< u5; U = [u0, u5], пару (u0, u5) будем называть граничной парой. Замечание. В дальнейшем без особой необходимости, не будем различать переменную и ее наименование. Рис. 6.1 Взаимосвязь лингвистической и нечеткой переменных. В зависимости от характера множества U лингвистическая переменная может быть разделена на числовые и нечисловые. Опр.6.3. Числовой называют лингвистическую переменную, у которой UR1 , R1 = (-, ), и которая имеет измеримую базовую переменную. Скорость - это числовая лингвистическая переменная, причем нечеткие переменные из ее терм-множества нечеткие числа. В качестве примера нечисловой лингвистической переменной можно привести понятие "дисциплина" из примера 4. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными Зависимость между двумя обычными числовыми переменными X и Y чаще всего описываются набором высказываний, например: «если х равно 5, то у равно 12» и т.д. Применим такой же способ описания и для нечетких переменных. В частности, если Х и Y - лингвистические переменные, то высказывания, описывающие зависимость Y от Х, могли бы выглядеть так: «если Х мало, то Y велико»; «если Х не очень мало, то Y очень велико»; «если Х не мало и не велико, то Y не очень велико» и т.п. Нечеткие высказывания типа «из А следует В», где А и В имеют неопределенное значение, например: «Если Александр любезен с тобой, то ты должен быть добр к нему», обычны в повседневной речи. В дальнейшем будет показано, что высказывание "из А следует В" математически определяется, если А и В заданы как некоторые нечеткие переменные. Приведенные отношения между нечеткими переменными Х и Y являются простыми в том смысле, что их можно записать как множество высказываний вида "из А следует В". Для описания более сложной зависимости Y от Х могут потребоваться нечеткие алгоритмы. Если обратить внимание на структуру лингвистической переменной, то можно отметить, что в общем случае значение лингвистической переменной есть составной термин, представляющий сочетание некоторых элементарных терминов. Эти элементарные термины можно разбить на четыре основные категории: • первичные термины, которые являются символами специальных нечетких подмножеств, например, молодой, старый и т.д. • отрицание НЕ и союзы И, ИЛИ. • неопределенности типа: очень, слабо, более или менее и т.д. • маркеры, чаще всего это вводные слова. Отрицание НЕ, союзы И, ИЛИ, неопределенности типа очень, весьма, больше, меньше и другие термины, которые входят в определение значений лингвистической переменной, могут рассматриваться как символы различных операций, определенных на нечетких подмножествах U. Нечеткие числа Опр.6.4. Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве вещественных чисел R c функцией принадлежности A(х)  [0, 1], х  R. Нечеткие числа соответствуют значениям числовой лингвистической переменной. Нечеткое число А нормально, если (х) = 1. (6.1) Нечеткое число А выпуклое, если для x < y < z выполняется A(x) min{A(y),A(z)} (6.2) Множество а-уровня нечеткого множества А определяется как А = {x/A(x) а}. (6.3) Подмножество suppA  R называется носителем нечеткого чила А,если suppA = {x/A(x) >0} (6.4) Нечеткое число А унимодально, если условие A(x)=1 справедливо только для одной точки действительной оси. Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если A(0) = (6.5) Нечеткое число А положительно, если x suppA , x > 0 и отрицательно, если x suppA, x < 0. Для практических вычислений удобно работать с нечеткими числами треугольного A = (a1,a2,a3) или трапециевидного A = (a1,a2,a3,a4) вида, что соответствует (aL,a,a,aR) в формуле (1.3) Операции над нечеткими числами Нечеткие числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и обычные числа. Для определения арифметических операций  = {+, -, *, / } Л.А. Заде был сформулирован Принцип обобщения. Пусть А и В – два нечетких множества. f : R1  R1  R1 некоторая функция c = f (a,b) , определяющая арифметическую операцию (например сложение f (a,b) = a + b), тогда значение С = f (А,В) этой функции на нечетких числах А и В имеет функцию принадлежности, вычисляемую по следующей формуле: С (х) = sup(x,y): z=f(x,y) min (A(x), B(y)) (6.6) В этом случае  - срезы (уровни) нечеткого множества С имеют вид: С = {c = f (a,b) aA, bB }. (6.7) Бинарные операции  = {+, -, *, / } теперь можно определить с.о.: А  В = U C (u) / (a  b). (6.8) При решении прикладных задач мы редко имеем дело с бинарными арифметическими операциями. Обычно рассматриваются многомерные арифметические выражения. Пусть, например, С= A / (A + B), где А, В, С – нечеткие числа. Сначала найдем сумму A + B, а затем частное от деления А на (A + B). При этом где -обычное множество С-уровня. f – нечеткое число. С(f ) = . Если, считать, что в определение С (в числитель и знаменатель) входит одно и то же число А, то должно быть: } = . Очевидно, что  , а значит . Таким образом, если значение величины С считать нечеткое число , то нечеткое число будет лишь охватывающей оценкой для С. Замечание. Изложенное будет справедливо и при более сложных нечетких арифметических выражениях. Применяя принцип расширения к арифметическим операциям и трапециевидным нечетким числам, получим следующие правила сложения и вычитания: (a1,a2,a3,a4) + (b1,b2,b3,b4) = (a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4 +b4), (6.9) (a1,a2,a3,a4) - (b1,b2,b3,b4) = (a1-b4,a2-b3,a3-b2,a4 –b1). (6.10) Произведение и частное трапециевидных чисел уже не будет трапециевидными, но будут криволинейно трапециевидными (рис. 6.2) рис.6.2. Криволинейное трапециевидное нечеткое число В данном случае можно написать приближенные равенства: (a1,a2,a3,a4)  (b1,b2,b3,b4) = (a1b1,a2b2,a3b3,a4 b4), (6.11) (a1,a2,a3,a4) / (b1,b2,b3,b4) = (a1/b4,a2/b3,a3/b2,a4 /b1). (6.12) Здесь предполагается, что нечеткие числа положительны, т.е. аi  0, bi > 0. С нечетким трапециевидным числом А = (a1,a2,a3,a4) можно связать две числовые характеристики: Среднее значение Е(А), вычисляемое по формуле: (6.13) Дисперсия Var(A) : . (6.14) Данные формулы имеют место, если функцию принадлежности интерпретировать как (ненормированную) плотность вероятностного распределения и рассмотреть математическое ожидание и дисперсию соответствующей случайной величины. Пример№ Пусть дано два нечеткие числа А и В. А = {0.5/1.8, 1/2, 0.5/2.2} B = {0.6/2.9, 1/3, 0.4/3.3} C = A+B =sup{min(0.5,0.6)/(1.8+2.9); min(0.5,1)/(1.8+3); min(0.5,0.4)/(1.8+3.3); min(1,0.6)/(2+2.9); min(1,1)/(2+3); min(1,0.4)/(2+3.3); min(0.5,0.6)/(2.2+2.9); min(0.5,1)/(2.2+3); min(0.5,0.4)/(2.2+3.3)}= = sup{0.5/4.7; 0.5/4.8; 0.4/5,1; 0.6/4.9; 1/5; 0,4/5.3; 0.5/5.1; 0.5/5.2; 0.4/5.5} = = {0.5/4.7; 0.5/4.8; 0.6/4.9; 1/5; 0,4/5.3; 0.5/5.1; 0.5/5.2; 0.4/5.5} Сравнение нечетких чисел Рассмотрим два нечетких числа <А, R1, SA> и , у которых SAI SB  0 (рис. 6.3). При решении задачи о выборе можно реализовать разные подходы к выбору четкого значения нечеткого числа, при этом соотношение между четкими значениями нечетких чисел и между именами нечетких чисел могут быть различными. Пусть, например, в первой реализации четкие значения нечетких чисел а1 и b1, во второй а2 и b2. Из рис. 6.2 видно, что в первой ситуации А< B (т.к. a1 < b1), а во второй - А > B (поскольку а2 > b2). Таким образом, отношение порядка на множестве нечетких чисел является нечетким. Лишь в том случае, когда SAI SB = 0, отношение между числами будет четким, в этом частном случае при любом выборе четкого значения нечеткого числа из условия а1 < b1, всегда следует А < B. Существуют процедуры по вычислению некоторой четкой функции H(A, B) от нечетких аргументов, которые называются индексом ранжирования. Значение индекса для конкретной пары чисел дает основание решить вопрос о том, какое из двух нечетких чисел больше (или с какой степенью больше). Приведем пример индекса ранжирования: H(A,B) = H+(A) - H+(B), H+(A) = (6.15) где А0 – a – уровневое подмножество нечеткого множества А. М(А0) = (а- + а+)/2; a - = a; a+ = a. (6.16) При этом, если H(A,B) > 0, то A > B. Данный индекс ранжирования учитывает форму функции принадлежности. Пример. Два истребителя противоборствующих воздушных армий руководствуются стратегиями: А: Если снарядов мало, то вероятность поражения противника малая, иначе не малая. В: Если снарядов не мало, то вероятность поражения противника большая, иначе не большая. Известно, что мало снарядов = А=(0.8/3, 0.4/15, 0.3/30), малая вероятность = B=(0.1/0.9, 0.5/0.5, 0.8/0.1), большая вероятность = C = (0.8/0.9, 0.5/0.5, 0.3/0.2). Количество снарядов не очень мало. Кто победит? Определим все необходимые для решения задачи нечеткие множества: не мало снарядов = А = (0.2/3, 0.6/15, 0.3/30). не малая вероятность = B = (0.9/0.9, 0.5/0.5, 0.2/0.1). не большая вероятность = C = (0.2/0.9, 0.5/0.5, 0.7/0.2). не очень мало = (мало)2. (мало)2 = (0.64/3, 0.16/15, 0.09/30) = (0.36/3, 0.84/15, 0.91/30) Определим нечеткое отношение стратегии А: R1 = AB Y y1 = x  R1 = 0.36 0.84 0.91  = (0.6/0.9, 0.5/0.5, 0.4/0.1) Определим нечеткое отношение стратегии B: R2 = Y2 = x  R2 = 0.36 0.84 0.91  = (0.48/0.9, 0.36/0.5, 0.36/0.2) Сравним полученные результаты y1 и y2 между собой, для чего воспользуемся индексом ранжирования H(y1, y2). H+(y1) = 0.4*(0.1 + 0.9)/2 + 0.5*(0.5 + 0.9)/2 + 0.6*(0.9 + 0.9)/2 = 0.2 + 0.35 + 0.54 = 1.09 H+(y2) = 0.36*(0.2 + 0.9)/2 + 0.48*(0.9 + 0.9)/2 = 0.198 + 0.432 = 0.63 H(y1, y2) = 1.09 - 0.63 = 0.46 > 0. Таким образом, истребитель со стратегией А победит. Лингвистические неопределенности Как уже отмечалось, значения лингвистической переменной являются символами нечетких подмножеств, которые представляют собой фразы или предложения формального или естественного языка. Например, если U есть набор целых чисел U = (0, 1, 2, . . . , 100) и возраст есть лингвистическая переменная, тогда значения лингвистической переменной могут определяться словосочетаниями: молодой, не молодой, очень молодой, не очень молодой, старый и т.д. Основная проблема, которая возникает при использовании лингвистической переменной, заключается в следующем: пусть дано значение любого элементарного термина xi, i = j..n, в составном термине u = xj...xn, который представляет собой значение лингвистической переменной. Требуется вычислить значение u в смысле нечеткого множества. Рассмотрим более простую задачу - вычисление значения составного термина вида u = hx, где h - неопределенность, а х - термин с фиксированным значением. Например, u = очень высокий человек, где h = очень, а х = высокий человек. Будем рассматривать h как оператор, который переводит нечеткое множество M(x), представляющее значение x, в нечеткое M(hx). Теперь неопределенность выполняет функцию генерации большого множества значений для лингвистической переменной из небольшого набора первичных элементов. Например, используя неопределенность очень в сочетании с отрицанием НЕ и первичным термином высокий, мы можем генерировать нечеткие множества очень высокий, не очень высокий и т.п. Для неопределенности h удобно использовать некоторые основные операции, определенные ранее, особенно операции степень, CON, DIL, INT. Покажем, как это можно сделать для естественной неопределенности очень и искусственных неопределенностей плюс и минус. Аналогичным образом можно определить неопределенности больше, меньше, много, слабо, вроде, вполне и другие. В обычном использовании неопределенность очень не имеет четко определенного значения. Она действует как усилитель, генерируя подмножества того множества, к которому она применяется. Аналогичным образом действует операция концентрирования. Поэтому очень u, где u - некоторый термин, может быть определенно как квадрат u, т.е. очень u = u2 =Yи (u)/u . (6.17) Например, если u = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5), тогда очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5). Рассматриваемый как оператор, очень может сочетаться с самим собой. Так, например: очень очень маленький = (1/1, 0.4/2, 0.1/3) Заметим, что порядок следования элементарных терминов в составном термине существенно влияет на результат. Так, например: u = очень не точно = и u = не очень точно = не одно и то же. С другой стороны, не очень точно может быть записано по-разному, хотя результат будет один и тот же. u = не очень точно = = . Искусственные неопределенности плюс и минус служат для придания более слабых степеней концентрации и растяжения, чем те, которые определяются операциями CON и DIV. плюс и =и1.25 = (6.18) минус и =и0.75 = (6.19) Вследствие (6.18) и (6.19) мы имеем приближенные тождества, которыми часто пользуются на практике плюс u = минус очень u (6.20) минус очень очень u = плюс плюс очень u (6.21) Проиллюстрируем это на примере. Пример Если неопределенность в высшей степени определена как минус очень очень, тогда можно записать: в высшей степени u = плюс плюс очень u. Вычисление значений лингвистических переменных Приведем несколько примеров вычисления значений лингвистической переменной. Пример 1 Пусть u = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5) Лингвистические переменные очень маленький возраст и очень очень маленький возраст определены выше. Определим лингвистическую переменную не очень очень маленький возраст. Обозначим ее и тогда: u = = (0/1, 0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5) ≈ ≈ (0.4/2, 0.6/3, 0.8/4, 1/5). очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5). (очень маленький)2 = (1/1, 0.41/2, 0.13/3, 0,03/4, 0.001/5). = = (0/1, 0.59/2, 0.87/3, 0.97/4, 0.999/5), здесь инверсия = (1 - (х)/х). Пример 2 Пусть и1 = маленький возраст = (1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5). u2 = большой возраст = (0.2/1, 0.4/2, 0.6/3, 0.8/4, 1/5). Определим лингвистическую переменную . u = не очень маленький и не очень очень большой возраст. u = I ≈ (0.4/2, 0.6/3, 0.8/4, 1/5) I (1/1, 1/2, 0.9/3, 0.6/4, 0.5/5) = = (0.4/2, 0.6/3, 0.6/4). Рассмотрим вычисления: очень маленький = (1/1, 0.64/2, 0.36/3, 0.16/4, 0.04/5), не очень маленький = (0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5), очень большой возраст = (0.04/1, 0.16/2, 0.36/3, 0.64/4, 1/5), очень очень большой возраст = (0.001/1, 0.03/2, 0.13/3, 0.41/4, 1/5), не очень очень большой возраст = (0.998/1, 0.97/2, 0.87/3, 0.59/4). Таким образом, u = I = (0.36/2, 0.64/3, 0.84/4, 0.96/5)  (0.998/1, 0.97/2, 0.87/3, 0.59/4) = = (0.36/2, 0.64/3, 0.59/4) В примере 2 при определении операции I был использован минимаксный подход. Пример 3 Пусть первичный термин сходство задан в виде: Сходство x = (1/1, 0.9/1, 0.8/1, 0.7/0.8, 0.6/0.6, 0.5/0.5, 0.4/0.3, 0.3/0.2). Здесь элементы исходного множества представляют вероятности X = (1, 1, 1, 0.8, 0.6, 0.5, 0.3, 0.2). Как уже отмечалось, в высшей степени = минус очень очень, а непохоже определим, как не похоже. Тогда очень очень непохоже = (не похоже)4 = (0.02/0.6, 0.06/0.5, 0.13/0.3, 0.24/0.2). Окончательно имеем: u = минус очень очень не похоже = (0.02/0.6, 0.0121/0.5, 0.13/0.3, 0.24/0.2)075 = (0.053/0.6, 0.0121/0.5, 0.21/0.3, 0.34/0.2). Следует заметить, что при вычислении значения составного термина используются обычные правила предшествования. C добавлением неопределенностей эти правила предшествования можно выразить следующим образом: Предшествование Операция первое h, не второе и третье или Для изменения порядка предшествования можно использовать скобки и разрешать неопределенности путем объединения членов справа. Так плюс очень минус очень высокий следует интерпретировать как: Плюс( очень( минус (очень (высокий)))). Контрольные вопросы 1. Дайте определение нечеткой переменной. 2. Определите лингвистическую переменную. 3. В чем заключается отличие числовой лингвистической переменной от нечисловой? 4. Определите нечеткие числа и операции над ними. 5. В чем заключается Принцип обобщения Заде? 6. Дайте понятие лингвистической неопределенности. 7. Как сравнить два нечетких числа? Упражнения 1. Приведите пример нечеткой переменной. 2. Приведите пример числовой лингвистической переменной. Подробно изложите суть синтаксической и семантической процедур. 3. Приведите пример нечисловой лингвистической переменной. Подробно изложите суть синтаксической и семантической процедур. 4. Введите правила определения понятий «чрезмерно», «достаточно» 5. Дано нечеткое множество небольшой = {1/1, 2/1, 3/0.8, 4/0.5, 5/0.1}. Найдите нечеткие множества очень небольшой, не очень большой, достаточно небольшой. 6. Определите значение лингвистической переменной u = не очень сладкий и достаточно кислый если известно, что сладкий = (яблоко/0.8, ананас/0.6, лимон/0.1, манго/0.4) кислый = (яблоко/0.2, ананас/0.5, лимон/0.9, манго/0.4). 8. Используя принцип обобщения Заде для нечетких множеств A = (0.2/3, 0.8/4, 0.4/5, 0.2/6) В = (0.1/3, 0.95/4, 0.3/5) вычислите значение: а) D = А*3 + А/3 б) C = B/(A+B)*A-B 9. Сравните два нечетких числа: А = (0.3/2, 0.6/5, 0.4/8) и В = (0.1/2, 0.7/5, 0.5/8). Заключение Первая часть учебного пособия содержит основы теории нечетких множеств и посвящена, в основном, математическим аспектам этой теории. Весь материал разбит на три раздела, каждый раздел завершают контрольные вопросы по материалу раздела и упражнения для самостоятельного выполнения студентами на практических занятиях. К изданию готовится вторая часть пособия, которая будет посвящена приложениям нечеткой логики к информационным процессам в автоматизированных системах и процессам принятия решений у людей в условиях неопределенности. В подобных приложениях центральную роль играет понятие нечеткого алгоритма. Литература 1. L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Заде Л. А. Понятие Лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. 2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.