Линейные цепи при постоянных токах и напряжениях и методы их расчета

Тема 1 ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА В предыдущей главе показано, что основными элементами электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии. Электрические цепи, в которых получение электрической энергии и преобразование ее происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называются цепями постоянного тока. Электрические и магнитные поля при постоянных токах и напряжениях также неизменны во времени, следовательно, в цепях постоянного тока не возникает э.д.с. самоиндукции и взаимной индукции, а также отсутствуют токи смещения в диэлектриках, окружающих проводники, то есть: eL   d di di  0; uL L  0; uM  M  0 ; i см  0 . dt dt dt Другими словами, индуктивности, взаимоиндуктивности и емкости в цепях постоянного тока отсутствуют. Индуктивности заменяются закоротками, емкости – разрывом цепи. Таким образом, цепь постоянного тока представляет собой совокупность источников энергии и сопротивлений (резисторов). В практических условиях источники (активные элементы) и потребители (пассивные элементы) электрических цепей во многих случаях соединяются в многоконтурные схемы, расчет которых сводится к определению токов, напряжений и мощностей по отдельным ветвям или элементам при заданных величинах э.д.с. или токов источников энергии. Количественная оценка работы всей схемы сводится к раздельной оценке работы источников и потребителей. Источники электрической энергии и ее потребители, работающие в режиме постоянных э.д.с. или токов источников, имеют свои специфические особенности, которые будут рассмотрены в следующих параграфах. 2.1. Источники постоянного напряжения и тока 2.1.1. Источник напряжения (источник э.д.с.) В предыдущей главе рассмотрены: идеальный источник э.д.с. и реальный источник, преобразующий химическую энергию в электрическую (гальванический элемент). Эквивалентная схема замещения реального источника представлена на рис. 2.1. Используя уравнение по второму закону Кирхгофа E  IRвн  IRн , 74 (2.1) A находим напряжение на зажимах A, B источника и ток в цепи: U AB  IRн  E  IRвн ; (2.2) I E RН U АВ I RВН Рис. 2.1 E d b1 a1 c Pн б) Pmax 1 b a 0,5E  1 f (2.3) Напряжение на зажимах источника согласно уравнению (2.2) равно э.д.с. за вычетом напряжения на внутреннем сопротивлении. На рис. 2.2, а приведены B a) U AB E . Rвн  Rн c1 0,5 I К 2 IК 0,5 I  Rн  Rвн Pн Rн Рис. 2.2 вольтамперные (внешние) характеристики приведенного источника напряжения. Характеристика 1 соответствует идеальному источнику э.д.с. U AB  E , характеристики 2 – реальному. Уравнение идеального источника получаем из уравнения (2.2) при Rвн  0 . Заметим, что создать источники, не имеющие внутреннего сопротивления практически невозможно. Действительно, из уравнения (2.3) при Rвн  0 следует, что если Rн  0 , то ток I   и Pист E2    , то есть источник должен выдавать бесRн конечную мощность. Прямые 2 на рис. 2.2, а соответствуют внешним характеристикам реального источника напряжения, представляющим зависимость напряжения от тока, который меняется при изменении сопротивления нагрузки Rн . Внутреннее сопротивление для каждой характеристики Rвн  const . При Rн  0 получим ток короткого замыкания реального источника Iк  E . Rвн 75 Мощность реального источника и его коэффициент полезного действия зависят от соотношения между сопротивлениями Rн и Rвн . Умножив уравнение (2.1) на ток, получим уравнение, характеризующее баланс мощностей вида EI  I 2 Rвн  I 2 Rн или Pист  Pвн  Pн , то есть мощность источника Pист покрывает потери энергии внутри источника Pвн и на нагрузке Pн . Мощность источника считается положительной, если направления э.д.с. E и тока I совпадают. Полезная мощность, отдаваемая в нагрузку, согласно уравнению (2.3) E 2 Rн Pн  I Rн  . ( Rвн  Rн ) 2 2 (2.4) Условие максимально возможной полезной мощности найдем, исследуя уравнение (2.4) на экстремум. Производная мощности 2 dPн 2 ( Rвн  Rн )  2 Rн ( Rвн  Rн ) E  0. dRн ( Rвн  Rн ) 4 Отсюда получаем условие передачи максимальной мощности: Rн  Rвн , а также максимальную мощность Pmax E2  . 4 Rвн Такой режим работы носит название согласованного режима. На рис. 2.2, б показаны график изменения мощности Pн  f ( Rн ) и график изменения коэффициента полезного действия (к.п.д.), который определяется как отношение полезной мощности к полной мощности источника: Pн I 2 Rн Rн    . Pист EI Rн  Rвн Для мощных источников стремятся уменьшить потери в самом генераторе Pвн  I 2 Rвн и приблизить значение к.п.д. к единице. Дело в том, что в мощных источниках энергии (турбогенераторах) с мощностью Pист  (100...1000) МВт и уровнем потерь, равным двум процентам, потери составят Pвн  (2...20) МВт, что является довольно большой величиной. Эта мощность идет на нагрев турбогенераторов, и для отвода такой мощности с целью охлаждения, требуются разные сложные устройства. 76 Желательно, чтобы наряду с получением требуемой мощности на нагрузке Pн коэффициент полезного действия был достаточно высок. Зависимость соотношения потерь в нагрузке и генераторе можно наглядно проследить на рис. 2.2, а, если иметь в виду, что мощность на нагрузке Pн выражается площадью прямоугольника 0abc, а мощность внутренних потерь Pвн  прямоугольником adfb. Для полупроводниковых маломощных генераторов важнее передать нагрузке максимальную мощность, для этого нагрузка должна быть согласованной ( Rн  Rвн ). В этом случае U AB  0,5 E и I  0,5 I к , при этом прямоугольник мощности на рис. 2.2а будет иметь максимальную площадь и займет положение 0a1b1c1 . Мощность, теряемая внутри генератора, в этом случае равна мощности в нагрузке. Режим, когда Rн  Rвн и   0 используется при маломощных источниках для стабилизации тока в различных устройствах. 2.1.2 Источник тока Реальный источник тока можно представить как параллельное соединение идеального источника тока J и проводимости Gвн . Заменив в A I а) I вн J Gвн U АВ RН (Gн ) B I J d a б) 1 f b 2 0,5 J схеме на рис. 2.1 реальный источник напряжения на реальный источник тока, получим схему, показанную на рис. 2.3, а, в которой внутренние потери учитываются внутренней проводимостью Gвн . Эта замена на источник тока будет эквивалентной, если напряжение и ток на нагрузке не изменятся. Для этой схемы можно записать уравнение J  I  I вн  I  U AB Gвн  I c U 0,5E E Рис. 2.3 77 IRн . Rвн (2.5) С другой стороны, разделив обе части уравнения (2.1) на Rвн , получаем равенство E R  I н I. Rвн Rвн Последние два равенства дают один и тот же результат при условии J E . Rвн (2.6) Последнее равенство дает правило преобразования источника э.д.с. в источник тока. Для цепи на рис. 2.3, а напряжение на нагрузке U AB  J , Gн  Gвн тогда ток нагрузки JGн . Gн  Gвн I  J  U AB Gвн  (2.7) На рис. 2.3, б показаны внешние характеристики, построенные по этому уравнению. Прямая 1, показанная пунктиром, соответствует идеальному источнику тока, для которого Gвн  0 или Rвн   и ток I  J . Следует отметить, что такой источник реально изготовить невозможно, так как в режиме холостого хода он должен отдавать бесконечную мощность. Мощность реального источника Pист получим, если обе части уравнения (2.5) умножим на U AB , что дает 2 Pист  JU AB  IU AB  U AB Gвн или Pист  Pн  Pвн , где согласно уравнению (2.7) Pн  IU AB  U Gн  2 AB J 2Gн . (Gн  Gвн ) 2 Продифференцировав последнее уравнение по Gн и приравняв производную к нулю, получим условие максимума мощности нагрузки Pн : J2 Gн  Gвн , которому соответствует максимальная мощность Pmax  . 4Gвн Анализируя внешнюю характеристику источника тока (рис. 2.3, б) I  f (U AB ) , приходим к выводу, что полезная мощность Pн  UI при некотором токе I и напряжении U графически изображается прямоугольником 0abc, а внутренние потери – прямоугольником badf. Максимально возможная 78 мощность, как и в источнике напряжения, будет при I  0,5 J и U AB  0,5E . Если полагать заданным ток J источника, то для увеличения Pmax необходимо увеличение внутреннего сопротивления (уменьшения Gвн ) для того, чтобы внешняя характеристика приближалась к идеальной (прямая 1) Такой генератор должен обладать неограниченной мощностью, и его э.д.с. была бы чрезвычайно велика. В заключение отметим следующее. 1. Представление источника энергии в виде источника э.д.с. или тока зависит от соотношения сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления. При этом, если Rн  Rвн , то источник можно представить в виде источника напряжения, при необходимости можно принять Rвн  0 . Если Rн  Rвн , то эквивалентную схему источника можно представить в виде источника тока. Переход к схеме с источником тока осуществляем по формуле (2.6). 2. В источнике напряжения положительное направление э.д.с. обозначают стрелкой, которая показывает направление увеличения потенциала, напряжение на источнике э.д.с. показывают стрелкой от большего потенциала к меньшему (рис. 2.4, а), поэтому стрелки E и U всегда направлены в противоположные стороны. а) б) I E U J U Рис. 2.4 Мощность источника положительна, если направления E и I совпадают по направлению, а направления U и J противоположны. В этом случае источник отдает энергию во внешнюю цепь. Если внешняя цепь содержит источники энергии, под действием которых ток проходит навстречу э.д.с. E, то в этом случае источник становится потребителем энергии. Для источника тока (рис. 2.4, б) направление задающего тока обозначается двойной стрелкой, указывающей направление тока через источник. Если направления тока и напряжения на зажимах источника противоположны, то, как и для источника э.д.с., мощность положительна и 79 энергия отдается во внешнюю цепь. При совпадении направления U и I мощность источника отрицательна. 2.1.3. Зависимые источники Кроме рассмотренных источников э.д.с. и тока, используются так называемые зависимые или управляемые источники напряжения и тока, которые отличаются тем, что э.д.с. или задающий ток источника зависят от управляющего напряжения или тока. По своей структуре управляемые источники представляют собой четырехполюсники. К одной паре выводов присоединяется источник, э.д.с. или ток которого является заданной функцией напряжения или тока другой пары выводов (управляющие выводы). Если управляющая величина (напряжение или ток какой то ветви) равна нулю то напряжение источника напряжения или ток источника тока равны нулю. При изменении управляющей величины соответствующим образом изменяется напряжение или ток источника. Внутреннее сопротивление управляемого источника напряжения считается равным нулю, а внутреннее сопротивление управляемого источника тока – равным бесконечности. По своим характеристикам управляемые источники можно представить в виде четырех разновидностей: 1) источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) – рис. 2.5, а; 2) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) – рис. 2.5, б; б) а) J  g u1 u1 e  ri1 i1 e   u1 u1 J  i1 i1 в) г) Рис. 2.5 3) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) – рис. 2.5, в; 80 4) источник тока, управляемый током (ИТУТ) – рис. 2.5, г. Такие источники представляют собой четырехполюсники с двумя входными и двумя выходными узлами (полюсами). Входным полюсам соответствует напряжение или ток некоторого участка внешней по отношению к источнику цепи. Выходные полюсы совпадают с зажимами зависимого источника. Управляемые источники реализуются с помощью различных электронных схем. ИНУН, например, представляет собой идеализированный усилитель напряжения с коэффициентом усиления . Если в цепи имеются зависимые источники, то при составлении системы уравнений по законам Кирхгофа их учитывают, как обычные источники. r1 I1 На рис. 2.6 изображена часть схемы, в которой показаны два источника: E1 – зависимый источник, E2 – независимый. Систему уравнений по законам Кирхгофа запишем в виде r3 I3 I2 r2 E1  I 3 E2 I1  I 2  I 3  0 ; E1  E2  I1r1  I 2 r2 Рис. 2.6 или учитывая, что E1  I 3 запишем E2  I 2 r2  I1r1  I 3 . Таким образом, наличие в схеме зависимых источников не изменяет в принципе методику составления уравнений и их решения. Однако, как будет показано позднее, электрическая цепь с зависимыми источниками приобретает качественно новые свойства. С помощью зависимых источников конструируют различные генераторы колебаний, источники питания устройств связи и автоматики и т.д. 2.2. Расчет электрических цепей с помощью уравнений по законам Кирхгофа. Матричная форма записи уравнений В предыдущей главе были рассмотрены законы Кирхгофа и закон Ома. Уравнения по этим законам могут использоваться для расчета электрических цепей. Стандартная постановка задачи расчета электрической цепи состоит в том, что при заданных параметрах пассивных элементов и источников требуется определить все токи и напряжения на всех участках цепи. Напряжения всех ветвей можно выразить по закону Ома через токи, 81 поэтому задача расчета цепи может быть сведена к определению токов всех ветвей цепи. Электрическая цепь изображается в виде электрической схемы, в которой элементы электрической цепи заменены их условными обозначениями. На рис. 2.7 показана электрическая схема цепи постоянного тока. Рассмотрим основные топологические определения для электрических схем. Точка, к которой присоединены несколько участков цепи, называется узлом. Элемент электрической схемы или последовательное соединение нескольких элементов между двумя узлами электрической схемы образуют ветвь. Обозначим число узлов схемы буквой q, а число ветвей – через p. В цепи на рис. 2.7 имеем 4 узла (0, 1, 2, 3) и 7 ветвей. На ветвях электрической схемы стрелками указываем положительные направления токов. Если действительное направление тока в ветви совпадает с положительным направлением, то ток имеет положительное значение, иначе – отрицательное. Положительное направление напряжение принимаем согласно положительному направлению тока. В этом случае положительное направление напряжения на схеме не показывают. В тех случаях, когда по каким либо соображениям положительное направление напряжения выбирается против направления тока, то его следует указать. Уравнения по первому закону Кирхгофа записывают для узлов или сечений электрической схемы, уравнения по второму закону Кирхгофа – для контуров. Уравнения по перr5 I5 2 вому закону Кирхгофа имеют такой вид: r1 r2 I2 E5 E4  * Ik  0 , (2.8) где звездочка у знака суммы означает алгеб3 1 раическую сумму, то E1 I3 есть токи берем со знаr6 r3 ком плюс, когда они наJ правлены от узла, и со I1 знаком минус, когда наI6 правлены к узлу. Если ток не подходит к узлу, он не включается в эту Рис. 2.7 сумму. Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа выбираем положительное направление обхода контура. Напряжения, направленные по r4 I4 82 обходу контура берем с плюсом, иначе – с минусом. Уравнения по второму закону Кирхгофа имеют вид:  *U k   * Ek , (2.9) где звездочка у знака суммы, как и в уравнении (2.8), обозначает алгебраическую сумму, то есть напряжения и э.д.с. берутся со знаком «плюс», если направлены по обходу контура, иначе берутся со знаком «минус». В уравнении (2.9) U k означает напряжение на k-м сопротивлении. Для анализа независимости уравнений удобнее использовать в уравнении по второму закону Кирхгофа напряжение ветви с учетом э.д.с., включенной последовательно с сопротивлением ветви, скажем, для ветви 4 на рис. 2.7 можно записать U 4  r4 I 4  E4 . В этом случае уравнение по второму закону Кирхгофа запишется как  *U k  0 . (2.9) Так как э.д.с. учтены в U k , то в правой части уравнения будет нуль. Уравнения (2.8) и (2.9') не содержат параметров ветвей, то есть их запись не зависит от параметров ветвей, поэтому при записи уравнений по законам Кирхгофа можно условно каждую ветвь электрической схемы заменить отрезком линии, соединяющим соответствующие 2 узлы. В результате для схемы на рис. 2.7 получим геометрическую фигуру, показанную на 5 рис. 2.8. В этой фигуре не имеет 2 значения длина и кривизна от4 резков, а имеет только значение, 3 1 1 как они соединены в узлах. Такую фигуру называют графом. 3 6 Граф можно определить как множество вершин, изображаемых точками, и множество J ребер, каждому из которых принадлежат две вершины. Ребра изображают отрезками линий, соединяющих соответствующие Рис. 2.8 вершины. Нетрудно видеть, что в этом математическом определении понятия графа термин «вершина графа» соответствует термину «узел электрической схемы», а термину «ребро» – термин «ветвь». В дальнейшем при ис83 пользовании понятия графа будем заменять математические термины «вершина и ребро» на соответствующие электротехнические термины «узел и ветвь». Ребра графа могут иметь направления, указываемые стрелкой. Такой граф называют направленным. На рис. 2.8 направления ветвей графа соответствуют направлениям токов. После введения понятия графа уравнения по законам Кирхгофа можно записывать по графу электрической схемы (рис. 2.8). Для каждого узла или сечения можно записать уравнение по первому закону Кирхгофа, а для каждого контура – уравнение по второму закону Кирхгофа. Для того, чтобы можно было определить токи всех p ветвей, нужно записать p линейно независимых уравнений. При этом возникает вопрос, для каких узлов (сечений) и контуров нужно записать уравнения, чтобы получить систему p линейно независимых уравнений. Определим сначала, сколько независимых уравнений можно записать по первому закону Кирхгофа. Для этого запишем уравнения для всех узлов (вершин) графа на рис. 2.8: 1)  I 2  I 3  I 4  0;   2)  I1  I 2  I 5  0;   3)  I 4  I 5  I 6  J  0;  0) I1  I 3  I 6  J  0.  (2.10) Сложив все уравнения системы (2.10), получим тождество 0 = 0, потому что каждый ток входит в эти уравнения один раз со знаком «плюс», а другой раз – со знаком «минус». Это означает, что уравнения этой системы линейно зависимы. Действительно, если сложить первые три уравнения системы (2.10), то после изменения знаков получим уравнение для узла 0. Таким образом, для цепи можно записать (q – 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Уравнения по первому закону Кирхгофа можно записывать и для сечений, охватывающих несколько узлов. Уравнения для сечений можно получить, суммируя уравнения для соответствующих узлов. Например, суммируя уравнения для первых двух узлов системы (2.10), получаем уравнение  I1  I 3  I 4  I 5  0 для сечения, охватывающего узлы 1 и 2 (показано пунктиром на рис. 2.8). Объединим уравнения системы (2.10) в одно матричное уравнение 84  I1  I  0 0 0   2  0   0 1 1 1 I3   1 1 0 0 1 0 0    0    I    0 0 0  1 1 1  1  4  0  I5    1  1  1 1     0  I6   J  (2.11) или в сокращенных матричных обозначениях A 0I  0 . (2.12) В уравнении (2.12) матрица токов I содержит токи всех ветвей. Элементы матрицы 0 равны нулю. Матрицу коэффициентов 1 2 3 4 5 6 J 1 0 0  0 1 1  1 1 0 1 0 0   A0   0 0 1 1 1  1   0 1 0 0 1 1  1 1 2 3 называют матрицей соединений графа или соответствующей электрической схемы. Легко убедиться, что матрица соединений A 0 действительно описывает, как ветви (ребра) графа цепи соединены между собой. Каждой ветви графа соответствует столбец матрицы A 0 . Каждому узлу – строка матрицы. В каждом столбце – две единицы. Единица с плюсом соответствует узлу, из которого ветвь выходит, а единица с минусом – узлу, в который ветвь входит. Например, ветвь 3 идет от узла 1 к узлу 0, соответственно имеем +1 в первой строке и –1 в нулевой строке третьего столбца. Система, соответствующая уравнению (2.12), содержит одно лишнее уравнение. Удалению этого уравнения соответствует удаление последней строки матрицы A 0 и последнего элемента нулевой матрицы 0. В результате получаем уравнение AI  0 , (2.13) в котором неполная матрица соединений (будем называть ее просто матрицей соединений) 85 1 2 3 4 5 6 J 0 1 1 1 0 0 0 A  2  1 1 0 0  1 0 0  .   0 0  1 1 1  1 3  0 1 Теперь рассмотрим выбор контуров для записи уравнений по второму закону Кирхгофа и определим максимальное множество контуров, уравнения по второму закону Кирхгофа для которых линейно независимы. Такие контуры называют независимыми контурами. Первый способ применим для плоских схем, изображенных без пересечения ветвей. Он состоит в том, что в качестве независимых берем контуры, проходящие по границам ячеек, на которые ветви графа разбивают плоскость чертежа. На рис. 2.9 показаны стрелкой направления обхода таких контуров для графа цепи на рис. 2.7. Обратите внимание, что ветвь 7 имеет противоположное направление по сравнению с рис. 2.8, так как напряжение источника тока U J направлено против тока J. Уравнения для таких контуров получаем такие: 1) U1  U 2  U 3  0;   2) U 2  U 4  U 5  0;  3) U 3  U 4  U 6  0;  4)  U 6  U J  0.  2 5 2 2 11 1 1 4 3 В матричной форме эта система уравнений запишется в виде матричного уравнения 3 6 3 4 7 UJ Рис. 2.9 1 1 1 2 0  3 0  4 0 U 1    2 3 4 5 6 J U 2  1 1 0 0 0 0 U  0 3    1 0  1  1 0 0 U   0  4 0  1 1 0 1 0 U  0  5 0 0 0 0  1 1 U  0  6 U J  86 (2.14) или в сокращенных обозначениях BU  0 . (2.15) Матрица коэффициентов уравнений по второму закону Кирхгофа, обозначенная буквой B, называется матрицей контуров, так как она описывает структуру контуров графа цепи. Столбцы этой матрицы соответствуют ветвям, а строки – контурам. Если k-я ветвь направлена по обходу iго контура, то в i-й строке и k-м столбце стоит единица (напряжение, направленное по обходу контура берем с плюсом). Если эта ветвь направлена против обхода контура, то в i-й строке и k-м столбце стоит – 1. Если ветвь не принадлежит контуру, то на указанном месте стоит нулевой коэффициент. Нетрудно видеть, что структура матрицы B в уравнении (2.14) аналогична структуре матрицы A. Это связано с тем, что внутренние ветви 2,3,4,6 принадлежат двум контурам. Относительно одного они направлены по обходу, относительно другого – против обхода. Соответственно, как и в матрице A, в матрице B в каждом столбце для этих ветвей имеем + 1 для одного контура и – 1 для другого. Внешние ветви принадлежат одному контуру, соответственно в столбце матрицы для этих ветвей содержится одна единица. Аналогичным свойством обладают ветви и узлы для матрицы A, поэтому доказательство независимости такой системы аналогично доказательству независимости уравнений по первому закона Кирхгофа. Рассмотренный метод применим лишь для плоских схем. Метод, применимый для любой схемы, использует понятие дерева графа. Дерево графа – это множество ветвей, соединяющих все узлы графа и не образующее контуров. Для данного графа (см. рис. 2.8) дерево можно выбрать по-разному. Дерево может состоять из ветвей 1,2,5, или из ветвей 2,3,4, или 3,5,6. Ветви 1 и 3 не образуют дерево, так как не присоединяют узел 3, а ветви 3,4,6 или 1,2,5,6 не образуют дерево, так как содержат контур. Ветви, не принадлежащие дереву, называют связями (хордами) дерева. Если к дереву добавить только одну связь, то образуется только один контур. Таким образом, каждой связи можно поставить в соответствие один контур, содержащий эту связь. Для дерева 1, 2, 5 имеем 4 связи (3, 4, 6, J) и соответствующие четыре контура, для которых запишем 4 уравнения (обход контура берем согласно направлению связи): 1) U 3  U1  U 2  0;   2) U 4  U 2  U 5  0;  3) U 6  U1  U 5  0;   4) U J  U1  U 5  0. 87 (2.16) В матричной форме получаем уравнение (2.15) с матрицей 1 1 1 2 3 4 5 6 J 0 0   1 0 0 2 0 1 0 1 B  . 3 1 0 0 0  1 1 0   4 1 0 0 0  1 0 1 1 1 0 Каждое уравнение системы (2.16) содержит напряжение связи, не входящее в другие уравнения, и поэтому оно линейно независимо от других уравнений. Уравнение для любого другого контура, не входящего в систему (2.16), будет содержать более одной связи. Если, например, контур 1,3,4,5 содержит две связи 3 и 4, то уравнение для этого контура можно получить, вычитая уравнения для связей 3 и 4. Аналогично для любого другого контура, то есть любые другие контуры являются зависимыми от контуров системы (2.16). Число контуров в системе (2.16) равно числу связей. Проще подсчитать число ветвей дерева. Дерево будем выбирать следующим образом. Сначала относим к нему одну любую ветвь, при этом в дерево включаем две его вершины. Затем добавляем другую ветвь, имеющую один узел, уже отнесенный к дереву. В этом случае добавление второй ветви добавит к дереву еще один (третий) узел и т.д. Добавление k-й ветви добавит к дереву (k + 1)-й узел, а добавление (q – 1)-й ветви – последний q-й узел. На этом выбор дерева закончится, так как все узлы включены в дерево, при этом дереву принадлежат (q – 1) ветвей. Остальные p – (q – 1) ветви будут связями. Следовательно, по второму закону Кирхгофа мы можем записать p – (q – 1) уравнений. Общее число уравнений по законам Кирхгофа p  (q  1)  ( p  (q  1)) , то есть равно числу ветвей и числу искомых токов. Такая система имеет единственное решение. Таким образом, с помощью законов Кирхгофа всегда можно найти токи ветвей. Как отмечено выше, для получения уравнений для токов нужно напряжения в уравнениях по второму закону Кирхгофа выразить через токи по закону Ома. Если ветвь не содержит источника э.д.с., то это будет обычный закон Ома: U 2  r2 I 2 , U 3  r3 I 3 и т. д. Если ветвь содержит источник э.д.с. (ветви 1, 4 и 5), то используем обобщение закона Ома для ветви с э.д.с: U1  r1 I1  E1 ; U 4  r4U 4  E4 и U 5  r5U 5  E5 . Э.д.с. в этих уравнениях берется со знаком минус, когда она направлена по току, иначе – со знаком плюс. 88 Уравнения по закону Ома можно также объединить в одно матричное уравнение: U  RI  E , (2.17) в котором матрицы U1    U 2    U 3  U   , U 4  U   5 U 6   I1    I 2     I3  I   , I 4  I   5  I 6   E1    0   0 E   E4  E   5  0  являются столбцовыми, а матрица r1     R     r2 r3 r4 r5       –    r6  диагональной. Заметим, что в отличие от уравнения (2.15), в которое нужно подставить уравнение (2.17), матрица U не содержит элемента U J . Можно выделить из системы (2.14) или (2.15) последнее уравнение. Соответственно в матрицах B и U удаляется седьмая строка. Выделенное уравнение можно использовать после определения всех токов для нахождения напряжения U J на источнике тока. Подставив выражение (2.17) в уравнение (2.15) без строки для источника тока, получаем уравнение BRI  BE , (2.18) которое решаем совместно с уравнением (2.13) по первому закону Кирхгофа. Объединив уравнения (2.13) и (2.18) в одно матричное уравнение, получаем 89 A  0  I     . BR  BE (2.19) В обычных обозначениях уравнению (2.18) соответствуют для цепи на рис. 2.7 уравнения r3 I 3  r1 I1  r2 I 2  E1 ; r4 I 4  r2 I 2  r5 I 5  E4  E5 ; r6 I 6  r1 I1  r5 I 5  E1  E5 , которые решаем совместно с тремя уравнениями системы (2.10) по первому закону Кирхгофа. Получаем 6 уравнений с шестью неизвестными. Выше для записи уравнений по первому закону Кирхгофа были использованы уравнения для узлов. Можно уравнения по первому закону Кирхгофа записывать для сечений. Независимые сечения, уравнения по первому закону Кирхгофа для которых линейно независимы, можно выбрать с помощью дерева. В качестве таких сечений достаточно выбрать сечения, рассекающие одну ветвь дерева. Для графа на рис. 2.9 и дерева, содержащего ветви 1,2,5 (выделено толстыми линиями) можно выбрать сечения, рассекающие ветви (1,3,6,J), (2,3,4) и (5,4,6,J), соответственно получаем такие уравнения по первому закону Кирхгофа: I1  I 3  I 6  J  0 ; I 2  I3  I 4  0 ; (2.20) I5  I 4  I6  J  0 . В каждом уравнении на первом месте стоит ток ветви дерева, остальные – токи связей. Удобно положительные направления сечений брать согласно ветви дерева, в этом случае токи ветвей дерева входят в уравнения по первому закону Кирхгофа со знаком плюс. В матричной форме уравнение (2.20) запишется как  I1  I   2 1 1 0  1 0 0  1  1  I 3  0    2 0 1 1 1 0 0 0   I 4   0      3 0 0 0  1 1 1 1   I 5  0   I6   J  или в сокращенных обозначениях 90 QI  0 , (2.21) где через Q обозначена матрица сечений, 1 2 3 4 5 6 J 0  1 0 0  1  1 Q  2 0 1  1  1 0 0 0  .   0  1 1 1 1  3 0 0 1 1 Коэффициент i-й строки и j-го столбца матрицы Q равен +1, если j-я ветвь рассекается i-м сечением и направлена в ту же сторону, что и соответствующая ветвь дерева. Коэффициент равен –1, если ветвь направлена против направления ветви дерева (положительного направления сечения). Если ветвь j не рассекается сечением, то соответствующий коэффициент матрицы равен нулю. Уравнение (2.21) может использоваться вместо уравнения (2.13). Пример 2.1. В качестве примера запишем уравнения для цепи на рис. 2.10, где толстыми линиями выделены ветви, принадлежащие дереву. Раньше мы дерево выбирали в гра1 фе цепи, но поскольку граф топологичеI6 r1 r7 ски эквивалентен b a J2 r6 схеме цепи, то дерево J1 E1 можно показывать непосредственно в r4 I r5 I5 4 схеме. 5 4 При выборе 3 дерева рекомендуетI2 ся идеальные источники э.д.с. без последовательно включенE2 ного сопротивления Рис. 2.10 включать в дерево, а идеальные источники тока – в связи. Поскольку в данной схеме 4 ветви дерева, то по первому закону Кирхгофа для сечений (6,3, J 2 ), (1,3,7), (5,4,7), (2,3,4) запишем 4 уравнения: I3 r3 2 I1 1) I 6  I 3  J 2  0; 2) I1  I 3  J1  0; 3) I 5  J1  I 4  0; 91 4) I 2  I 3  I 4  0. Число связей равно четырем, соответственно имеем 4 независимых контура (1,3,2,6), (4,5,2), ( J 2 ,6), (7,1,5) и 4 уравнения по второму закону Кирхгофа: 1) 2) 3) 4) r3 I 3  r6 I 6  r1 I1  E1  E2 ; r4 I 4  r5 I 5  E2 ; U J 2  r6 I 6  0; U J 1  r7 J1  r1 I1  r5 I 5   E1. Заметим, что нет необходимости решать совместно 8 уравнений. Первые три уравнения по первому закону Кирхгофа и два первых уравнения по второму закону Кирхгофа содержат 5 неизвестных токов I1 , I 3 , I 4 , I 5 и I 6 . Эти токи могут быть найдены из решения указанных уравнений. После этого четвертое уравнение по первому закону Кирхгофа может быть использовано для определения тока I 2 в источнике э.д.с., а последние два уравнения по второму закону Кирхгофа – для определения напряжений U J 1 и U J 2 источников тока. Таким образом, если при выборе дерева все ветви с идеальными источниками э.д.с. включить в состав дерева, а все ветви с идеальными источниками тока – в связи дерева, то вначале можно не использовать уравнения по первому закону Кирхгофа для сечений, соответствующих идеальным источникам э.д.с., и уравнения по второму закону Кирхгофа для связей с источниками тока. При этом число совместно решаемых уравнений уменьшается. Решение по законам Кирхгофа может быть проверено по балансу мощностей, который вытекает из закона сохранения энергии. Согласно балансу сумма мощностей, генерируемых всеми источниками цепи, равна сумме потребляемых мощностей: p p p i 1 i 1 i 1  ei I i   U Ji J i   Ri I i . 2 При вычислении этой суммы считаем, что если в i-й ветви нет источника э.д.с., то ei  0 . Аналогично при отсутствии в ветви источника тока принимаем J i  0 . 2.3. Эквивалентные преобразования электрической цепи постоянного тока С целью упрощения расчета сложной цепи в ряде случаев целесообразно осуществить преобразование некоторой части цепи, то есть представить эту часть цепи в виде более простой эквивалентной цепи. В результате уменьшается количество элементов и уравнений, определяющих 92 режим работы цепи. Любые преобразования не должны приводить к изменению токов и напряжений в остальной части цепи, не подвергавшейся преобразованию. 2.3.1. Преобразование соединений активных элементов Последовательное соединение э.д.с. На рис. 2.11 выделена часть цепи, содержащая последовательное соединение э.д.с. E1 , E2 и E3 . Остальная часть цепи показана в виде двухполюсника. E1 d E2 c E3 a a E U ab U ab I I b b б) а) Рис. 2.11 Напряжение на преобразуемой части цепи U ab  E3  E2  E1  E . Напряжение U ab можно рассматривать как напряжение на источнике э.д.с.: E  U ab  E3  E2  E1 (рис. 2.11, б). После замены трех источников одним источником э.д.с. E ток на входе двухполюсника не изменяется. Отсюда получаем правило: при последовательном соединении нескольких э.д.с. эквивалентная э.д.с. равна алгебраической сумме э.д.с. последовательно соединенных источников. Параллельное соединение источников тока На рис. 2.12, а показано параллельное соединение источников тока J1 , J 2 и J 3 . Остальная не преобразуемая часть цепи показана в виде двухполюсника. По первому закону Кирхгофа I  J1  J 2  J 3 . Этот ток не зависит от напряжения между точками a и b, и его можно рассматривать как ток источника J (рис. 2.12, б). 93 I a J1 J2 a I J3 J U ab U ab b b б) а) Рис. 2.12 Отсюда следует правило: при параллельном соединении источников тока ток эквивалентного источника тока равен алгебраической сумме токов параллельно соединенных источников. I3 I4 I3 I3 I4 1 2 E 1 E 2 b 3 E E а) 2 E 1 E I1 b I1 a I4 a 3 I2 E I2 I1 a I2 в) б) Рис.2.13 Перенос э.д.с. и источников тока Как отмечалось выше, источник э.д.с. с последовательно соединенным сопротивлением можно преобразовать в эквивалентный источник тока с параллельно соединенным сопротивлением. Возможно обратное преобразование. Если нет сопротивления, последовательно соединенного с э.д.с. (рис. 2.13, а), то такое преобразование невозможно. В этом случае можно исключить такой источник переносом в другие ветви. Для этого включаем в цепь дополнительные источники, как показано на рис. 2.13, б. 94 В полученной цепи потенциалы точек 1, 2 и b одинаковы, так как разность потенциалов между любыми двумя точками равна разности одинаковых э.д.с. E. Эти точки можно объединить в один узел b и отбросить три э.д.с. E между объединенным узлом b и узлом 3, так как они не влияют на работу остальной цепи. В результате вернемся к исходной цепи, то есть цепь на рис. 2.13, б эквивалентна цепи на рис. 2.13, а. В схеме на рис. 2.13, б одинаковы также потенциалы узлов a и 3 по аналогичной причине. Объединив эти узлы, получим цепь на рис. 2.13, в, в которой э.д.с. соединены последовательно с сопротивлениями. В цепи на рис. 2.14, а имеем идеальный источник тока без параллельно соединенной проводимости. Если последовательно с источником I1 a I3 R1 R2 b I2 R1 I1 a c c I3 R2 b I2 I J J а) J б) Рис. 2.14 тока J включить второй такой же источник, то изменится лишь напряжение на источнике тока J. Полученная схема эквивалентна схеме на рис. 2.14, б, так как ток в добавленной ветви равен нулю (I = 0) и эта ветвь эквивалентна разрыву. В схеме на рис. 2.14, б параллельно источникам тока включены сопротивления R1 и R2 . 2.3.2. Преобразование соединений пассивных элементов Последовательное соединение сопротивлений При последовательном соединении сопротивлений (рис. 2.15) по ним протекает один и тот же ток. На рис. 2.15 остальная часть цепи показана в виде активного двухполюсника. Буква А внутри обозначения двухполюсника означает, что двухполюсник активный, то есть содержит источники. При пассивном двухполюснике ставим букву П.По второму закону Кирхгофа U  U 1  U 2  ...  U n  I ( R1  R2  ...  Rn )  IRэ , где n Rэ  R1  R2    Rn   Rk . 1 95 (2.22) R1 R2 U1 U2 I A I A U Rэ U Rn Un б) а) Рис. 2.15 При последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений последовательно соединенных участков цепи. Параллельное соединение сопротивлений При параллельном соединении сопротивлений (приемников) R1 , R2 , R3 ,…, Rn (рис. 2.16), находящихся под одним и тем же напряжением U, в соответствии с первым законом Кирхгофа I  I1  I 2    I n , I где I2 I1 A U R1 In R2 U   UG1  R1  U  UG2  I2   (2.23) R2    U  UGn  In  Rn  I1  Rn Рис. 2.16 тогда I  UG1  UG 2    UG n  n  U  G k  UG э 1 Из последнего выражения получаем, что эквивалентная проводимость Gэ  G1  G2    Gn  96 1 , Rэ (2.24) отсюда следует правило: эквивалентная проводимость параллельно соединенных ветвей с пассивными элементами равна сумме проводимостей всех ветвей. После замены параллельно соединенных сопротивлений эквивалентным сопротивлением получаем схему такую же, как и на рис. 2.15, б. При параллельном соединении двух сопротивлений Gэ  G1  G2  1 1 1   , R1 R2 Rэ отсюда Rэ  R1 R2 . R1  R2 Из соотношений (2.23) и (2.24) следует, что токи в ветвях пропорциональны проводимостям ветвей, а эквивалентная проводимость больше проводимости каждой ветви, соответственно, эквивалентное сопротивление меньше сопротивления каждой ветви. Параллельное соединение приемников наиболее часто используется в практической энергетике. Такое соединение удобно тем, что отключение одного приемника или даже нескольких не нарушает режима работы, оставшихся включенными. Смешанное соединение приемников Приведенные выше правила преобразования при последовательном и параллельном соединениях приемников позволяют производить преобразования цепей со смешанным (последовательно параллельным) соеди- I1 R1 I1 I2 A U2 3 U I3 R2 R3 A U Rэ б) а) Рис. 2.17 нением приемников. Так, схему на рис. 2.17, а, содержащую смешанное соединение приемников, преобразуем в такой последовательности: 1) преобразуем параллельное соединение сопротивлений R2 и R3 , получаем сопротивление 97 R23  R2 R3 ; R2  R3 2) преобразуем последовательное соединение сопротивлений R1 и R23 , и заменяем эквивалентным сопротивлением Rэ  R1  R23  R1  R2 R3 R2  R3 В результате получаем схему на рис. 2.17, б. Токи и напряжения на участках цепи находим в следующей последовательности. Сначала определяем по закону Ома ток в цепи на рис. 2.17, б: I1  U , Rэ затем находим напряжения на сопротивлениях R1 и R23 : U1  I1 R1 и U 23  I1 R23 . После этого по закону Ома находим токи: I2  U 23 U и I 3  23 . R2 R3 Правильность решения проверяется по законам Кирхгофа: U  U1  U 23 ; I1  I 2  I 3 . Взаимное преобразование соединений треугольником и трех лучевой звездой Взаимные преобразования соединений в треугольник и звезду должны сохранять неизменными напряжения U12 , U 23 , U 31 и токи I1 , I 2 , I 3 , подходящие к узлам 1, 2, 3. Условие сохранения неизменности токов и напряжений можно получить из условия равенства сопротивлений между любой парой узлов в схемах на рис. 2.18, а и б при отключенном проводе от третьего узла, то есть когда R12 ( R23  R31 )  R1  R2 ; R12  R23  R31 R23 ( R12  R31 )  R2  R3 ; R12  R23  R31 98 R31 ( R23  R12 )  R3  R1. R12  R23  R31 Решая приведенные выше уравнения относительно сопротивлений звезды, получаем следующие формулы: I1 1 U12 U 31 A R12 2 U 23 I3 I1 1 U12 U 31 2 U 23 R31 R23 I2 3 A а) R2 I2 3 б) R1 R3 I3 Рис. 2.18 R1  R12 R31 ; R12  R23  R31 (2.25) R2  R12 R23 ; R12  R23  R31 (2.26) R3  R23 R31 , R12  R23  R31 (2.27) из которых при заданных величинах сопротивлений треугольника находим величины сопротивлений звезды. Из формул (2.25) – (2.27) следует правило, согласно которому сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, присоединенных к той же вершине, что и луч звезды, деленному на сумму сопротивлений всех сторон треугольника. 99 В том случае, когда R12  R23  R31  R , каждое сопротивление звезды будет равно R  R , 3 то есть сопротивление эквивалентной звезды в три раза меньше сопротивления треугольника. Для обратного перехода от заданных сопротивлений звезды к сопротивлениям треугольника, решая приведенные выше соотношения относительно сопротивлений треугольника, получаем формулы: R1 R2  ; R3    R2 R3  ; R23  R2  R3  R1   R3 R1  . R31  R3  R1  R2  R12  R1  R2  (2.28) Пример 2.2. В схеме на рис. 2.19,а дано: U = 20 В; R12  R23  R31  3 Ом, R34  R24  1 Ом. Определить входное сопротивление пассивной цепи и найти ток источника. I I 1 R12 1 R1 R31 R2 U R23 2 R24 U 3 R3 3 2 R24 R34 R34 4 4 б) а) Рис. 2.19 100 Под входным сопротивлением понимается сопротивление, которым можно заменить по отношению к входным узлам всю остальную часть цепи так, что входной ток не изменяется. Решение: 1. Преобразуем треугольник, подключенный к узлам 1, 2, 3, в эквивалентную звезду (см. рис. 2.19, б) с сопротивлениями R1  R2  R3  R12  1 Ом, 3 так как сопротивления треугольника одинаковы. 2. Находим входное сопротивление: Rэ  R1  ( R2  R24 )( R3  R34 )  2 Ом. R2  R24  R3  R34 3. Находим входной ток: I U  10 А. Rэ 2.3.3. Преобразования сложных схем с источниками Рассмотренные выше преобразования могут применяться для сложных схем, содержащих источники и пассивные элементы. В качестве первого примера таких преобразований рассмотрим схему на рис. 2.20,а , в которой последовательно соединены реальные источники э.д.с. E1 , E2 и E3 с внутренними сопротивлениями R1 , R 2 и R3 . Последовательно соединенные элементы ветви можно переставить и получить последовательно соединенные э.д.с. и последовательно соединенные сопротивления. Используя правила преобразования для последо- E1 E3 R1 E2 R2 Rэ Uн Rн Uн Eэ R3 б) а) Рис. 2.20 101 Rн вательно соединенных источников э.д.с., заменяем их эквивалентной э.д.с.: E э  E1  E2  E3 , а последовательно соединенные сопротивления – эквивалентным сопротивлением: R  R1  R2  R3 . В результате последовательное соединение реальных источников э.д.с. с внутренними сопротивлениями заменяем одним эквивалентным источником с внутренним сопротивлением (рис. 2.20, б). a a R1 E1 R2 Rн Uн E2 Gэ Jэ Uн Rн Uн Rн b b в) а) a a Rэ J1 G1 J2 G2 Uн Rн Eэ b b г) б) Рис. 2.21 Несколько более сложные преобразования требуются для схемы на рис. 2.21, а. Сначала заменяем источники э.д.с. с последовательным соединением сопротивлений на эквивалентные источники тока с параллельным соединением тех же сопротивлений. Получаем схему (рис. 2.21, б), в которой J1  E1 E  G1 E1 и J 2  2  G2 E2 . R1 R2 102 После этого применяем правила параллельного соединения источников тока и параллельного соединения сопротивлений. В результате получаем схему на рис. 2.21,в, в которой J э  J1  J 2 , а Gэ  G1  G2 . Наконец, полученный источник тока можно преобразовать в эквивалентный источник э.д.с. Eэ  E1 J2 Rв1 a I Jэ  Rэ J э Gэ b Gв 2 с последовательно соединенным сопротивлением Rэ  1 / Gэ . В результате получаем схему на рис. 2.21, г. В схеме на рис. 2.22 имеем U ab последовательное соединение ре- альных источников э.д.с. и тока, поэтому целесообразно преобразовать источник тока в источник э.д.с., после чего получим схему с последовательным соединением э.д.с. и сопротивлений. Этот случай рассмотрен выше. Рис. 2.22 2.4. Расчет простейших цепей 2.4.1. Резистивный делитель напряжения и тока Рассмотрим схему на рис. 2.23, которую можно рассматривать как делитель напряжения, то есть входное напряжение U делится на две части: U 1 и U 2 . При этом на нагрузку подается только часть напряжения – U 2 . Если цепь питается от источника тока, то эту схему можно рассматривать как делитель тока, в котором в нагрузку подается часть тока источника I1 – ток I 3 . По законам Кирхгофа I1 I3 R U  U1  U 2 ;   U1  I1 ( R  r );  (2.29) U 2  I1  I 3 r  I 3 Rн . U1 Rн I2 U2 Решая уравнения (2.29) относительно U 2 и I 3 , получим: Рис. 2.23 U2  U 103 Rн r , Rн R  Rr  r 2 I3  rI1 . R  Rн Тогда U2 Rн r  ; U Rн R  Rr  r 2 I3 r  . I1 R  Rн Если принять, что в делителе напряжения обычно Rн  R , а в де- I U2 r r  и 3  не зависят от соU R I R лителе тока Rн  R , то отношения противления нагрузки. При точных измерениях следует учитывать погрешность, вносимую сопротивлением нагрузки. 2.4.2. Расчет резистивных цепей с одним источником (метод пропорциональных величин) Метод целесообразно применять для расчета пассивных цепей со смешанным соединением сопротивлений. Идея метода заключается в том, что первоначально произвольно задаются напряжением или током самой удаленной от источника ветви. Далее продвигаемся к источнику, определяя напряжения и токи на отдельных ветвях и элементах схемы. a I1 U R1 c I 3 R3 R5 d I2 I4 I5 R2 R4 R6 b Полученные таким образом величины токов и напряжений умножаем на коэффициент пропорциональности, равный отношению заданного напряжения (тока) к найденному. Рис. 2.24 В качестве примера рассмотрим схему на рис. 2.24, для которой заданы напряжение на входе цепи U и величины сопротивлений. Необходимо найти токи и напряжения на всех элементах схемы. Полагаем I 5'  1 A, тогда U db'  I 5' ( R5  R6 ) . Зная U db' , определяем ток I 4'  затем ток U db' , R4 I 3'  I 5'  I 4' . 104 Далее последовательно применяем формулы: U' U cb'  U db'  I 3' R3 ; I 2'  cb ; I1'  I 3'  I 2' ; U ab'  U cb'  I1' R1 . R2 По полученному входному напряжению определяем коэффициент преобразования: kп  U ab' . U Действительные токи и напряжения находим путем умножения полученных напряжений и токов на коэффициент преобразования k п . 2.5. Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов основан на том, что в уравнениях по первому закону Кирхгофа токи ветвей выражают через напряжения, а напряжения в свою очередь записывают как разность потенциалов. В результате получают уравнения по методу узловых потенциалов, содержащие потенциалы узлов. Число уравнений по методу узловых потенциалов равно числу уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа (q  1), и метод узловых потенциалов позволяет, таким образом, уменьшить число совместно решаемых уравнений. По найденным потенциалам узлов напряжения определяются, как разность потенциалов, после чего токи ветвей определяем по закону Ома. На рис. 2.25 изображена цепь, имеющая 3 узла. Заданы э.д.с. источников и токи источников тока. J2 U12 r4 1 r1 E3 J1 r3 E1 U10 I4 I1 r2 I3 I2 Рис. 2.25 105 2 E2 U 20 Примем потенциал базисного узла 0  0 и выразим токи в ветвях через потенциалы 1 и  2 остальных узлов. Для контура, содержащего напряжение U10 и э.д.с. E1 , U10  I1r1  E1 , откуда I1  E1  U10 E1  1   E1 g1  1 g1 . r1 r1 (2.30) Аналогично определяем выражения остальных токов: U 20  I 2 r2  E2 ; I2  E2   2  E2 g 2   2 g 2 ; r2 (2.31) U 20  I 3 r3  E3 ; I3   2  E3   2 g 3  E3 g 3 ; r3 (2.32) U12  I 4 r4  0 ; I4  U12 1   2  (1  2 ) g 4 .  r4 r4 (2.33) Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:  J 1  I1  J 2  I 4  0 ;  I 4  J 2  I3  I 2  0 , и, подставив в них выражения токов из уравнений (2.30) – (2.33), получим: J1  E1 g1  1 g1  J 2  1 g 4  2 g 4  0 ; 1 g 4   2 g 4  J 2   2 g 3  E3 g 3  E2 g 2   2 g 2  0 . После преобразования получим систему уравнений: 1 ( g1  g 4 )   2 g 4  J1  E1 g1  J 2 ;    1 g 4   2 ( g 4  g 3  g 2 )  J 2  E3 g 3  E2 g 2 ; (2.34) Назовем собственной проводимостью узла сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному узлу. Для первого узла собственная проводимость g11  g1  g 4 , 106 для второго – g 22  g 4  g 3  g 2 . Общей проводимостью между узлами назовем сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данной паре узлов. Для пары узлов 1 и 2 получаем g12  g 21  g 4  1 . r4 Назовем узловым током алгебраическую сумму токов источников тока, присоединенных к данному узлу. Токи, направленные к узлу, берем со знаком плюс, иначе – со знаком минус. Источники э.д.с. преобразуем в источники тока и учитываем в узловом токе произведением э.д.с. на последовательно соединенную с ним проводимость. Для узла 1 по приведенному правилу узловой ток J11  J1  E1 g1  J 2 , для узла 2 – J 22  J 2  E3 g 3  E2 g 2 . В обозначении узлового тока используем двойные индексы, соответствующие номеру узла. С учетом введенных обозначений система уравнений (2.33) преобразуется к общей форме записи уравнений по методу узловых потенциалов: g111  g12  2  J11 ;    g 211  g 22 2  J 22 . (2.35) Если схема имеет q узлов, то ей соответствует система n = q – 1 уравнений следующего вида: 1 g11   2 g12   3 g13     n g1,n  J11 ;   1 g 21   2 g 22   3 g 23     n g 2,n  J 22 ;   1 g 31   2 g 32   3 g 33     n g 3,n  J 33 ;      1 g11   2 g12   3 g13     n g1,n  J nn .  (2.36) Система уравнений (2.35) может быть представлена в матричной форме: G уΦ  J у , где матрица узловых проводимостей 107 (2.37)  g11  g12  g g  21 22 G у    g 31  g 32       g n1  g n 2  g13  g 23 g 33   g n3   g1,n    g 2,n    g 3, n  ,      g n ,n  матрицы потенциалов и узловых токов: Φ  1  2 3   n  ; t J у  J11 J 22 J 33  J nn  . t Примечания: 1.Уравнения по методу узловых потенциалов могут записываться для цепей с источниками тока или для цепей, содержащих, кроме источников тока, источники э.д.с., которые можно преобразовать в источники тока. Если в цепи на рис. 2.25 принять r2  0 , то g 2  1 r2   . Величина g 2 входит в выражения для g 22 и J 22 . Пренебрегая в этих выражениях конечными членами, получаем: g 22  g 2 ; J 22  E2 g 2 . Тогда второе уравнение системы (2.34) с учетом только бесконечно больших членов запишется в виде g 2  2  E2 g 2 , откуда получаем  2  E2 . Это равенство можно было записать сразу по схеме цепи, учитывая, что потенциал  2 равен напряжению на э.д.с. E2 . Таким образом, если в цепи имеется один источник э.д.с. без последовательно включенного сопротивления, то нужно потенциал одного узла источника принять равным нулю (базисный узел), а соответствующее уравнение по методу узловых потенциалов заменить равенством  k   Ek (со знаком «+», если э.д.с. Ek направлена к узлу k, иначе со знаком «–»). При большем числе ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с., можно применить преобразование переноса источников э.д.с. через узел (см. параграф 2.4.1). 2. Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов. Применяется он, когда цепь содержит два узла. В этом случае по методу узловых потенциалов можно записать только одно уравнение, 108 a из которого получаем формулу потенциала узла: r1 E2 J1 r3 a  J2 r2 E1  Ek g k   J k ,  gk где суммирование в числителе выполняем по всем ветвям с источниками, а в знаменателе – по всем ветвям с проводимостями. b Рис. 2.26 В частности, для цепи на рис. 2.26 получаем E1 g1  E2 g 2  J1  J 2 . g1  g 2  g 3 a  3. Рассмотрим случай, когда в схеме на рис. 2.26 вместо идеального источника тока J1 включен зависимый источник (ИТУТ) J1  I 4 , то есть ток J1 этого источника управляется током I 4 . Ток I 4 выражаем по закону Ома через напряжение, а напряжение как разность потенциалов, тогда U12  g 4 (1   2 ) . r4 Заменяем в первом уравнении системы (2.34) J1 полученным выражениJ 1  I 4   I1 I3 1 I2 r1 E2 J E1 r3 r2 ем и переносим в левую часть уравнения. В результате, в выражениях для узловых проводимостей g11 и g12 добавится слагаемое  g 4 , а из выражения узлового тока J 11 будет исключен ток источника J1 . Остальные коэффициенты системы (2.34) не изменятся. Рис. 2.27 Пример 2.3. В цепи на рис. 2.27 заданы: э.д.с. E1  20 B; E2  30 B; ток источник тока J=3 A; сопротивления r1  5 Ом; r2  10 Ом; r3  2 Ом. Требуется определить токи I1 , I 2 , I 3 . 109 Решение. По методу узловых потенциалов записываем одно уравнение для узла 1: 1 g11  J11 , (2.38) где g11  1 1 1 1 1 1       0,8 См, r1 r2 r3 5 10 2 J11  E1 1 1  E2  J  4  3  3  4 А. r1 r2 Подставляя в уравнение (2.38), получаем 1  J11 4   5 В. g11 0,8 Токи определяем по формулам: I1  I2  E1  1 20  5   3 А; r1 5 E2  1 30  5   3,5 А; r2 10 I3  1 5   2,5 А. r3 2 Проверим результаты по балансу мощностей: E1 I1  E2 I 2  JU10  I12 r1  I 22 r2  I 32 r3 . После подстановки числовых значений получаем: 20  3  30  3,5  3  5  32  5  3,52  10  2,52  2 В результате получаем тождество 180 Вт =180 Вт, то есть баланс соблюдается. 2.6. Метод контурных токов Метод контурных токов основан на использовании понятия контурных токов, условно замыкающихся вдоль независимых контуров. Контурные токи обладают свойством, состоящим в том, что ток любой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви. Контурные токи, совпадающие по направлению с током ветви, берут в этой сумме со знаком плюс, другие – со знаком минус. 110 Уравнения по методу контурных токов получают из уравнений по второму закону Кирхгофа, в которых напряжения ветвей выражают через токи, а токи ветвей – через контурные токи. В результате получают p – q + 1 уравнений для контурных токов. Таким образом, число уравнений по методу контурных токов равно числу независимых контуров. Отсюда следует, что метод контурных токов предпочтительнее метода узловых потенциалов, когда число независимых контуров меньше числа независимых узлов. Вывод уравнений по методу контурных токов выполнен на примере схемы на рис. 2.28. Метод контурных токов предназначен для расчета цепей, содержащих только источники э.д.с. Цепь на рис. 2.28, а содержит источник тока, но его можно преобразовать в эквивалентный источник э.д.с.: E3  Jr3 , после чего получим цепь на рис. 2.28,б, к которой непосредственно применим метод контурных токов. Заметим, что в преобразованной схеме I3 I1 I2 E1 r1 r2 I2 I 3' J E2 ' I11 I3 I1 E1 r3 ' I 22 r1 ' I 33 E2 I11 E3 I 22 r2 r3 б) а) Рис. 2.28 через сопротивление r3 протекает другой ток: I 3  I 3'  J , чем в схеме на рис. 2.28,а. Согласно второму закону Кирхгофа для контуров, направление обхода которых показано на рис. 2.28,б, запишем уравнения по второму закону Кирхгофа: I1r1  I 2 r2  E1  E2 ;    I 2 r2  I 3 r3   E3  E2 . (2.39) Согласно свойству контурных токов токи ветвей выражаются через контурные токи уравнениями: 111 I1  I11 ;   I 2  I11  I 22 ;  I 3   I 22 .  (2.40) Подставляя эти выражения в систему уравнений (2.39), получаем систему уравнений: I11r1  ( I11  I 22 )r2  E1  E2 ;    ( I11  I 22 )r2  I 22 r3   E3  E2 , которая преобразуется к уравнениям: I11 (r1  r2 )  I 22 r2  E1  E2 ;  I11r2  I 22 (r2  r3 )   E3  E2 . Вводя обозначения: E1  E2  E11 ;  E3  E2  E22 ; r1  r2  r11 ; r3  r2  r22 ; r12  r21   r2 , получаем систему уравнений по методу контурных токов: I11r11  I 22 r12  E11 ;   I11r21  I 22 r22  E22 . (2.41) Сопротивления с одинаковыми индексами называют собственными контурными сопротивлениями. Собственное контурное сопротивление равно сумме сопротивлений данного контура. В первый контур входят сопротивления r1 и r2 , соответственно собственное сопротивление первого контура r11  r1  r2 , аналогично r22  r2  r3 . Сопротивление с разными индексами называют общим контурным сопротивлением. Оно равно сумме сопротивлений, общих для двух контуров. Сопротивления берутся со знаком «плюс», если контурные токи имеют одинаковое направление в этом сопротивлении, иначе сопротивление берется со знаком «минус». В правой части уравнений расположены контурные э.д.с. Контурная э.д.с. равна алгебраической сумме э.д.с., входящих в контур. Э.д.с. берется со знаком «плюс», если она направлена согласно направлению контурного тока, иначе э.д.с. берется со знаком «минус». Из системы уравнений (2.41) можно найти контурные токи, а затем по уравнениям системы (2.40) – токи ветвей. По формулам Крамера контурные токи: 112 E11 r12 E r   r r I11  22 22  E11 11  E22 21  E11 22  E22 12 ; r11 r12     r21 r22 r11 E11 12  r r  E22 22   E11 21  E22 11 .      Здесь определитель системы   r11r22  r21r12 , а  km – алгебраическое дополнение элемента rkm (k и m принимают значения 1, 2), которое полуI 22  r21 E22  E11 чается из определителя системы вычеркиванием k-й строки и m-го столбца определителя системы и умножением полученного определителя на (1) k  m . Заметим, что при отсутствии зависимых источников  km   mk . В общем случае для n контуров можно записать такую систему уравнений по методу контурных токов: I 11r11  I 22 r12    I nn r1n  E11 ;   I 11r21  I 22 r22    I nn r2 n  E 22 ;     I 11rn1  I 22 rn 2    I nn rnn  E nn . (2.42) Решение системы для k-го тока: I kk  E11 1k    E22 2 k    Enn nk .    (2.43) Матричная алгебра позволяет упростить запись системы уравнений (2.42) и получить уравнение вида rк I к  E к , (2.44) где rк – матрица контурных сопротивлений; I к – матрица контурных токов; E к – матрица контурных э.д.с. Решение системы (2.44) в матричной форме имеет вид I к  rк-1E к . После определения контурных токов находят токи ветвей, используя для рассмотренного примера уравнения (2.40). Кроме того, напомним, что рассчитывалась не заданная, а преобразованная схема. Для возвраще113 ния к исходной цепи преобразуем источник э.д.с. E3 обратно в источник тока J и определяем ток в сопротивлении r3 исходной цепи: I 3'  I 3  J . При использовании метода контурных токов для цепей с источниками э.д.с. рекомендуется придерживаться следующего порядка решения. 1. Задаемся положительным направлением контурных токов. 2. Записываем в общем виде систему контурных уравнений. 3. Определяем собственные и общие контурные сопротивления и контурные э.д.с. 4. Из решения системы уравнений определяем контурные токи. 5. Задаемся условным положительным направлением токов в ветвях. 6. Записываем соотношения между действительными и контурными токами и определяем токи ветвей. Примечания: 1. Запись уравнений по методу контурных токов можно сделать и для исходной цепи на рис. 2.28, а, в которой контурные токи в отличие от цепи на рис. 2.28, б обозначены с дополнительным штрихом. В этом случае записываем три уравнения: I11' r11  I 22' r12  I 33' r13  E11 ;   I11' r21  I 22' r22  I 33' r23  E22 ; I11' r31  I 22' r32  I 33' r33  E33 .  (2.45) Внутреннее сопротивление идеального источника тока rJ   . Это сопротивление должно войти в выражение контурного сопротивления r33  r3  rJ и контурной э.д.с. E33  J  rJ третьего уравнения. Удаляя из этого уравнения конечные члены, не содержащие rJ , и деля на rJ , получаем равенство I 33'  J , которым заменяем третье уравнение системы (2.45). Первые два уравнения остаются без изменения. Заметим, что равенство I 33'  J можно записать сразу, используя свойство контурных токов, согласно которому ток ветви равен сумме протекающих по ней контурных токов. Причем, чтобы можно было приравнять контурный ток току источника, нужно контуры выбирать так, чтобы через источник протекал один контурный ток. Решая полученную систему уравнений, находим контурные токи. Для определения токов ветвей используем выражения: I1  I11' ; I 2  I11'  I 22' ; I 3'   I 33'  I 22'   J  I 22' . 114 В заключение отметим, что рассмотренный метод необходимо применять в том случае, когда источник тока не имеет параллельно соединенного сопротивления и преобразование его в источник напряжения невозможно. 2. При наличии зависимого источника нужно предварительно выразить э.д.с. зависимого источника через контурные токи. Например, если э.д.с. E1 зависит от тока I 2  I11  I 22 и E1  I 2 , то заменяем э.д.с. выражением E1  ( I11  I 22 ) и получаем уравнения без зависимых источников. 2.7. Принцип наложения и метод наложения Выше рассмотрены основные методы расчета электрических цепей, уравнения которых выводятся из уравнений по законам Кирхгофа. В дальнейшем рассмотрим ряд методов, основанных на теоремах электрических цепей. Первая из рассматриваемых теорем носит название принципа наложения. Принцип наложения применяется для цепей, содержащих несколько источников, и формулируется следующим образом: ток в любой ветви электрической цепи, содержащей несколько источников, равен алгебраической сумме токов, создаваемых в этой ветви каждым источником в отдельности. Принцип наложения отражает принцип независимости действия источников, то есть каждый источник создает в цепи свои токи. Результирующие токи определяются как сумма токов, создаваемых отдельными источниками, с учетом их направлений. Для доказательства этой теоремы используем формулу (2.43) решения уравнений по методу контурных токов: I kk  E11   1k  E22 2 k    Enn nk .    (2.46) Контурные токи можно всегда выбрать таким образом, чтобы через интересующую нас ветвь протекал лишь один контурный ток, тогда ток ветви будет равен этому контурному току. Например, в цепи на рис 2.28, б ток ветви 1 равен первому контурному току, то есть I1  I11  E11 11   E22 21 .   Выразив в этом равенстве контурные э.д.с. через э.д.с. ветвей, получим: 11   ( E2  E3 ) 21      (   21 )  E1 11  E2 21  E3 11  I1'  I1"  I1' ' ' .    I1  I11  ( E1  E3 ) 115 Если в цепи действует только э.д.с. E1 , то в выражении тока I1 остается только первый член I1' , соответствующий току, создаваемому в этой ветви э.д.с. E1 . Если действует только э.д.с. E2 , то ток определяется вторым слагаемым I1" и т.д. В результате получаем, что ток в рассматриваемой ветви равен алгебраической сумме токов, создаваемых в этой ветви каждым источником в отдельности. Таким образом, принцип наложения доказан для случая, когда в цепи имеются источники э.д.с. Аналогичным образом применение этого принципа может быть распространено на цепь с источниками тока. Принцип наложения не применим к нелинейным цепям, а также для определения мощности в линейных цепях. Это объясняется тем, что принцип наложения непосредственно следует из линейной зависимости токов от напряжений и токов источников. Например, мощность, выделяемая в сопротивлении r1 , P1  I12 r1  ( I1'  I1' '  I1' ' ' ) 2 r1  ( I1' ) 2 r1  ( I1' ' ) 2 r1  ( I1' ' ' ) 2 r1 . При определении токов от действия одного источника остальные источники э.д.с. заменяют закороткой, что соответствует нулевой э.д.с., а источники тока размыкают или удаляют. Метод наложения обычно при- I2 I1 J E1 r1 E2 r2 а) I 2" I 2' I1" I1' r1 J r2 E1 r2 r1 б) в) Рис. 2.29 116 E2 меняют в сочетании с методом преобразования, так как удаление источников облегчает преобразования цепей. Пример 2.4. Определить токи в цепи на рис. 2.29, а методом наложения, если ток источника тока J  1 А, э.д.с. E1  50 В, E2  100 В, а сопротивления r1  r2  10 Ом. По методу наложения задача сводится к расчету цепей на рис. 2.29, б и 2.29, в. Поскольку сопротивления цепи на рис. 2.29, б одинаковы, то I1 '  I 2'  J  0,5 А. 2 В цепи на рис. 2.29,в протекает один ток: I1 '   I 2'  E1  E2 50  100   2,5 А, r1  r2 10  10 так как ветвь с источником тока разомкнута. Действительные токи получаем наложением режимов: I1  I1'  I1"  0,5  2,5  2 А; I 2  I 2'  I 2"  0,5  2,5  3 А. 2.8. Принцип взаимности Принцип взаимности формулируется следующим образом. Если э.д.с. E, действуя в m-й ветви (рис. 2.30, а), вызывает в k-й ветви ток I k  I , то при перенесении этой э.д.с. в k-ю ветвь (рис. 2.30, б) она вызовет такой же ток I в m-й ветви. 1 E m 2 k I m I а) 1 2 E k б) Рис. 2.30 При переносе э.д.с. в ветвь k направление ее следует брать совпадающим с направлением тока этой ветви. Для доказательства принципа взаимности тоже воспользуемся уравнениями по методу контурных токов. Контуры выберем так, чтобы ветвь m входила только в первый контур, а ветвь k – только во второй. В 117 этом случае контурная э.д.с. первого контура в схеме на рис. 2.30, а E11  E . Остальные контурные э.д.с. равны нулю. Контурный ток второго контура по формуле (2.43) I 22  E11   21  E 21  I k .   (2.47) Этот контурный ток совпадает с током ветви k. В схеме на рис. 2.30, б, наоборот, э.д.с. первого контура равна нулю, а э.д.с. второго контура E22  E . Соответственно контурный ток первого контура, совпадающий с током ветви m, I11  E22  12  E 12  I m .   (2.48) Выражения (2.47) и (2.48) для рассматриваемых токов отличаются заменой алгебраического дополнения  21 на 12 . Поскольку матрица контурных сопротивлений симметрична относительно главной диагонали, то эти алгебраические дополнения имеют одинаковое значение, следовательно, ток ветви m в схеме на рис. 2.30, а равен току ветви k в схеме на рис. 2.30, б. Таким образом, утверждение принципа взаимности доказано. Пример 2.5. Пусть в схеме на рис. 2.31, а известны токи I1' , I 2' , I 3' . Нужно определить токи на рис. 2.31, б. Для определения токов сначала, пользуясь принципом взаимности, определим ток I1' в схеме на рис. 2.31, в. Если э.д.с. E1  E3 , то согласно принципу взаимности ток I1" , создаваемый э.д.с. E3 в схеме на рис. 2.31, I1' E1 r1 I1 r2 r3 I 2' I 3' r3 r2 E1 I2 I3 а) r1 I1" r1 r3 r2 I 2" I 3" Рис. 2.31 118 E3 в) E3 б) в, равен току I 3' , создаваемому э.д.с. E1 в схеме на рис. 2.31, а. Если э.д.с. E1  E3 , то I1"  I 3' E3 , E1 так как ток пропорционален э.д.с., которая его вызывает. После этого находим ток в r2 I 2"   r U 1"   I1" 1 r2 r2 и ток I 3"  I 1"  I 2" . Теперь токи в схеме на рис. 2.31, б можно найти по принципу наложения. 2.9. Теорема о компенсации Теорема о компенсации утверждает, что любой участок электрической цепи, содержащий любые элементы (в том числе нелинейные), можно заменить: 1) идеальным источником э.д.с., численно равным напряжению на заменяемом участке цепи и направленном против напряжения; 2) идеальным источником тока, численно равным току на заменяемом участке цепи и совпадающим с ним по направлению. a a I U ab A b A I d U ab E' E а) c b a I U ab A b Рис. 2.32 119 E в) б) При этом напряжения и токи в остальной части цепи, представленной активным двухполюсником, не изменяются. На рис. 2.32, а условно показана цепь с выделенной ветвью ab. Требуется доказать, что выделенную ветвь можно заменить идеальным источником э.д.с., как показано на рис. 2.32, в. Для доказательства включим в ветвь ab источники э.д.с. E '  E  U ab (рис. 2.32, б). Поскольку э.д.с. E ' и E равны по величине и направлены встречно, то результирующая э.д.с. равна нулю и полученная цепь эквивалентна исходной. При этом напряжение между точками a и d равно напряжению U ab , а напряжение между точками a и c U ac  U ab  E '  0 , поэтому точки a и c можно соединить накоротко. Удалив закороченную ветвь, получаем цепь на рис. 2.32, в, что подтверждает справедливость теоремы. a I Для доказательства второй части теоремы I ac включим в цепь (рис. 2.32, c U а) два параллельно соедиab A J ненных источника тока J' J '  J  I , противоположные по направлению, как b а) показано на рис. 2.33, а. Такое включение не измеa I нит напряжения и токи остальной части цепи, так как результирующий источник U ab тока равен нулю. A J Ток между точками a и c I ac  0 , поэтому проb водник между точками a и б) c можно разомкнуть и удалить отключенную часть Рис. 2.33 цепи. В результате получим цепь на рис. 2.33, б, которая доказывает справедливость второй части теоремы. Данная теорема часто используется при доказательстве других теорем, например теоремы об эквивалентном генераторе. 2.10. Теорема об эквивалентном генераторе Теорема об эквивалентном генераторе формулируется следующим образом. 120 По отношению к выделенной ветви «ab» (рис. 2.34, а), содержащей любые (в том числе нелинейные) элементы, остальную линейную часть цепи, представляющую собой активный двухполюсник, можно заменить эквивалентным генератором. Э.д.с. эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода при отключенной (разомкнутой) ветви «ab», а внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной цепи, полученной из активного двухполюсника удалением источников. a I I EГ U A rГ b б) а) Рис. 2.34 В результате применения теоремы получаем цепь на рис. 2.34, б. Согласно сформулированной теореме э.д.с. эквивалентного генератора можно найти, определяя напряжение холостого хода U хх в схеме на рис. 2.35, а. По теореме о компенсации в место разрыва между точками a и c можно включить источник э.д.с. E '  U хх (рис. 2.35, б), напряжения и токи при этом не изменятся. a Iх  0 a Iх  0 A U хх b c A U хх b а) E '  U хх б) Рис. 2.35 Включим в ветвь «ab» исходной цепи на рис. 2.34, а два источника э.д.с. E ' и E  E ' , направленные навстречу друг другу (рис. 2.36). Поскольку эквивалентная э.д.с. равна нулю, то режим цепи на рис. 2.34, а не изменится. Ток в цепи на рис. 2.36 определим по методу наложения. Рассмотрим два режима. В первом режиме определим токи от действия всех источников, кроме э.д.с. E. Во втором режиме определяем токи от действия э.д.с. E. Первому режиму соответствует схема на рис. 2.35, б, второму ре121 a I a E  E' A U П E' U I E b b Рис.2.37 Рис. 2.36 жиму – схема на рис. 2.37. Поскольку ток в первом режиме равен нулю (режим холостого хода), то ток второго режима равен току исходной цепи. Пассивный двухполюсник в схеме на рис. 2.37 можно заменить эквивалентным сопротивлением rэ , тогда получим цепь на рис. 2.34, б, в которой э.д.с. EГ  E  U хх , а сопротивление rГ равно эквивалентному сопротивлению пассивной цепи rэ . Таким образом, теорема доказана. Примечание. Если в ветви «ab» содержится нелинейный элемент, то нельзя применять принцип наложения, но нелинейный элемент по теореме о компенсации можно заменить идеальным источником э.д.с. В результате получим линейную цепь, к которой применимо приведенное доказательство. Метод расчета цепи, основанный на использовании теоремы об эквивалентном генераторе, называют методом эквивалентного генератора. Суть метода состоит в выполнении следующих операций: а) размыкаем ветвь «ab» и находим э.д.с. эквивалентного генератора EГ  U хх ; б) определяем внутреннее сопротивление rГ генератора, для чего внутри активного двухполюсника замыкаем накоротко источники э.д.с. и размыкаем источники тока, а оставшуюся цепь сворачиваем методом преобразования до эквивалентного сопротивления rГ . Пункт «б» можно выполнить путем замыкания накоротко ветви «ab» и определения тока короткого замыкания: I кз  EГ , rГ откуда rГ  EГ U хх .  I кз I кз 122 В некоторых случаях расчет проще выполнять методом эквивалентного генератора тока, который можно получить преобразованием эквивалентного генератора в эквивалентный источник тока I кз J a J  I кз  EГ rГ с внутренней проводимостью gг gг  1 . rГ В результате получаем схему на рис. 2.38. b Рис. 2.38 Теорему об эквивалентном генераторе, в которой цепь заменяют реальным источником э.д.с. , иначе называют теоремой Тевенина, а теорему об эквивалентном генераторе, в которой цепь заменяют реальным источником тока, называют теоремой Нортона. Порядок расчета методом эквивалентного генератора тока заключается в следующем: а) замыкаем ветвь «ab» накоротко и определяем ток короткого замыкания, который дает ток эквивалентного генератора тока J  I кз ; б) замкнув источники э.д.с. и разомкнув источники тока, находим входную проводимость, которая дает внутреннюю проводимость эквивалентного генератора тока g г  g э (рис. 2.38). в) рассчитываем цепь, содержащую эквивалентный генератор и выделенную ветвь «ab». Пример 2.6. В схеме на рис. 2.39 задан ток источника тока J = 3 А, э.д.с. E1  20 В, Eн  30 В. r1  10 Ом. Требуется определить ток I ab . IJ I ab a r1 a r1 rн J J E1 Eн E1 U abхх b b Рис. 2.39 Рис. 2.40 Решение. Размыкаем ветвь и для схемы на рис. 2.40 записываем уравнение 123 U abхх  Ir1  E1 , откуда U abхх  E1  Ir1  20  3  10  50 В, соответственно э.д.с. эквивалентного генератора EГ  50 В. После закорачивания источника э.д.с. и размыкания источника тока получаем цепь, содержащую только сопротивление r1 . Соответственно сопротивление эквивалентного генератора rГ  r1  10 Ом. Заменив в цепи на рис. 2.39 левую часть цепи на эквивалентный генератор, получим цепь на рис. 2.41, из которой определяем ток: I ab  Eг  Eн 50  30   1 А. rГ  rн 10  10 Примечание. В задаче можно было рассмотреть опыт короткого замыкания (рис. 2.42) и определить ток: I кз  J  I ab E1 20  3  5 А, r1 10 a a r1 r1 rн I кз J E1 Eн E1 b b Рис. 2.41 Рис. 2.42 а сопротивление генератора определить, как rГ  U abхх 50   10 Ом. I кз 5 Вопросы для самопроверки 1. Дать определение источника напряжения и источника тока. Построить ВАХ идеальных и реальных источников энергии. 2. Записать условие передачи максимальной мощности источников энергии в нагрузку. 124 3. Определить к.п.д. источника энергии в различных режимах, в том числе в согласованном режиме. 4. Показать взаимное преобразование реальных источников напряжения и тока. 5. Какие источники энергии называются зависимыми? Привести примеры зависимых источников. 6. Сформулировать и записать первый и второй законы Кирхгофа. Сколько уравнений следует составлять по первому и второму законам Кирхгофа? 7. Дать определение основных топологических элементов электрической цепи: граф, дерево графа, ребро, узел, ветвь и т.д. 8. Как записывается матрица соединений? 9. Записать в матричной форме закон Ома и законы Кирхгофа. 10. Назначение эквивалентных преобразований соединений активных элементов. Привести правила преобразования. 11. Назначение эквивалентных преобразований соединений пассивных элементов. Привести примеры преобразования при последовательном, параллельном и смешанном соединениях приемников. Взаимные преобразования соединений приемников треугольником и трехлучевой звездой. 12. Показать на конкретном примере преобразование схем с источниками. 13. Охарактеризовать основные этапы метода узловых потенциалов и метода контурных токов. Записать уравнения по методам узловых потенциалов и контурных токов в матричной форме. 14. Каковы особенности расчета электрической цепи методом узловых потенциалов при наличии ветви с идеальным источником напряжения? 15. Рассказать об этапах расчета электрической цепи при наличии в цепи идеальных и реальных источников тока. 16. Сформулировать принцип и метод наложения. Сформулировать принцип взаимности. Указать этапы расчета электрической цепи методом наложения. 17. Сформулировать и доказать теорему о компенсации. 18. Дать определение активного двухполюсника, нарисовать две его схемы замещения, найти их параметры. Перечислить этапы расчета электрической цепи методом эквивалентного генератора. 19. Опытное определение э.д.с. и внутреннего сопротивления активного двухполюсника. 20. Записать условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника к нагрузке. Построить зависимость мощности в нагрузке и определить к.п.д. при максимальной мощности в нагрузке. 21. Для примера на рис. 2.27 определить ток I 2 методом эквивалентного генератора. 125 22. В электрической цепи на рис. 2.28, б E1  20 В, r1  r2  10 Ом, r3  5 Ом, E2  0 В, E3  0 В. Определить ток I 2 , используя принцип взаимности. 23. В электрической цепи на рис. 2.28, а E1  E2  8 В, r1  4 Ом, r2  2 Ом, r3  5 Ом, J  6 А. Определить мощности источников. 24. Для электрической цепи на рис. 2.27 составить уравнения по методу контурных токов, без замены источника тока на источник напряжения. 126