Линейная алгебра и геометрия

Линейная алгебра и геометрия Лектор: Адамович Ольга Маратовна 31 мая 2021 г. Оглавление 4 Системы линейных алгебраических уравнений 4.1 Исследование СЛАУ с помощью понятия ранга матрицы 4.2 Однородные СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Фундаментальная система решений ОСЛАУ . . . . 4.3 Структура общего решения неоднородной СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Отображения множеств. Линейные отображения 5.1 Сюръективные, инъективные и биективные отображения . . . . . 5.2 Композиция (суперпозиция, произведение) отображений множеств 5.3 Обратное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Линейное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 5 7 . . . . . 9 9 10 11 12 13 6 Линейные операторы 6.1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Матрица линейного оператора в данном базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису 6.4 Подобные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Свойства подобных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Алгебра линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Образ линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Ядро линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Критерий существования обратного линейного оператора в конечномерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 17 19 20 20 20 22 24 7 Собственные векторы линейного оператора 7.1 Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора 7.1.1 Геометрический способ нахождения собственных векторов . . . . . . . 7.1.2 Алгебраический способ нахождения собственных векторов линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве . . . . . . . 7.2 Характеристический многочлен линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Одномерные и двумерные инвариантные подпространства линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 8 Линейный оператор простого типа 8.1 Собственный базис линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Критерий того, что линейный оператор является оператором простого типа 32 32 1 25 28 29 30 33 34 Содержание Линейная алгебра 9 Билинейные и квадратичные формы 9.1 Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Матрица билинейной формы в данном базисе . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Симметрические билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Канонический вид квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Закон инерции квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Знакоопределенные (знакопостоянные) квадратичные формы . . . . . 38 38 39 10 Евклидовы пространства 10.1 Аксиомы евклидова скалярного произведения . . . . . . 10.2 Матрица Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Следствия аксиом евклидова скалярного произведения . 10.4 Евклидова норма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Угол между векторами в евклидовом пространстве . . . 10.6 Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Процесс ортогонализации Грама – Шмидта . . . 10.7 Ортогональное дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Ортогональные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8.1 Ортогональные матрицы малых порядков . . . . 50 50 51 52 53 54 55 57 59 60 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Линейные операторы в евклидовом пространстве 11.1 Ортогональный оператор в евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . 11.2 Соответствие между линейными операторами и билинейными формами в конечномерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Сопряженный оператор в конечномерном евклидовом пространстве . . . . . 11.4 Самосопряженный (симметрический) оператор в конечномерном евклидовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Приведение матрицы ортогонального оператора к квазидиагональному (блочнодиагональному) виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 40 41 42 42 44 45 62 62 64 65 66 68 69 2 Глава 4 Системы линейных алгебраических уравнений 4.1 Исследование СЛАУ с помощью понятия ранга матрицы Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида ⎧ ⎪ 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + . . . + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + . . . + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 , .. .. .. .. .. .. ⎪ . . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + . . . + 𝑎 𝑥 = 𝑏 . 𝑚1 1 𝑚2 2 𝑚𝑛 𝑛 𝑚 Данную систему уравнений можно записать в виде 𝐴𝑋 = 𝐵, где 𝐴 – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, 𝐵 – столбец свободных членов, 𝑋 – столбец неизвестных, 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 𝐵 ∈ R𝑛 . Расширенную матрицу (𝐴|𝐵) с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду: ⎛ ⎞ 0 . . . 𝑎′1𝑗1 . . . . . . . . . 𝑏′1 .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ 0 . . . 0 𝑎′2𝑗2 . . . . . . элем. пр ⎜ .. ⎟ (𝐴|𝐵) −−−−−→ ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ... ... 0 𝑎′𝑟𝑗𝑟 . . . 𝑏′𝑟 ⎠ 0 . . . . . . . . . . . . 0 𝑏′𝑟+1 где rk 𝐴 = 𝑟, 𝑎′1𝑗1 , . . ., 𝑎′𝑟𝑗𝑟 – ведущие элементы ⇒ rk 𝐴 = 𝑟; rk (𝐴|𝐵) = 𝑟, если 𝑏′𝑟+1 = 0, и rk (𝐴|𝐵) = 𝑟 + 1, если 𝑏′𝑟+1 ̸= 0. Очевидно, что rk 𝐴 ≤ rk (𝐴|𝐵) ≤ 𝑛. Теперь СЛАУ можно классифицировать, используя понятие ранга матрицы: 1) rk 𝐴 < rk (𝐴|𝐵) ⇒ несовместная СЛАУ; 2) rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵) = 𝑛 ⇒ ∃! решение – определенная СЛАУ; 3) rk 𝐴 < rk (𝐴|𝐵) < 𝑛 ⇒ неопределенная СЛАУ. Теорема 1 (Теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности СЛАУ). СЛАУ 𝐴𝑋 = 𝐵 является совместной ⇔ rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵). 3 Системы линейных алгебраических уравнений Линейная алгебра Теорема 2 (Критерий определенности СЛАУ). СЛАУ 𝐴𝑋 = 𝐵 является определенной ⇔ rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵) = 𝑛. Следствие. Квадратная cистема линейных алгебраических уравнений 𝐴𝑋 = 𝐵 (𝐴 ∈ R𝑛×𝑛 ) является определенной ⇔ det 𝐴 ̸= 0. Теорема 3. СЛАУ 𝐴𝑋 = 𝐵 является неопределенной ⇔ rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵) < 𝑛. Следствие. {︃ rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵), Квадратная СЛАУ 𝐴𝑋 = 𝐵, (𝐴 ∈ R𝑛×𝑛 ) является неопреденной ⇔ det 𝐴 = 0. 4.2 Однородные СЛАУ 𝐴𝑋 = 0, где 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 0 ∈ Rm . Теорема 1. ОСЛАУ всегда совместна. Доказательство. Рассмотрим два способа доказательства: 1) 0 ∈ Rm – решение ОСЛАУ (оно называется тривиальным); Т1 2) rk 𝐴 = rk (𝐴 | 0) = rk (𝐴|𝐵) = ⇒ ОСЛАУ совместна. Замечание. ОСЛАУ является определенной ⇔ ОСЛАУ имеет только тривиальное решение. ОСЛАУ является неопределенной ⇔ ОСЛАУ имеет нетривиальное решение. Теорема 2. ОСЛАУ имеет только тривиальное решение ⇔ rk 𝐴 = 𝑛. Следствие. Квадратная ОСЛАУ имеет только тривиальное решение ⇔ det 𝐴 ̸= 0. Теорема 3. ОСЛАУ имеет нетривиальное решение ⇔ rk 𝐴 < 𝑛. Следствие 1. Квадратная ОСЛАУ имеет нетривиальное решение ⇔ det 𝐴 = 0. Следствие 2. В ОСЛАУ 𝑚 < 𝑛 ⇒ ОСЛАУ имеет нетривиальное решение. Доказательство. rk 𝐴 ≤ 𝑚 < 𝑛 ⇒ ∃ нетривиальное решение. Теорема 4. Множество всех решений ОСЛАУ является линейным пространством. Доказательство. Обозначим 𝐿0 – множество решений 𝐴𝑋 = 0, 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝐿0 ⊂ R𝑛 . Докажем, что 𝐿0 – линейное подпространство в R𝑛 : 4 Системы линейных алгебраических уравнений Линейная алгебра 1) Пусть 𝑋 1 , 𝑋 2 ∈ 𝐿0 , т. e. 𝐴𝑋 1 = 0, 𝐴𝑋 2 = 0 ⇒ 𝐴(𝑋 1 + 𝑋 2 ) = 𝐴𝑋 1 + 𝐴𝑋 2 = 0 + 0 = = 0 ⇒ 𝑋 1 + 𝑋 2 ∈ 𝐿0 ; 2) 𝑋 ∈ 𝐿0 , т. е. 𝐴𝑋 = 0, 𝛼 ∈ R ⇒ 𝐴(𝛼𝑋) = 𝛼𝐴𝑋 = 𝛼 · 0 = 0 ⇒ 𝛼𝑋 ∈ 𝐿0 . 1), 2) ⇒ 𝐿0 – линейное подпространство в R𝑛 ⇒ 𝐿0 – линейное пространство. Замечание. 𝐿0 ⊂ R𝑛 ⇒ dim 𝐿0 ≤ 𝑛. 4.2.1 Фундаментальная система решений ОСЛАУ Определение. Произвольный базис пространства решений ОСЛАУ называется фундаментальной системой решений (ФСР). Построение нормальной ФСР(естественного Пусть 𝐴𝑋 = 0, 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 0 ∈ R𝑚 , ⎛ 1 0 0 . . . . . . 𝑎′1𝑟+1 ⎜ 0 1 0 . . . . . . 𝑎′ 2𝑟+1 ⎜ ′ ⎜ 𝐴 = ⎜ 0 0 1 . . . . . . 𝑎3𝑟+1 ⎜ .. .. .. . . . .. ⎝ . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1 𝑎′𝑟𝑟+1 базиса 𝐿0 ) ... ... ... .. . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , rk 𝐴 = 𝑟, ⎟ ⎠ ... 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑟 − главные (базисные) неизвестные (𝑟 штук), 𝑥𝑟+1 , . . . , 𝑥𝑛 − свободные неизвестные (𝑛 − 𝑟 штук), −𝑎′1𝑟+1 𝑐1 −𝑎′1𝑟+2 𝑐2 .. .. ⎜ . . ⎜ ⎜ ⎜ −𝑎′𝑟𝑟+1 𝑐1 −𝑎′1𝑟+2 𝑐2 ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 𝐿0 = {𝑋оо }, где 𝑋оо ... .. . ... 𝑐1 𝑐2 .. . . . . . . . −𝑎′1𝑛 𝑐𝑛−𝑟 .. .. . . . . . . . . −𝑎′𝑟𝑛 𝑐𝑛−𝑟 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ – общее решение ⎟ ⎟ ОСЛАУ, ⎟ ⎠ 𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑛−𝑟 ∈ R. 𝑐𝑛−𝑟 Выберем естественный базис 𝐿0 – нормальную ФСР. ⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞ ⎛ ′ ⎞ −𝑎1𝑟+1 −𝑎1𝑟+2 −𝑎1𝑛 ⎜−𝑎′2𝑟+1 ⎟ ⎜−𝑎′2𝑟+2 ⎟ ⎜−𝑎′2𝑛 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ′ ⎟ ⎜ ′ ⎟ ⎜ ′ ⎟ ⎜−𝑎 ⎟ ⎜−𝑎𝑟𝑟+1 ⎟ ⎜−𝑎𝑟𝑟+2 ⎟ 2 𝑛−𝑟 1 0) Γ = ⎜ = ⎜ 𝑟𝑛 ⎟ ∈ 𝐿0 ; ⎟, Γ = ⎜ ⎟,..., Γ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ 1 (Решение Γ𝑖 получается при выборе значений свободных неизвестных: 𝑥𝑟+𝑖 = 1, 𝑥𝑟+𝑗 = 0 при 𝑗 ̸= 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛 − 𝑟.) 1) Γ1 , Γ2 , . . . , Γ𝑛−𝑟 – линейно независимая система, т. к. rk 𝐶 = 𝑛 − 𝑟, 5 Системы линейных алгебраических уравнений ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 2 𝑛−𝑟 где 𝐶 = (Γ , Γ , . . . , Γ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Линейная алгебра −𝑎1𝑟+1 . . . −𝑎2𝑟+1 . . . .. .. . . −𝑎𝑟𝑟+1 . . . 1 1 .. .. . . ... ⎞ . . . . . . −𝑎1𝑛 . . . . . . −𝑎2𝑛 ⎟ .. .. .. ⎟ ⎟ . . . ⎟ ⎟ . . . . . . −𝑎𝑟𝑛 ⎟ ⎟, ... ... ... ⎟ ⎟ ... ... ... ⎟ .. .. .. ⎟ . . . ⎠ ... ... ... 1 поскольку минор, образуемый всеми столбцами матрицы 𝐶 и строками 𝐶𝑟+1 , 𝐶𝑟+2 , . . . , 𝐶𝑛 , равен 1. 2) Γ1 , . . . , Γ𝑛−𝑟 – полная система, т. к. 𝑋оо = 𝑐1 Γ1 + 𝑐2 Γ2 + · · · + 𝑐𝑛−𝑟 Γ𝑛−𝑟 . ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ ⟨Γ1 , . . . , Γ𝑛−𝑟 ⟩ – базис 𝐿0 − ФСР. ⎩ 2) Следствие 3. dim 𝐿0 = 𝑛 − rk 𝐴. Следствие 4. Любая система линейно независимых решений ОСЛАУ, количество которых равно 𝑛 − rk 𝐴, является ФСР. Пример. ⎧ ⎪ ⎨𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 = 0, −𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 + 2𝑥4 − 2𝑥5 = 0, ⎪ ⎩ 2𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 0. Составим матрицу 𝐴 из коэффициентов, ⎛ 1 −2 𝐴 = ⎝ −1 2 2 −4 Приведем её к ступенчатому ⎛ 1 −2 1 ⎝ −1 2 −2 𝐴= 2 −4 1 стоящих перед неизвестными ⎞ 1 −1 1 −2 2 −2 ⎠ . 1 −1 0 виду с помощью элементарных преобразований: ⎞ ⎛ ⎞ −1 1 1 −2 0 0 0 2 −2 ⎠ → · · · → ⎝ 0 0 1 −1 0 ⎠ . −1 0 0 0 0 0 1 Вернемся к системе уравнений (𝑥1 , 𝑥3 , 𝑥5 – главные неизвестные, 𝑥2 , 𝑥4 – свободные неизвестные): ⎧ ⎪ ⎨𝑥1 = 2𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥4 , ⎪ ⎩ 𝑥5 = 0. Найдем размерность пространства решений 𝐿0 : dim 𝐿0 = 𝑛 − rk 𝐴 = 5 − 3 = 2. 6 Системы линейных алгебраических уравнений Линейная алгебра ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2𝑐1 ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 𝑐1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ФСР = ⟨Γ1 , Γ2 ⟩, Γ1 = ⎜ ⎜0⎟, Γ = ⎜1⎟, 𝑋𝑜𝑜 = 𝑐1 Γ + 𝑐2 Γ = ⎜ 𝑐2 ⎟ . ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 𝑐2 ⎠ 4.3 Структура общего решения неоднородной СЛАУ Теорема 1. Пусть 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 0 ∈ R𝑚 , 𝐵 ∈ R𝑚 K {0}, 𝐴𝑋 = 𝐵 (*) – НСЛАУ, 𝐴𝑋 = 0 (**) – соответствующая ОСЛАУ, 𝑋он – общее решение НСЛАУ (*), 𝑋чн – частное решение НСЛАУ (*), 𝑋оо – общее решение ОСЛАУ (**), 𝐿 = {𝑋он } – множество решение НСЛАУ (*), 𝐿0 = {𝑋оо } – пространство решений ОСЛАУ (**). Тогда 𝑋он = 𝑋чн + 𝑋оо , 𝐿 = {𝑋чн } + 𝐿0 – линейное многообразие. Доказательство. 1) 𝑋чн + 𝑋оо – решение (*), т. к. 𝐴(𝑋чн + 𝑋оо ) = 𝐴𝑋чн + 𝐴𝑋оо = 𝐵 + 0 = 𝐵. 2) 𝑋он − 𝑋чн – решение (**), т. к. 𝐴(𝑋он − 𝑋чн ) = 𝐴𝑋он − 𝐴𝑋чн = 𝐵 − 𝐵 = 0. 1), 2) ⇒ 𝑋он = 𝑋чн + 𝑋оо , 𝐿 = {𝑋чн } + 𝐿0 . Пример. ⎧ ⎪ ⎨𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 1, 𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 1, ⎪ ⎩ 𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 1. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 2 1 1 0 0 1 4 1 ⎠ → ··· → ⎝ 0 1 2 0 ⎠, 𝐷 = (𝐴|𝐵) = ⎝ 1 2 1 −1 −2 1 0 0 0 0 rk 𝐴 = rk (𝐴|𝐵) = 2, {︃ 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −2𝑥3 𝑥1 , 𝑥2 – главные неизвестные, 𝑥3 – свободная неизвестная. ⎧ ⎪ ⎨𝑥1 = 1, ⇒ 𝑥2 = −2𝑡. ⎪ ⎩ 𝑥3 = 𝑡 , 𝑡 ∈ R. (* * *) ⎛ 𝑋он ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = −2𝑡 = 0 + 𝑡 −2⎠ = 𝑋чн + 𝑋оо = 𝑋чн + 𝑡Γ1 . 𝑡 1 7 Системы линейных алгебраических уравнений Линейная алгебра (︂ Матрица 𝐴 соответствующей однородной системы приводится к виду ⎛ ⎞ {︂ 𝑥1 = 0, 1 ⎝ ⟨Γ ⟩ = ⟨ −2⎠⟩ – ФСР. 𝑥2 = −2𝑥3 , 1 )︂ 1 0 0 , rk 𝐴 = 2, 0 1 2 (* * *) – параметрические уравнения прямой 𝐿, параллельной прямой с направляющим вектором Γ1 . ⎧ ⎛ ⎞ 1 ⎨ 𝑥 = 0, ⎝ 𝑦 = −2𝑡, , сдвинутой на вектор 𝑋чн = 0⎠. 𝐿0 : ⎩ 𝑧 = 𝑡, 𝑥3 1 Γ1 -2 𝑥2 𝑋чн 𝐿0 𝐿 𝑥1 8 Глава 5 Отображения множеств. Линейные отображения 5.1 Сюръективные, инъективные и биективные отображения Определение. Отображением 𝑓 множества 𝑀 в множество 𝑆 называется сопоставление каждому 𝑥 ∈ 𝑀 некоторого однозначно определенного 𝑦 ∈ 𝑆. 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, если ∀𝑥 ∈ 𝑀 ↦−→ 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑆. Если 𝑦 = 𝑓 (𝑥), то 𝑦 ∈ 𝑆 называется образом 𝑥 ∈ 𝑀 , а 𝑥 ∈ 𝑀 – прообразом 𝑦 ∈ 𝑆. Определение. Два отображения 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, 𝑔 : 𝑀 → 𝑆 называется равными, если 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑀 . Определение. 𝑓 : 𝑀 → 𝑆 сюръективное отображение (сюръекция), если ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑓 (𝑥) = 𝑦. 𝑓 : 𝑀 → 𝑆 инъективное отображение (инъекция), если из {︃ 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀. 𝑓 : 𝑀 → 𝑆 биективное отображение (биекция) ⇔ 𝑓 сюръективно, 𝑓 инъективно. Примеры. 1. 𝑓 : R𝑛×𝑛 → R, 𝑛 ≥ 2. 𝑓 (𝑥) = det 𝑋 – сюръекция, т. к. ∀𝛼 ∈ R ∃𝑋 ∈ R𝑛×𝑛 : 𝑓 (𝑋) = 𝛼, например, ⎛ ⎜ ⎜ 𝑋=⎜ ⎝ ⎞ ... ... ... ... ⎟ ⎟ , det 𝑋 = 𝛼. . . . .. ⎟ . ⎠ ... ... ... 𝛼 1 .. . 1 .. . Но при этом 𝑓 (𝑥) не является инъективным отображением: ⎛ ⎜ ⎜ если 𝑋1 = ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ... ... 𝛼 0 ⎜ 0 1 ... ... ⎟ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ , 𝑋2 = ⎜ .. .. ⎝ . . . ⎠ . ... ... ... 𝛼 ... ... 1 .. . 1 .. . 9 ⎞ ... ... ... ... ⎟ ⎟ .. ⎟ , .. . . ⎠ ... 1 Отображения Линейная алгебра то det 𝑋1 = det 𝑋2 , однако 𝑋1 ̸= 𝑋2 , если 𝛼 ̸= 1; 2. 𝑔 : N → Q, ∀𝑛 ∈ N 𝑔(𝑛) = 𝑛 𝑛+1 ∈ Q. 𝑔 – не сюръекция, т. к. например, 3 2 ∈ Q не имеет прообраза, но при этом 𝑔 – инъективно: если 𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑚), т. е. 5.2 𝑛 𝑛+1 = 𝑚 , 𝑚+1 то 𝑛𝑚 + 𝑛 = 𝑚𝑛 + 𝑚 ⇒ 𝑛 = 𝑚. Композиция (суперпозиция, произведение) отображений множеств Определение. Пусть заданы отображения 𝑓 : 𝑀 → 𝑆 и 𝑔 : 𝑆 → 𝑈 , тогда композицией (суперпозицией, произведением) этих отображений называется отображение (𝑔 ∘ 𝑓 ) : 𝑀 → 𝑈 такое, что ∀𝑥 ∈ 𝑀 (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓 (𝑥)) ∈ 𝑈 . Замечание. Операция композиции не является коммутативной. 𝑔 ∘ 𝑓 ̸= 𝑓 ∘ 𝑔. Пример. Пусть заданы два отображения 𝑓, 𝑔 множества 𝑀 в себя. Покажем, что их композиция не является коммутативной. {︃ {︃ 𝑓 (0) = 0, 𝑔(0) = 1, Пусть 𝑀 = {0, 1}, 𝑓 : 𝑀 → 𝑀 : 𝑔:𝑀 →𝑀 : 𝑓 (1) = 0, 𝑔(1) = 0. Тогда {︃ (𝑔 ∘ 𝑓 )(0) = 𝑔(𝑓 (0)) = 1, ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓 ̸= 𝑓 ∘ 𝑔. (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓 (𝑔(0)) = 0 Утверждение 1. Композиция отображений ассоциативна. Если 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, 𝑔 : 𝑆 → 𝑈, ℎ : 𝑈 → 𝑊, то ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓 ) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 . 𝑀 𝑊 𝑔∘ 𝑓 ℎ∘ 𝑓 𝑔 ℎ 𝑆 𝑔 𝑈 Доказательство. ∀𝑥 ∈ 𝑀 (ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓 ))(𝑥) = ℎ((𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥)) = ℎ(𝑔(𝑓 (𝑥))) = (ℎ ∘ 𝑔)(𝑓 (𝑥)) = = ((ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓 )(𝑥) ⇒ ℎ ∘ (𝑔 ∘ 𝑓 ) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓. Определение. Отображение 𝑒𝑀 : 𝑀 → 𝑀 называется тождественным на 𝑀 , если 𝑒𝑀 (𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑀. 10 Отображения Линейная алгебра Утверждение 2. Пусть задано некоторое отображение 𝑓 : 𝑀 → 𝑆. Тогда {︂ 𝑓 ∘ 𝑒𝑀 = 𝑓, 𝑒𝑆 ∘ 𝑓 = 𝑓. Доказательство. ∀𝑥 ∈ 𝑀 (𝑓 ∘ 𝑒𝑀 )(𝑥) = 𝑓 (𝑒𝑀 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥) ⇒ 𝑓 ∘ 𝑒𝑀 = 𝑓. ∀𝑥 ∈ 𝑀 (𝑒𝑆 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑒𝑆 (𝑓 (𝑥)) = 𝑓 (𝑥) ⇒ 𝑒𝑆 ∘ 𝑓 = 𝑓. 5.3 Обратное отображение Определение. Пусть 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, 𝑔 : 𝑆 → 𝑀 . {︃ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑒𝑀 , Отображение 𝑔 называется обратным отображением для 𝑓 , если 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑒𝑆 . Пример. 𝑓 : R+ → R+ , 𝑓 (𝑥) = √ 𝑥2 , ⇒ 𝑔 : R+ → R+ , 𝑔(𝑥) = 𝑥 √ {︂ (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓 (𝑥)) = √𝑥2 = |𝑥| = 𝑥 ⇒ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 (𝑔(𝑥)) = ( 𝑥)2 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ R+ ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑒R+ ∀𝑥 ∈ R+ ⇒ 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑒R+ Утверждение 1. Если существует обратное отображение, то оно единственно. Пусть 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, ∃ 𝑔1 , 𝑔2 : 𝑆 → 𝑀 : {︃ {︃ 𝑔1 ∘ 𝑓 = 𝑒𝑀 , 𝑔2 ∘ 𝑓 = 𝑒𝑀 , и ⇒ 𝑔1 = 𝑔2 . 𝑓 ∘ 𝑔1 = 𝑒𝑆 𝑓 ∘ 𝑔2 = 𝑒 𝑆 Доказательство. ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑔1 (𝑦) = (𝑔1 ∘𝑒𝑆 )(𝑦) = (𝑔1 ∘(𝑓 ∘𝑔2 ))(𝑦) = ((𝑔1 ∘𝑓 )∘𝑔2 )(𝑦) = (𝑒𝑀 ∘𝑔2 )(𝑦) = 𝑔2 (𝑦) ⇒ 𝑔1 = 𝑔2 . Отображение, обратное к отображению 𝑓 , обозначается 𝑓 −1 . Теорема 1 (Критерий существования обратного отображения). Если задано отображение 𝑓 : 𝑀 → 𝑆, то обратное для него 𝑓 −1 существует ⇔ 𝑓 – биекция. Доказательство. Достаточность (⇐). Пусть 𝑓 – биективно ⇒ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∃!𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑓 (𝑥) = 𝑦. Положим 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 : 𝑓 (𝑥) = 𝑦, тогда: ∀𝑥 ∈ 𝑀 (𝑓 −1 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑓 −1 (𝑓 (𝑥)) = 𝑥 ⇒ (𝑓 −1 ∘ 𝑓 ) = 𝑒𝑀 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑓 ∘ 𝑓 −1 )(𝑦) = 𝑓 (𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦 ⇒ (𝑓 ∘ 𝑓 −1 ) = 𝑒𝑆 . Необходимость (⇒). Пусть ∃𝑓 −1 {︂ : 𝑆 −→ 𝑀 : 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝑒𝑀 , 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑒𝑆 . 1) Пусть 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝑒𝑀 и 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) ∈ 𝑆, тогда 𝑓 −1 (𝑓 (𝑥1 )) = 𝑓 −1 (𝑓 (𝑥2 )) ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 ⇒ 𝑓 – инъекция; 11 Отображения Линейная алгебра 2) Пусть 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑒𝑆 , тогда ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∃ 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) : 𝑓 (𝑥) = 𝑦, т. к. 𝑓 (𝑓 −1 (𝑦)) = (𝑓 ∘ 𝑓 −1 )(𝑦) = 𝑒𝑠 (𝑦) = 𝑦 ⇒ 𝑓 – сюръекция. 1), 2) ⇒ 𝑓 – биекция. 5.4 Линейное отображение Определение. Пусть 𝑉, 𝑊 – линейные пространства. Отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется линейным отображением , если: {︂ 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉, (𝜙 – гомоморфизм линейных пространств). 𝜙(𝜆𝑣1 ) = 𝜆𝜙(𝑣1 ) ∀𝑣1 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R. Примеры. 1. 𝜙 : C[0, 1] → R. 𝜙 : 𝑓 (𝑡) ∈ C[0, 1] ↦−→ ∫︀1 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 ∈ R, 𝜙 – линейное отображение. (Линейное отображение линейного пространства над полем R в поле R называется линейным функционалом); 2. 𝜙 : R𝑛 → R𝑚 . 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 𝜙(𝑋) = 𝐴𝑋 ∈ R𝑚 , 𝜙 – линейное отображение. Будем обозначать множество линейных отображений 𝑉 в 𝑊 𝐿(𝑉, 𝑊 ). Утверждение 1. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение, 0 ∈ 𝑉 . Тогда 𝜙(0) = 0 ∈ 𝑊 . Доказательство. 𝜙(0) = 𝜙(0 + 0) = 𝜙(0) + 𝜙(0) ∈ 𝑊 . ∃(−𝜙(0)) ∈ 𝑊 ⇒ (−𝜙(0)) + 𝜙(0) = (𝜙(0) + (−𝜙(0))) + 𝜙(0) ⇒ 0 = 0 + 𝜙(0) ⇒ 𝜙(0) = 0. Утверждение 2. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ). Тогда если 𝑣1 , 𝑣2 . . . , 𝑣𝑘 – линейно зависимая система в 𝑉 , то 𝜙(𝑣1 ), 𝜙(𝑣2 ), . . . , 𝜙(𝑣𝑘 ) – линейно зависимая система в 𝑊 . Доказательство. 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑘 – линейно зависимая система в 𝑊 ⇒ {︃ 𝛼12 + 𝛼22 + · · · + 𝛼𝑘2 ̸= 0, ∃𝛼1 , 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑘 ∈ R такие, что 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 = 0. Тогда 𝜙(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 ) = 𝛼1 𝜙(𝑣1 ) + 𝛼2 𝜙(𝑣2 ) + · · · + 𝛼𝑘 𝜙(𝑣𝑘 ) = 𝜙(0) = 0. {︃ 2 𝛼1 + 𝛼22 + · · · + 𝛼𝑘2 ̸= 0, 𝛼1 𝜙(𝑣1 ) + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑘 𝜙(𝑣𝑘 ) = 0 ⇒ 𝜙(𝑣1 ), . . . , 𝜙(𝑣𝑘 ) – линейно зависимая система в 𝑊 . 12 Отображения 5.5 Линейная алгебра Изоморфизм линейных пространств Определение. Биективное линейное отображение называется изоморфизмом линейных пространств. ⇔ Линейные пространства изоморфны 𝑉 ≃ 𝑊 {︂ 𝜙 − линейное отображение, ∃𝜙 : 𝑉 → 𝑊 : 𝜙 − биекция. Пример. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, тогда 𝑉 ≃ R𝑛 . Пусть 𝑒 – базис 𝑉 ⇒ ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 , 𝑋𝑒 ∈ R𝑛 . Рассмотрим Φ𝑒 : 𝑉 → R𝑛 : Φ𝑒 (𝑣) = 𝑋𝑒 . {︂ Φ𝑒 (𝑣1 + 𝑣2 ) = Φ𝑒 (𝑣1 ) + Φ𝑒 (𝑣2 ), ⇒ Φ𝑒 – линейное отображение. Φ𝑒 (𝜆𝑣) = 𝜆Φ𝑒 (𝑣) {︂ Φ𝑒 сюръективно, т. к. ∀𝑋 ∈ R ∃𝑣 = 𝑒𝑋 ∈ 𝑉 : Φ𝑒 (𝑣) = 𝑋, Φ𝑒 инъективно, т. к. ∀𝑣1 = 𝑒𝑋𝑒1 , 𝑣2 = 𝑒𝑋𝑒2 , если Φ𝑒 (𝑣1 ) = Φ𝑒 (𝑣2 ), т. е. 𝑋𝑒1 = 𝑋𝑒2 ⇒ 𝑣1 = 𝑣2 ⇒ Φ𝑒 – биективное отображение. Следовательно, Φ𝑒 – изоморфизм, 𝑉 ≃ R𝑛 . Утверждение 1. Если 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – изоморфизм линейных пространств, то ∃𝜙−1 ∈ 𝐿(𝑊, 𝑉 ) – изоморфизм линейных пространств. Доказательство. 𝜙 – биекция ⇒ ∃𝜙−1 : 𝑊 → 𝑉 – биекция. 1. ∀𝑤1 , 𝑤2 ∈ 𝑊 𝜙−1 (𝑤1 + 𝑤2 ) = 𝜙−1 ((𝜙 ∘ 𝜙−1 )(𝑤1 ) + (𝜙 ∘ 𝜙−1 )(𝑤2 )) = 𝜙−1 (𝜙(𝜙−1 (𝑤1 ) + 𝜙−1 (𝑤2 ))) = = (𝜙−1 ∘ 𝜙)(𝜙−1 (𝑤1 ) + 𝜙−1 (𝑤2 )) = 𝜙−1 (𝑤1 ) + 𝜙−1 (𝑤2 ); 2. ∀𝑤 ∈ 𝑊, ∀𝛼 ∈ R 𝜙−1 (𝜆𝑤) = 𝜙−1 (𝜆(𝜙 ∘ 𝜙−1 )(𝑤)) = 𝜙−1 (𝜆(𝜙(𝜙−1 (𝑤)))) = 𝜙−1 (𝜙(𝜆(𝜙−1 (𝑤)))) = = (𝜙−1 ∘ 𝜙)(𝜆𝜙−1 (𝑤)) = 𝜆𝜙−1 (𝑤). 1), 2) ⇒ 𝜙−1 ∈ 𝐿(𝑊, 𝑉 ). Следовательно, 𝜙−1 – биективное линейное отображение, т. е. изоморфизм линейных пространств. Утверждение 2. Пусть 𝑉, 𝑊 – линейные пространства, dim 𝑉, dim 𝑊 < ∞. Тогда если 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – изоморфим, то 𝜙 отображает базис 𝑉 в базис 𝑊 . Доказательство. Пусть ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис V. Докажем, что ⟨𝜙(𝑒1 ), 𝜙(𝑒2 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )⟩ – базис 𝑊 . 0) 𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) ∈ 𝑊 ; 13 Отображения Линейная алгебра 1) Пусть 𝛼1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝛼𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = 0 ∈ 𝑊 . 𝜙 – линейное отображение ⇒ 𝜙(𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 ) = 𝜙(0), 0 ∈ 𝑉 , 𝜙 – инъективное отображение ⇒ 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑛 𝑒𝑛 = 0, 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 – линейно независимая система ⇒ 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑛 = 0 ⇒ ⇒ 𝜙(𝑒1 ), 𝜙(𝑒2 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) – линейно независимая система в 𝑊 ; 2) ∀𝑤 ∈ 𝑊 ∃𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑤 = 𝜙(𝑣), т. к. 𝜙 – сюръективное отображение. 𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 – полная система в 𝑉 ⇒ 𝑣 = 𝑒1 𝑥1 + 𝑒2 𝑥2 + · · · + 𝑒𝑛 𝑥𝑛 ⇒ ⇒ 𝑤 = 𝜙(𝑣) = 𝜙(𝑒1 𝑥1 + 𝑒2 𝑥2 + · · · + 𝑒𝑛 𝑥𝑛 ) = 𝜙(𝑒1 )𝑥1 + 𝜙(𝑒2 )𝑥2 + · · · + 𝜙(𝑒𝑛 )𝑥𝑛 ⇒ ⇒ 𝜙(𝑒1 ), 𝜙(𝑒2 ) . . . , 𝜙(𝑒𝑛 ) – полная система в 𝑊. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ ⟨𝜙(𝑒1 ), 𝜙(𝑒2 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )⟩ – базис 𝑊 . ⎩ 2) Следствие (Критерий изоморфности конечномерных линейных пространств). Пусть 𝑉, 𝑊 – конечномерные линейные пространства. Тогда 𝑉 ≃ 𝑊 ⇔ dim 𝑉 = dim 𝑊 . Доказательство. Необходимость(⇒). 𝑉 ≃ 𝑊 ⇒ ∃𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – изоморфизм, переводящий базис 𝑉 в базис 𝑊 ⇒ ⇒ dim 𝑉 = dim 𝑊 . Достаточность(⇐). 𝑛 dim 𝑉 = dim 𝑊 = 𝑛 < ∞ ⇒ ∃Φ𝑉𝑒 : 𝑉 → R𝑛 , ∃Φ𝑊 𝑓 : 𝑊 → R – изоморфизмы. −1 Значит, (Φ𝑊 ∘ Φ𝑉𝑒 : 𝑉 → 𝑊 – изоморфизм ⇒ 𝑉 ≃ 𝑊 . 𝑓 ) 14 Глава 6 Линейные операторы 6.1 Определения и примеры Определение. Линейное отображение линейного пространства в себя называется линейным оператором. Множество всех линейных операторов пространства 𝑉 обозначается 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Пусть 𝑉 – линейное пространство. Тогда 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – линейный оператор, если выполнено: ⎧ 0) 𝐴 : 𝑉 → 𝑉 (𝐴𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ); ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1) 𝐴(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝐴𝑣1 + 𝐴𝑣2 ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2) 𝐴(𝜆𝑣) = 𝜆𝐴𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R. Примеры. 1. 𝑉 3 , 𝐴 : 𝑉 3 → 𝑉 3 , ∀𝑣 ∈ 𝑉 3 𝐴𝑣 = 𝛼𝑣, где 𝛼 ∈ R, 𝛼 ̸= 0 – гомотетия (преобразование подобия). 0) 𝐴𝑣 = 𝛼𝑣 ∈ 𝑉 3 ∀𝑣 ∈ 𝑉 3 ⇒ 𝐴 : 𝑉 3 → 𝑉 3 ; 1) 𝐴(𝑣 1 + 𝑣 2 ) = 𝛼(𝑣 1 + 𝑣 2 ) = 𝛼𝑣 1 + 𝛼𝑣 2 = 𝐴𝑣 1 + 𝐴𝑣 2 ∀𝑣1 , 𝑣 2 ∈ 𝑉 3 ; 2) 𝐴(𝜆𝑣) = 𝛼(𝜆𝑣) = (𝛼𝜆)𝑣 = 𝜆𝐴𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 3 , ∀𝜆 ∈ R. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐴 – линейный оператор, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ); ⎩ 2) 𝜋 2 2. 𝑉 2 , 𝐴 – поворот вокруг точки 𝑂 на угол 𝛼 ∈ (0; ) против часовой стрелки. 0) 𝐴 : 𝑉 2 → 𝑉 2 ; 1) 𝐴(𝑣 1 + 𝑣 2 ) = 𝐴𝑣 1 + 𝐴𝑣 2 ∀𝑣 1 , 𝑣 2 ∈ 𝑉 2 . При повороте параллелограмм 𝑂𝐵𝐶𝐷 отображается в параллелограмм 𝑂𝐵1 𝐶1 𝐷1 ⇒ диагональ 𝑂𝐶 переходит в диагональ 𝑂𝐶1 . 15 Линейные операторы Линейная алгебра 𝐶1 𝐴( 𝑣1 + 𝑣2 ) 𝐷1 𝐷 𝐴𝑣2 𝛼 𝐵1 𝑣2 𝐴𝑣1 𝛼 𝑂 𝛼 𝑣1 + 𝑣 2 𝐶 𝑣1 𝐵 2) 𝐴(𝜆𝑣) = 𝜆𝐴𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉 2 , ∀𝜆 ∈ R. Рисунок иллюстрирует случай 𝜆 > 0. Случаи 𝜆 < 0 и 𝜆 = 0 предлагаются для самостоятельного рассмотрения. 𝐴(𝜆𝑣) = 𝜆𝐴𝑣 𝐴𝑣 𝛼 𝑣 ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐴 – линейный оператор, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 2 , 𝑉 2 ); ⎩ 2) 3. 𝑃𝑛 , 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝜆𝑣 𝑝(𝑡) = 𝑝′ (𝑡) – оператор дифференцирования в 𝑃𝑛 . 0) 𝐷𝑝(𝑡) ∈ 𝑃𝑛−1 ⊂ 𝑃𝑛 ∀𝑝(𝑡) ∈ 𝑃𝑛 ⇒ 𝐷 : 𝑃𝑛 → 𝑃𝑛 ; 1) 𝐷(𝑝1 + 𝑝2 ) = (𝑝1 + 𝑝2 )′ = 𝑝′1 + 𝑝′2 = 𝐷𝑝1 + 𝐷𝑝2 ∀𝑝1 , 𝑝2 ∈ 𝑃𝑛 ; 2) 𝐷(𝜆𝑝) = (𝜆𝑝)′ = 𝜆𝑝′ = 𝜆𝐷𝑝 ∀𝑝 ∈ 𝑃𝑛 , ∀𝜆 ∈ R. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐷 – линейный оператор, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑃𝑛 , 𝑃𝑛 ); ⎩ 2) 16 Линейные операторы Линейная алгебра 4. R𝑛 , 𝐵 ∈ R𝑛×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 𝐴(𝑋) = 𝐵𝑋 – оператор левого умножения на матрицу. 0) 𝐴(𝑋) = 𝐵𝑋 ∈ R𝑛 ∀𝑋 ∈ R𝑛 ⇒ 𝐴 : R𝑛 → R𝑛 ; 1) 𝐴(𝑋 1 + 𝑋 2 ) = 𝐵(𝑋 1 + 𝑋 2 ) = 𝐵𝑋 1 + 𝐵𝑋 2 = 𝐴(𝑋 1 ) + 𝐴(𝑋 2 ) ∀𝑋 1 , 𝑋 2 ∈ R𝑛 ; 2) 𝐴(𝜆𝑋) = 𝐵(𝜆𝑋) = 𝜆(𝐵𝑋) = 𝜆𝐴(𝑋) ∀𝑋 ∈ R𝑛 , ∀𝜆 ∈ R. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐴 – линейный оператор, 𝐴 ∈ 𝐿(R𝑛 , R𝑛 ); ⎩ 2) 5. 𝑃𝑛 , 𝑝(𝑡) ∈ 𝑃𝑛 , 𝐴𝑝(𝑡) = 𝑡𝑝(𝑡). 𝐴 не является линейным оператором, т. к. 𝑡𝑝(𝑡) ∈ / 𝑃𝑛 , если deg 𝑝(𝑡) = 𝑛. 6.2 Матрица линейного оператора в данном базисе Рассмотрим конечномерное линейное пространство 𝑉, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Пусть 𝑒 – некоторый базис 𝑉 ⇒ ∀𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 , 𝑋𝑒 ∈ R𝑛 . Тогда 𝐴𝑣 = 𝐴(𝑒𝑋𝑒 ) = 𝐴(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ) = 𝑥1 𝐴𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝐴𝑒𝑛 = ⎛ ⎞ 𝑥1 1 𝑛 1 𝑛 1 2 𝑛 ⎜ .. ⎟ = 𝑥1 𝑒𝐴 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝐴 = 𝑒(𝑥1 𝐴 + · · · + 𝑥𝑛 𝐴 ) = 𝑒(𝐴 𝐴 . . . 𝐴 ) ⎝ . ⎠ = 𝑒𝐴𝑒 𝑋𝑒 . 𝑥𝑛 Определение. Матрица 𝐴𝑒 = (𝐴1 𝐴2 . . . 𝐴𝑛 ), где 𝐴𝑗 —- столбец координат 𝐴𝑒𝑗 – образа базисного вектора 𝑒𝑗 в базисе 𝑒, называется матрицей линейного оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) в базисе 𝑒. Если 𝑋𝑒 – столбец координат вектора 𝑣 в базисе 𝑒, то 𝐴𝑒 𝑋𝑒 - столбец координат 𝐴𝑣 – образа вектора 𝑣 в этом базисе. Примеры. 1. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ) : 𝐴𝑣 = 𝛼𝑣, 𝛼 ̸= 0, 𝛼 ∈ R; 𝑒 = ⟨𝑖, 𝑗, 𝑘⟩ – естественный базис 𝑉 3 . Подействуем оператором на базисные векторы: ⎛ ⎞ 𝛼 𝐴𝑖 = 𝛼𝑖 = 𝑒 ⎝ 0 ⎠, ⎛ 𝛼 ⎝ 𝐴𝑒 = 𝐴𝑗 𝛼 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = 𝛼𝑗 = 𝑒 ⎝𝛼⎠, 𝐴𝑘 = 𝛼𝑘 = 𝑒 ⎝ 0 ⎠. 𝛼 ⎞ 0 ⎠ – скалярная матрица; 𝛼 𝜋 2. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 2 , 𝑉 2 ), 𝐴 – поворот на 𝛼 ∈ (0; ) против часовой стрелки, 2 𝑒 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ – базис 𝑉 2 . 17 Линейные операторы Линейная алгебра 𝐴𝑗 𝑗 𝐴𝑖 𝛼 𝛼 )︂ 𝑖 (︂ (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 𝐴𝑖 = cos(𝛼)𝑖 + sin(𝛼)𝑗 = 𝑒 , 𝐴𝑗 = − sin(𝛼)𝑖 + cos(𝛼)𝑗 = 𝑒 . sin 𝛼 cos 𝛼 (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 𝐴𝑒 = – матрица поворота на угол 𝛼 против часовой стрелки; sin 𝛼 cos 𝛼 3. 𝐷 ∈ 𝐿(𝑃𝑛 , 𝑃𝑛 ), dim 𝑃𝑛 = 𝑛 + 1, 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑝′ (𝑡), 𝑒 = ⟨𝑡𝑛 , 𝑡𝑛−1 , . . . , 1⟩ – естественный базис 𝑃𝑛 . 𝐷𝑡𝑛 = 𝑛𝑡𝑛−1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜𝑛⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = 𝑒 ⎜ 0 ⎟, 𝐷𝑡𝑛−1 = (𝑛 − 1)𝑡𝑛−2 = 𝑒 ⎜𝑛 − 1⎟, . . . , 𝐷(1) = 0 = 𝑒 ⎜ .. ⎟. ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝.⎠ ⎝.⎠ ⎝ . ⎠ ⎛ ⎞ 0 ... ... 0 ⎜ 𝑛 0 ... ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 𝑛 − 1 0 ... ... 0 ⎟ ⎜ . .. .. .. ⎟ 𝐷𝑒 = ⎜ . . . . .. ⎟; . . . . ⎟ ⎜ . ⎜ . .. .. . . . . ⎟ ⎝ .. . .. .. ⎠ . . 1 0 4. 𝐴 ∈ 𝐿(R𝑛 , R𝑛 ), 𝐵 ∈ R𝑛×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 𝐴(𝑋) = 𝐵𝑋, 𝑒 = ⟨𝐸 1 , 𝐸 2 , . . . , 𝐸 𝑛 ⟩ – естественный базис R𝑛 . ⎛ ⎜ ⎜ 𝐴(𝐸 ) = 𝐵𝐸 = ⎜ ⎝ 1 1 𝑏11 . . . 𝑏21 . . . .. .. . . 𝑏𝑛1 . . . 𝑏1𝑛 𝑏2𝑛 .. . 𝑏𝑛𝑛 ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 𝑏11 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ 𝑏21 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ = ⎜ .. ⎟ = 𝐵 1 = 𝑒𝐵 1 . ⎠ ⎝.⎠ ⎝ . ⎠ 𝑏𝑛1 Аналогично действуя на остальные базисные векторы, получаем 𝐴(𝐸 𝑗 ) = 𝑒𝐵 𝑗 , 𝑗 = 2, 𝑛. ⎛ ⎞ 𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑛 ⎜ 𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴𝑒 = ⎜ .. .. .. .. ⎟ = 𝐵, ⎝ . . . . ⎠ 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑛 т. е. матрица оператора левого умножения на матрицу 𝐵 в пространстве R𝑛 в естественном базисе 𝐴𝑒 = 𝐵. 18 Линейные операторы Линейная алгебра Утверждение 1. Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉, 𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 . Тогда, если 𝐴𝑣 = 𝑒𝐵𝑋𝑒 , где 𝐵 ∈ R𝑛×𝑛 , то 𝐴𝑒 = 𝐵. Доказательство. ⎛ ⎞ ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ 𝑒𝑗 = 𝑒 ⎜ ⎟ = 𝑒𝐸 𝑗 . ⎜0⎟ ⎜.⎟ ⎝ .. ⎠ 𝐴𝑒𝑗 = 𝑒𝐵𝐸 𝑗 = 𝑒𝐵 𝑗 ⇒ 𝐴𝑒 = (𝐵 1 𝐵 2 . . . 𝐵 𝑗 . . . 𝐵 𝑛 ). Теорема 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 . Ψ𝑒 : 𝐿(𝑉, 𝑉 ) → R𝑛×𝑛 , Ψ𝑒 (𝐴) = 𝐴𝑒 ∀𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда Ψ𝑒 – биекция. Доказательство. 1. Инъективность. Пусть 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) и Ψ𝑒 (𝐴1 ) = Ψ𝑒 (𝐴2 ) = 𝐵 ⇒ {︂ 𝐴1 𝑣 = 𝑒𝐵𝑋𝑒 , ⇒ ∀𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 ∈ 𝑉 ⇒ 𝐴1 = 𝐴2 ⇒ Ψ𝑒 инъективно; 𝐴2 𝑣 = 𝑒𝐵𝑋𝑒 2. Сюръективность. ∀𝐵 ∈ R𝑛×𝑛 ∃𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : Ψ𝑒 (𝐴) = 𝐴𝑒 = 𝐵, а именно рассмотрим отображение 𝐴: ∀𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 ∈ 𝑉 𝐴𝑣 = 𝑒𝐵𝑋𝑒 . 0) 𝐴𝑣 = 𝑒𝐵𝑋𝑒 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ 𝐴 : 𝑉 → 𝑉 ; 1) 𝐴(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑒𝐵(𝑋𝑒1 + 𝑋𝑒2 ) = 𝑒𝐵𝑋𝑒1 + 𝑒𝐵𝑋𝑒2 = 𝐴𝑣1 + 𝐴𝑣2 ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ; 2) 𝐴(𝜆𝑣) = 𝑒𝐵(𝜆𝑋𝑒 ) = 𝜆𝑒𝐵𝑋𝑒 = 𝜆𝐴𝑣 ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ R. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). ⎩ 2) Из утв. 1 ⇒ 𝐵 = 𝐴𝑒 = Ψ𝑒 (𝐴). Из пунктов 1 и 2 следует, что Ψ𝑒 – биекция. 6.3 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису Утверждение 1. Пусть 𝑉 – конечномерное линейное пространство, 𝑒, 𝑓 – два его базиса, 𝑇𝑒→𝑓 – матрица перехода от базиса 𝑒 к базису 𝑓 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝐴𝑒 и 𝐴𝑓 – матрицы линейного оператора 𝐴 в базисах 𝑒 и 𝑓 соответственно. Тогда −1 𝐴𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑓 , −1 𝐴𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑓 𝑇𝑒→𝑓 . 19 Линейные операторы Линейная алгебра Доказательство. −1 𝑓 = 𝑒 𝑇𝑒→𝑓 , 𝑒 = 𝑓 𝑇𝑓 →𝑒 = 𝑓 𝑇𝑒→𝑓 . −1 ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 = 𝑓 𝑋𝑓 , 𝑋𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑋𝑓 , 𝑋𝑓 = 𝑇𝑓 →𝑒 𝑋𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑋𝑒 . −1 𝐴𝑣 = 𝐴(𝑒𝑋𝑒 ) = 𝑒𝐴𝑒 𝑋𝑒 = (𝑓 𝑇𝑒→𝑓 )𝐴𝑒 (𝑇𝑒→𝑓 𝑋𝑓 ) = −1 = 𝑓 (𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑓 )𝑋𝑓 = 𝑓 𝐴𝑓 𝑋𝑓 = 𝐴(𝑓 𝑋𝑓 ) = 𝐴𝑣. −1 Следовательно, 𝐴𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑓 . −1 Тогда 𝐴𝑒 = 𝑇𝑓−1 →𝑒 𝐴𝑓 𝑇𝑓 →𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑓 𝑇𝑒→𝑓 . 6.4 Подобные матрицы Определение. Матрица 𝐵 подобна 𝐴 (𝐵 ∼ 𝐴), если 𝐵 = 𝐶 −1 𝐴𝐶, где 𝐵, 𝐴, 𝐶 ∈ R𝑛×𝑛 , det 𝐶 ̸= 0. Утверждение 1. 𝐵 ∼ 𝐴 ⇔ 𝐴, 𝐵 – матрицы некоторого оператора в различных базисах конечномерного пространства 𝑉. Доказательство. Достаточность(⇐). Очевидно из закона преобразования матрицы оператора при переходе к новому базису. Необходимость(⇒). Пусть 𝐵 = 𝐶 −1 𝐴𝐶, где det 𝐶 ̸= 0, 𝑒 – базис 𝑉 , ∀𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 положим 𝐺𝑣 = 𝑒𝐴𝑋𝑒 ⇒ 𝐺 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝐺𝑒 = 𝐴; −1 Пусть 𝑓 = 𝑒𝐶, 𝑓 – базис 𝑉 , 𝐶 = 𝑇𝑒→𝑓 ⇒ 𝐺𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐺𝑒 𝑇𝑒→𝑓 = 𝐶 −1 𝐴𝐶 = 𝐵. 6.4.1 Свойства подобных матриц Утверждение 2. Отношение 𝐴 ∼ 𝐵 является отношением эквивалентности, т. е. 1) 𝐴 ∼ 𝐴 (рефлексивность); 2) 𝐴 ∼ 𝐵 ⇒ 𝐵 ∼ 𝐴 (симметричность); 3) 𝐴 ∼ 𝐵, 𝐵 ∼ 𝐶 ⇒ 𝐴 ∼ 𝐶 (транзитивность). Утверждение 3. Отношение эквивалентности разбивает R𝑛×𝑛 на непересекающиеся классы подобных матриц. Утверждения 2 и 3 предлагается доказать самостоятельно. 6.5 Алгебра линейных операторов Определение. Определим в 𝐿(𝑉, 𝑉 ) операции сложения, умножения на число, умножения, положив ∀𝑣 ∈ 𝑉 20 Линейные операторы Линейная алгебра 1. (𝐴1 + 𝐴2 )𝑣 = 𝐴1 𝑣 + 𝐴2 𝑣 ∀𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ); 2. (𝜆𝐴)𝑣 = 𝜆(𝐴𝑣) ∀𝜆 ∈ R, ∀𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ); 3. (𝐴1 𝐴2 )𝑣 = 𝐴1 (𝐴2 𝑣) ∀𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Теорема 1. Операции в 𝐿(𝑉, 𝑉 ) определены корректно. Если 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), то 1. 𝐴1 + 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ); 2. 𝜆𝐴1 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), ∀𝜆 ∈ R; 3. 𝐴1 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Доказательство. Докажем пункт 1. 0) (𝐴1 + 𝐴2 )𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 ; 1) (𝐴1 + 𝐴2 )(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝐴1 (𝑣1 + 𝑣2 ) + 𝐴2 (𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝐴1 𝑣1 + 𝐴1 𝑣2 + 𝐴2 𝑣1 + 𝐴2 𝑣2 = = (𝐴1 + 𝐴2 )𝑣1 + (𝐴1 + 𝐴2 )𝑣2 ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ; 2) (𝐴1 + 𝐴2 )(𝛼𝑣) = 𝐴1 (𝛼𝑣) + 𝐴2 (𝛼𝑣) = 𝛼𝐴1 𝑣 + 𝛼𝐴2 𝑣 = 𝛼(𝐴1 + 𝐴2 )𝑣 ∀𝛼 ∈ R, ∀𝑣 ∈ 𝑉 . ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝐴1 + 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). ⎩ 2) Аналогично доказываются пункты 2 и 3. Теорема 2. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , Ψ𝑒 : 𝐿(𝑉, 𝑉 ) → R𝑛×𝑛 , ∀𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) Ψ𝑒 (𝐴) = 𝐴𝑒 . Тогда 1. Ψ𝑒 (𝐴1 + 𝐴2 ) = Ψ𝑒 (𝐴1 ) + Ψ𝑒 (𝐴2 ) ⇔ (𝐴1 + 𝐴2 )𝑒 = 𝐴1𝑒 + 𝐴2𝑒 ∀𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ); 2. Ψ𝑒 (𝜆𝐴) = 𝜆Ψ𝑒 (𝐴) ⇔ (𝜆𝐴)𝑒 = 𝜆𝐴𝑒 ∀𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), ∀𝜆 ∈ R; 3. Ψ𝑒 (𝐴2 𝐴1 ) = Ψ𝑒 (𝐴2 )Ψ𝑒 (𝐴1 ) ⇔ (𝐴2 𝐴1 )𝑒 = 𝐴2𝑒 𝐴1𝑒 ∀𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Доказательство. Докажем пункт 1. Пусть 𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 . {︂ (𝐴1 + 𝐴2 )𝑣 = 𝑒(𝐴1 + 𝐴2 )𝑒 𝑋𝑒 , ⇒ (𝐴1 + 𝐴2 )𝑒 = 𝐴1𝑒 + 𝐴2𝑒 ⇔ 𝐴1 𝑣 + 𝐴2 𝑣 = 𝑒𝐴1𝑒 𝑋𝑒 + 𝑒𝐴2𝑒 𝑋𝑒 = 𝑒(𝐴1𝑒 + 𝐴2𝑒 )𝑋𝑒 ⇔ Ψ𝑒 (𝐴1 + 𝐴2 ) = Ψ𝑒 (𝐴1 ) + Ψ𝑒 (𝐴2 ). Пункты 2 и 3 доказываются аналогично. Теорема 3. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 . Тогда Ψ𝑒 : 𝐿(𝑉, 𝑉 ) → R𝑛×𝑛 – изоморфизм алгебр. 𝐿(𝑉, 𝑉 ) ≃ R𝑛×𝑛 . 21 Линейные операторы Линейная алгебра Доказательство. Из теоремы 1 пункта 6.2 следует, что Ψ𝑒 – биекция. Из теоремы 2 настоящего пункта следует, что Ψ𝑒 – гомоморфизм алгебр. Значит, Ψ𝑒 – изоморфизм. Таким образом, 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – алгебра линейных операторов, действующих в пространстве 𝑉 , изоморфна алгебре матриц R𝑛×𝑛 – ассоциативной алгебре с единицей (Ψ𝑒 (𝑒𝑉 ) = 𝐸). Следствие 1. Все алгебраические свойства, имеющиеся в R𝑛×𝑛 , верны и для 𝐿(𝑉, 𝑉 ), где 𝑉 – конечномерное пространство, dim 𝑉 = 𝑛. Следствие 2. Пусть ∃ 𝐴−1 – обратный линейный оператор для 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), где 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 . Тогда (𝐴−1 )𝑒 = (𝐴𝑒 )−1 . Доказательство. {︂ −1 {︂ {︂ 𝐴 𝐴 = 𝑒𝑉 = 𝜀, Ψ𝑒 (𝐴−1 ) Ψ𝑒 (𝐴) = 𝐸, (𝐴−1 )𝑒 𝐴𝑒 = 𝐸 ⇒ ⇒ (𝐴−1 )𝑒 = 𝐴−1 𝑒 . 𝐴𝐴−1 = 𝑒𝑉 = 𝜀; Ψ𝑒 (𝐴) Ψ𝑒 (𝐴−1 ) = 𝐸 𝐴𝑒 (𝐴−1 )𝑒 = 𝐸 Следствие 3 (Критерий существования обратного оператора для линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве). Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда ∃𝐴−1 ⇔ det 𝐴𝑒 ̸= 0. Доказательство. ∃𝐴−1 ⇔ ∃𝐴−1 𝑒 ⇔ det 𝐴𝑒 ̸= 0. 6.6 Образ линейного отображения Определение. Пусть 𝑉, 𝑊 – линейные пространства, 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение. Образом линейного отображения 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) называется подмножество Im 𝜙 = {𝑤 ∈ 𝑊 : ∃𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑤 = 𝜙(𝑣)} ⊂ 𝑊. Примеры. 1. 𝐷 : R[𝑡] → R[𝑡]. 𝑑 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑝(𝑡), 𝑑𝑡 Im 𝐷 = R[𝑡]; 2. 𝐷 : 𝑃𝑛 → 𝑃𝑛 . 𝑑 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑝(𝑡), 𝑑𝑡 Im 𝐷 = 𝑃𝑛−1 ; 3. 𝐴 – оператор проектирования ⎛ на плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧⎛= ⎞ 0. ⎞ 𝑥 𝑥 Im 𝐴 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑣 ⊥ 𝑛𝑝 } = {𝑣 = 𝑒 ⎝𝑦 ⎠ : (𝑣, 𝑛) = 0} = {𝑣 = 𝑒 ⎝𝑦 ⎠ : 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0}. 𝑧 𝑧 Утверждение 1. Линейное отображение 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) сюръективно ⇔ Im 𝜙 = 𝑊 . 22 Линейные операторы Линейная алгебра Утверждение 2. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение. Тогда его образ Im 𝜙 является линейным подпространством пространства 𝑊 . Доказательство. 0) Im 𝜙 ̸= ∅ по смыслу определения линейного отображения; 1) 𝑤1 , 𝑤2 ∈ Im 𝜙, т. е. ∃ 𝑣1 , 𝑣2 : 𝑤1 = 𝜙(𝑣1 ), 𝑤2 = 𝜙(𝑣2 ) ⇒ ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ Im 𝜙; 2) 𝑤 ∈ Im 𝜙, т. е. ∃ 𝑣 : 𝑤 = 𝜙(𝑣) ⇒ ∀𝛼 ∈ R 𝛼𝑤 = 𝛼𝜙(𝑣) = 𝜙(𝛼𝑣) ⇒ 𝛼𝑤 ∈ Im 𝜙. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ Im 𝜙 – линейное подпространство 𝑊 . ⎩ 2) Утверждение 3. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑉 . Тогда Im 𝜙 = 𝐿[𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )]. Доказательство. 1. Если 𝑤 ∈ Im 𝜙 ⇒ ∃ 𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑤 = 𝜙(𝑣). 𝑣 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ⇒ 𝑤 = 𝜙(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ) = = 𝑥1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) ∈ 𝐿[𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )] ⇒ Im 𝜙 ⊂ 𝐿[𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )]; 2. Если 𝑤 ∈ 𝐿[𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )] ⇒ 𝑤 = 𝑥1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = = 𝜙(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ) = 𝜙(𝑣) ⇒ 𝑤 ∈ Im 𝜙 ⇒ 𝐿[𝜙(𝑒1 ), . . . , 𝜙(𝑒𝑛 )] ⊂ Im 𝜙; Утверждение 4. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – линейный оператор. Тогда dim Im 𝐴 = rk 𝐴𝑒 . Доказательство. dim Im 𝐴 = dim 𝐿[𝐴𝑒1 , 𝐴𝑒2 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 ] = rk {𝐴𝑒1 , 𝐴𝑒2 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 } = = rk {𝑒𝐴1 , 𝑒𝐴2 , . . . , 𝑒𝐴𝑛 } = rk {𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 } = rk 𝐴𝑒 . Следствие 1. Ранг матрицы линейного оператора в конечномерном пространстве rk 𝐴𝑒 не зависит от выбора базиса, т. е. является инвариантом оператора. Определение. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Рангом линейного оператора называется размерность его образа, т. е. rk 𝐴 = = dim Im 𝐴 = rk 𝐴𝑒 для любого базиса 𝑒 пространства 𝑉 . 23 Линейные операторы 6.7 Линейная алгебра Ядро линейного отображения Определение. Пусть 𝑉, 𝑊 – линейные пространства, 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение. Ядром линейного отображения 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется подмножество Ker 𝜙 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝜙(𝑣) = 0 ∈ 𝑊 } ⊂ 𝑉. Примеры. 1. 𝐷 : R[𝑡] → R[𝑡]. 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝑝(𝑡), Ker 𝐷 = 𝑃0 ; 2. 𝐷 : 𝑃𝑛 → 𝑃𝑛 . 𝐷𝑝(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝑝(𝑡), Ker 𝐷 = 𝑃0 ; 3. 𝐴 – оператор проектирования на⎛плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0. ⎞ 2 Ker 𝐴 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑣 ‖ 𝑛𝑝 } = {𝑣 = 𝑒𝛼 ⎝−1⎠ , 𝛼 ∈ R}. −1 Утверждение 1. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение. Тогда его ядро Ker 𝜙 является линейным подпространством пространства 𝑉 . Доказательство. 0) Ker 𝜙 ̸= ∅, т. к. 𝜙(0) = 0 ⇒ 0 ∈ Ker 𝜙; 1) 𝑣1 , 𝑣2 ∈ Ker 𝜙, т. е. 𝜙(𝑣1 ) = 0, 𝜙(𝑣2 ) = 0 ⇒ ⇒ 𝜙(𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝜙(𝑣1 ) + 𝜙(𝑣2 ) = 0 + 0 = 0 ⇒ 𝑣1 + 𝑣2 ∈ Ker 𝜙; 2) 𝑣 ∈ Ker 𝜙, т. е. 𝜙(𝑣) = 0 ⇒ ∀𝛼 ∈ R 𝜙(𝛼𝑣) = 𝛼𝜙(𝑣) = 𝛼0 = 0 ⇒ 𝛼𝑣 ∈ Ker 𝜙. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ Ker 𝜙 – линейное подпространство 𝑉 . ⎩ 2) Определение. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение, 𝑤 ∈ 𝑊 . Полным прообразом 𝑤 называется множество 𝜙−1 (𝑤) = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝜙(𝑣) = 𝑤}. Замечание. Обозначение 𝜙−1 (𝑤), используемое для обозначения полного прообраза, не предполагает существование обратного для 𝜙 отображения 𝜙−1 . Утверждение 2. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение, 𝑤 ∈ Im 𝜙, 𝑣̃︀ ∈ 𝑉 : 𝜙(̃︀ 𝑣) = 𝑤. Тогда 𝜙−1 (𝑤) = {̃︀ 𝑣} + Ker 𝜙 – линейное многообразие. Доказательство. 1. Пусть 𝑣 ∈ {̃︀ 𝑣} + Ker 𝜙, 𝑣 = 𝑣̃︀ + 𝑣1 , где 𝜙(𝑣1 ) = 0. Тогда 𝜙(𝑣) = 𝜙(̃︀ 𝑣 + 𝑣1 ) = 𝜙(̃︀ 𝑣) + 𝜙(𝑣1 ) = 𝑤 + 0 = 𝑤 ⇒ ⇒ 𝑣 ∈ 𝜙−1 (𝑤) ⇒ {̃︀ 𝑣} + Ker 𝜙 ⊂ 𝜙−1 (𝑤). 24 Линейные операторы Линейная алгебра 2. Пусть 𝑣 ∈ 𝜙−1 (𝑤), т. е. 𝜙(𝑣) = 𝑤 = 𝜙(̃︀ 𝑣) ⇒ 𝜙(𝑣) − 𝜙(̃︀ 𝑣) = 0 ⇒ ⇒ 𝜙(𝑣 − 𝑣) ̃︀ = 0 ⇒ 𝑣 − 𝑣̃︀ ∈ Ker 𝜙 ⇒ 𝑣 ∈ {̃︀ 𝑣} + Ker 𝜙 ⇒ 𝜙−1 (𝑤) ⊂ {̃︀ 𝑣} + Ker 𝜙. Пример. 𝜙 ∈ 𝐿(R𝑛 , R𝑚 ), 𝐴 ∈ R𝑚×𝑛 , 𝑋 ∈ R𝑛 , 𝜙(𝑋) = 𝐴𝑋 ∈ R𝑚 . 𝐵 ∈ R𝑚 𝜙−1 (𝐵) = {𝑋 ∈ R𝑛 : 𝐴𝑋 = 𝐵} = {𝑋чн } + {𝑋оо } = {𝑋чн } + Ker 𝜙. Утверждение 3. Пусть 𝜙 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊 ) – линейное отображение. 𝜙 инъективно ⇔ Ker 𝜙 = {0} – тривиально. Доказательство. 𝜙 – инъективно ⇔ ∀𝑤 ∈ Im 𝜙 полный прообраз 𝜙−1 (𝑤) состоит из одного элемента ⇔ Ker 𝜙 = {0}. Утверждение 4. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда Ker 𝐴 = {𝑒𝑋оо }, где 𝑋оо – общее решение 𝐴𝑒 𝑋𝑒 = 0. Доказательство. Ker 𝐴 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝐴𝑣 = 0} = {𝑣 = 𝑒𝑋𝑒 : 𝐴𝑒 𝑋𝑒 = 0} = {𝑒𝑋оо }. Следствие 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда dim Ker 𝐴 = dim 𝑉 − rk 𝐴𝑒 = 𝑛 − rk 𝐴𝑒 . Следствие 2. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда dim Ker 𝐴 + dim Im 𝐴 = dim 𝑉. Определение. Дефектом линейного оператора def 𝐴 называется dim Ker 𝐴 – размерность его ядра. Следствие 3. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда def 𝐴 + rk 𝐴 = dim 𝑉. 6.8 Критерий существования обратного линейного оператора в конечномерном пространстве Утверждение 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда 𝐴 сюръективен ⇔ 𝐴 инъективен ⇔ 𝐴 биективен. Доказательство. 𝐴 сюръективен ⇔ Im 𝐴 = 𝑉 ⇔ rk 𝐴 = 𝑛 ⇔ def 𝐴 = 0 ⇔ Ker 𝐴 = {0} ⇔ 𝐴 инъективен. Следовательно, 𝐴 биективен ⇔ 𝐴 сюръективен ⇔ 𝐴 инъективен. Утверждение 2 (Критерий существования обратного оператора в конечномерном пространстве). Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), тогда ∃ 𝐴−1 ⇔ Im 𝐴 = 𝑉 ⇔ rk 𝐴 = dim 𝑉 = 𝑛 ⇔ def 𝐴 = 0 ⇔ Ker 𝐴 = {0} ⇔ det 𝐴𝑒 ̸= 0. Доказательство. ∃ 𝐴−1 ⇔ 𝐴 – биекция ⇔ 𝐴 – сюръекция ⇔ Im 𝐴 = 𝑉 ⇔ rk 𝐴 = dim 𝑉 = 𝑛 ⇔ ⇔ def 𝐴 = 0 ⇔ Ker 𝐴 = {0} ⇔ det 𝐴𝑒 ̸= 0. 25 Глава 7 Собственные векторы линейного оператора 7.1 Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора Определение. Пусть 𝑉 – линейное пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Линейное подпространство 𝑈 ⊂ 𝑉 называется инвариантным подпространством оператора 𝐴, если ∀𝑢 ∈ 𝑈 𝐴𝑢 ∈ 𝑈. Замечание. Если 𝑈 ⊂ 𝑉 – инвариантное подпространство 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), то можно рассматривать ограничение 𝐴|𝑈 ∈ 𝐿(𝑈, 𝑈 ). Пример. 𝐴 – проектирование на плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 в 𝑉 3 . 𝑈2 𝑛 P 𝑈1 𝑈1 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑣 ‖ 𝑃 ⇔ (𝑣, 𝑛) = 0}, 𝑈2 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝑣 = 𝛼𝑛, 𝛼 ∈ R}. Заметим, что 𝑈1 = Im 𝐴, 𝑈2 = Ker 𝐴 – инвариантные подпространства 𝑉 3 , 𝐴|𝑈1 – тождественный оператор, 𝐴|𝑈2 – нулевой оператор. Утверждение 1. Если 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), то Im 𝐴 и Ker 𝐴 – инвариантные подпространства линейного оператора. Доказательство. 1. 𝑢 ∈ Ker 𝐴 ⇒ 𝐴𝑢 = 0 ∈ Ker 𝐴 ⇒ Ker 𝐴 – инвариантное подпространство 𝑉 ; 26 Собственные векторы линейного оператора Линейная алгебра 2. 𝑢 ∈ Im 𝐴 ⇒ 𝐴𝑢 ∈ Im 𝐴 ⇒ Im 𝐴 – инвариантное подпространство 𝑉 . Определение. Пусть 𝑉 – линейное пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Ненулевой вектор 𝑣 ∈ 𝑉 K {0} называется собственным вектором оператора 𝐴 с собственным значением 𝜆 ∈ R, если 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣. {︂ 𝑣 ̸= 0, 𝑣 ∈ 𝑉 – собственный вектор оператора 𝐴 с собственным значением 𝜆 ⇔ 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣. Замечание. С геометрической точки зрения собственный вектор – нетривиальный вектор, образ которого коллинеарен ему. Обозначим 𝑣 𝜆=𝜆0 – общий вид собственных векторов с собственным значением 𝜆0 . Примеры. 1. 𝑉 2 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 2 , 𝑉 2 ), 𝐴𝑣 = 2𝑣. Здесь любой вектор, кроме нулевого, является собственным вектором с собственным значением 𝜆 = 2. 𝑣𝜆=2 = 𝑐1 𝑖 + 𝑐2 𝑗, 𝑐21 + 𝑐22 ̸= 0. (︁ 𝜋 )︁ 2. 𝑉 2 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 2 , 𝑉 2 ) – поворот на угол 𝛼 ∈ 0; против часовой стрелки. 2 Здесь не существует собственных векторов, поскольку никакой ненулевой вектор не отображается в коллинеарный ему вектор. Замечание. Если 𝑣 – собственный вектор 𝐴 с собственным значением 𝜆 ⇒ ∀𝛼 ̸= 0 𝛼𝑣 – собственный вектор с собственным значением 𝜆. Утверждение 2. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑣 – собственный вектор оператора 𝐴 с собственным значением 𝜆 ⇔ ⇔ 𝐿[𝑣] – одномерное инвариатное подпространство. Доказательство. Необходимость(⇒). Пусть 𝑣 ̸= 0, ⟨𝑣⟩ – базис 𝐿[𝑣], dim 𝐿[𝑣] = 1. Пусть 𝑢 ∈ 𝐿[𝑣] ⇔ 𝑢 = 𝛼𝑣 ⇒ 𝐴𝑢 = 𝐴(𝛼𝑣) = 𝛼𝐴𝑣 = 𝛼𝜆𝑣 ∈ 𝐿[𝑣]. Достаточность(⇐). Пусть 𝐿[𝑣] – одномерное инвариантное подпространство ⇒ ⟨𝑣⟩ – базис 𝐿[𝑣] ⇒ 𝑣 ̸= 0. 𝐴𝑣 ∈ 𝐿[𝑣] ⇒ 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣, 𝜆 ∈ R ⇒ 𝑣 – собственный вектор с собственным значением 𝜆. 7.1.1 Геометрический способ нахождения собственных векторов Геометрически собственные векторы 𝑣 линейного оператора можно найти как направляющие векторы прямых 𝐿[𝑣], проходящих через ноль и отображающихся в себя под действием оператора. Пример. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ), 𝑒 = ⟨𝑖, 𝑗, 𝑘⟩. 𝐴 – проектирование на плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0. Какие прямые, проходящие через ноль, отображаются в себя при проектировании на плоскость 𝑃 ? 27 Собственные векторы линейного оператора Линейная алгебра 1. 𝐿1 ⊥ 𝑃 , т.e 𝐿1 ‖ 𝑛, 𝐿1 = 𝐿[𝑛], 𝑛 = 2𝑖 − 𝑗 + 𝑘 – вектор нормали к плоскости 𝑃 . ⎛ 𝑣 𝜆=0 ⎞ 2 = 𝑐𝑒 ⎝−1⎠ = 𝑐(2𝑖 − 𝑗 + 𝑘), 𝑐 ̸= 0; 1 2. 𝐿2 – любая прямая, лежащая на 𝑃 , 𝐿2 = 𝐿[𝑣], где 𝑣 ̸= 0 : (𝑣, 𝑛) = 0. 𝑣 𝜆=1 7.1.2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎝ ⎝ ⎠ = 𝑐1 𝑒 1 + 𝑐2 𝑒 2⎠ , 𝑐21 + 𝑐22 ̸= 0 . 1 Алгебраический способ нахождения собственных векторов линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве Теорема 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда 𝑣 – собственный вектора 𝐴 с собственным значением 𝜆 ⇔ 𝑣 = 𝑒𝑋, где 𝑋 – нетривиальное решение ОСЛАУ (𝐴𝑒 − 𝜆𝐸)𝑋 = 0, а 𝜆 – корень характеристического уравнения det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0. Доказательство. 𝑣 – собственный вектор 𝐴 с собственным значением 𝜆, т. е. {︂ {︂ {︂ {︂ 𝑣 ̸= 0, 𝑋 ̸= 0 ∈ R𝑛 , 𝑣 ̸= 0, 𝑣 ̸= 0, ⇔ 𝑣 = 𝑒𝑋 : ⇔ ⇔ 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 𝐴𝑣 = 𝜆𝜀𝑣 (𝐴 − 𝜆𝜀)𝑣 = 0 (𝐴𝑒 − 𝜆𝐸)𝑋 = 0, 𝑋 – нетривиальное решение ОСЛАУ (𝐴𝑒 − 𝜆𝐸)𝑋 = 0. Нетривиальное решение ОСЛАУ существует ⇔ det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0, т. е. собственное значение 𝜆 – корень характеристического уравнения. Следовательно, если 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), для того, чтобы найти все собственные векторы оператора 𝐴, нужно: 1) выбрать базис 𝑒 в пространстве 𝑉 и найти матрицу оператора 𝐴𝑒 в базисе 𝑒; 2) составить характеристическое уравнение det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0 и найти все его действительные корни; 3) для каждого 𝜆0 ∈ R – корня характеристического уравнения, найти ФСР и общее решение 𝑋оо ОСЛАУ (𝐴𝑒 − 𝜆0 𝐸)𝑋 = 0, все собственные векторы оператора 𝐴 с собственным значением 𝜆0 записать в виде 𝑣𝜆=𝜆0 = 𝑒𝑋оо , исключив из 𝑋оо тривиальное решение. Пример. 1) Пусть дана матрица 𝐴𝑒 – матрица оператора (︂ 1 𝐴𝑒 = −1 в некотором базисе 𝑒. )︂ ; 3 28 Собственные векторы линейного оператора Линейная алгебра 2) det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0. ⃒ ⃒ [︂ ⃒1 − 𝜆 ⃒ 𝜆 = 1 (кратность корня 𝑠𝜆=1 = 1), 2 ⃒ ⃒ ⃒ −1 3 − 𝜆⃒ = 0 ⇒ 𝜆 − 4𝜆 + 3 = 0 ⇒ 𝜆 = 3 (кратность корня 𝑠𝜆=3 = 1); 3) 𝜆 = 1, {︂ 𝑣𝜆=3 = 𝑒𝑋 : ⎧ ⎪ ⎨ 𝑋 ̸= 0, 𝑋 ̸= 0, (︂ )︂ ⇒ 𝑥1 = 2𝑥2 . (𝐴𝑒 − 𝐸)𝑋 = 0; ⎪ ⎩ −1 2 𝑋 = 0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2 2 2 , 𝑐1 ̸= 0; ФСР = ⟨ ⟩, 𝑋оо = 𝑐1 , 𝑣𝜆=1 = 𝑒𝑐1 1 1 1 𝜆 = 3, {︂ 𝑣𝜆=3 = 𝑒𝑋 : ⎧ ⎪ ⎨ 𝑋 ̸= 0, 𝑋 ̸= 0, (︂ )︂ ⇒ 𝑥1 = 0. −2 (𝐴𝑒 − 3𝐸)𝑋 = 0; ⎪ ⎩ −1 0 𝑋 = 0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ФСР = ⟨ ⟩, 𝑋оо = 𝑐2 , 𝑣𝜆=3 = 𝑒𝑐2 , 𝑐2 ̸= 0. 1 1 1 Собственные векторы оператора 𝐴: (︂ )︂ (︂ )︂ 2 , 𝑐1 ∈ R K {0}; 𝑣𝜆=3 = 𝑒𝑐2 , 𝑐2 ∈ R K {0}. 𝑣𝜆=1 = 𝑒𝑐1 1 1 7.2 Характеристический многочлен линейного оператора, действующего в конечномерном линейном пространстве Определение. Если 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 < ∞, то det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) – характеристический многочлен матрицы оператора 𝐴 в базисе 𝑒. Утверждение 1. Если 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 < ∞, то det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) не зависит от выбора базиса, т. е. если 𝑒, 𝑓 – базисы пространства 𝑉 , то det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = det(𝐴𝑓 − 𝜆𝐸). Доказательство. −1 𝐴𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑓 , тогда (︀ −1 )︀ −1 det(𝐴𝑓 − 𝜆𝐸) = det 𝑇𝑒→𝑓 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑓 − 𝜆𝑇𝑒→𝑓 𝐸 𝑇𝑒→𝑓 = (︀ −1 )︀ (︀ −1 )︀ = det 𝑇𝑒→𝑓 (𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) 𝑇𝑒→𝑓 = det 𝑇𝑒→𝑓 det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) det(𝑇𝑒→𝑓 ) = = (det(𝑇𝑒→𝑓 ))−1 det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) det(𝑇𝑒→𝑓 ) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸). Определение. Характеристическим многочленом 𝑓𝐴 (𝜆) оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) (dim 𝑉 < ∞) называется характеристический многочлен его матрицы в любом базисе пространства 𝑉 . 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝜀) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) ∀𝑒 – базиса 𝑉 . 29 Собственные векторы линейного оператора Линейная алгебра Замечание. Собственные значения 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – действительные корни 𝑓𝐴 (𝜆). Утверждение 2. Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – некоторый базис 𝑉 , тогда deg 𝑓𝐴 (𝜆) = deg det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 𝑛, 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = (−1)𝑛 𝜆𝑛 + (−1)𝑛−1 𝜆𝑛−1 𝐻1 + · · · + 𝐻𝑛 , где 𝐻1 = tr 𝐴𝑒 , 𝐻𝑛 = det 𝐴𝑒 . Доказательство. Пусть ⎛ 𝑎11 ⎜ .. 𝐴𝑒 = ⎝ . 𝑎𝑛1 ⃒ ⃒𝑎11 − 𝜆 ... ⃒ . . . . 𝑎1𝑛 ⃒ . 𝑎22 − 𝜆 .. ⎟ ⇒ 𝑓 (𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐸) = ⃒ . .. ⃒ . . 𝐴 𝑒 . ⎠ .. ⃒ .. . ⃒ . . . 𝑎𝑛𝑛 ⃒ 𝑎 . . . 𝑛1 ⎞ ⃒ 𝑎1𝑛 ⃒⃒ ⃒ ... ... ⃒ .. ⃒⃒ = .. . . ⃒ . . . 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆⃒ ... = (−1)𝑛 𝜆𝑛 + (−1)𝑛−1 𝜆𝑛−1 (𝑎11 + · · · + 𝑎𝑛𝑛 ) + · · · + 𝐻𝑛 . deg 𝑓𝐴 (𝜆) = 𝑛, 𝐻1 = 𝑡𝑟𝐴𝑒 . Подставим 𝜆 = 0 в 𝑓𝐴 (𝜆) ⇒ 𝑓𝐴 (0) = 𝐻𝑛 = det(𝐴𝑒 − 0𝐸) = det 𝐴𝑒 . Следствие. 𝑡𝑟𝐴𝑒 , det 𝐴𝑒 не зависят от выбора базиса. Определение. След оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) (dim 𝑉 < ∞) – след его матрицы в любом базисе 𝑉 . 𝑡𝑟𝐴 = 𝑡𝑟𝐴𝑒 ∀𝑒 – базиса 𝑉. Определение. Определитель оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) (dim 𝑉 < ∞) – определитель его матрицы в любом базисе 𝑉 . det 𝐴 = det 𝐴𝑒 ∀𝑒 – базиса 𝑉. 7.3 Одномерные и двумерные инвариантные подпространства линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве Лемма 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽 ∈ C – корень характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸), причем 𝛽 ̸= 0. Тогда ∃𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , не равные нулю одновременно, такие, что {︂ 𝐴𝑢 = 𝛼𝑢 − 𝛽𝑣, 1) 𝐴𝑣 = 𝛽𝑢 + 𝛼𝑣; 2) 𝐿[𝑢, 𝑣] – инвариантное относительно 𝐴 подпространство; 3) dim 𝐿[𝑢, 𝑣] = 2. Доказательство. Рассмотрим ОСЛАУ (𝐴𝑒 − 𝜆𝐸)𝑍 = 0 (*) над полем C. det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0 ⇒ ∃ решение (*) 𝑍 = 𝑋 + 𝑖𝑌 ̸= 0 + 𝑖0, где 𝑋, 𝑌 ∈ R𝑛 . 30 Собственные векторы линейного оператора Линейная алгебра 𝐴𝑒 𝑍 = 𝜆𝑍 ⇔ 𝐴𝑒 (𝑋 + 𝑖𝑌 ) = (𝛼 + 𝑖𝛽)(𝑋 + 𝑖𝑌 ) ⇔ ⇔ 𝐴𝑒 𝑋 + 𝑖𝐴𝑒 𝑌 = 𝛼𝑋 − 𝛽𝑌 + 𝑖(𝛽𝑋 + 𝛼𝑌 ) ⇔ {︂ 𝐴𝑒 𝑋 = 𝛼𝑋 − 𝛽𝑌, ⇔ 𝐴𝑒 𝑌 = 𝛽𝑋 + 𝛼𝑌. Пусть 𝑢 = 𝑒𝑋, 𝑣 = 𝑒𝑌 , тогда 𝑢, 𝑣 не равны 0 одновременно и {︂ 𝐴𝑢 = 𝛼𝑢 − 𝛽𝑣, 1) 𝐴𝑣 = 𝛽𝑢 + 𝛼𝑣; 2) ∀𝑤 ∈ 𝐿[𝑢, 𝑣] 𝑤 = 𝑐1 𝑢 + 𝑐2 𝑣. 𝐴𝑤 = 𝑐1 𝐴𝑢 + 𝑐2 𝐴𝑣 ∈ 𝐿[𝑢, 𝑣] ⇒ 𝐿[𝑢, 𝑣] – инвариантное относительно 𝐴 пространство; 3) dim 𝐿[𝑢, 𝑣] = 2, поскольку если dim 𝐿[𝑢, 𝑣] = 1, то 𝐿[𝑢, 𝑣] = 𝐿[𝑤] – одномерное инвариантное подпространство ⇒ 𝑤 – собственный вектор (︀ )︀ ⇒ ∃𝜆0 ∈ R : 𝐴𝑤 = 𝜆0 𝑤, что приводит к противоречию, т. к. корни det 𝐴|𝐿[𝑢,𝑣] − 𝜆𝐸 комплексные с нетривиальной мнимой частью 𝛽 ̸= 0. Теорема 1. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда существует одномерное или двумерное инвариантное относительно 𝐴 подпространство. Доказательство. Рассмотрим характеристическое уравнение 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0. Если его корень 𝜆 ∈ R, то ∃𝑣 ∈ 𝑉 K {0} : 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 ⇒ 𝐿[𝑣] – одномерное инвариантное подпространство. Если его корень 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽 ∈ C : 𝛽 ̸= 0, то по лемме 1 ∃𝐿[𝑢, 𝑣] – двумерное инвариантное подпространство, описанное в лемме. 31 Глава 8 Линейный оператор простого типа 8.1 Собственный базис линейного оператора Определение. Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞. Базис пространства 𝑉 , состоящий из собственный векторов оператора, называется собственным базисом оператора 𝐴. Примеры. 1. 𝑉 2 , 𝐴𝑣 = 2𝑣. В этом случае любой базис пространства является собственным базисом оператора 𝐴; (︁ 𝜋 )︁ 2 2. 𝑉 , 𝐴 – поворот на угол 𝛼 ∈ 0; против часовой стрелки. 2 Здесь не существует собственного базиса, т. к. нет собственных векторов. Определение. Оператор 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) называется оператором простого типа, если существует собственный базис этого оператора. Пример. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ) – проектирование на плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 Рассмотрим базис 𝑓 = ⟨𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ⟩ – тройку некомпланарных векторов, в которой 𝑓1 – перпендикуляр к 𝑃 , 𝑓2 , 𝑓3 ⊥ 𝑓1 и 𝑓1 ∦ 𝑓3 . Тогда ⎛ ⎞ 𝐴𝑓1 = 0, 0 0 0 𝐴𝑓2 = 𝑓2 , ⇒ 𝐴𝑓 = ⎝0 1 0⎠ . 0 0 1 𝐴𝑓3 = 𝑓3 𝑓 – собственный базис 𝐴 ⇒ 𝐴 – оператор простого типа. Теорема 1. Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 . Тогда 𝑒 – собственный базис оператора 𝐴 (𝐴𝑒𝑖 = 𝜆𝑖 𝑒𝑖 ) ⇔ 𝐴𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ), 𝜆𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛. Доказательство. {︂ 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – собственный базис ⇔ 𝑒𝑖 ̸= 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 ⇔ 𝐴𝑒𝑖 = 𝜆𝑖 𝑒𝑖 , 32 Линейный оператор простого типа Линейная алгебра ⎧ 𝑒𝑖 ̸= 0, ⎪ ⎪ ⎛ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎪ 𝜆1 0 ⎪ ⎪ ⎜ 0 𝜆2 ⎨ ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎜.⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⇔ 𝐴𝑒 = ⎜ .. .. 𝜆 𝐴𝑒 = 𝑒 ⎪ ⎜ ⎟ ⎝. 𝑖 𝑖 . ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ .. ⎠ ⎪ ⎝ . . . ⎪ . ⎪ ⎩ ⎞ 0 ... 0 . . .⎟ ⎟ .. ⎟ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ). .. . . ⎠ . . . 𝜆𝑛 Определение. Матрица 𝐵 ∈ R𝑛×𝑛 называется диагонализуемой, если она подобна диагональной матрице. Следствие. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – оператор простого типа ⇔ его матрица в любом базисе диагонализуема. 8.2 Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям Теорема 1. Собственные векторы линейного оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), отвечающие различным собственным значениям, т. е. {︂ 𝑣𝑖 ̸= 0, 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑚 ∈ 𝑉 : 𝜆 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑚, линейно независимы. 𝐴𝑣𝑖 = 𝜆𝑖 𝑣𝑖 , 𝑖 Доказательство. Используем математическую индукцию по количеству векторов 𝑚. {︂ 𝑣1 ̸= 0, 1. 𝑚 = 1 : ⇒ 𝑣1 – линейно независим, т. к. 𝑣1 ̸= 0. 𝐴𝑣1 = 𝜆1 𝑣1 2. Пусть утверждение теоремы верно для 𝑚 − 1, докажем, что оно верно и для 𝑚. Для {︂ 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑚 : 𝑣𝑖 ̸= 0, 𝜆 ̸= 𝜆𝑗 , при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑚, 𝐴𝑣𝑖 = 𝜆𝑖 𝑣𝑖 , 𝑖 рассмотрим линейную комбинацию векторов 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑚 , равную нулю 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0. (1) 𝐴(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑚 𝑣𝑚 ) = 𝐴 · 0 ⇒ 𝛼1 𝜆1 𝑣1 + · · · + 𝛼𝑚 𝜆𝑚 𝑣𝑚 = 0. (2) Тогда Умножим (1) на 𝜆𝑚 и вычтем из (2) 𝛼1 (𝜆1 − 𝜆𝑚 )𝑣1 + 𝛼2 (𝜆2 − 𝜆𝑚 )𝑣2 + · · · + 𝛼𝑚−1 (𝜆𝑚−1 − 𝜆𝑚 )𝑣𝑚−1 = 0. Из предположения индукции следует, что 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑚−1 – линейно независимы, значит, ⎧ ⎪ 𝛼1 (𝜆1 − 𝜆𝑚 ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨𝛼2 (𝜆2 − 𝜆𝑚 ) = 0, .. .. .. ⎪ . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩𝛼 (𝜆 − 𝜆 ) = 0, 𝑚−1 𝑚−1 𝜆𝑚 ̸= 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 − 1 ⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = · · · = 𝛼𝑚−1 = 0. 𝑚 Тогда (1) ⇒ 𝛼𝑚 𝑣𝑚 = 0, но 𝑣𝑚 ̸= 0 ⇒ 𝛼𝑚 = 0 ⇒ 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑚 – линейно независимы. 33 Линейный оператор простого типа Линейная алгебра Теорема 2 (Достаточное условие того, что 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) – оператор простого типа). Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞. Тогда, если все корни характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐸) действительны и различны между собой, то 𝐴 – оператор простого типа, т. е. {︃ если 1) все корни 𝑓𝐴 (𝜆) 𝜆𝑖 ∈ R ∀𝑖 = 1, 𝑛, 2) алгебраическая кратность 𝑠𝜆𝑖 = 1 ∀𝑖 = 1, 𝑛 ⇒ 𝐴 – оператор простого типа. Доказательство. Пусть dim 𝑉 = 𝑛 ⇒ deg 𝑓𝐴 (𝜆) = 𝑛, и пусть 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 – корни 𝑓𝐴 (𝜆), 𝜆𝑖 ∈ R, 𝜆𝑖 = ̸ 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛. Для любого корня 𝜆𝑖 существует собственный вектор 𝑒𝑖 ∈ 𝑉 с собственным значением 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛. Докажем, что ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑉 : 0) 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ∈ 𝑉 ; 1) 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 – линейно независимы согласно теореме 1; 2) dim 𝑉 = 𝑛. ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – собственный базис ⇒ 𝐴 – оператор простого типа. ⎩ 2) Замечание. Условие 2) теоремы 2 не является необходимым. Например, для оператора 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ) – проектирования на плоскость 𝑃 , 1 – корень характеристического уравнения алгебраической кратности 2, но 𝐴 – оператор простого типа. 8.3 Критерий того, что линейный оператор является оператором простого типа Лемма 1. Пусть 𝑈 – инвариантное подпространство 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) (dim 𝑉 < ∞), 𝐴|𝑈 ∈ 𝐿(𝑈, 𝑈 ) – ограничение 𝐴 на 𝑈 . Пусть 𝑒′ = ⟨𝑒 (︂1 , . . . , 𝑒𝑘 ⟩ – базис )︂ 𝑈 , 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑉 . (𝐴|𝑈 )𝑒′ 𝐵 . Тогда 𝐴𝑒 = 𝑂 𝐶 Доказательство. 𝑒𝑖 ∈ 𝑈 ⇒ 𝐴𝑒𝑖 ∈ 𝑈, 𝑖 = 1, 𝑘. ⎛ 𝐴𝑒1 𝐴𝑒2 .. . = 𝑎11 𝑒1 + · · · + 𝑎𝑘1 𝑒𝑘 = 𝑎12 𝑒1 + · · · + 𝑎𝑘2 𝑒𝑘 .. .. .. .. . . . . ∈ 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ], ∈ 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ], .. .. .. . . . 𝐴𝑒𝑘 = 𝑎1𝑘 𝑒1 + · · · + 𝑎𝑘𝑘 𝑒𝑘 ∈ 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ], ⎞ 𝑎1𝑖 ⎜𝑎2𝑖 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ 𝐴𝑒𝑖 = 𝑒 ⎜𝑎𝑘𝑖 ⎟ , 𝑖 = 1, 𝑘. ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ 34 Линейный оператор простого типа Линейная алгебра Лемма 2. . Пусть 𝑈 – инвариантное подпространство 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) (dim 𝑉 < ∞) ⇒ 𝑓𝐴 (𝜆) .. 𝑓 𝐴|𝑈 (𝜆). Доказательство. 𝑒′ = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ⟩ – базис 𝑈 , 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑉 . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ (𝐴| )𝑒′ − 𝜆𝐸 𝐵 𝑈 ⃒ = det((𝐴| )𝑒′ − 𝜆𝐸) det(𝐶 − 𝜆𝐸) = ⃒ 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = ⃒ 𝑈 𝑂 𝐶 − 𝜆𝐸 ⃒ . = 𝑓 𝐴|𝑈 (𝜆) det(𝐶 − 𝜆𝐸) ⇒ 𝑓𝐴 (𝜆) .. 𝑓 𝐴|𝑈 (𝜆). Определение. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝜆0 – корень характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆). Тогда 𝑉𝜆0 = 𝑉𝜆=𝜆0 = {𝑣 ∈ 𝑉 : 𝐴𝑣 = 𝜆0 𝑣} = Ker (𝐴 − 𝜆0 𝜀) – собственное подпространство, отвечающее собственному значению 𝜆0 . Замечание. 𝑉𝜆=𝜆0 = {𝑣𝜆=𝜆0 } ∪ {0} – линейное подпространство 𝑉 , инвариантное относительно оператора 𝐴. Определение. Пусть 𝑉 – линейное пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Геометрической кратностью 𝑘𝜆0 корня 𝜆0 ∈ R характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆) называется размерность собственного подпространства, соответствующего этому корню. 𝑘𝜆0 = dim 𝑉𝜆0 = dim Ker (𝐴 − 𝜆0 𝜀) = 𝑑𝑒𝑓 (𝐴 − 𝜆0 𝜀) = 𝑛 − rk (𝐴𝑒 − 𝜆0 𝐸). Лемма 3. Геометрическая кратность любого корня 𝜆0 ∈ R характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆) не превосходит его алгебраическую кратность (𝑘𝜆0 ≤ 𝑠𝜆0 ). Доказательство. 𝑉𝜆0 – инвариантное подпространство пространства 𝑉, dim 𝑉𝜆0 = 𝑘𝜆0 . В пространстве 𝑉𝜆0 произвольный базис 𝑒′ состоит из собственных векторов оператора 𝐴 ⇒ является собственным базисом оператора 𝐴|𝑉𝜆 ⇒ ⎛ 𝜆0 ⎜ .. ⇒ (𝐴|𝑉𝜆 )𝑒′ = ⎝ . ... ⎞ .. ... . ⎟ . .. ⎠ ∈ R𝑘𝜆0 ×𝑘𝜆0 – скалярная матрица ⇒ . . . 𝜆0 ⇒ 𝑓 𝐴|𝑉 (𝜆) = (𝜆0 − 𝜆)𝑘𝜆0 . 𝜆0 𝑠𝜆0 – алгебраическая кратность корня 𝜆0 в 𝑓𝐴 (𝜆) ⇔ 𝑓𝐴 (𝜆) = (𝜆0 −𝜆)𝑠𝜆0 𝑔(𝜆), где 𝑔(𝜆0 ) ̸= 0. . Согласно лемме 2 𝑓𝐴 (𝜆) .. 𝑓 𝐴|𝑉 (𝜆) ⇒ 𝑘𝜆0 ≤ 𝑠𝜆0 . 𝜆0 Следствие. Если 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑚 – различные между собой действительные корни 𝑓𝐴 (𝜆), 𝑚 𝑚 𝑚 ∑︀ ∑︀ ∑︀ то dim 𝑉𝜆𝑖 = 𝑘𝜆𝑖 ≤ 𝑠𝜆𝑖 ≤ 𝑑𝑒𝑔𝑓𝐴 (𝜆) = 𝑛 = dim 𝑉. 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 35 Линейный оператор простого типа Линейная алгебра Теорема 1 (Критерий того, что 𝐴 – оператор простого типа). Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, ⎧ тогда ⎪ 1) все корни характеристического многочлена 𝑓𝐴 (𝜆) ⎪ ⎪ ⎨ действительны; 𝐴 – оператор простого типа ⇔ 2) ∀𝜆𝑖 – корня 𝑓𝐴 (𝜆) геометрическая кратность ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ равна алгебраической кратности 𝑘𝜆𝑖 = 𝑠𝜆𝑖 . Доказательство. Необходимость(⇒). Пусть 𝐴 – оператор простого типа ⇒ ∃𝑒 – ⎛ 𝜆1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎜ .. . . . .. .. .. .. .. ⎜. . .. . . . . . ⎜ ⎜ 0 . . . 𝜆1 . . . . . . . . . . . . . . . ⎜ ⎜ 0 . . . . . . 𝜆2 . . . . . . . . . . . . ⎜. .. .. .. . . . .. .. ⎜. . .. . . . . . ⎜. 𝐴𝑒 = ⎜ ⎜ 0 . . . . . . . . . . . . 𝜆2 . . . . . . ⎜. .. .. .. .. .. . . . ⎜ .. . .. . . . . . ⎜ ⎜ 0 ... ... ... ... ... ... 𝜆 𝑚 ⎜ ⎜ .. . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. ⎝. ... ... ... ... ... ... его собственный базис 𝐴: ⎞ ... 0 .. .. ⎟ . . ⎟ ⎟ ... 0 ⎟ ⎟ ... 0 ⎟ .. .. ⎟ ⎟ . . ⎟ ⎟ , 𝜆 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑚. ... 0 ⎟ 𝑖 .. .. ⎟ . . ⎟ ⎟ ... 0 ⎟ ⎟ ⎟ .. . 0⎠ . . . . . . 𝜆𝑚 𝑓𝐴 (𝜆) = (𝜆1 − 𝜆)𝑘1 (𝜆2 − 𝜆)𝑘2 . . . (𝜆𝑚 − 𝜆)𝑘𝑚 , 𝑛 = 𝑚 ∑︀ 𝑘𝑖 ⇒ 𝑖=1 ⇒ 𝑘𝜆𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑠𝜆𝑖 , при этом все корни 𝑓𝐴 (𝜆) действительны. Достаточность(⇐). Пусть 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑚 – все корни 𝑓𝐴 (𝜆), 𝜆𝑖 ∈ R, 𝜆𝑖 ̸= 𝜆𝑗 при 𝑖 = ̸ 𝑗, 𝑘𝜆𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑠𝜆𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑚. Тогда для любого 𝜆𝑖 найдем в 𝑉𝜆𝑖 базис ⟨𝑒𝑖1 , 𝑒𝑖2 , . . . , 𝑒𝑖𝑘𝑖 ⟩ и составим 𝑒 = ⟨𝑒11 , . . . , 𝑒1𝑘1 , 𝑒21 , . . . , 𝑒2𝑘2 , . . . , 𝑒𝑚1 , . . . , 𝑒𝑚𝑘𝑚 ⟩ – базис 𝑉 . Докажем, что это действительно базис 𝑉 : 0) 𝑒11 , . . . , 𝑒1𝑘1 , . . . , 𝑒𝑚1 , . . . , 𝑒𝑚𝑘𝑚 ∈ 𝑉 ; 1) Пусть 𝛼11 𝑒11 +· · ·+𝛼1𝑘1 𝑒1𝑘1 +𝛼21 𝑒21 +· · ·+𝛼2𝑘2 𝑒2𝑘2 +· · ·+𝛼𝑚1 𝑒𝑚1 +· · ·+𝛼𝑚𝑘𝑚 𝑒𝑚𝑘𝑚 = 0 (*) Рассмотрим 𝑣𝜆𝑖 = 𝛼𝑖1 𝑒𝑖1 + · · · + 𝛼𝑖𝑘𝑖 𝑒𝑖𝑘𝑖 ∈ 𝑉𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚. (*) означает, что нетривиальная линейная комбинация векторов 𝑣𝜆𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚 равна 0: 𝑣𝜆1 + 𝑣𝜆2 + · · · + 𝑣𝜆𝑚 = 0. Если 𝑣𝜆𝑖 = ̸ 0, то 𝑣𝜆𝑖 – собственный вектор с собственным значением 𝜆𝑖 , а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы ⇒ ⇒ 𝑣𝜆𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, 𝑚, т. е. 𝛼𝑖1 𝑒𝑖1 + · · · + 𝛼𝑖𝑘𝑖 𝑒𝑖𝑘𝑖 = 0, но 𝑒𝑖1 , . . . , 𝑒𝑖𝑘𝑖 – линейно независимы, т. к. это базис 𝑉𝜆𝑖 , ⇒ ⇒ 𝛼𝑖1 = · · · = 𝛼𝑖𝑘𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, 𝑚 ⇒ 𝑒 – линейно независимая система векторов; 2) 𝑘1 + · · · + 𝑘𝑚 = 𝑘𝜆1 + · · · + 𝑘𝜆𝑚 = 𝑠𝜆1 + · · · + 𝑠𝜆𝑚 = 𝑑𝑒𝑔 𝑓𝐴 (𝜆) = 𝑛 = dim 𝑉 . 36 Линейный оператор простого типа Линейная алгебра ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝑒 – базис, состоящий из собственный векторов, ⇒ 𝐴 – оператор простого типа. ⎩ 2) Пример. 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉 3 , 𝑉 3 ) – оператор проектирования на плоскость 𝑃 : 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0. 1) 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑓 − 𝜆𝐸) = −𝜆(1 − 𝜆)2 имеет только действительные корни: 𝜆 = 0 алгебраической кратности 𝑠𝜆=0 = 1, 𝜆 = 1 алгебраической кратности 𝑠𝜆=1 = 2. 2) dim 𝑉𝜆=0 = 1 = 𝑘𝜆=0 = 𝑠𝜆=0 , dim 𝑉𝜆=1 = 2 = 𝑘𝜆=1 = 𝑠𝜆=1 . }︂ 1) ⇒ 𝐴 – оператор простого типа. 2) Следствие 1. Если среди корней 𝑓𝐴 (𝜆) есть комплексные корни, то 𝐴 не является оператором простого типа и его матрица не является диагонализуемой. Пример. (︂ ⃒ ⃒ )︂ ⃒−𝜆 −4 ⃒ 0 −4 ⃒ ⃒ = 𝜆2 + 4 – не имеет действительных корней ⇒ 𝐴𝑒 = , 𝑓𝐴 (𝜆) = ⃒ 1 0 1 −𝜆⃒ ⇒ 𝐴 не является оператором простого типа, а значит, 𝐴𝑒 не является диагонализуемой. Следствие 2. Если среди корней 𝑓𝐴 (𝜆) есть корень 𝜆0 ∈ R : 𝑘𝜆0 < 𝑠𝜆0 , то 𝐴 не является оператором простого типа и его матрица не является диагонализуемой. Пример. (︂ ⃒ ⃒ )︂ ⃒2 − 𝜆 1 ⃒⃒ 2 1 ⃒ 𝐴𝑒 = , 𝑓𝐴 (𝜆) = ⃒ = (2 − 𝜆)2 имеет единственный корень 𝜆 = 2 0 2 2 − 𝜆⃒ алгебраической кратности 𝑠𝜆=2 = 2. 𝑘𝜆=2 = dim 𝑉𝜆=2 = 𝑛 − rk (𝐴𝑒 − 2𝐸). (︂ )︂ 0 1 𝐴𝑒 − 2𝐸 = , rk (𝐴𝑒 − 2𝐸) = 1 ⇒ dim 𝑉𝜆=2 = 2 − 1 = 1 = 𝑘𝜆=2 < 𝑠𝜆=2 ⇒ 0 0 ⇒ 𝐴 не является оператором простого типа, а значит, 𝐴𝑒 не является диагонализуемой. (︂ )︂ 1 (Здесь 𝑣𝜆=2 = 𝑐𝑒 , 𝑐 ̸= 0, и просто не существует двух линейно независимых собственных векторов.) 37 Глава 9 Билинейные и квадратичные формы 9.1 Билинейные формы Рассмотрим функционал 𝐵, отображающий декартово произведение линейного пространства 𝑉 на самого себя в множество действительных чисел. 𝐵 : 𝑉 × 𝑉 → R, ∀(𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉 × 𝑉 ↦−→ 𝐵(𝑢, 𝑣) ∈ R. Определение. 𝐵(𝑢, 𝑣) – билинейный функционал, если он линеен по каждому аргументу: 1. 𝐵(𝑢1 + 𝑢2 , 𝑣) = 𝐵(𝑢1 , 𝑣) + 𝐵(𝑢2 , 𝑣) ∀𝑢1 , 𝑢2 , 𝑣 ∈ 𝑉 ; 2. 𝐵(𝜆𝑢, 𝑣) = 𝜆𝐵(𝑢, 𝑣) ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ; 3. 𝐵(𝑢, 𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝐵(𝑢, 𝑣1 ) + 𝐵(𝑢, 𝑣2 ) ∀𝑢, 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 ; 4. 𝐵(𝑢, 𝜆𝑣) = 𝜆𝐵(𝑢, 𝑣) ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 . Примеры. 1. 𝑉 = 𝑉 3 . (︁ )︁ ̂︂ 𝐵(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣) = |𝑢||𝑣| cos 𝑢, 𝑣 ∈ R; 2. C[0, 1]. 𝑓 (𝑡), 𝑔(𝑡) ∈ C[0, 1], 𝐵(𝑓 (𝑡), 𝑔(𝑡)) = ∫︀1 𝑓 (𝑡)𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 ∈ R. Определение. Пусть dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , 𝑢 = 𝑒𝑋 = 𝑥1 𝑒1 + 𝑥2 𝑒2 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝑣 = 𝑒𝑌 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦2 𝑒2 + · · · + 𝑦𝑛 𝑒𝑛 . Билинейной формой называется координатная запись билинейного функционала: 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝐵(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 , 𝑦1 𝑒1 + · · · + 𝑦𝑛 𝑒𝑛 ) = = 𝑥1 𝑦1 𝐵(𝑒1 , 𝑒1 ) + 𝑥1 𝑦2 𝐵(𝑒1 , 𝑒2 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝐵(𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 ) = 𝑛 𝑛 ∑︁ ∑︁ = 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 )𝑥𝑖 𝑦𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 , где 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝑏𝑖𝑗 ∈ R. 𝑖,𝑗=1 𝑖,𝑗=1 Билинейной формой часто называют и сам билинейный функционал. 38 Билинейные и квадратичные формы 9.1.1 Линейная алгебра Матрица билинейной формы в данном базисе Определение. Если 𝐵(𝑢, 𝑣) – билинейная форма пространства 𝑉 , dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , то матрицей 𝐵(𝑢, 𝑣) в базисе 𝑒 называется матрица 𝐵𝑒 = (𝑏𝑖𝑗 ) = (𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 )) ∈ R𝑛×𝑛 . Если 𝑢 = 𝑒𝑋 = 𝑛 ∑︀ 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , 𝑣 = 𝑒𝑌 = 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑗 𝑒𝑗 , то 𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑦𝑗 – общий вид билинейной формы, 𝑖,𝑗=1 ⎛ 𝑏11 . . . . . . ⎜ (︀ )︀ ⎜ 𝑏21 . . . . . . 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ⎜ .. .. .. ⎝ . . . 𝑏𝑛1 . . . . . . Утверждение 1. Пусть dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – базис 𝑉 , тогда Ω𝑒 : 𝐵(𝑢, 𝑣) ↦→ 𝐵𝑒 ∈ R𝑛×𝑛 – биекция. ⎞⎛ ⎞ 𝑏1𝑛 𝑦1 ⎟ ⎜ 𝑏2𝑛 ⎟ ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎟ 𝑇 .. ⎟ ⎜ .. ⎟ = 𝑋 𝐵𝑒 𝑌 – векторно-матричная . ⎠⎝ . ⎠ запись билинейной формы. 𝑏𝑛𝑛 𝑦𝑛 Доказательство. 1) Ω𝑒 инъективно, т. к. если Ω𝑒 : 𝐵1 (𝑢, 𝑣) ↦→ 𝐵𝑒 , Ω𝑒 : 𝐵2 (𝑢, 𝑣) ↦→ 𝐵𝑒 , 𝑢 = 𝑒𝑋, 𝑣 = 𝑒𝑌, то 𝐵1 (𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑌 = 𝐵2 (𝑢, 𝑣) ∀(𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉 × 𝑉 ⇒ Ω𝑒 инъективно; 2) Ω𝑒 сюръективно, т. е. ∀𝐶 ∈ R𝑛×𝑛 ∃ билинейная форма 𝐵(𝑢, 𝑣) : 𝐵𝑒 = 𝐶. Пусть 𝑢 = 𝑒𝑋, 𝑣 = 𝑒𝑌 . Рассмотрим 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐶 𝑌 . Докажем, что это билинейная форма: 1. 𝐵(𝑢1 + 𝑢2 , 𝑣) = (𝑋 1 + 𝑋 2 )𝑇 𝐶 𝑌 = (𝑋 1 )𝑇 𝐶 𝑌 + (𝑋 2 )𝑇 𝐶 𝑌 = 𝐵(𝑢1 , 𝑣) + 𝐵(𝑢2 , 𝑣); 2. 𝐵(𝜆𝑢, 𝑣) = (𝜆𝑋)𝑇 𝐶 𝑌 = 𝜆𝑋 𝑇 𝐶 𝑌 = 𝜆𝐵(𝑢, 𝑣); 3. 𝐵(𝑢, 𝑣1 + 𝑣2 ) = 𝑋 𝑇 𝐶 (𝑌 1 + 𝑌 2 ) = 𝑋 𝑇 𝐶 𝑌 1 + 𝑋 𝑇 𝐶 𝑌 2 = 𝐵(𝑢, 𝑣1 ) + 𝐵(𝑢, 𝑣2 ); 4. 𝐵(𝑢, 𝜆𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐶 𝜆𝑌 = 𝜆𝑋 𝑇 𝐶 𝑌 = 𝜆𝐵(𝑢, 𝑣). Пусть 𝐵𝑒 = (𝑏𝑖𝑗 ), тогда ⎛ 𝑐 ... )︀ ⎜ 11 . .. 𝑏𝑖𝑗 = 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 0, . . . , 1, 0, . . . , 0 ⎝ .. . 𝑐𝑛1 . . . (︀ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ . ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎞ ⎜ .. ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑐1𝑛 ⎜ ⎜0⎟ (︀ ⎜0⎟ )︀ .. ⎟ ⎜1⎟ = 𝑐 , 𝑐 , . . . , 𝑐 ⎜1⎟ = 𝑐 ⇒ ⎟ 𝑖1 𝑖2 𝑖𝑛 ⎜ ⎟ 𝑖𝑗 . ⎠⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑐𝑛𝑛 ⎜ ⎟ ⎜.⎟ ⎝ ... ⎠ ⎝ .. ⎠ ⇒ 𝐵𝑒 = 𝐶. 39 Билинейные и квадратичные формы 9.1.2 Линейная алгебра Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису Утверждение 2. Пусть 𝑒, 𝑓 – базисы 𝑉, 𝑇𝑒→𝑓 – матрица перехода от базиса 𝑒 к базису 𝑓 . Тогда 𝑇 𝐵𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 . Доказательство. 𝑢 = 𝑒𝑋𝑒 = 𝑓 𝑋𝑓 , 𝑣 = 𝑒𝑌𝑒 = 𝑓 𝑌𝑓 . 𝐵(𝑢, 𝑣) ↦→ 𝐵𝑒 , 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋𝑒𝑇 𝐵𝑒 𝑌𝑒 , 𝐵(𝑢, 𝑣) ↦→ 𝐵𝑓 , 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋𝑓𝑇 𝐵𝑓 𝑌𝑓 ; {︂ )︀ (︀ 𝑇 𝑋𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑋𝑓 , 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 𝑌𝑓 ⇒ 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋𝑒𝑇 𝐵𝑒 𝑌𝑒 = (𝑇𝑒→𝑓 𝑋𝑓 )𝑇 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 𝑌𝑓 = 𝑋𝑓𝑇 𝑇𝑒→𝑓 𝑌𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑌𝑓 , 𝑇 ⇒ 𝐵𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 . Следствие 1. Ранг матрицы билинейной формы не зависит от базиса, т. е. rk 𝐵𝑒 = rk 𝐵𝑓 ∀𝑒, 𝑓 – базисов 𝑉 . Доказательство. 𝑇 𝑇 det 𝑇𝑒→𝑓 = det 𝑇𝑒→𝑓 ̸= 0 ⇒ rk 𝐵𝑓 = rk (𝑇𝑒→𝑓 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 ) = rk 𝐵𝑒 . Определение. Рангом билинейной формы называется ранг её матрицы в любом базисе. rk 𝐵(𝑢, 𝑣) = rk 𝐵𝑒 ∀𝑒 – базиса 𝑉 ⇒ rk 𝐵(𝑢, 𝑣) – инвариант билинейной формы. 9.1.3 Симметрические билинейные формы Определение. Билинейная форма 𝐵(𝑢, 𝑣) называется симметрической, если 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝐵(𝑣, 𝑢) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Утверждение 3. Если 𝑒 – произвольный базис конечномерного пространства, то в этом пространстве билинейная форма 𝐵(𝑢, 𝑣) является симметрической ⇔ 𝐵𝑒 – симметрическая матрица. Доказательство. Необходимость(⇒). 𝐵𝑒 = (𝑏𝑖𝑗 ), 𝑏𝑖𝑗 = 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ), 𝐵(𝑢, 𝑣) – симметрическая ⇒ 𝑏𝑖𝑗 = 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝐵(𝑒𝑗 , 𝑒𝑖 ) = 𝑏𝑗𝑖 ⇒ 𝐵𝑒 = 𝐵𝑒𝑇 . Достаточность(⇐). Пусть 𝐵𝑒 = 𝐵𝑒𝑇 ⇒ 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑌 = (𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑌 )𝑇 = 𝑌 𝑇 (𝑋 𝑇 𝐵𝑒 )𝑇 = 𝑌 𝑇 𝐵𝑒𝑇 𝑋 = = 𝑌 𝑇 𝐵𝑒 𝑋 = 𝐵(𝑣, 𝑢). Пример. 𝐵(𝑢, 𝑣) = 2𝑥1 𝑦1 − 3𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 + 3𝑥2 𝑦2 . (︂ )︂ 2 −3 𝐵𝑒 = ⇒ 𝐵(𝑢, 𝑣) не является симметрической. 1 3 40 Билинейные и квадратичные формы 9.2 Линейная алгебра Квадратичные формы Определение. Пусть 𝐵(𝑢, 𝑣) – некоторая симметрическая билинейная форма. Тогда квадратичной формой, ассоциированной с билинейной формой 𝐵(𝑢, 𝑣), называется 𝑄(𝑢) = 𝐵(𝑢, 𝑢), 𝑢 ∈ 𝑉 . (︂ )︂ 2 −3 𝑇 Пример. 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑌 = 2𝑥1 𝑦1 − 3𝑥1 𝑦2 − 3𝑥2 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 – симметрическая −3 1 билинейная форма. (︂ )︂ 2 −3 𝑄(𝑢) = 𝑋 𝑇 𝑋 = 2𝑥21 −3𝑥1 𝑥2 −3𝑥2 𝑥1 +𝑥22 = 2𝑥21 −6𝑥1 𝑥2 +𝑥22 – ассоциированная с ней −3 1 квадратичная форма. Определение. Симметрическая билинейная форма 𝐵(𝑢, 𝑣) : 𝑄(𝑢) = 𝐵(𝑢, 𝑢), называется полярной билинейной формой к квадратичной форме 𝑄(𝑢). Утверждение 1. Полярная симметрическая билинейная форма однозначно восстанавливается по своей квадратичной форме. Доказательство. 𝐵(𝑢, 𝑣) восстановим по 𝑄(𝑢): 𝑄(𝑢 + 𝑣) = 𝐵(𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) = 𝐵(𝑢, 𝑢) + 𝐵(𝑢, 𝑣) + 𝐵(𝑣, 𝑢) + 𝐵(𝑣, 𝑣) = 𝑄(𝑢) + 2𝐵(𝑢, 𝑣) + 𝑄(𝑣). 1 𝐵(𝑢, 𝑣) = (𝑄(𝑢 + 𝑣) − 𝑄(𝑢) − 𝑄(𝑣)). 2 Определение. Матрицей квадратичной формы в базисе 𝑒 называется матрица полярной к ней симметрической билинейной формы. 𝑄(𝑢) = 𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑋, 𝐵𝑒 – матрица полярной симметрической билинейной формы. 𝐵𝑒 = (𝑏𝑖𝑗 ) = (𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 )), 𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖 , 𝑄(𝑢) = 𝑛 ∑︀ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑖,𝑗=1 𝑛 ∑︀ 𝑖=1 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2 𝑛 ∑︀ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 – общий вид квадратичной формы. 𝑖,𝑗=1 𝑖<𝑗 Пример. 𝑄(𝑢) = 4𝑥21 − 5𝑥22 + 7𝑥23 − 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 3𝑥2 𝑥3 – квадратичная форма. ⎛ 4 −1 ⎜ 𝐵𝑒 = ⎝−1 −5 1 2 3 2 1⎞ 2 3⎟ 2⎠ 7 – матрица квадратичной формы и полярной к ней симметрической билинейной формы 1 2 3 2 1 2 3 2 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑌 = 4𝑥1 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑥1 𝑦3 − 𝑥2 𝑦1 − 5𝑥2 𝑦2 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 + 𝑥3 𝑦2 + 7𝑥3 𝑦3 . Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы в любом базисе. rk 𝑄(𝑢) = rk 𝐵𝑒 ∀𝑒 – базиса 𝑉 ⇒ rk 𝑄(𝑢) – инвариант квадратичной формы. 41 Билинейные и квадратичные формы 9.2.1 Линейная алгебра Канонический вид квадратичной формы Определение. Квадратичная форма 𝑄(𝑢) имеет канонический вид, если 𝑄(𝑢) = 𝑛 ∑︀ 𝜆𝑖 𝑥2𝑖 . 𝑖=1 Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом квадратичной формы. В каноническом базисе 𝑒 матрица квадратичной формы 𝐵𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ). Определение. Квадратичная форма 𝑄(𝑢) имеет нормальный вид, если ⎡ 𝑛 1, ∑︁ 𝑄(𝑢) = 𝛼𝑖 𝑥2𝑖 , 𝛼𝑖 = ⎣−1, 𝑖=1 0. 9.2.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа Пример. Пусть в базисе 𝑒 квадратичная форма 𝑄(𝑢) = 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 . Перейдем к базису 𝑓 , сделав замену ⎧ ⎛ ⎞ 1 1 0 ⎨ 𝑥1 = 𝑦 1 + 𝑦 2 , 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑋𝑒 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑌, 𝑇𝑒→𝑓 = ⎝1 −1 0⎠ , det 𝑇𝑒→𝑓 ̸= 0. ⎩ 𝑥3 = 𝑦 3 , 0 0 1 В базисе 𝑓 квадратичная форма 𝑄(𝑢) = 2(𝑦12 − 𝑦22 ) + 2(𝑦1 − 𝑦2 )𝑦3 = 2𝑦12 − 2𝑦22 + 2𝑦1 𝑦3 − 2𝑦2 𝑦3 = 𝑦2 𝑦3 𝑦 2 = 2(𝑦12 + 𝑦1 𝑦3 ) − 2𝑦22 − 2𝑦2 𝑦3 = 2(𝑦12 + 2𝑦1 + 3 ) − 3 − 2𝑦22 − 2𝑦2 𝑦3 = 2 4 2 2 𝑦3 𝑦 𝑦3 𝑦3 𝑦3 = 2(𝑦1 + )2 − 2(𝑦22 + 2𝑦2 ) + 3 = 2(𝑦1 − )2 − 2(𝑦2 + )2 . 2 2 2 2 2 Перейдем к базису 𝑔, сделав замену ⎧ ⎧ ⎛ ⎞ 𝑦3 𝑧3 1 0 − 12 , , 𝑧 = 𝑦 + 𝑦 = 𝑧 − ⎪ ⎪ 1 1 1 1 ⎨ ⎨ 2 2 ⎜ ⎟ 𝑦3 𝑧3 𝑇𝑓 →𝑔 = ⎝0 1 − 21 ⎠ , det 𝑇𝑓 →𝑔 ̸= 0, 𝑧2 = 𝑦2 − , 𝑦2 = 𝑧2 − , ⎪ ⎪ 2 2 ⎩ ⎩ 𝑧3 = 𝑦3 , 𝑦3 = 𝑧3 , 0 0 1 ⎛ ⎞ 1 1 −1 𝑇𝑒→𝑔 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑇𝑓 →𝑔 = ⎝1 −1 0 ⎠ . 0 0 1 В базисе 𝑔 квадратичная форма имеет канонический вид: 𝑄(𝑢) = 2𝑧12 − 2𝑧22 , ⎧ ⎨ 𝑔1 = 𝑒 1 + 𝑒 2 , 𝑔2 = 𝑒1 − 𝑒2 , то есть 𝑔 = ⟨𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 ⟩, где – канонический базис 𝑄(𝑢). ⎩ 𝑔3 = −𝑒1 + 𝑒3 , Теорема 1. Пусть dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, тогда для любой квадратичной формы в пространстве 𝑉 существует канонический базис. Доказательство. 𝑄(𝑢) = 𝑞(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑚 ), 𝑚 ≤ 𝑛, 𝑚 – число переменных, входящих в запись формы с ненулевыми коэффициентами. Докажем теорему индукцией по 𝑚, используя метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов): 42 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра 1. 𝑚 = 1: 𝑄(𝑢) = 𝑏11 𝑥21 – канонический вид; 2. Пусть существует канонический базис для любой квадратичной формы от 𝑚 − 1 переменной. Докажем его существование для формы от 𝑚 переменных. 𝑚 𝑚 ∑︀ ∑︀ Пусть 𝑄(𝑢) = 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 в базисе 𝑒. 𝑖=1 𝑖,𝑗=1 𝑖<𝑗 Рассмотрим два случая (a) и (b): (a) ∃𝑖 : 𝑏𝑖𝑖 ̸= 0. Пусть 𝑏11 ̸= 0, тогда 𝑚 𝑚 𝑚 ∑︁ ∑︁ ∑︁ 2 2 𝑄(𝑢) = (𝑏11 𝑥1 + 2 𝑏1𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 ) + 𝑏𝑖𝑖 𝑥𝑖 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑗=2 = 𝑏11 (𝑥21 + 2𝑥1 𝑚 ∑︁ 𝑏1𝑗 𝑗=2 𝑏11 𝑖=2 𝑥𝑗 + ( 𝑚 ∑︁ 𝑏1𝑗 𝑗=2 𝑏11 𝑖,𝑗=1 𝑖<𝑗 𝑚 ∑︁ 2 𝑥𝑗 ) ) − 𝑏11 ( 𝑗=2 𝑚 𝑚 ∑︁ 𝑏1𝑗 2 ∑︁ 2 𝑥𝑗 ) + 𝑏𝑖𝑖 𝑥𝑖 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑏11 𝑖=2 𝑖,𝑗=2 𝑖<𝑗 = 𝑏11 (𝑥1 + 𝑚 ∑︁ 𝑗=2 Перейдем к базису 𝑓 , сделав замену: ⎧ 𝑚 ∑︀ 𝑏1𝑗 ⎪ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥, ⎪ 1 1 ⎪ 𝑏11 𝑗 ⎪ 𝑗=2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑥2 , ⎪ ⎨ 𝑦. 2 = . .. .. ... ⎪ ⎪ 𝑦 𝑚 = 𝑥𝑚 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ... ... ... ⎪ ⎪ ⎩ 𝑦 𝑛 = 𝑥𝑛 ; ⎛ 12 − 𝑏𝑏13 . . . − 𝑏𝑏1𝑚 1 − 𝑏𝑏11 11 11 ⎜ ⎜0 1 ... ... ⎜ ⎜. .. .. .. .. ⎜ .. . . . . ⎜ ⎜ . . . .. .. .. ⎜ 1 𝑇𝑒→𝑓 = ⎜0 .. .. .. ⎜ .. .. . ⎜. . . . ⎜. . . . . ⎜ .. .. .. .. .. ⎜ ⎜. .. .. .. .. ⎝ .. . . . . 0 ... ... ... ... 𝑏1𝑗 2 𝑥𝑗 ) + 𝑞(𝑥2 , 𝑥3 , . . . , 𝑥𝑚 ). 𝑏11 ⎧ 𝑚 ∑︀ 𝑏1𝑗 ⎪ 𝑦, 𝑥 = 𝑦 − ⎪ 1 1 ⎪ 𝑏11 𝑗 ⎪ 𝑗=2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 = 𝑦2 , ⎪ ⎨ 𝑥 .. .. .. . . . ⎪ ⎪ 𝑥𝑚 = 𝑦 𝑚 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. .. .. ⎪ ⎪ . . . ⎪ ⎩ 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 . ⎞ 0 ... 0 ⎟ . . . . . . 0⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ . . .⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ . . .⎟ ⎟ , det 𝑇𝑒→𝑓 = 1 ̸= 0. .. .. .. ⎟ . . .⎟ . . . .. .. ⎟ . .⎟ ⎟ ⎟ .. . . . 0⎠ . ... 0 1 𝑓 = ⟨𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ⟩ – базис, в котором форма имеет вид 𝑄(𝑢) = 𝑏11 𝑦12 + 𝑞˜(𝑦2 , 𝑦3 , . . . , 𝑦𝑚 ). По предположению индукции в пространстве 𝐿[𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ] можно выбрать канонический базис ⟨𝑝2 , . . . , 𝑝𝑛 ⟩ квадратичной формы 𝑞˜(𝑦2 , . . . , 𝑦𝑚 ), тогда ⟨𝑓1 , 𝑝2 , . . . , 𝑝𝑛 ⟩ будет каноническим базисом формы 𝑄(𝑢), поскольку 𝑓1 ∈ / 𝐿[𝑝2 , . . . , 𝑝𝑛 ] = = 𝐿[𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ]. 43 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра (b) Пусть 𝑏𝑖𝑖 = 0, ∀𝑖 = 1, 𝑚, ⇒ ∃𝑏𝑖𝑗 ̸= 0 при 𝑖 ̸= 𝑗. Пусть 𝑏12 ̸= 0, тогда: 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑄(𝑢) = 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 2𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 2 𝑏1𝑗 𝑥1 𝑥𝑗 + 2 𝑏2𝑗 𝑥2 𝑥𝑗 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 . 𝑖,𝑗=1 𝑗=3 Перейдем к новому базису 𝑔, сделав ⎧ ⎛ 1 1 𝑥 1 = 𝑧1 + 𝑧2 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ 1 −1 𝑥2 = 𝑧1 − 𝑧2 , ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎨ .. .. .. ⎜ 0 0 . . . ⎜ 𝑇𝑒→𝑔 = ⎜ .. .. 𝑥𝑚 = 𝑧𝑚 , ⎪ ⎜ . . ⎪ ⎪ ⎜ . . ⎪ .. .. .. ⎪ ⎝ .. .. ⎪ . . . ⎪ ⎩ 𝑥𝑛 = 𝑧𝑛 , 0 ... 𝑗=3 𝑖,𝑗=3 замену: 1 ... ... ... .. . .. . ... ⎞ ... 0 ... 0 ⎟ ⎟ ... 0 ⎟ .. ⎟ ⎟ , det 𝑇𝑒→𝑔 = −2 ̸= 0. ... . ⎟ ⎟ .. . 0 ⎠ 0 1 𝑔 – базис, в котором форма имеет вид 𝑄(𝑢) = 2𝑏12 (𝑧12 − 𝑧22 ) + 2 𝑚 ∑︀ 𝑏1𝑗 (𝑧1 + 𝑧2 )𝑧𝑖 + 𝑗=3 +2 𝑚 ∑︀ 𝑏2𝑗 (𝑧1 − 𝑧2 )𝑧𝑗 + 2 𝑗=3 𝑚 ∑︀ 𝑏𝑖𝑗 𝑧𝑖 𝑧𝑗 ⇒ случай (b) сводится к случаю (a). 𝑖,𝑗=3 Следствие. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет нормальный вид. Доказательство. Пусть 𝑓 – некоторый канонический базис, тогда в базисе 𝑓 форма имеет вид 𝑚 ∑︀ 𝑄(𝑢) = 𝜆𝑖 𝑥2𝑖 , 𝜆𝑖 ̸= 0, 𝑖 = 1, 𝑚. Перейдем к базису 𝑔, сделав замену 𝑖=1 ⎧ ⎧ √︀ ⎨ 𝑥𝑖 = √︀𝑦𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚, ⎨ 𝑦𝑖 = |𝜆𝑖 |𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑚, |𝜆𝑖 | ⎩ ⎩ 𝑦 =𝑥, 𝑥𝑖 = 𝑦 𝑖 , 𝑖 = 𝑚 + 1, 𝑛. 𝑖 = 𝑚 + 1, 𝑛, 𝑖 𝑖 ⎛ √1 ... ... .. . √1 |𝜆𝑖 | 𝑇𝑓 →𝑔 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ .. . ... .. . ... ... .. . 1 √ .. . ... .. . ... .. . ... .. . ... ... ... |𝜆2 | |𝜆𝑚 | ⎞ ... 0 ⎟ ⎟ . . . . . . 0⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ . . .⎟ 1 ⎟ √︀ ̸= 0. , det 𝑇 = ⎟ 𝑓 →𝑔 . . . . . . 0⎟ |𝜆 . . . 𝜆 | 1 𝑚 ⎟ 1 . . . 0⎟ ⎟ .. . . .. ⎟ . .⎠ . ... ... 1 ... В базисе 𝑔 𝑄(𝑢) имеет нормальный вид: 𝑄(𝑢) = 𝑛 ∑︀ ⎡ 𝛼𝑖 𝑦𝑖2 , 𝑖=1 9.2.3 1, ⎣ 𝛼𝑖 = −1, 0. Закон инерции квадратичной формы Теорема 2 (Закон инерции квадратичной формы). Число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от выбора канонического базиса. 44 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра Доказательство. Пусть 𝑒, 𝑓 – канонические базисы квадратичной формы 𝑄(𝑢), можно считать, что 𝑄(𝑢) имеет в базисах 𝑒 и 𝑓 нормальный вид: 𝑄(𝑢) = 𝑥21 + · · · + 𝑥2𝑘 − 𝑥2𝑘+1 − · · · − 𝑥2𝑘+𝑙 в базисе 𝑒, 2 2 𝑄(𝑢) = 𝑦12 + · · · + 𝑦𝑝2 − 𝑦𝑝+1 − · · · − 𝑦𝑝+𝑞 в базисе 𝑓 . Пусть 𝑘 > 𝑝. Рассмотрим систему 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑓𝑝+1 , . . . , 𝑓𝑛 . Количество векторов в этой системе 𝑘 + (𝑛 − 𝑝) = 𝑛 + (𝑘 − 𝑝) > 𝑛 = dim 𝑉 ⇒ система линейно зависима, то есть существуют 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑘 , 𝛽𝑝+1 , . . . , 𝛽𝑛 ∈ R такие, что {︂ 2 2 𝛼1 + · · · + 𝛼𝑘2 + 𝛽𝑝+1 + · · · + 𝛽𝑛2 ̸= 0, 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑒𝑘 + 𝛽𝑝+1 𝑓𝑝+1 + · · · + 𝛽𝑛 𝑓𝑛 = 0. Рассмотрим вектор 𝑣 = 𝛼1 𝑒1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑒𝑘 = −𝛽𝑝+1 𝑓𝑝+1 − · · · − 𝛽𝑛 𝑓𝑛 . Если 𝑣 = 0, то мы приходим к противоречию, т. к. из линейной независимости 𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ⇒ 𝛼1 = · · · = 𝛼𝑘 = 0, а из линейной независимости 𝑓𝑝+1 , . . . , 𝑓𝑛 ⇒ 𝛽𝑝+1 = · · · = 𝛽𝑛 = 0. Значит, 𝑣 ̸= 0, т. е. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝛼1 ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑣 = 𝑒 ⎜𝛼𝑘 ⎟ = 𝑓 ⎜−𝛽𝑝+1 ⎟ ̸= 0. ⎜ . ⎟ ⎜.⎟ ⎝ .. ⎠ ⎝ .. ⎠ −𝛽𝑛 Тогда в базисе 𝑒 𝑄(𝑣) = 𝛼12 + 𝛼22 + . . . 𝛼𝑘2 > 0, 2 2 2 ≤0 − · · · − 𝛽𝑝+𝑞 − 𝛽𝑝+2 в базисе 𝑓 𝑄(𝑣) = −𝛽𝑝+1 – мы получили противоречие. Аналогично мы придем к противоречию, если предположим, что 𝑘 < 𝑝. Значит, 𝑘 = 𝑝. Тогда {︂ rk 𝐵𝑒 = rk 𝑄(𝑢) = 𝑘 + 𝑙 = 𝑟 ⇒ 𝑝 + 𝑞 = rk 𝐵𝑓 = rk 𝑄(𝑢) = 𝑟 {︂ 𝑙 = 𝑟 − 𝑘 𝑘=𝑝 ==⇒ 𝑙 = 𝑞. 𝑞 =𝑟−𝑝 Определение. Число положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ее положительным (отрицательным) индексом инерции и обозначается 𝑖+ (𝑖− ). 𝑖+ , 𝑖− – инварианты квадратичной формы; 𝑖+ + 𝑖− = rk 𝑄(𝑢); (𝑖+ , 𝑖− ) – сигнатура квадратичной формы. 9.2.4 Знакоопределенные (знакопостоянные) квадратичные формы Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если 𝑄(𝑢) > 0 ∀𝑢 ∈ 𝑉 K{0}, 45 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра и отрицательно определенной, если 𝑄(𝑢) < 0 ∀𝑢 ∈ 𝑉 K{0}. Симметрическая билинейная форма, полярная к положительно (отрицательно) определенной квадратичной форме, называется также положительно (отрицательно) определенной. Теорема 3 (Критерий положительной определенности квадратичной формы). 𝑄(𝑢) является положительно определенной ⇔ 𝑖+ = 𝑛 = dim 𝑉 ⇔ (𝑖+ , 𝑖− ) = (𝑛, 0). Доказательство. Необходимость(⇒). 𝑛 ∑︀ 𝑄(𝑢) = 𝜆𝑖 𝑥2𝑖 , 𝜆𝑖 = 𝐵(𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 ) = 𝑄(𝑒𝑖 ) > 0 ∀𝑖 = 1, 𝑛 ⇒ 𝑖+ = 𝑛. 𝑖=1 Достаточность(⇐). ∃𝑓 – базис: 𝑄(𝑢) = 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑖2 > 0 ∀𝑢 = 𝑓 𝑌 ̸= 0. 𝑖=1 Теорема 4 (Критерий отрицательной определенности квадратичной формы). 𝑄(𝑢) является отрицательно определенной ⇔ 𝑖− = 𝑛 = dim 𝑉 ⇔ (𝑖+ , 𝑖− ) = (0, 𝑛). Доказательство. Квадратичная форма 𝑄(𝑢) является отрицательно определенной формой ⇔ −𝑄(𝑢) – положительно определенная форма. Определение. {︂ ∃𝑣1 ∈ 𝑉 K{0} : 𝑄(𝑣1 ) > 0, Если то 𝑄(𝑢) называется знакопеременной ∃𝑣2 ∈ 𝑉 K{0} : 𝑄(𝑣2 ) < 0, квадратичной формой. Лемма 1. Знак определителя матрицы квадратичной (билинейной) формы не зависит от выбора базиса пространства. 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑒 = 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑓 для любых базисов 𝑒 и 𝑓. Доказательство. 𝑇 𝐵𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐵𝑒 𝑇𝑒→𝑓 , 𝑇 det 𝐵𝑓 = det 𝑇𝑒→𝑓 det 𝐵𝑒 det 𝑇𝑒→𝑓 , det 𝐵𝑓 = (det 𝑇𝑒→𝑓 )2 det 𝐵𝑒 , (det 𝑇𝑒→𝑓 )2 > 0 ⇒ 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑓 = 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑒 . Лемма 2. Если квадратичная форма 𝑄(𝑢) положительно определена, то det 𝐵𝑒 > 0 для любого базиса 𝑒 пространства 𝑉 . Доказательство. Пусть 𝑓 – базис 𝑉 , в котором форма 𝑄(𝑢) имеет нормальный вид. 𝑛 ∑︀ 𝑄(𝑢) = 𝑦𝑖2 , 𝑖+ = 𝑛, т. к. 𝑄(𝑢) положительно определена. 𝑖=1 𝐵𝑓 = 𝐸 ⇒ det 𝐵𝑓 = 1 > 0, 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑓 = 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑒 ⇒ det 𝐵𝑒 > 0. 46 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра Замечание. Пусть 𝑄(𝑢) = 𝑞(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) – положительно определенная форма в базисе 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩, 𝑞𝑘 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 ) = 𝑞(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 , 0, . . . , 0) – квадратичная форма в пространстве 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ]. 𝑞(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) – положительно определенная форма ⇒ ⇒ 𝑞𝑘 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 ) – положительно определена в 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ]. Теорема 5 (Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Пусть 𝑄(𝑢) – квадратичная форма в пространстве 𝑉 с базисом 𝑒, ⎛ ⎞ 𝑏11 . . . 𝑏1𝑛 ⎜ ⎟ 𝐵𝑒 = ⎝ ... . . . ... ⎠ – матрица квадратичной формы в базисе 𝑒. 𝑏𝑛1 . . . 𝑏𝑛𝑛 𝑄(𝑢) является положительно определенной ⇔ ∆𝑘 > 0 ∀𝑘 = 1, 𝑛, ⃒ ⃒ ⃒𝑏11 . . . 𝑏1𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ где ∆𝑘 = ⃒ ... . . . ... ⃒, (все угловые миноры матрицы формы положительны). ⃒ ⃒ ⃒𝑏𝑘1 . . . 𝑏𝑘𝑘 ⃒ Доказательство. Необходимость (⇒). 𝑄(𝑢) = 𝑞(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) – положительно определена, следовательно, ∀𝑘 = 1, 𝑛 𝑞𝑘 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 ) положительно определена и в базисе ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ⟩ пространства 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ] имеет матрицу ⎞ ⎛ 𝑏11 . . . 𝑏1𝑘 ⎜ .. . . . ⎟ Лемма 2 ⎝ . . .. ⎠ =====⇒ ∆𝑘 > 0 ∀𝑘 = 1, 𝑛. 𝑏𝑘1 . . . 𝑏𝑘𝑘 Достаточность(⇐). Докажем индукцией по 𝑛 = dim 𝑉 : 1. 𝑛 = 1 : 𝑄(𝑢) = 𝑏11 𝑥21 , ∆1 = 𝑏11 > 0 ⇒ 𝑄(𝑢) – положительно определена. 2. Пусть утверждение теоремы верно для 𝑛 − 1. Докажем для 𝑛: 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1 ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ ∑︀ 𝑄(𝑢) = 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + 2 𝑏𝑖𝑛 𝑥𝑖 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑛 𝑥2𝑛 = 𝑖=1 𝑖,𝑗=1 𝑖<𝑗 = 𝑞𝑛−1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ) + 2 𝑖=1 𝑛−1 ∑︀ 𝑖,𝑗=1 𝑖<𝑗 𝑖=1 𝑏𝑖𝑛 𝑥𝑖 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛𝑛 𝑥2𝑛 . 𝑖=1 Если 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑉 , то 𝑞𝑛−1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ) – квадратичная форма в 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛−1 ] ⊂ 𝑉 . По предположению индукции эта форма положительно определена, значит, ∃⟨𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 ⟩ – базис 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛−1 ] в котором 𝑞𝑛−1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ) имеет вид 2 𝑞𝑛−1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ) = 𝑦12 + · · · + 𝑦𝑛−1 . Рассмотрим систему векторов 𝑒′ = ⟨𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 , 𝑒𝑛 ⟩ и докажем, что это базис 𝑉 : 47 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра 0) 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 , 𝑒𝑛 ∈ 𝑉 ; 1) 𝑒𝑛 ∈ / 𝐿[𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛−1 ] = 𝐿[𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 ] ⇒ 𝑒′1 , . . . , 𝑒′𝑛−1 , 𝑒𝑛 – линейно независимы; 2) количество векторов равно 𝑛 = dim 𝑉 . ⎧ ⎨ 0), 1), ⇒ 𝑒′ – базис 𝑉 . ⎩ 2) Пусть 𝑢 = 𝑒′ 𝑌 = 𝑦1 𝑒′1 + 𝑦2 𝑒′2 + · · · + 𝑦𝑛−1 𝑒′𝑛1 + 𝑦𝑛 𝑒′𝑛 . 2 Тогда 𝑄(𝑢) = 𝑦12 + · · · + 𝑦𝑛−1 +2 𝑛−1 ∑︀ ̃︀𝑏𝑖𝑛 𝑦𝑖 𝑦𝑛 + 𝑏𝑛𝑛 𝑦 2 , 𝑛 𝑖=1 ⎧ ⎪ 𝑦1 = 𝑙1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ), ⎪ ⎪ ⎨ .. .. .. . . . ⎪ 𝑦𝑛−1 = 𝑙𝑛−1 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛−1 ), ⎪ ⎪ ⎩ 𝑦 =𝑥 ; 𝑛 𝑛 𝑄(𝑢) = 𝑛−1 ∑︀ 𝑛−1 ∑︀ 𝑖=1 𝑖=1 (𝑦𝑖2 + 2̃︀𝑏𝑖𝑛 𝑦𝑖 𝑦𝑛 + ̃︀𝑏2𝑖𝑛 𝑦𝑛2 ) − 𝑛−1 𝑛−1 ∑︁ ̃︀𝑏2 𝑦 2 + 𝑏𝑛𝑛 𝑦 2 = ∑︀ (𝑦𝑖 + ̃︀𝑏𝑖𝑛 𝑦𝑛 )2 + (𝑏𝑛𝑛 − ̃︀𝑏2 ) 𝑦 2 ; 𝑛 𝑖𝑛 𝑛 𝑛 𝑖𝑛 𝑖=1 𝑖=1 ⏟ ⏞ 𝑑 Перейдем к базису 𝑓 , сделав замену: ⎧ 𝑧1 = 𝑦1 + ̃︀𝑏1𝑛 𝑦𝑛 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 𝑧2 = 𝑦2 + ̃︀𝑏2𝑛 𝑦𝑛 , .. .. .. . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑧 = 𝑦𝑛−1 + ̃︀𝑏𝑛−1 𝑛 𝑦𝑛 , ⎪ ⎩ 𝑛−1 𝑧𝑛 = 𝑦𝑛 , ⎛ 1 ... ... ⎜0 1 . . . ⎜ ⎜ 𝑇𝑒′ →𝑓 = ⎜ ... ... . . . ⎜ ⎝0 . . . . . . 0 ... ... ⎧ 𝑦1 = 𝑧1 − ̃︀𝑏1𝑛 𝑧𝑛 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 𝑦2 = 𝑧2 − ̃︀𝑏2𝑛 𝑧𝑛 , .. .. .. 𝑌 = 𝑇𝑒′ →𝑓 𝑍, . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑦 = 𝑧𝑛−1 − ̃︀𝑏𝑛−1 𝑛 𝑧𝑛 , ⎪ ⎩ 𝑛−1 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 , ⎞ . . . 0 −̃︀𝑏1𝑛 . . . 0 −̃︀𝑏2𝑛 ⎟ ⎟ .. .. .. ⎟ , det 𝑇𝑒′ →𝑓 = 1 ̸= 0. . . . ⎟ ⎟ . . . 1 −̃︀𝑏𝑛−1 𝑛 ⎠ ... 0 1 В базисе 𝑓 : ⎛ 𝑄(𝑢) = 𝑛−1 ∑︀ 𝑧𝑖2 + 𝑑𝑧𝑛2 𝑖=1 1 ⎜0 ⎜ 𝐵𝑓 = ⎜ .. ⎝. 1 .. . 0 ... ⎞ ... ... . . . . . .⎟ ⎟ .. ⎟ , det 𝐵𝑓 = 𝑑. .. . . ⎠ ... 𝑑 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑓 = 𝑠𝑔𝑛 det 𝐵𝑒 , det 𝐵𝑒 = ∆𝑛 > 0 ⇒ det 𝐵𝑓 = 𝑑 > 0 ⇒ ⇒ (𝑖+ , 𝑖− ) = (𝑛, 0) ⇒ 𝑄(𝑢) – положительно определена, что и требовалось доказать. Следствие 1 (Критерий отрицательно определенной квадратичной формы). Квадратичная форма 𝑄(𝑢) является отрицательно определенной ⇔ (−1)𝑘 ∆𝑘 > 0 ∀𝑘 = 1, 𝑛. (знаки угловых миноров матрицы формы чередуются, начиная с "-"). 48 Билинейные и квадратичные формы Линейная алгебра Доказательство. ⎛ ⎞ 𝑏 . . . 𝑏 11 1𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ⎜ ⎟ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 , 𝐵𝑒 = ⎝ ... . . . ... ⎠ ; 𝑄(𝑢) = 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 + 2 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 𝑏𝑛1 . . . 𝑏𝑛𝑛 𝑖<𝑗 ⎛ ⎞ −𝑏 . . . −𝑏 11 1𝑛 𝑛 𝑛 ∑︀ ∑︀ ⎜ .. ⎟ . .. ̃︀ 𝑄(𝑢) = −𝑄(𝑢) = − 𝑏𝑖𝑖 𝑥2𝑖 − 2 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 , 𝐵𝑒 = ⎝ ... . . ⎠ 𝑖=1 𝑖,𝑗=1 −𝑏𝑛1 . . . −𝑏𝑛𝑛 𝑖<𝑗 Как мы уже знаем, 𝑄(𝑢) форма⃒ ⇔ −𝑄(𝑢) – положительно ⃒ – отрицательно ⃒ определенная ⃒ ⃒−𝑏11 . . . −𝑏1𝑘 ⃒ ⃒𝑏11 . . . 𝑏1𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ .. ⃒ ⃒ . . . . 𝑘 ⃒ .. . . . . определенная форма ⇔ ⃒ . ⃒ = (−1) ⃒ . . . . ⃒ = (−1)𝑘 ∆𝑘 > 0 ∀𝑘 = 1, 𝑛. . ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑏𝑘1 . . . 𝑏𝑘𝑘 ⃒ ⃒−𝑏𝑘1 . . . −𝑏𝑘𝑘 ⃒ 49 Глава 10 Евклидовы пространства 10.1 Аксиомы евклидова скалярного произведения Определение. Говорят, что в линейном пространстве 𝑉 задано скалярное произведение, если любым двум векторам 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 сопоставляется действительное число, обозначаемое через (𝑢, 𝑣), и при этом выполняются следующие условия (аксиомы): 1. (𝑢, 𝑣) = (𝑣, 𝑢) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 ; 2. (𝑢1 + 𝑢2 , 𝑣) = (𝑢1 , 𝑣) + (𝑢2 , 𝑣) ∀𝑢1 , 𝑢2 , 𝑣 ∈ 𝑉 ; 3. (𝜆𝑢, 𝑣) = 𝜆(𝑢, 𝑣) ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Если выполнено также условие 4: 4. (𝑢, 𝑢) ≥ 0 ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , причем (𝑢, 𝑢) = 0 ⇔ 𝑢 = 0, то говорят, что в линейном пространстве задано евклидово скалярное произведение. Линейное пространство в этом случае называется евклидовым. Замечание. Из определения следует, что скалярное произведение – это симметрический билинейный функционал, а евклидово скалярное произведение – симметрический билинейный положительно определенный функционал. Если в пространстве выбран базис и скалярное произведение записано через координаты векторов в этом базисе, то оно является билинейной формой. Примеры евклидовых пространств. 1. 𝑉 3 , 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 3 . (︁ )︁ ̂︂𝑣 – евклидово скалярное произведение; (𝑢, 𝑣) = |𝑢||𝑣| cos 𝑢, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2. R𝑛 , 𝑋, 𝑌 ∈ R𝑛 , 𝑋 = ⎜ .. ⎟ , 𝑌 = ⎜ .. ⎟ . ⎝.⎠ ⎝.⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 ⎛ ⎞ 𝑦1 ⎜ 𝑦2 ⎟ ∑︀ 𝑛 (︀ )︀ ⎜ ⎟ (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 𝑇 𝑌 = 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ⎜ .. ⎟ = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 – симметрическая билинейная форма. ⎝ . ⎠ 𝑖=1 𝑦𝑛 50 Евклидовы пространства Линейная алгебра 𝑛 ∑︀ Очевидно, выполняется и условие 4 : (𝑋, 𝑋) = 𝑥2𝑖 ≥ 0, (𝑋, 𝑋) = 0 ⇔ 𝑋 = 0; 𝑖=1 𝑇 Значит, (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 𝑌 – евклидово скалярное произведение. 3. C[0, 1], 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[0, 1]. ∫︀1 (𝑓, 𝑔) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 – симметрический билинейный функционал. ∫︁1 Проверим выполнение условия 4 : очевидно, 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0 и из 𝑓 (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 1] ⇒ (𝑓, 𝑓 ) = 0. Докажем, что (𝑓, 𝑓 ) = 0 ⇒ 𝑓 = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 1], от противного. Пусть (𝑓, 𝑓 ) = 0, но ∃𝑎 ∈ [0, 1] : 𝑓 (𝑎) ̸= 0 ⇒ 𝑓 2 (𝑎) > 0. Т. к. 𝑓 (𝑥) – непрерывная функция на отрезке [0, 1], существует окрестность (𝛼, 𝛽) точки 𝑎 : 𝑎 ∈ (𝛼, 𝛽) ⊂ [0, 1] и 𝑓 2 (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽). (𝑓, 𝑓 ) = ∫︀1 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫︀𝛼 𝛼 𝑎 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛼 По теореме о среднем ∃𝜀 ∈ (𝛼, 𝛽) : ∫︀𝛽 ∫︀𝛽 1 𝛽 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫︀1 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 𝛽 ∫︀𝛽 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥. 𝛼 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 2 (𝜀)|𝛽 − 𝛼| > 0 ⇒ (𝑓, 𝑓 ) > 0. 𝛼 Получили противоречие ⇒ 𝑓 (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 1], т. е. 𝑓 = 0. ∫︁1 Таким образом, (𝑓, 𝑔) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 – евклидово скалярное произведение. 4. 𝑃𝑛 ⊂ C[0, 1], 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑃𝑛 . ∫︀1 (𝑓, 𝑔) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 – симметрический билинейный функционал. Очевидно, ∫︀1 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0 ∀𝑓 ∈ 𝑃𝑛 , причем (𝑓, 𝑓 ) = 0, если 𝑓 (𝑥) – нулевой многочлен. Как мы уже знаем, (𝑓, 𝑓 ) = 0 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [0, 1] ⇒ ⇒ многочлен 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑃𝑛 имеет бесконечно много корней ⇒ 𝑓 (𝑥) = 0 ∈ 𝑃𝑛 . Следовательно, (𝑓, 𝑔) = ∫︀1 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 – евклидово скалярное произведение. 10.2 Матрица Грама Определение. Пусть (𝑢, 𝑣) – евклидово скалярное произведение в конечномерном пространстве 𝑉 . Его 51 Евклидовы пространства Линейная алгебра матрицей Грама в базисе 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ называется матрица, состоящая из скалярных произведений базисных векторов ⎞ ⎛ (𝑒1 , 𝑒1 ) . . . (𝑒1 , 𝑒𝑛 ) ⎜ .. ⎟ . ... 𝐺𝑒 = ⎝ ... . ⎠ (𝑒𝑛 , 𝑒1 ) . . . (𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 ) Замечание. 𝐺𝑒 – матрица симметрической билинейной положительно определенной формы. Пусть 𝑢 = 𝑒𝑋, 𝑣 = 𝑒𝑌 . Тогда скалярное произведение в матричном виде записывается (𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐺𝑒 𝑌. Утверждение 1. Матрица 𝐺 ∈ R𝑛×𝑛 является матрицей Грама евклидова скалярного произведения в некотором базисе 𝑛-мерного евклидова пространства 𝑉 ⇔ выполняются условия: {︃ 1. 𝐺 – симметрическая матрица, т. е. 𝐺𝑇 = 𝐺, 2. все угловые миноры матрицы 𝐺 положительны, т. е. ∆𝑘 > 0 ∀𝑘 = 1, 𝑛. 10.3 Следствия аксиом евклидова скалярного произведения 1. (𝑢, 0) = (0, 𝑢) = 0 ∀𝑢 ∈ 𝑉. Доказательство. (𝑢, 0) = (0, 𝑢) = (0 · 0, 𝑢) = 0 · (0, 𝑢) = 0. 2. (𝑢1 , 𝑣) = (𝑢2 , 𝑣) ∀𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑢1 = 𝑢2 . Доказательство. Пусть (𝑢1 , 𝑣) = (𝑢2 , 𝑣) ∀𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ (𝑢1 − 𝑢2 , 𝑣) = 0. Возьмем 𝑣 = 𝑢1 − 𝑢2 ⇒ (𝑢1 − 𝑢2 , 𝑢1 − 𝑢2 ) = 0 ⇔ 𝑢1 − 𝑢2 = 0 ⇔ 𝑢1 = 𝑢2 . 3. Неравенство Коши – Буняковского (𝑢, 𝑣)2 ≤ (𝑢, 𝑢)(𝑣, 𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Доказательство. Рассмотрим два случая: 1. 𝑢, 𝑣 – пропорциональны, т. е. 𝑢 = 𝜆𝑣. (𝑢, 𝑣)2 = (𝜆𝑣, 𝑣)2 = (𝜆(𝑣, 𝑣))2 = 𝜆2 (𝑣, 𝑣)(𝑣, 𝑣) = (𝜆𝑣, 𝜆𝑣)(𝑣, 𝑣) = (𝑢, 𝑢)(𝑣, 𝑣); 2. 𝑢, 𝑣 – непропорциональны, т. е. 𝑢, 𝑣 – линейно независимы, значит, ⟨𝑢, 𝑣⟩ – базис 𝐿[𝑢, 𝑣]. (︂ )︂ (︂ )︂ (𝑢, 𝑢) (𝑢, 𝑣) (𝑢, 𝑢) (𝑢, 𝑣) 𝐺⟨𝑢,𝑣⟩ = = – матрица Грама евклидова (𝑣, 𝑢) (𝑣, 𝑣) (𝑢, 𝑣) (𝑣, 𝑣) скалярного произведения в 𝐿[𝑢, 𝑣] ⇒ ⃒ ⃒ ⃒(𝑢, 𝑢) (𝑢, 𝑣)⃒ ⃒ = (𝑢, 𝑢)(𝑣, 𝑣) − (𝑢, 𝑣)2 > 0 ⇒ (𝑢, 𝑣)2 < (𝑢, 𝑢)(𝑣, 𝑣). ⇒ det 𝐺⟨𝑢,𝑣⟩ > 0 ⇒ ⃒⃒ (𝑣, 𝑢) (𝑣, 𝑣)⃒ 1, 2 ⇒ (𝑢, 𝑣) ≤ (𝑢, 𝑢)(𝑣, 𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 . 52 Евклидовы пространства Линейная алгебра Следствие. Равенство в неравенстве Коши – Буняковского достигается ⇔ 𝑢, 𝑣 – пропорциональны. Примеры. 1. R𝑛 , 𝑋, 𝑌 ∈ R𝑛 , 𝐺𝑒 = 𝐸. 𝑛 ∑︀ (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 𝑇 𝑌 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 – евклидово скалярное произведение. 𝑖=1 Неравенство Коши – Буняковского: (𝑋, 𝑌 )2 ≤ (𝑋, 𝑋)(𝑌, 𝑌 ) ∀𝑋, 𝑌 ∈ R𝑛 ⇔ ( 𝑛 ∑︀ 𝑥𝑖 𝑦 𝑖 ) 2 ≤ ( 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝑥2𝑖 ) ( 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑖2 ) ∀𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛. 𝑖=1 2. C[0, 1], 𝑓, 𝑔 ∈ C[0, 1]. ∫︀1 (𝑓, 𝑔) = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 – евклидово скалярное произведение. Неравенство Коши - Буняковского: ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⎝ 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥⎠ ≤ ⎝ 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥⎠ ⎝ 𝑔 2 (𝑥) 𝑑𝑥⎠ ∀𝑓, 𝑔 ∈ C[0, 1]. Это неравенство еще называют неравенством Шварца. 10.4 Евклидова норма Определение. Пусть 𝑉 линейное пространство. Функционал 𝑉 → R, 𝑣 ↦→ ‖𝑣‖ ∈ R называется нормой вектора, если выполняются условия (аксиомы нормы): 1) ‖𝑣‖ ≥ 0 ∀𝑣 ∈ 𝑉, причем ‖𝑣‖ = 0 ⇔ 𝑣 = 0, 2) ‖𝜆𝑣‖ = |𝜆|‖𝑣‖ ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑣 ∈ 𝑉, 3) ‖𝑢 + 𝑣‖ ≤ ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 (“неравенство треугольника”). Определение. В евклидовом линейном пространстве со скалярным произведением (𝑢, 𝑣) евклидовой нормой называется длина вектора 𝑢, определяемая как √︀ ‖𝑢‖ = (𝑢, 𝑢). Замечание. Используя понятие длины вектора в евклидовом пространстве, неравенство Коши – Буняковского можно записать в виде |(𝑢, 𝑣)| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖. Докажем, что определение евклидовой нормы корректно, проверив выполнение аксиом: √︀ √︀ 1) ‖𝑢‖ = (𝑢, 𝑢) ≥ 0 ∀𝑢 ∈ 𝑉 , причем ‖𝑢‖ = (𝑢, 𝑢) = 0 ⇔ (𝑢, 𝑢) = 0 ⇔ 𝑢 = 0; √︀ √︀ √︀ 2) ||𝜆𝑢|| = (𝜆𝑢, 𝜆𝑢) = 𝜆2 (𝑢, 𝑢) = |𝜆| (𝑢, 𝑢) = |𝜆|‖𝑢‖ ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑢 ∈ 𝑉 ; √︀ √︀ 3) ||𝑢 + 𝑣|| = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) = (𝑢, 𝑢) + (𝑢, 𝑣) + (𝑣, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) = √︁ √︀ √︀ = (𝑢, 𝑢) + 2(𝑢, 𝑣) + (𝑣, 𝑣) ≤ (𝑢, 𝑢) + 2|(𝑢, 𝑣)| + (𝑣, 𝑣) ≤ ‖𝑢‖2 + 2‖𝑢‖‖𝑣‖ + ‖𝑣‖2 = √︀ = (‖𝑢‖ + ‖𝑣‖)2 = | ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ | = ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. 53 Евклидовы пространства 10.5 Линейная алгебра Угол между векторами в евклидовом пространстве Если 𝑉 – евклидово пространство, то ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 |(𝑢, 𝑣)| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖. ⃒ ⃒ ⃒ (𝑢, 𝑣) ⃒ |(𝑢, 𝑣)| ⃒ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ (𝑢, 𝑣) ≤ 1. ≤ 1 ⇔ ⃒⃒ Пусть 𝑢, 𝑣 = ̸ 0 ⇒ ‖𝑢‖‖𝑣‖ > 0 ⇒ ‖𝑢‖‖𝑣‖ ‖𝑢‖‖𝑣‖ ⃒ ‖𝑢‖‖𝑣‖ Это позволяет определить угол между векторами в любом евклидовом пространстве. Определение. 𝑢, 𝑣) = Пусть 𝑢, 𝑣 ̸= 0, тогда cos(̂︂ (𝑢, 𝑣) (𝑢, 𝑣) ⇒ (̂︂ 𝑢, 𝑣) = arccos . ‖𝑢‖‖𝑣‖ ‖𝑢‖‖𝑣‖ Пример. Рассмотрим пространство 𝑃𝑛 ⊂ R[𝑡] со скалярным произведением ∫︀1 𝑓 (𝑡)𝑔(𝑡) 𝑑𝑡. ̂︁𝑡): Найдем (1, √︀ ∫︀1 (1, 1) = 1, т. к. (1, 1) = 12 𝑑𝑡 = 𝑡|10 = 1; ⃒ 3 ⃒1 1 √︀ ∫︀ 1 𝑡 1 ‖𝑡‖ = (𝑡, 𝑡) = √ , т. к. (𝑡, 𝑡) = 𝑡2 𝑑𝑡 = ⃒⃒ = ; 3 0 3 3 ⃒ 1 ∫︀1 𝑡2 ⃒⃒ 1 (1, 𝑡) = 1 · 𝑡 𝑑𝑡 = ⃒ = . 2 0 2 √ (1, 𝑡) 3 ̂︁𝑡) = arccos ̂︁𝑡) = 𝜋 . (1, = arccos ⇒ (1, ‖1‖‖𝑡‖ 2 6 ‖1‖ = Определение. Векторы 𝑢, 𝑣 из евклидова пространства 𝑉 называются ортогональными, если (𝑢, 𝑣) = 0. ⎡ 𝑢 = 0, ⎣ (𝑢, 𝑣) = 0 ⇔ 𝑣 = 0, 𝜋 (̂︂ 𝑢, 𝑣) = , т. е. 𝑢 ⊥ 𝑣. 2 Теорема 1 (теорема Пифагора). Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 . Если 𝑢, 𝑣 – ортогональны, то 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 − + 𝑢 𝑣 ‖𝑢 ± 𝑣‖2 = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 . 𝑢 Доказательство. Пусть (𝑢, 𝑣) = 0, тогда ||𝑢 ± 𝑣||2 = (𝑢 ± 𝑣, 𝑢 ± 𝑣) = (𝑢, 𝑢) ± 2(𝑢, 𝑣) + (𝑣, 𝑣) = (𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) = = ‖𝑢‖2 + ‖𝑣‖2 . В любом евклидовом пространстве можно определить проекцию вектора 𝑣 на вектор 𝑢 ̸= 0. 54 Евклидовы пространства Линейная алгебра Определение. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , причем 𝑢, 𝑣 ̸= 0, тогда проекцией вектора 𝑣 на вектор 𝑢 называется число 𝑝𝑟𝑢 𝑣 = ‖𝑣‖ cos(̂︂ 𝑢, 𝑣) = Если 𝑢 ̸= 0, 𝑣 = 0, 𝑝𝑟𝑢 𝑣 = 10.6 (𝑢, 𝑣) (𝑢, 𝑣) ‖𝑣‖ = . ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ ‖𝑢‖ (𝑢, 𝑣) = 0. ‖𝑢‖ Ортогональные системы векторов Определение. Система векторов евклидова пространства 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 называется ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, т. е. (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) = 0 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑘. Утверждение 1. Ортогональная система ненулевых векторов в евклидовом пространстве является линейно независимой. Доказательство. ⎧ ⎨ 𝑣𝑖 ̸= 0, 𝑖 = 1, 𝑘, Пусть (𝑣 , 𝑣 ) = 0 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑘, ⎩ 𝑖 𝑗 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + · · · + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 = 0 (*). Умножим (*) скалярно на вектор 𝑣𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑘. 𝛼1 (𝑣1 , 𝑣𝑖 ) + · · · + 𝛼𝑖 (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 ) + · · · + 𝛼𝑘 (𝑣𝑘 , 𝑣𝑖 ) = (0, 𝑣𝑖 ) ∀𝑖 = 1, 𝑘 ⇒ ⇒ 𝛼𝑖 (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 ) = 0 ∀𝑖 = 1, 𝑘. 𝑣𝑖 ̸= 0 ⇒ (𝑣𝑖 , 𝑣𝑖 ) ̸= 0 ⇒ 𝛼𝑖 = 0 ∀𝑖 = 1, 𝑘 ⇒ система 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑘 линейно независима. Следствие. Ортогональная система ненулевых векторов в евклидовом пространстве, количество которых равно его размерности, является базисом этого пространства. Такой базис называется ортогональным. Замечание. 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортогональный базис евклидова пространства 𝑉 тогда, и только тогда, когда ⎧ ⎨ 𝑛 = dim 𝑉, 𝑒𝑖 ̸= 0 ∀𝑖 = 1, 𝑛, ⎩ (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 0 при 𝑖 ̸= 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛. Утверждение 2. Базис 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ евклидова пространства 𝑉 является ортогональным ⇔ 𝐺𝑒 – диагональная матрица. 𝑒 – ортогональный базис ⇔ 𝐺𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑔((𝑒1 , 𝑒1 ), . . . , (𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 )). Доказательство. dim 𝑉 = 𝑛. Т. к. 𝑒 – базис 𝑉, 𝑒𝑖 ̸= 0 ∀𝑖 = 1, 𝑛. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (𝑒1 , 𝑒1 ) . . . (𝑒1 , 𝑒𝑛 ) (𝑒1 , 𝑒1 ) ⎜ ⎟ .. ⎟ = ⎜ .. .. 𝐺𝑒 = ⎝ ... ⎠ ⇔ 𝑒 – ортогональный базис. . . . ⎠ ⎝ (𝑒1 , 𝑒𝑛 ) . . . (𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 ) (𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 ) 55 Евклидовы пространства Линейная алгебра Определение. Система векторов 𝑣1 , 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑘 в евклидовом пространстве 𝑉 называется ортонормированной, если она ортогональна и длина любого её вектора равна 1, т. е. {︂ {︂ (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) = 0, 𝑖 ̸= 𝑗, 0, 𝑖 ̸= 𝑗, ⇔ (𝑣𝑖 , 𝑣𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 = ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑘 ||𝑣𝑖 || = 1 1, 𝑖 = 𝑗. Утверждение 3. Ортонормированная система векторов в евклидовом пространстве, количество векторов в которой равно размерности пространства, является базисом этого пространства. Такой базис называется ортонормированным. Доказательство. Вытекает из следствия и того факта, что вектор, имеющий длину 1, является ненулевым. Утверждение 4. Базис 𝑒 евклидова пространства 𝑉 является ортонормированным ⇔ 𝐺𝑒 = 𝐸. Пример. 𝑉 3 , 𝑒 = ⟨𝑖, 𝑗, 𝑘⟩ – ортонормированный базис 𝑉 3 . Пусть 𝑢 = 𝑥1 𝑖 + 𝑥2 𝑗 + 𝑥3 𝑘, 𝑣 = 𝑦1 𝑖 + 𝑦2 𝑗 + 𝑦3 𝑘. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑦 1 (︀ )︀ (︀ )︀ 𝑦1 (𝑢, 𝑣) = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 𝐺𝑒 ⎝𝑦2 ⎠ = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ⎝𝑦2 ⎠ = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + 𝑥3 𝑦3 , 𝑦3 𝑦3 √︀ √︀ ‖𝑢‖ = 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = (𝑢, 𝑢), 𝑥1 = 𝑝𝑟𝑖 𝑢 = (𝑢, 𝑖), 𝑥2 = 𝑝𝑟𝑗 𝑢 = (𝑢, 𝑗), 𝑥3 = 𝑝𝑟𝑘 𝑢 = (𝑢, 𝑘). Утверждение 5. Пусть 𝑉 – 𝑛-мерное евклидово пространство, 𝑒 – его ортонормированный базис, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑥1 𝑦1 ⎜ 𝑥2 ⎟ ⎜ 𝑦2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 𝑢 = 𝑒𝑋 = 𝑒 ⎜ .. ⎟ , 𝑣 = 𝑒𝑌 = 𝑒 ⎜ .. ⎟ . ⎝.⎠ ⎝.⎠ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 Тогда 𝑛 ∑︀ 𝐺𝑒 = 𝐸; (𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐺𝑒 𝑌 = 𝑋 𝑇 𝑌 = 𝑥𝑖 𝑦 𝑖 ; 𝑖=1 √︂ 𝑛 √︀ ∑︀ 2 𝑥𝑖 ; ‖𝑢‖ = (𝑢, 𝑢) = 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 (𝑢, 𝑣) 𝑖=1 если 𝑢, 𝑣 ̸= 0, то cos(̂︂ 𝑢, 𝑣) = = √︂ 𝑛 √︂ 𝑛 ; ∑︀ 2 ∑︀ 2 ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑖=1 ⎛ ⎞ ⎜ .. ⎟ ⎜.⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ (𝑢, 𝑒𝑖 ) ⎜ ⎟ 𝑥𝑖 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) ⎜1⎟ = (𝑢, 𝑒𝑖 ) = ‖𝑢‖ cos(𝑢, ̂︂ 𝑒𝑖 ) = = 𝑝𝑟𝑒𝑖 𝑢, ∀𝑖 = 1, 𝑛. ⎜ ⎟ ‖𝑒𝑖 ‖ ⎜ ⎟ ⎜.⎟ ⎝ .. ⎠ 56 Евклидовы пространства 10.6.1 Линейная алгебра Процесс ортогонализации Грама – Шмидта Процессом ортогонализации Грама – Шмидта называется способ построения по системе линейно независимых векторов евклидова пространства ортогональной системы его ненулевых векторов, описанный в теореме 1. Теорема 1. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 – линейно независимая система векторов 𝑉 , тогда ∀𝑘 = 1, 𝑛 ∃ℎ𝑘 ∈ 𝑉 : ⎧ ⎪ 1) ℎ𝑘 ∈ {𝑓𝑘 } + 𝐿[ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑘−1 ] ⊂ 𝐿[𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑘 ], ⎪ ⎨ 2) ℎ𝑘 ̸= 0, ⎪ ⎪ ⎩ 3) (ℎ , ℎ ) = 0, 𝑖 = 1, 𝑘 − 1, 𝑘 а именно ℎ𝑘 = 𝑓𝑘 − 𝑖 (𝑓𝑘 , ℎ1 ) (𝑓𝑘 , ℎ2 ) (𝑓𝑘 , ℎ𝑘−1 ) ℎ1 − ℎ2 − · · · − ℎ𝑘−1 . (ℎ1 , ℎ1 ) (ℎ2 , ℎ2 ) (ℎ𝑘−1 , ℎ𝑘−1 ) Доказательство. Докажем индукцией по 𝑚 – числу векторов в линейно независимой системе 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚 . 1. 𝑚 = 2. Пусть ℎ1 = 𝑓1 , ℎ2 = 𝑓2 − 𝛼ℎ1 = 𝑓2 − 𝛼𝑓1 , 𝛼 ∈ R. ℎ2 −𝛼ℎ1 𝑓2 ℎ1 = 𝑓1 Тогда 1) ℎ2 ∈ {𝑓2 } + 𝐿[𝑓1 ] ⊂ 𝐿[𝑓1 , 𝑓2 ]; 2) ℎ2 ̸= 0, иначе 𝑓2 = 𝛼𝑓1 , что противоречит линейной независимости 𝑓1 и 𝑓2 ; (𝑓2 , ℎ1 ) . 3) (ℎ2 , ℎ1 ) = 0 ⇔ (𝑓2 − 𝛼ℎ1 , ℎ1 ) = 0 ⇔ (𝑓2 , ℎ1 ) − 𝛼(ℎ1 , ℎ1 ) = 0 ⇔ 𝛼 = (ℎ1 , ℎ1 ) Значит, ℎ2 = 𝑓2 − (𝑓2 , ℎ1 ) ℎ1 . (ℎ1 , ℎ1 ) 2. Пусть ∀𝑘 = 1, 𝑚 (𝑚 < 𝑛) построены ℎ𝑘 ∈ 𝑉 : 1) ℎ𝑘 ∈ {𝑓𝑘 } + 𝐿[ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑘−1 ] ⊂ 𝐿[𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑘 ], 2) ℎ𝑘 ̸= 0, 3) (ℎ𝑘 , ℎ𝑖 ) = 0, 𝑖 = 1, 𝑘 − 1. Докажем, что можно построить ℎ𝑚+1 ∈ 𝑉 : 1) ℎ𝑚+1 ∈ {𝑓𝑚+1 } + 𝐿[ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑚 ] ⊂ 𝐿[𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚+1 ], 2) ℎ𝑚+1 ̸= 0, 3) (ℎ𝑚+1 , ℎ𝑘 ) = 0, 𝑘 = 1, 𝑚. Положим ℎ𝑚+1 = 𝑓𝑚+1 − 𝛼1 ℎ1 − 𝛼2 ℎ2 − · · · − 𝛼𝑚 ℎ𝑚 , 𝛼𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑚. Тогда 57 Евклидовы пространства Линейная алгебра 1) ℎ𝑚+1 ∈ {𝑓𝑚+1 } + 𝐿[ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑚 ] ⊂ 𝐿[𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚+1 ]; 2) ℎ𝑚+1 = ̸ 0, иначе 𝑓𝑚+1 = 𝛼1 ℎ1 + · · · + 𝛼𝑚 ℎ𝑚 ∈ 𝐿[𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 ], что противоречит линейной независимости 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚 , 𝑓𝑚+1 ; 3) (ℎ𝑚+1 , ℎ𝑘 ) = 0 ∀𝑘 = 1, 𝑚 ⇔ (𝑓𝑚+1 − 𝛼1 ℎ1 − · · · − 𝛼𝑚 ℎ𝑚 , ℎ𝑘 ) = 0 ⇔ (𝑓𝑚+1 , ℎ𝑘 ) ⇔ (𝑓𝑚+1 , ℎ𝑘 ) − 𝛼𝑘 (ℎ𝑘 , ℎ𝑘 ) = 0 ⇔ 𝛼𝑘 = ⇔ (ℎ𝑘 , ℎ𝑘 ) (𝑓𝑚+1 , ℎ𝑚 ) (𝑓𝑚+1 , ℎ1 ) ℎ1 − · · · − ℎ𝑚 . ⇔ ℎ𝑚+1 = 𝑓𝑚+1 − (ℎ1 , ℎ1 ) (ℎ𝑚 , ℎ𝑚 ) (𝑓𝑘 , ℎ1 ) (𝑓𝑘 , ℎ2 ) (𝑓𝑘 , ℎ𝑘−1 ) ℎ1 − ℎ2 − · · · − ℎ𝑘−1 : (ℎ1 , ℎ1 ) (ℎ2 , ℎ2 ) (ℎ𝑘−1 , ℎ𝑘−1 ) выполняются условия 1), 2), 3) теоремы. Следовательно, ∀𝑘 = 1, 𝑛 ∃ℎ𝑘 = 𝑓𝑘 − Следствие 1. Если ⟨𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ⟩ – базис евклидова пространства 𝑉, ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑛 – ортогональная система ненулевых векторов, полученная из 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 с помощью процесса ортогонализации ℎ Грама - Шмидта, 𝑔𝑘 = 𝑘 , 𝑘 = 1, 𝑛, то ⟨ℎ1 , ℎ2 , . . . , ℎ𝑛 ⟩ – ортогональный базис 𝑉 , а ‖ℎ𝑘 ‖ ⟨𝑔1 , 𝑔2 , . . . , 𝑔𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . Замечание. Если 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚 – ортогональная подсистема линейно независимой системы 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚 , 𝑓𝑚+1 , . . . , 𝑓𝑛 , то в процессе ортогонализации Грама – Шмидта ℎ𝑘 = 𝑓𝑘 при 𝑘 = 1, 𝑚. Следствие 2. Любую ортогональную систему ненулевых векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до его ортогонального базиса. Доказательство. Пусть 𝑓1 , 𝑓2 . . . , 𝑓𝑚 – ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства 𝑉, dim 𝑉 = 𝑛. Следовательно, 𝑓1 , 𝑓2 . . . , 𝑓𝑚 – линейно независимая система ⇒ ∃𝑓𝑚+1 , . . . , 𝑓𝑛 : ⟨𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 , 𝑓𝑚+1 , . . . , 𝑓𝑛 ⟩ – базис 𝑉 . Применяя к этому базису процесс ортогонализации Грама – Шмидта, получим ⟨𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 , ℎ𝑚+1 , . . . , ℎ𝑛 ⟩ – ортогональный базис. Следствие 3. Любую ортонормированную систему векторов конечногомерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса этого пространства. Доказательство. Пусть 𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 – ортонормированная система евклидова пространства 𝑉, dim 𝑉 = 𝑛 ⇒ 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑚 – линейно независимая система в 𝑉 . Дополним ее до базиса ⟨𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 , 𝑓𝑚+1 , . . . , 𝑓𝑛 ⟩ пространства 𝑉 . В результате процесса ортогонализации Грама – Шмидта, получим ⟨𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 , ℎ𝑚+1 , . . . , ℎ𝑛 ⟩ – ортогональный базис 𝑉 . Нормируя его векторы, получим ⟨𝑓1 , . . . , 𝑓𝑚 , 𝑔𝑚+1 , . . . , 𝑔𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . 58 Евклидовы пространства 10.7 Линейная алгебра Ортогональное дополнение Определение. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝑈 – его подпространство. Ортогональным дополнением к 𝑈 называется множество векторов 𝑈 ⊥ = {𝑣 ∈ 𝑉 : (𝑢, 𝑣) = 0 ∀𝑢 ∈ 𝑈 }. Пример. 𝑉 = 𝑉 3 , 𝑢 ∈ 𝑉 3 , 𝑢 ̸= 0. Если 𝑈 = 𝐿[𝑢] – множество векторов, коллинеарных 𝑢, то 𝑈 ⊥ – множество векторов, компланарных плоскости, перпендикулярной вектору 𝑢. Утверждение 1. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝑈 – его подпространство, ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ⟩ – ортонормированный базис 𝑈 , 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . Тогда 𝑈 ⊥ = 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ]. Доказательство. 1. Докажем, что 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ] ⊂ 𝑈 ⊥ . 𝑛 ∑︀ Пусть 𝑣 ∈ 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ], т. е. 𝑣 = 𝛽𝑗 𝑒𝑗 , 𝑢 ∈ 𝑈, т. е. 𝑢 = (𝑢, 𝑣) = ( 𝑘 ∑︀ 𝛼𝑖 𝑒𝑖 , 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝛽𝑗 𝑒𝑗 ) = 𝑗=𝑘+1 𝛼𝑖 𝑒𝑖 . 𝑖=1 𝑗=𝑘+1 ∀𝑢 ∈ 𝑈 𝑘 ∑︀ 𝑛 𝑘 ∑︀ ∑︀ 𝛼𝑖 𝛽𝑗 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 0 ⇒ 𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ ; 𝑗=𝑘+1 𝑖=1 2. Докажем, что 𝑈 ⊥ ⊂ 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ]. 𝑛 ∑︀ Пусть 𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ , 𝑣 = 𝛽𝑗 𝑒𝑗 . 𝑗=1 В ортонормированном базисе 𝑒 ∀𝑗 = 1, 𝑛 𝛽𝑗 = (𝑣, 𝑒𝑗 ). (𝑣, 𝑒𝑗 ) = 0, т. к. 𝑒𝑗 ∈ 𝑈 ⇒ 𝛽𝑗 = 0 при 𝑗 = 1, 𝑘 ⇒ 𝑛 ∑︀ ⇒𝑣= 𝛽𝑗 𝑒𝑗 ⇒ 𝑣 ∈ 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ]. При 𝑗 = 1, 𝑘 𝑗=𝑘+1 Следствие. 1) 𝑈 ⊥ – линейное подпространство 𝑉 ; 2) dim 𝑈 ⊥ = dim 𝑉 − dim 𝑈 . Доказательство. 1) 𝑈 ⊥ = 𝐿[𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ] – линейное подпространство 𝑉 ; 2) ⟨𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – базис 𝑈 ⊥ , т. к. (𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ) линейно независимая система (часть базиса 𝑒) ⇒ dim 𝑈 ⊥ = 𝑛 − 𝑘 = dim 𝑉 − dim 𝑈 . Утверждение 2. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝑈 – его подпространство, 𝑈 ⊥ – ортогональное дополнение к 𝑈 , 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 ⟩ – ортонормированный базис 𝑈 , 𝑒′ = ⟨𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑈 ⊥ . Тогда ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . 59 Евклидовы пространства Линейная алгебра Доказательство. 1. dim 𝑈 + dim 𝑈 ⊥ = dim 𝑉 = 𝑛; 2. (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 при 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, т. к. при 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑘 𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 – векторы ортонормированного базиса 𝑒, при 𝑖, 𝑗 = 𝑘 + 1, 𝑛 𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 – векторы ортонормированного базиса 𝑒′ , а при 𝑖 = 1, 𝑘, 𝑗 = 𝑘 + 1, 𝑛 𝑒𝑖 ∈ 𝑈, 𝑒𝑗 ∈ 𝑈 ⊥ ⇒ (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 0. {︂ 1) ⇒ ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑘 , 𝑒𝑘+1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . 2) 10.8 Ортогональные матрицы Определение. Матрица 𝐴 ∈ R𝑛×𝑛 называется ортогональной, если 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸. Множество ортогональных матриц размера 𝑛 × 𝑛 обозначается 𝑂𝑛 . 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸. Утверждение 1. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝑒 – ортонормированный базис 𝑉, 𝑓 – базис 𝑉 . Тогда 𝑓 – ортонормированный базис ⇔ 𝑇𝑒→𝑓 ∈ 𝑂𝑛 . Доказательство. 𝑇 𝐺𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐺𝑒 𝑇𝑒→𝑓 . 𝑇 𝑇 𝑓 – ортонормированный базис ⇔ 𝐺𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝐸 𝑇𝑒→𝑓 = 𝑇𝑒→𝑓 𝑇𝑒→𝑓 = 𝐸 ⇔ 𝑇𝑒→𝑓 ∈ 𝑂𝑛 . Свойства ортогональных матриц 1. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ столбцы 𝐴 образуют ортонормированный базис евклидова пространства 𝑛 ∑︀ R𝑛 = R𝑛×1 со скалярным произведением (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 𝑇 𝑌 = 𝑥 𝑖 𝑦𝑖 . 𝑖=1 Доказательство. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸 ⇔ (𝐴𝑖 , 𝐴𝑗 ) = (𝐴𝑖 )𝑇 𝐴𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛. 2. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇒ det 𝐴 = ±1. Доказательство. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸 ⇒ det 𝐴𝑇 det 𝐴 = det 𝐸 ⇒ (det 𝐴)2 = 1. 3. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ ∃𝐴−1 = 𝐴𝑇 . Доказательство. (⇒) 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇒ det 𝐴 = ±1 ̸= 0 ⇒ ∃𝐴−1 ∈ R𝑛×𝑛 . 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸. (*) Умножим (*) на 𝐴−1 справа, получим 𝐴𝑇 (𝐴𝐴−1 ) = 𝐸𝐴−1 , т. е. 𝐴𝑇 = 𝐴−1 . (**) (⇐) Умножим (**) на 𝐴 справа, получим 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸 ⇔ 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 . 60 Евклидовы пространства Линейная алгебра 4. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ ∃𝐴−1 ∈ 𝑂𝑛 . Доказательство. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ ∃𝐴−1 = 𝐴𝑇 ⇔ (𝐴−1 )𝑇 = 𝐴 ⇔ (𝐴−1 )𝑇 = (𝐴−1 )−1 ⇔ ∃𝐴−1 ∈ 𝑂𝑛 . 5. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸. Доказательство. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝑇 = 𝐴−1 . (*) (⇒) Умножим (*) на 𝐴 слева, получим 𝐴𝐴𝑇 = 𝐸 (**). (⇐) Из (**) ⇒ det 𝐴 ̸= 0 ⇒ ∃𝐴−1 , умножим (**) на 𝐴−1 слева, получим 𝐴𝑇 = 𝐴−1 ⇒ 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 . 6. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ строки матрицы 𝐴 образуют ортонормированный базис евклидова про𝑛 ∑︀ странства R𝑛 = R1×𝑛 со скалярным произведением (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋𝑌 𝑇 = 𝑥𝑖 𝑦 𝑖 . 𝑖=1 Доказательство. 𝐴 ∈ 𝑂𝑛 ⇔ 𝐴𝐴𝑇 = 𝐸 ⇔ (𝐴𝑖 , 𝐴𝑗 ) = 𝐴𝑖 𝐴𝑇𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛. 10.8.1 Ортогональные матрицы малых порядков 1. 𝑛 = 1. 𝐴 ∈ 𝑂1 ⇒ 𝐴 = (±1); 2. 𝑛 = 2. 𝐴 ∈ 𝑂2 . (︂ Пусть 𝐴 = )︂ 𝑎 𝑏 , тогда 𝐴𝑇 𝐴 = 𝐸 ⇔ 𝑐 𝑑 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ 2 )︂ (︂ )︂ 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 1 0 𝑎 + 𝑐2 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 1 0 ⇔ = ⇔ = ⇔ 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 0 1 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 𝑏2 + 𝑑2 0 1 ⎧ {︂ 𝑎 = cos 𝛼, ⎪ ⎧ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎨ 𝑎 + 𝑐 = 1, ⎨ {︂ 𝑐 = sin 𝛼, 𝑏2 + 𝑑2 = 1, ⇔ 𝑏 = cos 𝛽, ⇔ ⎩ ⎪ ⎪ 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 0 𝑑 = sin 𝛽, ⎪ ⎪ ⎩ cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 = 0. (*) 𝜋 2 (*) ⇔ cos(𝛽 − 𝛼) = 0 ⇒ 𝛽 − 𝛼 = ± + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z ⇒ (︂ )︂ (︂ 𝑎 𝑏 cos 𝛼 ⇒𝐴= = 𝑐 𝑑 sin 𝛼 (︂ ⎡ cos 𝛼 ⎢ 𝐴 = sin 𝛼 (︂ ⇒⎢ ⎣ cos 𝛼 𝐴= sin 𝛼 (︀ )︀)︂ (︂ cos 𝛼 cos(︀ 𝛼 ± 𝜋2 )︀ ⇒ = sin 𝛼 sin 𝛼 ± 𝜋2 )︂ − sin 𝛼 , det 𝐴 = 1; cos 𝛼 )︂ sin 𝛼 , det 𝐴 = −1. − cos 𝛼 cos 𝛽 sin 𝛽 )︂ 61 Глава 11 Линейные операторы в евклидовом пространстве 11.1 Ортогональный оператор в евклидовом пространстве. Определение. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). 𝐴 называется ортогональным оператором в 𝑉 , если 𝐴 сохраняет скалярное произведение: (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) = (𝑢, 𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Множество всех ортогональных операторов, действующих в 𝑉 , обозначается 𝑂(𝑉 ). 𝑂(𝑉 ) = {𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) = (𝑢, 𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 }. Утверждение {︂ 1. ‖𝐴𝑢‖ = ‖𝑢‖ ∀𝑢 ∈ 𝑉, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇒ \ (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) = (̂︂ 𝑢, 𝑣), ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 K {0}. Доказательство. ‖𝐴𝑢‖ = √︀ √︀ (𝐴𝑢, 𝐴𝑢) = (𝑢, 𝑢) = ‖𝑢‖, 𝑢, 𝑣 ̸= 0 ⇒ (̂︂ 𝑢, 𝑣) = arccos (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) (𝑢, 𝑣) \ = arccos = (𝐴𝑢, 𝐴𝑣). ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ ‖𝐴𝑢‖ ‖𝐴𝑣‖ Пример. 𝑉 3 , 𝐴(𝑣) = 2𝑣. Очевидно, что 𝐴 сохраняет угол, но не сохраняет длину ⇒ 𝐴 ∈ / 𝑂(𝑉 3 ). Утверждение 2. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : ‖𝐴𝑢‖ = ‖𝑢‖ ∀𝑢 ∈ 𝑉. Тогда 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Доказательство. Из утверждения 1 пункта 9.2 главы 9 1 (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) = ((𝐴𝑢 + 𝐴𝑣, 𝐴𝑢 + 𝐴𝑣) − (𝐴𝑢, 𝐴𝑢) − (𝐴𝑣, 𝐴𝑣)) = 2 = 1 2 (((𝐴(𝑢 + 𝑣), 𝐴(𝑢 + 𝑣)) − (𝐴𝑢, 𝐴𝑢) − (𝐴𝑣, 𝐴𝑣))) = 1 2 1 2 = (‖𝐴(𝑢 + 𝑣)‖2 − ‖𝐴𝑢‖2 − ‖𝐴𝑣‖2 ) = (‖𝑢 + 𝑣‖2 − ‖𝑢‖2 − ‖𝑣‖2 ) = 1 2 = ((𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) − (𝑢, 𝑢) − (𝑣, 𝑣)) = (𝑢, 𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. 62 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра Утверждение 3 (Критерий ортогональности оператора). Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), тогда 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇔ ‖𝐴𝑢‖ = ‖𝑢‖ ∀𝑢 ∈ 𝑉. Доказательство. Необходимость (⇒): см. утверждение 1. Достаточность (⇐): см. утверждение 2. Примеры. 1. 𝑉 3 , 𝐴 – оператор проектирования на плоскость. 𝐴 не сохраняет длину ⇒ 𝐴 ∈ / 𝑂(𝑉 3 ); 2. 𝑉 3 , 𝐴 – отражение относительно плоскости. 𝐴 сохраняет длину ⇒ 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 3 ); 3. 𝑃𝑛 , (𝑓, 𝑔) = ∫︀1 𝑓 (𝑡)𝑔(𝑡) 𝑑𝑡, 𝐴𝑝(𝑡) = 𝑑 𝑝(𝑡) = 𝑝′ (𝑡). 𝑑𝑡 Пусть 𝑝(𝑡) = 1 ⇒ 𝐴𝑝(𝑡) = 1′ = 0. ‖𝑝(𝑡)‖ = ̸ 0, ‖𝐴𝑝(𝑡)‖ = 0 ⇒ 𝐴 ∈ / 𝑂(𝑃𝑛 ). Утверждение 4. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Тогда Ker 𝐴 = {0}. Доказательство. 𝑣 ∈ Ker 𝐴 ⇔ 𝐴𝑣 = 0 ⇒ ‖𝐴𝑣‖ = 0 ⇒ ‖𝑣‖ = 0 ⇒ Ker 𝐴 = {0}. Утверждение 5. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) – обратимый оператор. Тогда 𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 ). Доказательство. (𝐴−1 𝑢, 𝐴−1 𝑣) = (𝐴(𝐴−1 𝑢), 𝐴(𝐴−1 𝑣)) = (𝑢, 𝑣) ⇒ 𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 ). Утверждение 6. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Тогда ∃𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 ). Доказательство. Из утверждения 4 ⇒ ∃𝐴−1 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), а из утверждения 5 ⇒ 𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 ). Утверждение 7. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . Рассмотрим систему векторов 𝑒′ = {𝐴𝑒1 , 𝐴𝑒2 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 }. Тогда 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇔ 𝑒′ – ортонормированный базис 𝑉 . Доказательство. Необходимость (⇒). Пусть 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Тогда (𝐴𝑒𝑖 , 𝐴𝑒𝑗 ) = (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 ⇒ 𝑒′ – ортонормированный базис 𝑉 . Достаточность (⇐). Пусть 𝑒′ = ⟨𝐴𝑒1 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 , тогда 63 Линейные операторы в евклидовом пространстве 𝑢 = 𝑒𝑋 = 𝑣 = 𝑒𝑌 = 𝑛 ∑︀ 𝑥𝑖 𝑒𝑖 , 𝐴𝑢 = 𝑛 ∑︀ 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 ∑︀ 𝑛 ∑︀ 𝑦𝑖 𝑒𝑖 , 𝐴𝑣 = 𝑖=1 𝑇 Линейная алгебра 𝑥𝑖 𝐴𝑒𝑖 = 𝑒′ 𝑋, 𝑦𝑖 𝐴𝑒𝑖 = 𝑒′ 𝑌. 𝑖=1 𝑇 𝑇 (𝐴𝑢, 𝐴𝑣) = 𝑋 𝐺𝑒′ 𝑌 = 𝑋 𝑌 = 𝑋 𝐺𝑒 𝑌 = (𝑢, 𝑣) ⇒ 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Замечание. Пусть 𝑉 – линейное пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩, 𝑒′ = ⟨𝐴𝑒1 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 ⟩ – базисы 𝑉. ′ Тогда 𝐴𝑒 = 𝑇𝑒→𝑒′ , поскольку 𝑒 = 𝑒𝐴𝑒 . Утверждение 8. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑒 = ⟨𝑒1 , . . . , 𝑒𝑛 ⟩ – ортонормированный базис 𝑉 . Тогда 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇔ 𝐴𝑒 ∈ 𝑂𝑛 . Доказательство. Рассмотрим 𝑒′ = {𝐴𝑒1 , . . . , 𝐴𝑒𝑛 }. 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇔ 𝑒′ – ортонормированный базис. ⇔ 𝑇𝑒→𝑒′ = 𝐴𝑒 ∈ 𝑂𝑛 . 11.2 Соответствие между линейными операторами и билинейными формами в конечномерном евклидовом пространстве Пусть 𝑉 – евклидово пространство, на котором определено скалярное произведение (𝑢, 𝑣), и пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Рассмотрим билинейную форму 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣). Утверждение 1. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝑒 – ортонормированный базис 𝑉 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣). Тогда в базисе 𝑒 матрица формы 𝐵𝐴𝑒 = 𝐴𝑒 . Доказательство. 𝐵𝐴𝑒 = (𝐵𝐴 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 )) = ((𝑒𝑖 , 𝐴𝑒𝑗 )) = (𝑎𝑖𝑗 ) = 𝐴𝑒 . Утверждение 2. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство. Тогда для любой билинейной формы 𝐵(𝑢, 𝑣) в 𝑉 существует единственный линейный оператор 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : 𝐵(𝑢.𝑣) = 𝐵𝐴 (𝑢, 𝐴𝑣). Доказательство. Существование. Выберем в 𝑉 ортонормированный базис 𝑒 и оператор 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : 𝐴𝑒 = 𝐵𝑒 . Тогда если 𝑢 = 𝑒𝑋, 𝑣 = 𝑒𝑌 , то 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝑋 𝑇 𝐵𝑒 𝑌 = 𝑋 𝑇 (𝐴𝑒 𝑌 ) = 𝑋 𝑇 𝐺𝑒 (𝐴𝑒 𝑌 ) = (𝑢, 𝐴𝑣) = 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣). Единственность. Пусть 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : 𝐵(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴1 𝑣) = (𝑢, 𝐴2 𝑣)∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑌 ⇒ 𝐴1 𝑣 = 𝐴2 𝑣∀𝑣 ∈ 𝑉 (см. следствие 2 пункта 10.3 главы 10) ⇒ 𝐴1 = 𝐴2 . Замечание. Утверждение 2 означает, что существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными формами в конечномерном евклидовом пространстве. 64 Линейные операторы в евклидовом пространстве 11.3 Линейная алгебра Сопряженный оператор в конечномерном евклидовом пространстве Определение. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Сопряженным к линейному оператору 𝐴 называется такой линейный оператор 𝐴* , что (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴* 𝑣). Утверждение 1. Для любого линейного оператора в конечномерном евклидовом пространстве существует единственный сопряженный линейный оператор. Доказательство. Пусть 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑉 – конечномерное евклидово пространство. Рассмотрим для формы 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) “транспонированную” билинейную форму 𝐵𝐴𝑇 (𝑢, 𝑣) = = 𝐵𝐴 (𝑣, 𝑢). Существует единственный 𝐴* ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : 𝐵𝐴𝑇 (𝑢, 𝑣) = 𝐵𝐴* (𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴* 𝑣). С другой стороны, 𝐵𝐴𝑇 (𝑢, 𝑣) = 𝐵𝐴 (𝑣, 𝑢) = (𝑣, 𝐴𝑢). Следовательно, (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴* 𝑣), т. е. 𝐴* – сопряженный к 𝐴 оператор. Утверждение 2. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝑒 – базис 𝑉 . Тогда (𝐵𝐴𝑇 )𝑒 = 𝐵𝐴𝑇 𝑒 . Доказательство. (𝐵𝐴𝑇 )𝑒 = (𝐵𝐴𝑇 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 )) = (𝐵𝐴 (𝑒𝑗 , 𝑒𝑖 )) = 𝐵𝐴𝑇 𝑒 . Утверждение 3. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑒 – ортонормированный базис 𝑉 . Тогда 𝐴*𝑒 = 𝐴𝑇𝑒 . Доказательство. 𝑒 – ортонормированный базис ⇒ 𝐴*𝑒 = (𝐵𝐴* )𝑒 = (𝐵𝐴𝑇 )𝑒 = 𝐵𝐴𝑇 𝑒 = 𝐴𝑇𝑒 . Примеры. 1. 𝑉 – евклидово пространство, dim 𝑉 < ∞, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) : 𝐴𝑣 = 𝛼𝑣, 𝛼 ∈ R, 𝛼 ̸= 0. (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝛼𝑢, 𝑣) = 𝛼(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝛼𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣) ⇒ 𝐴* = 𝐴 ⇒ ⇒ 𝐴 – самосопряженный оператор; 2. 𝑉 3 , 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 0 ̸= 𝑎 ∈ 𝑉 3 , 𝐴𝑣 = [𝑣, 𝑎]. (𝐴𝑢, 𝑣) = ([𝑢, 𝑎], 𝑣) = 𝑢 𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣 𝑢 = ([𝑎, 𝑣], 𝑢) = (𝑢, −[𝑣, 𝑎]) = = (𝑢, [𝑣, −𝑎]) = (𝑢, −𝐴𝑣) ⇒ 𝐴* = −𝐴. Утверждение 4. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство. Если 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) – ортогональный оператор, то 𝐴* = 𝐴−1 . Доказательство. dim 𝑉 < ∞, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ⇒ ∃𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 ). (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝐴𝑢, 𝐴𝐴−1 𝑣) = (𝑢, 𝐴−1 𝑣) ⇒ 𝐴* = 𝐴−1 . Пример. 𝑉 2 : 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 2 ) – поворот на 𝛼 против часовой стрелки, тогда 𝐴* = 𝐴−1 ∈ 𝑂(𝑉 2 ) – поворот на 𝛼 по часовой стрелке. 65 Линейные операторы в евклидовом пространстве 11.4 Линейная алгебра Самосопряженный (симметрический) оператор в конечномерном евклидовом пространстве. Определение. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Оператор 𝐴 называется самосопряженным, если 𝐴* = 𝐴, т. е. (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣). Утверждение 1. Оператор 𝐴 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ) в конечномерном евклидовом пространстве является самосопряженным тогда и только тогда, когда соответствующая ему билинейная форма 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) симметрическая. Доказательство. 𝐴 = 𝐴* ⇔ 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣) = (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝑣, 𝐴𝑢) = 𝐵𝐴 (𝑣, 𝑢). Замечание. Самосопряженный оператор также называется симметрическим. Следствие. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝑒 – ортонормированный базис 𝑉 . Тогда 𝐴 – симметрический оператор ⇔ 𝐴𝑇𝑒 = 𝐴𝑒 . Доказательство. 𝐴 – симметрический оператор ⇔ ⇔ 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) – симметрическая форма ⇔ 𝐴𝑒 = 𝐵𝐴𝑒 = 𝐵𝐴𝑇 𝑒 = 𝐴𝑇𝑒 . Теорема 1. Собственные векторы симметрического оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство. Пусть 𝐴 = 𝐴* , 𝑢 ̸= 0, 𝐴𝑢 = 𝛼1 𝑢, 𝑣 ̸= 0, 𝐴𝑣 = 𝛼2 𝑣, 𝛼1 ̸= 𝛼2 . Тогда {︂ (𝐴𝑢, 𝑣) = 𝛼1 (𝑢, 𝑣), ⇒ 𝛼1 (𝑢, 𝑣) = 𝛼2 (𝑢, 𝑣) ⇒ (𝛼1 − 𝛼2 )(𝑢, 𝑣) = 0 ⇒ т.к. 𝛼1 ̸= 𝛼2 , (𝑢, 𝑣) = 0. (𝑢, 𝐴𝑣) = 𝛼2 (𝑢, 𝑣) Теорема 2. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 = 𝐴* ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда все корни характеристического уравнения 𝑓𝐴 (𝜆) = det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0 действительные. Доказательство. Пусть 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽 – комплексный корень 𝑓𝐴 (𝜆) с нетривиальной мнимой частью 𝛽 ̸= 0. Тогда по лемме 1 пункта 7.3 главы 7 ∃𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 : ⎧ {︂ ⎧ ⎨ 𝐴𝑢 = 𝛼𝑢 − 𝛽𝑣, ⎨ (𝐴𝑢, 𝑣) = 𝛼(𝑢, 𝑣) − 𝛽(𝑣, 𝑣), 𝐴𝑣 = 𝛽𝑢 + 𝛼𝑣, (𝑢, 𝐴𝑣) = 𝛽(𝑢, 𝑢) + 𝛼(𝑢, 𝑣), ⎩ ⎩ (𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) ̸= 0, (𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) ̸= 0. (𝐴𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝐴𝑣) ⇒ 𝛼(𝑢, 𝑣) − 𝛽(𝑣, 𝑣) = 𝛽(𝑢, 𝑢) + 𝛼(𝑢, 𝑣) ⇒ ⇒ 𝛽((𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣)) = 0 ⇒ 𝛽 = 0 – противоречие. Следовательно, все корни характеристического уравнения симметрического оператора действительные. 66 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра Теорема 3. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 = 𝐴* ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ), 𝑈 – инвариантное относительно 𝐴 подпространство. Тогда 𝑈 ⊥ является инвариантным относительно 𝐴 подпространством. Доказательство. Пусть 𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ , т. е. (𝑣, 𝑢) = 0 ∀𝑢 ∈ 𝑈 . Тогда ∀𝑢 ∈ 𝑈 (𝐴𝑣, 𝑢) = (𝑣, 𝐴𝑢) = 0, т. к. 𝐴𝑢 ∈ 𝑈 ⇒ 𝐴𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ . Теорема 4. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 = 𝐴* ∈ 𝐿(𝑉, 𝑉 ). Тогда существует собственный ортонормированный базис оператора 𝐴 в пространстве 𝑉 . Доказательство. Докажем индукцией по 𝑛 = dim 𝑉 . 1. Пусть 𝑛 = 1. 𝑉 = 𝐿[𝑣], 𝑣 ̸= 0 ⇒ 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣, 𝜆 ∈ R, 𝑣 – собственный вектор, 𝜆 – собственное значение оператора 𝐴. Следовательно, 𝑔 = ⟨ 𝑣 ⟩ ‖𝑣‖ – собственный ортонормированный базис 𝑉, 𝐴𝑔 = (𝜆); 2. Пусть утверждение теоремы верно для любого 𝑚 < 𝑛. Рассмотрим det(𝐴 − 𝜆𝜖) = 𝑓𝐴 (𝜆). 𝐴 = 𝐴* ⇒ все корни 𝑓𝐴 (𝜆) действительные. Пусть 𝜆1 ∈ R – корень 𝑓𝐴 (𝜆) ⇒ ∃𝑣 – собственный вектор 𝐴 с собственным значением 𝜆1 : 𝑣 ̸= 0, 𝐴𝑣 = 𝜆1 𝑣. 𝑣 Пусть 𝑔1 = ⇒ 𝐿[𝑣] = 𝐿[𝑔1 ] = 𝑈 – одномерное инвариантное относительно 𝐴 ‖𝑣‖ подпространство 𝑉 . ∃𝑈 ⊥ – инвариантное относительно 𝐴 подпространство, dim 𝑈 ⊥ = 𝑛 − 1. По предположению индукции ∃⟨𝑔2 , 𝑔3 , . . . , 𝑔𝑛 ⟩ – собственный ортонормированный базис оператора 𝐴|𝑈 ⊥ в пространстве 𝑈 ⊥ ⇒ ⟨𝑔1 , 𝑔2 , . . . , 𝑔𝑛 ⟩ – собственный ортонормированный базис оператора 𝐴 в пространстве 𝑉 . 𝐴𝑔 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ), где 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 – собственные значения 𝐴. Замечание. Симметрический оператор является оператором простого типа. Для того, чтобы найти собственный ортонормированный базис симметрического оператора, нужно сначала найти его произвольный собственный базис. Векторы этого базиса, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, а его векторы, отвечающие одному и тому же собственному значению, нужно ортогонализовать с помощью процесса Грама – Шмидта. В результате получится собственный ортогональный базис, а после нормирования его векторов – собственный ортонормированный базис. Следствие 1. Пусть 𝐴 ∈ R𝑛×𝑛 : 𝐴𝑇 = 𝐴. Тогда ∃𝑇 ∈ 𝑂𝑛 : 𝑇 𝑇 𝐴𝑇 = 𝑇 −1 𝐴𝑇 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 . . . , 𝜆𝑛 ), где 𝜆𝑖 – корень det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0, 𝑖 = 1, 𝑛. 67 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра Доказательство. Матрицу 𝐴 можно рассматривать как матрицу симметрического оператора в естественном ортонормированном базисе 𝑒 = ⟨𝐸 1 , 𝐸 2 , . . . , 𝐸 𝑛 ⟩ евклидова пространства R𝑛 со скалярным произведением (𝑋, 𝑌 ) = 𝑋 𝑇 𝑌 . ∃𝑔 – собственный ортонормированный базис этого оператора. 𝑇𝑒→𝑔 = 𝑇 ∈ 𝑂𝑛 ⇒ 𝑇 𝑇 = 𝑇 −1 . 𝐴𝑔 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ) = 𝑇 −1 𝐴𝑇 = 𝑇 𝑇 𝐴𝑇. 11.5 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат Теорема 1. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство. Тогда для любой квадратичной формы 𝑄(𝑢) в пространстве 𝑉 существует ортонормированный канонический базис (говорят, что 𝑄(𝑢) приводится к главным осям). Коэффициенты 𝑄(𝑢) определены в любом ортонормированном каноническом базисе однозначно с точностью до перестановки. Доказательство. Пусть dim 𝑉 = 𝑛 < ∞. 𝑄(𝑢) = 𝐵(𝑢, 𝑢), где 𝐵(𝑢, 𝑣) – симметрическая билинейная форма ⇒ 𝐵(𝑢, 𝑣) = 𝐵𝐴 (𝑢, 𝑣) = = (𝑢, 𝐴𝑣), где 𝐴 = 𝐴* – однозначно определенный по форме 𝐵(𝑢, 𝑣), а значит, и по 𝑄(𝑢), симметрический оператор, матрица которого в любом ортонормированном базисе совпадает с матрицей формы 𝑄(𝑢). ∃𝑔 – собственный ортонормированный базис оператора 𝐴. 𝐴𝑔 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ) = 𝐵𝐴𝑔 . В базисе 𝑔 𝑄(𝑢) = 𝜆1 𝑦12 + 𝜆2 𝑦22 + · · · + 𝜆𝑛 𝑦𝑛2 , где 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 – собственные значения оператора 𝐴. Следствие. Пусть 𝑄(𝑢) = 𝑋 𝑇 𝐴𝑒 𝑋 – квадратичная форма, заданная в произвольном базисе 𝑒 𝑛-мерного линейного пространства 𝑉 (𝑢 = 𝑒𝑋, 𝐴𝑒 – матрица 𝑄(𝑢) в базисе 𝑒). Тогда существует базис 𝑔 пространства 𝑉 , в котором 𝑄(𝑢) = 𝜆1 𝑦12 + 𝜆2 𝑦22 + · · · + 𝜆𝑛 𝑦𝑛2 = 𝑌 𝑇 𝐴𝑔 𝑌 (𝑢 = 𝑔𝑌 ), −1 где 𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 – корни det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0, 𝐴𝑔 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ) = 𝑇𝑒→𝑔 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑔 , матрица перехода 𝑇𝑒→𝑔 ортогональна и задает ортогональное преобразование координат −1 𝑇 𝑌 = 𝑇𝑒→𝑔 𝑋 = 𝑇𝑒→𝑔 𝑋. Доказательство. Введем в 𝑉 скалярное произведение, положив 𝐺𝑒 = 𝐸. Тогда 𝑉 станет евклидовым пространством, а 𝑒 – его ортонормированным базисом. Матрица формы 𝐴𝑒 в ортонормированном базисе 𝑒 совпадает с матрицей соответствующего симметрического оператора 𝐴. Существует собственный ортонормированный базис 𝑔 оператора 𝐴, в котором его матрица, а значит, и матрица формы имеют диагональный вид. На диагонали стоят собственные значения оператора 𝐴, т. е. корни характеристического уравнения det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0. 68 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра При этом матрица перехода 𝑇𝑒→𝑔 от ортонормированного базиса 𝑒 к ортонормированному −1 𝑇 базису 𝑔 является ортогональной. 𝑇𝑒→𝑔 ∈ 𝑂𝑛 ⇒ 𝑇𝑒→𝑔 = 𝑇𝑒→𝑔 . −1 𝑇 Следовательно, 𝐴𝑔 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1 , 𝜆2 , . . . , 𝜆𝑛 ) = 𝑇𝑒→𝑔 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑔 = 𝑇𝑒→𝑔 𝐴𝑒 𝑇𝑒→𝑔 , −1 𝑇 𝑋 = 𝑇𝑒→𝑔 𝑋 – ортогональное 𝑄(𝑢) = 𝜆1 𝑦12 + 𝜆2 𝑦22 + · · · + 𝜆𝑛 𝑦𝑛2 , где 𝑢 = 𝑒𝑌 , 𝑌 = 𝑇𝑒→𝑔 преобразование координат. 11.6 Приведение матрицы ортогонального оператора к квазидиагональному (блочно-диагональному) виду Теорема 1. Пусть 𝑉 – конечномерное евклидово пространство, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ), 𝑈 – инвариантное относительно 𝐴 подпространство. Тогда 𝑈 ⊥ – инвариантное подпространство относительно 𝐴. Доказательство. Пусть 𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ ⇔ (𝑢, 𝑣) = 0 ∀𝑢 ∈ 𝑈, dim 𝑈 < ∞, 𝐴|𝑈 ∈ 𝑂(𝑈 ) ⇒ 𝐴|𝑈 невырожденный ⇒ ∀𝑢 ∈ 𝑈 ∃𝑤 ∈ 𝑈 : 𝐴𝑤 = 𝑢 ⇒ ⇒ ∀𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢, 𝐴𝑣) = (𝐴𝑤, 𝐴𝑣) = (𝑤, 𝑣) = 0, т. к. 𝑤 ∈ 𝑈 ⇒ 𝐴𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ . Утверждение 1. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, dim 𝑉[︂ = 1, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). 𝐴𝑒 = (1), Тогда ∃ ортонормированный базис 𝑒: 𝐴𝑒 = (−1). Доказательство. [︂ В ортонормированном базисе 𝑒 матрица ортогонального оператора 𝐴𝑒 ∈ 𝑂1 ⇒ 𝐴𝑒 = (1), 𝐴𝑒 = (−1). Утверждение 2. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, dim 𝑉 = 2, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Тогда если det 𝐴 = 1, ∃ ортонормированный базис 𝑒: (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 𝐴𝑒 = = Π(𝛼), sin 𝛼 cos 𝛼 если det 𝐴 = −1, ∃ ортонормированный базис 𝑓 : (︂ )︂ 1 0 𝐴𝑓 = . 0 −1 Доказательство. В любом ортонормированном базисе 𝑒 матрица 𝐴𝑒 оператора 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ) ортогональна, 𝐴𝑒 ∈ 𝑂2 ⇒ (︂ )︂ ⎡ cos 𝛼 − sin 𝛼 ⎢ 𝐴𝑒 = sin 𝛼 cos 𝛼 , det 𝐴𝑒 = 1, (︂ )︂ ⇒⎢ ⎣ cos 𝛼 sin 𝛼 𝐴𝑒 = , det 𝐴𝑒 = −1. sin 𝛼 − cos 𝛼 (︂ )︂ cos 𝛼 sin 𝛼 Матрица 𝐴𝑒 = – симметрическая (𝐴𝑒 = 𝐴𝑇𝑒 ), следовательно, она являsin 𝛼 − cos 𝛼 ется матрицей симметрического оператора 𝐴 в базисе 𝑒. ∃ собственный ортонормированный базис 𝑓 оператора 𝐴. Найдем собственные значения оператора 𝐴. 69 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра ⃒ ⃒ ⃒cos 𝛼 − 𝜆 ⃒ sin 𝛼 ⃒ = 0 ⇔ −(cos2 𝛼 − 𝜆2 ) − sin2 𝛼 = 0 ⇔ det(𝐴𝑒 − 𝜆𝐸) = 0 ⇔ ⃒⃒ sin 𝛼 − cos 𝛼 − 𝜆⃒ [︂ (︂ )︂ 𝜆 = 1, 1 0 2 2 2 2 ⇔ 𝜆 − (sin 𝛼 + cos 𝛼) = 0 ⇔ 𝜆 = 1 ⇒ ⇒ 𝐴𝑓 = . 𝜆 = −1. 0 −1 Следствие. В двумерном евклидовом пространстве ортогональный оператор является либо оператором поворота, либо оператором отражения. Доказательство. (︂ )︂ cos 𝛼 − sin 𝛼 Матрица 𝐴𝑒 = = Π(𝛼), det 𝐴𝑒 = 1, задает поворот против часовой стрелки sin 𝛼 cos 𝛼 на угол 𝛼, при этом ориентация пространства. (︂ сохраняется )︂ 1 0 , det 𝐴𝑒 = −1, задает отражение относительно прямой, опредеМатрица 𝐴𝑓 = 0 −1 ляемой первым базисным вектором, при этом изменяется ориентация пространства. Теорема 2. Пусть 𝑉 – евклидово пространство, dim 𝑉 = 𝑛 < ∞, 𝐴 ∈ 𝑂(𝑉 ). Существует ортонормированный базис 𝑒 такой, что 𝐴𝑒 имеет квазидиагональный вид, на диагонали стоят либо матрицы вида Π(𝛼), либо −1, либо 1. ⎞ ⎛ Π(𝛼1 ) ⎟ ⎜ Π(𝛼2 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Π(𝛼𝑘 ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟. ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . .. ⎠ ⎝ 1 Доказательство. Докажем индукцией по 𝑛 = dim 𝑉 . [︃ Если 𝑛 = 1, то утверждение теоремы следует из утверждения 1, 1. Если 𝑛 = 2, то утверждение теоремы следует из утверждения 2. 2. Пусть теорема верна для ∀𝑘 < 𝑛. Докажем для 𝑛. В пространстве 𝑉 существует одномерное или двумерное инвариантное относительно 𝐴 подпространство 𝑈 . В нем существует ортонормированный базис 𝑒′ , в котором матрица 𝐴|𝑈 имеет нужный вид. 𝑈 ⊥ является инвариантным относительно 𝐴 подпространством, dim 𝑈 ⊥ < 𝑛 ⇒ в 𝑈 ⊥ существует ортонормированный базис 𝑒′′ , в котором матрица 𝐴|𝑈 ⊥ имеет нужный вид. Рассмотрим ортонормированный базис 𝑒 в 𝑉 , который является объединением ортонормированных базисов 𝑒′ в 𝑈 и 𝑒′′ в 𝑈 ⊥ ⇒ 𝐴𝑒 имеет нужный квазидиагональный вид. 70 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра Следствие 1. В трехмерном евклидовом пространстве ортогональный оператор является либо оператором поворота вокруг некоторой оси, либо оператором зеркального поворота, т. е. композицией поворота вокруг оси и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота. Доказательство. Существует ортонормированный базис 𝑒 = ⟨𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ⟩ пространства, в котором (︂ )︂ ⎡ Π(𝛼) 0 𝐴 = , det 𝐴𝑒 = 1, (1) ⎢ 𝑒 1 ⎢ (︂ )︂ ⎣ Π(𝛼) 0 𝐴𝑒 = , det 𝐴𝑒 = −1. (2) −1 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 0 −1 0 (Здесь учитывается, что = Π(0), а = Π(𝜋)). 0 1 0 −1 Матрица 𝐴𝑒 вида (1) задает поворот на угол 𝛼 против часовой стрелки вокруг оси, направляемой вектором 𝑒3 , не изменяющий ориентацию пространства. Матрица 𝐴𝑒 вида (2) задает зеркальный поворот относительно оси, направляемой вектором 𝑒3 , изменяющий ориентацию пространства. Следствие 2 (Теорема Эйлера). Каково бы ни было непрерывное движение твердого тела с закрепленной точкой, оно сводится к повороту относительно некоторой оси, проходящей через эту точку на некоторый угол. Доказательство. Такое движение твердого тела сохраняет длины радиус-векторов, исходящих из неподвижной точки, следовательно, описывается ортогональным оператором, действующим в трехмерном евклидовом пространстве. Непрерывное движение не изменяет ориентацию пространства, следовательно, оператор не может быть зеркальным поворотом, значит, он является поворотом. 71 Линейные операторы в евклидовом пространстве Линейная алгебра P.S. В версии от 27.05.21 могут не работать ссылки, все замеченные ошибки присылайте на почту [email protected] или в вк/телеграм fuzrodahh. Спасибо! 72