Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов

Тема 5.1. Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов Иметь представление о деформациях при кручении, о внутрен­них силовых факторах при кручении. Уметь строить эпюры крутящих моментов. Деформации при кручении Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол , называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол , называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1). Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются. Связь между угловыми деформациями определяется соотношением где  – углом сдвига;  – углом закручивания; l– длина бруса; R– радиус сечения. Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следовательно,. Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах. Гипотезы при кручении 1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси. 2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется). 3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются. Внутренние силовые факторы при кручении Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил. Момент этой пары называется скручивающим. Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круг­лого бруса (рис. 26.1). Для этого воспользуемся методом сечений: рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части. Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса про­тив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ (рис. 26.16). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом dm =dQ; гдеdQ – элементарная поперечная сила;  — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю: . С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом: Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса. Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1в): т. е. –т + Mz = 0; Mz = т = Мк. Эпюры крутящих моментов Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса. Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае момент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2). Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно. Примеры решения задач Пример1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, которая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распре­деляются следующим образом: Р2 = 8 кВт, Рз = 3 кВт, Р4= 1 кВт, вал вращается с постоянной скоростью  = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу. Дано: Р1 =12 кВт, Р2 = 8 кВт, Рз = 3 кВт, Р4= 1 кВт,  = 25 рад/с. Решение 1. Определяем моменты пар сил на шкивах. Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении Р =m∙m = P/. Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противоположное направление. Брус скручивается между движущим моментом и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления: , , m1 = m2 + m3 + m4= 320 + 120 + 40 = 480 Hм 2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений. СечениеI (рис. 26.4а): –m4 + Mк1 = 0; Mк1 = m4; Mк1 = 40Hм – крутящий момент отрицательный Сечение II (рис. 26.46) –m4–m3 + Mк2= 0; Mк2 = m4+ m3; Mк2 =40+120 =160 Нм– крутящий момент отрицательный Сечение III (рис. 26.46) –m4–m3 + m1 - Mк3= 0; –Mк3= m4+ m3–m1; Mк3=40+120 – 480 =-320Нм– крутящий момент положительный Сечение IV: Mк4 =–m4–m3 + m1 –m2= 0; Mк4 = –40 – 120 +480 – 320 = 0 3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту. Выбираем соответствующий масштаб. Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, обводим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участке III Мк3 = 320 Нм. Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). m1 = 280 Нм; m2= 140 Нм; m3 = 80 Нм. Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным рас­положением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значений. 1 вариант: m0 = m1 + m2+ m3 = 280 + 140 + 80 = 500 Нм Мк1 = m3 = 80 кН Мк2 = m3 + m2 = 140 + 280 = 220кН Мк3 = m3 + m2 + m1 = 80 + 140 + 280 = 500кН 2 вариант: m0 = m1 + m2-m3 = 280 + 140 - 80 = 340 Нм Мк1 = m2 = 140кН Мк2 = m2 + m1 = 280 + 140 = 420кН Мк3 = m2 + m1 – m0 = 280 + 140 - 340 = 80кН 3 вариант: самостоятельно Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес. Из представленных вариантов наиболее рационально расположение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих момен тов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево. Первый вариант: Мкmax = 500 Нм. Второй вариант: Мкmax= 420 Нм. Третий вариант: Мкmax = 280 Нм. Контрольные вопросы и задания Тема 5.1. Кручение. Внутренние силовые факторы при кручении. Построение эпюр крутящих моментов 1. Какие деформации возникают при кручении? 2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения? 3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания? 4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении? 5. Что такое рациональное расположение колес на валу? 6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую эпюру крутящих моментов (а, б, в), m1 = 40Нм; m2 = 180Нм; m0 = 280 Нм. Рис. 26.6 7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу для уменьшения нагрузки на вал (рис. 26.7)? Варианты ответов: а) m0; m1; m2; m3; m4; б) m2; m3; m0; m4m1; в) m3; m4; m0; m1; m2; г) m4; m3; m0; m1; m2. Тема 5.2. Кручение. Напряжения и деформации при кручении Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении. Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении. Условие прочности. Напряжения при кручении Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхно­сти после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол , продольные линии искривляются, прямоугольники превращают­ся в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации. При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечении. При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16). При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г). Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига. Закон Гука при сдвиге  = G, где G – модуль упругости при сдвиге, Н/мм2;  – угол сдвига, рад. Напряжение в любой точке поперечного сечения Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2). где — касательное напряжение; dA — элементарная площадка. В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лек­цию 26). Элементарный момент силы dQ относительно центра круга где — расстояние от точки до центра круга. Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов: После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения: При  = 0,к = 0; касательное напряжение при кручении про­порционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp называется полярным моментом инерции сечения.Jp является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию. Анализ полученной формулы для Jp показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения. Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3) Мк – крутящий момент в сечении; в – расстояние от точки В до центра; в – напряжение в точке В; кmax – максимальное напряжение при кручении. Максимальные напряжения при кручении Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряжение, учитывая, что mах= d/2, гдеd — диаметр бруса круглого сечения. Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле. Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем Обычно Jp/mах обозначают Wp и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу где кmax – максимальное напряжение при кручении; Мк – крутящий момент в сечении; Wp – момент сопротивления при кручении. Для круглого сечения Для кольцевого сечения Условие прочности при кручении Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности где кmax – максимальное напряжение при кручении; Мк – крутящий момент в сечении; Wp – момент сопротивления при кручении; [к] – допускаемое напряжение кручения. Виды расчетов на прочность Существует три вида расчетов на прочность: 1. Проектировочный расчет – определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении: Откуда где [к]– допускаемое напряжение кручения. 2. Проверочный расчет – проверяется выполнение условия прочности где где к – напряжение при кручении; Мк – крутящий момент в сечении; Wp – момент сопротивления при кручении; [к] – допускаемое напряжение кручения. 3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента) где Мк – крутящий момент в сечении; Wp – момент сопротивления при кручении; [к] – допускаемое напряжение кручения. Расчет на жесткость При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом m (рис. 27.4). При кручении деформация оценивается углом закручивания: Здесь — угол закручивания; L – длина бруса; R – радиус сечения.R= d/2. Откуда Закон Гука имеет вид к = G, где G – модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; – угол сдвига, рад. Подставим выражение для , получим откуда Произведение GJp называют жесткостью сечения. Модуль упругости можно определить, какG = 0,4Е. где Е – модуль упругости, характеризует жесткость материала. Для сталей Е = (2…2,1)  105 МПа. Для стали G = 0,8  105 МПа. Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) 0. Условие жесткости при кручении можно записать в виде где 0 — относительный угол закручивания, 0 = /l; [0] 1град/м = 0,02рад/м – допускаемый относительный угол закручивания; Мк – крутящий момент в сечении; G = 0,8  105 МПа – модуль упругости при сдвиге для стали; Jp – полярный момент инерции Задача Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт, если угловая скорость равна 30 рад/сек. Материал вала – сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [0] = 0,02 рад/м, модуль упругости при сдвиге для стали G = 0,8  105 МПа. Дано Р = 63 кВт – мощность;  = 30 рад/сек – угловая скорость; [к] = 30 МПа –допускаемое напряжение кручения; [0]= 0,02 рад/м – допускаемый относительный угол закручивания; G = 0,8  105 МПа – модуль упругости при сдвиге для стали Решение: 1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность. Условие прочности при кручении: где кmax – максимальное напряжение при кручении; Мк – крутящий момент в се­чении; Wp – момент сопро­тивления при кручении; [к] – допускаемое напряжение кручения. Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении: Мвр = Мк Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении: откуда Далее значения подставляются в Ньютонах и мм: Определяем диаметр вала для круглого сечения: 2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость. Условие жесткости при кручении: Из условия жесткости определяем момент инерции при кручении: Определяем диаметр вала: 3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость. Для обеспечения прочности и жёсткости одновременно двух найденных значений выбираем большее. Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел (приложение 2). Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение вала dвала = 75 мм. Контрольные вопросы и задания Тема 5.2. Кручение. Напряжения и деформации при кручении 1. Как называется напряженное состояние, возникающее при кручении круглого бруса (вала)? 2. Напишите закон Гука при сдвиге. 3. Чему равен модуль упругости материала при кручении для стали? В каких единицах он измеряется? 4. Какая связь между углом сдвига и углом закручивания? 5. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения? 6. Напишите формулу для расчета напряжения в любой точке поперечного сечения. 7. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина? В каких единицах измеряется? 8. Напишите формулу для расчета полярного момента инерции для круга. 9. Напишите формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза? 10. Почему для деталей, работающих на кручение, выбирают круглое поперечное сечение? 11. В чем заключается расчет на прочность? 12. В чем заключается расчет на жесткость? 13. По величине допускаемых крутящих моментов сравнить не- сущую способность двух валов из одинакового материала, имеющих примерно одинаковую площадь поперечных сечений с = 0,55 (рис. 27.5). Сравнение провести по формуле: [Мк] = [k]Wр. Ответьте на вопросы тестового задания Тема 5.2. Кручение. Напряжения и деформации при кручении 1. Какими буквами принято обозначать деформацию при кручении?  1 l 2  3  4 2. Выбрать пропущенную величину в законе Гука при сдвиге  =  1  = Е 2  = G 3  = Wp 4 3. Как распределяется напряжение в поперечном сечении бруса при кручении? А 1 Б 2 В 3 Г 4 4. Как изменится максимальное напряжение в сечении при кручении, если диаметр бруса уменьшится в 3 раза? Уменьшиться в 3 раза 1 Уменьшиться в 9 раз 2 Увеличиться в 9 раз 3 Увеличиться в 27 раз 4 5. Образец диаметром 40 мм разрушился при крутящем моменте 230 Нм. Определить разрушающее напряжение. 6,75 МПа 1 18 МПа 2 21,25 МПа 3 32,75 МПа 4