Линейные электрические цепи в установившемся режиме синусоидального тока

Тема: «Линейные электрические цепи в установившемся режиме синусоидального тока» В электротехнике, радиоэлектронике преимущественно принимают переменные токи, напряжения. Рис.1. Мгновенные значения, лежащие выше оси абсцисс, считаются положительными. При анализе цепей переменного тока также пользуются условными положительными направлениями (направление, в котором значения функции считаются положительными). Широко используются в электротехнике периодические токи (напряжения, э.д.с.). Периодическая функция – функция, значения которой повторяются через равные промежутки времени: F(t)=f(t±kT), к=1,2,3… T-период функции (наименьший промежуток времени, через который наблюдается повторение функции). F= [Гц] – частота функции. Простейшим видом периодических функций являются гармонические функции, значения которых изменяются во времени по синусоидальному закону или косинусоидальному закону. 1. Параметры и способы изображения гармонических функции. Традиционно в электротехнической литературе, используют синусоидальную форму записи гармонической функции. Рассмотрим способы представления синусоидальных токов, напряжений, Э.Д.С. 1. Аналитическое выражение для мгновенных значений синусоидального тока: где Im – амплитуда (max мгновенное значение синусоидального тока). ‑ фаза, – начальная фаза (фаза при t=0): = Фаза и начальная фаза измеряются в радианах (рад) или градусах (0). Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость направления фазы: называется угловой частотой. аналогично, В радиотехнической литературе принята косинусная форма записи гармонической функции: Обе формы равноценны, отличаются только друг от друга началом отсчета значений функции (фазы ??? на ) Будем пользоваться синусной формой записи. 2. Синусоидальный ток можно представить графически (Рис.2). Возьмем два синусоидальных напряжения: Рис. 3. Возьмем два синусных напряжения: Разность фаз двух синусоидальных функций одинаковой частоты называется сдвигом фаз этих функций: То есть сдвиг фаз равен разности, начальных фаз этих функций. Говорят, что эти функции сдвинуты по фазе на угол . Рис.4. 3. Синусоидальную функцию времени можно представить с помощью комплексной функции. Покажем это. Возьмем комплексную функцию: Таким образом, Перепишем = Обозначим - комплексная амплитуда синусоидального тока (число!) Тогда тригонометрическая форма алгебраическая форма, где Очевидно, = Вставка Итак, при заданной частоте ()синусоидальному току можно поставить в соответствие комплексную амплитуду: Аналогично для синусоидального напряжения и ЭДС: 4. Изображение синусоидальных токов, напряжения, ЭДС векторами на комплексной плоскости. Из математики: комплексному числу на комплексной плоскости соответствует вектор (рис.5). Рис.5. -1, +1 - ось действительных чисел -j, +j – ось мнимых чисел. Комплексной функции соответствует вращающийся вектор (рис.6). Рис. 6. Таким образом, синусоидальные токи, напряжения, ЭДС на комплексной плоскости. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции одинаковой называются векторной диаграммой. Например, для Рис.7. Пример: 1) u=112sin (314t-)≓ при ??????????? 2) при Итак, при расчете цепей синусоидальные токи, ЭДС, напряжения можно заменять комплексными изображениями. Пусть Найдем изображение производной от тока. (т.к. Т.е. изображение производной синусоидального тока равного изображению этого тока, умноженному на . Найдем изображение интеграла от sin тока: Итак, операции дифференцирования и интегрирования над синусоидальными функциями (оригиналами) превращаются в алгебраические операции над их изображениями – упрощение операций. §2. Среднее и действующее значения синусоидальных токов, напряжений Среднее значение периодической функции f(t) (среднее арифметическое) Для синусоидального тока эта величина равна нулю. Поэтому для синусоидального тока берут среднее по модулю значение тока: или берут среднее за положительный полупериод: Итак, среднее значение синусоидального тока составляет 63,7% от его максимального значения. Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции f(t): Для синусоидального тока: Cледовательно, , , Действующее значение получило такое название потому, что переменный ток проводит такое же действие (тепловое, световое), что и постоянный ток, значение которого равно действующему значению действующему значению рассматриваемого переменного тока. Большинство потребителей реагируют на действующие. А не на максимальные (пиковые), значения токов и напряжений, поэтому при анализе цепей чаще пользуются действующими значениями. Мгновенное значение синусоидального тока можно записать: При использовании комплексных изображений берут чаще комплексные действующие значения: , Так как , то . §3. Идеализированные пассивные элементы при синусоидальных токах Возьмем пассивный двухполюсник (рис.1) Пусть на входе Тогда сдвиг фаз напряжения и тока: Рис.1. - «ток отстает по фазе от напряжения» - «ток опережает по фазе напряжение» - «ток совпадает по фазе с напряжением» Рис.2. Рис.3. 1. Резистивный элемент Рис. Пусть где (1) (2) Запись закона Ома для амплитуд напряжения и тока. Для действующих значений: Согласно выражению (1) сдвиг фаз напряжения тока: , то есть напряжение и ток совпадают по фазе. Рис. Рис. Пусть , Тогда (3) Выражение (3) - запись закона Ома для комплексных амплитуд. Или - (4) Выражение (4) - для комплексных действующих значений. Мгновенная мощность резистивного элемента при синусоидальном токе: Где График зависимости от времени мгновенной мощности резистивного элемента представлен на рис. 2. Емкостный элемент Рис. Пусть , тогда где (5) (6) Обозначим, - емкостная проводимость Тогда (5): (7) или (8) Выражение (7) и (8) - запись закона Ома. емкостное сопротивление Тогда (7) и (8): или Из (6) начальная фаза тока Следовательно ток опережает по фазе напряжение на , тогда сдвиг фаз Рис. Рис. Пусть ≓ ≓ Тогда где комплексная проводимость емкостного элемента. комплексное сопротивление емкостного элемента Из (8) или Мгновенная мощность емкостного элемента: График зависимости от времени мгновенной мощности емкостного элемента представлен на рис. Таким образом, емкостный элемент периодически обменивается энергией с остальной частью схемы (рис.) 3. Индуктивный элемент Рис. Пусть тогда где (7) (8) Обозначим – индуктивное сопротивление, тогда (3) или Отсюда, , где = - индуктивная проводимость. Согласно (8) сдвиг фаз напряжения и тока в индуктивном элементе. Следовательно, в индуктивном элементе ток отстает по фазе от напряжения на . Рис. Рис. Пусть Тогда (9) где комплексное сопротивление индуктивного элемента. Из (9): , отсюда или , где комплексная проводимость индуктивного элемента. Мгновенная мощность индуктивного элемента: График зависимости от времени мгновенной мощности индуктивного элемента. Из графика видно, что происходят колебания энергии между индуктивным элементом и остальной частью схемы. §4. Неразветвленная электрическая цепь (одноконтурная цепь) Схема замещения такой цепи изображена на рис. Рис. По 2 закону Кирхгофа: Так как , то (1) (1) – уравнение электрического состояния неразветвленной схемы для мгновенных значений. , тогда Так как , , то из (1) В силу коммутативности операций сложения, дифференцирования и интегрирования относительно операции получим То есть операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени, поэтому заключенные в скобки комплексные выражения, от которых берется мнимая часть, должны быть равны друг другу: Уравнение электрической ?????? неразветвленной схемы для комплексных амплитуд (в комплексной форме). Или т.к. , то (3) Уравнение (3) – уравнение электрического состояния данной схемы для комплексных действующих значений. Обозначим: , - комплексные сопротивления идеальных элементов. Тогда из (3): (4) Где (5) комплексное входное сопротивление данной схемы. Комплексная схема замещения неразветвленной цепи: Рис. Итак, при последовательном соединении пассивных элементов складываются их комплексные сопротивления. Преобразуем (5): (6) Где - реактивное сопротивление неразветвленной схемы с последовательным соединением реактивных элементов. индуктивный характер реактивного сопротивления. резонанс напряжений. Показательная форма для входного комплексного сопротивления: где полное сопротивление схемы (рис.) Связь между R, x, z (рис.) Рис. Итак, согласно (4): или отсюда где , сдвиг фаз входного напряжения и тока. Из (4): - запись закона Ома для комплексных действующих значений или для комплексных амплитуд: где запись закона Ома для амплитуд. Итак, если на входе схемы , где (инд.) ток отстает по фазе от входного напряжения на угол . (емк.) ток опережает по фазе входное напряжение на угол . (резонанс.) ток и входное напряжение совпадают по фазе. Так как при заданной частоте значения синусоидального напряжения и тока полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений (мгновенные значения). Задача расчета цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие значения соответствующих функций. Векторные диаграммы тока и напряжений для схемы (рис.1) согласно уравнению (3) приведены на рис. активная составляющая входного напряжения. реактивная составляющая входного напряжения. - ????? §5. Параллельное соединение пассивных элементов при синусоидальных токах Схема замещения: Уравнение по 1 закону Кирхгофа Уравнение (1) для ???????