Математическая модель кривой провисания провода (троса)

Математическая модель кривой провисания провода (троса) Математическая модель кривой провисания провода (троса). Определение стрелы провеса и длины провода Принимаемые допущения: 1) в инженерных расчётах статического поведения провода допускается пренебрегать его изгибной жесткостью и рассматривать провод как идеально гибкую равномерно нагруженную тяжелую нить; 2) предельное относительное удлинение проволок εразр ≤ 4% нить является практически нерастяжимой, и её можно представить как цепь, положение которой в пространстве описывается уравнением цепной линии. Это касается в равной степени как свободных от гололёда, так и покрытых гололёдом проводов. Цепная линия Цепная линия – это линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. h0 – параметр цепной линии, м; f0 – стрела провеса, м. В принятой системе координат O'xy уравнение цепной линии имеет вид: x y  h0  ch   h0  (3.26) Цепная линия (продолжение) Свойство цепной линии Цепная линия обладает важным свойством: в любой точке цепной линии тяжение, направленное по касательной, уравновешивается весом отрезка цепи от этой точки до оси абсцисс. T0  F h0  0  h0 (3.27) Здесь T0 и 0 – тяжение и напряжение в низшей точке провода О, соответственно, Н и Н/мм2;  – удельная нагрузка от массы провода без гололёда или с гололёдом, Н/(ммм2). Тогда выражение для параметра цепной линии: h0  0  h0 имеет достаточно большие численные значения (тысячи метров). (3.28) Определение тяжения в точке подвеса провода Тяжение в точке В равно весу отрезка цепи от т. В до оси O'x:  l    TB  F y B  F h0 ch   2h0   F h0  f 0   T0  F f 0 Горизонтальная составляющая тяжения неизменна в любой точке: T   T0  F h0 Вертикальная составляющая тяжения в любой точке: T   T0  Вертикальная составляющая тяжения в точке В: TB  T0  tg  T0  dy dx x dy  F h0 sh  dx  h0  x l 2  l    F h0 sh  2h0  Длину цепной линии на участке ОВ можно определить, проинтегрировав бесконечно малый элемент дуги длиной ds от 0 до l/2: x x  dy  ds  dx  dy  1    dx  1  sh 2  dx  ch  dx  dx   h0   h0  2 l 2 LOB   ds, где 2 2 x  x  2l  l     ch  ds  h0 sh  h0 sh  h0   h0  0  2h0  l 2 Тогда LOB TB  F LOB Формулы для расчёта стрелы провеса и длины цепной линии • Длина всей цепной линии (на участке АВ): L  LАB  2 LOB •  l  2 0  l      2h0 sh sh  2h0    2 0  (3.29) Стрела провеса цепной линии:   l   0   1  f 0  y B  h0  h0 ch   2h0      l     1 ch   2 0   (3.30) Пологая цепная линия Отношение f0 / l  0,06 справедливо для большинства пролётов ВЛ. Большинство пролётов ВЛ могут рассматриваться как пологая цепная линия. Исключения могут составлять большие переходы, которые должны моделироваться цепной линией. Уравнение пологой цепной линии. Формула для расчёта стрелы провеса пологой цепной линии Разложим гиперболический косинус в ряд Маклорена : z2 z4 z2, ch z   1      1  2! 4! 2 x x2 ch    1  2 , 2  h0  h0  где h0  где x. z h0 0 .  Тогда уравнение пологой цепной линии:  x2  x 2  0 x 2 , у  h0 1  2   h0    2h0  2 0  2h0  (3.31) т.е. пологая цепная линия достаточно хорошо моделируется параболой. Отсюда можно определить стрелу провеса пологой цепной линии:  l2  l2 l 2   h0  f 0  y B  h0   h0   8h0  8h0 8 0  (3.32) Определение длины пологой цепной линии Разложим гиперболический синус в ряд Маклорена : z3 z5 z 3, shz   z      z  3! 5! 6 где x. z h0 x x x3 sh    3  h0  h0 6  h0 Тогда длина пологой цепной линии:  l  l3 l3 . l L  2h0   3 2 24h0  2h0 6  2h0    h0  0   2l 3 Ll 2 24 0 (3.33) Отличие длины пологой цепной линии от длины пролёта Стрела провеса пологой цепной линии  l2 f0  8 0  2l 4 f0  2 2 8 0 2 Длину пологой цепной линии можно выразить через стрелу провеса: 2  2l 3 8l 8 f0 Ll  l 2 3l 24 0 8l или в относительных единицах: L 8  f0  L   1   * l 3 l  2 Т.к. для пологой цепной линии f0  0,06 l L  1 * 8 0,062  1  0,0096  1,01 3 Вывод: длина пологой цепной линии L отличается от длины пролета l не более, чем на 1%. В некоторых случаях допускается пренебрегать этим отличием и считать, что L=l. Уравнение физико-механического состояния провода Уравнение физико-механического состояния провода (троса) Напряжение в проводе изменяется при изменении внешней нагрузки и температуры. Описанная в математической форме взаимная зависимость этих изменений называется уравнением состояния провода. m – начальное или исходное состояние провода (известно); n – конечное или искомое состояние провода (неизвестно); l – приращение длины пролета . Уравнение состояния провода выводится из условия равенства относительного удлинения провода L сумме приращений его продольной деформации за счёт * изменения напряжения  и температуры  при переходе от исходного состояния “m” к конечному – “n”: L       * (3.34) Удлинение провода при изменении внешних условий Удлинение провода при переходе от исходного состояния “m” к искомому – “n”:  n2 l  l 3  m2 l 3  n2 l  l 3  m2 l 3 L  Ln  Lm  l  l   l   l   2 2 2 24 n 24 m 24 n 24 m2 Т.к. l   l  l 3  l 3  3l 3l  3ll 2  l 3  l 2 l  3l   l 3 малые величины ≤ 3 % от l Тогда  n2l 3  m2 l 3 L  Ln  Lm    l 2 2 24 n 24 m Для пологой цепной линии можно считать, что Lm = l. Следовательно, относительное удлинение провода при переходе от исходного состояния “m” к искомому – “n”: Ln  Lm Ln  Lm  n l 2  m l 2 l L      2 2 * Lm l 24 n 24 m l 2 2 (3.35) Изменение продольной деформации провода Приращение продольной деформации провода за счет изменения напряжения в соответствии с законом Гука определяется по формуле:     n   m  n E  m E , (3.36) где Е – модуль упругости провода, Н/мм2. Приращение продольной деформации провода за счет изменения температуры      n   m  , где (3.37)  – температурный коэффициент линейного расширения провода, 1/С. Вывод уравнения состояния провода В результате подстановки выражений (3.35) – (3.37) в уравнение (3.34) получим:  n 2l 2  m 2l 2 l  n  m        n   m  2 2 24 n 24 m l E E (3.38) Форма записи уравнения состояния провода, удобная для графического решения Умножим каждый член уравнения (3.38) на E и перегруппируем слагаемые: Форма записи уравнения состояния провода, удобная для решения численными методами  n 2l 2 E  m 2l 2 E l   n       E     E m m n 2 2 24 n 24 m l В (3.39) А n  В  2 n А    2 n  n3  А n2  В  0 Нелинейное неполное кубическое уравнение (3.40) Решение уравнения состояния провода методом Ньютона. Графическая интерпретация метода Ньютона Поиск решения нелинейного уравнения f(σ)=0 Задаёмся σ0 k=0 σk = σ0 В точке с координатами (σk, f(σk)) строим касательную к графику f(σ) Определяем следующее приближение σk+1 |σk+1 - σk| ≤ ξ Да σ = σk+1 конец Нет k = k+1 σk = σk+1 Итерационная формула метода Ньютона Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс: tg  f  0   f  0   0  1  0  1  f  0  f  0  1   0  f  0  f  0  Аналогично можно получить выражение:  2  1  f  1  f  1  и т.д. В общем виде для (k+1)-й итерации:  k 1   k  f  k  , f  k  где k – номер итерации. (3.41) Итерационная формула для решения уравнения состояния провода методом Ньютона Для решения уравнения состояния провода на k-й итерации : f  n ,k   3 n2,k  2 A n ,k f  n ,k    n3,k  A n2,k  B Подставляя выражения для f (σn,k) и Ньютона (3.41), получим:  n ,( k 1)   n ,k  n ,( k 1) f ' (σn,k) в итерационную формулу метода  n3,k  A n2,k  B 3 n3,k  2 A n2,k   n3,k  A n2,k  B 2 n3,k  A n2,k  B    2 3 n ,k  2 A n ,k  n ,k 3 n ,k  2 A  n ,k 3 n ,k  2 A  n2,k 2 n ,k  A  B  ,  n ,k 3 n ,k  2 A где k – номер итерации. (3.42) Эмпирические формулы для определение начального приближения σn,0:  n ,0  1,02 B 2 3  A2 , если A  0 B  n ,0  1,035 1 3 , если A  0 2 B A (3.43) Графическое решение уравнения состояния провода Перегруппируем слагаемые в уравнении (3.38) следующим образом: Для упрощения рассмотрим анкерный пролёт, в котором провод по концам закреплён неподвижно, т.е. l = 0.  m l m  n l  n l            n m 2 24 m E E l 24 n2 2 2 m Lm * 2 2 Ln * n  ? Вторая форма записи уравнения состояния провода – относительно стрел провеса  n2l 2 E  m2 l 2 E l   n       E     E m m n 2 2 24 n 24 m l Стрелы провеса провода в состояниях “m” и “n”:  ml 2 fm  8 m m   ml 2 8 fm  nl 2 fn  8 n n   nl 2 8 fn Подставим выражения для σ n и σ m в исходное уравнение состояния провода:  nl 2 8 f n2 E  m l 2 8 f m2 E l     E  m   n   E 2 2 8 fn 3l 8 fm 3l l 2  3 l f n  и перенесём все слагаемые Умножим каждый член этого уравнения на    8E    в левую часть уравнения:  2 3 m l 4 3  3 n l 4 f  fn   fm   l l  l  m   n   0 64 f m E 8   64 E 3 n p (3.44) q f n3  pf n  q  0 – нелинейное неполное кубическое уравнение Третья форма записи уравнения состояния провода – комбинированная  n2l 2 E  m2 l 2 E l   n       E     E m m n 2 2 24 n 24 m l Выразим только напряжение σ n через стрелу провеса f n:  nl 2 fn  8 n n   nl 2 8 fn Подставим выражение для σ n в исходное уравнение состояния провода:  nl 2 8 f n2 E  m2 l 2 E l         E     E m m n 2 2 8 fn 3l 24 m l А 2  3 l f n  и перенесём все слагаемые Умножим каждый член этого уравнения на    8E    в левую часть уравнения: 2 4   3 l A 3  l f n3  f n      n  0  8E  64 E p> <0 (3.45) q>0 f n3  pf n  q  0 (3.46) Решение уравнений состояния провода в форме записи относительно стрел провеса и в комбинированной форме записи итерационным методом Ньютона Нужно найти решение уравнения F (fn) = 0, где F  f n   3 f n2  p F  f n   f n3  pf n  q Подставляя выражения для F (fn) и Ньютона f n ,( k 1)  f n ,k  f n ,( k 1)  f n ,k f n ,( k 1) F ' (fn) в итерационную формулу метода F  f n ,k  , получим: F  f n ,k  f n3,k  pf n ,k  q 3 f n3,k  pf n ,k  f n3,k  pf n ,k  q   2 3 f n ,k  p 3 f n2,k  p 2 f n3,k  q  2 , 3 f n ,k  p где k – номер итерации. (3.47) Графическое решение уравнений состояния провода в форме записи относительно стрел провеса и в комбинированной форме записи 3 f Перепишем уравнение (3.46) следующим образом: n  pf n  q