Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Лекция 3.9 §5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥), где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X. Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ. Данная теорема определяет структура общего решения такого уравнения. Замечание. Теорема справедлива и когда p(x), q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X. Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнение представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. y = Y + y* , где y - общее решение линейного неоднородного уравнения, Y - общее решение линейного однородного уравнения и y* - частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения. Доказательство. Докажем сначала, что функция y является решением рассматриваемого уравнения. Подставляя y = Y + y* в исходное уравнение, получим: . Так как Y есть решение однородного уравнения, то выражение, стоящее в первых скобках, равно нулю. Выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x), т.к. y* есть решение неоднородного уравнения. 2 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Докажем теперь, что решение y = Y + y* является общим решением рассматриваемого уравнения, т.е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия: . Общее решение линейного однородного уравнения можно представить в форме этого уравнения, а , где и и линейно независимые решения произвольные постоянные. Рассматриваемое решение можно записать в форме . Используя начальные условия, будем иметь: . Из этой системы уравнений нужно определить и . Переписав систему в виде замечаем, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций и в точке . Так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет определенное решение и : , При этих значениях и . мы и получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решение 3 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами является общим решением рассматриваемого линейного неоднородного уравнения. Таким образом, доказано, что решение неоднородного уравнения есть сумма y = Y + y* . Замечание. Общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: y = Y + y* . Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения Y описано в предыдущей лекции, для построения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения: y = Y + y* нам необходимо научиться определять y* (частное решение ЛНДУ). Теорема. Если y1 является решением уравнения 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓1 (𝑥) , а y2 решением уравнения 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓2 (𝑥) , то y1 +y2 есть решение уравнения 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) . Доказательство. По условию 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓1 (𝑥) и 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓2 (𝑥) , поэтому , что и требовалось доказать. Этот результат называется “принципом наложения”. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) Этот метод применяется для отыскания частного решения y* линейного неоднородного уравнения, когда известно общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Пусть дано линейное неоднородное уравнение второго порядка 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) и пусть общим решением 4 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами соответствующего однородного уравнения 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0 является функция y=C1y1+C2y2 , где y1 и y2 - два линейно-независимых решения однородного уравнения. В такой же форме будем искать и частное решение y* линейного неоднородного уравнения, только C1 и C2 будем считать не произвольными постоянными, а некоторыми, пока неизвестными функциями от x , т.е. будем считать, что y*=C1(x)y1+C2(x)y2. Дифференцируя, получим: . Функции C1(x) и C2(x) мы будем считать выбранными так, что . Тогда и . Подставляя теперь в исходное уравнение, получим: . Но и , т.к. y1 и y2 являются решениями однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство запишется: . Итак, функция y*=C1(x)y1+C2(x)y2 будет удовлетворять заданному уравнению, если функции C1(x) и C2(x) удовлетворяют двум условиям: . Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными C1(x) и C2(x) 5 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Определитель этой системы , т.к. он является определителем Вронского для линейно независимых функций и . Решая эту систему, мы найдем C1’(x) и C2 ‘(x) как определенные функции от x : . Интегрируя, получим: При этих значениях и и . получим частное решение y*=C1(x)y1+C2(x)y2 . Общее решение: y = Y + y*= C1y1+C2y2+ y*. На основании вышеизложенного применяется следующий алгоритм действий: o находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1y1 + C2y2, где y1 и y2 - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 – произвольные постоянные; o варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x)y1+C2(x)y2; o производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании. Пример. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка Решение. . 6 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни . Значит, Y=C1cos2x+C2sin2x . Будем искать частное решение в форме y*=C1 (x)cos2x+C2 (x)sin2x. C1' (x) и C2' (x) находим, решая систему уравнений . Интегрируя, находим: . Следовательно, , а общее решение . Пример. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка . Решение. Несложно заметить, что линейно соответствующего ЛОДУ независимыми являются частными и решениями , то есть, . Варьируем произвольные постоянные, и в качестве общего решения исходного дифференциального . Составляем систему уравнений уравнения примем 7 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Для ее решения используем метод Крамера: Интегрируем полученные выражения для нахождения C1(x) и C2(x): Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид . Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение. 8 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Находим сначала y*, для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его: 𝑘 2 + 36 = 0 𝑘1 = 6𝑖, 𝑘2 = −6𝑖 𝑌 = 𝐶1 cos (6𝑥) + 𝐶2 sin (6𝑥) 𝑦1 = cos(6𝑥) 𝑦2 = sin (6𝑥) Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде . Определим производные функций C1(x) и C2(x) из системы уравнений: Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Ее решениями являются Проинтегрировав каждое уравнение (при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования), получаем 9 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Следовательно, общее дифференциального решение уравнения исходного второго линейного порядка с неоднородного постоянными коэффициентами имеет вид Метод неопределенных коэффициентов или метод подбора по правой части Этот метод применяется в том случае, когда правая часть уравнения f (x) является функцией специального вида f ( x) = e x  Pn ( x)cos  x + Qm ( x)sin  x  , где Pn ( x) и Qm ( x) - многочлены степеней n и m соответственно для нахождения y* частного решения ЛНДУ. Основная идея метода подбора решения уравнения по правой части заключается в том, что частное решение этого уравнения ищется в виде функции такого же вида, как и 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 [𝑃𝑛 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝑄𝑚 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥]. Алгоритм нахождения частного решения Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 10 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами 𝑦 ″ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 [𝑃𝑛 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝑄𝑚 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥]. 1. По виду правой части рассматриваемого уравнения выписываем числа 𝛼, 𝛽, 𝑛 и 𝑚. 2. Составляем контрольное число 𝑧 = 𝛼 + 𝑖𝛽. 3. Найдем 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛, 𝑚}. 4. Составляем характеристическое уравнение 𝑘 2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0 и найдем его корни 𝑘1 и 𝑘2 . 5. Сравнивая z с 𝑘1 и 𝑘2 , найдем число λ по правилу: 0, если 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 ≠ 𝑘2 ; 𝜆 = {1, если 𝑧 = 𝑘1 , 𝑧 ≠ 𝑘2 или 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 = 𝑘2 ; 2, если 𝑧 = 𝑘1 , 𝑧 = 𝑘2 . 6. Записываем частное решение в виде 𝑦∗ = 𝑥 𝜆 𝑒 𝛼𝑥 [𝑃̃𝑠 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝑄̃𝑠 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥], где 𝑃̃𝑠 (𝑥) и 𝑄̃𝑠 (𝑥) - многочлены степени s с неопределенными коэффициентами. 7. Находим эти неопределенные коэффициенты подстановкой 𝑦∗ и его производных в исходное уравнение. 8. Выписываем 𝑦∗ с учетом найденных коэффициентов. Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения 𝑦 ″ + 2𝑦 ′ = 𝑒 −2𝑥 (𝑥 + 1). Решение. Исходное уравнение – ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью. Ищем его частное решение согласно приведенному выше алгоритму: 1. 𝛼 = −2, 𝛽 = 0, 𝑛 = 1, 𝑚 = 0. 2. 𝑧 = −2. 3. 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{1,0} = 1. 4. 𝑘 2 + 2𝑘 = 0 ⇒ 𝑘1 = 0, 𝑘2 = −2. 5. 𝜆 = 1, так как 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 = 𝑘2 . 11 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами 6. 𝑦∗ = 𝑥𝑒 −2𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵). Заметим, что при 𝛽 = 0 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 = 1, 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥 = 0. 7. Для нахождения производных перепишем 𝑦∗ в виде 𝑦∗ = 𝑒 −2𝑥 (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥). Тогда 𝑦∗ ′ = −2𝑒 −2𝑥 (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥) + 𝑒 −2𝑥 (2𝐴𝑥 + 𝐵) = = 𝑒 −2𝑥 (−2𝐴𝑥 2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴𝑥 + 𝐵); 𝑦∗ ″ = −2𝑒 −2𝑥 (−2𝐴𝑥 2 − 2𝐵𝑥 + 2𝐴𝑥 + 𝐵) + 𝑒 −2𝑥 (−4𝐴𝑥 − 2𝐵 + 2𝐴) = = 𝑒 −2𝑥 (4𝐴𝑥 2 + 4𝐵𝑥 − 4𝐴𝑥 − 2𝐵 − 4𝐴𝑥 − 2𝐵 + 2𝐴) = = 𝑒 −2𝑥 (4𝐴𝑥 2 − 8𝐴𝑥 + 4𝐵𝑥 + 2𝐴 − 4𝐵). Подставим 𝑦∗ ′ и 𝑦∗ ″ в левую часть исходного уравнения с учетом его постоянных коэффициентов: 𝑒 −2𝑥 (4𝐴𝑥 2 − 8𝐴𝑥 + 4𝐵𝑥 + 2𝐴 − 4𝐵) + +𝑒 −2𝑥 (−4𝐴𝑥 2 + 4𝐴𝑥 − 4𝐵𝑥 + 2𝐵) = 𝑒 −2𝑥 (𝑥 + 1). Сокращая на e−2 x  0 , имеем 4𝐴𝑥 2 − 8𝐴𝑥 + 4𝐵𝑥 + 2𝐴 − 4𝐵 − 4𝐴𝑥 2 + 4𝐴𝑥 − 4𝐵𝑥 + 2𝐵 = 𝑥 + 1, или −4𝐴𝑥 + 2𝐴 − 2𝐵 = 𝑥 + 1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях x. Имеем 1 𝑥 1 : −4𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 = − ; 4 3 𝑥 0 : 2𝐴 − 2𝐵 = 1 ⇒ 𝐵 = − . 4 1 3 8. 𝑦∗ = 𝑥𝑒 −2𝑥 (− 𝑥 − ). 4 4 Отметим, что полученные в п.4 значения 1 и 2 позволяют записать общее решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ: 𝑦𝑜𝑜 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 . Тогда по теореме о структуре общего решения ЛНДУ имеем 12 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами 1 3 𝑦он = 𝑦𝑜𝑜 + 𝑦∗ = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝑥𝑒 −2𝑥 (− 𝑥 − ). 4 4 Ответ. Общее решение 1 3 𝑦он = 𝑦𝑜𝑜 + 𝑦чн = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝑥𝑒 −2𝑥 (− 𝑥 − ). 4 4 Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения 𝑦 ″ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 2 − 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Решение. Правая часть исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой сумму двух функций стандартного вида 𝑓1 (𝑥) = 𝑥 2 и 𝑓2 (𝑥) = −5 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Следовательно, согласно “принципу наложения”, его частное решение есть сумма двух частных решений соответственно уравнений 𝑦 ″ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 2 и 𝑦 ″ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = −5 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Найдем эти решения, используя приведенный алгоритм: I. 𝒚″ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒙𝟐 . 1. 𝛼 = 0, 𝛽 = 0, 𝑛 = 2, 𝑚 = 0. 2. 𝑧 = 0. 3. 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{2,0} = 2. 4. 𝑘 2 − 2𝑘 + 2 = 0 ⇒ 𝑘1,2 = 2±√4−8 2 = 2±2𝑖 2 = 1 ± 𝑖. 5. 𝜆 = 0, так как 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 ≠ 𝑘2 . 6. 𝑦∗ 𝐼 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶. 7. (𝑦∗ 𝐼 )′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵; (𝑦чн 𝐼 )″ = 2𝐴. 2𝐴 − 2(2𝐴𝑥 + 𝐵) + 2(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 𝑥 2 или 2𝐴𝑥 2 + (−4𝐴 + 2𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐶) = 𝑥 2 . 1 𝑥 2 : 2𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 = ; 2 𝑥 1 : −4𝐴 + 2𝐵 = 0 ⇒ 𝐵 = 1; 1 𝑥 0 : 2𝐴 − 2𝐵 + 2𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = . 2 13 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами 1 1 2 2 8. 𝑦∗′ = 𝑥 2 + 𝑥 + . II. 𝒚″ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = −𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝒙. 1. 𝛼 = 0, 𝛽 = 1, 𝑛 = 0, 𝑚 = 0. 2. 𝑧 = 𝑖. 3. 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{0,0} = 0. 4. 𝑘 2 − 2𝑘 + 2 = 0 ⇒ 𝑘1,2 = 1 ± 𝑖. 5. 𝜆 = 0, так как 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 ≠ 𝑘2 . 6.𝑦∗ 𝐼𝐼 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑥. 7. (𝑦чн 𝐼𝐼 )′ = −𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ; (𝑦чн 𝐼𝐼 )″ = −𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑥. −𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − −𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = = −5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 или(𝐴 − 2𝐵) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + (2𝐴 + 𝐵) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 cos x : A − 2 B = 0  A = −2; sin x : 2 A + B = −5  B = −1. 8. 𝑦∗′′ = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Общее решение ЛОДУ при 1,2 = 1  i имеет вид 𝑦𝑜𝑜 = 𝐶1 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Общее решение ЛНДУ 𝑦он = 𝑦𝑜𝑜 + 𝑦∗𝐼 + 𝑦∗𝐼𝐼 , откуда 1 1 𝑦𝑜н = 𝐶1 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 + − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2 2 𝑥2 1 = (𝐶1 𝑒 − 2) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + (𝐶2 𝑒 − 1) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + + 𝑥 + . 2 2 𝑥 𝑥 Ответ. Общее решение 𝑦𝑜н 𝑥2 1 = (𝐶1 𝑒 − 2) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + (𝐶2 𝑒 − 1) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + + 𝑥 + . 2 2 𝑥 𝑥 Пример. Найдите общее решение дифференциального уравнения y IV − y = x3 + 1 . Решение. 14 Лекция 3.9 ЛНДУ с постоянными коэффициентами Исходное уравнение – ЛНДУ четвертого порядка с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью. Ищем его частное решение, обобщая приведенный выше алгоритм: 1. 𝛼 = 0, 𝛽 = 0, 𝑛 = 3, 𝑚 = 0. 2. 𝑧 = 0. 3. 𝑠 = 𝑚𝑎𝑥{3,0} = 3. 4. 𝑘 4 − 1 = 0 ⇒ (𝑘 + 1)(𝑘 − 1)(𝑘 2 + 1) = 0 ⇒ ⇒ 𝑘1 = −1, 𝑘2 = 1, 𝑘3,4 = ±𝑖.. 5. 𝜆 = 0, так как 𝑧 ≠ 𝑘1 , 𝑧 ≠ 𝑘2 , 𝑧 ≠ 𝑘3 , 𝑧 ≠ 𝑘4 . 6.𝑦∗ = 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷. 7. 𝑦∗ ′ = 3𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶; 𝑦чн ″ = ‴ = 6𝐴𝑥 + 2𝐵; 𝑦чн = 6𝐴; 𝑦чн 𝐼𝑉 = 0. −𝐴𝑥 3 − 𝐵𝑥 2 − 𝐶𝑥 − 𝐷 = 𝑥 3 + 1. 𝑥 3 : −𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 = −1; 𝑥 2 : −𝐵 = 0 ⇒ 𝐵 = 0; 𝑥 1 : −𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = 0; 𝑥 0 : −𝐷 = 1 ⇒ 𝐷 = −1. 8. 𝑦∗ = −𝑥 3 − 1. Общее решение ЛОДУ четвертого порядка, соответствующего исходному ЛНДУ четвертого порядка, имеет вид 𝑦𝑜𝑜 = 𝐶1 𝑒̄ 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥. Тогда 𝑦он = 𝑦𝑜𝑜 + 𝑦чн = 𝐶1 𝑒̄ 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 3 − 1. Ответ. Общее решение 𝑦он = 𝐶1 𝑒̄ 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 3 − 1.