Логический элемент «ИЛИ-НЕ»

Логический элемент «ИЛИ-НЕ» Логический элемент «ИЛИ-НЕ» последовательно выполняет две операции (функции) − сначала операцию дизъюнкции (логическое сложение, операция ИЛИ), затем операцию логического отрицания (НЕ). На выходе логического элемента «ИЛИ-НЕ» всегда сигнал «логический 0», если хотя бы на один из его входов подан сигнал «логический 1». Логическая операция «ИЛИ-НЕ» обозначается знаком «стрелка вниз» (стрелка Пирса): Y = X1 ↓ X2 ↓ X3 ↓ . . . ↓ Xn . Стандартные графические обозначения логического элемента «ИЛИ-НЕ» с двумя входами представлены на рисунке 15. а) б) в) г) Рисунок 15 − Стандартные обозначения логического элемента «ИЛИ-НЕ»: а) ГОСТ 2.743-91; б) МЭК 117-15А; в) DIN4070; г) milspec 806B Результат Y логической операции «ИЛИ-НЕ» для двух заданных операндов, представляющих значения логических переменных X1 и X2, а также значений выхода Y для 2-входового логического элемента «ИЛИ-НЕ» («2ИЛИНЕ») в зависимости от значений, установленных на его входах X1 и X2 (рисунок 16), приведён ниже в таблице истинности (таблица 4). Рисунок 16 − Условное обозначение логического элемента «2И-НЕ» Из сравнения значений в таблицах истинности для операций «ИЛИ» (таблица 1) и «2ИЛИ-НЕ» (таблица 4) следует, что Y = X 1 ↓ X 2 = X 1 ∨ X 2 , т.е. логическая операция «2ИЛИ-НЕ» (функция Пирса) даёт результат Y = 0 тогда и только тогда, когда X1 = X2 = 0. Таблица 4 Таблица истинности операции «2ИЛИ-НЕ» X1 X2 Y 1 1 1 1 1 Пример временных диаграмм для логического элемента «2ИЛИ-НЕ» показан на рисунке 17. Рисунок 17 − Пример временных диаграмм для логического элемента «2ИЛИ-НЕ» Контактная форма представления логического элемента «2ИЛИ-НЕ» показана на рисунке 18. Операцию «ИЛИ-НЕ» легко реализовать в контактной цепи, применяя для этой цели последовательно подключенные электромагнитные реле. Y X1 X2 Рисунок 18 − Контактное обозначение логического элемента «2ИЛИ-НЕ» Отсутствие напряжения на обмотках обоих электромагнитных реле (X1=0 и X2=0) предполагает замыкание электрической цепи и появление сигнала, соответствующего «логической 1» (Y=1), на её выходе. При наличии напряжения на обмотках электромагнитных реле (X1=1 и/или X2=1) цепь является разомкнутой и сигнал на её выходе отсутствует (Y=0). Схемотехническая форма реализации логического элемента «2ИЛИ-НЕ» показана на рисунке 19. +E R R Y X1 X2 Рисунок 19 − Схемотехническая реализация логического элемента «2ИЛИ-НЕ» Выше отмечалось, что элементы «И», «ИЛИ» и «НЕ» образуют функционально полную систему. Другими функционально полными системами являются системы, основанные на элементах «И-НЕ» или «ИЛИ-НЕ». Логический элемент «И-НЕ» Логический элемент «И-НЕ» последовательно выполняет две операции (функции) − сначала конъюнкцию (логическое умножение, операция «И»), затем логическое отрицание (операция «НЕ»). На выходе логического элемента «И-НЕ» всегда сигнал «логическая 1», если хотя бы на один из его входов подан сигнал «логический 0». Логическая операция «И-НЕ» обозначается знаком «вертикальная черта» (штрих Шеффера): Y = F(X1, X2, …, Xn) = X1 | X2 | X3 | . . . | Xn . Стандартные графические обозначения логического элемента «И-НЕ» с двумя входами представлены на рисунке 20. a) б) в) Рисунок 20 − Стандартные обозначения логического элемента «И-НЕ»: a) ГОСТ 2.743-91 и МЭК 117-15А, б) DIN4070, в) milspec 806B Результат Y логической операции «И-НЕ» для двух заданных операндов, представляющих значения логических переменных X1 и X2, а также значений выхода Y для 2-входового логического элемента «И-НЕ» («2И-НЕ») в зависимости от значений, установленных на его входах X1 и X2 (рисунок 21), приведён ниже в таблице истинности (таблица 5). Рисунок 21 − Условное обозначение логического элемента «2И-НЕ» Таблица 5 Таблица истинности операции «2И-НЕ» X1 X2 Y 1 1 1 1 1 1 1 Из сравнения значений в таблицах истинности для операций «И» (таблица 2) и «2И-НЕ» (таблица 5) следует, что Y = X 1 | X 2 = X 1 ∧ X 2 , т.е. логическая операция «2И-НЕ» (функция Шеффера) даёт результат Y = 0 тогда и только тогда, когда X1 = X2 = 1. Пример временных диаграмм для логического элемента «2И-НЕ» показан на рисунке 22. Рисунок 22 − Пример временных диаграмм для логического элемента «2И-НЕ» Контактная форма представления логического элемента «2И-НЕ» показана на рисунке 23. Рисунок 23 − Контактное обозначение логического элемента «2И-НЕ» Операцию «И-НЕ» легко реализовать в контактной цепи, применяя для этой цели электромагнитное реле с нормально замкнутыми (в отсутствии сигнала на входе управления реле, соответствующее отсутствию напряжения на обмотке) контактами. Для реализации операции «И-НЕ» электромагнитные реле включают в цепь параллельно. Схемотехническая форма реализации логического элемента «2И-НЕ» показана на рисунке 24. R R +Uп Y X1 X2 R Рисунок 24 − Схемотехническая реализация логического элемента «2И-НЕ» Дополнительные логические операции и логические элементы Рассмотренные выше базовые логические операции не исчерпывают всех возможных логических функций (операций). Известно, что общее количество логических функций зависит от количества входных переменных (аргументов) и определяется следующим соотношением: P2 (n) = 22 n , где n − количество аргументов логической функции. Например, множество всех логических функций одной переменной – унарные (одноместные) логические операции – представлено в таблице 6. Количество логических функций 2 составляет P2 (1) = 2 = 4 . 1 Таблица 6 Функции, соответствующие унарным логическим операциям x 1 Обозначение ϕ 0(x) ϕ 1(x) 1 x ϕ 2(x) 1 x ϕ 3(x) 1 1 1 В таблице 6 представлены следующие логические функции: ϕ 0(x), ϕ 3(x) – функции констант «логический 0» и «логическая 1», значения которых не зависят от входной переменной (т.е. в данном случае х – фиктивная переменная); ϕ 2(x) = x – повторяет значение х; ϕ 2(x) = x – инверсия (отрицание переменной, функция «НЕ»). Множество всех логических функций двух переменных − бинарные логические операции − представлено в таблице 7. Количество логических функций составляет P2 (2) = 2 x1 1 1 x2 1 1 22 = 16 . Таблица 7 Функции, соответствующие бинарным логическим операциям ϕ0 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ10 ϕ11 ϕ12 ϕ13 ϕ14 ϕ15 Обозначение 0 0 0 0 1 1 0 1 1 x1 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x1 x2 ∨ ↓ & | ⊕ ≡ → → ← ← 1 1 1 1 1 В таблице 7 представлены следующие логические функции: ϕ 0(х1, х2) = 0, ϕ 15(х1, х2) = 1 – функции констант «логический 0» и «логическая 1» (х1, х2 – фиктивные переменные); ϕ 1(х1, х2) = х1 – повторение х1 (х2 – фиктивная переменная); ϕ 2 (х1, х2) = х2 – повторение x2 (х1 – фиктивная переменная); ϕ 3(х1, х2) = x1 – инверсия х1 (х2 – фиктивная переменная); ϕ 4(х1, х2) = x2 – инверсия х2 (х1 – фиктивная переменная); ϕ 5(х1, х2) = х1+ х2= х1∨ х2 – дизъюнкция (логическая функция «ИЛИ»); ϕ 6(х1, х2) = x1 + x2 = x1 ↓ x2 – стрелка Пирса (логическая функция «ИЛИНЕ»); ϕ 7(х1, х2) = х1& х2= х1∧ х2 – конъюнкция (логическая функция «И»); ϕ 8(х1, х2) = x1 ⋅ x2 = x1 x2 – штрих Шеффера (логическая функция «И- НЕ»); ϕ 9(х1, х2) = x1 ⊕ x2 = х1 ≠ х2 – сложение по модулю 2 (функция неравнозначности); ϕ 10(х1, х2) = x1 ⊕ x2 = х1 ∼ х2 = х1 ≡ х2 – отрицание сложения по модулю 2 (функция эквивалентности, равнозначности); ϕ 11(х1, х2) = x1 → x2 = x1 ⊃ x2 – импликация (х1 влечёт за собой х2); ϕ 12(х1, х2) = x1 → x2 – отрицание импликант (функция запрета); ϕ 13(х1, х2) = x2 → x1 = x2 ⊃ x1 – импликация (х2 влечёт за собой х1); ϕ 14(х1, х2) = x2 → x1 – отрицание импликант (функция запрета). В качестве определения логических функций одной или двух переменных обычно используются таблицы истинности, в которых всем возможным наборам значений переменных соответствуют значения логической функции. Помимо таблиц истинности, логические функции трёх и более переменных часто задаются логическими формулами (выражениями), состоящими из обозначений логических переменных и знаков унарных и бинарных логических операций. Используя таблицы 6 и 7, можно вычислить значение любой логической формулы для любого набора значений входных переменных (общее количество этих наборов равно 2 n , где n − количество входных переменных), т.е. построить таблицу истинности по заданной формуле. Пример. Составить таблицу истинности логической функции трёх переменных, заданной следующей формулой: f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 ∨ x 2 ) → ( x1 ∧ x3 ) . Для построения таблицы истинности функции f ( x1 , x2 , x3 ) необходимо вычислить её значения на каждом из восьми ( 2 3 ) наборов значений (таблица 8). Для упрощения расчётов в таблице в отдельных столбцах содержатся значения подвыражений, заключённых в скобки, а также инвертированного значения x1 . Таблица 8 Таблица истинности логической функции трёх переменных x1 x2 x3 x1 x1 ∨ x2 x1 ∧ x3 f ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Логический элемент «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) Логический элемент «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) описывается логической функцией, которая принимает единичные значения только при равенстве входных переменных. Соответствующая логическая операция «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) обозначается знаком ∼ (или ≡): Y = X1 ∼ X2 ∼ X3 ∼ . . . ∼ Xn или Y = X1 ≡ X2 ≡ X3 ≡ . . . ≡ Xn. Результат Y логической операции для двух заданных операндов, представляющих значения логических переменных X1 и X2, а также значений выхода Y для 2-входового логического элемента «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) в зависимости от значений, установленных на его входах X1 и X2 (рисунок 25), приведён в таблице истинности (таблица 9). Рисунок 25 − Условное обозначение логического элемента «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) Таблица 9 Таблица истинности операции «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) X1 X2 Y 1 1 1 1 1 1 Логическая функция «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ» (РАВНОЗНАЧНОСТЬ) может быть выражена через следующие простейшие логические операции: f ( x1 , x2 ) = x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x2 или f ( x1 , x2 ) = ( x1 + x2 ) ⋅ ( x1 + x2 ) . Эти выражения представляют совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) соответственно. Логический элемент «Исключающее ИЛИ» Логический элемент «Исключающее ИЛИ» (Exclusive OR, XOR) описывается логической функцией, которая принимает единичные значения только тогда, когда «логическая 1» представлена лишь для одной её переменной. Стандартные графические обозначения 2-входового логического элемента «Исключающее ИЛИ» показаны на рисунке 26. a) б) Рисунок 26 − Условное обозначение логического элемента «Исключающее ИЛИ»: a) ГОСТ 2.743-91 и МЭК 117-15А, б) milspec 806B Таблица истинности для 3-входового «Исключающее ИЛИ» приведена ниже (таблица 10). логического элемента Таблица 10 Таблица истинности логической функции трёх переменных x1 x2 x3 f ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Функция «Исключающее ИЛИ» может быть выражена через следующие простейшие логические операции: f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅x 3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 . Логический элемент «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» Логический элемент «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» (MOD2) описывается логической функцией, которая принимает единичные значения только тогда, когда «логическая 1» представлена лишь для одной её переменной либо для всех переменных. Условное графическое обозначение для 2-входового логического элемента «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» показано на рисунке 27. Рисунок 27 − Условное обозначение логического элемента «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» Таблица истинности для 3-входового логического элемента «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» приведена ниже (таблица 11). Таблица 11 Таблица истинности логической функции трёх переменных x1 x2 x3 f ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Функция «СУММА ПО МОДУЛЮ 2» может быть выражена через следующие простейшие логические операции (СДНФ): f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅x 3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 .