Криволинейные интегралы (4 часа).

Раздел «Кратные интегралы» Лекция 2: Криволинейные интегралы (4 часа) 1. Криволинейные интегралы первого рода 2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода 3. Криволинейные интегралы второго рода 4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода 5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода 6. Формула Грина 7. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования 8. Восстановление первообразной функции по ее полному дифференциалу 1. Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы являются обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является участок некоторой кривой, плоской или пространственной. Различают криволинейные интегралы первого рода и второго рода. Определение 1.1. Плоская кривая K, заданная параметрически уравнениями , , , называется гладкой кривой, если функции и на непрерывны и имеют непрерывные производные и , не обращающиеся в нуль одновременно. В каждой точке кривой K можно построить касательную, которая будет параллельна вектору . Докажем это утверждение. Пусть , , . Проведем секущую через точки и . Найдем направляющие косинусы секущей: , . При секущая стремиться занять положение касательной, угловые коэффициенты которой будут равны: , . Отметим, что , так как кривая L является гладкой. Итак, касательная, параллельна вектору , а, значит, и коллинеарному с ним вектору . Например, окружность, заданная параметрически уравнениями , , , является гладкой, так как и непрерывные и не обращаются в нуль одновременно. Однако, астроида , , , не является гладкой, так как и обращаются одновременно в нуль при , , , . Определение 1.2. Пространственная кривая K, заданная параметрически уравнениями , , , , называется гладкой кривой, если функции , и на непрерывны и имеют непрерывные производные , и , не обращающиеся в нуль одновременно. В каждой точке такой кривой K можно построить касательную, которая будет параллельна вектору . Доказательство аналогично доказательству для случая плоской кривой. Определение 1.3. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков называется кусочно-гладкой. Рассмотрим на плоскости XOY кривую AB, которая является гладкой или кусочно-гладкой. Пусть на кривой AB определена некоторая ограниченная функция . Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками , , …, , …, . Каждый из отрезков кривой назовем частичной дугой и на каждой частичной дуге произвольным образом выберем точку , . Вычислим значения функции в этих точках и составим сумму произведений , (1.1) где – длина дуги . Сумма (1.1) называется интегральной суммой функции по кривой AB. Пусть , . Определение 1.4. Если существует конечный предел интегральных сумм (3.1.1) при , то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой AB и обозначается . Итак, , где – подынтегральная функция, кривая AB – кривая интегрирования, A – начальная, B – конечная точки интегрирования. Вычисление криволинейного интеграла первого рода легко сводится к вычислению определенного интеграла. Зададим кривую AB параметрически. Роль параметра будет играть длина l дуги AM, где точка M пробегает кривую AB от начальной до конечной точки. Заметим, что , где L – длина всей дуги AB. При этом функция , заданная на кривой AB, становится сложной функцией параметра l: . Обозначим через длину дуги . Тогда сумма (1.2) будет равна интегральной сумме (3.1.1). Сумма (3.1.2) представляет собой интегральную сумму функции одной переменной l, а ее предел будет равен определенному интегралу. Получаем формулу , (1.3) причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого. В частности, существует, если функция непрерывна на кривой AB. Укажем свойства криволинейного интеграла первого рода. 1. Линейность. . 2. Аддитивность. Если кривая AB разбита на части AC и CB, то . 3. При изменении направления кривой AB величина криволинейного интеграла первого рода не меняется: . Криволинейный интеграл первого рода имеет определенный геометрический смысл. Пусть на кривой AB определена некоторая ограниченная функция . Тогда криволинейный интеграл первого рода будет равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости XOY, восстановленных в точках кривой AB и имеющих переменную длину, равную . Если , то мы получим интеграл первого рода , величина которого будет равна длине кривой AB. С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычислять площадь не только площадь цилиндрической поверхности и длину дуги, но и массу материальной кривой, координаты центра тяжести и т.д. 2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода Пусть гладкая или кусочно-гладкая кривая AB задана параметрически: , , . Пусть , . Длину l дуги AM можно рассматривать как функцию параметра t: . Тогда . (2.1) Пусть функция непрерывна на кривой AB. Опираясь на (1.3) и (2.1), получаем формулу: . Пример 2.1. Вычислите криволинейный интеграл , где AB – часть окружности , . Решение. . В частности, если кривая AB задана уравнением , , где функция непрерывна на вместе со своей производной , то тогда за параметр можно принять переменную x и . Пример 2.2. Вычислите криволинейный интеграл , где AB – дуга параболы от точки до точки . Решение. . 3. Криволинейные интегралы второго рода Пусть на кривой AB заданы две ограниченные функции и . Разобьем кривую AB точками , , …, , …, на n частей и обозначим через и проекции вектора , , на оси ox и oy. На каждой частичной дуге выберем произвольным образом точку и составим для функций и интегральные суммы и . (3.1) Пусть , . Определение 3.1. Если существуют конечные пределы интегральных сумм (3.3.1) при , то они называются криволинейными интегралами второго рода и обозначаются и . Итак, и . Сумму называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают . Для криволинейных интегралов второго рода справедливы свойства линейности и аддитивности, однако значение криволинейного интеграла второго рода зависит от того, в каком направлении точка движется по дуге AB: от A к B, или от B к A. При изменении направления обхода криволинейный интеграл второго рода меняет знак, так как меняется знак у проекций и : , . Если кривая AB – замкнутая кривая, то есть , то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура положительным будем считать то направление, при котором область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход по контуру. Противоположное направление обхода считается отрицательным. Если направление обхода контура не указано, то подразумевается положительное направление. Рис. 3.1. 4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода Вычисление криволинейного интеграла второго рода легко сводится к вычислению определенного интеграла. Пусть гладкая или кусочно-гладкая кривая AB задана параметрически , , . Пусть , . Пусть функции и непрерывны на кривой AB. Тогда будут справедливы формулы, сводящие криволинейный интеграл второго рода к определенному интегралу: , , . Данное утверждение принимается без доказательства. Пусть кривая AB задана уравнением , , причем непрерывна на AB вместе со своей производной, функции и непрерывны на AB. Тогда , , . Аналогичная формула имеет место, когда . Пример 4.1. Вычислите , где AB: , , причем точка A соответствует значению параметра , а точка B – . Решение. Пример 4.2. Вычислите криволинейный интеграл по замкнутому контуру , где K – контур прямоугольника, образованного прямыми , , , . Решение. Рис. 4.1. OA: , ; AB: ; BC: , ; CO: Пример 3.4.3. Вычислите , где 1) AB – кусок параболы , , ; 2) AB – ломанная линия , проходящая через точки , , . Решение. Рис. 4.2. 1) AB: , . 2) AC: , ; CB: , В разобранном примере оказалось, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования. Условия, при которых этот факт имеет место, будут разобраны далее. Мы рассматривали криволинейные интегралы первого и второго рода для плоских кривых. Однако, определения и свойства этих интегралов сохраняются и для пространственных кривых. Если AB – гладкая или кусочно-гладкая пространственная кривая, и на AB определены непрерывные функции , , и , то существует криволинейный интеграл первого рода и криволинейные интегралы второго рода , , , . Техника вычисления таких интегралов остается прежней. 5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода Воспользуемся формулой из п. 4: . Обозначим через  угол между осью ox и касательной к кривой AB. Тогда (см. п. 1), а, следовательно, . С другой стороны в п. 2 установлено, что . Итак, . Аналогично доказывается, что . В общем виде связь между криволинейными интегралами первого и второго рода устанавливается с помощью формулы (5.1) 6. Формула Грина Формула Грина устанавливает связь между криволинейными интегралами второго рода и двойными интегралами и имеет широкое практическое применение в прикладных задачах. Определение 6.1. Области, для которых прямые, параллельные координатным осям, пересекают границу области не более чем в двух точках, называются простыми или правильными. Предполагается, что простая область ограничена гладким или кусочно-гладким контуром. Теорема 6.1. Пусть D – некоторая простая замкнутая область, ограниченная гладким или кусочно-гладким контуром K и пусть функции и непрерывны вместе со своими частными производными и в области D. Тогда . (6.1) Данная теорема принимается без доказательства. Формула (6.1) называется формулой Грина. В том случае, если область D не является простой, для применения формулы Грина следует разбить ее на простые области, например так, как показано на рисунке 6.1. Если написать формулу Грина для областей и и сложить эти равенства, то слева мы получим двойной интеграл по области D, а справа – криволинейный интеграл второго рода по контуру K, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и в сумме дает 0. Рис. 6.1. Пример 6.1. Вычислите криволинейный интеграл с помощью формулы Грина: , K – окружность . Решение. , , , . . 7. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования Определение 7.1. Плоская область G называется односвязной, если для любого контура K, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G. Примерами односвязных областей являются области, ограниченные окружностью, многоугольником, эллипсом. Область, лежащая между двумя окружностями и , не будет односвязной, так как внутри области, ограниченной окружностью , имеются точки, не принадлежащие кольцу. Теорема 7.1. Пусть функции и определены и непрерывны вместе со своими частными производными и в некоторой односвязной области G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны, то есть выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных. 1. Для любых двух точек значение интеграла не зависит от выбора кусочно-гладкой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в области G. То есть криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования. 2. Для любого кусочно-гладкого контура K, лежащего в области G, справедливо равенство: . То есть криволинейный интеграл второго рода по контуру равен нулю. 3. Выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции , определенной в области G. 4. В области G всюду выполняется равенство . Данная теорема принимается без доказательства. Условия 2, 3 и 4 представляют собой необходимые и достаточные условия, при которых криволинейный интеграл второго рода не зависит от выбора пути интегрирования. Эта теорема позволяет легко решать вопрос о том, зависит ли криволинейный интеграл второго рода от выбора пути интегрирования. Пример 7.1. Установите, зависит ли криволинейный интеграл второго рода от выбора пути интегрирования. Решение. , , , , . Итак, данный криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования. Отметим, что условие односвязности области G в теореме 7.1 является существенным. Рассмотрим криволинейный интеграл второго рода , где K – окружность . Так как , во всех точках плоскости XOY, кроме точки , то . Однако, мы не можем в данном случае применить теорему 7.1 и утверждать, что данный интеграл равен нулю, так как любая односвязная область G, содержащая данный контур K, будет содержать и точку , в которой функции и не определены. Вычислим данный интеграл, перейдя к параметрическому заданию окружности. , , .