Коррелатный способ уравнивания

Тема декции: Коррелатный способ уравнивания 3.1 Теория коррелатного уравнивания Предположим, что измеренные величины X1, X2, ... , Xn , связанных условными уравнениями (3.1) В процессе измерений получены следующие результаты неравноточных измерений x1, x2, ... , xn с соответствующими весами p1, p2, ... , pn . При наличии избыточных измерений получим систему условных уравнений (3.2) Чтобы исключить невязку, необходимо в результаты измерений внести поправки, при которых правые части системы условных уравнений обращаются в нули, т.е. (3.3) При введении поправок в результаты измерений получают уравненные значения измеренных величин (2.12) Наилучшими являются поправки, удовлетворяющие принципу наименьших квадратов (2.1). Для нахождения поправок уравнения системы приведем к линейному виду, разложив равенства (3.3) в ряд Тейлора и ограничиваясь в виду малости ошибок измерений первыми степенями разложения. В результате получим (3.4) Введем обозначения: и согласно Таким образом получим следующую системы уравнений (3.5) Полученные уравнения системы (3.5) называются условными уравнениями поправок в линейном виде. В символах Гаусса эта система имеет вид: (3.6) Поскольку в системе (3.5) количество неизвестных превышает число уравнений n > r, следовательно данная система имеет неопределенное решение. Для того, чтобы исключить неопределенность при решении, необходимо использовать условие принципа наименьших квадратов (2.1) где Kj - неопределенные множители Лагранжа, называемые коррелатами. Исследуя данную функцию на экстремум, необходимо определить ее первую производную и приравнять к нулю Откуда получим (3.7) Обозначим (3.8) Выражения системы (3.7) и (3.8) являются коррелатными уравнениями. Умножим уравнения системы (3.8) соответственно на a1, a2, ... , an и в результате сложения получим . Аналогично при умножении на bi, ... , gi с учетом равенств (2.106) будем иметь систему нормальных уравнений коррелат (3.9) Данная система имеет вполне определенное и однозначное решение. В случае равноточности наших измерений система (3.9) примет вид (3.10) Таким образом, в коррелатном способе уравнивания число нормальных уравнений в системе соответствует числу избыточных измерений. 3.2 Составление и решение нормальных уравнений коррелат Составление и решение нормальных уравнений коррелат осуществляется одним из способов, рассмотренных при параметрическом уравнивании. Применение табличного способа приведено в табл. 4. При этом выполняется промежуточный контроль. Также как и в параметрическом способе уравнивания возникает контроль сумм: (3.11) Если равенства (3.11) умножить соответственно на qi ai , qi bi и т.д., а затем почленно сложить, то получим контрольные суммы для коэффициентов нормальных уравнений (3.12) В отличии от параметрического способа уравнивания возникают дополнительные суммарные равенства (3.13) \ где fi - коэффициенты весовой функции U = f0 + f1 v1 + f2 v2 + ... + fnvn , (3.14) а также (3.15) Таблица 4 Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат № уравнения a] b] … g] s'] f] Σ] q v pv pvv 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 a1 b1 … g1 s'1 f1 p1 q1 v1 p1v1 p1v 1v1 2 a2 b2 … g2 s'2 f2 p2 q2 v2 p2v2 p2v2v2 … … … … … … … … … … … … n an bn … gn s'n fn pn qn vn pnvn pnvnvn Суммы [a] [b] … [g] [s] [f] [pv] [pvv] Невязки w1 w2 … wr Коррелаты K1 K2 … Kr Kj Wj K1W1 K2W2 … Kr Wr [KW] [qa [qaa] [qab] … [qag] [qas'] [qaf] [qaΣ] [qb [qbb] … [qbg] [qbs'] [qbf] [qbΣ] … … … … … … … … [qg [qgg] [qgs'] [qgf] [qgΣ] [qs' [qs's'] [qs'f] [qs'Σ] [qf [qff] [qfΣ] [qΣ [qΣΣ] и соответственно (3.16) Решение нормальных уравнений коррелат способом последовательного исключения неизвестных выполняется согласно схеме Гаусса-Дулитля . Рассмотрим вариант для системы, состоящей из трех нормальных уравнений коррелат (3.17) В процессе решения нормальных уравнений в схеме Гаусса выполняется контроль в соответствующих строках (табл. 5). По завершению решения системы производится контроль правильности нахождения неизвестных подстановкой их значений в суммарное уравнение. Контроль по [pvv] производится как в схеме решения Гаусса, так и при вычислении коэффициентов нормальных уравнений. Рассмотрим равенства (3.7) которые умножим на pivi . В результате сложения получим Согласно (2.106) получаем следующее равенство . (3.18) Для получения контрольной формулы за основу возьмем систему нормальных уравнений (3.9) и к ней добавим равенство (3.18) Решение данной системы приводит к ее эквивалентному виду: Таблица 5 Cхема решения нормальных уравнений коррелат K1 K2 K3 w s Контроль 1 2 3 4 5 6 [qaa] -1 K3 K2 K1 [qab] [qbb] [qbb·1] -1 K3 K2 [qac] [qbc] [qbc·1] [qcc] [qcc·2] -1 K3 w1 w2 [w2·1] w3 [w3·2] - [pvv] S1 S2 [S2·1] S3 [S3·2] Σ1 Σ2 [Σ2·1] Σ3 [Σ3·2] (3.19) Из последнего уравнения системы (3.19) согласно раскрытию символов Гаусса имеем (3.20) 3.3. Оценка точности по материалам коррелатного уравнивания По результатам уравнительных вычислений производится оценка точности как самих измерений, так и уравненных величин. Кроме того возникает задача оценить точность какого-либо значения, вычисленного через уравненные величины. Составим функциональную зависимость между определяемой величиной и уравненными значениями . (3.21) Средняя квадратическая ошибка такой функции определится согласно (2.54) . Ошибка единицы веса равна . (3.22) Поскольку Xi = xi + vi , функция (2.121) примет вид . (2.123) Для приведения к линейному виду разложим функцию (2.123) в ряд Тейлора , а если введем обозначения F(x1, x2, ... , xk) = f0; = fi , то получим . (2.124) Если в равенство (2.124) вместо поправок подставить их значения из уравнений коррелат (2.107), получим следующее выражение нашей функции Группируя относительно коррелат, получим следующее выражение функции . (2.125) Присоединив полученное выражение к системе нормальных уравнений коррелат и введя неопределенные множители ρ1, ρ2, ... , ρr , после соответствующих преобразований определим обратный вес функции U . (2.126) Из решения системы нормальных уравнений для неопределенных множителей находим неопределенные множители ρ1, ρ2, ... , ρr и получим . (3.27) Для контроля правильности вычисления обратного веса функции используется контрольная формула .