Логика; множества; вероятность
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
V.A. Leksaqenko
LOGIKA. MNOESTVA. VEROTNOST^
2005
UDK 510.4(075)
BBK 22.12l7
L43
Leksaqenko V. A. Logika. Mnoestva. Verotnost~: Uqeb.
posobie. 2-e izd., ispr. i dop./SPbGUAP. SPb., 2005. 135s.
L43
Uqebnoe
posobie
prednaznaqeno
dl studentov
mladxih
kursov tehniqeskih
vuzov.
Cel~
vlets
oznakomlenie
studentov
s
glavnymi
matematiqeskimi
pontimi
razdelov, pereqislennyh
v zaglavii,
i metodami
rexeni
osnovnyh
matematiqeskih
zadaq.
Material
posobi
predstavlet
sobo$
i rasxirennye
konspekty
lekci$
i, qitaemyh
avtorom po kursam
"Matematiqeska
logika"
i
"Teori
verotnoste$
i
,
matematiqeska
statistika,
teori
sluqa$
i
nyh
processov".
V
konce
kadogo
razdela
imets
upraneni,
qast~ oqno$
kotoryh
moeti byt~
studentov
i i zaoqno$
form ispol~zovana
obuqeni. kak kontrol~nye raboty dl
Recenzenty:
kafedra
matematiki
Voenno-kosmiqesko$
i akademii
im.
A. F.vysxe$
Moa$iiskogo;
doktor
fiziko-matematiqeskih
nauk
N. . Kirpiqnikova
Utverdeno
redakcionno-izdatel~skim
sovetom
universiteta
v kaqestve uqebnogo
posobi
Sdano
vofsetna.
nabor 3.05.05. Podpisano
k peqati 31.10.05. Usl.
Formatpeq.60×84
/ .
Bumaga
Peqat~
ofsetna.
l.
7,84.
Usl. kr.-ott. 7,97. Uq.-izd. l. 7,69. Tira 500 kz. Zakaz
Redakcionno-izdatel~ski$
i otdel biblioteki
Otdel lektronnyh
publikaci$
i
i
bibliografii
Otdel operativno$
i
poligrafii
SPbGUAPul. B.Morska, 67
190000, Sankt-Peterburg,
1
c
16
GOU
VPO "Sankt-Peterburgski$
i
gosudarstvenny$
i
universitet
a rokosmiqeskogo priborostroeni", 2005
PREDISLOVIE
Uqebnoe posobie prednaznaqeno dl pervonaqal~nogo izuqeni studentami tehniqeskih vuzov sleduwih vzaimosvzannyh
razdelov matematiki: matematiqeska logika, teori mnoestv,
teori verotnoste$
i, teori sluqa$
inyh processov, matematiqeska statistika. Matematiqeska logika daet studentu bolee
polnoe predstavlenie o logiqeskih sredstvah, ispol~zuemyh v
matematiqeskih rassudenih, a take vlets osnovo$
i takih
prikladnyh disciplin, kak informatika i vyqislitel~na tehnika. V matematiqesko$
i logike studenty vpervye stalkivats
s pontiem bulevo$
i algebry. Teori mnoestv, kotoru mono rassmatrivat~ kak prikladno$
i razdel matematiqesko$
i logiki, vlets osnovo$
i vseh razdelov sovremenno$
i matematiki.
Rassmatrivaemye v tih razdelah sistemy mnoestv obyqno
vlts bulevymi algebrami podmnoestv nekotorogo mnoestva, nazyvaemogo prostranstvom. V teorii verotnoste$
i, teorii
sluqa$
inyh processov, matematiqesko$
i statistike osnovnym matematiqeskim pontiem vlets buleva algebra sobyti$
i, traktuemyh kak podmnoestva prostranstva vseh ishodov statistiqeskogo ksperimenta. Takim obrazom, ponti mnoestva i
bulevo$
i algebry vlts sternmi, soedinwimi razdely
uqebnogo posobi. Cel~ avtora vlets oznakomlenie qitatel s osnovnymi matematiqeskimi pontimi tih razdelov i
metodami rexeni neslonyh zadaq.
Pri izuqenii pervyh dvuh razdelov ot studentov trebuets
znanie matematiki i lementov ”naivno$
i” teorii mnoestv, v
obeme, predusmotrennom xkol~no$
i programmo$
i. Izloenie posleduwih razdelov uqityvaet to, qto po suwestvuwim programmam obuqeni im predxestvut kursy line$
ino$
i algebry i
matematiqeskogo analiza. V konce razdelov privodts upraneni. Upraneni s nomerami, snabennymi verhnim indesom
”k”, imet primery rexeni$
i. Ih mono ispol~zovat~ kak domaxnie zadani i kontrol~nye raboty dl studentov oqno$
i i
zaoqno$
i form obuqeni.
Razdely posobi numeruts rimskimi ciframi, a podrazdely — arabskimi. Vnutri kadogo podrazdela nomer opredeleni (teoremy, primera) sostoit iz nomera podrazdela, posle
kotorogo qerez toqku sleduet pordkovy$
i nomer opredeleni
(teoremy, primera). Esli trebuets ssylka na drugo$
i razdel,
to sleva k nomeru dobavlets nomer razdela i toqka.
3
I. MATEMATIQESKA LOGIKA
1. Funkcii algebry logiki
S povleniem cifrovyh vyqislitel~nyh maxin (CVM) razdel matematiki, nazyvaemy$
i algebro$
i logiki, stal neotemlemo$
i qast~ inenernyh disciplin, posvwennyh proektirovani vyqislitel~nyh maxin. tomu sposobstvovalo sluqa$
inoe
sovpadenie — v klassiqesko$
i logike vyskazyvani prinimat
dva znaqeni: 0 (lo~), 1 (istina), a v osnovu konstrukcii
sovremennyh CVM po soobraenim, svzannymi s prostoto$
i i
nadenost~ realizacii, byli poloeny lektronnye lementy
s dvum usto$
iqivymi sostonimi* (ih take printo oboznaqat~ simvolami 0, 1). D. Bul~, vpervye primenivxi$
i v seredine XIX veka algebraiqeskie metody k rexeni tradicionnyh
logiqeskih zadaq, sozdal algebru logiki, vlwus po suwestvu teorie$
i funkci$
i, argumenty kotoryh i sami funkcii
prinimat znaqeni iz mnoestva B = {0, 1} . ti obstotel~stva pozvolili proektirovwikam CVM vekom poze vospol~zovat~s gotovym matematiqeskim apparatom algebry logiki, sozdannym ranee dl drugih cele$
i.
Kady$
i sovremenny$
i xkol~nik znaet, qto CVM vlets
sredstvom obrabotki informacii, predstavlemo$
i mnogorazrdnymi dvoiqnymi qislami. Dl togo qtoby qislo (x1 . . . xn )2
mono bylo by sqitat~ informacie$
i, kado$
i cifre xi ili
gruppe cifr togo qisla pridaets opredelenny$
i smysl. Naprimer, informaci o qislovyh dannyh s plavawe$
i zapto$
i
soderit gruppy cifr, predstavlwie v dvoiqno$
i sisteme
sqisleni mantissu qisla, ego pordok, znak pordka i znak
mantissy; informaci o komande soderit gruppy cifr, predstavlwie kod operacii, adresa operandov i moet byt~ nekotorye dopolnitel~nye gruppy cifr; informaci ob ustro$
istvah (blokah) CVM predstavlets qislami, nazyvaemymi slovami sostoni ustro$
istv. Odnako, kakov by ni byl smysl
komponent informacii, v lbom ustro$
istve CVM kada cifra vyhodno$
i informacii vlets funkcie$
i algebry logiki
(bulevo$i funkcie$i) vida f (x1 , . . . , xn ) . Avtor nadeets, qto taka interpretaci bulevyh funkci$
i budet dopolnitel~no stimulirovat~ interes k matematiqesko$
i logike u naqinawih ee
izuqat~.
Odna iz pervyh sovetskih CVM | maxina "Setun~" byla postroena
na osnove lementov s trem usto$iqivymi sostonimi.
*
4
1.1. Osnovnye opredeleni i sootnoxeni
Mnoestvo n-komponentnyh vektorov x = (x1 , . . . , xn ) , komponenty kotoryh prinimat znaqeni 0 ili 1, oboznaqim simvolom Bn i poloim B1 = B .
Opredelenie 1.1 (Bulevy funkcii). Bulevo$i funkcie$i n peremennyh ili n-arno$i operacie$i v B ( unarno$i pri n = 1 , binarno$i
pri n = 2) nazyvaets funkci s oblast~ opredeleni Bn i oblast~ znaqeni$i B . Funkci n peremennyh budet oboznaqat~s
simvolami f (x1 , . . . , xn ) ili f (x ) .
Kadomu vektoru x = (x1 , . . . , xn ) iz mnoestva Bn vzaimno odnoznaqno sootvetstvuet ego nomer N ( x) , predstavlenny$
i
n-razrdnym dvoiqnym qislom (x1 . . . xn )2 . Po tomu koliqestvo
lementov mnoestva Bn ravno koliqestvu n-razrdnyh dvoiqnyh qisel, kotoroe, kak izvestno, ravno 2n . Koneqnost~ oblasti
opredeleni bulevyh funkci$
i pozvolet zadavat~ ih tabliqnym
sposobom (tabl. 1)
Tablica 1
Tabliqnoe zadanie bulevyh funkci$
i
x1
1
...
...
...
...
...
...
xn−1
1
xn
1
1
1
f (x1 , . . . , xn−1 , xn )
f (0, . . . , 0, 0)
f (0, . . . , 0, 1)
f (0, . . . , 1, 0)
...
f (1, . . . , 1, 1)
Opredelenie 1.2 (Standartnye tablicy). Tabliqnoe zadanie
funkcii f (x ), v kotorom stroki argumentov sledut v pordke
vozrastani nomerov vektorov x , budem nazyvat~ standartnym.
V standartnyh tablicah bulevo$
i funkcii f vzaimno odnozn
naqno sootvetstvuet vektor (f (0, . . . , 0), . . . , f (1, . . . , 1)) ∈ B(2 ) i
nomer N (f ) , ravny$
i nomeru togo vektora. Qislo funkci$
i n
(2n )
peremennyh ravno qislu takih vektorov, t. e. 2
. Pri n = 0
mnoestvo funkci$
i svodits k dvum konstantam 0 i 1. Qislo bulevyh funkci$
i odno$
i i dvuh peremennyh ravno 4 i 16,
sootvetstvenno. V tabl. 2 predstavleny vse funkcii odno$
i i
dvuh peremennyh, priqem dl kompaktnogo predstavleni vseh
funkci$
i vektory peremennyh predstavleny v vide stolbcov, a
vektory funkci$
i — v vide strok.
5
Tablica 2
Bulevy funkcii odno$
i i dvuh peremennyh
x
1
Oboznaqenie
f0 (x)
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
1
1
1
1
x
x, ¬x
1
x
y
f0 (x, y)
f1 (x, y)
f2 (x, y)
f3 (x, y)
f4 (x, y)
f5 (x, y)
f6 (x, y)
f7 (x, y)
f8 (x, y)
f9 (x, y)
f10 (x, y)
f11 (x, y)
f12 (x, y)
f13 (x, y)
f14 (x, y)
f15 (x, y)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Oboznaqenie
x∧y, x · y
x\y
x, δ1 (x, y)
y\x
y, δ2 (x, y)
x ⊕ y, x + y
x∨y
x↓y
x ∼ y, xy
y
y→x
x
x→y
x|y
1
Naimenovanie
Otricanie
Naimenovanie
Konnkci
Raznost~
1- koordinata
Raznost~
2- koordinata
Sloenie mod 2
Diznkci
Strelka Pirsa
kvivalenci
Implikaci
Implikaci
Xtrih Xeffera
Opredelenie 1.3 (Dvo$
istvennye funkcii). Dvo$istvenno$i
f (x1 , . . . , xn ) nazyvaets funkci f ∗ (x1 , . . . , xn ) f (x1 , . . . , xn ) .
k
Teorema 1.1 (Svz~ tablic funkci$
i f i f ∗ ). Tablica dl f ∗
poluqaets iz tablicy dl f zameno$i vseh nule$i edinicami,
edinic — nulmi, oboznaqeni f v zagolovke na f ∗ i perestanovko$i strok dl privedeni tablicy k standartnomu vidu.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Dl kado$
i stroki x1 , . . . , xn , f ∗ (x1 , . . . , xn )
v tablice dl f ∗ na$
idets stroka x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn ) v tablice dl f i v tih strokah f ∗ (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) . J
Sledstvie 1 (Funkci f ∗∗ ). f ∗∗ (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) .
Sledstvie 2 (Princip dvo$
istvennosti). Sleduwie ravenstva
∗
f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ), f (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) ravnosil~ny.
6
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) , to po
opredeleni 1.3 f ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) . Obratno, esli
f ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (x1 , . . . , xn ) , to f ∗∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗∗ (x1 , . . . , xn ) i
po sledstvi 1 f (x1 , . . . , xn ) = g(x1 , . . . , xn ) . J
Tablica 3
Dvo$
istvennye funkcii n peremennyh pri n = 0, 1, 2
f = f ∗∗
1
x
x
x∧y
x|y
f∗
x→y
x∼y
x
x
x∨y
x↓y
y\x
x⊕y
Teorema 1.2 (Dvo$
istvenna k slono$
i funkcii). Pust~ f1 , . . . , fk
— bulevy funkcii n peremennyh, g — buleva funkci k peremennyh, F (x1 , . . . , xn ) = g(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) . Togda
F ∗ (x1 , . . . , xn ) = g ∗ (f1∗ (x1 , . . . , xn ), . . . , fk∗ (x1 , . . . , xn )) ,
t. e. dl poluqeni dvo$istvenno$i k slono$i funkcii F nuno
vse funkcii, vhodwie v F , zamenit~ na dvo$istvennye.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz opredeleni otricani sleduet formula x = x. Uqityva ee, poluqim
F ∗ (x1 , . . . , xn ) = F (x1 , . . . , xn ) = g(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fk (x1 , . . . , xn )) =
= g(f1 (x1 , . . . , xn ) . . . fk (x1 , . . . , xn )) = g ∗ (f1 (x1 , . . . , xn ) . . . fk (x1 , . . . , xn )) =
= g ∗ (f1∗ (x1 , . . . , xn ), . . . , fk∗ (x1 , . . . , xn )). J
V sleduwe$
i teoreme privodts ravenstva dl bulevyh
funkci$
i, neobhodimye pri uprowenii logiqeskih formul. V
silu principa dvo$
istvennosti v kado$
i stroke formul nado
dokazat~ tol~ko odno ravenstvo.
i
Primer 1.1 (Tabliqnye dokazatel~stva ravenstv). Razvernuty$
variant dokazatel~stva a ∨ b = a∧b priveden v tablice, pomewenno$
i v ramki, a kompaktny$
i variant v tablice bez ramok, v kotoro$
i rezul~taty operaci$
i pixuts pod ih znakami (po tomu dl otricani ispol~zuets znak ¬ vmesto
).
a b
1
1
1
1
a∨b
a∨b
a
b
a∧b
1
1
1
1
1
1
1
1
1
¬(a∨b ) = (¬a)∧(¬b )
1
00
01
11
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
Teorema 1.3 (Osnovnye sootnoxeni). Esli a, b, c ∈ B , to :
1) a ∨ b = b ∨ a ,
2) a∧b = b∧a
— kommutativnost~ operaci$i ∨ , ∧ ;
3) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c,
4) a∧(b∧c) = (a∧b)∧c
— associativnost~ operaci$i ∨ , ∧ ;
5) a ∨ (b∧c) = (a ∨ b)∧(a ∨ c),
6) a∧(b ∨ c) = (a∧b) ∨ (a∧c)
— distributivnost~ operaci$i ∨ , ∧ ;
7) a ∨ a = a,
8) a∧a = a
— idempotentnost~ operaci$i ∨ , ∧ ;
9) a ∨ a = 1 ,
10) a∧a = 0
— zakony isklqennogo tret~ego i protivoreqi ;
12) a∧b = a ∨ b
11) a ∨ b = a∧b,
— zakony de Morgana ;
13) a ∨ (a∧b) = a ,
14) a∧(a ∨ b) = a
— zakony pogloweni ;
15) a ∨ 0 = a,
16) a∧1 = a ;
17) a ∨ 1 = 1,
18) a∧0 = 0 ;
19) a = a — zakon dvo$inogo otricani ;
20) a → b = a ∨ b,
21) b\a = b∧a ;
23) a|b = a∧b ;
22) a↓b = a ∨ b ,
24) a ⊕ b = (a ∨ b)∧(a ∨ b) ,
25) a ∼ b = (a∧b) ∨ (a∧b) ;
26) a ⊕ b = (a\b) ∨ (b\a) ,
27) a ∼ b = (a → b)∧(b → a) ;
28) a ⊕ b = a ∼ b = a ∼ b = a ∼ b, 29) a ∼ b = a ⊕ b = a ⊕ b = a ⊕ b ;
30) a ⊕ b = b ⊕ a,
31) a ∼ b = b ∼ a
— kommutativnost~ operaci$i ⊕ , ∼ ;
32) a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c,
33) a ∼ (b ∼ c) = (a ∼ b) ∼ c
— associativnost~ operaci$i ⊕ , ∼ ;
35) (a ∼ b) ∨ c = (a ∨ c) ∼ (b ∨ c)
34) (a ⊕ b)∧c = (a∧c) ⊕ (b∧c) ,
— distributivnost~ operaci$i ⊕ , ∧ i ∼ , ∨ ;
37) a ∼ 0 = a ;
36) a ⊕ 1 = a,
39) a ∼ 1 = a ;
38) a ⊕ 0 = a ,
40) a ⊕ a = 0 ,
41) a ∼ a = 1 ;
42) a ∨ b = a ⊕ b ⊕ (a∧b) ,
43) a∧b = a ∼ b ∼ (a ∨ b) ;
44) a = a↓a,
45) a = a|a ;
47) a∧b = (a|b)|(a|b)
46) a ∨ b = (a↓b)↓(a↓b),
;
a pri b = 1
a pri b = 1
, 49) ab = a ⊕ b =
48) ab = a ∼ b =
.
a pri b = 0
a pri b = 0
Tabliqnoe dokazatel~stvo osnovnyh sootnoxeni$
i rekomenduets qitatel v kaqestve upraneni.
8
Sledstvie (Podstanovka formul v ravenstva). Osnovnye sootnoxeni vypolnts, esli vmesto peremennyh a, b, c podstavit~
formuly lbyh bulevyh funkci$i.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ a = f (x ), b = g(x ), c = h(x ). Pri
tabliqnom dokazatel~stve lbogo iz ravenstv teoremy snaqala
vyqislts znaqeni peremennyh a, b, c , a zatem znaqeni
levo$
i i pravo$
i qaste$
i ravenstva. Poskol~ku ravenstvo vypolnets pri vseh soqetanih znaqeni$
i a, b, c , to ono vypolnets
i v dannom sluqae. J
V silu associativnosti operaci$
i ∨ , ∧ , ⊕ , ∼ vyraeni
a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an , a1 ∧a2 ∧ · · · ∧an , a1 ⊕ a2 ⊕ · · · ⊕ an , a1 ∼ a2 ∼ · · · ∼ an
prinimat odno i to e znaqenie pri lbo$
i rasstanovke skobok vnutri nih i po tomu ti vyraeni uslovims zapisyvat~
bez skobok. Vvedem sokrawennye oboznaqeni:
n
n
n
^
_
M
ai a1 ∨ · · · ∨ an ,
ai a1 ∧ · · · ∧an ,
ai a1 ⊕ · · · ⊕ an .
i=1
i=1
i=1
Sootnoxeni s oboznaqenimi
n
_
i=1
ai ,
n
^
i=1
ai ,
n
M
ai
pri natu-
i=1
i indukcii.
ral~nom n dokazyvats metodom matematiqesko$
Kommutativnost~ operaci$
i^
∨, ∧, ⊕
Mpozvolet vvesti bolee
_
ai , gde M — nepusai ,
ai ,
obwie oboznaqeni
ai ∈M
ai ∈M
ai ∈M
toe
Esli M pusto ( M = ∅), to poloim
_ koneqnoe ^mnoestvo. M
ai 0 .
ai 1 ,
ai 0 ,
ai ∈∅
ai ∈∅
ai ∈∅
Pust~ Γ — koneqny$
i ili pusto$
i spisok V(mnoestvo) formul funkci$
i algebry logiki. Simvolom
Γ oboznaqaets
konnkci vseh formul spiska Γ .
Pri razliqnyh a, b, c netrudno dokazat~ neravenstva:
(a\b)\c 6= a\(b\c), (a → b) → c 6= a → (b → c), (a|b)|c 6= a|(b|c), (a↓b)↓c 6=
6= a↓(b↓c) , oznaqawie neassociativnost~ operaci$
i \, →, |, ↓ .
Po tomu, vyraeni a\b\c, a → b → c, a|b|c, a↓b↓c sleduet sqitat~ nekorrektnymi, tak kak v nih otsutstvut skobki, ukazyvawie na pordok vypolneni operaci$
i.
Dl sokraweni dokazatel~stv, predstavlennyh v vide posledovatel~nosti sootnoxeni$
i: F1 s1 F2 , F2 s2 F3 , . . . , Fn sn Fn+1 ,
v kotorye vhodt formuly Fi svzannye logiqeskimi znakami si =→ ili si =∼, ti dokazatel~stva budut simvoliqeski
zapisyvat~s sleduwim obrazom [F1 ]s1 [F2 ]s2 , . . . , sn [Fn ].
9
1.2. Polnye mnoestva bulevyh funkci$
i. Bazisy
Iz teoremy 1.3 sleduet, qto nekotorye iz bulevyh funkci$
i
mono vyrazit~ qerez drugie i po tomu mnoestvo funkci$
i,
predstavlennyh v tabl. 2 izbytoqno.
Opredelenie 1.4 (Polnye mnoestva funkci$
i, bazisy). Mnoestvo bulevyh funkci$i nazyvaets polnym, esli lba buleva
funkci moet byt~ vyraena qerez funkcii togo mnoestva. Minimal~noe polnoe mnoestvo nazyvaets bazisom.
Opredelenie 1.5 (lementarnye konnkcii, diznkcii).
lementarno$i konnkcie$
i ( diznkcie$i ) nazyvaets funkci
Wn
Vn
c a ( x ) i=1 xiai , d a ( x) c a ( x ) = i=1 xiai , gde a , x ∈ Bn .
Teorema 1.4(Svo$
istva funkci$
i c a (x ), d a ( x) ).
1 pri x = a
0 pri x = a
,
1) c a ( x ) =
, 2) d a ( x ) =
1 pri x 6= a
0 pri x 6= a
3) esli a 6= b , to c a ( x )∧c b (x ) = 0, c a ( x ) ∨ c b ( x ) = c a ( x )⊕c b ( x ).
Vn
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Iz ravenstva c a ( x ) = i=1 (xi ∼ ai ) sleduet, qto c a ( x ) = 1 pri x = a i c a ( x) = 0 pri x 6= a .
istva 1.
2. Formula dl d a ( x ) sleduet iz opredeleni i svo$
3. Iz 1 i a 6= b sleduet c a (x )∧c b ( x ) = 0 , otkuda po osnovnomu
sootnoxeni 42 poluqim c a ( x ) ∨ c b ( x ) = c a (x )⊕c b ( x ). J
Opredelenie 1.6 (DNF, KNF, SDNF, SKNF). Pust~ bij — bu
Wm Vni
leva peremenna ili ee otricanie. Vyraenie
j=1 bij
i=1
nazyvaets diznktivno$i normal~no$i formo$i ( DNF ) funkcii,
Vm Wni
nazyvakotoru ono predstavlet. Vyraenie
i=1
j=1 bij
ets konnktivno$i normal~no$i formo$i (KNF ) funkcii, kotoru ono predstavlet. DNF ( KNF ) nazyvaets soverxenno$i ili
SDNF ( SKNF ) , esli kada peremenna vhodit v kadu lementarnu konnkci ( diznkci ) odin raz.
Teorema 1.5 (Predstavleni bulevyh funkci$
i). Vska funkci
f (x ) predstavlets
formulami :
_
1) f ( x ) =
c a ( x ) (SDNF f )(x) ,
a ∈{f=1}
2) f ( x ) =
^
d a (x ) (SKNF f )( x ) ,
a ∈{f=0}
3) f ( x ) =
_
a∈{f=1}
10
da (x) =
^
a ∈{f=0}
c a (x ) =
M
n
^
a ∈{f=1} i=1
(xi ⊕ai ⊕1) ,
gde {f = 1}, {f = 0} — mnoestva vektorov
f ( x ) = 1 i f ( x ) = 0 , sootvetstvenno.
x
takih, qto
D o k a z a t e l ~ s t v o . sno, qto {1 = 0} = {0 = 1} = ∅ . Po tomu
ravenstvo 1 pri f = 0 i ravenstvo 2 pri f = 1 spravedlivy
po opredeleni. Dokaem 1 i 2 dl ostal~nyh funkci$
i.
1. Esli x takovo, qto f ( x ) = 1 , to x ∈ {f = 1} i v pravo$
i
qasti 1 imeets lementarna konnkci c x ( x ) = 1 , obrawawa pravu qast~ v edinicu. Esli x takovo, qto f (x ) = 0 ,
to x ∈
/ {f = 1} i v pravo$
i qasti 1 vse c a ( x ) = 0 i po tomu
prava qast~ obrawaets v nul~.
2. Esli x takovo, qto f ( x ) = 0 , to x ∈ {f = 0} i v pravo$
i
qasti 2 imeets lementarna diznkci d x ( x ) = 0 , obrawawa pravu qast~ v nul~. Esli x takovo, qto f (x ) = 1 , to
i qasti 2 vse d a (x ) = 1 i po tomu prava
x∈
/ {f = 0} i v pravo$
qast~ obrawaets v edinicu.
3. Pervye dva ravenstva sledut iz 1, 2 i opredeleni
1.5, a tret~e sleduet iz 1, punkta 3 teoremy 1.4 i ravenstv
xa = (x ∼ a) = x⊕y = (x⊕a⊕1) . J
Iz dokazanno$
i teoremy sleduet, qto mnoestva funkci$
i
{∨, ∧, }, {∨, }, {∧, }, {⊕, ∧, 1} polny.
Teorema 1.6 (Bazisy). Sleduwie mnoestva funkci$i vlts
bazisami : 1) {∨, } — diznktivny$i bazis, 2) {∧, } — konnktivny$i bazis, 3) {⊕, ∧, 1} — bazis egalkina, 4) {↓} — bazis
Pirsa, 5) {|} — bazis Xeffera.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Minimal~nost~ {∨, }, {∧, } sleduet iz
togo, qto s pomow~ tol~ko
nevozmono poluqit~ konstanty,
a s pomow~ tol~ko ∧ ili ∨ nevozmono poluqit~ otricanie.
Polnota {↓}, {|} vytekaet iz polnoty {∨, }, {∧, } i osnovnyh
sootnoxeni$
i 44 — 47. Minimal~nost~ oqevidna. J
1.3. Bulevy algebry
Opredelenie 1.7 (Buleva algebra). Bulevo$i algebro$i nazyvaets
mnoestvo A, v kotorom imeets po kra$ine$i mere dva razliqnyh lementa 0 i 1 , zadany dve binarnye operacii ∨, ∧ i odna
unarna operaci
, udovletvorwie osnovnym sootnoxenim
1 — 19 ( aksiomam bulevo$i algebry ) . Operacii →, \, ↓, |, ⊕, ∼
v A opredelts osnovnymi sootnoxenimi 20 — 25. Dvo$istvennost~ v A formuliruets tak e, kak v opredelenii 1.3.
Teorema 1.7 (Edinstvennost~ nul i edinicy bulevo$
i algebry).
V lbo$i bulevo$i algebre lementy 0 i 1 edinstvenny.
11
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli imets razliqnye nuli edinicy:
i 1, 2, 15, 16 sleduet:
01 , 02 , 11 , 12 , to iz osnovnyh sootnoxeni$
01 = 01 ∨02 = 02 ∨01 = 02 , 11 = 11 ∧12 = 12 ∧11 = 12 . J
Teorema 1.8 (Osnovnye sootnoxeni bulevo$
i algebry). V lbo$i
bulevo$i algebre vypolnts osnovnye sootnoxeni 26 — 47.
D o k a z a t e l ~ s t v o . V silu principa dvo$
istvennosti dostatoqno dokazat~ tol~ko ravenstva 26, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40,
42, 44, 46. Ravenstva 30, 36, 38, 40 sledut iz 24; 44 — iz
22; 46 — iz 22, 44. Dokazatel~stvo 32: (a ⊕ b) ⊕ c = (((a ∨ b)∧(a ∨
∨b)) ∨ c)∧((a∧b) ∨ (a∧b) ∨ c) = (a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c)∧(a ∨ b ∨ c) =
= (a ∨ ((b ∨ c)∧(b ∨ c))∧(a ∨ (b∧c) ∨ (b∧c)) = a ⊕ (b ⊕ c) . Ravenstva 29
sledut iz 24, 25, 30, 32, 36. Dokazatel~stvo 26: a⊕b = ((a∨b)∧
∧a) ∨ ((a ∨ b)∧b) = (b∧a) ∨ (a∧b) = (a\ b) ∨ (b\ a) . Dokazatel~stvo 34:
(a∧c) ⊕ (b∧c) = ((a∧c) ∨ (b∧c))∧(a∧c ∨ b∧c) = (a ∨ b)∧c∧(a ∨ b ∨ c) =
= ((a ∨ b)∧(a ∨ b))∧c = (a ⊕ b)∧c . Dokazatel~stvo 42: a ⊕ b ⊕ (a∧b) =
= a ⊕ (a∧b) = (a ∨ (a∧b))∧(a ∨ a∧b) = (a ∨ b)∧(a ∨ a ∨ b) = a ∨ b . J
Primer 1.2 (Bulevy algebry B, BM ). Mnoestvo B s operacii algebro$
i. Mnoestvo BM vseh funmi ∨, ∧, ⊕ vlets bulevo$
kci$
i, opredelennyh na mnoestve M i prinimawih znaqeni
iz B (logiqeskih funkci$i), vlets bulevo$
i algebro$
i s operacimi: (a ∨ b)(x) a(x) ∨ b(x), (a∧b)(x) a(x)∧b(x), a(x) a(x) ,
nulem — funkcie$
i 0(x) 0 i edinice$
i — funkcie$
i 1(x) 1 .
Primer 1.3 (Buleva algebra mnoestv P(M ) ). Mnoestvo P(M )
vlets
vseh podmnoestv mnoestva M s operacimi ∪, ∩,
bulevo$
i algebro$
i s nulem — ∅ i edinice$
i — M.
Opredelenie 1.8 (Bulevy podalgebry). Podmnoestvo B bulevo$i algebry A, vlwees bulevo$i algebro$i s takimi e
operacimi, 0 i 1 kak v A nazyvaets podalgebro$i algebry A.
Teorema 1.9 (Podalgebra, porodenna mnoestvom). Pust~ A
— buleva algebra, X⊆A. Naimen~xa soderawa X podalgebra
A(X) sostoit iz DNF (KNF) ot lementov mnoestva X .
Pri tom X nazyvaets mnoestvom obrazuwih dl A(X) .
Bez dokazatel~stva.
Opredelenie 1.9 (Svobodnye bulevy algebry). Mnoestvo obrazuwih x1 , . .T
. , xn koneqno$i bulevo$i algebry nazyvaets nezavin
ai
n
simym, esli
i=1 Ai 6= ∅ dl lbyh a ∈ B . Buleva algebra s
nezavisimym mnoestvom obrazuwih nazyvaets svobodno$i.
12
Primer 1.4 (Buleva algebra B(B ) ). Mnoestvo B(B ) , sostowee iz vseh bulevyh funkci$
i n peremennyh, v silu sledstvi
teoremy 1.3 vlets bulevo$
i algebro$
i s nulem — f ( x ) = 0
i edinice$
i — f ( x) = 1 . ta buleva algebra svobodna, poskol~ku ona porodaets nezavisimym mnoestvom koordinatnyh
funkci$
i δi ( x ) = xi , i = 1, . . . , n , o qem svidetel~stvuet predstavn
lenie f ∈ B(B ) v vide SDNF ili SKNF.
n
n
Opredelenie 1.10 (Izomorfnye bulevy algebry). Bulevy algebry A i B nazyvats izomorfnymi, esli suwestvuet vzaimno
odnoznaqna funkci F (izomorfizm ) , otobraawa A na B
taka, qto F (x ∨ y) = F (x) ∨ F (y), F (x∧y) = F (x)∧F (y), F (x) = F (x) .
Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, svodwee izuqenie koneqnyh svobodnyh bulevyh algebr k izuqeni bulevo$
i
n
algebry B(B ) pri nekotorom n.
Teorema 1.10 (Ob izomorfizmah svobodnyh bulevyh algebr).
Lbye svobodnye bulevy algebry A1 i A2 s nezavisimymi mnoestvami n obrazuwih X1 i X2 izomorfny. Vskoe vzaimno
odnoznaqnoe otobraenie X1 na X2 moet byt~ odnoznaqno
prodoleno do izomorfizma A1 na A2 .
V lbo$
i bulevo$
i algebre mono vvesti neravenstvo 6.
Lemma (K vvedeni otnoxeni 6 ). V bulevo$i algebre ravenstva
a = a∧b, b = a ∨ b, a → b = 1, a\b = 0 ravnosil~ny.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli a = a∧b , to b = b ∨ (a∧b) = a ∨ b. Esli
b = a ∨ b, to a → b = a ∨ b = a ∨ a ∨ b = 1 . Esli a → b = 1 , to
a\b = a → b = 0. Esli a\b = 0 , to a∧b = a∧(a ∨ b) = a∧a\b = a . J
Opredelenie 1.11 (Otnoxenie 6 v bulevo$
i algebre). Otnoxenie a6b, opredelemoe lbym iz ravenstv lemmy, qitaets :
” lement a vlets pod lementom lementa b”.
Teorema 1.11 (Svo$
istva otnoxeni 6 ). 1) 06a61 ; 2) a6a ;
3) esli a6b i b6a, to a = b ; 4) esli a6b i b6c , to a6c ;
5) esli a6b, to : b6a , a∧c6b∧c , a ∨ c6b ∨ c.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Svo$
istva 1, 2, 3 oqevidny.
4. Esli a6b i b6c , to a = a∧b, b = b∧c, a = a∧b = a∧(b∧c) =
= (a∧b)∧c = a∧c, t. e. a6c.
5. [a6b] ∼ [a = a∧b] ∼ [a∨b = a] ∼ [b6a].
[a6b] ∼ [a = a∧b] → [a∧c = a∧b∧c = (a∧c)∧(b∧c)] ∼ [(a∧c)6(b∧c)] .
[a6b] ∼ [b = a∨b] → [b∨c = a∨b∨c = (a∨c)∨(b∨c)] ∼ [(a∨c)6(b∨c) . J
13
2. Isqislenie vyskazyvani$
i
2.1. Osnovnye opredeleni i sootnoxeni
Povestvovatel~noe predloenie, dl kotorogo imeet smysl
govorit~ o ego istinnosti ili lonosti, budem nazyvat~ vyskazyvaniem. Toqnee, vyskazyvani — to predloeni, kotorye
mogut prinimat~ znaqeni ”istina” (1) ili ”lo~” (0). Naprimer: 1) poezd iz Moskvy pribyvaet v 10 qasov (istina ili
lo~ v zavisimosti ot raspisani), 2) qislo 4 delits nacelo
na 2 (istina), 3) 5>8 (lo~).
V matematiqesko$
i logike suwestvenny tol~ko znaqeni vyskazyvani$
i. Vyskazyvani, vnutrenn struktura kotoryh ne budet nas interesovat~, predstavlts bulevymi konstantami
0 , 1 ili bulevymi peremennymi i nazyvats lementarnymi
vyskazyvanimi. Podstavl lementarnye vyskazyvani vmesto peremennyh v vyraeni dl bulevyh funkci$
i, poluqim
formuly isqisleni vyskazyvani$
i. lementarnye vyskazyvani
vlts qastnym vidom formul.
Znaki bulevyh funkci$
i (logiqeskie znaki) v isqislenii
vyskazyvani$
i qitats tak: ∧ — ”i”; ∨ — ”(neisklqawee) ili”, ”ili . . . , ili . . . , ili oba”;
— ”ne”, ”neverno,
qto”; → — ”vleqet”, ”esli . . . , to . . . ”; ∼ — ” kvivalentno”, ”ravnosil~no”, ” . . . togda i tol~ko togda, kogda . . . ”.
Vozmony i drugie proqteni tih znakov.
Opredelenie 2.1 (Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye
i oproverimye formuly, todestvenno ravnye formuly).
Formula A nazyvaets todestvenno istinno$i ili tavtologie$i ( simvoliqeski |= A) , esli ona istinna pri vseh znaqenih,
vhodwih v nee lementarnyh vyskazyvani$i. Formula A nazyvaets todestvenno lono$i ili protivoreqiem (simvoliqeski
A |= ) , esli ona lona pri vseh znaqenih, vhodwih v nee
lementarnyh vyskazyvani$i. Formula A nazyvaets vypolnimo$i
( oproverimo$i ) , esli ona hot by odin raz prinimaet znaqenie
”istina” ( ”lo~” ) . Formuly A i B nazyvats todestvenno
ravnymi (simvoliqeski A = B) , esli |= A ∼ B (t. e. ih stolbcy
v tablice znaqeni$i sovpadat ).
Tavtologii take nazyvats zakonami logiki. Qislo zakonov logiki beskoneqno. Naibolee vanye iz nih privedeny v
sleduwem utverdenii.
14
Teorema 2.1 (Nekotorye zakony logiki).
1) |= a ∨ b ∼ b ∨ a ,
2) |= a∧b ∼ b∧a ,
3) |= a ∨ (b ∨ c) ∼ (a ∨ b) ∨ c ,
4) |= a∧(b∧c) ∼ (a∧b)∧c ,
5) |= a ∨ (b∧c) ∼ (a ∨ b)∧(a ∨ c) , 6) |= a∧(b ∨ c) ∼ (a∧b) ∨ (a∧c) ,
7) |= a ∨ a ∼ a ,
8) |= a∧a ∼ a ,
9) |= a ∨ a ,
10) |= a∧a ,
11) |= a ∨ b ∼ a∧b ,
12) |= a∧b ∼ a ∨ b ,
13) |= a ∨ (a∧b) ∼ a ,
14) |= a∧(a ∨ b) ∼ a ,
15) |= a ∼ a ,
16) |= (a → b) ∼ (b → a) ,
17) |= (a → b)∧(b → c) → (a → c) ,
18) |= (a ∼ b)∧(b ∼ c) → (a ∼ c) ,
19) |= (a ∼ b) ∼ (a → b)∧(b → a) ,
20) |= (a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a) ,
21) |= (a → b) ∼ ((a∧b) ∼ a) ,
22) |= a → (b → a) ,
23) |= (a → b) → ((a → (b → c)) → (a → c)) ,
24) |= a → (b → a∧b) ,
25) |= a∧b → a ,
26) |= a → a ∨ b ,
27) |= a∧b → b ,
28) |= b → a ∨ b ,
29) |= (a → c) → ((b → c) → (a ∨ b → c)) ,
30) |= (a → b) → ((a → b) → a) ,
31) |= a → a ,
gde pri otsutstvii skobok sqitaets, qto implikaci i kvivalenci vypolnts v posledn oqered~.
Dokazatel~stvo tih tavtologi$
i mono provesti tabliqnym
sposobom. Dl sokraweni vyqisleni$
i pri dokazatel~stve tavtologii, predstavlenno$
i slono$
i formulo$
i, snaqala znaqeni
0 i 1 prisvaivats odno$
i peremenno$
i i poluqat dve bolee
prostye formuly s pomow~ tablicy (tabl. 4)
Tablica 4
Sokrawennye tablicy istinnosti
a
a
a∨b
a∧b
a→b
b→a
a∼b
1
1
b
1
b
1
b
b
1
b
b
Esli znaqeni uprowennyh formul trudno opredelit~, to v nih
znaqeni 0 i 1 prisvaivats drugo$
i peremenno$
i i poluqats 4 bolee prostye formuly i tot process prodolaets do
teh por, poka ne poluqats znaqeni vseh uprowennyh formul.
Esli vse uprowennye formuly ravny 1, to ishodna formula
vlets tavtologie$
i, a v protivnom sluqae ne vlets.
15
Primer 2.1 (Dokazatel~stvo tavtologi$
i s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti). Dokazat~ tavtologi
(a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a)
a=0
a=1
(0 → c∧d) ∼ ((0 → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ 1)
1 ∼ 1∧1
1
(b → c∧d) ∼ (c ∨ b)∧((b → d) ∨ 0)
(b → c∧d) ∼ (b → c)∧(b → d)
b=0
b=1
1 ∼ 1∧1
c∧d ∼ c∧d
1
1
t. e. (a∧b → c∧d) ∼ ((a → c) ∨ b)∧((b → d) ∨ a) — tavtologi.
Opredelenie 2.2 (Otnoxenie sledovani). Pust~ A1 , . . . , An , B
— formuly. Formula B nazyvaets logiqeskim sledstviem spiska dopuweni$i A1 , . . . , An ( simvoliqeski oboznaqaets sekvencie$i
A1 , . . . , An |= B) , esli pri vseh znaqenih lementarnyh vyskazyvani$i, pri kotoryh vse A1 , . . . , An istinny, istinno i B .
Teorema 2.2 (Nekotorye logiqeskie sledstvi).
a |= a ∨ b ,
2)
1)
b |= a ∨ b ,
3)
4) a , b |= b ∧ a ,
a , b |= a ∧ b ,
a ∧ b |= a ,
5)
6) a ∧ b |= b ,
7)
a → c , b → c |= a ∨ b → c ,
8)
a , a → b |= b ,
9) a → b , a → (b → c) |= a → c ,
10)
a → b , a → b |= a ,
11)
a ∼ b , b ∼ c |= a ∼ c ,
a ∨ b , a ∨ c |= b ∨ c .
12)
Primer 2.2 (Tabliqnoe dokazatel~stvo sekvenci$
i). Dokazat~
a → c , b → c |= a ∨ b → c
a ∨ b , ¬ a ∨ c |= b ∨ c
0 1 0 0 1 0
00 0 1 0
0 0 0 1 01 0
0 0 0 1 01 1
0 1 1 0 1 1
00 0 1 1
0 1 1 1 01 0
11 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
01 1 1 1
0 1 1 1 01 1
11 1
1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 10 0
1 1 1 0 1 1
11 0 1 1
1 1 0 0 11 1
01 1
1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 10 0
1 1 1 1 1 1
11 1 1 1 ,
1 1 1 0 11 1
11 1 .
Podqerknuty stroki, v kotoryh istinny vse dopuweni. Sekvenci dokazana, esli v tih strokah ee prava qast~ prinimaet
znaqenie 1 ili, esli podqerknutyh strok net.
16
2.2. Metody dokazatel~stva tavtologi$
i i sekvenci$
i
Tavtologii i sekvencii mono dokazat~ tabliqnym metodom,
no praktiqeski to mono osuwestvit~ togda, kogda qislo lementarnyh vyskazyvani$
i neveliko. Rassmotrim pravila, pozvolwie provodit~ dokazatel~stva, ne pribega k tablicam.
Teorema 2.3 (Svo$
istva znaka |= ). Pust~ Γ = A1 , . . . , An — spisok
formul, B1 , . . . , Bk , C — formuly.
1. A1 , . . . , An |= Ai pri i = 1, . . . , n ( lementarnye sledstvi ) .
2. Esli Γ |= C , to Γ, B1 , . . . , Bk |= C ( dobavlenie dopuweni$i ) .
3. Esli Γ |= Bi pri i = 1, . . . , k i B1 , . . . , Bk |= C , to Γ |= C
( dokazatel~stvo s pomow~ lemm ) .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Opredelenie 2.3 (Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$
i). Spisok
dopuweni$i Γ1 nazyvaets ravnosil~nym spisku dopuweni$i Γ2 ,
esli dl lbo$i formuly B sekvenci Γ1 |= B dokazana togda i
tol~ko togda, kogda dokazana sekvenci Γ2 |= B.
Po opredeleni 2.3 spiski dopuweni$
i Γ1 , Γ2 ravnosil~ny,
esli oni vydelt odinakovye stroki.
Sleduwee utverdenie oqevidno.
Teorema 2.4 (Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$
i dopuweni).
V
Γ.
Vski$i spisok
dopuweni$
i
Γ
ravnosilen
dopuweni
V
Esli V Γ = 1, to iz Γ sledut tol~ko tavtologii. V qastnosti,
Γ = 1 pri pustom spiske Γ Vi po tomu tavtologi
A oboznaqat simvolom |= A . Esli
Γ = 0 , to spisok Γ
nazyvaets protivoreqivym i oboznaqaets simvolom Γ |= .
Sledstvie (Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$
i).
Pust~ Γ, Γ1 , Γ2 — spiski formul, A, B, C — formuly i
pust~ Γ |= C . Sleduwie spiski dopuweni$i ravnosil~ny :
1) Γ1 , A, B, Γ2 i Γ1 , B, A, Γ2 ( pravilo perestanovki ),
2) Γ1 , A, A, Γ2 i Γ1 , A, Γ2 (pravilo sokraweni ),
3) Γ1 , A, B, Γ2 i Γ1 , A∧B, Γ2 ( pravila obedineni i raswepleni ),
4) Γ i Γ, C (pravilo popolneni ).
Teorema 2.5 (O protivoreqivyh spiskah dopuweni$
i). Spisok Γ
protivoreqiv togda i tol~ko togda, kogda suwestvuet formula
A taka, qto Γ |= A i Γ |= A.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli Γ |= , to po opredeleni 2.2 iz
Γ sleduet lboe vyskazyvanie, v qastnosti, Γ |= A i Γ |= A.
Obratno, esli Γ |= A i Γ |= A , to spisok Γ po pravilu popolneni ravnosilen protivoreqivomu spisku Γ, A, A . J
17
Teorema 2.6 (Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov).
Pust~ A, B, C — formuly, Γ — koneqny$i spisok formul, vozmono, pusto$i. Spravedlivy pravila, privedennye v tablice.
Znak
Pravilo vvedeni
Pravilo udaleni
→
Γ, A |= B togda i tol~ko
togda, kogda Γ |= A → B
A, A → B |= B
∧
A, B |= A∧B
A∧B |= A
A∧B |= B
∨
A |= A ∨ B
B |= A ∨ B
Esli Γ, A |= C i Γ, B |= C ,
to Γ, A ∨ B |= C
Esli Γ, A |= B i Γ, A |= B ,
to Γ |= A
∼
A → B, B → A |= A ∼ B
A |= A
A, A |= B
( slaboe udalenie
)
A ∼ B |= A → B
A ∼ B |= B → A
D o k a z a t e l ~ s t v o . Snaqala dl prostoty dokazatel~stv poloim, qto spisok Γ pust.
Vvedenie →. Pust~ A |= B , t. e. B = 1 v teh strokah, gde
A = 1 . Togda po opredeleni implikacii |= A → B . Obratno,
esli |= A → B , to B = 1 pri A = 1 , t. e. A |= B .
Udalenie →. Po opredeleni implikacii, esli A = 1 i
(A → B) = 1 , to B = 1 , t. e. A , A → B |= B .
. Esli A |= B i A |= B , to to moet byt~
Vvedenie
tol~ko togda, kogda A = 0 vo vseh strokah i po tomu |= A .
Dokazatel~stva ostal~nyh pravil, a take dokazatel~stva
pri nepustom spiske Γ rekomenduts qitatel v kaqestve
upraneni$
i. J
18
Teoremy 2.3 — 2.6 pozvolt dokazyvat~ tavtologii i sekvencii, ne ispol~zu tablic istinnosti.
Primer 2.3 (Dokazatel~stvo s pomow~ teorem 2.3 — 2.6).
Dokaem |= (A → B) ∼ (B → A) .
1) A → B , B , A |= B
— svo$
istvo 1,
2) A → B , B , A |= B
— svo$
istvo 2, udalenie → ,
3) A → B , B |= A
— vvedenie , 1, 2,
4) A → B |= B → A
— vvedenie → , 3,
5) |= (A → B) → (B → A) — vvedenie → , 4,
— svo$
istvo 1,
6) B → A , A , B |= A
7) B → A , A , B |= A
— svo$
istvo 2, udalenie → ,
8) B → A , A |= B
— vvedenie , 6, 7,
9) B → A , A |= B
— svo$
istvo 3, udalenie , 8,
10) B → A |= A → B
— vvedenie → , 9,
11) |= (B → A) → (A → B) — vvedenie →, 10,
12) |= (A → B) ∼ (B → A) — svo$
istvo 3, vvedenie ∼ , 5, 11.
Razsneni v pravo$
i qasti strok nazyvats analizom dokazatel~stva. V nih ukazyvats svo$
istva znaka |= , pravila
vvedeni ili udaleni logiqeskogo znaka, ispol~zuemye v stroke, i nomera strok, na kotorye pri tom sleduet soslat~s.
Privedennoe dokazatel~stvo nazyvaets line$
inym. Bolee informativnym sposobom zapisi togo dokazatel~stva vlets zapis~
ego v vide dereva:
B → A, A, B |= A, B → A, A, B |= A
.
Vv
A → B, B, A |= B,
A → B, B, A |= B
Vv.→
A → B |= B → A Vv.→
A → B, B |= A
|= (A → B) → (B → A)
Vv.
Ud.
B → A, A |= B Vv.→
B → A |= A → B Vv.→
|= (B → A) → (A → B) Vv.∼
B → A, A |= B
|= (A → B) ∼ (B → A)
Iz rassmotreni dereva dokazatel~stva vidno, qto ego nin
qast~ do sekvenci$
i A → B, B |= A i B → A, A |= B odnoznaqno
opredelets pravilami vvedeni i udaleni logiqeskih znakov, a dokazatel~stvo tih sekvenci$
i trebuet nekotoro$
i izobretatel~nosti v primenenii pravila vvedeni otricani. Dl
oblegqeni ponimani dokazatel~stva tavtologii mono snaqala
dokazat~ vspomogatel~nu sekvenci A → B, B |= A (lemmu 1)
19
1) A → B , B , A |= B — svo$
istvo 1,
istvo 2, udalenie →,
2) A → B , B , A |= B — svo$
— vvedenie , 1, 2,
3) A → B , B |= A
zatem vspomogatel~nu sekvenci B → A, A |= B (lemmu 2)
1) B → A , A , B |= A — svo$
istvo 1,
2) B → A , A , B |= A — svo$
istvo 2, udalenie → ,
3) B → A , A |= B
— vvedenie , 1, 2,
4) B → A , A |= B
— svo$
istvo 3, udalenie , 3,
a zatem s pomow~ lemm 1, 2 dokazat~ tavtologi
1) A → B , B |= A
— lemma 1,
2) A → B |= B → A
— vvedenie → , 1,
3) |= (A → B) → (B → A) — vvedenie → , 2,
— lemma 2,
4) B → A , A |= B
5) B → A |= A → B
— vvedenie → , 4,
6) |= (B → A) → (A → B) — vvedenie → , 5,
7) |= (A → B) ∼ (B → A) — svo$
istvo 3, vvedenie ∼ , 3, 6.
Teorema 2.7 (Podstanovka formul v tavtologii). Pust~ B —
formula, soderawa lementarnye vyskazyvani a1 , . . . , an ; B 0
poluqaets iz B odnovremenno$i podstanovko$i formul A1 , . . . , An
vmesto a1 , . . . , an . Togda, esli |= B , to |= B 0 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Istinnost~ ili lonost~ vyskazyvani
B 0 zavisit ne ot vyskazyvani$
i A1 , . . . , An , a ot ih znaqeni$
i.
Po tomu, esli |= B , to |= B . J
Teorema 2.8 (Teorema o zamene). Pust~ CA — formula, soderawa podformulu A, i pust~ CB poluqaets iz CA zameno$i
A na formulu B . Togda, esli |= A ∼ B , to |= CA ∼ CB .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz |= A ∼ B sleduet, qto A i B todestvenno ravny i po tomu |= CA ∼ CB . J
Metod rezolci$
i, primenemy$
i v komp~ternyh programmah
dokazatel~stva tavtologi$
i, osnovan na sleduwem utverdenii.
Teorema 2.9 (Rezolcii). Dl lbyh formul A, B, C spravedlivy sekvencii (nazyvaemye rezolci mi) : 1) A, A ∨ B |= B ,
2) A ∨ B, A ∨ C |= B ∨ C .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rezolci 1 est~ pravilo udaleni implikacii, a rezolci 2 — sekvenci 12 teoremy 2.2 posle
primeneni k ne$
i sledstvi teoremy 2.7. J
20
Pust~ trebuets proverit~ predpoloenie, qto formula
i. Soglasno metodu rezolci$
i otricaF vlets tavtologie$
nie togo vyskazyvani, predstavlennoe v konnktivno$
i normal~no$
i forme F = D1 ∧ · · · ∧Dn , rassmatrivaets v kaqestve
dopuweni nekotoro$
i sekvencii. Po pravilu raswepleni F
mono zamenit~ spiskom dopuweni$
i D1 , . . . , Dn . Esli v tom
spiske imets vno protivoreqawie drug drugu dopuweni Di
i Dj = Di , to po pravilu vvedeni otricani vyskazyvanie F
vlets tavtologie$
i. V protivnom sluqae v spiske otyskivats para diznkci$
i vida A, A ∨ B ili A ∨ B, A ∨ C , iz
kotoryh po teoreme 2.9 sleduet Dn+1 = B ili Dn+1 = B ∨ C .
Esli Dn+1 otsutstvuet v ishodnom spiske, to popoln spisok D1 , . . . , Dn formulo$
i Dn+1 , poluqim ravnosil~ny$
i spisok
D1 , . . . , Dn+1 . V tom spiske otyskivats vnye protivoreqi
i pri otsutstvii takovyh vyvodits novoe dopuwenie. Process
vyvoda dopuweni$
i prodolaets do teh por, poka novyh dopuweni$
i poluqat~s ne budet. Esli v okonqatel~nom spiske est~
protivoreqie, to F vlets tavtologie$
i, v protivnom sluqae
i.
F ne vlets tavtologie$
Primer 2.4 (Dokazatel~stvo metodom rezolci$
i).
Dokazat~ |= (A → B) → (C ∨ A → C ∨ B) .
1. Privedem otricanie dokazyvaemogo vyskazyvani k KNF
(A → B) → (C ∨ A → C ∨ B) =
= A → B ∨ C ∨ A ∨ C ∨ B = (A ∨ B)∧(A ∨ C)∧C∧B .
2. Ispol~zu KNF kak dopuwenie nekotoro$
i sekvencii, po pravilu raswepleni poluqim spisok dopuweni$
i:
1) A ∨ B ,
2) A ∨ C ,
3) C ,
4) B .
Poskol~ku tot spisok ne soderit vnogo protivoreqi, popolnim ego, primen rezolcii.
5) A — rezolci 1 po otnoxeni k strokam 1, 4,
6) A — rezolci 1 po otnoxeni k strokam 2, 3.
3. Protivoreqie v strokah 5, 6 dokazyvaet tavtologi. J
21
2.3. Aksiomatiqeskie isqisleni vyskazyvani$
i
Aksiomatiqeski$
i metod postroeni teorii byl vpervye primenen v geometrii Evklidom, a zatem, v hode istoriqeskogo
razviti znani$
i, stal priment~s v drugih razdelah matematiki i, v qastnosti, v matematiqesko$
i logike. V aksiomatiqesko$
i teorii isqisleni vyskazyvani$
i pod vyskazyvaniem
ponimaets formula dl bulevo$
i funkcii, no ponti ”istina”, ”tavtologi” ne opredelts. Vmesto nih zadaets nabor nekotoryh formul, obvlemyh aksiomami. Iz aksiom i
ishodnyh formul — dopuweni$
i s pomow~ pravil vyvoda,
podobnyh tem, kotorye byli rassmotreny ranee, stroits posledovatel~nost~ formul, nazyvaema (formal~nym) vyvodom iz
dopuweni$
i. Cel~ aksiomatiqesko$
i teorii vlets ustanovlenie vyvodimyh vyskazyvani$
i. Vybira aksiomy i pravila
vyvoda, mono postroit~ razliqnye logiki. Nas budet interesovat~ tol~ko klassiqeskoe isqislenie vyskazyvani$i. No i dl
klassiqeskogo isqisleni vyskazyvani$
i aksiomy i pravila vyvoda mono vybrat~ mnogimi sposobami.
Rassmotrim snaqala isqislenie vyskazyvani$
i IV, harakterizuemoe dest~ shemami aksiom i odnim pravilom vyvoda.
Opredelenie 2.4 (Shemy aksiom IV). Shemami aksiom isqisleni vyskazyvani$i IV vlts :
AS1
A → (B → A) ,
AS2
(A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) ,
AS3
A → (B → A∧B) ,
AS4
A∧B → A ,
AS5
A∧B → B ,
AS6
A→A∨B,
AS7
B →A∨B,
AS8
(A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) ,
(A → B) → ((A → B) → A) ,
AS9
AS10 A → A ,
gde A, B, C — proizvol~nye vyskazyvani. Formuly AS1 — AS10
opredelt beskoneqnoe mnoestvo aksiom, poluqaemyh putem
podstanovki vmesto A, B, C konkretnyh vyskazyvani$i i po tomu ti formuly nazyvats shemami aksiom.
Bol~xoe koliqestvo shem aksiom obsnets bol~xim
koliqestvom logiqeskih znakov, k kotorym oni otnosts:
, → . Otsutstvie aksiom otnoswihs k kvivalencii,
∨, ∧,
obsnets tem, qto formula A ∼ B ponimaets kak sokrawennoe oboznaqenie dl (A → B)∧(B → A).
22
Opredelenie 2.5 (Vyvod i dokazatel~stvo v IV). Vyvodom vyskazyvani C iz dopuweni$i A1 , . . . , Am (m>0) nazyvaets koneqna posledovatel~nost~ vyskazyvani$i C1 , . . . , Cn , v kotoro$i
Cn = C i kada formula Ci (i = 1, . . . , n) vlets ili aksiomo$i, ili dopuweniem, ili neposredstvenno sleduet iz predyduwih formul po pravilu vyvoda m ó dus p ó nens (M P ) , zapisyvaeA, A → B
, oznaqawe$i, qto posle formul
momu v vide shemy
B
Ci = A i Cj = A → B pri k > i, k > j mono napisat~ Ck = B .
Sekvenci A1 , . . . , Am ` C qitaets tak : ”C formal~no vyvodimo iz dopuweni$i A1 , . . . , Am ” ; v qastnom sluqae m = 0 vyvod
nazyvaets dokazatel~stvom, a poluqawas sekvenci ` C qitaets tak : ”C vlets formal~no$i teoremo$i”.
Primer 2.5 (Formal~ny$
i vyvod sekvencii
1) A → B
—
2) B → C
—
3) (B → C) → (A → (B → C))
—
4) A → (B → C)
—
5) (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) —
6) (A → (B → C)) → (A → C))
—
7) A → C
—
A → B, B → C ` A → C ).
dopuwenie,
dopuwenie,
AS1 ,
M P 2, 3,
AS2 ,
M P 1, 5,
M P 4, 6.
Primer 2.6 (Dokazatel~stvo formal~no$
i teoremy ` A → A ).
1) A → (A → A)
— AS1 ,
2) (A → (A → A)) → ((A → ((A → A) → A)) → (A → A)) — AS2 ,
3) (A → ((A → A) → A)) → (A → A)
— M P, 1, 2,
4) A → ((A → A) → A)
— AS1 ,
5) A → A
— M P, 3, 4.
Iz opredeleni 2.5 sleduet, qto dopuweni v formal~nyh
vyvodah ispol~zuts toqno take kak i aksiomy. Qasto vsteqawas v matematiqeskih soqinenih fraza: ”Dopustim, qto
vypolnts uslovi (vyskazyvani) A1 , . . . , Am ” oznaqaet, qto
matematik vvodit dopuweni ili, qto to e samoe dopolnitel~nye aksiomy. No dl qego
to nuno? Otvet na
tot
vopros daet neformal~na teorema, dokazanna . rbranom.
Teorema 2.10 (O dedukcii). Esli Γ, A ` B , to Γ ` A → B .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ posledovatel~nost~ B1 , . . . , Bn = B
vlets vyvodom B iz spiska dopuweni$
i Γ, A . Preobrazuem
tot vyvod v posledovatel~nost~ A → B1 , . . . , (A → Bn ) = (A → B) ,
23
kotoru mono prevratit~ v vyvod sekvencii Γ ` A → B , esli pered A → Bi vstavit~ dopolnitel~nye formuly. Vstavki
zavist ot togo, qto predstavlet sobo$
i Bi .
Esli Bi = A , to vstavim posledovatel~no formuly 1) — 4)
dokazatel~stva teoremy A → A (sm. primer 2.6).
Esli Bi — aksioma ili dopuwenie, to vstavim posledovatel~nost~ dvuh formul Bi , Bi → (A → Bi ) .
Esli Bi vyvodits po pravilu M P iz predxestvuwih
formul Bg i Bg → Bi , kotorye prevraweny s sootvetstvuwim
obosnovaniem v A → Bg i A → (Bg → Bi ) , to vstavim posledovatel~nost~ dvuh formul (A → Bg ) → ((A → (Bg → Bi )) → (A → Bi )),
(A → (Bg → Bi )) → (A → Bi ) .
Netrudno ubedit~s, qto posle tih vstavok my poluqim
vyvod A → B iz spiska dopuweni$
i Γ. J
Sledstvie. Esli A1 , . . . , Am ` B , to A1 , . . . , Am−1 ` Am → B,
. . . , ` A1 → (A2 → (. . . (Am → B) . . .)) .
Pri ispol~zovanii tol~ko odnogo pravila vyvoda M P vyvody i dokazatel~stva v IV poluqats slixkom dlinnymi.
Okazyvaets, qto mono dokazat~ neformal~nye teoremy, kotorye otliqats ot teorem razd. 2.2 tol~ko tem, qto znak |=
zamenen na ` . Budem sqitat~, qto formulirovki tih teorem
nam ue izvestny i numerovat~ ih temi e nomerami, qto
i sootvetstvuwie teoremy razdela 2.2, dobavl k nomeru
verhni$
i xtrih sprava. Dokaem tol~ko svo$
istva znaka ` i
pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov.
V teoreme 2.3 0 dokazatel~stva svo$
istv 1, 2 oqevidny. Pri
dokazatel~stve svo$
istva 3 formal~ny$
i vyvod sekvencii Γ ` C
moet byt~ zapisan kak posledovatel~na zapis~ formal~nyh
vyvodov dl Γ ` B1 , Γ ` B2 i t. d. Γ ` Bk i B1 , . . . , Bk ` C .
V teoreme 2.4 0 pravila perestanovki, sokraweni i pravilo
popolneni spiska dopuweni$
i oqevidny.
Vvedenie → (Γ, A ` B togda i tol~ko togda, kogda Γ ` A → B ).
Odno$
i iz qaste$
i dokazatel~stva vlets teorema o dedukcii. Dl dokazatel~stva drugo$
i qasti zametim, qto, esli
Γ ` A → B , to posledovatel~nost~, sostavlenna iz A i vyvoda
dl Γ ` A → B vlets vyvodom dl sekvencii Γ, A ` B .
Udalenie → (A , A → B ` B) .
— dopuwenie,
1) A
2) A → B — dopuwenie,
3) B
— M P 1, 2.
24
Vvedenie ∧ (A , B ` A∧B) .
1) A
— dopuwenie,
2) B
— dopuwenie,
3) A → (B → A∧B) — AS3 ,
— M P 1, 3,
4) B → A∧B
5) A∧B
— M P 2, 4.
Udalenie ∧ (A∧B ` A) .
— dopuwenie,
1) A∧B
2) A∧B → A — AS4 ,
— M P 1, 2.
3) A
Analogiqno dokazyvaets pravilo A∧B ` B .
Vvedenie ∨ (A ` A ∨ B) .
— dopuwenie,
1) A
2) A → A ∨ B — AS6 ,
3) A ∨ B
— M P 1, 2.
Analogiqno dokazyvaets pravilo B ` A ∨ B .
Udalenie ∨ (esli Γ, A ` C i Γ, B ` C , to Γ, A ∨ B ` C ).
1) Γ, A ` C
— uslovie,
2) Γ ` A → C
— vvedenie → 1,
3) Γ, B ` C
— uslovie,
— vvedenie → 3,
4) Γ ` B → C
5) (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) — AS8 ,
6) Γ ` (B → C) → (A ∨ B → C)
— M P 2, 5,
7) Γ ` A ∨ B → C
— M P 4, 6,
8) Γ, A ∨ B ` C
— vvedenie → 7.
Vstreqawies v strokah 1 — 4, 6 — 8 sekvencii oboznaqat vyvody, dokazyvawie ih.
(esli Γ, A ` B i Γ, A ` B , to Γ ` A ).
Vvedenie
1) Γ, A ` B
— uslovie,
2) Γ ` A → B
— vvedenie → 1,
— uslovie,
3) Γ, A ` B
4) Γ ` A → B
— vvedenie → 3,
5) (A → B) → ((A → B) → A) — AS9 ,
6) Γ ` (A → B) → A
— M P 2, 5,
7) Γ ` A
— M P 4, 6.
( A ` A ).
Udalenie
1) A
— dopuwenie,
2) A → A — AS10 ,
3) A
— M P 1, 2.
25
Slaboe udalenie
(A , A ` B ).
1) A, A, B ` A — svo$
istvo 1,
2) A, A, B ` A — svo$
istvo 1,
— vvedenie
3) A, A ` B
1, 2,
4) B → B
— AS10 ,
5) A, A ` B
— MP 3, 4.
Pravila vvedeni i udaleni
kvivalencii osnovany na
pravilah vvedeni i udaleni konnkcii.
Dokaem pravilo obedineni dl spiskov dopuweni$
i (pust~
A, B ` C , togda A∧B ` C ).
1) A, B ` C — po uslovi,
2) A∧B ` A — udalenie ∧ ,
3) A∧B ` B — udalenie ∧ ,
4) A∧B ` C — svo$
istvo 3, 1, 2, 3.
Dokaem pravilo raswepleni dl spiskov dopuweni$
i (pust~
A∧B ` C , togda A, B ` C ).
1) A∧B ` C
— po uslovi,
2) A, B ` A∧B — vvedenie ∧ ,
3) A, B ` C
— svo$
istvo 3, 1, 2.
Netrudno dokazat~, qto dl formal~nyh sekvenci$
i primenim
metod rezolci$
i.
Teper~ imets vse osnovani utverdat~, qto dokazatel~stvom sekvencii A1 , . . . , Am ` C vlets dokazatel~stvo sekvencii A1 , . . . , Am |= C s pomow~ teorem 2.3 — 2.6, v kotorom
znak |= zamenen na ` . Na samom dele spravedliv bolee obwi$
i rezul~tat, kotory$
i zdes~ privedem bez dokazatel~stva.
Teorema 2.11 (O polnote IV).
A1 , . . . , An ` B .
Esli
A1 , . . . , An |= B ,
to
Teorema 2.12 (O neprotivoreqivosti IV). Esli ` A , to |= A .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Shemy aksiom IV vlts tavtologimi, a pravilo M P perevodit tavtologii v tavtologii. J
Sledstvie. (O prosto$
i neprotivoreqivosti IV). Ni dl kako$i
formuly A ne vypolnets odnovremenno ` A i ` A.
Svo$
istva znaka ` , teoremy o ravnosil~nosti spiskov dopuweni$
i, pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov v
opredelennom smysle zament aksiomy isqisleni vyskazyvani$
i IV. Mono tak vybrat~ sistemu pravil vyvoda, qto
ostanets lix~ odna shema aksiom. ta ide realizuets v
aksiomatiqeskom isqislenii vyskazyvani$
i IS, v kotorom osnovnym obektom vlts sekvencii vida Γ ` B, ` B, Γ ` .
26
Opredelenie 2.6 (Shema aksiom IS). A ` A.
Opredelenie 2.7 (Pravila vyvoda IS). Pravilami vyvoda IS
Σ1 , . . . , Σk
nazyvats shemy vida
, gde sekvenci Σ nazyvaets
Σ
neposredstvennym sledstviem sekvenci$i Σ1 , . . . , Σk po dannomu
pravilu vyvoda. Pravilami vyvoda IS vlts :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Γ1 ` A ; Γ 2 ` B
Γ1 , Γ2 ` A∧B
Γ ` A∧B
Γ `A
Γ ` A∧B
Γ `B
Γ `A
Γ `A ∨ B
Γ `B
Γ `A ∨ B
Γ1 ` A ∨ B ; Γ2 , A ` C ; Γ3 , B ` C
Γ 1 , Γ2 , Γ3 ` C
Γ, A ` B
Γ `A → B
Γ1 ` A ; Γ2 ` A → B
Γ1 , Γ 2 ` B
Γ, A `
Γ `A
Γ1 ` A ; Γ2 ` A
10)
Γ1 , Γ2 `
11)
12)
13)
14)
15)
Γ, A `
Γ `A
Γ`
Γ `A
Γ `A
Γ, B ` A
Γ1 , A, B, Γ2 ` C
Γ1 , B, A, Γ2 ` C
Γ1 , A, A, Γ2 ` C
Γ1 , A, Γ2 ` C
( vvedenie ∧) ,
( udalenie ∧) ,
(udalenie ∧) ,
( vvedenie ∨) ,
( vvedenie ∨) ,
( udalenie ∨) ,
( vvedenie →) ,
( udalenie →),
(vvedenie
),
( svedenie k protivoreqi ) ,
( udalenie
),
(utonqenie ) ,
( rasxirenie ) ,
(perestanovka ) ,
( sokrawenie ) .
27
Po pravilu utonqeni, esli Γ ` , to Γ ` A i Γ ` A , t. e.
i spisok Γ .
simvol Γ ` oboznaqaet protivoreqivy$
Opredelenie 2.8 (Vyvod v IS). Vyvodom v IS nazyvaets
taka koneqna posledovatel~nost~ sekvenci$i Σ1 , . . . , Σn , qto
Σi (i = 1, . . . , n) est~ libo aksioma, libo neposredstvennoe sledstvie predyduwih sekvenci$i po pravilam 1 — 15.
Dl uproweni dokazatel~stv k pravilam vyvoda IS mono
prisoedinit~ sleduwie pravila, ne rasxirwie mnoestvo
dokazuemyh sekvenci$
i:
Γ1 ` A ; Γ 2 , A ` B
(seqenie ),
Γ1 , Γ 2 ` B
Γ, A, B ` C
b)
(obedinenie dopuweni$
i),
Γ, A∧B ` C
Γ, A∧B ` C
v)
( rasweplenie dopuweni$
i),
Γ, A, B ` C
Γ, A ` C ; Γ, B ` C
g)
( razbor sluqaev ) ,
Γ, A ∨ B ` C
Γ, A ` B
d)
( kontrapozici ) ,
Γ, B ` A
Γ, B ` A
e)
( dokazatel~stvo ot protivnogo ),
Γ, A ` B
Γ `B
V
)
( vvedenie ∧ i →) ,
` Γ →B
V
` Γ →B
z)
( udalenie ∧ i →) .
Γ `B
Primer. Vyvod v IS sekvencii A, A → B, B → C,
1) A ` A
— aksioma,
2) A → B ` A → B
— aksioma,
3) A, A → B ` B
— udalenie → , 1,
4) B → C ` B → C
— aksioma,
5) A, A → B, B → C ` C
— udalenie → , 3,
6) C → D ` C → D
— aksioma,
— udalenie → , 5,
7) A, A → B, B → C, C → D ` D
a)
C →D ` D.
2,
4.
6.
Teorema 2.13 (O polnote IS). V IS ` A togda i tol~ko togda,
kogda |= A .
Bez dokazatel~stva.
28
3. Isqislenie predikatov
3.1. Osnovnye opredeleni
Zdes~ budut rassmatrivat~s predloeni, v kotorye vhodt predmetnye peremennye, prinimawie znaqeni iz nekotoryh mnoestv predmetov. Esli peremenna na opredelennom
meste predloeni ispol~zuets tak, qto podstanovka vmesto
nee imeni (nazvani) konkretnogo predmeta daet osmyslennoe
predloenie, to govort, qto ta peremenna svobodna na ukazannom meste; esli taka podstanovka privodit k bessmyslice, to Rgovort, qto peremenna svzana. Naprimer, v formule
x
A(x) = 0 sin(x + y)dy peremenna x svobodna kak v podyntegal~no$
i funkcii, tak i v predele integrovani, a peremenna
y svzana. Inogda vmesto svobodno$
i peremenno$
i nado podstavit~ drugu. Podstavim v A(x) vmesto x peremennu t. V
poluqenno$
i formule A(t) na vseh mestah, gde peremenna x
vhodila svobodno, peremenna t ostalas~ svobodno$
i ( t svobodna dl x v A(x) ). Mono skazat~, qto taka podstanovka ne
menet smysla formuly, tak kak obratna podstanovka x vmesto t vozvrawaet nas k ishodno$
i formule A(x) . Esli v A(x)
podstavit~ vmesto x peremennu y , to perehod ot A(y) k A(x)
nevozmoen, poskol~ku peremenna y ne svobodna dl x v A(x) .
Opredelenie 3.1 (Predikaty). Predikatom nazyvaets predloenie, soderawee koneqnoe qislo svobodnyh predmetnyh peremennyh, kotoroe pri podstanovke vmesto vseh tih peremennyh
nazvani$i konkretnyh predmetov prevrawaets v vyskazyvanie.
Primery.
1) ” A est~ qelovek”. Peremenna A prinimaet znaqeni iz
koneqnogo mnoestva imen oduxevlennyh suwestv.
2) ” sin2 x + cos2 x = 1 ”. Peremenna x prinimaet znaqeni iz
mnoestva de$
istvitel~nyh qisel.
3) ” x < y + z ”. Peremennye x, y, z prinimat znaqeni iz
mnoestva de$
istvitel~nyh qisel.
4) ” a = a”. Peremenna a prinimaet lbye znaqeni.
Predikat, soderawi$
i odnu svobodnu peremennu, prinimawu znaqeni iz mnoestva M , sopostavlet kadomu lementu mnoestva M znaqeni 0 ili 1 i takim obrazom opredelet logiqesku funkci na M . V matematiqesko$
i logike
vany ne sami predikaty, a logiqeskie funkcii, opredelemye imi. Zametim, qto mnoestvo vseh logiqeskih funkci$
i
M
, nulem
B
vlets bulevo$
i algebro$
i s operacimi ∨, ∧,
i edinice$
i, opredelennymi kak v primere 1.3.
29
V isqislenii predikatov vvodts novye operacii: kvantor obwnosti ∀x — ”dl vseh x ” i kvantor suwestvovani ∃x — ”suwestvuet x ”, pozvolwie iz predikatov poluqat~ formuly, vlwies vyskazyvanimi ili drugimi predikatami. Esli predikat A(x) soderit svobodno tol~ko odnu peremennu x , to formula (∀x)A(x) oboznaqaet vyskazyvanie ”dl vseh x istinno A(x)”, a formula (∃x)A(x)
oboznaqaet vyskazyvanie ”suwestvuet x, tako$
i, qto istinno A(x) ”. Svobodna peremenna x v formulah (∀x)A(x) i
istvie kvantorov, svzyvaets. Esli
(∃x)A(x) , popada pod de$
A(x, y) — predikat, soderawi$
i tol~ko dve svobodnye peremennye x i y , to s pomow~ kvantorov iz nego mono poluqit~ predikaty (∀x)A(x, y), (∃x)A(x, y), (∀y)A(x, y), (∃y)A(x, y),
soderawie odnu svobodnu peremennu i vyskazyvani
(∀x)(∀y)A(x, y),
(∀y)(∀x)A(x, y),
(∀y)(∃x)A(x, y),
(∀x)(∃y)A(x, y),
(∃y)(∀x)A(x, y), (∃y)(∃x)A(x, y), (∃x)(∀y)A(x, y), (∃x)(∃y)A(x, y).
V isqislenii predikatov vvodts take kvantory obwnosti
i suwestvovani, ograniqennye mnoestvom: ∀x ∈ M — ”dl
vseh x iz M ” i ∃x ∈ M — ”suwestvuet x v M ”, kotorye
opredelts sleduwim obrazom.
Opredelenie 3.2 (Kvantory, ograniqennye mnoestvom). Pust~
predmetnoe mnoestvo M ne pusto. Togda
(∃x ∈ M )A(x) (∃x)((x ∈ M ) ∧ A(x)) ,
(∀x ∈ M )A(x) (∀x)((x ∈ M ) → A(x)) .
3.2. Predikaty v koneqno$
i predmetno$
i oblasti
Pust~ predikat A(x) soderit svobodno tol~ko odnu peremennu x , prinimawu znaqeni iz mnoestva M . Hot
smysl vyskazyvani$
i (∀x ∈ M )A(x) i (∃x ∈ M )A(x) ponten, sposob vyqisleni ih znaqeni opredelen tol~ko v sluqae, kogda
predmetna oblast~ M koneqna.
Opredelenie 3.3 (Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom). Dl mnoestva M , sostowego iz predmetov m1 , . . . , mn ,
(∀x ∈ M )A(x)
n
^
i=1
A(mi ) ,
(∃x ∈ M )A(x)
n
_
A(mi ) .
i=1
Iz opredeleni 3.3 vidno, qto suwestvenno ne samo mnoestvo M , a tol~ko qislo lementov mnoestva M .
30
Pri koneqnyh predmetnyh mnoestvah koliqestvo vozmonyh
predikatov koneqno i znaqeni predikatov mono predstavit~
tablicami s koneqnym qislom strok. V kaqestve primera postroim tablicu dl predikata P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q) , gde
M = {m1 , m2 }, P (x) — proizvol~ny$
i predikat, soderawi$
i odnu svobodnu peremennu x ; peremenna y svobodna dl x v
P (x) ; Q — proizvol~noe vyskazyvanie.
Tablica 5
Predikaty, opredelennye na M
x
A0 (x)
A1 (x)
A2 (x)
A3 (x)
m1
m2
1
1
1
1
Tablica 6
Tablica znaqeni$
i predikata P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q)
P (x)
Q
y
P (y)
P (y) ∨ (∀x ∈ M )(P (x) → Q)
A0 (x)
A0 (x)
A0 (x)
A0 (x)
A1 (x)
A1 (x)
A1 (x)
A1 (x)
A2 (x)
A2 (x)
A2 (x)
A2 (x)
A3 (x)
A3 (x)
A3 (x)
A3 (x)
1
1
1
1
1
1
1
1
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
Opredelenie 3.4 (Tavtologii v isqislenii predikatov). Predikat A nazyvaets todestvenno istinnym v koneqnom predmetnom mnoestve M , esli tablica istinnosti togo predikata soderit tol~ko 1 . Predikat A nazyvaets tavtologie$i
( simvoliqeski |= A) , esli on vlets todestvenno istinnym
v lbom koneqnom predmetnom mnoestve.
Pri koneqno$
i predmetno$
i oblasti formuly isqisleni predikatov otliqats ot formul isqisleni vyskazyvani$
i tol~ko
tem,W qto v Vnih prisutstvut diznkcii i konnkcii vin
n
da
i=1 ai ,
i=1 ai , v kotorye perehodt formuly, soderawie
kvantory suwestvovani i obwnosti. Pri dokazatel~stve tavtologi$
i, soderawih takie diznkcii i konnkcii s proizvol~nymi natural~nymi n, mono vospol~zovat~s principom
matematiqesko$
i indukcii.
Teorema 3.1 (Nekotorye tavtologii isqisleni predikatov).
Pri proizvol~nyh predikatah A(x) , B(x) , soderawih svobodnye
vhodeni x; C(x, y), soderawem svobodnye vhodeni x i y;
P , ne soderawem svobodno x , vypolnts sootnoxeni:
1) |= (∀x)(A(x)∧B(x)) ∼ (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ,
2) |= (∃x)(A(x) ∨ B(x)) ∼ (∃x)A(x) ∨ (∃x)B(x) ,
3) |= (∀x)A(x) ∨ (∀x)B(x) → (∀x)(A(x) ∨ B(x)) ,
4) |= (∃x)(A(x)∧B(x)) → (∃x)A(x)∧(∃x)B(x) ,
5) |= (∀x)A(x) ∼ (∃x)A(x) ,
6) |= (∃x)A(x) ∼ (∀x)A(x) ,
7) |= (∀x)P ∼ P ,
8) |= (∃x)P ∼ P ,
9) |= (∀x)(P ∨ A(x)) ∼ P ∨ (∀x)A(x) ,
10) |= (∃x)(P ∧A(x)) ∼ P ∧(∃x)A(x) ,
11) |= (P → (∀x)A(x)) ∼ (∀x)(P → A(x)) ,
12) |= ((∀x)A(x) → P ) ∼ (∃x)(A(x) → P ) ,
13) |= (∀x)A(x) ∨ (∀x)B(x) ∼ (∀x)(∀y)(A(x) ∨ B(y)) ,
14) |= (∃x)A(x)∧(∃x)B(x) ∼ (∃x)(∃y)(A(x)∧B(y)) ,
15) |= (∀x)(∀y)C(x, y) ∼ (∀y)(∀x)C(x, y) ,
16) |= (∃x)(∃y)C(x, y) ∼ (∃y)(∃x)C(x, y) ,
17) |= (∃y)(∀x)C(x, y) → (∀x)(∃y)C(x, y) ,
18) esli |= A(x) → B(x) , to |= (∀x)A(x) → (∀x)B(x) ,
19) esli |= A(x) → B(x) , to |= (∃x)A(x) → (∃x)B(x) ,
20) esli |= A(x) ∼ B(x) , to |= (∀x)A(x) ∼ (∀x)B(x) ,
21) esli |= A(x) ∼ B(x) , to |= (∃x)A(x) ∼ (∃x)B(x) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem tol~ko sootnoxeni 3, 18, 19.
32
Sootnoxenie 3 vypolnets v odno lementnyh mnoestvah.
Predpoloim, qto ono vypolnets v k - lementnyh mnoestvah. Pust~ M — k + 1 - lementnoe mnoestvo s lementami
m1 , . . . , mk , mk+1 . Dokazatel~stvo po metodu matematiqesko$
i indukcii svodits k dokazatel~stvu sekvencii
P ∨ Q → R |= (P ∧a) ∨ (Q∧b) → R∧(a ∨ b) ,
(1)
Vk
Vk
gde P = i=1 A(mi ), Q = i=1 B(mi ), R = i=1 (A(mi ) ∨ B(mi )),
a = A(mk+1 ), b = B(mk+1 ) . Dokaem (1) tabliqnym sposobom
Vk
P
1
1
1
1
∨ Q → R |= (P ∧ a) ∨ (Q ∧ b) → R ∧ (a ∨ b)
00 1 0
0 0 a 0 0 0 b 1
00 1 1
0 0 a 0 0 0 b 1
11 0 0
11 1 1
0 0 a b 1 b b 1 1 a∨b a∨b
10 0 0
10 1 1
1 a a a 0 0 b 1 1 a∨b a∨b
11 0 0
11 1 1
1 a a a∨b 1 b b 1 1 a∨b a∨b
Dl dokazatel~stva sootnoxeni$
i 18, 19 zametim, qto
|= A(x) → B(x) kvivalentno A(x) |= B(x) , otkuda sledut tavtologii |= (∀x)A(x) → (∀x)B(x) , |= (∃x)A(x) → (∃x)B(x) . J
Teorema 3.2 (Osnovnye svo$
istva kvantorov). Pust~ x — proizvol~na peremenna, A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i
x svobodno. Esli peremenna t svobodna dl x v A(x) , to:
1) |= (∀x)A(x) → A(t) ; 2) |= A(t) → (∃x)A(x) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1) Vozmony dva vzaimoisklqawih
sluqa: A(x) — libo tavtologi, libo oproverimy$
i predikat. V pervom sluqae A(t) = 1 , vo vtorom (∀x)A(x) = 0 i
po tomu v oboih sluqah utverdenie 1) vypolnets.
2) Vozmony dva vzaimoisklqawih sluqa: A(x) — libo protivoreqie, libo vypolnimy$
i predikat. V pervom sluqae
A(t) = 0 , vo vtorom (∃x)A(x) = 1 i po tomu v oboih sluqah
utverdenie 2) vypolnets. J
Teorema 3.3 (Pravila obobweni i konkretizacii). Pust~ x —
proizvol~na peremenna, A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i x svobodno, a D ne soderit x svobodno. Togda:
1) esli |= D → A(x) , to |= D → (∀x)A(x) ( obobwenie );
2) esli |= A(x) → D , to |= (∃x)A(x) → D ( konkretizaci ).
Dokazatel~stvo analogiqno dokazatel~stvu teoremy 3.2.
33
3.3. Aksiomatiqeskie isqisleni predikatov
Aksiomatiqeskoe postroenie isqisleni predikatov neobhodimo prede vsego, dl togo qtoby obobwit~ rezul~taty, poluqennye dl koneqnyh predmetnyh mnoestv, na beskoneqnye
predmetnye mnoestva. Rassmotrim snaqala aksiomatiqeskoe isqislenie predikatov IP, kotoroe vlets prodoleniem aksiomatiqeskogo isqisleni vyskazyvani$
i IV i po tomu vklqaet v seb vse shemy aksiom i pravilo vyvoda isqisleni vyskazyvani$
i IV. Pri tom de$
istvi kvantorov v proizvol~nom predmetnom mnoestve opredelts utverdenimi teoremy 3.2, printymi kak aksiomy. K pravilu M P isqisleni
vyskazyvani$
i IV dobavlts pravila obobweni i konkretizacii iz teoremy 3.3.
Opredelenie 3.5 (Shemy aksiom i pravila vyvoda IP). Pust~
A, B, C — predikaty ili vyskazyvani ; A(x) — predikat, soderawi$i svobodno x; peremenna t svobodna dl x v A(x); D
ne soderit x svobodno.
Shemami aksiom isqisleni predikatov IP vlts :
AS1 A → (B → A) ,
AS2 (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) ,
AS3 A → (B → A∧B) ,
AS4 A∧B → A ,
AS5 A∧B → B ,
AS6 A → A ∨ B ,
AS7 B → A ∨ B ,
AS8 (A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C)) ,
AS9 (A → B) → ((A → B) → A) ,
AS10 A → A ,
AS11 (∀x)A(x) → A(t) ,
AS12 A(t) → (∃x)A(x) .
Pravilami vyvoda isqisleni predikatov IP vlts :
A, A → B
D → A(x)
A(x) → D
(M P ),
( obobwenie ),
( konkreB
D → (∀x)A(x)
(∃x)A(x) → D
tizaci ) .
Ponti dokazatel~stva i vyvoda iz dopuweni$
i analogiqny sootvetstvuwim pontim isqisleni vyskazyvani$
i IV,
no oboznaqenie A1 , . . . , Am ` B ispol~zuets tol~ko dl vyvodov,
poluqennyh bez primeneni pravil obobweni i konkretizacii
k peremennym, vhodwim svobodno v dopuweni A1 , . . . , Am . Vse
34
utverdeni teoremy 3.1 spravedlivy i v aksiomatiqeskom isqislenii predikatov pri uslovii, qto v nih znak |= zamenen
na znak ` . Na isqislenie predikatov perenosits bol~xa
qast~ rezul~tatov isqisleni vyskazyvani$
i, v qastnosti, esli
A1 , . . . , Am ` B v isqislenii vyskazyvani$
i, to A1 , . . . , Am ` B v
isqislenii predikatov. Spravedlivy pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov → , ∧ , ∨ ,
, ∼.
Teorema 3.4 (Pravila vvedeni i udaleni kvantorov). Pust~
A(x) — proizvol~ny$i predikat, soderawi$i x svobodno ; peremenna t svobodna dl x v A(x); Γ — koneqny$i spisok predikatov ( vozmono, pusto$i ), ne soderawih x svobodno ; D —
proizvol~ny$i predikat, ne soderawi$i x svobodno. Spravedlivy
pravila, privedennye v tablice :
Znak
Pravilo vvedeni
Pravilo udaleni
∀
Esli Γ ` A(x) ,
to Γ ` (∀x)A(x)
(∀x)A(x) ` A(t)
∃
A(t) ` (∃x)A(x)
Esli Γ, A(x) ` D ,
to Γ, (∃x)A(x) ` D
D o k a z a t e l ~ s t v o . Vvedenie ∀ . Pust~ C — aksioma, ne soderawa x svobodno.
1) Γ ` A(x)
— po uslovi,
2) Γ , C ` A(x)
— svo$
istvo 2, 1,
3) Γ ` C → A(x)
— vvedenie → , 2,
4) Γ ` C → (∀x)A(x) — obobwenie, 3,
— vvedenie →, 4,
5) Γ , C ` (∀x)A(x)
6) Γ ` (∀x)A(x)
— udalenie aksiomy iz dopuweni$
i, 5.
Udalenie ∀ .
1) ` (∀x)A(x) → A(t) — AS11 ,
— vvedenie → 1.
2) (∀x)A(x) ` A(t)
Vvedenie ∃ .
1) ` A(t) → (∃x)A(x) — AS12 ,
2) A(t) ` (∃x)A(x)
— vvedenie → , 1.
35
1)
2)
3)
4)
Udalenie ∃ .
Γ , A(x) ` D
Γ ` A(x) → D
Γ ` (∃x)A(x) → D
Γ , (∃x)A(x) ` D
—
—
—
—
po uslovi,
vvedenie → 1,
konkretizaci, 2,
vvedenie → 3. J
Teorema 3.5 (Pravila pereimenovani peremennyh). Pust~ predikat A(x) soderit x svobodno , peremenna y svobodna dl x
v A(x). Togda : 1) esli ` A(x), to ` A(y); 2) esli ` (∀x)A(x),
to ` (∀y)A(y); 3) esli ` (∃x)A(x), to ` (∃y)A(y) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem 1.
— po uslovi,
1) ` A(x)
2) ` (∀x)A(x) — vvedenie ∀, 1,
— udalenie ∀ , svo$
3) ` A(y)
istvo 3, 2.
Dokaem 2.
1) ` (∀x)A(x) — po uslovi,
— udalenie ∀ , svo$
istvo 3, 1,
2) ` A(y)
3) ` (∀y)A(y) — vvedenie ∀ , 2.
Punkt 3 sleduet iz 2 v silu punkta 5 teoremy 3.1. J
Pravila pereimenovani peremennyh pozvolt kadu formulu zapisat~ tak, qto vse razliqnye peremennye (svobodnye
i svzannye) oboznaqats razliqnymi bukvami.
Opredelenie 3.6 (Zamknutye predikaty, zamykanie). Predikat, ne soderawi$i svobodno$i peremenno$i, nazyvaets zamknutym. Esli predikat A soderit svobodno tol~ko peremennye
x1 , . . . , xn , to A0 = (∀x1 ) . . . (∀xn )A nazyvaets zamykaniem A .
S pomow~ pravil vvedeni i udaleni ∀ netrudno dokazat~ sleduwee utverdenie.
Teorema 3.6 (O zamykanii). Esli A0 — zamykanie predikata
A , to ` A0 togda i tol~ko togda, kogda ` A .
Aksiomatiqeskoe isqislenie predikatov IPS poluqaets iz
isqisleni vyskazyvani$
i IS dobavleniem pravil vyvoda:
Γ4 ` A(x)
Γ ` (∀x)A(x)
(vvedenie ∀ ), 17)
(udalenie ∀),
Γ4 ` (∀x)A(x)
Γ ` A(t)
Γ ` A(t)
Γ4 , A(x) ` D
(udalenie ∃ ).
(vvedenie ∃ ), 19)
18)
Γ ` (∃x)A(x)
Γ4 , (∃x)A(x) ` D
16)
V tih pravilah Γ , Γ4 — koneqnye spiski formul, vozmono,
pustye. Spisok Γ4 i formula D ne soderat x svobodno,
peremenna t svobodna dl x v A(x) .
36
4. Formal~nye sistemy
V bol~xinstve aksiomatiqeskih teori$
i matematiki, obekty i utverdeni tih teori$
i traktuts soderatel~no, qto
moet inogda privesti k nerazreximym protivoreqim (paradoksam). Vyhod zaklqaets v tom, qtoby rassmatrivat~ matematiqeskie teorii kak formal~nye sistemy, t. e. kak sistemy operaci$
i nad formulami nekotorogo toqnogo logiko-matematiqeskogo zyka, bez kako$
i-libo soderatel~no$
i interpretacii
formul. Postroenie formal~no$
i sistemy svodits k zadani
zyka, aksiom i pravil vyvoda sistemy. zyk opredelets
alfavitom (pereqnem ishodnyh simvolov) i sintaksisom —
pravilami postroeni formul sistemy: 1) termov (predmetov),
i).
2) sootnoxeni$i (utverdeni$
Rassmotrim formal~nu sistemu sovremenno$
i matematiki,
nazyvaemu isqisleniem predikatov pervogo pordka s funkcional~nymi i predikatnymi znakami (IPFP).
Opredelenie 4.1 (zyk IPFP).
Alfavit soderit : predmetnye peremennye a, b, . . . , x, y, z,
n
a1 , a2 , . . . , a0 , a00 , . . . ; simvoly fj j predmetnyh funkci$i nj predmetnyh argumentov, nj = 0, 1, . . . , ( simvoly funkci$i 0 argumenn
tov nazyvats predmetnymi konstantami ); simvoly Pj j predikatov nj predmetnyh argumentov, nj = 1, 2, . . . , vklqa predikat ravenstva = ; logiqeskie znaki ∨, ∧, , →, ∼, ∀, ∃, τ ; vspomogatel~nye znaki ”, ”, ”(”, ”)” .
Pravila postroeni termov.
T1 . Predmetnye peremennye i konstanty vlts termami.
n
T2 . Esli T1 , . . . , Tnj — termy, to fj j (T1 , . . . , Tnj ) — term.
T3 . Formuly naqinawies so znaka τ vlts termami.
T4 . Nikakih termov, krome opredelennyh pp. T1 — T3 , net.
Pravila postroeni sootnoxeni$i.
n
R1 . Esli T1 , . . . , Tnj — termy, to Pj j (T1 , . . . , Tnj ) —
sootnoxenie.
R2 . Esli A, B — sootnoxeni, x — predmetna peremenna,
to A, A∧B, A ∨ B, A → B, (∀x)A, (∃x)A — sootnoxeni.
R3 . Nikakih sootnoxeni$i, krome opredelennyh pp. R1 , R2 net.
Opredelenie 4.2 (Podstanovki termov v formuly). Pust~ formula A(x) soderit svobodno peremennu x . Term T nazyvaets svobodnym dl x v A(x) , esli ni odna iz peremennyh terma
ne svzyvaets pri ego podstanovke vmesto x .
37
Pravila vyvoda i logiqeskie aksiomy IPFP takie e,
kak v IPS, gde t — term, svobodny$
i dl x v A(x) . K nim
dobavlts aksiomy ravenstva.
Aksiomy ravenstva.
E1 x = x ,
E2 (x = y)∧(y = z) → (x = z) ,
E3 (x = y) → (y = x) ,
n
n
EP (x1 = y1 )∧ . . . ∧(xnj = ynj ) → (Pj j (x1 , . . . , xn ) ∼ Pj j (y1 , . . . , yn ) ,
n
n
Ef (x1 = y1 )∧ . . . ∧(xnj = ynj ) → (fj j (x1 , . . . , xn ) = fj j (y1 , . . . , yn ) ,
gde x, x1 , . . . , xnj , y, y1 , . . . , ynj , z — proizvol~nye termy.
Qasto aksiomy ravenstva zapisyvats v zamknutom vide. Naprimer, aksioma E3 v zamknutom vide zapisyvaets tak
(∀x)(∀y)((x = y) → (y = x)) .
V matematiqeskih vyvodah qasto priments funkcii, nazyvaemye opisanimi, sopostavlwie sootnoxenim predmety,
pri kotoryh oni vypolnts. Naprimer, esli v stroke vyvoda est~ vyskazyvanie (∃x)A(x) , to posle frazy: ”pust~ τ
tako$
i predmet, qto vypolnets A(τ ) ,” sootnoxenie A(τ ) zapisyvaets v sleduwu stroku vyvoda i vyvod prodolaets,
privod v konce koncov k sootnoxeni, ne soderawemu predmeta τ . Tako$
i sposob vyvoda, ne vyzyvaet vozraeni$
i, esli
sno, kak konstruktivno na$
iti predmet τ dl lbogo A . Odnako, v obwem sluqae pri beskoneqnom predmetnom mnoestve
i beskoneqnom mnoestve sootnoxeni$
i vozmonost~ takogo vybora mono postulirovat~ lix~ aksiomo$i vybora . Cermelo,
kotora, primenitel~no k dannomu sluqa utverdaet, qto dl
seme$
istva mnoestv S(A) istinnosti sootnoxeni$
i A , soderawih svobodno odnu peremennu x , suwestvuet funkci vybora
τ (A) taka, qto τ (A) ∈ S(A) .
Primer. Dokazatel~stvo (∃x)(A(x) → B(x)), (∀x)A(x) ` (∃x)B(x) .
1) ` (∃x)(A(x) → B(x)) — dopuwenie,
— τ tako$
i, qto ` A(τ ) → B(τ ),
2) ` A(τ ) → B(τ )
3) ` (∀x)A(x)
— dopuwenie,
4) ` A(τ )
— udalenie ∀ , 3,
5) ` B(τ )
— udalenie →, 4, 2,
6) ` (∃x)B(x)
— vvedenie ∃ , 5.
Vvedem obwee opredelenie.
38
Opredelenie 4.3 (Neopredelennoe opisanie). Pust~ sootnoxenie A(x1 , . . . , xn , w) soderit svobodno tol~ko razliqnye peremennye x1 , . . . , xn , w (n>0). Term τw A(x1 , . . . , xn , w) , v kotorom
peremenna w svzana, nazyvaets neopredelennym opisaniem
”nekotorogo w , takogo, qto ` (∀x1 ) . . . (∀xn )(∃w)A(x1 , . . . , xn , w) ”.
tot term opredelet predmetnu funkci f (x1 , . . . , xn )
τw A(x1 , . . . , xn , w) .
Pri ispol~zovanii v dokazatel~stvah neopredelennyh opisani$
i nel~z priment~ pravila obobweni i konkretizacii po
peremennym, vhodwim svobodno v termy τw A(x1 , . . . , xn , w) .
Teorema 4.1 (Udalenie neopredelennogo opisani). Pust~ Γ
— spisok sootnoxeni$i (vozmono, pusto$i ); C — proizvol~noe sootnoxenie ; A(x1 , . . . , xn , w) i funkci f , udovletvort
opredeleni
funkci
f
ne
vhodit
v
4.5;
sootnoxeni
spiska
Γ,
A(x1 , . . . , xn , w),
C.
Togda,
esli
Γ, (∀x1 ) . . . (∀xn )A(x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) ` C , to Γ ` C .
Term τ pozvolet opredelit~ kvantory formulami [3]:
(∃x)A(x) A(τx A(x)),
(∀x)A(x) A(τx A(x)).
(1)
Pri takom opredelenii shemu AS11 mono isklqit~, a shemu
AS12 zapisat~ v vide A(t) → A(τx A(x)). Prinima aksiomatiku N. Burbaki [3], vvedem dl τ sleduwu shemu aksiom,
nakladyvawu ograniqenie na ispol~zuemye funkcii vybora.
Aksioma terma τ . (∀x)(A(x) ∼ B(x)) → (τx A(x) = τx B(x)) .
Opredelenie 4.4 (Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni).
Sootnoxenie R(x), soderawee svobodno bukvu x i ne soderawee razliqnye bukvy y, z , nazyvaets odnoznaqnym po x , esli
` (∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)). Sootnoxenie R(x) nazyvaets
funkcional~nym po x , esli ono odnoznaqno i ` (∃x)R(x) .
Teorema 4.2 (Ob odnoznaqnyh i funkcional~nyh sootnoxenih).
1 . Pust~ R(x) odnoznaqno po x . Togda ` R(x) → (x = τx R(x)).
2 . Pust~ ` R(x) → (x = t) , gde term t ne soderit x svobodno.
Togda R(x) odnoznaqno po x .
3. Pust~ R(x) funkcional~no po x . Togda ` R(x) ∼ (x = τx R(x)).
4 . Pust~ ` R(x) ∼ (x = t), gde term t ne soderit x svobodno.
Togda R(x) funkcional~no po x.
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Pust~ R(x) odnoznaqno po x . Togda
1) ` (∀z)(∀y)((R(y)∧R(z)) → (y = z))
— dopuwenie,
2) ` (∀y)((R(y)∧R(τx R(x))) → (y = τx R(x))) — udalenie ∀ , 1,
3) ` R(x)∧(∃x)R(x) → (x = τx R(x))
— (1), udalenie ∀ , 2,
— udalenie ∧ i →, 3,
4) R(x), (∃x)R(x) ` x = τx R(x)
39
(∃x)R(x) ` R(x) → (x = τx R(x)) — vvedenie →, 4,
R(x) ` (∃x)R(x)
— vvedenie ∃ ,
R(x) ` R(x) → (x = τx R(x))
— seqenie, 5, 6,
R(x), R(x) ` x = τx R(x)
— udalenie → i ∧, 7,
` R(x) → (x = τx R(x))
— sokrawenie, vvedenie → , 8.
2. Pust~ ` R(x) → (x = t) i term t ne soderit x svobodno.
1) ` R(x) → (x = t)
— dopuwenie,
2) ` R(y) → (y = t)
— pereimenovanie, 1,
3) ` R(z) → (z = t)
— pereimenovanie, 1,
4) R(y) ` (y = t)
— udalenie → , 1,
5) R(z) ` (z = t)
— udalenie → , 1,
6) R(y), R(z) ` (y = t)∧(z = t)
— vvedenie ∧ , 4, 5,
7) R(y), R(z) ` y = z
— seqenie, 6, E2 ,
8) ` (R(y)∧R(z)) → (y = z)
— vvedenie ∧ i →, 7,
9) ` (∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)) — vvedenie ∀ , 8.
3. Pust~ R(x) funkcional~no po x .
1) ` R(x) → (x = τx R(x))
— punkt 1,
2) ` (x = τx R(x)) → (R(x) ∼ (∃x)R(x)) — EP , (1),
3) x = τx R(x) ` R(x) ∼ (∃x)R(x)
— udalenie ∧ i →, 2,
4) x = τx R(x) ` (∃x)R(x) → R(x)
— udalenie ∧, 3,
5) ` (x = τx R(x)) → ((∃x)R(x) → R(x)) — vvedenie →, 4,
6) ` (∃x)R(x) → ((x = τx R(x)) → R(x)) — a → (b → c) = b → (a → c) , 5,
7) ` (∃x)R(x)
— dopuwenie,
8) ` (x = τx R(x)) → R(x)
— udalenie → , 6, 7,
9) ` R(x) ∼ (x = τx R(x))
— vvedenie ∧ , 1, 8.
4. Pust~ ` R(x) ∼ (x = t) .
1) ` R(x) ∼ (x = t)
— dopuwenie,
2) ` R(x) → (x = t)
— udalenie ∧, 1,
3) ` R(x) odnoznaqno po x — punkt 2, 3,
— udalenie ∧ , 1,
4) ` (x = t) → R(x)
5) ` (∀x)((x = t) → R(x))
— vvedenie ∀ , 4,
6) ` (t = t) → R(t)
— udalenie ∀ , 5,
— vvedenie ∃,
7) R(t) ` (∃x)R(x)
8) ` (∃x)R(x)
— E1 , seqenie, 6, 7,
t. e. R(x) funkcional~no po x . J
Sootnoxenie (∃x)R(x)∧(∀y)(∀z)((R(y)∧R(z)) → (y = z)) , oznaqawee, qto R(x) funkcional~no po x, qasto oboznaqaets simvolom (∃!x)R(x) , kotory$
i qitaets tak: ”suwestvuet edinstvenny$
i
(suwestvuet i edinstvenen) predmet tako$
i, qto R(x) ”. V tom
sluqae term τx R(x) nazyvaets opredelennym opisaniem.
5)
6)
7)
8)
9)
40
5. Upraneni
k
1 .
1)
2)
3)
4)
5)
Postroit~ tablicu dl f i opredelit~ N (f ) :
f (x, y, z) = (x ∼ y) ∧ y | z ,
6) f (x, y, z) = (x ↓ y)∧y ⊕ z ,
f (x, y, z) = (x ↓ y) ∧ y → z , 7) f (x, y, z) = (x ⊕ y) ∧ y → z ,
f (x, y, z) = (x ⊕ y) ∧ y | z ,
8) f (x, y, z) = (x ↓ y) ∨ y | z ,
f (x, y, z) = (x ∼ y) ∧ y → z , 9) f (x, y, z) = (x ↓ y) ∧ y ∼ z ,
f (x, y, z) = (x | y) ∨ y ⊕ z , 10) f (x, y, z) = (x → y)∧y ⊕ z .
R e x e n i e dl f (x, y, z) = (x → y) ∨ y ∼ z (sm. primer 1.1).
f (x, y, z) = ( x → ¬ ( y )) ∨ ¬( y ∼ ¬( z ))
1
01 1 0 1 1 00 1 0
1
01 1 0 1 0 01 0 1
1
01 0 1 1 0 11 1 0
1
01 0 1 1 1 10 0 1
1
11 1 0 1 1 00 1 0
1
11 1 0 1 0 01 0 1
10 0 1 0 0 11 1 0
1
10 0 1 1 1 10 0 1
N (f ) = 1 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 253 . J
k
2 . Ispol~zu teoremu 1.2 i tabl. 3, na$
iti vyraenie dl
∗
∗
f (x, y, z) i opredelit~ N (f ) .
1) f (x, y, z) = ((x ↓ y) | (y ∨ z)) ∧ y ∧ z ,
2) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∨ z) ∧ y → z ,
3) f (x, y, z) = ((y | z) → (x ∨ y)) ⊕ (y ∨ z) ,
4) f (x, y, z) = (x ⊕ y) → (y | z) → (y ∧ z) ,
5) f (x, y, z) = (x → y) | (y ↓ z)∧(y ⊕ z) ,
6) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y → z) ⊕ (y∧z) ,
7) f (x, y, z) = (x ∼ y) ↓ (y | z) ∧ (z → y) ,
8) f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y∧z) → (y ∨ z) ,
9) f (x, y, z) = (x ↓ y) | (y∧z) ∨ (z → y) ,
10) f (x, y, z) = (x ∧ y) → (y ↓ z) ∼ (y ∧ z) .
R e x e n i e dl f (x, y, z) = (x ∼ y) ∼ (y∧z)∧y ∨ z . Po teoreme 1.2
f ∗ = x ⊕ y ⊕ (y ∨ z)∨y∧z , N (f ∗ ) = 254 nahodits kak v upr. 1. J
3 . Dokazat~ tabliqnym sposobom vse sootnoxeni teoremy 1.3.
k
4 . Uprostit~ vyraenie dl f (x, y, z) . Proverit~ pravil~nost~
uproweni, sravniva nomer uprowennogo vyraeni i N (f ) .
41
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
f (x, y, z) = (x ∼ y) ↓ (y | z) ∧ (z → y) ,
f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∧ z) → (y ∨ z) ,
f (x, y, z) = (x ↓ y) | (y ∧ z) ∨ (z → y) ,
f (x, y, z) = (x ∧ y) → (y ↓ z) ∼ (y ∧ z) ,
f (x, y, z) = (x ∼ y) ⊕ (y ↓ z) ∨ (y | z) ,
f (x, y, z) = (x ⊕ y) | (y ↓ z) ∨ y → z ,
f (x, y, z) = ((x ↓ y) | (y ∨ z)) ∧ y ∧ z ,
f (x, y, z) = (x | y) ↓ (y ∨ z) ∧ y → z ,
f (x, y, z) = ((y | z) → (x ∨ y)) ⊕ (y ∨ z) ,
f (x, y, z) = (x ⊕ y) → (y | z) → (y ∧ z) .
R e x e n i e dl f (x, y, z) = ((x ∼ y) ⊕ (y|z))∧y ∨ z, N (f ) = 128 .
f = (x⊕y⊕(y|z))∧y ∨ z = (x⊕y⊕(y∧z))∧y ∨ z = (x⊕y⊕z ⊕(y∧z))∧y ∨ z =
= (x ⊕ (y ∨ z))∧y ∨ z = x∧y ∨ z = x↓(y ∨ z) , N (x↓(y ∨ z)) = 128 . J
5 . Metodom matematiqesko$
i indukcii dokazat~ sootnoxeni:
n
n
n
n
_
^
_
^
1)
(a ∨ bi ) = a ∨
(a → bi ) ,
bi ,
6) a →
bi =
i=1
i=1
i=1
i=1
!
!
n
n
n
n
n
_
_
_
_
_
2)
(a ∧ bi ) = a ∧
bi ,
7)
(ai ∨ bi ) =
ai ∨
bi ,
i=1
i=1
i=1
i=1 !
i=1 !
n
n
n
n
n
^
^
^
^
^
bi ,
(ai ∧ bi ) =
(a ∨ bi ) = a ∨
8)
ai ∧
bi ,
3)
4)
5)
i=1
n
^
(a ∧ bi ) = a ∧
i=1
n
^
i=1
ai
!
→b=
i=1
n
^
i=1
n
_
i=1
n
_
R e x e n i e dl
bi ,
i=1
9)
(ai → b) , 10)
ai =
n
^
ai .
i=1
n
^
i=1
n
_
i=1
ai =
ai =
i=1
n
^
i=1
ai ,
ai .
i=1
i=1
Pri
n
_
imeem
n = 1
a1 = a1 .
i=1
Pust~ rassmatrivaemoe ravenstvo vypolnets pri n = k , t. e.
k
k
^
_
ai . S uqetom zakona de Morgana, poluqim
ai =
i=1
i=1
k+1
_
i=1
ai =
k
_
i=1
ai
!
∨ ak+1 =
k
_
i=1
ai ∧ ak+1 =
Znaqit, pri lbom natural~nom n
n
_
i=1
42
k
^
i=1
ai =
ai
!
n
^
i=1
∧ak+1 =
ai . J
k+1
^
i=1
ai .
k
6 . Na$
iti SDNF, SKNF funkcii fN (x, y, z) s nomerom N ,
ravnym: 1) 30, 2) 45, 3) 54, 4) 57, 5) 75, 6) 86, 7) 89, 8) 99 ,
9) 101, 10) 105 . Uprostit~ odnu iz form.
R e x e n i e dl f106 . Funkcii c a i d a , vhodwie v SDNF f106
i SKNF f106 , predstavleny v tablice
x
y
z
f106 (x, y, z)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
c a (x, y, z)
x∧y∧z
x∧y∧z
x∧y∧z
x∧y∧z
d a (x, y, z)
x∨y∨z
x∨y∨z
x∨y∨z
x∨y∨z
(SDNF f106 )(x, y, z) = (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),
(SKNF f106 )(x, y, z) = (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z)∧ (x ∨ y ∨ z).
Uprowa SDNF, poluqim
f106 (x, y, z) = (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) ∨ (x∧y∧z) =
= (x∧((y∧z)) ∨ (y∧z))) ∨ ((x∧z)∧(y ∨ y)) = (x∧(y⊕z)) ∨ (x∧z) =
= (x∧(y⊕z))⊕(x∧z)⊕(x∧(y⊕z)∧x∧z) = (x∧y)⊕(x∧z)⊕(x∧z) =
= (x∧y)⊕(x∧z)⊕(x∧z)⊕x⊕y⊕z = (x∧y)⊕x⊕y⊕z = (x ∨ y)⊕z . J
7 . Na$
iti SDNF i SKNF dl funkci$
i:
1) x → y , 2) x ∼ y , 3) x ⊕ y , 4) x | y , 5) x ↓ y , 6) x ∨ y , 7) x ∧ y .
k
8 . Predstavit~ v bazise egalkina funkci fN (x, y, z) s nomerom N , ravnym: 1) 106, 2) 108, 3) 120, 4) 135, 5) 147,
6) 149, 7) 150, 8) 154, 9) 156, 10) 166 . Preobrazovat~ poluqennoe vyraenie v polinom egalkina, t. e. vyraenie vida
ε + εx x + εy y + εz z + εxy xy + εxz xz + εyz yz + εxyz xyz ,
gde sloenie i umnoenie — drugie oboznaqeni dl sloeni
po modul 2 i konnkcii, priqem ih prioritety takie e
kak i u obyqnogo sloeni i umnoeni; ε, εx , . . . , εxyz ∈ B .
R e x e n i e dl f169 (x, y, z) . Zamen v SDNF f169 operaci ∨ na
+ i vyraa otricani qerez + i 1, poluqim f169 (x, y, z) =
= (x +1)(y +1)(z +1)+(x+1)y(z +1)+ x(y +1)(z +1)+xyz = xyz +xy +yz +
+xz +x+y +z +1+xyz +xy +yz +y +xyz +xy +xz +x+xyz = 1+z +xy. J
9 . Dokazat~, qto lba funkci f (x1 , . . . , xn ) edinstvennym obrazom predstavlets v vide polinoma egalkina.
43
k
10 . Privesti k KNF (ne uprowa):
1) (a → b)∧a → b ,
2) (a → b)∧(c → d)∧ a∧c → b∧d ,
3) ((a → b) ∨ (c → d))∧ a∧c → b ∨ d ,
4) (a → b)∧(c → b) → (a ∨ c → b) ,
5) (a ∨ c → b)∧ (a → b)∧(c → b) ,
6) (a∧b → c)∧ a → (b → c) ,
7) (a → (b → c))∧ a∧b → c ,
8) (a∧b → c) → (a∧c → b) ,
9) (a∧c → b) → (a∧b → c) ,
10) (a → b)∧ a∧c → b∧c .
R e x e n i e dl F = (a → b)∧(c → d) → (a ∨ c → b ∨ d) .
F = (a ∨ b)∧((c ∨ d) ∨ a ∨ c ∨ b ∨ d = (a ∨ b)∧(c ∨ d)∧(a ∨ c)∧b∧d . J
11 . Dokazat~ osnovnye sootnoxeni bulevo$
i algebry: 27, 28,
31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47.
12 . Dokazat~ s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti zakony logiki teoremy 2.1. Ukazanie: sm. primer 2.1.
13 . Dokazat~ teoremy 2.3, 2.4 i sledstvie teoremy 2.4.
14 . Dokazat~, qto sekvenci Γ ` A vypolnets togda i tol~ko
V
togda, kogda vypolnets sekvenci ` Γ → A (pravila vvedeni i udaleni ∧ i →).
k
15 . Dokazat~ tavtologii trem sposobami: a) tabliqnym,
b) s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti (primer 2.1),
v) privod k tavtologii |= A ∼ A s pomow~ teoremy 1.3.
1) |= (A∧B) ∨ A ∨ C ∼ ((A → B)∧A → C) ,
2) |= (A ∼ B) ∨ (A∧C) ∼ ((A ∨ B)∧(B → A)∧(A → C)) ,
3) |= (A → B) ∨ (A ∼ C) ∼ (A ∨ B∧(A ∨ C)∧(C → A)) ,
4) |= A ∨ B ∨ (C → A) ∼ (A → B∧A∧C) ,
5) |= (A → B) ∨ (A → C) ∼ (A∧B∧C) ,
6) |= ((A → B) ∨ A ∨ C) ∼ A∧B∧(A → C) ,
7) |= (A ∨ B) ∨ (A ∼ C) ∼ (A ∨ B∧(A → C)∧(C ∨ A)) ,
8) |= (A ∨ B ∨ A ∼ C) ∼ (A → B)∧(A ∨ C)∧(C → A) ,
9) |= (A → B ∨ C → A) ∼ (A → B)∧(A ∨ C) ,
10) |= ((A∧B) ∨ A → C) ∼ A ∨ (B∧C) .
44
R e x e n i e . Dokaem |= ((A∧B) ∨ A ∨ C) ∼ (A → B ∨ (A → C))
tret~im sposobom: (A∧B) ∨ A ∨ C ∼ A → B ∨ (A → C) = (A ∨ C) ∼
∼ (A ∨ B ∨ A ∨ C) = (A ∨ C) ∼ ((A∧C) ∨ A ∨ C) = (A ∨ C) ∼ (A ∨ C) . J
16 . Dokazat~ sekvenci A → B, B → (A ∼ C), C ` A ∼ B tabliqno
(primer 2.2). Preobrazovat~ sekvenci v tavtologi po pravilu vvedeni ∧ i → (upr. 14) i dokazat~ ee: a) s pomow~
sokrawennyh tablic istinnosti, b) s pomow~ teoremy 3.1.
k
17 . Dokazat~ sekvencii kak v upr. 16.
1) (A∧B) → A ∨ C, A ∨ B ∨ C |= A → B → (B ∨ C) ;
2) (A → B) → (B∧C), (B → C) ∨ (B → C) |= (A → B) → (B → C) ;
3) A ∨ B ∨ C, C ∨ (A∧B) |= A ∨ B ∨ (A∧B) ;
4) A ∨ B ∨ C, (B ∨ C) → (A∧B) |= A ∨ (A∧B) ;
5) (A∧B) → B, B ∨ (A∧C) |= (A → B) ∨ (A∧C) ;
6) A → (B → A), (A → B)∧C |= (A ∨ B) → ((A → C) → A) ;
7) C → (A ∨ B), C → (A∧B) |= A ∨ B ∨ (A∧B) ;
8) A → (A ∨ B) , B → (A ∨ C) |= (A → B) ∨ (C → A) ;
9) ((A → B)∧(A → B)) → A, (A ∨ B) → (B∧C) |= (A → B) ∨ B → C ;
10) A ∨ (B∧C), (A → C)∧(B → C) → (A ∨ B → C) |= A → (B → (A ∨ C)).
R e x e n i e dl A → B, B ∨ C |= A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)) . Primen pravilo vvedeni ∧ i → (upr. 14), poluqim tavtologi
|= A → B∧(B ∨ C → A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)), kotoru dokaem s
pomow~ teoremy 3.1: A → B∧B ∨ C → A ∨ B ∨ C ∨(A∧B∧(A∨C)) =
= A ∨ B ∨ B ∨ C ∨ A ∨ B ∨ C ∨ (A∧B∧(A ∨ C)) = 1 . J
18 . Dl zadannogo vyvoda napisat~ analiz k kado$
i stroke i
postroit~ derevo vyvoda (sm. primer 2.3).
1)
1. B |= A ∨ B
4. |= B ∨ A → A ∨ B 7. A ∨ B |= B ∨ A
8. |= A ∨ B → B ∨ A
2. A |= A ∨ B
5. A |= B ∨ A
3. B ∨ A |= A ∨ B
6. B |= B ∨ A
9. |= A ∨ B ∼ B ∨ A .
2)
4. |= A ∨ (A∧B) → A 7. |= A ∨ (A∧B) ∼ A .
1. A |= A
2. A∧B |= A
5. A |= A ∨ (A∧B)
6. |= A → A ∨ (A∧B)
3. A ∨ (A∧B) |= A
3)
1. A∧(B∧C) |= A
9. A∧B, C |= (A∧B)∧C
5. A∧(B∧C) |= B
10. A∧(B∧C) |= (A∧B)∧C
2. A∧(B∧C) |=B∧C 6. A∧(B∧C) |= C
7. A, B |= A∧B
11. |= A∧(B∧C) →
3. B∧C |= B
8. A∧(B∧C) |= A∧B
4. B∧C |= C
→ (A∧B)∧C.
45
4)
1. A∧(A ∨ B) |= A
2. |= A∧(A ∨ B)→ A
3. A |= A
5)
1. A ∨ B, A |= A ∨ B
2. A ∨ B, A |= A ∨ B
3. A ∨ B |= A
6)
1. A |= A
2. |= A → A
3. A, A |= A
7)
1. A, A∧B |= A
2. A, A∧B |= A
3. A |= A∧B
8)
1. A∧B |= B
2. A∧B |= A
3. B, A |= B∧A
4. A∧B |= B∧A
9)
1. A ∨ A, A |= A ∨ A
2. A ∨ A, A |= A ∨ A
3. A ∨ A |= A
10)
1. A∧A |= A
2. |= A∧A → A
3. A |= A
k
19 .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
46
4. A |= A ∨ B
5. A, A ∨ B|=A∧(A ∨ B)
6. A |= A∧(A ∨ B)
7. |= A → A∧(A ∨ B)
8. |= A ∼ A∧(A ∨ B) .
4. A ∨ B, B |= A ∨ B
5. A ∨ B, B |= A ∨ B
6. A ∨ B |= B
7. A, B |= A∧B
8. A ∨ B |= A∧B
9. |= A ∨ B → A∧B .
4. A, A |= A
5. A |= A
6. |= A → A
7. |= A ∼ A .
4. B, A∧B |= B
5. B, A∧B |= B
6. B |= A∧B
7. A ∨ B |= A∧B
8. |= A ∨ B → A∧B .
5. |= A∧B → B∧A
6. B∧A |= A
7. B∧A |= B
8. A, B |= A∧B
9. B∧A |= A∧B
10. |= B∧A → A∧B
11. |= A∧B ∼ B∧A .
4. A ∨ A, A |= A ∨ A
5. A ∨ A, A |= A ∨ A
6. A ∨ A |= A
7. |= A ∨ A
8. |= A ∨ A .
4. A, A |= A∧A
5. A |= A∧A
6. |= A → A∧A
7. |= A ∼ A∧A .
Metodom rezolci$
i dokazat~ tavtologii (sm. primer 2.4).
|= (A → B)∧A → B ,
|= (A → B)∧(C → D) → (A∧C → B∧D) ,
|= (A → B) ∨ (C → D) → (A∧C → B ∨ D) ,
|= (A → B)∧(C → B) → (A ∨ C → B) ,
|= (A ∨ C → B) → (A → B)∧(C → B) ,
|= (A∧B → C) → (A → (B → C)) ,
|= (A → (B → C)) → (A∧B → C) ,
|= (A∧B → C) → (A∧C → B) ,
|= (A∧C → B) → (A∧B → C) ,
|= (A → B) → (A∧C → B∧C) .
20 . Dokazat~ teoremu 2.3 dl znaka ` .
21 . Dokazat~ v isqislenii vyskazyvani$
i IS.
6) ` A ∨ (A∧B) ∼ A ,
1) ` A ∨ B ∼ B ∨ A ,
2) ` A ∼ A∧(A ∨ B) ,
7) ` A∧(B∧C) → (A∧B)∧C ,
8) ` A ∼ A ,
3) ` A ∨ B → A∧B ,
4) ` A ∨ B → A∧B ,
9) ` A∧B ∼ B∧A ,
5) ` A ∨ A ,
10) ` A ∼ A∧A .
R e x e n i e . Dokazat~ teoremu
— aksioma,
1) A ` A
2) A ∨ A ` A — razbor sluqaev,
3) ` A ∨ A → A — vv. → , 2,
` A ∨ A ∼ A . Dokazatel~stvo:
4) A ` A ∨ A
— vv ∨ 1,
5) ` A → A ∨ A — vv. → , 4,
6) ` A ∨ A ∼ A — vv. ∼, 3, 5 . J
22 . Pust~ xn ∈ R, a ∈ R . Zapisat~ s pomow~ kvantorov vyskazyvanie ” lim xn = a ” i ego otricanie.
n→∞
23 . Dokazat~ p. 4 — 12 teoremy 3.1.
24 . Dokazat~ teoremu 3.3.
25 . Pust~ A(x, y) soderit x, y svobodno, s, t svobodny dl
x, y ; B(x) soderit x svobodno, r svobodno dl x ; C ne
soderit x svobodno. Proanalizirovat~ dokazatel~stva v IP:
1)
4. C ` (∀x)C
1. (∀x)C ` C
2. ` (∀x)C → C
5. ` C → (∀x)C
3. C ` C
6. ` (∀x)C ∼ C .
2)
1. (∀y)A(x, y) → A(x, t)
5. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀t)(∃r)A(r, t)
2. A(x, t) → (∃r)A(r, t)
6. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∃r)A(r, y)
3. (∀y)A(x, y) → (∃r)A(r, t)
7. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∀y)(∃x)A(x, y) .
4. (∃x)(∀y)A(x, y) → (∃r)A(r, t)
3)
1. A(x, x) ` (∃y)A(x, y)
4. (∃x)A(x, x) ` (∃r)(∃y)A(r, y)
5. ` (∃x)A(x, x) → (∃r)(∃y)A(r, y)
2. (∃y)A(x, y) ` (∃r)(∃y)A(r, y)
3. A(x, x) ` (∃r)(∃y)A(r, y)
6. ` (∃x)A(x, x) → (∃x)(∃y)A(x, y) .
4)
1. (∀x)A(x) , A(x) ` A(x)
5. (∀x)A(x) , (∃x)A(x) ` (∀x)A(x)
2. (∀x)A(x) , A(x) ` A(x)
6. (∀x)A(x) , (∃x)A(x) ` (∀x)A(x)
3. A(x) , A(x) ` (∀x)A(x)
7. (∀x)A(x) ` (∃x)A(x)
4. (∀x)A(x) , A(x) ` (∀x)A(x)
8. ` (∀x)A(x) → (∃x)A(x).
47
5)
1. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃x)A(x)
2. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃r)A(r)
3. (∃x)A(x) , A(x) ` (∃r)A(r)
6)
1. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)A(x)
2. (∀x)A(x) ` A(t)
3. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` A(t)
4. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)B(x)
5. (∀x)B(x) ` B(t)
6. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` B(t)
7)
1. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` A(t)∧B(t)
2. A(t)∧B(t) ` A(t)
3. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` A(t)
4. A(t) ` (∀x)A(x)
5. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` (∀x)A(x)
6. A(t)∧B(t) ` B(t)
4. (∃x)A(x) ` A(x)
5. (∃x)A(x) ` (∀x)A(x)
6. ` (∃x)A(x) → (∀x)A(x) .
7. A(t) , B(t) ` A(t)∧B(t)
8. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` A(t)∧B(t)
9. A(t)∧B(t) ` (∀x)(A(x)∧B(x))
10. (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) ` (∀x)(A(x)∧
∧B(x))
11. ` (∀x)A(x)∧(∀x)B(x) →
→ (∀x)(A(x)∧B(x)).
7. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` B(t)
8. B(t) ` (∀x)B(x)
9. (∀x)(A(x)∧B(x)) ` (∀x)B(x)
10. (∀x)A(x) , (∀x)B(x) ` (∀x)A(x)∧
∧(∀x)B(x)
11. ` (∀x)(A(x)∧B(x)) →
→ (∀x)A(x)∧(∀x)B(x).
26 . Na$
idite predikaty otliqawies tol~ko svzannymi peremennymi.
1) (∀z)(∃y)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, x) → R(z)) ,
2) (∀x)(∃y)(P (x, y)∧(∀y)Q(y, x) → R(x)) ,
3) (∀y)(∃z)(P (y, z)∧(∀z)Q(z, x) → R(y)) ,
4) (∀z)(∃x)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, y) → R(z)) ,
5) (∀z)(∃y)(P (z, y)∧(∀z)Q(z, x) → R(y)) .
27 . Dokaite, qto sootnoxenie x = y funkcional~no po x .
28 . Pust~ R(x) i S(x) — sootnoxeni, soderawie svobodno peremennu x , R(x) — funkcional~noe po x sootnoxenie
i ` R(x) ∼ S(x) . Dokaite, qto S(x) — funkcional~noe po x
sootnoxenie.
29 .
1)
2)
3)
48
Dokaite:
` (∀x)(∃!y)(x = y),
` (∃!x)A(x) ∼ (∃x)(∀y)((x = y) ∼ A(y)),
` (∀x)(A(x) ∼ B(x)) → ((∃!x)A(x) ∼ (∃!x)B(x)).
II. TEORI MNOESTV
1. Osnovnye opredeleni
1.1. Standartnye mnoestva i operacii
K koncu XIX veka stalo sno, qto lba matematiqeska teori imeet delo s mnoestvami obektov. Imenno v to vrem
v rabotah G. Kantora voznikla teori mnoestv, kak matematiqeska nauka, kotoru mono rassmatrivat~ kak IPFP s
ravenstvom i sootnoxeniem prinadlenosti T ∈ U , gde T —
term, nazyvaemy$
i lementom, U — term, nazyvaemy$
i mnoestvom. Oboznaqenie T ∈ U moet byt~ proqitano kak ” lement
T prinadleit mnoestvu U ”. Predikat T ∈ U obyqno oboznaqaets simvolom T ∈
/ U i moet byt~ proqitan kak ” lement
T ne prinadleit mnoestvu U ”. Mnoestva lementov mogut
rassmatrivats kak lementy drugogo mnoestva i po tomu
raznica medu
lementami i mnoestvami isqezaet i formal~no teori mnoestv imeet delo s termami. Kantorovskoe
opredelenie mnoestva, dopuskawee dl proizvol~nogo sootnoxeni P suwestvovanie mnoestva MP
lementov x, udovletvorwih P , t. e. takih, qto ` (x ∈ MP ) ∼ P , privelo k
povleni nerazreximyh protivoreqi$
i (paradoksov), obescenivawih teori mnoestv. Sut~ paradoksov v tom, qto dl
nekotoryh sootnoxeni$
i P mono dokazat~ teoremy ` x ∈ MP i
`x∈
/ MP . V XX veke bylo predloeno neskol~ko sistem aksiom
teorii mnoestv, isklqawih izvestnye paradoksy.
Opredelenie 1.1 ( Vklqenie ). Pust~ A, B — termy, ne soderawie x . Sootnoxenie A⊆B (∀x)((x ∈ A) → (x ∈ B)) nazyvaets
sootnoxeniem vklqeni i qitaets odnim iz sleduwih sposobov : ”A vklqaets v B ”, ” A est~ qast~ ( podmnoestvo ) B ”.
Sootnoxenie A ⊂ B (A⊆B)∧(A =
6 B) qitaets tak : ”A est~
sobstvennoe podmnoestvo mnoestva B ”.
M1 Aksioma obemnosti. (∀A)(∀B)(∀x)(((x ∈ A) ∼ (x ∈ B)) → (A = B)).
Intuitivno, aksioma obemnosti oznaqaet, qto dva mnoestva, imewie odni i te e lementy, ravny.
Teorema 1.1 (Dokazatel~stvo vklqeni$
i i ravenstv mnoestv).
` A ⊆ B togda i tol~ko togda, kogda ` (x ∈ A) → (x ∈ B) .
` A = B togda i tol~ko togda, kogda ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz ` (x ∈ A) → (x ∈ B) sleduet ` A⊆B (vvedenie ∀ ); iz ` A⊆B sleduet ` (x ∈ A) → (x ∈ B) (udalenie ∀ ).
Iz ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) sleduet ` A = B (vvedenie ∀ , M1 ); iz
` A = B sleduet ` (x ∈ A) ∼ (x ∈ B) ( EP ). J
49
Teorema 1.2 (Svo$
istva sootnoxeni vklqeni).
1) A⊆A , 2) (A⊆B)∧(B⊆C) → (A⊆C) , 3) (A⊆B)∧(B⊆A) → (A = B).
Dokazatel~stvo predlagaets v kaqestve upraneni.
Opredelenie 1.2 (Kollektiviziruwie sootnoxeni). SootR
x , esli
noxenie
nazyvaets kollektiviziruwim po
` (∃y)(∀x)((x ∈ y) ∼ R), gde y — lba bukva ne sovpadawa
s x i ne vhodwa v R .
Intuitivno, sootnoxenie R nazyvaets kollektiviziruwim
po x , esli dokazano suwestvovanie mnoestva, sostowego iz
teh i tol~ko teh lementov x , kotorye udovletvort R .
M2 Shema aksiom vydeleni. Dl lbogo sootnoxeni R , ne
soderawego bukvu A sootnoxenie (x ∈ A)∧R vlets kollektiviziruwim po x. Mnoestvo lementov x , udovletvorwih
tomu sootnoxeni, oboznaqaets simvolom {x ∈ A : R} .
sno, qto vypolnenie uslovi (x ∈ y) ∼ R pri vseh x dl
nekotorogo y dostatoqno dl togo, qtoby sootnoxenie R bylo
kollektiviziruwim po x . No to uslovie mono oslabit~.
Teorema 1.3 (Dostatoqnoe uslovie kollektiviziruemosti). Esli
A — mnoestvo, x — bukva, ne vhodwa v A, ` R → (x ∈ A) ,
to R — sootnoxenie, kollektiviziruwee po x .
D o k a z a t e l ~ s t v o . ` (R → (x ∈ A)) ∼ ((R∧(x ∈ A)) ∼ R) — I.2.1.21).
Uqityva ` R → (x ∈ A) , poluqim ` R ∼ (R∧(x ∈ A)) , otkuda po M2
sleduet, qto R — sootnoxenie kollektiviziruwee po x. J
Teorema 1.4 (Svo$
istvo kollektiviziruwih sootnoxeni$
i).
Dl kollektiviziruwego po x sootnoxeni R sootnoxenie
(∀x)((x ∈ y) ∼ R) funkcional~no po y , gde y ne vhodit v R .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ y, z ne vhodt v R . Po uslovi
` (∃y)Q(y) , gde Q(y) = (∀x)((x ∈ y) ∼ R). Dokaem odnoznaqnost~ Q .
1) ` ((x ∈ y) ∼ R)∧((x ∈ z) ∼ R) → ((x ∈ y) ∼ (x ∈ z)) — teorema I.2.1.18),
2) ` (Q(y)∧Q(z) → (∀x)((x ∈ y) ∼ (x ∈ z))) — teorema I.3.1.1),18), 1,
3) ` (Q(y)∧Q(z)) → (y = z)
— primer I.2.5, 2, M1 ,
— vvedenie ∀ . J
4) ` (∀y)(∀z)(Q(y)∧Q(z) → (y = z))
Opredelenie 1.3 (Mnoestvo, udovletvorwee sootnoxeni).
Esli R(x) — kollektiviziruwee po x sootnoxenie, to mnoestvo lementov, udovletvorwih R(x) , oboznaqaets simvolom {x : R(x)}, gde peremenna x svzana. Esli R(x) ne soderit bukvu z , to z ∈ {x : R(x)} R(z) . Vmesto {x : (x ∈ A)∧R(x)}
qasto ispol~zuets oboznaqenie {x ∈ A : R(x)}.
50
Primer 1.1. Poskol~ku ` (x ∈ A) → (x ∈ A), to po teoreme 1.3
sootnoxenie (x ∈ A) vlets kollektiviziruwim po x .
/ x ne vlets kollektiviziruPrimer 1.2. Sootnoxenie x ∈
/ x}, to po opredeleni 1.3 poluqim
wim po x . Esli b = {x : x ∈
b ∈ b`b ∈
/b i b∈
/ b ` b ∈ b . Dobavl b ∈ b ` b ∈ b , b ∈
/ b`b ∈
/ b, po
pravilu vvedeni otricani, poluqim ` b ∈ b i ` b ∈
/ b.
Primer 1.3. Ne suwestvuet mnoestvo vseh predmetov. Esli A
— takoe mnoestvo, to po teoreme 1.3 lboe sootnoxenie R
vlets kollektiviziruwim, qto protivoreqit primeru 1.2.
Teorema 1.5. ` (∀x)(R → S) ravnosil~no ` {x : R}⊆{x : S},
` (∀x)(R ∼ S) ravnosil~no ` {x : R} = {x : S} .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Primenit~ teoremu 1.1. J
V rde aksiom teorii mnoestv nekotorye sootnoxeni
obvlts kollektiviziruwimi. Vytekawie iz tih aksiom opredeleni qasto vsteqawihs mnoestv (nazovem ih
standartnymi), primem kak aksiomy.
M3 Standartnye mnoestva. Pust~ A, Ai , A, B, x, xi , y, z — mnoestva. Sleduwie mnoestva suwestvut i edinstvenny :
∅ {x : (x =
6 x)} — pustoe mnoestvo ;
A ∪ B {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} — obedinenie A, B;
A ∩ B {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} — pereseqenie A, B;
A\B {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈
/ B)} — raznost~ A, B;
AMB (A\B) ∪ (B\A) — simmetriqeska raznost~ A, B;
[
M {x : (∃M ∈ A)(x ∈ M )} — obedinenie mnoestv iz A;
M ∈A
\
M ∈A
M {x : (∀M ∈ A)(x ∈ M )} — pereseqenie mnoestv iz A;
P(A) {x : (x⊆A)}— mnoestvo podmnoestv mnoestva A;
{x, y} {z : (z = x) ∨ (z = y)} — neupordoqenna para ;
{x} {x, x} = {z : (z = x)} — odno lementnoe mnoestvo ;
{x1 , . . . , xn } {x1 , . . . , xn−1 } ∪ {xn } — neupordoqenna n -ka ;
(x, y) {{x}, {x, y}} — upordoqenna para ;
pr1 (x, y) x — 1 - proekci upordoqenno$i pary ;
pr2 (x, y) y — 2 - proekci upordoqenno$i pary ;
(x1 , . . . , xn ) ((x1 , . . . , xn−1 ), xn ) — upordoqenna n -ka ;
A×B {(x, y) : (x ∈ A)∧(y ∈ B)}— dekartovo proizvedenie A, B;
A1 × · · · ×An (A1 × · · · ×An−1 )×An — dekartovo proizvedenie A1 , ..., An ;
An ( A× · · · ×A )×A — stepen~ mnoestva A.
| {z }
n−1
51
Sleduwa aksioma vvodit beskoneqnye mnoestva.
M4 Aksioma beskoneqnosti. Suwestvut mnoestva A , udovletvorwie uslovi : (∅ ∈ A)∧(∀x)((x ∈ A) → ((x ∪ {x}) ∈ A)).
Mnoestvo N natural~nyh qisel opredelets kak pereseqenie vseh mnoestv udovletvorwee aksiome beskoneqnosti.
lementami N vlts mnoestva ∅, {∅}, {∅, {∅, }} . . ., oboznaqaemye simvolami 0, 1, 2, . . . .
Vo mnogih priloenih teorii mnoestv rassmatrivats tol~ko takie mnoestva, kotorye vlts podmnoestvami
nekotorogo fiksirovannogo mnoestva, nazyvaemogo prostranstvom. V tom sluqae vmesto binarno$
i operacii raznosti mono vvesti unarnu operaci — dopolnenie mnoestva.
Opredelenie 1.4 (Dopolnenie). Dopolnenie podmnoestva
/ A} .
prostranstva Ω est~ mnoestvo A Ω\A = {x ∈ Ω : x ∈
A
Teorema 1.6 (Buleva algebra P(Ω) ). Mnoestvo P(Ω) vlets
bulevo$i algebro$i s operacimi ∪, ∩, , nulem ∅ i edinice$i Ω ,
t. e. dl lbyh A, B, C iz P(Ω) vypolnts sootnoxeni :
1) A ∪ B = B ∪ A,
2) A ∩ B = B ∩ A,
4) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
5) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), 6) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
7) A ∪ A = A,
8) A ∩ A = A,
9) A ∪ A = Ω,
10) A ∩ A = ∅,
11) A ∪ B = A ∩ B,
12) A ∩ B = A ∪ B,
13) A ∪ (A ∩ B) = A,
14) A ∩ (A ∪ B) = A,
16) A ∩ Ω = A,
15) A ∪ ∅ = A,
17) A ∪ Ω = Ω,
18) A ∩ ∅ = ∅,
19) A = A.
Buleva algebra P(Ω) izomorfna bulevo$i algebre BΩ .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Ravenstva 1 — 19 legko dokazat~ s pomow~ teoremy 1.1. Naprimer, dokaem ravenstvo 14. Imeem
[x ∈ (A ∩ (A ∪ B))] ∼ [(x ∈ A)∧(x ∈ (A ∪ B))] ∼ [(x ∈ A)∧((x ∈ A) ∨ (x ∈ B))] ∼
∼ [x ∈ A] , otkuda po teoreme 1.1 poluqim A ∩ (A ∪ B) = A .
Ravenstvo F (A) = (x ∈ A) opredelet funkci, sopostvlwu
lbomu A iz P(Ω) lement iz BΩ . Ravenstvo G(f ) = {x : f (x)}
opredelet funkci, sopostavlwu lbomu
lementu f (x)
Ω
iz B
lement iz P(Ω) . Tak kak G((x ∈ A)) = {x : x ∈ A} = A
i F ({x : f (x)}) = x ∈ {z : f (z)} = f (x) , to funkci F vzaimno odnoznaqna. Iz ravenstv F (A ∪ B) = (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) = F (A) ∨ F (B) ,
/ A) = F (A)
F (A ∩ B) = (x ∈ A)∧(x ∈ B) = F (A)∧F (B) , F (A) = (x ∈
Ω
sleduet, qto bulevy algebry P(Ω) i B izomorfny. J
52
V P(Ω) vypolnts osnovnye sootnoxeni 21, 26 — 47 s
uqetom togo, qto znakam ∨, ∧, ⊕ sootvetstvut znaki ∪, ∩, M
v P(Ω) , a znaki →, ∼, ↓, | (obyqno ne upotreblemye dl
mnoestv) opredelts ravenstvami 20, 22, 23, 25.
Sledstvie (Otnoxenie ⊆ v P(Ω) ). 1. A⊆B ravnosil~no lbomu
iz ravenstv : A = A ∩ B, B = A ∪ B, A ∪ B = Ω, A\B = ∅.
2 . Esli A⊆B , to (A ∩ C)⊆(B ∩ C), (A ∪ C)⊆(B ∪ C), B⊆A .
Dokazatel~stvo predlagaets qitatel kak upraneni.
Teorema
1.7 (Osnovnoe
svo$
istvo
i pary).
upordoqenno$
` (c, d) = (a, b) ∼ (c = a)∧(d = b) , gde a, b, c, d — termy.
D o k a z a t e l ~ s t v o . sno, qto ` (c = a)∧(d = b) → (c, d) = (a, b) .
Imeem [(c, d) = (a, b)] → [{c} ∈ (a, b)] → [(c = a)∨((c = a)∧(c = b))] ∼ c = a .
Po tomu [(c, d) = (a, b)] → {a, d} = {a, b}] → [d = b] i [(c, d) = (a, b)] →
→ [(c = a)∧(d = b)]. J
Vn
(x
=
y
)
.
Sledstvie. ` (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) ∼
i
i
i=1
Teorema 1.8 (Svo$
istva dekartovyh proizvedeni$
i). Pust~
A, B, C, D ∈ P(Ω) . Togda:
1) (A ∪ B)×C = (A×C) ∪ (B×C),
2) A×(B ∪ C) = (A×B) ∪ (A×C),
3) (A×B) ∩ (C×D) = (A ∩ C)×(B ∩ D),
4) (A ∩ B)×C = (A×C) ∩ (B×C),
5) A×(B ∩ C) = (A×B) ∩ (A×C),
6) (A\B)×C = (A×C)\(B×C),
7) A×(B\C) = (A×B)\(A×C),
8) esli A = ∅ ili B = ∅, to A×B = ∅,
9) esli A×B 6= ∅, to (A×B)⊆(C×D) ∼ (A⊆C)∧(B⊆D),
10) esli C 6= ∅, to (A⊆B) ∼ (A×C)⊆(B×C),
11) esli A 6= ∅, to (B⊆C) ∼ (A×B)⊆(A×C).
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. [(x, y) ∈ ((A ∪ B)×C)] ∼ [((x ∈ A)∨(x ∈ B))∧(y ∈
∈ C)] ∼ [((x, y) ∈ A×C)∨((x, y) ∈ B×C)] ∼ [(x, y) ∈ (A×C) ∪ (B×C)] .
2. Analogiqno dokazatel~stvu punkta 1.
3. [(x, y) ∈ (A×B) ∩ (C×D)] ∼ [(x ∈ A)∧(y ∈ B)∧(x ∈ C)∧(y ∈ D)] ∼
∼ [(x, y) ∈ (A ∩ C)×(B ∩ D)].
4. Poloit~ D = B v 3). 5. Poloit~ C = A v 3).
6. [(x, y) ∈ (A×C)\(B×C)] ∼ [(x ∈ A)∧(y ∈ C)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)] ∼
∼ [(x ∈ A)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)] ∼ [(x, y) ∈ (A\B)×C ].
7. Analogiqno dokazatel~stvu punkta 6.
8. Iz A = ∅ (ili B = ∅) sleduet, qto ((x, y) ∈ A×B) = 0 i
po tomu A×B = ∅ .
53
9. Iz A×B 6= ∅ sleduet A 6= ∅, B 6= ∅. Po teoremam
I.2.1.20), I.3.1.13) [(A×B)⊆(C×D)] ∼ [(∀x)(∀y)((((x ∈ A) → (x ∈ C)) ∨
/ A)))] ∼ [((∀x)((x ∈ A) → (x ∈ C)) ∨
∨(y ∈
/ B))∧(((y ∈ B) → (y ∈ D)) ∨ (x ∈
∨(∀y)(y ∈
/ B))∧((∀x)(x ∈
/ A)∨(∀y)((y ∈ B) → (y ∈ D)))] ∼ [(A⊆B)∧(B⊆D)] .
10. Poloit~ D = B v 9). 11. Poloit~ C = A v 9). J
Opredelenie 1.5 (Proekcii mnoestv). Pust~ C⊆A×B. Mnoestva pr1 C {x ∈ A : (∃y)((x, y) ∈ C)}, pr2 C {y ∈ B : (∃x)((x, y) ∈ C)}
nazyvats 1-$i i 2-$i proekcimi mnoestva C .
Teorema 1.9 (Svo$
istva proekci$
i). Dl C⊆A×B, D⊆A×B, i = 1, 2 :
1) C⊆(pr1 C)×(pr2 C) ,
2) pri (C ∪ D) = (pri C) ∪ (pri D) ,
3) pri (C ∩ D)⊆(pri C) ∩ (pri D) , 4) esli C⊆D, to (pri C)⊆(pri D) ,
S
S
{x} ,
6) pr2 C =
5) pr1 C =
{y} .
(x,y)∈C
(x,y)∈C
D o k a z a t e l ~ s t v o . Dokaem tol~ko sootnoxeni 1 — 4.
1. Iz (x, y) ∈ C po pravilu ∃ -vvedeni poluqim sootnoxeni (∃y ∈ B)((x, y) ∈ C) i (∃x ∈ A)((x, y) ∈ C) , oznaqawie, qto
x ∈ pr1 C, y ∈ pr2 C . Otsda sleduet, qto (x, y) ∈ (pr1 C)×(pr2 C) i,
znaqit, C⊆(pr1 C)×(pr2 C) .
2. Ispol~zu p. 2 teoremy I.3.1, poluqim [x ∈ pr1 (C ∪ D)] ∼
∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C ∪ D)] ∼ [(∃y ∈ B)(((x, y) ∈ C) ∨ ((x, y) ∈ D))] ∼
∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ B) ∨ (∃y ∈ B)((x, y) ∈ D)] ∼ [(x ∈ pr1 C) ∨ (x ∈ pr1 D)] ∼
∼ [x ∈ (pr1 C) ∪ (pr1 D)], otkuda sleduet pr1 (C ∪ D) = (pr1 C) ∪ (pr1 D) .
Analogiqno dokazyvaets ravenstvo pr2 (C ∪ D) = (pr2 C) ∪ (pr2 D) .
3. Ispol~zu p. 4 teoremy I.3.1, poluqim [x ∈ pr1 (C ∩ D)] ∼
∼ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C ∩ D)] ∼ [(∃y ∈ B)(((x, y) ∈ C)∧((x, y) ∈ D))] →
→ [(∃y ∈ B)((x, y) ∈ C)∧(∃y ∈ B)((x, y) ∈ D)] ∼ [(x ∈ pr1 C)∧(x ∈ pr1 D)] ∼
∼ [x ∈ (pr1 C) ∩ (pr1 D)], otkuda pr1 (C ∩ D)⊆(pr1 C) ∩ (pr1 D) . Analogiqno dokazyvaets vklqenie pr2 (C ∩ D)⊆(pr2 C) ∩ (pr2 D) .
4. Poskol~ku (C⊆D) ∼ (D = C ∪D) , to po svo$
istvu 2 iz C⊆D
sleduet pri D = (pri C) ∪ (pri D), t. e. (pri C)⊆(pri D), i = 1, 2 . J
2. Binarnye otnoxeni
Opredelenie 2.1 (Binarnye otnoxeni). Binarnym otnoxeniem medu mnoestvami A i B nazyvaets tro$ika mnoestv (R, A, B) , gde R⊆A×B — lboe podmnoestvo mnoestva A×B , nazyvaemoe grafikom otnoxeni (R, A, B) . Binarnoe
otnoxenie (R, A, A) nazyvaets otnoxeniem v mnoestve A .
Oblast~ opredeleni (R, A, B) nazyvaets Dom R pr1 R , oblast~ znaqeni$i — Im R pr2 R . Pust~ X⊆A, R|X R ∩ (X×B).
54
Otnoxenie (R|X , X, B) nazyvaets sueniem otnoxeni (R, A, B)
na X , a (R, A, B) — prodoleniem otnoxeni (R|X , X, B) .
Vmesto (x, y) ∈ R qasto pixut xRy i govort ” lement x ∈ A
nahodits v otnoxenii R k lementu y ∈ B ”. Oboznaqenie xRy
obsnets tradicionno$
i zapis~ izvestnyh binarnyh otnoxeni$
i v R : x = y, x =
6 y, x6y, x>y, x < y, x > y .
Mnoestvo binarnyh otnoxeni$
i (R, A, B), vlets bulevo$
i
algebro$
i s operacimi ∪, ∩,
s nulem — nul~-otnoxeniem
i — universal~nym otnoxeniem (A×B, A, B) .
(∅, A, B) i edinice$
Opredelenie 2.2 (Obrawenie otnoxeni$
i). Obratnym k otnoxeni (R, A, B) nazyvaets otnoxenie (R−1 , B, A) , gde
R−1 {(x, y) ∈ B×A : yRx}.
sno, qto xR−1 y = yRx , Dom R−1 = Im R , Im R−1 = Dom R .
Esli otnoxenie R opredeleno v mnoestve de$
istvitel~nyh qi−1
sel, to svz~ grafikov otnoxeni$
i R i R
mono predsta−1
vit~ nagldno, a imenno: grafiki R
i R simmetriqny otnositel~no bissektrisy, prohodwe$
i qerez naqalo koordinat,
pervy$
i i treti$
i kvadranty koordinatno$
i ploskosti.
Opredelenie 2.3 (Kompozici otnoxeni$
i). Kompozicie$i otnoxeni$i (R, A, B) i (S, B, C) nazyvaets otnoxenie (R ◦ S, A, C) ,
opredelemoe formulo$i R ◦ S {(x, y) ∈ A×C : (∃z ∈ B)(xRz∧zSy)} .
Teorema 2.1 (Svo$
istva kompozicii i obraweni otnoxeni$
i).
Pust~ (R, A, B), (S, B, C), (T, C, D) — binarnye otnoxeni. Togda :
1) (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ) , 2) (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 ,
3) (R−1 )−1 = R ,
4) R = ∆A ◦ R = R ◦ ∆B
gde ∆A {(x, y) ∈ A×A : x = y} — diagonal~ v mnoestve A .
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. [x (R ◦S)◦T
y]
∼
[(∃u
∈
C)
x(R
◦S)u∧uT
y
]∼
∼ [(∃u ∈ C) (∃v ∈ B)(xRv∧vSu)∧uT
y ] ∼ [(∃u
∈ C)(∃v ∈ B)
(xRv∧vSu)∧
∧uT y ] ∼ [(∃v
y) ]∼ [(∃v ∈ B) xRv∧(∃u ∈ C)(
∈ B)(∃u ∈ C) xRv∧(vSu∧uT
vSu∧uT y) ] ∼ [(∃v ∈ B) xRv∧(v(S ◦ T ))y ] ∼ [x R ◦ (S ◦ T ) y].
2. [x(R ◦ S)−1 ]y ∼ [y(R ◦ S)x] ∼ [(∃v ∈ B)(yRv∧vSx)] ∼ [(∃v ∈ B)(vSx∧
∧yRv)] ∼ [(∃v ∈ B)(xS −1 v∧vR−1 y)] ∼ [x(S −1 ◦ R−1 )y].
3. [x(R−1 )−1 y] ∼ [yR−1 x] ∼ [xRy]. J
Iz teoremy 2.1 sleduet, qto kompozici binarnyh otnoxeni$
i associativna. V obwem sluqae kompozici nekommutativna.
Opredelenie 2.4 (Obrazy i proobrazy mnoestv). Pust~ X⊆A ,
Y ⊆B , R⊆A×B — binarnoe otnoxenie. Obrazom mnoestva X
pri R nazyvaets mnoestvo RhXi pr2 R|X = pr2 ((X×B) ∩ R) ,
proobrazom mnoestva Y pri R nazyvaets obraz mnoestva
Y pri otnoxenii R−1 — mnoestvo R−1 hY i = pr1 ((A×Y ) ∩ R) .
55
Teorema 2.2 (Svo$
istva obrazov mnoestv). Dl binarnogo otnoxeni (R, A, A) i X, Y iz P(A) : 1) RhX ∪ Y i = RhXi ∪ RhY i,
2) RhX ∩ Y i⊆RhXi ∩ RhY i, 3) esli X⊆Y , to RhXi⊆RhY i .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Primenit~ teoremu 1.9. J
Opredelenie 2.5 (Tipy binarnyh otnoxeni$
i). Binarnoe otnoxenie (R, A, A) nazyvaets : refleksivnym, esli ∆A ⊆R; tranzitivnym, esli (R ◦ R)⊆R; simmetriqnym, esli R−1 ⊆R; antisimmetriqnym, esli (R ∩ R−1 )⊆∆A . Binarnoe otnoxenie (R, A, B)
nazyvaets funkcional~nym ( funkcie$i ) , esli (R−1 ◦ R)⊆∆A .
Funkcii
Iz opredeleni 2.5 sleduet, qto nepustoe otnoxenie (f, A, B)
nazyvaets funkcional~nym, esli vypolnets uslovie
(∀x ∈ A)(∀y1 ∈ B)(∀y2 ∈ B)((xf y1 ∧xf y2 ) → (y1 = y2 )),
oznaqawee, qto pri f kadomu x iz A sootvetstvuet odin
i tol~ko odin lement v B , t. e. ` ((x, y) ∈ f ) ∼ (y = f (x)) , gde
f (x) — znaqenie funkcii f pri argumente x. Funkcional~noe
otnoxenie (f, A, B) v sluqae, kogda Dom f = A, oboznaqaets
simvolom f : A → B , kotory$
i qitaets tak: ”funkci f , otobraawa mnoestvo A v mnoestvo B ” ili kratko ” f est~
otobraenie A v B ”. Znaqenie f (x) inogda zapisyvaets v vide fx , a funkci oboznaqaets simvolom {fx }x∈A i nazyvaets
seme$istvom lementov fx mnoestva B s indeksami iz A .
i, nazyvaemo$
i todestvennym
Otnoxenie ∆A vlets funkcie$
otobraeniem A na seb. Lboe mnoestvo A mono nazvat~
seme$
istvom, svzannym s otobraeniem ∆A ; v tom sluqae slova ”seme$
istvo” i ”mnoestvo” mono sqitat~ sinonimami.
Opredelenie 2.6 (Osnovnye tipy funkci$
i). Funkci f : A → B
nazyvaets : srekcie$i ( otobraeniem na ) , esli Im f = B ;
inekcie$i ( vzaimno odnoznaqnym otobraeniem v ) , esli f −1 —
funkci; biekcie$i, esli ona vlets srekcie$i i inekcie$i.
Utverdenie ” f — funkci” mono kratko vyrazit~ implikacie$
i [x1 = x2 ] → [f (x1 ) = f (x2 )] . Utverdenie ” f — inekci”
mono kratko vyrazit~ kvivalencie$
i [x1 = x2 ] ∼ [f (x1 ) = f (x2 )] .
Teorema 2.3 (Kompozici funkci$
i). Esli f : A → B , g : B → C ,
to kompozici g◦f vlets funkcie$i, priqem (g◦f )(x) = g(f (x)) .
D o k a z a te l ~ s t v o . [x(g ◦ f )z] ∼ [(∃y ∈ B) (y = f (x))∧(z = g(y)) ] ∼
∼ [(∃y ∈ B) z = g(f (x)) ] ∼ [z = g(f (x))] . J
56
Teorema 2.4 (O biekcih). Esli f — biekci, to f −1 — biekci. Esli f, g — biekcii, to f ◦ g — biekci.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Teorema 2.5 (Proobrazy mnoestv pri otobraenih).
Dl lbo$i funkcii f : A → B i lbyh Y, Z iz P(B) :
1) f −1 hY i = {x ∈ A : f (x) ∈ Y },
2) f −1 hY ∩ Zi = f −1 hY i ∩ f −1 hZi,
3) f −1 hY ∪ Zi = f −1 hY i ∪ f −1 hY i, 4) f −1 hY \Zi = f −1 hY i\f −1 hZi.
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. [x ∈ f −1 hY i] ∼ [(x ∈ A)∧(∃y ∈ Y )((x, y) ∈ f )] ∼
∼ [(x ∈ A)(∃y ∈ Y )(y = f (x))] ∼ [(x ∈ A)∧(f (x) ∈ Y )].
2. [x ∈ f −1 hY ∩ Zi] ∼ [f (x) ∈ (Y ∩ Z)] ∼ [(f (x) ∈ Y )∧(f (x) ∈ Z)] ∼
∼ [(x ∈ f −1 hY i)∧(x ∈ f −1 hZi)] ∼ [x ∈ (f −1 hY i ∩ f −1 hZi)] .
3. Sleduet iz teoremy 2.2.
/ f −1 hZi)] ∼
4. [x ∈ f −1 hY \Zi] ∼ [f (x) ∈ Y \Z] ∼ [(x ∈ f −1 hY i)∧(x ∈
∼ [x ∈ (f −1 hY i\f −1 hZi)] . J
Opredelenie 2.7 (Funkcii vybora). Pust~ {Sα }α∈A — seme$istvo nepustyh mnoestv.
Funkcie$i vybora dl {Sα }α∈A nazyvaS
ets funkci f : A → α∈A Sα taka, qto (∀α ∈ A)(f (α) ∈ Sα ).
Suwestvovanie funkci$
i vybora dl koneqnyh seme$
istv koneqnyh mnoestv oqevidno, poskol~ku mono ukazat~ razliqnye
algoritmy postroeni takih funkci$
i. No v sluqae beskoneqnyh mnoestv i beskoneqnyh seme$
istv mnoestv net sposobov
konstruktivnogo opredeleni funkcii vybora.
Aksioma vybora. Dl vskogo seme$istva mnoestv {Sα }α∈A suwestvuet funkci vybora.
Otnoxeni kvivalentnosti
Opredelenie 2.8 (kvivalentnost~, klassy kvivalentnosti,
faktormnoestvo). Otnoxeniem R kvivalentnosti v mnoestve A nazyvaets refleksivnoe, tranzitivnoe, simmetriqnoe
binarnoe otnoxenie v A. Klassom kvivalentnosti lementa a
po otnoxeni R nazyvaets R(a) Rh{a}i . Mnoestvo razliqnyh klassov kvivalentnosti nazyvaets faktormnoestvom
mnoestva A po R i oboznaqaets simvolom A/R .
Otnoxenie ravenstva v lbom mnoestve A vlets otnoxeniem kvivalentnosti. Esli sqitat~ prmu parallel~no$
i
samo$
i sebe, to otnoxenie parallel~nosti vlets kvivalentnost~ prmyh na ploskosti.
Primer 2.1. Otnoxenie R medu dvum de$
istvitel~nymi qislmi x i y iz intervala [0, 1) , sostowee v tom, qto (x − y)
— racional~noe qislo, vlets otnoxeniem kvivalentnosti.
57
Primer 2.2. Pust~ f ( x ) — nepreryvna de$
istvitel~na funn
kci, opredelenna na R . Binarnoe otnoxenie Ker f = {( x, y ) ∈
∈ M 2 : f ( x ) = f ( y )}, nazyvaemoe drom otobraeni f , vlets
kvivalentnost~ v M . Klassami kvivalentnosti iz M/Ker f
vlts mnoestva { x ∈ Rn : f ( x) = λ} , nazyvaemye giperpoverhnostmi urovn λ funkcii f .
Opredelenie 2.9 (Razbieni). Podmnoestvo A⊆P(A) nazyvaets razbieniem mnoestva A , esli vypolnts uslovi:
1) esli B ∈ A, to B 6= ∅;
2) esli
6 E , to D ∩ E = ∅ ;
[ D ∈ A, E ∈ A i D =
3)
B = A.
B∈A
Teorema 2.6 (Svo$
istva faktormnoestva). Faktormnoestvo
A/R otnoxeni kvivalentnosti R vlets razbieniem A.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz refleksivnosti R vytekaet a ∈ R(a)
i po tomu R(a) 6= ∅. Pust~ R(a) 6= R(b) , R(a) ∩ R(b) =
6 ∅ i
c ∈ R(a) ∩ R(b) . Togda iz aRc, cRb i iz tranzitivnosti R poluqim aRb , otkuda v silu simmetriqnosti R sleduet bRa .
dokato oznaqaet, qto R(a) = R(b) . Poluqennoe protivoreqie
[
zyvaet ravenstvo R(a)∩R(b) = ∅. Oqevidno
B ⊆A . Pust~
[
B∈A/R
B∈A/R
B 6= A . Togda suwestvuet
lement d ∈ A i sootvetstvu-
wi$
i emu klass kvivalentnosti, ne vhodwi$
[ i v A/R , qto
protivoreqit opredeleni A/R . Znaqit,
B = A. J
B∈A/R
Netrudno dokazat~ sleduwee utverdenie.
Teorema 2.7 (Otnoxeni kvivalentnosti i razbieni). Dl
kadogo razbieni A mnoestva A suwestvuet otnoxenie kvivalentnosti RA takoe,
qto A/RA = A; ono opredelets
tak: aRAb (∃X ∈ A) (a ∈ X)∧(b ∈ X)).
Iz teorem 2.12, 2.13 sleduet, qto zadanie otnoxeni kvivalentnosti na A ravnosil~no zadani razbieni A .
Opredelenie 2.10 (Mnoestvo predstavitele$
i). Mnoestvom
predstavitele$i dl otnoxeni kvivalentnosti R v A nazyvaets podmnoestvo mnoestva A , imewee toqno odin
obwi$i lement s kadym lementom faktormnoestva A/R .
Suwestvovanie mnoestva predstavitele$
i otnoxeni kvivalentnosti sleduet iz aksiomy vybora.
58
Pordok
Opredelenie 2.11 (Predpordok, pordok, line$
iny$
i pordok,
strogi$
i pordok). Refleksivnoe i tranzitivnoe otnoxenie v A
nazyvaets predpordkom v A. Refleksivnoe, tranzitivnoe i antisimmetriqnoe otnoxenie v A nazyvaets pordkom i obyqno
oboznaqaets simvolom 6. Pordok nazyvaets line$inym, esli
dl lbyh (x, y) ∈ A2 vypolnets x6y ili y6x . Nepustoe mnoestvo, na kotorom zafiksirovan nekotory$i pordok ( line$iny$i
pordok ), nazyvaets upordoqennym (line$ino upordoqennym ili
cep~) . Strogim pordkom, svzannym s pordkom 6 , nazyvaets
otnoxenie a < b (a6b)∧(a 6= b) .
Otnoxenie = v proizvol~nom mnoestve vlets pordkom, a upordoqennoe mnoestvo s takim pordkom nazyvaets
diskretnym. Otnoxenie 6 v R vlets line$
inym pordkom.
Otnoxenie 6 v bulevo$
i algebre vlets pordkom. V qastnosti, otnoxenie ⊆ vlets pordkom v bulevo$
i algebre P(Ω) .
Mnoestvo N s obyqnym otnoxeniem pordka vlets cep~.
Teorema 2.8 (O predpordke). Pust~ v mnoestve A zadan
predpordok 4 , θ = {(x, y) ∈ A2 : (x4y)∧(y4x)}. Otnoxenie θ vlets kvivalentnost~ v A . Na faktormnoestve A/θ mono
opredelit~ pordok 6, poloiv θ(x)6θ(y) , esli x4y .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Sleduwee utverdenie oqevidno.
Teorema 2.9 (Dvo$
istvenny$
i pordok). Pust~ 6 — pordok. Ot−1
noxenie 6 , oboznaqaemoe simvolom >, vlets pordkom, nazyvaemym dvo$istvennym k pordku 6.
Sledstvie (Princip dvo$
istvennosti dl pordka). Obwee utverdenie ob upordoqennyh mnoestvah, ravnosil~no tomu e
utverdeni, v kotorom znak 6 zamenen na znak >.
Opredelenie 2.12 (Naibol~xi$
i, naimen~xi$
i, maksimal~ny$
i,
minimal~ny$
i lementy). V upordoqennom mnoestve A lement a ∈ A nazyvaets naibol~xim ili edinice$i ( naimen~xim
ili nulem ) , esli dl vseh x ∈ A vypolnets x6a (a6x) .
lement b nazyvaets maksimal~nym ( minimal~nym ) , esli iz
b6x (x6b) dl nekotorogo x sleduet x = b; inymi slovami
lement b nazyvaets maksimal~nym ( minimal~nym ), esli ne
suwestvuet lementa bol~xego ( men~xego ) lementa b.
Teorema 2.10 (O nule i edinice). Esli v upordoqennom mnoestve suwestvuet lement nul~ ( edinica ), to on edinstvenen i
sovpadaet s minimal~nym ( maksimal~nym ) lementom.
59
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
V diskretnom upordoqennom mnoestve vski$
i lement vlets i maksimal~nym i minimal~nym.
Opredelenie 2.13 (Nini$
i i verhni$
i konusy, supremum, infimum). Dl podmnoestva A qastiqno upordoqennogo mnoestva P ninim (verhnim ) konusom A nazyvaets mnoestvo
AO {x ∈ P : (∀a ∈ A)(x6a)} ( AM {x ∈ P : (∀a ∈ A)(a6x)} ). Naimen~xi$i ( naibol~xi$i ) lement mnoestva AM ( AO ) nazyvaets toqno$i verhne$i (nine$i ) gran~ mnoestva A i oboznaqaets simvolom sup A ( inf A ) .
Opredelenie 2.14 (Intervaly, atomy). Pust~ P
— upordoqennoe mnoestvo. Mnoestva [a, b] {x ∈ P : a6x6b},
(a, b) {x ∈ P : a< x< b}, (a, b] {x ∈ P : a< x6b}, [a, b) {x ∈ P : a6x< b},
(−∞, a] {x ∈ P : x6a}, [a, ∞) {x ∈ P : a6x} nazyvats, sootvetstvenno, zamknutym, otkrytym, poluotkrytym sleva, poluotkrytym sprava, naqal~nym i final~nym intervalami. Esli
a=
6 b i [a, b] = {a, b} , to govort, qto lement b pokryvaet
lement a. lementy, pokryvawie nul~ nazyvats atomami.
Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, vvodwee pontie
fundirovannogo mnoestva.
Teorema 2.11 (Fundirovannye mnoestva). Sleduwie svo$istva
upordoqennogo mnoestva P ravnosil~ny :
1) vskoe nepustoe podmnoestvo mnoestva P vlets
upordoqennym mnoestvom, soderawim minimal~ny$i lement
( uslovie minimal~nosti );
2) dl vsko$i posledovatel~nosti a1 >a2 > . . . >ak > . . . lementov iz P na$idets tako$i nomer n , qto an = an+1 = an+2 = . . .
(uslovie obryva ubyvawih cepe$i );
3) (∀x ∈ P )(∀y ∈ P )((y < x) → A(y)) → A(x)) → (∀x ∈ P )A(x) , gde A(x)
— sootnoxenie, soderawee x svobodno i ne soderawee y
( uslovie induktivnosti ) .
Upordoqennye mnoestva, obladawie
timi svo$istvami
nazyvats fundirovannymi. Fundirovannye cepi nazyvats
vpolne upordoqennymi mnoestvami.
Klassiqeskim primerom vpolne upordoqennogo mnoestva
vlets mnoestvo N . Sleduwee utverdenie, ravnosil~noe
aksiome vybora, privodits bez dokazatel~stva.
Teorema 2.12 (Teorema Cermelo). Na vskom nepustom mnoestve mono zadat~ pordok, prevrawawi$i ego vo vpolne upordoqennoe mnoestvo.
60
Opredelenie 2.15 (Rexetki). Upordoqennoe mnoestvo P nazyvaets rexetko$i, esli dl vseh a, b ∈ P suwestvut sup{a, b}
i inf{a, b}. Esli P vlets rexetko$i, to ispol~zuts oboznaqeni a∧b inf{a, b} i a ∨ b sup{a, b} .
Teorema 2.13 (Aksiomy rexetki-algebry). V kado$i rexetke
vypolnts osnovnye sootnoxeni 1 — 4, 7, 8, 13, 14, kotorye budut nazyvat~s aksiomami rexetki-algebry.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Sootnoxeni 1, 2, 7, 8 oqevidny. Prava
i leva qasti ravenstva 3 ravny sup{a, b, c} , prava i leva
qasti ravenstva 4 ravny inf{a, b, c} . Oqevidno, qto
(1)
` (c6d) ∼ (c∨d = d),
Iz (1) i neravenstva a∧b6a sleduet sootnoxenie 13. Perehod
v (1) k dvo$
istvennomu pordku > i uqityva, qto pri tom
pordke c∨d perehodit v c∧d, po teoreme 2.9 poluqim
` (c>d) ∼ (c∧d = d).
(2)
Iz (2) i neravenstva a>a∧b sleduet sootnoxenie 14. J
Primer 2.3. Buleva algebra s otnoxeniem a6b (a∧b = a)
vlets rexetko$
i. to sleduet iz teoremy I.1.8 i ravenstv
sup{a, b} = a ∨ b, inf{a, b} = a∧b .
istvitel~nyh funkci$
i,
Primer 2.4. V mnoestve RX vseh de$
otobraawih mnoestve X v R , opredelim pordok 6 tak:
i,
f 6g (∀x ∈ X)(f (x)6g(x)) . Mnoestvo RX vlets rexetko$
v kotoro$
i h = f ∨ g oznaqaet h(x) = max{f (x), g(x)}, a h = f ∧g
oznaqaet h(x) = min{f (x), g(x)} .
Nam popotrebuets utoqnit~ oboznaqeni. Mnoestvo L s
otnoxeniem pordka 6 oboznaqim simvolom (L; 6) . Mnoestvo
L s operacimi ∧, ∨ oboznaqim simvolom (L; ∧, ∨) i nazovem
rexetko$
i-algebro$
i, esli vypolnts osnovnye sootnoxeni 1
— 4, 7, 8, 13, 14.
Teorema 2.14 (Dva ” kvivalentnyh” predstavleni rexetok).
1) Pust~ L = (L, 6) — rexetka, a∧b inf{a, b}, a ∨ b sup{a, b} .
Togda La = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra.
2) Pust~ L = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra, a6b (a∧b = a) . Togda
Lp = (L, 6) — rexetka.
3) Esli L = (L, 6) — rexetka, to (La )p = L .
4) Esli L = (L, ∧, ∨) — rexetka-algebra, to (Lp )a = L.
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Teorema 2.13. 2. Teorema I.1.8. Dokazatel~stva pp. 3, 4 rekomenduets qitatel kak upranenie. J
61
Teorema 2.14 pozvolet priment~ algebraiqeskie metody
pri issledovanii rexetok.
Teorema 2.15 (Princip dvo$
istvennosti dl rexetok). Pust~ A
— utverdenie o rexetkah, zapisannoe qerez operacii ∧, ∨; A0
poluqaets iz A zameno$i operaci$i ∧, ∨ drug na druga. Togda,
esli dl vseh rexetok ` A , to dl vseh rexetok ` A0 .
3. Mownost~ mnoestv
Podsqeta qisla
lementov n(A) koneqnogo mnoestva A
mono predstavit~ kak process pomeweni lementov mnoestva A v wiki s nomerami 0, 1, 2, . . . v pordke vozrastani
nomera. V rezul~tate poluqaets posledovatel~nost~ lementov
a0 , a1 , . . . , an−1 , gde indeks lementa — nomer wika. Qislo lementov n(A) ravno qislu n zantyh wikov. Matematiqeska
sut~ to$
i procedury podsqeta zaklqena v tom, qto takim
obrazom ustanavlivaets biekci mnoestva A na mnoestvo
nomerov zantyh wikov Nn = {0, 1, 2, . . . , n − 1} . Esli pomestit~
lementy v wiki v drugom pordke, to poluqits druga biekci, no pri kado$
i biekcii n(A) = n. Obobwim tu ide.
Opredelenie 3.1 (Ravnomownost~, beskoneqnost~ i koneqnost~
mnoestv). Mnoestva A, B nazyvats ravnomownymi (simvoliqeski A ' B) , esli suwestvuet biekci f : A → B . Mnoestvo, ravnomownoe sobstvennomu podmnoestvu, nazyvaets beskoneqnym ; v protivnom sluqae ono nazyvaets koneqnym. Mnoestvo A nazyvaets sqetnym, esli A ' N. Beskoneqnoe mnoestvo, ne vlwees sqetnym, nazyvaets nesqetnym.
Primery. 1. Koneqnye mnoestva ravnomowny togda i tol~ko
togda, kogda oni imet odinakovoe qislo lementov.
2. Mnoestvo N beskoneqno. to dokazyvaets s pomow~
biekcii f (n) = 2n mnoestva N na podmnoestvo qetnyh qisel.
3. Mnoestvo de$
istvitel~nyh qisel otrezka [0, 1] nesqetno.
Dokaem to s pomow~ diagonal~nogo processa Kantora. Pust~
istvidano lboe sqetnoe mnoestvo A = {α1 , α2 , . . . , αn , . . .} de$
tel~nyh qisel iz otrezka [0, 1] , predstavlennyh v vide destiqnyh drobe$
i s beskoneqnym qislom znakov:
α1 = 0, a11 a12 . . . a1n . . . ,
α2 = 0, a21 a22 . . . a2n . . . ,
...
αn = 0, an1 an2 . . . ann . . . ,
...
62
gde aik — k - destiqna cifra qisla αi . Postroim drob~
β = 0, b1 b2 . . . bn . . . , vybrav pri vseh natural~nyh n proizvol~nu iz cifr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ne ravnu ann . Posi drob~ iz A , to
kol~ku β ∈ [0, 1] , no ne sovpadaet ni s odno$
znaqit A 6= [0, 1], otkuda sleduet, qto mnoestvo [0, 1] nesqetno.
Teorema 3.1 (Otnoxenie ravnomownosti). Otnoxenie ' v zadannom mnoestve refleksivno, tranzitivno i simmetriqno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Refleksivnost~ ' sleduet iz togo, qto
ravenstvo est~ biekci mnoestva na seb, a tranzitivnost~ i
simmetriqnost~ ' sledut iz teoremy 2.2. J
Nel~z rassmatrivat~ otnoxenie ' kak kvivalentnost~ v
”mnoestve vseh mnoestv” poskol~ku takoe mnoestvo ne suwestvuet (primer 1.3). Po to$
i priqine otnoxenie ' ne obladaet grafikom.
Opredelenie 3.2 (Kardinal~nye qisla). Mnoestvo τZ (X ' Z)
nazyvaets kardinal~nym qislom mnoestva X ( mownost~
mnoestva X) i oboznaqaets Card (X) .
Sleduwie utverdeni privodts bez dokazatel~stv.
Teorema 3.2 (O sravnenii mnoestv). Dl lbyh mnoestv
A, B suwestvuet odna i tol~ko odna iz vozmonoste$i :
1) Card (A) = Card (B) — A ravnomowno B;
2) Card (A) < Card (B) — A ravnomowno podmnoestvu D⊆B ,
no B ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu C⊆A;
3) Card (A) > Card (B) — B ravnomowno podmnoestvu C⊆A ,
no A ne ravnomowno nikakomu podmnoestvu D⊆B .
Primery. 1. Card (∅) 0,
2. Card ({∅}) 1 — kardinal~noe qislo odno lementnyh mnoestv,
3. Card ({∅, {∅}}) 2 — kardinal~noe qislo dvuh lementnyh
mnoestv, . . . .
4. Card (N) ℵ0 — kardinal~noe qislo sqetnyh mnoestv.
5. Card (P(N)) ℵ1 — mownost~ kontinuuma.
Teorema 3.3 (Sravnenie mnoestv A i P(A) ). Dl lbogo mnoestva A spravedlivo neravenstvo Card (A) < Card (P(A)).
Kontinuum-gipoteza. Mownost~ ℵ1 est~ perva mownost~, prevoshodwa mownost~ ℵ0 .
ta gipoteza formal~no nerazrexima v tom smysle, qto
nevozmono formal~no dokazat~ ni ee, ni ee otricanie.
63
4. Posledovatel~nosti mnoestv i ih predely
Opredelenie 4.1 (Sqetnye obedineni i pereseqeni). Dl
vsko$i posledovatel~nosti {An }∞
n=1 podmnoestv prostranstva Ω
∞
∞
[
\
An {x ∈ Ω : (∀n)(x ∈ An )} .
An {x ∈ Ω : (∃n)(x ∈ An )},
n=1
n=1
Teorema 4.1 (Svo$
istva sqetnyh obedineni$
i i pereseqeni$
i).
∞
∞
∞
∞
∞
∞
\
\
[
\
[
[
(An ∩ Bn ) =
Bn , 2)
An ∩
Bn ,
An ∪
1)
(An ∪ Bn ) =
3)
5)
7)
9)
n=1
∞
[
n=1
∞
[
n=1
∞
[
n=1
n=1
(An ∩ Bn )⊆
∞
[
n=1
(A ∪ Bn ) = A ∪
(A ∩ Bn ) = A ∩
n=1
∞
[
An =
n=1
11) f
∞
[
∞
\
n=1
!
An ∩
∞
[
n=1
∞
[
∞
\
Bn ,
n=1
Bn ,
6)
8)
Bn ,
n=1
10)
An ,
n=1
n=1
∞
\
D o k a z a t e l ~ s t v o . 8. [x ∈
(A ∪ Bn ) = A ∪
An =
∞
\
∞
[
n=1
!
An
n=1
∞
\
n=1
∞
\
Bn ,
n=1
Bn ,
Bn ,
n=1
An ,
∞
\
n=1
(A∪Bn )] = [(∀n)((x ∈ A)∨(x ∈ Bn ))] =
= [(x ∈ A) ∨ (∀n)(x ∈ Bn )] = [(x ∈ A) ∨ (x ∈
9. [x ∈
n=1
An ∪
n=1
∞
\
f (An ) ,
⊆
n=1
!n=1 ∞
∞
\
\
f −1 (Bn ) .
Bn =
14) f −1
n=1
∞
[
n=1
∞
\
(A ∩ Bn ) = A ∩
n=1
∞
\
12) f
n=1
∞
\
(An ∪ Bn ) ⊇
n=1
∞
\
n=1
∞
[
=
f (An ) ,
n=1
! n=1∞
∞
[
[
f −1 (Bn ) ,
Bn =
13) f −1
An
4)
n=1
∞
\
∞
\
n=1
Bn )] = [x ∈ A ∪
∞
\
∞
\
Bn ] .
n=1
An ].
An ] = [(∃n)(x ∈ An )] = [(∀n)x ∈ An ] = [x ∈
n=1
n=1
!
∞
∞
∞
\
\
\
−1
−1
f −1 (Bn ).
Bn = f (x) ∈
Bn = (∀n)(x ∈ f (Bn )) = x ∈
14. x ∈ f
n=1
n=1
n=1
Opredelenie 4.2 (Predely posledovatel~noste$
i mnoestv).
Verhnim ( ninim ) predelom posledovatel~nostiT mnoestv
∞ S∞
{An }∞
A
nazyvaets
mnoestvo
lim
sup
n
n→∞
n=1
n=1
k=n Ak ,
S∞ T∞
( lim inf n→∞ An n=1 k=n Ak ) . Esli lim supn→∞ An = lim inf n→∞ An ,
to suwestvuet predel limn→∞ An lim supn→∞ An = lim inf n→∞ An .
64
Teorema 4.2 (Svo$
istva predelov posledovatel~noste$
i mnoestv). Esli suwestvuet lim Bn , to pri lbom A suwestvut
n→∞
predely
1)
3)
lim (A ∪ Bn ), lim (A ∩ Bn ), lim (A\Bn ), lim (Bn \A) i
n→∞
n→∞
n→∞
lim (A ∪ Bn ) = A ∪ lim Bn ,
n→∞
n→∞
lim (A\Bn ) = A\ lim Bn ,
n→∞
n→∞
n→∞
4)
n→∞
n→∞
lim (A ∩ Bn ) = A ∩ lim Bn ,
2)
lim (Bn \A) = ( lim Bn )\A .
n→∞
n→∞
D oT
k a z aSt e l ~ s t v o . 1. T Po teoreme
(A ∪ Bn )
S∞ 4.1 lim supTn→∞
∞
∞
∞ S∞
∞
n=1 k=n (A ∪ Bk ) = n=1 (A ∪ k=n Bk ) =S A ∪T n=1 k=n Bk =
∞
∞
lim
inf
A
(A ∪ Bk ) =
= SA ∪ lim sup
B
)
i
n→∞
n
n
n→∞
n=1
k=n
S∞ T∞
T∞
∞
= n=1 (A ∪ k=n Bk ) = A ∪ n=1 k=n Bk = A ∪ lim inf n→∞ Bn , otkuda sleduet, qto limn→∞ (A ∪ Bn ) = A ∪ limn→∞ Bn . Analogiqno
dokazyvats pp. 2 — 4. J
Opredelenie 4.3 (Monotonnye posledovatel~nosti mnoestv).
nazyvaets monotonno
Posledovatel~nost~ mnoestv {An }∞
n=1
vozrastawe$i ( MVP), esli An ⊆An+1 pri vseh n; monotonno
ubyvawe$i ( MUP), esli An ⊇ An+1 pri vseh n .
Teorema 4.3 (Predely monotonnyh posledovatel~noste$
i).
∞
∞
[
\
An , dl MUP lim An =
An .
Dl MVP lim An =
n→∞
n→∞
∞
∞
n=1
n=1
\
[
D o k a z a t e l ~ s t v o . lim sup An
Bn , lim inf An
Cn , gde
n→∞
Bn =
∞
[
Ak Cn =
k=n
Bn =
∞
\
Ak = An ∪
k=n
∞
\
Cn =
k=n
∞
[
k=n+1
∞
\
Ak = An ∩
n→∞
k=n+1
∞
\
Cn =
k=n
Ak = An ∩
∞
[
Po tomu lim sup An =
n→∞
n=1
k=n+1
∞
\
Ak =
Bn =
n=1
k=n+1
∞
[
n=1
∞
[
Ak = Bn+1 ,
k=n+1
∞
\
An = An .
k=n+1
Cn = lim inf An = lim An .
n→∞
(An ∪ Ak ) =
k=n+1
∞
\
k=n+1
∞
\
∞
[
(An ∩ Ak ) =
An =
n=1
k=n+1
∞
\
(An ∪ Ak ) =
Ak =
Dl MUP
∞
∞
[
[
Bn =
Ak = An ∪
Ak =
k=n
∞
[
Ak =
k=n+1
Po tomu lim sup An = B1 =
∞
\
n→∞
Ak . Dl MVP
k=n
∞
[
n=1
(An ∩ Ak ) =
n→∞
∞
[
An = An ,
k=n+1
∞
\
Ak = Cn+1 .
k=n+1
An = C1 = lim inf An = lim An . J
n=1
n→∞
n→∞
65
5. Izmerimye prostranstva i funkcii. Mery
Opredelenie 5.1 ( σ -algebra mnoestv). Buleva algebra podmnoestv, zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh obedineni$i, nazyvaets σ -algebro$i mnoestv.
Teorema 5.1 (Svo$
istva σ -algebr). Lba σ -algebra mnoestv
zamknuta otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$i i predelov posledovatel~noste$i mnoestv.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ A — σ -algebra. Zamknutost~ A
otnositel~no obrazovani sqetnyh pereseqeni$
i mnoestv sleduS∞
T∞
et iz ravenstva
n=1 An =
n=1 An , a zamknutost~ otnositel~no
obrazovani verhnih i ninih predelov sleduet iz zamknutosti
A otnositel~no sqetnyh obedineni$
i i pereseqeni$
i. J
Oqevidno, pereseqenie nepustogo mnoestva σ -algebr vlets σ -algebro$
i.
Opredelenie 5.2 (Porodenna σ -algebra). Dl lbogo mnoestva B podmnoestv prostranstva Ω pereseqenie vseh σ algebr, soderawih B, nazyvaets σ -algebro$i, porodenno$i B.
ta σ -algebra vlets naimen~xe$i iz σ -algebr, soderawih B.
Opredelenie 5.3 (Izmerimye prostranstva). Izmerimym prostranstvom nazyvaets para (Ω, A) , gde Ω — mnoestvo, A —
σ -algebra podmnoestv mnoestva Ω , nazyvaemyh izmerimymi.
Opredelenie 5.4 (Izmerimye otobraeni, borelevskie funkcii). Izmerimym otobraeniem (X1 , A1 ) v (X2 , A2 ) nazyvaets funkci
f : X1 → X2 , udovletvorwa uslovi
−1
(∀B ∈ A2 )(f hBi ∈ A1 ) . Borelevsko$i funkcie$i nazyvaets izmem
n
m
n
rimoe otobraenie (R , B ) v (R , B ) , gde R = [−∞, ∞] —
rasxirenna de$istvitel~na prma.
Sleduwie utverdeni vlts oqevidnymi sledstvimi
svo$
istv proobrazov mnoestv pri otobraenih.
Teorema 5.2 (Svo$
istva izmerimyh otobraeni$
i).
1. Kompozici izmerimyh otobraeni$i vlets izmerimym
otobraeniem.
2. Esli f — izmerimoe otobraenie (X1 , A1 ) v X2 , A2 ) i
−1
f hA2 i {f −1 hAi : A ∈ A2 } — mnoestvo proobrazov mnoestv
iz A2 pri f , to f −1 hA2 i vlets σ -podalgebro$i σ -algebry A1 .
Opredelenie 5.5 (Potoqeqny$
i predel). Potoqeqnym predelom
m
n
R
→
R
, nazyva,
gde
f
posledovatel~nosti funkci$i { f k }∞
:
k
k=1
m
ets funkci f ( x) taka, qto (∀ x ∈ R )(f ( x ) = lim f k ( x ) ) .
k→∞
66
Sleduwee utverdenie privodits bez dokazatel~stva.
Teorema 5.3 (Opisatel~noe opredelenie borelevskih funkci$
i).
Mnoestvo borelevskih funkci$i sovpadaet s naimen~xim mnoestvom funkci$i, zamknutym otnositel~no potoqeqnogo predel~nogo perehoda i soderawim vse nepreryvnye funkcii.
Dl togo, qtoby poluqit~ konstruktivnoe opredelenie izmerimyh funkci$
i nam sleduet neskol~ko izmenit~ vzgld na
istvipredikat prinadlenosti x ∈ A , predstaviv ego kak de$
tel~nu funkci peremennyh x, A .
Opredelenie 5.6 (Indikatory mnoestv). Indikatorom podmnoestva A prostranstva Ω nazyvaets funkci IA : Ω → R , opredelema formulo$i IA (x) (x ∈ A), gde ”lo~”, ”istina” v pravo$i
qasti zaments, sootvetstvenno,
na qisla 0, 1 v levo$i, t. e.
1
pri x ∈ A
IA (x) =
.
/A
pri x ∈
Mnoestvo indikatorov {IA : A ∈ P(Ω)} oboznaqim simvolom IΩ .
Oqevidnym sledstviem vvedeni vmesto predikatov x ∈ A
indikatorov IA (x) vlets dobavlenie instrumentov dokazatel~stv: vmeste s metodami matematiqesko$
i logiki mono ispol~zovat~ svo$
istva operaci$
i nad de$
istvitel~nymi funkcimi.
Teorema 5.4 (Buleva algebra indikatorov). Mnoestvo indikatorov IΩ s obyqnym otnoxeniem pordka dl de$istvitel~nyh
funkci$i IA6IB (∀x ∈ Ω)(IA (x)6IB (x) vlets rexetko$i, v kotoro$i inf{IA , IB } IA ∧IB = IA IB , sup{IA , IB } IA ∨ IB = IA + IB − IA IB .
Esli vvesti operaci dopolneni I A 1 − IA , to mnoestvo IΩ s operacimi ∧, ∨,
vlets bulevo$i algebro$i
s nulem I∅ = 0 i edinice$i IΩ = 1 . Funkci f : P(A) → IΩ ,
opredelenna formulo$i f (A) = IA vlets izomofizmom bulevyh algebr P(A) i IΩ , s pomow~ kotorogo mono dokazat~ utverdeni : 1) ` (A⊆B) ∼ (IA6IB ), 2) ` IA\B = IA − IA IB ,
3) ` IAMB = (IA + IB )mod 2, 3) ` Ilim An = lim IAn .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Sledstvie. Tablica znaqeni$
i indikatorov mnoestv.
A B A ∪ B A ∩ B A\B A AMB
IA IB IA∪B
1
1
1
1
1
1
1
IA∩B IA\B IA IAMB
1
1
1
1
1
1
67
Primer 5.1. Tabliqnoe dokazatel~stvo dl A\B = A\(A ∩ B)⊆A.
A B A ∩ B A\B A\(A ∩ B)
IA IB IA∩B IA\B
1
1
1
1
1
1
IA\(A∩B)
1
1
Sravnenie 1-go, 4-go i 5-go stolbcov to$
i tablicy pokazyvaet, qto IA\B = IA\(A∩B) 6IA , otkuda sleduet A\B = A\(A∩B)⊆A.
Primer 5.2. Dokaem (A⊆(B ∪ C)) ∼ ((A\B)⊆C) .
[A⊆(B ∪ C)] ∼ [A ∩ (B ∪ C) = A] ∼ [IA IB + IA IC − IA IB IC = IA ] ∼ [IA IC −
−IA IB IC = IA − IA IB ] ∼ [IA\B IC = IA\B ] ∼ [(A\B)⊆C] .
Primer 5.3. Dokaem (A⊆B) → ((A ∪ C)⊆(B ∪ C)) .
[(A ∪ C)⊆(B ∪ C)] ∼ [IA + IC − IA IC 6IB + IC − IB IC ] ∼ [IA IC 6IB IC ] i
po tomu [A⊆B] ∼ [IA 6IB ] → [IA IC 6IB IC ] ∼ [(A ∪ C)⊆(B ∪ C)].
Vo mnogih priloenih matematiki vstreqats de$
istvitel~nye line$
inye prostranstva, nazyvaemye qasto vektornymi
prostranstvami. Sredi nih osobu rol~ igrat te, kotorye
vlts mnoestvami de$
istvitel~nyh funkci$
i. ti mnoestva
odnovremenno vlts vektornymi prostranstvami i upordoqennymi mnoestvami.
Opredelenie 5.7 (Vektornye rexetki). De$istvitel~noe vektornoe prostranstvo V nazyvaets upordoqennym, esli v V opredelen pordok 6 tako$i, qto pri a6b : 1) ` (∀c ∈ V )(a + c6b + c),
2) ` (∀λ>0)(λa6λb) . Upordoqennoe vektornoe prostranstvo, vlwees rexetko$i, nazyvaets vektorno$i rexetko$i.
Teorema 5.5 (Svo$
istva vektornyh rexetok). V lbo$i vektorno$i
rexetke
1) a + (b ∨ c) = (a + b) ∨ (a + c),
2) a + (b∧c) = (a + b)∧(a + c),
4) λ(a∧b) = (λa)∧(λb),
3) λ(a ∨ b) = (λa) ∨ (λb),
5) −((−a) ∨ (−b)) = a∧b,
6) −(a∧b) = (−a) ∨ (−b),
Izmerimye prostranstva vlts estestvennymi oblastmi
opredeleni funkci$
i mnoestv, nazyvaemyh merami. Naibolee
izvestnymi primerami mer vlts dlina, plowad~, obem.
Opredelenie 5.6 (Mery). Mero$i na (Ω, A) nazyvaets funkci µ : A → [0; ∞], udovletvorwa uslovim : µ(∅) = 0 , dl
68
vsko$i posledovatel~nosti {An }∞
n=1 neperesekawihs mnoestv
P∞
S∞
µ( n=1 An ) = n=1 µ(An ) . Esli µ(Ω) < ∞ , to µ nazyvaets koneqno$i mero$i, a pri µ(Ω) = 1 — verotnostno$i mero$i. Esli
µ(Ω) = ∞ , no suwestvuet posledovatel~nost~ mnoestv {Bn }∞
n=1
S∞
taka, qto µ(Bn ) =
6 ∞ i Ω = n=1 Bn , to µ nazyvaets σ -koneqno$i mero$i. Tro$ika (Ω, A, µ) nazyvaets prostranstvom s mero$i,
a pri µ(Ω) = 1 — verotnostnym prostranstvom.
Pri koneqno$
i mere uslovi v opredelenii mery ravnosil~ny uslovim: µ(∅) = 0 ; esli A ∩ B = ∅, to µ(A ∪ B) =
i monotonno$
i pos= µ(A) + µ(B) ; µ( lim An ) = lim µ(An ) dl vsko$
n→∞
n→∞
∞
mnoestv.
ledovatel~nosti {An }n=1
Primer 5.1. Pust~ Ω — sqetnoe mnoestvo, A = P(Ω), µ(A)
— qislo toqek v A , esli A koneqno, i µ(A) = ∞ v protivnom sluqae. Opredelenna na A funkci mnoestv µ vlets
σ -koneqno$
i mero$
i, nazyvaemo$
i sqitawe$i mero$i.
Primer 5.2. Pust~ Ω = Rn , A = Bn — σ -algebra borelevskih
podmnoestv prostranstva Rn (t. e. σ -algebra porodenna nmernymi intervalami (−a1 , b1 )× · · · ×(−an , bn ), −∞ < ai < bi < ∞ ).
Suwestvuet i edinstvenna σ -koneqna
mera µ taka, qto
µ (−a1 ; b1 )× · · · ×(−an ; bn ) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ).
ta mera nazyvaets mero$i Lebega. Suwestvut podmnoestva
i mery Leprostranstv Rn , sopostavlenie kotorym opredelenno$
bega privodit k protivoreqi. ti podmnoestva nazyvats neizmerimymi. Naprimer, neizmerimymi vlts mnoestva
predstavitele$
i klassov kvivalentnosti iz primera 2.1.
69
6. Nekotorye kombinatornye formuly
Kombinatoriko$
i nazyvaets razdel matematiki, posvwenny$
i
zadaqam, svzannym s postroeniem razliqnyh kombinaci$
i lementov koneqnogo mnoestva i opredeleniem koliqestva tih
kombinaci$
i. Vo mnogih priloenih k teorii verotnoste$
i,
vstreqats kombinacii, nazyvaemye vyborkami.
Opredelenie 6.1. ( Vyborki ) . Pust~ M — koneqnoe mnoestvo,
soderawee n razliqnyh lementov. Upordoqenno$i r -vyborko$i
iz n -mnoestva M nazyvaets upordoqenna r -ka (x1 , . . . , xr ),
gde xi ∈ M (i = 1, . . . , r) nazyvats lementami vyborki. Upordoqenna n-vyborka iz n-mnoestva M nazyvaets perestanovko$i mnoestva M . Neupordoqenno$i r -vyborko$i iz n -mnoestva M nazyvaets neupordoqenna r -ka {x1 , . . . , xr }. Vyborka
nazyvaets vyborko$i s povtorenimi (s vozvraweniem ) , esli
lementy vyborki mogut povtort~s, i bez povtoreni$i ( bez
vozvraweni ) , esli lementy vyborki ne mogut povtort~s.
Zameqanie. Upordoqennye n-vyborki bez povtoreni$
i iz
n-mnoestva Mn poluqats primeneniem k Mn perestanovok.
Aksiomy kombinatoriki. Pust~ A, B — koneqnye mnoestva,
imewie n(A) i n(B) lementov, sootvetstvenno.
Pravilo summy : esli A ∩ B = ∅ , to n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Pravilo proizvedeni : n(A×B) = n(A) · n(B) .
Teorema 6.1. ( Formuly dl rasqeta koliqestva vyborok ) .
r -vyborki iz
n -mnoestva
S povtoreniem
( s vozvraweniem )
Upordoqennye
nr
Neupordoqennye
r
Cn+r−1
Bez povtoreni
(bez vozvraweni )
Arn
Cnr
n!
(n − r)!
n!
r!(n − r)!
D o k a z a t e l ~ s t v o . Predstavim mnoestvo M kak sovokupnost~ n odnotipnyh predmetov, otliqawihs tol~ko nomerami, a process poluqeni vyborki — kak izvleqenie predmeta
iz M i zapis~ ego nomera. Dl togo qtoby lementy vyborki
70
povtorlis~, neobhodimo kady$
i raz posle zapisi nomera vozvrawat~ vzty$
i predmet v M ; esli predmety ne vozvrawat~ v
M , to poluqits vyborka bez povtoreni$
i.
Upordoqenna r -vyborka s povtorenimi vlets
lementom mnoestva M ×M × · · · ×M . Po tomu po pravilu umnoeni koliqestvo takih vyborok ravno nr . Upordoqenna r -vyborka bez povtoreni$
i vlets lementom mnoestva
Mn ×Mn−1 × · · · ×Mn−r+1 , gde Mi i = (n − r + 1) . . . n — podmnoestva mnoestva M , soderawie i lementov. Po pravilu umnon!
eni qislo takih vyborok ravno n · · · (n − r + 1) =
= Arn .
(n − r)!
V qastnosti, qislo perestanovok mnoestva Mi ravno Aii = i! .
Poloim, qto dve upordoqennye r -vyborki bez povtoreni$
i nahodts v otnoxenii R , esli odna vyborka poluqaets
iz drugo$
i posredstvom perestanovki mnoestva Mr . Otnoxenie
R vlets otnoxeniem kvivalentnosti. Klassy kvivalentnosti po R i est~ neupordoqennye r -vyborki bez povtoreni$
i.
Kady$
i klass soderat stol~ko vyborok skol~ko imeets perestanovok mnoestva Mr , t. e. r! . Po tomu koliqestvo neun!
Arn
pordoqennyh r -vyborok bez povtoreni$
=
.
i ravno
r!
r!(n − r)!
Dokazatel~stvo ostavxe$
is formuly opuskaets. J
7. Upraneni
k
1 .
1)
2)
3)
4)
5)
Dokazat~ ravenstva:
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) , 6)
A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) , 7)
A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C) , 8)
(A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C) , 9)
A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C) , 10)
(A ∩ B)\C = (A ∩ B)\(A ∩ C) ,
A\(B ∪ C) = (A\B)\C ,
A\B = A4(A ∩ B) ,
A ∪ B = (A4B) ∪ (A ∩ B) ,
A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B) .
R e x e n i e dl A\(B ∪ C) = A ∪ B ∪ C .
A\(B ∪ C) = A ∩ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C . J
k
2 .
1)
2)
3)
4)
5)
Dokazat~ sootnoxeni s mnoestvami:
[A⊆(B ∪ C)] ∼ [(A\B)⊆C] ,
[(A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)] ∼ [C⊆A] ,
[A⊆B] → [(C\B)⊆(C\A)] ,
[(A ∩ B)⊆C] ∼ [A⊆(B ∪ C)] ,
[A⊆B] → [(A ∩ C)⊆(B ∩ C)] ,
71
6)
7)
8)
9)
10)
[A ∪ B = A ∩ B] ∼ [A = B] ,
[A⊆B] → [(A\C)⊆(B\C)] ,
[A⊆(B ∩ C)] ∼ [(A⊆B)∧(A⊆C)] ,
[(B\A)⊆C] ∼ [A⊆(B ∪ C)] ,
[A⊆B] → [(A ∪ C)⊆(B ∪ C)] .
R e x e n i e dl [(A\B) ∪ B) = A] ∼ [B⊆A] .
[(A\B) ∪ B = A] ∼ [(A ∩ B) ∪ B = A] ∼ [(A ∪ B) ∩ (B ∪ B) = A] ∼
∼ [(A ∪ B) ∩ Ω = A] ∼ [A ∪ B = A] ∼ (B⊆A) . J
k
3 .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Dokazat~ ravenstva:
(A\B)×(C ∩ D) = (A×C) ∩ (B×D) ,
(A\B)×(C\D) = (A×C) ∩ (B×D) ,
(A ∩ B)×(C ∩ D) = (A×C) ∩ (B×D) ,
A×B ∪ C = (A×B) ∩ (A×C) ,
A ∩ B×C = (A×C) ∪ (B×C) ,
A×(B\C) = (A×B) ∩ (A×C) ,
A ∪ B×C = (A×C) ∩ (B×C) ,
(A\B)×C = (A×C) ∩ (B×C) ,
A×(B\C) = (A×B)\(A×C) ,
(A\B)×C = (A×C)\(B×C) .
R e x e n i e dl (A ∩ B)×(C\D) = (A×C) ∩ (B×D) . (x, y) ∈ (A ∩ B)×
×(C\D) = (x ∈ A ∩ B)∧(y ∈ C\D) = (x ∈ A)∧(x ∈ B)∧(y ∈ C)∧(y ∈
/ D) =
= ((x, y) ∈ A×B)∧((x, y) ∈ B×D) = (x, y) ∈ (A×C) ∩ (B×D) . J
k
4 . Dl sleduwih binarnyh otnoxeni$
i na R postroit~ grafiki, na$
iti oblast~ opredeleni i oblast~ znaqeni$
i.
2
2
1) x6y,
2) x = y,
3) x < y,
4) x + y 61, 5) x = y 2 ,
6) x2 = y, 7) x2 = y 2 , 8) |x − y| = 1, 9) y6 log2 x, 10) tg x = 1.
Kakie iz tih otnoxeni$
i vlts otnoxenimi kvivalentnosti, pordka, funkcional~nymi otnoxenimi?
istvitel~na funkci,
5 . Pust~ f : M → R — nepreryvna de$
opredelenna na M = [−a1 , b1 ]× · · · ×[−an , bn ]. Dokazat~, qto otnoxenie Rf = {(x , y ) ∈ M 2 : f ( x )>f (y )} vlets otnoxeniem predpordka v M .
i f : A → B koneq6 . Opredelit~ qislo razliqnyh otobraeni$
nyh mnoestv A, B . Pri kakih uslovih suwestvut srekcii, inekcii i biekcii? Opredelit~ qislo biekci$
i?
7 . Dokazat~, qto intervaly (a; b)
a, b, c, d (a < b, c < d) ravnomowny.
72
i
(c; d)
pri
koneqnyh
8 . Dokazat~, qto sleduwie posledovatel~nosti intervalov vlts monotonnymi i opredelit~ ih predely.
1 ∞
1) {(−∞; n)}∞
2) {(−∞; −n)}∞
n=1 ,
n=1 , 3) {(−∞; x + n )}n=1 ,
1 )}∞ , 5) {(−n; n)}∞ ,
1 ; b + 1 )}∞ .
4) {(−∞; x − n
6) {(a − n
n=1
n=1
n n=1
k
9 . V korobke imeets N sverl, iz nih K diametrom 5 mm,
a ostal~nye 5,1 mm. Skol~kimi sposobami mono vybrat~ n
sverl tak, qtoby sredi nih bylo toqno k diametra 5 mm?
N
K n
k
N
K n
k
1) 10
4
5
2
6) 10
2
4
1
2) 10
4
6
3
7) 10
2
3
2
3) 10
5
4
2
8)
9
2
3
1
4) 10
3
4
3
9)
9
3
4
2
5) 10
3
5
2
10)
9
4
3
2
R e x e n i e dl sluqa N = 10, K = 4, n = 5, k = 3 . Interesuwa nas vyborka vlets upordoqenno$
i paro$
i neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$
i: 1) 3-vyborki iz 4-mnoestva
sverl diametra 5 mm, 2) 2-vyborki iz 6-mnoestva sverl diametra 5,1 mm. S uqetom teoremy 6.1 i pravila umnoeni
poluqim: qislo vyborok = C43 · C62 = 4 · 15 = 60 . J
k
10 . V gruppe N studentov, iz nih K — izuqat angli$
iski$
i
zyk, L — nemecki$
i, a ostal~nye — francuzski$
i. Skol~kimi
sposobami mono vybrat~ n studentov, tak qtoby iz nih k
studentov izuqali angli$
iski$
i zyk, a l — nemecki$
i?
N
K L n k l
N
K L n k l
1) 15 6
4 6 2 2
6) 15 6
5 8 4 4
2) 15 5
5 6 3 1
7) 15 6
5 8 3 2
3) 15 7
3 6 2 1
8) 16 7
2 8 5 1
4) 14 7
4 7 3 2
9) 16 7
4 8 5 3
5) 14 8
3 7 4 2
10) 18 8
4 7 2 3
R e x e n i e dl sluqa N = 14, K = 8, L = 4, n = 7, k = 4, l = 2 .
Interesuwa nas vyborka vlets upordoqenno$
i tro$
iko$
i neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$
i: 1) 4-vyborki iz 8-mnoestva studentov, izuqawih angli$
iski$
i zyk; 2) 2-vyborka
iz 4-mnoestva studentov, izuqawih nemecki$
i zyk; 3) 1-vyborka iz 2-mnoestva studentov, izuqawih francuzski$
i zyk.
S uqetom teoremy 6.1 i pravila umnoeni poluqim: qislo
vyborok = C84 · C42 · C21 = 70 · 6 · 2 = 840 . J
73
$
III. TEORI VEROTNOSTEI
1. Vvedenie. mpiriqeskie predposylki
Na praktike qasto prihodits stalkivat~s s ksperimentami, rezul~tat kotoryh nel~z predskazat~ zaranee iz-za naliqi mnoestva neuqtennyh faktorov. Naprimer, nel~z predskazat~, proizo$
idet li sluqa$inoe sobytie, sostowee v tom,
qto podbroxenna moneta upadet gerbom vverh, ili predskazat~
znaqenie sluqa$ino$i veliqiny, ravno$
i qislu lunok, vydavlennyh
na verhne$
i grani broxenno$
i na stol igral~no$
i kosti. Tem
ne menee, vo mnogih ksperimentah, kotorye budem nazyvat~
i
sluqa$inymi ksperimentami, pri bol~xom qisle ih povtoreni$
nabldats sleduwie statistiqeskie zakonomernosti, vlwies obektivnymi predposylkami teorii verotnoste$
i.
Usto$
iqivost~ qastoty. Pust~ sluqa$iny$i ksperiment, v rezul~tate provedeni kotorogo moet proishodit~ ili ne proishodit~ sluqa$inoe sobytie A , povtorets N raz i pust~
N (A)
sobyti
sobytie A proizoxlo N (A) raz. Qastota ν(A) =
N
A pri neograniqennom uveliqenii N pribliaets k veliqine
P (A) , kotoru nazyvat verotnost~ sobyti A .
Usto$
iqivost~ srednego arifmetiqeskogo. Pust~ sluqa$iny$i ksperiment, v rezul~tate provedeni kotorogo fiksiruets znaqenie sluqa$ino$i veliqiny ξ , povtorets N raz i pust~
(x1 , . . . , xN ) — sovokupnost~ poluqennyh znaqeni$i ξ . Srednee
N
1 X
arifmetiqeskoe x =
xi pri neograniqennom uveliqenii N
N i=1
pribliaets k veliqine M ξ , kotoru nazyvat matematiqeskim oidaniem ( srednim znaqeniem ) sluqa$ino$i veliqiny ξ .
Teorie$
i verotnoste$
i nazyvaets matematiqeska nauka, izuqawa sluqa$
inye ksperimenty, v kotoryh imet mesto usto$
iqivost~ qastoty i usto$
iqivost~ srednego arifmetiqeskogo.
Formulirovki tih zakonomernoste$
i mono rassmatrivat~ kak
statistiqeskie opredeleni osnovnyh ponti$
i — verotnosti
sluqa$
inogo sobyti i matematiqeskogo oidani sluqa$
ino$
i veliqiny. Tem ne menee, sovremennoe postroenie teorii verotnoste$
i, predloennoe sovetskim matematikom A.N.Kolmogorovym,
osnovano ne na statistiqeskih zakonomernosth, a na nekotoro$
i sisteme toqnyh opredeleni$
i i aksiom, otraawih ti
zakonomernosti. Qtoby pont~ osnovnye idei kolmogorovskogo
postroeni teorii verotnoste$
i, rassmotrim primer rexeni
prosto$
i verotnostno$
i zadaqi ”po zdravomu smyslu”.
74
Primer. Professor matematiki predloil dvum svoim studentam igru v kosti. Igra zaklqaets v tom, qto igral~na
kost~ brosaets odin raz i po qislu oqkov na verhne$
i grani kosti opredelets, vyigral ili proigral tot ili ino$
i
student i veliqina ih sluqa$
inogo vyigryxa. Pervy$
i student
vyigryvaet u professora 2 rubl, esli qislo oqkov na verhne$
i
grani kosti kratno 2; vtoro$
i student vyigryvaet u professora
3 rubl, esli qislo oqkov kratno 3; pri proigryxe kady$
i
student otdaet professoru 2 rubl. Professor zaveril studentov, qto kost~ sdelana iz odnorodnogo materiala i po forme
vlets ideal~nym kubom. Hot studenty iz teorii verotnoste$
i znali tol~ko vvedenie, oni posle nekotoryh razmyxleni$
i
otkazalis~ ot igry. Poqemu?
Vosstanovim hod ih rassudeni$
i. Ne zna teorii verotnoste$
i, studenty snaqala popytalis~ vysnit~ dl seb vse
vozmonye rezul~taty brosani kosti odin raz. Vot ti rezul~taty: 1, 2, 3, 4, 5, 6, gde qisla oznaqat qislo oqkov na
verhne$
i grani kosti. Usvoiv vvedenie k kursu i poveriv
zaverenim professora otnositel~no kosti, studenty rexili,
qto verotnosti dl vseh rezul~tatov dolny byt~ ravny
1 = 1 . Zadumavxis~ nad svoimi vyigryxami, studenty
pi = n
6
s nekotorym udivleniem dl seb, otkryli, qto im sleduet
rassmatrivat~ mnoestva rezul~tatov, pri kotoryh oni vyigryvat: {2, 4, 6} dl pervogo studenta i {3, 6} dl vtorogo.
Posle togo otkryti bylo netrudno rassqitat~ verotnosti
vyigryxa: P1 = nn1 = 36 = 12 , P2 = nn2 = 26 = 13 , gde n1 , n2 —
qislo ”blagopritstvuwih” rezul~tatov dl pervogo i vtorogo studentov. Men~xa verotnost~ vyigryxa ogorqila vtorogo
studenta, no tovariw ego uspokoil skazav, qto sredni$
i vyig1
1
ryx na odnu igru u nih odinakovy$
i 2 · 2 rub. = 3 · 3rub. = 1 rub.
Na to zameqanie vtoro$
i student otvetil, qto oni ne tol~ko
vyigryvat, no i proigryvat. Posovewavxis~, studenty postroili tablicy vyigryxe$
i i proigryxe$
i v igre:
ωi
1
ξ1 (ωi ) −2
2
3
2 −2
4
5
6
2 −2
2
ωi
1
2
3
4
5
6
ξ2 (ωi ) −2 −2 3 −2 −2 3
,
.
Iz statistiqeskih soobraeni$
i sno, qto sredni$
i vyigryx na
odnu igru raven 1/6 summy vseh qisel v nine$
i qasti tablic. Studenty otkazalis~ ot igry potomu, qto ih srednie
vyigryxi ravny: 0 rub. dl pervogo i (−1/3) rub. dl vtorogo.
75
Iz tih rassudeni$
i mono sdelat~ obwie vyvody dl lbo$
i verotnostno$
i zadaqi:
— vo vsko$
i verotnostno$
i zadaqe v principe mono opredelit~ mnoestvo vseh rezul~tatov sluqa$
inogo ksperimenta,
— dl kadogo sobyti mono na$
iti mnoestvo rezul~tatov,
blagopritstvuwih tomu sobyti,
— verotnost~ sobyti$
i vlets funkcie$
i mnoestva blagopritstvuwih rezul~tatov,
— sluqa$
inye veliqiny vlts funkcimi rezul~tatov sluqa$
inogo ksperimenta,
— srednee znaqenie sluqa$
inyh veliqin vlets funkcionalom,
opredelennym na mnoestve sluqa$
inyh veliqin.
2. Sobyti. Operacii nad sobytimi
2.1. Osnovnye opredeleni
Matematiqeskoe opisanie lementarnogo rezul~tata sluqa$
inogo ksperimenta budem nazyvat~ ishodom togo ksperimenta.
Opredelenie 2.1. ( Prostranstvo lementarnyh sobyti$i ) . Prostranstvom lementarnyh sobyti$i sluqa$inogo ksperimenta nazyvaets mnoestvo Ω vseh ishodov togo ksperimenta.
Primery. 1. Brosanie monety 1 raz. Prostranstvom
lementarnyh sobyti$
i
togo
ksperimenta vlets mnoestvo
i v tom, qto moneta
Ω = { ω1 , ω2 } , gde ω1 = G — ishod, sostowi$
upala gerbom vverh, ω2 =C — moneta upala cifro$
i vverh.
2. Brosanie monety 2 raza. Prostranstvom
lementarnyh sobyti$
i
togo
ksperimenta vlets mnoestvo Ω =
{ ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } , gde ω1 = GG, ω2 = GC, ω3 = CG, ω4 = CC.
3. Brosanie monety do pervogo vypadeni gerba. Prostranstvom lementarnyh sobyti$
i togo ksperimenta vlets mno. . C} G.
estvo Ω = { ω1 , . . . , ωn , . . . } , gde ωn = |C .{z
n−1
4. Strel~ba po plosko$i mixeni. Prenebrega razmerami puli, prostranstvom lementarnyh sobyti$
i v tom ksperimente
mono sqitat~ mnoestvo koordinat proboin, t. e. mnoestvo
toqek mixeni.
5. Brounovskoe dvienie. S pomow~ mikroskopa nabldaets brounovskoe dvienie qasticy tuxi v promeutke vremeni
[0, T ] . Prostranstvom lementarnyh sobyti$
i togo ksperimenta vlets mnoestvo par nepreryvnyh funkci$
i (x(t), y(t)) —
koordinat qasticy v moment vremeni t ∈ [0, T ] .
76
Kadomu sobyti mono sopostavit~ podmnoestvo prostranstva lementarnyh sobyti$
i, sostowee iz ishodov, blagopritstvuwih tomu sobyti, t. e. ishodov, pri kotoryh rassmatrivaemoe sobytie proishodit. V teorii verotnoste$
i sobyti, kotorym sootvetstvuet odno i to e mnoestvo blagopritstvuwih ishodov, sqitats ravnymi i po tomu sobyti
mono otodestvit~ s timi mnoestvami.
Opredelenie 2.2. ( Sobyti ) . Sobytiem nazyvaets podmnoestvo prostranstva lementarnyh sobyti$i Ω.
Opredelenie 2.3. (Otnoxeni medu sobytimi, operacii nad
sobytimi ). Otnoxeni medu sobytimi = , ⊆ i operacii
, M opredelts kak otnoxeni i operacii nad so∪, ∩, \,
otvetstvuwimi mnoestvami. Obedineni, pereseqeni i predely posledovatel~noste$i sobyti$i opredelts kak operacii
nad sootvetstvuwimi posledovatel~nostmi mnoestv.
Kak pravilo, prihodits imet~ delo ne s odnim sobytiem,
a s mnoestvom sobyti$
i A. Budem sqitat~, qto mnoestvo A
vseh rassmatrivaemyh nami sobyti$
i vlets σ -algebro$
i podmnoestv mnoestva Ω , a para mnoestv (Ω, A) — izmerimym
prostranstvom.
Terminologi teorii verotnoste$
i otliqaets ot terminologii teorii mnoestv. V teorii verotnoste$
i sootnoxenie ω ∈ A
qitaets tak: ”pri ishode ω proishodit sobytie A ”. Sobytie
Ω , kotoromu blagopritstvut vse ishody, nazyvaets dostovernym, a sobytie ∅, kotoromu ne blagopritstvuet ni odin
ishod, nazyvaets nevozmonym. Sobyti A, B , dl kotoryh
vypolnets uslovie A∩B = ∅ , nazyvats nesovmestnymi. Otnoxeni i operacii nad sobytimi imet sleduwie nazvani:
A⊆B (∀ω)(ω ∈ A → ω ∈ B) — A vleqet B ,
A = B (∀ω)(ω ∈ A ∼ ω ∈ B) — A ravno B ,
A ∪ B {ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B} — A ili B ( neisklqawee ili ) ,
A ∩ B {ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B} — A i B ,
A\B {ω : ω ∈ A ∧ ω ∈
/ B} — A i ne B ,
AMB (A\B) ∩ (B\A)
— ili A , ili B ,
— ne A ,
A Ω\A
∞
[
An {ω : (∃n)(ω ∈ An )} — hot by odno iz An ,
n=1
∞
\
n=1
An {ω : (∀n)(ω ∈ An )}
— vse An .
77
3. Verotnost~
3.1. Opredeleni i svo$
istva verotnosti
V razd. 1 verotnost~ sobyti opredellas~ statistiqeski
kak veliqina, k kotoro$
i pribliaets qastota sobyti pri
uveliqenii qisla povtoreni$
i sluqa$
inogo ksperimenta, v kotorom nabldaets to sobytie. tot fakt nel~z print~ v
kaqestve opredeleni verotnosti, poskol~ku ne sno, v kakom smysle qastota pribliaets k verotnosti (netrudno videt~, qto obyqnoe pontie predela zdes~ ne godits). Po tomu verotnost~ opredelets aksiomatiqeski kak funkci sobyti$
i, obladawa sleduwimi oqevidnymi svo$
istvami qastoty: 1) ν(∅) = 0, 2) ν(Ω) = 1, 3) esli A ∩ B = ∅, to
ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) i ewe odnim dopolnitel~nym svo$
istvom.
Opredelenie 3.1. (Aksiomy verotnosti ). Verotnost~ nazyvaets normirovanna mera na izmerimom prostranstve (Ω, A) ,
t. e. funkci P : A → [0; 1] , udovletvorwa sleduwim uslovim (aksiomam verotnosti ).
P1
P (∅) = 0.
P2
P (Ω) = 1.
P3
Esli A ∩ B = ∅ , to P (A ∪ B) = P (A) + P (B),
P4
Dl vsko$i monotonno$i posledovatel~nosti sobyti$i
{An }∞
n=1 vypolnets uslovie P (limn→∞ An ) = limn→∞ P (An ) .
Tro$ika (Ω, A, P ) nazyvaets verotnostnym prostranstvom.
Poskol~ku aksiomy ne opredelt verotnost~ odnoznaqno,
imeets vozmonost~ vybrat~ ee tak, qtoby verotnostnoe prosinotranstvo (Ω, A, P ) sootvetstvovalo rassmatrivaemomu sluqa$
mu ksperimentu i po tomu v konkretnyh verotnostnyh zadaqah (Ω, A, P ) igraet rol~ matematiqesko$
i modeli sluqa$
inogo
ksperimenta. Verotnostnoe prostranstvo predpolagaets zadannym i pri rassmotrenii teoretiqeskih voprosov.
Qastnye sluqai, kogda (Ω, A) = (Rn , Bn ) , zasluivat otdel~nogo opredeleni, tak kak v tih sluqah verotnost~ moet byt~ zadana funkcimi de$
istvitel~nyh peremennyh.
Opredelenie 3.2. (n -mernoe verotnostnoe raspredelenie ) . Verotnost~ P , opredelenna na (Rn , Bn ) , nazyvaets n -mernym
verotnostnym raspredeleniem. Funkcie$i raspredeleni P nazyvaets funkci FP (x1 , . . . , xn ) P ((−∞; x1 )× · · · ×(−∞; xn )) .
Zameqanie. Mono dokazat~, qto n-mernoe raspredelenie P
odnoznaqno opredelets funkcie$
i raspredeleni FP (x1 , . . . , xn ) .
78
Opredelenie 3.3. ( Diskretnye i nepreryvnye raspredeleni ).
1. Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets diskretnym, esli suwestvuet koneqnoe ili sqetnoe mnoestvo toqek x i ∈ Rn
i sootvetstvuwih im verotnoste$
Pi p( x i ) P ({ x i }) , udovletvorwih
uslovi normirovki
takih, qto
i p( x i ) = 1 ,
P
P (B) =
x i ∈B p(x i ) . Mnoestvo par ( x i , p( x i )) nazyvaets zakonom raspredeleni P .
2 . Verotnostnoe raspredelenie P nazyvaets nepreryvnym, esli suwestvuet borelevska RfunkciR fP (x1 , . . . , xn )>0 , udovletvo∞
∞
rwa uslovi normirovki
−∞
R
R . . . −∞ fP (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = 1 ,
P (B) =
taka,
qto
. . . B fP (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
Funkci
fP (x1 , . . . , xn ) nazyvaets plotnost~ raspredeleni P .
Primery 1. Klassiqeskoe opredelenie verotnosti: Ω — koneqnoe mnoestvo, A = P(Ω) , verotnost~ P opredelets usloX
1
n(A)
vimi P ({ ω }) =
i P (A) =
P ({ω}) =
.
n(Ω)
n(Ω)
ω∈A
2. Diskretnoe verotnostnoe prostranstvo: Ω — koneqnoe ili
ussqetnoe mnoestvo, A = P(Ω),Xverotnost~ P opredelets
X
lovimi P ({ωi }) = pi >0 , gde
P ({ω}) .
pi = 1 , i P (A) =
i
ω∈A
3. Odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe prostranstvo: (Ω, A) =
= (R, B), P — odnomernoe nepreryvnoe verotnostnoe raspredelenie, opredelemoe plotnost~ fP (x).
4. Odnomernoe geometriqeskoe opredelenie verotnosti: primer
IΩ (x)
l(A)
3 pri fP (x) = 1
, gde Ω1 ∈ B. Dl A ∈ B∩ Ω1 P (A)
.
l(Ω1 )
l(Ω1 )
Teorema 3.1. ( Svo$istva verotnosti ) .
1. P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B), B⊆A vleqet P (A\B) = P (A) − P (B) .
2. P (A) = 1 − P (A) .
3. B⊆A vleqet P (B)6P (A).
4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ( teorema sloeni ) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. Netrudno ubedit~s v tom, qto A =
= (A\B) ∪ (A ∩ B) i (A\B) ∩ (A ∩ B) = ∅ . Po aksiome P3 poluqim
P (A) = P (A\B) + P (A ∩ B) i po tomu P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B) .
Esli B⊆A, to A ∩ B = B i P (A\B) = P (A) − P (B) .
istva 1 sleduet P (A) = P (Ω\A) = 1 − P (A) .
2. Iz A = Ω\A i svo$
3. Sootnoxenie 3 vytekaet iz aksiom P1 , P2 i svo$
istva 1.
4. Poskol~ku A ∪ B = (A\B) ∪ B i sobyti A\B i B nesovmestny, to s uqetom 1 po aksiome P3 poluqim P (A ∪ B) =
= P (A\B) + P (B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) . J
79
Sledstvie. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) −
−P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) .
3.2. Uslovna verotnost~. Nezavisimost~ sobyti$
i
Opredelenie 3.4. (Uslovna verotnost~ ). Pust~ P (B) > 0. Uslovno$i verotnost~ sobyti$i pri uslovii, qto proizoxlo sobytie B , nazyvaets funkci PB : A → R , opredelema formulo$i
P (A ∩ B)
PB (A)
.
P (B)
Netrudno ubedit~s v tom, qto dl uslovno$
i verotnosti
vypolnts aksiomy P1 — P4 .
Teorema 3.2. ( Teorema umnoeni ) . Esli P (A) 6= 0 i P (B) =
6 0,
to P (A ∩ B) = P (A)PA (B) = P (B)PB (A) . Esli P (A) = 0 ili
P (B) = 0 , to P (A ∩ B) = 0 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pervye sootnoxeni vytekat iz opredeleni uslovno$
i verotnosti, a poslednee iz aksiomy P1 i
svo$
istva 3 verotnosti. J
Sledstvie. ( Formula Ba$iesa ). PA (B) =
P (B)PB (A)
.
P (A)
Opredelenie 3.5. ( Polna gruppa sobyti$i ) . Mnoestvo sobyti$i
{H1 , . . . , Hn } nazyvaets polno$i gruppo$i sobyti$
Sni, esli vypoln6 k , 2)
ts uslovi : 1) Hi ∩ Hk = ∅ pri i =
k=1 Hk = Ω .
Teorema 3.3. ( Formula polno$i verotnosti ). Esli {H1 , . . . , Hn }
— polna gruppa sobyti$i i P (Hk ) =
6 0 , to dl vskogo A ∈ A
n
X
P (A) =
P (Hk )PHk (A) .
k=1
Sn
Sn
D o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku A = A ∩ k=1 Hk = k=1 (A ∩ Hk ) i
(A ∩ Hi ) ∩S(A ∩ Hk ) = ∅ P
pri i =
6 k , to P
soglasno teoreme 3.4
n
n
n
P (A) = P ( k=1 (A ∩ Hk )) = k=1 P (A ∩ Hk ) = k=1 P (Hk )PHk (A) . J
Opredelenie 3.6 (Nezavisimost~). Sobyti seme$istva {At }t∈T
nazyvats ( statistiqeski ) nezavisimymi,
dl lbogo
esli
T
Q
n
n
v
koneqnogo mnoestva indeksov P
=
k=1 P (Atk ),
k=1 Atk
qastnosti, A i B nezavisimy, esli P (A ∩ B) = P (A)P (B) .
Seme$istvo {M t }t∈T mnoestv sobyti$i nazyvaets seme$istvom
nezavisimyh mnoestv sobyti$i, esli sobyti, vybrannye po
odnomu iz kadogo mnoestva M t , nezavisimy. V qastnosti, mnoestva sobyti$i C, D nezavisimy, esli P (C ∩ D) =
= P (C)P (D) dl lbyh C ∈ C, D ∈ D.
80
Zameqani. 1. Pri P (A) 6= 0 , P (B) 6= 0 sobyti A i B
nezavisimy togda i tol~ko togda, kogda PB (A) = P (A) i
PA (B) = P (B) , t. e. kogda verotnost~ nastupleni odnogo iz
nih ne zavisit ot togo, proizoxlo ili ne proizoxlo drugoe.
2. Nezavisimost~ vlets matematiqeskim pontiem, otnoswims k matematiqesko$
i modeli (verotnostnomu prostranstvu)
rassmatrivaemogo sluqa$
inogo ksperimenta. Kak pravilo, tu
model~ vybirat tak, qtoby fiziqeski nezavisimye sobyti
byli v to$
i modeli nezavisimymi i v verotnostnom smysle.
Teorema 3.4. ( O rasxirenii nezavisimyh mnoestv sobyti$i ) .
Esli zamknutye otnositel~no koneqnyh pereseqeni$i mnoestva
sobyti$i C, D nezavisimy, to porodennye timi mnoestvami σ -algebry S(D), S(C) nezavisimy.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ C, C 0 ∈ C, D ∈ D. Po uslovi
C ∩ C 0 i D nezavisimy. Iz ravenstv P (C ∩ D) = P (D\C) =
= P (D) − P (D ∩ C) = P (D) − P (D)P (C) = P (C)P (D) sleduet nezavisimost~ C i D . Iz ravenstv P ((C∪C 0 )∩D) = P ((C∩D)∪(C 0 ∩D)) =
= P (C∩D)+P (C 0 ∩D)−P ((C∩C 0 )∩D) = P (C∪C 0 )P (D) sleduet nezavii B(C) i D
simost~ C∪C 0 i D . Takim obrazom, algebra sobyti$
∞
nezavisimy. Pust~ {Cn }n=1 — monotonna posledovatel~nost~
sobyti$
i iz B(C) . Iz ravenstv P (D ∩ lim Cn ) = P ( lim (D ∩ Cn )) =
n→∞
n→∞
= lim P (D ∩ Cn ) = P (D) lim P (Cn ) = P (D)P ( lim Cn ) sleduet nezan→∞
visimost~
n→∞
n→∞
lim Cn i D . Znaqit, S(C) i D nezavisimy. Analo-
n→∞
giqno dokazyvaets nezavisimost~ S(D) i S(C). J
Odno$
i iz zadaq teorii verotnoste$
i vlets vyqislenie
verotnosti sobyti$
i, vlwihs funkcimi nezavisimyh sobyti$
i A1 , . . . , An . Esli verotnosti
tihQ sobyti$
i udovletvort
Tn
n
ai
ai
uslovim 0 < P (Ai ) < 1T, to P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ) 6= 0 dl lbyh
n
ai
a ∈ Bn i po tomu
i=1 Ai 6= ∅. Otsda sleduet, qto mnoestvo A rassmatrivaemyh funkci$
i vlets svobodno$
i bulevo$
i
(Bn )
algebro$
i, izomorfno$
i bulevo$
i algebre B
.
Teorema 3.5 (Verotnost~ funkcii nezavisimyh sobyti$
i). Verotnost~ funkcii
sobyti$
i, predstavlenno$i v vide SDNF
Tn
S
ai
f (A1 , . . . , An ) = a∈{f=1} i=1 Ai , gde Ai — nezavisimye sobyti
s verotnostmi 0 < P (Ai ) < 1 , Pmono vyqislit~
po formule
Qn
ai
P (f (A1 , . . . , An )) = a∈{f=1}
i=1 P (Ai ) .
Tn
D o k a z a t e l ~ s tP
v o . Poskol~ku
sobyti
Aai i nesovmestny
i=1
Tn
P
Q
n
ai
P
(A
)
. J
P (f (A1 , . . . , An )) = a∈{f=1} P ( i=1 Aai i ) = a∈{f=1}
i
i=1
81
Odna iz modele$
i, v kotoro$
i suwestvennym obrazom ispol~zuets pontie nezavisimosti, svzana s situacie$
i, kogda
provodits seri n sluqa$
inyh ksperimentov fiziqeski nezavisimo drug ot druga. Taka seri ksperimentov nazyvaets
posledovatel~nost~ n nezavisimyh ispytani$i, a kady$
i otdel~ny$
i sluqa$
iny$
i ksperiment — ispytaniem.
Postroim matematiqesku model~ posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$
i pri zadannyh verotnostnyh prostranstvah ispytani$
i (Ωi , Ai , Pi ) i = 1, . . . , n. Ishodom posledovatel~nosti n ispytani$
i vlets ω = (ω1 , . . . , ωn ) , gde ωi —
ishod i-go ispytani. Mnoestvom vseh takih ishodov vlets dekartovo proizvedenie Ω = Ω1 × · · · ×Ωn . Oboznaqim simvolom A1 ×A2 × · · · ×An sobytie, sostowee v tom, qto v pervom
ispytanii proizo$
idet sobytie A1 , vo vtorom A2 i t. d., v
n -m An . Uslovie nezavisimosti ispytani$
Qn i privodit k opredeleni verotnosti P (A1 × · · · ×An ) i=1 Pi (Ai ) , kotoroe mono
odnoznaqno prodolit~ na σ -algebru A , porodennu sobytimi vida A1 × · · · ×An . V rezul~tate poluqim matematiqesku
model~ posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$
i — verotnostnoe prostranstvo (Ω , A , P ) , nazyvaemoe proizvedeniem
verotnostnyh prostranstv (Ωi , Ai , Pi ) .
Shemo$
i Bernulli nazyvaets qastny$
i sluqa$
i posledovatel~nosti nezavisimyh ispytani$
i pri Ωi = Ω = {0, 1}, Ai =
= P(Ω) = {∅, {0}, {1}, Ω}. Ishody 1 i 0 v kadom ispytanii
nazyvats, sootvetstvenno, ”uspehom” i ”neudaqe$
i”, a verotnosti p = P ({1}) i q = P ({0}) = 1 − p — verotnostmi uspeha
i neudaqi v odnom ispytanii.
P
P
P
P P P
Teorema 3.6. ( Formula Bernulli ) . Verotnost~ togo, qto v
sheme Bernulli posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$i
budet m uspehov, ravna B(n, m, p) = Cnm pm q n−m .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ Am — interesuwee nas sobytie.
Kady$
i ishod ω , blagopritstvuwi$
i Am , imeet verotnost~
m n−m
p q
. Qislo tih ishodov ravno qislu sposobov vybrat~ m
mest iz n dl edinic v posledovatel~nosti ω (vyborka mest
neupordoqenna i ne dolna imet~ povtoreni$
i). Qislo takih
m
vyborok ravno Cn , a iskoma verotnost~ — Cnm pm q n−m . J
m udovletvoSledstvie. Verotnost~ togo, qto qislo uspehov
Pm2
m m n−m
.
ret neravenstvam 06m1 6m6m2 6n, ravna
m=m1 Cn p q
D o k a z a t e l ~ s t v o . Formula vytekaet iz poparno$
i nesovmestnosti sobyti$
i Am . J
82
4. Sluqa$
inye veliqiny i vektory
4.1. Odnomernye raspredeleni i ih harakteristiki
Teorema 4.1. ( Svo$istva odnomernyh raspredeleni$i ) . Pust~ P —
odnomernoe raspredelenie. Togda
5) esli x1 6x2 , to FP (x1 )6FP (x2 ),
1) P ((−∞; x]) = FP (x + 0),
2) P ([x; ∞)) = 1 − FP (x),
6) FP (x) nepreryvna sleva,
3) P ([x1 ; x2 )) = FP (x2 ) − FP (x1 ), 7) FP (−∞) = 0,
4) P ({x}) = FP (x + 0) − FP (x), 8) FP (∞) = 1.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Oqevidno, qto:
lim (−∞; x + 1/n) = (−∞; x],
n→∞
lim (−∞; x − 1/n) = (−∞; x), lim (−∞; −n) = ∅, lim (−∞; n) = R .
n→∞
n→∞
Iz tih ravenstv po aksiome P4 sledut ravenstva 1, 6 – 8.
Ravenstva 2 – 4 sledut iz svo$
istv verotnosti i ravenstv
[x; ∞) = (−∞; x), [x1 ; x2 ) = (−∞; x2 )\(−∞; x1 ), {x} = (−∞; x]\(−∞; x) .
Sootnoxenie 5 sleduet iz ravenstva 3. J
Funkci odnomernogo raspredeleni v diskretnom i nepreryvnom sluqae mono
predstavit~ formulami:
X
esli P diskretno,
p(xi ) ,
x x), (ξ < x), (a6ξ < b), (ξ = a) ; v tih oboznaqenih konnkci qasto oboznaqaets zapto$
i, naprimer, sobytie
ino$
i veliqiny
(ξ < x, η < y) sostoit v tom, qto znaqenie sluqa$
ξ men~xe x i znaqenie sluqa$
ino$
i veliqiny η men~xe y .
Iz opredeleni 4.3 sleduet, qto dl kado$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ mono vvesti funkci, sopostavlwu kadomu
borelevskomu mnoestvu B ∈ B verotnost~ P (ξ ∈ B) .
Teorema 4.2. ( Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny ) . Funkci
Pξ (B) P (ξ ∈ B) vlets odnomernym verotnostnym raspredeleniem ( nazyvaemym raspredeleniem sluqa$ino$i veliqiny ξ) .
S∞
S∞
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz ravenstv ξ −1 ( n=1 Bn ) = n=1 f −1 (Bn ),
T∞
T∞
ξ −1 ( n=1 Bn ) = n=1 ξ −1 (Bn ), ξ −1 (Y \Z) = ξ −1 (Y )\ξ −1 (Z) sleduet,
i monotonno$
i posledovaqto ξ −1 (∅) = ∅, ξ −1 (R) = Ω i dl lbo$
−1
∞
∞
tel~nosti {Bn }n=1 posledovatel~nost~ {ξ (Bn )}n=1 monotonna,
priqem ξ −1 ( lim Bn ) = lim ξ −1 (Bn ) . Iz aksiom dl P sleduet:
n→∞
n→∞
1) Pξ (∅) = P (∅) = 0, 2) Pξ (R) = P (Ω) = 1, 3) esli B ∩ C = ∅,
86
to ξ −1 (B) ∩ ξ −1 (C) = ξ −1 (∅) = ∅ i po aksiome P3 poluqim Pξ (B ∪ C) = P (ξ −1 (B ∪ C)) = P (ξ −1 (B) ∪ ξ −1 (C)) = Pξ (B) +
+Pξ (C), 4) Pξ ( lim Bn ) = P (ξ −1 ( lim Bn )) = P ( lim ξ −1 (Bn )) =
n→∞
n→∞
n→∞
= lim P (ξ −1 (Bn )) = lim Pξ (Bn ). J
n→∞
n→∞
Vs verotnostna informaci o sluqa$
ino$
i veliqine zaklqena v ee raspredelenii.
1. Funkci raspredeleni Pξ , oboznaqaema simvolom Fξ (x)
nazyvaets funkcie$
i raspredeleni sluqa$
ino$
i veliqiny ξ . Momenty αk (Pξ ), µk (Pξ ) oboznaqats, sootvetstvenno, simvolami
αk (ξ), µk (ξ) i nazyvats momentami sluqa$
ino$
i veliqiny ξ ;
moment α1 (ξ), nazyvaemy$
i srednim znaqeniem sluqa$
ino$
i veliqiny ξ , oboznaqaets take simvolami M ξ i mξ ; moment
µ2 (ξ) , nazyvaemy$
i dispersie$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ , obozna2
qaets take simvolami Dξ i σξ . Veliqina σξ >0 nazyvaets
srednekvadratiqnym otkloneniem sluqa$
ino$
i veliqiny ξ (otnositel~no srednego znaqeni).
2. Sluqa$
ina veliqina ξ nazyvaets diskretno$
i, esli
raspredelenie Pξ diskretno i togda zakon raspredeleni
(xi , pξ (xi )), gde pξ (xi ) Pξ ({xi }) = P (ξ = xi ) , nazyvaets zakonom raspredeleni
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ . Iz usloP diskretno$
vi normirovki
ina
i pξ (xi ) = 1 sleduet, qto diskretna sluqa$
veliqina ξ s verotnost~ 1 prinimaet tol~ko znaqeni xi .
3. Sluqa$
ina veliqina ξ nazyvaets nepreryvno$
i, esli
ee raspredelenie nepreryvno i togda plotnost~ raspredeleni
dFξ (x)
fξ (x)
nazyvaets plotnost~ raspredeleni nepreryvdx
no$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ . Funkci raspredeleni Fξ (x) nepreryvno$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ nepreryvna i po tomu dl vskogo x P (ξ = x) = Fξ (x + 0) − Fξ (x) = 0 , no dl lbogo intervala
[a, b) , na kotorom Fξ (x) vozrastaet P (a6ξ < b) = Fξ (b) − Fξ (a) > 0.
Funkci fξ (x) mono predstavit~ v vide
P (x6ξ < x + ∆x)
,
fξ (x) = Fξ0 (x) = lim
∆x→0
∆x
∆x>0
opravdyvawem nazvanie plotnost~ verotnosti dl fξ (x) .
4. Verotnostnoe prostranstvo (R, B, Pξ ) svzano so znaqenii statistimi sluqa$
ino$
i veliqiny ξ , kotorye v matematiqesko$
ke nazyvat vyboroqnymi znaqenimi. Po tomu ono nazyvaets
vyboroqnym verotnostnym prostranstvom sluqa$
ino$
i veliqiny
ξ.
Sleduwee utverdenie podvodit nas k idee vyboroqnogo
metoda matematiqesko$
i statistiki.
87
Teorema 4.3. ( O vyboroqnom metode ) . Raspredelenie sluqa$ino$i
veliqiny η(x) = x , opredelenno$i na (R, B, Pξ ) , sovpadaet s Pξ .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Iz η −1 (B) = B sleduet Pη (B) = Pξ (B) . J
Teorema 4.3 pozvolet sdelat~ vyvod o tom, qto verotnostna informaci o sluqa$
ino$
i veliqine zaklqena tol~ko v
vyboroqnyh znaqenih to$
i sluqa$
ino$
i veliqiny.
Teorema 4.4. ( Funkcii sluqa$inyh veliqin ) . Borelevskie funkcii
sluqa$inyh veliqin vlts sluqa$inymi veliqinami.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz opredeleni borelevskih funkci$
i i teoremy II.5.1. J
Mono sqitat~, qto vse nepreryvnye i razryvnye funkcii,
vstreqawies v priloenih teorii verotnoste$
i, vlts
borelevskimi funkcimi.
Teorema 4.5. ( Monotonna funkci sluqa$ino$i veliqiny ) . Pust~
ξ — sluqa$ina veliqina, g : R → R — strogo monotonna nepreryvna funkci i h — funkci, obratna k g . Togda
esli g vozrastaet,
Fξ (h(x)) ,
.
Fg(ξ) (x) =
1 − Fξ (h(x) + 0) , esli g ubyvaet.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli g nepreryvna i strogo monotonno
vozrastaet (ubyvaet), to h take nepreryvna i strogo monotonno vozrastaet (ubyvaet) i po tomu pri vozrastawe$
i g
Fg(ξ) (x) = P (g(ξ) < x) = P (h(g(ξ)) < h(x)) = P (ξ < h(x)) = Fξ (h(x)) ,
a pri ubyvawe$
i g Fg(ξ) (x) = P (g(ξ) < x) = P (h(g(ξ)) > h(x)) =
= P (ξ > h(x)) = 1 − Fξ (h(x) + 0) . J
Sledstvie. Esli g — differenciruema strogo monotonna funkci i ξ — nepreryvna sluqa$ina veliqina, to sluqa$ina veliqina g(ξ) nepreryvna i fg(ξ) (x) = fξ (h(x))|h0 (x)| .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Funkci h tak e kak i g differenciruema i strogo monotonna. Funkci raspredeleni Fξ (x) nepreryvno$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ differenciruema. Po tomu
Fg(ξ) (x) differenciruema i fg(ξ) (x) = fξ (h(x))|h0 (x)|. J
Esli v uslovih sledstvi funkci g nemonotonna, to obratna funkci ne suwestvuet, no suwestvuet obratnoe otnoxenie h, grafik kotorogo vlets obedineniem grafikov
funkci$
i hi , obratnyh vetvm monotonnosti funkcii g . V tom
sluqae formula dl plotnosti
X verotnosti g(ξ) imeet vid
fg(ξ) (x) =
fξ (hi (x))|h0i (x)|.
i
88
4.3. Mnogomernye raspredeleni i ih harakteristiki
V tom razdele budut rasmatrivat~s v osnovnom dvumernye
raspredeleni.
Teorema 4.6. ( Svo$istva dvumernyh raspredeleni$i ) . Pust~ P —
dvumernoe raspredelenie. Togda
1. P ([x1 ; x2 )×(−∞; y)) = FP (x2 , y) − FP (x1 , y) .
2. P ((−∞; x)×[y1 ; y2 )) = FP (x, y2 ) − FP (x, y1 ) .
3. P ([x1 ; x2 )×[y1 ; y2 )) = FP (x2 , y2 ) − FP (x1 , y2 ) − FP (x2 , y1 ) + FP (x1 , y1 ).
4. FP (x, y) — neubyvawa funkci argumentov x, y .
5. FP (−∞, y) = FP (x, −∞) = FP (−∞, −∞) = 0 .
6. FP (∞, ∞) = 1 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Ravenstva 1 — 3
sledut iz ravenstv
[x1 ; x2 )×(−∞; y) = (−∞; x2 )×(−∞; y) \ (−∞; x1 )×(−∞; y) ,
(−∞; x)×[y1 ; y2 ) = (−∞; x)×(−∞; y2) \ (−∞; x)×(−∞; y1) ,
[x1 ; x2 )×[y1 ; y2 ) = [x1 ; x2 )×(−∞; y2 ) \ [x1 ; x2 )×(−∞; y1 )
i svo$
istva 1 verotnosti. Svo$
istvo 4 sleduet iz svo$
istv 1, 2.
Svo$
istva 5, 6 sledut iz aksiomy 4 i ravenstv lim (−∞; −n)×
n→∞
×(−∞; y) = lim (−∞; x)×(−∞; −n) = lim (−∞; −n)×(−∞; −n) = ∅ ,
n→∞
n→∞
limn→∞ (−∞; n)×(−∞; n) = R2 . J
Funkci dvumernogo raspredeleni v diskretnom i nepreryvnom sluqae
predstavit~ formulami
mono X
p(r i ) ,
esli P diskretno,
x 0
∆x→0
∆x>0
Teorema 4.8. ( Uslovnye raspredeleni dvumernogo raspredeleni ) .
1 . Funkcii Px (A|y) i Py (B|x) vlts odnomernymi raspredelenimi, nazyvaemymi uslovnymi raspredelenimi.
2 . Esli P diskretno, to uslovnye raspredeleni diskretny i
ih zakony raspredeleni (xj , px (xj |yk )), (yk , py (yk |xj )) svzany s
dvumernym i qastnymi zakonami raspredeleni sootnoxenimi
p(xj , yk )
p(xj , yk )
px (xj |yk ) =
, py (yk |xj ) =
.
py (yk )
px (xj )
3 . Esli P nepreryvno, to uslovnye raspredeleni nepreryvny i
ih plotnosti verotnosti fP x (x|y), fP y (y|x) svzany s dvumerno$i i qastnymi plotnostmi verotnosti sootnoxenimi
fP (x, y)
fP (x, y)
, fP y (y|x) =
.
fP x (x|y) =
fP y (y)
fP x (x)
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
91
Sledstvie. p(xj , yk ) = px (xj )py (yk |xj ) = py (yk )px (xj |yk ) ,
fP (x, y) = fP x (x)fP y (y|x) = fP y (y)fP x (x|y) .
Opredelenie 4.5. ( Proizvedenie raspredeleni$i ) . Dvumernoe raspredelenie P nazyvaets proizvedeniem qastnyh raspredeleni$i
( simvoliqeski P = Px ×Py ) , esli P (A×B) = Px (A)Py (B) dl vseh
A ∈ B, B ∈ B.
Teorema 4.9. ( O proizvedenii raspredeleni$i ) . P = Px ×Py togda
i tol~ko togda, kogda FP (x, y) = FP x (x)FP y (y).
Sledstvie 1. Diskretnoe raspredelenie P = Px ×Py
tol~ko togda, kogda p(xj , yk ) = px (xj )py (yk ) .
togda
Sledstvie 2. Nepreryvnoe raspredelenie P = Px ×Py
tol~ko togda, kogda fP (x, y) = fP x (x)fP y (y) .
togda i
i
Sledstvie 3. Esli P = Px ×Py , to αrs (P ) = αr (Px )αs (Py ) ,
µrs (P ) = µr (Px )µs (Py ), Px (A|y) = Px (A), Py (B|x) = Py (B) .
Opredelenie 4.6. ( Dvumernoe normal~noe raspredelenie ) . Dvumernym normal~nym
nazyvaets raspredelenie P s plotnost~
"
#
2
2
(x − mx ) − 2σx σy ρ(x − mx )(y − my ) + (y − my )
fP (x, y) = k · exp −
,
2σx2 σy2 (1 − ρ2 )
p
−1
gde k = 2πσx σy 1 − ρ2
, σx > 0, σy > 0, |ρ| < 1 .
Teorema 4.10. ( Svo$istva dvumernogo normal~nogo raspredeleni ) .
Qastnye i uslovnye plotnosti dvumernogo normal~nogo raspredeleni P normal~ny : fP x (x) = n(x|mx , Dx ), fP y (y) = n(x|my , Dy ),
fP x (x|y) = n(x|mx|y , Dx|y ), fP y (y|x) = n(y|my|x , Dy|x ) , gde uslovnye
srednie mx|y , my|x i uslovnye dispersii Dx|y , Dy|x ravny :
2
x
mx|y = mx + ρ σ
σy (y − my ), Dx|y = Dx (1 − ρ )
σ
my|x = my + ρ σxy (x − mx ), Dy|x = Dy (1 − ρ2 ).
Kovariaci i ko fficient korrelcii ravny µ11 = ρσx σy , r = ρ.
P = Px ×Py togda i tol~ko togda, kogda ρ = 0 .
Osnovatel~noe izuqenie mnogomernyh raspredeleni$
i umestno
pri vtorom cikle izuqeni teorii verotnoste$
i. Zdes~ e my
rassmotrim tol~ko mnogomernoe normal~noe raspredelenie.
Opredelenie 4.7.
(Mnogomernoe normal~noe raspredelenie ) .
p -mernoe normal~noe raspredelenie est~h raspredelenie s ploti
p
−1
1
T
−p/2
|A | exp − 2 ( x − m ) A( x − m) ,
nost~ np ( x | m , A ) = (2π)
gde x , m — p-komponentnye vektory-stolbcy, A — simmetriqna poloitel~no opredelenna matrica pordka p .
92
Teorema 4.11. ( Drugoe predstavlenie mnogomerno$i normal~no$i
plotnosti ) . Funkci np (x |m, A −1 ) mono predstavit~ v vide
"
!
#
p
Y
1
sii exp − || S ( x − m )||22 ,
np (x | m , A −1 ) = (2π)−m/2
2
i=1
gde || . ||2 — evklidova norma vektora, S — treugol~na matrica ( verhn ili nin ) s poloitel~nymi diagonal~nymi
lementami v razloenii Holeckogo A = S T S .
D
4.7 s uqetom formul
po k a z aQtpe l ~ s t v o . IzT opredeleni
T
|A| = i=1 sii , ( x − m ) S S ( x − m) = || S (x − m )||22 , poluqim
utverdenie teoremy. J
4.4. Sluqa$
inye vektory
Opredelenie 4.8. (Sluqa$inye vektory ) . Upordoqenna sovokupnost~ m sluqa$inyh veliqin (ξ1 , . . . , ξm ) nazyvaets sistemo$i m
sluqa$inyh veliqin ili m -komponentnym sluqa$inym vektorom.
Sluqa$
iny$
i vektor budem take oboznaqat~ matrice$
i stroko$
i
T
ξ = ( ξ1 . . . ξm ) ili matrice$
i stolbcom ξ , pri tom budem
polagat~, qto na ti matricy rasprostrants vse izvestnye
matriqnye operacii.
Teorema 4.12. ( Raspredelenie dvuhkomponentnogo sluqa$inogo vektora). Pust~ (ξ, η) – dvuhkomponentny$i sluqa$iny$i vektor , B ∈ B2 .
Funkci, opredelema formulo$i Pξη (B) P ((ξ, η) ∈ B) , vlets
dvumernym verotnostnym raspredeleniem, nazyvaemym sovmestnym raspredeleniem komponent vektora ξ i η . Qastnye raspredeleni Px i Py dvumernogo raspredeleni P = Pξη vlts
raspredelenimi Pξ i Pη , sootvetstvenno.
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Vs verotnostna informaci o sluqa$
inom vektore (ξ, η)
zaklqena v ego sovmestnom raspredelenii Pξη .
1. Funkci raspredeleni Pξη , oboznaqaema simvolom
i raspredeleni sluqa$
inogo vektoFξη (x, y) nazyvaets funkcie$
ra (ξ, η) ili sovmestno$
i funkcie$
i raspredeleni sluqa$
inyh
veliqin ξ i η . Momenty αrs (Pξη ), µrs (Pξη ) nazyvats smexannymi momentami sluqa$
inyh veliqin ξ i η i oboznaqats
simvolami αrs (ξ, η), µrs (ξ, η) . Moment Kξη µ11 (ξ, η) nazyvaetinyh veliqin ξ i η . Esli Kξη = 0 , to
s kovariacie$i sluqa$
govort, qto ξ i η — nekorrelirovanye sluqa$
inye veliqiny.
93
2.
Sluqa$
iny$
i vektor (ξ, η) nazyvaets diskretnym, esli
Pξη diskretno. Zakon raspredeleni {(xj , yk , pξη (xj , yk ))} , gde
pξη (xj , yk ) = Pξη ({(xj , yk )})} nazyvaets sovmestnym zakonom raspredeleni sluqa$
inyh veliqin ξ i η .
3. Sluqa$
iny$
i vektor (ξ, η) nazyvaets nepreryvnym, esli
Pξη nepreryvno. Plotnost~ fξη (x, y) fPξη (x, y) nazyvaets sovmestno$
i plotnost~ raspredeleni sluqa$
inyh veliqin ξ i η .
Svz~ fξη (x, y) s ξ i η vyraaets formulo$
i
2
∂ FP (x, y)
P (x6ξ < x + ∆x, y6η < y + ∆y)
fξη (x, y) =
= lim lim
,
∆x→0 ∆y→0
∂x ∂y
∆x∆y
∆x>0 ∆y>0
kotora opravdyvaet nazvanie plotnost~ verotnosti dl fξη .
4. Verotnostnoe prostranstvo (R2 , B2 , Pξη ) nazyvaets vyboroqnym verotnostnym prostranstvom vektora (ξ, η) .
Privedem obobwenie teoremy 4.3. o vyboroqnom metode.
Teorema 4.13. ( O vyboroqnom metode ). Raspredelenie sluqa$inogo
vektora η ( x ) = x , opredelennogo na (Rn , Bn , P ξ ), sovpadaet s P ξ .
Opredelenie 4.9. ( Srednee znaqenie i kovariacionna matrica sluqa$inogo vektora ) . Srednim znaqeniem sluqa$inogo vektora
ξ nazyvaets vektor m ξ , gde { m ξ }i = α1 (ξi ) ; kovariacionno$i
matrice$i ξ nazyvaets matrica K ξ , gde {K ξ }ik = µ11 (ξi ξk ) .
Teorema 4.14. (Raspredelenie normal~nogo sluqa$inogo vektora ) .
Esli p -komponentny$i sluqa$iny$i vektor ξ imeet raspredelenie
np ( x| m , A −1 ) , to m = m ξ , A = K −1
ξ
Bez dokazatel~stva.
Opredelenie 4.10. ( Uslovnye raspredeleni sluqa$inyh veliqin ) .
Pust~ P = Pξη . Uslovnym raspredeleniem ξ pri uslovii η = y
nazyvaets Pξ (B|y) Px (B|y), uslovnym raspredeleniem η pri
uslovii ξ = x nazyvaets Pη (B|x) Py (B|x) . Uslovnye zakony raspredeleni i plotnosti verotnosti oboznaqats tak :
(xj , pξ|η (xj |yk )), (yk , pη|ξ (yk |xj ), fξ|η (x|y), fη|ξ (y|x) .
Opredelenie 4.11. (Sovmestnoe raspredelenie sluqa$inyh vektorov) . Sovmestnym raspredeleniem sluqa$inyh vektorov ξ i η
nazyvaets raspredelenie sostavnogo sluqa$inogo vektora (ξ , η ) ,
kotoroe budet oboznaqat~s simvolom P ξ η .
Opredelenie 4.12. ( Nezavisimye sluqa$inye veliqiny i vektory ). Sluqa$inye veliqiny ξ , η nazyvats nezavisimymi, esli
Pξη = Pξ ×Pη . Sluqa$inye vektory ξ , η nazyvats nezavisimymi, esli P ξ η = P ξ ×P η .
94
5. Matematiqeskoe oidanie
Pust~ L oboznaqaet mnoestvo ograniqennyh sluqa$
inyh veliqin. Iz teoremy 2.5.3 vytekaet sleduwee utverdenie.
Teorema 5.1. ( Svo$istva mnoestva L). 1. Mnoestvo L vlets de$istvitel~nym line$inym prostranstvom otnositel~no
obyqnogo sloeni funkci$i i umnoeni na skalr, t. e. vmeste s lbymi sluqa$inymi veliqinami ξ, η v L soderats
sluqa$inye veliqiny aξ + bη pri vseh a, b iz R .
2 . V L opredeleny obyqnye neravenstva dl de$istvitel~nyh
funkci$i. Otnoxenie 6 svzano so sloeniem i umnoeniem na
skalr uslovimi: ξ6η vleqet ξ + ζ6η + ζ dl lbogo ζ ∈ L,
ξ > 0 vleqet aξ > 0 dl lbogo a > 0.
3 . Dl kado$i sluqa$ino$i veliqiny ξ suwestvuet ee poloitel~na qast~ ξ + = max{ξ, 0} i otricatel~na qast~ ξ − = ξ + − ξ .
Zameqanie. Oqevidno, ξ + >0, ξ − >0.
Soglasno statistiqeskomu opredeleni matematiqeskim oidaniem sluqa$
ino$
i veliqiny ξ nazyvaets qislo M ξ , k kotoromu stremits srednee arifmetiqeskoe N znaqeni$
i
to$
i
sluqa$
ino$
i veliqiny pri N → ∞ . Opredelim matematiqeskoe
oidanie aksiomatiqeski, vklqa v qislo aksiom svo$
istva
srednego arifmetiqeskogo.
Opredelenie 5.1. ( Matematiqeskoe oidanie ) . Matematiqeskim oidaniem naR L nazyvaets funkcional M, oboznaqaemy$i
ξdP i nazyvaemy$i integralom funkcii ξ po
take simvolom
mere P, udovletvorwi$i uslovim :
1) M (aξ + bη) = aM ξ + bM η ( line$inost~ );
2) esli ξ>0 , to M ξ>0 ( poloitel~nost~ );
3) dl vsko$i monotonno ubyvawe$i posledovatel~nosti {ξn }∞
n=1
iz lim ξn = 0 sleduet lim M ξn = 0 ( nepreryvnost~ );
n→∞
n→∞
4) dl vskogo A ∈ A M IA = P (A) .
Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$
i neotricatel~no$
i
sluqa$
ino$
i veliqiny ξ (vozmono ravnoe ∞ ) opredelets kak
M ξ lim M ξn , gde {ξn }∞
n=1 — monotonno vozrastawa posn→∞
ledovatel~nost~ ograniqennyh sluqa$
inyh veliqin, shodwas
k ξ . Matematiqeskoe oidanie neograniqenno$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ , prinimawe$
i znaqeni oboih znakov, opredelets
formulo$
i M ξ M ξ+ − M ξ− v tom sluqae, kogda ili M ξ+ < ∞ ,
95
ili M ξ− < ∞ . Pri M ξ+ = M ξ− = ∞ matematiqeskoe oidanie
M ξ ne suwestvuet. Matematiqeskoe oidanie kompleksnyh sluqa$
inyh veliqin vida ξ + iη , gde ξ i η — de$
istvitel~nye sluqa$
inye veliqiny, opredelets formulo$
i M (ξ + iη) M ξ + iM η .
V sleduwem utverdenii privodts formuly dl vyqisleni matematiqeskogo oidani borelevskih funkci$
i diskretnyh i nepreryvnyh sluqa$
inyh veliqin.
Teorema 5.2. (Vyqislenie matematiqeskogo oidani ) . Esli ξ
— sluqa$ina veliqina,
ϕ : R → R — borelevska funkci, to
X
ϕ(xi )pξ (xi ) ,
esli ξ diskretna,
i
M ϕ(ξ) = Z ∞
ϕ(x)fξ (x)dx , esli ξ nepreryvna,
−∞
v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut.
Esli (ξ, η) — sluqa$iny$i vektor, ψ : R2 → R — borelevska
funkci, to X X
ψ(xj , yk )pξη (xj , yk ) ,
esli (ξ, η) diskreten,
j
M ψ(ξ, η) = Z ∞ Z k∞
ψ(x, y)fξη (x, y)dxdy , esli (ξ, η) nepreryven,
−∞
−∞
v tom sluqae, kogda vyraeni v pravo$i qasti suwestvut.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim dokazatel~stva dl nekotoryh
qastnyh sluqaev.
Esli ξ — diskretna sluqa$
ina veliqina, prinimawa
razliqnye znaqeni x1 , . . . , xn , to ϕ(ξ) mono predstavit~ v
Pn
istvo line$
inosvide ϕ(ξ(ω)) = i=1 ϕ(xi )I(ξ=xi ) (ω) . Uqityva svo$
Pn
ti matematiqeskogo oidani, poluqim M ϕ(ξ) = i=1 ϕ(xi )pξ (xi ) .
Pust~ ξ — nepreryvna sluqa$
ina veliqina s plotnost~
verotnosti fξ (x), ravno$
i 0 vne [a, b] ; ϕ — monotonno vozrastawa na [a, b] nepreryvna funkci; otrezok [a, b] razbit na
n qaste$
i toqkami a = x0 < x1 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b.
Pn
Funkci ηn (ω) =
(ω) vlets diskretno$
i
i=1 ϕ(xi−1 )I(xi−1 6ξ 0 . Togda :
1) esli ξ = a ( t.e. ξ nesluqa$ina ) , to M ξ = a;
2) esli η6ξ , to M η6M ξ;
3) |M ξ|6M |ξ|;
4) esli a6ξ6b , to a6M ξ6b;
5) esli ξ i η nezavisimy, to M (ξη) = (M ξ)(M η);
Mξ
;
6) esli ξ>0 , to P (ξ>ε)6
ε
Dξ
7) P (|ξ − M ξ|>ε)6 2 ( neravenstvo Qebyxeva ) .
ε
Dokazatel~stvo.
1. M ξ = M (aIΩ ) = aP (Ω) = a.
2. Esli η6ξ , to ξ − η>0 i M (ξ − η) = M ξ − M η>0.
3. |M ξ| = |M ξ+ − M ξ− |6M ξ+ + M ξ− = M |ξ| .
4. Sleduet iz svo$
istv 1, 2.
5. Dl diskretnyh i nepreryvnyh sistem sluqa$
inyh veliqin
sleduet iz opredeleni smexannogo momenta α11 (ξ, η) .
6. Sluqa$
ina veliqina η = εI(ξ>ε) udovletvoret neravenstvu
Mξ
η6ξ . Po svo$
istvu 2 M η = εP (ξ>ε)6M ξ i P (ξ>ε)6
.
ε
7. Sleduet iz 6, esli vmesto ε, ξ podstavit~, sootvetstvenno,
ε2 , (ξ − M ξ)2 i uqest~, qto P ((ξ − M ξ)2 >ε2 ) = P (|ξ − M ξ|>ε) . J
Teorema 5.4. ( Nekotorye svo$istva momentov ) . Pust~ a, b, c, d —
de$istvitel~nye qisla ; ξ, η — sluqa$inye veliqiny ; ξ1 , . . . , ξn
— nezavisimye sluqa$inye veliqiny. Spravedlivy sootnoxeni :
1) Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 , 5) Kξη = M ξη − (M ξ)(M η) ,
6) Kaξ+b,cη+d
2) D(aξ + b) = a2 Dξ ,
p = acKξη ,
Dξ DηP
,
3) Dξ = Kξξ ,
7) |Kξη
P|6
n
n
4) Kξη = Kηξ ,
8) D ( i=1 ξi ) = i=1 Dξi .
97
◦
◦
z }| { ◦ ◦ z }| {
◦
D o k a z a t e l ~ s t v o . Imeem: ξ + η = ξ + η , aξ + b = aξ .
◦2
1. Dξ = M ξ = M ξ 2 − 2(M ξ)2 + (M ξ)2 = M ξ 2 − (M ξ)2 .
◦
z }| {
◦2
2. D(aξ + b) = M ( aξ + b)2 = M (a2 ξ ) = a2 Dξ .
◦◦
5. Kξη = M ξ η = M ξη − 2(M ξ)(M η) + (M ξ)(M η) = M ξη − (M ξ)(M η).
◦
◦
z }| { z }| {
◦◦
6. Kaξ+b,cη+d = M [( aξ + b )( cξ + d)] = M (acξ η ) = acKξη .
◦
◦
7. Pri lbom x ∈ R 06M (ξ x + η )2√= (Dξ)x2 + (2Kξη )x + Dη i
2
po tomu 4Kξη
− 4DξDη60 ili |Kξη |6 DξDη .
n
n
n
n
n
n X
X
X
X
X
X
◦ 2
◦2
◦ ◦
Dξi . J
8. D
ξi = M
ξi = M
ξi + M
ξ iξ k =
i=1
i=1
i=1
i=1 k=1
k6=i
i=1
Opredelenie 5.2. ( Matematiqeskoe oidanie sluqa$ino$i matricy ) . Esli Z = (ζij ) — sluqa$ina matrica, to M Z (M ζij ) .
Teorema 5.5. ( Line$inye preobrazovani sluqa$ino$i matricy ) . Pri
sluqa$ino$i m×n -matrice Z i nesluqa$
inyh matricah A, B , C
razmerov l×m, n×q, l×m
M A Z B + C = AM(Z )B + C .
m X
n
X
D o k a z a t e l ~ s t v o . M { A Z B + C }ik = M
air ζrs bsk +cik =
=
n
m X
X
r=1 s=1
r=1 s=1
air M (ζrs )bsk + cik = { AM (Z ) B + C }ik . J
Sledstvie. K ξ = M ( ξ − M ξ )( ξ − M ξ )T .
6. Harakteristiqeskie funkcii
Opredelenie 6.1. ( Odnomernye harakteristiqeskie funkcii ) .
Pust~ P — diskretnoe ili nepreryvnoe odnomernoe raspredelenie. Harakteristiqesko$i funkcie$i raspredeleni P nazyvaets
C, X
opredelema sootnoxeniem
funkci ϕP : R →
esli P diskretno,
eitxk p(xk ) ,
k
ϕP (t) Z ∞
eitx fP (x)dx , esli P nepreryvno.
−∞
Harakteristiqesko$i funkcie$i ϕξ sluqa$ino$i veliqiny ξ nazyvaets harakteristiqeska funkci ee raspredeleni, ravna M eitξ .
Primer 6.1. Harakteristiqeska funkci normal~nogo raspre2 2
deleni N(m, σ 2 ) ravna eimt−σ t /2 .
98
Mono dokazat~, qto sootvetstvie medu raspredelenimi i
ih harakteristiqeskimi funkcimi vzaimno odnoznaqno.
Teorema 6.1. ( Predel posledovatel~nosti harakteristiqeskih
funkci$i ) . Dl togo qtoby posledovatel~nost~ funkci$i raspredeleni {Fn (x)}∞
n=1 s harakteristiqeskimi funkcimi ϕn (t) shodilas~ k funkcii raspredeleni F (x) , neobhodimo i dostatoqno,
qtoby posledovatel~nost~ {ϕn (t)}∞
n=1 shodilas~ k predelu ϕ(t) ,
nepreryvnomu v toqke t = 0 . Togda ϕ(t) vlets harakteristiqesko$i funkcie$i funkcii raspredeleni F (x) .
Bez dokazatel~stva.
Teorema 6.2. (Svo$istva harakteristiqeskih funkci$i ) .
1. |ϕξ (t)|6ϕξ (0) = 1;
2. Pri de$istvitel~nyh a, b ϕaξ+b (t) = eitb ϕξ (at);
3. Esli ξ, η nezavisimy, to ϕξ+η (t) = ϕξ (t)ϕη (t);
4. Esli suwestvuet αk (ξ) , to suwestvuet k - proizvodna ha(k)
rakteristiqesko$i funkcii i αk (ξ) = i−k ϕξ (0).
D o k a z a t e l ~ s t v o . 1. |ϕξ (t)|6M |eitξ | = M 1 = 1 = M (ei0ξ ) = ϕξ (0).
2. ϕaξ+b (t) = M eit(aξ+b) = eitb M eitaξ = eitb ϕξ (at) .
3. ϕξ+η (t) = M eit(ξ+η) = M (eitξ eitη ) = M eitξ M eitη = ϕξ (t)ϕη (t) .
4. Perestavl operacii matematiqeskogo oidani i diffe
(k)
rencirovani, poluqim i−k ϕξ (0) = M (ξ k eitξ ) = M (ξ k ) . J
t=0
7. Predel~nye teoremy
Opredelenie 7.1. ( Predel po verotnosti ) . Sluqa$ina veliqina ξ nazyvaets predelom po verotnosti P posledovatel~nosP
∞
(simvoliqeski ξn −→ ξ ), esli dl
ti sluqa$inyh veliqin {ξn }n=1
vskogo ε > 0 lim P (|ξ − ξn |>ε) = 0 .
n→∞
Teorema 7.1. (Zakon bol~xih qisel v forme Qebyxeva ) . Pust~
{ξn }∞
inyh veliqin s
n=1 — posledovatel~nost~ nezavisimyh sluqa$
koneqnymi matematiqeskimi oidanimi i dispersimi, udovDξi 6c < ∞. Togda
letvorwimi uslovim
! dl vskogo ε > 0
n
n
1 X
1X
ξk −
M ξk >ε = 0.
lim P
n→∞
n
n
k=1
k=1
D o k a z a t e l ~ s t v o . Uqityva svo$
istva matematiqeskogo oidanih i dispersii
i neravenstvo
i
h P Dξki6c < P∞, poluqim
Pn
Pn
n
1
c
1
1 n ξ = 1
M n k=1 ξk = n k=1 M ξk , D n
2
k=1 k
k=1 Dξk 6 n .
n
Pn
1
Iz neravenstva Qebyxeva dl n k=1 ξk sleduet, qto
99
P
Pn
1 n
1
P n k=1 ξk − n k=1 M ξk >ε 6 c 2 → 0 pri n → ∞ . J
nε
1 Pn ξ shodits po verotSledstvie. Esli M ξk = m , to n
k=1 k
nosti k m pri n → ∞ .
Teorema 7.2. ( Zakon bol~xih qisel v forme Bernulli ) . Qastota uspehov v posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$i po
sheme Bernulli shodits po verotnosti pri n → ∞ k verotnosti uspeha v odnom ispytanii.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ verotnost~ uspeha v odnom ispytanii ravna p i ξk = IAk , gde Ak — sobytie, sostowee v
inye vetom, qto v k -m ispytanii imeet mesto uspeh. Sluqa$
liqiny ξk imet matematiqeskie oidani M ξk = P (Ak ) = p i
dispersii Dξk = p(1 − p) < 1, po tomu po sledstvi teoremy 7.1
1 Pn ξ shodits po verotnosti k p . J
qastota uspehov n
k=1 k
Vo mnogih verotnostnyh zadaqah vstreqaets normal~noe
raspredelenie. Priqinu xirokogo rasprostraneni togo raspredeleni vpervye vyvil russki$
i matematik A.M.Lpunov,
kotory$
i s pomow~ razrabotannogo im metoda harakteristiqeskih funkci$
i dokazal central~nu predel~nu teoremu, kotora utverdaet, qto pri ves~ma obwih uslovih raspredelenie
summy n nezavisimyh sluqa$
inyh veliqin shodits pri n → ∞
k normal~nomu raspredeleni.
Dokaem qastny$
i sluqa$
i central~no$
i predel~no$
i teoremy.
Teorema 7.3. ( Teorema Lindeberga–Levi ) . Pust~ {ξn }∞
n=1 — posledovatel~nost~ nezavisimyh odinakovo raspredelennyh sluqa$inyh
Pn
veliqin s M ξn = m, Dξn = σ 2 i pust~ ηn =
k=1 ζk , gde
√
◦
ζk = ξ k /(σ n). Togda limn→∞ Fηn (x) = Φ(x) pri vseh x ∈ R, gde
Φ(x) — funkci normal~nogo raspredeleni s m = 0, σ = 1.
1 , harakteD o k a z a t e l ~ s t v o . Poskol~ku M ζk = 0, Dζk = n
ristiqesku funkci sluqa$
ino$
i veliqiny ζk mono predsta2
t + o(t2 /n) pri n → ∞ . Po tomu
vit~ v vide ϕζk (t) = 1 − 2n
n
2
t2
2
limn→∞ ϕηn (t) = limn→∞ 1 − 2n + o(t /n) = e−t /2 pri n → ∞ . Po
teoreme 6.1
lim Fηn (x) = Φ(x) . J
n→∞
1 Pn ξ
pri
Sledstvie. Raspredelenie sluqa$ino$i veliqiny n
k=1 k
2
n → ∞ pribliaets k N(m, σ /n) .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
100
8. Upraneni
1 . Brosats monety dostoinstvom 1, 2 i 5 ruble$
i. Ispol~zu
klassiqeskoe opredelenie verotnosti, na$
iti verotnosti sleduwih sobyti$
i: A — toqno dve monety upali gerbom vverh,
B — ne menee dvuh monet upali ciframi vverh, C — summa
cifr na monetah, upavxih ciframi vverh, ne prevyxaet 5.
P
2 . Brosats dve igral~nye kosti i vyqislets summa
Q
i proizvedenie
qisla oqkov na verhnih granh. Na$
iti verotnosti sobyti$
i:
P
Q
Q
1) ( 63), ( > 4), (
delits na 5).
P
Q
Q
2) ( > 4), ( 65), (
delits na 6).
P
Q
Q
3) ( >5), ( < 6), (
delits na 7).
P
Q
Q
delits na 8).
4) ( < 6), ( >7), (
P
Q
Q
5) ( 69), ( > 3), (
delits na 4).
Q
P
Q
6) ( > 5), ( 66), (
delits na 10).
P
Q
Q
delits na 2).
7) ( >6), ( < 7), (
P
Q
Q
8) ( < 7), ( >8), (
delits na 9).
Q
P
Q
9) ( 68), ( > 9), (
delits na 3).
P
Q
Q
10) ( > 9), ( 63), (
delits na 1).
Ukazanie: Ishodami v danno$
i zadaqe vlts upordoqennye
i grani 1-$
i
pary ω = (i, k) , gde i — qislo oqkov na verhne$
kosti, k — qislo oqkov na verhne$
i grani 2-$
i kosti. Dl
i.
rasqeta verotnoste$
i postro$
ite grafiki dl Ω i sobyti$
k
k
3 . V korobke imeets N sverl, iz nih K — diametrom 5
mm, a ostal~nye — 5,1 mm. Naudaqu vybirat n sverl. Na$
iti verotnost~ togo, qto iz nih toqno k sverl diametra 5
mm?
N
K n
k
N
K n
k
1) 10
4
5
2
6) 10
2
4
1
2) 10
4
6
3
7) 10
2
3
2
3) 10
5
4
2
8)
9
2
3
1
4) 10
3
4
3
9)
9
3
4
2
5) 10
3
5
2
10)
9
4
3
2
R e x e n i e dl sluqa N = 10, K = 4, n = 5, k = 3 . V danno$
i
zadaqe ishodom kspermenta vlets neupordoqenna 5-vyborka bez povtoreni$
i iz 10-mnoestva vseh sverl. Qislo takih
5
= 252 . Vyborki, blagopritstvuwie
ishodov ravno n(Ω) = C10
interesuwemu nas sobyti A , vlts upordoqenno$
i paro$
i
101
neupordoqennyh vyborok bez povtoreni$
i: 1) 3-vyborki iz 4mnoestva sverl diametra 5 mm, 2) 2-vyborki iz 6-mnoestva
sverl diametra 5,1 mm. S uqetom teoremy 2.6.1 i pravila
umnoeni poluqim n(A) = C43 · C62 = 4 · 15 = 60 . Po klassiqeskomu
n(A)
5 . J
opredeleni verotnoste$
i P (A) =
= 21
n(Ω)
k
4 . V gruppe N studentov, iz nih K — izuqat angli$
iski$
i
zyk, L — nemecki$
i, a ostal~nye — francuzski$
i. Naugad
vybirat n studentov. Kakova verotnost~ togo, qto iz nih
iski$
i zyk, a l nemecki$
i?
toqno k studentov izuqat angli$
N
K L n k l
N
K L n k l
1) 15 6
4 6 2 2
6) 15 6
5 8 4 4
2) 15 5
5 6 3 1
7) 15 6
5 8 3 2
3) 15 7
3 6 2 1
8) 16 7
2 8 5 1
4) 14 7
4 7 3 2
9) 16 7
4 8 5 3
5) 14 8
3 7 4 2
10) 18 8
4 7 2 3
R e x e n i e dl sluqa N = 14, K = 8, L = 4, n = 7, k = 4, l = 2 .
V danno$
i zadaqe ishodom ksperimenta vlets neupordoqenna 7 -vyborka bez povtoreni$
i iz 14 -mnoestva vseh studen7
tov gruppy. Qislo takih ishodov ravno n(Ω) = C14
= 3432 .
Vyborki, blagopritstvuwie interesuwemu nas sobyti A
vlts upordoqenno$
i tro$
iko$
i neupordoqennyh vyborok bez
povtoreni$
i: 1) 4-vyborki iz 8-mnoestva studentov, izuqawih
angli$
iski$
i zyk; 2) 2-vyborka iz 4-mnoestva studentov, izuqawih nemecki$
i zyk; 3) 1-vyborka iz 2-mnoestva studentov,
izuqawih francuzski$
i zyk. S uqetom teoremy 2.6.1 i pravila umnoeni poluqim n(A) = C84 · C42 · C21 = 70 · 6 · 2 = 840 . Po
n(A)
35 . J
= 143
klassiqeskomu opredeleni verotnoste$
i P (A) =
n(Ω)
k
5 . Qisla
a
b
1) 0
2
2) 0
4
3) 2
4
4) 0
4
5) 0.5 2
Ukazanie:
x, y vzty naudaqu iz otrezka [a; b]. Na$
iti P (A) .
A
a b
A
2
(x 64y64x)
6) 0 3 (y>ex )
(0, 5x2 6y62x)
7) 6 8 (y6(x − 6)2 + 6)
8) 1 3 (y>1 + 1/x)
(1 + 0, 5x6y6x2 )
2
((x − 3) 6y)
9) 0 4 (y6(x − 2)2 )
(y61/x)
10) 1 3 (x>y 2 )
Na koordinatno$
i ploskosti Oxy postroit~ grafiki
S(A)
,
Ω i A i opredelit~ verotnost~ geometriqeski P (A) =
S(Ω)
gde S(A) — plowad~ mnoestva A.
102
k
6 .
Sobyti A, B,
P (f (A, B, C)) , esli
f
P (A) P (B)
1) A\(B ∪ C) 0, 9 0, 8
2) A\(B ∩ C) 0, 8 0, 9
3) A ∩ (B\C) 0, 7 0, 8
4) (A ∪ B)\C 0, 9 0, 7
5) A\(B\C)
0, 8 0, 7
vzaimno
C
P (C)
0, 7
0, 7
0, 9
0, 8
0, 9
6)
7)
8)
9)
10)
nezavisimy.
f
(A ∩ B)\C
A\(B ∪ C)
A\(B ∪ C)
A\(B ∩ C)
A ∩ (B\C)
Opredelit~
P (A)
0, 7
0, 8
0, 7
0, 6
0, 8
P (B)
0, 9
0, 7
0, 8
0, 7
0, 6
P (C)
0, 8
0, 6
0, 6
0, 8
0, 7
R e x e n i e dl P ((A\B) ∩ (A\C)) , gde P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 6,
P (C) = 0, 8 . P ((A\B) ∩ (A\C)) = P (A ∩ B ∩ A ∩ C)) = P (A ∩ B ∩ C) =
= P (A)P (B)P (C) = 0, 7 · 0, 4 · 0, 2 = 0, 056. J
k
7 . Qislo gruzovyh maxin, proezawih mimo benzokolonki,
otnosits k qislu legkovyh kak n : n . Verotnost~ zapravki
gruzovo$
i maxiny ravna p , legkovo$
i — p . Na$
iti verotnost~
togo, qto podehavxa na zapravku maxina gruzova.
p
n :n
n :n
p
p
p
1)
3:2
0, 1 0, 2
6) 4 : 2
0, 5 0, 2
2)
4:1
0, 3 0, 1
7) 3 : 4
0, 1 0, 4
3)
5:2
0, 2 0, 3
8) 5 : 1
0, 2 0, 3
4)
3:1
0, 4 0, 2
9) 5 : 4
0, 1 0, 2
5)
4:9
0, 5 0, 1
10) 3 : 5
0, 3 0, 4
g l
g
g l
g
l
g
g l
l
g l
g
l
l
g
l
R e x e n i e dl n : n = 3 : 2 , p = 0, 1 , p = 0, 2. Pust~ H , H
— sobyti, sostwie v tom, qto pribliawas k benzokolonke maxina gruzova i legkova, sootvetstvenno; ti sobyti sostavlt polnu gruppu sobyti$
i. Pust~ A — sobytie, sostowee v tom, qto maxina poehala na zapravku.
i verotnosTrebuets opredelit~ PA (H ) . Po formule polno$
ti P (A) = P (H )PHg (A) + P (H )PHl (A) = 0.14 , zatem po formule
P (H )(A)PHg (A)
0, 6 · 0, 1
Ba$
iesa PA (H ) =
= 0, 14 = 73 . J
P (A)
k
g
g
g
g
l
8 . Verotnost~ iskaeni odnogo znaka v soobwenii ravna p .
Na$
iti verotnost~ togo, qto soobwenie iz n znakov soderit:
a) m iskaeni$
i, b) 6m iskaeni$
i.
p
n m
p
n m
1)
0, 1
7 2
6) 0, 35
5 3
2)
0, 15 6 2
7) 0, 4
6 2
7 5
3)
0, 2
6 1
8) 0, 45
4)
0, 25 5 2
9) 0, 5
8 2
4 3
10) 0, 05
5)
0, 3
8 1
Ukazanie. Vospol~zovat~s teoremo$
i Bernulli i ee sledstviem.
103
k
9 . Na$
iti M ξ, Dξ, Pξ (A) dl diskretno$
i sluqa$
ino$
i veliqiny
ξ s zakonom raspredeleni:
1) {(−4; 0, 512), (−2; 0, 384), (0; 0, 096), (2; 0, 008)} pri A = [−1, 5; 0) .
2) {(−2; 0, 343), (0; 0, 441), (2; 0, 189), (4; 0, 027)} pri A = [−5; 1, 5) .
3) {(0; 0, 216), (1; 0, 432), (2; 0, 288), (3; 0, 064)} pri A = [−0, 5; 4) .
4) {(−2; 0, 125), (0; 0, 375), (2; 0, 375), (4; 0, 125)} pri A = [1; 5) .
5) {(−4; 0, 064), (−2; 0, 288), (0; 0, 432), (2; 0, 216)} pri A = [−2; 2) .
6) {(0; 0, 027), (1; 0, 189), (2; 0, 441), (3; 0, 343)} pri A = [0, 1; 2, 9).
7) {(−4; 0, 008), (−2; 0, 096), (0; 0, 384), (2; 0, 512)} pri A = [−5; 3) .
8) {(−2; 0, 001), (0; 0, 027), (2; 0, 243), (4; 0, 729)} pri A = [−3; 1, 5) .
9) {(−2; 0, 729), (0; 0, 243), (2; 0, 027), (4; 0, 001)} pri A = [−2; 2) .
10) {(0; 0, 729), (1; 0, 243), (2; 0, 027), (3; 0, 001)} pri A = [0, 5; 2, 5) .
R e x e n i e dl sluqa$
ino$
i veliqiny ξ s zakonom raspredeleni:
{(0; 0, 343), (1; 0, 441), (2; 0, 189), (3; 0, 027)} pri A = [1; 1, 5) .
P4
M ξ = i=1 xi pξ (xi ) = 0 · 0, 343 + 1 · 0, 441 + 2 · 0, 189 + 3 · 0, 027 = 0, 9
P4
M ξ 2 = i=1 xi2 pξ (xi ) = 02 · 0, 343 + 12 · 0, 441 + 22 · 0, 189 + 32 · 0, 027 = 1, 44
P
Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 0, 63, Pξ ([1; 1, 5)) = xi ∈[1;1,5) p(xi ) = 0, 441 . J
k
10 . Na$
iti c, M ξ, Dξ dl nepreryvno$
i sluqa$
ino$
i veliqiny
ξ s plotnost~ verotnosti:
/ [0; 2] .
1) fξ (x) = c(4 + 4x − 3x2 ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
2) fξ (x) = c(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 1] .
2
3) fξ (x) = cx(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 1] .
2
4) fξ (x) = cx(2 − x) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 2] .
2
/ [0; 2] .
5) fξ (x) = c(12 − 8x + x ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
2
6) fξ (x) = c(1 − x ) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 1] .
7) fξ (x) = cx(1 − x) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 1] .
2
8) fξ (x) = c(2 − x) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 2] .
9) fξ (x) = c(4x + 3x2 ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 2] .
3
2
10) fξ (x) = c(4x − x ) pri x ∈ [0; 2], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 2] .
R e x e n i e dl sluqa$
ino$
i veliqiny ξ s plotnost~ verotnosti:
fξ (x) = c(2x2 − x3 ) pri x ∈ [0; 1], f (x) = 0 pri x ∈
/ [0; 1] . Iz
−1
R
1
= 2, 4.
uslovi normirovki sleduet, qto c = 0 (2x2 − x3 )dx
R1
R
1
M ξ = 2.4 0 (2x3 − x4 )dx = 0, 72, M ξ 2 = 2, 4 0 (2x4 − x5 )dx = 0, 56 .
26 ≈ 0, 042 . J
Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 625
k
11 . Nepreryvna sluqa$
ina veliqina ξ imeet ravnomernoe na
ino$
i veliqiny:
[a; b] raspredelenie. Opredelit~ Fη , fη dl sluqa$
104
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
= ξ 1/4 pri [a; b] = [0; 1] .
= sin(πξ/2) pri [a; b] = [−1; 1] .
= cos ξ pri [a; b] = [0; π] .
= ξ 1/3 pri [a; b] = [−1; 1] .
= ξ 1/2 pri [a; b] = [0; 1] .
= 1 − ξ pri [a; b] = [−2; 3] .
= ln ξ pri [a; b] = [1; 2] .
= eξ pri [a; b] = [0; ln 3] .
= tg ξ pri [a; b] = [−π/2; π/2].
= ξ 1/5 pri [a; b] = [−1; 1] .
R e x e n i e dl η = arccos ξ pri [a; b] = [−1; 1] . Poskol~ku arccos x
— monotonno ubyvawa
funkci, to po teoreme 4.5
1 pri x > π
Fη (x) = 1 − Fξ (cos x) =
0, 5(1 − cos x) pri x ∈ [0; π] , otkuda sle
0 pri x < 0
duet, qto fη (x) = 0, 5 sin x pri x ∈ [0; π] i fη (x) = 0 pri
x∈
/ [0; π]. J
k
12 . Opredelit~ zakony raspredeleni sluqa$
inyh veliqin
ξ, η , M ξ, Dξ, M η, Dη, Kξη dl diskretno$
i sistemy sluqa$
inyh veliqin (ξ, η) s sovmestnym zakonom raspredeleni:
2) ξ η −1
1
1) ξ η
1
2
0, 05 0, 10 0, 20
0, 16 0, 12 0, 12
−1
.
.
1
0, 30 0, 10 0, 05
0, 12 0, 09 0, 09
2
0, 05 0, 10 0, 05
1
0, 12 0, 09 0, 09
4) ξ η
1
2
3
3) ξ η
1
2
3
0, 10 0, 20 0, 10
0, 05 0, 20 0, 05
−1
.
.
1
0, 15 0, 10 0, 15
0, 05 0, 30 0, 10
2
0, 10 0, 15 0, 05
1
0, 05 0, 05 0, 05
5) ξ η −1
1
1
2
6) ξ η
0, 05 0, 15 0, 05
1
0, 16 0, 12 0, 12
−2
.
.
0, 20 0, 10 0, 15
−1
2
0, 08 0, 06 0, 06
0, 05 0, 20 0, 05
3
0, 16 0, 12 0, 12
1
2
3
8) ξ η
7) ξ η
1
2
−1
0, 20 0, 10 0, 10
−2
0, 02 0, 03 0, 05
.
.
0, 15 0, 05 0, 15
−1
0, 06 0, 09 0, 15
1
0, 05 0, 10 0, 10
0, 12 0, 18 0, 30
10) ξ η
1
2
9) ξ η
1
2
0, 10 0, 20 0, 05
−2
0, 20 0, 05 0, 15
.
.
1
0, 05 0, 10 0, 30
−1
0, 15 0, 10 0, 10
2
0, 10 0, 05 0, 05
0, 05 0, 10 0, 10
105
R e x e n i e dl sistemy (ξ, η) s zakonom raspredeleni:
ξ η
1
2
pη (yk )
−2
0, 05
0, 25
0, 20
0, 50
−1
0, 05
0, 10
0, 05
0, 20
0, 15
0, 10
0, 05
0, 30
pξ (xj )
0, 25
0, 45
0, 30
.
Zakony raspredeleni ξ i η predstavlts tablicami
xj
1
2
yk
−2
−1
p(xj )
0, 25
0, 45
0, 30 ,
p(yk )
0, 50
0, 20
0, 30
P
P
M η = k yk pη (yk ) = −1, 2 ,
M ξ = j xj pξ (xj ) = 1, 05 ,
P 2
P
2
M ξ = j xj pξ (xj ) = 1, 65 ,
M η 2 = k yk2 pη (yk ) = 2, 2 ,
Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2 = 0, 5475,
Dη = M η 2 − (M η)2 = 0, 76 .
P P
M (ξη) = j k xj yk pξη (xj , yk ) = −0, 5 − 0, 1 − 0, 8 − 0, 1 = −1, 5 ,
Kξη = M (ξη) − M ξM η = −1, 5 − 1, 05 · (−1, 2) = −0, 24 . J
k
13 . Opredelit~ c, fξ (x), M ξ, Dξ, fη (y),
fξη (x, y) = g(x, y) pri (x, y) ∈ 4ABC , fξη = 0
1) g(x, y) = c(2x+2y) , A = (0, 0), B = (0, 1), C
2) g(x, y) = 2cxy ,
A = (0, 0), B = (0, 2), C
3) g(x, y) = c(3 + 3y), A = (0, 0), B = (0, 1), C
A = (0, 0), B = (0, 2), C
4) g(x, y) = 3cx ,
5) g(x, y) = c(2x+2y), A = (0, 2), B = (1, 2), C
6) g(x, y) = 2cxy ,
A = (0, 1), B = (2, 1), C
7) g(x, y) = c(3 + 3y) , A = (0, 2), B = (1, 2), C
8) g(x, y) = 3cx ,
A = (0, 1), B = (2, 1), C
9) g(x, y) = c(3x+3y) , A = (0, 0), B = (2, 1), C
10) g(x, y) = 2cxy ,
A = (0, 0), B = (1, 2), C
.
M η, Dη, Kξη , esli
pri (x, y) ∈
/ 4ABC .
= (2, 0).
= (1, 0).
= (2, 0).
= (1, 0).
= (1, 0).
= (2, 0).
= (1, 0).
= (2, 0).
= (2, 0).
= (1, 0).
R e x e n i e dl g(x, y) = c(2x+3y) , A = (0, 0), B = (0, 1), C = (1, 0).
1) Opredelim postonnu c iz uslovi normirovki
R1 1−x
R
R∞ R∞
R R
(2x + 3y)dxdy = c
(2x + 3y)dy dx =
1=
fξη (x, y)dxdy = c
−∞ −∞
R1
4ABC
1−x
R1
2
= c 2xy + 1, 5y
dx = c (1, 5−x−0, 5x2 )dx = 5c
6 , otkuda c = 1, 2 .
R∞
R∞
fξη (x, y)dy, x ∈ [0; 1]
fξη (x, y)dy = R−∞
=
2) fξ (x) =
∞
f
(x,
x
/
y)dy,
∈
[0;
1]
ξη
−∞
−∞
(
1−x
R
1−x
2
1, 2
(2x + 3y)dy, x ∈ [0; 1]
1, 2 2xy + 1, 5y , x ∈ [0; 1]
=
=
=
x
/
∈
[0;
1]
0,
x∈
/ [0; 1]
106
1, 2 1, 5 − x − 0, 5x2 , x ∈ [0; 1]
.
=
0,
x∈
/ [0; 1]
R1
R∞
xfξ (x)dx = 1, 2 1, 5x − x2 − 0, 5x3 dx = 0, 35.
3) M ξ =
−∞
R∞
4) M ξ =
2
2
x fξ (x)dx =
−∞
2
R1
1, 2 1, 5x2 − x3 − 0, 5x4 dx = 0, 18 .
R1
1, 2(y 2 + y 3 − 2y 4 )dy = 0, 22
.
Dξ = M ξ − (M ξ) = 0, 0575
R∞
R∞
fξη (x, y)dx, y ∈ [0; 1]
=
fξη (x, y)dx = R−∞
5) fη (y) =
∞
y)dx,
∈
[0;
1]
f
(x,
y
/
ξη
−∞
−∞
(
1−y
R
2
1−y
(2x + 3y)dx, y ∈ [0; 1]
1, 2
1, 2 x + 3xy
, y ∈ [0; 1]
=
=
=
0,
y∈
/ [0; 1]
y∈
/ [0; 1]
0,
1, 2(1 + y − 2y 2 ), y ∈ [0; 1]
.
=
0,
y∈
/ [0; 1]
R∞
R1
6) M η =
yfη (y)dy = 1, 2(y + y 2 − 2y 3 )dy = 0, 4 .
−∞
R∞
7) M η 2 =
2
y 2 fη (y)dy =
−∞
2
Dη = M η − (M η) = 0, 06 .
R
R1 1−x
R∞ R∞
(2x2 y + 3xy 2 )dy dx =
xyfξη (x, y)dxdy = 1, 2
8) M (ξη) =
2
−∞ −∞
1−x
R1
2 2
3
= 1, 2 (x y + xy )
dx = 1, 2 (x2 (1 − x)2 + x(1 − x)3 )dx =
R1
R1
= 1, 2 (x − 2x2 + x3 )dx = 0, 1, Kξη = M (ξη) − M ξM η = −0, 04. J
k
14 . Opredelit~ parametry normal~no$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ξ :
k i Pξ ([a; b]) , esli
m, σ , postonnu
1) fξ (x) = k exp−2x2 + 4x , [a; b] = [0, 5; 1, 5] .
2) fξ (x) = k exp−x2 /2 − 2x
, [a; b] = [−3, 5; −1, 0] .
2
3) fξ (x) = k exp−2x + 2x, [a; b] = [−0, 5; 0, 5].
4) fξ (x) = k exp−2x2 + 8x , [a; b] = [2, 0; 3, 0] .
5) fξ (x) = k exp−x2 /8 − x/4 , [a; b] = [−3, 0; 1, 0] .
6) fξ (x) = k exp−x2 /2 + 3x, [a; b] = [4, 0; 5, 0].
7) fξ (x) = k exp−8x2 + 16x
, [a; b] = [0, 5; 1, 5].
2
8) fξ (x) = k exp−x /2 − x, [a; b] = [−1, 5; 0, 5].
9) fξ (x) = k exp−2x2 − 6x, [a; b] = [−1, 0; −0, 5].
10) fξ (x) = k exp −2x2 − 2x , [a; b] = [−1, 5; 0, 5].
R e x e n i e dl fξ (x) = k exp −9x2 /2 + 9x/2 , [a; b] = [0; 1, 0] .
107
(x − m)2
−
2σ 2 , poluqim sistemu uravneni$
e
i
1
Sravniva fξ (x) i √
2πσ
(
2
1/(2σ ) =9/2
otkuda sleduet σ = 1/3, m = 1/2, k = 9/83√ .
2
e
2π
m/(σ ) =9/2
Pξ ([0; 1.0]) = Φ(1, 5) − Φ(−1, 5) = 2Φ(1, 5) − 1 = 0, 866 . J
k
15 . Opredelit~ parametry mξ , mη , σξ , ση , rξ,η i postonnu
i normal~no$
i plotnosti
k sovmestno$
1) fξη (x, y) = k exp−8(x + 3)2 /3 − 4(x + 3)(y − 1) − 6(y − 1)2 .
4)2 .
2) fξη (x, y) = k exp−(x + 2)2 /4 + (x√+ 2)(y + 4)/3 − (y +
3) fξη (x, y) = k exp−3(x + 1)2 /8 + 2(x + 1)y/4 − y 2 /4 .
4) fξη (x, y) = k exp−2(x − 1)2 + (x − 1)(y + 2)/3 − (y + 2)2 /18 .
5) fξη (x, y) = k exp−2(x − 2)2 + 2(x − 2)(y + 1) − (y
+ 1)2 .
√
2
−
3)
.
6) fξη (x, y) = k exp−9(x + 1)2 /2 − 2(x + 1)(y − 3)/
5
(y
−
/10
2
2
.
7) fξη (x, y) = k exp−4x − 4x(y − 4) − 2(y − 4) √
2
8) fξη (x, y) = k exp−9(x − 2) + 3(x − 2)(y − 2)/ 2 − 9(y − 2)2 /8 .
2
9) fξη (x, y) = k exp−2(x − 5)2 /3 + 2(x − 5)(y + 1) − 6(y + 1)
.
2
2
10) fξη (x, y) = k exp −2(x − 3) + 4(x − 3)(y − 2) − 4(y − 2) .
√
R e x e n i e dl fξη (x, y) = k exp −3(x−2)2 + 6(x−2)(y +4)−3(y +4)2 .
i normal~no$
i plotnost~
Sravniva fξη (x, y) s dvumerno$
2
2
(y − m2 )
(x − m1 )
ρ(x − m1 )(y − m2 )
1
p
− 2
exp − 2
,
2
2 +
2
2σ1 (1 − ρ )
σ1 σ2 (1 − ρ )
2σ2 (1 − ρ2 )
2πσ1 σ2 1 − ρ
poluqim m1 = 2, m2 =
i
−4 , a 2 σ1 , σ22, ρ nahodts iz uravneni$
1/(2σ1 (1 − ρ )) =3√
ρ/(σ1 σ2 (1 − ρ2 )) = 6 .
1/(2σ22 (1 − ρ2 )) =3
Iz pervogo i tret~ego uravneni poluqim ravenstvo σ1 = σ2√
, a
zatem, razdeliv vtoroe uravnenie na pervoe, poluqim ρ = √
1/ 6 .
Podstavl√ ρ v pervoe uravnenie, poluqim σ1 = σ2 = 1/ 5 i
zatem k = 30/(2π) . J
16 . Ispol~zu primer 6.1, dokazat~ formulu eitm−(tσ) /2 dl
harakteristiqesko$
i funkcii normal~no$
i sluqa$
ino$
i veliqiny s
2
i σ .
matematiqeskim oidaniem m i dispersie$
2
17 . Dokazat~, qto summa nezavisimyh normal~nyh sluqa$
inyh
veliqin ξ1 , . . . , ξn s matematiqeskimi oidanimi m1 , . . . , mn i
dispersimi σ12 , . . . , σn2 vlets normal~no$
i sluqa$
ino$
i veliqin
n
X
X
no$
i s m=
mk i σ 2 =
σk2 .
k=1
108
k=1
$
IV. TEORI SLUQAINYH
PROCESSOV
1. Osnovnye opredeleni
Sluqa$
ino$
i funkcie$
i nazyvaets seme$
istvo sluqa$
inyh veliqin, zaviswih ot parametra t , prinimawego znaqeni iz
nekotorogo mnoestva T . Primery sluqa$
inyh funkci$
i: 1) naprenie teplovogo xuma rezistora kak funkci vremeni; 2)
tolwina provoloki kak funkci rasstoni ot naqala do toqki izmereni; 3) temperatura vozduha u poverhnosti Zemli v
opredennoe vrem goda kak funkci geografiqeskih koordinat
toqki izmereni i t. p. Sredi sluqa$
inyh funkci$
i osoby$
i interes predstavlt sluqa$
inye processy — sluqa$
inye funkcii,
u kotoryh parametr t interpretiruets kak vrem.
Opredelenie 1.1. ( Sluqa$iny$i process ) . Pust~ (Ω , A, P ) — verotnostnoe prostranstvo, T ⊆R . De$istvitel~nym sluqa$inym
processom, opredelennym na T , nazyvaets funkci ξ(ω, t) , kotora pri fiksirovannom t vlets sluqa$ino$i veliqino$i.
Funkci argumenta ω , kotora poluqaets, esli v ξ(ω, t)
fiksirovat~ argument t, nazyvaets seqeniem sluqa$
inogo processa ξ(ω, t) , a funkci argumenta t, kotora poluqaets, esli
v ξ(ω, t) fiksirovat~ argument ω , nazyvaets realizacie$i sluiqa$
inogo processa ξ(ω, t). Inogda udobno rassmatrivat~ sluqa$
ny$
i process kak seme$
istvo seqeni$
i, inogda — kak seme$
istvo
realizaci$
i. V dal~ne$
ixem v oboznaqenii sluqa$
inogo processa
ξ(ω, t) budem opuskat~ argument ω i oboznaqat~ prosto ξ(t) .
Rassmatriva sluqa$
iny$
i process kak seme$
istvo sluqa$
inyh
veliqin (seqeni$
i processa) mono oharakterizovat~ ego seme$
istvom sovmestnyh funkci$
i raspredeleni:
Fξ (x | t) = P (ξ(t) < x) ,
Fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) = P (ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 ) ,
...
Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) = P (ξ(t1 ) < x1 , . . . , ξ(tn ) < xn ) ,
...
to seme$
istvo udovletvoret uslovim simmetrii i soglasovannosti, kotorye dl dvumernyh raspredeleni$
i imet vid:
Fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) = Fξ (x2 , x1 | t2 , t1 ) ,
Fξ (x1 | t1 ) = Fξ (x1 , ∞ | t1 , t2 ) , Fξ (x2 | t2 ) = Fξ (∞, x2 | t1 , t2 ).
Dl seme$
istva funkci$
i raspredeleni F (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) ,
udovletvorwego uslovim simmetrii i soglasovannosti, mono vsegda na$
iti verotnostnoe prostranstvo (Ω , A, P ) i process ξ(t) takie, qto Fξ (x1 , . . . , xn |t1 , . . . , tn ) = F (x1 , . . . , xn |t1 , . . . , tn ).
109
Opredelenie 1.2 ( Normal~ny$i sluqa$iny$i process ) . Sluqa$iny$i
process ξ(t) , u kotorogo pri lbom natual~nom n>1 raspredeleni Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) normal~ny, nazyvaets normal~nym.
V priloenih teorii sluqa$
inyh processov redko udaets
opredelit~ seme$
istvo raspredeleni$
i, harakterizuwih sluqa$
iny$
i process; qawe izvestny lix~ nekotorye qislovye harakteristiki processa — momentnye funkcii.
Opredelenie 1.3. (Momentnye funkcii ) . Momentnymi funkcimi pordka k1 + . . . + kn sluqa$inogo processa ξ(t) nazyvats naqal~nye i central~nye momenty seqeni$i proces◦ k1
◦ kn
sa M (ξ k1 (t1 ) · · · ξ kn (tn )), M (ξ (t1 ) · · · ξ (tn )) , rassmatrivaemye kak
funkcii argumentov t1 , . . . , tn . Analogiqno opredelts vzaimnye momentnye funkcii neskol~kih processov. Qastnye sluqai :
mξ (t) M (ξ(t))
— matematiqeskoe oidanie processa ξ(t) ,
◦2
— dispersi processa ξ(t) ,
Dξ (t) M (ξ (t))
◦
◦
Kξ (t, u) M (ξ (t)ξ (u)) — korrelcionna funkci processa ξ(t) ,
◦
◦
Kξη (t, u) M (ξ (t)η (u))— vzaimna korrelcionna funkci
processov ξ(t) i η .
Processy
ξ(t),
η(t)
nazyvats nekorrelirovannymi, esli
Kξη (t, u) = 0 pri vseh t, u .
Teorema 1.1. ( Svo$istva normal~nyh processov ) . Normal~ny$i process polnost~ opredelets funkcimi mξ (t), Kξ (t, u) .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
Teorema 1.2. (Svo$istva momentnyh funkci$i ) . Pust~ ξ(t), η(t)
— sluqa$inye processy ; a(t), b(t) — nesluqa$inye funkcii ; xi ∈ R .
Togda:
1) ma (t) = a(t) ,
2) maξ+bη (t) = a(t)mξ (t) + b(t)mη (t) ,
3) Da (t) = 0,
4) Da+ξ (t) = Dξ (t),
5) Daξ (t) = a2 (t)Dξ (t),
6) Dξ (t) = Kξ (t, t),
7) Kξ (t, u) = Kξ (u, t) — simmetriqnost~ Kξ ,
n X
n
X
8)
Kξ (ti , tj )xi xj >0 — neotricatel~na opredelennost~ Kξ ,
i=1 j=1
9) Ka+ξ (t, u) = Kξ (t, u) ,
10) Kaξ (t, u) = Kξ (t, u)a(t)a(u) ,
110
p
11) |Kξ (t, u)|6 Dξ (t)Dξ (u),
12) Kξ (t, u) = Kξξ (t, u) ,
13) Kξη (t, u) = Kηξ (u, t) ,
14) Ka+ξ, b+η (t, u) = Kξη (t, u) ,
15) Kaξ,bη (t, u) =
pKξ (t, u)a(t)b(u),
16) |Kξη (t, u)|6 Dξ (t)Dη (u),
17) Kξ+η (t, u) = Kξ (t, u) + Kξη (t, u) + Kηξ (t, u) + Kη (t, u) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Bol~xinstvo formul neposredstvenno sledut iz svo$
istv momentov sluqa$
inyh veliqin. Dl primera
privedem sootnoxeni, dokazyvawie
p. 8 i 17.
!
!
2
n
n
n
X◦
X◦
X◦
ξ (ti )xi
=M
ξ (tj )xj =
06M
ξ (ti )xi
i=1
i=1
j=1
n X
n
n X
n
X
X
◦
◦
ξ (ti )ξ (tj )xi xj =
Kξ (ti , tj )xi xj .
=M
i=1 j=1
◦
i=1 j=1
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Kξ+η (t, u) = M [(ξ (t) + η (t))(ξ (u) + η (u))] = M [ξ (t)ξ (u) + ξ (t)η (u)+
◦
◦
◦
◦
+η (t)ξ (u) + η (t)η (u)] = Kξ (t, u) + Kξη (t, u) + Kηξ (t, u) + Kη (t, u) . J
Suwestvuet xiroki$
i krug zadaq, dl rexeni kotoryh dostatoqno znat~ tol~ko momentnye funkcii 1-go i 2-go pordkov.
ti zadaqi otnosts k tak nazyvaemo$
i line$ino$i teorii slui posvweny sleduwie razdely.
qa$inyh processov, kotoro$
2. Sluqa$
inye processy vtorogo pordka
Opredelenie 2.1. ( Sluqa$inye veliqiny i processy 2-go pordka ).
De$istvitel~na sluqa$ina veliqina ξ , opredelenna na verotnostnom prostranstve (Ω , A, P ) nazyvaets sluqa$ino$i veliqino$i 2-go pordka, esli M ξ 2 < ∞. Mnoestvo sluqa$inyh
veliqin 2-go pordka oboznaqaets simvolom L2 (Ω, A, P ). Sluqa$iny$i process ξ(t) nazyvaets processom 2-go pordka, esli
ξ(t) ∈ L2 (Ω, A, P ) dl vseh t ∈ T .
Teorema 2.1. ( Neravenstvo Koxi
p ) . Esli ξ, η ∈ L2 (Ω, A, P ) , to
|M (ξη)|6 M ξ 2 M η 2 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Kvadratiqna funkci de$
istvitel~nogo
argumenta x — M (xξ + η)2 = (M ξ 2 )x2 + 2M (ξη)x + M η 2 oqevidno neotricatel~na i po tomu dl diskriminanta to$
i funkcii
vypolnets neravenstvo 4(M (ξη))2 − 4(M ξ 2 )(M η 2 )60 , kvivalentnoe neravenstvu Koxi. J
111
Sledstvie. Sluqa$inye veliqiny i processy 2-go pordka imet
koneqnye momenty i momentnye funkcii 1-go i 2-go pordkov.
Teorema 2.2. (Prostranstvo sluqa$inyh veliqin 2-go pordka ) .
vlets
vewestvennym
line$inym
Mnoestvo
L2 (Ω, A, P )
prostranstvom.
Esli
otodestvlt~
sluqa$inye
veliqiny
2
ξ, η ∈ L2 (Ω, A, P ) , dl kotoryh M (ξ − η) = 0 , to v L2 (Ω, A, P )
mono opredelit~ skalrnoe proizvedenie
p i normu sleduwim
p
obrazom: (ξ , η) M (ξη) , ||ξ|| (ξ , ξ) = M ξ 2 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ M ξ 2 < ∞, M η 2 < ∞, a ∈ R . Togda
+ η)2 = M ξ 2 + p
M (aξ)2 = a2 M ξ 2 < ∞ ip M (ξp
2M (ξη) +pM η 2 6M ξ 2 +
+2|M (ξη)| + M η 2 6M ξ 2 + 2 M ξ 2 M η 2 + M η 2 = ( M ξ 2 + M η 2 )2 < ∞,
inoe prostranstvo.
otkuda sleduet, qto L2 (Ω, A, P ) — line$
Proverim vypolnenie aksiom skalrnogo proizvedeni dl
(ξ , η) = M (ξη) : 1) esli ξ = 0 , to (ξ , ξ) = M 0 = 0 . Obratno, esli (ξ , ξ) = M ξ 2 = M (ξ − 0)2 = 0 , to po uslovi ξ = 0 ;
2) (ξ , η) = M ξη = M ηξ = (η , ξ); 3) (aξ + bη , ζ) = M ((aξ + bη)ζ) =
= aM (ξζ) + bM (ηζ) = a(ξ , ζ) + b(η p
, ζ) .
Aksiomy normy dl ||ξ|| = (ξ , ξ) vsegda vypolnts. J
i vid neravenstva Koxi — |(ξ , η)|6||ξ|| · ||η||.
Zameqanie. Drugo$
Naliqie normy v prostranstve L2 (Ω, A, P ) pozvolet vvesti
pontie predela posledovatel~nosti sluqa$
inyh veliqin vtorogo
pordka i pontie predela sluqa$
inogo processa.
Opredelenie 2.2. ( Predely v srednem kvadratiqnom ) . Sluqa$ina
veliqina η ∈ L2 (Ω, A, P ) nazyvaets predelom v srednem kvadra∞
tiqnom ( s. k. ) posledovatel~nosti {ξn }n=1
sluqa$inyh veliqin
2-go pordka, esli lim ||ξn − η|| = 0 ( simvoliqeski η = l.i.m. ξn ) .
n→∞
n→∞
Sluqa$ina veliqina η nazyvaets predelom v s. k. processa ξ(t)
2 -go pordka pri t → t0 , esli lim ||ξ(t) − η|| = 0 (η = l.i.m. ξ(t)).
t→t0
t→t0
Teorema 2.3. ( Polnota prostranstva L2 (Ω, A, P )) . Dl togo
qtoby suwestvoval l.i.m. ξn , neobhodimo i dostatoqno, qtoby
n→∞
lim ||ξm − ξn || = 0 ( kriteri$i Koxi suwestvovani predela ) .
m,n→∞
Bez dokazatel~stva.
Kriteri$
i, kvivalentny$
i kriteri Koxi, no bolee udobny$
i dl primeneni v teorii sluqa$
inyh processov, daets v
sleduwem utverdenii.
112
Teorema 2.4. ( Kriteri$i suwestvovani predela v s. k. ) . Dl
suwestvovani l.i.m. ξn neobhodimo i dostatoqno suwestvovanie
n→∞
koneqnyh predelov lim M ξn ,
lim Kξm ξn . Esli l.i.m. ξn = η , to
M (l.i.m. ξn ) = M η i
n→∞
n→∞
m,n→∞
n→∞
lim Kξm ξn = Dη .
m,n→∞
D o k a z a t e l ~ s t v o . Podstavl v formulu Dξ = M ξ 2 − (M ξ)2
vyraeni ξ = ξm − ξn i ξ = ξn − η , poluqim ravenstva:
◦
◦
(1)
◦
◦ 2
(2)
||ξm − ξn ||2 = ||ξm − ξn ||2 + (M ξm − M ξn )2 ,
||ξn − η||2 = ||ξn − η|| + (M ξn − M η)2 ,
V silu polnoty prostranstv L2 (Ω, A, P ), R iz (1) sleduet, qto l.i.m. n→∞ ξn suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda
◦
suwestvut l.i.m. n→∞ ξ n , limn→∞ M ξn . Esli l.i.m. n→∞ ξn = η ,
◦
◦
to iz (2) sleduet, qto l.i.m. n→∞ ξ n = η , limn→∞ M ξn = M η .
Uqityva nepreryvnost~ skalrnogo proizvedeni poluqim
◦
◦
◦
◦
limm,n→∞ Kξm ξn = limm,n→∞ (ξ m , ξ n ) = ||η ||2 = Dη .
Esli suwestvut limn→∞ M ξn = m i limm,n→∞ Kξm ξn = c,
◦
◦
to limm,n→∞ (M ξm − M ξn ) = m − m = 0, limm,n→∞ ||ξ m − ξ n ||2 =
= limm,n→∞ (Kξm ξm −2Kξm ξn +Kξn ξn ) = c−2c+c = 0 i iz (1) sleduet,
qto limm,n→∞ ||ξm −ξn || = 0 . Po tomu suwestvuet l.i.m. n→∞ ξn . J
Sledstvie. V teoreme mono zamenit~ ξn , n → ∞, M ξn ,
Kξm ξn , m, n → ∞ na ξ(t), t → t0 , mξ (t), Kξ (t, u), (t, u) → (t0 , t0 ) ,
sootvetstvenno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pri
lim tn = t0
n→∞
l.i.m. ξ(t) = l.i.m. ξ(tn ) . J
t→t0
n→∞
3. Differencirovanie, integrirovanie sluqa$
inyh processov
Process vtorogo pordka ξ(t) mono rassmatrivat~ kak
krivu v prostranstve L2 (Ω, A, P ) , zadannu parametriqeski
pri pomowi parametra t . Nepreryvnost~ i differenciruemost~
processa ξ(t) mono ponimat~ kak nepreryvnost~ i differenciruemost~ to$
i krivo$
i.
Opredelenie 3.1. ( Nepreryvnost~ v s. k. sluqa$inyh processov )
Sluqa$iny$i process 2-go pordka ξ(t) nazyvaets nepreryvnym v
s. k. v toqke t0 , esli ξ(t0 ) = l.i.m. ξ(t) .
t→t0
Zameqanie. Iz nepreryvnosti v s. k. sluqa$
inogo processa ne
sleduet obyqna nepreryvnost~ ego realizaci$
i.
113
Teorema 3.1. ( Kriteri$i nepreryvnosti v s. k. ). Sluqa$iny$i process ξ(t) nepreryven v s. k. v toqke t0 togda i tol~ko togda,
kogda matematiqeskoe oidanie mξ (t) nepreryvno v toqke t0 i
korrelcionna funkci Kξ (t, u) nepreryvna v toqke (t0 , t0 ) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie teoremy sleduet iz kriteri
suwestvovani predela v s. k. sluqa$
inogo processa.
Opredelenie 3.2. ( Differenciruemost~ sluqa$inyh processov ) .
Sluqa$iny$i process ξ(t) nazyvaets differenciruemym v s. k. v
ξ(t) − ξ(t0 )
toqke t0 , esli suwestvuet predel l.i.m.
. tot predel
t→t0
t − t0
nazyvaets proizvodno$i v s. k. processa ξ(t) v toqke t0 .
Dl proizvodno$
i sluqa$
inogo processa priments te e
oboznaqeni, qto i dl obyqnyh proizvodnyh.
Teorema 3.2. ( Kriteri$i differenciruemosti v s. k. ) . Process
ξ(t) differenciruem v s. k. v toqke t0 togda i tol~ko togda,
dmξ (t)
∂ 2 Kξ (t, u)
,
.
kogda suwestvut proizvodnye
dt
∂t ∂u
t=t0
(t,u)=(t0 ,t0 )
ξ(t) − ξ(t0 )
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~ η(t) =
. Soglasno kritet − t0
ri suwestvovani predela sluqa$
inogo processa proizvodna
ξ (t0 ) = l.i.m. η(t) suwestvuet togda i tol~ko togda, kogda suwest→t0
tvut predel
lim M η(t) = mξ0 (t0 ) i predel
t→t0
Kξ (t, u) − Kξ (t, t0 ) − Kξ (t0 , u) + Kξ (t0 , t0 )
Kη (t, u) = lim lim
=
t→t0 u→t0
−
t
(t
)(u
−
t
)
(t,u)→(t0 ,t0 )
∂Kξ (t, u) ∂Kξ (t0 , u)
∂ 2 Kξ (t, u)
1
−
. J
=
= lim
t→t0 t − t0
∂u
∂u
∂t ∂u
(t,u)=(t0 ,t0 )
lim
u=t0
Teorema 3.3. ( Harakteristiki proizvodno$i ) . Pust~ ξ 0 (t) — proizvodna differenciruemogo sluqa$inogo processa ξ(t) . Togda :
∂ 2 Kξ (t, u)
∂Kξ (t, u)
mξ0 (t) = m0ξ (t), Kξ0 ξ (t, u) =
, Kξ0 (t, u) =
.
∂t
∂t ∂u
D o k a z a t e l ~ s tv o . Po teoreme
2.4
ξ(s) − ξ(t)
mξ (s) − mξ (t)
= lim
= m0ξ (t) .
mξ0 (t) = M l.i.m.
s→t
s→t
s−t
s − t!
◦
◦
ξ (s) − ξ (t)
◦
=
Kξ0 ξ (t, u) = ξ (u) , l.i.m.
s→t
s−t
!
◦
◦
◦
◦
ξ (s)ξ (u) − ξ (t)ξ (u)
∂Kξ (t, u)
Kξ (s, u) − Kξ (t, u)
= lim M
= lim
=
.
s→t
s→t
s−t
s−t
∂t
114
!
◦
◦
◦
◦
ξ (r) − ξ (u)
ξ (s) − ξ (t)
, l.i.m.
=
r→u
s→t
s−t
r−u
∂ 2 Kξ (t, u)
Kξ (s, r) − Kξ (t, r) − Kξ (s, u) + Kξ (t, u)
= lim lim
=
.
s→t r→u
(s − t)(r − u)
∂t ∂u
Kξ0 (t, u) =
l.i.m.
Opredelenie 3.3. ( Opredelenny$i integral sluqa$inogo processa ) .
Pust~ sluqa$iny$i process ξ(t) opredelen na otrezke [a, b], kotory$i razbit na n qaste$i toqkami a = t0 < t1 < . . . < tn = b.
Opredelennym integralom v s. k. sluqa$inogo processa ξ(t) v
predelah ot a do b nazyvaets predel v s. k. integral~nyh
Z b
Pn
summ
ξ(t)dt l.i.m.
s
,
gde
s
=
n
n
i=1 ξ(ti )∆i , ∆ti = ti − ti−1 .
n→∞
a
max ∆ti →0
Teorema 3.4. ( Kriteri$i integriruemosti v s. k. ) . Nepreryvny$i
v s. k. process ξ(t) integriruem v s. k. na [a, b] togda i tol~ko
Rb
RbRb
togda, kogda suwestvut a mξ (t)dt i a a Kξ (t, u)dtdu.
Rb
Dokazatel~stvo.
Po teoreme 2.4
ξ(t)dt
suwestvua
et togda i tol~ko togda, kogda suwestvut predely :
Z b
n
X
lim M sn = lim
mξ (t)dt ,
mξ (t0i )∆ti =
n→∞
lim Ksm sn =
m,n→∞
n→∞
lim
m,n→∞
m X
n
X
a
i=1
Kξ (t0i , u0j )∆ti ∆uj
=
Z
b
a
i=1 j=1
Z
a
b
Kξ (t, u)dtdu . J
Teorema 3.5. ( Svo$istva integrala v s. k. ) . Esli ξ(t) — inRb
tegriruemy$i sluqa$iny$i process i η = a ξ(t)dt , to :
Z b
Z bZ b
Z b
Mη =
mξ (t)dt , Kξ(t)η =
Kξ (t, u)dtdu.
Kξ (t, u)du , Dη =
a
a
a
a
Rb
D o k a z a t e l ~ s t v o . M η = limn→∞
m
(t
)∆t
=
mξ (t)dt
ξ i
i
i=1
a
!.
!
n
n
X◦
X◦ ◦
◦
Kξ(t)η = ξ (t) , l.i.m.
ξ (ui )∆ui = lim M
ξ (t)ξ (u0i )∆ui =
n→∞
i=1
n
X
Pn
n→∞
Z
i=1
b
Kξ (t, u0i )∆ui =
= lim
Kξ (t, u)du .
n→∞
a
i=1
m
n
X◦
X◦
ξ (t0i )∆ti , l.i.m.
ξ (u0j )∆uj =
Dη = M l.i.m.
m→∞
i=1
n→∞
j=1
Z
m
n
XX◦
◦
ξ (t0i )ξ (u0j )∆ti ∆uj =
= lim lim M
m→∞ n→∞
i=1 j=1
a
b
Z
b
a
Kξ (t, u)dtdu . J
115
Opredelenie 3.4. (Integral~noe preobrazovanie processa ) . Integral~nym preobrazovaniem s drom h(t,Rτ ) sluqa$inogo processa
∞
ξ(t) nazyvaets sluqa$iny$i process η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds .
preobrazovani ) .
Teorema 3.6. ( Harakteristiki integral~nogo
R∞
Integral~noe preobrazovanie η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds processa ξ(t)
suwestvuet
togda i tol~ko
togda, kogda suwestvut integR∞ R∞
R∞
h(t, u)h(t, v)Kξ (u, v)dudv , priqem
h(t, s)mξ (s)ds,
raly
−∞ −∞ R
R−∞
∞ R∞
∞
mη (t) = −∞ h(t, s)mξ (s)ds, Kη (t, u) = −∞ −∞ h(t, r)h(u, s)Kξ (r, s)drds,
R∞
Kξη (t, u) = −∞ h(u, s)Kξ (t, s)ds .
Rt
Rt
Sledstvie. Esli η(t) = 0 ξ(s)ds , to mη (t) = 0 mξ (s)ds,
RtRu
Kξ (t, u) = 0 0 Kξ (r, s)drds .
Dokazatel~stvo rekomenduets qitatel kak upranenie.
4. Razloenie Karunena–Lo va
Korrelcionnu funkci mono rassmatrivat~ kak dro
integral~nogo preobrazovani. Po teoreme 1.1 (p.p. 7, 8)
to dro simmetriqno i neotricatel~no opredeleno. Odnako
v bol~xinstvePpriloeni$
i krome svo$
istva neotricatel~no$
i opn Pn
redelennosti
i=1
j=1 Kξ (ti , tj )xi xj >0 pri lbyh xk ∈ R, k =
1, . . . , n korrelcionna funkci sluqa$
inogo processa obladaet
bolee sil~nym svo$
istvom poloitel~no$i opredelennosti, zaklqawims v tom, qto v ukazannom sootnoxenii ravenstvo
imeet mesto tol~ko pri uslovii x1 = . . . = xn = 0 . Dl takih
der v spravedlivo sleduwee utverdenie.
Teorema 4.1. ( Teorema Mersera ) . Simmetriqnoe nepreryvnoe poloitel~no opredelennoe dro K(t, u) , t, u ∈ [a, b] moet byt~
predstavleno Pv vide absoltno i ravnomerno shodwegos r∞
da K(t, u) =
i=1 λi ϕi (t)ϕi (u) , gde nepreryvnye funkcii ϕi (t) i
poloitel~nye
qisla λi udovletvort integral~nomu uravneRb
ni a K(t, u)ϕi (u)du = λi ϕi (t) i uslovim ortonormirovannosti
Rb
1 pri i = j
na otrezke [a, b] a ϕi (t)ϕj (t)dt =
.
0 pri i =
6 j
Funkcii ϕi (t) nazyvats sobstvennymi funkcimi dra
K(t, u) , sootvetstvuwimi sobstvennym znaqenim λi . Mono
sobstvennyh funkci$
i popokazat~, qto mnoestvo {ϕi (t)}∞
n=1
loitel~no opredelennogo dra obladaet svo$
istvom polnoty,
zaklqawims v tom, qto vska funkci f (t) , t ∈ [a, b] , udovRb
letvorwa uslovi a |f (t)|2 dt < ∞ , moet byt~ predstavlena
Rb
P∞
v vide rda f (t) = i=1 fi ϕi (t) , gde fi = a f (t)ϕi (t)dt .
116
Teorema 4.2. ( Razloenie Karunena–Lo va ) . Vski$i nepreryvny$i v s. k. sluqa$iny$i process ξ(t) , t ∈ [a, b] s poloitel~no
opredelenno$i korrelcionno$i funkcie$i moet P
byt~ predstav∞
len v vide shodwegos v s. k. rda ξ(t) =
i=1 αi ϕi (t) , gde
Rb
αi = a ξ(t)ϕi (t)dt — poparno nekorrelirovannye sluqa$inye veliRb
qiny s M αi = a mξ (t)ϕi (t)dt , Dαi = λi ; λi — sobstvennye qisla,
ϕi (t) — sobstvennye funkcii dra Kξ (t, u) .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Momenty
sluqa$
inyh
R 1-go i 2-go
pordka
R
b
b
veliqin αi ravny: M αi = M a ξ(t)ϕi (t)dt = a mξ (t)ϕi (t)dt = mi ,
R
RbRb
Rb
b
Kαi αj = a a Kξ (t, u)ϕi (t)ϕj (u)dtdu = a ϕi (t) a Kξ (t, u)ϕj (u)du dt =
Rb
= λi a ϕi (t)ϕj (t)dt = δij λi . Takim obrazom, dl sluqa$
inyh veliqin αi vypolnts utverdeni teoremy.
qto posledovatel~nost~ qastiqnyh summ sn =
PDokaem,
n
= i=1 αi ϕi (t) shodits v s. k. i ee predel raven ξ(t) . Po teoreme 2.4 dl togo neobhodimo i dostatoqno dokazat~ ravenstva
limn→∞ M sn = mξ (t) , limm,n→∞ Ksm sn = Kξ (t, t) . Pervoe sleduet iz
polnoty mnoestva {ϕi (t)}∞
n=1 . Vtoroe sleduet iz teoremy Mermin{m,n}
X
λi ϕi (t)ϕi (t) = Kξ (t, t). J
sera
lim Ksm sn = lim
m,n→∞
m,n→∞
i=1
Razloenie Karunena–Lo va pokazyvaet, qto sluqa$
iny$
i process 2-go pordka mono polnost~ opredelit~, zadava sootvetstvuwim obrazom posledovatel~nost~ nekorrelirovannyh
sluqa$
inyh veliqin — ko fficientov αi razloeni. U normal~nyh sluqa$
inyh processov ti ko fficienty vlts vzaimno nezavisimymi normal~nymi sluqa$
inymi veliqinami.
Teorema 4.2 navodit na mysl~ o vozmonosti
predstavleni
Pn
processov 2-go pordka v vide ξ(t) = k=1 αk fk (t) , gde αk —
inye funsluqa$
inye veliqiny 2-go pordka, fk (t) — nesluqa$
kcii vremeni. Pri takom predstavlenii
mξ (t) =
n
X
k=1
mαk fk (t), Kξ (t, u) =
n X
n
X
Kαi αj fi (t)fj (u) .
i=1 j=1
Primer 4.1. Sluqa$
iny$
i process ξ(t) = α sin ω0 t + β cos ω0 t nazyvaets garmoniqeskim kolebaniem krugovo$
i qastoty ω0 so
sluqa$
ino$
i amplitudo$
i i fazo$
i, poskol~ku
p ego mono predstavit~ v vide ξ(t) = A sin(ωt + ϕ) , gde A = α12 + α22 — sluqa$
ina
α
amplituda, ϕ = Arctg α12 — sluqa$
ina faza.
117
5. Stacionarnye sluqa$
inye processy
V
tom razdele sluqa$
inye processy zadany pri t ∈ R .
Opredelenie 5.1. ( Stacionarnye processy ) . Process ξ(t) nazyvaets stacionarnym v uzkom smysle, esli dl vseh n,
t1 , . . . , tn , τ Fξ (x1 , . . . , xn | t1 , . . . , tn ) = Fξ (x1 , . . . , xn | t1 + τ, . . . , tn + τ ) .
Process ξ(t) nazyvaets stacionarnym v xirokom smysle, esli
dl vseh t , t1 , t2 , τ mξ (t) = mξ (t + τ ) , Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t1 + τ, t2 + τ ) .
V line$
ino$
i teorii rassmatrivats tol~ko stacionarnye v
xirokom smysle processy.
Teorema 5.1. ( Kriteri$i stacionarnosti ). Dl stacionarnosti v
xirokom smysle processa ξ(t) neobhodimo i dostatoqno, qtoby
mξ (t) = const = mξ i Kξ (t1 , t2 ) zavisela tol~ko ot t2 − t1 .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Neobhodimost~.
mξ (t) = mξ (t + τ ) = const .
Kξ (t1 , t2 ) = Kξ (t1 + τ, t2 + τ )τ =−t = Kξ (0, t2 − t1 ) .
1
Dostatoqnost~. Esli mξ (t) = const i Kξ (t1 , t2 ) zavisit tol~ko
ot t2 − t1 , to pri vseh τ mξ (t) = mξ (t + τ ), Kξ (t1 , t2 ) =
= Kξ (t1 + τ, t2 + τ ) . J
Sledstvie. U stacionarnogo processa ξ
Dξ (t) = const = Dξ .
Opredelenie 5.2. ( Korrelcionna funkci stacionarnogo processa ) . Korrelcionno$i funkcie$i stacionarnogo processa ξ(t) nazyvaets funkci Rξ (τ ) Kξ (t, t + τ ) .
Teorema 5.2. ( Svo$istva korrelcionno$i funkcii Rξ (τ )). Korrelcionna funkci Rξ (τ ) stacionarnogo processa ξ(t) vlets
qetno$i funkcie$i peremenno$i τ i max Rξ (τ ) = Rξ (0) = Dξ .
Dokaza
pt e l ~ s t v o . Rξ (τ ) = Kξ (t, t + τ ) = Kξ (t + τ, t) = Rξ (−τ ) .
|Rξ (τ )|6 Dξ (t)Dξ (t + τ ) = Dξ . J
Opredelenie 5.3. ( Stacionarna svzannost~ ). Sluqa$inye processy ξ(t) , η(t) nazyvaets stacionarno svzannymi ( v xirokom
smysle ) , esli dl vseh t1 , t2 , τ
Kξη (t1 , t2 ) = Kξη (t1 + τ, t2 + τ ) .
Funkci Rξη (τ ) Kξη (t, t + τ ) nazyvaets vzaimno$i korrelcionno$i funkcie$i stacionarno svzannyh processov ξ(t) , η(t) .
Teorema 5.3. ( Summa stacionarnyh i stacionarno svzannyh
processov ) . Summa stacionarnyh i stacionarno svzannyh sluqa$inyh processov vlets stacionarnym processom.
118
D o k a z a t e l ~ s t v o . Dl stacionarnyh i stacionarno svzannyh sluqa$
inyh processov ξ(t) i η(t) vypolnts sootnoxeni:
mξ+η (t) = mξ (t) + mη (t) = mξ + mη = const , Kξ+η (t, t + τ ) = Kξ (t, t + τ ) +
+Kξη (t, t+τ )+Kηξ (t, t+τ )+Kη (t, t+τ ) = Rξ (τ )+Rξη (τ )+Rηξ (τ )+Rη (τ ),
iz kotoryh po teoreme 5.2 sleduet, qto process ξ(t) + η(t) stacionaren v xirokom smysle. J
Sledstvie. Summa nekorrelirovannyh stacionarnyh
processov vlets stacionarnym processom.
sluqa$inyh
Teorema 5.4. ( Proizvodna stacionarnogo processa ) . Stacionarny$i process ξ(t) differenciruem togda i tol~ko togda, kogda suwestvuet Rξ00 (0) i v tom sluqae ξ 0 (t) vlets stacionarnym processom, stacionarno svzannym s ξ(t) . Korrelcionnye harakteristiki processov ξ(t) i ξ 0 (t) svzany formulami
Rξ0 (τ ) = −Rξ00 (τ ) , Rξξ0 (τ ) = −Rξ0 ξ (τ ) = Rξ0 (τ ). Seqeni processov ξ
i ξ 0 v sovpadawie momenty vremeni nekorrelirovany.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie o differenciruemosti sleduet iz teoremy 3.2. Formuly dl korrelcionnyh harakteristik
vytekat iz teorem 3.3 i sootnoxeni$
i
∂Kξ (t, u)
∂Rξ (u − t)
∂Rξ (u − t)
∂Kξ (t, u)
=
= −Rξ0 (u − t),
=
= Rξ0 (u − t) ,
∂t
∂t
∂u
∂u
∂ 2 Kξ (t, u)
∂ 2 Rξ (u − t)
=
= −Rξ00 (u − t).
∂t∂u
∂t∂u
V silu togo, qto proizvodna qetno$
i funkcii neqetna
Rξξ0 (τ )τ =0 = Rξ (τ )τ =0 = 0 , qto oznaqaet nekorelirovannost~ seqeni$
i processov ξ i ξ 0 v sovpadawie momenty vremeni. J
Opredelenie 5.4. ( Stacionarnoe integral~noe preobrazovanie ) .
Integral~noe preobrazovanie nazyvaets stacionarnym, esli ego
dro zavisit ot raznosti argumentov, t.e. h(t, τ ) = h(t − τ ).
Teorema 5.5. (Stacionarnye integral~nye
preobrazovani staR∞
cionarnyh processov ) . Pust~ η(t) = −∞ h(t − τ )ξ(τ )dτ , ξ(t) —
R∞
stacionarny$i process. Esli
|h(t)|dt < ∞ , to process η(t)
−∞
stacionaren i stacionarno svzan s processom ξ(t) . Harakteristiki processov
ξ(t) i η(t) Zsvzany
formulami
Z
Z
mη = mξ
∞
h(t)dt , Rη (τ ) =
−∞
Rξη (τ ) =
Z
∞
∞
−∞
∞
−∞
−∞
h(s1 )h(s2 )Rξ (τ − s2 + s1 )ds1 ds2 ,
h(s)Rξ (τ − s)ds.
119
D o k a z a t e l ~ s t v o . Utverdenie
sleduet iz teoremy 3.6, soR∞ R∞
otnoxeni$
i Kη (t1 , t2 ) = −∞ −∞ h(t1 − r1 )h(t2 − r2 )Rξ (r2 − r1 )dr1 dr2 =
R∞ R∞
R∞
= −∞ −∞ h(s1 )h(s2 )Rξ (t2 − t1 − s2 + s1 )ds1 ds2 , Kξη (t1 , t2 ) = −∞ h(t2 −
R∞
−r2 )Rξ (r2 − t1 )dr2 = −∞ h(s)Rξ (t2 − t1 − s)ds i absoltno$
i integriruemosti funkcii h(t) na (−∞, ∞) . J
Esli
korrelcionna
funkci
stacionarnogo
processa
ξ(t) udovletvoret uslovi absoltno$
i integriruemosti na
(−∞, ∞) , to dl Rξ (τ ) suwestvuet preobrazovanie Fur~e i
po tomu mono opredelit~ funkci Sξ (ω) , svzannu s Rξ (τ )
sootnoxenimi
Z
Z ∞
1
1 ∞
Rξ (τ )e−iωτ dτ,
Sξ (ω)eiωτ dω. (1)
Rξ (τ ) =
Sξ (ω) =
π −∞
2 −∞
Netrudno dokazat~, qto funkci Sξ (ω) vlets nepreryvno$
i
qetno$
i neotricatel~no$
i funkcie$
i. V silu qetnosti funkci$
i
Rξ (τ ) , Sξ (ω) formuly (1) mono perepisat~ v vide
Z
Z ∞
2 ∞
Rξ (ω) cos ωτ dτ ,
Rξ (τ ) =
Sξ (τ ) cos ωτ dω .
(2)
Sξ (ω) =
π 0
Opredelenie 5.5. ( Spektral~na plotnost~ ). Qetna neotricatel~na funkci Sξ (ω) , svzanna formulami (1) s korrelcionno$i funkcie$i Rξ (τ ) , nazyvaets spektral~no$i plotnost~ ( spektrom ) stacionarnogo processa s nepreryvnym spektrom ξ(t) .
Hot uslovie absoltno$
i integriruemosti, pri kotorom suwestvuet nepreryvny$
i spektr, kaets dovol~no obwim, suwestvut stacionarnye processy s korrelcionnymi funkcimi,
ne udovletvorwimi tomu uslovi. Process v primere 4.1
(garmoniqeskoe kolebanie qastoty ω0 so sluqa$
ino$
i amplitudo$
i
i fazo$
i), v kotorom α, β — nekorrelirovannye sluqa$
inye
2
veliqiny s mα = mβ = 0, Dα = Dβ = σ0 , vlets stacionarnym v xirokom smysle sluqa$
inym processom s korrelcionno$
i
2
is absoltno integriruefunkcie$
i R(τ ) = σ0 cos ωτ , ne vlwe$
mo$
i na (−∞, ∞) , i dl togo processa spektral~na plotnost~
Sξ (ω) kak obyqna funkci ne suwestvuet. Esli e opredelit~ obobwennu funkci δ(t) kak funkci, de$
istvuwu pod
znakom
integrala na nepreryvnu funkci f (t) po pravilu
R∞
δ(t−t0 )f (t)dt = f (t0 ) , to spektr processa ξ(t) mono zapisat~
−∞
v vide Sξ (ω) = σ02 (δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )). Rassmotrenny$
i primer vlets qastnym sluqaem stacionarnogo processa s diskretnym
spektrom. V obwem sluqae stacionarny$
i v xirokom smysle
process s diskretnym spektrom predstavlets v vide
120
ξ(t) =
∞
X
(αk sin ωk t + βk cos ωk t) ,
k=1
gde αk , βk poparno nekorrelirovannye sluqa$
inye veliqiny s
nulevymi matematiqeskimi oidanimi i dispersimi, udovP∞ 2
letvorwimi uslovim Dαk = Dβk = σk2 ,
k=1 σk < ∞. Korrelcionna funkci i spektral~na plotnost~ ξ(t) imet vid
∞
∞
X
X
2
σk2 (δ(ω − ωk ) + δ(ω + ωk )).
Rξ (τ ) =
σk cos ωk τ , Sξ (ω) =
k=1
k=1
Teorema 5.1. (Preobrazovanie spektra stacionarnym integral~nym preobrazovaniem ) . Pust~
R ∞ ξ(t) — stacionarny$i process
so spektrom Sξ (ω) ; η(t) = −∞ h(t − τ )ξ(τ )dτ — stacionarnoe
integral~noe preobrazovanie s drom h(t) , dl kotorogo suwestvuet preobrazovanie Fur~e H(ω) . Togda η(t) — stacionarny$i
process so spektrom Sη (ω) = |H(ω)|2 Sξ (ω).
Z∞ Z∞
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rη (τ ) =
h(t)h(u)Rξ (τ − u + t)dtdu =
Z∞ Z∞ Z∞
−∞ −∞
Z∞
Z∞
1
1
h(u)e−iωu du×
h(t)h(u)Sξ (ω)eiω(τ −u+t) dtdudω =
2
2
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
∞
Z
Z∞
1
×
h(t)e−iωt dtSξ (ω)eiωτ dω =
|H(ω)|2 Sξ (ω)eiωτ dω . J
2
=
−∞
−∞
6. Upraneni
1 . Dl sluqa$
inogo processa ξ(t) = αe(β+1)t , gde α, β — nezavisimye sluqa$
inye veliqiny, prinimawie ravnoverotno znaqeni ±1 , opredelit~ mξ (t) i predstavit~ na odnom grafike
realizacii i mξ (t) pri t ∈ [0, ln 2] .
2 . Dl sluqa$
inogo processa ξ(t) = αt + βt2 , t ∈ [1, 2] , gde α, β
— nezavisimye normal~nye sluqa$
inye veliqiny s M α = 1,
M β = −1, σα = 4, σβ = 3 , opredelit~ fξ (x | t), fξ (x1 , x2 | t1 , t2 ) .
k
3 . Opredelit~ matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu
funkci sluqa$
inogo processa ξ(t) :
−2t
1) 2αe
− β cos t pri mα = 1, mβ = 0, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5 ;
2) α sin t − βet pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5;
3) −2αt + β cos t pri mα = 1, mβ = 4, σα2 = 1, σβ2 = 9, rαβ = −1/3;
121
4) −α sin t + β cos t pri mα = −1, mβ = 1, σα2 = 2, σβ2 = 2, rαβ = 0, 5 ;
5) −2αt + βe−t pri mα = −1, mβ = 5, σα2 = 1, σβ2 = 16, rαβ = 0, 25 ;
6) 3αt2 − β sin t pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 9, rαβ = −1/3;
7) −4α cos2 t + βet pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = 0, 5 ;
8) −2αt + 4β cos2 t pri mα = −1, mβ = 1, σα2 = 4, σβ2 = 1, rαβ = −0, 5 ;
9) 4αt3 − βe−t pri mα = 1, mβ = −1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = 0, 5;
10) −2αe−2t + 2β cos 2t pri mα = 1, mβ = 1, σα2 = 1, σβ2 = 4, rαβ = −0, 5.
Opredelit~ matematiqeskoe oidanie
i korrelcionnu funRt
kci processov η(t) = ξ (t), ζ(t) = 0 ξ(u)du .
R e x e n i e dl ξ(t) = α sin t + β cos t pri mα = 3, mβ = 2, σα2 = 2,
σβ2 = 8, rαβ = 0.25 . Po teoreme 1.2 mξ (t) = 3 sin t + 2 cos t,
Kξ (t, u) = 2 sin t sin u + sin t cos u + cos t sin u + 8 cos t cos u . Po teo∂ 2 K (t,u)
ξ
reme 3.3 mη (t) = m0ξ (t) = 3 cos t − 2 sin t, Kη (t, u) =
=
∂t ∂u
= 2 cos t cos u − sin t cos uR− cos t sin u + 8 sin t sin u. Po sledstvi tet
oremy 3.6 mζ (t) = 0 mξ (u)du = 3(1 − cos t) + 2 sin t, Kζ (t, u) =
RtRu
= 0 0 Kξ (r, s)drds = 2(1−cos t)(1−cos u)+sin t(1−cos u)+(1−cos t) sin u+
+8 sin t sin u. J
4 . Na$
iti matematiqeskoe oidanie i korrelcionnu funkci
2
η(t) = tξ 0 (t) + t2 , esli mξ (t) = 3t2 + 2t , Kξ (t, u) = 2e−(t−u) .
5 . Na$
iti matematiqeskoe
oidanie i korrelcionnu funkci
Rt
η(t) = ξ(t) + 0 ξ(u)du, esli mξ (t) = sin t , Kξ (t, u) = σ 2 cos(t − u).
iny$
i process R ξ(t) imeet harakteristiki: mξ (t) = t,
6 . Sluqa$
∞
−|t−u|
Kξ (t, u) = e
; η(t) = −∞ h(t, s)ξ(s)ds , gde h(t, u) = e−(t−u) pri
t>u i h(t, u) = 0 pri t < u . Opredelit~ mη (t) , Kη (t, u) , Dη (t) .
7 . Dokazat~, qto garmoniqeskoe kolebanie so sluqa$
inymi amplitudo$
i i fazo$
i ξ(t) = α sin 2πf t + β cos 2πf t pri mα = mβ = 0 ,
2
Dα = Dβ = σ , Kαβ = 0 vlets stacionarnym v xirokom smysle processom. Opredelit~ mξ , Rξ , Dξ Rξ0 , Dξ0 .
8 . vlets li stacionarny$
i process s korrelcionno$
i fun−|τ |
kcie$
i R(τ ) = e
(1 + |τ |) differenciruemym?
9 . Opredelit~ spektral~nu plotnost~ stacionarnogo processa
ξ(t) s korrelcionno$
i funkcie$
i Rξ (τ ) = σ 2 e−a|τ | , a > 0 .
10 . Opredelit~ korrelcionnu funkci stacionarnogo processa so spektral~no$
i plotnost~
N pri |ω| 6 ω0 ,
Sξ (ω) =
0 pri |ω| > ω0 .
122
V. MATEMATIQESKA STATISTIKA
1. Osnovnye ponti i opredeleni
Matematiqesko$
i statistiko$
i nazyvaets razdel matematiki, posvwenny$
i metodam obrabotki dannyh, poluqennyh v rezul~tate provedeni sluqa$
inyh ksperimentov. Matematiqeska
statistika i teori verotnoste$
i tesno svzany drug s drugom.
Ishodnym punktom dl teorii verotnoste$
i vlets matematiqeska model~ real~nogo vleni, kotora trebuet zadani verotnoste$
i sobyti$
i, funkci$
i raspredeleni ili momentov sluqa$
inyh veliqin. Esli ti harakteristiki ne izvestny, to ih
opredelt po opytnym dannym metodami matematiqesko$
i statistiki. V svo oqered~, metody matematiqesko$
i statistiki
osnovany na teorii verotnoste$
i.
Matematiqesku statistiku mono razdelit~ na dve qasti:
odnomernu statistiku i mnogomerny$
i statistiqeski$
i analiz.
V odnomerno$
i matematiqesko$
i statistike opytnye dannye vlts znaqenimi nekotoro$
i sluqa$
ino$
i veliqiny ili, toqnee,
lementami vyboroqnogo verotnostnogo prostranstva to$
i sluqa$
ino$
i veliqiny (R, B, P ) , nazyvaemogo v statistike general~no$i
sovokupnost~ s raspredeleniem P . V mnogomernom statistiqeskom analize general~no$
i sovokupnost~ vlets vyboroqnoe
verotnostnoe prostranstvo sluqa$
inogo vektora (Rm , Bm , P ) , gde
m — qislo komponent vektora. Snaqala my rassmotrim odnomernye statistiqeskie zadaqi.
i soV statistiqeskih zadaqah raspredelenie P general~no$
vokupnosti libo polnost~, libo qastiqno neizvestno. to
obstotel~stvo mono utoqnit~, zadava seme$
istvo raspredeleni$
i P , kotoromu po predvaritel~nym dannym prinadleit
raspredelenie general~no$
i sovokupnosti (pri polnom otsutstvii informacii o P mono vybrat~ seme$
istvo vseh vozmonyh raspredeleni$
i). Vo mnogih zadaqah matematiqesko$
i statistiki raspredelenie P vlets izvestno$
i funkcie$
i, soderawe$
i neizvestny$
i skalrny$
i ili vektorny$
i parametr. V
tom sluqae seme$
istvo raspredeleni$
i P zadaets parametriqeski P = { P ( . | θ ) : θ ∈ Θ }, gde Θ⊆Rq — mnoestvo znaqeni$
i
parametra θ . Kadu statistiqesku zadaqu mono sformulirovat~ kak zadaqu poluqeni informacii o raspredelenii P
ili o ego parametrah.
123
Osnovnym statistiqeskim metodom poluqeni informacii o
P vlets metod prostogo sluqa$inogo vybora, sostowi$
i v
mnogokratnom nezavisimom sluqa$
inom izvleqenii (s vozvraweniem) lementov general~no$
i sovokupnosti xi , i = 1, . . . , n —
vyboroqnyh znaqeni$i. Pri prostom sluqa$
inom vybore vektor
i vyborko$i obema n iz general~no$
i
x = (x1 , . . . , xn ) , nazyvaemy$
sovokupnosti s raspredeleniem P , mono rassmatrivat~ kak
ishod posledovatel~nosti n nezavisimyh ispytani$
i, matematiqesko$
i model~ kotoro$
i vlets verotnostnoe prostransn
n
tvo (R , B , P ) . Sluqa$
i formulo$
i
iny$
i vektor ξ , opredelemy$
ξ ( x ) = x , nazyvaets sluqa$ino$i vyborko$i, a ego komponenty
— sluqa$inymi vyboroqnymi znaqenimi. Dl lbogo mnoestva
iz B vida B1 × . . . ×Bn raspredelenie sluqa$
ino$
i vyborki ravno P ξ (B1 × . . . ×Bn ) = P (ξ1 ∈ B1 , . . . , ξn ∈ Bn ) = P (B1 ) · · · P (Bn ) . to
vyraenie pozvolet dat~ drugoe opredelenie dl ξ .
P
Opredelenie 1.1. ( Sluqa$ina vyborka, vyborka ). Sluqa$ino$i vyborko$i obema n iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem
P nazyvaets n -komponentny$i sluqa$iny$i vektor ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ,
komponenty kotorogo vzaimno nezavisimy i imet raspredelenie P . Lba vyborka x obema n iz general~no$i sovokupnosti
s raspredeleniem P vlets znaqeniem sluqa$ino$i vyborki ξ .
Mono pokazat~ [3], qto suwestvuet verotnostnoe prostranstvo (R∞ , B∞ , P∞ ) vyborok beskoneqnogo sqetnogo obema
takih, qto kadoe verotnostnoe prostranstvo (Rn , Bn , P ) koneqno$
i vyborki vlets proekcie$
i prostranstva (R∞ , B∞ , P∞ ) .
Rezul~taty, poluqaemye metodami matematiqesko$
i statistiki, vlts funkcimi sluqa$
ino$
i vyborki ξ (takie funkcii
nazyvats take statistikami). Po tomu ne sleduet oidat~ ot matematiqesko$
i statistiki toqnyh otvetov. Vse otvety
budut lix~ ocenkami toqnyh znaqeni$
i interesuwih nas veliqin. Svo$
istva ocenok opredelts ih verotnostnymi harakteristikami: naqal~nymi i central~nymi momentami, a take
verotnostmi sobyti$
i, svzannyh s ocenkami.
P
Opredelenie 1.2. ( Sostotel~nost~, nesmewennost~, ffektivh( x ) veliqiny h po vyborke x obema n
nost~ ) . Ocenka b
h=b
iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem P nazyvaets :
P∞
h pri n → ∞;
— sostotel~no$i, esli b
h( ξ ) −→
b
— nesmewenno$i, esli M h( ξ ) = h. V protivnom sluqae ocenka
h) = M b
nazyvaets smewenno$i so smeweniem b(b
h( ξ ) − h.
2
— ffektivno$i, esli M (b
h(ξ ) − h) prinimaet minimal~noe iz
vseh vozmonyh znaqeni$i.
124
2. mpiriqeskie harakteristiki vyborki
Sleduwee utverdenie, dokazatel~stvo kotorogo rekomenduets qitatel v kaqestve upraneni, po suti dela vvodit
verotnostnye ponti v matematiqesku statistiku.
Teorema 2.1. (mpiriqeskoe raspredelenie vyborki ) . Dl vyborki
1 Pn I (x ), sopostavlwa
x = (x1 , . . . , xn ) funkci P ∗ (B|x ) n
i=1 B i
mnoestvu B ∈ B qastotu popadani v nego vyboroqnyh znaqeni$i, vlets odnomernym diskretnym raspredeleniem, nazyvaemym mpiriqeskim raspredeleniem vyborki.
Matematiqeska statistika osnovana na dopuwenii, qto mpiriqeskoe raspredelenie vyborki soderit vs dostupnu informaci o raspredelenii general~no$
i sovokupnosti.
mpiriqeskoe raspredelenie porodaet svzannye s nim mpiriqeskie harakteristiki: funkci raspredeleni, zakon raspredeleni, naqal~nye i central~nye momenty. mpiriqeski$
i
zakon raspredeleni predstavlets v vide tablicy qastot:
zj
p (zj )
∗
z1
p (z1 )
∗
...
...
zs
p (zs )
∗
gde zj , j = 1, . . . , s — razliqnye vyboroqnye znaqeni, a p∗ (zj )
— qastoty znaqeni$
i zj . mpiriqesku funkci raspredeleni i mpiriqeskie momenty mono predstavit~ sleduwimi
formulami, soderawimi kak veliqiny zj , tak i ishodnye vyn
X
1X
∗
∗
p (zj ) =
boroqnye znaqeni xi : F (x|x ) =
I(−∞,x) (xi ),
n
z ) θ 2 , esli L(θ 1 |x ) > L( θ 2 |x ) .
pr
pr
Sootnoxenie θ 1 > θ 2 ne izmenits, esli vmesto funkcii
L( θ |x) v opredelenii togo sootnoxeni vzt~ lbu monotonno vozrastawu funkci ot L( θ | x ) ; obyqno ispol~zuets
128
l(θ |x ) = ln L( θ | x ) =
X
n
ln p(xi |θ), esli P (.|θ) diskretno,
i=1
n
X
ln f (xi |θ), esli P ( . | θ) nepreryvno.
i=1
Opredelenie 3.3. ( Ocenka maksimal~nogo pravdopodobi ) . Znaqeb nazyvaets ocenko$i maksimal~nogo pravdopodobi paranie θ
b |x) = max l(θ |x ) .
metra θ seme$istva P po vyborke x , esli l( θ
θ∈Θ
Esli l( θ |x ) vlets differenciruemo$
i funkcie$
i parametq
ra θ ∈ R , to ocenka maksimal~nogo pravdopodobi vlets
rexeniem sistemy uravneni$
i ∂l
=0
∂θ1
...
.
∂l
=0
∂θq
Pri vypolnenii uslovi$
i regulrnosti funkcii l(θ|x) [4],
ocenka maksimal~nogo pravdopodobi θb obladaet svo$
istvami:
b
i ocenko$
i;
— θ vlets sostotel~no$
— ffektivna ocenka, esli ona suwestvuet, sovpadaet s θb;
b , gde
— pri n → ∞ raspredelenie ϑb pribliaets k N(θ, Dθ)
2 i−1
h
,
Dθb = − M d 2l
dθ
— pri n → ∞ ocenka ϑb pribliaets k ffektivno$
i ocenke.
Primer 3.3. Ocenka parametra puassonovskogo raspredeleni. Esli general~na sovokupnost~ imeet puassonovskoe raspredelenie s neizvestnym parametrom λ , to ocenka maksimal~nob opredelets iz uravneni dl = 0 , gde
go pravdopodobi λ
dλ
Pn
Pn
b = x.
l(λ|x ) = ln λ i=1 xi − i=1 ln(xi !) − nλ . Rexa ego, poluqim λ
Primer 3.4. Ocenka parametrov normal~nogo raspredeleni. Esli general~na sovokupnost~ imeet normal~noe raspredelenie
s neizvestnymi parametrami m, σ 2 , to ocenki maksimal~nogo
c2 opredelts iz sistemy
m,
pravdopodobi
b σ
∂l
=0
√
∂m
1 Pn (x −m)2 .
2
ln
, gde l(m, σ 2 |x ) = −n ln 2π− n
σ
−
i
2
2σ 2 i=1
∂l = 0
∂σ 2
Rexa sistemu, poluqim m
b = x, σ
b2 = µ∗2 . Esli parametr m iz129
vesten, to ocenka dispersii poluqaets iz uravneni
b2 = s02 .
rexa kotoroe, poluqim σ
dl
= 0,
dσ 2
Primer 3.5. Ocenka parametrov ravnomernogo nepreryvnogo raspredeleni. Funkci pravdopodobi L(a, b) neizvestnyh parametrov togo raspredeleni nedifferenciruema i po tomu poluqit~ ocenki standartnym sposobom nel~z, no iz ravenstva
(b − a)−n pri [xmin , xmax ] ⊆ [a, b]
L(a, b) =
pri [xmin , xmax ] 6⊆ [a, b]
netrudno videt~, qto ocenkami maksimal~nogo pravdopodobi
dl a, b vlts: b
a = xmin , bb = xmax .
V tabl. 5, 6 privedeny vyraeni dl ocenok parametrov
nekotoryh diskretnyh i nepreryvnyh raspredeleni$
i po metodu
momentov i metodu maksimuma pravdopodobi. Parametry, dl
kotoryh privedeny ocenki sqitats neizvestnymi, a ostal~nye
parametry — izvestnymi.
Tablica 5
Ocenki parametrov diskretnyh raspredeleni$
i
po vyborke (x1 , . . . , xN ) obema N
Raspredelenie
Ravnomernoe
Binomial~noe
Puassonovskoe
Geometriqeskoe
Metod momentov
h
q
i
1
1
+4+2
m
b =E x−
q
h
i
1
1
∗
n
b = E x + 3µ2 + 4 − 2
3µ∗2
Metod maksimuma
pravdopodobi
m
b = min xi ,
16i6N
n
b = max xi
16i6N
x
pb = n
x
pb = n
pb = (1 + x)−1
pb = (1 + x)−1
b=x
λ
b=x
λ
V tabl. 5 E[x] oboznaqaet celu qast~ qisla x .
130
Tablica 6
Ocenki parametrov nepreryvnyh raspredeleni$
i
po vyborke (x1 , . . . , xN ) obema N
Raspredelenie
Ravnomernoe
Normal~noe
Normal~noe
Normal~noe
Lognormal~noe
Gamma-raspredelenie
Raspredelenie
Pareto
Metod momentov
a=x−
b
bb = x −
p
p
3µ∗2
3µ2∗
Metod maksimuma
pravdopodobi
a = min xi
b
16i6N
bb = max xi
16i6N
m
b =x
m
b =x
b2 = s20
σ
b2 = s20
σ
m
b =x
σ
b2 = µ∗2
m
b = 2 ln x − 12 ln α2∗
b2 = ln α2∗ − 2 ln x
σ
b = x(µ∗ )−1
λ
2
2 ∗ −1
ηb = x (µ2 )
−1
b
c = x(x − 1)
m
b =x
σ
b2 = µ2∗
1 PN ln x
m
b =N
i
i=1
P
N
1
b 2
b2 = N
σ
i=1 (ln xi − m)
b = η(x)−1
λ
b
c=N
P
N
i=1
ln xi
−1
V [4] dokazano, qto privedennye v tablicah ocenki parametrov binomial~nogo i puassonovskogo raspredeleni$
i, a take
ocenki odnogo iz parametrov normal~nogo raspredeleni pri
izvestnom drugom parametre ffektivny.
131
3.3. Interval~nye ocenki
Ocenki parametrov, rassmotrennye nami, mono nazvat~ toqeqnymi, poskol~ku dl neizvestnogo parametra θ opredelets
b , vlwas ego pribliennym znaqeniem. No vozmotoqka θ
en i drugo$
i podhod k zadaqe ocenivani parametrov, kotory$
i
v sluqae skalrnogo neizvestnogo parametra θ zaklqaets v
i veroopredelenii intervala (θ− , θ+ ) , nakryvawego s zadanno$
tnost~ neizvestnoe znaqenie θ .
Opredelenie 3.4. ( Doveritel~ny$i interval ) . Pust~ ξ — sluqa$ina vyborka iz general~no$i sovokupnosti s raspredeleniem
P (.| θ); θ+ = θ+ ( ξ ), θ− = θ− ( ξ ) — funkcii vyborki takie, qto
P (θ ∈ (θ− , θ+ )| θ) = 1 − α . Interval (θ− , θ+ ) nazyvaets doveritel~nym intervalom dl θ , verotnost~ (1 − α) — doveritel~no$i verotnost~, verotnost~ α — urovnem znaqimosti.
Rexenie zadaqi doveritel~nogo ocenivani parametra θ osnovano na statistikah, zaviswih ot θ , no imewih raspredeleni, ne zaviswie ot parametrov general~no$
i sovokupnosti.
Primer 3.6. Interval~na ocenka matematiqeskogo oidani m
normal~nogo raspredeleni pri izvestno$
i dispersii σ 2 . Po te√
n(x − m)
imeet raspredelenie
oreme 2.4 funkci Tn ( x |m, σ) =
σ
N(0, 1) , ne zaviswee ot parametrov general~no$
i sovokupnosti.
V silu svo$
istv plotnosti raspredeleni N(0, 1) , intervalom naimen~xe$
i dliny, v kotory$
i Tn popadaet s verotnost~ 1 − α ,
vlets (−up , up ) , gde up — kvantil~ normal~nogo raspredeleni pordka p = 1 − α
2 . Iz ravenstv
√
n(x − m)
σup
σup
1 − α = P −up <
< up = P x − √ < m < x + √
σ
n
n
sleduet, qto pri izvestno$
i dispersii doveritel~ny$
i interval
dl m , sootvetstvuwi$
i urovn znaqimosti α imeet vid
σu
σu
p
p
.
(m− , m+ ) = x − √ , x + √
n
n
Nekotorye kvantili up mono na$
iti v tablice
132
p
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
0,999
0,9995
up
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
3,090
3,291
Primer 3.7. Interval~na ocenka matematiqeskogo oidani m
normal~nogo raspredeleni pri neizvestno$
i dispersii σ 2 . Po te√
n(x − m)
oreme 2.4 funkci Tn ( x |m, s) =
imeet t-raspredelenie
s
istv plotnosti t -raspres n − 1 stepenmi svobody. V silu svo$
deleni, intervalom naimen~xe$
i dliny, v kotory$
i Tn ( x |m, s)
popadaet s verotnost~ 1 − α vlets (−tp , tp ) , gde tp —
kvantil~ t -raspredeleni s n − 1 stepenmi svobody pordka
p=1− α
2 . Iz ravenstv
√
stp
stp
n(x − m)
1 − α = P −tp <
< tp = P x − √ < m < x + √
s
n
n
sleduet, qto pri neizvestno$
i dispersii doveritel~ny$
i interval
dl m, sootvetstvuwi$
i urovn znaqimosti α imeet vid
st
st
p
p
(m− , m+ ) = x − √ , x + √
.
n
n
Primer 3.8. Interval~na ocenka dispersii σ 2 normal~nogo raspredeleni pri izvestnom matematiqeskom oidanii m. Po
teoreme 2.4 funkci ns02 /σ 2 imeet χ2 -raspredelenie s n stepenmi svobody, Imeem
1 − α = P χ2α/2 < ns20 /σ 2 < χ21−α/2 = P ns02 /χ21−α/2 < σ 2 < ns20 /χ2α/2 ,
gde χp2 — kvantil~ χ2 -raspredeleni s n stepenmi svobody
pordka p. Takim obrazom, pri izvestnom matematiqeskom oii urovdanii doveritel~ny$
i interval dl σ 2 , sootvetstvuwi$
n znaqimosti α imeet vid
2 −
(σ ) , (σ 2 )+ = ns20 /χ21−α/2 , ns20 /χ2α/2 .
Primer 3.9. Interval~na ocenka dispersii σ 2 normal~nogo raspredeleni pri neizvestnom matematiqeskom oidanii m. Ispol~zu funkci ns2 /σ 2 , mono toqno tak e kak v primere
3.8 pokazat~, qto pri neizvestnom matematiqeskom oidanii
m normal~nogo raspredeleni doveritel~ny$
i interval dl σ 2 ,
sootvetstvuwi$
i urovn znaqimosti α imeet vid
2 −
2
.
(σ ) , (σ 2 )+ = ns2 /χ21−α/2 , ns2 /χα/2
gde χ2p — kvantili χ2 -raspredeleni s n−1 stepenmi svobody.
Tablicy dl kvantile$
i χ2p i tp mono na$
iti v [5].
133
4. Proverka statistiqeskih gipotez
V matematiqesko$
i statistike gipotezo$i nazyvaets predpoloi sovokupnosti, iz kotoro$
i
enie o raspredelenii P general~no$
poluqena vyborka. Kada gipoteza H moet byt~ zapisana v
istva
vide predikata H = (P ∈ PH ), gde PH podmnoestvo seme$
P raspredeleni$
i general~no$
i sovokupnosti. Esli P zadaets
parametriqeski P = {P (.| θ ) : θ ∈ Θ } , to i gipotezu H mono
zapisat~ v vide parametriqesko$i gipotezy H = (θ ∈ Θ H ) , gde
Θ H ⊆ Θ . Gipoteza nazyvaets prosto$i, esli podmnoestvo PH
soderit odno raspredelenie i slono$i v protivnom sluqae.
Gipoteza H = ( θ ∈ Θ\ Θ H ) nazyvaets al~ternativo$i gipoteze
H.
Proverka statistiqesko$i gipotezy H svodits k poluqeni
na osnovanii informacii, soderawe$
is v vyborke x , otveta
na vopros: istinno ili lono vyskazyvanie H ?
Opredelenie 4.1. (Statistiqeski$i kriteri$i ) . Statistiqeskim
kriteriem dl proverki gipotezy H nazyvaets lba izmerima funkci vyborki δ(x ) , prinimawa znaqeni H i H .
Lbo$
i statistiqeski$
i kriteri$
i δ razbivaet prostransn
tvo vyborok R na dve qasti: kritiqesku oblast~ ili oblast~ otkloneni gipotezy Wδ = δ −1 ({H}) i ee dopolnenie
W δ = δ −1 ({H}) — oblast~ printi gipotezy. Esli vyborka
x popadaet v oblast~ W δ , to kriteri$
i δ daet otvet ”gipoteza H verna”, v protivnom sluqae daets otvet ”gipoteza
H neverna” ili, qto to e samoe, ”verna al~ternativa H ”.
Kriteri$
i δ odnoznaqno opredelets kritiqesko$
i oblast~ Wδ .
4.1. Proverka prostyh gipotez
Pri lbom kriterii iz-za sluqa$
inosti vyborki otvety mogut byt~ pravil~nymi ili oxiboqnymi i o kaqestve kriteri
mono sudit~ po verotnostm tih rexeni$
i. Esli H i H —
prostye gipotezy, to takih verotnoste$
i qetyre:
1) P ξ (Wδ |H) = α(Wδ ) — verotnost~ oxiboqnogo rexeni
” H ”, kogda na samom dele verna gipoteza H ;
2) P ξ (W δ |H) = 1−α(Wδ ) — verotnost~ pravil~nogo rexeni
”H ”, kogda ona na samom dele verna gipoteza H ;
3) P ξ (Wδ |H) = β(Wδ ) — verotnost~ pravil~nogo rexeni
” H ”, kogda na samom dele verna al~ternativa H ;
4) P ξ (W δ |H) = 1 − β(Wδ ) — verotnost~ oxiboqnogo rexeni
” H ”, kogda na samom dele verna al~ternativa H .
134
Takim obrazom, kaqestvo kriteri δ opredelets dvum vei razmerom kritiqesko$
rotnostmi: α(Wδ ) , nazyvaemo$
i oblasti
Wδ ili kriteri δ ; 2) β(Wδ ) , nazyvaemo$
i mownost~ kritiqesko$
i oblasti Wδ ili kriteri δ . Na pervy$
i vzgld neobhodimo vybirat~ kriteri$
i tak, qtoby ego razmer byl minimalen,
a ego mownost~ maksimal~na. Odnako ti trebovani protivoreqivy. Po tomu postupat sleduwim obrazom: fiksirut
i urovnem znaqimosti, i iz
dopustimy$
i razmer α , nazyvaemy$
vseh kriteriev δ , udovletvorwih uslovi αδ 6α , vybirat
tot, u kotorogo maksimal~na mownost~ βδ .
Teorema 4.1. ( Lemma Ne$imana–Pirsona ) . Pust~ general~na sovokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plotnost~ verotnosti f . Pri proverke prosto$i gipotezy f (x) = f (x|H) i
prosto$i al~ternative f (x) = f (x|H) iz vseh kriteriev razmera
α naibolee mownym vlets kriteri$i s kritiqesko$i oblast~ W = WN P (c) = { x ∈ Rn : cf ξ ( x |H) − f ξ ( x |H)>0}, gde c > 0
opredelets uravneniem α(W ) = α .
D o k a z a t e l ~ s t v o . Rassmotrim funkci
g( x ) = (IW ( x ) − IW1 ( x))(cf ξ ( x |H) − f ξ (x |H)) ,
gde W1 — lba kritiqeska oblast~ razmera α(W1 )6α . Funkci g(x ) neotricatel~na, tak kak pri x ∈ W obe skobki v
vyraenii dl g( x ) neotricatel~ny, a pri x ∈ W nepoloitel~ny. Po tomu
Z
Z
Z
Z
06
f ξ ( x|H)d x −
g( x )dx = c
f ξ ( x |H)dx − c
f ξ (x |H)dx +
Rn
+
Z
W1
W
W1
W
f ξ ( x|H)d x = c(β(W ) − β(W1 )) − (α − α(W1 )) .
Poskol~ku α − α(W1 )>0 i c > 0, to iz poluqenno$
i cepoqki soi, opredelotnoxeni$
i sleduet, qto β(W )>β(W1 ) , t. e. kriteri$
emy$
i kritiqesko$
i oblast~ W vlets naibolee mownym. J
Kriteri$
i, o kotorom idet req~ v teoreme 4.1, nazyvaets
kriteriem Ne$imana–Pirsona.
Teorema 4.2. ( Kriteri$i ideal~nogo nabldatel ) . Pust~ general~na sovokupnost~ imeet nepreryvnoe raspredelenie s plotnost~ verotnosti f . Pri proverke prosto$i gipotezy f (x) =
= f (x|H) i prosto$i al~ternative f (x) = f (x|H)) minimal~noe
znaqenie summy verotnoste$i oxiboqnyh rexeni$i obespeqivaet
kritiqeska oblast~ W = WN P (1) .
135
Dokazatel~stvo.
Summa verotnoste$
i oxiboqnyh rexeni$
i
Z
ravna P = 1 − β(W ) + α(W ) = 1 −
(f ξ ( x| H) − f ξ ( x |H))dx , otkuda
W
vidno, qto P minimal~no togda, kogda v W vhodt vse toqki
x , udovletvorwie uslovi f ξ (x | H) − f ξ ( x | H)>0 . J
Netrudno videt~, qto kritiqeskie oblasti WN P (c) mono
opredelit~ sleduwe$
i formulo$
i: WN P (c) = {x ∈ Rn : Λ( x )6c},
f ( x |H)
— statistika, nazyvaema otnoxeniem
gde Λ(x ) = ξ
f ξ ( x |H)
pravdopodobi$i gipotez H i H . Oqevidno, al~ternativa H dolna byt~ otvergnuta pri f ξ ( x |H) = 0 i po tomu sleduet sqitat~, qto v tom sluqae Λ(x ) = ∞ . Otnoxenie kvivalentnosti Ker Λ (sm. primer II.2.2) porodaet razbienie vyboroqnogo
prostranstva na giperpoverhnosti { x : Λ( x ) =[
λ} urovn λ ot{x : Λ( x ) = λ} .
noxeni pravdopodobi$
i. sno, qto WN P (c) =
λ6c
Primer 4.1. Proverka prostyh gipotez o matematiqeskom oidanii normal~nogo raspredeleni po kriteri Ne$imana–Pirsona.
Pust~ general~na sovokupnost~ imeet raspredelenie N(m, σ 2 )
s izvestno$
i dispersie$
i σ 2 . Trebuets proverit~ gipotezu
H0 = (m = m0 ) pri al~ternative H1 = (m = m1 ) po vyborke
x obema n. V tom sluqae
!
n
1 X
exp − 2
(xi − m0 )2
2σ i=1
2
! = exp d − Tn ( x |m0 , σ)d ,
Λ( x) =
n
2
1 X
2
exp − 2
(xi − m1 )
2σ i=1
√ m1 − m0
gde d = n
. Spravedliva kvivalenci
σ
(Tn (x|m0 , σ)6γ)
pri d > 0
|d|
, gde γ = − ln c + 2 ,
(x ∈ W ) ∼
|d|
(Tn (x|m0 , σ)6 − γ) pri d < 0
iz kotoro$
i sleduet ravenstvo
pri d > 0
P (Tn (ξ|m0 , σ)>γ)
P (ξ ∈ W ) =
.
P (Tn (ξ|m0 , σ)6 − γ) pri d < 0
Pri kriterii Ne$
imana–Pirsona porogovoe znaqenie γ vybiraets tak, qtoby vypolnlos~ uslovie P ( ξ ∈ W |H0 ) = α . Po
teoreme 2.4 funkci Tn (ξ |m0 , σ) pri gipoteze H0 imeet raspredelenie N (0, 1) . Otsda sleduet, qto γ = u1−α . Netrudno
dokazat~, qto pri al~ternative H1 funkci Tn (ξ |m0 , σ) imeet
imanaraspredelenie N (d, 1) . Po tomu mownost~ kriteri Ne$
Pirsona ravna
136
1 − Φ(u1−α − d) pri d > 0,
= Φ(|d| − u1−α )
Φ(−u1−α − d)
pri d < 0,
i zavisit tol~ko ot parametra |d| . Poskol~ku Tn ( ξ |m0 , σ) za1 Pn x , to
visit ot vyborki x tol~ko qerez funkci x = n
i=1 i
poverhnostmi urovn otnoxeni pravdopodobi$
i vlts giPn
perploskosti, opredelemye uravnenimi vida
i=1 xi = b, a
kritiqeska
oblast~ vlets poluprostranstvom vida
n
X
√
n
nσu1−α } pri d > 0
x
>nm
+
{x
:
∈
R
i
i=1
.
WN P =
n
X
√
{x ∈ Rn :
xi 6nm0 − nσu1−α } pri d < 0
β=
i=1
Opredelenie 4.2. ( Otnoxenie pravdopodobi i kriteri$i otnoxeni pravdopodobi pri slonyh gipotezah ) . Otnoxeniem pravdopodobi dl slono$i gipotezy H = (P ∈ PH ) pri slono$i
al~ternative H = (P ∈ P\PH ) nazyvaets
sup L( θ |x )
Λ0 (x ) =
θ ∈ΘH
sup L( θ |x )
.
θ ∈Θ
Kriteri$i s kritiqesko$i oblast~ WLR (c) = { x : Λ0 ( x )6c} nazyvaets kriteriem otnoxeni pravdopodobi.
Zameqanie. Napomnim, qto dl nepustogo podmnoestva X⊆R
simvol sup X oboznaqaet naimen~xu verhn granicu mnoestva X , esli ono ograniqeno sverhu, i +∞ v protivnom
sluqae. Esli suwestvuet maxx∈X , to sup X = maxx∈X .
Hot pri slonyh gipotezah kriteri$
i otnoxeni pravdopodobi v obwem sluqae neoptimalen, on qasto primenets dl
rexeni praktiqeskih zadaq.
Primer 4.2. Proverka slono$i gipotezy o matematiqeskom
oidanii normal~nogo raspredeleni po kriteri otnoxeni
pravdopodobi. Proverets gipoteza H = (m = m0 ) pri al~ternative H = (m 6= m0 ) . Dispersi σ 2 vlets tak nazyvaemym
i zadaqe. Funkci pravdopodobi
mexawim parametrom v to$
parametrov m, σ 2 normal~nogo raspredeleni imeet! vid
n
1 X
2
2 −n/2
L(m, σ |x) = (2πσ )
exp − 2
(xi − m)2 .
2σ i=1
Maksimum qislitel v Λ0 (x ) dostigaets pri podstanovke vmesto parametra σ 2 ocenki maksimal~nogo pravdopodobi
137
s02 = µ∗2 + (x − m0 )2 pri gipoteze H , a maksimum znamenatel —
pri podstanovke bezuslovnyh ocenok maksimal~nogo pravdopodob = x, σ
b2 = µ∗2 vmesto m, σ 2 . Po tomu
bi m
−n/2
(2π(µ2∗ + (x − m0 )2 )−n/2 exp{−n/2}
T 2 (x |m0 , s)
Λ0 ( x ) =
.
= 1+
n−1
(2πµ∗2 )−n/2 exp{−n/2}
Iz teoremy 2.4 sleduet, qto kritiqeska oblast~ razmera α
opredelets formulo$
i W = { x : |x − m0 |>st1−α/2 }, gde t1−α/2 —
kvantil~ t-raspredeleni s n − 1 stepenmi svobody.
4.2. Kriteri$
i χ2
Pust~ general~na sovokupnost~ harakterizuets seme$
istvom
raspredeleni$
i, soderawim bolee dvuh raspredeleni$
i. Trebuets proverit~ prostu gipotezu H = (F (x) = F0 (x)) pri slono$
i
al~ternative H = (F (x) 6= F0 (x)), gde F (x) — funkci raspredeleni general~no$
i sovokupnosti.
Esli F0 (x) sootvetstvuet diskretnomu raspredeleni s zakonom raspredeleni
y1
p1
...
...
yj
pj
...
...
ym
pm
to dl proverki H stroits tablica qastot
y1
ν1
...
...
yj
νj
...
...
ym
νm
i v kaqestve mery rashodeni teoretiqeskogo i mpiriqeskoPm
2
go zakonov raspredeleni vybiraets veliqina
j=1 cj (νj − pj ) ,
gde ko fficienty cj > 0 mono v principe vybrat~ proizvol~no. Pri cj = n/pj , gde n — obem vyborki, tu veliqinu
Pm
oboznaqat simvolom χ2 = j=1 pnj (νj − pj )2 .
V sluqae, kogda F0 (x) sootvetstvuet nepreryvnomu raspredeleni, dl proverki H pribegat k gruppirovke i vmesto
tablicy qastot ispol~zut tablicu interval~nyh qastot
[a0 , a1 )
ỹ1
ν̃1
...
...
...
[aj−1 , aj )
ỹj
ν̃j
...
...
...
[am−1 , am ]
ỹm
ν̃m
a verotnosti pj , ispol~zuemye pri vyqislenii veliqiny χ2 ,
rassqityvats po formule pj = F0 (aj ) − F0 (aj−1 ) .
138
Teorema 4.3. ( Teorema Pirsona ) . Esli verna gipoteza H , to
pri n → ∞ raspredelenie veliqiny χ2 stremits k χ2 -raspredeleni s m − 1 stepenmi svobody.
Kriteri$
i χ2 razmera α dl proverki gipotezy H oprede2
—
lets kritiqesko$
i oblast~ W = {x : χ2 >χ21−α }, gde χ1−α
2
kvantil~ χ -raspredeleni s m − 1 stepenmi svobody.
k
5. Upraneni
1 . Postroit~ variacionny$
i rd, tablicu qastot,
∗
∗
i vyqislit~ x , α2 , µ2 , s2 dl vyborki:
1) ( 5; 3; 4; 1; 1; 6; -2; 6; 6; 5; -2; 2; 7; 6; 2; 8;
2) ( 3; 6; 2; 4; 3; 1; 4; 5; 0; 1; 7; 7; 4; 8; 8; 0;
3) ( -1; 8; 5; -2; 4; -1; -1; 6; 1; -2; 1; 2; 1; 8; 8; 2;
4) ( 2; 2; 5; 1; 4; 0; 0; 4; 2; 3; 7; 0; 6; 2; 1; 8;
5) ( 4; 5; 8; 7; -2; 3; 8; 2; 5; 3; 3; 3; 1; 2; 0; -2;
6) ( 2; 3; 1; 3; 0; 4; 3; 1; 8; 5; 3; 2; 1; 6; 3; 6;
7) ( -2; -1; 1; -1; -2; 3; 5; 3; 7; -2; 0; 5; 2; 1; -1; 5;
8) ( 2; 3; 3; 0; 1; -1; 4; -1; 8; -1; 2; 1; 7; 6; 1; 5;
9) ( 6; 1; 0; 3; 0; 1; 2; 3; 0; 7; 4; 6; 8; 1; 3; 2;
10) ( 8; 4; 1; -1; 3; 0; 8; -1; -2; 1; 4; 8; 3; 2; 7; 7;
k
grafik F ∗ (x)
7; -2; 8;
5; 8; 0;
1; -1; -1;
4; 4; 2;
0; 8; -2;
4; 7; 2;
8; 3; -2;
0; -2; -2;
4; 2; 8;
5; 5; 8;
2).
3).
5).
1).
2).
0).
6).
1).
1).
1).
2 . Postroit~ variacionny$
i rd, tablicu interval~nyh qastot
s intervalami [k − 0, 5 ; k + 0, 5), k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 dl vyborki:
1) ( 0,98; -0,95; 1,01; -0,19; 0,83; -0,51; -1,57; 0,14; 0,60; -0,02;
-0,66; 0,74; -0,49; 0,62; -0,49; -0,21; -0,57; -1,15; 1,21; 0,53 ).
2) ( -0,19; -0,13; 0,07; -1,18; 1,00; -0,07; -0,36; -0,17; -2,20; 2,06;
-1,33; 0,37; 1,21; 2,04; -1,17; -0,69; 2,50; 0,45; -1,31; -0,08 ).
3) ( -1,25; -0,26; -0,61; -0,31; -2,01; 2,32; 0,85; -0,94; -1,39; 0,80;
0,37; -1,72; -1,31; 2,12; -0,68; 0,84; 0,45; 0,59; 0,22; -0,42 ).
4) ( -0,41; -2,33; -0,19; 1,42; 1,05; 1,94; -1,24; 1,09; -0,11; 0,96;
-1,58; -1,00; -0,98; -0,97; -1,23; 0,21; -2,67; 0,82; 0,07; -2,96 ).
5) ( 0,33; 0,41; 0,19; -0,68; 2,01; -0,07; 0,58; 2,32; 2,78; 0,69;
-0,62; -2,02; 0,87; -1,45; -1,55; -0,28; 2,10; 1,29; 1,12; -0,80 ).
6) ( 0,57; 0,53; 0,52; 0,84; 1,71; 1,00; -0,48; 0,98; 0,08; -0,94;
1,52; 0,16; -0,31; -0,18; 1,66; -1,70; 0,54; -0,15; -0,34; -0,20 ).
7) ( 0,76; 0,52; 0,72; -2,07; 0,22; -0,09; 1,70; -0,57; -1,65; 1,20;
-1,24; -0,96; 0,41; 0,52; 0,37; 2,21; -0,47; 1,68; -0,26; -0,63 ).
8) ( -0,49; 0,40; -0,78; -1,00; -0,63; 0,91; 1,94; 0,41; -0,35; 1,97;
-0,60; 1,45; 0,99; -1,19; 0,41; 1,36; 3,35; 0,31; 0,50; 1,08 ).
9) ( 0,35; 0,20; 0,39; -0,40; -1,04; -1,04; -0,01; -1,73; -0,74; 0,10;
0,74; 1,18; -0,38; 1,06; 0,87; 1,11; -1,61; -0,38; -0,07; 1,75 ).
10) ( -0,64; -1,15; 0,72; 1,02; 0,39; -0,93; 1,84; 0,78; 1,98; 1,85;
-0,10; 1,63; 1,17; 1,03; -0,72; -1,38; 0,24; 0,60; 1,09; -0,37 ).
139
k
3 . Na$
iti ocenki parametrov ravnomernogo diskretnogo raspredeleni po metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi dl vyborok 1 — 10 zadaqi 1.
k
iti ocenki parametrov ravnomernogo nepreryvnogo ras4 . Na$
predeleni po metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2.
5 . Na$
iti ocenku parametra p binomial~nogo raspredeleni po
metodu momentov i metodu maksimal~nogo pravdopodobi pri
n = 10 dl vyborok 2, 4, 6, 9 zadaqi 1.
k
6 . Na$
iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametra m normal~nogo raspredeleni pri σ 2 = 1 dl vyborok 1 — 10 zadaqi
2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99.
k
7 . Na$
iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametra σ 2 normal~nogo raspredeleni pri m = 0 dl vyborok 1 — 10 zadaqi
2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99.
k
8 . Na$
iti toqeqnu i interval~nu ocenki parametrov normal~nogo raspredeleni dl vyborok 1 — 10 zadaqi 2. Doveritel~na verotnost~ ravna 0,99.
9 . Proverit~ po kriteri χ2 razmera 0,01 gipotezu, qto vyborka
( 5; 3; 4; 1; 1; 6; -2; 6; 6; 5; -2; 2; 7; 6; 2; 8; 7; -2; 8; 2;
-1; 8; 5; -2; 4; -1; -1; 6; 1; -2; 1; 2; 1; 8; 8; 2; 1; -1; -1; 5 )
imeet ravnomernoe diskretnoe raspredelenie s m = −2, n = 8 .
10 . Proverit~ po kriteri χ2 razmera 0,01 gipotezu, qto
vyborka
( 0,98; -0,95; 1,01; -0,19; 0,83; -0,51; -1,57; 0,14; 0,60; -0,02;
-0,66; 0,74; -0,49; 0,62; -0,49; -0,21; -0,57; -1,15; 1,21; 0,53;
-0,19; -0,13; 0,07; -1,18; 1,00; -0,07; -0,36; -0,17; -2,20; 2,06;
-1,33; 0,37; 1,21; 2,04; -1,17; -0,69; 2,50; 0,45; -1,31; -0,08;
-1,25; -0,26; -0,61; -0,31; -2,01; 2,32; 0,85; -0,94; -1,39; 0,80 )
imeet normal~noe raspredelenie s m = 0, σ 2 = 1.
11 . Po kriteri Ne$
imana-Pirsona razmera 0,01 proverit~ gipotezu o normal~nom raspredelenii H = (m = 0, σ 2 = 1) pri
al~ternative H = (m = 0.5, σ 2 = 1) po vyborke iz zadaqi 10.
140
Bibliografiqeski$
i spisok
s.
1. Klini S. K. Matematiqeska logika. M.: Mir, 1973. 480
2. Kuratovski$i K., Mostovski$i A. Teori mnoestv. M.:
Mir, 1970. 416 s.
3. Burbaki N. Teori mnoestv. M.: Mir, 1965. 456 s.
4. Kramer G. Matematiqeskie metody statistiki. M.: Mir,
1975. 648 s.
5. Sbornik zadaq po matematike dl vtuzov. Q. 3. /Pod
red. A. V. Efimova. M.: Nauka. 428 s.
OGLAVLENIE
Predislovie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I. Matematiqeska logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Funkcii algebry logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osnovnye opredeleni i sootnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polnye mnoestva bulevyh funkci$
i. Bazisy . . . . . . . . . . . .
Bulevy algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Isqislenie vyskazyvani$
i ......................................
Osnovnye opredeleni i sootnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metody dokazatel~stva tavtologi$
i i sledstvi$
i.........
Aksiomatiqeskie isqisleni vyskazyvani$
i...............
3. Isqislenie predikatov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Predikaty v koneqno$
i predmetno$
i oblasti . . . . . . . . . . . . . .
Aksiomatiqeskie isqisleni predikatov . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formal~nye sistemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Teori mnoestv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standartnye mnoestva i operacii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binarnye otnoxeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Funkcii i mnoestva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Mownost~ mnoestv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Posledovatel~nosti mnoestv. σ -algebry mnoestv . . . . . . . .
5. Izmerimye prostranstva. Mery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Nekotorye kombinatornye formuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Teori verotnoste$
i ............................................
1.1.
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
1.1.
1.2.
3
4
4
5
10
11
14
14
17
22
29
29
30
34
37
38
47
47
47
52
56
58
59
61
63
64
67
141
1. Vvedenie. mpiriqeskie predposylki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. Sobyti. Operacii nad sobytimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Verotnost~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Opredeleni i svo$
istva verotnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Uslovna verotnost~. Nezavisimost~ sobyti$
i . . . . . . . . . . 73
4. Sluqa$
inye veliqiny i vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Odnomernye raspredeleni i ih harakteristiki . . . . . . . . 76
Sluqa$
inye veliqiny i ih raspredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Mnogomernye raspredeleni i ih harakteristiki . . . . . . 82
Sluqa$
inye vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5. Matematiqeskoe oidanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. Harakteristiqeskie funkcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7. Predel~nye teoremy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV. Teori sluqa$
inyh processov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1. Osnovnye opredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2. Sluqa$
inye processy vtorogo pordka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3. Differencirovanie, integrirovanie sluqa$
inyh processov 106
4. Razloenie Karunena–Lo va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5. Stacionarnye sluqa$
inye processy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
V. Matematiqeska statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1. Osnovnye ponti i opredeleni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
2. mpiriqeskie harakteristiki vyborki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3. Ocenivanie parametrov raspredeleni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Metod momentov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Metod maksimal~nogo pravdopodobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Interval~nye ocenki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4. Proverka statistiqeskih gipotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Proverka prostyh gipotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Kriteri$
i χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5. Upraneni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Bibliografiqeski$
i spisok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.1.
3.1.
3.2.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
3.1.
3.2.
3.3.
4.1.
4.2.
142
Zameqennye opeqatki v fa$
ile leks-1k2
Str. Stroka
13 8 sn
38 1 sn
39 12 sv
54 8 sn
56 2 sn
60 5 sv
60
77
77
83
86
118
118
119
119
119
119
119
119
119
119
120
Napeqatano
f (x∧y) = f (x) ∨ f (y)
.
teoremu 2 i tabl 5
Rn
x ∈ Dom g
lim (An \B)
n→∞
7 sv lim (An \B) = ( lim An )\B
4
4
15
11
4
13
9
14
15
11
9
8
4
5
5
sn
sn
sv
sv
sv
sn
sv
sv
sv
sn
sn
sn
sn
sn
sv
121 15 sn
n→∞
n→∞
Dolno byt~
f (x ∨ y) = f (x) ∨ f (y)
(sm. primer 1.1).
teoremu 1.2 i tabl 3
M
x ∈ Dom f
lim (Bn \A)
n→∞
lim (Bn \A) = ( lim Bn )\A
n→∞
n→∞
max(0, M + n − N )
max{0, M + n − N }
min(n, M )
min{n, M }
teoremy 1.
teoremy 4.2.
)
).
Teorema
1.2.
Teorema
2.1.
Pn
Pn
k
k
i=1 x
i=1 xi
Teorema 2.1.
Teorema 2.2.
∗
∗
e ∗
e
Dµ2 = Dµ
Dµ∗k = Dµ
2
k
∗
∗
e
e
Dµ2
Dµk
∗
∗
∗
αk ( ξ ) i αk ( ξ )
αk (ξ ) i µ∗k (ξ )
teoremy 3.7.3
teoremy III.7.3.
Po teoreme 2.1
Po teoreme 2.2
1 Pn (x − m)2
s20 = α2∗ − m2
s20 = n
i=1 i
Teorema 2.2.
Teorema 2.3.
Teorema 2.3.
Zameqanie. Netrudno
2
dokazat~ ravenstvo s0 = µ∗2 + (x − m)2 .
P (.| θ :
P (.|θ ) :
143
Opredelenie 1.1 (Bulevy funkcii).
Opredelenie 1.2 (Standartnye tablicy).
Opredelenie 1.3 (Dvo$
istvennye funkcii).
Teorema 1.1 (Svz~ tablic funkci$
i f i f ∗ ).
Sledstvie 1 (Funkci f ∗∗ ).
Sledstvie 2 (Princip dvo$
istvennosti).
Teorema 1.2 (Dvo$
istvenna k slono$
i funkcii).
Primer 1.1 (Tabliqnye dokazatel~stva ravenstv).
Teorema 1.3 (Osnovnye sootnoxeni).
Sledstvie (Podstanovka formul v ravenstva).
Opredelenie 1.4 (Polnye mnoestva funkci$
i, bazisy).
Opredelenie 1.5 (lementarnye konnkcii, diznkcii).
Teorema 1.4 (Svo$
istva funkci$
i c a ( x ), d a (x )).
Opredelenie 1.6 (DNF, KNF, SDNF, SKNF).
Teorema 1.5 (Predstavleni bulevyh funkci$
i).
Teorema 1.6 (Bazisy).
Opredelenie 1.7 (Buleva algebra).
Primer 1.2 (Buleva algebra B ).
Primer 1.3 (Buleva algebra BM ).
Teorema 1.7 (Osnovnye sootnoxeni bulevo$
i algebry).
Teorema 1.8 (Otnoxenie 6 v bulevo$
i algebre).
i algebre).
Teorema 1.9 (Svo$
istva 6 v bulevo$
Opredelenie 1.8 (Bulevy podalgebry).
Teorema 1.10 (Podalgebra, porodenna mnoestvom).
Opredelenie 1.9 (Izomorfizm bulevyh algebr).
Primer 1.4 (Buleva algebra podmnoestv).
Opredelenie 2.1 (Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye i
oproverimye formuly, todestvenno ravnye formuly).
Teorema 2.1 (Nekotorye zakony logiki).
144
Primer 2.1 (Dokazatel~stvo tavtologi$
i s pomow~ sokrawennyh tablic istinnosti).
Opredelenie 2.2 (Otnoxenie sledovani).
Teorema 2.2 (Nekotorye logiqeskie sledstvi).
Primer 2.2 (Tabliqnoe dokazatel~stvo sekvenci$
i).
Teorema 2.3 (Svo$
istva znaka |= ).
Opredelenie 2.3 (Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$
i).
Teorema 2.4 (Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$
i dopuweni).
Sledstvie (Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$
i).
Teorema 2.5 (O protivoreqivyh spiskah dopuweni$
i).
Teorema 2.6 (Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov).
Primer 2.3 (Dokazatel~stvo s pomow~ teorem 2.3 — 2.6).
Teorema 2.7 (Podstanovka formul v tavtologii).
Teorema 2.8 (Teorema o zamene).
Teorema 2.9 (Rezolcii).
Primer 2.4 (Dokazatel~stvo metodom rezolci$
i).
Opredelenie 2.4 ( Shemy aksiom IV).
Opredelenie 2.5 (Vyvod i dokazatel~stvo v IV).
Primer 2.5 (Dokazatel~stvo formal~no$
i teoremy ` A → A ).
Teorema 2.10 (O dedukcii).
Sledstvie. Esli A1 , . . . , Am ` B , to
. . . , ` A1 → (A2 → (. . . (Am → B) . . .)) .
A1 , . . . , Am−1 ` Am → B,
Teorema 2.11 (O polnote IV).
Teorema 2.12 (O neprotivoreqivosti IV).
Sledstvie. (O prosto$
i neprotivoreqivosti IV).
Opredelenie 2.6 (Shema aksiom IS).
Opredelenie 2.7 (Pravila vyvoda IS).
Opredelenie 2.8 (Vyvod v IS).
Teorema 2.13 (O polnote IS).
145
Opredelenie 3.1 (Predikaty).
Opredelenie 3.2 (Kvantory, ograniqennye mnoestvom).
Opredelenie 3.3 (Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom).
Opredelenie 3.4 (Tavtologii v isqislenii predikatov).
Teorema 3.1 (Nekotorye tavtologii isqisleni predikatov).
Teorema 3.2 (Osnovnye svo$
istva kvantorov).
Teorema 3.3 (Pravila obobweni i konkretizacii).
Opredelenie 3.5 (Shemy aksiom i pravila vyvoda IP).
Teorema 3.4 (Pravila vvedeni i udaleni kvantorov).
Teorema 3.5 (Pravila pereimenovani peremennyh).
Sledstvie. Esli predikaty A, B otliqats tol~ko svzannymi peremennymi, to : 1) ` A ∼ B, 2) esli ` A , to ` B .
Opredelenie 3.6 (Zamknutye predikaty, zamykanie).
Teorema 3.6 (O zamykanii).
Opredelenie 4.1 (zyk IPFP).
Opredelenie 4.2 (Podstanovki termov v formuly).
Aksiomy ravenstva
Opredelenie 4.3 (Neopredelennoe opisanie).
Teorema 4.1 (Udalenie neopredelennogo opisani [1]).
Aksioma ASτ .
Opredelenie 4.4 (Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni).
Teorema 4.2 (Ob odnoznaqnyh i funkcional~nyh sootnoxenih).
146
kzamenacionnye voprosy
1. Bulevy funkcii, 5.
2. Dvo$
istvennye funkcii. Svz~ tablic funkci$
i f, f ∗ , 6.
3. Dvo$
istvenna k slono$
i funkcii, 7.
4. Osnovnye sootnoxeni, 8.
5. Podstanovka formul v ravenstva, 9.
6. Polnye mnoestva funkci$
i, bazisy), 10.
7. lementarnye konnkcii, diznkcii, 10.
8. Svo$
istva funkci$
i c a ( x ), d a ( x ) , 10.
9. DNF, KNF, SDNF, SKNF, 10.
10. Predstavleni bulevyh funkci$
i, 10.
11. Bazisy, 11.
12. Buleva algebra, 11.
13. Bulevy algebry B, BM , 12.
14. Osnovnye sootnoxeni bulevo$
i algebry, 12.
i algebre i ego svo$
istva, 12.
15. Otnoxenie 6 v bulevo$
16. Bulevy podalgebry, 13.
17. Podalgebra, porodenna mnoestvom, 13.
18. Izomorfizm bulevyh algebr, 13.
19. Tavtologii i protivoreqi, vypolnimye i oproverimye
formuly, todestvenno ravnye formuly, 14.
20. Nekotorye zakony logiki, 15.
21. Otnoxenie sledovani. Primery logiqeskih sledstvi$
i, 16.
22. Svo$
istva znaka |= , 17.
23. Ravnosil~nost~ spiskov dopuweni$
i, 17.
24. Ravnosil~nost~ spiska dopuweni$
i dopuweni, 17.
25. Pravila preobrazovani spiskov dopuweni$
i, 17.
26. O protivoreqivyh spiskah dopuweni$
i, 17.
27. Pravila vvedeni i udaleni logiqeskih znakov, 18.
28. Podstanovka formul v tavtologii, 20.
29. Teorema o zamene, 20.
30. Rezolcii, 20.
31. Shemy aksiom IV, 22.
32. Vyvod i dokazatel~stvo v IV, 23.
33. Teorema o dedukcii, 23.
34. Teorema o polnote IV, 26.
35. Teorema o neprotivoreqivosti IV, 26.
147
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
148
Teorema o prosto$
i neprotivoreqivosti IV, 26.
Shema aksiom IS, 27.
Pravila vyvoda IS, 27.
Vyvod v IS, 28.
Teorema o polnote IS, 28.
Predikaty, 29.
Kvantory, ograniqennye koneqnym mnoestvom, 30.
Tavtologii v isqislenii predikatov, primery, 32.
Osnovnye svo$
istva kvantorov, 33.
Pravila obobweni i konkretizacii, 33.
Shemy aksiom i pravila vyvoda IP, 34.
Pravila vvedeni i udaleni kvantorov, 35.
Pravila pereimenovani peremennyh, 36.
Zamknutye predikaty, zamykanie, 36.
Teorema o zamykanii, 36.
zyk IPFP, 37.
Podstanovki termov v formuly, 37.
Aksiomy ravenstva, 38.
Neopredelennoe opisanie, 39.
Aksioma terma τ , 39.
Odnoznaqnye i funkcinal~nye sootnoxeni, 39.