Линейная алгебра

Глава 1. Алгебра матриц 1.1. Матрицы. Основные определения Матрицей А = (aij)m,n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов: Числа aij (), составляющие данную матрицу, называются её элементами; i – номер строки матрицы, j – номер столбца. Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. – квадратная матрица 3-го порядка. Про элементы aij такой матрицы говорят, что они стоят на главной диагонали. Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю: , например, – треугольная матрица третьего порядка Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. , , называются скалярными матрицами. Если , то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквой Е, т.е.: . Какие матрицы представлены? , , . Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е. – симметрическая матрица четвертого порядка. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О. О – нулевая матрица размера два на три. 1.2 Действия над матрицами Две матрицы и называются равными, А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е. =, Суммой двух матриц и называется матрица C=A+B, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов aij и bij матриц A и B, т.е. . Для суммы матриц справедливы следующие свойства: 1. A+B=B+A – коммутативность; 2. A+(B+C)=(A+B)+C – ассоциативность; 3. A+О = A. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. . Пусть A, B, C – матрицы, – числа. Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства: 1. , 4. , 2. , 5. , 3. О, 6. . Матрица называется противоположной матрице A. Если матрицы A и B одинаковых размеров, то их разность равна . Произведением матрицы A=(aij) порядка на матрицу порядка называется матрица порядка , элементы которой с равны: , (; ). Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С, необходимо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. ! Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. ! В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя. Для произведения матриц справедливы следующие свойства: 1. A(BC) = (AB)C 3. (A + B)C = AC + BC 2. (AB) = (A)B 4. C(A+B) = CA + CB ! Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВВА. В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Пример. Найти произведение матриц А и В. , . Очевидно, что для квадратных матриц порядка n существуют АВ и ВА. Однако для всех n, начиная с n=2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц. Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц: А = , В = . Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Примеры: 1. АЕ = ЕА = А. 2. Если А = Е, то легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно. 3. А-1А=АА-1=Е, где А-1 – обратная матрица (! это не матрица в -1 степени). Квадратную матрицу А можно возвести в степень n, для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е. . Транспонирование матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами: Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения: 1. (А)=А; 2. (А+В)=А+B; 3. (AB)=BA. ! Если матрица А – симметрическая, то А=А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной. ! Очевидно, что произведение С=АА представляет собой симметрическую матрицу. Действительно, С= (АА)=(А)А=АА=С. При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А. В различных приложениях используется понятие нормы матрицы. Под нормой матрицы А= понимается действительное число ||A||, удовлетворяющее условиям: а) ||A||0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А=О; б) ||A||=||||A||, ( – число) и, в частности ||-A||=||A||; в) ||A+B||||A||+||B||; г) ||AB||||A||||B||, где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл. Для матрицы А=(а) произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм: 1) ||A||= (m – норма); 2) ||A||= (l – норма); 3) ||A||= (k – норма). Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям. Глава 2. Определители Для определения и изучения определителей порядка n рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к конечным множествам. 2.1. Перестановки и подстановки Пусть дано некоторое конечное множество N, состоящее из n элементов. Эти элементы пронумеруем с помощью первых n натуральных чисел 1, 2, …, n. Числа 1, 2, …, n можно помимо их естественного порядка упорядочить многими другими способами. Всякое расположение чисел 1, 2,…, n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел (символов). Число различных перестановок из n символов равно n! (n – факториал). Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два символа, не обязательно стоящие рядом, а все остальные символы оставить на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование называется транспозицией. Пусть , , …, – некоторая перестановка чисел 1, 2,…, n. Говорят, что в данной перестановке числа и образуют инверсию (беспорядок), если > и i2, и установим общий закон, по которому определитель любого порядка будет выражаться через элементы соответствующей ему матрицы. ! Всякий член определителя второго порядка есть произведение двух элементов, стоящих как в разных строках, так и в разных столбцах матрицы А, причем в качестве членов определителя использованы все произведения такого вида, какие только можно составить из элементов матрицы второго порядка. ! Отметим, что член входит со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус, если его индексы составляют нечетную подстановку. Пусть дана квадратная матрица А порядка n: (2.2.3) ● Рассмотрим всевозможные произведения по n элементов этой матрицы, расположенных в разных строках и в разных столбцах, т.е. произведения вида , (2.2.4) где индексы ,,…, составляют некоторую перестановку из чисел 1,2,…,n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов (n!). Будем считать все эти произведения членами определителя порядка n, соответствующего матрице (2.2.3). ● Остается определить знак, с каким произведение (2.2.4) входит в состав определителя. Определителем порядка n, соответствующим матрице (2.2.3), называется алгебраическая сумма n! членов, составленная из всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае, т.е. , (2.2.5) где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из n чисел 1, 2,…, n. Рассмотрим свойства определителей: 1. Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании, т.е. при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером, определитель не меняется (равноправность строк и столбцов определителя). Пусть определитель (2.2.6) соответствует матрице А, полученной транспонированием матрицы А. Всякий член определителя (2.2.5) имеет вид , (2.2.7) где вторые индексы составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2, …, n. Однако все множители произведения (2.2.7) и в определителе (2.2.6) остаются в разных строках и в разных столбцах, т.е. (2.2.7) является членом и для транспонированного определителя |A|. Верно, очевидно, и обратное, и поэтому определители (2.2.5) и (2.2.6) состоят из одних и тех же членов. Знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.5) определяется четностью подстановки (2.2.8) а знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.6) определяется четностью подстановки . (2.2.9) Подстановки (2.2.8) и (2.2.9) имеют, очевидно, одну и ту же четность. Следовательно, определители (2.2.5) и (2.2.6) имеют одинаковые члены, взятые с одинаковыми знаками, т.е. равны друг другу. ! Доказанное свойство позволяет все последующие свойства доказывать лишь для строк, не доказывая их справедливость для столбцов. 2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк. При перестановке двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Пусть в определителе (2.2.5) переставляются i–ая и j–ая строки, а все остальные строки остаются на месте. В результате получим определитель (2.2.10). (2.2.10) Если (2.2.7) есть член определителя (2.2.5), то все его множители и в определителе (2.2.10) остаются, очевидно, в разных строках и в разных столбцах. Таким образом, определители (2.2.5) и (2.2.10) состоят из одних и тех же членов. Члену (2.2.7) в определителе (2.2.5) соответствует подстановка , (2.2.11) а в определителе (2.2.10) – подстановка (2.2.12) т.к. элемент стоит в (2.2.10) в j–ой строке, но остается в -ом столбце. Подстановка (2.2.12) получена из подстановки (2.2.11) одной транспозицией в верхней строке, т.е. имеет противоположную четность. Отсюда следует, что все члены определителя (2.2.5) входят в определитель (2.2.10) с обратными знаками, т.е. определители отличаются друг от друга лишь знаком. 3. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , если , . Если в определителе n–го порядка |A| некоторая i-ая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , то , где |A| – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные те же, что и у |A|, а |A| – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные строки те же, что и у |A|. Всякий член определителя |A| можно представить в виде Группируя первые и вторые слагаемые и вынося общие множители, получим . Линейное свойство справедливо и для случая, когда i-ая строка является линейной комбинацией m строк, m > 2. ! Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств. Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель |A| не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный. Таким образом, |A|=|-A|, откуда |A|=0. Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами общий множитель всех элементов можно вынести за знак этого определителя. Это свойство следует из свойства 3 при =0. Следствие 3. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при = 0. Следствие 4. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю. Следствие 5. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. Пример? ! Следствие 5 широко применяется при вычислении определителей порядка n3. Замечание. В силу свойства 1 все доказанные утверждения справедливы и для столбцов определителя. Вычисление определителей на основании данного выше определения представляет некоторые трудности. Существует более простой метод вычисления определителей, основанный на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков. 2.3. Миноры и алгебраические дополнения Пусть дана квадратная матрица . Будем называть минором элемента матрицы А определитель (n-1)-го порядка, соответствующий матрице, которая получается из матрицы А вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца. Минор элемента будем обозначать символом Mij. Например, , . Алгебраическим дополнением A элемента матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1), т.е. . Например, . Теорема. Произведение любого элемента aij на его алгебраическое дополнение в определителе |A| является алгебраической суммой, слагаемые которой будут некоторыми членами определителя |A|, причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с которыми они входят в состав определителя. Покажем сначала, что произведение является алгебраической суммой, слагаемые которой удовлетворяют условию теоремы. В определителе М занимает правый нижний угол. Число i+j является в этом случае четным и поэтому А11=М11. Произвольный член (2.3.1) М11 имеет в миноре М11 знак , где есть число инверсий в подстановке . Умножая на (2.3.1), получим произведение (2.3.2) элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах определителя |A|. Поэтому каждое такое произведение (2.3.2) будет членом определителя |A|. Знаки членов (2.3.2) и (2.3.1) совпадают, так как знак члена (2.3.2) определяется выражением =. Такой же знак имеет каждый член (2.2.3) и в определителе |A|, так как четность подстановки , составленной из индексов этого члена, определяется выражением . Перейдем к рассмотрению общего случая. Переставляя соседние строки и столбцы определителя |A|, передвинем произвольный элемент aij в левый верхний угол. Для этой цели переставим i-ую строку на (i–1) раз и j-ый столбец на (j–1) раз. Очевидно, что при данной перестановке взаимное расположение строк и столбцов в миноре Mij остается без изменения. После этих преобразований получим новый определитель |A| с тем же минором Mij для элемента aij, но расположенный в правом нижнем углу определителя |A|. Как доказано выше, произведение aij Mij является суммой некоторого числа членов определителя |A|. Однако определитель |A| получен из определителя |A| путем (i+j-2) перестановок строк и столбцов, и поэтому члены определителя |A| отличаются от соответствующих членов определителя |A| лишь знаком . Отсюда следует, что произведение состоит из некоторого количества членов определителя |A|, взятых с такими же знаками, какие они имеют в этом определителе. Теорема доказана. Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка n к вычислению нескольких определителей порядка n-1. 2.4. Вычисление определителей n-го порядка Действительно, является суммой нескольких членов определителя |A|. Легко подсчитать число этих членов: оно равно числу членов в миноре , т.е. равно (n-1)!. Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е. произведения (2.4.1) С одной стороны, никакой член определителя |A| не может войти в состав двух разных произведений (2.4.1), так как все члены определителя, входящие в любое произведение , содержат из i-й строки элемент и поэтому отличается от членов, входящих в остальные произведения. С другой стороны, общее число членов определителя |A|, входящих во все произведения (2.3.1), равно , т.е. совпадает с числом членов определителя порядка n. Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая теорема. Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е. (2.4.2) Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу. Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю. Перепишем выражение (2.4.2) в виде (2.4.3) так как алгебраические дополнения не зависит от элементов i-ой строки, то равенство (2.4.3) является тождеством относительно элементов . Заменив элементы соответствующими элементами любой k-ой строки, , получим (2.4.4) Левая часть равенства (2.4.4) есть определитель, содержащий две одинаковые строки и, следовательно, равна нулю. Теорема доказана. Вычисление определителей n-го порядка производится на основании соотношения (2.4.2) разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. В этом случае необходимо вычислить n определителей порядка n-1. ! Используя следствие 5 (см. параграф 2.2.), можно свести вычисления определителя порядка n к вычислению лишь одного определителя порядка (n-1). Для этого на основании следствия 5 необходимо так преобразовать определитель порядка n, чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент. Пример. Вычислить определитель. . Глава 3. Алгебра матриц (продолжение) 3.1 Обратная матрица Пусть задана квадратная матрица порядка n. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению (3.1.1) Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А*, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы А, т.е. . Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля, и вырожденной, если |A|=0. Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А-1, определяемая следующим выражением: (3.1.2) Доказательство. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют две различные обратные матрицы и . Тогда имеем (3.1.3) (3.1.4) Из двух последних равенств следует, что =. Покажем теперь, что выражение (3.1.2) действительно задает обратную матрицу. Составим произведение АА*. Очевидно, что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения, т.е. . Как известно из гл.2, при i=j =0. В итоге получаем , или , откуда . В заключение отметим, что А* перестановочна с А, т.е. , что видно непосредственно. Теорема доказана. Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А: . Решение: |A| = ? А* = ? А-1 = ? Проверкой убеждаемся, что АА-1=Е. Обратная матрица обладает следующими свойствами: 1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. |A-1|=. 2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и . 3. Если матрица А невырожденная, то . 4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е. . 3.2. Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выделим в матрице произвольно k строк и k столбцов .Определитель Мк, стоящий на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А. Число миноров k-го порядка равно . Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг матрицы обозначается r(A). !Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы. !Если матрица отлична от нулевой, то . ! Если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор порядка r, отличный от нуля, а все миноры порядков (r+1) и выше равны нулю. ! Следует отметить, что если все миноры некоторого порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю все миноры более высоких порядков. Справедливость этого утверждения следует из теоремы о разложении определителя. Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований матрицы. Перечислим элементарные преобразования: 1. Перестановка двух строк или столбцов. 2. Умножение всех элементов строки или столбца на любое число, отличное от нуля. 3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Доказательство. Справедливость теоремы относительно преобразований 1 и 2 доказывается на основании соответствующих свойств определителей. Докажем теорему относительно преобразования 3. Рассмотрим матрицу В, полученную из матрицы A прибавлением к i-му столбцу k-го столбца, умноженного на число : . Пусть ранг матрицы А равен r(А). Покажем, что . Для этого докажем, что любой минор порядка r+1 матрицы В равен нулю. Рассмотрим минор матрицы В, который не содержит i-ый столбец. В этом случае в точности соответствует некоторому минору порядка r+1 матрицы А и, следовательно, равен нулю. Если минор содержит i-ый и k-ый столбцы, то по свойству определителей он равен сумме двух миноров порядка r+1, причем один из них равен нулю, так как совпадает с минором (r+1)-го порядка матрицы А, а второй минор равен нулю, так как i-ый и k-ый столбцы его пропорциональны. Пусть минор содержит i-ый столбец, но не содержит k-ый столбец. В этом случае минор равен сумме двух миноров, один из которых совпадает с минором порядка (r+1) матрицы А и поэтому равен нулю, а второй минор равен нулю, так как отличается от соответствующего минора матрицы А множителем . Таким образом, (3.2.1) Матрицу А можно получить из матрицы В с помощью элементарного преобразования 3, следовательно, (3.2.2) Из полученных равенств (3.2.1) и (3.2.2) следует, что . Теорема доказана. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, содержащему единичную подматрицу порядка r. Пример. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований. . Решение. … … … r(A)=?. Минор , отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. Число базисных миноров матрицы А= не больше чем . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит некоторый базисный минор, называются базисными строками (столбцами). 3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы Пусть дана некоторая матрица А= и ее строки. Будем говорить, что k-ая () строка матрицы является линейной комбинацией остальных ее строк (линейно выражается через остальные), если , (3.3.1) где – какие-то числа (некоторые из этих чисел или даже все могут быть равны нулю). Это означает наличие следующих равенств между элементами столбцов: или , . Из (3.3.1) вытекает, что , (3.3.2) где – нулевая строка. Определение. Строки матрицы А линейно зависимы, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что (3.3.3) Если равенство (3.3.3) справедливо тогда и только тогда, когда , то строки называются линейно независимыми. ! Соотношение (3.3.2) показывает, что если одна из строк линейно выражается через остальные, то строки линейно зависимы. ! Легко видеть и обратное: если строки линейно зависимы, то найдется строка, которая будет линейной комбинацией остальных строк. Пусть, например, в (3.3.3) , тогда . Определение. Пусть в матрице А выделен некоторый минор r-го порядка и пусть минор (r+1)-го порядка этой же матрицы целиком содержит внутри себя минор . Будем говорить, что в этом случае минор окаймляет минор (или является окаймляющим для ). Пример? Лемма об окаймляющих минорах. Если минор порядка r матрицы А= отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией ее строк (столбцов), составляющих . Доказательство в учебном пособии. Уметь доказывать. Следствие I. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов). Действительно, базисный минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю. Следствие II. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен нулю, когда он содержит линейно зависимые строки (столбцы). Достаточность линейной зависимости строк (столбцов) для равенства определителя нулю доказана ранее как свойство определителей. Докажем необходимость. Пусть задана квадратная матрица n-го порядка, единственный минор которой равен нулю. Отсюда следует, что ранг этой матрицы меньше n, т.е. найдется хотя бы одна строка, которая является линейной комбинацией базисных строк этой матрицы. Теорема. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов и равно рангу этой матрицы. Доказательство в учебном пособии. Уметь доказывать. Рассмотрим еще один метод нахождения ранга матрицы. Ранг матрицы можно определить, если найти минор максимального порядка, отличный от нуля. Это может потребовать вычесления очень большого числа миноров этой матрицы, но следующая теорема внесет значительное упрощение. Теорема. Если минор матрицы А отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен r. Доказательство в учебном пособии. Уметь доказывать. Метод окаймляющих миноров: 1. При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. 2. Если уже найден минор r-го порядка, отличный от нуля, то требуется вычислить лишь миноры (r+1)-го порядка, окаймляющие минор . 3. Если они равны нулю, то ранг матрицы равен r. Этот метод применяется и в том случае, если мы не только вычисляем ранг матрицы, но и определяем, какие столбцы (строки) составляют базисный минор матрицы. Пример. Вычислить методом окаймляющих миноров ранг матрицы . Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля: . Однако все окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю: ; ; ; ; ; . Следовательно, ранг матрицы А равен двум: . Первая и вторая строки, первый и второй столбцы в данной матрице являются базисными. Остальные строки и столбцы являются их линейными комбинациями. В самом деле, для строк справедливы следующие равенства: В заключение отметим справедливость следующих свойств: 1) ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей; 2) ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А. Глава 4. Решение системы линейных уравнений 4.1. Система линейных уравнений Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида (4.1.1) где – неизвестные, подлежащие определению; – числа, называемые коэф-ми при неизвестных; – числа, называемые свободными членами. Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества. Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы. Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными. Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов. Пример? 4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (4.2.1) Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1). Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и – одно из ее решений. Тогда получим n тождеств: (4.2.2) Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n-ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству: (4.2.3) Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда (4.2.4) Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением. Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера. Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение: . При , при , . Таким образом, получим . Теорема доказана. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: Решение. Вычислим определитель : , , , откуда Метод обратной матрицы (матричный способ). Решение СЛУ с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения АХ=В (4.2.5) где . Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид (4.2.6) Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде: . Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера: . 4.3. Теорема Кронекера-Капелли Теорема. Система линейных уравнений (4.1.1) совместна тогда и только тогда, когда . Доказательство в учебном пособии. Уметь доказывать. На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем: 1. Если , то система (4.1.1) несовместна; 2. Если , то система (4.1.1) совместна. Пусть для определенности базисный минор порядка r расположен в верхнем левом углу матрицы А. Тогда первые r строк матрицы А линейно независимы, а остальные ее строки являются линейной комбинацией первых r строк. Но это означает, что первые r уравнений системы (4.1.1) линейно независимы, а остальные (m-r) ее уравнений являются их линейными комбинациями. Поэтому достаточно решить систему r уравнений; решения такой системы будут, очевидно, удовлетворять и остальным (m-r) уравнениям. При этом возможны два случая: 1. . Тогда систему, состоящую из первых r уравнений системы можно решить, например, по правилу Крамера. В этом случае система имеет единственное решение, т.е. система совместна и определена; 2. . Рассмотрим первые r уравнений системы (4.1.1). Оставив в левых частях первые r неизвестных, перенесем остальные в правые части. Получим систему: Очевидно, что полученная система и, следовательно, система (4.1.1) являются совместными и неопределенными. ! Таким образом, если , то система (4.1.1) совместна (определенная или неопределенная), если , то система (4.1.1) несовместна. ! Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель системы равен нулю, то . Тогда если , то система является совместной и неопределенной. Если , то система несовместна. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы (4.1.1), но не дает способа нахождения решения этой системы. Рассмотрим метод Жордана-Гаусса – метод решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. 4.4. Метод Жордана-Гаусса Метод Жордана-Гаусса основан на элементарных преобразованиях (п.3.2) строк расширенной матрицы системы (4.1.1). В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако системы линейных уравнений, соответствующие полученным матрицам, эквивалентны исходной системе линейных уравнений. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную систему специального вида. Для этого выберем в качестве первого уравнений одно из тех уравнений системы, где коэффициент при х1 отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что . Тогда первым уравнением системы будет уравнение . Умножим первое уравнение на . Затем умножим это же уравнение на , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m. После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х1. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен. . Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х1 будут исключены неизвестными , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица , соответствующая полученной системе, имеет вид: . Используем второе уравнение для исключения неизвестного из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу . Продолжая процесс, после r шагов получим матрицу , содержащую r единичных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы). При этом возможны три случая: 1. Если , то матрица преобразуется в матрицу Система имеет единственное решение: . 2. Если и r