Математическая статистика

1 Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. ÐÝÓ èì. Ã.Â. Ïëåõàíîâà 2020-2021 Ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà îñíîâàííûõ íà òåîðåòèêî-âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëÿõ ìåòîäîâ àíàëèçà äàííûõ. 2 3 Ãåíåðàëüíàÿ è âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòè Ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îáúåêòîâ, íàä êîòîðûìè ïðîâîäÿòñÿ íàáëþäåíèÿ, èëè âñåõ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé. Âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ (âûáîðêîé) íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Âûáîðî÷íûì ìåòîäîì íàçûâàåòñÿ ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî íà îñíîâå èçó÷åíèÿ âûáîðêè äåëàþòñÿ âûâîäû î ñâîéñòâàõ ã.ñ. Êîëè÷åñòâî îáúåêòîâ â ãåíåðàëüíîé (N ) èëè âûáîðî÷íîé (n) ñîâîêóïíîñòè íàçûâàåòñÿ îáúåìîì äàííîé ñîâîêóïíîñòè. 4 Âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé), åñëè îíà äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðåäñòàâëÿåò ñâîéñòâà ã.ñ. Óñëîâèÿ ðåïðåçåíòàòèâíîñòè: 1. âñå îáúåêòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â âûáîðêó (ò.å. âûáîðêà ñëó÷àéíàÿ); 2. äîñòàòî÷íî áîëüøîé îáúåì âûáîðêè. ×òîáû ïðèìåíèòü ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ ã.ñ. ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìîæíî îïðåäåëèòü ã.ñ. êàê ñîâîêóïíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ íàáëþäåíèé íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Åñëè âûáîðêà ðåïðåçåíòàòèâíà, òî 1. å¼ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, . . . , Xn; 2. ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. Xi ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñ.â. ξ äëÿ âñåõ i. 5 Âûáîðêè áûâàþò áåñïîâòîðíûìè (áåç âîçâðàùåíèÿ) è ïîâòîðíûìè (ñ âîçâðàùåíèåì). Ïðè áåñïîâòîðíîé âûáîðêå ñ.â. X1, . . . , Xn áóäóò çàâèñèìû, ïðè ïîâòîðíîé  íåçàâèñèìû. Íà ïðàêòèêå îáû÷íî ðàáîòàþò ñ áåñïîâòîðíûìè âûáîðêàìè, â òåîðèè  ñ ïîâòîðíûìè. Åñëè îáúåì ã.ñ. äîñòàòî÷íî âåëèê, à âûáîðêà ñîñòàâëÿåò ëèøü å¼ íåçíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü, òî ðàçëè÷èåì ìåæäó ïîâòîðíîé è áåñïîâòîðíîé âûáîðêàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 6 Çíà÷åíèÿ xi ñ.â. Xi, ïîëó÷åííûå ïðè êîíêðåòíîì îïûòå (ò.å. êîíêðåòíûå ÷èñëà x1, . . . , xn), íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè ñ.â. ξ . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âàðèàíò íàçûâàþò ðåàëèçàöèåé âûáîðêè. Âàðèàöèîííûì ðÿäîì ñ.â. ξ íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïî âîçðàñòàíèþ ðåàëèçàöèÿ âûáîðêè. ×èñëî íàáëþäåíèé ni âàðèàíòû xi íàçûâàåòñÿ åå ÷àñòîòîé. Îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî wi = ni/n. Íàêîïëåííîé îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî i wiC = X j=1 wj . Âàðèàöèîííûì ðàçìàõîì íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé âàðèàíòàìè ðÿäà: xmax − xmin. Äèñêðåòíûì ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì èëè äèñêðåòíûì ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì (ä.ñ.ð.) íàçûâàåòñÿ òàáëèöà: xi wi èëè ni Ïîëèãîíîì ÷àñòîò èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ä.ñ.ð. íàçûâàþò ëîìàíóþ ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ (xi , ni ) èëè (xi , wi ). Åñëè ñ.â. ξ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå â íåêîòîðîì èíòåðâàëå, èëè áîëüøîå ÷èñëî ðàçíûõ çíà÷åíèé, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà íåïðåðûâíà. Òàêóþ ñ.â. óäîáíåå èçó÷àòü ïîñëå ãðóïïèðîâêè âàðèàöèîííîãî ðÿäà (ðàçáèåíèÿ åãî íà èíòåðâàëû). 7 Ãðóïïèðîâêà: 1. íàõîäèì íàèáîëüøåå xmax è íàèìåíüøåå xmin çíà÷åíèÿ â âûáîðêå; 2. âåñü äèàïàçîí [xmin, xmax] äåëèì íà k èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâàíèÿ; 3. îòìå÷àþòñÿ ñåðåäèíû èíòåðâàëîâ: x01, . . . , x0k ; 4. åñëè èíòåðâàëû ðàâíûå, òî íàõîäèì äëèíó îäíîãî èíòåðâàëà: h = (xmax − xmin) /k; 5. äëÿ êàæäîãî ïðîìåæóòêà [hi−1, hi), ãäå hi = hi−1 + h, ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ÷àñòîòà  ÷èñëî âàðèàíò ni, ïîïàâøèõ â ýòîò ïðîìåæóòîê. ×èñëî èíòåðâàëîâ ÷àùå âñåãî íàõîäÿò ïî ôîðìóëå Ñò¼ðäæåñà : k = 1 + log2 N (íå âñåãäà ëó÷øèé âàðèàíò). 1 1 Sturges H. The choice of a class-interval // J. Amer. Statist. Assoc., 1926, v.21, p. Îòíîñèòåëüíàÿ è íàêîïëåííàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà äëÿ ãðóïïèðîâàííûõ äàííûõ îïðåäåëÿþòñÿ äëÿ ïðîìåæóòêîâ [hi−1, hi) ÷åðåç ÷àñòîòó ni ïî òåì æå ôîðìóëàì. Èíòåðâàëüíûì ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì èëè èíòåðâàëüíûì ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì 9 íàçûâàåòñÿ òàáëèöà: [hi−1, hi) x0i wi èëè ni Ãèñòîãðàììîé ÷àñòîò èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò è.ñ.ð. íàçûâàþò ñòóïåí÷àòóþ ôèãóðó, ñîñòîÿùóþ èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíèÿìè øèðèíû h è âûñîòàìè ni /h èëè wi /h. Ãèñòîãðàììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëîãîì ôóíêöèè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f (x).