Кручение

Лекция 4 4.4. Кручение Кручение - это такой вид нагружения, когда из шести внутренних силовых факторов в поперечном сечении стержня возникает только один - крутящий момент ( M x ). Стержень, работающий на кручение, называют валом. 4.4.1. Эпюры внутреннего силового фактора При расчете вала на прочность и жесткость необходимо знать значение внутреннего крутящего момента на каждом силовом участке, то есть иметь эпюру крутящих моментов ( M x ). Рассмотрим на примере (рис. 4.17) порядок построения эпюры M x . В данном примере вращающий момент M 2 подводится к валу от шкива 2 ременной передачи и снимается с вала через передающие шкивы 1, 3 на другие валы механизма. Пусть M 1 = 1 кНм, M 2 = 3 кНм, M 3 = 2 кНм. Для построения эпюры необходимо знать все внешние нагрузки (параграф 4.2.1.). Если моментами сопротивления, которые возникают в опорах (подшипниках) за счет сил трения пренебречь как несоизмеримо малыми по сравнению с М1, М2, М3, то все внешние нагрузки известны. Далее выделяем силовые участки. Участки ограничиваются сечениями, в которых приложены внешние сосредоточенные моменты. Следовательно, имеем три участка: АС, СD, DК. Эпюра строится по аналитическим выражениям, полученным на основе метода сечений, для M x на каждом силовом участке. При записи выражения для внутреннего момента необходимо соблюдать правило знаков: если на исследуемую часть вала посмотреть со стороны сечения, то внешний момент, действующий против часовой стрелки, будет создавать положительный внутренний момент. Рассмотрим участок АС (0 £ x1 £ a + b). Начало координат расположим в точке А. Тогда из условия равновесия части вала длиной x1 имеем M x1 = - M 1 = -1 кН×м. (4.28) Из выражения (4.28) следует, что на участке АС внутренний момент - постоянный и отрицательный. Участок CD (0 £ x2 £ c). Начало координат перенесем в точку С, но исследовать будем всю левую часть до сечения x2 : M x2 = - M1 + M 2 = 2 [кНм]. Внутренний момент на участке СD - постоянный и положительный. На участке DК удобнее сделать сечение на расстоянии x3 от точки К (начало координат в точке К) и исследовать равновесие правой части вала длиной x3 . Участок КD (0 £ x3 £ a ). M x3= 0 , так как на длине x3 внешние моменты отсутствуют. По полученным выражениям для M x строим эпюру (см. рис. 4.17), из которой следует, что наиболее нагруженными будут сечения вала на участке СD. На эпюре M x резкое изменение значения момента (скачок) имеет место в тех сечениях, в которых приложены сосредоточенные внешние моменты. Причем величина скачка должна быть равна соответствующему моменту. Это следует иметь в виду при проверке правильности построения эпюры. 4.4.2. Деформации и перемещения Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения радиусом r, заделанный одним концом и нагруженный вращающим моментом М на другом конце (см. рис. 4.18). Если на боковую поверхность ненагруженного вала нанести сетку (рис. 4.18,а), образованную окружностями и продольными линиями, то ячейка такой сетки будет прямоугольной. После приложения внешнего момента ячейка получит геометрические искажения (рис. 4.18,б), соответствующие искажениям при сдвиге (см. рис. 4.15). Следовательно, кручение по своей физической сущности - это сдвиг смежных плоских сечений друг относительно друга, приводящий к взаимному повороту отстоящих на некотором расстоянии поперечных сечений. Таким образом, получается, что плоские поперечные сечения остаются плоскими и после приложения крутящего момента; радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми; расстояние между поперечными сечениями после нагружения вала не изменяются. Выразим аналитически взаимосвязь между деформацией и перемещением. В соответствии с принятыми допущениями образующая АD цилиндрического стержня после приложения момента займет новое положение – АD1 (рис. 4.19). При этом угол g r (угол сдвига) определяет угловую деформацию смежных сечений на поверхности вала, а угол j (угол поворота) показывает, насколько крайнее правое сечение повернулось относительно сечения в заделке, отстоящее на расстоянии l, то есть j - это угловое перемещение. Выделим сечениями I-I и II-II элемент длиной dx , расположенный на расстоянии х от заделки. Из рис. 4.19 видно, что сечения I-I и II-II имеют относительный сдвиг g r и взаимный угол поворота dj . Если из треугольников C1BC и С1ОС выразить дугу CC1 и приравнять, то получим следующее соотношение: dxg r = r × dj, (4.29) из которого угол сдвига на поверхности выразится через взаимный угол поворота сечений как dj . (4.30) dx Из (4.30) следует, что угол сдвига зависит от радиуса цилиндрического стержня. Для элемента длиной dx с радиусом r × (0 £ r £ r ) угловая деформация, в соответствии с (4.30), запишется в следующем виде: dj gr = r , (4.31) dx dj здесь = q - относительный угол закручивания. dx gr = r 4.4.3. Напряжения в поперечном сечении Внутренний сосредоточенный момент M x , лежащий в плоскости поперечного сечения вала, можно выразить через касательные напряжения, которые, согласно закону Гука, при сдвиге (4.27) связаны с деформацией tr = Gg r (4.32) или, с учетом (4.31), dj tr = G r . (4.33) dx Тогда элементарный внутренний момент (см. рис. 4.20) dM = tr × dA × r , где dA - площадь элементарной площадки, лежащей в сечении вала на расстоянии ρ от центра тяжести сечения; t r d A - элементарная окружная сила. Суммируя элементарные моменты по площади сечения, получаем выражение для внутреннего сосредоточенного момента M x = ò tr × r × dA A или, с учетом (4.33), M x = òG A dj 2 × r × dA . dx dj постоянно для всех точек сечения, то dx dj 2 Mx =G ò r × dA . dx A Так как произведение G Интеграл ò r2 dA = I r представляет собой геометрическую харакA теристику поперечного сечения и носит название полярного момента инерции сечения. Таким образом, dj Mx = G Iρ , (4.34) dx откуда dj M x = . (4.35) dx GI r Произведение GIr называется жесткостью сечения стерж- ня при кручении. Подставим (4.35) в (4.33) и получим выражение для касательного напряжения Mx ×r , (4.36) Ir из которого следует, что напряжения вдоль радиуса изменяются по линейному закону и наибольшее напряжение при кручении возникает на периферии сечения: tr = t max = tr = r = Mx ×r , Ir или Mx , Wr t max = где Wr = Ir = Ir - геометрическая характеrmax r ристика сечения, которая называется полярным моментом сопротивления. На рис. 4.21 представлена эпюра касательных напряжений, построенная в соответствии с зависимостью (4.36), для точек, лежащих на диаметре KL. Из эпюры видно, что наиболее нагруженными будут точки, лежащие на максимальном удалении от центра тяжести сечения. В центре тяжести напряжения равны нулю M ( tr = 0 = x × 0 = 0 ). Ir 4.4.4. Геометрические характеристики сечения Полярный момент инерции I r = ò r2 × dA . A Для сечения круглой формы (рис. 4.22) dA = 2pr × dr. Тогда pr 4 pd 4 , Ir = 2p ò r × dr = = (4.37) 2 32 где d - диаметр сечения. Если в стержне имеется центральное отверстие диаметром d , а наружный диаметр вала равен D, то полярный момент инерции r 3 кольцевого сечения pD 4 d4 I r = 2p ò r × dr = (1 - 4 ). 32 D d/2 Полярные моменты сопротивления будут равны: D/2 3 (4.38) для сплошного сечения pd 3 = , 16 (4.39) pD 3 d4 (1 - 4 ) . 16 D (4.40) Wr для кольцевого сечения Wr = 4.4.5. Условие прочности Условие прочности ограничивает максимальные напряжения в наиболее нагруженном поперечном сечении вала ( t max ) максимально допускаемыми напряжениями [t] для конкретного материала: τ max = M рас Wρ £ [t ], (4.41) где M рас - расчетный внутренний момент (момент в наиболее нагруженном сечении); [τ] = здесь τ пред τпред , n - предельное напряжение для конкретного материала. Для пластичного - это предел текучести, для хрупкого - предел прочности. Эти характеристики определяются экспериментально (см. параграф 4.2.7); n - коэффициент запаса прочности (см. параграф 4.2.3). 4.4.6. Расчет перемещений и условие жесткости Угловое перемещение (взаимный угол поворота dj ) сечений, отстоящих на расстоянии dx (см. рис. 4.19) может быть определено из выражения (4.35) M × dx dj = x . G × Ir Тогда взаимный угол поворота сечений, отстоящих на расстоянии x (см. рис. 4.19), равен x M x × dx . G × I r j= ò (4.42) Если крутящий момент M x , момент инерции сечения I r и модуль сдвига G постоянны на участке длиной x, то M ×x j= x . G × Ir (4.43) Для рассматриваемого вала (см. рис. 4.19) угол поворота крайнего правого сечения относительно сечения в заделке выразится согласно (4.43) Ml j= . (4.44) G × Ir При скачкообразном изменении по длине вала крутящего момента (см. рис. 4.17) угол поворота между его начальным и конечным сечениями определяется как сумма углов поворота по участкам с постоянным внутренним крутящим моментом M x : n M x li i j= å . (4.45) G × I i =1 r Условие жесткости накладывает ограничение на взаимный угол поворота крайних сечений наиболее деформированного участка вала j max и имеет вид а в относительных величинах jmax £ [j], (4.46) qmax £ [q]. (4.47) æjö - максимальный относительный угол повоЗдесь qmax = ç ÷ è l ø max рота среди участков вала; [j] и [q]- соответственно максимально допускаемый абсолютный и относительный углы поворота для конкретного материала. 4.4.7. Расчеты на прочность и жесткость Как было отмечено выше (см. параграф 4.2.6), на основе условий прочности и жесткости могут решаться три типа задач: проверочный расчет, проектный расчет и расчет максимально допустимых нагрузок. Рассмотрим пример проектного расчета. Пример. Определить диаметр вала постоянного поперечного сечения (см. рис. 4.23,а). Дано: [τ] = 70МПа; [θ] = 2град/м; M 2 = 2,5кН × м ; M 2 = 1,5кН × м; M 3 = 1кН × м; a = 0,1м; b = 0,2м; G = 8 ×104 МПа. Определить диаметр вала из условия прочности и условия жест- кости, взяв за проектное значение диаметра его наибольшую величину. Решение. Запишем условие прочности для наиболее нагруженного сечения, положение которого найдем из эпюры крутящих моментов. Порядок построения эпюры M x представлен в параграфе 4.4.1, согласно которому начинаем с определения всех внешних моментов. Для этого используем уравнение равновесия - сумму внешних моментов относительно оси х: å mx = M A - M1 - M 2 + M 3 = 0, из которого находим M A = M 1 + M 2 - M 3 = 3 кН×м. Далее выделяем силовые участки АВ, ВС, СК, KL и, используя метод сечений, для каждого участка записываем выражения внутреннего момента M x . Участок АВ (0 £ x1 £ a ) : M x1 = M A = 3 кН×м. Участок ВС (0 £ x2 £ b ), начало координат переносим в начало участка: M x2 = M A - M 1 = 0,5 кН×м. Участок СК (0 £ x3 £ b ) : M x3 = M A - M 1 - M 2 = -1 кН×м. На участке KL внутренний момент равен нулю. На основе полученных выражений для M x строим эпюру (см. рис. 4.23,б), из которой видно, что наиболее нагруженными будут сечения на участке АВ . Следовательно, расчетный момент - M рас = 3 кН×м, тогда минимальное значение диаметра вала, удовлетворяющее условию прочности (4.41), будет равно 16 × M рас 16 × 3 =3 = 0,06 м. d1 = 3 π × [τ] 3,14 × 70 × 103 Второе значение диаметра d 2 , определим из условия жесткости, которое необходимо записать для наиболее деформируемого участка вала. Положение такого участка наглядно отразится на эпюре углов поворота, хотя для вала, имеющего по всей длине постоянный диаметр, данный участок будет соответствовать части стержня с наибольшим внутренним крутящим моментом. Для наглядности построим эпюру j углов поворота сечений. Участками будут части стержня, для которых внутренний крутящий момент, полярный момент инерции и модуль сдвига постоянны. Для заданной схемы – это АВ, ВС, СК, KL. Участок АВ (0 £ x1 £ a ) . Угол поворота сечения x1 относительно сечения А M x1 × x1 . (4.48) j x1 A = G × Ir Из выражения (4.48) видно, что угол поворота на участке АВ изменяется по линейному закону, то есть для построения эпюры достаточно рассчитать значение j x1 A в начале и в конце участка: j x1 ( x1 = 0) = j AA = j x1 A( x1 = a ) = j BA = 3× 0 = 0; 8 × 10 7 × I r 3 × 0,1 0,375 . = 8 ×10 7 × I r 108 I r jBA - угол поворота сечения В относительно А. Участок ВС (0 £ x2 £ b ) . Угол поворота сечения x2 относительно А M x2 × x2 ; j x2 A = j BA + j x2 B = j BA + G × Ir j x 2 A( x 2 = b ) j x2 A( x2 = 0) = j BA ; M x2 b 0,375 0,5 × 0,2 0,5 = j BA + = jCA = 8 + = . G × Ir 10 I r 8 ×10 7 I r 108 × I r Участок СК (0 £ x3 £ b ) : j x3 A = jCA + j x3C ; j x3 A( x3 = 0) = jCA ; j x3 A( x3 = b) = jCA + M x3 × b G × Ir = j KA = Участок KL (0 £ x4 £ a ) : 0,5 0,25 - 1 × 0,2 . = + 108 × I r 8 ×10 7 108 × I r j x4 A = j KA + j x4 K ; j x 4 A( x4 = 0) = j KA ; M x4 a 0,25 0,25 . + = G × Ir 108 I r 108 I r По полученным значениям для j строим эпюру (см. рис. 4.23,в), из которой видно, что наибольший относительный угол поворота q BA будет на участке АВ: j 0,375 q BA = BA = 7 . a 10 I r Поэтому условие жесткости запишем для этого участка как j x4 A( x4 = a ) = j KA + = j KA = q BA £ [q] . Размерность θ BA мерности. (4.49) рад град , а [θ] . Приведем [q] к той же разм м π рад = 0,0349 ; 180 м тогда условие (4.49) запишется как 0,375 £ 0,0349, 10 7 × I r [θ] × (4.50) pd 4 из выражения (4.50), определяем d 2 : учитывая, что I r = 32 0,375 × 32 d2 ³ 4 7 = 0,057 м. 10 × 3,14 × 0,0349 Окончательно принимаем диаметр вала d1 = 0,06 м, полученный по условию прочности, так как он больше.