Квадратичная интегральная оценка с учетом производной

Лекция 19   Квадратичная интегральная оценка с учетом производной   Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики  – (а, б, в) могут иметь одинаковые значения  существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса. Рис. 1 Кроме того, часто оказывается, что выбранные по  параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку. Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид – (1) где  – некоторая постоянная времени. Разницу между оценками  и  можно представить графически, как это показано на рис. 2. Рис. 2 То есть оптимизированный по  переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по  – к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением – . Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1). , с учетом того, что , получаем (2) С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной – , квадратичная оценка  будет иметь минимум при (3) Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид – , а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим – , что и требовалось доказать. Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины . Методика определения  может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде – , где  определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя –  увеличивается на 1. В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.   Вычисление квадратичных интегральных оценок   Рассмотрим вычисление и использование квадратичных ошибок на примере. Пример В системе управления с передаточной функцией – , зададим : • из условия , • из условия , и сравним переходные процессы для двух этих случаев. Решение Получим выражение для . Для этого преобразуем передаточную функцию системы к заданному виду , тогда получим (4) Выражение для  принимает вид – (5) Определим компоненты (5) по параметра передаточной функции системы (4). (6) Для нахождения  определим (), при ,  , Заменим в выражении (6) для  первый столбец столбцом вида . Тогда получаем . Определим  – . После подстановки полученных компонент в (5) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки. (5) Найдем выражение для частной производной по  от выражения (5) , приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения . . В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке значение  – (6) Передаточная функция системы при  примет вид – . На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по  параметром. Рис. 3 Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса, (7) Определим  по отработанной выше методике для  – , выражение для  берем из предыдущего случая – . Определим теперь . Передаточная функция системы для этого случая имеет вид – , тогда получим (8) Выражение для  принимает вид – (9) Определим компоненты (9) по параметра передаточной функции системы (8). (10) Определим коэффициенты  – . не определяем, так как . Для нахождения  определим (), при ,  , Заменим в выражении (10) для  второй столбец столбцом вида . Тогда получаем . После подстановки полученных компонент в (9) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки. (11) Окончательно получаем (12) Найдем выражение для частной производной по  от выражения (12) , приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения . . В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке с учетом производной значение  – (13) Полагаем для определенности , тогда . Передаточная функция системы при  примет вид – . На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по  параметром. Рис. 4 Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса, (14) Сравнивая переходные процессы, видим, что при оптимизации по квадратичной оценке с учетом производной () получили существенно меньшие значения перерегулирования и быстродействия, при более плавном нарастании переменной. Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение квадратичной интегральной оценки с учетом производной, поясните ее компоненты. 2. К какому виду стремиться переходный процесс при минимизации интегральной квадратичной оценки с учетом производной? 3. Как вычисляют квадратичную интегральную оценку с учетом производной? 4. Вычислите интегральную квадратичную оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией – , если на вход системе подается единичная ступенчатая функция. Ответ: Интегральная квадратичная оценка . 5. Вычислите интегральную квадратичную с учетом производной оценку переходного процесса в системе с передаточной функцией – , если на вход системе подается единичная ступенчатая функция, а постоянная времени оценки . Ответ: Интегральная квадратичная оценка . 6. Определите параметр регулятора системы управления, обеспечивающий минимум квадратичной оценки Ответ: Параметр пропорционально-интегрального регулятора . Лекция 20   Корневые критерии качества переходных процессов   Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы между интересующими нас входами и выходами системы. Как известна, переходная характеристика системы может быть определена следующим образом – (1) где  – корни характеристического уравнения системы . Очевидно, что на характер переходного процесса оказывает влияние и числитель  и знаменатель  передаточной функции. Но, в большинстве случаев, при анализе систем по реакции на управляющее воздействие,  не имеет корней, то есть передаточная функция не имеет нулей. Тогда характер переходного процесса можно оценить только по полюсам передаточной функции, подвергая тем самым анализу корни характеристического уравнения системы – (2) В случае приближенной оценки качества по корням характеристического уравнения на комплексной плоскости выделяют область расположения корней, границы которой задаются по требованиям к качеству процессов, как это показано на рис. 1. Рис. 1 Границы области, показанной на рис. 1, задаются следующими параметрами: •  – критерий длительности переходного процесса, •  – колебательность переходного процесса, определяется по , •  – максимальное удаление корня от мнимой оси. Рассмотрим эти параметры. Критерий длительности  определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего действительного корня или ближайшей пары комплексно сопряженных корней. Выясним, действительно ли этот параметр характеризует длительность переходного процесса? Возможны два случая расположения корней на границе области. 1. Пусть ближайшим к мнимой оси, то есть лежащий на границе области, будет действительный корень – , тогда соответствующая ему компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид – (3) где  - коэффициент разложения (1). 2. Если ближайшей к мнимой оси будет комплексно-сопряженная пара корней – , тогда соответствующая им компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид – (4) где  - частота колебаний. Из (3) и (4) мы видим, что время затухание компоненты  определяет сомножитель – , где  – величина минимального действительного корня или минимальной действительной части корней,  – соответствующая , наибольшая постоянная времени. Таким образом, можно считать, что переходный процесс системы завершится не раньше, чем затухнет компонента . Следовательно,  определяет длительность переходного процесса, будучи величиной, обратно пропорциональной времени регулирования. Зная , мы можем оценить время регулирования или переходного процесса по следующему соотношению – , где  – половина ширины области, при попадании в которую переходной процесс считается завершенным. Если , а крайний корень действительный, то имеем – . Критерий колебательности  определяется по углу  следующим образом – . где  – соответственно действительная и мнимая части комплексно сопряженной пары корней расположенных на границе области (см. рис. 1). При увеличении  возрастает колебательность системы. Дальнюю от мнимой оси границу области , определяют корни, оказывающие предельно малое влияние на переходный процесс. При прочих равных условиях от системы требую увеличения  и снижения . В качестве примера влияния расположения корней на характер переходных процессов покажем графики, представленные на рис. 2 и 3. Рис. 2 Рис. 3 Если передаточная функция системы имеет нули, то оценка качества системы только по полюсам может дать существенную погрешность. Чтобы пояснить характер влияния нулей на качество переходных процессов, представим систему следующим образом, как это показано на рис. 4. Рис. 4 Конкретизируем задачу, пусть  , а  имеет вид, показанный на рис. 5. При этом рассмотрим два варианта графика: • , • . Из рассмотрения рис. 5 можно сделать вывод, что члены  с положительными коэффициентами приводят к повышению колебательности и быстродействия, а отрицательные коэффициенты затягивают переходный процесс. Рис. 5 В тех случаях, когда требуется получить желаемый вид переходного процесса, используют методы, основанные на связи коэффициентов характеристического уравнения системы или его корней с видом переходного процесса, с заданными динамическими показателями. Рассмотрим характеристическое уравнение вида – (5) Преобразуем (5) (6) По формулам Виета  определяется как сумма всех корней уравнения,  – сумма произведений всех пар корней,  – сумма произведений всех троек корней и т. д., а  определяется как произведение всех корней уравнения – . Теперь, если мы сможем задать расположение корней на комплексной плоскости, исходя из требований качества динамики, то по формулам Виета можно найти значения коэффициентов характеристического уравнения, которые связаны с параметрами системы. Обратим особое внимание на коэффициент , чем больше , то, при прочих равных условиях, больше действительные части корней, следовательно, быстрее переходный процесс. Если корни действительные и кратные, тогда – . Обозначим (7) где  носит название среднегеометрического корня характеристического уравнения. Тогда уравнение (6) с учетом (7) имеет вид – На комплексной площади расположения корней характеристического уравнения  определяет точку на действительной оси – геометрический центр всех корней системы, а коэффициенты  определяют взаимное расположение корней. При этом легко показать, что  определяют кривую переходного процесса в относительном времени , а величина  определяет масштаб времени для этого процесса. На практике рассмотренный выше подход используют следующим образом: 1. Для конкретной системы определяют требуемый вид переходного процесса. 2. Для обеспечения заданных требований выбирают из имеющихся в справочной литературе предварительно рассчитанные значения коэффициентов характеристического уравнения, тем самым выбирается "желаемое" характеристическое уравнение – (8) 3. Определяют характеристическое уравнение по структуре и параметрам системы – (9) где  – коэффициенты, функционально связанные с параметрами системы. 4. Получают систему алгебраических уравнений, приравняв коэффициенты уравнений (8) и (9) при одинаковых степенях оператора Лапласа  – (10) 5. Решают систему (10) относительно изменяемых параметров системы (параметров регуляторов), что позволяет определить параметры, обеспечивающие заданный вид и качество переходного процесса. Описанный выше алгоритм часто называют методом стандартных коэффициентов или стандартного расположения корней характеристического уравнения системы управления. Рассмотрим в качестве иллюстрации два стандартных расположения корней, которые наиболее распространенны в системах управления электромеханическими приводами различных установок. Биномиальное распределение корней Биномиальное распределение корней используют для обеспечения заданного быстродействия при монотонности переходных процессов. Стандартное биномиальное характеристическое уравнение имеет вид – В этом случае имеем кратных действительных корней с отрицательной действительной частью, равной . Вид переходных процессов для  от 1 до 4 показан на рис. 6. Характеристические уравнения для этих случаев имеют вид – Распределение Баттерворта Корректным является сопоставление системы автоматического управления и идеальным фильтром низкой частоты (ФНЧ), когда для полосы пропускания системы (НЧ) требуют максимальной горизонтальности ЛАЧХ, что обеспечивает пропускание без искажений сигналов управления. Для диапазона высоких частот (ВЧ) требуют максимального подавления сигнала, так как это диапазон сигналов помех. Рис. 7 иллюстрирует приближение желаемой характеристики системы к характеристике "идеального" фильтра низкой частоты. Распределение корней по Баттерворту обеспечивает компромисс между этими требованиями, достигая высокой равномерности в полосе пропускания НЧ при приемлемой крутизне характеристики в полосе подавления ВЧ. Рис. 6 Рис. 7 При этом корни характеристического уравнения располагаются на комплексной плоскости, на окружности с радиусом  и угловым расстоянием между корнями – , симметрично относительно действительной оси, как это показано на рис. 8. Рис. 8 Вид переходных процессов для  от 1 до 4 показан на рис. 9. Рис. 9 Характеристические уравнения и параметры переходного процесса для этих случаев имеют вид – Сравнение переходных характеристик показывает, что распределение Баттерворта обеспечивает более высокое, чем биномиальное распределение, быстродействие с малым перерегулированием и колебательностью.   Контрольные вопросы и задачи 1. Как объяснить влияние на переходные процессы корней характеристического уравнения? 2. Какую компоненту переходного процесса дает отрицательный действительный корень характеристического уравнения? 3. Какие компоненты переходного процесса дают комплексно сопряженные корни характеристического уравнения? 4. Что определяют корни характеристического уравнения ближе всего расположенные к мнимой оси комплексной плоскости? 5. Как связана с быстродействием системы величина среднегеометрического корня характеристического уравнения? 6. Какое влияние оказывает на переходный процесс нули передаточной функции? 7. В каких случаях следует использовать на настройки системы биномиальное распределение корней характеристического уравнения? 8. В каких случаях следует использовать на настройки системы распределение корней характеристического уравнения Баттерворта? 9. Определите коэффициенты характеристического уравнения с биномиальным распределением корней для системы управления третьего порядка, если требуемое время регулирования . Ответ: Желаемое характеристическое уравнение имеет вид – . 10. Определите коэффициенты характеристического уравнения с распределением корней по Баттерворту для системы управления четвертого порядка, если требуемое время регулирования . Ответ: Желаемое характеристическое уравнение имеет вид – . Лекция 21   Определения и задачи идентификации математических моделей   Идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении их структуры и параметров по наблюдаемым данным – входному воздействию и выходным величинам. В этом случае объект (элемент системы, объект управления, элемент технологического процесса и т. п.) представляет собой "черный ящик". Исследователю необходимо, подвергая объект внешним воздействиям и анализируя его реакции, получить математическую модель (описание его структуры и параметров), то есть превратить "черный ящик" в "белый ящик", добиться его "информационной прозрачности". Графически процесс идентификации иллюстрирует рис. 1. Рис. 1 Важным моментом этого процесса является выбор точек приложения внешних воздействий и сбор информации о реакциях объекта, то есть размещение управляющих устройств и датчиковых систем. Решается при идентификации объектов и более простая (относительно простая) задача, это задача идентификации параметров, когда заранее известна структура математической модели объекта, но не известны ее параметры. В этом случае говорят о переходе от "серого ящика" к "белому ящику". Графически процесс идентификации параметров иллюстрирует рис. 2. Рис. 2 Задача идентификации параметров может либо входить компонентом в общую задачу идентификации объекта, либо решаться самостоятельно. Рассмотрим на обобщенной структуре и процедуре процесса идентификации основы подхода к решению задач идентификации. Обобщенная структура процесса идентификации показана на рис. 3. Обобщенная процедура идентификации 1. Классификация объекта. 2. Выбор для определенного класса объекта настраиваемую модель, то есть модель, структуру и параметры которой можно менять в процессе идентификации. 3. Выбрать критерий (оценку) качества идентификации, характеризующий в виде функционала доступных для наблюдения переменных отличие модели и объекта. 4. Выбрать алгоритм идентификации (механизм настройки модели), обеспечивающий сходимость процесса идентификации, минимум критерия качества идентификации. Рис. 3 Методы идентификации принято разделять на две группы: • активная идентификация – идентификация вне контура управления, • пассивная идентификация – идентификация в контуре управления. Активная идентификация В этом случае объект исследования выводится из условий нормальной окружающей среды (нормальный режим эксплуатации, номинальные параметры рабочего режима и т. п.). Исследования проводятся в специализированных лабораторных условиях, как это показано на рис. 4. На входы объекта (рабочие и дополнительные) подаются тестовые сигналы специального вида. Это могут быть: • ступенчатые и импульсные временные сигналы, • гармонические сигналы, • случайные воздействия с заданными параметрами. Активную идентификацию используют при разработке новых технологий применительно к действующим промышленным объектам, в изучении новых явлений, в первоначальной разработке математической модели. Пассивная идентификация При пассивной идентификации объект функционирует в контуре управления, находится в процессе нормальной эксплуатации. На его входы поступают только естественные сигналы управления. Пассивную идентификацию используют для уточнения математической модели, для слежения за изменениями в объекте. Информация оперативно используется в системе управления объектом, процесс такой идентификации иллюстрируется рис. 5. Рис. 4 Рис. 5 Кроме перечисленных групп методов реализуются и системы идентификации смешанного типа, когда объект не выводится из нормального режима эксплуатации, но к управляющим сигналам добавляются тестовые воздействия, позволяющие идентифицировать объект, не ухудшая качества основного процесса управления. Более подробно рассмотрим активную идентификацию. Активная идентификация объектов управления может производиться как во временной области, так и в частотной области. При этом В каждой области используют собственные алгоритмы и методы идентификации. При активной идентификации в большинстве случаев используют полученные в результате экспериментов характеристики: • частотные характеристики (АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ и др.), • временные характеристики (ступенчатое изменение задания, "узкий" импульс задания и др.). Рассмотрим в качестве примера один из подходов решения задачи идентификации структуры и параметров объекта в частотной области. Ограничим рассмотрение объектом с одним входом и одним выходом. Мы знаем, что если имеется математическая модель такого объекта в виде передаточной функции – (1) то это соответствует наличию полной информации о структуре и параметрах объекта, всех его характеристиках. Преобразуем передаточную функцию (1) к полюсно-нулевому представлению, форме Боде – (2) где  – коэффициент усиления (),  – соответственно полюсы и нули передаточной функции. Если среди корней () встречаются комплексно сопряженные пары корней, то разложение (2) необходимо дополнить сомножителями следующего типа – . Предполагая для простоты изложения отсутствие комплексно сопряженных корней, можно преобразовать (2) к следующему виду – (3) где . По выражению для передаточной функции в виде (3) получим частотную характеристику объекта – , ЛАЧХ – (4) ЛФЧХ – (5) С другой стороны, нам известно, что ЛАЧХ и ЛФЧХ динамических звеньев с передаточными функциями – имеет вид, показанный на рис. 6, так как звенья являются соответственно форсирующим и апериодическим динамическими звеньями первого порядка. Рис. 6 Исходя из изложенного материала, можно предложить следующую процедуру активной идентификации структуры и параметров линейной системы с одним входом и одним выходом: 1. В процессе эксперимента с объекта снимается частотная характеристика в виде ЛАЧХ и ЛФЧХ. 2. Полученная экспериментально ЛАЧХ аппроксимируется кусочно-линейной криво1 – набором отрезков (асимптот) с целочисленным наклоном кратным . 3. По наклону асимптот и частотам сопряжения асимптот определяется передаточная функция объекта в виде произведения передаточных функций соответствующих асимптотам элементарных динамических звеньев (апериодических и форсирующих). При наличии в полученной ЛАЧХ и ЛФЧХ признаков звеньев второго порядка, то есть асимптот с наклоном кратным , необходимо ввести такие звенья в модель. Колебательное звено с передаточной функцией – , имеет ЛАЧХ и ЛФЧХ, показанные на рис. 7. Рис. 7 Форсирующее звено второго порядка с передаточной функцией , имеет ЛАЧХ (ЛФЧХ) симметричные показанным на рис. 7 характеристикам колебательного звена относительно оси частот. Рассмотрим пример идентификации по рассмотренной процедуре. Пример По экспериментально полученной ЛАЧХ объекта определить передаточную функцию. Решение Аппроксимируем экспериментальную ЛАЧХ набором асимптот, как это показано на рис. 8. Рассмотрим теперь участки аппроксимированной ЛАЧХ, на которых наклон не изменяется: 1. . На этом интервале виду асимптоты соответствует ЛАЧХ интегрирующего звена, его передаточная функция –  . Этому звену соответствует следующее выражение ЛАЧХ – . Используем последнее выражение для определение , подставив значение характеристики при частоте  . Рис. 8   2. . На этом интервале наклон асимптоты возрос на 20 дБ/дек, что соответствует добавлению апериодического звена первого порядка с передаточной функцией –  , где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот – . 3. . На этом интервале наклон асимптоты уменьшился на 20 дБ/дек, что соответствует добавлению форсирующего звена первого порядка с передаточной функцией –  , где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот – . 4. . На этом интервале наклон асимптоты возрос на 20 дБ/дек, что соответствует добавлению апериодического звена первого порядка с передаточной функцией –  , где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот – . Перемножая полученные передаточные функции, получим передаточную функцию объекта – . Контрольные вопросы и задачи 1. Дайте определение процессу идентификации объекта, идентификации параметров. 2. Какие методы относят к методам пассивной идентификации? 3. Какие методы относят к методам активной идентификации? 4. Поясните процедуру идентификации параметров объекта управления по его экспериментальной ЛАЧХ. 5. Асимптотическая ЛАЧХ объекта имеет вид – Определите передаточную функцию объекта. Ответ: . 6. Асимптотическая ЛАЧХ объекта имеет вид – Определите передаточную функцию объекта. Ответ: . 7. Асимптотическая и точная ЛАЧХ динамического звена имеет вид – Определите передаточную функцию звена. Ответ: .