Ковариантная форма уравнения Дирака

Лекция №13 § 19. Ковариантная форма уравнения Дирака Уравнение Дирака, описывающее свободное движение релятивистких частиц со спином 𝑆 = 1⁄2 , имеет вид iℏ ∂Ψ ̂ + m0 c 2 β]Ψ. = [c𝛂𝐩 ∂t (19.1) Запишем это уравнение в более симметричном виде относительно пространственных и временных переменных. Для этого введём четырёх – координаты xμ = (𝐫, ict) и новые матрицы γμ = (𝛄, γ4 ), выражающие через матрицы 𝛂 и β с помощью соотношений 0 −𝛔 𝛄 = −iβ𝛂 = i ( ), 𝛔 γ4 = β. (19.2) Новые матрицы γμ также являются эрмитовыми: 𝛾𝜇+ = γμ . Они удовлетворяют перестановочным соотношениям γμ γν + γν γμ = 2δνμ , ν, μ = 1,2,3,4. (19.3) Умножая уравнение Дирака (19.1) на (−iβ) слева и используя приведённые выше матрицы γμ , запишем его в ковариантной форме (∑ γμ p̂μ − imc) Ψ = 0, p̂μ = −iℏ μ ∂ . ∂xμ (19.4) Следует отметить, что конкретный вид матриц γμ , входящих в уравнение (19.4), не имеет существенного значения. Необходимо только, чтобы они удовлетворяли перестановочным соотношениям (19.3). Допустим, что наряду с матрицами γμ имеется другая совокупность матриц γ′μ , также удовлетворяющих перестановочным соотношениям (19.3). Как показано Паули, в этом случае всегда найдётся такая не сингулярная унитарная матрицы S, которая преобразует одну совокупность матриц в другую, т. е. γ′μ = Sγμ S −1 . (19.5) Согласно общей теории унитарных преобразований, если одновременно с преобразованием матриц (19.5) провести преобразование функций Ψ′ = SΨ, (19.6) то уравнение Дирака остается неизменным. В этом можно непосредственно убедиться (∑ γ′μ p̂μ − imc) Ψ′ = 0 ⟹ (∑ Sγμ S −1 p̂μ − imc) SΨ = 0. μ μ 1 Умножим слева на S −1 . Тогда получим (∑ γμ p̂μ − imc) Ψ = 0, μ что и требовалась доказать. Перепишем уравнение (19.4), выделив временную производную (γ4 ℏ∂ + iℏ𝛄𝛁 + imc) Ψ = 0. с ∂t (19.7) Тогда уравнение, эрмитово сопряженное к данному, можно записать в виде Ψ+ (γ4 ℏ∂ − iℏ𝛄𝛁 − imc) = 0. с ∂t (19.8) Здесь необходимо условиться, что на функцию Ψ+ действуют операторы, стоящие справа от неё. Умножая уравнение (19.8) справа на матрицу γ4 и используя перестановочные соотношения (19.3), получаем уравнение Ψ + γ4 (γ4 ℏ∂ + iℏ𝛄𝛁 − imc) Ψ = 0. с ∂t (19.9) Если ввести функцию Ψ = Ψ + γ4 , (19.10) называемую функцией, дираковски сопряжённой относительно Ψ, то последнее уравнение можно записать в компактной форме Ψ (∑ γμ p̂μ − imc) = 0. (19.11) μ Полученное уравнение называется дираковски сопряжённым уравнением относительно уравнения (19.4). В новых обозначениях выражения для плотности электрического заряда и тока принимают вид ρ = eΨ+ Ψ = eΨγ4 Ψ, j = ceΨ+ 𝛂Ψ = iecΨ𝛄Ψ. (19.12) Это выражения можно объединить в единый четырёхмерный вектор jμ = (𝐣, icρ) = iceΨγμ Ψ. (19.13) При этом уравнение непрерывности (закон сохранения электрического заряда) примет вид ∑ 𝜇 ∂jμ = 0. ∂xμ (19.14) 2 Чтобы ввести взаимодействие электромагнитного поля с частицей спина 1⁄2 в уравнение Дирака (19.4), необходимо рассмотреть переход к уравнению движения в электромагнитном поле, описываемом четырёхмерным потенциалом Aμ = (A, i A0 ), ∑ μ ∂Aμ = 0. ∂xμ (19.15) Этот переход осуществляется преобразованием e p̂μ → p̂μ − Aμ , c p̂μ = −iℏ ∂ . ∂xμ (19.16) Получаемое при этом уравнение e (∑ γμ (p̂μ − Aμ ) − imc) Ψ = 0 c (19.17) μ остается релятивистки – инвариантным. Оно также инвариантно относительно градиентного (калибровочного) преобразования потенциалов Aμ = A′μ + ∂f , ∂xμ (19.18) где f − произвольная функция, удовлетворяющая условию ∑ μ ∂2 f = 0. ∂xμ 2 При этом наравне с преобразованием потенциалов необходимо прoвести в уравнении (19.17) и унитарное преобразование волновой функции Ψ = Ψ′ exp ( ie f). ℏc (19.19) Легко видеть, что требования релятивисткой инвариантности и инвариантности относительно градиентного преобразования потенциалов будут выполнены и в том случае, когда уравнение (19.17) будет заменено уравнением e μ0 [∑ γμ (p̂μ − Aμ ) − imc] Ψ = −ig ∑ γμ γv Fνμ Ψ, c 2c μ μ,v где Fνμ = ∂Aμ ∂Aν eℏ − , μ0 = , ∂xν ∂xμ 2mc g − безразмерный параметр. Для электронов g = 0, для нуклонов g ≠ 0. 3 (19.20) § 20. Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы Итак, релятивистки – инвариантное уравнение Дирака, взаимодействие частиц заряда е с электромагнитным полем имеет вид e [∑ γμ (p̂μ − Aμ ) − im0 c] Ψ = 0. c описывающее (20.1) μ Найдём такое преобразование функции Ψ, удовлетворяющей уравнению (20.1) для частицы с зарядом е, при котором новая функция Ψc , удовлетворяла бы уравнению типа (20.1) для частицы с зарядом (−е), т. е. попробуем определить операцию зарядового сопряжения для частиц со спином 1⁄2. Очевидно, зарядово сопряжённая функция Ψc должна удовлетворять уравнению e [∑ γμ (p̂μ + Aμ ) − im0 c] Ψc = 0. c (20.2) μ Определим теперь преобразование, обеспечивающее переход от функции Ψ к функции Ψc : Ψ → Ψc . Для этого рассмотрим уравнение, комплексно – сопряжённое (20.1), предварительно выделив в нём член с μ = 4 e e ̂ + 𝐀) − imc} Ψ ∗ = 0. {−γ∗4 (p̂4 + A4 ) + 𝛄∗ (𝐩 c c (20.3) Если в уравнение (20.3) провести преобразование функции Ψ∗ = CΨc или Ψc = C −1 Ψ∗ (20.4) с помощью унитарной, симметричной матрицы C, удовлетворяющей равенствам 𝛄 = C−1 𝛄∗ C γ4 = −C−1 γ∗4 C, (20.5) то уравнение (20.3) перейдёт в (20.2). Свойства симметрии и унитарности матрицы приводят к соотношениям С+ = C∗ = C−1 . (20.6) Определим теперь, как преобразуются при операции зарядового сопряжения дираковски сопряжённая функция Ψ. Функция Ψ при наличии электромагнитного поля удовлетворяет уравнению e Ψ [∑ γμ (p̂μ − Aμ ) + imc] = 0, c (20.7) а зарядово – сопряжённая функция Ψc должна удовлетворять уравнению 4 e Ψc [∑ γμ (p̂μ + Aμ ) + imc] = 0. c (20.8) Сравнивая уравнение (20.7) и уравнение, комплексно – сопряжённое к (20.8), находим, что ∗ (20.9) Ψc = Ψ C. Равенство, комплексно – сопряжённое к (20.4), имеет вид Ψ = C ∗ Ψc∗ . (20.10) Учитывая теперь (20.6), получим Ψ = C −1 Ψc∗ . (20.11) Таким образом, операция зарядового сопряжения обратима в том смысле, что если функция Ψc является зарядово – сопряжённой к функции Ψ, то и функция Ψ является зарядово – сопряжённой к функцией Ψc . В частном случае, когда матрицы γμ заданы в представлении γμ = (𝛄, γ4 ), где 𝛄 = −iβ𝛂, γ4 = β, или 0 −𝛔 ), 𝛔 𝛄 = i( γ4 = ( I ) I (20.12) матрица зарядового сопряжения C, удовлетворяющая условиям (20.6), совпадает с γ2 , т. е. (20.13) C = γ2 . В этом случае операция зарядового сопряжения сводится к преобразованию Ψс = γ2 Ψ∗ . (20.14) Исследуем теперь соотношение между зарядово – сопряжёнными токами. По определению (20.15) jμ = iecΨγμ Ψ. Компоненты четырёхмерного вектора плотности тока в зарядово – сопряжённом состоянии будут (jμ )с = iecΨс γμ Ψс . (20.16) Подставляя в (20.16) значения (20.4) и (20.9) и учитывая (20.5), получим ∗ 𝐣с = iec (Ψ𝛄Ψ) = iec Ψ𝛄Ψ, ∗ (j4 )с = −iec (Ψ𝛄𝟒 Ψ) = iec Ψ𝛄𝟒 Ψ. (20.17) Таким образом, плотности электрического заряда зарядово – сопряжённых состояний отличаются знаком, а плотности тока имеют одинаковый знак 5 (j4 )с = −j4 , 𝐣с = 𝐣. (20.18) Покажем теперь, что если временная зависимость состояний Ψ(−) соответствует отрицательным решениям временного уравнения Дирака iℏ ∂Ψ(−) = −EΨ(−) , ∂t то временная зависимость положительным решениям. зарядово E > 0, – (20.19) сопряжённых состояний соответствует Действительно, имеем ∗ ∂Ψ(−) ∂Ψ(−) ∗ ∂Ψc ∗ −1 −1 iℏ = C (iℏ ) = −C (iℏ ) = EC−1 Ψ(−) = EΨc , ∂t ∂t ∂t (20.20) итак, если функция Ψ описывает состояние движения частицы с зарядом e, то зарядово – сопряжённая функция Ψc описывает состояние движения частицы той же массы и спина, но имеющей другой знак заряда (−e) и другой знак магнитного момента и импульса. Например, если Ψ описывает состояние электрона (e < 0), то Ψc описывает состояние позитрона (−e > 0). Таким образом, операция зарядового сопряжения соответствует переходу от частиц к античастицам. Эта терминология сохраняется для любых других пар частиц, волновые функции которых переходят друг в друга при зарядовом сопряжении. 6 § 21.Уравнение Дирака для частицы с нулевой массой покоя. Нейтрино. Спиральность. Инвариантность нейтрино относительно комбинированной инверсии. СРТ – инвариантность В 1934 году Ферми развил теорию β − распада, предположив, что этот процесс сопровождается вылетом нейтральных частиц с массой покоя, равной нулю. Из закона сохранения момента количества движения при β − распаде следовало, что эти частицы обладают спином 1⁄2 . Различные эксперименты подтвердили реальность существования такой частицы, названной нейтрино. В связи с этим исследуем уравнение Дирака для частиц с массой покоя равной нулю. Оно имеет вид (mc 2 − ℰ)φ + c𝛔𝐩χ = 0 c𝛔𝐩φ − (mc 2 − ℰ)χ = 0. (21.1) Полагая в этих уравнениях массу частицы равной нулю, получим систему двух уравнений φ = (𝞂𝐧)χ, где 𝐧= 𝑐𝐩 ℰ −единичный вектор, χ = (𝞂𝐧)φ, (21.2) совпадающий с направлением импульса для положительных решений, когда ℰ = cp и противоположный направлению импульса для отрицательных решений, когда ℰ = −cp. Волновая функция Ψ определяется через двухкомпонентные функции φ и 𝞆 следующим образом φ φ Ψ = ( χ ) = ((𝞂𝐧)φ) . (21.3) Отсюда видно, что при действии псевдоскаляра (𝞂𝐧) на волновую функцию (21.3) две компоненты этой функции переставляются местами χ (𝞂𝐧)Ψ = (φ). (21.4) Это эквивалентно действию матрицы (𝞂𝐧) = ( 0 I ) = −γ5 . I 0 (21.5) Вместо функций φ и 𝞆 можно ввести две их линейные комбинации 1 1 Ф = (φ + χ) = (1 + 𝞂𝐧)φ, 2 2 1 1 F = (φ − χ) = (1 − 𝞂𝐧)φ. 2 2 (21.6) Складывая и вычитая уравнения (21.2), легко убедиться, что функция Ф и F удовлетворяют соответственно уравнениям 𝞂𝐧 Ф = Ф, 𝞂𝐧 F = −F. 7 (21.7) Таким образом, функция Ф и F, имеющие только по две компоненты, являются двумя собственными функциями оператора 𝞂𝐧 − проекции спина частицы на направление импульса. Два собственных значения +1 и –1 этого оператора (или эквивалентного оператора −γ5 ) называются спиральностью частицы. Спиральность (helicity) принято обозначать буквой h (h = ±1). Учитывая эквивалентность действия на волновую функцию операторов 𝞂𝐧 и −γ5 запишем их собственные функции в виде 1 Ф = (1 − γ5 )Ψ, 2 1 F = (1 + γ5 )Ψ. 2 (21.8) Эти выражения показывают, что умножение четырёхкомпонентной функции на 1 ± γ5 превращает её в двухкомпонентную функцию. В состояниях с определённой спиральностью каждому значению импульса соответствует только одно спиновое состояние. При положительной спиральности направление импульса и направление спина параллельны. При отрицательной спиральности они антипараллельны. Образно говоря, положительная спиральность как бы соответствует правому винту. Отрицательная спиральность соответствует левому винту. Такие состояния могут реализоваться только у частиц с нулевой массой покоя и двигающихся, всегда со скоростью света. Если масса покоя частицы не равна нулю, то всегда можно перейти в систему координат, где частица покоится. В этой системе импульс был бы равен нулю и нарушилась бы связь между спином и импульсом. В конце 1956 г. Салам, Ландау, Ли и Янг развили теорию свойств нейтрино на основе двухкомпонентной модели с определённой спиральностью. Эта теория базировалась на предположении, что свойства нейтрино описывается только одной из функций (21.6). Нейтрино является частицей без электрического заряда, поэтому оно не взаимодействует с электромагнитном полем. Однако и для таких частиц решения уравнения Дирака допускают два типа состояний: положительные и отрицательные, которые можно рассматривать как «зарядово – сопряжённые состояния». Более правильно в этом случае говорить о состояниях, соответствующих частице и античастице. Если частица описывается функцией Ψ, то античастица должна описываться функцией ΨC = C−1 Ψ∗ , (21.9) где C −1 = γ2 , если матрицы γμ выбраны в представлении 𝛄 = −iβ𝛂. Различие свойств частиц и античастиц может проявляться при исследовании их взаимодействий с другими частицами. Такие взаимодействия характеризуются величинами, играющими такую же роль, как электрический заряд во взаимодействии с электромагнитным полем. Если частица тождественна античастице, т. е. Ψ = ΨC , то такая частица называется истинно нейтральной. В настоящее время установлено, что нейтрино и антинейтрино является разными частицами. Нейтрино выделяются при позитронном распаде протона, а антинейтрино – при электронном распаде нейтрона. Нейтрино и антинейтрино различаются 8 спиральностью: у нейтрино спин направлен против импульса спиральность), у антинейтрино положительная спиральность. (отрицательная Двухкомпонентные нейтрино не инвариантны относительно пространственного отражения, т. к. при этой операции импульс меняет знак, а момент количества движения (спин) остается неизменным. При пространственном отражении правый винт переходит в левый винт – антинейтрино должно переходить в нейтрино и наоборот. Только при одновременном применении пространственного отражения и зарядового сопряжения нейтрино остается неизменным. Произведение операций зарядового сопряжения и пространственного отражения было названо в работах Ландау комбинированной инверсией. Нейтрино инвариантно относительно операции комбинированной инверсии и не инвариантно относительно пространственного отражения. Поэтому в этих явлениях нарушается закон сохранениях чётности. Теорема Людорфа – Паули (СРТ – чётность). Уравнение Дирака должна быть инвариантно относительно совместного тройного СРТ – преобразования. 9