Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола

Чернышева Л.Р. ИжГТУ ЛЕКЦИЯ 6. Кривые второго порядка. Содержание. 1. Кривые второго порядка. 2. Понятия и уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Кривые второго порядка. Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению: Ax2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 , (1) где А, В, С, D, E, F – коэффициенты уравнения. В зависимости от значений коэффициентов уравнение (1) в произвольно заданной прямоугольной декартовой системе координат может определять: a) кривую второго порядка: окружность, параболу, эллипс, гиперболу, b) вырожденную кривую второго порядка: пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, точку, c) мнимую кривую второго порядка: не определяет никакую линию. Кривая второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Поэтому при специальном выборе декартовой системы координат уравнение (1) примет настолько простой вид, что исследование геометрических свойств этой кривой не будет представлять затруднений. Этим методом мы и воспользуемся для изучения кривых второго порядка, определяемых в специально выбранной декартовой системе координат каноническими (т. е. простейшими) уравнениями. Окружность. Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке O1 ( x0 , y0 ) называется геометрическое место точек плоскости, находящихся от точки O1 на расстоянии R (рис. 2). у y0 Для вывода уравнения окружности допустим, что М(х; у) – любая ее точка. Тогда по определению должно выполняться равенство O1M  R или O1M  R2 . По формуле расстояния между двумя точками находим 2 2  x  x0    y  y0   R 2 (2) Если же точка М(х; у) не лежит на данной окружности, то 2 О1 R M(x; y) O1M  R2 , т. е. координаты точки М не будут удовлетворять x0 x уравнению (2). Полагая в уравнении (2) x0  0, y0  0 , получим уравнение Рис. 2 окружности радиуса R с центром в начале координат (2.1) x 2  y 2  R2 Определение. Уравнения (2) и (2.1) называются каноническими уравнениями окружности. 2 1 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Парабола. Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой параболы. Для вывода уравнения параболы введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокус находился в точке F  p p  ; 0  , а директриса имела уравнение х = – , где р > 0. Пусть М(х; у) – любая точка параболы. 2 2  Обозначим через r длину отрезка FM, называемого фокальным радиусом точки М, а через d – расстояние МN от точки М до директрисы (рис. 3). Согласно определению параболы должно выполняться у p равенство r = d, или по формуле расстояния между двумя d=  x точками 2  p  N  ; y  2 M(x; y)  2 2 p p   2  x    y   x   . 2 2   Возведем обе части равенства в квадрат: r х2 – рх + p2 p2 + у2 = х2 + рх + . 4 4 Отсюда окончательно получаем каноническое уравнение параболы с центром в точке O  0 ; 0  :  у2 = 2рх . (3) Обратными рассуждениями можно показать, что Рис.3 уравнению (3) удовлетворяют только координаты точки М(х; у), лежащей на данной параболе, т. е. для которой r = d, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. При этом длина r фокального радиуса FM точки М(х; у) параболы выражается через ее  p 2 F  ; 0  x p 2 r  абсциссу по формуле p  x. 2 (3.1) Исследуем форму параболы по ее уравнению. 1) Так как уравнение (3) содержит у в четной степени, то M(x; y) этому уравнению удовлетворяют также координаты точки p p М (х; –у), симметричной точке М(х; у) относительно оси Ох K  ; p  2 (рис. 4). Таким образом, ось Ох является осью симметрии   параболы. p 2) Так как по условию p > 0, то уравнению (3)   x F  ; 0 удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными 2   абсциссами. Следовательно, парабола располагается в правой полуплоскости, где х  0. M´ (x;-y) y 2  2 px 3) Точка О(0; 0) удовлетворяет уравнению параболы (3) и лежит на ее оси симметрии. Поэтому начало координат, т. е. точка О(0; 0), называется вершиной параболы. Рис. 4 4) При неограниченном возрастании координаты х значения координаты у также неограниченно возрастают по абсолютной величине, хотя и не столь же быстро. Например, при увеличении х в 4 раза у увеличится только вдвое. у p 2  5) Если на параболе взять точку K  ; p  (рис. 4), то, согласно формуле (3), ее фокальный радиус FK,  перпендикулярный к оси симметрии, будет иметь длину r = p. Следовательно, параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометрический смысл параметра р, называемого фокальным параметром параболы. Таким образом, парабола выглядит так, как показано на рис. 4. Она оказалась бесконечной незамкнутой кривой, у которой ось Ох служит осью симметрии, начало координат – вершиной, а ось Оу – касательной в вершине. Замечание. Нетрудно понять теперь, что каждому из уравнений у2 = – 2рх, х2 = 2ру, х2 = – 2ру (р > 0) соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (3), но только иначе расположенная. 2 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Замечание. Каноническое уравнение параболы с центром в точке O1 ( x0 , y0 ) имеет вид:  y  y0   2 p  x  x0  . 2 (3.2) Эллипс. Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми F1F2= 2с. Допустим, что М – произвольная точка плоскости, а r1=F1M и r2=F2M – ее расстояния до точек F1 и F2. Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a  2c : r1  r2  2a . (4) Выведем уравнение эллипса. Для этого введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы находились в точках F1(-c; 0) и F2(c; 0). Пусть М(х; у) – у произвольная точка эллипса (рис. 5). Запишем ее фокальные радиусы M(x; y) r1 r2  в  x  c 2 координатной F2(c; 0)  x  c x Рис. 5 r1   x  c 2  y2 и  y 2 , и подставим их в равенство (4): r2 F1(-c; 0) 0 форме 2  y2   x  c 2  y 2  2a . (4.1) Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду. Перенесем второй радикал в правую часть и затем возведем обе части равенства в квадрат: х2+2хс + с2 + у2 = 4а2 – 4а откуда находим x  c2  y 2 x  c2  y 2 + х2 –2хс + с2 + у2, c  a x . a (4.2) Возведем теперь в квадрат обе части этого равенства: х2 – 2хс + с2 + у2 = а2 –2хс + c2 2 x , a2 откуда, после приведения подобных членов и умножения на а2, получим (а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2) . (4.3) Заметим, что по определению эллипса 2а > 2с (сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны). Поэтому, обозначив b2 = a2 – c2 , после деления обеих частей равенства (4.3) на а2b2, получаем x2 y2  1. a 2 b2 (4.4) Если выполнить выкладки в обратном порядке, то можно показать, что всякая пара чисел х и у, удовлетворяющая уравнению (4.4), удовлетворяет и уравнению (4.1). Таким образом, уравнению (4.4) удовлетворяют координаты точек данного эллипса, и только они. Определение. Уравнение x2 y2   1 называется каноническим уравнением эллипса с центром в точке a 2 b2 O (0,0) . Исследуем свойства эллипса по его каноническому уравнению. 1) Из уравнения (4.4) вытекает, что x2  1 a2 y2 и b2  1 . Эти неравенства, очевидно, равносильны неравенствам | х |  а и | у |  b. Итак, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b, определяемом неравенствами – а  х  а, – b  y  b. 2) Уравнение (4.4) содержит х и у только в четных степенях. При замене х на – х, а у на – у это уравнение не изменяется, т. е. эллипс симметричен относительно обеих осей координат Ох и Оу и представляет собой замкнутую кривую. 3 Чернышева Л.Р. ИжГТУ 3) В силу сказанного выше, мы будем знать форму всего эллипса, если установим вид той его части, которая лежит в первом квадранте. Для этого разрешим уравнение (4.4) относительно у: y= b a2  x2 . a Очевидно, что здесь 0  х  а, так как выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. При возрастании х от 0 до a величина у уменьшается от b до 0. Отсюда следует, что часть эллипса, лежащая в первом квадранте, есть дуга, ограниченная точками В(0; b) и А(a; 0), лежащими на осях координат. Воспользовавшись теперь симметрией эллипса, приходим к заключению, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 6. Точки А, В, А1, В1 пересечения эллипса с осями у симметрии называются его вершинами. Отрезки А1А и В1В, соединяющие противоположные вершины, а B(0; b) также их длины 2а и 2b, называются соответственно M(x; y) большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой r1 r2 A1(-a; 0) A(a; 0) полуосями эллипса. F1 F2 x 4) Рассмотрим окружность, заданную уравнением x2 B1(0; -b) a2  y2 a2 1 . (4.5) Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т. е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х; у) перейдет в точку Рис.6 с координатами  x; y  , причем x  x, y a y. b Очевидно, при этом преобразовании окружность (4.5) перейдет в кривую, определяемую уравнением x2 a2  y2 b2  1 , т. е. в эллипс. Это показывает, что эллипс можно рассматривать как сжатую окружность. Отсюда, в частности, следует, что параметрические уравнения эллипса (4.4) можно получить из параметрических уравнений x = a cos t, y = a sin t, 0  t  2, окружности (4.5) умножением ординаты окружности у на коэффициент b : a x  a cost , y  b sin t , 0  t  2 . 5) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т. е. число = 2c c  . 2a a (4.6) Так как с < а, то для любого эллипса 0 <  < 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса к оси Ох. Действительно, из формулы (4.6) с учетом b2 = a2 – c2 следует 2 b c2 a 2  b2 b  = 2  1  2 .  1    , и значит 2 a a a a   2 b и тем больше сжат к оси Ох эллипс. a Отсюда видно, что, чем больше , тем меньше отношение 6) Из равенства (4.2) имеем: r2   x  c 2  y 2 a c x, a r1  но по определению эллипса r1 + r2 = 2a, следовательно x  c2  y 2 С учетом обозначения (4.6) полученные формулы можно переписать так: a c x. a r1 = a +  х , r2 = a –  х . (4.8) Замечание. Каноническое уравнение эллипса с центром в точке O1 ( x0 , y0 ) имеет вид:  x  x0  a2 2  y  y0   b2 4 2  1. (4.9) Чернышева Л.Р. ИжГТУ Гипербола. Пусть вновь F1 и F2 – две фиксированные точки плоскости, расстояние между которыми равно 2с, а М – произвольная точка плоскости, расстояния которой до точек F1 и F2 соответственно равны r1 и r2. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний r1 и r2 до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a  2c . r1 – r2  2а Введем декартову систему координат так, как указано на рис. 5. На основании определения гиперболы можно утверждать, что для всех точек М(х; у) гиперболы, и у только для них, должно выполняться равенство r1 – r2 =  2а, (5.1) которое в координатной форме принимает вид: M(x; y) r1 x  c2  y 2  x  c2  y 2   2 a . r2 F1(-c; 0) 0 F2(c; 0) (5.2) После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе канонического уравнения эллипса, вновь получим уравнение: (а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2), (5.3) 2 2 в котором теперь разность а – с < 0 (разность двух сторон треугольника на рис. 5 меньше его третьей стороны, т. е. r1 – r2 = x Рис. 5 2а < 2c и а2 < c2). Поэтому положим b2  c2  a2 . (5.4) Тогда уравнение (5.3) после деления на а b приводится к виду 2 2 x2 a2  y2 b2  1. (5.5) Уравнению (5.5), как следствию уравнения (5.2), удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не принадлежащих гиперболе, этому уравнению не удовлетворяют. Определение. Уравнение x2 a 2  y2 b2  1 называется каноническим уравнением гиперболы с центром в точке O (0,0) . Исследуем свойства гиперболы по ее каноническому уравнению. 1) Из уравнения (5.5) вытекает x2  1, что равносильно неравенству | х |  а. Отсюда очевидно, что в a2 полосе – а < х < а точек гиперболы нет, т. е. гипербола состоит из левой ветви, расположенной в левой полуплоскости при х  – а, и из правой ветви, расположенной в правой полуплоскости при х  а. 2) Уравнение (5.5) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие с координатными осями, и центр симметрии – начало координат. 3) Установим форму части ветви гиперболы, расположенной в первом квадранте, где она, согласно (5.5), 2 имеет уравнение y b a x 1   , х  а . a  x a  x (5.6) 2 Так как при х  +  отношение    0, то из (5.6) следует, что при удалении точки М(х; у) гиперболы в бесконечность (т. е. при х  + ) рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается снизу к прямой у = b х . В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, a расположенные во втором, третьем и четвертом квадрантах. Прямые, имеющие уравнения у= b x a и называются асимптотами гиперболы. 5 b a у = – х, (5.7) Чернышева Л.Р. ИжГТУ Для построения всей гиперболы, изображенной на рис. 7, поступают следующим образом. На осях Ох и Оу строят точки А1(-а; 0), А(а; 0), В1(0; -b), В(0; b). Затем через них проводят прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом строят прямоугольник, называемый основным прямоугольником гиперболы. Каждая из диагоналей основного прямоугольника, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. После построения по точкам части ветви гиперболы в первом квадранте и симметричном отображении ее относительно осей Ох и Оу получают всю гиперболу. Отрезок А1А и его длина 2а называются действительной осью, а отрезок В1В и его длина 2b называются мнимой осью гиперболы. Параметры а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Точки А1 и А пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы. Длина 2с отрезка F1F2 действительной оси называется фокусным расстоянием, числа r1 и r2 – фокальными радиусами точки М. у r1 M(x; y) B(0; b) r2 F1(-c; 0) A1(-a;0) A(a;0) F2(c; 0) x B1(0; -b) Рис.7. 4) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния 2c c действительной оси:   . 2a a Так как у гиперболы с > а, то для любой гиперболы   1 . Из формул (5.8) и (5.4) следует 2 2  c2 a2  b2 b   1   , 2 2 a a a к длине ее (5.8) b   2  1. a Из последнего равенства получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. 5) Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (5.8), найдем для фокальных радиусов r1 и r2 следующие выражения: r1    x  a  , r2    x  a  , (5.9) где знак плюс берется для точек М(х; у) правой ветви, а знак минус – для точек левой ветви гиперболы. 6) Уравнение x2 y 2 (5.10)   1 a 2 b2 представляет собой уравнение сопряженной гиперболы, у которой действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс. Очевидно, что гиперболы (5.5) и (5.10) имеют общие асимптоты (5.7). 7) Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если a = b. Ее каноническое уравнение: х2 – у2 = а2. Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения: у = х, у = – х. 6 Чернышева Л.Р. ИжГТУ Эксцентриситет равносторонней гиперболы: Замечание. Уравнения   c  a a a a 2 2  2. x2 y 2   1 являются каноническими уравнениями гипербол с центром в точке a 2 b2 O (0,0) . Замечание. Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке O1 ( x0 , y0 ) имеет вид:  x  x0  a2 2  y  y0   2  1 . b2 7 (5.11)