Линейная алгебра

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»(РГГУ) Н.Л. Лепе, Н.И. Манаенкова ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие Москва 2016 УДК 512.8 ББК 22.143 Л 48 Лепе Н.Л., Манаенкова Н.И. Л 48 Лекции по линейной алгебре: учебное пособие. М.: Издательство Тровант, 2016. - 248 с. Настоящее учебное пособие представляет собой расширенный вариант курса лекций, посвященных основам Линейной алгебры и Линейного программирования, который в течение многих лет читался авторами студентам первого курса дневного отделения факультета Управления и Экономического факультета Института Экономики Управления и Права (ИЭУП) Российского государственного гуманитарного университета (РГГУ). В учебном пособии на доступном уровне дается представление об основных методах и задачах Линейной алгебры и Линейного программирования. Учитывается уровень подготовки студентов управленческих и экономических специальностей и ограниченный объем времени, отведенный на математические дисциплины. Представленное учебное пособие соответствует актуальным требованиям ФГОС. Для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Государственное и муниципальное управление», «Управление персоналом». ISBN 978-5-7281-1699-8 © Российский государственный гуманитарный университет, 2014 ISBN 978-5-89513-399-6 © Н.Л. Лепе, Н.И. Манаенкова 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение Раздел I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. АЛГЕБРА МАТРИЦ. Лекция 1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Лекция 2. Матрицы. Операции над матрицами. Лекция 3. Основные свойства и особенности операций над матрицами. Лекция 4. Определитель матрицы. Миноры. Лекция 5. Свойства определителя. Лекция 6. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Лекция 7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Лекция 8. Общее решение однородных и неоднородных систем линейных уравнений. Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Лекция 9. Элементы аналитической геометрии. Лекция 10. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения кривых второго порядка на плоскости. Лекция 11. Элементы векторной алгебры. Лекция 12. Скалярное произведение векторов. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Лекция 13. Линейные векторные пространства. Раздел III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ. Лекция 14. Алгебра комплексных чисел. Лекция 15. Комплексные многочлены. Основная теорема Алгебры. Раздел IV. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Лекция 16. Линейные операторы. Лекция 17. Собственные числа и собственные векторы. Лекция 18. Квадратичные формы. 5 8 13 13 24 31 37 44 52 61 72 79 79 86 97 107 114 125 125 131 137 137 141 155 4 Раздел V. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Лекция 19. Задача линейного программирования. Лекция 20. Графический метод решения задач линейного программирования. Лекция 21. Транспортная задача линейного программирования. Лекция 22. Симплекс- метод решения задач линейного программирования. Лекция 23. Двойственная задача линейного программирования. Лекция 24. Динамическое программирование. Список Литературы. 163 163 Приложение 1. Перечень Экспресс - тестов по лекционному материалу. Перечень тем и примерных вариантов Контрольных работ по курсу. 222 222 Приложение 2. Задачи, составленные студентами факультета Управления и Экономического факультета ИЭУП РГГУ. 231 170 180 191 201 213 220 227 5 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное пособие представляет собой расширенный вариант курса лекций, включающий в себя основы Линейной алгебры, Аналитической геометрии, Векторной алгебры и Линейного программирования, который в течение многих лет читался авторами студентам первого курса дневного отделения факультета Управления и Экономического факультета Института Экономики Управления и Права (ИЭУП) Российского государственного гуманитарного университета (РГГУ), обучавшихся по специальностям «Менеджмент организации», «Государственное и муниципальное управление», «Управление персоналом», «Экономическая теория», «Экономика и управление на предприятии» (специалитет); «Экономика», «Менеджмент», «Управление персоналом» (бакалавриат). Электронный вариант учебного пособия «Лекции по Линейной Алгебре» доступен в Научной библиотеке РГГУ. Характерной чертой учебного пособия является изложение основ Линейной алгебры на простом, адаптивном уровне. Приводится большое количество числовых примеров, иллюстрирующих теоретические сведения. Учитывается уровень подготовки студентов и ограниченный объем времени, отведенный на математические дисциплины. Последнее обстоятельство, а именно, - уменьшение в последние годы количества лекционных часов почти вдвое, и сделало необходимым написание этого учебного пособия. Линейная алгебра – логически стройный курс. Алгебра матриц, аппарат, необходимый для изучения методов решения систем линейных уравнений – это неотъемлемая часть курса. Элементы аналитической геометрии, векторной алгебры, необходимые для понимания основных задач линейного программирования, также обязательны, как знание алфавита для чтения книг. А между тем, такие «классические» задачи управления, как задача о выпуске продукции, транспортная задача и сводящиеся к ней, задача о формировании штата фирмы, задача о пропускной способности транспортной сети и другие сетевые задачи, - все это, безусловно, нужно знать начинающему управленцу. Необходимо знать и методы решения этих задач, - универсальный Симплекс-метод, графический метод решения задач линейного программирования и др. Теория двойственности линейного программирования дает интересный метод решения задач и имеет непосредственную экономическую 6 интерпретацию, помогающую принять грамотное управленческое решение. Основные понятия таких наук, как Исследование операций, Оптимальное управление и др., необходимых квалифицированным управленцам, невозможно использовать без понимания и твердого усвоения основ линейной алгебры. Существует много прекрасных учебников по курсу Линейной Алгебры и, прежде всего, это учебник с одноименным названием В.В.Воеводина (1974г. издания и 2008г. переиздания). В 2006 г. появилась всеобъемлющая «Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ»[11]. Но эти и многие другие учебники, предназначенные для студентов, обучающихся по специальности «прикладная математика» не подходят, увы, для студентов-управленцев. Учебник Е.В.Шикина, А.Г.Чхартишвили «Математические методы и модели в управлении»[2] - пример верно найденного подхода к доступному изложению основных математических понятий и методов, учитывающих в целом гуманитарную направленность обучения студентов на факультете государственного управления МГУ. Вышеупомянутый учебник затрагивает широкий круг вопросов. Мы же хотели применить этот подход при изложении только основ Линейной алгебры с тем, чтобы даже неискушенному читателю было понятно все, от начала до конца. Постепенное повышение уровня математической культуры студентов – это цель, но ее не надо форсировать. Проверенный веками принцип: «от простого к сложному» позволит студентам поверить, что и студентыгуманитарии могут понять и полюбить математику. Опыт показывает, что трудолюбие в освоении любого предмета вознаграждается. Математика – не исключение. Настоящее учебное пособие, по сути дела, это – хорошо написанный конспект лекций. Он даст возможность студентам уточнить не до конца понятое на лекциях, повторить пройденный материал и быть готовым к усвоению нового. Таким образом, если преодолеть первоначальное настороженное отношение студентов к математике, постепенно будет повышаться уровень фундаментальной математической подготовки. Появится желание и возможность использовать эти знания в будущей профессиональной деятельности, придет понимание необходимости применения математических методов при решении различных проблем управления. 7 Настоящий курс лекций дает представление об основных методах и задачах линейной алгебры, аналитической геометрии, векторной алгебры и линейного программирования и позволяет изучать дисциплину в соответствии с требованиями Федеральных Государственных Образовательных Стандартов. Стиль изложения в представленном учебном пособии, безусловно, далек от классической «строгости» учебников по линейной алгебре для будущих специалистов-математиков. Здесь опущены многие доказательства известных теорем, введены только необходимые термины и понятия. Хотелось бы поблагодарить студентов различных специальностей факультета Управления и Экономического факультета ИЭУП РГГУ, подробно конспектировавших Лекции по Линейной Алгебре. Хорошие конспекты не только позволили выявить наиболее трудные для понимания темы, но и способствовали поиску наиболее приемлемого уровня и последовательности изложения материала. Особенную благодарность за предоставленные конспекты хотелось бы выразить студентам разных лет: Татьяне Борозновой, Елизавете Константиновой, Ксении Деминовой, Марианне Туниевой, Офеле Савзиевой. 8 ВВЕДЕНИЕ Настоящий курс лекций было бы естественнее назвать «Введение в Линейную алгебру, Аналитическую геометрию, Векторную алгебру, Линейное программирование и т.д.», или «Основные понятия … этих дисциплин». Учитывая уровень математической подготовки студентов и очень ограниченный объем времени, отведенный на математические дисциплины, возможно лишь очень коротко рассказать будущим управленцам о самых необходимых понятиях и методах. Более подробное изложение затронутых тем можно найти во многих других учебниках. Наша задача, - остаться в рамках отведенного учебным планом времени. Это, конечно, возможно только в ущерб математической строгости изложения теории. Увы, почти отсутствуют доказательства теорем, хотя Теорема, как известно, в переводе и означает: «предложение, требующее доказательства». Используются известные и доказанные утверждения, но в данном курсе приводятся только формулировки теорем. И, тем не менее, делается попытка все темы сначала излагать в общем виде, как это и принято в математике. Ведь математика – это наука о наиболее общих свойствах и закономерностях статических и динамических систем. Она и сама – логически стройная система, которую нельзя заменить только набором примеров. Хотя примеры – очень важны, так как дают наглядное представление о новом и непривычном объекте. Мы старались приводить наиболее простые примеры, чтобы громоздкие вычисления не отвлекали от его иллюстративной цели. Учебное пособие «Лекции по Линейной Алгебре» состоит из пяти Разделов и двух Приложений. Раздел I. Методы решения систем линейных уравнений. Алгебра матриц. Это – наиболее распространенная и традиционная часть Линейной алгебры, как правило, необходимая в цикле обучения студентов всех экономических и управленческих специальностей. 9 Хотя в текстах учебных пособий, в основном, не принято ссылаться на другую учебную литературу, мы оставляем в Лекциях ссылки на Примеры из некоторых учебников[1-5], указанных в Списке литературы, которые первоначально использовались в читаемом курсе, а в дальнейшем легко могли бы быть заменены на другие. Первым в этом списке является пресловутая «Задача о фермере»[1], с постановки и решения которой много лет начинаются Практические занятия по Линейной Алгебре. Студенты за эти годы придумали много подобных, но оригинальных, интересных по содержанию задач. Наиболее удачные из них приведены в Приложении 2. Задача о фермере. Вариант 1: Фермер вложил в прошлом году в зерноводство, животноводство и овощеводство всего 10 млн.д.е. и получил 780 тыс.д.е. прибыли. В текущем году он собирается увеличить вложения в зерноводство в 2 раза, в животноводство в 3 раза, а вложения в овощеводство оставить на прошлогоднем уровне. На все это фермер выделяет 22 млн.д.е. Какую прибыль собирается получить фермер в текущем году, если зерноводство приносит 10% прибыли на вложенные средства, животноводство 8% и овощеводство 6%? Вариант 2: Рассмотрим задачу из примера 1 со следующими изменениями: зерноводство приносит 8% прибыли на вложенные средства, животноводство 10% и овощеводство 6%. Вариант 3: Рассмотрим задачу из примера 2 со следующими изменениями: фермер получил 840 тыс.д.е. прибыли. В результате решения этой задачи становится ясно, что многие задачи реальной экономики сводятся к нахождению описывающей ее системы линейных уравнений, а небольшие изменения условий задачи кардинально меняют ее тип, - оказывается, что задача может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь его совсем. Задача управления любым производством, любым процессом начинается, естественно, там, где существует множество решений и критерий выбора. Таким образом, в ходе решения содержательных задач у студентов появляется мотивация научиться решать системы линейных уравнений. Сначала – методом Гаусса. А затем, для более компактной записи систем линейных уравнений вводятся такие объекты, как матрицы. Изучаются операции над матрицами, их свойства, определители матриц. Довольно естественно логика 10 изучения матриц приводит к еще двум методам решения систем линейных уравнений с невырожденной матрицей, - методу Обратной матрицы и методу Крамера. Далее, от частного случая существования единственного решения системы линейных уравнений, приходим к методам решения неоднородных систем линейных уравнений общего вида, исследованию однородных систем линейных уравнений. На этом заканчивается Раздел I. Раздел II. Элементы Аналитической геометрии и Векторной алгебры. В этом разделе на базе метода координат изучаются такие известные геометрические объекты, как отрезки прямой, треугольники, параллелограммы, параллелепипеды и их свойства; рассматриваются различные виды уравнений прямой, кривой, уравнения плоскости, поверхности и т.д. Используются наглядные, геометрические представления таких объектов, как векторы, вводится понятие линейного пространства. Свойства векторов легче воспринимаются студентами после изучения Раздела I, так как векторы являются частным случаем матриц, хотя исторически понятия 2-мерных и 3-мерных векторов были введены в математике раньше понятия матриц. Далее на базе 2мерных и 3-мерных линейных пространств рассматриваются более абстрактные n-мерные линейные пространства. Что не является усложнением ради усложнения, - в реальных моделях редко удается ограничиваться векторами только с 2-мя или с 3-мя компонентами. На знания, полученные студентами при изучении элементов Аналитической геометрии и Векторной алгебры, опираются такие курсы, как «Математические модели в управлении», «Экономикоматематические методы», «Методы оптимальный решений», «Исследование операций». Раздел III. Комплексные числа и многочлены. Понятие комплексного числа вводится, во-первых, для поднятия уровня общей математической культуры, во-вторых, чтобы можно было сформулировать так называемую Основную теорема алгебры. Знание последней необходимо при изучении материала следующего раздела. 11 Раздел IV. Линейные операторы. Квадратичные формы. В этом разделе изучаются матрицы линейного преобразования и условия существования у них таких особенных векторов, называемых собственными векторами. После изучения теоретических основ задачи на нахождение собственных векторов, в качестве примеров рассматриваются известные экономико-математические задачи: 1) Задача о равновесии цен в простой модели обмена; 2) Модель международной торговли. Изучаются Квадратичные формы, функции специального вида, часто используемые в экономических исследованиях. Освоение элементов линейной алгебры, аналитической геометрии, векторной алгебры необходимы для понимания основных задач линейного программирования. Раздел V. Линейное программирование. Рассматриваются «классические» задачи линейного программирования, такие, как задача о смесях, задача о выпуске продукции; транспортная задача и сводящиеся к ней, - задача о формировании штата фирмы, задача о назначениях; задачи динамического программирования, - необходимые студентам управленческих специальностей. Рассматриваются и некоторые специальные методы решения задач линейного программирования, - универсальный Симплексметод, графический метод и др. Теория двойственности задач линейного программирования кроме красоты имеет и непосредственный экономический смысл, способный удержать от принятия неграмотных управленческих решений. В Приложении 1 размещены Тесты, которые в течение многих лет использовались для контроля усвоения студентами лекционного материала. Здесь они так же могут быть использованы для самоконтроля понимания теоретических основ курса. Кроме этого в Приложении 1 представлен перечень примерных вариантов Контрольных работ по данному курсу. Контрольные работы всегда используются для закрепления практических навыков решения задач. 12 Все типы задач Контрольных работ разобраны в соответствующих разделах курса Лекций в качестве примеров. В Приложении 2 представлены оригинальные текстовые задачи, составленные в разные годы студентами различных специальностей факультета Управления и Экономического факультета ИЭУП РГГУ, иллюстрирующие лекционный материал курса, изучаемые методы. Методический материал, касающийся способов закрепления теоретических знаний лекционного курса и получения навыка практического использования изучаемых математических методов, более подробно изложен в Учебно-методических комплексах (УМК) «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» [6-9]. В завершение, можно сказать, что настоящий курс лекций дает представление об основных методах и задачах линейной алгебры, аналитической геометрии, векторной алгебры и линейного программирования. На этой основе при необходимости и желании можно понять и использовать в дальнейшем многие экономикоматематические модели; основные выводы таких разделов Исследования операций, как Теория игр, Нелинейное программирование, Теория принятия решений и др., необходимые в практической деятельности каждому квалифицированному управленцу. 13 Раздел I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ. АЛГЕБРА МАТРИЦ. СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ЛЕКЦИЯ 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА. Системы линейных уравнений. Свойства систем уравнений: совместность, несовместность, определенность, неопределенность. Геометрический смысл трех типов систем линейных уравнений. Эквивалентность систем, элементарные преобразования, сохраняющие эквивалентность систем. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Прежде чем изучать Системы Линейных Уравнений, вспомним, что такое Линейное Уравнение. Рассмотрим стандартное уравнение вида: (1) a1x1  a2 x2  a3x3  ...  an xn  b , где все коэффициенты a1, a2 , ..., an при переменных x1, x2 , ..., xn , а также свободный член b - заданные числа. Уравнение называется линейным, так как его переменные x1, x2 , ..., xn входят в выражение (1) не более, чем в первой степени. Определение 1. Совокупность чисел 1, 2 , ... , n  называется решением уравнения (1), если в результате замены переменных ( x1, x2 , ..., xn ) на эти числа, уравнение превращается в тождество. Совершенно аналогично введем понятие Системы Линейных Уравнений. Стандартная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn имеет вид: a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  2n n  b2 (2)  21 1 22 2 , ...  am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm где все коэффициенты при переменных aij , i  1, 2, ... , m , j  1, 2, ... , n и все свободные члены bi , i  1, 2, ... , m - заданные числа. Система уравнений называется линейной, так как ее переменные x1, x2 , ..., xn входят в выражение (2) не более, чем в первой степени. Индекс i элемента aij указывает на номер уравнения, в котором находится 14 данный коэффициент, а индекс j элемента aij указывает, при какой переменной находится данный коэффициент. Тот факт, что переменных в нашей системе именно n , означает, что при каждой переменной присутствует хотя бы один ненулевой коэффициент (иначе имело бы смысл считать, что переменных меньше, чем n ). Тот факт, что в нашей системе именно m уравнений, означает, что исходная система не содержит уравнений вида 0 x1  0 x2  ...  0 xn  0 (такие уравнения из исходной системы имеет смысл исключить и тогда в системе будет менее m уравнений). Математически это можно записать следующим образом: j i aij  0 и i j aij  0 , где  - так называемый Квантор общности (читается: для любого),  - Квантор существования (читается: существует). Запись j i aij  0 - дословно означает, что для любого j существует i , для которого aij  0 , а по смыслу это соответствует тому, что в любом столбце найдется такая строка, где коэффициент при соответствующей j -й переменной не равен нулю. Аналогично, запись i j aij  0 - дословно означает, что для любого i существует j , для которого aij  0 , а по смыслу это соответствует тому, что в любой строке найдется такой столбец, где коэффициент при соответствующей j -й переменной не равен нулю. Определение 2. Совокупность чисел 1, 2 ...n  называется решением системы (2), если в результате замены переменных x1, x2 ...xn  на числа, все уравнения системы превращаются в тождества. Системы Линейных Уравнений отличаются друг от друга прежде всего тем, что одни системы имеют решение, другие – нет. Системы, имеющие решения, так же могут отличаться по типу решения. Введем необходимые определения. Определение 3. Система уравнений называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, иначе она называется несовместной. 15 Определение 4. Совместная система, имеющая ровно одно решение, называется определенной. Если же она имеет более одного решения, то в этом случае она называется неопределенной. Рассмотрим примеры систем и уясним геометрический смысл определенных выше трех типов систем линейных уравнений, когда m  2 и n  2. Пример 1. Рис. 1.1 Пусть дана x  3 системы:  1  x2  3 система уравнений (см. рис. 1.1).  x1  x 2  6   x1  x 2  0 , - решение Из школьной программы хорошо известно уравнение y  kx  b . Можно считать, что нашей системе соответствует два уравнения прямых: 1) x2   x1  6 и 2) x2  x1 . Поскольку точка должна принадлежать обеим прямым, решением системы в данном случае будет точка пересечения прямых. Система имеет одно решение, то есть она – определенная. Пример 2. Рис. 1.2 16 x  x  6 Пусть дана система уравнений  1 2 .  x1  x 2  4 В данном случае нашей системе так же соответствует два уравнения прямых: 1) x2   x1  6 и 2) x2   x1  4 (см. рис.1.2). Прямые параллельны, точек пересечения нет, таким образом, решения нет, система несовместная. Пример 3. x  x  1 Пусть дана система уравнений  1 2 5 x1  5 x 2  5 . Рис. 1.3 В этом случае нашей системе так же так же соответствуют два 5 5 5 уравнения прямых. 1) первое - x2   x1  1 2) и, так как x1  x2  , 5 5 5 то второе уравнение это - x2   x1  1 (см. рис.1.3). Прямые сливаются и это означает, что «точек пересечения» (решений) – бесконечно много, поэтому система неопределенная. В таких случаях, когда у нас реально есть всего одно уравнение, связывающее две переменных, одна переменная принимает любое конкретное значение  , а другая выражается через этот параметр  . Тогда, общее решение неопределенной системы из данного примера x   будет иметь вид:  1  x 2    1 . 17 Определение 5. Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений. Приведем примеры эквивалентных между собой систем: 2 x  3x 2  1 x  1 1)  1 ,  1 3x1  2 x 2  1  x2  1  x  x  2  x1  1 3)  1 2 .   x1  x2  0  x2  1  x  2 x2  3 x  1 2)  1  1 2 x1  x 2  1  x2  1 Заметим, что системы внешне отличаются друг от друга достаточно сильно, но решение имеют одно и то же. При этом решение третьей системы - довольно очевидно. Хотелось бы уметь преобразовывать любую исходную систему в эквивалентную систему, более удобную для быстрого нахождения решения. Рассмотрим 4 типа эквивалентных преобразований систем линейных уравнений, не меняющих множество решений системы. 1) Можно изменять порядок уравнений в системе. 2) Уравнение вида: 0 x1  0 x2  ...  0 xn  0 , то есть уравнение с нулевыми коэффициентами и нулевой правой частью, можно вычеркнуть из системы. 3) Любое уравнение системы можно умножить на любое конкретное число k = const. То есть из исходного уравнения: ai1x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi получим уравнение: kai1x1  kai 2 x2  ...  kain xn  kbi . 4) Можно составить сумму любых двух уравнений системы. Например, сумма двух первых уравнений системы (2) будет иметь вид: (a11  a21 ) x1  (a12  a22 ) x2  ...  (a1n  a2n ) xn  b1  b2 Очевидно, что любое из четырех перечисленных эквивалентных преобразований не изменит решения системы, если оно существует. Несовместная же система после любого из этих преобразований так и останется несовместной. На применении четырех вышеперечисленных эквивалентных преобразований и их сочетаний основан широко известный метод нахождения решения систем линейных уравнений, а именно – Метод Гаусса, или метод исключения неизвестных. 18 МЕТОД ГАУССА (метод исключения неизвестных). Суть этого метода заключается в том, что исходная система приводится к эквивалентной системе, удобной для нахождения решения. Рассмотрим Алгоритм Гаусса на конкретном примере. Пример 4. Пусть дана система уравнений  x1  2 x2  3x3  2  2 x1  x2  x3  3 . Смысл метода заключается в том, чтобы привести  x  x  x  0  1 2 3 систему к так называемому треугольному виду. Для этого на первом шаге умножим первое уравнение на число -2 и сложим его со вторым, записав результат вместо второго уравнения. Это позволит обратить в ноль коэффициент при x1 во втором уравнении. Также сложим первое и третье уравнение и запишем результат вместо третьего уравнения, что превратит в ноль коэффициент при x1 в третьем уравнении. Символически это можно записать виде:  x1  2 x2  3x3  2 ( 2) (1)  Стрелки показывают, какие два уравнения 2 x1  x2  x3  3  x  x  x  0  1 2 3 мы складываем, а числа в скобках около уравнения соответствуют числам, на которые мы умножаем все коэффициенты соответствующего уравнения. Таким образом получаем после первого шага следующую систему  x1  2 x2  3x3  2  5 x2  7 x3  7 . На втором шаге алгоритма необходимо превратить    x2  2 x3  2  в ноль коэффициент при x2 в третьем уравнении. Для этого умножим третье уравнение на 5 и сложим его со вторым, записав результат на место третьего уравнения. Это символически записывается в виде:  x1  2 x2  3x3  2  5 x2  7 x3  7    x2  2 x3  2 (5)  следующую систему: Таким образом, получаем после двух шагов 19  x1  2 x2  3x3  2  5 x 2  7 x3  7 .   3x3  3  Теперь начинаем так называемый «обратный ход», или подстановку. Сначала легко находится решение 3-го уравнения, затем значение x3 подставляется во 2-е уравнение и находится решение 2-го уравнения. На последнем этапе значения x2 и x3 подставляются в 1-е уравнение и находится x1 . Итак, исходная система, - совместная, определенная.  x1  1  Имеет решение:  x2  0 .  x  1  3 Алгоритм Гаусса в общем виде: Пусть есть система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (2). I. Поскольку в 1-м столбце по определению системы линейных уравнений существует хотя бы один ненулевой элемент: ai1  0 , - без ограничения общности, будем считать, что a11  0 (если это не так, можно поменять местами уравнения). Тогда можно поделить все члены 1-го уравнения на коэффициент a11 . Для того, чтобы на I-м этапе алгоритма исключить во всех уравнениях, начиная со второго переменную x1 , нужно 1-е (так называемое. базовое) уравнение поделить на a11 , умножить на  ai1 и сложить с исходным i -м уравнением.    a21   ... a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1   a11   a21 x1  a22 x2  ...  a2n xn  b2 ...  am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm   am1     a11  Таким образом получаем нулевые коэффициенты при x1 и получаем новую систему, эквивалентную исходной: a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  ' ' '  0 x1  a 22 x2  ...  a 2n xn  b 2   ...  ' ' '  0 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  bm 20 Первое уравнение оставляем без изменения и далее работаем с новой ' x  ...  a ' x  b ' . «подсистемой», новым базовым уравнением a22 2 2n n 2 II.а) Если хотя бы один из коэффициентов 2-го столбца не равен '  0 (если это не так, нулю:  ai' 2  0 , i  2, ..., m , будем считать, что a22 можно поменять местами уравнения), тогда на этом этапе, как и в п. I, надо исключить во всех уравнениях, начиная с третьего переменную x2 . a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1   ' x  ...  a ' x  b ' a 22 2 2n n  2   ...   ' ' x  b'  a m 2 x2  ...  a mn n m   a'  32  ' a  22    ...    a'  m2  ' a  22     Получим новую систему, эквивалентную исходной: a11 x1  a12 x2  a13 x3  . ..  a1n xn  b1  ' x  a ' x  ...  a ' x  b ' a 22 23 3  2 2n n 2  ' ' ' ' ' 0  x2  a33 x3  ...  a3n xn  b3'   ...  ' ' x  ...  a ' ' x  b ' '  0  x2  a m 3 3 mn n m  . Первое и второе уравнения оставляем без изменения и далее работаем с новой «подсистемой» и ' ' x  ...  a ' ' x  b' ' . новым базовым уравнением a33 3 3n n 3 Переходим к п. III.а) и исследуем, существуют ли хотя бы один не равный нулю коэффициент в столбце, соответствующем переменной x3 . II.в) Если все коэффициенты 2-го столбца равны нулю: ai' 2  0 ,  i  2, ..., m , то это означает, что исключены сразу две переменные во всех уравнениях, начиная со второго: x1 и x2 . В результате мы получаем новую систему, эквивалентную исходной: 21 a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1  ' ' '  0 x1  0  x2  a 23 x3  ...  a 2n xn  b 2 . Первое уравнение оставляем   ...  ' ' '  0 x1  0  x2  a m3 x3  ...  a mn xn  bm без изменения и далее работаем с новой «подсистемой» и новым базовым уравнением a ' 23 x3  ...  a2' n xn  b'2 . Переходим к п. III.а) и исследуем, существуют ли хотя бы один не равный нулю коэффициент в столбце, соответствующем переменной x3 . III.а) Пусть переменная с самым маленьким номером нового базового уравнения есть x j . Если j  n и все коэффициенты j - го столбца равны нулю, переходим к п. III.в) Если j  n и хотя бы один из коэффициентов j - го столбца не равен нулю, то будем считать, что не равен нулю коэффициент в уравнении с самым маленьким номером в рассматриваемой подсистеме (если это не так, можно поменять местами уравнения). Тогда x j легко найти из этого уравнения. Процесс приведения системы для n неизвестных к треугольному (ступенчатому) виду закончен. Он осуществлен не более, чем за n  1 шаг. Теперь начинаем «обратный ход», или подстановку. Находим x j из последнего уравнения и подставляем его в предыдущее уравнение, находим x j 1 . В следующее уравнение подставляем x j 1 и x j . Находим x j  2 и так далее, пока не найдем x1 . Чтобы проверить систему на совместность, надо пытаться исключить во всех уравнениях, начиная со следующего после уравнения с самым маленьким номером, переменную x j . Затем переходим к п. III.в). Если j  n , исследуем, существует ли хотя бы один не равный нулю коэффициент в j - м столбце. Если все коэффициенты j - го столбца равны нулю, переходим к п. III.в). Если хотя бы один из коэффициентов j - го столбца не равен нулю, то будем считать, что не равен нулю коэффициент в уравнении с самым маленьким номером в рассматриваемой подсистеме (если это не так, можно поменять местами уравнения). Далее, на следующем этапе, по аналогии с п. II.а) и I надо пытаться исключить во всех уравнениях, начиная со следующего после «базового», переменную x j . Получаем новую систему, эквивалентную исходной. Далее 22 переходим к п. III.а) и работаем с новой «подсистемой» и новым базовым уравнением. III.в). Если все коэффициенты j - го столбца равны нулю и j  n , это означает, что переменная x j исключена сразу из всех уравнений. Новое базовое уравнение получается путем отбрасывания члена 0  x j . Переходим к п. III.а). Если j  n и существует уравнение вида 0  x j  bi , где свободный член не равен нулю, то система – несовместная. Если j  n и в любом уравнение вида 0  x j  bi свободный член равен нулю, то система – совместная, неопределенная. В общем случае описание Алгоритма Гаусса выглядит очень сложно, поэтому приводим простые примеры. Заметим, что в Примере 4 процесс приведения к треугольному (ступенчатому) виду системы с n  3 неизвестными состоит из 2-х этапов Алгоритма Гаусса (п. I, п. II.а). Затем осуществляется «обратный ход», или подстановка (п. III.а). Находится решение определенной системы. Пример 5. Дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (2). Исключаем во всех уравнениях, начиная со второго, переменную x1 и получаем новую систему, эквивалентную исходной: a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  ' ' '  0 x1  a 22 x2  ...  a 2n xn  b 2   ...  ' ' '  0 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  bm Если далее выяснится, что не существует ни одного не равного нулю коэффициента в столбцах, соответствующих переменным x2 , x3 , '  0 , то решение неопределенной … xn и при этом b'2  0 , …, bm a a системы будет иметь вид: x1  b1  12 x2    1n xn . a a 11 11 Пример 6. Для следующей системы формальное применение метода Гаусса приводит к схеме: 23  2  4  3x1  6 x2  x3  1   3   3   а)  2 x1  4 x2  x3  1  4 x  8 x  2 x  2  1 2 3 так как:  a 21 2  , a11 3  a31 4  . a11 3 Но мы можем до применения собственно метода Гаусса привести систему к более удобному виду, а именно отнять от членов I уравнения соответствующие члены II уравнения, чтобы избавиться от дробных коэффициентов на первом шаге алгоритма. Найдем решение полученной системы в п.б)  x1  2 x2  2 x3  2  2   б)  2 x1  4 x2  x3  1  4 x  8 x  2 x  2  1 2 3  4 =>  x1  2 x2  2 x3  2  0 x1  0 x2  5 x3  5 => 0 x  0 x  10 x  10  1 2 3  x1  2 x2  2 x3  2  5 x3  5    x3  1 10 x3  10  x1  2  2 x2  2 x3  2  2 x2  2  2 x2 x1  2x2 – система совместная, неопределенная. Если переменная  x1  2  x2   , то для системы получим Общее решение:  x 2   . При любом  x  1  3 конкретном значении  , получаем  x1  2  x1  4   Частные решения: 1)  x2  1 2)  x2  2 и т.д. Базисное решение  x  1  x  1  3  3  x1  0  (   0 ):  x2  0  x  1  3 В Примере 6 процесс приведения к треугольному (ступенчатому) виду системы с n  3 неизвестными несколько отличается от Примера 4 и состоит фактически из 1-го этапа Алгоритма Гаусса ( п. I). После проверки в п. II.в) и п. III.а), находится Общее решение неопределенной системы. Подробнее вопросы нахождения Общего решения совместной, неопределенной системы будут рассмотрены в Лекции 8. 24 ЛЕКЦИЯ 2. МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. Матрицы. Определение, примеры. Операции над матрицами, особенности алгебры матриц. Определение 1. Матрицей A размера m x n называется набор m  n чисел aij ( i  1, 2, ... , m ; j  1, 2, ... , n ) – элементов матрицы, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов:  a11 a12  a 22 a A   21 ... ...  a a m2  m1 ... a1n   ... a 2n  . ... ...   ... a mn  Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами : A, B, C и т.д. Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij , где i – номер строки и j -номер столбца. Обозначают матрицу A размера m x n по-разному:   A  aij nm ;   A  aij nm ; A  aij nm ;   A  aij nm ; A(m x n) ; Am x n ,   A . Мы будем использовать обозначение: A  aij nm . mxn Матрицу A размера n x n – то есть матрицу, у которой число строк равно числу столбцов, называют квадратной, порядка n и обозначают A  aij  . В дальнейшем мы введем операции над этими n новыми объектами, матрицами, и определим их свойства. Можно сказать, что матрица A(i, j )  aij  nm является табличным представлением функции A : ( N1  N 2 )  M , где N1  (1, 2, ... , m) , множество номеров строк; N 2  (1, 2, ... , n) , - множество номеров столбцов; M : Z , R, C , - множество M может быть множеством целых, действительных, комплексных чисел. Значение функции A(i, j )  aij . Надо заметить, что Определение 1. является не очень строгим. Лучше сказать, что матрицей является математический объект; на множестве матриц введены некоторые операции, обладающие определенными свойствами. Операции над матрицами и их свойства будут рассмотрены несколько позднее. 25 Пример 1. a) матрица  71    A  aij 13  235      14    имеет 3 строки и 1 столбец, ее элементы – целые числа; 1 2    0.7   имеет 2 строки и 4 столбца, 1 , 5 22 127   b) матрица B  bij  42   ее элементы принадлежат множеству вещественных чисел; c) 1  i    элементы матрицы C  cij 13 1  i  - комплексные числа, которые мы  2    будем изучать в дальнейшем. Определение 2. Матрица A, состоящая из одной строки, то есть, матрица A размера 1 x n называется вектором-строкой : A  a11 a12 ... a1n  или a  a1, a2 , ... , an  Определение 3. Матрица A, состоящая из одного столбца, то есть, матрица A размера m x 1 называется вектором-столбцом :  a1   a11      a  a  A   21  или a   2  ... ...    a1     an  Квадратная матрица называется диагональной, если : aij  0 , если i  j и aij  0 , i  j Пример 2. 0  1 0   0  0 2 0  , здесь n  4 . 0 0 3 0    0 4  0 0 Диагональную матрицу обычно обозначают  . Если 1  2  ...  n , диагональная матрица называется скалярной. Если в диагональной матрице 1  2  ...  n  1, то матрица называется единичной матрицей порядка n и обозначается E (иногда встречается обозначение I). 26 Таким образом, для единичной матрицы выполняется : aij  1 , при i j и aij  0 , i  j Введем также нулевую матрицу, обозначаемую O , - для нее выполняется : aij  0 ,  i, j  0 0 O    , - пример нулевой квадратной матрицы второго порядка.  0 0 Для квадратной матрицы A порядка n главную диагональ составляют элементы : a11 , a22 , … , ann , побочную диагональ – элементы: an1 , an 1 2 , … , a1n . Заметим, что для элементов побочной диагонали сумма индексов всегда равна n+1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. Определение 4. Две матрицы, имеющие одинаковые размеры, A  aij  nm и B  bij  nm называются равными, если i, j , все соответствующие элементы aij  bij , i 1, 2, ... , m , равны, то есть, выполняются равенства: j 1, 2, ... , n Пример 3. Матрицы  1 0 A     0 1    и B   cos0 ctg 2  равны. Обозначение:    sin   cos  A=B Определение 5. Суммой матриц одинакового размера   A  aij nm и   B  bij nm называется такая матрица C  cij  nm , элементы которой cij равны сумме соответствующих элементов: cij  aij  bij , i  1, 2, ... , m , j 1, 2, ... , n (матрицы складываются поэлементно). Обозначение: C=A+B Пример 4. 27 1 2 3 4 8 7 6 5 A    , B    8 7 6 5 1 2 3 4 9 9 9 9 C  A  B    . 9 9 9 9 Пусть матрица А показывает объем выпуска 4-х видов продукции на двух заводах в I квартале, матрица В – во II квартале. Тогда матрица С – это объем выпуска 4-х видов продукции на двух заводах в I полугодии. Определение 6.   A  aij nm Разностью матриц одинакового размера и B  bij  nm называется такая матрица C  cij  nm , элементы которой cij равны разности соответствующих элементов: cij  aij  bij , i  1, 2, ... , m , j 1, 2, ... , n (матрицы вычитаются поэлементно). Обозначение: C=A-B Пример 5. 1 2 3 4 A    , 8 7 6 5 8 7 6 5  B   1 2 3 4 5 3 1  7 C  B  A   . А и В –  7  5  3  1  матрицы из Примера 4, тогда матрица С – это изменение объема выпуска 4-х видов продукции на двух заводах во II квартале, по отношению к соответствующему объему выпуска продукции в I квартале. Определение 7. Произведением матрицы A  aij  nm , на число    C  cij nm , матрица Обозначение: где C =  A Пример 6. а) 1 2 3 4 A    , 8 7 6 5 cij  aij  C    A    8 , называется такая i  1, 2, ... , m , 2 3 7 6 j 1, 2, ... , n . 4   Пусть матрица А 5  показывает объем выпуска 4-х видов продукции на двух заводах в I квартале в стоимостном выражении (в руб.). Тогда матрица С 28 показывает соответствующие объемы в долларах, где   - курс рубля к доллару. в)  24  ~  48 ~ ~ ~ ~  24  A     2     2  C , то есть A  2  C , где C    . Очевидно,  82   41  41 что можно выносить за знак матрицы общий для всех ее элементов множитель. Определение 8. Умножение матриц A и B определено только тогда, когда количество столбцов матрицы A совпадает с количеством строк матрицы B. Произведением матрицы A  aij  km на матрицу B  bij  nk называется такая матрица   C  A  B  cij nm , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B: Более сij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...aik bkj , i 1, 2, ... , m , j 1, 2, ... , n компактная запись – через знак суммирования  : сij  s 1, 2, ... , k - индекс суммирования. k  aisbsj , где s 1 Замечание 1. В общем случае произведение не определено. B A B A существует, только при m = n . Замечание 2. В частном случае, когда A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка, всегда определены оба произведения:  A  B и  B A . Пример 7. Рассмотрим самый простой частный случай умножения матриц: Пусть есть вектор-строка A  aij 13 1 2 3 и вектор–столбец  4   B  bij 13  5  . Умножение матриц C  A  B в данном случае  6   определено, - матрица C будет иметь размеры 1 х 1 и состоять из   одного элемента: C  cij 1  c11 , где 1 29 с11  a1  b1  a2  b2  a3  b3  3  ai  bi  1 4  2  5  3  6  32 s 1 В более общем случае, если даны вектор-строка A  a1 a2 ... an  и вектор–столбец матрица C  b1    b  B   2  , их произведение C  A  B определено и ...    bn  будет иметь размеры 1 х 1 и состоять из одного элемента:   C  cij 1  c11 , где c11  1 n  ai  bi  a1  b1  a2  b2  ...  an  bn s 1 Следовательно, можно сформулировать Определение 8 несколько иначе: Произведением матрицы A  aij  km на матрицу такая матрица   C  cij nm ,   B  bij nk называется каждый элемент которой cij равен произведению i – й строки матрицы A ai  ai1 ai 2 ... aik  на j -й столбец матрицы B сij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...aik bkj s 1, 2, ... , k , или более для всех i 1, 2, ... , m , j 1, 2, ... , n . кратко  b1 j     b2 j  bj   ...     bk j1    cij  k  aisbsj , s 1 Пример 8.  1  1 3   B   1 2 0 , A B  C    2 0 1   1  ( 1)  2  2  3  0 1 3  2  0  3 1   11  2 1  3  2 A  B      4  1  0  1  ( 1)  2 4  ( 1)  0  2  ( 1)  0 4  3  0  0  ( 1)  1 1 2 3 A     4 0  1 : 30 9 3 6      2  4 11 Заметим, что произведение B A здесь не определено, то есть не существует. Приведем простейший произведения матриц. содержательный пример использования Пример 9. Пусть задана матрица A производства на данном предприятии 4-х 1  3 видов продукции A  8 7 6 5, также дана матрица B   4  2 3 1 2 1 2  2 , 3  1  где bij – цена реализации i-го вида продукции в j-м регионе. В каком регионе предприятию выгоднее реализовывать свою продукцию? Как ответить на вопрос, используя введенную операцию умножения матриц? A  B  C  cij 13 . Очевидно, что c1 j - стоимость реализации всей C  c11 c12 c13   продукции в j-м регионе.  8  1  7  3  6  4  5  2 8  3  7  1  6  2  5  1 8  2  7  2  6  3  5  1   63 48 53. Так как c11  63 – максимальный элемент матрицы, - предприятию экономически имеет смысл реализовывать свою продукцию в I регионе. 31 ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ОСОБЕННОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД МАТРИЦАМИ. Транспонирование матриц. Особенности умножения матриц. Основные свойства операций над матрицами. Матричный полином. Матричный вид системы линейных уравнений. Введем операцию транспонирования матриц : Определение 1. Если задана матрица A размера m x n:  a11 a12  a22 a А   21 ... ...   am1 am2 ... a1n   ... a2n  ,то транспонированой ... ...   ... amn   a11 a 21  a a называть матрицу: АT  B   12 22 ... ...  a a 2n  1n будем a13 a23 ... am 3 матрицей АT a31 a32 ... a3n ... a m1   ... a m 2  , ... ...   ... a mn  очевидно, что матрица B будет иметь размеры n x m. Таким образом, операция транспонирования означает, что мы получим матрицу B  АT , bij   aji , i 1, 2, ... , m, матрицы A  aij  nm   B  bij m n , где j 1, 2, ... , n Очевидно, что транспонирование действительного числа не меняет его: T   ,  R Пример 1. 1 2  4 , 5 6    A  aij 32   3     1 3 5 AT  B  bij 32     2 4 6 ОСОБЕННОСТИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ: 1) В общем случае умножение матриц некоммутативно. Заметим, что для чисел умножение коммутативно, то есть, для двух произвольных чисел a , b всегда выполняется: ab  ba . 32 А) Если произведение матриц C  AB существует, из этого не всегда следует, что существует произведение матриц BA. См. Пример 8 Лекции 2. В) Даже если одновременно существуют A B и B  A , в общем случае A  B  B  A . Так для матриц из Примера 7 Лекции 2, BA существует, но AB и BA имеют разные  4 4  6    6 12 18    8 12      размеры: D  d ij 33  BA   5  1 2 3   5 10 15  ,   - очевидно, что A  B  B  A . 2) Произведение двух произвольных квадратных матриц одного и того же порядка n A  aij  и B  bij  всегда существует: n n A  B , B  A . В общем случае A  B  B  A . Пример 2.  1 3  5 7 А    B    2 4    6 0  1  5  3  6 1  7  3  0   23 7  C  A  B        2  5  4  6 2  7  4  0   34 14   5  1  7  2 5  3  7  4  19 43 D  B  A       , - AB  BA.  6  1  0  2 6  3  0  4   6 18  3) Если умножить произвольную квадратную матрицу A  aij  n на единичную матрицу того же порядка n или единичную матрицу порядка n умножить на квадратную матрицу A  aij  получим саму n эту матрицу: A  E  E  A  A , то есть, в частном случае, умножение матриц на соответствующую единичную матрицу коммутативно. 0  1 0   4)Если даны две диагональные матрицы: 1   0 2 0  , 0 0   3  0 0   4 0  1  4      2   0 5 0  2  5 0  , то  1   2   2  1    0  0 0 6  3  6    есть, в частном случае, умножение диагональных матриц коммутативно. 33 5) Произведение двух ненулевых матриц A и B может давать в результате нулевую матрицу. Известно, что для двух произвольных чисел a , b , если a  b  0  a  0  b  0 . Для операции умножения матриц этого утверждать нельзя. То есть, если существует произведение двух матриц A B и A  B  0 , то из этого не следует, что A  0  B  0 . Пример 3.  a 0  0 0  5 5  5  a  0  0  b a  0  0  0  0 0 а) A    B    A  B        0 0  b 0  0  0  0  b 0  0  0  0   0 0 5   5  5  5  ( 5) 5  5  5  ( 5)  б) A    A  B     0  B     5  5  5  5  5  ( 5) 5  5  5  ( 5)   5 5 В обоих примерах A  0 , B  0 при этом A  B  0 Свойства операций над матрицами. Пусть A, B, C, E, O – матрицы, размеры которых позволяют выполнять соответствующие действия; ,  - числа. Сложение матриц 1. A + B = B + A (коммутативность сложения) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность сложения) 3.  матрицы A существует  такая матрица (-A), что A + (-A) = O, (матрица -A - называется противоположной к A ). 4. A + O = A 5. ( AT )T = A 6. (A  B)T  AT  BT Умножение матрицы на число 7.  (A + B) = A + B (дистрибутивность относительно сложения матриц). 8. ( + )A = A + A (дистрибутивность относительно сложения чисел) 9. ( A) =  ( A) (ассоциативность) 34 10. 0 * A = O A*0= O T T 11. ( A)   A 12. A - B = A + (-1) B 1* A = A (-1)* A = - A Умножение матрицы на матрицу 13. A * O = O O*A = O 14. A * (B * C) = (A * B ) * C (ассоциативность умножения) 15.  (A * B) = ( A )* B (ассоциативность относительно умножения на число) 16. A*(B + C) = A*B + A*C (дистрибутивность относительно сложения матриц). (A + B)*C = A*C + B*C 17.  матрицы A существует  такая матрица Е, что A * Е = A  матрицы A существует  такая матрица Е, что Е * A = A 18. (A * B) T  BT AT Операция возведения квадратной матрицы A  aij  n в m - ю степень: Am - не отличается от возведения числа в степень. A2  A  A , …. , Am   A  A  ...  A ; A2  A3  A2  3  A5 ; A3 2  A2 x 3  A6    m ; A0  E , где E , - единичная матрица соответствующего порядка. Введем понятие матричного полинома. Как известно, алгебраический многочлен (полином) степени n , есть целая рациональная функция вида: Pn ( x )  a0 x n  a1x n 1  a2 x n  2  ...  an 1x1  an x 0 , a0  0 Матричный полином степени n вводится аналогично. Pn ( A)  a0 An  a1 An 1  a2 An 2  ...  an 1 A1  an A0 , a0  0 Рассмотрим полином второго порядка, более известный, как квадратный трехчлен: n  2 P2 ( x )  ax 2  bx  c . Если дана квадратная матрица A , матричный полином второго порядка будет иметь вид: P( A)  aA2  bA  cE , где E , - единичная матрица соответствующего порядка. Пример 4. 35 Пусть надо вычислить P( A)  2 A2  3 A  4 E ,  3 1  .  4 2 где A    3 1   3 1   3  3  1  4 3  1  1  2   13 5 A2  A  A              4 2   4 2   4  3  2  4 4  1  2  2   20 8   13 5  3 1  1 0   26 10   9 3   4 0   21 7  P A  2    3    4                20 8   4 2  0 1   40 16  12 6   0 4   28 14  Введя понятие матричного полинома, можно говорить и о матричных уравнениях. Интересно, что матричный аналог уравнения x 2  1  0 , - X 2  E  0  1 0   0  1  и, соответственно ,  , X  X   0  0  1 имеет решение. Для X   1   1 0   1 0  0 0         ,  0  1  0 1   0 0  При том, что уравнение x 2  1  0 не имеет решения среди 2 действительных чисел: x  1 , таким образом, x    1  i , где i - комплексное число, так называемая мнимая единица. Более подробно речь о комплексных числах пойдет в Лекции 14. Используя введенные выше определения матриц и правила алгебры матриц, запишем Систему Линейных Уравнений в более компактном матричном виде. Как отмечалось в Лекции 1, Стандартная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 , ... , xn имеет вид: a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm В матричном виде система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 ...xn записывается: A  X  B , где 36  x1   b1   a11 a12      a 22 a x  b  X   2  , B   2  , А   21 ... ... ... ...       a m1 a m 2  xn   bm  a13 a 23 ... a m3 ... a1n   ... a 2n  . ... ...   ... a mn  Это следует из правил умножения матриц: A  aij  nm , X  xi  1n ,  a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n     a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2n x n  1 A X  C    , где матрица C  ci  m - вектор...    a m1 x1  a m2 x2  ...  a mn x n  столбец. Так как левая и правая части СЛУ равны, имеем равенство: С  B , или A  X  B . В дальнейшем, при решении СЛУ понадобится понятие расширенной матрицы A р :  a11 a12  a 22 a А р   21 ... ...  a a m2  m1 a13 a 23 ... a m3 ... a1n b1   ... a 2n b2  . ... ... ...   ... a mn bm  37 ЛЕКЦИЯ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ. МИНОРЫ Определители квадратных матриц: определение и основные свойства. Определитель матрицы 1, 2, 3-го порядка. Правило «треугольников» (правило Звезды). Перестановки. Общая формула для вычисления определителей n-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Каждая квадратная матрица A  aij  n как определитель. имеет такую характеристику, Определение 1. Определитель, или Детерминант квадратной матрицы – это число, характеризующее матрицу A  aij  . n a11 a12 a 21 a 22 Обозначают   A  ... ... a n1 a n 2 ... a1n ... a 2n , или A  det(A) . ... ... ... a nn Прежде, чем вводить формулу вычисления определителя произвольной квадратной матрицы A  aij  , введем в общем виде n формулы для вычисления определителей матрицы 1-го, 2-го и 3-го порядков. Определение 2. Определителем матрицы 1-го порядка A  (a11 ) , или определителем 1-го порядка, называется число a11 . 1  A  a11  a11 a a  Определение 3. Определителем матрицы 2-го порядка A   11 12   a 21 a 22  , или определителем 2-го порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: a a12  2  A  11  a11  a22  a21  a12 a21 a22 Пример 1. 1 2 а) A    3 4 2  1 2 3 4  1  4  3  2  2 38 1 2 1  2  1  4  3  ( 2)  10   2  3 4 4  б) A   3 Определение  a11 a12  A   a 21 a 22 a  31 a32 4. Определителем a13   a 23  , или определителем a33  матрицы 3-го порядка 3-го порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: a11 a12 a13  3  A  a 21 a 22 a 23  a31 a32 a33  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32   a13  a22  a31  a12  a21  a33  a11  a23  a32 . Пример 2.  1 2 3   A   3 2 1 0 1 2   1 2 3  3 | A | 3 2 1  1  2  2  2  1  0  3  3  ( 1)  3  2  0  2  3  2  1  1 ( 1)  0 1 2  4  0  9  0  12  1  16 Формула из Определения 4 состоит из 6 слагаемых, каждое слагаемое состоит из произведения 3 сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы легче запомнить эту формулу, используется так называемое правило треугольников, или правило Звезды. На Рис. 4.1 схематически показано, какие произведения в формуле берутся со знаком «+» , а какие - со знаком «-». Легко видеть, что со знаком «+» берется произведение элементов матрицы, стоящих на главной диагонали и произведение элементов, стоящих в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «-» берется произведение элементов матрицы, стоящих на побочной диагонали и произведение элементов, 39 стоящих в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Рис. 4.1 Итак, для n  3 формула вычисления определителя состоит из 3!  3  2 1 6 слагаемых. (*) 3  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32   a13  a22  a31  a12  a21  a33  a11  a23  a32 В общем случае формула для вычисления определителя квадратной n n! матрицы -го порядка имеет слагаемых, где n!  n  (n  1)  (n  2)  ... 2  1 . Для того, чтобы записать формулу вычисления определителя произвольной квадратной матрицы A  aij  , потребуется ввести понятия перестановки, инверсии, n четности перестановки. Определение 5. Набор из n чисел J  1, 2 ,... n , записанных в произвольном порядке называется перестановкой. Пример 3. Набор чисел 1,2,3 при n  3 порождает 3!  6 – число возможных перестановок: 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2, 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2. Определение 6. В перестановке J имеет место инверсия, если большее число предшествует меньшему. Математически это можно 40 записать так:  i ,  j образуют инверсию, если Количество инверсий обозначают r(J ) . i  j (i   j )  0 . Пример 4. 1) 1,2,3 2) 3) 4) 5) 6) 2,3,1  3,1,2  3,2,1  2,1,3  1,3,2   r (J ) =0 (числа в перестановке все время возрастают) (2,1) , (3,1)  r (J ) =2 ,  (3,1) (3,2) r (J ) =2 (3,2) , (3,1) , (2,1)  r (J ) =3  (2,1) r (J ) =1  (3,2) r (J ) =1 Определение 7. Если количество инверсий в перестановке четное, то есть, r(J ) =0,2,4, … -перестановка называется четной. В противном случае - нечетной. Математически это можно записать так: если P   i  j (i   j ) – i j произведение всех множителей в перестановке вида i  j  (i   j ),  i  j , то при P  0 – перестановка четная, при P  0 – перестановка нечетная. Таким образом, P  0 при четном числе инверсий в перестановке. Заметим, что любое слагаемое в (*) можно представить в виде: r  1 ( J )  a1J1  a2 J 2  a3J 3 , где номера столбцов образуют перестановку J  J1, J 2 , J 3, r(J ) – количество инверсий . n  3 , n! 6  3    1r ( J )  a1J1  a2 J 2  a3J 3 , или подробнее: J  3  ( 1)0 a11a22 a33  ( 1)2 a12 a23a31  ( 1)2 a13a21a32  {1,2,3} r  0 {2,3,1} r  2 {3,1,2} r  2  ( 1)3 a13a22 a31  ( 1)1 a12 a21a33  ( 1)1 a11a23a33 {3,2,1} r  3 {2,1,3} r  1 {1,3,2} r  1 . Таким образом, правило Звезды подходит для механического запоминания формулы вычисления определителя 3-го порядка. 41 Правило с использованием величины r(J ) - более универсально, оно позволяет вывести и формулу вычисления определителя n -го порядка. Определение 8. Общий вид определителя n-го порядка. a11 a A    21 ... a n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n ... a 2n    1r ( J )  a1J 1  a 2 J 2  ... a nJ n , ... ... J ... a nn r (J ) –число инверсий. Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме из n! членов (слагаемых), каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется, как  1r ( J ) . Здесь r(J ) – число инверсий в перестановке J из номеров столбцов, при условии, что сомножители в каждом слагаемом расположены так, что номера строк возрастают. Например, для вычисления определителя 4-го порядка, алгоритм действий понятен. Прежде всего, находим все перестановки J  {J1, J 2 , J 3 , J 4 } , номеров столбцов вида имеем n! 24 перестановки. Действительно, на 1-ом месте может стоять любое число, то есть мы имеем 4 варианта. Если мы выбрали какое-то конкретное число, то на 2-ом месте может стоять уже только любое число из оставшихся, то есть мы имеем 3 варианта. И так далее – на 3-ем месте мы имеем 2 варианта, на 4-ом месте мы имеем 1 вариант. Итого возможных перестановок 4  3  2 1 24 и, значит, 24 слагаемых вида a1J1  a2 J 2  a3J 3  a4 J 4 в конечной формуле. Если J  {1,2,3,4} , соответствующее слагаемое имеет вид: a11  a22  a33  a44 , инверсия r  0 . Для любой другой перестановки номеров столбцов J  {J1, J 2 , J 3 , J 4 } находим ее четность 42 и записываем формулу матрицы 4-го порядка: вычисления определителя квадратной  4    1r ( J )  a1J 1  a2 J 2  a3J 3  a4 J 4 , r (J ) –число инверсий. J Как видим, процедура вычисления определителя 4-го порядка довольно трудоемкая. Рассмотрим, как можно это сделать иначе, вычислить определитель 4-го порядка через определители 3-го порядка. А в общем случае вычислить определитель n -го порядка через определители n  1 -го порядка. Для это введем понятие минора. Определение 9. Минором M ij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n  1) -го порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца. Так, минором, соответствующим элементу a21 , будет M 21 , определитель матрицы, состоящей из не вычеркнутых элементов исходной матрицы.  a11 a12  a22 a A   21 ... ...  a a  n1 n 2 ... a1n   ... a2n  – M 21 , M 21  ... ...   ... ann  a12 a32 ... an 2 a13 a33 ... an 3 ... a1n ... a3n ... ... ... ann Пример 5.  a11 a12  A   a21 a22 a  31 a32 a13   a23  a33  a a12 M 23  11 a31 a32 Определение 10. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n-го порядка А называется минор M ij , взятый со знаком 1 i j , то есть: Aij  ( 1)i  j M ij Так, для матрицы из Примера 5, A23   M 23 . 43 Пример 6.  1 2 3   2 3 A   3 2 1  , M 31  , 2 1 0 1 2   A31  ( 1) 31  2 3 A31  M 31 , 2 1 Легко видеть, что Алгебраическое дополнение Aij совпадает с соответствующим Минором M ij , когда сумма индексов (i  j ) – четная и отличается знаком, когда сумма индексов (i  j ) – нечетная. Пример 7. Найдем все Алгебраические дополнения квадратной матрицы 3-го порядка:  1 1 2   A   1 2 1  1 2 3   2 1 1  1 A11  ( 1)   62  4; 2 3 A13  ( 1)1 3  1 2 A22  ( 1) 2  2 1 2 1 2 1  0; 3 A31  ( 1) 31 1 2 A33  ( 1) 3 3 1 1 2 1 1  3  2  5 ;  1  4  3 ; 2 A12  ( 1)1 2  1 1 1 3 A21  ( 1)2 1 A23  ( 1) 2  3 1 2 2 3 1 1 A32  ( 1) 3 2 1 2  ( 3  4)  1 ;  ( 2  1)  3 1 2 1  (3  1)  2 ; 1  ( 1  2)  3 ;  2  1  3 Составим матрицу Алгебраических дополнений квадратной матрицы A :  4 2 0   ~  A   1 5 3 .   3 3  3    n ~ A  Aij данной 44 ЛЕКЦИЯ 5. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ. Теорема Лапласа. Свойства определителей n-го порядка. Теорема Лапласа. (утверждение приводится без доказательства) Определитель квадратной матрицы равен сумме A  aij  произведений элементов любой алгебраическое дополнение. а)   A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain  элементам i-ой строки. б) строки n  ais Ais – на их разложение по s 1   A  a1 j A1 j  a 2 j A2 j  ...  a nj Anj  элементам j-го столбца. n (столбца) n  ais Ais – разложение по s 1 Пример 1. Разложение по 1-й строке:   a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n  a11 ( 1)11 M11  a12 ( 1)1 2 M12  ... ...  a1n ( 1)1 n M1n Пример 2. Согласно Теореме Лапласа, посчитаем определитель матрицы из Примера 2 Лекции 4, как сумму произведений элементов первого столбца на соответствующие алгебраические дополнения. Здесь  1 2 3   A   3 2 1 . 0 1 2   2 1 2 3 2 3   1  ( 1)11   3  ( 1) 2 1   0  ( 1) 31   1 2 1 2 2 1  1 (2  2  (1)  1)  3  (1)  (2  2  (1)  3)  0  16 . Пример 3. Убедимся, что для n  2 Теорема Лапласа приводит к той же формуле вычисления определителя 2-го порядка, что и Определение 3 Лекции 4: 45 a12  a A   11   a 21 a 22    a11  ( 1) 2  a22  a12  ( 1) 3  a21  a11  a22  a12 a21 Пример 4. Убедимся, что для n  3 Теорема Лапласа приводит к той же формуле вычисления определителя 3-го порядка, что и Определение 4 Лекции 4:  a11 a12  A   a 21 a 22 a  31 a32 a   a11  ( 1) 2  22 a32 a13   a 23  a33  a 23 a a 23 a a 22  a12  ( 1) 3  21  a13  ( 1) 4  21  a33 a31 a33 a31 a32  a11a 22 a33  a11a 23a32  a12 a 21a33  a12 a 23a31  a13a 21a32  a13a 22 a31 Пример 5. Посчитаем определитель 4-го порядка треугольной матрицы, используя Теорему Лапласа: 2 1 0 3  0 0 0 0 1 4 5 3 1 0 4 1 2  2  ( 1) 0 4 1  0  0  0  2  ( 3)  ( 1) 2  00  1 0 5 0 0 5 5  2  ( 3)  4  5  120 Заметим, что определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы любого порядка, - всегда равен произведению ее диагональных элементов. Пример 6. Используем найденные в Примере 7 Лекции 4 все Алгебраические дополнения квадратной матрицы 3-го порядка.  1 1 2   A   1 2 1  , ей соответствует матрица Алгебраических  1 2 3   46  4 2 0   ~  дополнений: A   1  5 3    3 3  3   Вычислим определитель матрицы A , согласно Теореме Лапласа, а) разложением по элементам, например, 2 -ой строки:   A  a21 A21  a22 A22  a23 A23  11  2  ( 5)  1 3  6 б) разложением по элементам, например, 1 -го столбца:   A  a11 A11  a21 A1  a31 A31  ( 1)  4  1  1  1  (3)  6 Заметим, что значение определителя, вычисленное двумя указанными способами, а также остальными четырьмя, совпадает, так как определитель – это число, характеризующее матрицу, и не зависит от способа вычисления. Используя Теорему Лапласа, как уже говорилось, можно в общем случае вычислить определитель n -го порядка через определители n  1 -го порядка, то есть упростить процедуру вычисления определителя. Кроме того, для того, чтобы избегать громоздких вычислений, имеет смысл приводить матрицу к виду, удобному для вычисления определителя. Для этого надо представлять, какие определители легко считать и какие преобразования матрицы не меняют ее определителя. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы A  aij  состоит из n одних нулей, то   0 . Действительно, разложение по элементам i-ой строки, состоящей из нулей, дает значение определителя:   A  0  Ai1  0  Ai 2  ...  0  Ain  0 . Аналогичный результат получится для разложения по элементам столбца, состоящего из нулей. 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы A  aij  умножить на число  , то определитель умножится на это же число. n 47 a11 a12 a a 22 Пусть   21 ... ... a m1 a m 2 ... a1n ... a 2n . Пусть, для определенности ... ... ... a mn a11 a12 ... a1n 1  a 21 ... a m1 a 22 ... am2 ... a 2n . ... ... ... a mn   a11 A11  a12 A12  ... a1n A1n , Теореме Лапласа 1  a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n     (a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n )     , то есть, 1     . По Аналогично, это можно показать для элементов любой строки, любого столбца матрицы. 3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы A  aij  определитель меняет знак на противоположный. n ее Пример 7. Рассмотрим перестановку двух соседних строк матрицы 3-го порядка  1 2 3   5 6 4 6 4 5 A   4 5 6  ,   1( 1) 2 .  2( 1) 3  3( 1) 4 8 9 7 9 7 8  7 8 9   Определитель находим разложением по 1-й строке.  4 5 6   5 6 4 6 4 5 A   1 2 3    1( 1) 3 . Определитель  2( 1) 4  3( 1)5 8 9 7 9 7 8  7 8 9   находим разложением по 2-й строке. Очевидно, что    Пример 8. Рассмотрим перестановку двух соседних строк матрицы в общем виде, n  3 : a12 a13   A  a 21 a 22 a31 a32 a11 a 23 a33 a 21 a 22   A'  a11 a31 a12 a32 a 23 a13 . a33 48 Определитель  находим разложением матрицы A по 1-й строке:   A  a11 A11  a12 A12  a13 A13   a11 ( 1)2 a22 a23 a32 a33  a12 ( 1)3 a21 a23 a31 a33  a13 ( 1)4 a21 a22 a31 a32 Определитель  находим разложением матрицы A' по 2-й строке: a '  A'  a11 ( 1) 3 22 a32 a23 a a23 a a22  a12 ( 1) 4 21  a13 ( 1)5 21 a33 a31 a33 a31 a32 . Очевидно, что    . Для того, чтобы в общем случае у матрицы A  aij  поменять строки: n i -ую и i+k – ую, потребуется (2k-1) перестановок соседних строк. Таким образом, определитель будет менять знак нечетное число раз, в итоге получим    . 4. Если квадратная матрица содержит две одинаковых строки (столбца), ее определитель равен нулю. С одной стороны, по свойству 3 при перестановке строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. С другой стороны, при перестановке двух одинаковых строк матрица не меняется. Одновременно    и    , то есть    , -очевидно, что   0 . 5. При транспонировании матрицы, ее определитель не меняется: A  AT . Пример 9.  2 3 1   Для матрицы A   5 6 7  , посчитаем определитель разложением по  1 0 1    2 5 1   1-й строке. AT   3 6 0  , - посчитаем определитель разложением по  1 7 1   1-му столбцу.   A  2  ( 1) 2 6 7   AT  2  ( 1)2 6 0 0 1 7 1  3  ( 1) 3  3  ( 1)3 5 7 1 1 5 1 7 1  1  ( 1) 4  1  ( 1)4 5 6 1 0 5 1 6 0 . .Очевидно, что    49 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны (имеют общий множитель), то ее определитель равен нулю. Пример 10. 1 2 3  1 2 3   A   2 4 6  по свойствам 2 и 3 :  | A | 2  1 2 3  2  0  0  7 8 5 7 8 5   7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения другой строки (столбца) этой же матрицы равна нулю. Для матрицы A  aij  ai1 A j1  ai 2 A j 2  ... ain A jn  0 или n n  aik A jk  0, i  j. k 1 Введем вспомогательную матрицу , полученную заменой j-ой строки матрицы A на i-ую.  a11 a12    a ai 2  i1 A'    a ai 2  i1   a  n1 a n 2  a1n     ain  i   по свойству 4 и Теореме Лапласа получим  ain  j    a nn  выражение для вычисления определителя разложением по j-ой строке:   ai1 A j1  ai 2 A j 2  ...  ain A jn  0 Объединяя Теорему Лапласа и свойство 7, получим общее выражение: n  aik A jk k 1  0, i  j;  , i  j. 8. Определитель матрицы А не изменится, если к элементам какойлибо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножив на одно и то же число.  | A | 50 a12 a11  ai1  a j1 ai 2  a j 2  A'  a j2 a j1  an 2 an1  a1n  ain  a jn   a jn  ann ai1  a j1 Ai1  ai2  a j2 Ai2  ...ain  a jn Ain   ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain    a j1 Ai1  a j 2 Ai 2  ...  a jn Ain        | A| поТеоремеЛапласа  0 по свойству 7 9. Если элементы i-ой строки определителя (  | A | ) представлены в виде суммы двух слагаемых, то сам определитель равен сумме двух определителей.   1   2 , где 1 -определитель матрицы, i-ая строка которой состоит из первых слагаемых соответствующих элементов, а  2 определитель матрицы, i-ая строка которой состоит из вторых слагаемых соответствующих элементов: a11 a12  bi1  ci1 bi 2  ci 2   a j1 a j2  an1 an 2  a1n  bin  cin   a jn  ann bi1  ci1 Ai1  bi 2  ci 2 Ai 2  ...  bin  cin Ain   bi1 Ai1  bi 2 Ai 2  ...bin Ain   ci1 Ai1  ci 2 Ai 2  ...cin Ain   1   2 10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей. Пусть даны матрицы: A  aij  , B  bij  и C  A  B, - тогда C  A  B . n n 51 Заметим, что произведение D  B  A также существует и определитель Таким образом, даже если A  B  B  A , D  B A AB. соответствующие определители равны: A  B  B  A . Пример 11. Посчитаем определитель 4-го порядка, предварительно преобразовав определитель согласно свойству 8. Используя «столбцовый» вариант свойства 8, преобразуем матрицу так, чтобы, например, во 2-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим все элементы  IV -го столбца на 2 и прибавим их к соответствующим элементам  I -го столбца, аналогично умножим все элементы  IV -го столбца на (-2) и прибавим их к соответствующим элементам  III -го столбца:  2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 1 1 2 3  1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 3       2  IV  I ( 2)  IV  III Разложим полученный определитель 4-го порядка по 2-й строке: 1 2  0 2 1 2 2 2 1 2 2 1  0  0  0  1  ( 1)6 0  2 1  1 1 1 2 3 3 0  ( 1)  ( 1)2 2 1 2 3  ( 1)  ( 1)4 2 2 2 1 8  6  Определитель 3-го порядка можно посчитать, как по Теореме Лапласа, так и по правилу треугольников. 52 ЛЕКЦИЯ 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. МЕТОД КРАМЕРА. Обратные матрицы. Нахождение присоединенной матрицы. Единственность Обратной матрицы. Метод обратной матрицы. Метод Крамера. Свойства Обратной матрицы. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение 1. Матрица A1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A  aij  , если при умножении этой матрицы на n данную матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: A1  A  A  A1  E Определение 2. Если определитель матрицы отличен от нуля ( A  0 ), такая матрица называется невырожденной. Если A  0 , то такая матрица называется вырожденной.   A  aij Пусть   ~ A  Aij  a11 a12  a 22 a   21 n   a  n1 a n 2 A1n   A2n  –   Ann   A11  A  21 n     An1 A12 A22   An 2   a1n    a 2n  ,   a nn  матрица тогда алгебраических дополнений. Определение 3. Союзная (присоединенная) матрица к матрице А – есть транспонированная матрица алгебраических дополнений:  A11  ~ A A*  AT   12   A 1  n A21  An1   A22  An 2    A2n  Ann  Теорема (Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A1 существует и 53 единственна тогда и только тогда, когда матрица А невырожденна: A1   A  0 Доказательтво: Необходимость: Пусть  A1 , то есть A1  A  E По свойству 10 получаем:   A 0 1  E  A1 A  A1  A   1 A 0   одновременно. Достаточность: Допустим A  0  A11  A * A   12    A1n A21  An1   A22  An 2    A2n  Ann  Введем матрицу C  A A*  cij  n  a11 a12  a1n   A11    a 22  a 2n   A12 a C   21         a n1 a n 2  a nn   A1n Покажем, что матрица C– A21  An1   c11 c12  c1n     A22  An 2   c21 c22  c2n          A2n  Ann   cn1 cn 2  cnn  диагональная. По правилу умножения матриц находим: c11  a11  A11  a12  A12  ...  a1n  A1n    A , согласно Теореме Лапласа c12  a11  A21  a12  A22  ...  a1n  A2n  0 , согласно свойству 7 … c21  a21  A11  a22  A12  ...  a2n  A1n  0 , согласно свойству 7 c22  a21  A21  a22  A22  ...  a2n  A2n    A , согласно Теореме Лапласа … cnn  an1  An1  an2  An2  ...  ann  Ann    A , согласно Теореме Лапласа В общем случае, выполняется:  A, i  j . В результате получаем: cij  ai1  A j1  ai 2  A j 2  ...  ain  A jn    0, i  j 54    * С  A A      A 0  A   0  0  . Матрица  A   действительно диагональная. С Можно показать, что произведение матриц A*  A также равно С . Легко видеть, что :   A  A* A*  A 1     A A A    A 0  A    0  0 E  A  определить обратную матрицу . Таким образом, следующим образом: A1  если A* , A получим A1  A  A  A1  E , что и требовалось. Единственность. Предположим, что обратная матрица A1 – не единственная для данной матрицы и что существует матрица X , такая, что AX  E , X  A1 и существует также матрица Y , такая, что YA  E , Y  A1 . Тогда рассмотрим две логические цепочки: AX  E YA  E  1)  A 1 AX  A1E 2)   EX  A1E , Полученные YAA1  EA1 в 1) или и X  A 1 2) результаты YE  EA1 , или Y  A1 противоречат предположениям, значит обратная матрица A1  A* A – единственная, что и требовалось доказать. Алгоритм получения обратной матрицы. 1) Находим определитель исходной матрицы A  aij  . n исходным 55 Если матрица – вырожденная, то есть A  0 , => обратной матрицы A1 не существует. Если матрица – невырожденная, то есть A  0 , => A1 существует, будем ее строить. 2)Вначале найдем матрицу алгебраических  A11  ~ A A  Aij   21 n   A  n1   дополнений  A1n    A2n  .  An 2  Ann  A12 A22 3)Затем найдем союзную матрицу A* , то есть транспонированную  A11  ~ T  A12 * матрицу алгебраических дополнений: A  A      A1n 4) Находим обратную матрицу по формуле: A1  A21  An1   A22  An 2    A2n  Ann  A* . | A| 5) Проверяем, верно ли соотношение A  A1  A1  A  E . По определению, это соотношение должно выполняться для матрицы, являющейся обратной по отношению к исходной. Пример 1.  1 1 2   1) Рассмотрим матрицу A   1 2 1  . В Примере 6 Лекции 5 был  1 2 3   вычислен по Теореме Лапласа определитель матрицы A ,   А  6  0 . Матрица является невырожденной, значит обратная матрица A1 существует. 2) Используем найденные в Примере 7 Лекции 4 все Алгебраические дополнения данной матрицы и выпишем матрицу  4 2 0   ~  Алгебраических дополнений: A   1  5 3    3 3  3   56  4  ~ 3) Выпишем союзную матрицу A*  AT    2  0  4) Находим  3  5 3  3  3 1 обратную матрицу 1  3  4   4 1 3   1  A* 1  A1    2  5 3    2 5  3  6  6  3  3  0  0 3 3  5) Проверка выполнения соотношения A  A1  A1  A  E .  1 1 2   4 1 3    1   5  3   1 2 1    2 6  1 2 3  0 3 3       ( 1)(4)  1  2  2  0 ( 1)(1)  1  5  2  .(3) ( 1)  3  1  ( 3)  2  3  1   1( 4)  2  2  1  0 1  ( 1)  2  5  1  ( 3) 1  3  2  ( 3)  1  3   6 1  ( 1)  2  5  3  ( 3) 1  3  2  ( 3)  3  3   1( 4)  2  2  3  0  6 0 0  1 0 0    1   0 6 0   0 1 0  A  A -1 . 6     0 0 6  0 0 1 Таким образом, матрица A -1 найдена верно. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. МЕТОД КРАМЕРА. Как уже говорилось в Лекции 3, в матричном виде система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 ...xn записывается: A  X  B , где  x1   b1   a11 a12      x b a 22 a     X   2  , B   2  , А   21 ... ... ... ...      a a x b n2  n1  n  n a13 a 23 ... an3 ... a1n   ... a 2n  . ... ...   ... a nn  Если матрица системы невырожденная, то есть A  0 , => A1 существует. Если умножить матричное уравнение A  X  B на обратную матрицу A1 слева, получим A  A1  X  A1B , или X  A1B , так как A  A1  E . 57 Таким  A11  A A*   12   A 1  n образом, X  A1B , или X A* B,  где A21  An1   A22  An 2  .  A2n  Ann  Получение решения системы линейных уравнений X , как произведения двух матриц: X  A1B , - называется методом обратной матрицы. Заметим, что здесь X - вектор-столбец. Вычислим значения компонент вектора X , «расшифровывая» формулу X  A1B :  x1   A11    x  1 A X   2    12 ...       xn   A1n A21  An1  b1    A22  An 2  b2        A2n  Ann  bn   A11b1  A21b2  ...  An1bn   1      A b  A b  ...  A b 1  12 1 22 2 n2 n  1  2              A1n b1  A2n b2  ...  Annbn   n  Объясним, что означают символы: 1 ,  2 , … n . Введем служебную  b1 a12  a1n    b a  a 2n  матрицу A1   2 22  путем замены 1-го столбца матрицы     bn a n 2  a nn  Вычислим определитель A  на столбец свободных членов  B . матрицы A 1 . по Теореме Лапласа, разложением по 1-му столбцу и обозначим его 1 : A1  1  b1 A11  b2 A21  ...  bn An1 .  a11 b1  a1n     a 21 b2  a 2n  Аналогично введем служебные матрицы : A2   , … ,     a n1 bn  a nn  An путем замены соответствующего столбца матрицы A  на столбец 58 свободных членов  B и посчитаем определители  2 , …  n разложением по соответствующему столбцу. Легко видеть, что для вычисления значений компонент вектора X  , xn  n .    получены Формулы Крамера: x1  1 , x2  2 , ...   Таким образом, попутно с нахождением обратной матрицы мы получили обоснование еще одного метода решения системы линейных уравнений, - метода Крамера. Пример 2. Найдем решение системы неизвестными A  X  B , где линейных уравнений с тремя  x1   1 1 2 3       A   1 2 1  , X   x 2  , B   3  методом Крамера.  1 2 3 7 x       3 Для данной матрицы системы линейных уравнений в Примере 7 Лекции 4 была найдена матрица Алгебраических дополнений:  4 2 0   ~  A   1  5 3  . В Примере 6 Лекции 5 вычислен определитель   3 3  3   этой матрицы разложением по элементам 1 -го столбца:   A  a11 A11  a21 A1  a31 A31  ( 1)  4  1  1  1  (3)  6  3 1 2   Введем служебную матрицу A1   3 2 1  , путем замены 1-го  7 2 3   столбца матрицы A  на столбец свободных членов  B . Вычислим определитель матрицы A 1 . по Теореме Лапласа, разложением по 1му столбцу: A1  1  b1 A11  b2 A21  b3 A31  1  3  4  3 1  7  (3)  6  6 x1  1   1.  6 Аналогично введем служебные матрицы A2 , A3 и посчитаем A2  2  b1 A12  b2 A22  b3 A32  определители 2  A2 3  A3 .  x2  2   0. 2  3  (2)  3  (5)  7  3  0  6 59 A3  3  b1A13  b2 A23  b3 A33   3  3  0  3  3  7  (3)   12   12 x3  3   2.  6 Итак, решение системы линейных уравнений, найденное методом  x1  1  Крамера :  x2  0 x  2  3 СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Для невырожденной матрицы выполняются следующие свойства: 1. A  0   A1 , при этом A1  A1 A  E , 1 A1  A Действительно: A1 A  E  1   1  A 1 m 3. Am   A1  1 A тогда по Свойству 10: 2. A1 В каких задачах, в основном, используется аппарат нахождения обратной матрицы? 1) Как уже отмечалось, в матричном виде система n линейных x1, x2 , ..., xn n неизвестными алгебраических уравнений с записывается так : A  X  B , где  a11 a12  a 22 a А   21 ... ...   a n1 a n 2 ... a1n   x1   b1       ... a 2n  b  x2  , X    , B   2  . ... ...  ... ...      ... a nn   xn   bn  a13 a 23 ... an3 Тогда решение находится в виде X  A1B . 2) Если мы имеем матричное уравнение A  X  B , где все матрицы – квадратные: A  aij  , X  xij  , B  bij  , решение находится в таком же виде: n X  A1B . n n 3) Если мы имеем матричное уравнение AXC  B , где все матрицы квадратные: A  aij  , X  xij  , C  cij  , B  bij  , решение n n n n находится в виде: X  A1BC 1 . 60 Таким образом, для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной квадратной матрицей мы изучили два метода, - метод Обратной матрицы и метод Крамера. Но как решать системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной квадратной матрицей или с прямоугольной матрицей? Для того, чтобы решать в матричном виде системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 , ..., xn потребуется понятие ранга матрицы системы. 61 ЛЕКЦИЯ 7. РАНГ МАТРИЦЫ. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРАКАПЕЛЛИ. Ранг матрицы. Базисный минор матрицы. Теорема о ранге матрицы и ее следствия. Нахождение ранга ступенчатой матрицы. Нахождение ранга расширенной матрицы системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Как отмечалось в Лекции 3, стандартная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2 , ... , xn : a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2  ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm в матричной форме имеет вид:  a11 a12  a 22 a А   21 ... ...  a a m2  m1 a13 a 23 ... a m3 A X  B , где ... a1n   x1   b1       ... a 2n   x2   b2  , , X  B   ...   ...  . ... ...       ... a mn   xn   bm  Это следует из определения равенства матриц и операции умножения матриц. Чтобы решать в матричном виде системы линейных алгебраических уравнений с вырожденной квадратной матрицей, с прямоугольной матрицей, введем понятие минора k -го порядка M k и ранга матрицы r( A) . Выделим в прямоугольной матрице размера m x n любые k строк и любые k столбцов, k  m i n(m, n) . На их пересечении получим минор k -го порядка M k . k возможных способов выбора k строк из m , где C k Существует Cm m k  число сочетаний из m по k и известна формула: Cm m! m  k !k! . Аналогично, существует Cnk возможных способов выбора k столбцов из n и Cnk  n! n  k !k! . Таким образом, всего возможных миноров k -го n!m! k  порядка M k : Cnk  Cm n  k !k!m  k !k! 62 Определение 1. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается: rang  A , r  A . Очевидно, что у квадратной матрицы A  aij  n существует только один минор n -го порядка M n и M n    A . Если матрица A вырожденная, то r  A < n . Если существует хотя бы один минор M n 1, такой что M n 1  0  r  A  n  1. Сформулируем все очевидные свойства ранга матрицы: 1) rang A  r A , r A  minm, n  2) r( A)  0  матрица A  0 3) для матрицы A  aij  r  A  n  A  0 n 4) если для матрицы A  aij  n A  0 , и  M n 1  0  r  A  n  1 Пример 1.  1 2  1 A    , r  A  minm, n   min(2,3)  2 0 0 5  1 2 1 1 2 1  0, но  0, 0 r2 0 0 0 5 0 5 Определение 2. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Очевидно, что у матрицы может быть несколько базисных миноров. Пример 2.  1 2 3   1) A   2 4 6  ,  1 1 1   A  0 , так как в матрице две пропорциональных строки. M2  1 2 2 4  0, но M 2  1 2 1 1  0, M2  2 4 1 1  0  r  2, таким образом, в данном примере, последние два минора ( и не только они) базисные. Для определения ранга матрицы можно искать перебором все подматрицы данной матрицы и считать их определители. Но это 63 достаточно трудоемкая процедура, - приведем количество некоторых миноров для матрицы A размера m x n : m  n  4, M3  16 m  n  3, M2 9 m  3, n  4, M 2  18 Но, как следует из Свойств определителя, рассмотренных в Лекции 5, определитель матрицы не зависит от элементарных преобразований. Поэтому, имеет смысл привести рассматриваемую матрицу к виду, удобному, для нахождения ранга матрицы. Для этой цели наиболее подходящими являются треугольная и ступенчатая матрицы. Определение 3. Опорным элементом строки матрицы называется первый слева ненулевой элемент этой строки. Определение 4. Матрица называется ступенчатой, если - опорный элемент в каждой последующей строке расположен правее, чем в предыдущей; - если какая-либо строка матрицы – нулевая, то либо она последняя, либо все последующие строки тоже нулевые. Пример 3. (ступенчатые матрицы и их ранг) 1  a) A    0 2 5 3 6 8 4  7 r( A)  4 , - частный случай ступенчатой матрицы – 9  5 3 6 8 4 1   7 0 A  ; c) r ( A )  3 0 9   0 0 треугольная; 1  b) A    0 2 5 2 3 6 4  7 r( A)  3 ; 9  0  64 1  d) A    0 2 3 6 4  7 0  0  1  0 r( A)  2 . e) A   0  0 0  1 2 3 4 существует, например, M 4  f) 1  0 A  0  0 0  2 3 4 5 6 7  8 9 1 2 3 4 0 5 6 7 8 9  r  A  4 ,  0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0  0 8 9 1  1 8  5 1  0 0 0 5 6 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7  8 9 1 2 3 4 0 0 5 6 7 8  r  A  4 ,  0 0 0 9 1 2 0 0 0 0 0 0  - существует, например, 1 2 4 5 M 4  0 8 1 2  1 8  5  9  0 0 0 5 6 0 0 0 9 Пример 4. (не ступенчатые матрицы)  0 2  1 A    , 0 4 5   1 2 3   A   0 4 5 ,  0 7 6   1  0 A  0 2 8 3 6 5 9 4  7 . 0  0 Пример 5. Рассмотрим систему линейных уравнений третьего порядка:  x1  x2  x3  1  Расширенная  2 x1  2 x2  x3  0 .  x  x  5 x  3  1 2 3 1 1 1 1   системы: A р   2 2  1 0  , r  3  min4,3  3 .   1  1 5 3   матрица 65 Миноров 3-го порядка у матрицы A р - 4 и все они равны нулю: 1 1 1 2  1  0 , - то есть матрица системы вырожденная; 1 1 5 1) 2 1 1 1 2 0 0 ; 1 1 3 так как у матрицы два одинаковых столбца, 2) 2 миноры 3) и 4) совпадают: 1 1 1  1 0  0 , таким образом, ранг матрицы r  A  3 и r A p  3 . 1 5 3   3) 4) 2 Миноров 2-го порядка у матрицы у A р - 18. Выберем, например, M2  1 1 2 1  3  0 , - следовательно, r  A  2 . Будем считать данный минор базисным. Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. В Лекции 5 при изучении Свойств определителя показано, что при элементарных преобразованиях определитель матрицы либо не меняется, либо умножается на число, не равное нулю. Таким образом, наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы, то есть ранг, сохранится. Рассматриваемая в общем случае матрица Aˆ  aˆij  nm процедурой Гаусса приводится к ступенчатому виду, что удобно для нахождения ранга матрицы. Отбросив после преобразования, нулевые строки матрицы, если они появились, найдем ее ранг. Очевидно, у матрицы  a11   0 A 0   ...  0  a12 ... ... a 22 a 23 ... ... a33 ... ...  ... a rr a1n   a 2n  a3n    a rn  существует невырожденный 66 a11 a12 минор: M r  0 a 22 ... ... ... .a1r a 23 .a.2 r a33 .a3r ...  ...  0, это значит, что r( A)  r , a rr следовательно, ранг исходной матрицы – такой же: r( Aˆ )  r . Следствие: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк (ступенек). Для иллюстрации Следствия смотрите, например, Пример 3. Пример 6. Приведем расширенную матрицу из Примера 5 к ступенчатому виду: 1  Aр   2  1  1 1  ~ 0 0 0 0  1  2  1 0   2   I  II  1 5 3  I  III 1 1 ~ 1  1 1 1    0 0  3  2 0 0 6 4  2  II  III  1 1    3  2  . Легко видеть, 0  ~ что r Aр   2 . Расширенная матрица имеет две ненулевых строки (ступеньки). В качестве базисного минора возьмем: 1 1  3  0 . 0 3 Используя понятие ранга матрицы, сформулируем критерий совместности системы линейных уравнений, проиллюстрируем его на примерах. Теорема Кронекера - Капелли (критерий совместности системы). Система линейных уравнений A  X  B совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. Система AX  B совместна    r  A  r Ap , где 67  a11 a12  a 22 a A  aij nm   21 ... ...   a m1 a m2   ... a1n   x1   b1       ... a 2n   x2   b2  , , X  B   ...   ...  . ... ...       ... a mn   xn   bm  Пусть m  n , тогда r A  minm, n  m . Утверждается, что, а) при r  A  r Ap  система несовместна. Далее, утверждается, что, если r  A  r Ap  - система уравнений совместна. Очевидно, что в случае совместности, есть два варианта: в) r  A  n , из чего следует, что m  n , то есть ранг матрицы системы равен числу неизвестных и количеству уравнений системы; с) r  A  n , то есть ранг матрицы системы меньше числа неизвестных системы. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие все три возможных случая. Пример 7. а) Если r  A  r Ap , - система линейных уравнений AX  B несовместная. Дана система линейных уравнений с четырьмя неизвестными 5 x1  x 2  2 x3  x 4  7  2 x1  x 2  4 x3  2 x 4  1 Приведем расширенную матрицу системы к  x  3x  6 x  5 x  0  1 2 3 4 ступенчатому виду: 1 5 1 2  Ap   2 1 4 2 1  3  6 5  5 1  3  6  ~  0 14 32  24  0 7 16  12  7  1  3  6 5 0    1 ~  5 1 2 1 7  II   5  I 2 1 0  4  2 1  III   2   I  0 5 0 1  3  6    7 ~  0 14 32  24 7  0 0 1   2  5   ~ 1 3 0 Очевидно, что r  A  2 . r Ap   3 , - существует M 3  0 14 7  0 , то есть r  A  r Ap . 5 68 Эквивалентная система линейных уравнений имеет вид:  x1  3x2  6 x3  5 x4  0  0  x1  14 x2  32 x3  24 x4  7 , - очевидно, что система несовместна. 0  x  0  x  0  x  0  x  5  1 2 3 4 в)Если r  A  r Ap , r  A  n , - система линейных уравнений AX  B совместная и определенная Дана система линейных уравнений  x1  x2  2 x3  3   x1  2 x2  x3  9  x  2 x  3x  11  1 2 3  1 1 2   2 1  в Примере 7 Лекции 4 был  1 2 3   найден ее определитель   A   6  0 , что означает, что r  A  3 . Так Для матрицы системы A   1 как r Aр   min3,4  3 , получаем, что r Ap   3 . Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.  1 1 2 3   1 1 2 3   1 1 2 3        Aр   1 2 1 9   I  II ~  0 3 3 12  ~  0 3 3 12   1 2 3 11 I  III  0 3 5 14  ( 1)  II  III  0 0 2 2        Ступенчатая матрица имеет 3 ненулевых строки. Легко видеть, что  x1  2  система имеет единственное решение  x2  3 , x  1  3 то есть является совместной и определенной. Поскольку в Примере 7 Лекции 4 для матрицы данной системы была ~  4  2 0   5 3 ,   3 3  3   найдена матрица Алгебраических дополнений: A   1 найдем в качестве упражнения решение системы методом Крамера: 69  3 1 2   Введем служебную матрицу A1   9 2 1  , Вычислим определитель 11 2 3    матрицы A1 . по Теореме Лапласа, разложением по 1-му столбцу: A1  1  3  A11  9  A21  11 A31  1  3  4  9 1  11 (3)  12   12 x1  1   2.  6 Аналогично введем служебные матрицы A2 , A3 и посчитаем их определители A2   2  3A12  9 A22  11A32    18  3.  2  3  (2)  9  (5)  11 3  18  x2  2   6  3  3  0  9  3  11 ( 3)  12  A3   3  3 A13  9 A23  11A33   x1  2  6  x3  3   1   x2  3  6 x  1  3 Еще проще было бы найти решение системы методом обратной ~ матрицы: Так как A*  AT , A1  1  3  4  A* 1      2  5 3  (см. Пример 1 Лекции 6).  6  3  3  0 Решение системы находится по формуле X  A1B . 1  3  3   4  4  3  1  9  ( 3)  11   12   2     1   1     1   2  5 3  9   (  2 )  3  (  5 )  9  3  11      18    3  6  6   6   6  1  3  3 11  0  0  3  3  9  ( 3)  11       x1  2  То есть:  x2  3 . x  1  3 X с) Если r  A  r Ap , rang A  n , система линейных уравнений AX  B совместная и неопределенная. 70 Дана система линейных уравнений с тремя неизвестными  x1  x2  x3  1   2 x1  2 x2  x3  0 .  x  x  5 x  3  1 2 3 Расширенная матрица системы рассмотрена в Примере 6. Было показано, что 1 1 1  1 1 1 1  1     Ap   2 2  1 0  ~  0 0  3  2  , r  A  2 , r Aр  2 .   1  1 5 3  0 0 0 0       Легко видеть, что r  A  r Aр   2  3 . В качестве базисного минора матрицы A выбрали: 1 1  3  0 . Так как минор составлен из 0 3 коэффициентов 2-го и 3-го столбцов, следовательно переменные x2 и x3 будут базисными, x1 - свободная переменная. Базисных переменных всегда r, а свободных – (n-r). Система линейных уравнений, эквивалентная исходной, имеет вид:  x1  x2  x3  1 . Пусть свободная переменная x1   , тогда:   3x3  2   x 2  x3  1   ~ 1 1  , где A    -матрица эквивалентной системы.   3 x   2  0  3  3 ~ Так как   A  3 , найдем решение системы по методу Крамера. ~ 1   Введем служебные матрицы A2    2 ~ ~  2  3  3  2  3  1 ,  3  2 1  ~ 1 1    . Тогда  и A3    3 0  2  Получаем Общее решение системы линейных уравнений: 71   x1    3  1 1     . Найдем  x2  3 3  2 2   x3   3  3   x1  1  2  значения x1   :  x 2   3  2   x3  3 частное решение для какого-либо Определение 5. Базисное решение – это частное решение неопределенной системы линейных уравнений, в котором все свободные переменные равны нулю. Для системы из Примера 7 с) базисное решение означает, что   x1  0  1  x1    0 :  x 2  . 3  2   x3  3 Итак система линейных уравнений неопределенная, когда r  A  r Aр   n . AX  B совместная и 72 ЛЕКЦИЯ 8. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Исследование систем линейных уравнений. Решение неопределенных систем линейных уравнений. Базисные и свободные переменные. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Свойства множеств решений однородных и неоднородных систем. Структура общего решения неоднородной системы. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида Пусть есть система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными : A  X  B , где A  aij  nm , X  xi  1n , B  bi  1m . Пусть m  n , тогда r A  minm, n  m . По Теореме Кронекера – Капелли система совместна  r  A  r Ap . Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида состоит из нескольких шагов. 1) Необходимо определить совместность системы, то есть найти ранг системы. Определение 1. Рангом совместной системы линейных уравнений называется ранг ее матрицы. Если r  A  r Ap  - система несовместна, - поиск решения данной системы линейных алгебраических уравнений завершен; r  A  r Ap , - система совместна. Если 2) Пусть система совместна и ранг ее равен r  r  A . Выделим некоторый базисный минор M r  0 . Будем считать, что в базисный минор входят первые r строк и первые r столбцов либо первоначальной матрицы системы, либо первые r строк и первые r столбцов матрицы эквивалентной системы, полученной из исходной процедурой преобразования a~11 a~12 a~21 a~22 Гаусса. M r  a~31 a~32 ... ... a~ a~ r1 r2 .a~1r ... .a~.2 r ... .a~3r ... ... ...  a~rr  0. 73 Если это не так, то мы можем переименовать переменные, переставить некоторые строки системы и придем к такому же виду базисного минора M r . Поскольку ранг преобразованной системы равен r , в этой системе будет r ненулевых строк и система будет иметь вид: ~ a~11 x1  a~12 x2  ...  a~1n xn  b1 ~ ~ a 21 x1  a~22 x2  ...  a~2n xn  b2 . Так как  ... ~ a~ x  a~ x  ...  a~ x  r1 1 r2 2 rn n  br m  n , то и r  n. Возможны два случая: 3) r  n - это значит r  m  n и мы имеем квадратную невырожденную матрицу системы. Ранг матрицы системы равен числу неизвестных, - по Теореме Кронекера – Капелли система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, методом Крамера или методом Гаусса. 4) r  n . Так как минор M r составлен из коэффициентов 1-го , 2-го, …, r -го столбцов следовательно x1 , x2 , …, x r - базисные переменные; xr 1 , xr  2 , …, xn - свободные переменные. Базисных переменных всегда r, а свободных – (n-r). Перенесем в правую часть все слагаемые, содержащие свободные переменные xr 1 , xr  2 , …, xn . Система с квадратной невырожденной матрицей r -го порядка примет вид: ~ a~11 x1  a~12 x2  ...  a~1r x r  b1  a~1r 1 x r 1  ...  a~1n xn ~ ~ ~ ~ ~ ~ a 21 x1  a 22 x2  ...  a 2r x r  b2  a 2r 1 x r 1  ...  a 2n xn  ... ...  ~ a~r1 x1  a~r 2 x2  ...  a~rr x r  br  a~r r 1 x r 1  ...  a~rn xn  Переменные xr 1 , xr  2 , …, xn могут принимать любые значения, так как они - свободные. Поскольку M r  0 , при каких-либо конкретных значениях свободных переменных эту систему также можно решить методом обратной матрицы, методом Крамера или методом Гаусса. 74 Определение 2. Общим решением неопределенной системы, соответствующим некоторому базисному минору, принято называть совокупность, состоящую из переменных, свободных относительно этого базисного минора, и из базисных переменных, выраженных через свободные. Определение 3. Частным решением системы называется ее решение при фиксированных значениях свободных переменных. Определение 4. Частное решение системы, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным решением (относительно данного базисного минора). Замечание. Неопределенная система линейных уравнений имеет столько Общих решений, сколько базисных миноров у матрицы, соответствующей данной системе линейных уравнений. Для каждого базисного минора общее решение единственно. Все общие решения равносильны, в том смысле, что они определяют равные бесконечные множества частных решений. Системы Линейных Однородных Уравнений Определение 5. Линейное уравнение называется однородным, если a1x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  0 его свободный член равен нулю: Определение 6. Система m линейных уравнений с n неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: (1) a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 a x  a x  ...  a x  0  21 1 22 2 2n n .  ...  a m1 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  0 Соответствующий матричный вид: A  X  O , X  xi  1n , O  0 1m . где   A  aij nm , 75 Очевидно, что такая система линейных однородных уравнений есть частный случай системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как всегда существует по крайней мере одно тривиальное (нулевое) решение O  0 1m . Действительно, это следует из свойств операции умножения матриц: A  O  O . Теорема. Чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, Необходимо и Достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных системы: r  A  n . Следствие. Если матрица системы квадратная, n -го порядка:   A  aij n , то, для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, Необходимо и Достаточно, чтобы   A  0 , из чего следует что , r  A  n . Действительно, пусть m  n , согласно теореме Кронекера – Капелли, если r  A  n , это означает, что m  n , то есть ранг матрицы системы равен числу неизвестных и количеству уравнений системы. Следовательно, система линейных однородных уравнений AX  O совместная и определенная, то есть имеет единственное решение (для данной системы - нулевое). Пример 1. Пусть дана система линейных однородных уравнений  2 x1  x2  3x3  0   2 x3  0 . Существует ли ненулевое решение этой системы?  x1 3x  2 x  x  0  1 2 3  2 1 3   Найдем определитель матрицы A    1 0 2  . Согласно Теореме  3 2 1   Лапласа, посчитаем определитель матрицы, как сумму произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения.   A  a12 A12  a22 A22  a32 A32 . 76 Здесь   1  ( 1)1 2  1 2 3 1  0  2  ( 1) 3 2  2 3 1 2   (1  6)  2  (4  3)  7  14  7  0 . Согласно Теореме у системы существует только тривиальное  x1  0  (нулевое) решение:  x2  0 . x  0  3 Ненулевые решения для систем линейных однородных уравнений существуют только, когда либо количество уравнений системы меньше числа неизвестных, либо при их равенстве, матрица системы – вырожденная. Пусть дана система линейных однородных уравнений (1) A  X  O . Ранг матрицы системы меньше числа неизвестных системы: r  r  A  n , то есть система имеет ненулевое решение. Пусть x1 , x2 , …, x r - базисные переменные; xr 1 , xr  2 , …, xn - свободные переменные. Выберем числа 1, 2 , ..., n r - значения свободных переменных. Тогда общее решение системы (1) будет выглядеть так:  x1   x1 (1 , 2 ,, n  r )       x 2   x 2 (1 , 2 ,, n  r )    ...   ...   x   x (  ,  ,,  ) nr r .   r 1 2 X x 1   r 1    x    2   r2           x    nr  n    Выберем n  r решений системы (1) следующим образом: одно из значений свободных переменных равно единице, остальные – нули. 77  x1 (1,0,,0)   x1 (0,1,,0)   x1 (0,0,,1)         x 2 (1,0,,0)   x 2 (0,1,,0)   x 2 (0,0,,1)        ... ... ...  x (1,0,,0)   x (0,1,,0)   x (0,0,,1)  r , X  r , … , X  r . X1   2  nr   1           1                      1       Эти решения образуют так называемую нормальную фундаментальную систему решений однородной системы a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 a x  a x  ...  a x  0  21 1 22 2 2n n (1) .  ...  a m1 x1  a m 2 x2  ...  a mn xn  0 Можно показать, что любое решение X системы (1) может быть единственным образом представлено в виде : X  1  X1   2  X 2     n  r  X n  r , где 1, 2  , n r - некоторые числа. Заметим, что у однородной системы (1) могут существовать и другие фундаментальные системы решений. Если ввести неоднородную систему линейных уравнений (2) a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b  21 1 22 2 2n n 2 ,  ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm соответствующую однородной системе (1), то можно показать, что общее решение системы (2) равно сумме общего решения системы (1) и произвольного частного решения системы (2). Пример 2. Дана однородная неизвестными: система линейных уравнений с четырьмя 78  x1  2 x2  x3  3x4  0 2 x  5 x  3 x  x  0  1 2 3 4 . Приведем матрицу системы к ступенчатому  3 x  7 x  2 x  2 x4  0 2 3  1  x1  3x2  4 x3  4 x4  0 виду: 1  2 A  3  1 2 1  3  5 3 1  7  2  2  3  4 4  ~ Выберем базисный минор 1  0 0  0 2 1 1 1 1  3  5 7  ~ 5 7    5 7  1  0 0  0 2 1  3  1 5 7  . 0 0 0   0 0  1 2  0 , r( A)  2 . Так как минор составлен 0 1 из коэффициентов 1-го и 2-го столбцов, следовательно переменные x1 x3  1 и x4  2 - свободными и x2 будут базисными, а переменными. Система линейных уравнений, эквивалентная  x  2 x2  1  32 исходной, имеет вид:  1 , откуда легко получим x2  51  72  выражение для x1  111  172 . Общее решение однородной системы линейных уравнений:  x1    111  172       x2   51  72  X   . x 1  3    2   x4     11   5  X1   , 1    0  17      7 X2   .   1  Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы. Любое решение X системы может быть единственным образом представлено в виде: X  1  X1   2  X 2 , где 1, 2  - некоторые числа. 79 Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. ЛЕКЦИЯ 9. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Формула площади треугольника. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПРОСТРАНСТВЕ. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических фигур на основе Метода координат. Сущность метода координат состоит в том, что каждой точке на числовой прямой ставится в соответствие действительное число, а точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел и т.д. Основным инструментом метода координат служит Система координат. Системы координат могут быть различными: Прямоугольная или Декартова система координат (ДСК), косоугольная система координат (КСК), Полярная система координат (ПСК) и др. Рассмотрим Декартову систему координат: а) n  1 Рис. 9.1 Ось координат – прямая линия, на которой зафиксирована т.О (начало координат), выбрано положительное направление (указанное ) и единица длины. Так, на данном рисунке координата т.А равна а, ( a  0 , так как т.А расположена на положительной полуоси); координата т.В равна в, ( b  0 , так как т.В расположена на отрицательной полуоси). Координата х произвольной т.М оси координат определяется 80  ОМ , точка М  на положительной полуоси  x   ОМ , точка М  на отрицательной полуоси , так: 0, точка М совпадает с точкой начала координат.  здесь ОМ  длина отрезка ОМ . Итак, каждому действительному числу соответствует точка оси координат, а каждой точке оси координат - соответствует одно действительное число ( n  1 ). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие точек координатной оси и множества действительных чисел. Считается, что любая гладкая линия имеет так называемую топологическую размерность равную 1( d  1 ). Заметим, что топологическая размерность точки – 0 ( d  0 ). б) n  2 Рис. 9.2 Декартова система координат (ДСК) на плоскости – совокупность 2 взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат. Полагая, что направление и масштаб каждой из осей заданы, MM ' || OY . проведем параллельные прямые MM ' ' || OX и Тогда MM ' '  OM   x , x –абсцисса т.М, MM   OM   y , y – ордината т.М. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие 81 точек плоскости и множества пар действительных чисел ( n  2 ): т. М  ( x, y ) . Заметим, что топологическая размерность плоскости – 2 ( d  2 ). с) n  3 Рис. 9.3 Декартова система координат (ДСК) в пространстве – совокупность трех взаимно перпендикулярных осей координат, имеющих общее начало. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ ось аппликат. Проведем из т. М прямую, параллельную оси OZ . Тогда ММ  OM   z , z – аппликата т. М. Проведем параллельные прямые: MM ' ' || OX и MM ' || OY . По аналогии со случаем, когда n  2 , найдем координаты т. М : - x – абсцисса т. М , y – ордината т. М . Очевидно, что x, y – абсцисса и ордината также и т. М. В результате каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная тройка координат. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие точек пространства и множества троек действительных чисел ( n  3 ): т. М  ( x, y, z ) . Заметим, что топологическая размерность пространства – 3 ( d  3 ). 82 Расстояние а) n  1 Рис. 9.4 Если точки M ( x1 ) и N ( x2 ) расположены на одной оси, то расстояние: MN  x1  x2  x2  x1 – формула верна как для случая, когда точки расположены с одной стороны от т.О ( M , N ) , так и для случая, когда точки - с разных сторон от т.О ( M , N ' ) , MN   x1  x2  x2  x1 б) n  2 Даны две точки плоскости M ( x1; y1 ) и N ( x2 ; y2 ) . Рис. 9.5 Расстояние между ними вычисляется по формуле: d  MN  x1  x2 2   y1  y2 2 . Формула верна как для случая, когда обе точки расположены с одной стороны от осей координат, так и для случая, когда точка M ( x1; y1 ) и точка N ' ( x2 ; y2 ) расположены по разные стороны от осей координат: d  MN   x1  x2 2  y1  y2 2 . 83 в) n  3 Аналогично, если даны две точки пространства M ( x1; y1; z1 ) и N ( x2 ; y2 ; z2 ) , расстояние между ними вычисляется по формуле: d  MN  x1  x2 2   y1  y2 2  z1  z2 2 , независимо от месторасположения точек. Деление отрезка в данном отношении. а) n  2 Пусть на плоскости заданы координаты точек Ax1; y1  , Bx2 ; y2  Рис. 9.6 отрезка АВ. C x; y  -внутренняя точка отрезка АВ. Пусть известно, что AC   . Нужно найти координаты тоски С. BC x  x1  . x2  x x   x2 что x  1 . 1  Из подобия треугольников: ACL ~ CBK следует, что Путем несложных преобразований получаем, 84 Аналогично координаты y : можно получить выражение y  y1 y  y 2 .   y 1 y2  y 1  для нахождения б) n  3 . Если в пространстве заданы координаты точек A( x1; y1; z1 ) и B( x2 ; y2 ; z2 ) отрезка АВ, то выражения для нахождения координат x, y совпадают с плоским случаем ( n  2 ). Аналогично можно получить выражение для z: z  z1 z1  z2  z z2  z 1  Частный случай:   1 , то есть точка С – середина отрезка АВ. Зная координаты точки начала отрезка и его конца, получим выражения: x  x2 y y z z , y 1 2, z 1 2 x 1 2 2 2 Пример 1. Пусть на плоскости задан треугольник  ABC с вершинами Ax1; y1  , B  x 2 ; y 2  , C  x3 ; y 3  . Рис. 9.7 85 Зная, как вычисляется длина отрезка, можно показать, что площадь произвольного треугольника  ABC вычисляется по формуле: x x y y 1 x2  x1  y3  y1   x3  x1  y2  y1   1 2 1 2 1  1  2 2 x3  x1 y3  y1 2 x  x y  y  Здесь  - модуль определителя матрицы  2 1 2 1  . Модуль  x3  x1 y3  y1  (*) S  берется потому, что площадь треугольника всегда должна быть положительна. Если т.А совпадает с началом координат, то x1  0, y1  0  S  1 x2 2 x3 y2 . y3 Заметим, что строки матрицы есть координаты, соответственно, т.В и т.С. Для того, чтобы самостоятельно вывести формулу для вычисления площади произвольного треугольника  ABC , достаточно увидеть, что площадь искомого треугольника есть разность между площадью прямоугольника и суммой трех прямоугольных AВBC  треугольников:  AАB ,  ВBC и  AСC  . Из школьной программы известно, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Аккуратно проделав все вычисления, получим вышеприведенную формулу (*). 86 ЛЕКЦИЯ 10. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ. Уравнение прямой на плоскости (различные формы). Определение угла между двумя прямыми. Условие перпендикулярности, условие параллельности прямых. Уравнение линии (кривой) 2-го порядка на плоскости. Косоугольная система координат. Полярная система координат. Определение 1. Уравнение линии (кривой) на плоскости OXY – это соотношение, связывающее координаты любой точки кривой. Говорят, что дано уравнение кривой: F ( x, y )  0 , если этому уравнению удовлетворяют все точки линии и только они. Порядок кривой определяется максимальной степенью, с которой переменные входят в это уравнение. Прямая (линия) – частный случай кривой, или кривая первого порядка. Определение 2. Кривыми первого порядка (то есть прямыми) на плоскости называются линии, уравнения которых являются уравнениями первой степени с двумя переменными. Задача о нахождении точек пересечения двух кривых (в частном случае - прямых) сводится к решению системы уравнений:  F1 ( x, y )  0   F2 ( x, y )  0. Как известно, прямая – есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Уравнения кривых зависят от выбранной Системы Координат. Рассмотрим Декартову систему координат и различные виды уравнений прямой на плоскости и, в дальнейшем, различные виды уравнений прямой в пространстве. 87 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Рис. 10.1 Рассмотрим прямую BM, проходящую через любую данную точку M(x,y), пересекающую ось OY в т. B, под углом  к оси OX, то есть  по определению имеющую угловой коэффициент k  tg ,   . MA y  b  k Тогда из  ABM легко видеть, что tg  AB x (1) а) y  kx  b ,   в) x c,   Рис. 10.2  2  2 2 y  b  kx – уравнение прямой с угловым коэффициентом. 88 2. Общее уравнение прямой. Ax  By  C  0 A2  B 2  0  это означает, что A и B - одновременно не равны 0. Здесь A, B, C - действительные числа. Ax  By  C  0 - линейное алгебраическое уравнение 1-й степени с двумя неизвестными. A B Если B  0 , можно представить уравнение в виде: y   x  Получаем уравнение с угловым коэффициентом, где k   C . B A . B Рассмотрим возможные частные случаи Общего уравнения прямой: C , линия OY ; A B  0, A  0, C  0  x   , линия совпадает с осью OY ; A C OX ; A  0, B  0, C  0  y   , линия B A  0, B  0, C  0  y   , линия совпадает с осью OX . B B  0, A  0, C  0  x   3. Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть на прямой дана точка M 0 x0 , y0  , координаты любой точки прямой - M x, y  . Известно, что прямая пересекает ось OX по углом  , tg  k . Покажем, что Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении есть: y  y0  k ( x  x0 ) , или y  y0 k. x  x0 Из рисунка видно, что M 0 MN и PMQ - подобны. Тогда: tg  k  y  y0 MQ MN y  y0   . Следовательно: k  . QP NM 0 x  x0 x  x0 89 Рис. 10.3 4. Уравнение прямой проходящей через 2 данные точки. Пусть на прямой даны точки M1 x1, y1  , M 2 x2 , y2  , M x, y  координаты любой точки отрезка M1M 2 . Известно, что прямая пересекает ось OX под углом  , tg  k . Покажем, что Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки, имеет вид: y  y1 x  x1  . y 2  y1 x2  x1 Рис. 10.4 90 Из рисунка видно, что  M1MN и  M1M 2 P - подобны. Согласно MN y  y1 , а также  NM1 x  x1 M P y  y1 y  y1 y 2  y1 . Из этого следует, что , - записав tg  k  2  2  PM1 x2  x1 x  x1 x2  x1 y  y1 x  x1 пропорцию иначе, получим: .  y 2  y1 x2  x1 предыдущему пункту 3, tg  k  5. Уравнение прямой в отрезках. x y   1. a b Из рисунка видно, что прямая пересекает оси координат OX и OY в двух точках: Aa,0 , B0, b , - можно сказать, что прямая отсекает на осях отрезки : a и b . Покажем, что Уравнение прямой в отрезках есть: Согласно предыдущему пункту 4, для прямой проходящей через 2 данные точки Aa,0 и B0, b справедливо: y xa x y    1 b a a b Рис. 10.5 y 0 xa , следовательно:  b0 0a 91 Далее рассмотрим взаимное расположение прямых и, как частный случай, условие параллельности и условие перпендикулярности прямых. Угол между двумя прямыми. Пусть есть две прямые l1, l2 , не параллельные оси ординат. Известно, Рис. 10.6 что прямая l1 пересекает ось OX под углом 1 , то есть tg1  k1 , прямая l2 пересекает ось OX под углом  2 , tg 2  k2 . k k Тогда справедлива формула tg  2 1 . Очевидно, что, когда обе 1  k1k 2 прямые совпадают:   0  tg  0  k2  k1 . Таким образом, условие параллельности прямых: k 2  k1 . Если прямые пересекаются под прямым углом:  1    ctg  0 tg     1  k1k 2  0  k 2   . Следовательно, 2 k1 1 условие перпендикулярности прямых: k 2   . k1 92 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Определение 3. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, уравнения которых являются уравнениями второй степени с двумя переменными. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Ax2  2 Bxy  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 , при этом A2  B 2  C 2  0 Это означает, что коэффициенты при квадратах переменных и при их смешанном произведении все одновременно не равны 0. Пример 1. Одним из наиболее распространенных примеров кривой второго порядка является окружность. Определение 4. Окружность – это геометрическое место всех точек плоскости, удаленных от заданной точки, называемой центром, на одно и то же положительное расстояние R . x 2  y 2  R 2 – уравнение окружности радиуса R с центром в точке начала координат. Рис. 10.7 Пример 2. x  a 2   y  b2  R 2 – каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М. 93 Рис. 10.8 Пример 3. Также хорошо известны такие частные случаи кривых второго порядка, как парабола, гипербола, эллипс. Определение 5. Эллипс – это геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Рис. 10.9 94 F1M  F2 M  const , где F1 c,0 и F2 c,0 - точки, называемые фокусами. с2  a 2  b2 . x2 y2 a2  b2  1 - каноническое уравнение эллипса. В частном уравнению координат: случае, когда a  b  R , уравнение эллипса сводится к окружности радиуса R с центром в точке начала x2  y 2  R2 . Декартова (прямоугольная) система координат X 0Y является наиболее распространенной и удобной системой координат, но далеко не единственной. Косоугольная система координат X 0Y ' Рис. 10.10 Очевидно, что координаты произвольной т.М в Декартовой системе координат (ДСК) X 0Y и в Косоугольной системе координат (КСК) X 0Y ' будут различными. Уравнения кривых в различных системах координат также будут отличаться. Иногда Уравнения кривой проще выглядит в КСК, иногда в Полярной системе координат (ПСК). 95 Полярная система координат Рис. 10.11 Полярная система координат состоит из т.О, называемой полюсом, луча p , начинающегося в т.О и называемого полярной осью. Зафиксируем единицу измерения полярного угла в радианах. Угол отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Для произвольной т.М в Полярной системе координат определяют две координаты: модуль r и полярный угол  , называемый также аргументом. Модуль r равен длине отрезка OM. Очевидно, что для произвольной т.М (кроме т.О) можно установить взаимно однозначное соответствие между полярными и прямоугольными координатами. М r,   M x, y  , так как x  r  cos , y  r  sin  . M x, y   М r,  , так как r  x 2  y 2 , tg  ,   0; 2 ,  точно определяется знаками y x декартовых координат т.М x и y . Определение 6. Уравнение поверхности в пространстве OXYZ –это соотношение, связывающее координаты любой точки поверхности. Говорят, что дано уравнение поверхности: F ( x, y, z )  0 , если этому уравнению удовлетворяют все точки поверхности и только они. Частный случай поверхности – плоскость. Так же, как задача о нахождении точек пересечения двух кривых (в частном случае прямых) сводится к решению системы уравнений:  F1 ( x, y )  0 ,   F2 ( x, y )  0 96 кривую (линию) в пространстве можно рассматривать, как линию пересечения двух поверхностей. Эта задача о нахождении кривой (в частном случае - прямой)  F  x, y , z   0 сводится к решению системы уравнений:  1 Решение –  F2  x, y, z   0 кривая (прямая), полученная при пересечении поверхностей (плоскостей). Для того, чтобы написать даже самое простое уравнение поверхности, - уравнение плоскости, нам потребуется ввести такое понятие, как вектор. 97 ЛЕКЦИЯ 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Определение вектора. Векторная алгебра. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис векторов. Координаты свободного вектора. Условие коллинеарности и компланарности векторов. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВЕ Определение 1. Вектором называется направленный отрезок AB (или упорядоченная пара точек). Рис. 11.1 Вектор AB характеризуется длиной и направлением. Обозначается либо двумя заглавными латинскими буквами: AB , либо одной прописной латинской буквой: a . Определение 2. Векторы AB и CD называются равными: AB  CD , если ABCD – параллелограмм. AB  CD  a Рис. 11.2 Определение 3. Свободным вектором называется совокупность всех равных между собой векторов. Таким образом, начало вектора для удобства можно поместить в любую точку. Длина вектора AB (обозначается AB ) равна длине отрезка AB . Очевидно, что AA  0 . Определение 4. Произведением вектора a на число  называется b   a , длина которого равна b    a , а направление вектор совпадает с направлением вектора a , если   0 и противоположно направлению вектора a , если   0 . 98 Рис. 11.3 В частности, противоположным вектором  a называется произведение вектора a на число (-1), то есть  a  (1) a . Определение 5. Суммой векторов AB и BC называется вектор AC , который определяется либо по правилу треугольника, либо по правилу параллелограмма. Правило треугольника: если начало вектора b совпадает с концом вектора a , то суммой двух векторов a и b называется вектор c  a  b , начало которого совпадает с началом вектора a , а его конец совпадает с концом вектора b . Правило параллелограмма: если вектора a и b выходят из одной точки, суммой двух векторов a и b называется вектор c  a  b , выходящий из этой же точки. Вектор c представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b . Рис. 11.4 99 Разностью векторов AB и BC называется вектор DB  d  a  b , равный сумме векторов DA   BC  b и AB  a . Если находить сумму векторов  b и a по правилу треугольника получим вектор d , выходящий из точки D и приходящий в точку B. Рис. 11.5 Таким образом, одна диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b , представляет собой сумму векторов a и b , а другая – разность векторов a и b . Рассмотрим другой способ графического представления разности векторов a и b , если начало вектора b совпадает с концом вектора Разностью векторов AB и BC здесь будет вектор a. AD  a  b  a  ( 1) b  AB  BD . Рис. 11.6 Определение 6. Коллинеарными называются два вектора a и b на плоскости или в пространстве, если соответствующие им направляющие отрезки лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Таким образом, два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда  : b  a . 100 Определение 7. Базисом на неколлинеарных векторов  l1,l2 . плоскости называется пара Определение 8. Координатами вектора a в заданном на плоскости базисе  l1, l2  называется пара чисел x, y  , таких, что: a  xl1  yl2 . Обозначается: a  ( x, y ) . Рис. 11.7 Таким образом, задание базиса на плоскости позволяет отождествить каждый вектор a с упорядоченной парой действительных чисел. Определение 10. Компланарными называются три вектора в пространстве a , b и c , если соответствующие им направленные отрезки параллельны некоторой плоскости, или лежат в одной плоскости. Компланарность неколлинеарных векторов a , b и c означает, что  ,  : c  a  b Рис. 11.8 101 Определение 11. Базисом в пространстве называется некомпланарных векторов  l1, l2 , l3. тройка Определение 12. Координатами вектора a в заданном в трехмерном пространстве базисе  l1, l2 , l3 называются три числа x, y, z, такие, что a  OA  OD  OF  xl1  yl2  zl3 . Обозначается: a  ( x, y, z ) . Заметим, a  OA  AB  BC  OA  OD  OF . Рис. 11.9 Таким образом, задание базиса отождествить каждый вектор a действительных чисел. в с пространстве позволяет упорядоченной тройкой Определение 13. Ортонормированный базис (ОНБ). Если векторы базиса взаимно ортогональны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным. Векторы ОНБ принято обозначать буквами i , j, k и т.д. n  2: Рис. 11.10 102 Дан ортонормированный базис  i , j. Если имеет место соотношение a  xi  yj , тогда в этом базисе вектор a может быть представлен своими координатами: a  x, y  . n  3: Рис. 11.11 Дан ортонормированный базис  i, j, k . Если имеет место соотношение a  xi  yj  zk , тогда в этом базисе вектор a может быть представлен своими координатами: a  x, y, z  . Определение 14. Если у свободного вектора a  AB известны координаты начальной и конечной точек: A x1, y1  , B x2 , y2  , то координаты свободного вектора имеют вид: a  AB a  x2  x1, y2  y1  . Рис. 11.12 103 В частном случае, когда начальная точка свободного вектора a  AB совпадает с началом координат, A(0,0), тогда координаты вектора вектора a  x2 , y2  , то есть координаты a  AB имеют вид: совпадают с координатами конечной точки вектора - B x2 , y2  . Для векторов в координатной форме справедливы все правила и свойства алгебры матриц (в частности вектор - строк), изучаемые ранее. Рассмотрим координатную форму записи суммы и разности двух векторов на плоскости. Рис. 11.13 1) Согласно Определению 14: AB  x2  x1; y 2  y1  , BC  x4  x2 ; y 4  y 2  , AD  x3  x1; y3  y1  , AC  x4  x1; y4  y1  , DB  x2  x3 , y2  y3  . 2) Используя правило треугольника из Определения 5 и правила матричной алгебры, получим: AC  AB  BC  x2  x1  x4  x2 ; y2  y1  y4  y2   x4  x1; y4  y1  , DB  AB  AD  x2  x1  x3  x1; y2  y1  y3  y1   x2  x3 , y2  y3  . Легко видеть, что выражения для координатной формы векторов AC и DB , найденные двумя способами, совпадают. 104 Площадь треугольника (параллелограмма). В Лекции 9 уже приводилась формула вычисления площади треугольника, если известны координаты его вершин в Декартовой системе координат (ДСК). Треугольник OAB построен на векторах a и b с известными координатами в ДСК и выходящими из одной точки. В данном случае начальная точка векторов совпадает с началом координат. Рис. 11.14 OA  a  x1, y1  , OB  b  ( x2 , y2 ) . Тогда площадь треугольника: 1 x1 y1 (см. подробнее Пример 1 Лекции 9). S OAB  2 x2 y 2 x y Площадь параллелограмма в два раза больше: SOADB  1 1 . x2 y 2 Заметим, что верхняя строка определителя состоит из координат b . Согласно вектора a , а нижняя – из координат вектора Определению 6, два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда  : b  a . Таким образом, если векторы a и b коллинеарны (в частном случае – совпадают) b  a  (x1, x2 ) и в определителе матрицы обе строки пропорциональны. По свойству определителей, он равен нулю. Таким образом, условием коллинеарности двух векторов a и b является равенство нулю площади треугольника (параллелограмма), построенного на векторах a и b . 105 SOADB  SOAB  0  векторы a и b - коллинеарны. Из геометрических соображений очевидно, что площадь треугольника, построенного на векторах равна нулю, если векторы лежат на одной прямой. Объем параллелепипеда. Формула вычисления объема параллелепипеда, если известны координаты его вершин, аналогична формуле вычисления площади треугольника. Рис. 11.15 Пусть параллелепипед построен на трех векторах a , b и c с известными координатами в ДСК и выходящими из одной точки. В данном случае начальная точка векторов совпадает с началом координат, M1  0,0,0 . a  x2 , y2 , z2   M1M 2 , b  x3 , y3 , z3   M1M 3 , c  x, y, z   M1M . Тогда объем параллелепипеда определяется так: x V  x2 x3 y y2 y3 z z2 . z3 Согласно Определению 10 , компланарность неколлинеарных векторов a , b и c означает, что  ,  : c  a  b . Таким образом, a , b и c - компланарны (в частном случае – если векторы совпадают), то третья строка определителя линейно выражается через первые две строки. Тогда, по свойству определителей, он равен нулю. 106 Аналогично можно ввести условие компланарности трех векторов, это равенство нулю объема параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c . V  0  векторы a , b и c - компланарны. Из геометрических соображений очевидно, что объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен нулю, если векторы лежат в одной плоскости. Условие коллинеарности и условие компланарности справедливо и для случая, когда начальная точка векторов не совпадает с началом координат. Соответствующие выражения для площади треугольника и объема параллелепипеда, построенных на векторах, будут выглядеть несколько сложнее: S 1 x2  x1 2 x3  x1 y 2  y1 1   y3  y1 2 x  x1 y  y1 V  x 2  x1 x3  x1 y 2  y1 y 3  y1 z  z1 z 2  z1 , z3  z1 где M1  x1, y1, z1  -координаты точки начала векторов. Как уже отмечалось в начале изучения Аналитической геометрии, сущность метода координат состоит в том, что каждой точке на числовой прямой ставится в соответствие действительное число, каждой точке плоскости (пространства) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел и т.д. С другой стороны, и каждому вектору a на плоскости (в пространстве) ставится в соответствие упорядоченная пара (тройка) действительных чисел. В чем разница? В чем смысл введения понятия вектора? Дело в том, что множество точек плоскости, пространства так и останется множеством точек. Между тем, на множестве всех 2мерных и 3-мерных векторов можно ввести операции (сложения и умножения на число) и результат операции так же будет соответствующим вектором. Определение 15. Множество всех 2-мерных (3-мерных) векторов, в котором введены операции сложения и умножения вектора на число, называется 2-мерным (3-мерным) векторным пространством R2 (R3 ) . Подробнее векторные пространства рассмотрим в дальнейшем. 107 ЛЕКЦИЯ 12. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности векторов. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве (различные формы). Определение угла между двумя плоскостями. Условие перпендикулярности, условие параллельности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве (различные формы). СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Пусть заданы два вектора и угол между ними: Рис. 12.1 Определение 1. Для векторов на плоскости и в пространстве скалярное произведение определяется следующим образом: a b  a , b   a  b  cos , где 0     . Очевидно, что a  a  a , a   a  a  cos0  a 2 , или a  a , a  . Если заданы координаты вектора a в ортонормированном базисе (ОНБ): n  2: тогда на плоскости a  x1, y1  , a , a   a 2   n  3: a , a   a 2 x 2  y12   x12  y12  x1 x1  y1  y1 .  1  , тогда a  x1, y1, z1  2 в пространстве  x12  y12  z12  x1 x1  y1  y1  z1  z1 . Пусть в ортонормированном базисе заданы два вектора a  x1, y1  и b  x2 , y2  ( n  2 ), a  x1, y1, z1  , b  x2 , y 2 , z2  ( n  3 ), тогда скалярное или произведение двух векторов будет иметь специальный вид. 108 Определение 2. В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов – это число равное сумме произведений одноименных координат: n  2 : a , b   x1x2  y1 y2 n  3 : a , b  x1x2  y1 y2  z1z2 Свойства скалярного произведения: 1) a , a   0 , a , a   0  a  0 2) a , b   b , a  (коммутативность скалярного произведения) 3) a , b   a , b    a , b  (ассоциативность относительно умножения на число) 4) a  b , c   a , c   b , c  (дистрибутивность относительно сложения векторов) a , b  c   a , b   a , c  Из определения скалярного произведения следует: cos  В ортонормированном базисе для n  3 : следовательно cos  (a , b )  a b x1 x2  y1 y 2  z1z2 2 x1  y12  z12  x22  y 22  z22 . (a , b ) . a b (a , b )  x1x2  y1 y2  z1z2 , Выражение для cos при n  2 аналогично. Если два вектора ортогональны: a  b , это означает, что    2 .  Следовательно, a  b  cos  0  (a , b )  0 , или x1x2  y1 y2  z1z2 =0 2 Таким образом, получаем условие ортогональности векторов: a, b  = x1x2  y1 y2  z1z2 =0 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Определение 3. Каждая плоскость в пространстве OXYZ определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными. Этому уравнению удовлетворяют все точки плоскости и только они. Рассмотрим различные виды уравнений плоскости. 109 1. Общее уравнение плоскости. Ax  By  Cz  D  0 – общее уравнение плоскости. A2  B 2  C 2  0 Определение 4. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости (вектором нормали). Далее покажем, что вектор n   A, B, C  – это вектор нормали к плоскости, заданной данным общим уравнением. Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости. I. Ax  By  Cz  0 , – D  0 Плоскость проходит через точку O (начало координат). II. a) Ax  By  D  0 , – C  0 , D  0 , плоскость параллельна || 0Z . в) Ax  Cz  D  0 , – B  0 , D  0 , плоскость параллельна || 0Y . с) By  Cz  D  0 , – A  0 , D  0 , плоскость параллельна || 0 X . III. а) Ax  By  0 , – C  0 , D  0 , плоскость проходит через ось 0Z . в) Ax  Cz  0 , – B  0 , D  0 , плоскость проходит через ось 0Y . с) By  Cz  0 , – A  0 , D  0 , плоскость проходит через ось 0 X . IV. а) Ax  D  0 , - B  0 , C  0 , плоскость параллельна плоскости 0YZ в) Cz  D  0 , - B  0 , A  0 , плоскость параллельна плоскости 0 XY с) By  D  0 , - C  0 , A  0 , плоскость параллельна плоскости 0 XZ V. а) Ax  0 , т.е. x  0 , - B  0 , C  0 , D  0 , плоскостью 0YZ в) Cz  0 , т.е. z  0 , - B  0 , A  0 , D  0 , плоскостью 0 XY с) By  0 , т.е. y  0 , - A  0 , C  0 , D  0 , плоскостью 0 XZ Пример 1. Дана точка M 0  x0 , y 0 , z 0  Ax  By  Cz  D  0. плоскость совпадает с плоскость совпадает с плоскость совпадает с на плоскости, заданной уравнением Тогда должно выполняться равенство : Ax0  By0  Cz0  D  0 110 2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M 0 x0 , y0 , z0  и ортогональной вектору n   A, B, C  . есть уравнение плоскости Ax  By  Cz  D  0 . Точка M 0 x0 , y0 , z0  принадлежит этой плоскости и, как уже отмечалось в Примере 1, справедливо соотношение: Ax0  By0  Cz0  D  0 . Пусть Вычитая из первого уравнения второе, получим искомое уравнение плоскости: (*) Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0 Рис. 12.2 Если рассмотреть на плоскости любую точку M x, y, z  , то получим вектор M 0 M . По определению, вектор имеет координаты: M 0 M   x  x0 , y  y 0 , z  z 0  . Уравнение (*) показывает, что скалярное произведение вектора M 0 M и вектора n   A, B, C  в ортонормированном базисе равно нулю. Из условия ортогональности векторов получаем, что n   A, B, C  – вектор нормали к данной плоскости. 111 3. Уравнение плоскости в отрезках. Рис. 12.3 Из рисунка видно, что плоскость пересекает оси координат OX , OY и OZ в трех точках, - можно сказать, что плоскость отсекает на осях отрезки: a , b и c . Тогда, по аналогии с уравнением прямой в отрезках на плоскости, можно показать, что Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: x y z   1 . a b c 4. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки. Пусть плоскость проходит через три точки: M 2 x2 , y2 , z2  , M 3 x3 , y3 , z3  . Рис. 12.4 M1 x1, y1, z1  , 112 Возьмем произвольную точку пространства M x, y, z  . Построим параллелепипед на трех векторах a , b и c , выходящих из одной точки M1 x1, y1, z1  . Здесь вектор вектор a  x2  x1, y2  y1, z2  z1   M1M 2 , b  x3  x1, y3  y1, z3  z1   M1M 3 , вектор c  x  x1, y  y1, z  z1   M1M . Тогда объема параллелепипеда определяется так: x  x1 y  y1 z  z1 V  x 2  x1 x3  x1 y 2  y1 y 3  y1 z 2  z1 . z3  z1 Выполнение условия V  0 означает, что вектора M1M , M1M 2 и M1M 3 компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Следовательно, произвольно выбранная точка M x, y, z  . будет лежать в той же плоскости. Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки, имеет вид: x  x1 y  y1 V  x2  x1 x3  x1 y2  y1 y3  y1 z  z1 z2  z1  0 . z3  z1 Взаимное расположение плоскостей в пространстве. уравнения плоскости: A1x  B1 y  C1z  D1  0 , A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Тогда есть и два вектора нормали к этим плоскостям: n1   A1, B1, C1  , n2   A2 , B2 , C2  . Очевидно, что угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали. Скалярное произведение векторов нормали: n1, n2   n1  n2  cos , откуда находим угол между плоскостями: Пусть даны два cos  n1, n2  n1  n2  A1 A2  B1B2  C1C2 A12  B12  C12  A22  B22  C22 Таким образом, получаем плоскостей: cos  0 , или A1 A2  B1B2  C1C2  0 условие . ортогональности двух 113 Условие параллельности двух плоскостей означает коллинеарность векторов нормали: n2  n1 , то есть n2  A1, B1, C1 . Следовательно A2   A1 B2 C2 .  B1 C1 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. 1. Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0  x0 , y0 , z0  параллельно заданному вектору a  m, n, p  имеет вид: x  x0 y  y 0 z  z 0    m n p 2. Параметрическое уравнение прямой. Если ввести параметр t  x  x0 y  y 0 z  z 0   , то из канонического m n p уравнения прямо получается параметрическое уравнение:  x  x0  mt   y  y0  nt t  R  z  z  pt  3. Уравнение прямой, проходящей, через две точки Пусть прямая проходит через две точки M1 x1, y1, z1  , M 2 x2 , y2 , z2  , где x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 , тогда уравнение имеет вид: x  x1 y  y1 z  z1   x2  x1 y 2  y1 z2  z1 4. Общее уравнение прямой в пространстве, задается, как линия пересечения двух плоскостей:  A1 x  B1 y  C1z  D1  0   A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 Соответствующие коэффициенты при переменных не пропорциональны. В случае, когда коэффициенты при переменных пропорциональны обе плоскости сливаются в одну и линии пересечения нет. 114 ЛЕКЦИЯ 13. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Векторные пространства: определение, примеры. Линейно зависимые системы векторов и их свойства. Линейно независимые системы векторов и их свойства. Базис системы векторов. Ортонормированный базис. Разложение любого вектора по базису. Ранг системы векторов. n - мерные линейные пространства. Введение метрики. Свойства скалярного произведения. В предыдущих лекциях были рассмотрены двумерные и трехмерные векторы и определены соответствующие векторные пространства R 2 , R 3 . Обобщим понятие вектора и векторного пространства. Определение 1. n-мерным вектором a называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. a  a1, a2 , ..., an  , где ai - i-я компонента вектора a . Пример 1. a   2,0,3,5,7 , b  11, 0.8 , 4 9 , 7 ,  4891, 0,   и т.д. Непосредственный геометрический смысл имеют только одномерные, двумерные и трехмерные векторы. Определение 2. Два вектора a  a1, a2 , ..., an  и b  b1, b2 , ..., bn  с одним и тем же числом координат равны тогда и только тогда, когда попарно равны соответствующие координаты: a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 , … , an  bn . Определение 3. Суммой двух векторов с одинаковым количеством координат a  a1, a2 , ..., an  и b  b1, b2 , ..., bn  называют вектор a  b  a1  b1, a2  b2 , ..., an  bn  . Определение 4. Произведением вектора a  a1, a2 , ..., an  на число k называется вектор ka  ka1, ka2 , ... , kan  Свойства линейных действий над векторами. Линейные операции над любыми векторами нескольким очевидным свойствам: удовлетворяют 115 1. a  b  b  a - коммутативность сложения 2. a  b  c   a  b   c - ассоциативность сложения 3. a  0  a ( 0 - нулевой вектор) 4.  a    a   a - ассоциативность умножения на число 5.  a  b   a  b - дистрибутивность относительно сложения векторов 6.    a  a  a - дистрибутивность относительно сложения чисел 7. 0  a  0 8.   0  0 9. a  b  a   1b Определение 5. Множество всех n-мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения вектора на число, удовлетворяющие вышеприведенным свойствам, называется nмерным векторным пространством. Отметим, что не всегда множество всех объектов, в котором введены операции сложения и умножения объекта на число, является Линейным пространством. Например, рассмотрим два многочлена степени n: P1n x   a0 x n  a1x n 1  ...  an 1x1  an x 0 и P2n  y   b0 y n  b1 y n 1  ...  bn 1 y1  bn y 0 . Если b0  a0 , то сумма двух многочленов степени n будет многочленом степени n-1. Значит, множество всех многочленов степени n не является Линейным пространством. Таким образом, Линейным пространством можно считать только множество всех многочленов степени не выше n. Определение 6. Вектор a называется неотрицательным, если все его координаты неотрицательны. Обозначают: a  0 , если i  1, ..., n ai  0 . Определение 7. Вектор a обозначается: a  0 , если,  называется полуположительным, 116 1) a  0 , 2) j a j  0 . Определение 8. Вектор a называется положительным, если все его координаты положительны. Обозначают: a  0 , если i  1, ..., n ai  0 . Соответственно a  b , если a  b  0 ; a  b , если a  b  0 ; a  b , если  a b  0.  При сложении различных векторов доминирует более сильное неравенство: a  0, b  0  a  b  0 ; a  0, b  0  a  b  0 .    Определение 9. Скалярным произведением двух n-мерных векторов a и b называется число (скаляр), равное сумме произведений одноименных координат этих векторов. a  a1b1  a2b2  a3b3  ...  an bn  . Заметим, что, как отмечалось в Лекции 12, для двумерных и трехмерных векторов скалярное произведение двух векторов только в ортонормированном базисе – есть число, равное сумме произведений одноименных координат. Для n-мерных векторов это вводится по Определению. Пример 2. Пусть вектор X  x1, x2 ...xn  - вектор объемов выпуска предприятием n видов продукции за месяц, C  c1, c2 ...cn  - вектор цен n видов продукции. Месячный объем товарной продукции этого предприятия в денежном выражении можно записать через скалярное произведение P  c1x1  c2 x2  ...  cn xn  C , X . Свойства скалярного произведения: Свойства скалярного произведения n-мерных векторов такие же, как уже рассмотренные ранее свойства скалярного произведения двумерных и трехмерных векторов. 1) a , a   0 , a , a   0  a  0 2) a , b   b , a  (коммутативность скалярного произведения) 117 3) a , b   a , b    a , b  (ассоциативность относительно умножения на число) 4) a  b , c   a , c   b , c  (дистрибутивность относительно сложения векторов) a , b  c   a , b   a , c  Определение 10. называется число Длиной или нормой вектора a  a1, a2 ,...an  a  a12  a22  ...  an2  a , a  . Определение 11. Угол между n-мерными векторами a  a1, a2 ,...an  и b  b1, b2 ,...bn  вводится через скалярное произведение: cos  a1b1  a2b2  ...  an bn (a , b ) .  2 a b a1  a22  ...  a n2  b12  b22  ...  bn2 Определение 12. Условие ортогональности двух n-мерных векторов, - их скалярное произведение равно нулю: a , b   a1b1  a2b2  a3b3  ... anbn   0 , (или cos  0 ). Определение 13. Вещественное линейное пространство E n называется Евклидовым, если каждой паре векторов a  a1, a2 ,...an  и b  b1, b2 ,...bn  из E n поставлено в соответствие вещественное число a, b  , называемое скалярным произведением и удовлетворяющее четырем вышеупомянутым свойствам. Определение 14. Расстоянием  a, b , между двумя векторами a  a1, a2 ,...an  и b  b1, b2 ,...bn  из Евклидова пространства En называется величина  a , b   a  b  a  b , a  b  . Эта величина удовлетворяет естественным свойствам расстояния между векторами. 118 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Определение 15. Пусть дана система векторов: a1 , a 2 , … , a s , где n a k  R , k  1,  , s . Любой вектор вида a  1a1  2 a2  ...  s a s , где 1 , 2 ,…, s - любые действительные числа, называется Линейной комбинацией векторов a1 , a 2 , … , a s . Можно сказать иначе: вектор a линейно выражается через векторы a1 , a 2 , … , a s . Определение 16. Система векторов a1 , a 2 , … , a s  R n называется линейно зависимой, если существуют числа 1 , 2 … s не все одновременно равные нулю ( j :  j  0, 1  j  s ), такие, что линейная комбинация 1a1  2a2  ...  s a s  0 . Определение 17. Система векторов a1 , a 2 , …, a s  R n называется линейно независимой, если линейная комбинация 1a1  2a2  ...  s a s  0 только при условии: 1  2  ...  s  0 Утверждение 1. Если система векторов a1 , a 2 , … , a s линейно зависимая, то, по крайней мере, один из векторов линейно выражается через остальные. По определению линейной зависимости: 1a1  2a2  ...  s a s  0 , j :  j  0, 1  j  s . (1) Без ограничения общности будем считать, что s  0 . Тогда из (1) следует:          a s линейно a s    1   a1    2   a2  ...    s 1   a s 1 , то есть  s   s   s  выражается через остальные a1 , a 2 , … , a s 1 . Утверждение 2. (обратное). Если один вектор линейно выражается через остальные, то вся система векторов в совокупности - линейно зависима. Пусть, для определенности, 119 a1  2a2  3a3  ...  s a s , тогда из (2) получим: Таким образом, линейная 0  ( 1)  a1  2a2  3a3  ...  s a s . комбинация векторов a1 , a 2 , … , a s равна нулю, причем среди коэффициентов есть не равные нулю: 1  1  0 . Следовательно, по определению, система векторов a1 , a 2 , … , a s (2) линейно зависима. Свойства линейно зависимой системы векторов. 1) Если среди системы векторов есть нулевой вектор, то система линейно зависима. Пусть есть система векторов a1 , a 2 , … , a s и пусть ai  0 . Очевидно, что можно взять коэффициент i  1  0 , а остальные – нули. Тогда линейная комбинация векторов a1 , a 2 , … , a s будет равна нулю и будет выполнено условие линейной зависимости. 2) Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Пусть известно, что выполнено условие: 1a1  2a2  ...  k ak  0 , k  s и j :  j  0, 1  j  k . Тогда можно взять все коэффициенты линейной комбинации для системы векторов a1 , a 2 , … , ak и добавить k 1  ...  s  0 . Получим: при этом 1a1  2a2  ...  k ak  0  ak 1  ...  0  a s  0 , j :  j  0, 1  j  s , - таким образом, выполнено условие линейной зависимости системы векторов a1 , a 2 , … , a s . Пример 3. 1. Дана система векторов a1, a2 ,0. Линейная комбинация имеет вид: Условие линейной зависимости выполнено, 1a1  2 a2  3 0  0 . например, при 1  0 , 2  0 , но можно взять любое 3  0 . Пример 4. Дана система векторов  l1, l2 , l3 , l4 , где l1  1, 0, 0, 0 l2  0, 1, 0, 0 l3  0, 0, 1, 0 120 l4  0, 0, 0, 1 Тогда, очевидно, что условие 1l1  2l2  3l3  4l4  0 может быть выполнено только, если 1  2  3  4  0 . Таким образом, по определению, векторы l1, l2 , l3 , l4 - линейно независимые. Пример 5. Дана система векторов a1, 2a1, a3, где a2  2a1 . Линейная комбинация векторов имеет вид: 1a1  2a2  3a3  0 . Условие линейной зависимости выполнено, например, при Получаем: 1  2  0 , 2  1  0 , 3  0 . 2  a1   1  a2  0  a3  0 . Пример 6. Дана система векторов a1, a2 , a3, a3  2a1  3a2 . Так как вектор a3 есть линейная комбинация двух других векторов, то 2a1  3a2   1  a3  0 . Условие линейной зависимости выполнено. Пример 7. Определенные в предыдущих лекциях коллинеарные и компланарные векторы – частные случаи линейно зависимых систем. а)Пусть векторы a , b - коллинеарны. Тогда по Определению   0 : b  a . Таким образом, получаем линейную комбинацию: a   1b  0 , где не все коэффициенты равны нулю. Условие линейной зависимости векторов a и b выполнено. в) Пусть векторы a , b , c - компланарны. По Определению   0,   0 : c  a  b . Таким образом, получаем линейную комбинацию: a  b   1  c  0 , где не все коэффициенты равны нулю. Условие линейной зависимости векторов a , b , c выполнено. Определение 18. Линейное пространство R называют n-мерным, если в нем существует только n линейно независимых векторов, а любая система из n+1 вектора – уже является линейно зависимой. Число n называется размерностью пространства R и обозначается dim( R ). Определение 19. Совокупность n линейно независимых векторов nмерного линейного пространства называется базисом. 121 Определение 20. Ранг системы n-мерных векторов – максимальное число линейно независимых n-мерных векторов. Иначе говоря, ранг – количество векторов в базисе. Пример 8. 1) a1, a2 , a3. Пусть a1  1, 0,  2 , a2  0, 1, 2 , a3   1,  1, 0. Здесь ранг r = 2 , так как есть два линейно независимых вектора. Не существует  , таких что a1  a2 . Но для трех векторов получим линейную комбинацию 1a1  2a2  3a3  0 , где 1  2  3  1. Теорема. Любой n-мерный вектор x пространства R n можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть дан вектор x  x1, x2 , ... xn  и базис пространства R n  l1, l2 , , ln . По определению базиса    0 , такое что 1l1  2l2  ...  n ln  x  0 . Отсюда получаем выражение для x :           x    1   l1    2   l2  ...    n   ln . Обозначим:  i  xi и          назовем это i-й координатой. Тогда выражение x  x1l1  x2l2  ...  xn ln показывает, как вектор x линейно выражается через векторы базиса. Таким образом, в заданном базисе вектор x в координатной форме имеет вид: x  x1, x2 ,  , xn  . Предположим, существует другое выражение для вектора x через векторы базиса: x  y1l1  y2l2  ...  yn ln . Отнимем от первого выражения второе и получим: x1  y1  l1  x2  y2  l2  ...  xn  yn  ln  0 . Так как векторы базиса линейно независимы, должны выполняться равенства: i  xi  yi  0, i  1,  , n . Из этого следует, что x1  y1, x2  y 2 ,…, xn  y n . 122 Определение 19. Каноническим базисом в n-мерном пространстве называют систему векторов: l1  1 0 ... 0 l2  0 1 ... 0 ………………... ln  0 0 ... 1 . Скалярное произведение первой пары: l1, l2   1 0  0 1  ...  0  0  0 , аналогично, li , l j   0,  i  j . li , li   1 , i  1, ..., n . То есть, векторы Канонического ортогональны. базиса имеют единичную длину и попарно Пример 9. Матрицу A  aij  nm можно рассматривать либо, как вектор столбец nмерных векторов-строк, либо, как вектор-строку m-мерных векторовстолбов.  a11 a12   a 21 a 22 A   a31 a32  ...  ... a a m2  m1 ... a1n   a1     ... a 2n   a 2  a33 ... a3n    a3   a 1 a 2 a 3 ... a n .    ... ... ...   ...  a m3 ... a mn   a m   a1 j     a2 j  Вектор-столбец a j   a3 j  , вектор-строка ai  ai1 ... ain .    ...  a   mj  a13 a 23   Мы изучаем векторные пространства, чтобы вернуться вновь к изучению матриц, их свойств, а в конечном счете, - чтобы вернуться к изучению систем линейных уравнений. Как уже неоднократно отмечалось, в матричном виде система m n линейных алгебраических уравнений с неизвестными x1, x2 , ... , xn записывается:  x1   b1       b2   x2  A  X  B , где X    , B     b , ... ...      bm   xn  123  a11 a12  a 22 a А   21 ... ...   a m1 a m 2  a11 a12  a 22 a А р   21 ... ...  a a m2  m1 a13 ... a1n   a 23 ... a 2n  . ... ... ...   a m3 ... a mn  a13 ... a1n a 23 ... a 2n ... ... ... a m3 ... a mn Расширенная матрица системы: b1   b2  . Аналогично, матрицу A p также ...   bm   a1     a2  можно рассматривать как вектор-столбец: A p   a3  , где вектор–    ...  a   m строка ai  ai1 ... ain bi  . То есть A p состоит из m (n  1) -мерных векторов. Если эта система линейно зависима, то нужно найти ранг этой системы r и оставить только r линейно независимых векторстрок. В соответствующей системе линейных уравнений без ущерба для поиска решения системы следует оставить только эти r уравнений, так как остальные уравнения системы являются их линейной комбинацией. С другой стороны расширенная матрица системы  a1 j     a2 j  a j   a3 j  - вектор-столбец. A p  a 1 a 2 a 3 , ..., a n , b , где    ...  a   mj  Таким образом, A p состоит из (n  1) -го m -мерного вектора. Что   означает, что эти вектор - столбцы линейно зависимы? По определению, надо рассмотреть линейную комбинацию: 1a1  2a2  ...  n an  n 1b  0 . В данном случае нас интересует линейная комбинация x1a1  x2a2  ...  xn an  ( 1)b  0 . Запишем это подробнее: 124  a11   a12      a  21   a 22  x1  a3 j   x 2  a3 j     x n      ...   ...  a  a   m1   m2   a1n   a 2n a  3j  ... a  mn   b1   b    2   ( 1) b   0 . 3   ...       bm   Что, как легко видеть, соответствует записи системы линейных уравнений: a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 a31 x1  a32 x 2  ...  a3n x n  b3 ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm Очевидно, что, если решение системы линейных уравнений существует, то система векторов a 1, a 2 , a 3 , ..., a n , b - линейно зависима. И наоборот, если вектор-столбец правых частей линейно выражается через систему векторов-столбцов коэффициентов при переменных, то это эквивалентно существованию решения соответствующей системы линейных уравнений.   125 Раздел III. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ. ЛЕКЦИЯ 14. АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Алгебраическая форма комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Показательная форма комплексных чисел. Сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа не являются числами в элементарном смысле этого слова, то есть их нельзя применять при подсчетах и измерениях. Это – новый класс математических объектов с описанными свойствами. Каждому комплексному числу z ставится в соответствие пара действительных чисел x, y  и обратно. z  x  iy – алгебраическая форма записи комплексного числа, где i - так называемая мнимая единица ( i удовлетворяет соотношению: i 2   1 , то есть i   1 ). Комплексное число z  x  iy удобно изображать точкой на комплексной плоскости z  x, y  , или соответствующим радиусвектором. Рис. 14.1 126 0 X и 0Y – соответственно действительная и мнимая оси . Все действительные числа обозначаются в классе комплексных чисел в качестве пар x , 0 (и расположены на действительной оси 0 X ). Все чисто мнимые числа обозначаются в классе комплексных чисел в виде пар 0 , y  (и расположены на мнимой оси 0Y ). Мнимая единица i определяется парой 0 , 1 : z  0 , 1  i . Говорят, что для комплексного числа z  x  iy , x  Re z действительная часть числа z, y  Im z - мнимая часть числа z. Графически для каждого комплексного числа z  x  iy абсцисса изображает действительную часть числа z, ордината - мнимую часть числа z. Соответственно, само число z  x  iy - это сумма действительного числа x и чисто мнимого числа iy. Числа z  x  iy и z  x  iy – сопряженными z  x, y  , z  x, y  . называются комплексно- Рис. 14.2 Декартовым координатам x, y  комплексного числа z  x  iy можно сопоставить полярные координаты, - модуль комплексного числа r и его аргумент  : x, y   r,  и, соответственно, r,   x, y  . 127 Модуль: r  z  x2  y2 . Аргумент: y Arg z  arg z  2k    2k , k  0,  1,  2,  , где tg  , x  0 , x угол  отсчитывается от положительного направления оси 0 X . Здесь   arg z , - главное значение аргумента, заключенное в промежутке   ,  , то есть    arg z   . Заметим, что для каждого числа z модуль определен однозначно. Для числа z  0 аргумент не определен, а для ненулевых чисел z аргумент определен с точностью до числа, кратного 2  , то есть Arg z - аргумент комплексного числа z  0 - величина многозначная. Определим y  0  arctg   .  x Заметим, что в зависимости от расположения точки в одном из квадрантов зависимость аргумента   arg z от значения  0 различная: I квадрант:   x  0 , y  0 ,   0,      0  2 Рис. 14.3 II квадрант:   x  0 , y  0 ,    ,      0   2  Рис. 14.4 128 III квадрант: IV квадрант:   x  0 , y  0 ,      ,      0   2     x  0 , y  0 ,     ,0     0  2  Рис. 14.5 Рис. 14.6 Пример 1. а) z1   2  i 2 . x1 x1 – реальная часть, y1 – мнимая часть числа. y1 Здесь Re z1   2 , Im z1  2 . r1   0  arctg  1   3   , 4 4 1  arg z1  квадранте. 3 Arg z1  4  , 4  2 2   2 2  2 , tg1  2  1 ,  2 так как точка  2 , 2 находится во II  2k , k  0,  1,  2,  . б) z2  3  i 3 . Здесь Re z2  3 ,   0  arctg    Im z2   3 . 3   , 3  6 32   r2    2  arg z2   , 6 так 3 2  2 как 3, tg 2  точка  находится в IV квадранте. Arg z2    2k , k  0,  1,  2,  . 6  3 , 3 3 ,  3 129 Для комплексного числа z  x  iy , как следует из рис. 14.1, Получаем: z  rcos  i sin  . Это x  r cos , y  r sin . тригонометрическая форма записи комплексного числа. Пример 2. 3 3   i sin  4 4       б) z2  3  i 3 , тригонометрическая форма: z2  2 3 cos  i sin . 6 6   а) z1   2  i 2 , тригонометрическая форма: z1  2 cos Существует также показательная форма записи комплексного числа: z  r  ei , где e - иррациональное число, его также называют числом Эйлера, - e  2, 718281… . Согласно формуле Эйлера ei  cos  i sin  , откуда сразу и следует показательная форма комплексного числа: z  r  ei . Как мы увидим в дальнейшем, комплексные числа в тригонометрической форме и в показательной форме удобно умножать, делить, возводить в степень. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Пусть есть два комплексных числа в алгебраической форме : z1  x1  iy1 и z2  x2  iy2 Равенство комплексных чисел: z1  z2  x1  x2 ; y1  y2 Два комплексных числа называются равными, если их действительные и мнимые части равны. Например, z  0  Re z  0 и Im z  0 . Сложение/вычитание комплексных чисел: z1  z2  x1  x2   i  y1  y2  Пример 3. (Здесь и далее будем производить операции над комплексными числами из Примера 1.)     z1  z2   2  3  i 2  3 . 130 Умножение комплексных чисел. z1  z2  x1  iy1   x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i 2 y1 y2   x1x2  y1 y2   i x1 y2  y1x2 , Пример 4.   i 2  1     z1  z2   2  i 2 3  i 3   3 2  6  i 6  3 2  Пример 5. Заметим, что модули комплексно-сопряженных чисел равны. Действительно, так как z  x  iy и z  x  iy , согласно формулам умножения z  z  x  iy x  iy   x  x  y  (  y )  i(  xy  yx )  x 2  y 2 r  z  x2  y2  x  iy x  iy   z z  z  x 2   y 2 Деление комплексных чисел. z1 x1  iy1  x1  iy1  x2  iy2  x1x2  ix1 y2  iy1x2  y1 y2     z2 x2  iy2  x2  iy2  x2  iy2  x22  y22 x x y y  x y x y  1 2   i 2 1 1 2   1 2  x2  y2   x2  y2   2 2   2 2  Чтобы избежать комплексности в знаменателе и найти частное z1 z2 по правилам вышеопределенного умножения, числитель и знаменатель сразу умножаются на число, комплексно сопряженное делителю: z2  x2  iy2 . Пример 6.       z1  2  i 2  2  i 2 3  i 3 3 2  6 i 3 2  6    z2 12 3i 3 3i 3 3 i 3     Заметим, что все вышеперечисленные операции над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов и x2  iy2 . Новым в алгебре x1  iy1 комплексных чисел является введенная мнимая единица i , удовлетворяющая соотношению: i 2   1 . 131 ЛЕКЦИЯ 15. КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Основная теорема Алгебры. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть есть два комплексных числа в тригонометрической форме: z1  r1 cos1  i sin1  r1  x12  y12 z2  r2 cos 2  i sin  2  y , tg1  1 x 1 y r2  x22  y 22 , tg 2  2 x2 Умножение комплексных чисел. z1  z2  r 1r 2cos 1  2   i sin 1  2  Деление комплексных чисел. z1 r 1  cos 1  2   i sin 1  2  z2 r2 Таким образом, модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент – сумме (разности) аргументов этих чисел. Пример 1. 3  3      z1  2 cos  i sin  , z 2  2 3 cos  i sin  4 4  6 6      3     7   3     7   z1z2  4 3 cos    i sin     4 3 cos   i sin    4 6   12     4 6   12  z1 2   3    3    1   11   11       i sin     cos  cos   i sin  z2 2 3   4 6  3   12   4 6   12   Возведение в степень (Формула Муавра). z1n  r1n cosn1  i sin n1  132 Извлечение корня. n z  n r  cos 1 2k  i sin  1 2k  , k  0, 1, 2 , ... , n  1 1 1  n n  – получаем n различных корней. Пример 2. а) z14  2 4 cos3   i sin3   16 б) z26  2 3  6cos    i sin    26  33 3 3    2k  2k   4 4 , с) z1  2   cos  i sin 2 2       различных корня из z1 : 3 3   k  0: z1  2   cos  i sin  , 8 8   11  11    z1  2   cos  i sin  8 8   k  0,1 - получаем два k  1: Пусть z , a - комплексные числа, n -натуральное число. Рассмотрим уравнение n-ой степени специального вида: z n  a , a  0 . Оно всегда имеет ровно n различных решений (это видно из определения операции извлечения корня). Если a  a cos  2k   i sin  2k  , то из формулы Муавра следует: (*)   2k   2k   z  n a  n a  cos  i sin  . При k  0, 1, 2 , ... , n  1– n n   получаем n различных корней n-й степени из a. Таким образом, k -й корень имеет вид: zk  xk  iyk  rk cos k  i sin k  , где rk  n a ,  k    2k n , k  0, 1, 2 , ... , n  1 133 Рассмотрим z n  a  0, n  1 , комплексный многочлен специального вида a  0 . Это уравнение, согласно (*) всегда имеет решение - n различных корней n - й степени из a. Определение 1. Комплексный многочлен в общем случае имеет вид: (**) f z   a0  a1z  ...  an z n Будем говорить, что многочлен имеет степень n , если an  0 , а an 1  0 , an  2  0 и т.д. Произвольный многочлен f z  с комплексными коэффициентами это – комплексная функция комплексного аргумента. Пример 3. а) f z   a0  ib0   a1  ib1 z коэффициентами 1-й степени, – многочлен с комплексными a 2  b12  0 . 1 в) f z   c0  c1z  c2 z 2  ...  cn z n – многочлен коэффициентами n -й степени, cn  0 . с действительными Теорема: Основная теорема алгебры. (без доказательства) Всякий многочлен f z  вида (**) степени n  1 , действующий в комплексном пространстве, имеет хотя бы 1 корень, в общем случае комплексный. Пусть многочлен f z  степени n  1 , действует в комплексном пространстве. По Основной теореме алгебры он имеет хотя бы 1 корень, пусть для определенности, это будет - z1 . Тогда можно многочлен f z  представить в виде: f z   z  z1    z , где  z  - многочлен, действующий в комплексном пространстве, степени не больше, чем n  1. Ясно, что n  1  0 . Если при этом n  2 , то n  1  1. Из этого следует, что многочлен  z  степени, большей единицы, действующий в комплексном пространстве имеет хотя бы 1 корень, пусть для определенности, это будет - z2 . Тогда можно многочлен  z  представить в виде:  z   z  z2   z  и, соответственно, - 134 f z   z  z1 z  z2  z  . Действуя аналогично многочлена нулевой степени, получим: (***) f z   z  z1   z  z2  ... z  zn   b . до получения Здесь b  bz 0  const – многочлен нулевой степени, он не имеет корней. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в (**) и (***) получаем, что an  b . Среди чисел z1, z2 ,  , zn могут встретиться равные между собой. Предположим, первые r корней z1, z2 ,  , zr – попарно различны. Тогда: (****) согласно f z   an z  z1 k1 z  z2 k 2 ...z  z r k r , предположению zi  z j , если i  j . Очевидно, что k1  k2  ...  k r  n . Определение 2. Разложение вида (****) zi  z j , если i  j , f z   an z  z1 k1 z  z2 k 2 ...z  z r k r , - называется каноническим разложением k1  k2  ...  k r  n , многочлена f z  на множители. Можно показать, что оно является единственным. Если в разложении (****) ki  1 , тогда zi – называется простым корнем, если ki  1 , тогда zi – называется кратным корнем. Основная теорема алгебры (другая формулировка). Любой многочлен f z  степени n  1 , действующий в комплексном пространстве имеет n корней, в общем случае комплексных, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность. Пример 4. f z   z  z1 n - многочлен имеет один корень z1 кратности n . Следствие 1. Многочлен нулевой степени ( a0  0 ) не имеет корней. Наличие корня у многочлена должно означать, что a0 z 0  a0  0 приходим к противоречию. Следствие 2. Нулевой многочлен имеет сколько угодно много попарно различных корней. 135 Из этого, казалось бы, тривиального утверждения следует полезный вывод: Если два многочлена f z  и g z  , степени которых не превосходят n , имеют равные значения более чем при n различных значениях аргумента, то все соответствующие коэффициенты многочленов f z  и g z  равны между собой. Действительно, пусть многочлен имеет вид: f z   g z   0 . Очевидно, что степень результирующего многочлена не превышает n . Максимальное число корней должно быть не больше n. Поскольку многочлены f z  и g z  принимают равные значения более, чем при различных значениях аргумента, то это означает, что n результирующий многочлен - это нулевой многочлен и все соответствующие коэффициенты многочленов f z  и g z  равны между собой. Или можно сказать иначе, - многочлены тождественны: f z   g z  . Таким образом, многочлен f z  , степень которого не превосходит n , полностью определяется своими значениями при любых n 1 различных значениях аргумента. Предположим, при значениях аргумента 1, 2 , , n 1 многочлен принимает значения f 1 , f 2 ,  , f n 1  . Тогда f z  восстановить многочлен по этим его значениям позволяет известный Интерполяционный многочлен Лагранжа: f ( z)  n 1  i 1 f ( ai ) z  a1 z  ai 1 z  ai 1 z  an 1  . ai  a1 ai  ai 1 ai  ai 1 ai  an 1  Ясно, что степень многочлена в правой части не превосходит n и в точках z  i он принимает значения f i  . Пример 5. а) f z   z 3  3z 2  13z  15  z  3  z  5  z  1 действительными коэффициентами 3-й действительных корня, все корни - простые. – многочлен с степени. Имеет три 136 в) f z   z 4  4 z 3  10z 2  28z  15  z  3  z  5  z  12 - многочлен с действительными коэффициентами 4-й степени. Имеет четыре действительных корня. Два корня: z  3 и z  5 - простые; корень z  1 - кратный корень, так как его степень k  2 . Заметим, что если коэффициенты многочлена действительны, корни все равно могут быть комплексными. Можно показать, что если многочлен f z  с действительными коэффициентами имеет корень z  x0  iy0 , то и сопряженное число z  x0  iy0 является корнем того же многочлена с действительными коэффициентами: f z   0 . Таким образом, можно сделать вывод, что многочлен f z  с действительными коэффициентами, степень которого 2 k  1 , то есть нечетная, имеет, по крайней мере, один действительный корень. Это замечание будет полезно при изучении Линейных операторов, поиске их действительных собственных чисел и собственных векторов. 137 Раздел IV. ФОРМЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ ЛЕКЦИЯ 16. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Линейные преобразования (операторы). Определения, примеры. Свойства линейных преобразований. Матрица Линейного оператора в каноническом базисе. Операторы – более широкое понятие, чем матрицы, функция одного переменного, функция двух переменных, функция многих переменных и т.д. Ax  b , x  b - матрицы переводят вектор в вектор; y  f x  x  y - функция одного переменного переводит число в число ; z  F x, y  x  y  z - функция двух переменных переводит пару чисел в одно число; функция многих переменных переводит набор чисел в одно число. Определение 1. Оператор в общем случае переводит объекты одного класса в объекты другого класса: y  F x  . Здесь y - образ, x прообраз. Функциональный оператор, например, переводит одну функцию в другую. Пример 1. Пусть есть функциональный оператор: D f x   g x  , который переводит функцию f x  в функцию g x  . Если D f  дифференциальный оператор, то он переводит : sin x  cos x ; tg x  1 cos2 x ; x    x 1 и т.д. В векторном пространстве R n существуют преобразования (операторы), которые сохраняют линейные операции над векторами. Такие операторы называются линейными и мы перейдем к их рассмотрению. 138 Пример 2. (примеры линейных операторов)  1 0 а) E    - определяет тождественное преобразование.  0 1 x   1 0  x   x  1 1 Для любого вектора x   1  , E x           x .  0 1   x2   x2   x2  в) Пусть задана матрица преобразования 1 0 A     0 0 x  и вектор x   1  .  x2   1 0  x1   x1       - проекция вектора на первую ось.  0 0  x 2   0  Тогда Ax     x  x  A 1    1  .  x2   0    0  0   0  с) Пусть задана диагональная матрица преобразования A   0  0   x1    и вектор x   x2  . Тогда Ax   x - растяжение исходного вектора. x   3 Основные свойства линейных преобразований. Определение 2. Линейное преобразование n-мерного векторного пространства R n - такое преобразование y  F x  , которое сохраняет линейные операции над векторами, т.е.: x  R n ,   R : 1. F x  z   F x   F z  2. F x   F x  Определение 3. Линейное преобразование (оператор) n-мерного векторного пространства R n , заданное квадратной матрицей A  aij  n 139  x1    x - преобразование, которое n-мерному вектору x   2  ставит в ...    xn   a11 x1  a12 x2  ...a1n xn    a x  a x  ...a 2n xn  соответствие другой вектор A x    21 1 22 2 . Ax   Ax . .......................................    a n1 x1  a n 2 x2  ...a nn xn  Определение 4. Всякое линейное преобразование y  F x  n- Rn мерного векторного пространства является преобразованием, заданным квадратной матрицей A, столбцами которой являются векторы-столбцы F l1 , F l2 ,...,F ln . Таким образом, матрица A  F l1 , F l2 ,...,F ln  состоит из образов векторов l1, l2 ,… , ln , где  l1, l2 ,… , ln - канонический базис в R n . Пример 3. Пусть в R 3 задано преобразование  x1   x2  x3      y  F  x2    x1  x3  . x  x x   3  1 2  Легко проверить, что преобразование является линейным. 1  0     Найдем образы столбцов канонического базиса в R 3 : l1   0  , l2   1  ,  0    0   l3   0  .  1   Получаем  0    1  0  0  1  0  1             F l1   F  0    1  ; F l2   F  1    0  ; F l3   F  0    1  .  0  1  0  1  1  0              0 1 1   матрицу преобразования: . A   1 0 1  1 1 0    0 1 1   x1   x2  x3       Проверим: Ax   1 0 1   x2    x1  x3  . Таким образом, F x   Ax .  1 1 0  x   x  x    3  1 2  140 Пример 4. Нелинейное преобразование.  x2  x   z2  z  Пусть x   1  , y  F  x    12  , тогда для z   1  F z    12  . z  x   z2   x2   2  2 так как F  x  z   F  x   F z  , 2 2 2       x z  x1  z1    x1  z1     , а F x   F z    12    12  . Таким F  x  z   F        2  x2  z2    x2  z2    x2   z2  Очевидно, что образом, преобразование нелинейное, так как Свойство 1 не выполняется. Пример 5.  1 0  .  2 1 Пусть в R 2 задана матрица линейного преобразования A    2  1  2  0  1  2     Пусть дан вектор x    , тогда y  Ax       . В общем 1 2  2  1  1  5     случае векторы x , y не коллинеарны. Рис. 16.1 При описании линейных преобразований (операторов) и изучении их свойств особую роль играют собственные векторы матрицы линейного преобразования: они после преобразования остаются коллинеарны самим себе. 141 ЛЕКЦИЯ 17. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ. Собственные значения и собственные векторы матрицы Линейного преобразования. Характеристическое уравнение матрицы Линейного преобразования. Свойства собственных чисел и собственных векторов матрицы преобразования. Следствие Основной теоремы алгебры для Характеристического уравнения. Задача о нахождении равновесного вектора цен в Линейной Модели Обмена. Задача о нахождении равновесного вектора национальных доходов в Модели Международной бездефицитной торговли. Определение 1. Собственным вектором линейного преобразования, заданного квадратной матрицей n –го порядка A, называется ненулевой n - мерный вектор, который после преобразования остается коллинеарен самому себе. Ax  x , x  0 , x  R n . Число  называется собственным значением (собственным числом), соответствующим собственному вектору x . Как найти все собственные векторы и собственные числа матрицы A? Если Ax  x , - это эквивалентно однородной системе линейных уравнений:  A  E x  0 . Как уже отмечалось в курсе Линейной Алгебры, нетривиальное решение однородной системы x  0 существует  A  E  0 . Определение 2. Характеристическим уравнением матрицы A линейного преобразования называется уравнение вида : A  E  0 , где E - единичная матрица соответствующего порядка. Определение 3. Собственные значения линейного преобразования, заданного матрицей A, являются корнями Характеристического уравнения A  E  0 . Пример 1.  2 1  . Характеристическое уравнение для  2 3 2 1 есть: A  E   0 . Чтобы найти 2 3  Пусть дана матрица A   данной матрицы 142 собственные числа, найдем корни квадратного уравнения: 2    3     2  6  5  2  2  2  5  4  0 . Получаем: 1  4 , 2  1 . Пример 2.  2 1 Найдем собственные векторы матрицы A    из Примера 1.  2 3 Собственные числа матрицы найдены: 1  4 , 2  1 . а) рассмотрим первое собственное значение матрицы А: 1  4 . 1  x1   0  2  4 Ax  1x        . 2 3  4  x2   0   Запишем однородную систему линейных уравнений:  2 x1  x2  0  x2  2x1, то есть первый собственный вектор   2 x1  x2  0  a  x 1    ,  a  0 . 2a 1  2 1  1   4   1 Проверка: пусть x 1    , тогда y1  Ax1         4    . x 1 и 2 2 3 2 8         2 1 y - коллинеарны. б) рассмотрим второе собственное значение матрицы А: 2  1 .  2  1 1  x1   0  Ax  2 x        . 3  1 x2   0   2 Запишем однородную систему линейных уравнений:  x1  x2  0  x2   x1, то есть второй собственный вектор   2 x1  2 x2  0  a  x 2    ,  a  0 .  a  2 2  2 1  2   2  2 2  , тогда y  A x   2 3  2     2  . x и  2        Проверка: пусть x 2   y 2 - коллинеарны. Определение 4. Множество собственных значений матрицы А называют ее спектром. 143 Определение 5. Квадратные матрицы одного порядка называются подобными, если они имеют одинаковый спектр. Свойства собственных чисел матрицы А. 1. Сумма собственных значений матрицы А равна следу этой матрицы (то есть сумме ее диагональных элементов). Пример 3.  2 1 Пусть дана матрица A    из Примера 1. Ее след есть:  2 3 a11  a22  5 . Сумма собственных чисел : 1  2  5 . 2. Произведение собственных чисел матрицы А равно определителю матрицы А. Пример 4. 3 4 Пусть дана матрица A    . Характеристическое уравнение для 5 2 3 4 данной матрицы есть: A  E   0 . Собственные числа, то 5 2 есть корни Характеристического уравнения для данной матрицы есть корни квадратного уравнения: 3    2     20  6  5  2  20  2  5  14  0 . Получаем 1  7 , 2  2 . Определитель данной матрицы 1  2  14 .   A  3  2  5  4  14 . 3. Число отличных от нуля собственных чисел матрицы А равно рангу матрицы А. Следствие. Если все собственные числа матрицы А не равны нулю, то матрица А невырожденная ( r  A  n    0 ). 4. Если 0 - собственное значение невырожденной матрицы A , то - собственное значение матрицы A1 . 1 0 144 1 A x  A1 x . Отсюда следует, Действительно, так как Ax  0 x , -  A  E что 1 0 x  A1 x , тогда, согласно определению, 1 - собственное 0 значение матрицы A1 . 5. Если 0 - собственное значение матрицы A , то n - собственное An , число матрицы n  1. математической индукции. Это легко доказать методом 6. Квадратные матрицы A и AT подобны. Покажем это.  A  E T  A  E - по свойству определителей. По определению операции транспонирования получаем равенство матриц:  A  E T  AT  E T  AT  E . Таким образом, равны и их определители: AT  E   A  E T  A  E . Характеристические уравнения для матриц A и AT совпадают, то есть они имеют одинаковый спектр. Насколько трудно найти собственные числа произвольной матрицы? Всегда ли это возможно? В каких случаях собственные числа матрицы находятся проще всего? Теорема 1.  a11   0 A ...   0 a 22 ... Собственными ... 0   ... 0  ... ...   ... a nn  числами являются числа, диагональной стоящие на матрицы главной диагонали. Поскольку a11   A  E  ... a 22   ... ... ...  a11     a 22     ... a nn     0 , ... ... ... a nn   145 очевидно, что Характеристическое уравнение имеет 1  a11, 2  a22 , ... , n  ann . n корней: Всегда ли собственные числа матрицы действительны? Пример 5.  2  1 Пусть дана матрица A   Характеристическое уравнение  . 2 4  A  E  0 имеет вид: 2   1  2   4      1  2  8  2  4  2  2  2  6  10  0 . 2 4 Корни квадратного уравнения: 1,2  3  9  10  3   1  3  i . Легко видеть, что данная матрица не имеет действительных собственных чисел. В общем случае у линейного преобразования (оператора), заданного квадратной матрицей n–го порядка A , сколько существует собственных чисел, то есть корней Характеристического уравнения? Вспомним Основную теорему алгебры ( см. Лекцию 15): Всякий многочлен вида f z   a0  a1z  ...  an z n степени n  1 , действующий в комплексном пространстве имеет хотя бы 1 корень, в общем случае комплексный. Очевидно, что Характеристическое уравнение для квадратной матрицы A n –го порядка – есть уравнение n –й степени относительно  . Следствие 1 (из Основной теоремы алгебры). Линейный оператор A, действующий в комплексном пространстве, имеет, по крайней мере, одно собственное значение, в общем случае, комплексное. Заметим, что если оператор действует в вещественном пространстве, то вывод не верен. 146 Аналогично Определению 2 Лекции 15 о простых и кратных корнях канонического разложения комплексного многочлена f z  на множители, собственное значение  оператора A будем называть простым (кратным), если оно является простым (кратным) корнем характеристического уравнения. Следствие 2 (из Основной теоремы алгебры). Линейный оператор A, действующий в комплексном пространстве, имеет n собственных значений (в общем случае - комплексных), если каждое собственное значение считать столько раз, какова его кратность. Отдельный вопрос, - в каких случаях существуют действительные собственные значения линейного преобразования, заданного квадратной матрицей n–го порядка A ? Если коэффициенты характеристического многочлена действительны, то это частный случай многочлена с комплексными коэффициентами. И, значит, также существует n корней. Заметим, что, если коэффициенты действительны, то корни все равно могут быть комплексными. Легко показать, что, если многочлен f z  с действительными коэффициентами имеет корень z0  x0  iy0 , то и сопряженное число z0  x0  iy0 является корнем того же многочлена с действительными коэффициентами f z   0 . Это означает, что Характеристический многочлен с действительными коэффициентами, имеющий нечетную степень, имеет, по крайней мере, один действительный корень. Таким образом, соответствующий ему оператор имеет хотя бы одно действительное собственное значение и, соответствующий ему собственный вектор. В дальнейшем мы покажем, что у симметрической матрицы все собственные значения – действительны. Кроме этого, далее мы рассмотрим так называемую Матрицу обмена, у которой всегда существует действительное собственное значение   1 . Свойства собственных векторов. 1. Собственные векторы матрицы с действительными коэффициентами, соответствующие ее различным действительным собственным значениям, линейно независимы. 147  a   , a  0 , 2a Рассмотрим собственные векторы из Примера 4 : x 1    a  x 2    .  a  a   a  Составим линейную комбинацию 1      2     0 , где 1 ,  2 2a  a любые числа. Запишем ее в виде однородной системы линейных a a  a  a 2  0 уравнений:  1 . Ее определитель  3a 2  0 . Таким 2a  a 2a1  a 2  0   0 образом, у системы существует только тривиальное решение:  1 2  0 и, следовательно, собственные векторы независимы. x1 и x2 - линейно 2. (Следствие из 1.) Если все действительные собственные числа квадратной матрицы n-порядка различны, то соответствующие им собственные векторы образуют базис пространства R n . 3. Любая не равная нулевому вектору линейная комбинация 1x1  2 x 2  ...  k x k собственных векторов данной матрицы A , соответствующих одному и тому же собственному значению  , также будет являться собственным вектором матрицы A . Пусть x1, x 2 ,...,x k - собственные собственному значению векторы,  , то есть соответствующие Ax i  x i , i  1,  , k . Пусть 1x1  2 x 2  ...  k x k - не равная нулевому вектору линейная комбинация собственных векторов. Тогда :       A 1x1  2 x 2  ...  k x k  A1x1  A2 x 2  ...  Ak x k   1x1  2 x 2  ...  k x k   1x1  2 x 2  ...  k x k . Теперь надо обсудить вопрос, как можно использовать найденные собственные числа и собственные вектора матрицы А для приведения ее к удобному, диагональному виду. 148 Предварительно докажем небольшую вспомогательную Теорему. Теорема 2. Если матрица A - квадратная матрица порядка n, а T – квадратная, невырожденная матрица того же порядка, то матрица B  T 1 AT подобна матрице A . A Достаточно доказать, что характеристические уравнения матриц и T совпадают: A  E  0  B  E . Очевидно, T 1 AT     T 1  A  E T  B  E , что так как T 1ET  B  ET 1T  B  E B Тогда T 1  A  E T  B  E и по свойству определителей: B  E  T 1  A  E T  T 1 A  E T  A  E T 1 T  A  E , - что и  1 требовалось доказать. Теорема 3. О приведении квадратной матрицы к диагональному виду. Пусть все собственные числа квадратной матрицы A действительны и различны. Матрица V – квадратная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A , соответствующие ее различным действительным собственным числам. Тогда V 1 AV   , где  диагональная матрица, подобная матрице A . Пусть   V  x 1 , x 2 ,...,x n , - матрица из собственных векторов, соответствующих разным действительным собственным числам:  x 1  1  1 n 1 1 2 1  x , 2  x … n  x . Здесь x   x 2  и т.д.  ...   1  xn  149 Поскольку по Свойству 1 собственные векторы линейно независимы, - то матрица V - невырожденная, V  0  V 1 . По Теореме 2 матрица V 1 AV подобна матрице A . Осталось показать, что матрица V 1 AV   , где  – диагональная матрица.  1 0 ... 0    0 2 ... 0  Предположим, что     , элементы которой ...  0 различные ... ... ...  0 ... n  действительные собственные значения матрицы A . Заметим, что если соотношение V 1 AV   умножить слева на V , то получим VV 1 AV  V , или AV  V . Проверим это равенство. Действительно, с одной стороны: 1 2 n 1 2 n AV  Ax , Ax ,...,Ax  1x , 2 x ,...,n x . С другой стороны:  1 0 ... 0     0 2 ... 0  1 2 n то есть V  x1, x 2 ,...,x n    1x , 2 x ,...,n x ,     ...  0 ... ... ...  0 ... n     AV  V , а значит и V 1 AV   , - что и требовалось доказать. Иногда утверждение Теоремы 3 используется при возведении в степень исходной матрицы. Например, при многократном повторении технологического цикла с известной матрицей A , нужно найти  n  1   1 n n n матрицу A . Тогда, зная, что V A V     0  ...  0  0  n2 ... 0  ,  ... ... ...  0 ... nn  ... находим матрицу An  V n V 1. Линейная модель обмена. Рассмотрим две микроэкономические модели, использующие понятия собственного значения и собственного вектора матрицы. 150 Задача о равновесии цен в простой модели обмена. Пусть есть n отраслей производства и каждая выпускает продукцию одного вида. Примем объем продукции каждой отрасли за единицу. Обмен продукцией происходит только внутри системы (то есть система экономически замкнута). Пусть известна технологическая матрица:  a11 a12  a 22 a A   21 ... ...  a a n2  n1 ... a1n   ... a 2n  , ... ...   ... a nn  где aij – доля продукции j-ой отрасли, которая поступает в i - ю отрасль. Ясно, что выполняются два 1) aij  0 i  1, ..., n условия: n 2)  aij  1, j  1, ..., n , j  1, ..., n i 1 так как доли продукции всегда неотрицательны и коэффициентов любого столбца всегда равна единице. сумма Определение 5. Матрица A называется матрицей обмена, если выполнены условия 1)-2). Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, чтобы в процессе обмена вся система находилась в равновесии, то есть, ни одна отрасль не обогащалась за счет другой. Пусть xi - цена продукции i-й отрасли. Тогда x  x1, x2 , ..., xn  - вектор цен. Расход i-й отрасли , то есть стоимость всей закупаемой продукции : n  aij x j . Чтобы отрасль могла развиваться, ее расход не j 1 должен превышать доход, который, естественно, равен стоимости произведенной i -й отраслью продукции: n  aij x j  xi j 1 i  1, ..., n .   Если равновесный вектор цен существует: x 0  x10 , x20 ,...xn0 , то система неравенств выполняется как система равенств. Действительно, пусть n n n i 1 j 1 i 1   aij x 0j   xi0 . Слева вначале поменяем 151 x 0j за знак n n n i 1 j 1 i 1 местами знаки суммирования, а затем вынесем суммирования по i : n n  x 0j  aij   xi0 . Получаем:  x 0j   xi0 . j 1 i  1  1 Поскольку слева и справа стоят суммы компонент одного и того же вектора, то, конечно, имеет место равенство: n n  x 0j   xi0 . Таким j 1 i 1 образом, все исходные неравенства для x  x1 , x2 ,...xn0 так же n i  1, ..., n являются равенствами. Все эти условия:  aij x j  xi , j 1   означают, что Ax  x . Таким образом, задача о нахождении равновесного вектора цен сводится к доказательству того, что   1 является собственным значением матрицы A и нахождению собственного вектора, соответствующего собственному значению   1 . Распишем выражение Ax  1 x более подробно:  a11 a12   a 21 a 22  ... ...  a a n2  n1 ... a1n  x1   x1      ... a 2n  x2   x 2   , или ( A  E ) x  0 . Если ... ...  ...   ...      ... a nn  x n   x n    1, должно быть равно нулю характеристическое уравнение. a11  1 A  1 E  a21 ... a1n a22  1 ... a12 a2 n ... ... an1 an 2 ... ... . По свойству определителей ... ann  1 можно к элементам первой строки прибавить соответствующие элементы всех остальных строк и значение определителя не изменится: 152 n n  ai1  1  ai 2  1 A  1 E  i 1 n ...  ain  1 a 21 i 1 a 22  1 i 1 ... a 2n ... a n1 ... an2 ... ... ... a nn  1 a a 1 = 21 22 ... ... a n1 an2 ... ... a 2n . ... ... ... a nn  1 Очевидно, A  1 E  0 . Как отмечалось в Лекции 8, Однородная система линейных уравнений ( A  E ) x  0 имеет ненулевое решение, так как x  0   A  E  0 . Таким образом, Матрица обмена имеет собственное значение   1 и существует ненулевой собственный вектор, который и является искомым равновесным вектором цен x 0 . Модель международной торговли. Рассмотрим систему из n стран с национальными доходами: x1, x2 , ..., xn , торгующих только друг с другом (то есть система замкнута). Считается, что каждая страна тратит весь национальный доход либо на закупку товара внутри страны, либо на импорт из других стран. Пусть xij – часть национального дохода j-ой страны, которую она оставляет в i-ой стране. Таким образом, например, для 1-й страны справедливо соотношение: x  x  x  x11  x21  ...  xn1  x1 , следовательно:  11    21   ...   n1   1 . x1   x1  x1       a11 Аналогично для 2-й страны a 21 a n1 и т.д. : x12  x22  ...  xn2  x2 , … , x1n  x2n  ...  xnn  xn .  a11  xij  a 21  0 , тогда A   Введем коэффициенты: aij  ... xj   a n1 будет матрицей обмена. a12 a 22 ... an2 ... a1n   ... a 2n  – ... ...   ... a nn  153 Очевидно, что n  aij  1 . Так как i 1 aij - относительная доля национального дохода j-ой страны, которую она оставляет в i-ой стране, то xij  aij  x j . Запишем выручку i-ой страны: pi  xi1  xi 2  ...xin  ai1x1  ai 2 x2  ...  ain xn , i  1, ..., n . Очевидно, что для бездефицитной торговли между странами выручка должна быть не меньше национального дохода, то есть должно выполняться неравенство: pi  xi , i  1, ..., n . Реально, бездефицитная торговля для всех стран может осуществляться только при условии: pi  xi , i  1, ..., n . Что эквивалентно матричной записи: Ax  x . Матрица модели международной торговли – есть матрица обмена и, как уже отмечалось, имеет собственное значение   1 . Однородная система линейных уравнений  A  E x  0 имеет ненулевое решение. Это и означает, что существует ненулевой вектор национальных доходов n стран x   x1, x2 , ..., xn  , обеспечивающий бездефицитную торговлю между ними. Пример 6. Дана структурная матрица А торговли 3-х стран: Найти: вектор национальных доходов 3-х стран, обеспечивающий бездефицитную торговлю между ними. 1 3   8 12 5 5 A  8 12 2 4   8 12 2  4 1 – 4 1  4 матрица обмена, так как 3  aij  1 , j  1,2,3 . i 1 Существует собственное значение   1 , то есть Ax  x . Иначе это можно записать:  A  E x  0 . x  0  A  E  0 . Найдем ранг матрицы:  7   8  5  8  2   8 3 12 7  12 4 12 2   4    21 6 12  II  I  II  1   ~  15  14 6 ~ 4    8  18  3  6   4 154 12  | 3   7 2 4   21 6     ~ 0 0 0 ~  3 4  9 .  6 8  18 | 2  0 0 0     Поскольку ранг матрицы  A  E  равен двум, то A  E  0 . Запишем  7 x1  2 x2  4 x3  0 систему, соответствующую последней матрице:  .  3x1  4 x2  9 x3  0 Выберем базисный минор: 2 4 4 9  18  16  34  0 . В этом случае x1 – свободная переменная. 2 x  4 x3  7 x1 2 x2  4 x3  7 Обозначим x1   , тогда  2 .  4 x  9 x   3 x  2 4 x2  9 x3  3 3 1 x 2 , x3 – базисные переменные, Найдем решение Определитель 7 ~ 2   3 4 образом, искомый неопределенной системы: системы методом ~ 2 4   34 . 4 9 Крамера. Находим 2 7 ~  63  12  51 и  3   6  28  34 . По 9 4  3 ~ ~    51  34  1,5 , x3  ~3  . формулам Крамера: x2  ~2   34  34    x1    Получаем общее решение неопределенной системы:  x2  1,5 . Таким x    3      x  1,5  .      вектор национальных доходов имеет вид: Получим частное решение при   200 . Возможное  200   соотношение национальных доходов в этом случае: x   300  .  200   Таким образом, мы использовали математический аппарат нахождения собственного значения и собственного вектора матрицы для решения некоторых задач микроэкономики. 155 ЛЕКЦИЯ 18. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Понятие квадратичной формы. Матрично-векторный вид квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Для изучения линейной функции от переменных x1, x2 , ..., xn специального вида, используемой в экономических исследованиях, необходимо ввести понятия симметрической матрицы и квадратичной формы. Симметрические матрицы. Определение 1. Симметрической называется квадратная матрица n-го порядка A  aij  , элементы которой удовлетворяет условию aij  a ji i, j . n Свойства: 1. A  AT 2. Все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны. Пример 1.  a b  – симметрическая матрица. b c a  b уравнение имеет вид: A  E  0 b c Пусть A   уравнение 2  a  c   ac  b 2  0   Характеристическое Получаем квадратное Дискриминант D  a  c 2  4 ac  b2  a  c 2  b2  0 , следовательно, уравнение имеет два действительных корня, то есть у матрицы есть два действительных собственных значения. 1) Если a  c & b  0  у матрицы два различных действительных собственных значения. 2) a  c & b  0  1  2  a  у матрицы два одинаковых действительных собственных значения. 156 3. Собственные вектора действительной симметрической матрицы, соответствующие разным собственным числам ортогональны. Покажем это на примере. Пример 2. Пусть действительная симметрическая матрица имеет два различных собственных значения  и  . Им соответствуют собственные вектора x и y . То есть: Ax   x , A y   y T Рассмотрим выражение x A y . T T T С одной стороны, x A y  x  y   x y С другой стороны x A y   x AT  y  Ax  y   x y T T  T T  Получаем  x y   x y , или     x y  0 , откуда следует, что T T T 0 T x y  0.  x1   y1      x y T  2 Поскольку x    , y   2  , x  x1 ... ...     y x  n  n x2 ... xn  , то выражение T x y  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn означает, что скалярное произведение векторов x и y равно нулю Это является признаком ортогональности собственных векторов. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. При решении многих прикладных задач приходится иметь дело с функциями специального вида – так называемыми квадратичными формами. Целевая функция в задачах Линейного программирования, которые мы будем изучать в Разделе V, часто имеет вид квадратичной формы. Определение 2. Квадратичной формой с переменными называется функция L x1, x2 , ..., xn   n n   aij xi x j , где i 1 j 1 aij – числа. x1, x2 , ..., xn 157 Пример 3. n  2. L 2 2   aij xi x j  a11 x12  a12 x1x2  a21 x2 x1  a22 x22 Частный случай i 1 j 1 этой квадратичной формы, когда a11  a12  a21  a22  1 имеет вид: L  x12  2 x1x2  x22  x1  x2 2 . n  3 . Рассмотрим квадратичную форму в общем виде. L 3 3 3 i 1 j 1 i 1   aij xi x j   ai1xi x1  ai 2 xi x2  ai3 xi x3    a11 x1x1  a12 x1x2  a13 x1x3  a21 x2 x1  a22 x2 x2   a23 x2 x3  a31 x3 x1  a32 x3 x2  a33 x3 x3  a11 x12  a22 x22  a33 x32   a12  a21 x1x2  a13  a31 x1x3  a23  a32 x2 x3.    2a12 2a13 2a23 Введем обозначения: 0  a 0  a12  a21 , то есть a12 21 2 a13  a31 a13  a31  , то есть 2 0  a 0  a23  a32 , то есть a23 32 2 0  a0  a  a a12 12 21 21 0  a0  a  a a13 13 31 31 0  a0  a  a . a23 23 32 32 Тогда квадратичная форма примет окончательный вид: 0  x x  2a 0  x x  2a 0  x x L  a11 x12  a22 x22  a33 x32  2a12 1 2 13 1 3 23 2 3 столбец X  xi 3 . a  11 A   a 21   a0  31 a12 a 22 a32 0  a13  0  a 23  a33   – такая  x1    матрица квадратичной формы, X   x2  . Тогда x   3  3 A  aij и вектор- называется матрицей Введем квадратную симметрическую матрицу L  X T AX матричный вид квадратичной формы трех переменных. – векторно- 158 Очевидно, что любую квадратичную форму можно записать в векторно-матричном виде. Для любой квадратичной формы n переменных L n n   aij xi x j i 1 j 1 существует векторноT формы: L  X AX . матричный вид   0   a11 a12  0 A является симметрической матрицей A   a 21 a 22    a  n1 a n 2 aij0  a 0ji  полусумма коэффициентов при xi  x j квадратичной   a10n   a 20n  , где    a nn   и x j  xi . Такая матрица A называется матрицей квадратичной формы n переменных x1, x2 , ..., xn . Определение 3. Квадратичная форма, все коэффициенты которой aij – действительные (вещественные) числа, называют действительной (вещественной) квадратичной формой. Матрица действительной квадратичной действительной симметрической матрицей. формы является Утверждение 1. Для любой симметрической матрицы n - го порядка, существует единственная квадратичная форма n переменных. Пример 4. n  3 . Lx1, x2 , x3   x12  x22  4 x32  4 x1x2  6 x1x3  10x2 x3 0  a 0  2 a12  a21  4  a12 21 0  a0  3 a13  a31  6  a13 31 0  a0  5 a23  a32  10  a23 32  159  1 2 3    Матрица квадратичной формы A    2 1 5  .  3 5 4    1  2 3  x1     1 5   x 2  - векторно  3 5 4   x3   Таким образом L  x Ax  x1, x2 , x3    2 T матричный вид данной квадратичной формы. Квадратичную произведение  форму  также  можно записать как скалярное  L  x , Ax или L  Ax, x . Область определения квадратичной формы n переменных - R n (действительные векторы). Область значений – множество действительных чисел R . Во многих экономических задачах квадратичная форма описывает, например, прибыль, затраты ресурсов, функцию полезности. Поэтому важно знать, при каких условиях квадратичная форма принимает только положительные или неотрицательные значения. Определение 4. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положительные (отрицательные) значения на всех ненулевых векторах. Пример 5. Рассмотрим разно определенные квадратичные формы: 1) положительно Lx1, x2   x12  2 x1x2  2 x22  x1  x2 2  x22  0 определенная квадратичная форма (если i : xi  0 ). 2) Lx1, x2   x12  2 x1x2  x22  x1  x2 2 – неотрицательно определенная   1 квадратичная форма, так как, например, на векторе x     L  0 . 1 160 Lx1, x2   x12  4 x1x2  x22  x1  x2 2  2x1x2  – неопределенная 1 квадратичная форма. Так как на векторе x     L  0 , на векторе 1 3) 1 x     L  0   1 Определение 5. Если квадратичная форма содержит только квадраты переменных, то говорят, что она имеет канонический вид. Вместо переменных x1, x2 , ..., xn путем линейного преобразования можно получить новые переменные y1, y2 , ..., yn : y  P x , где P матрица преобразования координат. Естественно, что при переходе к другим координатам мы получим иной вид квадратичной формы. Согласно Теореме 3 Лекции 17 (о приведении квадратной матрицы к диагональному виду), надо стремиться, чтобы матрица квадратичной формы стала диагональной. Теорема. (без доказательства) Любая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Lx1, x2 ...xn   1 y12   2 y22  ...   n yn2 Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Поэтому канонический вид не является однозначно определенным. Отметим, что число неравных нулю коэффициентов в канонической форме равно рангу r  A матрицы данной квадратичной формы Lx1, x2 , ..., xn  . В частности, если все собственные числа 1, 2 , ..., n матрицы квадратичной формы различны, то есть ранг r  A  n , тогда канонический вид квадратичной формы будет таким: Lx1, x2 , ..., xn   1 y12  2 y22  ...  n yn2 . 161 Теорема: Действительная квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной в том и только в том случае, если все собственные числа матрицы квадратичной формы положительны (отрицательны). Квадратичная форма является неопределенной, если среди собственных чисел попадаются как положительные, так и отрицательные. Утверждение 2. (Закон инерции квадратичных форм) Если для некоторой квадратичной формы получены 2 различных канонических вида, то число положительных (отрицательных) чисел среди набора коэффициентов: 1, 2 ,... n , 1,  2 ,... n  – одинаково. Определение 6.  a11  a Главные подматрицы квадратной матрицы A   21 ...  a  n1 a12 a 22 ... an2 ... a1n   ... a 2n  и ... ...   ... a nn  их главные миноры определяются следующим образом: Главные подматрицы: n  1 обозначим A1  a11  n  2 обозначим … n a12  a A2   11  a a  21 22  2 Главные миноры: M1  A1 M 2  A2 … обозначим An  A (исходная матрица) M n  An   Теорема (критерий Сильвестра). (без доказательства) Действительная квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной в том и только в том случае, если все главные миноры матрицы этой квадратичной формы положительны (имеют чередующиеся знаки, начиная с «–»). 162 Пример 6. Lx1, x2 , x3   8 x12  4 x22  x32  6 x1x2  4 x1x3  8 3  2   T 0  , L  x Ax . Найдем  2 0 1  Матрица квадратичной формы: A   3 4 главные миноры M1  8  0 M2  8 3 3 4  32  9  23  0 8 3 2 M3  3 4 2 0 3 4 0   2    1  M 2  16  23  7  0 (разложение по 2 0 1 последнему столбцу). Итак, M1  0 , M 2  0 , M 3  0 , то есть данная квадратичная форма является положительно определенной. 163 Раздел V. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ЛЕКЦИЯ 19. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Линейные задачи оптимизации. Целевая функция. Классический пример задачи Линейного Программирования, - Задача о Диете. Стандартная и Каноническая формы задачи Линейного Программирования. Так называемые оптимизационные экономико-математические модели содержат один или несколько критериев оптимальности и некоторые ограничения, - условия, вытекающие из содержательной части постановки задачи. Если ограничения сформулированы в виде системы уравнений или неравенств относительно переменных x1, x2 , ..., xn и добавлены требования неотрицательности переменных x1  0 , x2  0 ,…, xn  0 , то получим задачу Математического программирования. Она включает в себя: 1) целевую функцию: f x1, x2 ,..., xn   max min  2) специальные ограничения:  gi  x1, x2 ,...,xn   0, i  1,, k h  x , x ,...,x   0, j  k  1,, m n  j 1 2 3) ограничения общего вида: x1  0 , x2  0 ,… , xn  0 Задача математического программирования состоит в определении   T вектора x *  x1* , x2* , ..., xn* , который является решением задачи: f x1, x2 ,...,xn   maxmin   g i  x1 , x2 ,...,xn   0, i  1,, k  h j  x1 , x2 ,...,xn   0, j  k  1,, m   x1  0, x2  0, , xn  0 Математически это – задача на условный экстремум. Задача Линейного программирования (точнее было бы использовать термины «линейное планирование», «математическое планирование», но эти сочетания уже закрепились и широко используются в литературе) – частный случай задачи математического программирования, в котором целевая функция и 164 все функции ограничений - линейны. Именно этот класс оптимизационных моделей широко применяется в экономике и управлении. Исторически «Задача о диете» является одним из первых примеров классической задачи Линейного программирования – так называемой «Задачи о смесях». Кроме того типичные экономические задачи, такие, как задача о планировании производства и оптимальном использовании ресурсов, задача о формировании потребительской корзины, задача о перевозках (транспортная задача) так же являются классическими задачами Линейного программирования. Пример 1. [2] «Задача о диете» Дама, просто приятная, решила похудеть и как это часто бывает, обратилась за советом к подруге. Подруга, дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из новомодных продуктов P и Q. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий(чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом P написано, что в Одном килограмме содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта P равна 15 рублей, а 1 кг продукта Q - 25 рублей. Так как дама, просто приятная, в это время была весьма стеснена в средствах, то ее очень интересовал ответ на вопрос: в какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты P и Q, чтобы выдержать условия диеты и потратить как можно меньше средств? Итак, запишем все условия задачи в таблицу: P Q Жир Калории Цена 15 150 15 4 200 25 Для того, чтобы математически «поставить» задачу, обозначим искомое количество продукта P - за x, искомое количество продукта Q - за y. 165 Поскольку стоимость суммарного продукта получим целевую функцию: 15x  25 y  min - z  15x  25 y , то 15x  4 y  14 150x  200 y  300  и ограничения:  x  0  y  0 Рис. 19.1 Будем искать решение этой совсем не геометрической задачи графически. В Декартовой системе координат Oxy построим две прямые l1 и l2 . l1 : 15x  4 y  14 и l2 : 150x  200 y  300 . Найдем точки их пересечения с осями Ox и Oy. Для прямой l1 , - тт. A 14   7  ,0  , B 0,  .  15   2  Для прямой l2 , - тт.  3 C 2,0, D 0,  .  2 Прямая l1 делит плоскость на 2 полуплоскости: очевидно, что в одной 15x  4 y  14 , в другой - 15x  4 y  14 . В какой из полуплоскостей 166 выполняется нужное неравенство 15x  4 y  14 ? Рассмотрим т.О(0,0): 15  0  4  0  0  14 , - таким образом, т.О лежит в искомой полуплоскости(слева). Аналогично можно найти на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 150x  200 y  300 . Заметим, что 150  0  200  0  300 , то есть искомая полуплоскость не содержит т.О(0,0), и, значит, она лежит выше прямой, проходящей через т.С и т.D. Прибавив условие x  0, y  0 , получаем  BDE, в котором выполняются и специальные ограничения и ограничения общего вида. То есть, в данной задаче  BDE – это область допустимых решений. Здесь т.E – точка пересечения прямых и находится, как решение 15x  4 y  14 150x  200 y  300 системы уравнений:  Решая систему методом Гаусса, находим x  , y  1 . Итак, точка пересечения прямых E  , 1 . 2 3 2 3  Графически линейная функция z  15x  25 y является уравнением плоскости. Нас интересует только та часть плоскости, которая лежит над  BDE. Чтобы построить ее, мы можем провести из всех трех вершин  BDE линии, параллельные оси OZ, - пересечением их с плоскостью z  15x  25 y будет другой треугольник. Так называемый плоский срез призматической поверхности обладает следующим свойством: как самая высокая, так и самая низкая его точки располагаются непосредственно над вершинами  BDE. Вычислим z  15x  25 y в этих трех вершинах : z B  87,5 , z D  37,5 , 2 z E  35 . Целевая функция минимальна в т.E, то есть x  , y  1 и 3 x 2  . искомая пропорция: y 3 Ответ на вопрос, волновавший даму просто приятную, получен: для того, чтобы выдержать условия диеты и потратить как можно меньше денег нужно брать рекомендованные продукты в соотношении два к трем Воспользовалась ли она этими рекомендациями – неизвестно. Заметим, что оптимальное решение найдено так называемым методом перебора. 167 Определение 1. Задача Линейного Программирования (ЗЛП) с n переменными x1, x2 , ..., xn и m ограничениями в стандартной форме имеет вид: f x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b c , x   max 2n n 2  21 1 22 2 (1) ... или коротко: (2) Ax  b , где a x  a x  ...  a x  b x  mn n m  m1 1 m 2 2  x1  0, x2  0, ... xn  0  a11 a12   a 21 a 22 A  aij nm , или подробно A   ... ...   a m1 a m 2  x1   b1      b  x  x   2 , b   2 . ... ...     b x  m  n   ... a1n   ... a 2n  , c  c1, c2 ,...,cn  , ... ...   ... a mn  Подчеркнем, что выражение Ax  b из ЗЛП (2) является просто компактной записью системы линейных уравнений из ЗЛП (1). Согласно Определению 6 Лекции 13, здесь и далее подразумевается не сравнение векторов в целом (что невозможно, учитывая, что вектор кроме координат имеет еще и направление), а выполнение соответствующего неравенства для каждой компоненты. Аналогично запись x  0 является компактной записью набора ограничений x1  0, x2  0, ..., xn  0 по Определению 6 Лекции 13. Заметим, что несложно привести все ограничения к одному виду: исходное неравенство со знаком  нужно умножить на (-1). Определение 2. Оптимальным решением задачи (1) называется   T такое допустимое решение x *  x1* , x2* , ..., xn* , которое обращает в максимум целевую функцию:   f *  f x1* , x2* , ..., xn*  max f x1 , x2 ,..., xn  . x  ОДР 168 Величина f * является оптимальным значением целевой функции задачи (1). Общая задача линейного программирования отличается от стандартной тем, что некоторые ограничения имеет форму равенств: c , x   max  n   aij x j  bi ,  j 1   n   aij x j  bi ,  j 1   x j  0,   i  1,..., k i  k  1,..., m , j  1,..., n Здесь ограничения сокращенно записаны с использованием знака суммирования  . Иногда полезно использовать Канонический вид задачи линейного программирования: f x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  maxmin  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  . ..  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 ... a x  a x  ...  a x  b mn n m  m1 1 m 2 2  x1  0, x2  0, ... , xn  0 Переход от задачи линейного программирования в стандартной форме (1) к каноническому виду осуществляется путем добавления новых m переменных xn 1, xn  2 , ..., xn  m : f x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  xn 1  b1 a x  a x  ...  a x  0  x 22 2 2n n n 1  xn  2  b2  21 1 ... a x  a x  ...  a x  0  x m2 2 mn n n 1  ...  xn  m  bm  m1 1  x1  0, x2  0, ..., xn  0, xn 1  0, xn  2  0, ..., xn  m  0 169     a a ... a 1 ... 12 1n  11  ~  a 21 a 22 ... a 2n 0 1 ... 0  ~ nm A  , A  aij m . Очевидно, что ... ... ... ... ... ... ... ...    a m1 a m 2 ... a mn 0 0 ... 1      m   ~ rang A  m , так как матрица, составленная из m строк и последних m     столбцов является единичной матрицей, которая может быть выбрана в качестве базисного минора. В этом случае базисными переменными будут xn 1 , … xn  m и можно найти так называемое первое базисное решение ЗЛП, используя методы решения систем линейных уравнений. «Платой» за использование известных методов линейной алгебры является увеличение количества переменных: от n - к n  m . Согласно Определению 4 Лекции 8, частное решение системы, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным решением (относительно данного базисного минора). Определение 3. Опорным (базисным) решением задачи линейного программирования в канонической форме с (n+m) переменными и m уравнениями называется решение, в котором все n свободных переменных равны нулю, а m базисных переменных неотрицательны. 170 ЛЕКЦИЯ 20. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Графический метод решения задач Линейного Программирования. Свойства решений задач Линейного Программирования. Графический метод решения ЗЛП достаточно прост и имеет наглядный геометрический смысл для случая двух и трех переменных (n=2, n=3). Запишем Задачу Линейного Программирования с двумя переменными x1, x2 (n=2) и m ограничениями в стандартной форме: f ( x1, x2 )  c1x1  c2 x2  max a11 x1  a12 x2  b1 a x  a x  b 21 1 22 2 2   ...  a x  a x  b m2 2 m  m1 1  x  , x  . 2  1 Заметим, что целевая функция в данном случае – это функция двух переменных и ее линии уровня – прямые линии. Для каждого неравенства ai1x1  ai 2 x2  bi из системы специальных ограничений можно построить соответствующую прямую li : ai1x1  ai 2 x2  bi , которая делит плоскость на две полуплоскости. Очевидно, что в одной из них выполняется условие: ai1x1  ai 2 x2  bi , в другой: ai1x1  ai 2 x2  bi . Отметим штриховкой ту из полуплоскостей, в которой выполняется нужное неравенство. Добавив условие x1  0, x2  0 , получим область допустимых решений ЗЛП для случая, когда в специальных ограничениях только одно это неравенство. Если неравенств несколько, нужно для каждой прямой выделить полуплоскость, в которой выполняется нужное неравенство. Область, в которой выполняются одновременно все специальные ограничения и ограничения общего вида будет искомой Областью допустимых решений (ОДР) Задачи Линейного Программирования. 171 Рис. 20.1 Если неравенств несколько, нужно для каждой прямой выделить полуплоскость, в которой выполняется нужное неравенство. Область, в которой выполняются одновременно все специальные ограничения и ограничения общего вида будет искомой Областью допустимых решений (ОДР) Задачи Линейного Программирования. Возможные варианты Области допустимых решений: I.[3]  x1  x 2  1   x1  x 2  1 т. А0,1 – допустимое решение.  x  0, x  0  2 172 Рис. 20.2 Область допустимых решений в данном случае состоит из одной точки. II.[3]  x1  x2  3   x1  x2  4  x  0, x  0  2 Рис. 20.3 Допустимых решений нет. 173 Область допустимых решений в данном случае состоит из пустого множества. III.  x1  2 x 2  4  x x 6  1 2   x1  x2  4  x  0, x 2  0 Рис. 20.4 Область допустимых решений в данном случае – ограниченное выпуклое множество. IV.  x1  x 2  2  x x 4  1 2   2 x1  x 2  4  x  0, x 2  0 174 Рис. 20.5 Область допустимых решений в этом случае – неограниченное выпуклое множество. Заметим, что для случая, когда n=3, принципиально алгоритм поиска Области допустимых решений не меняется: вместо прямых мы имеем дело с пересечением плоскостей и ищем область в пространстве, где выполняются все специальные ограничения и ограничения общего вида. Конечно, это существенно более громоздкая процедура, чем для n=2. Алгоритм решения задач графическим методом (n=2): линейного программирования 1. Поиск области допустимых решений. Возможны 4 варианта: а) пустое множество б) множество, состоящее из одной точки в) выпуклое ограниченное множество г) выпуклое неограниченное множество 2. Поиск оптимального значения целевой функции: а) перебором б) с помощью вектора-градиента. 175 Определение 1. Вектор-градиент f ( x1, x2 )  c1x1  c2 x2  max(min) целевой функции  f f    c1, c2  c  g r a df ( x1, x2 )   ,  x1 x2  перпендикулярен к линиям уровня целевой функции и показывает направление, в котором линии уровня возрастают. Пример 1. Пусть целевая функция имеет вид: f  2 x1  3x2  max . Тогда вектор-градиент c  2,3 . Рис. 20.6 1) Рассмотрим линию уровня функции двух переменных, где значение целевой функции равно нулю, то есть L  0 . Тогда имеем уравнение прямой: 2 x1  3x2  0 . Из этого уравнения следует, что скалярное произведение векторов равно нулю: c , x   0 . Следовательно, вектор 2,3  x1, x2  . Из уравнения прямой линии получаем 2 x2   x1 , то 3 2 k1   . Очевидно, что вектор 3 3 k2  . оси ОХ Условие c имеет тангенс угла наклона к 2 ортогональности векторов k1  k2  1 - выполнено. есть коэффициент этой прямой 176 2) Рассмотрим линию уровня, когда L  3  2 x1  3x2  3 , или 2 3 x2   x1  3 3 3) Рассмотрим линию уровня, когда L  3  2 x1  3x2  3 , или 2 3 x2   x1  и т.д. 3 3 Таким образом, все линии уровня параллельны между собой и ортогональны вектору-градиенту. Очевидно, что линии уровня возрастают в направлении вектора-градиента. Найдем теперь оптимальное значение функции f  2 x1  3x2 в области допустимых решений из пункта III (см. рис. 20.4, рис. 20.6, рис. 20.7). Очевидно, что через т. N , граничную точку ОДР, пройдет линия уровня, имеющая максимальное значение и тогда f *  f N . Найдем     f *  f x1* , x2* . Определим координаты т. N , решив  x x 6 систему уравнений методом Гаусса:  1 2  x1  2 x2  4 I  II 2   x1  2 3  x1  x2  6 .    3x2  10  x2  3 1  3 8 10 1 2 1  Таким образом, x *   2 , 3  , f *  2   3   15 . 3 3 3 3 3   x *  x1* , x2* Вернемся и к общему случаю: целевая функция имеет вид вектор-градиент f ( x1, x2 )  c1x1  c2 x2  max(min) , c  c1,c2  . Уравнение линии уровня c1x1  c2 x2  L , - это общее уравнение прямой. Тогда уравнение с угловым коэффициентом для этой c c L прямой: x2   1 x1  и k1   1 . Вектор c имеет тангенс угла c2 c2 c2 c наклона к оси ОХ k 2  2 и k1  k2  1 . Очевидно, что векторc1 градиент ортогонален линиям уровня и показывает направление их роста. 177 В Примере 1. был рассмотрен случай, когда ЗЛП имеет единственное решение. При этом оптимальное решение достигается в одной из вершин области допустимых решений. Пример 2. Найдем теперь оптимальное значение целевой функции в той же области допустимых решений из Примера 1. Здесь вектор-градиент c  3,3 . Заметим, что линии уровня параллельны ребру NM . Убедимся в этом: так же, как Примере 1, определим координаты т. M и найдем значения целевой f  3x1  3x2  max 2 1 функции в т. N  2 ,3  и т. M 5,1 .  3 3 Получаем f *  f N  f M  18 (см. рис. 20.7). Рис. 20.7 В Примере 2. рассмотрен случай, когда ЗЛП имеет множество решений: если в двух крайних точках отрезка целевая функция принимает оптимальное решение, то она принимает оптимальное решение во всех точках отрезка. 178 Это так называемый «альтернативный оптимум». В этом случае оптимальное решение достигается в двух вершинах области допустимых решений, а также во всех внутренних точках соответствующего ребра области допустимых решений. Заметим, что, с одной стороны, - если Задачу Линейного Программирования в стандартной форме с двумя переменными x1, x2 (n=2) привести к каноническому виду, то у общего решения соответствующей системы линейных уравнений всегда будет две свободные переменные. С другой стороны, любая вершина области допустимых решений есть точка пересечения двух прямых, то есть как минимум две из переменных, составляющие решение ЗЛП в каноническом виде равны нулю. Согласно Определению 3 Лекции 19, получаем, что всякая вершина области допустимых решений совпадает с одним из опорных решений системы специальных ограничений в каноническом виде. Для случая, когда область допустимых решений ЗЛП – неограниченное выпуклое множество, существование оптимального решения зависит от вектора-градиента целевой функции. Суммируя все вышесказанное, сформулируем несколько утверждений. Утверждение 1. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной из вершин (угловых точек) области допустимых решений. Утверждение 2. Если линейная функция принимает максимальное (минимальное) значение в 2-х угловых точках (т.А и т.В) области допустимых решений, то она принимает его в любой точке отрезка АВ. Объединяя Утверждение 1 и Утверждение 2 получаем: Если область допустимых решений ограничена, то оптимальное решение задачи линейного программирования существует (одно или множество). 179 Утверждение 3. Если ОДР не ограничена, то оптимальное решение существует тогда, когда линейная функция ограничена сверху для задачи на поиск максимума или снизу для задачи на поиск минимума. Объединяя Утверждение 1, 2,3 и Определение 3 Лекции 19 получаем: Утверждение 4. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение (в ограниченной области – всегда, в неограниченной – в зависимости от ограниченности линейной функции), то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы специальных ограничений задачи линейного программирования в канонической форме. 180 ЛЕКЦИЯ 21. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Постановка Транспортной задачи. Графический метод решения простейших Транспортных задач. Примеры задач, сводящихся к транспортной: задача о формировании штата фирмы; задача о назначениях. Рассмотрим еще один классический пример задачи Линейного программирования, - задачу о перевозках (транспортную задачу). Транспортная задача Здесь рассмотрим так называемую сбалансированную задачу, то есть задачу о перевозках, в которых общий объем товаров, готовых к отправлению, в точности равен объему товаров, который готовы принять в пунктах назначения. В общем виде сбалансированная транспортная задача состоит в том, что существует m пунктов отправления A1, A2 ,, Am , n пунктов назначения B1, B2 ,, Bn ; в каждом пункте отправления Ai находится ai единиц товара, запрос пункта назначения B j - b j единиц товара. Дана матрица C  cij  nm , где cij – стоимость доставки единицы продукции из i-го пункта отправления в j-ый пункта назначения. В частности, c12 – стоимость доставки единицы продукции из 1-го пункта отправления во 2-ой пункта назначения. xij – искомое число единицы продукции, перевезенное из i-го пункта отправления в j-ый пункта назначения. Рис.21.1 181 Стоимость перевозки xij единиц продукции из i-го пункта отправления в j-ый пункта назначения составляет: cij  xij . Тогда общая стоимость всех перевозок составляет: c11 x11  c12 x12  ...  cmn xmn  отправления вывезено m n   cij xij  F . При этом из i-го пункта i 1 j 1 xi1  xi 2    xin  n  xij  ai единиц товара. В j 1 j-ый пункт назначения привезут x1 j  x2 j    xmj  товара. m Выполнено условие :  ai  i 1 i 1 n b j . j 1 Итак, сбалансированная транспортная программирования имеет вид: F m  xij  b j единиц задача Линейного m n   cij xij  min i 1 j 1 n  xij  ai , i  1,, m j 1 m (1)  xij  b j , j  1,, n i 1 xij  0, i, j n m i 1 j 1  ai   b j Пример 1. Пусть m  2 – количество складов, n  3 – количество магазинов. Задана матрица стоимостей перевозки единиц товара    c11 c12 c13   . C  cij 32    c21 c22 c23  Тогда, согласно условиям задачи ограничения, связанные с возможностями каждого из выглядят так: (1), складов x11  x12  x13  a1 x21  x22  x23  a2 Ограничения, соответствующие поступлениям в каждый магазин выглядят так: 182 x11  x21  b1 x12  x22  b2 x13  x23  b3 , x11  0, x 12  0, x13  0, x21  0, x22  0, x23  0 , при этом Целевая функция имеет вид: F  2 3 i 1 j 1  ai   b j . 2 3   cij xij  min , так как общую i 1 j 1 стоимость всех перевозок нужно минимизировать. Требуется найти оптимальное решение сбалансированной транспортной задачи Линейного программирования, - матрицу    x* x* x* перевозок X  xij* 32   11 12 13  * * * x x x   , для которой значение целевой   21 22 23  функции F минимально. Существуют различные транспортной задачи. методы решения сбалансированной Несбалансированные задачи сводятся к сбалансированной задаче двумя способами. I. Если выполняется условие m n  ai   b j , вводится так называемый i 1 «фиктивный потребитель». j 1 Количество пунктов увеличивается на единицу, при этом считается, что bn 1  назначения m n i 1 j 1  ai   b j . Размер матрицы стоимостей перевозки единиц товара меняется, добавляется лишний столбец. Теперь матрицы стоимостей перевозки единиц товара имеет вид C  cij  nm1 , где ci,n 1  0 , i  1, , m . Заметим, что целевые функции исходной задачи: F  c11 x11  c12 x12  ... cmn xmn  m n   cij xij и модифицированной: i 1 j 1 F  c11 x11  c12 x12  ... cmn xmn  0  x1 n 1   0  xm n 1  совпадают. m n 1   cij xij , i 1 j 1 - 183 II. Если выполняется условие «фиктивный поставщик». m n i 1 j 1  ai   b j , вводится так называемый Количество пунктов отправления увеличивается на единицу, при этом считается, что am 1  n m j 1 i 1  b j -  ai . Размер матрицы стоимостей перевозки единиц товара меняется, добавляется лишняя строка. Теперь матрицы стоимостей перевозки единиц товара имеет вид C  cij  n , где cm 1, j  0 , j  1, , n . Целевые функции F  c11 x11  c12 x12  ... cmn xmn  m 1 исходной задачи: m n   cij xij и модифицированной: i 1 j 1 F  c11 x11  c12 x12  ... cmn xmn  0  xm 1,1   0  xm 1,n  m 1 n   cij xij также i 1 j 1 совпадают. Покажем, что в некоторых случаях транспортную задачу можно решить графически. Пример 2. [2] Пусть m  2 – количество складов, n  2 – количество магазинов. Задана матрица стоимостей перевозки единиц товара C  cij  22   1 2   .  2 1 На складе A1 находится a1  20 единиц товара, на складе A2 находится a2  10 единиц товара. Запрос магазина B1 : b1  16 единиц товара, запрос магазина B2 : b2  14 единиц товара. Обычно эти данные задачи представлены в табличном виде: п о т р е б н о с т и м а г а A1 A2 B1 B2 1 2 16 2 1 14 20 10 н а с к л а 184 Поскольку общую стоимость всех перевозок необходимо минимизировать, получаем целевую функцию транспортной задачи: F  1  x11  2  x12  2  x21  1  x22  min  x11  x12  20  x  x  10  21 22 и ограничения:  x11  x21  16 .  x  x  14 22  12  x11  0, x 12  0, x21  0, x22  0 Легко видеть: 20  10  Требуется найти 2 2 i 1 j 1  ai   b j  16  14  30 . оптимальное решение сбалансированной    * *  x x транспортной задачи - матрицу перевозок X  xij* 22   11 12  , для  * *  которой значение целевой функции F минимально. Введя новую переменную  x11  t  x  20  t  получим:  12  x21  16  t  x22  10  x21  t  6 Поскольку все  x21 x22  x11  t  0 , переменные t  0 t  20  неотрицательны, получаем:  и результирующее ограничение: t  16 t  6 6  t  16 . Преобразуем целевую функцию, чтобы она стала функцией одной переменной t : Построим прямую, F  t  220  t   216  t   t  6  66  2t . соответствующую этому уравнению. Отрезок АВ – это множество возможных значений целевой функции. Очевидно, что минимальное значение целевая функция достигнет (рис.21.2) при максимально возможном значении аргумента, - t  16 . Таким образом, получаем *  16 , x*  4 , x11 оптимальное решение задачи: F *  66  2t  34 , 12 *  0 , x *  10 . x21 22 185 Рис. 21.2 Пример 3. [2]. Пусть, так же, как в Примере 1, m  2 – количество складов, n  3 – количество магазинов. Конкретные числовые данные для подобных задач удобно представить в табличном виде: A1 A2 B1 B2 B3 6 9 70 5 4 140 8 6 90 120 180 Здесь C  cij  32   6 5 8   . Запишем математическую постановку этой  9 4 6 транспортной задачи: F  6 x11  5x12  8x13  9 x21  4 x22  6 x23  min  x11  x12  x13  120  x  x  x  180 23  21 22  x11  x21  70   x12  x22  140  x13  x23  90   x11  0, x 12  0, x13  0, x21  0, x22  0, x23  0 186 Требуется найти оптимальное решение сбалансированной  2 3  x* x* x*  транспортной задачи - матрицу перевозок X *  xij*   11 12 13  ,  * * *   x21 x22 x23  для которой значение целевой функции F минимально. Введя две новые переменные: x11  u , x12  v , выразим остальные исходные переменные через новые переменные u, v . Получим: x21  70  u , x22  140  v , x13  120  u  v , Поскольку все переменные x23  90  120  u  v   u  v  30 . неотрицательны, в данном случае можно свести транспортную задачу к задаче Линейного программирования. Преобразовав соответствующим образом целевую функцию получаем: F  6u  5v  8120  u  v   970  u   4140  v   6u  v  30   5u  v  1970  min u  v  120 u  70  v  140 u  v  30  u  0, v  0 Рис. 21.3 187 Вектор-градиент целевой функции c   5,1 . На рис.21.3 для удобства построен коллинеарный ему вектор c    75,15. Очевидно, что минимальное значение целевой функции достигается в т. N 70, 50 . Таким образом, получаем оптимальное решение задачи: F *  1970  5  70  50  1570, *  70 , x*  50 , x*  0 , x*  0 , x*  90 , x11 12 22 13 21 *  90 . x23 Задачи, сводящиеся к транспортной. Известно довольно много задач, решение которых находится так же, как в транспортной задаче, при этом содержательная часть задачи никак не связана ни с каким видом транспорта. Например, это задача о формировании штата фирмы; задача о назначениях. Пример Задачи о формировании штата фирмы. В 80-е годы прошлого века советские консульства за рубежом предпочитали использовать труд членов семей дипломатических работников на таких должностях, как секретарь-референт, работники бухгалтерии, визовой службы, отдела технического обслуживания. Обучать потенциальных работников нужно было языку (английскому, или страны пребывания), математическому обеспечению персональных компьютеров и инженерному обслуживанию компьютерных сетей. По результатам тестирования было сформировано 3 группы (7, 5 и 6 человек в каждой) по обучению предполагаемых работников для занятия должностей 4 видов (известно, что есть 5 вакансий секретарей-референтов, 3 – в отделе выдачи виз, 6 вакансий работников бухгалтерии, 4 вакансии в отделе технического обслуживания. Известно, что на обучение кандидата из i-го группы для занятия должности j-ого вида вакансий тратится cij средств. Задана матрица  c11 c12 c13 c14  120 150 185 210      C  cij 34   c21 c22 c23 c24    95 135 150 180 .  c c c c   80 95 140 165    31 32 33 34     Все данные задачи сведены в таблицу: 188 Секретарь Language Hardware Software Вакансии 120 95 80 5 Визов. Бухгалтер Отдел 150 185 135 150 95 140 3 6 Техн. Отдел 210 180 165 4 bj Группы ai 7 человек 5 человек 6 человек 3 4 i 1 j 1  ai   b j Как минимизировать общие затраты на обучение потенциальных работников? Математическая постановка этой задачи выглядит так: F 3 4   cij xij  min i 1 j 1  x11  x12  x13  x14  7 x  x  x  x  5 23 24  21 22  x31  x32  x33  x34  6   x11  x21  x31  5 x  x  x  3 22 32  12  x13  x23  x33  6   x14  x24  x34  4  xij  0, xij  целое  Требуется так же, как для сбалансированной транспортной задачи,  x* x* x* x*   11 12 13 14   * * * *  найти оптимальное решение, - матрицу X  xij* 34   x21 x22 x23 x24  ,  * * * *   x31 x32 x33 x34    для которой значение целевой функции F будет минимальным.   Пример задачи о назначениях. В задаче о назначениях известно, что есть одинаковое количество работников и работ, которые нужно выполнить, причем каждый работник будет выполнять только одну работу и, соответственно, каждая работа будет выполняться только одним работником. 189 Известно, какое время тратит каждый работник на выполнение определенной работы. В задаче о назначениях искомые переменные – бинарные, то есть те, которые принимают только значения 0 и 1. Нужно так распределить работы между работниками, чтобы общее время выполнения всех работ было минимальным. F n n   cij xij  min , i 1 j 1 1, если i  й работник выполняет j  ю работу . xij   0, в противном случае Пусть n  4 и известно время в одинаковых единицах, которое тратит каждый работник на выполнение определенной работы: Имя\Работа Геракл Емеля Сизиф Папа Карло 1 2 3 7 5 2 5 4 3 7 3 1 4 5 3 4 3 5 8 5 Математическая постановка задачи о назначениях выглядит так: F 4 4   cij xij  2  x11  5  x12  1  x13  3  x14  3  x21  4  x22  4  x23  i 1 j 1 5  x24  7  x31  3  x32  5  x33  8  x34  5  x41  7  x42  3  x43  5  x44  min  x11  x12  x13  x14  1   x21  x22  x23  x24  1  x31  x32  x33  x34  1   x41  x42  x43  x44  1  , поскольку матрица временных затрат  x11  x21  x11  x41  1 x  x  x  x  1 22 32 42  12  x13  x23  x33  x43  1 x  x  x  x  1 24 34 44  14  xij  двоичная переменная 190 2 51 3     3 4 4 5 известна. Для данного примера одним из методов C  сij 44   7 358   5 7 3 5    решения транспортной задачи найдено оптимальное решение  x* x* x* x*   11 12 13 14   0 0 1 0    * * * *   x x x x 1 0 0 0 матрица X  xij* 44   21 22 23 24    , для которой значение  * * * *  0 1 0 0 x x x x 31 32 33 34        * * * *   0 0 0 1 x x x x  41 42 43 44    целевой функции F минимально, F *  12 единиц времени. Таким образом, за минимально возможное время будут выполнены все работы, при этом, Геракл возьмется за третью работу, Емеля – за первую, Сизифу достанется вторая работа, а четвертая работа останется для Папы Карло. 191 ЛЕКЦИЯ 22. СИМПЛЕКС-МЕТОД. Симплекс - метод решения задач Линейного Программирования. Опорное решение. Алгоритм Симплекс - метода. Пример нахождения решения задачи Линейного программирования Симплекс - методом. В Лекции 20 был рассмотрен Графический метод решения Задачи Линейного Программирования. Он позволяет построить область допустимых решений и нагляден для случая двух и трех переменных (n=2, n=3). n=2: F x   c1x1  c2 x2  max Вектор - градиент c  c1,c2  . Рис. 22.1 n=3: F x   c1x1  c2 x2  c3 x3  max Рис. 22.2 Вектор - градиент c  c1, c2 , c3  . 192 Оптимальное решение ЗЛП, если оно существует, будет находиться в вершинах (угловых точках) области допустимых решений и его легко можно найти с помощью вектора- градиента. В случае « альтернативного оптимума» оптимальное решение ЗЛП достигается в двух соседних вершинах (и во всех внутренних точках соответствующего отрезка). Оптимальное решение ЗЛП для случая более, чем трех переменных можно найти с помощью метода перебора вершин области допустимых решений. Как уже говорилось в Лекции 20, если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы специальных ограничений задачи линейного программирования в канонической форме. Таким образом, перебор всех опорных решений, то есть угловых точек области допустимых решений, приведет к оптимальному решению, так как множество угловых точек конечно. Но существуют чисто вычислительные трудности простого перебора, когда у области допустимых решений очень много вершин. Метод направленного перебора вершин для решения Задачи Линейного Программирования является фундаментом универсального метода решения ЗЛП, известного, как Симплексметод. Пример 1.[4] Рассмотрим систему ограничений конкретной Задачи Линейного Программирования в канонической форме.  x1  2 x3  5 x 4  7  x  2  3x3  4 x4  15  x  0, j  1, ...,4  j Система имеет два уравнения (m=2) и четыре неизвестных (n=4). Можно ввести векторную запись этой системы: x1 A1  x2 A2  x3 A3  x4 A4  B , где  1   2  0  5 7 A1    , A2    , A3    , A4    , B    . Векторы A1 , A2 , A3 , A4  0  3  1  4 15 - векторы условий. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как m  n . Ранг матрицы системы 193 r  min2;4=2. Если выбрать базисный минор: 1 0  0 , то тогда x1, x2 0 1 базисные переменные, а x3 , x4 - свободные переменные. Векторы условий, соответствующие базисным переменным – линейно независимы. Приведем несколько примеров частных решений данной системы линейных уравнений: x 1  4,8,1,1 , x 2  9,12,1,0, x 3  7,15,0,0. Последний пример, - это базисное решение (относительно данного базисного минора), так как обе свободные переменные равны нулю. В данном случае базисное решение является и опорным, так как базисные переменные неотрицательны. В общем случае, когда матрица системы линейных уравнений с n переменными имеет ранг r, базисное решение имеет не больше r ненулевых координат. В дополнение к Определению 3 Лекции 19, дадим другой вариант определения опорного решения ЗЛП. Определение 1. Опорным решением задачи линейного программирования с n переменными называется такое допустимое     решение x   x10 , x20 ...x r0 ,0,0, ... ,0  , для которого векторы условий,    n   соответствующие положительным координатам ( x10  A1 , x20  A2 ,…, x r0  Ar ), - линейно независимы, так как соответствуют базисному минору. Если в опорном решении x число отличных от нуля координат равно r, то оно называется невырожденным (если число отличных от нуля координат меньше r, то опорное решение будет называться вырожденным). Как уже отмечалось, всякая вершина области допустимых решений ЗЛП совпадает с одним из опорных решений. Симплекс - метод, или метод направленного перебора опорных решений, метод последовательного улучшения решения, - универсален: он позволяет за конечное число шагов найти оптимальное решение, если оно существует. 194 Алгоритм Симплекс - метода: 1. Определить какое-либо первоначальное допустимое решение задачи линейного программирования. 2. Найти условие перехода к следующему решению, которое не хуже предыдущего. 3. Проверить полученное решение с помощью критерия оптимальности. Если условия критерия оптимальности выполнены, найденное решение оптимально. Пусть дана Задача Линейного Программирования (ЗЛП) с n переменными x1, x2 , ..., xn и m ограничениями в стандартной форме (см. Лекцию 19): f x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b c , x   max 2n n 2  21 1 22 2 (1) ... или коротко: (2) Ax  b , где a x  a x  ...  a x  b x  mn n m  m1 1 m 2 2  x1  0, x2  0, ... , xn  0  a11 a12   a 21 a 22 n A  aij m , или подробно A   ... ...   a m1 a m 2   ... a1n   ... a 2n  ... ...   ... a mn  Осуществим переход от задачи линейного программирования в стандартной форме (1) к каноническому виду путем добавления новых m переменных xn 1, xn  2 , ..., xn  m : F x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x 2  ...a1n x n  x n 1  b1  a x  a x  ... a x  x  b2 22 2 2n n n2  21 1  . ... a x  a x  ...a x  x  b m2 2 mn n nm m  m1 1  x j  0, j  1, ..., n  m 195 Здесь матрица системы линейных уравнений:  a11 a12  a 22 ~ a A  a~ij n  m   21 m ... ...  a a m2  m1   ... a1n ... a 2n ... ... ... a mn 1 ... 1 ... ... ... ... ... 0  0 . ...  1  Поскольку r  minm, n  m , - r A  m , так как естественно взять за базисный минор последние m столбцов матрицы. Мы получим единичную матрицу m-го порядка. Следовательно xn 1,  , xn  m – базисные переменные, а x1, ..., xn – свободные переменные. Базисные переменные выразим через свободные: ~ n   x n 1  b1   a1 j x j  j 1  n   x n  2  b2   a 2 j x j j 1   ...  n x  bm   a mj x j n  m  j 1   x1 , ... , x n  m  0    1.Таким образом, на первом этапе дополнительные переменные являются базисными, а основные переменные – свободными. Возьмем все свободные переменные равными нулю.    – первое опорное решение (в задаче на X I   0 ,0 ... , b , b ... b 1 2 m     n  b  0 , базисное решение всегда будет максимум, при условии опорным решением, то есть X I  ODP ). FI  F X I   0 – значение целевой функции для первого опорного решения. 196 2. Первое опорное решение, когда FI  0 , явно может быть улучшено. В п.2 попадаем, так же, если проверка опорного решения предыдущего этапа на критерий оптимальности показала, что оптимальное решение пока не найдено. На данном этапе прежде всего находим наибольший положительный коэффициент целевой функции, выраженной через свободные переменные: c 0j  max c j , j  1, ... , n . Переменную xi0 сделаем базисной переменной, - так быстрее будет осуществляться рост целевой функции. Понятно, что какая-то базисная переменная предыдущего этапа должна перейти в свободные переменные текущего этапа. Очевидно, что все базисные переменные предыдущего этапа неотрицательны. Поскольку базисные переменные выражаются через свободные и, в частности, через xi0 , из условий неотрицательности находятся возможные границы изменения переменной xi0 . Та базисная переменная, которая раньше всех остальных при росте xi0 обращается в нуль, и будет переведена из базисных переменных в свободные. Из выражения для старой базисной переменной и будет получено выражение для новой базисной переменной xi0 . Далее находятся выражения для всех остальных базисных переменных текущего этапа через свободные переменные этого этапа. Принимая все свободные переменные равными нулю находим вначале второе опорное решение X II и FII  F X II  – значение целевой функции для второго опорного решения, затем, аналогично, все последующие. Процесс нахождения очередного опорного решения продолжается до тех пор, пока не будет выполнен критерий оптимальности. 3. Проверка критерия оптимальности состоит в следующем: а) целевая функция выражается через свободные переменные в) если все коэффициенты целевой функции в задаче на максимум отрицательны (все коэффициенты целевой функции в задаче на минимум положительны) то оптимальное решение найдено. Если критерий оптимальности не выполнен, то возвращаемся к п.2 , меняем одну из базисных переменных и ищем очередное опорное решение. 197 Пример 2. Пусть дана Задача Линейного Программирования (ЗЛП) с двумя переменными x1, x2 и тремя ограничениями в стандартной форме. Рис.22.3 Вначале решим задачу Графическим методом: F  2 x1  4 x2  max  x1  x 2  5  x  x  3  1 2  2 x1  x 2  8  x1  0, x 2  0  1 1   A    1 1  2 1   Построим ОДР: l1 : A0,5, B5,0 l2 : С 0,3, D 3,0 l3 : K 0,8, L4,0 Поскольку вектор-градиент c  2,4  2 1, 2 , оптимальное решение ЗЛП будет достигаться в т. M 1,4. F *  2 1  4  4  18 x *  x1* , x2*  1,4 .   198 Для решения этой же задачи Симплекс–методом перейдем к каноническому виду ЗЛП. I. F  2 x1  4 x2  max 5  x1  x2  x3  x  x  x 3  1 2 4   x5  8  2 x1  x2  x1 , ... , x5  0    1 1 ~ A  1 1   2 1     1 0 0 0 1 0  0 0 1        ~ r A  3 , так как 3 последних столбца составляют базисный минор. Следовательно x3 , x 4 , x5 – базисные переменные; x1 , x 2 – свободные переменные. Выразим базисные переменные через свободные:  x3  5  x1  x2  0   x4  3  x1  x2  0 x  8  2x  x  0 1 2  5 Возьмем все свободные переменные равными нулю. Получим первое опорное решение: X I  0, 0, 5, 3, 8. Целевая функция выражена через свободные переменные: F  2 x1  4 x2 . Таким образом F X I   0 . II. Целевая функция F  2 x1  4 x2 выражена через свободные переменные. Максимальный коэффициент равен 4, таким образом, имеет смысл переменную x2 перевести в базисные. Из условий неотрицательности всех базисных переменных п. I. находятся три возможные границы изменения переменной x2 , x1 . Когда свободная переменная x1  0 получаем три неравенства:  x2  5   x 2  3 . Легко видеть, что раньше всего условие неотрицательности x  8  2 нарушается во втором неравенстве, для переменной x4 , так как min5,3,8  3 . Таким образом, x 4 нужно перевести в свободные переменные. Итак x3 , x2 , x5 – новые базисные переменные. Выпишем выражения для всех базисных переменных через свободные: 199  x2  3  x1  x4  0   x3  5  x1  3  x1  x4   2  2 x1  x4  0  x  8  2 x  3  x  x   5  3x  x  0  5 1 1 4 1 4 Целевая функция переменные: должна быть выражена через свободные F  2 x1  43  x1  x4   12  6 x1  4 x4 Возьмем все свободные переменные равными нулю, получим второе опорное решение: X II  0, 3, 2, 0, 5 . FII  F X II   12 . Критерий оптимальности не выполнен, так как есть положительный коэффициент в новом выражении целевой функции. Нужно опять менять одну из базисных переменных и искать очередное опорное решение. III. Очевидно, что нужно сделать x1 – базисной переменной. Из условий неотрицательности всех базисных переменных п. II. находятся три возможные границы изменения переменной x1 . При x4  0 получаем   x1  3  три неравенства:  x1  1 . Легко видеть, что раньше всего условие  5  x1   3 неотрицательности нарушается во втором неравенстве, для 5 переменной x3 , так как min , 1,   1 . Таким образом, x3 нужно 3  перевести в свободные переменные. Окончательно получаем: x4 , x3 – свободные переменные, x1 , x2 , x5 –базисные переменные. Выпишем выражения свободные: для всех базисных переменных через  2  x3  x 4 x x  1 3  4  x1  2 2 2  x3 x 4 x x    x4  4  3  4  x2  3  1  2 2 2 2   3 1  x3 x 4   x5  5  31  2  2   x4  2  2 x3  2 x4    Целевая функция переменные: должна быть выражена через свободные 200 x   x F  12  61  3  4   4 x4  12  6  3x1  x4  18  3x1  x4 2 2   Возьмем все свободные переменные равными нулю, получим третье опорное решение: X III  1, 4, 0, 0, 2 . FIII  F X III   18 . Критерий оптимальности выполнен, так как все коэффициенты целевой функции в задаче на максимум отрицательны. Это означает, что F *  18 , x *  x1* , x2*  1,4 .   Видим, что оптимальное решение Задачи Линейного Программирования, найденное Симплекс – методом совпадает с оптимальным решением задачи, найденным графическим методом. Алгоритм Симплекс – метода достаточно прост при решении задач на максимум для случаев, когда область допустимых решений содержит нулевую точку. Заметим, что, есть особенности получения первоначального допустимого решения задачи линейного программирования для случая, когда область допустимых решений не содержит т.О(0,0), а также при решении задач на минимум. В любом случае, на этапе поиска первого опорного решения (п. 1.) возможен просто перебор базисных миноров. Если ненулевые компоненты базисного решения, соответствующего определенному базисному минору, положительны, то это базисное решение может быть выбрано в качестве первого опорного решения ЗЛП. 201 ЛЕКЦИЯ 23. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Построение двойственной задачи Линейного программирования. Существование оптимальных решений взаимодвойственных задач. Связь основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач Линейного программирования. Теоремы Двойственности. Экономический смысл Теории Двойственности. Любой задаче линейного программирования, назовем ее исходной, прямой, можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной, сопряженной. Обе эти задачи образуют пару взаимодвойственных задач линейного программирования, каждая из которых является двойственной к другой задаче. Вспомним – стандартную задачу линейного программирования: F x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b 2n n 2  21 1 22 2 (1) ... , где a x  a x  ...  a x  b mn n m  m1 1 m 2 2  x1  0, x2  0, ... , xn  0  a11 a12  a 22 a A  aij nm   21 ... ...  a a m2  m1   ... a1n   x1   b1       ... a 2n  x  b2   2 b  x  , ,   ...  , c  c1, c2 , ... , cn  .   ... ... ...      ... a mn   bm   xn  c , x   max Короткая запись: (1') Ax  b . x 0 Экономический смысл этой задачи – найти оптимальный план выпуска продукции I -м производителем, обеспечивающий максимальную прибыль. Предположим, что II-й производитель хочет перекупить сырье [3,4]. Составим двойственную задачу, решение которой позволит определить приемлемые условия продажи сырья. 202  y1    y Введем вектор оценок (цен) видов сырья: y   2  . ...    ym  В данном случае под оценками (ценами) подразумеваются объективно обусловленные оценки (понятие впервые введено русским ученым Л.В.Канторовичем в 30-е годы ХХ в.), которые, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Очевидно, что затраты на приобретение i -го вида сырья в количестве bi - bi  yi . II-му производителю выгодно минимизировать суммарные затраты на приобретение всех видов сырья, таким образом, целевая функция в Двойственной задаче имеет вид: Z  y   b1 y1  b2 y2  ...  bm ym  min . I-му производителю, в свою очередь, не выгодно продавать сырье, если суммарная стоимость всех видов сырья, расходуемое на каждое изделие j -го вида продукции, то есть a1 j y1  a2 j y2  ...  amj ym была меньше величины c j , получаемой от реализации изделия j -го вида. Аналогично получим общую систему специальных ограничений задачи и очевидных общих ограничений. Объединяя систему ограничений с целевой функцией получим Двойственную задачу, соответствующую прямой ЗЛП (1) : Z  y   b1 y1  b2 y2  ...  bm ym  min a11 y1  a 21 y 2  ...  a m1 y m  c1 a y  a y  ...  a y  c m2 m 2  12 1 22 2 (2) ... Короткая запись:(2') a y  a y  ...  a y  c mn m n  1n 1 2n 2  y1  0, y 2  0, ... , y m  0 b , y   min AT y  c , y0 где  y1    y  y   2 , ...   y  m  a11  a AT   12 ...  a  1n a 21 a 22 ... a 2n ... a m1   b1     ... a m 2   b2  b    , , c  c , c , ... , c 1 2 n   ...  . ... ...    ... a mn   bm  Легко видеть, что и в прямой, и в двойственной задаче ищется экстремум целевой функции. При этом, если в прямой задаче 203 линейного программирования мы ищем максимум, то в соответствующей двойственной задаче – минимум. В обеих задачах переменные должны удовлетворять системе специальных и общих ограничений задачи. Коэффициенты c j , j  1,..., n целевой функции прямой задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. И наоборот, свободные члены системы ограничений прямой задачи bi , i  1,..., m являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Заметим, что отмеченные правила построения справедливы, если в прямой задаче на максимум все специальные ограничения приведены к одному знаку «  ». В двойственной задаче на минимум все специальные ограничения так же должны иметь один знак, - «  ». Пример 1. Построим двойственную задачу линейного программирования по заданной прямой ЗЛП: F x   2 x1  x2  max  x1  x 2  5 1  1 x  x  2   2  1  1 1  A  3 x  x  6  1 2  3  1 , тогда   2 x  x  2   1 2    2  1  x1  0, x 2  0 1  1 3  2  AT    . 1 1  1  1  Соответствующая двойственная задача будет иметь вид: Z  y   5 y1  2 y2  6 y3  2 y4  min  y1  y 2  3 y3  2 y 4  2   y1  y 2  y3  y 4  1  y  0, y  0, y  0, y  0.  1 2 3 4 Сформулируем еще раз все Правила формирования задачи линейного программирования, двойственной к исходной задаче: 1. Число переменных в двойственной задаче равно количеству специальных ограничений прямой задачи. 204 2. Если в прямой задаче ищется максимум, то в двойственной задаче ищется минимум (и наоборот). 3. В задаче на максимум все специальные ограничения должны иметь один знак: «  », а в задаче на минимум все специальные ограничения должны иметь один знак: - «  ». 4. Компоненты вектора специальных ограничений b в прямой задаче становятся коэффициентами целевой функции в двойственной задаче. 5. Матрица коэффициентов при переменных в системе специальных ограничений в двойственной задаче получается путем транспонирования соответствующей матрицы исходной задачи. 6. Знак неравенства специальных ограничений в прямой задаче меняется на противоположный в двойственной задаче. 7. Коэффициенты целевой функции в прямой задаче становятся компонентами вектора ограничений c в двойственной задаче. Основные теоремы двойственности: Основное неравенство.  x1   y1      x y Для любых допустимых решений x   2  и y   2  , - соответственно ... ...      xn   ym  решений прямой (1) и двойственной (2) программирования, справедливо неравенство: F x   Z  y  – основное неравенство. Возможны другие записи: c , x   b , y  или задач n m j 1 i 1 линейного  c j x j   bi y j . Приведем без доказательства формулировки некоторых Теорем теории двойственности. Теорема. (Достаточный признак оптимальности) * T – допустимые решения Если x *  x1* , x2* , ..., xn* T и y *  y1* , y2* , ..., ym взаимодвойственных задач (1) и (2), для которых выполняется равенство: F x *  Z y * , то x * – оптимальное решение прямой         задачи (1), а y * – оптимальное решение двойственной задачи (2). Теорема 1. Первая (основная) теорема двойственности 205 Либо взаимодвойственные задачи линейного программирования одновременно имеют оптимальные решения и тогда F x *  Z y * , либо ни одна из них не имеет решения.     Замечание 1: Если линейная функция одной из задач не ограничена (не достигает оптимального решения), то условия двойственной задачи противоречивы (нет множества допустимых значений). Замечание 2: утверждение, обратное замечанию 1, в общем случае не верно. Пример 2. [3] Прямая задача: F  5x1  9 x2  max  2 x1  3x 2  12   2 x1  x 2  4  x  0, x  0  1 2 3  2 A    2  1  Рис. 23.1 Двойственная задача:  Z  12 y1  4 y2  min  2 y1  2 y 2  5   3 y1  y 2  9  y  0, y  0  1 2   2 2 AT     3  1 206 Рис. 23.2 Существует оптимальное решение прямой и двойственной задач:    x *  x1*  6, x2*  8 , F *  5  6  9  8  102  y *  y1*  5,75, y2*  8,25 , Z *  12  5.75  4  8.25  102 Пример 3. [3] Иллюстрация Замечания 1 Прямая задача: Двойственная задача: F  3x1  5x2  max 2 x1  3x 2  6   2 x1  x 2  4  x  0, x  0  1 2 Z  6 y1  4 y2  min 2 y1  2 y 2  3   3 y1  y 2  5  y  0, y  0  1 2  2  3 A    1  2   2  2 AT    1  3 207 Рис. 23.3 Рис. 23.4 Легко видеть, что не существует оптимального решения прямой задачи и условия двойственной задачи противоречивы (нет множества допустимых значений). 208 Экономический смысл Теоремы 1 состоит в том, что предприятие имеет два равновыгодных для него варианта: а)производство продукции в соответствии с оптимальным планом и получение максимально возможной выручки за произведенную продукцию; б) предприятие может получить ту же самую сумму средств за счет продажи имеющихся у предприятия ресурсов. Запишем прямую задачу линейного программирования (1) в каноническом виде: F x   c1x1  c2 x2  ...  cn xn  max a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  xn 1  b1 a x  a x  ...  a x  0  x 21 1 22 2 2n n n 1  xn  2  b2  (3) ... a x  a x  ...  a x  0  x m2 2 mn n n 1  ...  xn  m  bm  m1 1  x1  0, x2  0, ..., xn  0, xn 1  0, xn  2  0, ..., xn  m  0 n переменных  n+m Запишем двойственную задачу линейного программирования (2) в каноническом виде: Z  y   b1 y1  b2 y2  ...  bm ym  min a  c1  11 y1  a 21 y 2  ...  a m1 y m  y n 1 a y  a y  ...  a y  yn  2  c2 m2 m  12 1 22 2 (4) ... a y  a y  ...  a y  y m  n  cn mn m  1n 1 2n 2  y1  0, y 2  0, ..., y m  0, y m 1  0, y m  2  0, ..., y m  n  0 m переменных  m+n Выпишем Таблицу соответствия основных и дополнительных переменных (они здесь и далее отделены двойной чертой) прямой и двойственной задач (3) и (4): Прямая ... ... x xn 1 xn x1 nm задача Двойственн ая задача y m 1 ... ym  n y1 ... ym 209 Теорема 2. Вторая теорема двойственности: Пусть есть пара взаимодвойственных задач (1) и (2). Для того, чтобы,  x1   y1      x y допустимые решения x   2  и y   2  являлись оптимальными ... ...     x y  n  m решениями пары двойственных задач, Необходимо и Достаточно следующее: m 1)  n  i 1  j 1 m   x j  c j   aij y j   0 .   j 1  i 1  n  yi  bi   aij x j   0 2)   Теорему 2 можно сформулировать короче, используя Таблицу соответствия переменных прямой и двойственной задач (3) и (4). Заметим, что условию 1) для оптимального решения эквивалентна m более короткая запись:  yi xn i  0 ; условию 2) эквивалентна запись: i 1 n  x j ym  j  0 . Поскольку все переменные взаимодвойственных задач j 1 неотрицательны, каждое слагаемое из первой и второй суммы должно быть равно нулю, то есть каждое попарное произведение должно быть равно нулю. Теорема 2. (другая формулировка) Положительным компонентам переменных оптимального решения одной из взаимодвойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи. Может быть, самое простое - записать Таблицу соответствия основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач для оптимального решения: Прямая ... ... x * x1* xn* xn* 1 nm задача Двойственн ая задача * ym 1 ... * ym n y1* ... * ym 210 Утверждение Теоремы 2 состоит в том, что произведение элементов в каждом столбце таблицы равно нулю. Более традиционно символически это можно записать так: 1) если xn* i  0 , то yi*  0 , i  1,  , m * 2) если x*j  0 , то ym  j  0 , j  1,  , n . Первое условие можно пояснить подробнее: Если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i -е ограничение исходной задачи (1) выполняется как строгое неравенство, то i –я компонента оптимального решения двойственной задачи равна нулю. И наоборот, - если i–я компонента оптимального решения двойственной задачи отлична от нуля, то i-е ограничение исходной задачи (1) удовлетворяется оптимальным решением как равенство. Для пояснения второго условия, аналогично можно связать j –ю компоненту оптимального решения исходной задачи (1) и j –е ограничение двойственной задачи (2). Экономический смысл Теоремы 2 состоит в том, что объективно обусловленные оценки определяют степень дефицитности ресурсов. Дефицитными оказываются те ресурсы, которые в соответствии с оптимальным планом производства используются полностью и тогда имеют ненулевые объективно обусловленные оценки, а недефицитные – нулевые оценки. Также очевидно, что в оптимальный план производства могут попасть только те виды продукции, рыночные цены которых в точности равны затратам на используемые при их производстве ресурсы. Если рыночные цены меньше всех затрат на производство, то такая продукция не должна производиться. Пример 3. Убедимся, на Примере 3, что утверждение Теоремы 2 справедливо. Составим Таблицу соответствия основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач для оптимального решения. 211 Прямая задача: F  5x1  9 x2  max  2 x1  3x2  12   2 x1  x2  4  x  0, x  0  1 2 Двойственная задача: Z  12 y1  4 y2  min  2 y1  2 y 2  5   3 y1  y 2  9  y  0, y  0  1 2  Запишем ограничения обеих задач в каноническом виде:  2 x1  3x2  x3  12   2 x1  x2  x4  4  x  0, x  0, x  0, x  0 2 3 4  1  2 y1  2 y 2  y3  5   3 y1  y 2  y 4  9  y  0, y  0, y  0, y  0 2 3 4  1   Зная оптимальное решение обеих задач: x *  x1*  6, x2*  8 ,   y *  y1*  5,75, y2*  8,25 , найдем дополнительные переменные. x3  12  2  6  3  8  0 , x4  4  2  6  8  0 , y4  9  3  5,75  8,25  0 . y3  5  2  5,75  2  8,25  0, Из Таблицы соответствия переменных видно, что утверждение Теоремы 2 верно. Прямая задача Двойственн ая задача x1* x 2* x3* x 4* 6 8 5,7 5 8,25 y3* y 4* y1* y 2* Как можно использовать теорию двойственности для решения исходной (прямой) задачи линейного программирования? Если, например, в прямой задаче много переменных и всего два специальных ограничения, можно поставить ей в соответствие двойственную задачу, в которой только две переменные и много ограничений. Лучше вначале найти решение именно двойственной задачи, что легко сделать графическим методом. 212 Затем нужно записать ограничения обеих задач в каноническом виде, составить Таблицу соответствия основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач для оптимального решения. Из Таблицы будет следовать, что в оптимальном решении довольно много переменных прямой задачи равны нулю. В итоге в прямой задаче окажется не более двух ненулевых переменных, которые можно будет легко найти из системы специальных ограничений. В заключение заметим, что если в реальности существуют приемлемые для II-го производителя условия продажи ему сырья I-м производителем, то это значит, что он рассчитывает в процессе производства продукции получить прибыль. То, что I-му производителю выгоднее продавать сырье, а не производить продукцию, означает, что технологический процесс у I-го производителя организован очень не эффективно. 213 ЛЕКЦИЯ 24. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Основные понятия Динамического программирования. Пример задачи Динамического программирования: выбор оптимального пути в транспортной сети. Динамическое программирование (точнее было бы использовать термин «динамическое планирование») – это известный метод нахождения оптимального решения задачи, которую можно считать «многоэтапной», или «многошаговой» операцией. Динамическое программирование – математический аппарат, позволяющий оптимизировать решение в случае, когда изучаемая ситуация не содержит факторов неопределенности, но наилучшее решение надо выбрать из множества возможных. При этом планирование каждого шага должно производиться с учетом конечной выгоды, получаемой только при окончании всего анализируемого процесса. Выигрыш за всю операцию складывается из выигрыша на отдельных шагах. Динамическое программирование применяется в задачах, которые можно рассматривать, как операции, распадающиеся на m шагов, например, - деятельность промышленного предприятия в течение ряда лет; - составление календарных планов ремонта и замены оборудования; - распределение на несколько лет вперед дефицитных ресурсов между новыми направлениями их использования; - поиск кратчайшего маршрута в транспортной сети и т.д. Пусть операция Q состоит из m шагов. Эффективность всей W , а показатели операции характеризуется «выигрышем» эффективности на отдельных шагах - wi , i  1,...,m . Если выполнено W  критерий. m  wi , тогда говорят, что i 1 W- аддитивный 214 Определение 1. Динамическое программирование – это метод оптимизации многошаговых или поэтапных процессов, критерий эффективности которых обладает свойством аддитивности. Определение 2. Пусть операция Q - управляемый процесс. xi - параметр, влияющий на ход операции, называют шаговым управлением. x  x1, x2 ,  , xm  - вектор шаговых управлений. Заметим, что компоненты вектора x могут являться числами, векторами, функциями и т.д. Множество векторов x составляет множество возможных управлений X . Определение 3.   * - это значение управления Оптимальное управление x *  x1* , x2* , ..., xm x, при котором выигрыш W является максимальным: W *  W ( x * )  max W x . x X Процесс динамического программирования обычно разворачивается от конца к началу и этот этап называется условная оптимизация. Затем, от начала к концу идет процесс безусловной оптимизации, когда используются рекомендации этапа условной оптимизации и *. находятся оптимальные шаговые управления x1* , x2* , ..., xm Для постановки задачи Динамического программирования в общем случае нужно: 1) определить множество Si возможных состояний системы s перед каждым i -м шагом: s  Si , i  1,  , m ; 2) определить для каждого i -го шага набор возможных шаговых управлений X i , xi  X i . (Смотрите, в качестве примера возможных шаговых управлений пункт I. 2) Примера 1.); 3) определить, какой выигрыш на i –м шаге приносит управление xi , если система перед этим находилась в состоянии s: wi  i s, xi  . То есть нужно определить функции  i ; 215 4) определить, как изменится состояние системы s на i –м шаге при применении шагового управления xi : s  f i s, xi  . То есть нужно определить функции f i ; 5) определить основное рекуррентное соотношение ( функция Беллмана): (*)     Wi s   max i s , xi  Wi 1 fi s, xi  Xi – оно выражает условный оптимальный выигрыш для данного состояния системы s с i –го шага и до конца процесса через уже известный условный оптимальный выигрыш с i+1– го шага и до конца процесса. 6) составить уравнение, определяющее условный оптимальный выигрыш на последнем шаге для состояния системы s : Wm s   max m s, xm   maxwm s, xm  Xm Xm 7)составить уравнение, определяющее на основании соотношения (*) из п. 5) условный оптимальный выигрыш на предпоследнем шаге для состояния системы s Wm 1 s   max  m 1 s, xm 1   Wm  f m 1 s, xm 1  X m 1 Пусть sˆ  f m 1 s, xm 1  , - подставляя в известную функцию Wm s  значение ŝ получим функцию Wm1s  . Дойдя таким образом до 1-го шага, определим функцию W1 s  . Таким образом, получаем набор «рекомендаций» на каждом шаге, в зависимости от состояния системы s. 8)Поскольку состояние s1 перед 1-м шагом известно, найдем из формулы (*) п. 5) для i  1 оптимальное управление на 1-м шаге : x1*  x1 ( s1 ) и оптимальный выигрыш W1 s1  .   Это и есть оптимальный выигрыш всей задачи W *  W x1* . Более подробно:       W x1*  W *  W1s1   max1s1, x1   W2  f1s1, x1   1 s1, x1*  W2 f1 s1, x1* X1 На этом этапе условная оптимизация закончена. 216 9) Для проведения безусловной оптимизации управления, необходимо на каждом шаге «читать» соответствующие рекомендации. Найденное на 1-м шаге оптимальное управление x1*  x1 ( s1 ) использовать для нахождения состояния системы перед 2-м шагом: s2  f1 s1, x1* . Для измененного состояния системы найдем оптимальное управление на 2-м шаге x2*  x2 ( s2 ) :        W2 s2   max 2 s2 , x2   W3  f 2 s2 , x2    2 s2 , x2*  W3 f 2 s2 , x2* . X2   Зная x2*  x2 ( s2 ) , найдем s3  f 2 s2 , x2* . Далее, аналогично, найдем всю цепочку оптимальных шаговых *. управлений: x3* , . . . , xm Таким образом, мы нашли оптимальное решение задачи:     * и W x *  W *. x *  x1* , x2* , ..., xm 1 Пример 1. [5] Выбор кратчайшего маршрута в транспортной сети. Пусть в транспортной сети n = 10 узлов (городов). Возможное направление проезда и время – указаны на рисунке. Найти оптимальный маршрут проезда из 1-го города в 10 -й. Найти минимальное время проезда. Рис.24.1 Конфигурация данной транспортной сети позволяет разбить ее на пояса. 217 Считаем, что номера городов k -го пояса – это возможные состояния системы S перед k-м шагом. Движение организовано только слева направо. Постановим задачу Динамического программирования: Разобьем ее на пояса и определим шагом: I пояс, k  1 S  1 – S  2,3,4 – II пояс, k  2 S  5,6 – III пояс, k  3 S  7,8,9 – IV пояс, k  4 S  10  – V пояс, k  5 состояния системы перед k-м Если J  - возможные города k+1–го пояса (то есть состояния системы перед k+1 -м шагом), то определим через t SJ - время проезда из города S ( k-го пояса) до города J (k+1-го пояса). Набор возможных шаговых управлений для каждого k -го шага состоит в выборе номера города J ( k  1 –го пояса), куда возможен переезд из города S ( k-го пояса) с конкретным номером. Тогда основное рекуррентное соотношение будет иметь вид: Wk S   mint SJ  Wk 1 J  J I. Сначала будем проводить этап условной оптимизации процесса. Набор возможных шаговых управлений на i –м шаге xi и выигрыш, который приносит на i –м шаге управление xi представим в виде таблиц. 1) k  4 W4 S   min t SJ  0 J S J  10 W4 S  J* 7 8 9 9 3 11 10 10 10 9 3 11 218 2) k  3 W3 S   min t SJ  W4 J  S J J 7 J 8 J  9 W3 S  J* 5 6 7+9 8+9 7+3 4+3 – 10 5+11 7 8 8 Заметим, что набор возможных шаговых управлений для 3 - го шага состоит в выборе номеров городов 4 – го пояса, куда возможен переезд из города с конкретным номером 3-го пояса: так для S  5 , - J  7, 8 , для S  6 , - J  7, 8, 9 . 3) k  2 W2 S   mint SJ  W3 J  J J  6 W2 S  S J 5 2 3 4 6+10 – 7+10 – – 8+7 16 17 15 J* 5 5 6 4) k  1 W1 S   min t SJ  W2 J  S J J 2 1 8+16 8+17 8+15 23 W1 1  23 .   J 3 J 4 W1 S  J* 4 Это и есть оптимальный «выигрыш» всей задачи W *  W x1* . В данной задаче оптимальное управление x1* - это проезд на 1-м шаге из города 1 в город 4. I I. Безусловная оптимизация: Уже найдено из последней таблицы минимальное время проезда из города 1 в город 10: W *  W1 1  23. 219 Так же уже определено оптимальное управление на 1-м шаге x1* : это - проезд из города 1 в город 4. Далее необходимо найти оптимальное управление на 2-м шаге x2* . Из предпоследней таблицы видно, что это - проезд из города 4 в город 6. Заметим, что x2* оптимальное управление и в данной задаче – единственное управление на 2-м шаге. Аналогично находим оптимальное управление на 3-м шаге x3* : проезд из города 6 в город 8, что легко видеть из таблицы для k  3 . Таким образом, оптимальный маршрут будет выглядеть так: 1  4  6  8  10 . Заметим, что этап условной оптимизации сложнее и длительнее этапа безусловной оптимизации, который почти не требует дополнительных вычислений. Как уже отмечалось выше, на этапе безусловной оптимизации используются рекомендации этапа условной оптимизации и находятся оптимальные шаговые управления. 220 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Учебники и учебные пособия 1. Идельсон А.В., Блюмкина И.А. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Математика для экономистов. Том 1. Учебное пособие. - М.: ИНФРА-М, 2000 – 153 с. 2. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. Учебное пособие. Серия: Классический университетский учебник. - М.: Дело, 2004 – 440 с. 3. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособие. - М.: Экзамен, 2004 - 128 с. 4. Общий курс Высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В. И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 656 с. 5. Невежин В.П., Кружилов С.И. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование». – М.: ОАО «Издательский Дом «Городец», 2005. - 320 c. 6. Манаенкова Н.И. Линейная алгебра. Учебно-методический комплекс. Учебное издание. М.: РГГУ, 2012 г. 40 с. 7. Манаенкова Н.И. Аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс. Учебное издание. М.: РГГУ, 2012 г. 34 с. Адреса ресурсов Интернет 8. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : учеб.-метод. комплекс : для бакалавриата по направлению 080200 Менеджмент / М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. гос. бюджет. образоват. учреждение высш. проф. образования "Рос. гос. гуманитарный ун-т", Ин-т экономики, упр. и права, Фак. упр., Каф. моделирования в экономике и упр. ; [сост. Н. И. Манаенкова ; отв. ред. Н. Л. Лепе]. - М. : РГГУ, 2012. - 34 с. ; 20 см. - Режим доступа : http://elib.lib.rsuh.ru/elib/000005265. - Загл. с экрана. Библиогр.: с. 20-21. 9. Линейная алгебра [Электронный ресурс] : учеб.-метод. комплекс : для бакалавриата по направлению 080200 - Менеджмент / М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. гос. бюджет. 221 образоват. учреждение высш. проф. образования "Рос. гос. гуманитарный ун-т", Ин-т экономики, упр. и права, Фак. упр., Каф. моделирования в экономике и упр. ; [сост. Н. И. Манаенкова ; отв. ред. Н. Л. Лепе]. - М. : РГГУ, 2012. - 40 с. ; 20 см. - Режим доступа : http://elib.lib.rsuh.ru/elib/000005266.pdf. - Загл. с экрана. - Библиогр.: с. 21-22. 10. Лекции по линейной алгебре [Электронный ресурс] : учебное пособие для бакалавриата по направлению № 080200 – Менеджмент, № 080400 – Управление персоналом / Минобрнауки России, Федер. гос. бюджетное образоват. учреждение высш. проф. образования "Рос. гос. гуманитарный ун-т" (РГГУ), Ин-т экономики, упр. и права, Фак. упр., Каф. моделирования в экономике и упр., [сост.: Н. Л. Лепе, Н. И. Манаенкова ; отв. ред. В. В. Кульба]. - Москва : РГГУ, 2014. - 202 с. - Режим доступа: http://elib.lib.rsuh.ru/elib/000009509. - Загл. с экрана. - ISBN 978-57281-1699-8. Справочные и информационные издания 11. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 544 с. 222 Приложение I. Перечень экспресс-тестов по лекционному материалу дисциплины «Линейная алгебра». Тест 1 1. Записать систему m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде. 2. Перечислить названия 3-х типов систем линейных уравнений (СЛУ) в зависимости от соответствующего каждому типу множества решений. 3. Перечислить 4 вида эквивалентных преобразований СЛУ. Тест 2  k  n 1. Написать матрицы A aij m и B  bij k в общем виде. Если С = А* В, то каковы размеры матрицы С? Написать выражение для элемента cij а) через знак суммирования ∑ ; в) более подробно, без знака суммирования.  k 2. Как для данной матрицы A aij m в общем виде будет выглядеть матрица AT ? Каковы ее размеры? Выписать те 4 свойства (из 18 свойств операций над матрицами), где встречается операция транспонирования. 3. Записать систему линейных уравнений для m=n=3 в обычном виде. Выписать все матрицы А, Х, В, соответствующие матричной форме записи СЛУ: А * Х = В Тест 3 1. Написать выражение для определителя матрицы второго порядка   A в общем виде. 2. Схематично изобразить правило Звезды для вычисления определителя матрицы третьего порядка   A . 3. Дать Определение минора M ij матрицы n-го порядка A. 223 4. Написать формулу алгебраического дополнения Aij матрицы n-го порядка A . 5. Написать выражение для вычисления определителя матрицы третьего порядка   A3 по Теореме Лапласа, то есть разложение по любой строке или любому столбцу: а) либо в общем виде б) либо для любого (уникального) численного примера. Тест 4 1. Для системы линейных уравнений A X  B , A  0 выписать через алгебраические дополнения Aij присоединенную матрицу A* . 1 Выписать формулы обратной матрицы A , решения X . 2. Для системы линейных уравнений третьего порядка AX  B выписать по методу Крамера выражения для i , i=1,2,3 и  x1    решение системы линейных уравнений X   x2  через i . x   3 3. Дать Определение ранга матрицы (через миноры). 4. Чему равен ранг ступенчатой матрицы? 5. Дать формулировку Теоремы Кронекера-Капелли для системы линейных уравнений A X  B Тест 5 1. Даны две точки A( x1, y1), B( x2 , y2 ) . Написать выражение для расстояния d  AB . 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) и имеющей угловой коэффициент k . 3. Написать общее уравнение прямой на плоскости. 4. Написать условие параллельности и перпендикулярности на плоскости двух прямых, имеющих угловые коэффициенты k1 и 5. На отрезке AB, A( x1, y1), B( x2 , y2 ) дана точка С, такая, что k2 . 224 AC   . Найти координаты точки С (x,y). BC Тест 6 1. Написать уравнение прямой на плоскости (не оси ОХ, не оси OY), проходящей через две точки A( x1, y1), B( x2 , y2 ) . 2. Даны две точки A( x1, y1), B( x2 , y2 ) . Чему равны координаты вектора a  AB ? a , b . Схематично изобразить, как определяется: а) сумма векторов c  a  b ; в) разность векторов d  a  b . 4. Дать определение коллинеарности двух векторов a , b . Дать 3. Даны векторы определение базиса на плоскости. 5. Дать определение компланарности трех векторов определение базиса в пространстве. a , b , c . Дать Тест 7 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и перпендикулярной вектору нормали n ( A, B, C ) . 2. Написать условия параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей: A1x  B1 y  C1z  D1  0 в пространстве. A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 3. Написать Каноническое уравнение плоскости в пространстве, проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и параллельной вектору a (m, n, p) . 4. Даны точки A( x1, y1), B( x2 , y2 ), C( x3, y3 ) . Написать условие коллинеарности векторов AB , BC через выражение для площади S ABC . 5. Даны векторы a1 , a2 , ... , as . а) что такое линейно зависимая система векторов? в) что такое линейно независимая система векторов? 225 n 6. Дать определение размерности Линейного пространства R , n базиса линейного пространства R . Тест 8 1. Дать Определение Линейного оператора y  F (x ) . 2. Дать Определение Собственного вектора x и Собственного значения  Линейного Преобразования, заданного матрицей A . 3. Дать Определение Характеристического уравнения для матрицы A . 4. Как связаны Характеристическое уравнение и Собственные значения матрицы A ? 5. Перечислите 3 свойства Собственных чисел матрицы A . Тест 9 Z в алгебраической и 1. Запишите комплексное число тригонометрической формах. Как связаны эти две формы записи? 2. Напишите выражение для произведения двух комплексных чисел Z1 , Z 2 , заданных в тригонометрической форме; для частного от деления этих двух комплексных чисел. 3. Напишите Формулу Муавра, - выражение для возведения в степень комплексного числа Z . 4. Выпишите каноническое разложение многочлена f (Z ) степени n  1 с комплексными коэффициентами. 5. Сформулируйте Следствие Основной Теоремы Алгебры для Характеристического уравнения Линейного оператора, действующего в комплексном пространстве. Тест 10 1. Пусть Z – комплексная переменная, a  a (cos   i sin  ) – n комплексное число. Для уравнения Z  a напишите выражение для k различных его корней: Z k  ... , k=0,1,…,n-1. 2. Если A - так называемая Матрица Обмена, какие 2 свойства выполнены для ее элементов? 3. Существует ли действительное собственное значение у Матрицы Обмена и какое? Всегда ли  собственный вектор x  0 ? 4. Существуют ли действительные собственные значения у 226 действительной симметрической матрицы? 5. Выписать симметрическую матрицу квадратичной формы   a11 x12  a22 x22  a33 x32  2 a12 x1 x2  2 a13 x1 x3  2 a23 x2 x3 и записать квадратичную форму в матрично - векторном виде. Тест 11 1. Записать Задачу Линейного Программирования в стандартной форме ( n –переменных, m – ограничений). 2. Привести Задачу Линейного Программирования в стандартной форме к каноническому виду. 3. Записать Задачу Линейного Программирования с 2-мя переменными и m – ограничениями в матричной форме, где матрица A  aij  2m . 4. Как определить координаты вектора–градиента целевой функции? Что показывает вектора–градиент в Задаче Линейного Программирования с 2-мя переменными ? 5. Приведите свой числовой пример Задачи Линейного Программирования с 2-мя переменными и 2-мя ограничениями. Тест 12 1. Сформулировать сбалансированную транспортную задачу m x n , где A 1 , A 2 , A 3,...,A m - пункты отправления, а B 1 , B 2 , B 3 ,..,B n - пункты назначения. 2. Дать Определение Опорного решения Задачи Линейного Программирования в канонической форме. 3. Какая связь между Опорным решением и угловой точкой области допустимых решений Задачи Линейного Программирования в стандартной форме? 4. Опишите коротко алгоритм симплекс-метода решения Задачи Линейного Программирования (3 этапа). 5. Записать Двойственную Задачу к прямой Задаче Линейного Программирования в стандартной форме с матрицей A aij  nm а)в развернутом виде, в)в матричной форме. 227 Перечень тем Контрольных работ по курсу дисциплины «Линейная алгебра». Контрольная работа №1. Вычисление матричного полинома. Вычисление определителей. Решение определенных систем линейных уравнений 3-го порядка а) методом Гаусса в) методом нахождения обратной матрицы с) методом Крамера. Контрольная работа №2. Матричные уравнения. Исследование систем линейных уравнений. Решение неопределенных систем линейных уравнений. Уравнение прямой на плоскости (различные формы). Определение угла между двумя прямыми. Условие перпендикулярности, параллельности прямых. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Формула площади треугольника. Контрольная работа №3. Собственные значения матрицы линейного преобразования. Собственные векторы матрицы линейного преобразования. Базис системы векторов. Линейная зависимость векторов. Операции над комплексными числами. Квадратичные формы. Контрольная работа №4 Решение прямой задачи линейного программирования графическим методом. Решение Сбалансированной Транспортной задачи. Постановка и решение двойственной задачи линейного программирования. 228 Перечень примерных вариантов Контрольных работ по курсу дисциплины «Линейная алгебра». Контрольная работа №1 1. Вычислить матричный полином P( A) , где P( x )  x 2  3x  9 ,  2 3  A    .  5  1 2. Решить систему уравнений методом Гаусса (исключения неизвестных)  3x1  4 x2  x3  5   x1  2 x2  3x3  5 .  5x  x  2 x  5  1 2 3 3. 4. Посчитать определитель матрицы системы из п.4 а) по правилу Звезды (правилу треугольников) в) разложением определителя по строке (столбцу) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы (выписать определитель системы, все алгебраические дополнения, присоединенную матрицу системы).   x1  x2  2 x3  3   4 x1  5 x2  7 x3  15 .  2 x  3x  6 x  11  1 2 3 5. Решить систему уравнений из п.4 по правилу Крамера Контрольная работа №2 1. Решить матричное уравнение:   3  2  2 1 X      8 5    3 4 2. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и неопределенность, не решая ее.  x1  2 x2  x3  1   3x1  x2  4 x3  11 .  4 x  x  3x  8  1 2 3 3. Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, указать базисный минор, базисные и свободные переменные. 229 Решить систему методом Крамера. Выписать общее и одно частное решение.  4 x1  x2  x3  3x4  8   x1  3x2  3x3  x4  5 .  3x  4 x  4 x  4 x  3  1 2 3 4 4. 5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l1 .и l2 и параллельной прямой l3 . Найти угол между прямыми l1 и l 2 . l1 : x – 4y +1 = 0 l 2 : 2x + y - 7 = 0 l3 : 3x + 2y - 5 = 0 В треугольнике АВС с вершинами А ( 1, 3), В( 9, -3), С(-2, -1) найти :уравнение биссектрисы АD, длину высоты AR, площадь треугольника АВС. Контрольная работа №3 1. Найти корни характеристического уравнения, т.е. собственные 2. 3. числа матрицы A    3 4 Найти собственные векторы матрицы A из п.1 Определить, является ли данная совокупность векторов линейно зависимой. Найти базис данной системы векторов и разложение каждого из векторов данной совокупности в этом базисе.  6 5  3  4  1         a1    1 , a2   2  , a3   3 5   1  2      4. а)Комплексные числа изобразить векторами на плоскости и представить в тригонометрической форме. Z1   2  i ; Z 2  3  i . в)Записать в тригонометрической форме. Z 3  Z1  Z 2 5.  5     , a   4  5 .   5    ; Z 4  Z13. Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной.   3x12  x22  2 x32  6 x1x2  2 x2 x3 . 230 Контрольная работа №4. Найти область допустимых решений задачи линейного программирования из п.3 2. Построить линии уровня целевой функции задачи линейного программирования и вектор, показывающий направление роста целевой функции (отдельно для целевых функций из пп.3а), 3b)). 3. Решить задачу линейного программирования графическим методом. Выписать оптимальное решение, если оно существует, и оптимальное значение целевой функции. a) F ( x)  2 x1  3x2  max . 1.  x1  x2  3  3x  x  15 2  1  x1  x2  7   x  4 x  4 2  1  x1  0, x2  0 4. b) F ( x)  4 x1  4 x2  max . При тех же ограничениях. Решить сбалансированную Транспортную задачу. На складах A1 и A2 есть в наличии соответственно 45 и 35 тыс. ед. продукции. Два потребителя B1 и B2 хотели бы получить со склада соответственно 30 и 50 тыс. ед. продукции. Стоимость перевозки продукции с i-го склада j-му потребителю задана 3 4 матрицей C    , где cij - стоимость перевозки 1 тыс. ед. 5 2 продукции в млн. руб. Как минимизировать стоимость перевозок? Найти оптимальное решение и значение целевой функции. 5. Написать задачу линейного программирования, двойственную к задаче линейного программирования из п.3. Найти оптимальное решение и значение целевой функции, используя Теоремы двойственности. 231 Приложение II. ЗАДАЧИ, СОСТАВЛЕННЫЕ СТУДЕНТАМИ ФАКУЛЬТЕТА УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА ИЭУП РГГУ В настоящем Приложении 2 представлены наиболее интересные задачи, составленные в разные годы студентами различных специальностей факультета Управления и Экономического факультета ИЭУП РГГУ. Умение «поставить задачу» необходимо в процессе освоения математической дисциплины и приложения изученных методов в конкретной области экономики и управления. Вначале приводились некоторые примеры текстовых задач. А затем студентам ставилось задание придумать оригинальные текстовые задачи, иллюстрирующие лекционный материал, изучаемые методы. Задачи должны были сводиться либо к решению систем линейных алгебраических уравнений, либо к решению задачи о нахождении собственного вектора матрицы линейного преобразования, либо к решению «классических» задач линейного программирования. Приводимые ниже задачи относятся к материалу Разделов I, IV, V настоящего курса лекций. В основном, сохранен авторский текст задачи и стиль решения, если оно было представлено преподавателю. Примеры Задач на нахождение решений систем уравнений. линейных БЕРЕЗЕНЦЕВА ОЛЬГА, 2005-2006 уч.гг. Задача о наборе специалистов а) В прошлом году одна крупная фирма приняла на работу 45 специалистов в области маркетинга, делопроизводства и бухгалтерского учета и лишь 19 из них прошли испытательный срок. В этом году фирма собирается увеличить набор специалистов в области маркетинга и делопроизводства в 2 раза, а бухгалтерского учета - в 4 раза. В результате фирма планирует набрать 110 специалистов. 232 Сколько новых сотрудников в итоге останется работать в фирме, если по статистике испытательный срок проходят 40% маркетологов, 50% специалистов в области делопроизводства и 30% бухгалтеров. в) Как изменился бы ответ задачи, если увеличение набора специалистов в текущем году было бы следующим: набор маркетологов увеличится в 2 раза, делопроизводителей -в 3 раза, а число бухгалтеров остается на прошлогоднем уровне. с) Как изменится ответ задачи, если все условия соответствуют варианту в), кроме планируемой общей цифры набора специалистов: предполагается набрать не 110, а 100 человек. Заметим, что эта и некоторые другие текстовые задачи студентов на нахождение решений систем линейных уравнений подобны «Задаче о фермере»[1]. Решение: а) Пусть в прошлом году фирма приняла на работу неизвестное нам количество x1 маркетологов, x2 делопроизводителей и x3 бухгалтеров. Из условий задачи получаем первое уравнение: x1  x2  x3  45 . Из условий плана набора специалистов в этом году получаем второе уравнение: 2 x1  2 x2  4 x3  110 . Зная данные о прохождении испытательного срока различными специалистами, получаем третье уравнение: 0,4 x1  0,5x2  0,3x3  19 . Чтобы найти ответ на вопрос задачи нужно, прежде всего, решить систему линейных уравнений:  x1  x 2  x3  45   2 x1  2 x 2  4 x3  110 . Умножив третье уравнение на 50, избавимся 0,4 x  0,5 x  0,3x  19  1 2 3  x1  x2   x3  45 от дробных коэффициентов:  2 x1  2 x2  4 x3  110 . Решим систему 20 x  25x  15x  950  1 2 3 ( 2) ( 20)  x1  x2  x3  45  методом Гаусса:  2 x1  2 x2  4 x3  110 . После 1-го шага 20 x  25x  15x  950  1 2 3 получим эквивалентную систему: 233  x1  x2  x3  45   0 x1  0 x2  2 x3  20 , откуда сразу следует что x3  10 . Из третьего  0 x  5 x  5 x  50  1 2 3 уравнения получаем: x2  20 . Далее, из первого уравнения находим: x1  15 . Таким образом, в прошлом году фирма приняла на работу x1  15 специалистов в области маркетинга, x2  20 делопроизводителей, бухгалтеров. Система имеет x1  10 единственное решение. Чтобы ответить на вопрос задачи нужно найти величину N  0,4  2 15  0,5  2  20  0,3  4 10 . Получается, что в этом году испытательный срок прошли N  44 новых сотрудника. в) небольшие количественные изменения условий задачи приводят к тому, что соответствующая система линейных уравнений оказывается несовместной. То есть задача в этом случае не имеет решения. с) изменение одной цифры в условиях п. в) приводят к тому, что соответствующая система линейных уравнений оказывается совместной, неопределенной. То есть задача в этом случае имеет  x1  35  2  множество решений. Общее решение имеет вид :  x2  10   , где x    3 0    17,5 . Величина N  0,4  2  x1  0,5  3  x2  0,3  x3  43  0,2 зависит от значения . Можно указать минимальное значение N  43сотрудника и максимальное целое значение N  46 сотрудников прошли испытательный срок в этом году. ГОЛУБКОВА ИРИНА, 2006-2007 уч.гг. Задача об обучении студентов а) В прошлом году ВУЗ объявил набор студентов на бюджетные места. К началу учебного года было принято в ВУЗ 60 человек по трем специальностям: экономисты, юристы и журналисты. После 1-й сессии на 1-м курсе осталось 30 «бюджетников». В этом году в ВУЗе ожидается увеличение числа бюджетных мест: по специальности «Экономист» и «Журналист» – в 2 раза, по 234 специальности «Юрист» - в 4 раза. В сумме это должно составить 150 человек. Какая будет численность студентов 1-го курса после 1-й сессии в этом году, если известно, что из года в год сессию успешно сдают 40 % экономистов, 60% юристов, 50% журналистов. б) Как изменится ответ задачи, если общее число бюджетных мест в ВУЗе в этом году составит 140 человек? с) Как изменится ответ задачи, если общее число бюджетных мест в ВУЗе в этом году составит 180 человек? АБДРАСИЛОВА ЖАННА, 2006-2007 уч.гг. Задача о животноводческой ферме а) На сельскохозяйственной ферме «Бык и Ко» каждый год производится закупка коров, овец и коз. В прошлом году было потрачено на закупку скота всего 4150 тыс. д.е. и за счет продажи молока, мяса, шкур и шерсти фермой было получена прибыль, которая составила 885 тыс. д.е. В нынешнем году ферма собирается увеличить количество поголовья скота, а, следовательно, и свои вложения. Количество закупаемых коров должно увеличиться в 3 раза, овец– в 2 раза, а закупка коз останется на прошлогоднем уровне. На все это ферма выделила 8550 тыс. д.е. Какую прибыль собирается получить ферма «Бык и Ко» в текущем году, если коровы приносят 40% прибыли на вложенные средства, овцы- 30%, а козы - 10%. б) Как изменится ответ задачи, если коровы приносят 10% прибыли на вложенные средства, овцы- 20%, а козы - 30%. с) Как изменится ответ задачи, если процентные соотношения, касающиеся прибыли соответствуют условиям п. 2), но известно, что в прошлом году была получена прибыль, которая составила 715 тыс. д.е. ФОМИНА ЕЛЕНА, 2008-2009 уч.гг. Задача о депутатах а) В 2000 году в Государственной Думе работало 320 депутатов. Рассмотрим 10% от общего числа членов парламента. В эти 10 % входили представители либеральной, консервативной и ультралевой партий. 235 В 2004 году была проведена реформа Государственной Думы и количество депутатов составило 360 человек. Хотя представители либеральной, консервативной и ультралевой партий сохранили в сумме свои 10 % мест в парламенте, но внутри блока произошли изменения: количество мест консерваторов увеличилось вдвое, количество мест либералов сократилось вдвое, а ультралевые сохранили свои парламентские кресла. В 2008 году, по сравнению с предыдущим составом парламента, в рассматриваемом блоке сохранилось общее количество мест, но доля либеральной партии выросла в полтора раза, ультралевой – в три раза, а количество консерваторов в парламенте сравнялось с показателями 2000 года. Найти число представителей либеральной, консервативной и ультралевой партий в парламенте 2000 года. б) Как изменится ответ задачи, если известно, что в 2008 году по сравнению с предыдущим составом парламента (2004 г.), в рассматриваемом блоке сохранилось общее количество мест, но доля либеральной партии выросла в три раза, ультралевой – в два раза, а количество консерваторов - в полтора раза. с) Как изменится ответ задачи, если все соответствует условиям п. в), но известно, что общее количество мест в Государственной Думе увеличилось до 680. ВОРОБЬЕВА ЕЛЕНА, 2008-2009 уч.гг. Задача о выборе банка В Москве работает очень много банков, каждый из которых начисляет вкладчику определенный годовой процент за внесенный в банк вклад. Для того, чтобы положить «под процент» 9000 д.е. вкладчик Петров выбрал банк «Восточный», банк «Южный» и банк «Западный». После Новогодних праздников Вкладчик решил, что 1/6 своих денег он вложит в банк «Восточный», 1/3 – в банк «Южный», а остальную часть – в банк «Западный». Так и сделал. К концу года сумма его вкладов выросла до 9643,5 д.е. Однако, если бы Вкладчик вложил 1/2 своих денег в банк «Восточный», 1/8 – в банк «Южный», а остальную часть – в банк «Западный, то сумма его вкладов составила бы в конце года 9679,5 д.е. Одновременно с Петровым его сосед Иванов положил в выбранные Петровым банки точно такую же сумму в 9000 д.е. При этом он 1/5 своих денег он вложил в банк «Восточный», 3/10 – в банк 236 «Южный», а остальное – в банк «Западный». К концу года сумма его вкладов составляла 9648 д.е. На сколько больше денег получил бы в конце года Петров, если бы все свои деньги внес в банк с максимальной процентной ставкой, чем если бы он по легкомыслию вложил все свои сбережения в банк с минимальной процентной ставкой? САВОСТИНА КСЕНИЯ, 2013-2014 уч.гг. Задача о проверке качества косметики а) В лабораторию за весь прошлый год поступило 40 видов различной косметики фирм Faberlic, DeSheli, Avon, - и только 15 из них прошли клинические испытания и оказались безопасными для людей. В этом году в лабораторию поступило 100 видов косметики, причем продукции фирм Faberlic и DeSheli - в 2 раза больше, а фирмы Avon – в 6 раз больше по сравнению с прошлым годом. Сколько видов косметики пройдут клинические испытания в этом году, если по статистике испытания проходят 50% косметики фирмы Faberlic, 10% продукции фирмы DeSheli и 30% - фирмы Avon? б) Как изменится ответ задачи, если известно, что в этом году косметики фирмы Faberlic поступило столько же, сколько в прошлом году, косметики фирмы DeSheli - в 5 раз больше, а продукции фирмы Avon – в 3 раза больше. с) Как изменится ответ задачи, если выполнены все условия пункта б), но известно, что этом году в лабораторию поступило всего 90 видов различной косметики. 237 Примеры Задач на нахождение Собственных векторов матрицы Собственных чисел и ДЕМИНОВА КСЕНИЯ, 2007-2008 уч.гг. Задача о выборе шляп Некая дама, назовем ее NN, безумно любила шляпки. Будучи заядлой модницей, она ежегодно обновляла свой гардероб: те шляпки, которые прослужили ей год, она не трогала, так как они были еще в моде, но те, что были у нее уже 2 года, она тщательно пересматривала и частично обновляла (в среднем, она заменяла около 30 % этих шляпок). NN безжалостно выбрасывала все шляпки, вышедшие из моды. Какое минимальное количество шляпных коробок понадобится NN, чтобы из года в год соблюдать заведенные ею правила обновления шляпок, если известно, что мода на определенный тип шляпок держится в среднем 3 года. Заметим, что эта и другие текстовые задачи студентов на нахождение cобственных чисел и cобственных векторов матрицы однотипны и подобны «Задаче о сроках эксплуатации автомобилей»[1]. Решение: Пусть U it - количество шляпок, которые к началу t -года прослужили даме NN i - лет. Выразим U i t через U i t 1, i  1,2,3 . Условие U1t  0 U1 t 1  0,3 U 2 t 1  1U 3 t 1 означает, что к началу текущего года один год использовалось U1t шляпок. Очевидно, что это те шляпки, которые были заменены год назад. Второе условие U 2t  1  U1 t 1  0  U 2 t 1  0  U3 t 1 означает, что к началу текущего года два года использовались U 2t шляпок, это ровно то количество, которое год назад прослужило NN всего год и замене не подлежало. Условие U 3t  0 U1 t 1  0,7 U 2 t 1  0 U 3 t 1 означает, что к началу текущего года три года использовались U 3t шляпок, то есть это те шляпки, которые год назад еще не вышли из моды и не были заменены. Таким образом, мы получили систему уравнений: 238 U1t  0  U1 t 1  0,3  U 2 t 1  1  U 3 t 1   U 2t  1  U1 t 1  0  U 2 t 1  0  U 3 t 1 , или AU t 1  U t , где  U 3t  0  U1 t 1  0,7  U 2 t 1  0  U 3 t 1 U1t   0 0,3 1     U t   U 2t  , A   1 0 0  . Мы знаем, что NN из года в год хочет  0 0,7 0  U     3t  соблюдать заведенные ею правила обновления шляпок, то есть, чтобы выполнялось условие: U t 1  U t  U . Так мы приходим к решению задачи на нахождение cобственных чисел и cобственных векторов матрицы A . У Характеристического уравнения A  E  0 существует корень   1 , так как A - матрица обмена (см. Лекцию 17). Если AU  U , это эквивалентно однородной системе линейных уравнений:  1  U1  0,3  U 2  1  U 3  0   A  E U  0 . Находим решение системы  1  U1  1  U 2  0  U 3  0 и   0  U1  0,7  U 2  1  U 3  0  U1   a      получаем собственный вектор U  U 2    a  . Поскольку U   0,7a    3  минимальное количество шляпных коробок, которое понадобится NN для хранения шляпок, должно быть целым числом, очевидно, оно будет равно двадцати семи. ШАМАНСКАЯ МАРИЯ, 2007-2008 уч.гг. Задача об оформлении выставочного павильона Пока дядя Вася (см. Пример задачи Линейного программирования) был занят ремонтом, тетя Света занималась оформлением живыми цветами (розами) выставочного павильона. Розы стоят не более трех дней, а, из простоявших два дня, 40% вянет. Каждый день перед открытием павильона тетя Света заменяет завядшие цветы свежими. Но стоит отметить, что розы, простоявшие день, тетя Света не меняет. Найдем устойчивое распределение цветов, используемых для оформления павильона, по срокам свежести. 239 КОМОЛИКОВА ЕВГЕНИЯ, 2012-2013 уч.гг. Задача о прокате велосипедов В парках по всему городу работает фирма «Два колеса», которая занимается прокатом велосипедов для посетителей. С течением времени модели велосипедов устаревают и, для поддержания имиджа фирмы, сотрудникам необходимо их менять. Через 2 года меняется 20% велосипедов меняется на более современные модели, а через 3 года эксплуатации из соображений безопасности меняются все велосипеды. Найдите устойчивое, то есть, не меняющееся из года в год, распределение велосипедов по срокам эксплуатации. САННИКОВА ЮЛИЯ, 2006-2007 уч.гг. Задача об обучении школьников В специализированном Учебно-Научном Центре при Уральском Государственном Университете (СУНЦ УрГУ) молодые люди и девушки учатся в старших классах средней школы. То есть они поступают в СУНЦ УрГУ, чтобы, проучившись там в 9, 10 и 11 классе подготовиться к поступлению в УрГУ. Основная масса учеников заканчивает СУНЦ УрГУ после 11-го класса. Но, обычно 10 % учащихся сдают экзамены экстерном и поступают в УрГУ уже после 10-го класса. Поскольку СУНЦ УрГУ получает финансирование на определенное количество учеников, это дает возможность на эти же 10 % увеличить прием учеников в 9-й класс. После 9-го класса еще ни разу никто СУНЦ УрГУ не заканчивал. Найдите устойчивое, то есть, не меняющееся уже который год, распределение школьников по срокам их обучения в Учебно-Научном Центре. ФЕДОРОВА АЛЕНА, 2012-2013 уч.гг. Задача о замене обуви Семилетнему мальчику Ване перед школой заменили почти всю обувь. Впоследствии, каждый год к 1 сентября ему заменяли 70% обуви, которую он проносил всего два года, если она ему уже надоела и хотелось чего-то новенького. И, конечно, заменяли и выбрасывали 240 всю обувь, которую покупали три года назад, так как у Вани вырастала нога. Все-таки родители не заменяли Ване сравнительно новую обувь, которую он проносил только год. И так продолжалось все школьные годы. Какое минимальное количество пар обуви разных сроков носки скопится у Вани к окончанию школы, если родители будут так баловать ребенка? РАГУЛИНА ВИКТОРИЯ, 2012-2013 уч.гг. Задача о программном обеспечении В компании «Ромашка» лицензионное программное обеспечение на эксплуатируемых компьютерах используется не более 3-х лет, так как через три года оно устаревает. Ежегодно, в начале января, программист компании заменяет 60% программного обеспечения на обновленное на тех компьютерах, где ПО было установлено 2 года назад. В это же время он обновляет все программное обеспечение, установленное на компьютерах 3 года назад и не заменяет программное обеспечение, если оно установлено только год назад. Найдем устойчивое распределение программного обеспечения, установленного на компьютерах компании «Ромашка», по срокам эксплуатации. 241 Примеры задач Линейного программирования ШАМАНСКАЯ МАРИЯ, 2007-2008 уч.гг. Задача о ремонте Дядя Вася решил сделать ремонт в коридоре. Для этого он пошел в магазин и купил обои «Непростые». Для них требуется клей с определенной клейкостью (не ниже 70 %) и прозрачностью (не ниже 70 %). Но в продаже имеется только 2 сорта клея: «Роса» и «Цемент». Клейкость «Росы» - 50%, а «Цемента» - 80%; прозрачность первого – 90%, а второго, - 40 %. При этом один кг «Росы» стоит 600 руб., а «Цемента» - 800 руб. Если смешать два клея, то можно получить клей с нужными свойствами. В каком соотношении нужно взять клей «Роса» и клей «Цемент», чтобы при этом потратить минимальное количество денег. СМИРНОВА ЕЛЕНА, 2006-2007 уч.гг. Задача о гармоническом развитии Марина любит читать женские журналы и следовать их советам. В ее любимом журнале «Elle» стали все чаще писать о достижении духовного и физического баланса. Так как она испытывает постоянный стресс на работе, да и с фигурой в последнее время проблемы, Марина решила пойти в школу духовного самосовершенствования. Наставник ей посоветовал выбрать для себя две программы: Yoga и Pilates. Для того, чтобы Марина достигла поставленной перед собой задачи (сбросить 5 кг и перестать нервничать) ей нужно сочетать эти два курса. Нужно учитывать, что при 20-ти минутных занятиях Pilates расходуется 100 калорий, а при получасовых занятиях Yoga расходуется 50 калорий. При этом следует иметь в виду, что занятия Pilates стоят 45$, а Yoga - 30$. Особенностью курса является то, что при сочетании обеих программ каждый день нужно заниматься не более 120 минут и затрачивать не менее 300 калорий. Перед Мариной стоит задача составить наиболее выгодный график, как для фигуры, так и для кошелька. 242 НИКИФОРОВА МАРИНА, 2007-2008 уч.гг. Задача об отдыхе студенток Две подруги-студентки решили съездить отдохнуть. Для того, чтобы купить путевки, они обратились в компанию Tez Tour. Tez Tour является одним из ведущих туроператоров в России и лидером по отправке туристов за рубеж. Девушкам было предложено несколько различных направлений: Турция, Таиланд, Египет, Испания, Куба, Мальдивы, Шри Ланка и Санкт-Петербург. Студентки решили, что для начала они отправятся смотреть Петербург, а потом отдохнут в Турции. Поскольку средства студентов, как известно, ограничены, то девушки приняли решение потратить на проживание в отелях не более 1820$, а на экскурсии – не более 1000$. Средняя стоимость проживания в выбранных отелях в номере на двоих за сутки в Турции составила 140$, а в городе на Неве - 112$. Стоимость экскурсионной и развлекательной программы на день в Турции составила 100$, а в городе Санкт-Петербурге - 50$. Сколько дней девушки могут провести в Турции и Петербурге так, чтобы их отпуск по количеству дней был максимален, а денежные траты не превысили поставленных ограничений. КУЛАГИНА СВЕТЛАНА, 2008-2009 уч.гг. Задача о выпуске пирожных Кондитерская фабрика выпускает множество разнообразных сортов пирожных. Самый востребованный покупателями сорт, - пирожное «Венеция». Одними из его компонентов являются безе и сливки. По рецептуре пирожное должно содержать не больше 8 единиц сахара и не меньше 100 единиц очищенной воды. Сахара в безе – 5 единиц, очищенной воды – 50 единиц. Сахара в сливках – 2 единицы, воды – 100 единиц. Причем на компоненты для изготовления безе расходуется 1 тыс. денежных единиц в месяц, а на компоненты для изготовления сливок расходуется 2,6 тыс. денежных единиц в месяц. Как, в точности выполнив рецептуру, свести расходы на закупку необходимых компонентов к минимуму. 243 ШУЛЬГИН РОМАН, 2008-2009 уч.гг. Задача о космическом питании В суточный рацион космонавта должно входить не менее 1,2 кг белка и не менее 0,5 кг углеводов. Тюбик космического питания «Орбитальный» содержит 60% белков и 30% углеводов (а также другие вещества), а тюбик космического питания «Галактический» 70% белков и 20% углеводов. Кроме того, в составе тюбика «Орбитальный» имеется 5% сахара, а в составе тюбика «Галактический» сахара содержится 4%. В каком соотношении нужно смешивать содержание тюбиков «Орбитальный» и «Галактический», чтобы при требуемом количестве белков и углеводов количество сахара было минимальным? Примеры Транспортной задачи ПАСХИНА ИРИНА, 2007-2008 уч.гг. Задача об оптимальном распределении нефтепотоков В журнале «РБК» появилась статья о том, что на ежемесячном саммите ОПЕК произошло перераспределение поставок нефти на будущий год. Изменения коснулись двух основных поставщиков – Россию и Венесуэлу. В связи с тем, что завершено строительство прямого нефтепровода Венесуэла – США, стоимость транспортировки 1 млн. тонн нефти между этими странами теперь составляет 2 тыс. у.е. Учитывая, что из-за политических разногласий по косовскому вопросу, стоимость транспортировки в США из России выросла до 5 тыс. у.е., то возникает вопрос, как США будут удовлетворять свой запрос на 33 млн. тонн. В свою очередь, перевезти 1 млн. тонн нефти из Венесуэлы в Германию стоит 4 тыс. у.е., а доставка из России после решения белорусской проблемы теперь составляет 3 тыс. у.е. Этот факт Германия наверняка учтёт, закупая 25 млн. тонн нефти на следующий год. Стоит напомнить, что базовый объём экспортируемой Россией и Венесуэлой нефти составляет 58 млн. тонн (по 29 млн. соответственно). Экспертной комиссии при ОПЕК поручено рассчитать наиболее оптимальное распределение нефтепотоков. 244 B1 (Германия) B2 (США) Наличие A1 (Венесуэла) 4 тыс. у.е. 2 тыс. у.е. 29 млн. тонн A2 (Россия) 3 тыс. у.е. 5 тыс. у.е. 29 млн. тонн 25 млн. тонн 33 млн. тонн 58 млн. тонн Запрос Решение: F  4 x11  2 x12  3x21  5x22  min  x11  x12  29  x  x  29 22  21 - математическая постановка задачи.  x11  x21  25  x  x  33 22  12  x11  0, x 12  0, x21  0, x22  0 Так как все переменные, неотрицательны, - получаем: то есть количества поставок,  x11  t  0 t  0  x  29  t  0 t  29   12 . Следовательно  , t  0;25 .  x  25  t  21 t  25  t  4  x 22  33  x 21  t  4  0 Значение целевой функции, как функции одной переменной, выглядит так: F (t)  4t  2 (29 - t)  3 (25 - t)  5 (4  t)  4t  58 - 2t - 3t  75  20  5t  4t  153 Минимальное значение целевой функции будет достигаться при t *  0 . Получаем оптимальное решение задачи:  x*  0  11  x*  29 F *  4  0  153  153 ,  12 *  25  x21  *  x22  4 . 245 ДЕМИНОВА КСЕНИЯ, 2007-2008 уч.гг. Задача об оптимизации доставки еды в лесу БАСНЯ Вороне как – то Бог послал кусочек сыра. На ель ворона взгромоздясь, Позавтракать уж было собралась, Да призадумалась, а сыр во рту держала. Хочу заметить, что она им торговала. Она имеет склад: на нём хранятся Сыры кусочками, поштучно их – семнадцать. Она свой сыр развозит по клиентам, Доставка стоит: для Лисы – три* цента, Медведь заплатит два, а Волк – только один. Должна сказать, Вороне он кузин. А в басенном лесу ещё есть склад, Он в центре леса.… Там хранят Два Зайца – Русака свои грибы. Они их тоже продают. Я знаю, для Лисы Доставка обойдётся в один цент, Она у Зайцев VIP – клиент. Медведь и Волк заплатят им по два: До них двоих дорога далека. И важно уточнить, на складе Русаков Штук восемнадцать сорта первого грибов. Запросы жителей не так уж невысоки: Пятнадцать единиц еды необходимо для Лисы, Тринадцать – Волку, а Медведю - семь, Но не о том Ворона думает совсем: Она на перевозку тратит много сил. И вот вчера один Русак ей предложил Минимизировать издержки на доставку, Чтоб были все довольные поставкой. Но как так сделать, это вы должны сказать. Пора задачу начинать решать.  Стоимость доставки указана в расчёте на 1 единицу товара 246 Склад Вороны Склад Зайцев Русаков Запрос Лиса 3 - 1 15 Медведь 2 2 Волк 1 2 Наличие 17 18 7 13 35 Решение: Итак, x11 – сыр со склада Вороны, поставляемый Лисе x12 – сыр со склада Вороны, поставляемый Медведю x13 – сыр со склада Вороны, поставляемый Волку x21 – грибы со склада Русаков, поставляемые Лисе x22 – грибы со склада Русаков, поставляемые Медведю x23 – грибы со склада Русаков, поставляемые Волку. Целевая функция будет выглядеть так: F  3x11  2 x12  1  x13  1  x21  2 x22  2 x23  min Согласно задаче, есть несколько условий, а именно:  x11  x12  x13  17  x  x  x  18 22 23  21  x11  x 21  15   x12  x 22  7  x13  x 23  13   x11  0, x 12  0, x 13  0, x 21  0, x 22  0, x 23  0 Пусть x11  t , x12  u , тогда  x11  t x  u  12  x13  17  t  u   x 21  15  t  x 22  7  u   x 23  t  u  4 F t, u   3t  2u  17 - t - u  15 - t  14 - 2u  2t  2u - 8  min , или F t, u   3t  u  40  min Так как все переменные, то есть количества поставок еды, неотрицательны: 247 t  0 u  0  17  t  u  0  15  t  0 7  u  0  t  u  4  0 Найдем область допустимых решений: Рис. П2.1 Как мы видим, функция F t, u   3t  u  40 достигает своего минимума в точке А (0,4). При этом F * 0,4  44 . Следовательно,  x*  0  11  x*  4  12  x*  13 найдены оптимальные перевозки:  13 *  15  x21  *  x22  3  *  x23  0 . Ответ: Ворона должна поставлять 4 кусочка сыра Медведю и 13 – Волку. Зайцам – Русакам выгодно поставлять 15 грибов Лисе и 3 – Медведю. ПОСЛЕСЛОВИЕ: Мораль сей басни такова: Задача транспортная нам важна! Н.Л.Лепе, Н.М.Манаенкова ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие Дизайн обложки — Юрий Назаров Подписано в печать 24.05.2016. Формат 62×86/16. Усл. печ. л. 15,5. Тираж 300 экз. Заказ № 11027. Издательство «Тровант». ЛР № 071961 от 01.09.99. Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства «Тровант» 142191, г. Москва, г. Троицк, м-н «В», д.52. Тел. (495) 775-43-35, (495) 851-09-67, 850-21-81 http: www.trovant.ru E-mail: tan@trovant.ru