Линейные однородные ДУ второго порядка. Линейно независимые и линейно зависимые функции. Определитель Вронского

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО (1) – Однородное ДУ 2-го порядка Теорема. Если функции и являются частными решениями уравнения (1), то решением этого уравнения является также функция ; где и - произвольные постоянные. Доказательство: Подставим частное решение в уравнение (1) = Чтобы ответить на вопрос, является ли решение общим решением уравнения введем новые понятия. Функции Линейно независимые Линейно зависимые и на интервале , если равенство , где выполняется тогда и только тогда, когда Если хотя бы одно из чисел и и выполняется равенство , то функции и называются линейно зависимыми Условие линейной зависимости Например, 1) и 2) и Средством изучения линейной зависимости систем функций является определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский – польский математик). Даны две дифференцируемые функции и вронскиан имеет вид Теорема. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю. А если определитель Вронского не обращается в нуль, то функции и – линейно независимые решения уравнения. Определение. Фундаментальная система решений – совокупность любых двух линейно независимых на интервале частных решений и в виде комбинации . Теорема (структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка). Если два частных решения и ЛОДУ образуют на интервале фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция , где – произвольные постоянные. Например, общее решение ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛОДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЛОДУ 2-го порядка , где и - постоянные. При решении нужно составить характеристическое уравнение При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи: Таблица 1 Корни характеристического уравнения Общее решение 1 случай. Корни характеристического уравнения , причем – действительные корни 2 случай. Корни характеристического уравнения , причем t – действительный корень 3 случай. Если и комплексные корни ; Примечание. Если ЛОДУ порядка с постоянными коэффициентами , то решается аналогично. Характеристическое уравнение имеет вид , где - корни уравнения. При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи: Таблица 2 Корни характеристического уравнения Общее решение 1 случай. Корни характеристического уравнения , причем – действительные корни 2 случай. Корни характеристического уравнения , причем t – действительный корень 3 случай. Если комплексные корни ; ; ; …