Логика. Множества. Вероятность

V.A. Leksaqenko LOGIKA. MNOESTVA. VEROTNOST^ 2005 UDK 510.4(075) BBK 22.12l7 L43 Leksaqenko V. A. Logika. Mnoestva. Verotnost~: Uqeb. posobie. 2-e izd., ispr. i dop./SPbGUAP. SPb., 2005. 135s. L43 Uqebnoe posobie prednaznaqeno dl studentov mladxih kursov tehniqeskih vuzov. Cel~ vlets oznakomlenie studentov s glavnymi matematiqeskimi pontimi razdelov, pereqislennyh v zaglavii, i metodami rexeni osnovnyh matematiqeskih zadaq. Material posobi predstavlet sobo$ i rasxirennye konspekty lekci$ i, qitaemyh avtorom po kursam "Matematiqeska logika" i "Teori verotnoste$ i , matematiqeska statistika, teori sluqa$ i nyh processov". V konce kadogo razdela imets upraneni, qast~ oqno$ kotoryh moeti byt~ studentov i i zaoqno$ form ispol~zovana obuqeni. kak kontrol~nye raboty dl Recenzenty: kafedra matematiki Voenno-kosmiqesko$ i akademii im. A. F.vysxe$ Moa$iiskogo; doktor fiziko-matematiqeskih nauk N. . Kirpiqnikova Utverdeno redakcionno-izdatel~skim sovetom universiteta v kaqestve uqebnogo posobi Sdano vofsetna. nabor 3.05.05. Podpisano k peqati 31.10.05. Usl. Formatpeq.60×84 / . Bumaga Peqat~ ofsetna. l. 7,84. Usl. kr.-ott. 7,97. Uq.-izd. l. 7,69. Tira 500 kz. Zakaz Redakcionno-izdatel~ski$ i otdel biblioteki Otdel lektronnyh publikaci$ i i bibliografii Otdel operativno$ i poligrafii SPbGUAPul. B.Morska, 67 190000, Sankt-Peterburg, 1 c  16 GOU VPO "Sankt-Peterburgski$ i gosudarstvenny$ i universitet a rokosmiqeskogo priborostroeni", 2005 PREDISLOVIE Uqebnoe posobie prednaznaqeno dl pervonaqal~nogo izuqeni studentami tehniqeskih vuzov sleduwih vzaimosvzannyh razdelov matematiki: matematiqeska logika, teori mnoestv, teori verotnoste$ i, teori sluqa$ inyh processov, matematiqeska statistika. Matematiqeska logika daet studentu bolee polnoe predstavlenie o logiqeskih sredstvah, ispol~zuemyh v matematiqeskih rassudenih, a take vlets osnovo$ i takih prikladnyh disciplin, kak informatika i vyqislitel~na tehnika. V matematiqesko$ i logike studenty vpervye stalkivats s pontiem bulevo$ i algebry. Teori mnoestv, kotoru mono rassmatrivat~ kak prikladno$ i razdel matematiqesko$ i logiki, vlets osnovo$ i vseh razdelov sovremenno$ i matematiki. Rassmatrivaemye v tih razdelah sistemy mnoestv obyqno vlts bulevymi algebrami podmnoestv nekotorogo mnoestva, nazyvaemogo prostranstvom. V teorii verotnoste$ i, teorii sluqa$ inyh processov, matematiqesko$ i statistike osnovnym matematiqeskim pontiem vlets buleva algebra sobyti$ i, traktuemyh kak podmnoestva prostranstva vseh ishodov statistiqeskogo ksperimenta. Takim obrazom, ponti mnoestva i bulevo$ i algebry vlts sternmi, soedinwimi razdely uqebnogo posobi. Cel~ avtora vlets oznakomlenie qitatel s osnovnymi matematiqeskimi pontimi tih razdelov i metodami rexeni neslonyh zadaq. Pri izuqenii pervyh dvuh razdelov ot studentov trebuets znanie matematiki i lementov ”naivno$ i” teorii mnoestv, v obeme, predusmotrennom xkol~no$ i programmo$ i. Izloenie posleduwih razdelov uqityvaet to, qto po suwestvuwim programmam obuqeni im predxestvut kursy line$ ino$ i algebry i matematiqeskogo analiza. V konce razdelov privodts upraneni. Upraneni s nomerami, snabennymi verhnim indesom ”k”, imet primery rexeni$ i. Ih mono ispol~zovat~ kak domaxnie zadani i kontrol~nye raboty dl studentov oqno$ i i zaoqno$ i form obuqeni. Razdely posobi numeruts rimskimi ciframi, a podrazdely — arabskimi. Vnutri kadogo podrazdela nomer opredeleni (teoremy, primera) sostoit iz nomera podrazdela, posle kotorogo qerez toqku sleduet pordkovy$ i nomer opredeleni (teoremy, primera). Esli trebuets ssylka na drugo$ i razdel, to sleva k nomeru dobavlets nomer razdela i toqka. 3 I. MATEMATIQESKA LOGIKA 1. Funkcii algebry logiki S povleniem cifrovyh vyqislitel~nyh maxin (CVM) razdel matematiki, nazyvaemy$ i algebro$ i logiki, stal neotemlemo$ i qast~ inenernyh disciplin, posvwennyh proektirovani vyqislitel~nyh maxin. tomu sposobstvovalo sluqa$ inoe sovpadenie — v klassiqesko$ i logike vyskazyvani prinimat dva znaqeni: 0 (lo~), 1 (istina), a v osnovu konstrukcii sovremennyh CVM po soobraenim, svzannymi s prostoto$ i i nadenost~ realizacii, byli poloeny lektronnye lementy s dvum usto$ iqivymi sostonimi* (ih take printo oboznaqat~ simvolami 0, 1). D. Bul~, vpervye primenivxi$ i v seredine XIX veka algebraiqeskie metody k rexeni tradicionnyh logiqeskih zadaq, sozdal algebru logiki, vlwus po suwestvu teorie$ i funkci$ i, argumenty kotoryh i sami funkcii prinimat znaqeni iz mnoestva B = {0, 1} . ti obstotel~stva pozvolili proektirovwikam CVM vekom poze vospol~zovat~s gotovym matematiqeskim apparatom algebry logiki, sozdannym ranee dl drugih cele$ i. Kady$ i sovremenny$ i xkol~nik znaet, qto CVM vlets sredstvom obrabotki informacii, predstavlemo$ i mnogorazrdnymi dvoiqnymi qislami. Dl togo qtoby qislo (x1 . . . xn )2 mono bylo by sqitat~ informacie$ i, kado$ i cifre xi ili gruppe cifr togo qisla pridaets opredelenny$ i smysl. Naprimer, informaci o qislovyh dannyh s plavawe$ i zapto$ i soderit gruppy cifr, predstavlwie v dvoiqno$ i sisteme sqisleni mantissu qisla, ego pordok, znak pordka i znak mantissy; informaci o komande soderit gruppy cifr, predstavlwie kod operacii, adresa operandov i moet byt~ nekotorye dopolnitel~nye gruppy cifr; informaci ob ustro$ istvah (blokah) CVM predstavlets qislami, nazyvaemymi slovami sostoni ustro$ istv. Odnako, kakov by ni byl smysl komponent informacii, v lbom ustro$ istve CVM kada cifra vyhodno$ i informacii vlets funkcie$ i algebry logiki (bulevo$i funkcie$i) vida f (x1 , . . . , xn ) . Avtor nadeets, qto taka interpretaci bulevyh funkci$ i budet dopolnitel~no stimulirovat~ interes k matematiqesko$ i logike u naqinawih ee izuqat~. Odna iz pervyh sovetskih CVM | maxina "Setun~" byla postroena na osnove lementov s trem usto$iqivymi sostonimi. * 4 1.1. Osnovnye opredeleni i sootnoxeni Mnoestvo n-komponentnyh vektorov x = (x1 , . . . , xn ) , komponenty kotoryh prinimat znaqeni 0 ili 1, oboznaqim simvolom Bn i poloim B1 = B . Opredelenie 1.1 (Bulevy funkcii). Bulevo$i funkcie$i n peremennyh ili n-arno$i operacie$i v B ( unarno$i pri n = 1 , binarno$i pri n = 2) nazyvaets funkci s oblast~ opredeleni Bn i oblast~ znaqeni$i B . Funkci n peremennyh budet oboznaqat~s simvolami f (x1 , . . . , xn ) ili f (x ) . Kadomu vektoru x = (x1 , . . . , xn ) iz mnoestva Bn vzaimno odnoznaqno sootvetstvuet ego nomer N ( x) , predstavlenny$ i n-razrdnym dvoiqnym qislom (x1 . . . xn )2 . Po tomu koliqestvo lementov mnoestva Bn ravno koliqestvu n-razrdnyh dvoiqnyh qisel, kotoroe, kak izvestno, ravno 2n . Koneqnost~ oblasti opredeleni bulevyh funkci$ i pozvolet zadavat~ ih tabliqnym sposobom (tabl. 1) Tablica 1 Tabliqnoe zadanie bulevyh funkci$ i x1 1 ... ... ... ... ... ... xn−1 1 xn 1 1 1 f (x1 , . . . , xn−1 , xn ) f (0, . . . , 0, 0) f (0, . . . , 0, 1) f (0, . . . , 1, 0) ... f (1, . . . , 1, 1) Opredelenie 1.2 (Standartnye tablicy). Tabliqnoe zadanie funkcii f (x ), v kotorom stroki argumentov sledut v pordke vozrastani nomerov vektorov x , budem nazyvat~ standartnym. V standartnyh tablicah bulevo$ i funkcii f vzaimno odnozn naqno sootvetstvuet vektor (f (0, . . . , 0), . . . , f (1, . . . , 1)) ∈ B(2 ) i nomer N (f ) , ravny$ i nomeru togo vektora. Qislo funkci$ i n (2n ) peremennyh ravno qislu takih vektorov, t. e. 2 . Pri n = 0 mnoestvo funkci$ i svodits k dvum konstantam 0 i 1. Qislo bulevyh funkci$ i odno$ i i dvuh peremennyh ravno 4 i 16, sootvetstvenno. V tabl. 2 predstavleny vse funkcii odno$ i i dvuh peremennyh, priqem dl kompaktnogo predstavleni vseh funkci$ i vektory peremennyh predstavleny v vide stolbcov, a vektory funkci$ i — v vide strok. 5 Tablica 2 Bulevy funkcii odno$ i i dvuh peremennyh x 1 Oboznaqenie f0 (x) f1 (x) f2 (x) f3 (x) 1 1 1 1 x x, ¬x 1 x y f0 (x, y) f1 (x, y) f2 (x, y) f3 (x, y) f4 (x, y) f5 (x, y) f6 (x, y) f7 (x, y) f8 (x, y) f9 (x, y) f10 (x, y) f11 (x, y) f12 (x, y) f13 (x, y) f14 (x, y) f15 (x, y) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Oboznaqenie x∧y, x · y x\y x, δ1 (x, y) y\x y, δ2 (x, y) x ⊕ y, x + y x∨y x↓y x ∼ y, xy y y→x x x→y x|y 1 Naimenovanie Otricanie Naimenovanie Konnkci Raznost~ 1- koordinata Raznost~ 2- koordinata Sloenie mod 2 Diznkci Strelka Pirsa kvivalenci Implikaci Implikaci Xtrih Xeffera Opredelenie 1.3 (Dvo$ istvennye funkcii). Dvo$istvenno$i f (x1 , . . . , xn ) nazyvaets funkci f ∗ (x1 , . . . , xn ) ‹ f (x1 , . . . , xn ) . k Teorema 1.1 (Svz~ tablic funkci$ i f i f ∗ ). Tablica dl f ∗ poluqaets iz tablicy dl f zameno$i vseh nule$i edinicami, edinic — nulmi, oboznaqeni f v zagolovke na f ∗ i perestanovko$i strok dl privedeni tablicy k standartnomu vidu. D o k a z a t e l ~ s t v o . Dl kado$ i stroki x1 , . . . , xn , f ∗ (x1 , . . . , xn ) v tablice dl f ∗ na$ idets stroka x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn ) v tablice dl f i v tih strokah f ∗ (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) . J Sledstvie 1 (Funkci f ∗∗ ). f ∗∗ (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) . Sledstvie 2 (Princip dvo$ istvennosti). Sleduwie ravenstva ∗ f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ), f (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) ravnosil~ny. 6 D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) , to po opredeleni 1.3 f ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) . Obratno, esli f ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) , to f ∗∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗∗ (x1 , . . . , xn ) i po sledstvi 1 f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) . J Tablica 3 Dvo$ istvennye funkcii n peremennyh pri n = 0, 1, 2 f = f ∗∗ 1 x x x∧y x|y f∗ x→y x∼y x x x∨y x↓y y\x x⊕y Teorema 1.2 (Dvo$ istvenna k slono$ i funkcii). Pust~ f1 , . . . , fk — bulevy funkcii n peremennyh, g — buleva funkci k peremennyh, F (x1 , . . . , xn ) = g(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) . Togda F ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (f1∗ (x1 , . . . , xn ), . . . , fk∗ (x1 , . . . , xn )) , t. e. dl poluqeni dvo$istvenno$i k slono$i funkcii F nuno vse funkcii, vhodwie v F , zamenit~ na dvo$istvennye. D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz opredeleni otricani sleduet formula x = x. Uqityva ee, poluqim F ∗ (x1 , . . . , xn ) = F (x1 , . . . , xn ) = g(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) = = g(f1 (x1 , . . . , xn ) . . . fk (x1 , . . . , xn )) = g ∗ (f1 (x1 , . . . , xn ) . . . fk (x1 , . . . , xn )) = = g ∗ (f1∗ (x1 , . . . , xn ), . . . , fk∗ (x1 , . . . , xn )). J V sleduwe$ i teoreme privodts ravenstva dl bulevyh funkci$ i, neobhodimye pri uprowenii logiqeskih formul. V silu principa dvo$ istvennosti v kado$ i stroke formul nado dokazat~ tol~ko odno ravenstvo. i Primer 1.1 (Tabliqnye dokazatel~stva ravenstv). Razvernuty$ variant dokazatel~stva a ∨ b = a∧b priveden v tablice, pomewenno$ i v ramki, a kompaktny$ i variant v tablice bez ramok, v kotoro$ i rezul~taty operaci$ i pixuts pod ih znakami (po tomu dl otricani ispol~zuets znak ¬ vmesto ). a b 1 1 1 1 a∨b a∨b a b a∧b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¬(a∨b ) = (¬a)∧(¬b ) 1 00 01 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 Teorema 1.3 (Osnovnye sootnoxeni). Esli a, b, c ∈ B , to : 1) a ∨ b = b ∨ a , 2) a∧b = b∧a — kommutativnost~ operaci$i ∨ , ∧ ; 3) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, 4) a∧(b∧c) = (a∧b)∧c — associativnost~ operaci$i ∨ , ∧ ; 5) a ∨ (b∧c) = (a ∨ b)∧(a ∨ c), 6) a∧(b ∨ c) = (a∧b) ∨ (a∧c) — distributivnost~ operaci$i ∨ , ∧ ; 7) a ∨ a = a, 8) a∧a = a — idempotentnost~ operaci$i ∨ , ∧ ; 9) a ∨ a = 1 , 10) a∧a = 0 — zakony isklqennogo tret~ego i protivoreqi ; 12) a∧b = a ∨ b 11) a ∨ b = a∧b, — zakony de Morgana ; 13) a ∨ (a∧b) = a , 14) a∧(a ∨ b) = a — zakony pogloweni ; 15) a ∨ 0 = a, 16) a∧1 = a ; 17) a ∨ 1 = 1, 18) a∧0 = 0 ; 19) a = a — zakon dvo$inogo otricani ; 20) a → b = a ∨ b, 21) b\a = b∧a ; 23) a|b = a∧b ; 22) a↓b = a ∨ b , 24) a ⊕ b = (a ∨ b)∧(a ∨ b) , 25) a ∼ b = (a∧b) ∨ (a∧b) ; 26) a ⊕ b = (a\b) ∨ (b\a) , 27) a ∼ b = (a → b)∧(b → a) ; 28) a ⊕ b = a ∼ b = a ∼ b = a ∼ b, 29) a ∼ b = a ⊕ b = a ⊕ b = a ⊕ b ; 30) a ⊕ b = b ⊕ a, 31) a ∼ b = b ∼ a — kommutativnost~ operaci$i ⊕ , ∼ ; 32) a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c, 33) a ∼ (b ∼ c) = (a ∼ b) ∼ c — associativnost~ operaci$i ⊕ , ∼ ; 35) (a ∼ b) ∨ c = (a ∨ c) ∼ (b ∨ c) 34) (a ⊕ b)∧c = (a∧c) ⊕ (b∧c) , — distributivnost~ operaci$i ⊕ , ∧ i ∼ , ∨ ; 37) a ∼ 0 = a ; 36) a ⊕ 1 = a, 39) a ∼ 1 = a ; 38) a ⊕ 0 = a , 40) a ⊕ a = 0 , 41) a ∼ a = 1 ; 42) a ∨ b = a ⊕ b ⊕ (a∧b) , 43) a∧b = a ∼ b ∼ (a ∨ b) ; 44) a = a↓a, 45) a = a|a ; 47) a∧b = (a|b)|(a|b) 46) a ∨ b = (a↓b)↓(a↓b), š š ; a pri b = 1 a pri b = 1 , 49) ab = a ⊕ b = 48) ab = a ∼ b = . a pri b = 0 a pri b = 0 Tabliqnoe dokazatel~stvo osnovnyh sootnoxeni$ i rekomenduets qitatel v kaqestve upraneni. 8 Sledstvie (Podstanovka formul v ravenstva). Osnovnye sootnoxeni vypolnts, esli vmesto peremennyh a, b, c podstavit~ formuly lbyh bulevyh funkci$i. D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ a = f (x ), b = g(x ), c = h(x ). Pri tabliqnom dokazatel~stve lbogo iz ravenstv teoremy snaqala vyqislts znaqeni peremennyh a, b, c , a zatem znaqeni levo$ i i pravo$ i qaste$ i ravenstva. Poskol~ku ravenstvo vypolnets pri vseh soqetanih znaqeni$ i a, b, c , to ono vypolnets i v dannom sluqae. J V silu associativnosti operaci$ i ∨ , ∧ , ⊕ , ∼ vyraeni a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an , a1 ∧a2 ∧ · · · ∧an , a1 ⊕ a2 ⊕ · · · ⊕ an , a1 ∼ a2 ∼ · · · ∼ an prinimat odno i to e znaqenie pri lbo$ i rasstanovke skobok vnutri nih i po tomu ti vyraeni uslovims zapisyvat~ bez skobok. Vvedem sokrawennye oboznaqeni: n n n ^ _ M ai ‹ a1 ∨ · · · ∨ an , ai ‹ a1 ∧ · · · ∧an , ai ‹ a1 ⊕ · · · ⊕ an . i=1 i=1 i=1 Sootnoxeni s oboznaqenimi n _ i=1 ai , n ^ i=1 ai , n M ai pri natu- i=1 i indukcii. ral~nom n dokazyvats metodom matematiqesko$ Kommutativnost~ operaci$ i^ ∨, ∧, ⊕ Mpozvolet vvesti bolee _ ai , gde M — nepusai , ai , obwie oboznaqeni ai ∈M ai ∈M ai ∈M toe Esli M pusto ( M = ∅), to poloim _ koneqnoe ^mnoestvo. M ai ‹ 0 . ai ‹ 1 , ai ‹ 0 , ai ∈∅ ai ∈∅ ai ∈∅ Pust~ Γ — koneqny$ i ili pusto$ i spisok V(mnoestvo) formul funkci$ i algebry logiki. Simvolom Γ oboznaqaets konnkci vseh formul spiska Γ . Pri razliqnyh a, b, c netrudno dokazat~ neravenstva: (a\b)\c 6= a\(b\c), (a → b) → c 6= a → (b → c), (a|b)|c 6= a|(b|c), (a↓b)↓c 6= 6= a↓(b↓c) , oznaqawie neassociativnost~ operaci$ i \, →, |, ↓ . Po tomu, vyraeni a\b\c, a → b → c, a|b|c, a↓b↓c sleduet sqitat~ nekorrektnymi, tak kak v nih otsutstvut skobki, ukazyvawie na pordok vypolneni operaci$ i. Dl sokraweni dokazatel~stv, predstavlennyh v vide posledovatel~nosti sootnoxeni$ i: F1 s1 F2 , F2 s2 F3 , . . . , Fn sn Fn+1 , v kotorye vhodt formuly Fi svzannye logiqeskimi znakami si =→ ili si =∼, ti dokazatel~stva budut simvoliqeski zapisyvat~s sleduwim obrazom [F1 ]s1 [F2 ]s2 , . . . , sn [Fn ]. 9 1.2. Polnye mnoestva bulevyh funkci$ i. Bazisy Iz teoremy 1.3 sleduet, qto nekotorye iz bulevyh funkci$ i mono vyrazit~ qerez drugie i po tomu mnoestvo funkci$ i, predstavlennyh v tabl. 2 izbytoqno. Opredelenie 1.4 (Polnye mnoestva funkci$ i, bazisy). Mnoestvo bulevyh funkci$i nazyvaets polnym, esli lba buleva funkci moet byt~ vyraena qerez funkcii togo mnoestva. Minimal~noe polnoe mnoestvo nazyvaets bazisom. Opredelenie 1.5 (lementarnye konnkcii, diznkcii). lementarno$i konnkcie$ i ( diznkcie$i ) ‘ nazyvaets funkci  Wn Vn c a ( x ) ‹ i=1 xiai , d a ( x) ‹ c a ( x ) = i=1 xiai , gde a , x ∈ Bn . Teorema 1.4š(Svo$ istva funkci$ i c a (x ), šd a ( x) ). 1 pri x = a 0 pri x = a , 1) c a ( x ) = , 2) d a ( x ) = 1 pri x 6= a 0 pri x 6= a 3) esli a 6= b , to c a ( x )∧c b (x ) = 0, c a ( x ) ∨ c b ( x ) = c a ( x )⊕c b ( x ). Vn D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Iz ravenstva c a ( x ) = i=1 (xi ∼ ai ) sleduet, qto c a ( x ) = 1 pri x = a i c a ( x) = 0 pri x 6= a . istva 1. 2. Formula dl d a ( x ) sleduet iz opredeleni i svo$ 3. Iz 1 i a 6= b sleduet c a (x )∧c b ( x ) = 0 , otkuda po osnovnomu sootnoxeni 42 poluqim c a ( x ) ∨ c b ( x ) = c a (x )⊕c b ( x ). J Opredelenie 1.6 (DNF, KNF, SDNF, SKNF). Pust~ bij — bu‘ Wm Vni leva peremenna ili ee otricanie. Vyraenie j=1 bij i=1 nazyvaets diznktivno$i normal~no$i formo$i ( DNF )‘ funkcii, Vm Wni nazyvakotoru ono predstavlet. Vyraenie i=1 j=1 bij ets konnktivno$i normal~no$i formo$i (KNF ) funkcii, kotoru ono predstavlet. DNF ( KNF ) nazyvaets soverxenno$i ili SDNF ( SKNF ) , esli kada peremenna vhodit v kadu lementarnu konnkci ( diznkci ) odin raz. Teorema 1.5 (Predstavleni bulevyh funkci$ i). Vska funkci f (x ) predstavlets formulami : _ 1) f ( x ) = c a ( x ) ‹ (SDNF f )(x) , a ∈{f=1} 2) f ( x ) = ^ d a (x ) ‹ (SKNF f )( x ) , a ∈{f=0} 3) f ( x ) = _ a∈{f=1} 10 da (x) = ^ a ∈{f=0} c a (x ) = M n ^ a ∈{f=1} i=1 (xi ⊕ai ⊕1) , gde {f = 1}, {f = 0} — mnoestva vektorov f ( x ) = 1 i f ( x ) = 0 , sootvetstvenno. x takih, qto D o k a z a t e l ~ s t v o . sno, qto {1 = 0} = {0 = 1} = ∅ . Po tomu ravenstvo 1 pri f = 0 i ravenstvo 2 pri f = 1 spravedlivy po opredeleni. Dokaem 1 i 2 dl ostal~nyh funkci$ i. 1. Esli x takovo, qto f ( x ) = 1 , to x ∈ {f = 1} i v pravo$ i qasti 1 imeets lementarna konnkci c x ( x ) = 1 , obrawawa pravu qast~ v edinicu. Esli x takovo, qto f (x ) = 0 , to x ∈ / {f = 1} i v pravo$ i qasti 1 vse c a ( x ) = 0 i po tomu prava qast~ obrawaets v nul~. 2. Esli x takovo, qto f ( x ) = 0 , to x ∈ {f = 0} i v pravo$ i qasti 2 imeets lementarna diznkci d x ( x ) = 0 , obrawawa pravu qast~ v nul~. Esli x takovo, qto f (x ) = 1 , to i qasti 2 vse d a (x ) = 1 i po tomu prava x∈ / {f = 0} i v pravo$ qast~ obrawaets v edinicu. 3. Pervye dva ravenstva sledut iz 1, 2 i opredeleni 1.5, a tret~e sleduet iz 1, punkta 3 teoremy 1.4 i ravenstv xa = (x ∼ a) = x⊕y = (x⊕a⊕1) . J Iz dokazanno$ i teoremy sleduet, qto mnoestva funkci$ i {∨, ∧, }, {∨, }, {∧, }, {⊕, ∧, 1} polny. Teorema 1.6 (Bazisy). Sleduwie mnoestva funkci$i vlts bazisami : 1) {∨, } — diznktivny$i bazis, 2) {∧, } — konnktivny$i bazis, 3) {⊕, ∧, 1} — bazis egalkina, 4) {↓} — bazis Pirsa, 5) {|} — bazis Xeffera. D o k a z a t e l ~ s t v o . Minimal~nost~ {∨, }, {∧, } sleduet iz togo, qto s pomow~ tol~ko nevozmono poluqit~ konstanty, a s pomow~ tol~ko ∧ ili ∨ nevozmono poluqit~ otricanie. Polnota {↓}, {|} vytekaet iz polnoty {∨, }, {∧, } i osnovnyh sootnoxeni$ i 44 — 47. Minimal~nost~ oqevidna. J 1.3. Bulevy algebry Opredelenie 1.7 (Buleva algebra). Bulevo$i algebro$i nazyvaets mnoestvo A, v kotorom imeets po kra$ine$i mere dva razliqnyh lementa 0 i 1 , zadany dve binarnye operacii ∨, ∧ i odna unarna operaci , udovletvorwie osnovnym sootnoxenim 1 — 19 ( aksiomam bulevo$i algebry ) . Operacii →, \, ↓, |, ⊕, ∼ v A opredelts osnovnymi sootnoxenimi 20 — 25. Dvo$istvennost~ v A formuliruets tak e, kak v opredelenii 1.3. Teorema 1.7 (Edinstvennost~ nul i edinicy bulevo$ i algebry). V lbo$i bulevo$i algebre lementy 0 i 1 edinstvenny. 11 D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli imets razliqnye nuli edinicy: i 1, 2, 15, 16 sleduet: 01 , 02 , 11 , 12 , to iz osnovnyh sootnoxeni$ 01 = 01 ∨02 = 02 ∨01 = 02 , 11 = 11 ∧12 = 12 ∧11 = 12 . J Teorema 1.8 (Osnovnye sootnoxeni bulevo$ i algebry). V lbo$i bulevo$i algebre vypolnts osnovnye sootnoxeni 26 — 47. D o k a z a t e l ~ s t v o . V silu principa dvo$ istvennosti dostatoqno dokazat~ tol~ko ravenstva 26, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46. Ravenstva 30, 36, 38, 40 sledut iz 24; 44 — iz 22; 46 — iz 22, 44. Dokazatel~stvo 32: (a ⊕ b) ⊕ c = (((a ∨ b)∧(a ∨ ∨b)) ∨ c)∧((a∧b) ∨ (a∧b) ∨ c) = (a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c) = = (a ∨ ((b ∨ c)∧(b ∨ c))∧(a ∨ (b∧c) ∨ (b∧c)) = a ⊕ (b ⊕ c) . Ravenstva 29 sledut iz 24, 25, 30, 32, 36. Dokazatel~stvo 26: a⊕b = ((a∨b)∧ ∧a) ∨ ((a ∨ b)∧b) = (b∧a) ∨ (a∧b) = (a\ b) ∨ (b\ a) . Dokazatel~stvo 34: (a∧c) ⊕ (b∧c) = ((a∧c) ∨ (b∧c))∧(a∧c ∨ b∧c) = (a ∨ b)∧c∧(a ∨ b ∨ c) = = ((a ∨ b)∧(a ∨ b))∧c = (a ⊕ b)∧c . Dokazatel~stvo 42: a ⊕ b ⊕ (a∧b) = = a ⊕ (a∧b) = (a ∨ (a∧b))∧(a ∨ a∧b) = (a ∨ b)∧(a ∨ a ∨ b) = a ∨ b . J Primer 1.2 (Bulevy algebry B, BM ). Mnoestvo B s operacii algebro$ i. Mnoestvo BM vseh funmi ∨, ∧, ⊕ vlets bulevo$ kci$ i, opredelennyh na mnoestve M i prinimawih znaqeni iz B (logiqeskih funkci$i), vlets bulevo$ i algebro$ i s operacimi: (a ∨ b)(x) ‹ a(x) ∨ b(x), (a∧b)(x) ‹ a(x)∧b(x), a(x) ‹ a(x) , nulem — funkcie$ i 0(x) ‹ 0 i edinice$ i — funkcie$ i 1(x) ‹ 1 . Primer 1.3 (Buleva algebra mnoestv P(M ) ). Mnoestvo P(M ) vlets vseh podmnoestv mnoestva M s operacimi ∪, ∩, bulevo$ i algebro$ i s nulem — ∅ i edinice$ i — M. Opredelenie 1.8 (Bulevy podalgebry). Podmnoestvo B bulevo$i algebry A, vlwees bulevo$i algebro$i s takimi e operacimi, 0 i 1 kak v A nazyvaets podalgebro$i algebry A. Teorema 1.9 (Podalgebra, porodenna mnoestvom). Pust~ A — buleva algebra, X⊆A. Naimen~xa soderawa X podalgebra A(X) sostoit iz DNF (KNF) ot lementov mnoestva X . Pri tom X nazyvaets mnoestvom obrazuwih dl A(X) . Bez dokazatel~stva. Opredelenie 1.9 (Svobodnye bulevy algebry). Mnoestvo obrazuwih x1 , . .T . , xn koneqno$i bulevo$i algebry nazyvaets nezavin ai n simym, esli i=1 Ai 6= ∅ dl lbyh a ∈ B . Buleva algebra s nezavisimym mnoestvom obrazuwih nazyvaets svobodno$i. 12 Primer 1.4 (Buleva algebra B(B ) ). Mnoestvo B(B ) , sostowee iz vseh bulevyh funkci$ i n peremennyh, v silu sledstvi teoremy 1.3 vlets bulevo$ i algebro$ i s nulem — f ( x ) = 0 i edinice$ i — f ( x) = 1 . ta buleva algebra svobodna, poskol~ku ona porodaets nezavisimym mnoestvom koordinatnyh funkci$ i δi ( x ) = xi , i = 1, . . . , n , o qem svidetel~stvuet predstavn lenie f ∈ B(B ) v vide SDNF ili SKNF. n n Opredelenie 1.10 (Izomorfnye bulevy algebry). Bulevy algebry A i B nazyvats izomorfnymi, esli suwestvuet vzaimno odnoznaqna funkci F (izomorfizm ) , otobraawa A na B taka, qto F (x ∨ y) = F (x) ∨ F (y), F (x∧y) = F (x)∧F (y), F (x) = F (x) . Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, svodwee izuqenie koneqnyh svobodnyh bulevyh algebr k izuqeni bulevo$ i n algebry B(B ) pri nekotorom n. Teorema 1.10 (Ob izomorfizmah svobodnyh bulevyh algebr). Lbye svobodnye bulevy algebry A1 i A2 s nezavisimymi mnoestvami n obrazuwih X1 i X2 izomorfny. Vskoe vzaimno odnoznaqnoe otobraenie X1 na X2 moet byt~ odnoznaqno prodoleno do izomorfizma A1 na A2 . V lbo$ i bulevo$ i algebre mono vvesti neravenstvo 6. Lemma (K vvedeni otnoxeni 6 ). V bulevo$i algebre ravenstva a = a∧b, b = a ∨ b, a → b = 1, a\b = 0 ravnosil~ny. D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli a = a∧b , to b = b ∨ (a∧b) = a ∨ b. Esli b = a ∨ b, to a → b = a ∨ b = a ∨ a ∨ b = 1 . Esli a → b = 1 , to a\b = a → b = 0. Esli a\b = 0 , to a∧b = a∧(a ∨ b) = a∧a\b = a . J Opredelenie 1.11 (Otnoxenie 6 v bulevo$ i algebre). Otnoxenie a6b, opredelemoe lbym iz ravenstv lemmy, qitaets : ” lement a vlets pod lementom lementa b”. Teorema 1.11 (Svo$ istva otnoxeni 6 ). 1) 06a61 ; 2) a6a ; 3) esli a6b i b6a, to a = b ; 4) esli a6b i b6c , to a6c ; 5) esli a6b, to : b6a , a∧c6b∧c , a ∨ c6b ∨ c. D o k a z a t e l ~ s t v o . Svo$ istva 1, 2, 3 oqevidny. 4. Esli a6b i b6c , to a = a∧b, b = b∧c, a = a∧b = a∧(b∧c) = = (a∧b)∧c = a∧c, t. e. a6c. 5. [a6b] ∼ [a = a∧b] ∼ [a∨b = a] ∼ [b6a]. [a6b] ∼ [a = a∧b] → [a∧c = a∧b∧c = (a∧c)∧(b∧c)] ∼ [(a∧c)6(b∧c)] . [a6b] ∼ [b = a∨b] → [b∨c = a∨b∨c = (a∨c)∨(b∨c)] ∼ [(a∨c)6(b∨c) . J 13 2. Isqislenie vyskazyvani$ i 2.1. Osnovnye opredeleni i sootnoxeni Povestvovatel~noe predloenie, dl kotorogo imeet smysl govorit~ o ego istinnosti ili lonosti, budem nazyvat~ vyskazyvaniem. Toqnee, vyskazyvani — to predloeni, kotorye mogut prinimat~ znaqeni ”istina” (1) ili ”lo~” (0). Naprimer: 1) poezd iz Moskvy pribyvaet v 10 qasov (istina ili lo~ v zavisimosti ot raspisani), 2) qislo 4 delits nacelo na 2 (istina), 3) 5>8 (lo~). V matematiqesko$ i logike suwestvenny tol~ko znaqeni vyskazyvani$ i. Vyskazyvani, vnutrenn struktura kotoryh ne budet nas interesovat~, predstavlts bulevymi konstantami 0 , 1 ili bulevymi peremennymi i nazyvats lementarnymi vyskazyvanimi. Podstavl lementarnye vyskazyvani vmesto peremennyh v vyraeni dl bulevyh funkci$ i, poluqim formuly isqisleni vyskazyvani$ i. lementarnye vyskazyvani vlts qastnym vidom formul. Znaki bulevyh funkci$ i (logiqeskie znaki) v isqislenii vyskazyvani$ i qitats tak: ∧ — ”i”; ∨ — ”(neisklqawee) ili”, ”ili . . . , ili . . . , ili oba”; — ”ne”, ”neverno, qto”; → — ”vleqet”, ”esli . . . , to . . . ”; ∼ — ” kvivalentno”, ”ravnosil~no”, ” . . . togda i tol~ko togda, kogda . . . ”. Vozmony i drugie proqteni tih znakov. Opredelenie 2.1 (Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye i oproverimye formuly, todestvenno ravnye formuly). Formula A nazyvaets todestvenno istinno$i ili tavtologie$i ( simvoliqeski |= A) , esli ona istinna pri vseh znaqenih, vhodwih v nee lementarnyh vyskazyvani$i. Formula A nazyvaets todestvenno lono$i ili protivoreqiem (simvoliqeski A |= ) , esli ona lona pri vseh znaqenih, vhodwih v nee lementarnyh vyskazyvani$i. Formula A nazyvaets vypolnimo$i ( oproverimo$i ) , esli ona hot by odin raz prinimaet znaqenie ”istina” ( ”lo~” ) . Formuly A i B nazyvats todestvenno ravnymi (simvoliqeski A = B) , esli |= A ∼ B (t. e. ih stolbcy v tablice znaqeni$i sovpadat ). Tavtologii take nazyvats zakonami logiki. Qislo zakonov logiki beskoneqno. Naibolee vanye iz nih privedeny v sleduwem utverdenii. 14 Teorema 2.1 (Nekotorye zakony logiki). 1) |= a ∨ b ∼ b ∨ a , 2) |= a∧b ∼ b∧a , 3) |= a ∨ (b ∨ c) ∼ (a ∨ b) ∨ c , 4) |= a∧(b∧c) ∼ (a∧b)∧c , 5) |= a ∨ (b∧c) ∼ (a ∨ b)∧(a ∨ c) , 6) |= a∧(b ∨ c) ∼ (a∧b) ∨ (a∧c) , 7) |= a ∨ a ∼ a , 8) |= a∧a ∼ a , 9) |= a ∨ a , 10) |= a∧a , 11) |= a ∨ b ∼ a∧b , 12) |= a∧b ∼ a ∨ b , 13) |= a ∨ (a∧b) ∼ a , 14) |= a∧(a ∨ b) ∼ a , 15) |= a ∼ a , 16) |= (a → b) ∼ (b → a) , 17) |= (a → b)∧(b → c) → (a → c) , 18) |= (a ∼ b)∧(b ∼ c) → (a ∼ c) , 19) |= (a ∼ b) ∼ (a → b)∧(b → a) , 20) |= (a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a) , 21) |= (a → b) ∼ ((a∧b) ∼ a) , 22) |= a → (b → a) , 23) |= (a → b) → ((a → (b → c)) → (a → c)) , 24) |= a → (b → a∧b) , 25) |= a∧b → a , 26) |= a → a ∨ b , 27) |= a∧b → b , 28) |= b → a ∨ b , 29) |= (a → c) → ((b → c) → (a ∨ b → c)) , 30) |= (a → b) → ((a → b) → a) , 31) |= a → a , gde pri otsutstvii skobok sqitaets, qto implikaci i kvivalenci vypolnts v posledn oqered~. Dokazatel~stvo tih tavtologi$ i mono provesti tabliqnym sposobom. Dl sokraweni vyqisleni$ i pri dokazatel~stve tavtologii, predstavlenno$ i slono$ i formulo$ i, snaqala znaqeni 0 i 1 prisvaivats odno$ i peremenno$ i i poluqat dve bolee prostye formuly s pomow~ tablicy (tabl. 4) Tablica 4 Sokrawennye tablicy istinnosti a a a∨b a∧b a→b b→a a∼b 1 1 b 1 b 1 b b 1 b b Esli znaqeni uprowennyh formul trudno opredelit~, to v nih znaqeni 0 i 1 prisvaivats drugo$ i peremenno$ i i poluqats 4 bolee prostye formuly i tot process prodolaets do teh por, poka ne poluqats znaqeni vseh uprowennyh formul. Esli vse uprowennye formuly ravny 1, to ishodna formula vlets tavtologie$ i, a v protivnom sluqae ne vlets. 15 Primer 2.1 (Dokazatel~stvo tavtologi$ i s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti). Dokazat~ tavtologi (a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a) a=0 a=1 (0 → c∧d) ∼ ((0 → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ 1) 1 ∼ 1∧1 1 (b → c∧d) ∼ (c ∨ b)∧((b → d) ∨ 0) (b → c∧d) ∼ (b → c)∧(b → d) b=0 b=1 1 ∼ 1∧1 c∧d ∼ c∧d 1 1 t. e. (a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a) — tavtologi. Opredelenie 2.2 (Otnoxenie sledovani). Pust~ A1 , . . . , An , B — formuly. Formula B nazyvaets logiqeskim sledstviem spiska dopuweni$i A1 , . . . , An ( simvoliqeski oboznaqaets sekvencie$i A1 , . . . , An |= B) , esli pri vseh znaqenih lementarnyh vyskazyvani$i, pri kotoryh vse A1 , . . . , An istinny, istinno i B . Teorema 2.2 (Nekotorye logiqeskie sledstvi). a |= a ∨ b , 2) 1) b |= a ∨ b , 3) 4) a , b |= b ∧ a , a , b |= a ∧ b , a ∧ b |= a , 5) 6) a ∧ b |= b , 7) a → c , b → c |= a ∨ b → c , 8) a , a → b |= b , 9) a → b , a → (b → c) |= a → c , 10) a → b , a → b |= a , 11) a ∼ b , b ∼ c |= a ∼ c , a ∨ b , a ∨ c |= b ∨ c . 12) Primer 2.2 (Tabliqnoe dokazatel~stvo sekvenci$ i). Dokazat~ a → c , b → c |= a ∨ b → c a ∨ b , ¬ a ∨ c |= b ∨ c 0 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 01 1 0 1 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1 1 1 01 0 11 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 01 1 1 1 0 1 1 1 01 1 11 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 1 11 0 1 1 1 1 0 0 11 1 01 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 10 0 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 , 1 1 1 0 11 1 11 1 . Podqerknuty stroki, v kotoryh istinny vse dopuweni. Sekvenci dokazana, esli v tih strokah ee prava qast~ prinimaet znaqenie 1 ili, esli podqerknutyh strok net. 16 2.2. Metody dokazatel~stva tavtologi$ i i sekvenci$ i Tavtologii i sekvencii mono dokazat~ tabliqnym metodom, no praktiqeski to mono osuwestvit~ togda, kogda qislo lementarnyh vyskazyvani$ i neveliko. Rassmotrim pravila, pozvolwie provodit~ dokazatel~stva, ne pribega k tablicam. Teorema 2.3 (Svo$ istva znaka |= ). Pust~ Γ = A1 , . . . , An — spisok formul, B1 , . . . , Bk , C — formuly. 1. A1 , . . . , An |= Ai pri i = 1, . . . , n ( lementarnye sledstvi ) . 2. Esli Γ |= C , to Γ, B1 , . . . , Bk |= C ( dobavlenie dopuweni$i ) . 3. Esli Γ |= Bi pri i = 1, . . . , k i B1 , . . . , Bk |= C , to Γ |= C ( dokazatel~stvo s pomow~ lemm ) . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Opredelenie 2.3 (Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$ i). Spisok dopuweni$i Γ1 nazyvaets ravnosil~nym spisku dopuweni$i Γ2 , esli dl lbo$i formuly B sekvenci Γ1 |= B dokazana togda i tol~ko togda, kogda dokazana sekvenci Γ2 |= B. Po opredeleni 2.3 spiski dopuweni$ i Γ1 , Γ2 ravnosil~ny, esli oni vydelt odinakovye stroki. Sleduwee utverdenie oqevidno. Teorema 2.4 (Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$ i dopuweni). V Γ. Vski$i spisok dopuweni$ i Γ ravnosilen dopuweni V Esli V Γ = 1, to iz Γ sledut tol~ko tavtologii. V qastnosti, Γ = 1 pri pustom spiske Γ Vi po tomu tavtologi A oboznaqat simvolom |= A . Esli Γ = 0 , to spisok Γ nazyvaets protivoreqivym i oboznaqaets simvolom Γ |= . Sledstvie (Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$ i). Pust~ Γ, Γ1 , Γ2 — spiski formul, A, B, C — formuly i pust~ Γ |= C . Sleduwie spiski dopuweni$i ravnosil~ny : 1) Γ1 , A, B, Γ2 i Γ1 , B, A, Γ2 ( pravilo perestanovki ), 2) Γ1 , A, A, Γ2 i Γ1 , A, Γ2 (pravilo sokraweni ), 3) Γ1 , A, B, Γ2 i Γ1 , A∧B, Γ2 ( pravila obedineni i raswepleni ), 4) Γ i Γ, C (pravilo popolneni ). Teorema 2.5 (O protivoreqivyh spiskah dopuweni$ i). Spisok Γ protivoreqiv togda i tol~ko togda, kogda suwestvuet formula A taka, qto Γ |= A i Γ |= A. D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli Γ |= , to po opredeleni 2.2 iz Γ sleduet lboe vyskazyvanie, v qastnosti, Γ |= A i Γ |= A. Obratno, esli Γ |= A i Γ |= A , to spisok Γ po pravilu popolneni ravnosilen protivoreqivomu spisku Γ, A, A . J 17 Teorema 2.6 (Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov). Pust~ A, B, C — formuly, Γ — koneqny$i spisok formul, vozmono, pusto$i. Spravedlivy pravila, privedennye v tablice. Znak Pravilo vvedeni Pravilo udaleni → Γ, A |= B togda i tol~ko togda, kogda Γ |= A → B A, A → B |= B ∧ A, B |= A∧B A∧B |= A A∧B |= B ∨ A |= A ∨ B B |= A ∨ B Esli Γ, A |= C i Γ, B |= C , to Γ, A ∨ B |= C Esli Γ, A |= B i Γ, A |= B , to Γ |= A ∼ A → B, B → A |= A ∼ B A |= A A, A |= B ( slaboe udalenie ) A ∼ B |= A → B A ∼ B |= B → A D o k a z a t e l ~ s t v o . Snaqala dl prostoty dokazatel~stv poloim, qto spisok Γ pust. Vvedenie →. Pust~ A |= B , t. e. B = 1 v teh strokah, gde A = 1 . Togda po opredeleni implikacii |= A → B . Obratno, esli |= A → B , to B = 1 pri A = 1 , t. e. A |= B . Udalenie →. Po opredeleni implikacii, esli A = 1 i (A → B) = 1 , to B = 1 , t. e. A , A → B |= B . . Esli A |= B i A |= B , to to moet byt~ Vvedenie tol~ko togda, kogda A = 0 vo vseh strokah i po tomu |= A . Dokazatel~stva ostal~nyh pravil, a take dokazatel~stva pri nepustom spiske Γ rekomenduts qitatel v kaqestve upraneni$ i. J 18 Teoremy 2.3 — 2.6 pozvolt dokazyvat~ tavtologii i sekvencii, ne ispol~zu tablic istinnosti. Primer 2.3 (Dokazatel~stvo s pomow~ teorem 2.3 — 2.6). Dokaem |= (A → B) ∼ (B → A) . 1) A → B , B , A |= B — svo$ istvo 1, 2) A → B , B , A |= B — svo$ istvo 2, udalenie → , 3) A → B , B |= A — vvedenie , 1, 2, 4) A → B |= B → A — vvedenie → , 3, 5) |= (A → B) → (B → A) — vvedenie → , 4, — svo$ istvo 1, 6) B → A , A , B |= A 7) B → A , A , B |= A — svo$ istvo 2, udalenie → , 8) B → A , A |= B — vvedenie , 6, 7, 9) B → A , A |= B — svo$ istvo 3, udalenie , 8, 10) B → A |= A → B — vvedenie → , 9, 11) |= (B → A) → (A → B) — vvedenie →, 10, 12) |= (A → B) ∼ (B → A) — svo$ istvo 3, vvedenie ∼ , 5, 11. Razsneni v pravo$ i qasti strok nazyvats analizom dokazatel~stva. V nih ukazyvats svo$ istva znaka |= , pravila vvedeni ili udaleni logiqeskogo znaka, ispol~zuemye v stroke, i nomera strok, na kotorye pri tom sleduet soslat~s. Privedennoe dokazatel~stvo nazyvaets line$ inym. Bolee informativnym sposobom zapisi togo dokazatel~stva vlets zapis~ ego v vide dereva: B → A, A, B |= A, B → A, A, B |= A . Vv A → B, B, A |= B, A → B, B, A |= B Vv.→ A → B |= B → A Vv.→ A → B, B |= A |= (A → B) → (B → A) Vv. Ud. B → A, A |= B Vv.→ B → A |= A → B Vv.→ |= (B → A) → (A → B) Vv.∼ B → A, A |= B |= (A → B) ∼ (B → A) Iz rassmotreni dereva dokazatel~stva vidno, qto ego nin qast~ do sekvenci$ i A → B, B |= A i B → A, A |= B odnoznaqno opredelets pravilami vvedeni i udaleni logiqeskih znakov, a dokazatel~stvo tih sekvenci$ i trebuet nekotoro$ i izobretatel~nosti v primenenii pravila vvedeni otricani. Dl oblegqeni ponimani dokazatel~stva tavtologii mono snaqala dokazat~ vspomogatel~nu sekvenci A → B, B |= A (lemmu 1) 19 1) A → B , B , A |= B — svo$ istvo 1, istvo 2, udalenie →, 2) A → B , B , A |= B — svo$ — vvedenie , 1, 2, 3) A → B , B |= A zatem vspomogatel~nu sekvenci B → A, A |= B (lemmu 2) 1) B → A , A , B |= A — svo$ istvo 1, 2) B → A , A , B |= A — svo$ istvo 2, udalenie → , 3) B → A , A |= B — vvedenie , 1, 2, 4) B → A , A |= B — svo$ istvo 3, udalenie , 3, a zatem s pomow~ lemm 1, 2 dokazat~ tavtologi 1) A → B , B |= A — lemma 1, 2) A → B |= B → A — vvedenie → , 1, 3) |= (A → B) → (B → A) — vvedenie → , 2, — lemma 2, 4) B → A , A |= B 5) B → A |= A → B — vvedenie → , 4, 6) |= (B → A) → (A → B) — vvedenie → , 5, 7) |= (A → B) ∼ (B → A) — svo$ istvo 3, vvedenie ∼ , 3, 6. Teorema 2.7 (Podstanovka formul v tavtologii). Pust~ B — formula, soderawa lementarnye vyskazyvani a1 , . . . , an ; B 0 poluqaets iz B odnovremenno$i podstanovko$i formul A1 , . . . , An vmesto a1 , . . . , an . Togda, esli |= B , to |= B 0 . D o k a z a t e l ~ s t v o . Istinnost~ ili lonost~ vyskazyvani B 0 zavisit ne ot vyskazyvani$ i A1 , . . . , An , a ot ih znaqeni$ i. Po tomu, esli |= B , to |= B . J Teorema 2.8 (Teorema o zamene). Pust~ CA — formula, soderawa podformulu A, i pust~ CB poluqaets iz CA zameno$i A na formulu B . Togda, esli |= A ∼ B , to |= CA ∼ CB . D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz |= A ∼ B sleduet, qto A i B todestvenno ravny i po tomu |= CA ∼ CB . J Metod rezolci$ i, primenemy$ i v komp~ternyh programmah dokazatel~stva tavtologi$ i, osnovan na sleduwem utverdenii. Teorema 2.9 (Rezolcii). Dl lbyh formul A, B, C spravedlivy sekvencii (nazyvaemye rezolci mi) : 1) A, A ∨ B |= B , 2) A ∨ B, A ∨ C |= B ∨ C . D o k a z a t e l ~ s t v o . Rezolci 1 est~ pravilo udaleni implikacii, a rezolci 2 — sekvenci 12 teoremy 2.2 posle primeneni k ne$ i sledstvi teoremy 2.7. J 20 Pust~ trebuets proverit~ predpoloenie, qto formula i. Soglasno metodu rezolci$ i otricaF vlets tavtologie$ nie togo vyskazyvani, predstavlennoe v konnktivno$ i normal~no$ i forme F = D1 ∧ · · · ∧Dn , rassmatrivaets v kaqestve dopuweni nekotoro$ i sekvencii. Po pravilu raswepleni F mono zamenit~ spiskom dopuweni$ i D1 , . . . , Dn . Esli v tom spiske imets vno protivoreqawie drug drugu dopuweni Di i Dj = Di , to po pravilu vvedeni otricani vyskazyvanie F vlets tavtologie$ i. V protivnom sluqae v spiske otyskivats para diznkci$ i vida A, A ∨ B ili A ∨ B, A ∨ C , iz kotoryh po teoreme 2.9 sleduet Dn+1 = B ili Dn+1 = B ∨ C . Esli Dn+1 otsutstvuet v ishodnom spiske, to popoln spisok D1 , . . . , Dn formulo$ i Dn+1 , poluqim ravnosil~ny$ i spisok D1 , . . . , Dn+1 . V tom spiske otyskivats vnye protivoreqi i pri otsutstvii takovyh vyvodits novoe dopuwenie. Process vyvoda dopuweni$ i prodolaets do teh por, poka novyh dopuweni$ i poluqat~s ne budet. Esli v okonqatel~nom spiske est~ protivoreqie, to F vlets tavtologie$ i, v protivnom sluqae i. F ne vlets tavtologie$ Primer 2.4 (Dokazatel~stvo metodom rezolci$ i). Dokazat~ |= (A → B) → (C ∨ A → C ∨ B) . 1. Privedem otricanie dokazyvaemogo vyskazyvani k KNF (A → B) → (C ∨ A → C ∨ B) = = A → B ∨ C ∨ A ∨ C ∨ B = (A ∨ B)∧(A ∨ C)∧C∧B . 2. Ispol~zu KNF kak dopuwenie nekotoro$ i sekvencii, po pravilu raswepleni poluqim spisok dopuweni$ i: 1) A ∨ B , 2) A ∨ C , 3) C , 4) B . Poskol~ku tot spisok ne soderit vnogo protivoreqi, popolnim ego, primen rezolcii. 5) A — rezolci 1 po otnoxeni k strokam 1, 4, 6) A — rezolci 1 po otnoxeni k strokam 2, 3. 3. Protivoreqie v strokah 5, 6 dokazyvaet tavtologi. J 21 2.3. Aksiomatiqeskie isqisleni vyskazyvani$ i Aksiomatiqeski$ i metod postroeni teorii byl vpervye primenen v geometrii Evklidom, a zatem, v hode istoriqeskogo razviti znani$ i, stal priment~s v drugih razdelah matematiki i, v qastnosti, v matematiqesko$ i logike. V aksiomatiqesko$ i teorii isqisleni vyskazyvani$ i pod vyskazyvaniem ponimaets formula dl bulevo$ i funkcii, no ponti ”istina”, ”tavtologi” ne opredelts. Vmesto nih zadaets nabor nekotoryh formul, obvlemyh aksiomami. Iz aksiom i ishodnyh formul — dopuweni$ i s pomow~ pravil vyvoda, podobnyh tem, kotorye byli rassmotreny ranee, stroits posledovatel~nost~ formul, nazyvaema (formal~nym) vyvodom iz dopuweni$ i. Cel~ aksiomatiqesko$ i teorii vlets ustanovlenie vyvodimyh vyskazyvani$ i. Vybira aksiomy i pravila vyvoda, mono postroit~ razliqnye logiki. Nas budet interesovat~ tol~ko klassiqeskoe isqislenie vyskazyvani$i. No i dl klassiqeskogo isqisleni vyskazyvani$ i aksiomy i pravila vyvoda mono vybrat~ mnogimi sposobami. Rassmotrim snaqala isqislenie vyskazyvani$ i IV, harakterizuemoe dest~ shemami aksiom i odnim pravilom vyvoda. Opredelenie 2.4 (Shemy aksiom IV). Shemami aksiom isqisleni vyskazyvani$i IV vlts : AS1 A → (B → A) , AS2 (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) , AS3 A → (B → A∧B) , AS4 A∧B → A , AS5 A∧B → B , AS6 A→A∨B, AS7 B →A∨B, AS8 (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) , (A → B) → ((A → B) → A) , AS9 AS10 A → A , gde A, B, C — proizvol~nye vyskazyvani. Formuly AS1 — AS10 opredelt beskoneqnoe mnoestvo aksiom, poluqaemyh putem podstanovki vmesto A, B, C konkretnyh vyskazyvani$i i po tomu ti formuly nazyvats shemami aksiom. Bol~xoe koliqestvo shem aksiom obsnets bol~xim koliqestvom logiqeskih znakov, k kotorym oni otnosts: , → . Otsutstvie aksiom otnoswihs k kvivalencii, ∨, ∧, obsnets tem, qto formula A ∼ B ponimaets kak sokrawennoe oboznaqenie dl (A → B)∧(B → A). 22 Opredelenie 2.5 (Vyvod i dokazatel~stvo v IV). Vyvodom vyskazyvani C iz dopuweni$i A1 , . . . , Am (m>0) nazyvaets koneqna posledovatel~nost~ vyskazyvani$i C1 , . . . , Cn , v kotoro$i Cn = C i kada formula Ci (i = 1, . . . , n) vlets ili aksiomo$i, ili dopuweniem, ili neposredstvenno sleduet iz predyduwih formul po pravilu vyvoda m ó dus p ó nens (M P ) , zapisyvaeA, A → B , oznaqawe$i, qto posle formul momu v vide shemy B Ci = A i Cj = A → B pri k > i, k > j mono napisat~ Ck = B . Sekvenci A1 , . . . , Am ` C qitaets tak : ”C formal~no vyvodimo iz dopuweni$i A1 , . . . , Am ” ; v qastnom sluqae m = 0 vyvod nazyvaets dokazatel~stvom, a poluqawas sekvenci ` C qitaets tak : ”C vlets formal~no$i teoremo$i”. Primer 2.5 (Formal~ny$ i vyvod sekvencii 1) A → B — 2) B → C — 3) (B → C) → (A → (B → C)) — 4) A → (B → C) — 5) (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) — 6) (A → (B → C)) → (A → C)) — 7) A → C — A → B, B → C ` A → C ). dopuwenie, dopuwenie, AS1 , M P 2, 3, AS2 , M P 1, 5, M P 4, 6. Primer 2.6 (Dokazatel~stvo formal~no$ i teoremy ` A → A ). 1) A → (A → A) — AS1 , 2) (A → (A → A)) → ((A → ((A → A) → A)) → (A → A)) — AS2 , 3) (A → ((A → A) → A)) → (A → A) — M P, 1, 2, 4) A → ((A → A) → A) — AS1 , 5) A → A — M P, 3, 4. Iz opredeleni 2.5 sleduet, qto dopuweni v formal~nyh vyvodah ispol~zuts toqno take kak i aksiomy. Qasto vsteqawas v matematiqeskih soqinenih fraza: ”Dopustim, qto vypolnts uslovi (vyskazyvani) A1 , . . . , Am ” oznaqaet, qto matematik vvodit dopuweni ili, qto to e samoe dopolnitel~nye aksiomy. No dl qego to nuno? Otvet na tot vopros daet neformal~na teorema, dokazanna . rbranom. Teorema 2.10 (O dedukcii). Esli Γ, A ` B , to Γ ` A → B . D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ posledovatel~nost~ B1 , . . . , Bn = B vlets vyvodom B iz spiska dopuweni$ i Γ, A . Preobrazuem tot vyvod v posledovatel~nost~ A → B1 , . . . , (A → Bn ) = (A → B) , 23 kotoru mono prevratit~ v vyvod sekvencii Γ ` A → B , esli pered A → Bi vstavit~ dopolnitel~nye formuly. Vstavki zavist ot togo, qto predstavlet sobo$ i Bi . Esli Bi = A , to vstavim posledovatel~no formuly 1) — 4) dokazatel~stva teoremy A → A (sm. primer 2.6). Esli Bi — aksioma ili dopuwenie, to vstavim posledovatel~nost~ dvuh formul Bi , Bi → (A → Bi ) . Esli Bi vyvodits po pravilu M P iz predxestvuwih formul Bg i Bg → Bi , kotorye prevraweny s sootvetstvuwim obosnovaniem v A → Bg i A → (Bg → Bi ) , to vstavim posledovatel~nost~ dvuh formul (A → Bg ) → ((A → (Bg → Bi )) → (A → Bi )), (A → (Bg → Bi )) → (A → Bi ) . Netrudno ubedit~s, qto posle tih vstavok my poluqim vyvod A → B iz spiska dopuweni$ i Γ. J Sledstvie. Esli A1 , . . . , Am ` B , to A1 , . . . , Am−1 ` Am → B, . . . , ` A1 → (A2 → (. . . (Am → B) . . .)) . Pri ispol~zovanii tol~ko odnogo pravila vyvoda M P vyvody i dokazatel~stva v IV poluqats slixkom dlinnymi. Okazyvaets, qto mono dokazat~ neformal~nye teoremy, kotorye otliqats ot teorem razd. 2.2 tol~ko tem, qto znak |= zamenen na ` . Budem sqitat~, qto formulirovki tih teorem nam ue izvestny i numerovat~ ih temi e nomerami, qto i sootvetstvuwie teoremy razdela 2.2, dobavl k nomeru verhni$ i xtrih sprava. Dokaem tol~ko svo$ istva znaka ` i pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov. V teoreme 2.3 0 dokazatel~stva svo$ istv 1, 2 oqevidny. Pri dokazatel~stve svo$ istva 3 formal~ny$ i vyvod sekvencii Γ ` C moet byt~ zapisan kak posledovatel~na zapis~ formal~nyh vyvodov dl Γ ` B1 , Γ ` B2 i t. d. Γ ` Bk i B1 , . . . , Bk ` C . V teoreme 2.4 0 pravila perestanovki, sokraweni i pravilo popolneni spiska dopuweni$ i oqevidny. Vvedenie → (Γ, A ` B togda i tol~ko togda, kogda Γ ` A → B ). Odno$ i iz qaste$ i dokazatel~stva vlets teorema o dedukcii. Dl dokazatel~stva drugo$ i qasti zametim, qto, esli Γ ` A → B , to posledovatel~nost~, sostavlenna iz A i vyvoda dl Γ ` A → B vlets vyvodom dl sekvencii Γ, A ` B . Udalenie → (A , A → B ` B) . — dopuwenie, 1) A 2) A → B — dopuwenie, 3) B — M P 1, 2. 24 Vvedenie ∧ (A , B ` A∧B) . 1) A — dopuwenie, 2) B — dopuwenie, 3) A → (B → A∧B) — AS3 , — M P 1, 3, 4) B → A∧B 5) A∧B — M P 2, 4. Udalenie ∧ (A∧B ` A) . — dopuwenie, 1) A∧B 2) A∧B → A — AS4 , — M P 1, 2. 3) A Analogiqno dokazyvaets pravilo A∧B ` B . Vvedenie ∨ (A ` A ∨ B) . — dopuwenie, 1) A 2) A → A ∨ B — AS6 , 3) A ∨ B — M P 1, 2. Analogiqno dokazyvaets pravilo B ` A ∨ B . Udalenie ∨ (esli Γ, A ` C i Γ, B ` C , to Γ, A ∨ B ` C ). 1) Γ, A ` C — uslovie, 2) Γ ` A → C — vvedenie → 1, 3) Γ, B ` C — uslovie, — vvedenie → 3, 4) Γ ` B → C 5) (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) — AS8 , 6) Γ ` (B → C) → (A ∨ B → C) — M P 2, 5, 7) Γ ` A ∨ B → C — M P 4, 6, 8) Γ, A ∨ B ` C — vvedenie → 7. Vstreqawies v strokah 1 — 4, 6 — 8 sekvencii oboznaqat vyvody, dokazyvawie ih. (esli Γ, A ` B i Γ, A ` B , to Γ ` A ). Vvedenie 1) Γ, A ` B — uslovie, 2) Γ ` A → B — vvedenie → 1, — uslovie, 3) Γ, A ` B 4) Γ ` A → B — vvedenie → 3, 5) (A → B) → ((A → B) → A) — AS9 , 6) Γ ` (A → B) → A — M P 2, 5, 7) Γ ` A — M P 4, 6. ( A ` A ). Udalenie 1) A — dopuwenie, 2) A → A — AS10 , 3) A — M P 1, 2. 25 Slaboe udalenie (A , A ` B ). 1) A, A, B ` A — svo$ istvo 1, 2) A, A, B ` A — svo$ istvo 1, — vvedenie 3) A, A ` B 1, 2, 4) B → B — AS10 , 5) A, A ` B — MP 3, 4. Pravila vvedeni i udaleni kvivalencii osnovany na pravilah vvedeni i udaleni konnkcii. Dokaem pravilo obedineni dl spiskov dopuweni$ i (pust~ A, B ` C , togda A∧B ` C ). 1) A, B ` C — po uslovi, 2) A∧B ` A — udalenie ∧ , 3) A∧B ` B — udalenie ∧ , 4) A∧B ` C — svo$ istvo 3, 1, 2, 3. Dokaem pravilo raswepleni dl spiskov dopuweni$ i (pust~ A∧B ` C , togda A, B ` C ). 1) A∧B ` C — po uslovi, 2) A, B ` A∧B — vvedenie ∧ , 3) A, B ` C — svo$ istvo 3, 1, 2. Netrudno dokazat~, qto dl formal~nyh sekvenci$ i primenim metod rezolci$ i. Teper~ imets vse osnovani utverdat~, qto dokazatel~stvom sekvencii A1 , . . . , Am ` C vlets dokazatel~stvo sekvencii A1 , . . . , Am |= C s pomow~ teorem 2.3 — 2.6, v kotorom znak |= zamenen na ` . Na samom dele spravedliv bolee obwi$ i rezul~tat, kotory$ i zdes~ privedem bez dokazatel~stva. Teorema 2.11 (O polnote IV). A1 , . . . , An ` B . Esli A1 , . . . , An |= B , to Teorema 2.12 (O neprotivoreqivosti IV). Esli ` A , to |= A . D o k a z a t e l ~ s t v o . Shemy aksiom IV vlts tavtologimi, a pravilo M P perevodit tavtologii v tavtologii. J Sledstvie. (O prosto$ i neprotivoreqivosti IV). Ni dl kako$i formuly A ne vypolnets odnovremenno ` A i ` A. Svo$ istva znaka ` , teoremy o ravnosil~nosti spiskov dopuweni$ i, pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov v opredelennom smysle zament aksiomy isqisleni vyskazyvani$ i IV. Mono tak vybrat~ sistemu pravil vyvoda, qto ostanets lix~ odna shema aksiom. ta ide realizuets v aksiomatiqeskom isqislenii vyskazyvani$ i IS, v kotorom osnovnym obektom vlts sekvencii vida Γ ` B, ` B, Γ ` . 26 Opredelenie 2.6 (Shema aksiom IS). A ` A. Opredelenie 2.7 (Pravila vyvoda IS). Pravilami vyvoda IS Σ1 , . . . , Σk nazyvats shemy vida , gde sekvenci Σ nazyvaets Σ neposredstvennym sledstviem sekvenci$i Σ1 , . . . , Σk po dannomu pravilu vyvoda. Pravilami vyvoda IS vlts : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Γ1 ` A ; Γ 2 ` B Γ1 , Γ2 ` A∧B Γ ` A∧B Γ `A Γ ` A∧B Γ `B Γ `A Γ `A ∨ B Γ `B Γ `A ∨ B Γ1 ` A ∨ B ; Γ2 , A ` C ; Γ3 , B ` C Γ 1 , Γ2 , Γ3 ` C Γ, A ` B Γ `A → B Γ1 ` A ; Γ2 ` A → B Γ1 , Γ 2 ` B Γ, A ` Γ `A Γ1 ` A ; Γ2 ` A 10) Γ1 , Γ2 ` 11) 12) 13) 14) 15) Γ, A ` Γ `A Γ` Γ `A Γ `A Γ, B ` A Γ1 , A, B, Γ2 ` C Γ1 , B, A, Γ2 ` C Γ1 , A, A, Γ2 ` C Γ1 , A, Γ2 ` C ( vvedenie ∧) , ( udalenie ∧) , (udalenie ∧) , ( vvedenie ∨) , ( vvedenie ∨) , ( udalenie ∨) , ( vvedenie →) , ( udalenie →), (vvedenie ), ( svedenie k protivoreqi ) , ( udalenie ), (utonqenie ) , ( rasxirenie ) , (perestanovka ) , ( sokrawenie ) . 27 Po pravilu utonqeni, esli Γ ` , to Γ ` A i Γ ` A , t. e. i spisok Γ . simvol Γ ` oboznaqaet protivoreqivy$ Opredelenie 2.8 (Vyvod v IS). Vyvodom v IS nazyvaets taka koneqna posledovatel~nost~ sekvenci$i Σ1 , . . . , Σn , qto Σi (i = 1, . . . , n) est~ libo aksioma, libo neposredstvennoe sledstvie predyduwih sekvenci$i po pravilam 1 — 15. Dl uproweni dokazatel~stv k pravilam vyvoda IS mono prisoedinit~ sleduwie pravila, ne rasxirwie mnoestvo dokazuemyh sekvenci$ i: Γ1 ` A ; Γ 2 , A ` B (seqenie ), Γ1 , Γ 2 ` B Γ, A, B ` C b) (obedinenie dopuweni$ i), Γ, A∧B ` C Γ, A∧B ` C v) ( rasweplenie dopuweni$ i), Γ, A, B ` C Γ, A ` C ; Γ, B ` C g) ( razbor sluqaev ) , Γ, A ∨ B ` C Γ, A ` B d) ( kontrapozici ) , Γ, B ` A Γ, B ` A e) ( dokazatel~stvo ot protivnogo ), Γ, A ` B Γ `B V ) ( vvedenie ∧ i →) , ` Γ →B V ` Γ →B z) ( udalenie ∧ i →) . Γ `B Primer. Vyvod v IS sekvencii A, A → B, B → C, 1) A ` A — aksioma, 2) A → B ` A → B — aksioma, 3) A, A → B ` B — udalenie → , 1, 4) B → C ` B → C — aksioma, 5) A, A → B, B → C ` C — udalenie → , 3, 6) C → D ` C → D — aksioma, — udalenie → , 5, 7) A, A → B, B → C, C → D ` D a) C →D ` D. 2, 4. 6. Teorema 2.13 (O polnote IS). V IS ` A togda i tol~ko togda, kogda |= A . Bez dokazatel~stva. 28 3. Isqislenie predikatov 3.1. Osnovnye opredeleni Zdes~ budut rassmatrivat~s predloeni, v kotorye vhodt predmetnye peremennye, prinimawie znaqeni iz nekotoryh mnoestv predmetov. Esli peremenna na opredelennom meste predloeni ispol~zuets tak, qto podstanovka vmesto nee imeni (nazvani) konkretnogo predmeta daet osmyslennoe predloenie, to govort, qto ta peremenna svobodna na ukazannom meste; esli taka podstanovka privodit k bessmyslice, to Rgovort, qto peremenna svzana. Naprimer, v formule x A(x) = 0 sin(x + y)dy peremenna x svobodna kak v podyntegal~no$ i funkcii, tak i v predele integrovani, a peremenna y svzana. Inogda vmesto svobodno$ i peremenno$ i nado podstavit~ drugu. Podstavim v A(x) vmesto x peremennu t. V poluqenno$ i formule A(t) na vseh mestah, gde peremenna x vhodila svobodno, peremenna t ostalas~ svobodno$ i ( t svobodna dl x v A(x) ). Mono skazat~, qto taka podstanovka ne menet smysla formuly, tak kak obratna podstanovka x vmesto t vozvrawaet nas k ishodno$ i formule A(x) . Esli v A(x) podstavit~ vmesto x peremennu y , to perehod ot A(y) k A(x) nevozmoen, poskol~ku peremenna y ne svobodna dl x v A(x) . Opredelenie 3.1 (Predikaty). Predikatom nazyvaets predloenie, soderawee koneqnoe qislo svobodnyh predmetnyh peremennyh, kotoroe pri podstanovke vmesto vseh tih peremennyh nazvani$i konkretnyh predmetov prevrawaets v vyskazyvanie. Primery. 1) ” A est~ qelovek”. Peremenna A prinimaet znaqeni iz koneqnogo mnoestva imen oduxevlennyh suwestv. 2) ” sin2 x + cos2 x = 1 ”. Peremenna x prinimaet znaqeni iz mnoestva de$ istvitel~nyh qisel. 3) ” x < y + z ”. Peremennye x, y, z prinimat znaqeni iz mnoestva de$ istvitel~nyh qisel. 4) ” a = a”. Peremenna a prinimaet lbye znaqeni. Predikat, soderawi$ i odnu svobodnu peremennu, prinimawu znaqeni iz mnoestva M , sopostavlet kadomu lementu mnoestva M znaqeni 0 ili 1 i takim obrazom opredelet logiqesku funkci na M . V matematiqesko$ i logike vany ne sami predikaty, a logiqeskie funkcii, opredelemye imi. Zametim, qto mnoestvo vseh logiqeskih funkci$ i M , nulem B vlets bulevo$ i algebro$ i s operacimi ∨, ∧, i edinice$ i, opredelennymi kak v primere 1.3. 29 V isqislenii predikatov vvodts novye operacii: kvantor obwnosti ∀x — ”dl vseh x ” i kvantor suwestvovani ∃x — ”suwestvuet x ”, pozvolwie iz predikatov poluqat~ formuly, vlwies vyskazyvanimi ili drugimi predikatami. Esli predikat A(x) soderit svobodno tol~ko odnu peremennu x , to formula (∀x)A(x) oboznaqaet vyskazyvanie ”dl vseh x istinno A(x)”, a formula (∃x)A(x) oboznaqaet vyskazyvanie ”suwestvuet x, tako$ i, qto istinno A(x) ”. Svobodna peremenna x v formulah (∀x)A(x) i istvie kvantorov, svzyvaets. Esli (∃x)A(x) , popada pod de$ A(x, y) — predikat, soderawi$ i tol~ko dve svobodnye peremennye x i y , to s pomow~ kvantorov iz nego mono poluqit~ predikaty (∀x)A(x, y), (∃x)A(x, y), (∀y)A(x, y), (∃y)A(x, y), soderawie odnu svobodnu peremennu i vyskazyvani (∀x)(∀y)A(x, y), (∀y)(∀x)A(x, y), (∀y)(∃x)A(x, y), (∀x)(∃y)A(x, y), (∃y)(∀x)A(x, y), (∃y)(∃x)A(x, y), (∃x)(∀y)A(x, y), (∃x)(∃y)A(x, y). V isqislenii predikatov vvodts take kvantory obwnosti i suwestvovani, ograniqennye mnoestvom: ∀x ∈ M — ”dl vseh x iz M ” i ∃x ∈ M — ”suwestvuet x v M ”, kotorye opredelts sleduwim obrazom. Opredelenie 3.2 (Kvantory, ograniqennye mnoestvom). Pust~ predmetnoe mnoestvo M ne pusto. Togda (∃x ∈ M )A(x) ‹ (∃x)((x ∈ M ) ∧ A(x)) , (∀x ∈ M )A(x) ‹ (∀x)((x ∈ M ) → A(x)) . 3.2. Predikaty v koneqno$ i predmetno$ i oblasti Pust~ predikat A(x) soderit svobodno tol~ko odnu peremennu x , prinimawu znaqeni iz mnoestva M . Hot smysl vyskazyvani$ i (∀x ∈ M )A(x) i (∃x ∈ M )A(x) ponten, sposob vyqisleni ih znaqeni opredelen tol~ko v sluqae, kogda predmetna oblast~ M koneqna. Opredelenie 3.3 (Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom). Dl mnoestva M , sostowego iz predmetov m1 , . . . , mn , (∀x ∈ M )A(x) ‹ n ^ i=1 A(mi ) , (∃x ∈ M )A(x) ‹ n _ A(mi ) . i=1 Iz opredeleni 3.3 vidno, qto suwestvenno ne samo mnoestvo M , a tol~ko qislo lementov mnoestva M . 30 Pri koneqnyh predmetnyh mnoestvah koliqestvo vozmonyh predikatov koneqno i znaqeni predikatov mono predstavit~ tablicami s koneqnym qislom strok. V kaqestve primera postroim tablicu dl predikata P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q) , gde M = {m1 , m2 }, P (x) — proizvol~ny$ i predikat, soderawi$ i odnu svobodnu peremennu x ; peremenna y svobodna dl x v P (x) ; Q — proizvol~noe vyskazyvanie. Tablica 5 Predikaty, opredelennye na M x A0 (x) A1 (x) A2 (x) A3 (x) m1 m2 1 1 1 1 Tablica 6 Tablica znaqeni$ i predikata P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q) P (x) Q y P (y) P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q) A0 (x) A0 (x) A0 (x) A0 (x) A1 (x) A1 (x) A1 (x) A1 (x) A2 (x) A2 (x) A2 (x) A2 (x) A3 (x) A3 (x) A3 (x) A3 (x) 1 1 1 1 1 1 1 1 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 Opredelenie 3.4 (Tavtologii v isqislenii predikatov). Predikat A nazyvaets todestvenno istinnym v koneqnom predmetnom mnoestve M , esli tablica istinnosti togo predikata soderit tol~ko 1 . Predikat A nazyvaets tavtologie$i ( simvoliqeski |= A) , esli on vlets todestvenno istinnym v lbom koneqnom predmetnom mnoestve. Pri koneqno$ i predmetno$ i oblasti formuly isqisleni predikatov otliqats ot formul isqisleni vyskazyvani$ i tol~ko tem,W qto v Vnih prisutstvut diznkcii i konnkcii vin n da i=1 ai , i=1 ai , v kotorye perehodt formuly, soderawie kvantory suwestvovani i obwnosti. Pri dokazatel~stve tavtologi$ i, soderawih takie diznkcii i konnkcii s proizvol~nymi natural~nymi n, mono vospol~zovat~s principom matematiqesko$ i indukcii. Teorema 3.1 (Nekotorye tavtologii isqisleni predikatov). Pri proizvol~nyh predikatah A(x) , B(x) , soderawih svobodnye vhodeni x; C(x, y), soderawem svobodnye vhodeni x i y; P , ne soderawem svobodno x , vypolnts sootnoxeni: 1) |= (∀x)(A(x)∧B(x)) ∼ (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) , 2) |= (∃x)(A(x) ∨ B(x)) ∼ (∃x)A(x) ∨ (∃x)B(x) , 3) |= (∀x)A(x) ∨ (∀x)B(x) → (∀x)(A(x) ∨ B(x)) , 4) |= (∃x)(A(x)∧B(x)) → (∃x)A(x)∧(∃x)B(x) , 5) |= (∀x)A(x) ∼ (∃x)A(x) , 6) |= (∃x)A(x) ∼ (∀x)A(x) , 7) |= (∀x)P ∼ P , 8) |= (∃x)P ∼ P , 9) |= (∀x)(P ∨ A(x)) ∼ P ∨ (∀x)A(x) , 10) |= (∃x)(P ∧A(x)) ∼ P ∧(∃x)A(x) , 11) |= (P → (∀x)A(x)) ∼ (∀x)(P → A(x)) , 12) |= ((∀x)A(x) → P ) ∼ (∃x)(A(x) → P ) , 13) |= (∀x)A(x) ∨ (∀x)B(x) ∼ (∀x)(∀y)(A(x) ∨ B(y)) , 14) |= (∃x)A(x)∧(∃x)B(x) ∼ (∃x)(∃y)(A(x)∧B(y)) , 15) |= (∀x)(∀y)C(x, y) ∼ (∀y)(∀x)C(x, y) , 16) |= (∃x)(∃y)C(x, y) ∼ (∃y)(∃x)C(x, y) , 17) |= (∃y)(∀x)C(x, y) → (∀x)(∃y)C(x, y) , 18) esli |= A(x) → B(x) , to |= (∀x)A(x) → (∀x)B(x) , 19) esli |= A(x) → B(x) , to |= (∃x)A(x) → (∃x)B(x) , 20) esli |= A(x) ∼ B(x) , to |= (∀x)A(x) ∼ (∀x)B(x) , 21) esli |= A(x) ∼ B(x) , to |= (∃x)A(x) ∼ (∃x)B(x) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem tol~ko sootnoxeni 3, 18, 19. 32 Sootnoxenie 3 vypolnets v odno lementnyh mnoestvah. Predpoloim, qto ono vypolnets v k - lementnyh mnoestvah. Pust~ M — k + 1 - lementnoe mnoestvo s lementami m1 , . . . , mk , mk+1 . Dokazatel~stvo po metodu matematiqesko$ i indukcii svodits k dokazatel~stvu sekvencii P ∨ Q → R |= (P ∧a) ∨ (Q∧b) → R∧(a ∨ b) , (1) Vk Vk gde P = i=1 A(mi ), Q = i=1 B(mi ), R = i=1 (A(mi ) ∨ B(mi )), a = A(mk+1 ), b = B(mk+1 ) . Dokaem (1) tabliqnym sposobom Vk P 1 1 1 1 ∨ Q → R |= (P ∧ a) ∨ (Q ∧ b) → R ∧ (a ∨ b) 00 1 0 0 0 a 0 0 0 b 1 00 1 1 0 0 a 0 0 0 b 1 11 0 0 11 1 1 0 0 a b 1 b b 1 1 a∨b a∨b 10 0 0 10 1 1 1 a a a 0 0 b 1 1 a∨b a∨b 11 0 0 11 1 1 1 a a a∨b 1 b b 1 1 a∨b a∨b Dl dokazatel~stva sootnoxeni$ i 18, 19 zametim, qto |= A(x) → B(x) kvivalentno A(x) |= B(x) , otkuda sledut tavtologii |= (∀x)A(x) → (∀x)B(x) , |= (∃x)A(x) → (∃x)B(x) . J Teorema 3.2 (Osnovnye svo$ istva kvantorov). Pust~ x — proizvol~na peremenna, A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i x svobodno. Esli peremenna t svobodna dl x v A(x) , to: 1) |= (∀x)A(x) → A(t) ; 2) |= A(t) → (∃x)A(x) . D o k a z a t e l ~ s t v o . 1) Vozmony dva vzaimoisklqawih sluqa: A(x) — libo tavtologi, libo oproverimy$ i predikat. V pervom sluqae A(t) = 1 , vo vtorom (∀x)A(x) = 0 i po tomu v oboih sluqah utverdenie 1) vypolnets. 2) Vozmony dva vzaimoisklqawih sluqa: A(x) — libo protivoreqie, libo vypolnimy$ i predikat. V pervom sluqae A(t) = 0 , vo vtorom (∃x)A(x) = 1 i po tomu v oboih sluqah utverdenie 2) vypolnets. J Teorema 3.3 (Pravila obobweni i konkretizacii). Pust~ x — proizvol~na peremenna, A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i x svobodno, a D ne soderit x svobodno. Togda: 1) esli |= D → A(x) , to |= D → (∀x)A(x) ( obobwenie ); 2) esli |= A(x) → D , to |= (∃x)A(x) → D ( konkretizaci ). Dokazatel~stvo analogiqno dokazatel~stvu teoremy 3.2. 33 3.3. Aksiomatiqeskie isqisleni predikatov Aksiomatiqeskoe postroenie isqisleni predikatov neobhodimo prede vsego, dl togo qtoby obobwit~ rezul~taty, poluqennye dl koneqnyh predmetnyh mnoestv, na beskoneqnye predmetnye mnoestva. Rassmotrim snaqala aksiomatiqeskoe isqislenie predikatov IP, kotoroe vlets prodoleniem aksiomatiqeskogo isqisleni vyskazyvani$ i IV i po tomu vklqaet v seb vse shemy aksiom i pravilo vyvoda isqisleni vyskazyvani$ i IV. Pri tom de$ istvi kvantorov v proizvol~nom predmetnom mnoestve opredelts utverdenimi teoremy 3.2, printymi kak aksiomy. K pravilu M P isqisleni vyskazyvani$ i IV dobavlts pravila obobweni i konkretizacii iz teoremy 3.3. Opredelenie 3.5 (Shemy aksiom i pravila vyvoda IP). Pust~ A, B, C — predikaty ili vyskazyvani ; A(x) — predikat, soderawi$i svobodno x; peremenna t svobodna dl x v A(x); D ne soderit x svobodno. Shemami aksiom isqisleni predikatov IP vlts : AS1 A → (B → A) , AS2 (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) , AS3 A → (B → A∧B) , AS4 A∧B → A , AS5 A∧B → B , AS6 A → A ∨ B , AS7 B → A ∨ B , AS8 (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) , AS9 (A → B) → ((A → B) → A) , AS10 A → A , AS11 (∀x)A(x) → A(t) , AS12 A(t) → (∃x)A(x) . Pravilami vyvoda isqisleni predikatov IP vlts : A, A → B D → A(x) A(x) → D (M P ), ( obobwenie ), ( konkreB D → (∀x)A(x) (∃x)A(x) → D tizaci ) . Ponti dokazatel~stva i vyvoda iz dopuweni$ i analogiqny sootvetstvuwim pontim isqisleni vyskazyvani$ i IV, no oboznaqenie A1 , . . . , Am ` B ispol~zuets tol~ko dl vyvodov, poluqennyh bez primeneni pravil obobweni i konkretizacii k peremennym, vhodwim svobodno v dopuweni A1 , . . . , Am . Vse 34 utverdeni teoremy 3.1 spravedlivy i v aksiomatiqeskom isqislenii predikatov pri uslovii, qto v nih znak |= zamenen na znak ` . Na isqislenie predikatov perenosits bol~xa qast~ rezul~tatov isqisleni vyskazyvani$ i, v qastnosti, esli A1 , . . . , Am ` B v isqislenii vyskazyvani$ i, to A1 , . . . , Am ` B v isqislenii predikatov. Spravedlivy pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov → , ∧ , ∨ , , ∼. Teorema 3.4 (Pravila vvedeni i udaleni kvantorov). Pust~ A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i x svobodno ; peremenna t svobodna dl x v A(x); Γ — koneqny$i spisok predikatov ( vozmono, pusto$i ), ne soderawih x svobodno ; D — proizvol~ny$i predikat, ne soderawi$i x svobodno. Spravedlivy pravila, privedennye v tablice : Znak Pravilo vvedeni Pravilo udaleni ∀ Esli Γ ` A(x) , to Γ ` (∀x)A(x) (∀x)A(x) ` A(t) ∃ A(t) ` (∃x)A(x) Esli Γ, A(x) ` D , to Γ, (∃x)A(x) ` D D o k a z a t e l ~ s t v o . Vvedenie ∀ . Pust~ C — aksioma, ne soderawa x svobodno. 1) Γ ` A(x) — po uslovi, 2) Γ , C ` A(x) — svo$ istvo 2, 1, 3) Γ ` C → A(x) — vvedenie → , 2, 4) Γ ` C → (∀x)A(x) — obobwenie, 3, — vvedenie →, 4, 5) Γ , C ` (∀x)A(x) 6) Γ ` (∀x)A(x) — udalenie aksiomy iz dopuweni$ i, 5. Udalenie ∀ . 1) ` (∀x)A(x) → A(t) — AS11 , — vvedenie → 1. 2) (∀x)A(x) ` A(t) Vvedenie ∃ . 1) ` A(t) → (∃x)A(x) — AS12 , 2) A(t) ` (∃x)A(x) — vvedenie → , 1. 35 1) 2) 3) 4) Udalenie ∃ . Γ , A(x) ` D Γ ` A(x) → D Γ ` (∃x)A(x) → D Γ , (∃x)A(x) ` D — — — — po uslovi, vvedenie → 1, konkretizaci, 2, vvedenie → 3. J Teorema 3.5 (Pravila pereimenovani peremennyh). Pust~ predikat A(x) soderit x svobodno , peremenna y svobodna dl x v A(x). Togda : 1) esli ` A(x), to ` A(y); 2) esli ` (∀x)A(x), to ` (∀y)A(y); 3) esli ` (∃x)A(x), to ` (∃y)A(y) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem 1. — po uslovi, 1) ` A(x) 2) ` (∀x)A(x) — vvedenie ∀, 1, — udalenie ∀ , svo$ 3) ` A(y) istvo 3, 2. Dokaem 2. 1) ` (∀x)A(x) — po uslovi, — udalenie ∀ , svo$ istvo 3, 1, 2) ` A(y) 3) ` (∀y)A(y) — vvedenie ∀ , 2. Punkt 3 sleduet iz 2 v silu punkta 5 teoremy 3.1. J Pravila pereimenovani peremennyh pozvolt kadu formulu zapisat~ tak, qto vse razliqnye peremennye (svobodnye i svzannye) oboznaqats razliqnymi bukvami. Opredelenie 3.6 (Zamknutye predikaty, zamykanie). Predikat, ne soderawi$i svobodno$i peremenno$i, nazyvaets zamknutym. Esli predikat A soderit svobodno tol~ko peremennye x1 , . . . , xn , to A0 = (∀x1 ) . . . (∀xn )A nazyvaets zamykaniem A . S pomow~ pravil vvedeni i udaleni ∀ netrudno dokazat~ sleduwee utverdenie. Teorema 3.6 (O zamykanii). Esli A0 — zamykanie predikata A , to ` A0 togda i tol~ko togda, kogda ` A . Aksiomatiqeskoe isqislenie predikatov IPS poluqaets iz isqisleni vyskazyvani$ i IS dobavleniem pravil vyvoda: Γ4 ` A(x) Γ ` (∀x)A(x) (vvedenie ∀ ), 17) (udalenie ∀), Γ4 ` (∀x)A(x) Γ ` A(t) Γ ` A(t) Γ4 , A(x) ` D (udalenie ∃ ). (vvedenie ∃ ), 19) 18) Γ ` (∃x)A(x) Γ4 , (∃x)A(x) ` D 16) V tih pravilah Γ , Γ4 — koneqnye spiski formul, vozmono, pustye. Spisok Γ4 i formula D ne soderat x svobodno, peremenna t svobodna dl x v A(x) . 36 4. Formal~nye sistemy V bol~xinstve aksiomatiqeskih teori$ i matematiki, obekty i utverdeni tih teori$ i traktuts soderatel~no, qto moet inogda privesti k nerazreximym protivoreqim (paradoksam). Vyhod zaklqaets v tom, qtoby rassmatrivat~ matematiqeskie teorii kak formal~nye sistemy, t. e. kak sistemy operaci$ i nad formulami nekotorogo toqnogo logiko-matematiqeskogo zyka, bez kako$ i-libo soderatel~no$ i interpretacii formul. Postroenie formal~no$ i sistemy svodits k zadani zyka, aksiom i pravil vyvoda sistemy. zyk opredelets alfavitom (pereqnem ishodnyh simvolov) i sintaksisom — pravilami postroeni formul sistemy: 1) termov (predmetov), i). 2) sootnoxeni$i (utverdeni$ Rassmotrim formal~nu sistemu sovremenno$ i matematiki, nazyvaemu isqisleniem predikatov pervogo pordka s funkcional~nymi i predikatnymi znakami (IPFP). Opredelenie 4.1 (zyk IPFP). Alfavit soderit : predmetnye peremennye a, b, . . . , x, y, z, n a1 , a2 , . . . , a0 , a00 , . . . ; simvoly fj j predmetnyh funkci$i nj predmetnyh argumentov, nj = 0, 1, . . . , ( simvoly funkci$i 0 argumenn tov nazyvats predmetnymi konstantami ); simvoly Pj j predikatov nj predmetnyh argumentov, nj = 1, 2, . . . , vklqa predikat ravenstva = ; logiqeskie znaki ∨, ∧, , →, ∼, ∀, ∃, τ ; vspomogatel~nye znaki ”, ”, ”(”, ”)” . Pravila postroeni termov. T1 . Predmetnye peremennye i konstanty vlts termami. n T2 . Esli T1 , . . . , Tnj — termy, to fj j (T1 , . . . , Tnj ) — term. T3 . Formuly naqinawies so znaka τ vlts termami. T4 . Nikakih termov, krome opredelennyh pp. T1 — T3 , net. Pravila postroeni sootnoxeni$i. n R1 . Esli T1 , . . . , Tnj — termy, to Pj j (T1 , . . . , Tnj ) — sootnoxenie. R2 . Esli A, B — sootnoxeni, x — predmetna peremenna, to A, A∧B, A ∨ B, A → B, (∀x)A, (∃x)A — sootnoxeni. R3 . Nikakih sootnoxeni$i, krome opredelennyh pp. R1 , R2 net. Opredelenie 4.2 (Podstanovki termov v formuly). Pust~ formula A(x) soderit svobodno peremennu x . Term T nazyvaets svobodnym dl x v A(x) , esli ni odna iz peremennyh terma ne svzyvaets pri ego podstanovke vmesto x . 37 Pravila vyvoda i logiqeskie aksiomy IPFP takie e, kak v IPS, gde t — term, svobodny$ i dl x v A(x) . K nim dobavlts aksiomy ravenstva. Aksiomy ravenstva. E1 x = x , E2 (x = y)∧(y = z) → (x = z) , E3 (x = y) → (y = x) ,  n n EP (x1 = y1 )∧ . . . ∧(xnj = ynj ) → (Pj j (x1 , . . . , xn ) ∼ Pj j (y1 , . . . , yn ) ,  n n Ef (x1 = y1 )∧ . . . ∧(xnj = ynj ) → (fj j (x1 , . . . , xn ) = fj j (y1 , . . . , yn ) , gde x, x1 , . . . , xnj , y, y1 , . . . , ynj , z — proizvol~nye termy. Qasto aksiomy ravenstva zapisyvats v zamknutom vide. Naprimer, aksioma E3 v zamknutom vide zapisyvaets tak (∀x)(∀y)((x = y) → (y = x)) . V matematiqeskih vyvodah qasto priments funkcii, nazyvaemye opisanimi, sopostavlwie sootnoxenim predmety, pri kotoryh oni vypolnts. Naprimer, esli v stroke vyvoda est~ vyskazyvanie (∃x)A(x) , to posle frazy: ”pust~ τ tako$ i predmet, qto vypolnets A(τ ) ,” sootnoxenie A(τ ) zapisyvaets v sleduwu stroku vyvoda i vyvod prodolaets, privod v konce koncov k sootnoxeni, ne soderawemu predmeta τ . Tako$ i sposob vyvoda, ne vyzyvaet vozraeni$ i, esli sno, kak konstruktivno na$ iti predmet τ dl lbogo A . Odnako, v obwem sluqae pri beskoneqnom predmetnom mnoestve i beskoneqnom mnoestve sootnoxeni$ i vozmonost~ takogo vybora mono postulirovat~ lix~ aksiomo$i vybora . Cermelo, kotora, primenitel~no k dannomu sluqa utverdaet, qto dl seme$ istva mnoestv S(A) istinnosti sootnoxeni$ i A , soderawih svobodno odnu peremennu x , suwestvuet funkci vybora τ (A) taka, qto τ (A) ∈ S(A) . Primer. Dokazatel~stvo (∃x)(A(x) → B(x)), (∀x)A(x) ` (∃x)B(x) . 1) ` (∃x)(A(x) → B(x)) — dopuwenie, — τ tako$ i, qto ` A(τ ) → B(τ ), 2) ` A(τ ) → B(τ ) 3) ` (∀x)A(x) — dopuwenie, 4) ` A(τ ) — udalenie ∀ , 3, 5) ` B(τ ) — udalenie →, 4, 2, 6) ` (∃x)B(x) — vvedenie ∃ , 5. Vvedem obwee opredelenie. 38 Opredelenie 4.3 (Neopredelennoe opisanie). Pust~ sootnoxenie A(x1 , . . . , xn , w) soderit svobodno tol~ko razliqnye peremennye x1 , . . . , xn , w (n>0). Term τw A(x1 , . . . , xn , w) , v kotorom peremenna w svzana, nazyvaets neopredelennym opisaniem ”nekotorogo w , takogo, qto ` (∀x1 ) . . . (∀xn )(∃w)A(x1 , . . . , xn , w) ”. tot term opredelet predmetnu funkci f (x1 , . . . , xn ) ‹ τw A(x1 , . . . , xn , w) . Pri ispol~zovanii v dokazatel~stvah neopredelennyh opisani$ i nel~z priment~ pravila obobweni i konkretizacii po peremennym, vhodwim svobodno v termy τw A(x1 , . . . , xn , w) . Teorema 4.1 (Udalenie neopredelennogo opisani). Pust~ Γ — spisok sootnoxeni$i (vozmono, pusto$i ); C — proizvol~noe sootnoxenie ; A(x1 , . . . , xn , w) i funkci f , udovletvort opredeleni funkci f ne vhodit v 4.5; sootnoxeni spiska Γ, A(x1 , . . . , xn , w), C. Togda, esli Γ, (∀x1 ) . . . (∀xn )A(x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) ` C , to Γ ` C . Term τ pozvolet opredelit~ kvantory formulami [3]: (∃x)A(x) ‹ A(τx A(x)), (∀x)A(x) ‹ A(τx A(x)). (1) Pri takom opredelenii shemu AS11 mono isklqit~, a shemu AS12 zapisat~ v vide A(t) → A(τx A(x)). Prinima aksiomatiku N. Burbaki [3], vvedem dl τ sleduwu shemu aksiom, nakladyvawu ograniqenie na ispol~zuemye funkcii vybora. Aksioma terma τ . (∀x)(A(x) ∼ B(x)) → (τx A(x) = τx B(x)) . Opredelenie 4.4 (Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni). Sootnoxenie R(x), soderawee svobodno bukvu x i ne soderawee razliqnye bukvy y, z , nazyvaets odnoznaqnym po x , esli ` (∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)). Sootnoxenie R(x) nazyvaets funkcional~nym po x , esli ono odnoznaqno i ` (∃x)R(x) . Teorema 4.2 (Ob odnoznaqnyh i funkcional~nyh sootnoxenih). 1 . Pust~ R(x) odnoznaqno po x . Togda ` R(x) → (x = τx R(x)). 2 . Pust~ ` R(x) → (x = t) , gde term t ne soderit x svobodno. Togda R(x) odnoznaqno po x . 3. Pust~ R(x) funkcional~no po x . Togda ` R(x) ∼ (x = τx R(x)). 4 . Pust~ ` R(x) ∼ (x = t), gde term t ne soderit x svobodno. Togda R(x) funkcional~no po x. D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Pust~ R(x) odnoznaqno po x . Togda 1) ` (∀z)(∀y)((R(y)∧R(z)) → (y = z)) — dopuwenie, 2) ` (∀y)((R(y)∧R(τx R(x))) → (y = τx R(x))) — udalenie ∀ , 1, 3) ` R(x)∧(∃x)R(x) → (x = τx R(x)) — (1), udalenie ∀ , 2, — udalenie ∧ i →, 3, 4) R(x), (∃x)R(x) ` x = τx R(x) 39 (∃x)R(x) ` R(x) → (x = τx R(x)) — vvedenie →, 4, R(x) ` (∃x)R(x) — vvedenie ∃ , R(x) ` R(x) → (x = τx R(x)) — seqenie, 5, 6, R(x), R(x) ` x = τx R(x) — udalenie → i ∧, 7, ` R(x) → (x = τx R(x)) — sokrawenie, vvedenie → , 8. 2. Pust~ ` R(x) → (x = t) i term t ne soderit x svobodno. 1) ` R(x) → (x = t) — dopuwenie, 2) ` R(y) → (y = t) — pereimenovanie, 1, 3) ` R(z) → (z = t) — pereimenovanie, 1, 4) R(y) ` (y = t) — udalenie → , 1, 5) R(z) ` (z = t) — udalenie → , 1, 6) R(y), R(z) ` (y = t)∧(z = t) — vvedenie ∧ , 4, 5, 7) R(y), R(z) ` y = z — seqenie, 6, E2 , 8) ` (R(y)∧R(z)) → (y = z) — vvedenie ∧ i →, 7, 9) ` (∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)) — vvedenie ∀ , 8. 3. Pust~ R(x) funkcional~no po x . 1) ` R(x) → (x = τx R(x)) — punkt 1, 2) ` (x = τx R(x)) → (R(x) ∼ (∃x)R(x)) — EP , (1), 3) x = τx R(x) ` R(x) ∼ (∃x)R(x) — udalenie ∧ i →, 2, 4) x = τx R(x) ` (∃x)R(x) → R(x) — udalenie ∧, 3, 5) ` (x = τx R(x)) → ((∃x)R(x) → R(x)) — vvedenie →, 4, 6) ` (∃x)R(x) → ((x = τx R(x)) → R(x)) — a → (b → c) = b → (a → c) , 5, 7) ` (∃x)R(x) — dopuwenie, 8) ` (x = τx R(x)) → R(x) — udalenie → , 6, 7, 9) ` R(x) ∼ (x = τx R(x)) — vvedenie ∧ , 1, 8. 4. Pust~ ` R(x) ∼ (x = t) . 1) ` R(x) ∼ (x = t) — dopuwenie, 2) ` R(x) → (x = t) — udalenie ∧, 1, 3) ` R(x) odnoznaqno po x — punkt 2, 3, — udalenie ∧ , 1, 4) ` (x = t) → R(x) 5) ` (∀x)((x = t) → R(x)) — vvedenie ∀ , 4, 6) ` (t = t) → R(t) — udalenie ∀ , 5, — vvedenie ∃, 7) R(t) ` (∃x)R(x) 8) ` (∃x)R(x) — E1 , seqenie, 6, 7, t. e. R(x) funkcional~no po x . J Sootnoxenie (∃x)R(x)∧(∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)) , oznaqawee, qto R(x) funkcional~no po x, qasto oboznaqaets simvolom (∃!x)R(x) , kotory$ i qitaets tak: ”suwestvuet edinstvenny$ i (suwestvuet i edinstvenen) predmet tako$ i, qto R(x) ”. V tom sluqae term τx R(x) nazyvaets opredelennym opisaniem. 5) 6) 7) 8) 9) 40 5. Upraneni k 1 . 1) 2) 3) 4) 5) Postroit~ tablicu dl f i opredelit~ N (f ) : f (x, y, z) = (x ∼ y) ∧ y | z , 6) f (x, y, z) = (x ↓ y)∧y ⊕ z , f (x, y, z) = (x ↓ y) ∧ y → z , 7) f (x, y, z) = (x ⊕ y) ∧ y → z , f (x, y, z) = (x ⊕ y) ∧ y | z , 8) f (x, y, z) = (x ↓ y) ∨ y | z , f (x, y, z) = (x ∼ y) ∧ y → z , 9) f (x, y, z) = (x ↓ y) ∧ y ∼ z , f (x, y, z) = (x | y) ∨ y ⊕ z , 10) f (x, y, z) = (x → y)∧y ⊕ z . R e x e n i e dl f (x, y, z) = (x → y) ∨ y ∼ z (sm. primer 1.1). f (x, y, z) = ( x → ¬ ( y )) ∨ ¬( y ∼ ¬( z )) 1 01 1 0 1 1 00 1 0 1 01 1 0 1 0 01 0 1 1 01 0 1 1 0 11 1 0 1 01 0 1 1 1 10 0 1 1 11 1 0 1 1 00 1 0 1 11 1 0 1 0 01 0 1 10 0 1 0 0 11 1 0 1 10 0 1 1 1 10 0 1 N (f ) = 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 253 . J k 2 . Ispol~zu teoremu 1.2 i tabl. 3, na$ iti vyraenie dl ∗ ∗ f (x, y, z) i opredelit~ N (f ) . 1) f (x, y, z) = ((x ↓ y) | (y ∨ z)) ∧ y ∧ z , 2) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∨ z) ∧ y → z , 3) f (x, y, z) = ((y | z) → (x ∨ y)) ⊕ (y ∨ z) , 4) f (x, y, z) = (x ⊕ y) → (y | z) → (y ∧ z) , 5) f (x, y, z) = (x → y) | (y ↓ z)∧(y ⊕ z) , 6) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y → z) ⊕ (y∧z) , 7) f (x, y, z) = (x ∼ y) ↓ (y | z) ∧ (z → y) , 8) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y∧z) → (y ∨ z) , 9) f (x, y, z) = (x ↓ y) | (y∧z) ∨ (z → y) , 10) f (x, y, z) = (x ∧ y) → (y ↓ z) ∼ (y ∧ z) . R e x e n i e dl f (x, y, z) = (x ∼ y) ∼ (y∧z)∧y ∨ z . Po teoreme 1.2 f ∗ = x ⊕ y ⊕ (y ∨ z)∨y∧z , N (f ∗ ) = 254 nahodits kak v upr. 1. J 3 . Dokazat~ tabliqnym sposobom vse sootnoxeni teoremy 1.3. k 4 . Uprostit~ vyraenie dl f (x, y, z) . Proverit~ pravil~nost~ uproweni, sravniva nomer uprowennogo vyraeni i N (f ) . 41 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) f (x, y, z) = (x ∼ y) ↓ (y | z) ∧ (z → y) , f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∧ z) → (y ∨ z) , f (x, y, z) = (x ↓ y) | (y ∧ z) ∨ (z → y) , f (x, y, z) = (x ∧ y) → (y ↓ z) ∼ (y ∧ z) , f (x, y, z) = (x ∼ y) ⊕ (y ↓ z) ∨ (y | z) , f (x, y, z) = (x ⊕ y) | (y ↓ z) ∨ y → z , f (x, y, z) = ((x ↓ y) | (y ∨ z)) ∧ y ∧ z , f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∨ z) ∧ y → z , f (x, y, z) = ((y | z) → (x ∨ y)) ⊕ (y ∨ z) , f (x, y, z) = (x ⊕ y) → (y | z) → (y ∧ z) . R e x e n i e dl f (x, y, z) = ((x ∼ y) ⊕ (y|z))∧y ∨ z, N (f ) = 128 . f = (x⊕y⊕(y|z))∧y ∨ z = (x⊕y⊕(y∧z))∧y ∨ z = (x⊕y⊕z ⊕(y∧z))∧y ∨ z = = (x ⊕ (y ∨ z))∧y ∨ z = x∧y ∨ z = x↓(y ∨ z) , N (x↓(y ∨ z)) = 128 . J 5 . Metodom matematiqesko$ i indukcii dokazat~ sootnoxeni: n n n n _ ^ _ ^ 1) (a ∨ bi ) = a ∨ (a → bi ) , bi , 6) a → bi = i=1 i=1 i=1 i=1 ! ! n n n n n _ _ _ _ _ 2) (a ∧ bi ) = a ∧ bi , 7) (ai ∨ bi ) = ai ∨ bi , i=1 i=1 i=1 i=1 ! i=1 ! n n n n n ^ ^ ^ ^ ^ bi , (ai ∧ bi ) = (a ∨ bi ) = a ∨ 8) ai ∧ bi , 3) 4) 5) i=1 n ^ (a ∧ bi ) = a ∧ i=1 n ^ i=1 ai ! →b= i=1 n ^ i=1 n _ i=1 n _ R e x e n i e dl bi , i=1 9) (ai → b) , 10) ai = n ^ ai . i=1 n ^ i=1 n _ i=1 ai = ai = i=1 n ^ i=1 ai , ai . i=1 i=1 Pri n _ imeem n = 1 a1 = a1 . i=1 Pust~ rassmatrivaemoe ravenstvo vypolnets pri n = k , t. e. k k ^ _ ai . S uqetom zakona de Morgana, poluqim ai = i=1 i=1 k+1 _ i=1 ai = k _ i=1 ai ! ∨ ak+1 = k _ i=1 ai ∧ ak+1 = Znaqit, pri lbom natural~nom n n _ i=1 42 k ^ i=1 ai = ai ! n ^ i=1 ∧ak+1 = ai . J k+1 ^ i=1 ai . k 6 . Na$ iti SDNF, SKNF funkcii fN (x, y, z) s nomerom N , ravnym: 1) 30, 2) 45, 3) 54, 4) 57, 5) 75, 6) 86, 7) 89, 8) 99 , 9) 101, 10) 105 . Uprostit~ odnu iz form. R e x e n i e dl f106 . Funkcii c a i d a , vhodwie v SDNF f106 i SKNF f106 , predstavleny v tablice x y z f106 (x, y, z) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c a (x, y, z) x∧y∧z x∧y∧z x∧y∧z x∧y∧z d a (x, y, z) x∨y∨z x∨y∨z x∨y∨z x∨y∨z (SDNF f106 )(x, y, z) = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z), (SKNF f106 )(x, y, z) = (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z). Uprowa SDNF, poluqim f106 (x, y, z) = (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) = = (x∧((y∧z)) ∨ (y∧z))) ∨ ((x∧z)∧(y ∨ y)) = (x∧(y⊕z)) ∨ (x∧z) = = (x∧(y⊕z))⊕(x∧z)⊕(x∧(y⊕z)∧x∧z) = (x∧y)⊕(x∧z)⊕(x∧z) = = (x∧y)⊕(x∧z)⊕(x∧z)⊕x⊕y⊕z = (x∧y)⊕x⊕y⊕z = (x ∨ y)⊕z . J 7 . Na$ iti SDNF i SKNF dl funkci$ i: 1) x → y , 2) x ∼ y , 3) x ⊕ y , 4) x | y , 5) x ↓ y , 6) x ∨ y , 7) x ∧ y . k 8 . Predstavit~ v bazise egalkina funkci fN (x, y, z) s nomerom N , ravnym: 1) 106, 2) 108, 3) 120, 4) 135, 5) 147, 6) 149, 7) 150, 8) 154, 9) 156, 10) 166 . Preobrazovat~ poluqennoe vyraenie v polinom egalkina, t. e. vyraenie vida ε + εx x + εy y + εz z + εxy xy + εxz xz + εyz yz + εxyz xyz , gde sloenie i umnoenie — drugie oboznaqeni dl sloeni po modul 2 i konnkcii, priqem ih prioritety takie e kak i u obyqnogo sloeni i umnoeni; ε, εx , . . . , εxyz ∈ B . R e x e n i e dl f169 (x, y, z) . Zamen v SDNF f169 operaci ∨ na + i vyraa otricani qerez + i 1, poluqim f169 (x, y, z) = = (x +1)(y +1)(z +1)+(x+1)y(z +1)+ x(y +1)(z +1)+xyz = xyz +xy +yz + +xz +x+y +z +1+xyz +xy +yz +y +xyz +xy +xz +x+xyz = 1+z +xy. J 9 . Dokazat~, qto lba funkci f (x1 , . . . , xn ) edinstvennym obrazom predstavlets v vide polinoma egalkina. 43 k 10 . Privesti k KNF (ne uprowa): 1) (a → b)∧a → b , 2) (a → b)∧(c → d)∧ a∧c → b∧d , 3) ((a → b) ∨ (c → d))∧ a∧c → b ∨ d , 4) (a → b)∧(c → b) → (a ∨ c → b) , 5) (a ∨ c → b)∧ (a → b)∧(c → b) , 6) (a∧b → c)∧ a → (b → c) , 7) (a → (b → c))∧ a∧b → c , 8) (a∧b → c) → (a∧c → b) , 9) (a∧c → b) → (a∧b → c) , 10) (a → b)∧ a∧c → b∧c . R e x e n i e dl F = (a → b)∧(c → d) → (a ∨ c → b ∨ d) . F = (a ∨ b)∧((c ∨ d) ∨ a ∨ c ∨ b ∨ d = (a ∨ b)∧(c ∨ d)∧(a ∨ c)∧b∧d . J 11 . Dokazat~ osnovnye sootnoxeni bulevo$ i algebry: 27, 28, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47. 12 . Dokazat~ s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti zakony logiki teoremy 2.1. Ukazanie: sm. primer 2.1. 13 . Dokazat~ teoremy 2.3, 2.4 i sledstvie teoremy 2.4. 14 . Dokazat~, qto sekvenci Γ ` A vypolnets togda i tol~ko V togda, kogda vypolnets sekvenci ` Γ → A (pravila vvedeni i udaleni ∧ i →). k 15 . Dokazat~ tavtologii trem sposobami: a) tabliqnym, b) s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti (primer 2.1), v) privod k tavtologii |= A ∼ A s pomow~ teoremy 1.3. 1) |= (A∧B) ∨ A ∨ C ∼ ((A → B)∧A → C) , 2) |= (A ∼ B) ∨ (A∧C) ∼ ((A ∨ B)∧(B → A)∧(A → C)) , 3) |= (A → B) ∨ (A ∼ C) ∼ (A ∨ B∧(A ∨ C)∧(C → A)) , 4) |= A ∨ B ∨ (C → A) ∼ (A → B∧A∧C) , 5) |= (A → B) ∨ (A → C) ∼ (A∧B∧C) , 6) |= ((A → B) ∨ A ∨ C) ∼ A∧B∧(A → C) , 7) |= (A ∨ B) ∨ (A ∼ C) ∼ (A ∨ B∧(A → C)∧(C ∨ A)) , 8) |= (A ∨ B ∨ A ∼ C) ∼ (A → B)∧(A ∨ C)∧(C → A) , 9) |= (A → B ∨ C → A) ∼ (A → B)∧(A ∨ C) , 10) |= ((A∧B) ∨ A → C) ∼ A ∨ (B∧C) . 44 R e x e n i e . Dokaem |= ((A∧B) ∨ A ∨ C) ∼ (A → B ∨ (A → C)) tret~im sposobom: (A∧B) ∨ A ∨ C ∼ A → B ∨ (A → C) = (A ∨ C) ∼ ∼ (A ∨ B ∨ A ∨ C) = (A ∨ C) ∼ ((A∧C) ∨ A ∨ C) = (A ∨ C) ∼ (A ∨ C) . J 16 . Dokazat~ sekvenci A → B, B → (A ∼ C), C ` A ∼ B tabliqno (primer 2.2). Preobrazovat~ sekvenci v tavtologi po pravilu vvedeni ∧ i → (upr. 14) i dokazat~ ee: a) s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti, b) s pomow~ teoremy 3.1. k 17 . Dokazat~ sekvencii kak v upr. 16. 1) (A∧B) → A ∨ C, A ∨ B ∨ C |= A → B → (B ∨ C) ; 2) (A → B) → (B∧C), (B → C) ∨ (B → C) |= (A → B) → (B → C) ; 3) A ∨ B ∨ C, C ∨ (A∧B) |= A ∨ B ∨ (A∧B) ; 4) A ∨ B ∨ C, (B ∨ C) → (A∧B) |= A ∨ (A∧B) ; 5) (A∧B) → B, B ∨ (A∧C) |= (A → B) ∨ (A∧C) ; 6) A → (B → A), (A → B)∧C |= (A ∨ B) → ((A → C) → A) ; 7) C → (A ∨ B), C → (A∧B) |= A ∨ B ∨ (A∧B) ; 8) A → (A ∨ B) , B → (A ∨ C) |= (A → B) ∨ (C → A) ; 9) ((A → B)∧(A → B)) → A, (A ∨ B) → (B∧C) |= (A → B) ∨ B → C ; 10) A ∨ (B∧C), (A → C)∧(B → C) → (A ∨ B → C) |= A → (B → (A ∨ C)). R e x e n i e dl A → B, B ∨ C |= A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)) . Primen pravilo vvedeni ∧ i → (upr. 14), poluqim tavtologi |= A → B∧(B ∨ C → A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)), kotoru dokaem s pomow~ teoremy 3.1: A → B∧B ∨ C → A ∨ B ∨ C ∨(A∧B∧(A∨C)) = = A ∨ B ∨ B ∨ C ∨ A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)) = 1 . J 18 . Dl zadannogo vyvoda napisat~ analiz k kado$ i stroke i postroit~ derevo vyvoda (sm. primer 2.3). 1) 1. B |= A ∨ B 4. |= B ∨ A → A ∨ B 7. A ∨ B |= B ∨ A 8. |= A ∨ B → B ∨ A 2. A |= A ∨ B 5. A |= B ∨ A 3. B ∨ A |= A ∨ B 6. B |= B ∨ A 9. |= A ∨ B ∼ B ∨ A . 2) 4. |= A ∨ (A∧B) → A 7. |= A ∨ (A∧B) ∼ A . 1. A |= A 2. A∧B |= A 5. A |= A ∨ (A∧B) 6. |= A → A ∨ (A∧B) 3. A ∨ (A∧B) |= A 3) 1. A∧(B∧C) |= A 9. A∧B, C |= (A∧B)∧C 5. A∧(B∧C) |= B 10. A∧(B∧C) |= (A∧B)∧C 2. A∧(B∧C) |=B∧C 6. A∧(B∧C) |= C 7. A, B |= A∧B 11. |= A∧(B∧C) → 3. B∧C |= B 8. A∧(B∧C) |= A∧B 4. B∧C |= C → (A∧B)∧C. 45 4) 1. A∧(A ∨ B) |= A 2. |= A∧(A ∨ B)→ A 3. A |= A 5) 1. A ∨ B, A |= A ∨ B 2. A ∨ B, A |= A ∨ B 3. A ∨ B |= A 6) 1. A |= A 2. |= A → A 3. A, A |= A 7) 1. A, A∧B |= A 2. A, A∧B |= A 3. A |= A∧B 8) 1. A∧B |= B 2. A∧B |= A 3. B, A |= B∧A 4. A∧B |= B∧A 9) 1. A ∨ A, A |= A ∨ A 2. A ∨ A, A |= A ∨ A 3. A ∨ A |= A 10) 1. A∧A |= A 2. |= A∧A → A 3. A |= A k 19 . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 46 4. A |= A ∨ B 5. A, A ∨ B|=A∧(A ∨ B) 6. A |= A∧(A ∨ B) 7. |= A → A∧(A ∨ B) 8. |= A ∼ A∧(A ∨ B) . 4. A ∨ B, B |= A ∨ B 5. A ∨ B, B |= A ∨ B 6. A ∨ B |= B 7. A, B |= A∧B 8. A ∨ B |= A∧B 9. |= A ∨ B → A∧B . 4. A, A |= A 5. A |= A 6. |= A → A 7. |= A ∼ A . 4. B, A∧B |= B 5. B, A∧B |= B 6. B |= A∧B 7. A ∨ B |= A∧B 8. |= A ∨ B → A∧B . 5. |= A∧B → B∧A 6. B∧A |= A 7. B∧A |= B 8. A, B |= A∧B 9. B∧A |= A∧B 10. |= B∧A → A∧B 11. |= A∧B ∼ B∧A . 4. A ∨ A, A |= A ∨ A 5. A ∨ A, A |= A ∨ A 6. A ∨ A |= A 7. |= A ∨ A 8. |= A ∨ A . 4. A, A |= A∧A 5. A |= A∧A 6. |= A → A∧A 7. |= A ∼ A∧A . Metodom rezolci$ i dokazat~ tavtologii (sm. primer 2.4). |= (A → B)∧A → B , |= (A → B)∧(C → D) → (A∧C → B∧D) , |= (A → B) ∨ (C → D) → (A∧C → B ∨ D) , |= (A → B)∧(C → B) → (A ∨ C → B) , |= (A ∨ C → B) → (A → B)∧(C → B) , |= (A∧B → C) → (A → (B → C)) , |= (A → (B → C)) → (A∧B → C) , |= (A∧B → C) → (A∧C → B) , |= (A∧C → B) → (A∧B → C) , |= (A → B) → (A∧C → B∧C) . 20 . Dokazat~ teoremu 2.3 dl znaka ` . 21 . Dokazat~ v isqislenii vyskazyvani$ i IS. 6) ` A ∨ (A∧B) ∼ A , 1) ` A ∨ B ∼ B ∨ A , 2) ` A ∼ A∧(A ∨ B) , 7) ` A∧(B∧C) → (A∧B)∧C , 8) ` A ∼ A , 3) ` A ∨ B → A∧B , 4) ` A ∨ B → A∧B , 9) ` A∧B ∼ B∧A , 5) ` A ∨ A , 10) ` A ∼ A∧A . R e x e n i e . Dokazat~ teoremu — aksioma, 1) A ` A 2) A ∨ A ` A — razbor sluqaev, 3) ` A ∨ A → A — vv. → , 2, ` A ∨ A ∼ A . Dokazatel~stvo: 4) A ` A ∨ A — vv ∨ 1, 5) ` A → A ∨ A — vv. → , 4, 6) ` A ∨ A ∼ A — vv. ∼, 3, 5 . J 22 . Pust~ xn ∈ R, a ∈ R . Zapisat~ s pomow~ kvantorov vyskazyvanie ” lim xn = a ” i ego otricanie. n→∞ 23 . Dokazat~ p. 4 — 12 teoremy 3.1. 24 . Dokazat~ teoremu 3.3. 25 . Pust~ A(x, y) soderit x, y svobodno, s, t svobodny dl x, y ; B(x) soderit x svobodno, r svobodno dl x ; C ne soderit x svobodno. Proanalizirovat~ dokazatel~stva v IP: 1) 4. C ` (∀x)C 1. (∀x)C ` C 2. ` (∀x)C → C 5. ` C → (∀x)C 3. C ` C 6. ` (∀x)C ∼ C . 2) 1. (∀y)A(x, y) → A(x, t) 5. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀t)(∃r)A(r, t) 2. A(x, t) → (∃r)A(r, t) 6. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∃r)A(r, y) 3. (∀y)A(x, y) → (∃r)A(r, t) 7. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∃x)A(x, y) . 4. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∃r)A(r, t) 3) 1. A(x, x) ` (∃y)A(x, y) 4. (∃x)A(x, x) ` (∃r)(∃y)A(r, y) 5. ` (∃x)A(x, x) → (∃r)(∃y)A(r, y) 2. (∃y)A(x, y) ` (∃r)(∃y)A(r, y) 3. A(x, x) ` (∃r)(∃y)A(r, y) 6. ` (∃x)A(x, x) → (∃x)(∃y)A(x, y) . 4) 1. (∀x)A(x) , A(x) ` A(x) 5. (∀x)A(x) , (∃x)A(x) ` (∀x)A(x) 2. (∀x)A(x) , A(x) ` A(x) 6. (∀x)A(x) , (∃x)A(x) ` (∀x)A(x) 3. A(x) , A(x) ` (∀x)A(x) 7. (∀x)A(x) ` (∃x)A(x) 4. (∀x)A(x) , A(x) ` (∀x)A(x) 8. ` (∀x)A(x) → (∃x)A(x). 47 5) 1. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃x)A(x) 2. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃r)A(r) 3. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃r)A(r) 6) 1. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)A(x) 2. (∀x)A(x) ` A(t) 3. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` A(t) 4. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)B(x) 5. (∀x)B(x) ` B(t) 6. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` B(t) 7) 1. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` A(t)∧B(t) 2. A(t)∧B(t) ` A(t) 3. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` A(t) 4. A(t) ` (∀x)A(x) 5. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` (∀x)A(x) 6. A(t)∧B(t) ` B(t) 4. (∃x)A(x) ` A(x) 5. (∃x)A(x) ` (∀x)A(x) 6. ` (∃x)A(x) → (∀x)A(x) . 7. A(t) , B(t) ` A(t)∧B(t) 8. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` A(t)∧B(t) 9. A(t)∧B(t) ` (∀x)(A(x)∧B(x)) 10. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)(A(x)∧ ∧B(x)) 11. ` (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) → → (∀x)(A(x)∧B(x)). 7. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` B(t) 8. B(t) ` (∀x)B(x) 9. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` (∀x)B(x) 10. (∀x)A(x) , (∀x)B(x) ` (∀x)A(x)∧ ∧(∀x)B(x) 11. ` (∀x)(A(x)∧B(x)) → → (∀x)A(x)∧(∀x)B(x). 26 . Na$ idite predikaty otliqawies tol~ko svzannymi peremennymi. 1) (∀z)(∃y)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, x) → R(z)) , 2) (∀x)(∃y)(P (x, y)∧(∀y)Q(y, x) → R(x)) , 3) (∀y)(∃z)(P (y, z)∧(∀z)Q(z, x) → R(y)) , 4) (∀z)(∃x)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, y) → R(z)) , 5) (∀z)(∃y)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, x) → R(y)) . 27 . Dokaite, qto sootnoxenie x = y funkcional~no po x . 28 . Pust~ R(x) i S(x) — sootnoxeni, soderawie svobodno peremennu x , R(x) — funkcional~noe po x sootnoxenie i ` R(x) ∼ S(x) . Dokaite, qto S(x) — funkcional~noe po x sootnoxenie. 29 . 1) 2) 3) 48 Dokaite: ` (∀x)(∃!y)(x = y), ` (∃!x)A(x) ∼ (∃x)(∀y)((x = y) ∼ A(y)), ` (∀x)(A(x) ∼ B(x)) → ((∃!x)A(x) ∼ (∃!x)B(x)). II. TEORI MNOESTV 1. Osnovnye opredeleni 1.1. Standartnye mnoestva i operacii K koncu XIX veka stalo sno, qto lba matematiqeska teori imeet delo s mnoestvami obektov. Imenno v to vrem v rabotah G. Kantora voznikla teori mnoestv, kak matematiqeska nauka, kotoru mono rassmatrivat~ kak IPFP s ravenstvom i sootnoxeniem prinadlenosti T ∈ U , gde T — term, nazyvaemy$ i lementom, U — term, nazyvaemy$ i mnoestvom. Oboznaqenie T ∈ U moet byt~ proqitano kak ” lement T prinadleit mnoestvu U ”. Predikat T ∈ U obyqno oboznaqaets simvolom T ∈ / U i moet byt~ proqitan kak ” lement T ne prinadleit mnoestvu U ”. Mnoestva lementov mogut rassmatrivats kak lementy drugogo mnoestva i po tomu raznica medu lementami i mnoestvami isqezaet i formal~no teori mnoestv imeet delo s termami. Kantorovskoe opredelenie mnoestva, dopuskawee dl proizvol~nogo sootnoxeni P suwestvovanie mnoestva MP lementov x, udovletvorwih P , t. e. takih, qto ` (x ∈ MP ) ∼ P , privelo k povleni nerazreximyh protivoreqi$ i (paradoksov), obescenivawih teori mnoestv. Sut~ paradoksov v tom, qto dl nekotoryh sootnoxeni$ i P mono dokazat~ teoremy ` x ∈ MP i `x∈ / MP . V XX veke bylo predloeno neskol~ko sistem aksiom teorii mnoestv, isklqawih izvestnye paradoksy. Opredelenie 1.1 ( Vklqenie ). Pust~ A, B — termy, ne soderawie x . Sootnoxenie A⊆B ‹ (∀x)((x ∈ A) → (x ∈ B)) nazyvaets sootnoxeniem vklqeni i qitaets odnim iz sleduwih sposobov : ”A vklqaets v B ”, ” A est~ qast~ ( podmnoestvo ) B ”. Sootnoxenie A ⊂ B ‹ (A⊆B)∧(A = 6 B) qitaets tak : ”A est~ sobstvennoe podmnoestvo mnoestva B ”. M1 Aksioma obemnosti. (∀A)(∀B)(∀x)(((x ∈ A) ∼ (x ∈ B)) → (A = B)). Intuitivno, aksioma obemnosti oznaqaet, qto dva mnoestva, imewie odni i te e lementy, ravny. Teorema 1.1 (Dokazatel~stvo vklqeni$ i i ravenstv mnoestv). ` A ⊆ B togda i tol~ko togda, kogda ` (x ∈ A) → (x ∈ B) . ` A = B togda i tol~ko togda, kogda ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz ` (x ∈ A) → (x ∈ B) sleduet ` A⊆B (vvedenie ∀ ); iz ` A⊆B sleduet ` (x ∈ A) → (x ∈ B) (udalenie ∀ ). Iz ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) sleduet ` A = B (vvedenie ∀ , M1 ); iz ` A = B sleduet ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) ( EP ). J 49 Teorema 1.2 (Svo$ istva sootnoxeni vklqeni). 1) A⊆A , 2) (A⊆B)∧(B⊆C) → (A⊆C) , 3) (A⊆B)∧(B⊆A) → (A = B). Dokazatel~stvo predlagaets v kaqestve upraneni. Opredelenie 1.2 (Kollektiviziruwie sootnoxeni). SootR x , esli noxenie nazyvaets kollektiviziruwim po ` (∃y)(∀x)((x ∈ y) ∼ R), gde y — lba bukva ne sovpadawa s x i ne vhodwa v R . Intuitivno, sootnoxenie R nazyvaets kollektiviziruwim po x , esli dokazano suwestvovanie mnoestva, sostowego iz teh i tol~ko teh lementov x , kotorye udovletvort R . M2 Shema aksiom vydeleni. Dl lbogo sootnoxeni R , ne soderawego bukvu A sootnoxenie (x ∈ A)∧R vlets kollektiviziruwim po x. Mnoestvo lementov x , udovletvorwih tomu sootnoxeni, oboznaqaets simvolom {x ∈ A : R} . sno, qto vypolnenie uslovi (x ∈ y) ∼ R pri vseh x dl nekotorogo y dostatoqno dl togo, qtoby sootnoxenie R bylo kollektiviziruwim po x . No to uslovie mono oslabit~. Teorema 1.3 (Dostatoqnoe uslovie kollektiviziruemosti). Esli A — mnoestvo, x — bukva, ne vhodwa v A, ` R → (x ∈ A) , to R — sootnoxenie, kollektiviziruwee po x . D o k a z a t e l ~ s t v o . ` (R → (x ∈ A)) ∼ ((R∧(x ∈ A)) ∼ R) — I.2.1.21). Uqityva ` R → (x ∈ A) , poluqim ` R ∼ (R∧(x ∈ A)) , otkuda po M2 sleduet, qto R — sootnoxenie kollektiviziruwee po x. J Teorema 1.4 (Svo$ istvo kollektiviziruwih sootnoxeni$ i). Dl kollektiviziruwego po x sootnoxeni R sootnoxenie (∀x)((x ∈ y) ∼ R) funkcional~no po y , gde y ne vhodit v R . D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ y, z ne vhodt v R . Po uslovi ` (∃y)Q(y) , gde Q(y) = (∀x)((x ∈ y) ∼ R). Dokaem odnoznaqnost~ Q . 1) ` ((x ∈ y) ∼ R)∧((x ∈ z) ∼ R) → ((x ∈ y) ∼ (x ∈ z)) — teorema I.2.1.18), 2) ` (Q(y)∧Q(z) → (∀x)((x ∈ y) ∼ (x ∈ z))) — teorema I.3.1.1),18), 1, 3) ` (Q(y)∧Q(z)) → (y = z) — primer I.2.5, 2, M1 , — vvedenie ∀ . J 4) ` (∀y)(∀z)(Q(y)∧Q(z) → (y = z)) Opredelenie 1.3 (Mnoestvo, udovletvorwee sootnoxeni). Esli R(x) — kollektiviziruwee po x sootnoxenie, to mnoestvo lementov, udovletvorwih R(x) , oboznaqaets simvolom {x : R(x)}, gde peremenna x svzana. Esli R(x) ne soderit bukvu z , to z ∈ {x : R(x)} ‹ R(z) . Vmesto {x : (x ∈ A)∧R(x)} qasto ispol~zuets oboznaqenie {x ∈ A : R(x)}. 50 Primer 1.1. Poskol~ku ` (x ∈ A) → (x ∈ A), to po teoreme 1.3 sootnoxenie (x ∈ A) vlets kollektiviziruwim po x . / x ne vlets kollektiviziruPrimer 1.2. Sootnoxenie x ∈ / x}, to po opredeleni 1.3 poluqim wim po x . Esli b = {x : x ∈ b ∈ b`b ∈ /b i b∈ / b ` b ∈ b . Dobavl b ∈ b ` b ∈ b , b ∈ / b`b ∈ / b, po pravilu vvedeni otricani, poluqim ` b ∈ b i ` b ∈ / b. Primer 1.3. Ne suwestvuet mnoestvo vseh predmetov. Esli A — takoe mnoestvo, to po teoreme 1.3 lboe sootnoxenie R vlets kollektiviziruwim, qto protivoreqit primeru 1.2. Teorema 1.5. ` (∀x)(R → S) ravnosil~no ` {x : R}⊆{x : S}, ` (∀x)(R ∼ S) ravnosil~no ` {x : R} = {x : S} . D o k a z a t e l ~ s t v o . Primenit~ teoremu 1.1. J V rde aksiom teorii mnoestv nekotorye sootnoxeni obvlts kollektiviziruwimi. Vytekawie iz tih aksiom opredeleni qasto vsteqawihs mnoestv (nazovem ih standartnymi), primem kak aksiomy. M3 Standartnye mnoestva. Pust~ A, Ai , A, B, x, xi , y, z — mnoestva. Sleduwie mnoestva suwestvut i edinstvenny : ∅ ‹ {x : (x = 6 x)} — pustoe mnoestvo ; A ∪ B ‹ {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} — obedinenie A, B; A ∩ B ‹ {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} — pereseqenie A, B; A\B ‹ {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B)} — raznost~ A, B; AMB ‹ (A\B) ∪ (B\A) — simmetriqeska raznost~ A, B; [ M ‹ {x : (∃M ∈ A)(x ∈ M )} — obedinenie mnoestv iz A; M ∈A \ M ∈A M ‹ {x : (∀M ∈ A)(x ∈ M )} — pereseqenie mnoestv iz A; P(A) ‹ {x : (x⊆A)}— mnoestvo podmnoestv mnoestva A; {x, y} ‹ {z : (z = x) ∨ (z = y)} — neupordoqenna para ; {x} ‹ {x, x} = {z : (z = x)} — odno lementnoe mnoestvo ; {x1 , . . . , xn } ‹ {x1 , . . . , xn−1 } ∪ {xn } — neupordoqenna n -ka ; (x, y) ‹ {{x}, {x, y}} — upordoqenna para ; pr1 (x, y) ‹ x — 1 - proekci upordoqenno$i pary ; pr2 (x, y) ‹ y — 2 - proekci upordoqenno$i pary ; (x1 , . . . , xn ) ‹ ((x1 , . . . , xn−1 ), xn ) — upordoqenna n -ka ; A×B ‹ {(x, y) : (x ∈ A)∧(y ∈ B)}— dekartovo proizvedenie A, B; A1 × · · · ×An ‹ (A1 × · · · ×An−1 )×An — dekartovo proizvedenie A1 , ..., An ; An ‹ ( A× · · · ×A )×A — stepen~ mnoestva A. | {z } n−1 51 Sleduwa aksioma vvodit beskoneqnye mnoestva. M4 Aksioma beskoneqnosti. Suwestvut mnoestva A , udovletvorwie uslovi : (∅ ∈ A)∧(∀x)((x ∈ A) → ((x ∪ {x}) ∈ A)). Mnoestvo N natural~nyh qisel opredelets kak pereseqenie vseh mnoestv udovletvorwee aksiome beskoneqnosti. lementami N vlts mnoestva ∅, {∅}, {∅, {∅, }} . . ., oboznaqaemye simvolami 0, 1, 2, . . . . Vo mnogih priloenih teorii mnoestv rassmatrivats tol~ko takie mnoestva, kotorye vlts podmnoestvami nekotorogo fiksirovannogo mnoestva, nazyvaemogo prostranstvom. V tom sluqae vmesto binarno$ i operacii raznosti mono vvesti unarnu operaci — dopolnenie mnoestva. Opredelenie 1.4 (Dopolnenie). Dopolnenie podmnoestva / A} . prostranstva Ω est~ mnoestvo A ‹ Ω\A = {x ∈ Ω : x ∈ A Teorema 1.6 (Buleva algebra P(Ω) ). Mnoestvo P(Ω) vlets bulevo$i algebro$i s operacimi ∪, ∩, , nulem ∅ i edinice$i Ω , t. e. dl lbyh A, B, C iz P(Ω) vypolnts sootnoxeni : 1) A ∪ B = B ∪ A, 2) A ∩ B = B ∩ A, 4) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, 3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, 5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), 6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), 7) A ∪ A = A, 8) A ∩ A = A, 9) A ∪ A = Ω, 10) A ∩ A = ∅, 11) A ∪ B = A ∩ B, 12) A ∩ B = A ∪ B, 13) A ∪ (A ∩ B) = A, 14) A ∩ (A ∪ B) = A, 16) A ∩ Ω = A, 15) A ∪ ∅ = A, 17) A ∪ Ω = Ω, 18) A ∩ ∅ = ∅, 19) A = A. Buleva algebra P(Ω) izomorfna bulevo$i algebre BΩ . D o k a z a t e l ~ s t v o . Ravenstva 1 — 19 legko dokazat~ s pomow~ teoremy 1.1. Naprimer, dokaem ravenstvo 14. Imeem [x ∈ (A ∩ (A ∪ B))] ∼ [(x ∈ A)∧(x ∈ (A ∪ B))] ∼ [(x ∈ A)∧((x ∈ A) ∨ (x ∈ B))] ∼ ∼ [x ∈ A] , otkuda po teoreme 1.1 poluqim A ∩ (A ∪ B) = A . Ravenstvo F (A) = (x ∈ A) opredelet funkci, sopostvlwu lbomu A iz P(Ω) lement iz BΩ . Ravenstvo G(f ) = {x : f (x)} opredelet funkci, sopostavlwu lbomu lementu f (x) Ω iz B lement iz P(Ω) . Tak kak G((x ∈ A)) = {x : x ∈ A} = A i F ({x : f (x)}) = x ∈ {z : f (z)} = f (x) , to funkci F vzaimno odnoznaqna. Iz ravenstv F (A ∪ B) = (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) = F (A) ∨ F (B) , / A) = F (A) F (A ∩ B) = (x ∈ A)∧(x ∈ B) = F (A)∧F (B) , F (A) = (x ∈ Ω sleduet, qto bulevy algebry P(Ω) i B izomorfny. J 52 V P(Ω) vypolnts osnovnye sootnoxeni 21, 26 — 47 s uqetom togo, qto znakam ∨, ∧, ⊕ sootvetstvut znaki ∪, ∩, M v P(Ω) , a znaki →, ∼, ↓, | (obyqno ne upotreblemye dl mnoestv) opredelts ravenstvami 20, 22, 23, 25. Sledstvie (Otnoxenie ⊆ v P(Ω) ). 1. A⊆B ravnosil~no lbomu iz ravenstv : A = A ∩ B, B = A ∪ B, A ∪ B = Ω, A\B = ∅. 2 . Esli A⊆B , to (A ∩ C)⊆(B ∩ C), (A ∪ C)⊆(B ∪ C), B⊆A . Dokazatel~stvo predlagaets qitatel kak upraneni. Teorema 1.7 (Osnovnoe svo$ istvo i pary).  € €  upordoqenno$ ` (c, d) = (a, b) ∼ (c = a)∧(d = b) , gde a, b, c, d — termy. D o k a z a t e l ~ s t v o . sno, qto ` (c = a)∧(d = b) → (c, d) =‚ (a, b)ƒ . Imeem [(c, d) = (a, b)] → [{c}‚ ∈ (a, b)] → [(c = a)∨((c = a)∧(c = b))] ∼ c = a . Po tomu [(c, d) = (a, b)] → {a, d} = {a, b}] → [d = b] i [(c, d) = (a, b)] → → [(c = a)∧(d = b)]. J €   € Vn (x = y ) . Sledstvie. ` (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) ∼ i i i=1 Teorema 1.8 (Svo$ istva dekartovyh proizvedeni$ i). Pust~ A, B, C, D ∈ P(Ω) . Togda: 1) (A ∪ B)×C = (A×C) ∪ (B×C), 2) A×(B ∪ C) = (A×B) ∪ (A×C), 3) (A×B) ∩ (C×D) = (A ∩ C)×(B ∩ D), 4) (A ∩ B)×C = (A×C) ∩ (B×C), 5) A×(B ∩ C) = (A×B) ∩ (A×C), 6) (A\B)×C = (A×C)\(B×C), 7) A×(B\C) = (A×B)\(A×C), 8) esli A = ∅ ili B = ∅, to A×B = ∅, 9) esli A×B 6= ∅, to (A×B)⊆(C×D) ∼ (A⊆C)∧(B⊆D), 10) esli C 6= ∅, to (A⊆B) ∼ (A×C)⊆(B×C), 11) esli A 6= ∅, to (B⊆C) ∼ (A×B)⊆(A×C). D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. [(x, y) ∈ ((A ∪ B)×C)] ∼ [((x ∈ A)∨(x ∈ B))∧(y ∈ ∈ C)] ∼ [((x, y) ∈ A×C)∨((x, y) ∈ B×C)] ∼ [(x, y) ∈ (A×C) ∪ (B×C)] . 2. Analogiqno dokazatel~stvu punkta 1. 3. [(x, y) ∈ (A×B) ∩ (C×D)] ∼ [(x ∈ A)∧(y ∈ B)∧(x ∈ C)∧(y ∈ D)] ∼ ∼ [(x, y) ∈ (A ∩ C)×(B ∩ D)]. 4. Poloit~ D = B v 3). 5. Poloit~ C = A v 3). 6. [(x, y) ∈ (A×C)\(B×C)] ∼ [(x ∈ A)∧(y ∈ C)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)] ∼ ∼ [(x ∈ A)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)] ∼ [(x, y) ∈ (A\B)×C ]. 7. Analogiqno dokazatel~stvu punkta 6. 8. Iz A = ∅ (ili B = ∅) sleduet, qto ((x, y) ∈ A×B) = 0 i po tomu A×B = ∅ . 53 9. Iz A×B 6= ∅ sleduet A 6= ∅, B 6= ∅. Po teoremam I.2.1.20), I.3.1.13) [(A×B)⊆(C×D)] ∼ [(∀x)(∀y)((((x ∈ A) → (x ∈ C)) ∨ / A)))] ∼ [((∀x)((x ∈ A) → (x ∈ C)) ∨ ∨(y ∈ / B))∧(((y ∈ B) → (y ∈ D)) ∨ (x ∈ ∨(∀y)(y ∈ / B))∧((∀x)(x ∈ / A)∨(∀y)((y ∈ B) → (y ∈ D)))] ∼ [(A⊆B)∧(B⊆D)] . 10. Poloit~ D = B v 9). 11. Poloit~ C = A v 9). J Opredelenie 1.5 (Proekcii mnoestv). Pust~ C⊆A×B. Mnoestva pr1 C ‹ {x ∈ A : (∃y)((x, y) ∈ C)}, pr2 C ‹ {y ∈ B : (∃x)((x, y) ∈ C)} nazyvats 1-$i i 2-$i proekcimi mnoestva C . Teorema 1.9 (Svo$ istva proekci$ i). Dl C⊆A×B, D⊆A×B, i = 1, 2 : 1) C⊆(pr1 C)×(pr2 C) , 2) pri (C ∪ D) = (pri C) ∪ (pri D) , 3) pri (C ∩ D)⊆(pri C) ∩ (pri D) , 4) esli C⊆D, to (pri C)⊆(pri D) , S S {x} , 6) pr2 C = 5) pr1 C = {y} . (x,y)∈C (x,y)∈C D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem tol~ko sootnoxeni 1 — 4. 1. Iz (x, y) ∈ C po pravilu ∃ -vvedeni poluqim sootnoxeni (∃y ∈ B)((x, y) ∈ C) i (∃x ∈ A)((x, y) ∈ C) , oznaqawie, qto x ∈ pr1 C, y ∈ pr2 C . Otsda sleduet, qto (x, y) ∈ (pr1 C)×(pr2 C) i, znaqit, C⊆(pr1 C)×(pr2 C) . 2. Ispol~zu p. 2 teoremy I.3.1, poluqim [x ∈ pr1 (C ∪ D)] ∼ ∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C ∪ D)] ∼ [(∃y ∈ B)(((x, y) ∈ C) ∨ ((x, y) ∈ D))] ∼ ∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ B) ∨ (∃y ∈ B)((x, y) ∈ D)] ∼ [(x ∈ pr1 C) ∨ (x ∈ pr1 D)] ∼ ∼ [x ∈ (pr1 C) ∪ (pr1 D)], otkuda sleduet pr1 (C ∪ D) = (pr1 C) ∪ (pr1 D) . Analogiqno dokazyvaets ravenstvo pr2 (C ∪ D) = (pr2 C) ∪ (pr2 D) . 3. Ispol~zu p. 4 teoremy I.3.1, poluqim [x ∈ pr1 (C ∩ D)] ∼ ∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C ∩ D)] ∼ [(∃y ∈ B)(((x, y) ∈ C)∧((x, y) ∈ D))] → → [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C)∧(∃y ∈ B)((x, y) ∈ D)] ∼ [(x ∈ pr1 C)∧(x ∈ pr1 D)] ∼ ∼ [x ∈ (pr1 C) ∩ (pr1 D)], otkuda pr1 (C ∩ D)⊆(pr1 C) ∩ (pr1 D) . Analogiqno dokazyvaets vklqenie pr2 (C ∩ D)⊆(pr2 C) ∩ (pr2 D) . 4. Poskol~ku (C⊆D) ∼ (D = C ∪D) , to po svo$ istvu 2 iz C⊆D sleduet pri D = (pri C) ∪ (pri D), t. e. (pri C)⊆(pri D), i = 1, 2 . J 2. Binarnye otnoxeni Opredelenie 2.1 (Binarnye otnoxeni). Binarnym otnoxeniem medu mnoestvami A i B nazyvaets tro$ika mnoestv (R, A, B) , gde R⊆A×B — lboe podmnoestvo mnoestva A×B , nazyvaemoe grafikom otnoxeni (R, A, B) . Binarnoe otnoxenie (R, A, A) nazyvaets otnoxeniem v mnoestve A . Oblast~ opredeleni (R, A, B) nazyvaets Dom R ‹ pr1 R , oblast~ znaqeni$i — Im R ‹ pr2 R . Pust~ X⊆A, R|X ‹ R ∩ (X×B). 54 Otnoxenie (R|X , X, B) nazyvaets sueniem otnoxeni (R, A, B) na X , a (R, A, B) — prodoleniem otnoxeni (R|X , X, B) . Vmesto (x, y) ∈ R qasto pixut xRy i govort ” lement x ∈ A nahodits v otnoxenii R k lementu y ∈ B ”. Oboznaqenie xRy obsnets tradicionno$ i zapis~ izvestnyh binarnyh otnoxeni$ i v R : x = y, x = 6 y, x6y, x>y, x < y, x > y . Mnoestvo binarnyh otnoxeni$ i (R, A, B), vlets bulevo$ i algebro$ i s operacimi ∪, ∩, s nulem — nul~-otnoxeniem i — universal~nym otnoxeniem (A×B, A, B) . (∅, A, B) i edinice$ Opredelenie 2.2 (Obrawenie otnoxeni$ i). Obratnym k otnoxeni (R, A, B) nazyvaets otnoxenie (R−1 , B, A) , gde R−1 ‹ {(x, y) ∈ B×A : yRx}. sno, qto xR−1 y = yRx , Dom R−1 = Im R , Im R−1 = Dom R . Esli otnoxenie R opredeleno v mnoestve de$ istvitel~nyh qi−1 sel, to svz~ grafikov otnoxeni$ i R i R mono predsta−1 vit~ nagldno, a imenno: grafiki R i R simmetriqny otnositel~no bissektrisy, prohodwe$ i qerez naqalo koordinat, pervy$ i i treti$ i kvadranty koordinatno$ i ploskosti. Opredelenie 2.3 (Kompozici otnoxeni$ i). Kompozicie$i otnoxeni$i (R, A, B) i (S, B, C) nazyvaets otnoxenie (R ◦ S, A, C) , opredelemoe formulo$i R ◦ S ‹ {(x, y) ∈ A×C : (∃z ∈ B)(xRz∧zSy)} . Teorema 2.1 (Svo$ istva kompozicii i obraweni otnoxeni$ i). Pust~ (R, A, B), (S, B, C), (T, C, D) — binarnye otnoxeni. Togda : 1) (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ) , 2) (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 , 3) (R−1 )−1 = R , 4) R = ∆A ◦ R = R ◦ ∆B gde ∆A ‹ {(x, y) ∈ A×A : x = y} — diagonal~ v mnoestve A . €  €  D o k a z a t €e l ~ s t v o . 1. [x (R ◦S)◦T y] ∼ [(∃u ∈ C) x(R ◦S)u∧uT y ]∼  € ∼ [(∃u ∈ C) (∃v ∈ B)(xRv∧vSu)∧uT y ] ∼ [(∃u  ∈ C)(∃v ∈ B) € (xRv∧vSu)∧ € ∧uT y ] ∼ [(∃v  y) ]€∼ [(∃v ∈ B) xRv∧(∃u ∈ C)(  ∈ B)(∃u ∈€ C) xRv∧(vSu∧uT vSu∧uT y) ] ∼ [(∃v ∈ B) xRv∧(v(S ◦ T ))y ] ∼ [x R ◦ (S ◦ T ) y]. 2. [x(R ◦ S)−1 ]y ∼ [y(R ◦ S)x] ∼ [(∃v ∈ B)(yRv∧vSx)] ∼ [(∃v ∈ B)(vSx∧ ∧yRv)] ∼ [(∃v ∈ B)(xS −1 v∧vR−1 y)] ∼ [x(S −1 ◦ R−1 )y]. 3. [x(R−1 )−1 y] ∼ [yR−1 x] ∼ [xRy]. J Iz teoremy 2.1 sleduet, qto kompozici binarnyh otnoxeni$ i associativna. V obwem sluqae kompozici nekommutativna. Opredelenie 2.4 (Obrazy i proobrazy mnoestv). Pust~ X⊆A , Y ⊆B , R⊆A×B — binarnoe otnoxenie. Obrazom mnoestva X pri R nazyvaets mnoestvo RhXi ‹ pr2 R|X = pr2 ((X×B) ∩ R) , proobrazom mnoestva Y pri R nazyvaets obraz mnoestva Y pri otnoxenii R−1 — mnoestvo R−1 hY i = pr1 ((A×Y ) ∩ R) . 55 Teorema 2.2 (Svo$ istva obrazov mnoestv). Dl binarnogo otnoxeni (R, A, A) i X, Y iz P(A) : 1) RhX ∪ Y i = RhXi ∪ RhY i, 2) RhX ∩ Y i⊆RhXi ∩ RhY i, 3) esli X⊆Y , to RhXi⊆RhY i . D o k a z a t e l ~ s t v o . Primenit~ teoremu 1.9. J Opredelenie 2.5 (Tipy binarnyh otnoxeni$ i). Binarnoe otnoxenie (R, A, A) nazyvaets : refleksivnym, esli ∆A ⊆R; tranzitivnym, esli (R ◦ R)⊆R; simmetriqnym, esli R−1 ⊆R; antisimmetriqnym, esli (R ∩ R−1 )⊆∆A . Binarnoe otnoxenie (R, A, B) nazyvaets funkcional~nym ( funkcie$i ) , esli (R−1 ◦ R)⊆∆A . Funkcii Iz opredeleni 2.5 sleduet, qto nepustoe otnoxenie (f, A, B) nazyvaets funkcional~nym, esli vypolnets uslovie (∀x ∈ A)(∀y1 ∈ B)(∀y2 ∈ B)((xf y1 ∧xf y2 ) → (y1 = y2 )), oznaqawee, qto pri f kadomu x iz A sootvetstvuet odin i tol~ko odin lement v B , t. e. ` ((x, y) ∈ f ) ∼ (y = f (x)) , gde f (x) — znaqenie funkcii f pri argumente x. Funkcional~noe otnoxenie (f, A, B) v sluqae, kogda Dom f = A, oboznaqaets simvolom f : A → B , kotory$ i qitaets tak: ”funkci f , otobraawa mnoestvo A v mnoestvo B ” ili kratko ” f est~ otobraenie A v B ”. Znaqenie f (x) inogda zapisyvaets v vide fx , a funkci oboznaqaets simvolom {fx }x∈A i nazyvaets seme$istvom lementov fx mnoestva B s indeksami iz A . i, nazyvaemo$ i todestvennym Otnoxenie ∆A vlets funkcie$ otobraeniem A na seb. Lboe mnoestvo A mono nazvat~ seme$ istvom, svzannym s otobraeniem ∆A ; v tom sluqae slova ”seme$ istvo” i ”mnoestvo” mono sqitat~ sinonimami. Opredelenie 2.6 (Osnovnye tipy funkci$ i). Funkci f : A → B nazyvaets : srekcie$i ( otobraeniem na ) , esli Im f = B ; inekcie$i ( vzaimno odnoznaqnym otobraeniem v ) , esli f −1 — funkci; biekcie$i, esli ona vlets srekcie$i i inekcie$i. Utverdenie ” f — funkci” mono kratko vyrazit~ implikacie$ i [x1 = x2 ] → [f (x1 ) = f (x2 )] . Utverdenie ” f — inekci” mono kratko vyrazit~ kvivalencie$ i [x1 = x2 ] ∼ [f (x1 ) = f (x2 )] . Teorema 2.3 (Kompozici funkci$ i). Esli f : A → B , g : B → C , to kompozici g◦f vlets funkcie$i, priqem (g◦f )(x) = g(f (x)) . €  D o k a z a t€e l ~ s t v o . [x(g ◦ f )z] ∼ [(∃y ∈ B) (y = f (x))∧(z = g(y)) ] ∼ ∼ [(∃y ∈ B) z = g(f (x)) ] ∼ [z = g(f (x))] . J 56 Teorema 2.4 (O biekcih). Esli f — biekci, to f −1 — biekci. Esli f, g — biekcii, to f ◦ g — biekci. Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Teorema 2.5 (Proobrazy mnoestv pri otobraenih). Dl lbo$i funkcii f : A → B i lbyh Y, Z iz P(B) : 1) f −1 hY i = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }, 2) f −1 hY ∩ Zi = f −1 hY i ∩ f −1 hZi, 3) f −1 hY ∪ Zi = f −1 hY i ∪ f −1 hY i, 4) f −1 hY \Zi = f −1 hY i\f −1 hZi. D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. [x ∈ f −1 hY i] ∼ [(x ∈ A)∧(∃y ∈ Y )((x, y) ∈ f )] ∼ ∼ [(x ∈ A)(∃y ∈ Y )(y = f (x))] ∼ [(x ∈ A)∧(f (x) ∈ Y )]. 2. [x ∈ f −1 hY ∩ Zi] ∼ [f (x) ∈ (Y ∩ Z)] ∼ [(f (x) ∈ Y )∧(f (x) ∈ Z)] ∼ ∼ [(x ∈ f −1 hY i)∧(x ∈ f −1 hZi)] ∼ [x ∈ (f −1 hY i ∩ f −1 hZi)] . 3. Sleduet iz teoremy 2.2. / f −1 hZi)] ∼ 4. [x ∈ f −1 hY \Zi] ∼ [f (x) ∈ Y \Z] ∼ [(x ∈ f −1 hY i)∧(x ∈ ∼ [x ∈ (f −1 hY i\f −1 hZi)] . J Opredelenie 2.7 (Funkcii vybora). Pust~ {Sα }α∈A — seme$istvo nepustyh mnoestv. Funkcie$i vybora dl {Sα }α∈A nazyvaS ets funkci f : A → α∈A Sα taka, qto (∀α ∈ A)(f (α) ∈ Sα ). Suwestvovanie funkci$ i vybora dl koneqnyh seme$ istv koneqnyh mnoestv oqevidno, poskol~ku mono ukazat~ razliqnye algoritmy postroeni takih funkci$ i. No v sluqae beskoneqnyh mnoestv i beskoneqnyh seme$ istv mnoestv net sposobov konstruktivnogo opredeleni funkcii vybora. Aksioma vybora. Dl vskogo seme$istva mnoestv {Sα }α∈A suwestvuet funkci vybora. Otnoxeni kvivalentnosti Opredelenie 2.8 (kvivalentnost~, klassy kvivalentnosti, faktormnoestvo). Otnoxeniem R kvivalentnosti v mnoestve A nazyvaets refleksivnoe, tranzitivnoe, simmetriqnoe binarnoe otnoxenie v A. Klassom kvivalentnosti lementa a po otnoxeni R nazyvaets R(a) ‹ Rh{a}i . Mnoestvo razliqnyh klassov kvivalentnosti nazyvaets faktormnoestvom mnoestva A po R i oboznaqaets simvolom A/R . Otnoxenie ravenstva v lbom mnoestve A vlets otnoxeniem kvivalentnosti. Esli sqitat~ prmu parallel~no$ i samo$ i sebe, to otnoxenie parallel~nosti vlets kvivalentnost~ prmyh na ploskosti. Primer 2.1. Otnoxenie R medu dvum de$ istvitel~nymi qislmi x i y iz intervala [0, 1) , sostowee v tom, qto (x − y) — racional~noe qislo, vlets otnoxeniem kvivalentnosti. 57 Primer 2.2. Pust~ f ( x ) — nepreryvna de$ istvitel~na funn kci, opredelenna na R . Binarnoe otnoxenie Ker f = {( x, y ) ∈ ∈ M 2 : f ( x ) = f ( y )}, nazyvaemoe drom otobraeni f , vlets kvivalentnost~ v M . Klassami kvivalentnosti iz M/Ker f vlts mnoestva { x ∈ Rn : f ( x) = λ} , nazyvaemye giperpoverhnostmi urovn λ funkcii f . Opredelenie 2.9 (Razbieni). Podmnoestvo A⊆P(A) nazyvaets razbieniem mnoestva A , esli vypolnts uslovi: 1) esli B ∈ A, to B 6= ∅; 2) esli 6 E , to D ∩ E = ∅ ; [ D ∈ A, E ∈ A i D = 3) B = A. B∈A Teorema 2.6 (Svo$ istva faktormnoestva). Faktormnoestvo A/R otnoxeni kvivalentnosti R vlets razbieniem A. D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz refleksivnosti R vytekaet a ∈ R(a) i po tomu R(a) 6= ∅. Pust~ R(a) 6= R(b) , R(a) ∩ R(b) = 6 ∅ i c ∈ R(a) ∩ R(b) . Togda iz aRc, cRb i iz tranzitivnosti R poluqim aRb , otkuda v silu simmetriqnosti R sleduet bRa . dokato oznaqaet, qto R(a) = R(b) . Poluqennoe  protivoreqie ‘ [ zyvaet ravenstvo R(a)∩R(b) = ∅. Oqevidno B ⊆A . Pust~ [ B∈A/R B∈A/R B 6= A . Togda suwestvuet lement d ∈ A i sootvetstvu- wi$ i emu klass kvivalentnosti, ne vhodwi$ [ i v A/R , qto protivoreqit opredeleni A/R . Znaqit, B = A. J B∈A/R Netrudno dokazat~ sleduwee utverdenie. Teorema 2.7 (Otnoxeni kvivalentnosti i razbieni). Dl kadogo razbieni A mnoestva A suwestvuet otnoxenie kvivalentnosti RA takoe, qto A/RA = A; ono opredelets € tak: aRAb ‹ (∃X ∈ A) (a ∈ X)∧(b ∈ X)). Iz teorem 2.12, 2.13 sleduet, qto zadanie otnoxeni kvivalentnosti na A ravnosil~no zadani razbieni A . Opredelenie 2.10 (Mnoestvo predstavitele$ i). Mnoestvom predstavitele$i dl otnoxeni kvivalentnosti R v A nazyvaets podmnoestvo mnoestva A , imewee toqno odin obwi$i lement s kadym lementom faktormnoestva A/R . Suwestvovanie mnoestva predstavitele$ i otnoxeni kvivalentnosti sleduet iz aksiomy vybora. 58 Pordok Opredelenie 2.11 (Predpordok, pordok, line$ iny$ i pordok, strogi$ i pordok). Refleksivnoe i tranzitivnoe otnoxenie v A nazyvaets predpordkom v A. Refleksivnoe, tranzitivnoe i antisimmetriqnoe otnoxenie v A nazyvaets pordkom i obyqno oboznaqaets simvolom 6. Pordok nazyvaets line$inym, esli dl lbyh (x, y) ∈ A2 vypolnets x6y ili y6x . Nepustoe mnoestvo, na kotorom zafiksirovan nekotory$i pordok ( line$iny$i pordok ), nazyvaets upordoqennym (line$ino upordoqennym ili cep~) . Strogim pordkom, svzannym s pordkom 6 , nazyvaets otnoxenie a < b ‹ (a6b)∧(a 6= b) . Otnoxenie = v proizvol~nom mnoestve vlets pordkom, a upordoqennoe mnoestvo s takim pordkom nazyvaets diskretnym. Otnoxenie 6 v R vlets line$ inym pordkom. Otnoxenie 6 v bulevo$ i algebre vlets pordkom. V qastnosti, otnoxenie ⊆ vlets pordkom v bulevo$ i algebre P(Ω) . Mnoestvo N s obyqnym otnoxeniem pordka vlets cep~. Teorema 2.8 (O predpordke). Pust~ v mnoestve A zadan predpordok 4 , θ = {(x, y) ∈ A2 : (x4y)∧(y4x)}. Otnoxenie θ vlets kvivalentnost~ v A . Na faktormnoestve A/θ mono opredelit~ pordok 6, poloiv θ(x)6θ(y) , esli x4y . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Sleduwee utverdenie oqevidno. Teorema 2.9 (Dvo$ istvenny$ i pordok). Pust~ 6 — pordok. Ot−1 noxenie 6 , oboznaqaemoe simvolom >, vlets pordkom, nazyvaemym dvo$istvennym k pordku 6. Sledstvie (Princip dvo$ istvennosti dl pordka). Obwee utverdenie ob upordoqennyh mnoestvah, ravnosil~no tomu e utverdeni, v kotorom znak 6 zamenen na znak >. Opredelenie 2.12 (Naibol~xi$ i, naimen~xi$ i, maksimal~ny$ i, minimal~ny$ i lementy). V upordoqennom mnoestve A lement a ∈ A nazyvaets naibol~xim ili edinice$i ( naimen~xim ili nulem ) , esli dl vseh x ∈ A vypolnets x6a (a6x) . lement b nazyvaets maksimal~nym ( minimal~nym ) , esli iz b6x (x6b) dl nekotorogo x sleduet x = b; inymi slovami lement b nazyvaets maksimal~nym ( minimal~nym ), esli ne suwestvuet lementa bol~xego ( men~xego ) lementa b. Teorema 2.10 (O nule i edinice). Esli v upordoqennom mnoestve suwestvuet lement nul~ ( edinica ), to on edinstvenen i sovpadaet s minimal~nym ( maksimal~nym ) lementom. 59 Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. V diskretnom upordoqennom mnoestve vski$ i lement vlets i maksimal~nym i minimal~nym. Opredelenie 2.13 (Nini$ i i verhni$ i konusy, supremum, infimum). Dl podmnoestva A qastiqno upordoqennogo mnoestva P ninim (verhnim ) konusom A nazyvaets mnoestvo AO ‹ {x ∈ P : (∀a ∈ A)(x6a)} ( AM ‹ {x ∈ P : (∀a ∈ A)(a6x)} ). Naimen~xi$i ( naibol~xi$i ) lement mnoestva AM ( AO ) nazyvaets toqno$i verhne$i (nine$i ) gran~ mnoestva A i oboznaqaets simvolom sup A ( inf A ) . Opredelenie 2.14 (Intervaly, atomy). Pust~ P — upordoqennoe mnoestvo. Mnoestva [a, b] ‹ {x ∈ P : a6x6b}, (a, b) ‹ {x ∈ P : a< x< b}, (a, b] ‹ {x ∈ P : a< x6b}, [a, b) ‹ {x ∈ P : a6x< b}, (−∞, a] ‹ {x ∈ P : x6a}, [a, ∞) ‹ {x ∈ P : a6x} nazyvats, sootvetstvenno, zamknutym, otkrytym, poluotkrytym sleva, poluotkrytym sprava, naqal~nym i final~nym intervalami. Esli a= 6 b i [a, b] = {a, b} , to govort, qto lement b pokryvaet lement a. lementy, pokryvawie nul~ nazyvats atomami. Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, vvodwee pontie fundirovannogo mnoestva. Teorema 2.11 (Fundirovannye mnoestva). Sleduwie svo$istva upordoqennogo mnoestva P ravnosil~ny : 1) vskoe nepustoe podmnoestvo mnoestva P vlets upordoqennym mnoestvom, soderawim minimal~ny$i lement ( uslovie minimal~nosti ); 2) dl vsko$i posledovatel~nosti a1 >a2 > . . . >ak > . . . lementov iz P na$idets tako$i nomer n , qto an = an+1 = an+2 = . . . (uslovie obryva ubyvawih cepe$i ); 3) (∀x ∈ P )(∀y ∈ P )((y < x) → A(y)) → A(x)) → (∀x ∈ P )A(x) , gde A(x) — sootnoxenie, soderawee x svobodno i ne soderawee y ( uslovie induktivnosti ) . Upordoqennye mnoestva, obladawie timi svo$istvami nazyvats fundirovannymi. Fundirovannye cepi nazyvats vpolne upordoqennymi mnoestvami. Klassiqeskim primerom vpolne upordoqennogo mnoestva vlets mnoestvo N . Sleduwee utverdenie, ravnosil~noe aksiome vybora, privodits bez dokazatel~stva. Teorema 2.12 (Teorema Cermelo). Na vskom nepustom mnoestve mono zadat~ pordok, prevrawawi$i ego vo vpolne upordoqennoe mnoestvo. 60 Opredelenie 2.15 (Rexetki). Upordoqennoe mnoestvo P nazyvaets rexetko$i, esli dl vseh a, b ∈ P suwestvut sup{a, b} i inf{a, b}. Esli P vlets rexetko$i, to ispol~zuts oboznaqeni a∧b ‹ inf{a, b} i a ∨ b ‹ sup{a, b} . Teorema 2.13 (Aksiomy rexetki-algebry). V kado$i rexetke vypolnts osnovnye sootnoxeni 1 — 4, 7, 8, 13, 14, kotorye budut nazyvat~s aksiomami rexetki-algebry. D o k a z a t e l ~ s t v o . Sootnoxeni 1, 2, 7, 8 oqevidny. Prava i leva qasti ravenstva 3 ravny sup{a, b, c} , prava i leva qasti ravenstva 4 ravny inf{a, b, c} . Oqevidno, qto (1) ` (c6d) ∼ (c∨d = d), Iz (1) i neravenstva a∧b6a sleduet sootnoxenie 13. Perehod v (1) k dvo$ istvennomu pordku > i uqityva, qto pri tom pordke c∨d perehodit v c∧d, po teoreme 2.9 poluqim ` (c>d) ∼ (c∧d = d). (2) Iz (2) i neravenstva a>a∧b sleduet sootnoxenie 14. J Primer 2.3. Buleva algebra s otnoxeniem a6b ‹ (a∧b = a) vlets rexetko$ i. to sleduet iz teoremy I.1.8 i ravenstv sup{a, b} = a ∨ b, inf{a, b} = a∧b . istvitel~nyh funkci$ i, Primer 2.4. V mnoestve RX vseh de$ otobraawih mnoestve X v R , opredelim pordok 6 tak: i, f 6g ‹ (∀x ∈ X)(f (x)6g(x)) . Mnoestvo RX vlets rexetko$ v kotoro$ i h = f ∨ g oznaqaet h(x) = max{f (x), g(x)}, a h = f ∧g oznaqaet h(x) = min{f (x), g(x)} . Nam popotrebuets utoqnit~ oboznaqeni. Mnoestvo L s otnoxeniem pordka 6 oboznaqim simvolom (L; 6) . Mnoestvo L s operacimi ∧, ∨ oboznaqim simvolom (L; ∧, ∨) i nazovem rexetko$ i-algebro$ i, esli vypolnts osnovnye sootnoxeni 1 — 4, 7, 8, 13, 14. Teorema 2.14 (Dva ” kvivalentnyh” predstavleni rexetok). 1) Pust~ L = (L, 6) — rexetka, a∧b ‹ inf{a, b}, a ∨ b ‹ sup{a, b} . Togda La = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra. 2) Pust~ L = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra, a6b ‹ (a∧b = a) . Togda Lp = (L, 6) — rexetka. 3) Esli L = (L, 6) — rexetka, to (La )p = L . 4) Esli L = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra, to (Lp )a = L. D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Teorema 2.13. 2. Teorema I.1.8. Dokazatel~stva pp. 3, 4 rekomenduets qitatel kak upranenie. J 61 Teorema 2.14 pozvolet priment~ algebraiqeskie metody pri issledovanii rexetok. Teorema 2.15 (Princip dvo$ istvennosti dl rexetok). Pust~ A — utverdenie o rexetkah, zapisannoe qerez operacii ∧, ∨; A0 poluqaets iz A zameno$i operaci$i ∧, ∨ drug na druga. Togda, esli dl vseh rexetok ` A , to dl vseh rexetok ` A0 . 3. Mownost~ mnoestv Podsqeta qisla lementov n(A) koneqnogo mnoestva A mono predstavit~ kak process pomeweni lementov mnoestva A v wiki s nomerami 0, 1, 2, . . . v pordke vozrastani nomera. V rezul~tate poluqaets posledovatel~nost~ lementov a0 , a1 , . . . , an−1 , gde indeks lementa — nomer wika. Qislo lementov n(A) ravno qislu n zantyh wikov. Matematiqeska sut~ to$ i procedury podsqeta zaklqena v tom, qto takim obrazom ustanavlivaets biekci mnoestva A na mnoestvo nomerov zantyh wikov Nn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} . Esli pomestit~ lementy v wiki v drugom pordke, to poluqits druga biekci, no pri kado$ i biekcii n(A) = n. Obobwim tu ide. Opredelenie 3.1 (Ravnomownost~, beskoneqnost~ i koneqnost~ mnoestv). Mnoestva A, B nazyvats ravnomownymi (simvoliqeski A ' B) , esli suwestvuet biekci f : A → B . Mnoestvo, ravnomownoe sobstvennomu podmnoestvu, nazyvaets beskoneqnym ; v protivnom sluqae ono nazyvaets koneqnym. Mnoestvo A nazyvaets sqetnym, esli A ' N. Beskoneqnoe mnoestvo, ne vlwees sqetnym, nazyvaets nesqetnym. Primery. 1. Koneqnye mnoestva ravnomowny togda i tol~ko togda, kogda oni imet odinakovoe qislo lementov. 2. Mnoestvo N beskoneqno. to dokazyvaets s pomow~ biekcii f (n) = 2n mnoestva N na podmnoestvo qetnyh qisel. 3. Mnoestvo de$ istvitel~nyh qisel otrezka [0, 1] nesqetno. Dokaem to s pomow~ diagonal~nogo processa Kantora. Pust~ istvidano lboe sqetnoe mnoestvo A = {α1 , α2 , . . . , αn , . . .} de$ tel~nyh qisel iz otrezka [0, 1] , predstavlennyh v vide destiqnyh drobe$ i s beskoneqnym qislom znakov: α1 = 0, a11 a12 . . . a1n . . . , α2 = 0, a21 a22 . . . a2n . . . , ... αn = 0, an1 an2 . . . ann . . . , ... 62 gde aik — k - destiqna cifra qisla αi . Postroim drob~ β = 0, b1 b2 . . . bn . . . , vybrav pri vseh natural~nyh n proizvol~nu iz cifr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ne ravnu ann . Posi drob~ iz A , to kol~ku β ∈ [0, 1] , no ne sovpadaet ni s odno$ znaqit A 6= [0, 1], otkuda sleduet, qto mnoestvo [0, 1] nesqetno. Teorema 3.1 (Otnoxenie ravnomownosti). Otnoxenie ' v zadannom mnoestve refleksivno, tranzitivno i simmetriqno. D o k a z a t e l ~ s t v o . Refleksivnost~ ' sleduet iz togo, qto ravenstvo est~ biekci mnoestva na seb, a tranzitivnost~ i simmetriqnost~ ' sledut iz teoremy 2.2. J Nel~z rassmatrivat~ otnoxenie ' kak kvivalentnost~ v ”mnoestve vseh mnoestv” poskol~ku takoe mnoestvo ne suwestvuet (primer 1.3). Po to$ i priqine otnoxenie ' ne obladaet grafikom. Opredelenie 3.2 (Kardinal~nye qisla). Mnoestvo τZ (X ' Z) nazyvaets kardinal~nym qislom mnoestva X ( mownost~ mnoestva X) i oboznaqaets Card (X) . Sleduwie utverdeni privodts bez dokazatel~stv. Teorema 3.2 (O sravnenii mnoestv). Dl lbyh mnoestv A, B suwestvuet odna i tol~ko odna iz vozmonoste$i : 1) Card (A) = Card (B) — A ravnomowno B; 2) Card (A) < Card (B) — A ravnomowno podmnoestvu D⊆B , no B ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu C⊆A; 3) Card (A) > Card (B) — B ravnomowno podmnoestvu C⊆A , no A ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu D⊆B . Primery. 1. Card (∅) ‹ 0, 2. Card ({∅}) ‹ 1 — kardinal~noe qislo odno lementnyh mnoestv, 3. Card ({∅, {∅}}) ‹ 2 — kardinal~noe qislo dvuh lementnyh mnoestv, . . . . 4. Card (N) ‹ ℵ0 — kardinal~noe qislo sqetnyh mnoestv. 5. Card (P(N)) ‹ ℵ1 — mownost~ kontinuuma. Teorema 3.3 (Sravnenie mnoestv A i P(A) ). Dl lbogo mnoestva A spravedlivo neravenstvo Card (A) < Card (P(A)). Kontinuum-gipoteza. Mownost~ ℵ1 est~ perva mownost~, prevoshodwa mownost~ ℵ0 . ta gipoteza formal~no nerazrexima v tom smysle, qto nevozmono formal~no dokazat~ ni ee, ni ee otricanie. 63 4. Posledovatel~nosti mnoestv i ih predely Opredelenie 4.1 (Sqetnye obedineni i pereseqeni). Dl vsko$i posledovatel~nosti {An }∞ n=1 podmnoestv prostranstva Ω ∞ ∞ [ \ An ‹ {x ∈ Ω : (∀n)(x ∈ An )} . An ‹ {x ∈ Ω : (∃n)(x ∈ An )}, n=1 n=1 Teorema 4.1 (Svo$ istva sqetnyh obedineni$ i i pereseqeni$ i). ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ \ \ [ \ [ [ (An ∩ Bn ) = Bn , 2) An ∩ Bn , An ∪ 1) (An ∪ Bn ) = 3) 5) 7) 9) n=1 ∞ [ n=1 ∞ [ n=1 ∞ [ n=1 n=1 (An ∩ Bn )⊆ ∞ [ n=1 (A ∪ Bn ) = A ∪ (A ∩ Bn ) = A ∩ n=1 ∞ [ An = n=1 11) f ∞ [ ∞ \ n=1 ! An ∩ ∞ [ n=1 ∞ [ ∞ \ Bn , n=1 Bn , 6) 8) Bn , n=1 10) An , n=1 n=1 ∞ \ D o k a z a t e l ~ s t v o . 8. [x ∈ (A ∪ Bn ) = A ∪ An = ∞ \ ∞ [ n=1 ! An n=1 ∞ \ n=1 ∞ \ Bn , n=1 Bn , Bn , n=1 An , ∞ \ n=1 (A∪Bn )] = [(∀n)((x ∈ A)∨(x ∈ Bn ))] = = [(x ∈ A) ∨ (∀n)(x ∈ Bn )] = [(x ∈ A) ∨ (x ∈ 9. [x ∈ n=1 An ∪ n=1 ∞ \ f (An ) , ⊆ n=1 !n=1 ∞ ∞ \ \ f −1 (Bn ) . Bn = 14) f −1 n=1 ∞ [ n=1 ∞ \ (A ∩ Bn ) = A ∩ n=1 ∞ \ 12) f n=1 ∞ \ (An ∪ Bn ) ⊇ n=1 ∞ \ n=1 ∞ [ = f (An ) , n=1 ! n=1∞ ∞ [ [ f −1 (Bn ) , Bn = 13) f −1 An 4) n=1 ∞ \ ∞ \ n=1 Bn )] = [x ∈ A ∪ ∞ \ ∞ \ Bn ] . n=1 An ]. An ] = [(∃n)(x ∈ An )] = [(∀n)x ∈ An ] = [x ∈ n=1 n=1 ! ∞ ∞ ∞ \ \ \ −1 −1 f −1 (Bn ). Bn = f (x) ∈ Bn = (∀n)(x ∈ f (Bn )) = x ∈ 14. x ∈ f n=1 n=1 n=1 Opredelenie 4.2 (Predely posledovatel~noste$ i mnoestv). Verhnim ( ninim ) predelom posledovatel~nostiT mnoestv ∞ S∞ {An }∞ A nazyvaets mnoestvo lim sup ‹ n n→∞ n=1 n=1 k=n Ak , S∞ T∞ ( lim inf n→∞ An ‹ n=1 k=n Ak ) . Esli lim supn→∞ An = lim inf n→∞ An , to suwestvuet predel limn→∞ An ‹ lim supn→∞ An = lim inf n→∞ An . 64 Teorema 4.2 (Svo$ istva predelov posledovatel~noste$ i mnoestv). Esli suwestvuet lim Bn , to pri lbom A suwestvut n→∞ predely 1) 3) lim (A ∪ Bn ), lim (A ∩ Bn ), lim (A\Bn ), lim (Bn \A) i n→∞ n→∞ n→∞ lim (A ∪ Bn ) = A ∪ lim Bn , n→∞ n→∞ lim (A\Bn ) = A\ lim Bn , n→∞ n→∞ n→∞ 4) n→∞ n→∞ lim (A ∩ Bn ) = A ∩ lim Bn , 2) lim (Bn \A) = ( lim Bn )\A . n→∞ n→∞ D oT k a z aSt e l ~ s t v o . 1. T Po teoreme (A ∪ Bn ) ‹ S∞ 4.1 lim supTn→∞ ∞ ∞ ∞ S∞ ∞ ‹ n=1 k=n (A ∪ Bk ) = n=1 (A ∪ k=n Bk ) =S A ∪T n=1 k=n Bk = ∞ ∞ lim inf A (A ∪ Bk ) = = SA ∪ lim sup B ) i ‹ n→∞ n n n→∞ n=1 k=n S∞ T∞ T∞ ∞ = n=1 (A ∪ k=n Bk ) = A ∪ n=1 k=n Bk = A ∪ lim inf n→∞ Bn , otkuda sleduet, qto limn→∞ (A ∪ Bn ) = A ∪ limn→∞ Bn . Analogiqno dokazyvats pp. 2 — 4. J Opredelenie 4.3 (Monotonnye posledovatel~nosti mnoestv). nazyvaets monotonno Posledovatel~nost~ mnoestv {An }∞ n=1 vozrastawe$i ( MVP), esli An ⊆An+1 pri vseh n; monotonno ubyvawe$i ( MUP), esli An ⊇ An+1 pri vseh n . Teorema 4.3 (Predely monotonnyh posledovatel~noste$ i). ∞ ∞ [ \ An , dl MUP lim An = An . Dl MVP lim An = n→∞ n→∞ ∞ ∞ n=1 n=1 \ [ D o k a z a t e l ~ s t v o . lim sup An ‹ Bn , lim inf An ‹ Cn , gde n→∞ Bn = ∞ [ Ak Cn = k=n Bn = ∞ \ Ak = An ∪ k=n ∞ \ Cn = k=n ∞ [ k=n+1 ∞ \ Ak = An ∩ n→∞ k=n+1 ∞ \ Cn = k=n Ak = An ∩ ∞ [ Po tomu lim sup An = n→∞ n=1 k=n+1 ∞ \ Ak = Bn = n=1 k=n+1 ∞ [ n=1 ∞ [ Ak = Bn+1 , k=n+1 ∞ \ An = An . k=n+1 Cn = lim inf An = lim An . n→∞ (An ∪ Ak ) = k=n+1 ∞ \ k=n+1 ∞ \ ∞ [ (An ∩ Ak ) = An = n=1 k=n+1 ∞ \ (An ∪ Ak ) = Ak = Dl MUP ∞ ∞ [ [ Bn = Ak = An ∪ Ak = k=n ∞ [ Ak = k=n+1 Po tomu lim sup An = B1 = ∞ \ n→∞ Ak . Dl MVP k=n ∞ [ n=1 (An ∩ Ak ) = n→∞ ∞ [ An = An , k=n+1 ∞ \ Ak = Cn+1 . k=n+1 An = C1 = lim inf An = lim An . J n=1 n→∞ n→∞ 65 5. Izmerimye prostranstva i funkcii. Mery Opredelenie 5.1 ( σ -algebra mnoestv). Buleva algebra podmnoestv, zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh obedineni$i, nazyvaets σ -algebro$i mnoestv. Teorema 5.1 (Svo$ istva σ -algebr). Lba σ -algebra mnoestv zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$i i predelov posledovatel~noste$i mnoestv. D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ A — σ -algebra. Zamknutost~ A otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$ i mnoestv sleduS∞ T∞ et iz ravenstva n=1 An = n=1 An , a zamknutost~ otnositel~no obrazovani verhnih i ninih predelov sleduet iz zamknutosti A otnositel~no sqetnyh obedineni$ i i pereseqeni$ i. J Oqevidno, pereseqenie nepustogo mnoestva σ -algebr vlets σ -algebro$ i. Opredelenie 5.2 (Porodenna σ -algebra). Dl lbogo mnoestva B podmnoestv prostranstva Ω pereseqenie vseh σ algebr, soderawih B, nazyvaets σ -algebro$i, porodenno$i B. ta σ -algebra vlets naimen~xe$i iz σ -algebr, soderawih B. Opredelenie 5.3 (Izmerimye prostranstva). Izmerimym prostranstvom nazyvaets para (Ω, A) , gde Ω — mnoestvo, A — σ -algebra podmnoestv mnoestva Ω , nazyvaemyh izmerimymi. Opredelenie 5.4 (Izmerimye otobraeni, borelevskie funkcii). Izmerimym otobraeniem (X1 , A1 ) v (X2 , A2 ) nazyvaets funkci f : X1 → X2 , udovletvorwa uslovi −1 (∀B ∈ A2 )(f hBi ∈ A1 ) . Borelevsko$i funkcie$i nazyvaets izmem n m n rimoe otobraenie (R , B ) v (R , B ) , gde R = [−∞, ∞] — rasxirenna de$istvitel~na prma. Sleduwie utverdeni vlts oqevidnymi sledstvimi svo$ istv proobrazov mnoestv pri otobraenih. Teorema 5.2 (Svo$ istva izmerimyh otobraeni$ i). 1. Kompozici izmerimyh otobraeni$i vlets izmerimym otobraeniem. 2. Esli f — izmerimoe otobraenie (X1 , A1 ) v X2 , A2 ) i −1 f hA2 i ‹ {f −1 hAi : A ∈ A2 } — mnoestvo proobrazov mnoestv iz A2 pri f , to f −1 hA2 i vlets σ -podalgebro$i σ -algebry A1 . Opredelenie 5.5 (Potoqeqny$ i predel). Potoqeqnym predelom m n R → R , nazyva, gde f posledovatel~nosti funkci$i { f k }∞ : k k=1 m ets funkci f ( x) taka, qto (∀ x ∈ R )(f ( x ) = lim f k ( x ) ) . k→∞ 66 Sleduwee utverdenie privodits bez dokazatel~stva. Teorema 5.3 (Opisatel~noe opredelenie borelevskih funkci$ i). Mnoestvo borelevskih funkci$i sovpadaet s naimen~xim mnoestvom funkci$i, zamknutym otnositel~no potoqeqnogo predel~nogo perehoda i soderawim vse nepreryvnye funkcii. Dl togo, qtoby poluqit~ konstruktivnoe opredelenie izmerimyh funkci$ i nam sleduet neskol~ko izmenit~ vzgld na istvipredikat prinadlenosti x ∈ A , predstaviv ego kak de$ tel~nu funkci peremennyh x, A . Opredelenie 5.6 (Indikatory mnoestv). Indikatorom podmnoestva A prostranstva Ω nazyvaets funkci IA : Ω → R , opredelema formulo$i IA (x) ‹ (x ∈ A), gde ”lo~”, ”istina” v pravo$i qasti zaments, sootvetstvenno, na qisla 0, 1 v levo$i, t. e. š 1 pri x ∈ A IA (x) = . /A pri x ∈ Mnoestvo indikatorov {IA : A ∈ P(Ω)} oboznaqim simvolom IΩ . Oqevidnym sledstviem vvedeni vmesto predikatov x ∈ A indikatorov IA (x) vlets dobavlenie instrumentov dokazatel~stv: vmeste s metodami matematiqesko$ i logiki mono ispol~zovat~ svo$ istva operaci$ i nad de$ istvitel~nymi funkcimi. Teorema 5.4 (Buleva algebra indikatorov). Mnoestvo indikatorov IΩ s obyqnym otnoxeniem pordka dl de$istvitel~nyh funkci$i IA6IB ‹ (∀x ∈ Ω)(IA (x)6IB (x) vlets rexetko$i, v kotoro$i inf{IA , IB } ‹ IA ∧IB = IA IB , sup{IA , IB } ‹ IA ∨ IB = IA + IB − IA IB . Esli vvesti operaci dopolneni I A ‹ 1 − IA , to mnoestvo IΩ s operacimi ∧, ∨, vlets bulevo$i algebro$i s nulem I∅ = 0 i edinice$i IΩ = 1 . Funkci f : P(A) → IΩ , opredelenna formulo$i f (A) = IA vlets izomofizmom bulevyh algebr P(A) i IΩ , s pomow~ kotorogo mono dokazat~ utverdeni : 1) ` (A⊆B) ∼ (IA6IB ), 2) ` IA\B = IA − IA IB , 3) ` IAMB = (IA + IB )mod 2, 3) ` Ilim An = lim IAn . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Sledstvie. Tablica znaqeni$ i indikatorov mnoestv. A B A ∪ B A ∩ B A\B A AMB IA IB IA∪B 1 1 1 1 1 1 1 IA∩B IA\B IA IAMB 1 1 1 1 1 1 67 Primer 5.1. Tabliqnoe dokazatel~stvo dl A\B = A\(A ∩ B)⊆A. A B A ∩ B A\B A\(A ∩ B) IA IB IA∩B IA\B 1 1 1 1 1 1 IA\(A∩B) 1 1 Sravnenie 1-go, 4-go i 5-go stolbcov to$ i tablicy pokazyvaet, qto IA\B = IA\(A∩B) 6IA , otkuda sleduet A\B = A\(A∩B)⊆A. Primer 5.2. Dokaem (A⊆(B ∪ C)) ∼ ((A\B)⊆C) . [A⊆(B ∪ C)] ∼ [A ∩ (B ∪ C) = A] ∼ [IA IB + IA IC − IA IB IC = IA ] ∼ [IA IC − −IA IB IC = IA − IA IB ] ∼ [IA\B IC = IA\B ] ∼ [(A\B)⊆C] . Primer 5.3. Dokaem (A⊆B) → ((A ∪ C)⊆(B ∪ C)) . [(A ∪ C)⊆(B ∪ C)] ∼ [IA + IC − IA IC 6IB + IC − IB IC ] ∼ [IA IC 6IB IC ] i po tomu [A⊆B] ∼ [IA 6IB ] → [IA IC 6IB IC ] ∼ [(A ∪ C)⊆(B ∪ C)]. Vo mnogih priloenih matematiki vstreqats de$ istvitel~nye line$ inye prostranstva, nazyvaemye qasto vektornymi prostranstvami. Sredi nih osobu rol~ igrat te, kotorye vlts mnoestvami de$ istvitel~nyh funkci$ i. ti mnoestva odnovremenno vlts vektornymi prostranstvami i upordoqennymi mnoestvami. Opredelenie 5.7 (Vektornye rexetki). De$istvitel~noe vektornoe prostranstvo V nazyvaets upordoqennym, esli v V opredelen pordok 6 tako$i, qto pri a6b : 1) ` (∀c ∈ V )(a + c6b + c), 2) ` (∀λ>0)(λa6λb) . Upordoqennoe vektornoe prostranstvo, vlwees rexetko$i, nazyvaets vektorno$i rexetko$i. Teorema 5.5 (Svo$ istva vektornyh rexetok). V lbo$i vektorno$i rexetke 1) a + (b ∨ c) = (a + b) ∨ (a + c), 2) a + (b∧c) = (a + b)∧(a + c), 4) λ(a∧b) = (λa)∧(λb), 3) λ(a ∨ b) = (λa) ∨ (λb), 5) −((−a) ∨ (−b)) = a∧b, 6) −(a∧b) = (−a) ∨ (−b), Izmerimye prostranstva vlts estestvennymi oblastmi opredeleni funkci$ i mnoestv, nazyvaemyh merami. Naibolee izvestnymi primerami mer vlts dlina, plowad~, obem. Opredelenie 5.6 (Mery). Mero$i na (Ω, A) nazyvaets funkci µ : A → [0; ∞], udovletvorwa uslovim : µ(∅) = 0 , dl 68 vsko$i posledovatel~nosti {An }∞ n=1 neperesekawihs mnoestv P∞ S∞ µ( n=1 An ) = n=1 µ(An ) . Esli µ(Ω) < ∞ , to µ nazyvaets koneqno$i mero$i, a pri µ(Ω) = 1 — verotnostno$i mero$i. Esli µ(Ω) = ∞ , no suwestvuet posledovatel~nost~ mnoestv {Bn }∞ n=1 S∞ taka, qto µ(Bn ) = 6 ∞ i Ω = n=1 Bn , to µ nazyvaets σ -koneqno$i mero$i. Tro$ika (Ω, A, µ) nazyvaets prostranstvom s mero$i, a pri µ(Ω) = 1 — verotnostnym prostranstvom. Pri koneqno$ i mere uslovi v opredelenii mery ravnosil~ny uslovim: µ(∅) = 0 ; esli A ∩ B = ∅, to µ(A ∪ B) = i monotonno$ i pos= µ(A) + µ(B) ; µ( lim An ) = lim µ(An ) dl vsko$ n→∞ n→∞ ∞ mnoestv. ledovatel~nosti {An }n=1 Primer 5.1. Pust~ Ω — sqetnoe mnoestvo, A = P(Ω), µ(A) — qislo toqek v A , esli A koneqno, i µ(A) = ∞ v protivnom sluqae. Opredelenna na A funkci mnoestv µ vlets σ -koneqno$ i mero$ i, nazyvaemo$ i sqitawe$i mero$i. Primer 5.2. Pust~ Ω = Rn , A = Bn — σ -algebra borelevskih podmnoestv prostranstva Rn (t. e. σ -algebra porodenna nmernymi intervalami (−a1 , b1 )× · · · ×(−an , bn ), −∞ < ai < bi < ∞ ). Suwestvuet€ i edinstvenna σ -koneqna mera µ taka, qto  µ (−a1 ; b1 )× · · · ×(−an ; bn ) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ). ta mera nazyvaets mero$i Lebega. Suwestvut podmnoestva i mery Leprostranstv Rn , sopostavlenie kotorym opredelenno$ bega privodit k protivoreqi. ti podmnoestva nazyvats neizmerimymi. Naprimer, neizmerimymi vlts mnoestva predstavitele$ i klassov kvivalentnosti iz primera 2.1. 69 6. Nekotorye kombinatornye formuly Kombinatoriko$ i nazyvaets razdel matematiki, posvwenny$ i zadaqam, svzannym s postroeniem razliqnyh kombinaci$ i lementov koneqnogo mnoestva i opredeleniem koliqestva tih kombinaci$ i. Vo mnogih priloenih k teorii verotnoste$ i, vstreqats kombinacii, nazyvaemye vyborkami. Opredelenie 6.1. ( Vyborki ) . Pust~ M — koneqnoe mnoestvo, soderawee n razliqnyh lementov. Upordoqenno$i r -vyborko$i iz n -mnoestva M nazyvaets upordoqenna r -ka (x1 , . . . , xr ), gde xi ∈ M (i = 1, . . . , r) nazyvats lementami vyborki. Upordoqenna n-vyborka iz n-mnoestva M nazyvaets perestanovko$i mnoestva M . Neupordoqenno$i r -vyborko$i iz n -mnoestva M nazyvaets neupordoqenna r -ka {x1 , . . . , xr }. Vyborka nazyvaets vyborko$i s povtorenimi (s vozvraweniem ) , esli lementy vyborki mogut povtort~s, i bez povtoreni$i ( bez vozvraweni ) , esli lementy vyborki ne mogut povtort~s. Zameqanie. Upordoqennye n-vyborki bez povtoreni$ i iz n-mnoestva Mn poluqats primeneniem k Mn perestanovok. Aksiomy kombinatoriki. Pust~ A, B — koneqnye mnoestva, imewie n(A) i n(B) lementov, sootvetstvenno. Pravilo summy : esli A ∩ B = ∅ , to n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Pravilo proizvedeni : n(A×B) = n(A) · n(B) . Teorema 6.1. ( Formuly dl rasqeta koliqestva vyborok ) . r -vyborki iz n -mnoestva S povtoreniem ( s vozvraweniem ) Upordoqennye nr Neupordoqennye r Cn+r−1 Bez povtoreni (bez vozvraweni ) Arn ‹ Cnr ‹ n! (n − r)! n! r!(n − r)! D o k a z a t e l ~ s t v o . Predstavim mnoestvo M kak sovokupnost~ n odnotipnyh predmetov, otliqawihs tol~ko nomerami, a process poluqeni vyborki — kak izvleqenie predmeta iz M i zapis~ ego nomera. Dl togo qtoby lementy vyborki 70 povtorlis~, neobhodimo kady$ i raz posle zapisi nomera vozvrawat~ vzty$ i predmet v M ; esli predmety ne vozvrawat~ v M , to poluqits vyborka bez povtoreni$ i. Upordoqenna r -vyborka s povtorenimi vlets lementom mnoestva M ×M × · · · ×M . Po tomu po pravilu umnoeni koliqestvo takih vyborok ravno nr . Upordoqenna r -vyborka bez povtoreni$ i vlets lementom mnoestva Mn ×Mn−1 × · · · ×Mn−r+1 , gde Mi i = (n − r + 1) . . . n — podmnoestva mnoestva M , soderawie i lementov. Po pravilu umnon! eni qislo takih vyborok ravno n · · · (n − r + 1) = = Arn . (n − r)! V qastnosti, qislo perestanovok mnoestva Mi ravno Aii = i! . Poloim, qto dve upordoqennye r -vyborki bez povtoreni$ i nahodts v otnoxenii R , esli odna vyborka poluqaets iz drugo$ i posredstvom perestanovki mnoestva Mr . Otnoxenie R vlets otnoxeniem kvivalentnosti. Klassy kvivalentnosti po R i est~ neupordoqennye r -vyborki bez povtoreni$ i. Kady$ i klass soderat stol~ko vyborok skol~ko imeets perestanovok mnoestva Mr , t. e. r! . Po tomu koliqestvo neun! Arn pordoqennyh r -vyborok bez povtoreni$ = . i ravno r! r!(n − r)! Dokazatel~stvo ostavxe$ is formuly opuskaets. J 7. Upraneni k 1 . 1) 2) 3) 4) 5) Dokazat~ ravenstva: A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) , 6) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) , 7) A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C) , 8) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C) , 9) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C) , 10) (A ∩ B)\C = (A ∩ B)\(A ∩ C) , A\(B ∪ C) = (A\B)\C , A\B = A4(A ∩ B) , A ∪ B = (A4B) ∪ (A ∩ B) , A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B) . R e x e n i e dl A\(B ∪ C) = A ∪ B ∪ C . A\(B ∪ C) = A ∩ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C . J k 2 . 1) 2) 3) 4) 5) Dokazat~ sootnoxeni s mnoestvami: [A⊆(B ∪ C)] ∼ [(A\B)⊆C] , [(A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)] ∼ [C⊆A] , [A⊆B] → [(C\B)⊆(C\A)] , [(A ∩ B)⊆C] ∼ [A⊆(B ∪ C)] , [A⊆B] → [(A ∩ C)⊆(B ∩ C)] , 71 6) 7) 8) 9) 10) [A ∪ B = A ∩ B] ∼ [A = B] , [A⊆B] → [(A\C)⊆(B\C)] , [A⊆(B ∩ C)] ∼ [(A⊆B)∧(A⊆C)] , [(B\A)⊆C] ∼ [A⊆(B ∪ C)] , [A⊆B] → [(A ∪ C)⊆(B ∪ C)] . R e x e n i e dl [(A\B) ∪ B) = A] ∼ [B⊆A] . [(A\B) ∪ B = A] ∼ [(A ∩ B) ∪ B = A] ∼ [(A ∪ B) ∩ (B ∪ B) = A] ∼ ∼ [(A ∪ B) ∩ Ω = A] ∼ [A ∪ B = A] ∼ (B⊆A) . J k 3 . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Dokazat~ ravenstva: (A\B)×(C ∩ D) = (A×C) ∩ (B×D) , (A\B)×(C\D) = (A×C) ∩ (B×D) , (A ∩ B)×(C ∩ D) = (A×C) ∩ (B×D) , A×B ∪ C = (A×B) ∩ (A×C) , A ∩ B×C = (A×C) ∪ (B×C) , A×(B\C) = (A×B) ∩ (A×C) , A ∪ B×C = (A×C) ∩ (B×C) , (A\B)×C = (A×C) ∩ (B×C) , A×(B\C) = (A×B)\(A×C) , (A\B)×C = (A×C)\(B×C) . R e x e n i e dl (A ∩ B)×(C\D) = (A×C) ∩ (B×D) . (x, y) ∈ (A ∩ B)× ×(C\D) = (x ∈ A ∩ B)∧(y ∈ C\D) = (x ∈ A)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)∧(y ∈ / D) = = ((x, y) ∈ A×B)∧((x, y) ∈ B×D) = (x, y) ∈ (A×C) ∩ (B×D) . J k 4 . Dl sleduwih binarnyh otnoxeni$ i na R postroit~ grafiki, na$ iti oblast~ opredeleni i oblast~ znaqeni$ i. 2 2 1) x6y, 2) x = y, 3) x < y, 4) x + y 61, 5) x = y 2 , 6) x2 = y, 7) x2 = y 2 , 8) |x − y| = 1, 9) y6 log2 x, 10) tg x = 1. Kakie iz tih otnoxeni$ i vlts otnoxenimi kvivalentnosti, pordka, funkcional~nymi otnoxenimi? istvitel~na funkci, 5 . Pust~ f : M → R — nepreryvna de$ opredelenna na M = [−a1 , b1 ]× · · · ×[−an , bn ]. Dokazat~, qto otnoxenie Rf = {(x , y ) ∈ M 2 : f ( x )>f (y )} vlets otnoxeniem predpordka v M . i f : A → B koneq6 . Opredelit~ qislo razliqnyh otobraeni$ nyh mnoestv A, B . Pri kakih uslovih suwestvut srekcii, inekcii i biekcii? Opredelit~ qislo biekci$ i? 7 . Dokazat~, qto intervaly (a; b) a, b, c, d (a < b, c < d) ravnomowny. 72 i (c; d) pri koneqnyh 8 . Dokazat~, qto sleduwie posledovatel~nosti intervalov vlts monotonnymi i opredelit~ ih predely. 1 ∞ 1) {(−∞; n)}∞ 2) {(−∞; −n)}∞ n=1 , n=1 , 3) {(−∞; x + n )}n=1 , 1 )}∞ , 5) {(−n; n)}∞ , 1 ; b + 1 )}∞ . 4) {(−∞; x − n 6) {(a − n n=1 n=1 n n=1 k 9 . V korobke imeets N sverl, iz nih K diametrom 5 mm, a ostal~nye 5,1 mm. Skol~kimi sposobami mono vybrat~ n sverl tak, qtoby sredi nih bylo toqno k diametra 5 mm? N K n k N K n k 1) 10 4 5 2 6) 10 2 4 1 2) 10 4 6 3 7) 10 2 3 2 3) 10 5 4 2 8) 9 2 3 1 4) 10 3 4 3 9) 9 3 4 2 5) 10 3 5 2 10) 9 4 3 2 R e x e n i e dl sluqa N = 10, K = 4, n = 5, k = 3 . Interesuwa nas vyborka vlets upordoqenno$ i paro$ i neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$ i: 1) 3-vyborki iz 4-mnoestva sverl diametra 5 mm, 2) 2-vyborki iz 6-mnoestva sverl diametra 5,1 mm. S uqetom teoremy 6.1 i pravila umnoeni poluqim: qislo vyborok = C43 · C62 = 4 · 15 = 60 . J k 10 . V gruppe N studentov, iz nih K — izuqat angli$ iski$ i zyk, L — nemecki$ i, a ostal~nye — francuzski$ i. Skol~kimi sposobami mono vybrat~ n studentov, tak qtoby iz nih k studentov izuqali angli$ iski$ i zyk, a l — nemecki$ i? N K L n k l N K L n k l 1) 15 6 4 6 2 2 6) 15 6 5 8 4 4 2) 15 5 5 6 3 1 7) 15 6 5 8 3 2 3) 15 7 3 6 2 1 8) 16 7 2 8 5 1 4) 14 7 4 7 3 2 9) 16 7 4 8 5 3 5) 14 8 3 7 4 2 10) 18 8 4 7 2 3 R e x e n i e dl sluqa N = 14, K = 8, L = 4, n = 7, k = 4, l = 2 . Interesuwa nas vyborka vlets upordoqenno$ i tro$ iko$ i neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$ i: 1) 4-vyborki iz 8-mnoestva studentov, izuqawih angli$ iski$ i zyk; 2) 2-vyborka iz 4-mnoestva studentov, izuqawih nemecki$ i zyk; 3) 1-vyborka iz 2-mnoestva studentov, izuqawih francuzski$ i zyk. S uqetom teoremy 6.1 i pravila umnoeni poluqim: qislo vyborok = C84 · C42 · C21 = 70 · 6 · 2 = 840 . J 73 $ III. TEORI VEROTNOSTEI 1. Vvedenie. mpiriqeskie predposylki Na praktike qasto prihodits stalkivat~s s ksperimentami, rezul~tat kotoryh nel~z predskazat~ zaranee iz-za naliqi mnoestva neuqtennyh faktorov. Naprimer, nel~z predskazat~, proizo$ idet li sluqa$inoe sobytie, sostowee v tom, qto podbroxenna moneta upadet gerbom vverh, ili predskazat~ znaqenie sluqa$ino$i veliqiny, ravno$ i qislu lunok, vydavlennyh na verhne$ i grani broxenno$ i na stol igral~no$ i kosti. Tem ne menee, vo mnogih ksperimentah, kotorye budem nazyvat~ i sluqa$inymi ksperimentami, pri bol~xom qisle ih povtoreni$ nabldats sleduwie statistiqeskie zakonomernosti, vlwies obektivnymi predposylkami teorii verotnoste$ i. Usto$ iqivost~ qastoty. Pust~ sluqa$iny$i ksperiment, v rezul~tate provedeni kotorogo moet proishodit~ ili ne proishodit~ sluqa$inoe sobytie A , povtorets N raz i pust~ N (A) sobyti sobytie A proizoxlo N (A) raz. Qastota ν(A) = N A pri neograniqennom uveliqenii N pribliaets k veliqine P (A) , kotoru nazyvat verotnost~ sobyti A . Usto$ iqivost~ srednego arifmetiqeskogo. Pust~ sluqa$iny$i ksperiment, v rezul~tate provedeni kotorogo fiksiruets znaqenie sluqa$ino$i veliqiny ξ , povtorets N raz i pust~ (x1 , . . . , xN ) — sovokupnost~ poluqennyh znaqeni$i ξ . Srednee N 1 X arifmetiqeskoe x = xi pri neograniqennom uveliqenii N N i=1 pribliaets k veliqine M ξ , kotoru nazyvat matematiqeskim oidaniem ( srednim znaqeniem ) sluqa$ino$i veliqiny ξ . Teorie$ i verotnoste$ i nazyvaets matematiqeska nauka, izuqawa sluqa$ inye ksperimenty, v kotoryh imet mesto usto$ iqivost~ qastoty i usto$ iqivost~ srednego arifmetiqeskogo. Formulirovki tih zakonomernoste$ i mono rassmatrivat~ kak statistiqeskie opredeleni osnovnyh ponti$ i — verotnosti sluqa$ inogo sobyti i matematiqeskogo oidani sluqa$ ino$ i veliqiny. Tem ne menee, sovremennoe postroenie teorii verotnoste$ i, predloennoe sovetskim matematikom A.N.Kolmogorovym, osnovano ne na statistiqeskih zakonomernosth, a na nekotoro$ i sisteme toqnyh opredeleni$ i i aksiom, otraawih ti zakonomernosti. Qtoby pont~ osnovnye idei kolmogorovskogo postroeni teorii verotnoste$ i, rassmotrim primer rexeni prosto$ i verotnostno$ i zadaqi ”po zdravomu smyslu”. 74 Primer. Professor matematiki predloil dvum svoim studentam igru v kosti. Igra zaklqaets v tom, qto igral~na kost~ brosaets odin raz i po qislu oqkov na verhne$ i grani kosti opredelets, vyigral ili proigral tot ili ino$ i student i veliqina ih sluqa$ inogo vyigryxa. Pervy$ i student vyigryvaet u professora 2 rubl, esli qislo oqkov na verhne$ i grani kosti kratno 2; vtoro$ i student vyigryvaet u professora 3 rubl, esli qislo oqkov kratno 3; pri proigryxe kady$ i student otdaet professoru 2 rubl. Professor zaveril studentov, qto kost~ sdelana iz odnorodnogo materiala i po forme vlets ideal~nym kubom. Hot studenty iz teorii verotnoste$ i znali tol~ko vvedenie, oni posle nekotoryh razmyxleni$ i otkazalis~ ot igry. Poqemu? Vosstanovim hod ih rassudeni$ i. Ne zna teorii verotnoste$ i, studenty snaqala popytalis~ vysnit~ dl seb vse vozmonye rezul~taty brosani kosti odin raz. Vot ti rezul~taty: 1, 2, 3, 4, 5, 6, gde qisla oznaqat qislo oqkov na verhne$ i grani kosti. Usvoiv vvedenie k kursu i poveriv zaverenim professora otnositel~no kosti, studenty rexili, qto verotnosti dl vseh rezul~tatov dolny byt~ ravny 1 = 1 . Zadumavxis~ nad svoimi vyigryxami, studenty pi = n 6 s nekotorym udivleniem dl seb, otkryli, qto im sleduet rassmatrivat~ mnoestva rezul~tatov, pri kotoryh oni vyigryvat: {2, 4, 6} dl pervogo studenta i {3, 6} dl vtorogo. Posle togo otkryti bylo netrudno rassqitat~ verotnosti vyigryxa: P1 = nn1 = 36 = 12 , P2 = nn2 = 26 = 13 , gde n1 , n2 — qislo ”blagopritstvuwih” rezul~tatov dl pervogo i vtorogo studentov. Men~xa verotnost~ vyigryxa ogorqila vtorogo studenta, no tovariw ego uspokoil skazav, qto sredni$ i vyig1 1 ryx na odnu igru u nih odinakovy$ i 2 · 2 rub. = 3 · 3rub. = 1 rub. Na to zameqanie vtoro$ i student otvetil, qto oni ne tol~ko vyigryvat, no i proigryvat. Posovewavxis~, studenty postroili tablicy vyigryxe$ i i proigryxe$ i v igre: ωi 1 ξ1 (ωi ) −2 2 3 2 −2 4 5 6 2 −2 2 ωi 1 2 3 4 5 6 ξ2 (ωi ) −2 −2 3 −2 −2 3 , . Iz statistiqeskih soobraeni$ i sno, qto sredni$ i vyigryx na odnu igru raven 1/6 summy vseh qisel v nine$ i qasti tablic. Studenty otkazalis~ ot igry potomu, qto ih srednie vyigryxi ravny: 0 rub. dl pervogo i (−1/3) rub. dl vtorogo. 75 Iz tih rassudeni$ i mono sdelat~ obwie vyvody dl lbo$ i verotnostno$ i zadaqi: — vo vsko$ i verotnostno$ i zadaqe v principe mono opredelit~ mnoestvo vseh rezul~tatov sluqa$ inogo ksperimenta, — dl kadogo sobyti mono na$ iti mnoestvo rezul~tatov, blagopritstvuwih tomu sobyti, — verotnost~ sobyti$ i vlets funkcie$ i mnoestva blagopritstvuwih rezul~tatov, — sluqa$ inye veliqiny vlts funkcimi rezul~tatov sluqa$ inogo ksperimenta, — srednee znaqenie sluqa$ inyh veliqin vlets funkcionalom, opredelennym na mnoestve sluqa$ inyh veliqin. 2. Sobyti. Operacii nad sobytimi 2.1. Osnovnye opredeleni Matematiqeskoe opisanie lementarnogo rezul~tata sluqa$ inogo ksperimenta budem nazyvat~ ishodom togo ksperimenta. Opredelenie 2.1. ( Prostranstvo lementarnyh sobyti$i ) . Prostranstvom lementarnyh sobyti$i sluqa$inogo ksperimenta nazyvaets mnoestvo Ω vseh ishodov togo ksperimenta. Primery. 1. Brosanie monety 1 raz. Prostranstvom lementarnyh sobyti$ i togo ksperimenta vlets mnoestvo i v tom, qto moneta Ω = { ω1 , ω2 } , gde ω1 = G — ishod, sostowi$ upala gerbom vverh, ω2 =C — moneta upala cifro$ i vverh. 2. Brosanie monety 2 raza. Prostranstvom lementarnyh sobyti$ i togo ksperimenta vlets mnoestvo Ω = { ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } , gde ω1 = GG, ω2 = GC, ω3 = CG, ω4 = CC. 3. Brosanie monety do pervogo vypadeni gerba. Prostranstvom lementarnyh sobyti$ i togo ksperimenta vlets mno. . C} G. estvo Ω = { ω1 , . . . , ωn , . . . } , gde ωn = |C .{z n−1 4. Strel~ba po plosko$i mixeni. Prenebrega razmerami puli, prostranstvom lementarnyh sobyti$ i v tom ksperimente mono sqitat~ mnoestvo koordinat proboin, t. e. mnoestvo toqek mixeni. 5. Brounovskoe dvienie. S pomow~ mikroskopa nabldaets brounovskoe dvienie qasticy tuxi v promeutke vremeni [0, T ] . Prostranstvom lementarnyh sobyti$ i togo ksperimenta vlets mnoestvo par nepreryvnyh funkci$ i (x(t), y(t)) — koordinat qasticy v moment vremeni t ∈ [0, T ] . 76 Kadomu sobyti mono sopostavit~ podmnoestvo prostranstva lementarnyh sobyti$ i, sostowee iz ishodov, blagopritstvuwih tomu sobyti, t. e. ishodov, pri kotoryh rassmatrivaemoe sobytie proishodit. V teorii verotnoste$ i sobyti, kotorym sootvetstvuet odno i to e mnoestvo blagopritstvuwih ishodov, sqitats ravnymi i po tomu sobyti mono otodestvit~ s timi mnoestvami. Opredelenie 2.2. ( Sobyti ) . Sobytiem nazyvaets podmnoestvo prostranstva lementarnyh sobyti$i Ω. Opredelenie 2.3. (Otnoxeni medu sobytimi, operacii nad sobytimi ). Otnoxeni medu sobytimi = , ⊆ i operacii , M opredelts kak otnoxeni i operacii nad so∪, ∩, \, otvetstvuwimi mnoestvami. Obedineni, pereseqeni i predely posledovatel~noste$i sobyti$i opredelts kak operacii nad sootvetstvuwimi posledovatel~nostmi mnoestv. Kak pravilo, prihodits imet~ delo ne s odnim sobytiem, a s mnoestvom sobyti$ i A. Budem sqitat~, qto mnoestvo A vseh rassmatrivaemyh nami sobyti$ i vlets σ -algebro$ i podmnoestv mnoestva Ω , a para mnoestv (Ω, A) — izmerimym prostranstvom. Terminologi teorii verotnoste$ i otliqaets ot terminologii teorii mnoestv. V teorii verotnoste$ i sootnoxenie ω ∈ A qitaets tak: ”pri ishode ω proishodit sobytie A ”. Sobytie Ω , kotoromu blagopritstvut vse ishody, nazyvaets dostovernym, a sobytie ∅, kotoromu ne blagopritstvuet ni odin ishod, nazyvaets nevozmonym. Sobyti A, B , dl kotoryh vypolnets uslovie A∩B = ∅ , nazyvats nesovmestnymi. Otnoxeni i operacii nad sobytimi imet sleduwie nazvani: A⊆B ‹ (∀ω)(ω ∈ A → ω ∈ B) — A vleqet B , A = B ‹ (∀ω)(ω ∈ A ∼ ω ∈ B) — A ravno B , A ∪ B ‹ {ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B} — A ili B ( neisklqawee ili ) , A ∩ B ‹ {ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B} — A i B , A\B ‹ {ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ / B} — A i ne B , AMB ‹ (A\B) ∩ (B\A) — ili A , ili B , — ne A , A ‹ Ω\A ∞ [ An ‹ {ω : (∃n)(ω ∈ An )} — hot by odno iz An , n=1 ∞ \ n=1 An ‹ {ω : (∀n)(ω ∈ An )} — vse An . 77 3. Verotnost~ 3.1. Opredeleni i svo$ istva verotnosti V razd. 1 verotnost~ sobyti opredellas~ statistiqeski kak veliqina, k kotoro$ i pribliaets qastota sobyti pri uveliqenii qisla povtoreni$ i sluqa$ inogo ksperimenta, v kotorom nabldaets to sobytie. tot fakt nel~z print~ v kaqestve opredeleni verotnosti, poskol~ku ne sno, v kakom smysle qastota pribliaets k verotnosti (netrudno videt~, qto obyqnoe pontie predela zdes~ ne godits). Po tomu verotnost~ opredelets aksiomatiqeski kak funkci sobyti$ i, obladawa sleduwimi oqevidnymi svo$ istvami qastoty: 1) ν(∅) = 0, 2) ν(Ω) = 1, 3) esli A ∩ B = ∅, to ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) i ewe odnim dopolnitel~nym svo$ istvom. Opredelenie 3.1. (Aksiomy verotnosti ). Verotnost~ nazyvaets normirovanna mera na izmerimom prostranstve (Ω, A) , t. e. funkci P : A → [0; 1] , udovletvorwa sleduwim uslovim (aksiomam verotnosti ). P1 P (∅) = 0. P2 P (Ω) = 1. P3 Esli A ∩ B = ∅ , to P (A ∪ B) = P (A) + P (B), P4 Dl vsko$i monotonno$i posledovatel~nosti sobyti$i {An }∞ n=1 vypolnets uslovie P (limn→∞ An ) = limn→∞ P (An ) . Tro$ika (Ω, A, P ) nazyvaets verotnostnym prostranstvom. Poskol~ku aksiomy ne opredelt verotnost~ odnoznaqno, imeets vozmonost~ vybrat~ ee tak, qtoby verotnostnoe prosinotranstvo (Ω, A, P ) sootvetstvovalo rassmatrivaemomu sluqa$ mu ksperimentu i po tomu v konkretnyh verotnostnyh zadaqah (Ω, A, P ) igraet rol~ matematiqesko$ i modeli sluqa$ inogo ksperimenta. Verotnostnoe prostranstvo predpolagaets zadannym i pri rassmotrenii teoretiqeskih voprosov. Qastnye sluqai, kogda (Ω, A) = (Rn , Bn ) , zasluivat otdel~nogo opredeleni, tak kak v tih sluqah verotnost~ moet byt~ zadana funkcimi de$ istvitel~nyh peremennyh. Opredelenie 3.2. (n -mernoe verotnostnoe raspredelenie ) . Verotnost~ P , opredelenna na (Rn , Bn ) , nazyvaets n -mernym verotnostnym raspredeleniem. Funkcie$i raspredeleni P nazyvaets funkci FP (x1 , . . . , xn ) ‹ P ((−∞; x1 )× · · · ×(−∞; xn )) . Zameqanie. Mono dokazat~, qto n-mernoe raspredelenie P odnoznaqno opredelets funkcie$ i raspredeleni FP (x1 , . . . , xn ) . 78 Opredelenie 3.3. ( Diskretnye i nepreryvnye raspredeleni ). 1. Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets diskretnym, esli suwestvuet koneqnoe ili sqetnoe mnoestvo toqek x i ∈ Rn i sootvetstvuwih im verotnoste$ Pi p( x i ) ‹ P ({ x i }) , udovletvorwih uslovi normirovki takih, qto i p( x i ) = 1 , P P (B) = x i ∈B p(x i ) . Mnoestvo par ( x i , p( x i )) nazyvaets zakonom raspredeleni P . 2 . Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets nepreryvnym, esli suwestvuet borelevska RfunkciR fP (x1 , . . . , xn )>0 , udovletvo∞ ∞ rwa uslovi normirovki −∞ R R . . . −∞ fP (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = 1 , P (B) = taka, qto . . . B fP (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn . Funkci fP (x1 , . . . , xn ) nazyvaets plotnost~ raspredeleni P . Primery 1. Klassiqeskoe opredelenie verotnosti: Ω — koneqnoe mnoestvo, A = P(Ω) , verotnost~ P opredelets usloX 1 n(A) vimi P ({ ω }) = i P (A) = P ({ω}) = . n(Ω) n(Ω) ω∈A 2. Diskretnoe verotnostnoe prostranstvo: Ω — koneqnoe ili ussqetnoe mnoestvo, A = P(Ω),Xverotnost~ P opredelets X lovimi P ({ωi }) = pi >0 , gde P ({ω}) . pi = 1 , i P (A) = i ω∈A 3. Odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe prostranstvo: (Ω, A) = = (R, B), P — odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe raspredelenie, opredelemoe plotnost~ fP (x). 4. Odnomernoe geometriqeskoe opredelenie verotnosti: primer IΩ (x) l(A) 3 pri fP (x) = 1 , gde Ω1 ∈ B. Dl A ∈ B∩ Ω1 P (A) ‹ . l(Ω1 ) l(Ω1 ) Teorema 3.1. ( Svo$istva verotnosti ) . 1. P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B), B⊆A vleqet P (A\B) = P (A) − P (B) . 2. P (A) = 1 − P (A) . 3. B⊆A vleqet P (B)6P (A). 4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ( teorema sloeni ) . D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Netrudno ubedit~s v tom, qto A = = (A\B) ∪ (A ∩ B) i (A\B) ∩ (A ∩ B) = ∅ . Po aksiome P3 poluqim P (A) = P (A\B) + P (A ∩ B) i po tomu P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B) . Esli B⊆A, to A ∩ B = B i P (A\B) = P (A) − P (B) . istva 1 sleduet P (A) = P (Ω\A) = 1 − P (A) . 2. Iz A = Ω\A i svo$ 3. Sootnoxenie 3 vytekaet iz aksiom P1 , P2 i svo$ istva 1. 4. Poskol~ku A ∪ B = (A\B) ∪ B i sobyti A\B i B nesovmestny, to s uqetom 1 po aksiome P3 poluqim P (A ∪ B) = = P (A\B) + P (B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) . J 79 Sledstvie. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − −P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) . 3.2. Uslovna verotnost~. Nezavisimost~ sobyti$ i Opredelenie 3.4. (Uslovna verotnost~ ). Pust~ P (B) > 0. Uslovno$i verotnost~ sobyti$i pri uslovii, qto proizoxlo sobytie B , nazyvaets funkci PB : A → R , opredelema formulo$i P (A ∩ B) PB (A) ‹ . P (B) Netrudno ubedit~s v tom, qto dl uslovno$ i verotnosti vypolnts aksiomy P1 — P4 . Teorema 3.2. ( Teorema umnoeni ) . Esli P (A) 6= 0 i P (B) = 6 0, to P (A ∩ B) = P (A)PA (B) = P (B)PB (A) . Esli P (A) = 0 ili P (B) = 0 , to P (A ∩ B) = 0 . D o k a z a t e l ~ s t v o . Pervye sootnoxeni vytekat iz opredeleni uslovno$ i verotnosti, a poslednee iz aksiomy P1 i svo$ istva 3 verotnosti. J Sledstvie. ( Formula Ba$iesa ). PA (B) = P (B)PB (A) . P (A) Opredelenie 3.5. ( Polna gruppa sobyti$i ) . Mnoestvo sobyti$i {H1 , . . . , Hn } nazyvaets polno$i gruppo$i sobyti$ Sni, esli vypoln6 k , 2) ts uslovi : 1) Hi ∩ Hk = ∅ pri i = k=1 Hk = Ω . Teorema 3.3. ( Formula polno$i verotnosti ). Esli {H1 , . . . , Hn } — polna gruppa sobyti$i i P (Hk ) = 6 0 , to dl vskogo A ∈ A n X P (A) = P (Hk )PHk (A) . k=1 Sn Sn D o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku A = A ∩ k=1 Hk = k=1 (A ∩ Hk ) i (A ∩ Hi ) ∩S(A ∩ Hk ) = ∅ P pri i = 6 k , to P soglasno teoreme 3.4 n n n P (A) = P ( k=1 (A ∩ Hk )) = k=1 P (A ∩ Hk ) = k=1 P (Hk )PHk (A) . J Opredelenie 3.6 (Nezavisimost~). Sobyti seme$istva {At }t∈T nazyvats ( statistiqeski ) nezavisimymi, dl lbogo ‘ esli T Q n n v koneqnogo mnoestva indeksov P = k=1 P (Atk ), k=1 Atk qastnosti, A i B nezavisimy, esli P (A ∩ B) = P (A)P (B) . Seme$istvo {M t }t∈T mnoestv sobyti$i nazyvaets seme$istvom nezavisimyh mnoestv sobyti$i, esli sobyti, vybrannye po odnomu iz kadogo mnoestva M t , nezavisimy. V qastnosti, mnoestva sobyti$i C, D nezavisimy, esli P (C ∩ D) = = P (C)P (D) dl lbyh C ∈ C, D ∈ D. 80 Zameqani. 1. Pri P (A) 6= 0 , P (B) 6= 0 sobyti A i B nezavisimy togda i tol~ko togda, kogda PB (A) = P (A) i PA (B) = P (B) , t. e. kogda verotnost~ nastupleni odnogo iz nih ne zavisit ot togo, proizoxlo ili ne proizoxlo drugoe. 2. Nezavisimost~ vlets matematiqeskim pontiem, otnoswims k matematiqesko$ i modeli (verotnostnomu prostranstvu) rassmatrivaemogo sluqa$ inogo ksperimenta. Kak pravilo, tu model~ vybirat tak, qtoby fiziqeski nezavisimye sobyti byli v to$ i modeli nezavisimymi i v verotnostnom smysle. Teorema 3.4. ( O rasxirenii nezavisimyh mnoestv sobyti$i ) . Esli zamknutye otnositel~no koneqnyh pereseqeni$i mnoestva sobyti$i C, D nezavisimy, to porodennye timi mnoestvami σ -algebry S(D), S(C) nezavisimy. D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ C, C 0 ∈ C, D ∈ D. Po uslovi C ∩ C 0 i D nezavisimy. Iz ravenstv P (C ∩ D) = P (D\C) = = P (D) − P (D ∩ C) = P (D) − P (D)P (C) = P (C)P (D) sleduet nezavisimost~ C i D . Iz ravenstv P ((C∪C 0 )∩D) = P ((C∩D)∪(C 0 ∩D)) = = P (C∩D)+P (C 0 ∩D)−P ((C∩C 0 )∩D) = P (C∪C 0 )P (D) sleduet nezavii B(C) i D simost~ C∪C 0 i D . Takim obrazom, algebra sobyti$ ∞ nezavisimy. Pust~ {Cn }n=1 — monotonna posledovatel~nost~ sobyti$ i iz B(C) . Iz ravenstv P (D ∩ lim Cn ) = P ( lim (D ∩ Cn )) = n→∞ n→∞ = lim P (D ∩ Cn ) = P (D) lim P (Cn ) = P (D)P ( lim Cn ) sleduet nezan→∞ visimost~ n→∞ n→∞ lim Cn i D . Znaqit, S(C) i D nezavisimy. Analo- n→∞ giqno dokazyvaets nezavisimost~ S(D) i S(C). J Odno$ i iz zadaq teorii verotnoste$ i vlets vyqislenie verotnosti sobyti$ i, vlwihs funkcimi nezavisimyh sobyti$ i A1 , . . . , An . Esli verotnosti tihQ sobyti$ i udovletvort Tn n ai ai uslovim 0 < P (Ai ) < 1T, to P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ) 6= 0 dl lbyh n ai a ∈ Bn i po tomu i=1 Ai 6= ∅. Otsda sleduet, qto mnoestvo A rassmatrivaemyh funkci$ i vlets svobodno$ i bulevo$ i (Bn ) algebro$ i, izomorfno$ i bulevo$ i algebre B . Teorema 3.5 (Verotnost~ funkcii nezavisimyh sobyti$ i). Verotnost~ funkcii sobyti$ i, predstavlenno$i v vide SDNF Tn S ai f (A1 , . . . , An ) = a∈{f=1} i=1 Ai , gde Ai — nezavisimye sobyti s verotnostmi 0 < P (Ai ) < 1 , Pmono €vyqislit~ po formule Qn ai P (f (A1 , . . . , An )) = a∈{f=1} i=1 P (Ai ) . Tn D o k a z a t e l ~ s tP v o . Poskol~ku sobyti Aai i nesovmestny i=1  € Tn P Q n ai P (A ) . J P (f (A1 , . . . , An )) = a∈{f=1} P ( i=1 Aai i ) = a∈{f=1} i i=1 81 Odna iz modele$ i, v kotoro$ i suwestvennym obrazom ispol~zuets pontie nezavisimosti, svzana s situacie$ i, kogda provodits seri n sluqa$ inyh ksperimentov fiziqeski nezavisimo drug ot druga. Taka seri ksperimentov nazyvaets posledovatel~nost~ n nezavisimyh ispytani$i, a kady$ i otdel~ny$ i sluqa$ iny$ i ksperiment — ispytaniem. Postroim matematiqesku model~ posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$ i pri zadannyh verotnostnyh prostranstvah ispytani$ i (Ωi , Ai , Pi ) i = 1, . . . , n. Ishodom posledovatel~nosti n ispytani$ i vlets ω = (ω1 , . . . , ωn ) , gde ωi — ishod i-go ispytani. Mnoestvom vseh takih ishodov vlets dekartovo proizvedenie Ω = Ω1 × · · · ×Ωn . Oboznaqim simvolom A1 ×A2 × · · · ×An sobytie, sostowee v tom, qto v pervom ispytanii proizo$ idet sobytie A1 , vo vtorom A2 i t. d., v n -m An . Uslovie nezavisimosti ispytani$ Qn i privodit k opredeleni verotnosti P (A1 × · · · ×An ) ‹ i=1 Pi (Ai ) , kotoroe mono odnoznaqno prodolit~ na σ -algebru A , porodennu sobytimi vida A1 × · · · ×An . V rezul~tate poluqim matematiqesku model~ posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$ i — verotnostnoe prostranstvo (Ω , A , P ) , nazyvaemoe proizvedeniem verotnostnyh prostranstv (Ωi , Ai , Pi ) . Shemo$ i Bernulli nazyvaets qastny$ i sluqa$ i posledovatel~nosti nezavisimyh ispytani$ i pri Ωi = Ω = {0, 1}, Ai = = P(Ω) = {∅, {0}, {1}, Ω}. Ishody 1 i 0 v kadom ispytanii nazyvats, sootvetstvenno, ”uspehom” i ”neudaqe$ i”, a verotnosti p = P ({1}) i q = P ({0}) = 1 − p — verotnostmi uspeha i neudaqi v odnom ispytanii. P P P P P P Teorema 3.6. ( Formula Bernulli ) . Verotnost~ togo, qto v sheme Bernulli posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$i budet m uspehov, ravna B(n, m, p) = Cnm pm q n−m . D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ Am — interesuwee nas sobytie. Kady$ i ishod ω , blagopritstvuwi$ i Am , imeet verotnost~ m n−m p q . Qislo tih ishodov ravno qislu sposobov vybrat~ m mest iz n dl edinic v posledovatel~nosti ω (vyborka mest neupordoqenna i ne dolna imet~ povtoreni$ i). Qislo takih m vyborok ravno Cn , a iskoma verotnost~ — Cnm pm q n−m . J m udovletvoSledstvie. Verotnost~ togo, qto qislo uspehov Pm2 m m n−m . ret neravenstvam 06m1 6m6m2 6n, ravna m=m1 Cn p q D o k a z a t e l ~ s t v o . Formula vytekaet iz poparno$ i nesovmestnosti sobyti$ i Am . J 82 4. Sluqa$ inye veliqiny i vektory 4.1. Odnomernye raspredeleni i ih harakteristiki Teorema 4.1. ( Svo$istva odnomernyh raspredeleni$i ) . Pust~ P — odnomernoe raspredelenie. Togda 5) esli x1 6x2 , to FP (x1 )6FP (x2 ), 1) P ((−∞; x]) = FP (x + 0), 2) P ([x; ∞)) = 1 − FP (x), 6) FP (x) nepreryvna sleva, 3) P ([x1 ; x2 )) = FP (x2 ) − FP (x1 ), 7) FP (−∞) = 0, 4) P ({x}) = FP (x + 0) − FP (x), 8) FP (∞) = 1. D o k a z a t e l ~ s t v o . Oqevidno, qto: lim (−∞; x + 1/n) = (−∞; x], n→∞ lim (−∞; x − 1/n) = (−∞; x), lim (−∞; −n) = ∅, lim (−∞; n) = R . n→∞ n→∞ Iz tih ravenstv po aksiome P4 sledut ravenstva 1, 6 – 8. Ravenstva 2 – 4 sledut iz svo$ istv verotnosti i ravenstv [x; ∞) = (−∞; x), [x1 ; x2 ) = (−∞; x2 )\(−∞; x1 ), {x} = (−∞; x]\(−∞; x) . Sootnoxenie 5 sleduet iz ravenstva 3. J Funkci odnomernogo raspredeleni v diskretnom i nepreryvnom sluqae mono predstavit~ formulami:  X  esli P diskretno, p(xi ) ,   x x), (ξ < x), (a6ξ < b), (ξ = a) ; v tih oboznaqenih konnkci qasto oboznaqaets zapto$ i, naprimer, sobytie ino$ i veliqiny (ξ < x, η < y) sostoit v tom, qto znaqenie sluqa$ ξ men~xe x i znaqenie sluqa$ ino$ i veliqiny η men~xe y . Iz opredeleni 4.3 sleduet, qto dl kado$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ mono vvesti funkci, sopostavlwu kadomu borelevskomu mnoestvu B ∈ B verotnost~ P (ξ ∈ B) . Teorema 4.2. ( Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny ) . Funkci Pξ (B) ‹ P (ξ ∈ B) vlets odnomernym verotnostnym raspredeleniem ( nazyvaemym raspredeleniem sluqa$ino$i veliqiny ξ) . S∞ S∞ D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz ravenstv ξ −1 ( n=1 Bn ) = n=1 f −1 (Bn ), T∞ T∞ ξ −1 ( n=1 Bn ) = n=1 ξ −1 (Bn ), ξ −1 (Y \Z) = ξ −1 (Y )\ξ −1 (Z) sleduet, i monotonno$ i posledovaqto ξ −1 (∅) = ∅, ξ −1 (R) = Ω i dl lbo$ −1 ∞ ∞ tel~nosti {Bn }n=1 posledovatel~nost~ {ξ (Bn )}n=1 monotonna, priqem ξ −1 ( lim Bn ) = lim ξ −1 (Bn ) . Iz aksiom dl P sleduet: n→∞ n→∞ 1) Pξ (∅) = P (∅) = 0, 2) Pξ (R) = P (Ω) = 1, 3) esli B ∩ C = ∅, 86 to ξ −1 (B) ∩ ξ −1 (C) = ξ −1 (∅) = ∅ i po aksiome P3 poluqim Pξ (B ∪ C) = P (ξ −1 (B ∪ C)) = P (ξ −1 (B) ∪ ξ −1 (C)) = Pξ (B) + +Pξ (C), 4) Pξ ( lim Bn ) = P (ξ −1 ( lim Bn )) = P ( lim ξ −1 (Bn )) = n→∞ n→∞ n→∞ = lim P (ξ −1 (Bn )) = lim Pξ (Bn ). J n→∞ n→∞ Vs verotnostna informaci o sluqa$ ino$ i veliqine zaklqena v ee raspredelenii. 1. Funkci raspredeleni Pξ , oboznaqaema simvolom Fξ (x) nazyvaets funkcie$ i raspredeleni sluqa$ ino$ i veliqiny ξ . Momenty αk (Pξ ), µk (Pξ ) oboznaqats, sootvetstvenno, simvolami αk (ξ), µk (ξ) i nazyvats momentami sluqa$ ino$ i veliqiny ξ ; moment α1 (ξ), nazyvaemy$ i srednim znaqeniem sluqa$ ino$ i veliqiny ξ , oboznaqaets take simvolami M ξ i mξ ; moment µ2 (ξ) , nazyvaemy$ i dispersie$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ , obozna2 qaets take simvolami Dξ i σξ . Veliqina σξ >0 nazyvaets srednekvadratiqnym otkloneniem sluqa$ ino$ i veliqiny ξ (otnositel~no srednego znaqeni). 2. Sluqa$ ina veliqina ξ nazyvaets diskretno$ i, esli raspredelenie Pξ diskretno i togda zakon raspredeleni (xi , pξ (xi )), gde pξ (xi ) ‹ Pξ ({xi }) = P (ξ = xi ) , nazyvaets zakonom raspredeleni i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ . Iz usloP diskretno$ vi normirovki ina i pξ (xi ) = 1 sleduet, qto diskretna sluqa$ veliqina ξ s verotnost~ 1 prinimaet tol~ko znaqeni xi . 3. Sluqa$ ina veliqina ξ nazyvaets nepreryvno$ i, esli ee raspredelenie nepreryvno i togda plotnost~ raspredeleni dFξ (x) fξ (x) ‹ nazyvaets plotnost~ raspredeleni nepreryvdx no$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ . Funkci raspredeleni Fξ (x) nepreryvno$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ nepreryvna i po tomu dl vskogo x P (ξ = x) = Fξ (x + 0) − Fξ (x) = 0 , no dl lbogo intervala [a, b) , na kotorom Fξ (x) vozrastaet P (a6ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) > 0. Funkci fξ (x) mono predstavit~ v vide P (x6ξ < x + ∆x) , fξ (x) = Fξ0 (x) = lim ∆x→0 ∆x ∆x>0 opravdyvawem nazvanie plotnost~ verotnosti dl fξ (x) . 4. Verotnostnoe prostranstvo (R, B, Pξ ) svzano so znaqenii statistimi sluqa$ ino$ i veliqiny ξ , kotorye v matematiqesko$ ke nazyvat vyboroqnymi znaqenimi. Po tomu ono nazyvaets vyboroqnym verotnostnym prostranstvom sluqa$ ino$ i veliqiny ξ. Sleduwee utverdenie podvodit nas k idee vyboroqnogo metoda matematiqesko$ i statistiki. 87 Teorema 4.3. ( O vyboroqnom metode ) . Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny η(x) = x , opredelenno$i na (R, B, Pξ ) , sovpadaet s Pξ . D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz η −1 (B) = B sleduet Pη (B) = Pξ (B) . J Teorema 4.3 pozvolet sdelat~ vyvod o tom, qto verotnostna informaci o sluqa$ ino$ i veliqine zaklqena tol~ko v vyboroqnyh znaqenih to$ i sluqa$ ino$ i veliqiny. Teorema 4.4. ( Funkcii sluqa$inyh veliqin ) . Borelevskie funkcii sluqa$inyh veliqin vlts sluqa$inymi veliqinami. D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz opredeleni borelevskih funkci$ i i teoremy II.5.1. J Mono sqitat~, qto vse nepreryvnye i razryvnye funkcii, vstreqawies v priloenih teorii verotnoste$ i, vlts borelevskimi funkcimi. Teorema 4.5. ( Monotonna funkci sluqa$ino$i veliqiny ) . Pust~ ξ — sluqa$ina veliqina, g : R → R — strogo monotonna nepreryvna funkci ši h — funkci, obratna k g . Togda esli g vozrastaet, Fξ (h(x)) , . Fg(ξ) (x) = 1 − Fξ (h(x) + 0) , esli g ubyvaet. D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli g nepreryvna i strogo monotonno vozrastaet (ubyvaet), to h take nepreryvna i strogo monotonno vozrastaet (ubyvaet) i po tomu pri vozrastawe$ i g Fg(ξ) (x) = P (g(ξ) < x) = P (h(g(ξ)) < h(x)) = P (ξ < h(x)) = Fξ (h(x)) , a pri ubyvawe$ i g Fg(ξ) (x) = P (g(ξ) < x) = P (h(g(ξ)) > h(x)) = = P (ξ > h(x)) = 1 − Fξ (h(x) + 0) . J Sledstvie. Esli g — differenciruema strogo monotonna funkci i ξ — nepreryvna sluqa$ina veliqina, to sluqa$ina veliqina g(ξ) nepreryvna i fg(ξ) (x) = fξ (h(x))|h0 (x)| . D o k a z a t e l ~ s t v o . Funkci h tak e kak i g differenciruema i strogo monotonna. Funkci raspredeleni Fξ (x) nepreryvno$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ differenciruema. Po tomu Fg(ξ) (x) differenciruema i fg(ξ) (x) = fξ (h(x))|h0 (x)|. J Esli v uslovih sledstvi funkci g nemonotonna, to obratna funkci ne suwestvuet, no suwestvuet obratnoe otnoxenie h, grafik kotorogo vlets obedineniem grafikov funkci$ i hi , obratnyh vetvm monotonnosti funkcii g . V tom sluqae formula dl plotnosti X verotnosti g(ξ) imeet vid fg(ξ) (x) = fξ (hi (x))|h0i (x)|. i 88 4.3. Mnogomernye raspredeleni i ih harakteristiki V tom razdele budut rasmatrivat~s v osnovnom dvumernye raspredeleni. Teorema 4.6. ( Svo$istva dvumernyh raspredeleni$i ) . Pust~ P — dvumernoe raspredelenie. Togda 1. P ([x1 ; x2 )×(−∞; y)) = FP (x2 , y) − FP (x1 , y) . 2. P ((−∞; x)×[y1 ; y2 )) = FP (x, y2 ) − FP (x, y1 ) . 3. P ([x1 ; x2 )×[y1 ; y2 )) = FP (x2 , y2 ) − FP (x1 , y2 ) − FP (x2 , y1 ) + FP (x1 , y1 ). 4. FP (x, y) — neubyvawa funkci argumentov x, y . 5. FP (−∞, y) = FP (x, −∞) = FP (−∞, −∞) = 0 . 6. FP (∞, ∞) = 1 . D o k a z a t e l ~ s t v o . €Ravenstva 1 — 3  €sledut iz ravenstv  [x1 ; x2 )×(−∞; y) = €(−∞; x2 )×(−∞; y) \€ (−∞; x1 )×(−∞; y) , (−∞; x)×[y1 ; y2 ) = €(−∞; x)×(−∞; y2) \€ (−∞; x)×(−∞; y1) , [x1 ; x2 )×[y1 ; y2 ) = [x1 ; x2 )×(−∞; y2 ) \ [x1 ; x2 )×(−∞; y1 ) i svo$ istva 1 verotnosti. Svo$ istvo 4 sleduet iz svo$ istv 1, 2. Svo$ istva 5, 6 sledut iz aksiomy 4 i ravenstv lim (−∞; −n)× n→∞ ×(−∞; y) = lim (−∞; x)×(−∞; −n) = lim (−∞; −n)×(−∞; −n) = ∅ , n→∞ n→∞ limn→∞ (−∞; n)×(−∞; n) = R2 . J Funkci dvumernogo raspredeleni v diskretnom i nepreryvnom sluqae predstavit~ formulami  mono X  p(r i ) , esli P diskretno,   x 0 ∆x→0 ∆x>0 Teorema 4.8. ( Uslovnye raspredeleni dvumernogo raspredeleni ) . 1 . Funkcii Px (A|y) i Py (B|x) vlts odnomernymi raspredelenimi, nazyvaemymi uslovnymi raspredelenimi. 2 . Esli P diskretno, to uslovnye raspredeleni diskretny i ih zakony raspredeleni (xj , px (xj |yk )), (yk , py (yk |xj )) svzany s dvumernym i qastnymi zakonami raspredeleni sootnoxenimi p(xj , yk ) p(xj , yk ) px (xj |yk ) = , py (yk |xj ) = . py (yk ) px (xj ) 3 . Esli P nepreryvno, to uslovnye raspredeleni nepreryvny i ih plotnosti verotnosti fP x (x|y), fP y (y|x) svzany s dvumerno$i i qastnymi plotnostmi verotnosti sootnoxenimi fP (x, y) fP (x, y) , fP y (y|x) = . fP x (x|y) = fP y (y) fP x (x) Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. 91 Sledstvie. p(xj , yk ) = px (xj )py (yk |xj ) = py (yk )px (xj |yk ) , fP (x, y) = fP x (x)fP y (y|x) = fP y (y)fP x (x|y) . Opredelenie 4.5. ( Proizvedenie raspredeleni$i ) . Dvumernoe raspredelenie P nazyvaets proizvedeniem qastnyh raspredeleni$i ( simvoliqeski P = Px ×Py ) , esli P (A×B) = Px (A)Py (B) dl vseh A ∈ B, B ∈ B. Teorema 4.9. ( O proizvedenii raspredeleni$i ) . P = Px ×Py togda i tol~ko togda, kogda FP (x, y) = FP x (x)FP y (y). Sledstvie 1. Diskretnoe raspredelenie P = Px ×Py tol~ko togda, kogda p(xj , yk ) = px (xj )py (yk ) . togda Sledstvie 2. Nepreryvnoe raspredelenie P = Px ×Py tol~ko togda, kogda fP (x, y) = fP x (x)fP y (y) . togda i i Sledstvie 3. Esli P = Px ×Py , to αrs (P ) = αr (Px )αs (Py ) , µrs (P ) = µr (Px )µs (Py ), Px (A|y) = Px (A), Py (B|x) = Py (B) . Opredelenie 4.6. ( Dvumernoe normal~noe raspredelenie ) . Dvumernym normal~nym nazyvaets raspredelenie P s plotnost~ " # 2 2 (x − mx ) − 2σx σy ρ(x − mx )(y − my ) + (y − my ) fP (x, y) = k · exp − , 2σx2 σy2 (1 − ρ2 ) p € −1 gde k = 2πσx σy 1 − ρ2 , σx > 0, σy > 0, |ρ| < 1 . Teorema 4.10. ( Svo$istva dvumernogo normal~nogo raspredeleni ) . Qastnye i uslovnye plotnosti dvumernogo normal~nogo raspredeleni P normal~ny : fP x (x) = n(x|mx , Dx ), fP y (y) = n(x|my , Dy ), fP x (x|y) = n(x|mx|y , Dx|y ), fP y (y|x) = n(y|my|x , Dy|x ) , gde uslovnye srednie mx|y , my|x i uslovnye dispersii Dx|y , Dy|x ravny : 2 x mx|y = mx + ρ σ σy (y − my ), Dx|y = Dx (1 − ρ ) σ my|x = my + ρ σxy (x − mx ), Dy|x = Dy (1 − ρ2 ). Kovariaci i ko fficient korrelcii ravny µ11 = ρσx σy , r = ρ. P = Px ×Py togda i tol~ko togda, kogda ρ = 0 . Osnovatel~noe izuqenie mnogomernyh raspredeleni$ i umestno pri vtorom cikle izuqeni teorii verotnoste$ i. Zdes~ e my rassmotrim tol~ko mnogomernoe normal~noe raspredelenie. Opredelenie 4.7. (Mnogomernoe normal~noe raspredelenie ) . p -mernoe normal~noe raspredelenie est~h raspredelenie s ploti p −1 1 T −p/2 |A | exp − 2 ( x − m ) A( x − m) , nost~ np ( x | m , A ) = (2π) gde x , m — p-komponentnye vektory-stolbcy, A — simmetriqna poloitel~no opredelenna matrica pordka p . 92 Teorema 4.11. ( Drugoe predstavlenie mnogomerno$i normal~no$i plotnosti ) . Funkci np (x |m, A −1 ) mono predstavit~ v vide " ! # p Y 1 sii exp − || S ( x − m )||22 , np (x | m , A −1 ) = (2π)−m/2 2 i=1 gde || . ||2 — evklidova norma vektora, S — treugol~na matrica ( verhn ili nin ) s poloitel~nymi diagonal~nymi lementami v razloenii Holeckogo A = S T S . D 4.7 s uqetom formul po k a z aQtpe l ~ s t v o . IzT opredeleni T |A| = i=1 sii , ( x − m ) S S ( x − m) = || S (x − m )||22 , poluqim utverdenie teoremy. J 4.4. Sluqa$ inye vektory Opredelenie 4.8. (Sluqa$inye vektory ) . Upordoqenna sovokupnost~ m sluqa$inyh veliqin (ξ1 , . . . , ξm ) nazyvaets sistemo$i m sluqa$inyh veliqin ili m -komponentnym sluqa$inym vektorom. Sluqa$ iny$ i vektor budem take oboznaqat~ matrice$ i stroko$ i T ξ = ( ξ1 . . . ξm ) ili matrice$ i stolbcom ξ , pri tom budem polagat~, qto na ti matricy rasprostrants vse izvestnye matriqnye operacii. Teorema 4.12. ( Raspredelenie dvuhkomponentnogo sluqa$inogo vektora). Pust~ (ξ, η) – dvuhkomponentny$i sluqa$iny$i vektor , B ∈ B2 . Funkci, opredelema formulo$i Pξη (B) ‹ P ((ξ, η) ∈ B) , vlets dvumernym verotnostnym raspredeleniem, nazyvaemym sovmestnym raspredeleniem komponent vektora ξ i η . Qastnye raspredeleni Px i Py dvumernogo raspredeleni P = Pξη vlts raspredelenimi Pξ i Pη , sootvetstvenno. Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Vs verotnostna informaci o sluqa$ inom vektore (ξ, η) zaklqena v ego sovmestnom raspredelenii Pξη . 1. Funkci raspredeleni Pξη , oboznaqaema simvolom i raspredeleni sluqa$ inogo vektoFξη (x, y) nazyvaets funkcie$ ra (ξ, η) ili sovmestno$ i funkcie$ i raspredeleni sluqa$ inyh veliqin ξ i η . Momenty αrs (Pξη ), µrs (Pξη ) nazyvats smexannymi momentami sluqa$ inyh veliqin ξ i η i oboznaqats simvolami αrs (ξ, η), µrs (ξ, η) . Moment Kξη ‹ µ11 (ξ, η) nazyvaetinyh veliqin ξ i η . Esli Kξη = 0 , to s kovariacie$i sluqa$ govort, qto ξ i η — nekorrelirovanye sluqa$ inye veliqiny. 93 2. Sluqa$ iny$ i vektor (ξ, η) nazyvaets diskretnym, esli Pξη diskretno. Zakon raspredeleni {(xj , yk , pξη (xj , yk ))} , gde pξη (xj , yk ) = Pξη ({(xj , yk )})} nazyvaets sovmestnym zakonom raspredeleni sluqa$ inyh veliqin ξ i η . 3. Sluqa$ iny$ i vektor (ξ, η) nazyvaets nepreryvnym, esli Pξη nepreryvno. Plotnost~ fξη (x, y) ‹ fPξη (x, y) nazyvaets sovmestno$ i plotnost~ raspredeleni sluqa$ inyh veliqin ξ i η . Svz~ fξη (x, y) s ξ i η vyraaets formulo$ i 2 ∂ FP (x, y) P (x6ξ < x + ∆x, y6η < y + ∆y) fξη (x, y) = = lim lim , ∆x→0 ∆y→0 ∂x ∂y ∆x∆y ∆x>0 ∆y>0 kotora opravdyvaet nazvanie plotnost~ verotnosti dl fξη . 4. Verotnostnoe prostranstvo (R2 , B2 , Pξη ) nazyvaets vyboroqnym verotnostnym prostranstvom vektora (ξ, η) . Privedem obobwenie teoremy 4.3. o vyboroqnom metode. Teorema 4.13. ( O vyboroqnom metode ). Raspredelenie sluqa$inogo vektora η ( x ) = x , opredelennogo na (Rn , Bn , P ξ ), sovpadaet s P ξ . Opredelenie 4.9. ( Srednee znaqenie i kovariacionna matrica sluqa$inogo vektora ) . Srednim znaqeniem sluqa$inogo vektora ξ nazyvaets vektor m ξ , gde { m ξ }i = α1 (ξi ) ; kovariacionno$i matrice$i ξ nazyvaets matrica K ξ , gde {K ξ }ik = µ11 (ξi ξk ) . Teorema 4.14. (Raspredelenie normal~nogo sluqa$inogo vektora ) . Esli p -komponentny$i sluqa$iny$i vektor ξ imeet raspredelenie np ( x| m , A −1 ) , to m = m ξ , A = K −1 ξ Bez dokazatel~stva. Opredelenie 4.10. ( Uslovnye raspredeleni sluqa$inyh veliqin ) . Pust~ P = Pξη . Uslovnym raspredeleniem ξ pri uslovii η = y nazyvaets Pξ (B|y) ‹ Px (B|y), uslovnym raspredeleniem η pri uslovii ξ = x nazyvaets Pη (B|x) ‹ Py (B|x) . Uslovnye zakony raspredeleni i plotnosti verotnosti oboznaqats tak : (xj , pξ|η (xj |yk )), (yk , pη|ξ (yk |xj ), fξ|η (x|y), fη|ξ (y|x) . Opredelenie 4.11. (Sovmestnoe raspredelenie sluqa$inyh vektorov) . Sovmestnym raspredeleniem sluqa$inyh vektorov ξ i η nazyvaets raspredelenie sostavnogo sluqa$inogo vektora (ξ , η ) , kotoroe budet oboznaqat~s simvolom P ξ η . Opredelenie 4.12. ( Nezavisimye sluqa$inye veliqiny i vektory ). Sluqa$inye veliqiny ξ , η nazyvats nezavisimymi, esli Pξη = Pξ ×Pη . Sluqa$inye vektory ξ , η nazyvats nezavisimymi, esli P ξ η = P ξ ×P η . 94 5. Matematiqeskoe oidanie Pust~ L oboznaqaet mnoestvo ograniqennyh sluqa$ inyh veliqin. Iz teoremy 2.5.3 vytekaet sleduwee utverdenie. Teorema 5.1. ( Svo$istva mnoestva L). 1. Mnoestvo L vlets de$istvitel~nym line$inym prostranstvom otnositel~no obyqnogo sloeni funkci$i i umnoeni na skalr, t. e. vmeste s lbymi sluqa$inymi veliqinami ξ, η v L soderats sluqa$inye veliqiny aξ + bη pri vseh a, b iz R . 2 . V L opredeleny obyqnye neravenstva dl de$istvitel~nyh funkci$i. Otnoxenie 6 svzano so sloeniem i umnoeniem na skalr uslovimi: ξ6η vleqet ξ + ζ6η + ζ dl lbogo ζ ∈ L, ξ > 0 vleqet aξ > 0 dl lbogo a > 0. 3 . Dl kado$i sluqa$ino$i veliqiny ξ suwestvuet ee poloitel~na qast~ ξ + = max{ξ, 0} i otricatel~na qast~ ξ − = ξ + − ξ . Zameqanie. Oqevidno, ξ + >0, ξ − >0. Soglasno statistiqeskomu opredeleni matematiqeskim oidaniem sluqa$ ino$ i veliqiny ξ nazyvaets qislo M ξ , k kotoromu stremits srednee arifmetiqeskoe N znaqeni$ i to$ i sluqa$ ino$ i veliqiny pri N → ∞ . Opredelim matematiqeskoe oidanie aksiomatiqeski, vklqa v qislo aksiom svo$ istva srednego arifmetiqeskogo. Opredelenie 5.1. ( Matematiqeskoe oidanie ) . Matematiqeskim oidaniem naR L nazyvaets funkcional M, oboznaqaemy$i ξdP i nazyvaemy$i integralom funkcii ξ po take simvolom mere P, udovletvorwi$i uslovim : 1) M (aξ + bη) = aM ξ + bM η ( line$inost~ ); 2) esli ξ>0 , to M ξ>0 ( poloitel~nost~ ); 3) dl vsko$i monotonno ubyvawe$i posledovatel~nosti {ξn }∞ n=1 iz lim ξn = 0 sleduet lim M ξn = 0 ( nepreryvnost~ ); n→∞ n→∞ 4) dl vskogo A ∈ A M IA = P (A) . Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$ i neotricatel~no$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ (vozmono ravnoe ∞ ) opredelets kak M ξ ‹ lim M ξn , gde {ξn }∞ n=1 — monotonno vozrastawa posn→∞ ledovatel~nost~ ograniqennyh sluqa$ inyh veliqin, shodwas k ξ . Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ , prinimawe$ i znaqeni oboih znakov, opredelets formulo$ i M ξ ‹ M ξ+ − M ξ− v tom sluqae, kogda ili M ξ+ < ∞ , 95 ili M ξ− < ∞ . Pri M ξ+ = M ξ− = ∞ matematiqeskoe oidanie M ξ ne suwestvuet. Matematiqeskoe oidanie kompleksnyh sluqa$ inyh veliqin vida ξ + iη , gde ξ i η — de$ istvitel~nye sluqa$ inye veliqiny, opredelets formulo$ i M (ξ + iη) ‹ M ξ + iM η . V sleduwem utverdenii privodts formuly dl vyqisleni matematiqeskogo oidani borelevskih funkci$ i diskretnyh i nepreryvnyh sluqa$ inyh veliqin. Teorema 5.2. (Vyqislenie matematiqeskogo oidani ) . Esli ξ — sluqa$ina veliqina, ϕ : R → R — borelevska funkci, to  X ϕ(xi )pξ (xi ) , esli ξ diskretna,   i M ϕ(ξ) = Z ∞   ϕ(x)fξ (x)dx , esli ξ nepreryvna, −∞ v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut. Esli (ξ, η) — sluqa$iny$i vektor, ψ : R2 → R — borelevska funkci, to X X  ψ(xj , yk )pξη (xj , yk ) , esli (ξ, η) diskreten,   j M ψ(ξ, η) = Z ∞ Z k∞   ψ(x, y)fξη (x, y)dxdy , esli (ξ, η) nepreryven,  −∞ −∞ v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut. D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim dokazatel~stva dl nekotoryh qastnyh sluqaev. Esli ξ — diskretna sluqa$ ina veliqina, prinimawa razliqnye znaqeni x1 , . . . , xn , to ϕ(ξ) mono predstavit~ v Pn istvo line$ inosvide ϕ(ξ(ω)) = i=1 ϕ(xi )I(ξ=xi ) (ω) . Uqityva svo$ Pn ti matematiqeskogo oidani, poluqim M ϕ(ξ) = i=1 ϕ(xi )pξ (xi ) . Pust~ ξ — nepreryvna sluqa$ ina veliqina s plotnost~ verotnosti fξ (x), ravno$ i 0 vne [a, b] ; ϕ — monotonno vozrastawa na [a, b] nepreryvna funkci; otrezok [a, b] razbit na n qaste$ i toqkami a = x0 < x1 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b. Pn Funkci ηn (ω) = (ω) vlets diskretno$ i i=1 ϕ(xi−1 )I(xi−1 6ξ 0 . Togda : 1) esli ξ = a ( t.e. ξ nesluqa$ina ) , to M ξ = a; 2) esli η6ξ , to M η6M ξ; 3) |M ξ|6M |ξ|; 4) esli a6ξ6b , to a6M ξ6b; 5) esli ξ i η nezavisimy, to M (ξη) = (M ξ)(M η); Mξ ; 6) esli ξ>0 , to P (ξ>ε)6 ε Dξ 7) P (|ξ − M ξ|>ε)6 2 ( neravenstvo Qebyxeva ) . ε Dokazatel~stvo. 1. M ξ = M (aIΩ ) = aP (Ω) = a. 2. Esli η6ξ , to ξ − η>0 i M (ξ − η) = M ξ − M η>0. 3. |M ξ| = |M ξ+ − M ξ− |6M ξ+ + M ξ− = M |ξ| . 4. Sleduet iz svo$ istv 1, 2. 5. Dl diskretnyh i nepreryvnyh sistem sluqa$ inyh veliqin sleduet iz opredeleni smexannogo momenta α11 (ξ, η) . 6. Sluqa$ ina veliqina η = εI(ξ>ε) udovletvoret neravenstvu Mξ η6ξ . Po svo$ istvu 2 M η = εP (ξ>ε)6M ξ i P (ξ>ε)6 . ε 7. Sleduet iz 6, esli vmesto ε, ξ podstavit~, sootvetstvenno, ε2 , (ξ − M ξ)2 i uqest~, qto P ((ξ − M ξ)2 >ε2 ) = P (|ξ − M ξ|>ε) . J Teorema 5.4. ( Nekotorye svo$istva momentov ) . Pust~ a, b, c, d — de$istvitel~nye qisla ; ξ, η — sluqa$inye veliqiny ; ξ1 , . . . , ξn — nezavisimye sluqa$inye veliqiny. Spravedlivy sootnoxeni : 1) Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 , 5) Kξη = M ξη − (M ξ)(M η) , 6) Kaξ+b,cη+d 2) D(aξ + b) = a2 Dξ , p = acKξη , Dξ DηP , 3) Dξ = Kξξ , 7) |Kξη P|6 n n 4) Kξη = Kηξ , 8) D ( i=1 ξi ) = i=1 Dξi . 97 ◦ ◦ z }| { ◦ ◦ z }| { ◦ D o k a z a t e l ~ s t v o . Imeem: ξ + η = ξ + η , aξ + b = aξ . ◦2 1. Dξ = M ξ = M ξ 2 − 2(M ξ)2 + (M ξ)2 = M ξ 2 − (M ξ)2 . ◦ z }| { ◦2 2. D(aξ + b) = M ( aξ + b)2 = M (a2 ξ ) = a2 Dξ . ◦◦ 5. Kξη = M ξ η = M ξη − 2(M ξ)(M η) + (M ξ)(M η) = M ξη − (M ξ)(M η). ◦ ◦ z }| { z }| { ◦◦ 6. Kaξ+b,cη+d = M [( aξ + b )( cξ + d)] = M (acξ η ) = acKξη . ◦ ◦ 7. Pri lbom x ∈ R 06M (ξ x + η )2√= (Dξ)x2 + (2Kξη )x + Dη i 2 po tomu 4Kξη − 4DξDη60 ili |Kξη |6 DξDη . n n n n n n X X ‘ ‘ X X X X ◦ 2 ◦2 ◦ ◦ Dξi . J 8. D ξi = M ξi = M ξi + M ξ iξ k = i=1 i=1 i=1 i=1 k=1 k6=i i=1 Opredelenie 5.2. ( Matematiqeskoe oidanie sluqa$ino$i matricy ) . Esli Z = (ζij ) — sluqa$ina matrica, to M Z ‹ (M ζij ) . Teorema 5.5. ( Line$inye preobrazovani sluqa$ino$i matricy ) . Pri sluqa$ino$i m×n -matrice Z i nesluqa$ inyh matricah A, B , C € razmerov l×m, n×q, l×m M A Z B + C = AM(Z )B + C . m X n X ‘ D o k a z a t e l ~ s t v o . M { A Z B + C }ik = M air ζrs bsk +cik = = n m X X r=1 s=1 r=1 s=1  air M (ζrs )bsk + cik = { AM (Z ) B + C }ik . J €  Sledstvie. K ξ = M ( ξ − M ξ )( ξ − M ξ )T . 6. Harakteristiqeskie funkcii Opredelenie 6.1. ( Odnomernye harakteristiqeskie funkcii ) . Pust~ P — diskretnoe ili nepreryvnoe odnomernoe raspredelenie. Harakteristiqesko$i funkcie$i raspredeleni P nazyvaets C, X opredelema sootnoxeniem funkci ϕP : R →  esli P diskretno, eitxk p(xk ) ,   k ϕP (t) ‹ Z ∞   eitx fP (x)dx , esli P nepreryvno.  −∞ Harakteristiqesko$i funkcie$i ϕξ sluqa$ino$i veliqiny ξ nazyvaets harakteristiqeska funkci ee raspredeleni, ravna M eitξ . Primer 6.1. Harakteristiqeska funkci normal~nogo raspre2 2 deleni N(m, σ 2 ) ravna eimt−σ t /2 . 98 Mono dokazat~, qto sootvetstvie medu raspredelenimi i ih harakteristiqeskimi funkcimi vzaimno odnoznaqno. Teorema 6.1. ( Predel posledovatel~nosti harakteristiqeskih funkci$i ) . Dl togo qtoby posledovatel~nost~ funkci$i raspredeleni {Fn (x)}∞ n=1 s harakteristiqeskimi funkcimi ϕn (t) shodilas~ k funkcii raspredeleni F (x) , neobhodimo i dostatoqno, qtoby posledovatel~nost~ {ϕn (t)}∞ n=1 shodilas~ k predelu ϕ(t) , nepreryvnomu v toqke t = 0 . Togda ϕ(t) vlets harakteristiqesko$i funkcie$i funkcii raspredeleni F (x) . Bez dokazatel~stva. Teorema 6.2. (Svo$istva harakteristiqeskih funkci$i ) . 1. |ϕξ (t)|6ϕξ (0) = 1; 2. Pri de$istvitel~nyh a, b ϕaξ+b (t) = eitb ϕξ (at); 3. Esli ξ, η nezavisimy, to ϕξ+η (t) = ϕξ (t)ϕη (t); 4. Esli suwestvuet αk (ξ) , to suwestvuet k - proizvodna ha(k) rakteristiqesko$i funkcii i αk (ξ) = i−k ϕξ (0). D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. |ϕξ (t)|6M |eitξ | = M 1 = 1 = M (ei0ξ ) = ϕξ (0). 2. ϕaξ+b (t) = M eit(aξ+b) = eitb M eitaξ = eitb ϕξ (at) . 3. ϕξ+η (t) = M eit(ξ+η) = M (eitξ eitη ) = M eitξ M eitη = ϕξ (t)ϕη (t) . 4. Perestavl operacii matematiqeskogo Œ oidani i diffeŒ (k) rencirovani, poluqim i−k ϕξ (0) = M (ξ k eitξ )Œ = M (ξ k ) . J t=0 7. Predel~nye teoremy Opredelenie 7.1. ( Predel po verotnosti ) . Sluqa$ina veliqina ξ nazyvaets predelom po verotnosti P posledovatel~nosP ∞ (simvoliqeski ξn −→ ξ ), esli dl ti sluqa$inyh veliqin {ξn }n=1 vskogo ε > 0 lim P (|ξ − ξn |>ε) = 0 . n→∞ Teorema 7.1. (Zakon bol~xih qisel v forme Qebyxeva ) . Pust~ {ξn }∞ inyh veliqin s n=1 — posledovatel~nost~ nezavisimyh sluqa$ koneqnymi matematiqeskimi oidanimi i dispersimi, udovDξi 6c < ∞. Togda letvorwimi uslovim Œ ! dl vskogo ε > 0 Œ n n Œ Œ1 X 1X Œ Œ ξk − M ξk Œ >ε = 0. lim P Œ n→∞ Œ Œn n k=1 k=1 D o k a z a t e l ~ s t v o . Uqityva svo$ istva matematiqeskogo oidanih i dispersii i neravenstvo i h P Dξki6c < P∞, poluqim Pn Pn n 1 c 1 1 n ξ = 1 M n k=1 ξk = n k=1 M ξk , D n 2 k=1 k k=1 Dξk 6 n . n Pn 1 Iz neravenstva Qebyxeva dl n k=1 ξk sleduet, qto 99 Œ ‘ Œ P Pn Œ Œ1 n 1 P Œ n k=1 ξk − n k=1 M ξk Œ >ε 6 c 2 → 0 pri n → ∞ . J nε 1 Pn ξ shodits po verotSledstvie. Esli M ξk = m , to n k=1 k nosti k m pri n → ∞ . Teorema 7.2. ( Zakon bol~xih qisel v forme Bernulli ) . Qastota uspehov v posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$i po sheme Bernulli shodits po verotnosti pri n → ∞ k verotnosti uspeha v odnom ispytanii. D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ verotnost~ uspeha v odnom ispytanii ravna p i ξk = IAk , gde Ak — sobytie, sostowee v inye vetom, qto v k -m ispytanii imeet mesto uspeh. Sluqa$ liqiny ξk imet matematiqeskie oidani M ξk = P (Ak ) = p i dispersii Dξk = p(1 − p) < 1, po tomu po sledstvi teoremy 7.1 1 Pn ξ shodits po verotnosti k p . J qastota uspehov n k=1 k Vo mnogih verotnostnyh zadaqah vstreqaets normal~noe raspredelenie. Priqinu xirokogo rasprostraneni togo raspredeleni vpervye vyvil russki$ i matematik A.M.Lpunov, kotory$ i s pomow~ razrabotannogo im metoda harakteristiqeskih funkci$ i dokazal central~nu predel~nu teoremu, kotora utverdaet, qto pri ves~ma obwih uslovih raspredelenie summy n nezavisimyh sluqa$ inyh veliqin shodits pri n → ∞ k normal~nomu raspredeleni. Dokaem qastny$ i sluqa$ i central~no$ i predel~no$ i teoremy. Teorema 7.3. ( Teorema Lindeberga–Levi ) . Pust~ {ξn }∞ n=1 — posledovatel~nost~ nezavisimyh odinakovo raspredelennyh sluqa$inyh Pn veliqin s M ξn = m, Dξn = σ 2 i pust~ ηn = k=1 ζk , gde √ ◦ ζk = ξ k /(σ n). Togda limn→∞ Fηn (x) = Φ(x) pri vseh x ∈ R, gde Φ(x) — funkci normal~nogo raspredeleni s m = 0, σ = 1. 1 , harakteD o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku M ζk = 0, Dζk = n ristiqesku funkci sluqa$ ino$ i veliqiny ζk mono predsta2 t + o(t2 /n) pri n → ∞ . Po tomu vit~ v vide ϕζk (t) = 1 − 2n  ‘n 2 t2 2 limn→∞ ϕηn (t) = limn→∞ 1 − 2n + o(t /n) = e−t /2 pri n → ∞ . Po teoreme 6.1 lim Fηn (x) = Φ(x) . J n→∞ 1 Pn ξ pri Sledstvie. Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny n k=1 k 2 n → ∞ pribliaets k N(m, σ /n) . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. 100 8. Upraneni 1 . Brosats monety dostoinstvom 1, 2 i 5 ruble$ i. Ispol~zu klassiqeskoe opredelenie verotnosti, na$ iti verotnosti sleduwih sobyti$ i: A — toqno dve monety upali gerbom vverh, B — ne menee dvuh monet upali ciframi vverh, C — summa cifr na monetah, upavxih ciframi vverh, ne prevyxaet 5. P 2 . Brosats dve igral~nye kosti i vyqislets summa Q i proizvedenie qisla oqkov na verhnih granh. Na$ iti verotnosti sobyti$ i: P Q Q 1) ( 63), ( > 4), ( delits na 5). P Q Q 2) ( > 4), ( 65), ( delits na 6). P Q Q 3) ( >5), ( < 6), ( delits na 7). P Q Q delits na 8). 4) ( < 6), ( >7), ( P Q Q 5) ( 69), ( > 3), ( delits na 4). Q P Q 6) ( > 5), ( 66), ( delits na 10). P Q Q delits na 2). 7) ( >6), ( < 7), ( P Q Q 8) ( < 7), ( >8), ( delits na 9). Q P Q 9) ( 68), ( > 9), ( delits na 3). P Q Q 10) ( > 9), ( 63), ( delits na 1). Ukazanie: Ishodami v danno$ i zadaqe vlts upordoqennye i grani 1-$ i pary ω = (i, k) , gde i — qislo oqkov na verhne$ kosti, k — qislo oqkov na verhne$ i grani 2-$ i kosti. Dl i. rasqeta verotnoste$ i postro$ ite grafiki dl Ω i sobyti$ k k 3 . V korobke imeets N sverl, iz nih K — diametrom 5 mm, a ostal~nye — 5,1 mm. Naudaqu vybirat n sverl. Na$ iti verotnost~ togo, qto iz nih toqno k sverl diametra 5 mm? N K n k N K n k 1) 10 4 5 2 6) 10 2 4 1 2) 10 4 6 3 7) 10 2 3 2 3) 10 5 4 2 8) 9 2 3 1 4) 10 3 4 3 9) 9 3 4 2 5) 10 3 5 2 10) 9 4 3 2 R e x e n i e dl sluqa N = 10, K = 4, n = 5, k = 3 . V danno$ i zadaqe ishodom kspermenta vlets neupordoqenna 5-vyborka bez povtoreni$ i iz 10-mnoestva vseh sverl. Qislo takih 5 = 252 . Vyborki, blagopritstvuwie ishodov ravno n(Ω) = C10 interesuwemu nas sobyti A , vlts upordoqenno$ i paro$ i 101 neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$ i: 1) 3-vyborki iz 4mnoestva sverl diametra 5 mm, 2) 2-vyborki iz 6-mnoestva sverl diametra 5,1 mm. S uqetom teoremy 2.6.1 i pravila umnoeni poluqim n(A) = C43 · C62 = 4 · 15 = 60 . Po klassiqeskomu n(A) 5 . J opredeleni verotnoste$ i P (A) = = 21 n(Ω) k 4 . V gruppe N studentov, iz nih K — izuqat angli$ iski$ i zyk, L — nemecki$ i, a ostal~nye — francuzski$ i. Naugad vybirat n studentov. Kakova verotnost~ togo, qto iz nih iski$ i zyk, a l nemecki$ i? toqno k studentov izuqat angli$ N K L n k l N K L n k l 1) 15 6 4 6 2 2 6) 15 6 5 8 4 4 2) 15 5 5 6 3 1 7) 15 6 5 8 3 2 3) 15 7 3 6 2 1 8) 16 7 2 8 5 1 4) 14 7 4 7 3 2 9) 16 7 4 8 5 3 5) 14 8 3 7 4 2 10) 18 8 4 7 2 3 R e x e n i e dl sluqa N = 14, K = 8, L = 4, n = 7, k = 4, l = 2 . V danno$ i zadaqe ishodom ksperimenta vlets neupordoqenna 7 -vyborka bez povtoreni$ i iz 14 -mnoestva vseh studen7 tov gruppy. Qislo takih ishodov ravno n(Ω) = C14 = 3432 . Vyborki, blagopritstvuwie interesuwemu nas sobyti A vlts upordoqenno$ i tro$ iko$ i neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$ i: 1) 4-vyborki iz 8-mnoestva studentov, izuqawih angli$ iski$ i zyk; 2) 2-vyborka iz 4-mnoestva studentov, izuqawih nemecki$ i zyk; 3) 1-vyborka iz 2-mnoestva studentov, izuqawih francuzski$ i zyk. S uqetom teoremy 2.6.1 i pravila umnoeni poluqim n(A) = C84 · C42 · C21 = 70 · 6 · 2 = 840 . Po n(A) 35 . J = 143 klassiqeskomu opredeleni verotnoste$ i P (A) = n(Ω) k 5 . Qisla a b 1) 0 2 2) 0 4 3) 2 4 4) 0 4 5) 0.5 2 Ukazanie: x, y vzty naudaqu iz otrezka [a; b]. Na$ iti P (A) . A a b A 2 (x 64y64x) 6) 0 3 (y>ex ) (0, 5x2 6y62x) 7) 6 8 (y6(x − 6)2 + 6) 8) 1 3 (y>1 + 1/x) (1 + 0, 5x6y6x2 ) 2 ((x − 3) 6y) 9) 0 4 (y6(x − 2)2 ) (y61/x) 10) 1 3 (x>y 2 ) Na koordinatno$ i ploskosti Oxy postroit~ grafiki S(A) , Ω i A i opredelit~ verotnost~ geometriqeski P (A) = S(Ω) gde S(A) — plowad~ mnoestva A. 102 k 6 . Sobyti A, B, P (f (A, B, C)) , esli f P (A) P (B) 1) A\(B ∪ C) 0, 9 0, 8 2) A\(B ∩ C) 0, 8 0, 9 3) A ∩ (B\C) 0, 7 0, 8 4) (A ∪ B)\C 0, 9 0, 7 5) A\(B\C) 0, 8 0, 7 vzaimno C P (C) 0, 7 0, 7 0, 9 0, 8 0, 9 6) 7) 8) 9) 10) nezavisimy. f (A ∩ B)\C A\(B ∪ C) A\(B ∪ C) A\(B ∩ C) A ∩ (B\C) Opredelit~ P (A) 0, 7 0, 8 0, 7 0, 6 0, 8 P (B) 0, 9 0, 7 0, 8 0, 7 0, 6 P (C) 0, 8 0, 6 0, 6 0, 8 0, 7 R e x e n i e dl P ((A\B) ∩ (A\C)) , gde P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 6, P (C) = 0, 8 . P ((A\B) ∩ (A\C)) = P (A ∩ B ∩ A ∩ C)) = P (A ∩ B ∩ C) = = P (A)P (B)P (C) = 0, 7 · 0, 4 · 0, 2 = 0, 056. J k 7 . Qislo gruzovyh maxin, proezawih mimo benzokolonki, otnosits k qislu legkovyh kak n : n . Verotnost~ zapravki gruzovo$ i maxiny ravna p , legkovo$ i — p . Na$ iti verotnost~ togo, qto podehavxa na zapravku maxina gruzova. p n :n n :n p p p 1) 3:2 0, 1 0, 2 6) 4 : 2 0, 5 0, 2 2) 4:1 0, 3 0, 1 7) 3 : 4 0, 1 0, 4 3) 5:2 0, 2 0, 3 8) 5 : 1 0, 2 0, 3 4) 3:1 0, 4 0, 2 9) 5 : 4 0, 1 0, 2 5) 4:9 0, 5 0, 1 10) 3 : 5 0, 3 0, 4 g l g g l g l g g l l g l g l l g l R e x e n i e dl n : n = 3 : 2 , p = 0, 1 , p = 0, 2. Pust~ H , H — sobyti, sostwie v tom, qto pribliawas k benzokolonke maxina gruzova i legkova, sootvetstvenno; ti sobyti sostavlt polnu gruppu sobyti$ i. Pust~ A — sobytie, sostowee v tom, qto maxina poehala na zapravku. i verotnosTrebuets opredelit~ PA (H ) . Po formule polno$ ti P (A) = P (H )PHg (A) + P (H )PHl (A) = 0.14 , zatem po formule P (H )(A)PHg (A) 0, 6 · 0, 1 Ba$ iesa PA (H ) = = 0, 14 = 73 . J P (A) k g g g g l 8 . Verotnost~ iskaeni odnogo znaka v soobwenii ravna p . Na$ iti verotnost~ togo, qto soobwenie iz n znakov soderit: a) m iskaeni$ i, b) 6m iskaeni$ i. p n m p n m 1) 0, 1 7 2 6) 0, 35 5 3 2) 0, 15 6 2 7) 0, 4 6 2 7 5 3) 0, 2 6 1 8) 0, 45 4) 0, 25 5 2 9) 0, 5 8 2 4 3 10) 0, 05 5) 0, 3 8 1 Ukazanie. Vospol~zovat~s teoremo$ i Bernulli i ee sledstviem. 103 k 9 . Na$ iti M ξ, Dξ, Pξ (A) dl diskretno$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ s zakonom raspredeleni: 1) {(−4; 0, 512), (−2; 0, 384), (0; 0, 096), (2; 0, 008)} pri A = [−1, 5; 0) . 2) {(−2; 0, 343), (0; 0, 441), (2; 0, 189), (4; 0, 027)} pri A = [−5; 1, 5) . 3) {(0; 0, 216), (1; 0, 432), (2; 0, 288), (3; 0, 064)} pri A = [−0, 5; 4) . 4) {(−2; 0, 125), (0; 0, 375), (2; 0, 375), (4; 0, 125)} pri A = [1; 5) . 5) {(−4; 0, 064), (−2; 0, 288), (0; 0, 432), (2; 0, 216)} pri A = [−2; 2) . 6) {(0; 0, 027), (1; 0, 189), (2; 0, 441), (3; 0, 343)} pri A = [0, 1; 2, 9). 7) {(−4; 0, 008), (−2; 0, 096), (0; 0, 384), (2; 0, 512)} pri A = [−5; 3) . 8) {(−2; 0, 001), (0; 0, 027), (2; 0, 243), (4; 0, 729)} pri A = [−3; 1, 5) . 9) {(−2; 0, 729), (0; 0, 243), (2; 0, 027), (4; 0, 001)} pri A = [−2; 2) . 10) {(0; 0, 729), (1; 0, 243), (2; 0, 027), (3; 0, 001)} pri A = [0, 5; 2, 5) . R e x e n i e dl sluqa$ ino$ i veliqiny ξ s zakonom raspredeleni: {(0; 0, 343), (1; 0, 441), (2; 0, 189), (3; 0, 027)} pri A = [1; 1, 5) . P4 M ξ = i=1 xi pξ (xi ) = 0 · 0, 343 + 1 · 0, 441 + 2 · 0, 189 + 3 · 0, 027 = 0, 9 P4 M ξ 2 = i=1 xi2 pξ (xi ) = 02 · 0, 343 + 12 · 0, 441 + 22 · 0, 189 + 32 · 0, 027 = 1, 44 P Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 0, 63, Pξ ([1; 1, 5)) = xi ∈[1;1,5) p(xi ) = 0, 441 . J k 10 . Na$ iti c, M ξ, Dξ dl nepreryvno$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ s plotnost~ verotnosti: / [0; 2] . 1) fξ (x) = c(4 + 4x − 3x2 ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ 2) fξ (x) = c(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 1] . 2 3) fξ (x) = cx(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 1] . 2 4) fξ (x) = cx(2 − x) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 2] . 2 / [0; 2] . 5) fξ (x) = c(12 − 8x + x ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ 2 6) fξ (x) = c(1 − x ) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 1] . 7) fξ (x) = cx(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 1] . 2 8) fξ (x) = c(2 − x) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 2] . 9) fξ (x) = c(4x + 3x2 ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 2] . 3 2 10) fξ (x) = c(4x − x ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 2] . R e x e n i e dl sluqa$ ino$ i veliqiny ξ s plotnost~ verotnosti: fξ (x) = c(2x2 − x3 ) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈ / [0; 1] . Iz ‘−1 R 1 = 2, 4. uslovi normirovki sleduet, qto c = 0 (2x2 − x3 )dx R1 R 1 M ξ = 2.4 0 (2x3 − x4 )dx = 0, 72, M ξ 2 = 2, 4 0 (2x4 − x5 )dx = 0, 56 . 26 ≈ 0, 042 . J Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 625 k 11 . Nepreryvna sluqa$ ina veliqina ξ imeet ravnomernoe na ino$ i veliqiny: [a; b] raspredelenie. Opredelit~ Fη , fη dl sluqa$ 104 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) η η η η η η η η η η = ξ 1/4 pri [a; b] = [0; 1] . = sin(πξ/2) pri [a; b] = [−1; 1] . = cos ξ pri [a; b] = [0; π] . = ξ 1/3 pri [a; b] = [−1; 1] . = ξ 1/2 pri [a; b] = [0; 1] . = 1 − ξ pri [a; b] = [−2; 3] . = ln ξ pri [a; b] = [1; 2] . = eξ pri [a; b] = [0; ln 3] . = tg ξ pri [a; b] = [−π/2; π/2]. = ξ 1/5 pri [a; b] = [−1; 1] . R e x e n i e dl η = arccos ξ pri [a; b] = [−1; 1] . Poskol~ku arccos x — monotonno ubyvawa  funkci, to po teoreme 4.5  1 pri x > π Fη (x) = 1 − Fξ (cos x) = 0, 5(1 − cos x) pri x ∈ [0; π] , otkuda sle 0 pri x < 0 duet, qto fη (x) = 0, 5 sin x pri x ∈ [0; π] i fη (x) = 0 pri x∈ / [0; π]. J k 12 . Opredelit~ zakony raspredeleni sluqa$ inyh veliqin ξ, η , M ξ, Dξ, M η, Dη, Kξη dl diskretno$ i sistemy sluqa$ inyh veliqin (ξ, η) s sovmestnym zakonom raspredeleni: 2) ξ  η −1 1 1) ξ  η 1 2 0, 05 0, 10 0, 20 0, 16 0, 12 0, 12 −1 . . 1 0, 30 0, 10 0, 05 0, 12 0, 09 0, 09 2 0, 05 0, 10 0, 05 1 0, 12 0, 09 0, 09 4) ξ  η 1 2 3 3) ξ  η 1 2 3 0, 10 0, 20 0, 10 0, 05 0, 20 0, 05 −1 . . 1 0, 15 0, 10 0, 15 0, 05 0, 30 0, 10 2 0, 10 0, 15 0, 05 1 0, 05 0, 05 0, 05 5) ξ  η −1 1 1 2 6) ξ  η 0, 05 0, 15 0, 05 1 0, 16 0, 12 0, 12 −2 . . 0, 20 0, 10 0, 15 −1 2 0, 08 0, 06 0, 06 0, 05 0, 20 0, 05 3 0, 16 0, 12 0, 12 1 2 3 8) ξ  η 7) ξ  η 1 2 −1 0, 20 0, 10 0, 10 −2 0, 02 0, 03 0, 05 . . 0, 15 0, 05 0, 15 −1 0, 06 0, 09 0, 15 1 0, 05 0, 10 0, 10 0, 12 0, 18 0, 30 10) ξ  η 1 2 9) ξ  η 1 2 0, 10 0, 20 0, 05 −2 0, 20 0, 05 0, 15 . . 1 0, 05 0, 10 0, 30 −1 0, 15 0, 10 0, 10 2 0, 10 0, 05 0, 05 0, 05 0, 10 0, 10 105 R e x e n i e dl sistemy (ξ, η) s zakonom raspredeleni: ξ  η 1 2 pη (yk ) −2 0, 05 0, 25 0, 20 0, 50 −1 0, 05 0, 10 0, 05 0, 20 0, 15 0, 10 0, 05 0, 30 pξ (xj ) 0, 25 0, 45 0, 30 . Zakony raspredeleni ξ i η predstavlts tablicami xj 1 2 yk −2 −1 p(xj ) 0, 25 0, 45 0, 30 , p(yk ) 0, 50 0, 20 0, 30 P P M η = k yk pη (yk ) = −1, 2 , M ξ = j xj pξ (xj ) = 1, 05 , P 2 P 2 M ξ = j xj pξ (xj ) = 1, 65 , M η 2 = k yk2 pη (yk ) = 2, 2 , Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 0, 5475, Dη = M η 2 − (M η)2 = 0, 76 . P P M (ξη) = j k xj yk pξη (xj , yk ) = −0, 5 − 0, 1 − 0, 8 − 0, 1 = −1, 5 , Kξη = M (ξη) − M ξM η = −1, 5 − 1, 05 · (−1, 2) = −0, 24 . J k 13 . Opredelit~ c, fξ (x), M ξ, Dξ, fη (y), fξη (x, y) = g(x, y) pri (x, y) ∈ 4ABC , fξη = 0 1) g(x, y) = c(2x+2y) , A = (0, 0), B = (0, 1), C 2) g(x, y) = 2cxy , A = (0, 0), B = (0, 2), C 3) g(x, y) = c(3 + 3y), A = (0, 0), B = (0, 1), C A = (0, 0), B = (0, 2), C 4) g(x, y) = 3cx , 5) g(x, y) = c(2x+2y), A = (0, 2), B = (1, 2), C 6) g(x, y) = 2cxy , A = (0, 1), B = (2, 1), C 7) g(x, y) = c(3 + 3y) , A = (0, 2), B = (1, 2), C 8) g(x, y) = 3cx , A = (0, 1), B = (2, 1), C 9) g(x, y) = c(3x+3y) , A = (0, 0), B = (2, 1), C 10) g(x, y) = 2cxy , A = (0, 0), B = (1, 2), C . M η, Dη, Kξη , esli pri (x, y) ∈ / 4ABC . = (2, 0). = (1, 0). = (2, 0). = (1, 0). = (1, 0). = (2, 0). = (1, 0). = (2, 0). = (2, 0). = (1, 0). R e x e n i e dl g(x, y) = c(2x+3y) , A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 0). 1) Opredelim postonnu c iz uslovi normirovki ” • R1 1−x R R∞ R∞ R R (2x + 3y)dxdy = c (2x + 3y)dy dx = 1= fξη (x, y)dxdy = c −∞ −∞ R1 € 4ABC  Œ1−x R1 2 Œ = c 2xy + 1, 5y Œ dx = c (1, 5−x−0, 5x2 )dx = 5c 6 , otkuda c = 1, 2 . šR∞ R∞ fξη (x, y)dy, x ∈ [0; 1] fξη (x, y)dy = R−∞ = 2) fξ (x) = ∞ f (x, x / y)dy, ∈ [0; 1] ξη −∞ −∞  ( 1−x R  ŒŒ1−x €  2 1, 2 (2x + 3y)dy, x ∈ [0; 1] 1, 2 2xy + 1, 5y Œ , x ∈ [0; 1] = = =  x / ∈ [0; 1] 0, x∈ / [0; 1] 106 š €  1, 2 1, 5 − x − 0, 5x2 , x ∈ [0; 1] . = 0, x∈ / [0; 1] €  R1 R∞ xfξ (x)dx = 1, 2 1, 5x − x2 − 0, 5x3 dx = 0, 35. 3) M ξ = −∞ R∞ 4) M ξ = 2 2 x fξ (x)dx = −∞ 2 R1  € 1, 2 1, 5x2 − x3 − 0, 5x4 dx = 0, 18 . R1 1, 2(y 2 + y 3 − 2y 4 )dy = 0, 22 . Dξ = M ξ − (M ξ) = 0, 0575 šR∞ R∞ fξη (x, y)dx, y ∈ [0; 1] = fξη (x, y)dx = R−∞ 5) fη (y) = ∞ y)dx, ∈ [0; 1] f (x, y / ξη −∞ −∞  ( 1−y R € 2  ŒŒ1−y  (2x + 3y)dx, y ∈ [0; 1] 1, 2 1, 2 x + 3xy Œ , y ∈ [0; 1] = = =  0, y∈ / [0; 1] y∈ / [0; 1] š 0, 1, 2(1 + y − 2y 2 ), y ∈ [0; 1] . = 0, y∈ / [0; 1] R∞ R1 6) M η = yfη (y)dy = 1, 2(y + y 2 − 2y 3 )dy = 0, 4 . −∞ R∞ 7) M η 2 = 2 y 2 fη (y)dy = −∞ 2 Dη = M η − (M η) = 0, 06 . ” • R R1 1−x R∞ R∞ (2x2 y + 3xy 2 )dy dx = xyfξη (x, y)dxdy = 1, 2 8) M (ξη) = 2 −∞ −∞ Œ1−x R1 2 2 3 Œ = 1, 2 (x y + xy )Œ dx = 1, 2 (x2 (1 − x)2 + x(1 − x)3 )dx = R1 R1 = 1, 2 (x − 2x2 + x3 )dx = 0, 1, Kξη = M (ξη) − M ξM η = −0, 04. J k 14 . Opredelit~ parametry normal~no$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ξ : k i Pƒξ ([a; b]) , esli m, σ , postonnu ‚ 1) fξ (x) = k exp‚−2x2 + 4x ,ƒ [a; b] = [0, 5; 1, 5] . 2) fξ (x) = k exp‚−x2 /2 − 2x ƒ , [a; b] = [−3, 5; −1, 0] . 2 3) fξ (x) = k exp‚−2x + 2xƒ, [a; b] = [−0, 5; 0, 5]. 4) fξ (x) = k exp‚−2x2 + 8x , ƒ [a; b] = [2, 0; 3, 0] . 5) fξ (x) = k exp‚−x2 /8 − x/4ƒ , [a; b] = [−3, 0; 1, 0] . 6) fξ (x) = k exp‚−x2 /2 + 3xƒ, [a; b] = [4, 0; 5, 0]. 7) fξ (x) = k exp‚−8x2 + 16x ƒ , [a; b] = [0, 5; 1, 5]. 2 8) fξ (x) = k exp‚−x /2 − xƒ, [a; b] = [−1, 5; 0, 5]. 9) fξ (x) = k exp‚−2x2 − 6xƒ, [a; b] = [−1, 0; −0, 5]. 10) fξ (x) = k exp −2x2 − 2x , [a; b] = [−1, 5; 0, 5]. ƒ ‚ R e x e n i e dl fξ (x) = k exp −9x2 /2 + 9x/2 , [a; b] = [0; 1, 0] . 107 (x − m)2 − 2σ 2 , poluqim sistemu uravneni$ e i 1 Sravniva fξ (x) i √ 2πσ ( 2 1/(2σ ) =9/2 otkuda sleduet σ = 1/3, m = 1/2, k = 9/83√ . 2 e 2π m/(σ ) =9/2 Pξ ([0; 1.0]) = Φ(1, 5) − Φ(−1, 5) = 2Φ(1, 5) − 1 = 0, 866 . J k 15 . Opredelit~ parametry mξ , mη , σξ , ση , rξ,η i postonnu i normal~no$ i plotnosti k sovmestno$ ƒ ‚ 1) fξη (x, y) = k exp‚−8(x + 3)2 /3 − 4(x + 3)(y − 1) − 6(y − 1)ƒ2 . 4)2 . 2) fξη (x, y) = k exp‚−(x + 2)2 /4 + (x√+ 2)(y + 4)/3 − (y + ƒ 3) fξη (x, y) = k exp‚−3(x + 1)2 /8 + 2(x + 1)y/4 − y 2 /4 . ƒ 4) fξη (x, y) = k exp‚−2(x − 1)2 + (x − 1)(y + 2)/3 − (y + 2)ƒ2 /18 . 5) fξη (x, y) = k exp‚−2(x − 2)2 + 2(x − 2)(y + 1) − (y + 1)2 . √ ƒ 2 − 3) . 6) fξη (x, y) = k exp‚−9(x + 1)2 /2 − 2(x + 1)(y − 3)/ 5 (y − /10 ƒ 2 2 . 7) fξη (x, y) = k exp‚−4x − 4x(y − 4) − 2(y − 4) √ ƒ 2 8) fξη (x, y) = k exp‚−9(x − 2) + 3(x − 2)(y − 2)/ 2 − 9(y − 2)ƒ2 /8 . 2 9) fξη (x, y) = k exp‚−2(x − 5)2 /3 + 2(x − 5)(y + 1) − 6(y + 1) . ƒ 2 2 10) fξη (x, y) = k exp −2(x − 3) + 4(x − 3)(y − 2) − 4(y − 2) . √ ƒ ‚ R e x e n i e dl fξη (x, y) = k exp −3(x−2)2 + 6(x−2)(y +4)−3(y +4)2 . i normal~no$ i plotnost~ Sravniva fξη (x, y)” s dvumerno$ • 2 2 (y − m2 ) (x − m1 ) ρ(x − m1 )(y − m2 ) 1 p − 2 exp − 2 , 2 2 + 2 2σ1 (1 − ρ ) σ1 σ2 (1 − ρ ) 2σ2 (1 − ρ2 ) 2πσ1 σ2 1 − ρ poluqim m1 = 2, m2 = i −4 , a 2 σ1 , σ22, ρ nahodts iz uravneni$   1/(2σ1 (1 − ρ )) =3√ ρ/(σ1 σ2 (1 − ρ2 )) = 6 .   1/(2σ22 (1 − ρ2 )) =3 Iz pervogo i tret~ego uravneni poluqim ravenstvo σ1 = σ2√ , a zatem, razdeliv vtoroe uravnenie na pervoe, poluqim ρ = √ 1/ 6 . Podstavl√ ρ v pervoe uravnenie, poluqim σ1 = σ2 = 1/ 5 i zatem k = 30/(2π) . J 16 . Ispol~zu primer 6.1, dokazat~ formulu eitm−(tσ) /2 dl harakteristiqesko$ i funkcii normal~no$ i sluqa$ ino$ i veliqiny s 2 i σ . matematiqeskim oidaniem m i dispersie$ 2 17 . Dokazat~, qto summa nezavisimyh normal~nyh sluqa$ inyh veliqin ξ1 , . . . , ξn s matematiqeskimi oidanimi m1 , . . . , mn i dispersimi σ12 , . . . , σn2 vlets normal~no$ i sluqa$ ino$ i veliqin n X X no$ i s m= mk i σ 2 = σk2 . k=1 108 k=1 $ IV. TEORI SLUQAINYH PROCESSOV 1. Osnovnye opredeleni Sluqa$ ino$ i funkcie$ i nazyvaets seme$ istvo sluqa$ inyh veliqin, zaviswih ot parametra t , prinimawego znaqeni iz nekotorogo mnoestva T . Primery sluqa$ inyh funkci$ i: 1) naprenie teplovogo xuma rezistora kak funkci vremeni; 2) tolwina provoloki kak funkci rasstoni ot naqala do toqki izmereni; 3) temperatura vozduha u poverhnosti Zemli v opredennoe vrem goda kak funkci geografiqeskih koordinat toqki izmereni i t. p. Sredi sluqa$ inyh funkci$ i osoby$ i interes predstavlt sluqa$ inye processy — sluqa$ inye funkcii, u kotoryh parametr t interpretiruets kak vrem. Opredelenie 1.1. ( Sluqa$iny$i process ) . Pust~ (Ω , A, P ) — verotnostnoe prostranstvo, T ⊆R . De$istvitel~nym sluqa$inym processom, opredelennym na T , nazyvaets funkci ξ(ω, t) , kotora pri fiksirovannom t vlets sluqa$ino$i veliqino$i. Funkci argumenta ω , kotora poluqaets, esli v ξ(ω, t) fiksirovat~ argument t, nazyvaets seqeniem sluqa$ inogo processa ξ(ω, t) , a funkci argumenta t, kotora poluqaets, esli v ξ(ω, t) fiksirovat~ argument ω , nazyvaets realizacie$i sluiqa$ inogo processa ξ(ω, t). Inogda udobno rassmatrivat~ sluqa$ ny$ i process kak seme$ istvo seqeni$ i, inogda — kak seme$ istvo realizaci$ i. V dal~ne$ ixem v oboznaqenii sluqa$ inogo processa ξ(ω, t) budem opuskat~ argument ω i oboznaqat~ prosto ξ(t) . Rassmatriva sluqa$ iny$ i process kak seme$ istvo sluqa$ inyh veliqin (seqeni$ i processa) mono oharakterizovat~ ego seme$ istvom sovmestnyh funkci$ i raspredeleni: Fξ (x | t) = P (ξ(t) < x) , Fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) = P (ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 ) , ... Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) = P (ξ(t1 ) < x1 , . . . , ξ(tn ) < xn ) , ... to seme$ istvo udovletvoret uslovim simmetrii i soglasovannosti, kotorye dl dvumernyh raspredeleni$ i imet vid: Fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) = Fξ (x2 , x1 | t2 , t1 ) , Fξ (x1 | t1 ) = Fξ (x1 , ∞ | t1 , t2 ) , Fξ (x2 | t2 ) = Fξ (∞, x2 | t1 , t2 ). Dl seme$ istva funkci$ i raspredeleni F (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) , udovletvorwego uslovim simmetrii i soglasovannosti, mono vsegda na$ iti verotnostnoe prostranstvo (Ω , A, P ) i process ξ(t) takie, qto Fξ (x1 , . . . , xn |t1 , . . . , tn ) = F (x1 , . . . , xn |t1 , . . . , tn ). 109 Opredelenie 1.2 ( Normal~ny$i sluqa$iny$i process ) . Sluqa$iny$i process ξ(t) , u kotorogo pri lbom natual~nom n>1 raspredeleni Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) normal~ny, nazyvaets normal~nym. V priloenih teorii sluqa$ inyh processov redko udaets opredelit~ seme$ istvo raspredeleni$ i, harakterizuwih sluqa$ iny$ i process; qawe izvestny lix~ nekotorye qislovye harakteristiki processa — momentnye funkcii. Opredelenie 1.3. (Momentnye funkcii ) . Momentnymi funkcimi pordka k1 + . . . + kn sluqa$inogo processa ξ(t) nazyvats naqal~nye i central~nye momenty seqeni$i proces◦ k1 ◦ kn sa M (ξ k1 (t1 ) · · · ξ kn (tn )), M (ξ (t1 ) · · · ξ (tn )) , rassmatrivaemye kak funkcii argumentov t1 , . . . , tn . Analogiqno opredelts vzaimnye momentnye funkcii neskol~kih processov. Qastnye sluqai : mξ (t) ‹ M (ξ(t)) — matematiqeskoe oidanie processa ξ(t) , ◦2 — dispersi processa ξ(t) , Dξ (t) ‹ M (ξ (t)) ◦ ◦ Kξ (t, u) ‹ M (ξ (t)ξ (u)) — korrelcionna funkci processa ξ(t) , ◦ ◦ Kξη (t, u) ‹ M (ξ (t)η (u))— vzaimna korrelcionna funkci processov ξ(t) i η . Processy ξ(t), η(t) nazyvats nekorrelirovannymi, esli Kξη (t, u) = 0 pri vseh t, u . Teorema 1.1. ( Svo$istva normal~nyh processov ) . Normal~ny$i process polnost~ opredelets funkcimi mξ (t), Kξ (t, u) . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. Teorema 1.2. (Svo$istva momentnyh funkci$i ) . Pust~ ξ(t), η(t) — sluqa$inye processy ; a(t), b(t) — nesluqa$inye funkcii ; xi ∈ R . Togda: 1) ma (t) = a(t) , 2) maξ+bη (t) = a(t)mξ (t) + b(t)mη (t) , 3) Da (t) = 0, 4) Da+ξ (t) = Dξ (t), 5) Daξ (t) = a2 (t)Dξ (t), 6) Dξ (t) = Kξ (t, t), 7) Kξ (t, u) = Kξ (u, t) — simmetriqnost~ Kξ , n X n X 8) Kξ (ti , tj )xi xj >0 — neotricatel~na opredelennost~ Kξ , i=1 j=1 9) Ka+ξ (t, u) = Kξ (t, u) , 10) Kaξ (t, u) = Kξ (t, u)a(t)a(u) , 110 p 11) |Kξ (t, u)|6 Dξ (t)Dξ (u), 12) Kξ (t, u) = Kξξ (t, u) , 13) Kξη (t, u) = Kηξ (u, t) , 14) Ka+ξ, b+η (t, u) = Kξη (t, u) , 15) Kaξ,bη (t, u) = pKξ (t, u)a(t)b(u), 16) |Kξη (t, u)|6 Dξ (t)Dη (u), 17) Kξ+η (t, u) = Kξ (t, u) + Kξη (t, u) + Kηξ (t, u) + Kη (t, u) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Bol~xinstvo formul neposredstvenno sledut iz svo$ istv momentov sluqa$ inyh veliqin. Dl primera privedem sootnoxeni, dokazyvawie p. 8 i 17.   ! ! 2 n n n X◦ X◦ X◦ ξ (ti )xi =M ξ (tj )xj  = 06M ξ (ti )xi  i=1 i=1 j=1   n X n n X n X X ◦ ◦ ξ (ti )ξ (tj )xi xj  = Kξ (ti , tj )xi xj . =M i=1 j=1 ◦ i=1 j=1 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Kξ+η (t, u) = M [(ξ (t) + η (t))(ξ (u) + η (u))] = M [ξ (t)ξ (u) + ξ (t)η (u)+ ◦ ◦ ◦ ◦ +η (t)ξ (u) + η (t)η (u)] = Kξ (t, u) + Kξη (t, u) + Kηξ (t, u) + Kη (t, u) . J Suwestvuet xiroki$ i krug zadaq, dl rexeni kotoryh dostatoqno znat~ tol~ko momentnye funkcii 1-go i 2-go pordkov. ti zadaqi otnosts k tak nazyvaemo$ i line$ino$i teorii slui posvweny sleduwie razdely. qa$inyh processov, kotoro$ 2. Sluqa$ inye processy vtorogo pordka Opredelenie 2.1. ( Sluqa$inye veliqiny i processy 2-go pordka ). De$istvitel~na sluqa$ina veliqina ξ , opredelenna na verotnostnom prostranstve (Ω , A, P ) nazyvaets sluqa$ino$i veliqino$i 2-go pordka, esli M ξ 2 < ∞. Mnoestvo sluqa$inyh veliqin 2-go pordka oboznaqaets simvolom L2 (Ω, A, P ). Sluqa$iny$i process ξ(t) nazyvaets processom 2-go pordka, esli ξ(t) ∈ L2 (Ω, A, P ) dl vseh t ∈ T . Teorema 2.1. ( Neravenstvo Koxi p ) . Esli ξ, η ∈ L2 (Ω, A, P ) , to |M (ξη)|6 M ξ 2 M η 2 . D o k a z a t e l ~ s t v o . Kvadratiqna funkci de$ istvitel~nogo argumenta x — M (xξ + η)2 = (M ξ 2 )x2 + 2M (ξη)x + M η 2 oqevidno neotricatel~na i po tomu dl diskriminanta to$ i funkcii vypolnets neravenstvo 4(M (ξη))2 − 4(M ξ 2 )(M η 2 )60 , kvivalentnoe neravenstvu Koxi. J 111 Sledstvie. Sluqa$inye veliqiny i processy 2-go pordka imet koneqnye momenty i momentnye funkcii 1-go i 2-go pordkov. Teorema 2.2. (Prostranstvo sluqa$inyh veliqin 2-go pordka ) . vlets vewestvennym line$inym Mnoestvo L2 (Ω, A, P ) prostranstvom. Esli otodestvlt~ sluqa$inye veliqiny 2 ξ, η ∈ L2 (Ω, A, P ) , dl kotoryh M (ξ − η) = 0 , to v L2 (Ω, A, P ) mono opredelit~ skalrnoe proizvedenie p i normu sleduwim p obrazom: (ξ , η) ‹ M (ξη) , ||ξ|| ‹ (ξ , ξ) = M ξ 2 . D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ M ξ 2 < ∞, M η 2 < ∞, a ∈ R . Togda + η)2 = M ξ 2 + p M (aξ)2 = a2 M ξ 2 < ∞ ip M (ξp 2M (ξη) +pM η 2 6M ξ 2 + +2|M (ξη)| + M η 2 6M ξ 2 + 2 M ξ 2 M η 2 + M η 2 = ( M ξ 2 + M η 2 )2 < ∞, inoe prostranstvo. otkuda sleduet, qto L2 (Ω, A, P ) — line$ Proverim vypolnenie aksiom skalrnogo proizvedeni dl (ξ , η) = M (ξη) : 1) esli ξ = 0 , to (ξ , ξ) = M 0 = 0 . Obratno, esli (ξ , ξ) = M ξ 2 = M (ξ − 0)2 = 0 , to po uslovi ξ = 0 ; 2) (ξ , η) = M ξη = M ηξ = (η , ξ); 3) (aξ + bη , ζ) = M ((aξ + bη)ζ) = = aM (ξζ) + bM (ηζ) = a(ξ , ζ) + b(η p , ζ) . Aksiomy normy dl ||ξ|| = (ξ , ξ) vsegda vypolnts. J i vid neravenstva Koxi — |(ξ , η)|6||ξ|| · ||η||. Zameqanie. Drugo$ Naliqie normy v prostranstve L2 (Ω, A, P ) pozvolet vvesti pontie predela posledovatel~nosti sluqa$ inyh veliqin vtorogo pordka i pontie predela sluqa$ inogo processa. Opredelenie 2.2. ( Predely v srednem kvadratiqnom ) . Sluqa$ina veliqina η ∈ L2 (Ω, A, P ) nazyvaets predelom v srednem kvadra∞ tiqnom ( s. k. ) posledovatel~nosti {ξn }n=1 sluqa$inyh veliqin 2-go pordka, esli lim ||ξn − η|| = 0 ( simvoliqeski η = l.i.m. ξn ) . n→∞ n→∞ Sluqa$ina veliqina η nazyvaets predelom v s. k. processa ξ(t) 2 -go pordka pri t → t0 , esli lim ||ξ(t) − η|| = 0 (η = l.i.m. ξ(t)). t→t0 t→t0 Teorema 2.3. ( Polnota prostranstva L2 (Ω, A, P )) . Dl togo qtoby suwestvoval l.i.m. ξn , neobhodimo i dostatoqno, qtoby n→∞ lim ||ξm − ξn || = 0 ( kriteri$i Koxi suwestvovani predela ) . m,n→∞ Bez dokazatel~stva. Kriteri$ i, kvivalentny$ i kriteri Koxi, no bolee udobny$ i dl primeneni v teorii sluqa$ inyh processov, daets v sleduwem utverdenii. 112 Teorema 2.4. ( Kriteri$i suwestvovani predela v s. k. ) . Dl suwestvovani l.i.m. ξn neobhodimo i dostatoqno suwestvovanie n→∞ koneqnyh predelov lim M ξn , lim Kξm ξn . Esli l.i.m. ξn = η , to M (l.i.m. ξn ) = M η i n→∞ n→∞ m,n→∞ n→∞ lim Kξm ξn = Dη . m,n→∞ D o k a z a t e l ~ s t v o . Podstavl v formulu Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 vyraeni ξ = ξm − ξn i ξ = ξn − η , poluqim ravenstva: ◦ ◦ (1) ◦ ◦ 2 (2) ||ξm − ξn ||2 = ||ξm − ξn ||2 + (M ξm − M ξn )2 , ||ξn − η||2 = ||ξn − η|| + (M ξn − M η)2 , V silu polnoty prostranstv L2 (Ω, A, P ), R iz (1) sleduet, qto l.i.m. n→∞ ξn suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda ◦ suwestvut l.i.m. n→∞ ξ n , limn→∞ M ξn . Esli l.i.m. n→∞ ξn = η , ◦ ◦ to iz (2) sleduet, qto l.i.m. n→∞ ξ n = η , limn→∞ M ξn = M η . Uqityva nepreryvnost~ skalrnogo proizvedeni poluqim ◦ ◦ ◦ ◦ limm,n→∞ Kξm ξn = limm,n→∞ (ξ m , ξ n ) = ||η ||2 = Dη . Esli suwestvut limn→∞ M ξn = m i limm,n→∞ Kξm ξn = c, ◦ ◦ to limm,n→∞ (M ξm − M ξn ) = m − m = 0, limm,n→∞ ||ξ m − ξ n ||2 = = limm,n→∞ (Kξm ξm −2Kξm ξn +Kξn ξn ) = c−2c+c = 0 i iz (1) sleduet, qto limm,n→∞ ||ξm −ξn || = 0 . Po tomu suwestvuet l.i.m. n→∞ ξn . J Sledstvie. V teoreme mono zamenit~ ξn , n → ∞, M ξn , Kξm ξn , m, n → ∞ na ξ(t), t → t0 , mξ (t), Kξ (t, u), (t, u) → (t0 , t0 ) , sootvetstvenno. D o k a z a t e l ~ s t v o . Pri lim tn = t0 n→∞ l.i.m. ξ(t) = l.i.m. ξ(tn ) . J t→t0 n→∞ 3. Differencirovanie, integrirovanie sluqa$ inyh processov Process vtorogo pordka ξ(t) mono rassmatrivat~ kak krivu v prostranstve L2 (Ω, A, P ) , zadannu parametriqeski pri pomowi parametra t . Nepreryvnost~ i differenciruemost~ processa ξ(t) mono ponimat~ kak nepreryvnost~ i differenciruemost~ to$ i krivo$ i. Opredelenie 3.1. ( Nepreryvnost~ v s. k. sluqa$inyh processov ) Sluqa$iny$i process 2-go pordka ξ(t) nazyvaets nepreryvnym v s. k. v toqke t0 , esli ξ(t0 ) = l.i.m. ξ(t) . t→t0 Zameqanie. Iz nepreryvnosti v s. k. sluqa$ inogo processa ne sleduet obyqna nepreryvnost~ ego realizaci$ i. 113 Teorema 3.1. ( Kriteri$i nepreryvnosti v s. k. ). Sluqa$iny$i process ξ(t) nepreryven v s. k. v toqke t0 togda i tol~ko togda, kogda matematiqeskoe oidanie mξ (t) nepreryvno v toqke t0 i korrelcionna funkci Kξ (t, u) nepreryvna v toqke (t0 , t0 ) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz kriteri suwestvovani predela v s. k. sluqa$ inogo processa. Opredelenie 3.2. ( Differenciruemost~ sluqa$inyh processov ) . Sluqa$iny$i process ξ(t) nazyvaets differenciruemym v s. k. v ξ(t) − ξ(t0 ) toqke t0 , esli suwestvuet predel l.i.m. . tot predel t→t0 t − t0 nazyvaets proizvodno$i v s. k. processa ξ(t) v toqke t0 . Dl proizvodno$ i sluqa$ inogo processa priments te e oboznaqeni, qto i dl obyqnyh proizvodnyh. Teorema 3.2. ( Kriteri$i differenciruemosti v s. k. ) . Process ξ(t) differenciruem v s. k. v toqke t0 togda i tol~ko togda, dmξ (t) ŒŒ ∂ 2 Kξ (t, u) ŒŒ , . kogda suwestvut proizvodnye Œ Œ dt ∂t ∂u t=t0 (t,u)=(t0 ,t0 ) ξ(t) − ξ(t0 ) D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ η(t) = . Soglasno kritet − t0 ri suwestvovani predela sluqa$ inogo processa proizvodna ξ (t0 ) = l.i.m. η(t) suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda suwest→t0 tvut predel lim M η(t) = mξ0 (t0 ) i predel t→t0 Kξ (t, u) − Kξ (t, t0 ) − Kξ (t0 , u) + Kξ (t0 , t0 ) Kη (t, u) = lim lim = t→t0 u→t0 − t (t )(u − t ) (t,u)→(t0 ,t0 ) “ ŒŒ ’ ∂Kξ (t, u) ∂Kξ (t0 , u) Œ ∂ 2 Kξ (t, u) ŒŒ 1 − . J = = lim Œ Œ t→t0 t − t0 Œ ∂u ∂u ∂t ∂u (t,u)=(t0 ,t0 ) lim u=t0 Teorema 3.3. ( Harakteristiki proizvodno$i ) . Pust~ ξ 0 (t) — proizvodna differenciruemogo sluqa$inogo processa ξ(t) . Togda : ∂ 2 Kξ (t, u) ∂Kξ (t, u) mξ0 (t) = m0ξ (t), Kξ0 ξ (t, u) = , Kξ0 (t, u) = . ∂t ∂t ∂u D o k a z a t e l ~ s t’v o . Po teoreme “ 2.4 ξ(s) − ξ(t) mξ (s) − mξ (t) = lim = m0ξ (t) . mξ0 (t) = M l.i.m. s→t s→t s−t s − t! ◦ ◦ ξ (s) − ξ (t) ◦ = Kξ0 ξ (t, u) = ξ (u) , l.i.m. s→t s−t ! ◦ ◦ ◦ ◦ ξ (s)ξ (u) − ξ (t)ξ (u) ∂Kξ (t, u) Kξ (s, u) − Kξ (t, u) = lim M = lim = . s→t s→t s−t s−t ∂t 114 ! ◦ ◦ ◦ ◦ ξ (r) − ξ (u) ξ (s) − ξ (t) , l.i.m. = r→u s→t s−t r−u ∂ 2 Kξ (t, u) Kξ (s, r) − Kξ (t, r) − Kξ (s, u) + Kξ (t, u) = lim lim = . s→t r→u (s − t)(r − u) ∂t ∂u Kξ0 (t, u) = l.i.m. Opredelenie 3.3. ( Opredelenny$i integral sluqa$inogo processa ) . Pust~ sluqa$iny$i process ξ(t) opredelen na otrezke [a, b], kotory$i razbit na n qaste$i toqkami a = t0 < t1 < . . . < tn = b. Opredelennym integralom v s. k. sluqa$inogo processa ξ(t) v predelah ot a do b nazyvaets predel v s. k. integral~nyh Z b Pn summ ξ(t)dt ‹ l.i.m. s , gde s = n n i=1 ξ(ti )∆i , ∆ti = ti − ti−1 . n→∞ a max ∆ti →0 Teorema 3.4. ( Kriteri$i integriruemosti v s. k. ) . Nepreryvny$i v s. k. process ξ(t) integriruem v s. k. na [a, b] togda i tol~ko Rb RbRb togda, kogda suwestvut a mξ (t)dt i a a Kξ (t, u)dtdu. Rb Dokazatel~stvo. Po teoreme 2.4 ξ(t)dt suwestvua et togda i tol~ko togda, kogda suwestvut predely : Z b n X lim M sn = lim mξ (t)dt , mξ (t0i )∆ti = n→∞ lim Ksm sn = m,n→∞ n→∞ lim m,n→∞ m X n X a i=1 Kξ (t0i , u0j )∆ti ∆uj = Z b a i=1 j=1 Z a b Kξ (t, u)dtdu . J Teorema 3.5. ( Svo$istva integrala v s. k. ) . Esli ξ(t) — inRb tegriruemy$i sluqa$iny$i process i η = a ξ(t)dt , to : Z b Z bZ b Z b Mη = mξ (t)dt , Kξ(t)η = Kξ (t, u)dtdu. Kξ (t, u)du , Dη = a a a a Rb D o k a z a t e l ~ s t v o . M η = limn→∞ m (t )∆t = mξ (t)dt ξ i i i=1 a !. ! n n X◦ X◦ ◦ ◦ Kξ(t)η = ξ (t) , l.i.m. ξ (ui )∆ui = lim M ξ (t)ξ (u0i )∆ui = n→∞ i=1 n X Pn n→∞ Z i=1 b Kξ (t, u0i )∆ui = = lim Kξ (t, u)du . n→∞ a i=1   m n ‘ X◦ X◦ ξ (t0i )∆ti , l.i.m. ξ (u0j )∆uj  = Dη = M l.i.m. m→∞ i=1 n→∞ j=1   Z m n XX◦ ◦ ξ (t0i )ξ (u0j )∆ti ∆uj  = = lim lim M  m→∞ n→∞ i=1 j=1 a b Z b a Kξ (t, u)dtdu . J 115 Opredelenie 3.4. (Integral~noe preobrazovanie processa ) . Integral~nym preobrazovaniem s drom h(t,Rτ ) sluqa$inogo processa ∞ ξ(t) nazyvaets sluqa$iny$i process η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds . preobrazovani ) . Teorema 3.6. ( Harakteristiki integral~nogo R∞ Integral~noe preobrazovanie η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds processa ξ(t) suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda suwestvut integR∞ R∞ R∞ h(t, u)h(t, v)Kξ (u, v)dudv , priqem h(t, s)mξ (s)ds, raly −∞ −∞ R R−∞ ∞ R∞ ∞ mη (t) = −∞ h(t, s)mξ (s)ds, Kη (t, u) = −∞ −∞ h(t, r)h(u, s)Kξ (r, s)drds, R∞ Kξη (t, u) = −∞ h(u, s)Kξ (t, s)ds . Rt Rt Sledstvie. Esli η(t) = 0 ξ(s)ds , to mη (t) = 0 mξ (s)ds, RtRu Kξ (t, u) = 0 0 Kξ (r, s)drds . Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie. 4. Razloenie Karunena–Lo va Korrelcionnu funkci mono rassmatrivat~ kak dro integral~nogo preobrazovani. Po teoreme 1.1 (p.p. 7, 8) to dro simmetriqno i neotricatel~no opredeleno. Odnako v bol~xinstvePpriloeni$ i krome svo$ istva neotricatel~no$ i opn Pn redelennosti i=1 j=1 Kξ (ti , tj )xi xj >0 pri lbyh xk ∈ R, k = 1, . . . , n korrelcionna funkci sluqa$ inogo processa obladaet bolee sil~nym svo$ istvom poloitel~no$i opredelennosti, zaklqawims v tom, qto v ukazannom sootnoxenii ravenstvo imeet mesto tol~ko pri uslovii x1 = . . . = xn = 0 . Dl takih der v spravedlivo sleduwee utverdenie. Teorema 4.1. ( Teorema Mersera ) . Simmetriqnoe nepreryvnoe poloitel~no opredelennoe dro K(t, u) , t, u ∈ [a, b] moet byt~ predstavleno Pv vide absoltno i ravnomerno shodwegos r∞ da K(t, u) = i=1 λi ϕi (t)ϕi (u) , gde nepreryvnye funkcii ϕi (t) i poloitel~nye qisla λi udovletvort integral~nomu uravneRb ni a K(t, u)ϕi (u)du = λi ϕi (t) i šuslovim ortonormirovannosti Rb 1 pri i = j na otrezke [a, b] a ϕi (t)ϕj (t)dt = . 0 pri i = 6 j Funkcii ϕi (t) nazyvats sobstvennymi funkcimi dra K(t, u) , sootvetstvuwimi sobstvennym znaqenim λi . Mono sobstvennyh funkci$ i popokazat~, qto mnoestvo {ϕi (t)}∞ n=1 loitel~no opredelennogo dra obladaet svo$ istvom polnoty, zaklqawims v tom, qto vska funkci f (t) , t ∈ [a, b] , udovRb letvorwa uslovi a |f (t)|2 dt < ∞ , moet byt~ predstavlena Rb P∞ v vide rda f (t) = i=1 fi ϕi (t) , gde fi = a f (t)ϕi (t)dt . 116 Teorema 4.2. ( Razloenie Karunena–Lo va ) . Vski$i nepreryvny$i v s. k. sluqa$iny$i process ξ(t) , t ∈ [a, b] s poloitel~no opredelenno$i korrelcionno$i funkcie$i moet P byt~ predstav∞ len v vide shodwegos v s. k. rda ξ(t) = i=1 αi ϕi (t) , gde Rb αi = a ξ(t)ϕi (t)dt — poparno nekorrelirovannye sluqa$inye veliRb qiny s M αi = a mξ (t)ϕi (t)dt , Dαi = λi ; λi — sobstvennye qisla, ϕi (t) — sobstvennye funkcii dra Kξ (t, u) . D o k a z a t e l ~ s t v o . Momenty sluqa$ inyh R 1-go i 2-go ‘ pordka R b b veliqin αi ravny: M αi = M a ξ(t)ϕi (t)dt = a mξ (t)ϕi (t)dt = mi , ‘ R RbRb Rb b Kαi αj = a a Kξ (t, u)ϕi (t)ϕj (u)dtdu = a ϕi (t) a Kξ (t, u)ϕj (u)du dt = Rb = λi a ϕi (t)ϕj (t)dt = δij λi . Takim obrazom, dl sluqa$ inyh veliqin αi vypolnts utverdeni teoremy. qto posledovatel~nost~ qastiqnyh summ sn = PDokaem, n = i=1 αi ϕi (t) shodits v s. k. i ee predel raven ξ(t) . Po teoreme 2.4 dl togo neobhodimo i dostatoqno dokazat~ ravenstva limn→∞ M sn = mξ (t) , limm,n→∞ Ksm sn = Kξ (t, t) . Pervoe sleduet iz polnoty mnoestva {ϕi (t)}∞ n=1 . Vtoroe sleduet iz teoremy Mermin{m,n} X λi ϕi (t)ϕi (t) = Kξ (t, t). J sera lim Ksm sn = lim m,n→∞ m,n→∞ i=1 Razloenie Karunena–Lo va pokazyvaet, qto sluqa$ iny$ i process 2-go pordka mono polnost~ opredelit~, zadava sootvetstvuwim obrazom posledovatel~nost~ nekorrelirovannyh sluqa$ inyh veliqin — ko fficientov αi razloeni. U normal~nyh sluqa$ inyh processov ti ko fficienty vlts vzaimno nezavisimymi normal~nymi sluqa$ inymi veliqinami. Teorema 4.2 navodit na mysl~ o vozmonosti predstavleni Pn processov 2-go pordka v vide ξ(t) = k=1 αk fk (t) , gde αk — inye funsluqa$ inye veliqiny 2-go pordka, fk (t) — nesluqa$ kcii vremeni. Pri takom predstavlenii mξ (t) = n X k=1 mαk fk (t), Kξ (t, u) = n X n X Kαi αj fi (t)fj (u) . i=1 j=1 Primer 4.1. Sluqa$ iny$ i process ξ(t) = α sin ω0 t + β cos ω0 t nazyvaets garmoniqeskim kolebaniem krugovo$ i qastoty ω0 so sluqa$ ino$ i amplitudo$ i i fazo$ i, poskol~ku p ego mono predstavit~ v vide ξ(t) = A sin(ωt + ϕ) , gde A = α12 + α22 — sluqa$ ina α amplituda, ϕ = Arctg α12 — sluqa$ ina faza. 117 5. Stacionarnye sluqa$ inye processy V tom razdele sluqa$ inye processy zadany pri t ∈ R . Opredelenie 5.1. ( Stacionarnye processy ) . Process ξ(t) nazyvaets stacionarnym v uzkom smysle, esli dl vseh n, t1 , . . . , tn , τ Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) = Fξ (x1 , . . . , xn | t1 + τ, . . . , tn + τ ) . Process ξ(t) nazyvaets stacionarnym v xirokom smysle, esli dl vseh t , t1 , t2 , τ mξ (t) = mξ (t + τ ) , Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t1 + τ, t2 + τ ) . V line$ ino$ i teorii rassmatrivats tol~ko stacionarnye v xirokom smysle processy. Teorema 5.1. ( Kriteri$i stacionarnosti ). Dl stacionarnosti v xirokom smysle processa ξ(t) neobhodimo i dostatoqno, qtoby mξ (t) = const = mξ i Kξ (t1 , t2 ) zavisela tol~ko ot t2 − t1 . D o k a z a t e l ~ s t v o . Neobhodimost~. mξ (t) = mξ (t + τ ) = const . Œ Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t1 + τ, t2 + τ )Œτ =−t = Kξ (0, t2 − t1 ) . 1 Dostatoqnost~. Esli mξ (t) = const i Kξ (t1 , t2 ) zavisit tol~ko ot t2 − t1 , to pri vseh τ mξ (t) = mξ (t + τ ), Kξ (t1 , t2 ) = = Kξ (t1 + τ, t2 + τ ) . J Sledstvie. U stacionarnogo processa ξ Dξ (t) = const = Dξ . Opredelenie 5.2. ( Korrelcionna funkci stacionarnogo processa ) . Korrelcionno$i funkcie$i stacionarnogo processa ξ(t) nazyvaets funkci Rξ (τ ) ‹ Kξ (t, t + τ ) . Teorema 5.2. ( Svo$istva korrelcionno$i funkcii Rξ (τ )). Korrelcionna funkci Rξ (τ ) stacionarnogo processa ξ(t) vlets qetno$i funkcie$i peremenno$i τ i max Rξ (τ ) = Rξ (0) = Dξ . Dokaza pt e l ~ s t v o . Rξ (τ ) = Kξ (t, t + τ ) = Kξ (t + τ, t) = Rξ (−τ ) . |Rξ (τ )|6 Dξ (t)Dξ (t + τ ) = Dξ . J Opredelenie 5.3. ( Stacionarna svzannost~ ). Sluqa$inye processy ξ(t) , η(t) nazyvaets stacionarno svzannymi ( v xirokom smysle ) , esli dl vseh t1 , t2 , τ Kξη (t1 , t2 ) = Kξη (t1 + τ, t2 + τ ) . Funkci Rξη (τ ) ‹ Kξη (t, t + τ ) nazyvaets vzaimno$i korrelcionno$i funkcie$i stacionarno svzannyh processov ξ(t) , η(t) . Teorema 5.3. ( Summa stacionarnyh i stacionarno svzannyh processov ) . Summa stacionarnyh i stacionarno svzannyh sluqa$inyh processov vlets stacionarnym processom. 118 D o k a z a t e l ~ s t v o . Dl stacionarnyh i stacionarno svzannyh sluqa$ inyh processov ξ(t) i η(t) vypolnts sootnoxeni: mξ+η (t) = mξ (t) + mη (t) = mξ + mη = const , Kξ+η (t, t + τ ) = Kξ (t, t + τ ) + +Kξη (t, t+τ )+Kηξ (t, t+τ )+Kη (t, t+τ ) = Rξ (τ )+Rξη (τ )+Rηξ (τ )+Rη (τ ), iz kotoryh po teoreme 5.2 sleduet, qto process ξ(t) + η(t) stacionaren v xirokom smysle. J Sledstvie. Summa nekorrelirovannyh stacionarnyh processov vlets stacionarnym processom. sluqa$inyh Teorema 5.4. ( Proizvodna stacionarnogo processa ) . Stacionarny$i process ξ(t) differenciruem togda i tol~ko togda, kogda suwestvuet Rξ00 (0) i v tom sluqae ξ 0 (t) vlets stacionarnym processom, stacionarno svzannym s ξ(t) . Korrelcionnye harakteristiki processov ξ(t) i ξ 0 (t) svzany formulami Rξ0 (τ ) = −Rξ00 (τ ) , Rξξ0 (τ ) = −Rξ0 ξ (τ ) = Rξ0 (τ ). Seqeni processov ξ i ξ 0 v sovpadawie momenty vremeni nekorrelirovany. D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie o differenciruemosti sleduet iz teoremy 3.2. Formuly dl korrelcionnyh harakteristik vytekat iz teorem 3.3 i sootnoxeni$ i ∂Kξ (t, u) ∂Rξ (u − t) ∂Rξ (u − t) ∂Kξ (t, u) = = −Rξ0 (u − t), = = Rξ0 (u − t) , ∂t ∂t ∂u ∂u ∂ 2 Kξ (t, u) ∂ 2 Rξ (u − t) = = −Rξ00 (u − t). ∂t∂u ∂t∂u V Œ silu togo,Œ qto proizvodna qetno$ i funkcii neqetna Rξξ0 (τ )Œτ =0 = Rξ (τ )Œτ =0 = 0 , qto oznaqaet nekorelirovannost~ seqeni$ i processov ξ i ξ 0 v sovpadawie momenty vremeni. J Opredelenie 5.4. ( Stacionarnoe integral~noe preobrazovanie ) . Integral~noe preobrazovanie nazyvaets stacionarnym, esli ego dro zavisit ot raznosti argumentov, t.e. h(t, τ ) = h(t − τ ). Teorema 5.5. (Stacionarnye integral~nye preobrazovani staR∞ cionarnyh processov ) . Pust~ η(t) = −∞ h(t − τ )ξ(τ )dτ , ξ(t) — R∞ stacionarny$i process. Esli |h(t)|dt < ∞ , to process η(t) −∞ stacionaren i stacionarno svzan s processom ξ(t) . Harakteristiki processov ξ(t) i η(t) Zsvzany formulami Z Z mη = mξ ∞ h(t)dt , Rη (τ ) = −∞ Rξη (τ ) = Z ∞ ∞ −∞ ∞ −∞ −∞ h(s1 )h(s2 )Rξ (τ − s2 + s1 )ds1 ds2 , h(s)Rξ (τ − s)ds. 119 D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie sleduet iz teoremy 3.6, soR∞ R∞ otnoxeni$ i Kη (t1 , t2 ) = −∞ −∞ h(t1 − r1 )h(t2 − r2 )Rξ (r2 − r1 )dr1 dr2 = R∞ R∞ R∞ = −∞ −∞ h(s1 )h(s2 )Rξ (t2 − t1 − s2 + s1 )ds1 ds2 , Kξη (t1 , t2 ) = −∞ h(t2 − R∞ −r2 )Rξ (r2 − t1 )dr2 = −∞ h(s)Rξ (t2 − t1 − s)ds i absoltno$ i integriruemosti funkcii h(t) na (−∞, ∞) . J Esli korrelcionna funkci stacionarnogo processa ξ(t) udovletvoret uslovi absoltno$ i integriruemosti na (−∞, ∞) , to dl Rξ (τ ) suwestvuet preobrazovanie Fur~e i po tomu mono opredelit~ funkci Sξ (ω) , svzannu s Rξ (τ ) sootnoxenimi Z Z ∞ 1 1 ∞ Rξ (τ )e−iωτ dτ, Sξ (ω)eiωτ dω. (1) Rξ (τ ) = Sξ (ω) = π −∞ 2 −∞ Netrudno dokazat~, qto funkci Sξ (ω) vlets nepreryvno$ i qetno$ i neotricatel~no$ i funkcie$ i. V silu qetnosti funkci$ i Rξ (τ ) , Sξ (ω) formuly (1) mono perepisat~ v vide Z Z ∞ 2 ∞ Rξ (ω) cos ωτ dτ , Rξ (τ ) = Sξ (τ ) cos ωτ dω . (2) Sξ (ω) = π 0 Opredelenie 5.5. ( Spektral~na plotnost~ ). Qetna neotricatel~na funkci Sξ (ω) , svzanna formulami (1) s korrelcionno$i funkcie$i Rξ (τ ) , nazyvaets spektral~no$i plotnost~ ( spektrom ) stacionarnogo processa s nepreryvnym spektrom ξ(t) . Hot uslovie absoltno$ i integriruemosti, pri kotorom suwestvuet nepreryvny$ i spektr, kaets dovol~no obwim, suwestvut stacionarnye processy s korrelcionnymi funkcimi, ne udovletvorwimi tomu uslovi. Process v primere 4.1 (garmoniqeskoe kolebanie qastoty ω0 so sluqa$ ino$ i amplitudo$ i i fazo$ i), v kotorom α, β — nekorrelirovannye sluqa$ inye 2 veliqiny s mα = mβ = 0, Dα = Dβ = σ0 , vlets stacionarnym v xirokom smysle sluqa$ inym processom s korrelcionno$ i 2 is absoltno integriruefunkcie$ i R(τ ) = σ0 cos ωτ , ne vlwe$ mo$ i na (−∞, ∞) , i dl togo processa spektral~na plotnost~ Sξ (ω) kak obyqna funkci ne suwestvuet. Esli e opredelit~ obobwennu funkci δ(t) kak funkci, de$ istvuwu pod znakom integrala na nepreryvnu funkci f (t) po pravilu R∞ δ(t−t0 )f (t)dt = f (t0 ) , to spektr processa ξ(t) mono zapisat~ −∞ v vide Sξ (ω) = σ02 (δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )). Rassmotrenny$ i primer vlets qastnym sluqaem stacionarnogo processa s diskretnym spektrom. V obwem sluqae stacionarny$ i v xirokom smysle process s diskretnym spektrom predstavlets v vide 120 ξ(t) = ∞ X (αk sin ωk t + βk cos ωk t) , k=1 gde αk , βk poparno nekorrelirovannye sluqa$ inye veliqiny s nulevymi matematiqeskimi oidanimi i dispersimi, udovP∞ 2 letvorwimi uslovim Dαk = Dβk = σk2 , k=1 σk < ∞. Korrelcionna funkci i spektral~na plotnost~ ξ(t) imet vid ∞ ∞ X X 2 σk2 (δ(ω − ωk ) + δ(ω + ωk )). Rξ (τ ) = σk cos ωk τ , Sξ (ω) = k=1 k=1 Teorema 5.1. (Preobrazovanie spektra stacionarnym integral~nym preobrazovaniem ) . Pust~ R ∞ ξ(t) — stacionarny$i process so spektrom Sξ (ω) ; η(t) = −∞ h(t − τ )ξ(τ )dτ — stacionarnoe integral~noe preobrazovanie s drom h(t) , dl kotorogo suwestvuet preobrazovanie Fur~e H(ω) . Togda η(t) — stacionarny$i process so spektrom Sη (ω) = |H(ω)|2 Sξ (ω). Z∞ Z∞ D o k a z a t e l ~ s t v o . Rη (τ ) = h(t)h(u)Rξ (τ − u + t)dtdu = Z∞ Z∞ Z∞ −∞ −∞ Z∞  Z∞  1 1  h(u)e−iωu du× h(t)h(u)Sξ (ω)eiω(τ −u+t) dtdudω = 2 2 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞  ∞  Z Z∞ 1 × h(t)e−iωt dtSξ (ω)eiωτ dω = |H(ω)|2 Sξ (ω)eiωτ dω . J 2 = −∞ −∞ 6. Upraneni 1 . Dl sluqa$ inogo processa ξ(t) = αe(β+1)t , gde α, β — nezavisimye sluqa$ inye veliqiny, prinimawie ravnoverotno znaqeni ±1 , opredelit~ mξ (t) i predstavit~ na odnom grafike realizacii i mξ (t) pri t ∈ [0, ln 2] . 2 . Dl sluqa$ inogo processa ξ(t) = αt + βt2 , t ∈ [1, 2] , gde α, β — nezavisimye normal~nye sluqa$ inye veliqiny s M α = 1, M β = −1, σα = 4, σβ = 3 , opredelit~ fξ (x | t), fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) . k 3 . Opredelit~ matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu funkci sluqa$ inogo processa ξ(t) : −2t 1) 2αe − β cos t pri mα = 1, mβ = 0, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5 ; 2) α sin t − βet pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5; 3) −2αt + β cos t pri mα = 1, mβ = 4, σα2 = 1, σβ2 = 9, rαβ = −1/3; 121 4) −α sin t + β cos t pri mα = −1, mβ = 1, σα2 = 2, σβ2 = 2, rαβ = 0, 5 ; 5) −2αt + βe−t pri mα = −1, mβ = 5, σα2 = 1, σβ2 = 16, rαβ = 0, 25 ; 6) 3αt2 − β sin t pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 9, rαβ = −1/3; 7) −4α cos2 t + βet pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = 0, 5 ; 8) −2αt + 4β cos2 t pri mα = −1, mβ = 1, σα2 = 4, σβ2 = 1, rαβ = −0, 5 ; 9) 4αt3 − βe−t pri mα = 1, mβ = −1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = 0, 5; 10) −2αe−2t + 2β cos 2t pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5. Opredelit~ matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu funRt kci processov η(t) = ξ (t), ζ(t) = 0 ξ(u)du . R e x e n i e dl ξ(t) = α sin t + β cos t pri mα = 3, mβ = 2, σα2 = 2, σβ2 = 8, rαβ = 0.25 . Po teoreme 1.2 mξ (t) = 3 sin t + 2 cos t, Kξ (t, u) = 2 sin t sin u + sin t cos u + cos t sin u + 8 cos t cos u . Po teo∂ 2 K (t,u) ξ reme 3.3 mη (t) = m0ξ (t) = 3 cos t − 2 sin t, Kη (t, u) = = ∂t ∂u = 2 cos t cos u − sin t cos uR− cos t sin u + 8 sin t sin u. Po sledstvi tet oremy 3.6 mζ (t) = 0 mξ (u)du = 3(1 − cos t) + 2 sin t, Kζ (t, u) = RtRu = 0 0 Kξ (r, s)drds = 2(1−cos t)(1−cos u)+sin t(1−cos u)+(1−cos t) sin u+ +8 sin t sin u. J 4 . Na$ iti matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu funkci 2 η(t) = tξ 0 (t) + t2 , esli mξ (t) = 3t2 + 2t , Kξ (t, u) = 2e−(t−u) . 5 . Na$ iti matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu funkci Rt η(t) = ξ(t) + 0 ξ(u)du, esli mξ (t) = sin t , Kξ (t, u) = σ 2 cos(t − u). iny$ i process R ξ(t) imeet harakteristiki: mξ (t) = t, 6 . Sluqa$ ∞ −|t−u| Kξ (t, u) = e ; η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds , gde h(t, u) = e−(t−u) pri t>u i h(t, u) = 0 pri t < u . Opredelit~ mη (t) , Kη (t, u) , Dη (t) . 7 . Dokazat~, qto garmoniqeskoe kolebanie so sluqa$ inymi amplitudo$ i i fazo$ i ξ(t) = α sin 2πf t + β cos 2πf t pri mα = mβ = 0 , 2 Dα = Dβ = σ , Kαβ = 0 vlets stacionarnym v xirokom smysle processom. Opredelit~ mξ , Rξ , Dξ Rξ0 , Dξ0 . 8 . vlets li stacionarny$ i process s korrelcionno$ i fun−|τ | kcie$ i R(τ ) = e (1 + |τ |) differenciruemym? 9 . Opredelit~ spektral~nu plotnost~ stacionarnogo processa ξ(t) s korrelcionno$ i funkcie$ i Rξ (τ ) = σ 2 e−a|τ | , a > 0 . 10 . Opredelit~ korrelcionnu funkci stacionarnogo processa so spektral~no$ i plotnost~ š N pri |ω| 6 ω0 , Sξ (ω) = 0 pri |ω| > ω0 . 122 V. MATEMATIQESKA STATISTIKA 1. Osnovnye ponti i opredeleni Matematiqesko$ i statistiko$ i nazyvaets razdel matematiki, posvwenny$ i metodam obrabotki dannyh, poluqennyh v rezul~tate provedeni sluqa$ inyh ksperimentov. Matematiqeska statistika i teori verotnoste$ i tesno svzany drug s drugom. Ishodnym punktom dl teorii verotnoste$ i vlets matematiqeska model~ real~nogo vleni, kotora trebuet zadani verotnoste$ i sobyti$ i, funkci$ i raspredeleni ili momentov sluqa$ inyh veliqin. Esli ti harakteristiki ne izvestny, to ih opredelt po opytnym dannym metodami matematiqesko$ i statistiki. V svo oqered~, metody matematiqesko$ i statistiki osnovany na teorii verotnoste$ i. Matematiqesku statistiku mono razdelit~ na dve qasti: odnomernu statistiku i mnogomerny$ i statistiqeski$ i analiz. V odnomerno$ i matematiqesko$ i statistike opytnye dannye vlts znaqenimi nekotoro$ i sluqa$ ino$ i veliqiny ili, toqnee, lementami vyboroqnogo verotnostnogo prostranstva to$ i sluqa$ ino$ i veliqiny (R, B, P ) , nazyvaemogo v statistike general~no$i sovokupnost~ s raspredeleniem P . V mnogomernom statistiqeskom analize general~no$ i sovokupnost~ vlets vyboroqnoe verotnostnoe prostranstvo sluqa$ inogo vektora (Rm , Bm , P ) , gde m — qislo komponent vektora. Snaqala my rassmotrim odnomernye statistiqeskie zadaqi. i soV statistiqeskih zadaqah raspredelenie P general~no$ vokupnosti libo polnost~, libo qastiqno neizvestno. to obstotel~stvo mono utoqnit~, zadava seme$ istvo raspredeleni$ i P , kotoromu po predvaritel~nym dannym prinadleit raspredelenie general~no$ i sovokupnosti (pri polnom otsutstvii informacii o P mono vybrat~ seme$ istvo vseh vozmonyh raspredeleni$ i). Vo mnogih zadaqah matematiqesko$ i statistiki raspredelenie P vlets izvestno$ i funkcie$ i, soderawe$ i neizvestny$ i skalrny$ i ili vektorny$ i parametr. V tom sluqae seme$ istvo raspredeleni$ i P zadaets parametriqeski P = { P ( . | θ ) : θ ∈ Θ }, gde Θ⊆Rq — mnoestvo znaqeni$ i parametra θ . Kadu statistiqesku zadaqu mono sformulirovat~ kak zadaqu poluqeni informacii o raspredelenii P ili o ego parametrah. 123 Osnovnym statistiqeskim metodom poluqeni informacii o P vlets metod prostogo sluqa$inogo vybora, sostowi$ i v mnogokratnom nezavisimom sluqa$ inom izvleqenii (s vozvraweniem) lementov general~no$ i sovokupnosti xi , i = 1, . . . , n — vyboroqnyh znaqeni$i. Pri prostom sluqa$ inom vybore vektor i vyborko$i obema n iz general~no$ i x = (x1 , . . . , xn ) , nazyvaemy$ sovokupnosti s raspredeleniem P , mono rassmatrivat~ kak ishod posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$ i, matematiqesko$ i model~ kotoro$ i vlets verotnostnoe prostransn n tvo (R , B , P ) . Sluqa$ i formulo$ i iny$ i vektor ξ , opredelemy$ ξ ( x ) = x , nazyvaets sluqa$ino$i vyborko$i, a ego komponenty — sluqa$inymi vyboroqnymi znaqenimi. Dl lbogo mnoestva iz B vida B1 × . . . ×Bn raspredelenie sluqa$ ino$ i vyborki ravno P ξ (B1 × . . . ×Bn ) = P (ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P (B1 ) · · · P (Bn ) . to vyraenie pozvolet dat~ drugoe opredelenie dl ξ . P Opredelenie 1.1. ( Sluqa$ina vyborka, vyborka ). Sluqa$ino$i vyborko$i obema n iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem P nazyvaets n -komponentny$i sluqa$iny$i vektor ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) , komponenty kotorogo vzaimno nezavisimy i imet raspredelenie P . Lba vyborka x obema n iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem P vlets znaqeniem sluqa$ino$i vyborki ξ . Mono pokazat~ [3], qto suwestvuet verotnostnoe prostranstvo (R∞ , B∞ , P∞ ) vyborok beskoneqnogo sqetnogo obema takih, qto kadoe verotnostnoe prostranstvo (Rn , Bn , P ) koneqno$ i vyborki vlets proekcie$ i prostranstva (R∞ , B∞ , P∞ ) . Rezul~taty, poluqaemye metodami matematiqesko$ i statistiki, vlts funkcimi sluqa$ ino$ i vyborki ξ (takie funkcii nazyvats take statistikami). Po tomu ne sleduet oidat~ ot matematiqesko$ i statistiki toqnyh otvetov. Vse otvety budut lix~ ocenkami toqnyh znaqeni$ i interesuwih nas veliqin. Svo$ istva ocenok opredelts ih verotnostnymi harakteristikami: naqal~nymi i central~nymi momentami, a take verotnostmi sobyti$ i, svzannyh s ocenkami. P Opredelenie 1.2. ( Sostotel~nost~, nesmewennost~, ffektivh( x ) veliqiny h po vyborke x obema n nost~ ) . Ocenka b h=b iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem P nazyvaets : P∞ h pri n → ∞; — sostotel~no$i, esli b h( ξ ) −→ b — nesmewenno$i, esli M h( ξ ) = h. V protivnom sluqae ocenka h) = M b nazyvaets smewenno$i so smeweniem b(b h( ξ ) − h. 2 — ffektivno$i, esli M (b h(ξ ) − h) prinimaet minimal~noe iz vseh vozmonyh znaqeni$i. 124 2. mpiriqeskie harakteristiki vyborki Sleduwee utverdenie, dokazatel~stvo kotorogo rekomenduets qitatel v kaqestve upraneni, po suti dela vvodit verotnostnye ponti v matematiqesku statistiku. Teorema 2.1. (mpiriqeskoe raspredelenie vyborki ) . Dl vyborki 1 Pn I (x ), sopostavlwa x = (x1 , . . . , xn ) funkci P ∗ (B|x ) ‹ n i=1 B i mnoestvu B ∈ B qastotu popadani v nego vyboroqnyh znaqeni$i, vlets odnomernym diskretnym raspredeleniem, nazyvaemym mpiriqeskim raspredeleniem vyborki. Matematiqeska statistika osnovana na dopuwenii, qto mpiriqeskoe raspredelenie vyborki soderit vs dostupnu informaci o raspredelenii general~no$ i sovokupnosti. mpiriqeskoe raspredelenie porodaet svzannye s nim mpiriqeskie harakteristiki: funkci raspredeleni, zakon raspredeleni, naqal~nye i central~nye momenty. mpiriqeski$ i zakon raspredeleni predstavlets v vide tablicy qastot: zj p (zj ) ∗ z1 p (z1 ) ∗ ... ... zs p (zs ) ∗ gde zj , j = 1, . . . , s — razliqnye vyboroqnye znaqeni, a p∗ (zj ) — qastoty znaqeni$ i zj . mpiriqesku funkci raspredeleni i mpiriqeskie momenty mono predstavit~ sleduwimi formulami, soderawimi kak veliqiny zj , tak i ishodnye vyn X 1X ∗ ∗ p (zj ) = boroqnye znaqeni xi : F (x|x ) = I(−∞,x) (xi ), n z ) θ 2 , esli L(θ 1 |x ) > L( θ 2 |x ) . pr pr Sootnoxenie θ 1 > θ 2 ne izmenits, esli vmesto funkcii L( θ |x) v opredelenii togo sootnoxeni vzt~ lbu monotonno vozrastawu funkci ot L( θ | x ) ; obyqno ispol~zuets 128 l(θ |x ) = ln L( θ | x ) = X n   ln p(xi |θ), esli P (.|θ) diskretno,   i=1 n X    ln f (xi |θ), esli P ( . | θ) nepreryvno.  i=1 Opredelenie 3.3. ( Ocenka maksimal~nogo pravdopodobi ) . Znaqeb nazyvaets ocenko$i maksimal~nogo pravdopodobi paranie θ b |x) = max l(θ |x ) . metra θ seme$istva P po vyborke x , esli l( θ θ∈Θ Esli l( θ |x ) vlets differenciruemo$ i funkcie$ i parametq ra θ ∈ R , to ocenka maksimal~nogo pravdopodobi vlets rexeniem sistemy uravneni$  i ∂l  =0   ∂θ1  ... .   ∂l   =0 ∂θq Pri vypolnenii uslovi$ i regulrnosti funkcii l(θ|x) [4], ocenka maksimal~nogo pravdopodobi θb obladaet svo$ istvami: b i ocenko$ i; — θ vlets sostotel~no$ — ffektivna ocenka, esli ona suwestvuet, sovpadaet s θb; b , gde — pri n → ∞ raspredelenie ϑb pribliaets k N(θ, Dθ)  2 ‘i−1 h , Dθb = − M d 2l dθ — pri n → ∞ ocenka ϑb pribliaets k ffektivno$ i ocenke. Primer 3.3. Ocenka parametra puassonovskogo raspredeleni. Esli general~na sovokupnost~ imeet puassonovskoe raspredelenie s neizvestnym parametrom λ , to ocenka maksimal~nob opredelets iz uravneni dl = 0 , gde go pravdopodobi λ dλ Pn Pn b = x. l(λ|x ) = ln λ i=1 xi − i=1 ln(xi !) − nλ . Rexa ego, poluqim λ Primer 3.4. Ocenka parametrov normal~nogo raspredeleni. Esli general~na sovokupnost~ imeet normal~noe raspredelenie s neizvestnymi parametrami m, σ 2 , to ocenki maksimal~nogo c2 opredelts iz sistemy m, pravdopodobi b σ  ∂l  =0  √ ∂m 1 Pn (x −m)2 . 2 ln , gde l(m, σ 2 |x ) = −n ln 2π− n σ − i 2  2σ 2 i=1  ∂l = 0 ∂σ 2 Rexa sistemu, poluqim m b = x, σ b2 = µ∗2 . Esli parametr m iz129 vesten, to ocenka dispersii poluqaets iz uravneni b2 = s02 . rexa kotoroe, poluqim σ dl = 0, dσ 2 Primer 3.5. Ocenka parametrov ravnomernogo nepreryvnogo raspredeleni. Funkci pravdopodobi L(a, b) neizvestnyh parametrov togo raspredeleni nedifferenciruema i po tomu poluqit~ ocenki standartnym sposobom nel~z, no iz ravenstva š (b − a)−n pri [xmin , xmax ] ⊆ [a, b] L(a, b) = pri [xmin , xmax ] 6⊆ [a, b] netrudno videt~, qto ocenkami maksimal~nogo pravdopodobi dl a, b vlts: b a = xmin , bb = xmax . V tabl. 5, 6 privedeny vyraeni dl ocenok parametrov nekotoryh diskretnyh i nepreryvnyh raspredeleni$ i po metodu momentov i metodu maksimuma pravdopodobi. Parametry, dl kotoryh privedeny ocenki sqitats neizvestnymi, a ostal~nye parametry — izvestnymi. Tablica 5 Ocenki parametrov diskretnyh raspredeleni$ i po vyborke (x1 , . . . , xN ) obema N Raspredelenie Ravnomernoe Binomial~noe Puassonovskoe Geometriqeskoe Metod momentov h q i 1 1 +4+2 m b =E x− q h i 1 1 ∗ n b = E x + 3µ2 + 4 − 2 3µ∗2 Metod maksimuma pravdopodobi m b = min xi , 16i6N n b = max xi 16i6N x pb = n x pb = n pb = (1 + x)−1 pb = (1 + x)−1 b=x λ b=x λ V tabl. 5 E[x] oboznaqaet celu qast~ qisla x . 130 Tablica 6 Ocenki parametrov nepreryvnyh raspredeleni$ i po vyborke (x1 , . . . , xN ) obema N Raspredelenie Ravnomernoe Normal~noe Normal~noe Normal~noe Lognormal~noe Gamma-raspredelenie Raspredelenie Pareto Metod momentov a=x− b bb = x − p p 3µ∗2 3µ2∗ Metod maksimuma pravdopodobi a = min xi b 16i6N bb = max xi 16i6N m b =x m b =x b2 = s20 σ b2 = s20 σ m b =x σ b2 = µ∗2 m b = 2 ln x − 12 ln α2∗ b2 = ln α2∗ − 2 ln x σ b = x(µ∗ )−1 λ 2 2 ∗ −1 ηb = x (µ2 ) −1 b c = x(x − 1) m b =x σ b2 = µ2∗ 1 PN ln x m b =N i i=1 P N 1 b 2 b2 = N σ i=1 (ln xi − m) b = η(x)−1 λ b c=N P N i=1 ln xi ‘−1 V [4] dokazano, qto privedennye v tablicah ocenki parametrov binomial~nogo i puassonovskogo raspredeleni$ i, a take ocenki odnogo iz parametrov normal~nogo raspredeleni pri izvestnom drugom parametre ffektivny. 131 3.3. Interval~nye ocenki Ocenki parametrov, rassmotrennye nami, mono nazvat~ toqeqnymi, poskol~ku dl neizvestnogo parametra θ opredelets b , vlwas ego pribliennym znaqeniem. No vozmotoqka θ en i drugo$ i podhod k zadaqe ocenivani parametrov, kotory$ i v sluqae skalrnogo neizvestnogo parametra θ zaklqaets v i veroopredelenii intervala (θ− , θ+ ) , nakryvawego s zadanno$ tnost~ neizvestnoe znaqenie θ . Opredelenie 3.4. ( Doveritel~ny$i interval ) . Pust~ ξ — sluqa$ina vyborka iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem P (.| θ); θ+ = θ+ ( ξ ), θ− = θ− ( ξ ) — funkcii vyborki takie, qto P (θ ∈ (θ− , θ+ )| θ) = 1 − α . Interval (θ− , θ+ ) nazyvaets doveritel~nym intervalom dl θ , verotnost~ (1 − α) — doveritel~no$i verotnost~, verotnost~ α — urovnem znaqimosti. Rexenie zadaqi doveritel~nogo ocenivani parametra θ osnovano na statistikah, zaviswih ot θ , no imewih raspredeleni, ne zaviswie ot parametrov general~no$ i sovokupnosti. Primer 3.6. Interval~na ocenka matematiqeskogo oidani m normal~nogo raspredeleni pri izvestno$ i dispersii σ 2 . Po te√ n(x − m) imeet raspredelenie oreme 2.4 funkci Tn ( x |m, σ) = σ N(0, 1) , ne zaviswee ot parametrov general~no$ i sovokupnosti. V silu svo$ istv plotnosti raspredeleni N(0, 1) , intervalom naimen~xe$ i dliny, v kotory$ i Tn popadaet s verotnost~ 1 − α , vlets (−up , up ) , gde up — kvantil~ normal~nogo raspredeleni pordka p = 1 − α 2 . Iz ravenstv √ “ ’ “ ’ n(x − m) σup σup 1 − α = P −up < < up = P x − √ < m < x + √ σ n n sleduet, qto pri izvestno$ i dispersii doveritel~ny$ i interval dl m , sootvetstvuwi$ i urovn znaqimosti α imeet vid “ ’ σu σu p p . (m− , m+ ) = x − √ , x + √ n n Nekotorye kvantili up mono na$ iti v tablice 132 p 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 up 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 Primer 3.7. Interval~na ocenka matematiqeskogo oidani m normal~nogo raspredeleni pri neizvestno$ i dispersii σ 2 . Po te√ n(x − m) oreme 2.4 funkci Tn ( x |m, s) = imeet t-raspredelenie s istv plotnosti t -raspres n − 1 stepenmi svobody. V silu svo$ deleni, intervalom naimen~xe$ i dliny, v kotory$ i Tn ( x |m, s) popadaet s verotnost~ 1 − α vlets (−tp , tp ) , gde tp — kvantil~ t -raspredeleni s n − 1 stepenmi svobody pordka p=1− α 2 . Iz ravenstv √ ’ “ “ ’ stp stp n(x − m) 1 − α = P −tp < < tp = P x − √ < m < x + √ s n n sleduet, qto pri neizvestno$ i dispersii doveritel~ny$ i interval dl m, sootvetstvuwi$ i urovn znaqimosti α imeet vid ’ “ st st p p (m− , m+ ) = x − √ , x + √ . n n Primer 3.8. Interval~na ocenka dispersii σ 2 normal~nogo raspredeleni pri izvestnom matematiqeskom oidanii m. Po teoreme 2.4 funkci ns02 /σ 2 imeet χ2 -raspredelenie s n stepenmi svobody, Imeem  €  € 1 − α = P χ2α/2 < ns20 /σ 2 < χ21−α/2 = P ns02 /χ21−α/2 < σ 2 < ns20 /χ2α/2 , gde χp2 — kvantil~ χ2 -raspredeleni s n stepenmi svobody pordka p. Takim obrazom, pri izvestnom matematiqeskom oii urovdanii doveritel~ny$ i interval dl σ 2 , sootvetstvuwi$ n znaqimosti α imeet vid € 2 −  €  (σ ) , (σ 2 )+ = ns20 /χ21−α/2 , ns20 /χ2α/2 . Primer 3.9. Interval~na ocenka dispersii σ 2 normal~nogo raspredeleni pri neizvestnom matematiqeskom oidanii m. Ispol~zu funkci ns2 /σ 2 , mono toqno tak e kak v primere 3.8 pokazat~, qto pri neizvestnom matematiqeskom oidanii m normal~nogo raspredeleni doveritel~ny$ i interval dl σ 2 , sootvetstvuwi$ i urovn znaqimosti α imeet vid   € € 2 − 2 . (σ ) , (σ 2 )+ = ns2 /χ21−α/2 , ns2 /χα/2 gde χ2p — kvantili χ2 -raspredeleni s n−1 stepenmi svobody. Tablicy dl kvantile$ i χ2p i tp mono na$ iti v [5]. 133 4. Proverka statistiqeskih gipotez V matematiqesko$ i statistike gipotezo$i nazyvaets predpoloi sovokupnosti, iz kotoro$ i enie o raspredelenii P general~no$ poluqena vyborka. Kada gipoteza H moet byt~ zapisana v istva vide predikata H = (P ∈ PH ), gde PH podmnoestvo seme$ P raspredeleni$ i general~no$ i sovokupnosti. Esli P zadaets parametriqeski P = {P (.| θ ) : θ ∈ Θ } , to i gipotezu H mono zapisat~ v vide parametriqesko$i gipotezy H = (θ ∈ Θ H ) , gde Θ H ⊆ Θ . Gipoteza nazyvaets prosto$i, esli podmnoestvo PH soderit odno raspredelenie i slono$i v protivnom sluqae. Gipoteza H = ( θ ∈ Θ\ Θ H ) nazyvaets al~ternativo$i gipoteze H. Proverka statistiqesko$i gipotezy H svodits k poluqeni na osnovanii informacii, soderawe$ is v vyborke x , otveta na vopros: istinno ili lono vyskazyvanie H ? Opredelenie 4.1. (Statistiqeski$i kriteri$i ) . Statistiqeskim kriteriem dl proverki gipotezy H nazyvaets lba izmerima funkci vyborki δ(x ) , prinimawa znaqeni H i H . Lbo$ i statistiqeski$ i kriteri$ i δ razbivaet prostransn tvo vyborok R na dve qasti: kritiqesku oblast~ ili oblast~ otkloneni gipotezy Wδ = δ −1 ({H}) i ee dopolnenie W δ = δ −1 ({H}) — oblast~ printi gipotezy. Esli vyborka x popadaet v oblast~ W δ , to kriteri$ i δ daet otvet ”gipoteza H verna”, v protivnom sluqae daets otvet ”gipoteza H neverna” ili, qto to e samoe, ”verna al~ternativa H ”. Kriteri$ i δ odnoznaqno opredelets kritiqesko$ i oblast~ Wδ . 4.1. Proverka prostyh gipotez Pri lbom kriterii iz-za sluqa$ inosti vyborki otvety mogut byt~ pravil~nymi ili oxiboqnymi i o kaqestve kriteri mono sudit~ po verotnostm tih rexeni$ i. Esli H i H — prostye gipotezy, to takih verotnoste$ i qetyre: 1) P ξ (Wδ |H) = α(Wδ ) — verotnost~ oxiboqnogo rexeni ” H ”, kogda na samom dele verna gipoteza H ; 2) P ξ (W δ |H) = 1−α(Wδ ) — verotnost~ pravil~nogo rexeni ”H ”, kogda ona na samom dele verna gipoteza H ; 3) P ξ (Wδ |H) = β(Wδ ) — verotnost~ pravil~nogo rexeni ” H ”, kogda na samom dele verna al~ternativa H ; 4) P ξ (W δ |H) = 1 − β(Wδ ) — verotnost~ oxiboqnogo rexeni ” H ”, kogda na samom dele verna al~ternativa H . 134 Takim obrazom, kaqestvo kriteri δ opredelets dvum vei razmerom kritiqesko$ rotnostmi: α(Wδ ) , nazyvaemo$ i oblasti Wδ ili kriteri δ ; 2) β(Wδ ) , nazyvaemo$ i mownost~ kritiqesko$ i oblasti Wδ ili kriteri δ . Na pervy$ i vzgld neobhodimo vybirat~ kriteri$ i tak, qtoby ego razmer byl minimalen, a ego mownost~ maksimal~na. Odnako ti trebovani protivoreqivy. Po tomu postupat sleduwim obrazom: fiksirut i urovnem znaqimosti, i iz dopustimy$ i razmer α , nazyvaemy$ vseh kriteriev δ , udovletvorwih uslovi αδ 6α , vybirat tot, u kotorogo maksimal~na mownost~ βδ . Teorema 4.1. ( Lemma Ne$imana–Pirsona ) . Pust~ general~na sovokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plotnost~ verotnosti f . Pri proverke prosto$i gipotezy f (x) = f (x|H) i prosto$i al~ternative f (x) = f (x|H) iz vseh kriteriev razmera α naibolee mownym vlets kriteri$i s kritiqesko$i oblast~ W = WN P (c) = { x ∈ Rn : cf ξ ( x |H) − f ξ ( x |H)>0}, gde c > 0 opredelets uravneniem α(W ) = α . D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim funkci g( x ) = (IW ( x ) − IW1 ( x))(cf ξ ( x |H) − f ξ (x |H)) , gde W1 — lba kritiqeska oblast~ razmera α(W1 )6α . Funkci g(x ) neotricatel~na, tak kak pri x ∈ W obe skobki v vyraenii dl g( x ) neotricatel~ny, a pri x ∈ W nepoloitel~ny. Po tomu Z Z Z Z 06 f ξ ( x|H)d x − g( x )dx = c f ξ ( x |H)dx − c f ξ (x |H)dx + Rn + Z W1 W W1 W f ξ ( x|H)d x = c(β(W ) − β(W1 )) − (α − α(W1 )) . Poskol~ku α − α(W1 )>0 i c > 0, to iz poluqenno$ i cepoqki soi, opredelotnoxeni$ i sleduet, qto β(W )>β(W1 ) , t. e. kriteri$ emy$ i kritiqesko$ i oblast~ W vlets naibolee mownym. J Kriteri$ i, o kotorom idet req~ v teoreme 4.1, nazyvaets kriteriem Ne$imana–Pirsona. Teorema 4.2. ( Kriteri$i ideal~nogo nabldatel ) . Pust~ general~na sovokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plotnost~ verotnosti f . Pri proverke prosto$i gipotezy f (x) = = f (x|H) i prosto$i al~ternative f (x) = f (x|H)) minimal~noe znaqenie summy verotnoste$i oxiboqnyh rexeni$i obespeqivaet kritiqeska oblast~ W = WN P (1) . 135 Dokazatel~stvo. Summa verotnoste$ i oxiboqnyh rexeni$ i Z ravna P = 1 − β(W ) + α(W ) = 1 − (f ξ ( x| H) − f ξ ( x |H))dx , otkuda W vidno, qto P minimal~no togda, kogda v W vhodt vse toqki x , udovletvorwie uslovi f ξ (x | H) − f ξ ( x | H)>0 . J Netrudno videt~, qto kritiqeskie oblasti WN P (c) mono opredelit~ sleduwe$ i formulo$ i: WN P (c) = {x ∈ Rn : Λ( x )6c}, f ( x |H) — statistika, nazyvaema otnoxeniem gde Λ(x ) = ξ f ξ ( x |H) pravdopodobi$i gipotez H i H . Oqevidno, al~ternativa H dolna byt~ otvergnuta pri f ξ ( x |H) = 0 i po tomu sleduet sqitat~, qto v tom sluqae Λ(x ) = ∞ . Otnoxenie kvivalentnosti Ker Λ (sm. primer II.2.2) porodaet razbienie vyboroqnogo prostranstva na giperpoverhnosti { x : Λ( x ) =[ λ} urovn λ ot{x : Λ( x ) = λ} . noxeni pravdopodobi$ i. sno, qto WN P (c) = λ6c Primer 4.1. Proverka prostyh gipotez o matematiqeskom oidanii normal~nogo raspredeleni po kriteri Ne$imana–Pirsona. Pust~ general~na sovokupnost~ imeet raspredelenie N(m, σ 2 ) s izvestno$ i dispersie$ i σ 2 . Trebuets proverit~ gipotezu H0 = (m = m0 ) pri al~ternative H1 = (m = m1 ) po vyborke x obema n. V tom sluqae ! n 1 X exp − 2 (xi − m0 )2 “ ’ 2σ i=1 2 ! = exp d − Tn ( x |m0 , σ)d , Λ( x) = n 2 1 X 2 exp − 2 (xi − m1 ) 2σ i=1 √ m1 − m0 gde d = n . Spravedliva kvivalenci šσ (Tn (x|m0 , σ)6γ) pri d > 0 |d| , gde γ = − ln c + 2 , (x ∈ W ) ∼ |d| (Tn (x|m0 , σ)6 − γ) pri d < 0 iz kotoro$ i sleduet ravenstvo š pri d > 0 P (Tn (ξ|m0 , σ)>γ) P (ξ ∈ W ) = . P (Tn (ξ|m0 , σ)6 − γ) pri d < 0 Pri kriterii Ne$ imana–Pirsona porogovoe znaqenie γ vybiraets tak, qtoby vypolnlos~ uslovie P ( ξ ∈ W |H0 ) = α . Po teoreme 2.4 funkci Tn (ξ |m0 , σ) pri gipoteze H0 imeet raspredelenie N (0, 1) . Otsda sleduet, qto γ = u1−α . Netrudno dokazat~, qto pri al~ternative H1 funkci Tn (ξ |m0 , σ) imeet imanaraspredelenie N (d, 1) . Po tomu mownost~ kriteri Ne$ Pirsona ravna 136 š 1 − Φ(u1−α − d) pri d > 0, = Φ(|d| − u1−α ) Φ(−u1−α − d) pri d < 0, i zavisit tol~ko ot parametra |d| . Poskol~ku Tn ( ξ |m0 , σ) za1 Pn x , to visit ot vyborki x tol~ko qerez funkci x = n i=1 i poverhnostmi urovn otnoxeni pravdopodobi$ i vlts giPn perploskosti, opredelemye uravnenimi vida i=1 xi = b, a kritiqeska  oblast~ vlets poluprostranstvom vida n ‘ X √  n  nσu1−α } pri d > 0 x >nm + {x : ∈ R  i  i=1 . WN P = n ‘ X  √   {x ∈ Rn : xi 6nm0 − nσu1−α } pri d < 0  β= i=1 Opredelenie 4.2. ( Otnoxenie pravdopodobi i kriteri$i otnoxeni pravdopodobi pri slonyh gipotezah ) . Otnoxeniem pravdopodobi dl slono$i gipotezy H = (P ∈ PH ) pri slono$i al~ternative H = (P ∈ P\PH ) nazyvaets sup L( θ |x ) Λ0 (x ) = θ ∈ΘH sup L( θ |x ) . θ ∈Θ Kriteri$i s kritiqesko$i oblast~ WLR (c) = { x : Λ0 ( x )6c} nazyvaets kriteriem otnoxeni pravdopodobi. Zameqanie. Napomnim, qto dl nepustogo podmnoestva X⊆R simvol sup X oboznaqaet naimen~xu verhn granicu mnoestva X , esli ono ograniqeno sverhu, i +∞ v protivnom sluqae. Esli suwestvuet maxx∈X , to sup X = maxx∈X . Hot pri slonyh gipotezah kriteri$ i otnoxeni pravdopodobi v obwem sluqae neoptimalen, on qasto primenets dl rexeni praktiqeskih zadaq. Primer 4.2. Proverka slono$i gipotezy o matematiqeskom oidanii normal~nogo raspredeleni po kriteri otnoxeni pravdopodobi. Proverets gipoteza H = (m = m0 ) pri al~ternative H = (m 6= m0 ) . Dispersi σ 2 vlets tak nazyvaemym i zadaqe. Funkci pravdopodobi mexawim parametrom v to$ parametrov m, σ 2 normal~nogo raspredeleni imeet! vid n 1 X 2 2 −n/2 L(m, σ |x) = (2πσ ) exp − 2 (xi − m)2 . 2σ i=1 Maksimum qislitel v Λ0 (x ) dostigaets pri podstanovke vmesto parametra σ 2 ocenki maksimal~nogo pravdopodobi 137 s02 = µ∗2 + (x − m0 )2 pri gipoteze H , a maksimum znamenatel — pri podstanovke bezuslovnyh ocenok maksimal~nogo pravdopodob = x, σ b2 = µ∗2 vmesto m, σ 2 . Po tomu bi m “−n/2 ’ (2π(µ2∗ + (x − m0 )2 )−n/2 exp{−n/2} T 2 (x |m0 , s) Λ0 ( x ) = . = 1+ n−1 (2πµ∗2 )−n/2 exp{−n/2} Iz teoremy 2.4 sleduet, qto kritiqeska oblast~ razmera α opredelets formulo$ i W = { x : |x − m0 |>st1−α/2 }, gde t1−α/2 — kvantil~ t-raspredeleni s n − 1 stepenmi svobody. 4.2. Kriteri$ i χ2 Pust~ general~na sovokupnost~ harakterizuets seme$ istvom raspredeleni$ i, soderawim bolee dvuh raspredeleni$ i. Trebuets proverit~ prostu gipotezu H = (F (x) = F0 (x)) pri slono$ i al~ternative H = (F (x) 6= F0 (x)), gde F (x) — funkci raspredeleni general~no$ i sovokupnosti. Esli F0 (x) sootvetstvuet diskretnomu raspredeleni s zakonom raspredeleni y1 p1 ... ... yj pj ... ... ym pm to dl proverki H stroits tablica qastot y1 ν1 ... ... yj νj ... ... ym νm i v kaqestve mery rashodeni teoretiqeskogo i mpiriqeskoPm 2 go zakonov raspredeleni vybiraets veliqina j=1 cj (νj − pj ) , gde ko fficienty cj > 0 mono v principe vybrat~ proizvol~no. Pri cj = n/pj , gde n — obem vyborki, tu veliqinu Pm oboznaqat simvolom χ2 = j=1 pnj (νj − pj )2 . V sluqae, kogda F0 (x) sootvetstvuet nepreryvnomu raspredeleni, dl proverki H pribegat k gruppirovke i vmesto tablicy qastot ispol~zut tablicu interval~nyh qastot [a0 , a1 ) ỹ1 ν̃1 ... ... ... [aj−1 , aj ) ỹj ν̃j ... ... ... [am−1 , am ] ỹm ν̃m a verotnosti pj , ispol~zuemye pri vyqislenii veliqiny χ2 , rassqityvats po formule pj = F0 (aj ) − F0 (aj−1 ) . 138 Teorema 4.3. ( Teorema Pirsona ) . Esli verna gipoteza H , to pri n → ∞ raspredelenie veliqiny χ2 stremits k χ2 -raspredeleni s m − 1 stepenmi svobody. Kriteri$ i χ2 razmera α dl proverki gipotezy H oprede2 — lets kritiqesko$ i oblast~ W = {x : χ2 >χ21−α }, gde χ1−α 2 kvantil~ χ -raspredeleni s m − 1 stepenmi svobody. k 5. Upraneni 1 . Postroit~ variacionny$ i rd, tablicu qastot, ∗ ∗ i vyqislit~ x , α2 , µ2 , s2 dl vyborki: 1) ( 5; 3; 4; 1; 1; 6; -2; 6; 6; 5; -2; 2; 7; 6; 2; 8; 2) ( 3; 6; 2; 4; 3; 1; 4; 5; 0; 1; 7; 7; 4; 8; 8; 0; 3) ( -1; 8; 5; -2; 4; -1; -1; 6; 1; -2; 1; 2; 1; 8; 8; 2; 4) ( 2; 2; 5; 1; 4; 0; 0; 4; 2; 3; 7; 0; 6; 2; 1; 8; 5) ( 4; 5; 8; 7; -2; 3; 8; 2; 5; 3; 3; 3; 1; 2; 0; -2; 6) ( 2; 3; 1; 3; 0; 4; 3; 1; 8; 5; 3; 2; 1; 6; 3; 6; 7) ( -2; -1; 1; -1; -2; 3; 5; 3; 7; -2; 0; 5; 2; 1; -1; 5; 8) ( 2; 3; 3; 0; 1; -1; 4; -1; 8; -1; 2; 1; 7; 6; 1; 5; 9) ( 6; 1; 0; 3; 0; 1; 2; 3; 0; 7; 4; 6; 8; 1; 3; 2; 10) ( 8; 4; 1; -1; 3; 0; 8; -1; -2; 1; 4; 8; 3; 2; 7; 7; k grafik F ∗ (x) 7; -2; 8; 5; 8; 0; 1; -1; -1; 4; 4; 2; 0; 8; -2; 4; 7; 2; 8; 3; -2; 0; -2; -2; 4; 2; 8; 5; 5; 8; 2). 3). 5). 1). 2). 0). 6). 1). 1). 1). 2 . Postroit~ variacionny$ i rd, tablicu interval~nyh qastot s intervalami [k − 0, 5 ; k + 0, 5), k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 dl vyborki: 1) ( 0,98; -0,95; 1,01; -0,19; 0,83; -0,51; -1,57; 0,14; 0,60; -0,02; -0,66; 0,74; -0,49; 0,62; -0,49; -0,21; -0,57; -1,15; 1,21; 0,53 ). 2) ( -0,19; -0,13; 0,07; -1,18; 1,00; -0,07; -0,36; -0,17; -2,20; 2,06; -1,33; 0,37; 1,21; 2,04; -1,17; -0,69; 2,50; 0,45; -1,31; -0,08 ). 3) ( -1,25; -0,26; -0,61; -0,31; -2,01; 2,32; 0,85; -0,94; -1,39; 0,80; 0,37; -1,72; -1,31; 2,12; -0,68; 0,84; 0,45; 0,59; 0,22; -0,42 ). 4) ( -0,41; -2,33; -0,19; 1,42; 1,05; 1,94; -1,24; 1,09; -0,11; 0,96; -1,58; -1,00; -0,98; -0,97; -1,23; 0,21; -2,67; 0,82; 0,07; -2,96 ). 5) ( 0,33; 0,41; 0,19; -0,68; 2,01; -0,07; 0,58; 2,32; 2,78; 0,69; -0,62; -2,02; 0,87; -1,45; -1,55; -0,28; 2,10; 1,29; 1,12; -0,80 ). 6) ( 0,57; 0,53; 0,52; 0,84; 1,71; 1,00; -0,48; 0,98; 0,08; -0,94; 1,52; 0,16; -0,31; -0,18; 1,66; -1,70; 0,54; -0,15; -0,34; -0,20 ). 7) ( 0,76; 0,52; 0,72; -2,07; 0,22; -0,09; 1,70; -0,57; -1,65; 1,20; -1,24; -0,96; 0,41; 0,52; 0,37; 2,21; -0,47; 1,68; -0,26; -0,63 ). 8) ( -0,49; 0,40; -0,78; -1,00; -0,63; 0,91; 1,94; 0,41; -0,35; 1,97; -0,60; 1,45; 0,99; -1,19; 0,41; 1,36; 3,35; 0,31; 0,50; 1,08 ). 9) ( 0,35; 0,20; 0,39; -0,40; -1,04; -1,04; -0,01; -1,73; -0,74; 0,10; 0,74; 1,18; -0,38; 1,06; 0,87; 1,11; -1,61; -0,38; -0,07; 1,75 ). 10) ( -0,64; -1,15; 0,72; 1,02; 0,39; -0,93; 1,84; 0,78; 1,98; 1,85; -0,10; 1,63; 1,17; 1,03; -0,72; -1,38; 0,24; 0,60; 1,09; -0,37 ). 139 k 3 . Na$ iti ocenki parametrov ravnomernogo diskretnogo raspredeleni po metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi dl vyborok 1 — 10 zadaqi 1. k iti ocenki parametrov ravnomernogo nepreryvnogo ras4 . Na$ predeleni po metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2. 5 . Na$ iti ocenku parametra p binomial~nogo raspredeleni po metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi pri n = 10 dl vyborok 2, 4, 6, 9 zadaqi 1. k 6 . Na$ iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametra m normal~nogo raspredeleni pri σ 2 = 1 dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99. k 7 . Na$ iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametra σ 2 normal~nogo raspredeleni pri m = 0 dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99. k 8 . Na$ iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametrov normal~nogo raspredeleni dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99. 9 . Proverit~ po kriteri χ2 razmera 0,01 gipotezu, qto vyborka ( 5; 3; 4; 1; 1; 6; -2; 6; 6; 5; -2; 2; 7; 6; 2; 8; 7; -2; 8; 2; -1; 8; 5; -2; 4; -1; -1; 6; 1; -2; 1; 2; 1; 8; 8; 2; 1; -1; -1; 5 ) imeet ravnomernoe diskretnoe raspredelenie s m = −2, n = 8 . 10 . Proverit~ po kriteri χ2 razmera 0,01 gipotezu, qto vyborka ( 0,98; -0,95; 1,01; -0,19; 0,83; -0,51; -1,57; 0,14; 0,60; -0,02; -0,66; 0,74; -0,49; 0,62; -0,49; -0,21; -0,57; -1,15; 1,21; 0,53; -0,19; -0,13; 0,07; -1,18; 1,00; -0,07; -0,36; -0,17; -2,20; 2,06; -1,33; 0,37; 1,21; 2,04; -1,17; -0,69; 2,50; 0,45; -1,31; -0,08; -1,25; -0,26; -0,61; -0,31; -2,01; 2,32; 0,85; -0,94; -1,39; 0,80 ) imeet normal~noe raspredelenie s m = 0, σ 2 = 1. 11 . Po kriteri Ne$ imana-Pirsona razmera 0,01 proverit~ gipotezu o normal~nom raspredelenii H = (m = 0, σ 2 = 1) pri al~ternative H = (m = 0.5, σ 2 = 1) po vyborke iz zadaqi 10. 140 Bibliografiqeski$ i spisok s. 1. Klini S. K. Matematiqeska logika. M.: Mir, 1973. 480 2. Kuratovski$i K., Mostovski$i A. Teori mnoestv. M.: Mir, 1970. 416 s. 3. Burbaki N. Teori mnoestv. M.: Mir, 1965. 456 s. 4. Kramer G. Matematiqeskie metody statistiki. M.: Mir, 1975. 648 s. 5. Sbornik zadaq po matematike dl vtuzov. Q. 3. /Pod red. A. V. Efimova. M.: Nauka. 428 s. OGLAVLENIE Predislovie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. Matematiqeska logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Funkcii algebry logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovnye opredeleni i sootnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polnye mnoestva bulevyh funkci$ i. Bazisy . . . . . . . . . . . . Bulevy algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Isqislenie vyskazyvani$ i ...................................... Osnovnye opredeleni i sootnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metody dokazatel~stva tavtologi$ i i sledstvi$ i......... Aksiomatiqeskie isqisleni vyskazyvani$ i............... 3. Isqislenie predikatov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Predikaty v koneqno$ i predmetno$ i oblasti . . . . . . . . . . . . . . Aksiomatiqeskie isqisleni predikatov . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formal~nye sistemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Teori mnoestv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standartnye mnoestva i operacii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binarnye otnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Funkcii i mnoestva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Mownost~ mnoestv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Posledovatel~nosti mnoestv. σ -algebry mnoestv . . . . . . . . 5. Izmerimye prostranstva. Mery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Nekotorye kombinatornye formuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Teori verotnoste$ i ............................................ 1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 1.1. 1.2. 3 4 4 5 10 11 14 14 17 22 29 29 30 34 37 38 47 47 47 52 56 58 59 61 63 64 67 141 1. Vvedenie. mpiriqeskie predposylki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2. Sobyti. Operacii nad sobytimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3. Verotnost~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Opredeleni i svo$ istva verotnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Uslovna verotnost~. Nezavisimost~ sobyti$ i . . . . . . . . . . 73 4. Sluqa$ inye veliqiny i vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Odnomernye raspredeleni i ih harakteristiki . . . . . . . . 76 Sluqa$ inye veliqiny i ih raspredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Mnogomernye raspredeleni i ih harakteristiki . . . . . . 82 Sluqa$ inye vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5. Matematiqeskoe oidanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6. Harakteristiqeskie funkcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7. Predel~nye teoremy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 IV. Teori sluqa$ inyh processov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1. Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2. Sluqa$ inye processy vtorogo pordka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3. Differencirovanie, integrirovanie sluqa$ inyh processov 106 4. Razloenie Karunena–Lo va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5. Stacionarnye sluqa$ inye processy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 V. Matematiqeska statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1. Osnovnye ponti i opredeleni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 2. mpiriqeskie harakteristiki vyborki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3. Ocenivanie parametrov raspredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Metod momentov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Metod maksimal~nogo pravdopodobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Interval~nye ocenki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4. Proverka statistiqeskih gipotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Proverka prostyh gipotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Kriteri$ i χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Bibliografiqeski$ i spisok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.1. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. 4.2. 142 Zameqennye opeqatki v fa$ ile leks-1k2 Str. Stroka 13 8 sn 38 1 sn 39 12 sv 54 8 sn 56 2 sn 60 5 sv 60 77 77 83 86 118 118 119 119 119 119 119 119 119 119 120 Napeqatano f (x∧y) = f (x) ∨ f (y) . teoremu 2 i tabl 5 Rn x ∈ Dom g lim (An \B) n→∞ 7 sv lim (An \B) = ( lim An )\B 4 4 15 11 4 13 9 14 15 11 9 8 4 5 5 sn sn sv sv sv sn sv sv sv sn sn sn sn sn sv 121 15 sn n→∞ n→∞ Dolno byt~ f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y) (sm. primer 1.1). teoremu 1.2 i tabl 3 M x ∈ Dom f lim (Bn \A) n→∞ lim (Bn \A) = ( lim Bn )\A n→∞ n→∞ max(0, M + n − N ) max{0, M + n − N } min(n, M ) min{n, M } teoremy 1. teoremy 4.2. ) ). Teorema 1.2. Teorema 2.1. Pn Pn k k i=1 x i=1 xi Teorema 2.1. Teorema 2.2. ∗ ∗ e ∗ e Dµ2 = Dµ Dµ∗k = Dµ 2 k ∗ ∗ e e Dµ2 Dµk ∗ ∗ ∗ αk ( ξ ) i αk ( ξ ) αk (ξ ) i µ∗k (ξ ) teoremy 3.7.3 teoremy III.7.3. Po teoreme 2.1 Po teoreme 2.2 1 Pn (x − m)2 s20 = α2∗ − m2 s20 = n i=1 i Teorema 2.2. Teorema 2.3. Teorema 2.3. Zameqanie. Netrudno 2 dokazat~ ravenstvo s0 = µ∗2 + (x − m)2 . P (.| θ : P (.|θ ) : 143 Opredelenie 1.1 (Bulevy funkcii). Opredelenie 1.2 (Standartnye tablicy). Opredelenie 1.3 (Dvo$ istvennye funkcii). Teorema 1.1 (Svz~ tablic funkci$ i f i f ∗ ). Sledstvie 1 (Funkci f ∗∗ ). Sledstvie 2 (Princip dvo$ istvennosti). Teorema 1.2 (Dvo$ istvenna k slono$ i funkcii). Primer 1.1 (Tabliqnye dokazatel~stva ravenstv). Teorema 1.3 (Osnovnye sootnoxeni). Sledstvie (Podstanovka formul v ravenstva). Opredelenie 1.4 (Polnye mnoestva funkci$ i, bazisy). Opredelenie 1.5 (lementarnye konnkcii, diznkcii). Teorema 1.4 (Svo$ istva funkci$ i c a ( x ), d a (x )). Opredelenie 1.6 (DNF, KNF, SDNF, SKNF). Teorema 1.5 (Predstavleni bulevyh funkci$ i). Teorema 1.6 (Bazisy). Opredelenie 1.7 (Buleva algebra). Primer 1.2 (Buleva algebra B ). Primer 1.3 (Buleva algebra BM ). Teorema 1.7 (Osnovnye sootnoxeni bulevo$ i algebry). Teorema 1.8 (Otnoxenie 6 v bulevo$ i algebre). i algebre). Teorema 1.9 (Svo$ istva 6 v bulevo$ Opredelenie 1.8 (Bulevy podalgebry). Teorema 1.10 (Podalgebra, porodenna mnoestvom). Opredelenie 1.9 (Izomorfizm bulevyh algebr). Primer 1.4 (Buleva algebra podmnoestv). Opredelenie 2.1 (Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye i oproverimye formuly, todestvenno ravnye formuly). Teorema 2.1 (Nekotorye zakony logiki). 144 Primer 2.1 (Dokazatel~stvo tavtologi$ i s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti). Opredelenie 2.2 (Otnoxenie sledovani). Teorema 2.2 (Nekotorye logiqeskie sledstvi). Primer 2.2 (Tabliqnoe dokazatel~stvo sekvenci$ i). Teorema 2.3 (Svo$ istva znaka |= ). Opredelenie 2.3 (Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$ i). Teorema 2.4 (Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$ i dopuweni). Sledstvie (Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$ i). Teorema 2.5 (O protivoreqivyh spiskah dopuweni$ i). Teorema 2.6 (Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov). Primer 2.3 (Dokazatel~stvo s pomow~ teorem 2.3 — 2.6). Teorema 2.7 (Podstanovka formul v tavtologii). Teorema 2.8 (Teorema o zamene). Teorema 2.9 (Rezolcii). Primer 2.4 (Dokazatel~stvo metodom rezolci$ i). Opredelenie 2.4 ( Shemy aksiom IV). Opredelenie 2.5 (Vyvod i dokazatel~stvo v IV). Primer 2.5 (Dokazatel~stvo formal~no$ i teoremy ` A → A ). Teorema 2.10 (O dedukcii). Sledstvie. Esli A1 , . . . , Am ` B , to . . . , ` A1 → (A2 → (. . . (Am → B) . . .)) . A1 , . . . , Am−1 ` Am → B, Teorema 2.11 (O polnote IV). Teorema 2.12 (O neprotivoreqivosti IV). Sledstvie. (O prosto$ i neprotivoreqivosti IV). Opredelenie 2.6 (Shema aksiom IS). Opredelenie 2.7 (Pravila vyvoda IS). Opredelenie 2.8 (Vyvod v IS). Teorema 2.13 (O polnote IS). 145 Opredelenie 3.1 (Predikaty). Opredelenie 3.2 (Kvantory, ograniqennye mnoestvom). Opredelenie 3.3 (Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom). Opredelenie 3.4 (Tavtologii v isqislenii predikatov). Teorema 3.1 (Nekotorye tavtologii isqisleni predikatov). Teorema 3.2 (Osnovnye svo$ istva kvantorov). Teorema 3.3 (Pravila obobweni i konkretizacii). Opredelenie 3.5 (Shemy aksiom i pravila vyvoda IP). Teorema 3.4 (Pravila vvedeni i udaleni kvantorov). Teorema 3.5 (Pravila pereimenovani peremennyh). Sledstvie. Esli predikaty A, B otliqats tol~ko svzannymi peremennymi, to : 1) ` A ∼ B, 2) esli ` A , to ` B . Opredelenie 3.6 (Zamknutye predikaty, zamykanie). Teorema 3.6 (O zamykanii). Opredelenie 4.1 (zyk IPFP). Opredelenie 4.2 (Podstanovki termov v formuly). Aksiomy ravenstva Opredelenie 4.3 (Neopredelennoe opisanie). Teorema 4.1 (Udalenie neopredelennogo opisani [1]). Aksioma ASτ . Opredelenie 4.4 (Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni). Teorema 4.2 (Ob odnoznaqnyh i funkcional~nyh sootnoxenih). 146 kzamenacionnye voprosy 1. Bulevy funkcii, 5. 2. Dvo$ istvennye funkcii. Svz~ tablic funkci$ i f, f ∗ , 6. 3. Dvo$ istvenna k slono$ i funkcii, 7. 4. Osnovnye sootnoxeni, 8. 5. Podstanovka formul v ravenstva, 9. 6. Polnye mnoestva funkci$ i, bazisy), 10. 7. lementarnye konnkcii, diznkcii, 10. 8. Svo$ istva funkci$ i c a ( x ), d a ( x ) , 10. 9. DNF, KNF, SDNF, SKNF, 10. 10. Predstavleni bulevyh funkci$ i, 10. 11. Bazisy, 11. 12. Buleva algebra, 11. 13. Bulevy algebry B, BM , 12. 14. Osnovnye sootnoxeni bulevo$ i algebry, 12. i algebre i ego svo$ istva, 12. 15. Otnoxenie 6 v bulevo$ 16. Bulevy podalgebry, 13. 17. Podalgebra, porodenna mnoestvom, 13. 18. Izomorfizm bulevyh algebr, 13. 19. Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye i oproverimye formuly, todestvenno ravnye formuly, 14. 20. Nekotorye zakony logiki, 15. 21. Otnoxenie sledovani. Primery logiqeskih sledstvi$ i, 16. 22. Svo$ istva znaka |= , 17. 23. Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$ i, 17. 24. Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$ i dopuweni, 17. 25. Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$ i, 17. 26. O protivoreqivyh spiskah dopuweni$ i, 17. 27. Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov, 18. 28. Podstanovka formul v tavtologii, 20. 29. Teorema o zamene, 20. 30. Rezolcii, 20. 31. Shemy aksiom IV, 22. 32. Vyvod i dokazatel~stvo v IV, 23. 33. Teorema o dedukcii, 23. 34. Teorema o polnote IV, 26. 35. Teorema o neprotivoreqivosti IV, 26. 147 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 148 Teorema o prosto$ i neprotivoreqivosti IV, 26. Shema aksiom IS, 27. Pravila vyvoda IS, 27. Vyvod v IS, 28. Teorema o polnote IS, 28. Predikaty, 29. Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom, 30. Tavtologii v isqislenii predikatov, primery, 32. Osnovnye svo$ istva kvantorov, 33. Pravila obobweni i konkretizacii, 33. Shemy aksiom i pravila vyvoda IP, 34. Pravila vvedeni i udaleni kvantorov, 35. Pravila pereimenovani peremennyh, 36. Zamknutye predikaty, zamykanie, 36. Teorema o zamykanii, 36. zyk IPFP, 37. Podstanovki termov v formuly, 37. Aksiomy ravenstva, 38. Neopredelennoe opisanie, 39. Aksioma terma τ , 39. Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni, 39.