Линейный регрессионный анализ для описания связи между факторами и зависимой величиной

1 3. ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Целью любого эксперимента является получение информации об исследуемом объекте. Для этого нужно предварительно четко сформулировать цель исследований, изучить и проанализировать известную априорную информацию об объекте исследования, выбрать методы исследования. Часто при решении инженерных и научных задач необходимо не только исследовать распределение изучаемых показателей и оценить основные статистические характеристики, но и определить степень и форму влияния одной случайной величины Х (входного параметра или фактора) на другую Y (выходной параметр). Изучение статистических зависимостей между случайными величинами производится с помощью корреляционного и регрессионного анализа. Основные его положения были заложены английским математиком Френсисом Гальтоном. Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических гипотез». Регрессионная модель есть, прежде всего гипотеза, которая должна быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или отвергается. Линейный регрессионный анализ – это самый распространенный инструмент для описания связи между факторами и какой-то зависимой величиной. Как ВВП страны зависит от средней заработной платы, мировых цен на нефть и курса рубля? Такой пример из макроэкономики можно попробовать решить с помощью линейного регрессионного анализа. Как определить зависимость между погодой и количеством посетителей? Как спрогнозировать приток клиентов в зависимости от размера рекламного бюджета? 2 Все эти задачи первоначально пытаются решить с помощью линейного регрессионного анализа. Покажем на конкретном примере возможности линейного оценивания. Допустим, Вы задаетесь вопросом: как влияет рекламный бюджет на привлечение новых клиентов. Покажем на примере этой задачи возможности линейного оценивания. Пусть мы собрали статистические данные по нашей фирме за пять последних лет. Обозначим за X – величину рекламного бюджета в месяц (тыс.руб.), а за Y – количество новых клиентов в месяц (тыс.чел.). Последние к нам приходят иногда вне зависимости от нашей рекламы, поэтому попробуем оценить также долю таких покупателей. Итак, наша модель имеет вид: где а – характеризует влияние на приток покупателей рекламного бюджета; b – характеризует независимый от рекламы поток клиентов. – данная величина включает в себя отклонения, которые не объясняются моделью, а вызваны другими факторами (сезонность, курс доллара и пр.). Для оценки коэффициентов регрессионного уравнения, при определенных предпосылках, мы можем использовать метод наименьших квадратов. В таблице 1 приведены исходные значения для нашей задачи, данная таблица называется матрицей планирования эксперимента. Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Обычно применяют число уровней фактора, т.е. число опытов в матрице планирования эксперимента, N=5…6. (u – номер опыта.) Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется несколько раз m2 (v – номер повтора каждого опыта). В табл.1 приведен выходной параметр Yuv, который измерялся при разных значениях Xu 5 раз 3 (за 5 последних лет), в данной таблице число опытов N=6 и число повторов каждого опыта m=5. Таблица 1 Хu 10 20 30 40 50 60 u 1 2 3 4 5 6 Исходные данные v Yuv 1 2 3 2,1 2,5 2,2 4,2 4,8 4,4 6,2 6,6 6,3 8 8,2 8,4 10,5 9,8 10,7 12,7 12,6 12,7 4 1,9 3,7 6,1 7,7 10,2 12,2 5 1,6 4,3 5,7 8,5 9,5 12,1 3.1. Исключение резко выделяющихся данных Рассмотрим эту операцию при анализе первого опыта матрицы u=1, когда X=10, для этого опыта определяем минимальное и максимальное значения для выходного параметра Yuv: Yuvmax=2,5, Yuvmin=1,6. Рассчитанные по формулам (1) и (2) значения среднего арифметического Y u и дисперсии S2u{Y} для каждого опыта приведены в таблице 2: m Yuv Y1  Y2  ...  Ym  v 1 Yu   , m m S 2 Y   1 m (Yuv  Y u ) 2 .  m  1 v1 (1) (2) Для исключения резко выделяющихся данных необходимо определить расчетные значения критерия Смирнова-Грабса по формулам: при подозрении резко выделяющегося максимального значения Yi max: VR max  (Yi max  Y ) m S Y  m 1 (3) при подозрении резко выделяющегося минимального значения Yi min: VR min  (Y  Yi min ) m S Y  m 1 (4) 4 где Y – среднее значение выходного параметра для u–го опыта матрицы; Su{Y} – среднее квадратическое отклонение для u–го опыта матрицы. Используя формулы (3) и (4) определяем для первого опыта матрицы: VR max 1  2,5  2,06 5  1,636 0,3 5 1 VR min 1  2,06  1,6 5  1,711 0,3 5 1 По приложению 1 находим, что VT[pD=0,95; m=5]=1,869. Так как VRmax GТ, то дисперсии в N рядах измерений неоднородны. После отбрасывания S2u max{Y} описанную выше процедуру следует повторить для N-1 рядов измерений. Если число повторных опытов неодинаково при различных уровнях факторов, то для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлера, расчетное значение которого равно: 7 BR  2,303  f lg S 2 Y   (1)  C  где 1  C  1  3(N-1 )  N  u 1 N   f lg S 2 Y , u u (8)   1 1    f f (9) u  1 u  2 S(1) - средняя дисперсия выходного параметра в опытах матрицы, определяемая по формуле : . S(21) Y   1 f N  fu Su2 Y  (10) u 1 Число степеней свободы этой дисперсии равно : N f   fu (11) u 1 f u  mu  1 Если fu>2, следовательно, величина BR распределена как 2-критерий с числом степеней свободы N-1, который определяют по приложению 2. Если ВR < ВТ= 2[pD; f=N-1], то это свидетельствует об отсутствии значимого различия между дисперсиями S2u{Y}, т.е. об их однородности. 3.4. Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле: S(21)  1 N N  Su2 Y  (12) u 1 Число степеней свободы этой дисперсии равно: f S(21)   N (m 1)  Средняя (13)  дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра относительно его средних значений при каждом уровне факторов, т.е. ошибку опытов в эксперименте. В рассматриваемом примере эта дисперсия, или, как ее называют дисперсия воспроизводимости, равна: 8 S(21)  0,6448  0,107 6 f S 2   6(5  1)  24.  (1)  3.5. Определение подходящего вида регрессионной модели Для определения подходящего вида регрессионной модели используют следующую информацию: 1) графическую взаимосвязь Y =f(X) между средними значениями выходного параметра для каждого уровня факторов и значением фактора по данным эксперимента. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций устанавливают вид уравнения; 2) характер изменения разделенных и неразделенных разностей первого порядка, определяемых по данным эксперимента. Если в результате эксперимента получены следующие пары значений X Y ,..., X u Y ,...X Y N N , то разделенными разностями 11 u первого порядка называются величины:  R1  Y 2  Y1 Yu  1  Yu Y N Y N 1 , ...,  Ru  , ...,  R( N  1)  X X X  Xu X X N N 1 2 1 u 1 (14) и неразделенными разностями первого порядка  величины:  Н1  Y 2  Y1, ... ,  Нu  Y u  1  Y u , ...,  Н ( N  1)  Y N  Y N  1 (15) Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный, т.е. IX=X2-X1=Xu+1-Xu=XN-XN-1=const. В рассматриваемом примере графическая взаимосвязь Y =f(X) между средними значениями выходного параметра Y для каждого уровня факторов и значением фактора X приведена на рис.1. При сопоставлении этого графика с графиками известных функций можно сделать вывод, что для описания экспериментальных данных наиболее подходит линейная модель. 9 14 Y 12 10 8 6 4 2 X 10 20 30 40 50 60 70 Рис.1. Регрессионная зависимость В рассматриваемом постоянный и равен примере интервал варьирования факторов IX=20-10=30-20=40-30=50-40=60-50=10. Поэтому определяем неразделенные разности первого порядка по формуле (15):  Н 1  4,28  2,06  2,22  Н 2  6,18  4,28  1,90  Н 3  8,16  6,18  1,98  Н 4  10,14  8,16  1,98  Н 5  12,46  10,14  2,32 Ввиду малого различия неразделенных разностей первого порядка  Н max   Н min  2,32  1,9  0,42 , не превышающего удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента 2S(1){Y}=0,656, можно считать что они тождественны и поэтому для описания экспериментальных данных можно принять уравнение прямой линии: YR  a0  a1 X (16) или YR  d0  d1(X - X), (17) где 1 X N N  Xu u 1 (18) 10 Использование уравнения (17) позволяет упростить статистические расчеты при обработке экспериментальных данных, так как коэффициенты регрессии d0 и d1 не коррелированны. 3.6. Определение коэффициентов регрессии Если дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, то для определения коэффициентов регрессии в уравнении (17) можно применять метод наименьших квадратов. Используя условие N  (Yu  YRu )2  min , устанавливают следующие нормальные уравнения: u 1   d0 N  d1  ( X  X )   Y u u   u 1 u 1  N N N  d0  ( X  X )  d  ( X  X ) 2   ( X  X )Y u  u 1 u u  u 1 u 1 u 1 N N (19) N  ( X u  X )  0 , то решая эти уравнения, получаем : Так как u 1 d0  1 N N Y u  Y (20) u 1 N  ( X u  X )Y u d  u 1 1 N (21)  ( X u  X )2 u 1 Определим по формулам (20) и (21) коэффициенты регрессии для рассматриваемого примера. Расчеты необходимых сумм сводим в табл.3. По формуле (18) находим: X  210  35. 6 По формулам (20) и (21) определяем: d0  Y  d1  43,28  7,21 6 357,8  0,2. 1750 11 Таблица 3 Расчет сумм для определения коэффициентов регрессии u Xu Xu  X 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 -25 -15 -5 5 15 25 210 ( X u  X )2 Yu ( X u  X )Y u 625 225 25 25 225 625 2,06 4,28 6,18 8,16 10,14 12,46 -51,5 -64,2 -30,9 40,8 152,1 311,5 1750 43,28 357,8 N  u 1 Поэтому искомое уравнение имеет вид: YR  7,21  0,2( X  35) или YR  0,21  0,2 X . График этой функции изображен на рис.2. 3.7. Определение адекватности полученного уравнения Для определения адекватности полученного уравнения используют критерий Фишера, расчетное значение которого определяют по формуле: FR  где S(22){Y } (22) S(21){Y } S(21){Y } - средняя дисперсия,или дисперсия воспроизводимости, определяемая по формуле (12); S(22){Y } - дисперсия,ххарактер зующая рассеивание средних экспериментальных значений Yu относительно прямой ллинии определяемой уравнением регрессииYR. Дисперсия S2(2){Y} характеризует точность аппроксимации зависимости Y  f (X ) прямой линией и определяется по формуле: m N (Y u  YRu ) 2 N 2 u 1 Число степеней свободы этой дисперсии равно: S(22){Y }  f {S(22)}  N  2 (23) (24) 12 Расчетное значение FR сравнивают с табличным значением критерия Фишера FT, которое определяют по приложению 3 в зависимости от доверительной вероятности pD=0,95 и числа степеней свободы дисперсий f {S(21)} и f {S(22)}. Если FR>tT=2,048 и tR{d1}=56,5>> tT=2,048, полученные коэффициенты значимы и, следовательно, связь между Y и X значима. Доверительные абсолютные ошибки коэффициентов регрессии вычисляем по формуле:  d i   S d i t T [ p D ; f {S 2 }] (30) Для данного примера эти ошибки равны: {d0}  0,3  2,048  0,61 {d1}  0,0035  2,048  0,007 Доверительные интервалы для истинных значений коэффициентов регрессии d0, d1 в линейном уравнении (17) определяются неравенством: di   {di }  di  di   {di } Для рассматриваемого примера (31) доверительные коэффициентов регрессии при pD=0,95следующие: 7,21  0,61  d0  7,21  0,61 6,6  d0  7,82 0,2  0,007  d1  0,2  0,007 0,193  d1  0,0207 интервалы 15 3.9. Определение доверительных интервалов средних значений выходного параметра при фиксированном значении фактора Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра YRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Xu, определяем доверительные ошибки {YRu} расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы среднего значения выходного параметра. Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого уровня фактора рассчитываются по формуле:  {YRu } S m{YRu } tT [ pd ; f {S 2}], (32) где S m{YRu } - оценка среднего квадратического отклонения расчетного значения выходного параметра YRu для каждого значения X u , определяемая по формуле : S m 2{YRu }  S 2{d 0}  S 2{d1} ( X u  X ) 2 (33) S m{YRu }  S 2{d 0 }  S 2{d1} ( X u  X ) 2 (34) Для данного примера: Sm{YRu }  0,09  0,000013  ( X u  X )2 . Расчеты значений Sm{YRu}для каждого u–го уровня фактора сведены в табл.5. В рассматриваемом примере табличное значение критерия Стьюдента (см. пункт 2.8) равно tT[pD=0,95;f=28]=2,048. Подставляя это значение в формулу (32), получаем:  m{YRu }  2,048  Sm{YRu }. В таблице 5 приведены полученные значения S2m{YRu}, Sm{YRu} и {YRu} для каждого уровня фактора. Зная доверительные ошибки расчетных значений, можно найти доверительные интервалы для истинных средних значений выходного параметра, используя следующее неравенство: (u ) ( 0) YmR ( X )  YRu   {YRu }  YRu  YRu   {YRu }  YmR (X ) (35) 16 Таблица 5 Расчет доверительных интервалов средних значений выходного параметра u Xu 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 2 ( X u  X )2 S m{YRu} Sm{YRu} m{YRu} 625 225 25 25 225 625 0,099 0,094 0,092 0,092 0,094 0,099 0,315 0,307 0,303 0,303 0,307 0,315 0,65 0,63 0,62 0,62 0,63 0,65 YRu 2,21 4,21 6,21 8,21 10,21 12,21 (u) (0) 1,56 3,58 5,59 7,59 9,58 11,56 2,86 4,84 6,83 8,83 10,84 12,86 YmR (X) YmR (X) На основе приведенных в табл.5 значений границ доверительного (u) (0) интервала строим график функций YmR (X) и YmR (X) (см. рис.2). Графики этих двух функций образуют своеобразный ―коридор‖. Любое сечение его прямой, параллельной вертикальной оси, соответствует доверительному интервалу, в котором с заданной вероятностью будет находиться истинное среднее значение выходного параметра. Легко заметить, что в этот коридор попадают средние экспериментальные значения Yu . Однако некоторые индивидуальные экспериментальные значения выходного параметра в него не попадают, так как интервалы построены для средних значений. 2.10. Определение доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра при каждом уровне фактора Границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра Yuv при каждом уровне фактора Xu определяются по формулам: (u ) YeR ( X )  YR ( X )   e{YR } (36) ( 0) YeR ( X )  YR ( X )   e{YR } (37)  e{YR }  Se{YRu } tT [ pD ; f {S 2}] (38) Se2{YRu }  Sm2 {YRu }  S 2{Y } (39) Se{YRu }  Sm2 {YRu }  S 2{Y } (40) 17 Используя значения S2m{YRu} из табл.5 и ранее определенные по формуле (28) S2{Y}=0,11 и tT[pD=0,95;f=28]=2,048, все расчеты верхней границы и нижней границы доверительного интервала по формулам (36) и (37) сводим в табл.6. Используя данные табл.6, строим графики функций (u) (0) YeR (X) и YeR (X), которые являются доверительными границами зоны индивидуальных значений Yuv выходного параметра (см. рис.2). Вероятность попадания точек, соответствующих индивидуальным значениям выходного параметра, равна 0,95, т.е. из ста измерений выходного параметра при любом уровне варьирования фактора 95 измерений попадают в эту зону и только 5 не попадают. Таблица 6 Расчет доверительных интервалов для индивидуальных значений выходного параметра u Xu 1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 60 S2m{YRu} S2e{YRu} Se{YRu} e{YRu} 0,099 0,094 0,092 0,092 0,094 0,099 0,209 0,204 0,201 0,201 0,204 0,209 0,457 0,452 0,449 0,449 0,452 0,457 0,936 0,925 0,919 0,919 0,925 0,936 YRu 2,21 4,21 6,21 8,21 10,21 12,21 (u) (0) 1,274 3,285 5,291 7,291 9,285 11,274 3,146 5,135 7,129 9,129 11,135 13,146 YeR (X) YeR (X) Рассматривая индивидуальные значения Yuv (см. табл.1) и границы зоны для каждого Xu (табл.6) замечаем, что все индивидуальные измерения (u) (0) попали в доверительную зону, т.е. располагаются между YeR (X) и YeR (X). На этом заканчивается статистическая обработка данных рассматриваемого однофакторного эксперимента. 18 Y 14 12 10 8 6 4 2 10 Y YRu 20 YmR(u)(X) 30 40 YmR(0)(X) 50 60 YeR(u)(X) Рис.2. Линейная регрессионная однофакторная модель и ее доверительные интервалы 70 X YeR(0)(X) 19 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Критические значения VT критерия исключения резко выделяющихся данных выборки Повторности m 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,99 1,414 1,723 1,955 2,130 2,265 2,374 2,464 2,540 2,606 2,663 2,714 2,759 2,800 2,837 2,871 2,903 2,932 2,959 2,984 3,008 3,030 3,051 3,071 РД 0,95 1,412 1,689 1,869 1,996 2,093 2,172 2,237 2,294 2,343 2,387 2,426 2,461 2,493 2,523 2,551 2,577 2,600 2,623 2,644 2,664 2,683 2,701 2,717 0,90 1,406J 1,645 1.791 1,894 1,974 2,041 2,097 2,146 2,190 2,229 2,264 2,297 2,326 2,354 2,380 2,404 2,426 2,447 2,467 2.486 2,504 2,502 2,537 20 Приложение 2 Значения tT критерия Стьюдента tT [РД; f] f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ РД 0,8 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282 0,90 РД Двустopoнний критерий 0,9 0,95 0,99 6,314 12,706 63,657 2,920 4,303 9,925 2,353 3,182 5,841 2,132 2,776 4,604 2,015 2,571 4,032 1,943 2,447 3,707 1,895 2,365 3,499 1,860 2,306 3,355 1,833 2,262 3,250 1,812 2,228 3,169 1,796 2,201 3,106 1,782 2,179 3,055 1,771 2,160 3,012 1,761 2,145 2,977 1,753 2,131 2,947 1,746 2,120 2,921 1,740 2,110 2,898 1,734 2,101 2,878 1,729 2,093 2,861 1,725 2,086 2,845 1,721 2,080 2,831 1,717 2,074 2,819 1,714 2,069 2,807 1,711 2,064 2,797 1,708 2,060 2,787 1,706 2,056 2,779 1,703 2,052 2,771 1,701 2,048 2,763 1,699 2,045 2,756 1,697 2,042 2,750 1,684 2,021 2,704 1,671 2,000 2,660 1,658 1,980 2,617 1,645 1,960 2,576 0,95 0,975 0,995 Односторонний критерий 0,999 636,62 31,598 12,924 8,610 6,869 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,460 3,373 3,291 0,9995 21 Приложение 3 Таблица значений FT критерия Фишера FT [РД=0,95, f2; f1] (f2 — степень свободы для большей дисперсии, f1 - степень свободы для меньшей дисперсии) f1\f2 1 2 3 4 5 В 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 18,51 19.00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19.37 19,38 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 5,32 4,16 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 4,81 4,38 3,59 3,36 3,20 3,09 3.01 2,95 2,90 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 3,922 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 22 Окончание приложения 3 f1\f2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 10 241,9 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,27 2,25 2,24 2,22 2,20 2,19 2,18 2,16 2,08 1,99 1,91 1,83 12 243,9 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,25 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2.12 2JO 2,09 2,00 1,92 1,83 1,75 15 245,9 19,43 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2.31 2,27 2,23 2,20 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 2,03 2,01 1,92 1,84 1,75 1,67 20 248,0 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,16 2,12 2,10 2,07 2,05 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,84 1,75 1,66 1,57 24 249,1 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19 2,15 2,11 2,08 2,05 2,03 2,01 1,98 1,96 1,95 1.93 1,91 1,90 1,89 1,79 1,70 1,61 1,52 30 250,1 19,46 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2.15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,98 1,96 1,94 1,92 1,90 1,88 1,87 1,85 1,84 1,74 1,65 1,55 1,46 40 251,1 19,47 8,59 5,72 4,48 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 2,06 2,03 1,99 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1.85 1,84 1,82 1,81 1,79 1,69 1,59 1,50 1,39 60 252,2 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,79 2,62 2,49 2,38 2,30 2,22 2,16 2,11 2,06 2,02 1,98 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,75 1,74 1,64 1,53 1,43 1,32 120 253,3 19,49 8,55 5,66 4,40 3,70 3,27 2,97 2,75 2,58 2,45 2,34 2,225 2,18 112, 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,87 1,84 1,81 1,79 1,77 1,75 1,73 1,71 1,70 1,68 1,58 1,47 1,35 1,22 ∞ 254,3 19,50 8,53 5,63 4,36 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2.40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,92 1,88 1,84 1,81 1,78 1.76 1,73 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 1,39 1,25 1,00 1,71 23 Приложение 4 Табличные значения критерия Кочрена, т. е. отношения наибольшей эмпирической дисперсии к сумме N эмпирических дисперсий GT [рD=0,95; f = m— 1, N] N 1 2 0,9985 3 0,9669 4 0,9065 5 0,8412 6 0,7808 7 0,7271 8 0,6798 9 0,6385 10 0,6020 12 0,5410 15 0,4709 20 0,3894 24 0,3434 30 0,2929 40 0,2370 60 0,1737 120 0,0998 ∞ 2 0,9750 0,8709 0,7679 0,6838 0,6161 0,5612 0,51.57 0,4775 0,4450 0,3924 0,3346 0,2705 0,2354 0,1980 0,1576 0,1131 0,0632 3 0,9392 0,7977 0,6841 0,5981 0,5321 0,4800 0,4377 0,4027 0,3733 0,3264 0,2758 0,2205 0,1907 0,1593 0,1259 0,0895 0,0495 4 0,9057 0,7457 0,6287 0,5441 0,4803 0,4307 0,3910 0,3584 0,3311 0,2880 0,2419 0,1921 0,1656 0,1377 0,1082 0,0765 0,0419 5 0,8772 0,7071 0,5859 0,5065 0,4447 0,3974 0,3595 0,3286 0,3029 0,2624 0,2195 0,1735 0,1493 0,1237 0,0968 0,0682 0,0371 f Доверительная вероятность 0,95 6 7 8 9 0,8534 0.8332 0,8159 0,8010 0,6771 0,6530 0,6333 0,6167 0,5598 0,5365 0,5175 0,5017 0,4783 0,4564 0,4387 0,4241 0,4184 0,3980 0,3817 0,3682 0,3726 0,3535 0,3384 0,3259 0,3362 0,3185 0,3043 0,2926 0,3067 0,2901 0,2768 0,2659 0,2823 0,2666 0,254! 0,2439 0,2439 0,2299 0,2187 0,2098 0,2034 0,1911 0,1815 0,1736 0,1602 0,1501 0,1422 0,1357 0,1374 0,1286 0,1216 0,1160 0,1137 0,1061 0,1002 0,0958 0,0887 0,0827 0,0780 0,0745 0,0623 0,0583 0,0552 0,0520 0,0337 0,0312 0,0292 0,0279 10 0,7880 0,6025 0,4884 0,4118 0,3568 0,3154 0,2829 0,2568 0,2353 0,2020 0,1671 0,1303 0,1113 0,0921 0,0713 0,0497 0,0266 16 0,7341 0,5466 0,4366 0,3645 0,3135 0,2756 0,2462 0,2226 0,2032 0,1737 0,1429 0,1108 0,0094 0,0771 0,0595 0,0411 0,0218 36 0,5602 0,4748 0,3720 0,3066 0,2612 0,2278 0.2022 0,1820 0,1655 0,1403 0,1144 0,0879 0,0743 0,0604 0,0462 0,0316 0,0165 144 0,5813 0,4031 0,3093 0,2513 0,2119 0,1833 0,1616 0,1446 0,1308 0,1100 0,0889 0,0675 0,0567 0,0457 0,0347 0,0234 0,0120 ∞ 0,5000 0,3333 0,2500 0,2000 0,1667 0,1429 0,1250 0,1111 0,1000 0,0833 0,0667 0,0500 0,0417 0,0333 0,0250 0,0167 0,0083 24 Приложение 5 Коэффициенты qm-i+1, используемые при проверке экспериментальных данных на нормальность с помощью критерия W, для т=3...50 m i 1 2 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,0561 0,0947 m i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 0,5601 0,3315 0,2260 0,1429 0,0695 12 0,5475 0,3325 0,2347 0,1586 0,0922 0,0303 13 0,5359 0,3325 0,2412 0,1707 0,1099 0,0539 14 0,5251 0,3318 0,2460 0,1802 0,1240 0,0727 0,0240 15 0,5150 0,3306 0,2495 0,1878 0,1353 0,0880 0,0433 16 0,5056 0,3290 0,2521 0,1939 0,1447 0,1005 0,0593 0,0196 17 0,4968 0,3273 0,2540 0,1988 0,1524 0,1109 0,0725 0,0359 18 0,4886 0,3253 0,2553 0,2027 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163 24 0,4493 0,3098 0,2554 0,2145 0,1807 0,1512 0,1245 25 0,4450 0,3069 0,2543 0,2148 0,1822 0,1539 0,1283 26 0,4407 0,3043 0,2533 0,2151 0,1836 0,1563 0,1316 m i 1 2 3 4 5 6 7 10 0,5739 0,3291 0,2141 0,1224 0,0399 19 0,4808 0,3232 0,2561 0,2059 0,1641 0,1271 0,0932 20 0,4734 0,3211 0,2565 0,2085 0,1686 0,1334 0,1013 21 0,4643 0,3185 0,2578 0,2119 0,1736 0,1399 0,1092 22 0,4590 0,3156 0,2571 0,2131 0,1764 0,1443 0,1150 23 0,4542 0,3126 0,2563 0,2139 0,1787 0,1480 0,1201 25 Приложение 6 Критические значения критерия W, используемого для проверки экспериментальных данных на нормальность, для т = 3 ... 50 т 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 PD 0,99 0,753 0,687 0,686 0,713 0,730 0,749 0,764 0,781 0,792 0,805 0,814 0,825 0,835 0,844 0,851 0,858 0,863 0,868 0,873 0,878 0,881 0,884 0,888 0,891 0,894 0,896 0,898 0,900 0,902 0,904 0,906 0,908 0,910 0,912 0,914 0,916 0,98 0,756 0,707 0,715 0,743 0,760 0,778 0,791 0,806 0,817 0,828 0,837 0,846 0,855 0,863 0,869 0,874 0,879 0,884 0,888 0,892 0,895 0,898 0,901 0,904 0,906 0,908 0,910 0,912 0,914 0,915 0,917 0,919 0,920 0,922 0,924 0,925 0,95 0,767 0,748 0,762 0,788 0,803 0,818 0,829 0,842 0,850 0,859 0,866 0,874 0,881 0,887 0,892 0,897 0,901 0,905 0,908 0,911 0,914 0,916 0,918 0,920 0,923 0,924 0,926 0,927 0,929 0,930 0,931 0,933 0,934 0,935 0,936 0,938 0,90 0,789 0,792 0,806 0,826 0,838 0,851 0,859 0,869 0,876 0,883 0,889 0,895 0,901 0,906 0,910 0,914 0,917 0,920 0,923 0,926 0,928 0,930 0,931 0,933 0,935 0,936 0,937 0,939 0,940 0,941 0,942 0,943 0,944 0,945 0,946 0,947 0.50 0,959 0,935 0,927 0,927 0,928 0,932 0,935 0,938 0,940 0,943 0,945 0,947 0,950 0,952 0,954 0,956 0,957 0,959 0,960 0,961 0,962 0,963 0,964 0,965 0,965 0,966 0,966 0,967 0,967 0,968 0,968 0,969 0,969 0,970 0,970 0,971 26 Окончание приложения 6 т 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 PD 0,99 0,917 0,919 0,920 0,922 0,923 0,924 0,926 0,927 0,928 0,929 0,929 0,930 0,98 0,927 0,928 0,929 0,930 0,932 0,933 0,934 0,935 0,936 0,937 0,937 0,938 0,95 0,939 0,940 0,941 0,942 0,943 0,944 0,945 0,945 0,946 0,947 0,947 0,947 0,90 0,948 0,949 0,950 0,951 0,951 0,952 0,953 0,953 0,954 0,954 0,955 0,955 0.50 0,971 0,972 0,972 0,972 0,973 0,973 0,973 0,974 0,974 0,974 0,974 0,974