Координатное и импульсное представления в квантовой механике

Лекция 6 Координатное и импульсное представления в квантовой механике Вектор состояния  квантовой системы может быть разложен по базисным векторам f некоторой наблюдаемой  . Если спектр наблюдаемой непрерывный, то разложение имеет вид (смотри лекцию 3):    d f  f . (1) 1. Координатное представление. В качестве базисных векторов можно взять собственные векторы x оператора координаты x̂ : x̂ x  x x . (2) Здесь x – собственные числа оператора координаты, представляющие собой координаты частицы. Вектор состояния  тогда можно записать как    dx x  x . (3) Скалярное произведение x  называется волновой функцией:   x  x  . (4) Оператор x̂ можно представить как интегральный с ядром L  x, x  : xˆ  x    Lx  x, x  xdx . (5) Вспомним, что ядро интегрального оператора равно матричному элементу оператора (смотри лекцию 3, формула (58) и связанный с ней текст). Тогда ядро оператора x̂ имеет вид: Lx  x, x   x xˆ x  в силу (2) x x x  x  x  x  . (6) в силу нормировки С учетом (5) и (6) получим x̂  x    x  x  x  xdx  x  x  . (7) Действие оператора координаты x̂ в координатном представлении сводится к умножению на координату x . Собственные функции оператора координаты в координатном представлении можно найти следующим образом. Пусть x0 – собственное значение, а  x0  x  – соответствующая собственная функция. Тогда задача на собственные значения и собственные функции имеет вид: xˆ x0  x   x0 x0  x  . (8)  x  x0  x  x   0 . (9)  x  x0    x  x0   0 . (10) Вычитая (8) из (7), получим Из математики известно, что Сравнивая (9) и (10), находим, что собственные функции оператора координаты имеют вид:  x  x   С  x  x0  . (11) Постоянная С определяется из условия нормировки (лекция 3, формула (21)):  dx  x   x     x  x . * x x (12) Подставляя (11) в (12) нетрудно найти, что C  1 . Таким образом, в координатном представлении собственные функции оператора координаты имеют вид:  x  x     x  x0  . (13) Какой же вид имеет оператор импульса в координатном представлении? Нам уже известно фундаментальное коммутационное соотношение:  xˆ, pˆ x   i Eˆ . (14) Вычислим матричный элемент, используя (14), x  xˆ, pˆ x  x  i x x  i   x  x  . (15) С другой стороны, этот же матричный элемент может быть посчитан без использования (14): ˆˆ x  pˆ x xˆ  x  x xp ˆˆ x x  x pˆ x xˆ x . x  xˆ, pˆ x  x  x  xp Учитывая, что (16) оператор координаты эрмитов xˆ x  x x  x xˆ  x x , (17) перепишем (16) в виде: x  xˆ, pˆ x  x   x  x  x pˆ x x . (18) Из (15) и (18) следует, что x pˆ x x  i   x  x  . (19)   x  x  . x (20)  x  x  Из математики известно, что   x  x   x  x   Т.е. матричный элемент для оператора импульса (а значит, и ядро оператора импульса) в координатном представлении, имеет вид: x pˆ x x  Lp  x, x   i   x  x  . x (21) Поэтому   x  x    pˆ x  x     x Lp  x, x  dx    x   i  dx  x   интергральное представление по формуле (21)  i (22)     x   x  x  dx  i   x.  x x Значит, действие оператора импульса pˆ x в координатном представлении сводится (с точностью до постоянной) к операции дифференцирования по координате x : pˆ x  i  . x (23) Найдём теперь собственные функции оператора импульса в координатном представлении. Задача на собственные векторы и собственные значения оператора импульса имеют вид: pˆ x px  px px . Умножим это равенство слева на бра-вектор x : (24) x pˆ x px  pˆ x x px  x px px  px x px (25) Введем обозначение x px   p  x  . (26) Функция (26) есть не что иное, как коэффициент разложения собственного вектора px оператора pˆ x по собственным векторам оператора координаты: px   dx x px x   dx p  x x . (27) С учетом (26) задача на собственные значения и собственные функции оператора pˆ x в координатном представлении (25) имеет вид: pˆ x p  x   px p  x  . (28) С учетом (23) уравнение (28) принимает вид дифференциального уравнения:   p  x   px p  x  . x i (29) Решение этого уравнения хорошо известно: i     p  x   A exp  px x  . (30) Постоянную A найдём из условия нормировки:  dx  x   x     p  p . (31)  i  i  exp   px x  exp  px x dx      2  2 2  p  px  i   A  exp  x  px  px  dx  A 2  x   2 A   px  px  .      (32) * p p Имеем: *  dx p  x  p  x   A 2    Сравнивая последние два выражения, получим, что A  2 1 2 . (33) Тогда с точностью до фазового множителя собственная функция оператора импульса в координатном представлении имеет вид:  p  x   x px  1 i  exp  px x  . 2   (34) Это – волновая функция для частицы с определенным импульсом px . Определенный импульс имеет свободная частица. Поэтому функция (34) соответствует волновой функции свободной частицы, так называемой волне де-Бройля. 2. Импульсное представление. В качестве базисных векторов можно также взять собственные векторы px оператора импульса pˆ x : pˆ x px  px px . Вектор состояния  (35) тогда можно записать в виде разложения по собственным векторам оператора импульса:    dx px  px . (36) Скалярное произведение px  называется волновой функцией, но уже в импульсном представлении:   px   px  . (37) Какова связь между волновыми функциями в координатном представлении   x  (4) и в импульсном представлении   px  (37)? Для ответа на этот вопрос нужно сначала умножить на бра-вектор x разложение (36), а затем на бра-вектор px разложение (3): x     x    dx px    px  px     px    dx x    x x px  формула (34) 1 2 1 px x  2 * i  dx  p  exp  x  px x    i   dx  x  exp   px x  (38) x px Видим, что связь между этими двумя представлениями осуществляется с помощью прямого и обратного преобразований Фурье. Задание 1. Пользуясь решением задачи на собственные значения и собственные функции оператора координаты в координатном представлении (см. формулы (2)-(13) и текст к ним), найти собственные значения и собственные функции оператора импульса в импульсном представлении. Указание: нужно повторить выкладки (2)-(13), но уже для импульса. Давайте найдем вид оператора координаты в импульсном представлении. Для этого представим его в виде интегрального оператора: xˆ  px      px  Lx  px , px  dpx . (39) ядро оператора Сравните это с представлением (5). Теперь вспомним, что ядро оператора в некотором представлении – это матричный элемент оператора в этом представлении: Lx  px , px   px xˆ px . (40) Найдем это ядро. ˆ ˆ px px xˆ px  px xE   1 Eˆ  dx x x  xˆ x  x x  xdx p x x x px  формула (34) 2  dx px xˆ x x px   i  i  px x  exp  px x  xdx      exp   1    i  i   x exp  x  px  px  dx  exp  x  px  px  dx      2 2  i  px     (41) 1  i     px  px     px  px  .  2    i 2 px  px   С учетом полученного выражения формула (39) примет вид xˆ  px   i     p  p   p  p  dp  x x x x x   i   px   px  px  dpx  i   px  .  px px (42) Значит, действие оператора координаты x̂ в импульсном представлении сводится (с точностью до постоянной) к операции дифференцирования по импульсу px : xˆ  i  . px (43) Задание 2. Пользуясь явным выражением для операторов координаты и импульса, найдите прямым вычислением их коммутатор в координатном и импульсном представлениях. Убедитесь, что ответ не зависит от выбора представления. Задание 3. Показать, что x pˆ x2 x   2  2  x  x . x 2 (44) Разумеется, все выкладки можно провести и в трехмерном случае. Запишем результаты в таблицу. Координатное представление rˆ  r Оператор координаты Оператор импульса pˆ  i Импульсное представление rˆ  i   i r r   i p p pˆ  p 3. Уравнение Шредингера в координатном представлении. Полученное в предыдущей лекции уравнение Шредингера i d  t  dt  Hˆ   t  . (45) справедливо в любом представлении. Выберем для определенности оператор Гамильтона в виде pˆ 2 Hˆ   V  rˆ  . 2m (46) Умножим уравнение Шредингера слева на бра-вектор r : i  r   t   r Hˆ   t  . t (47) Мы уже знаем, что скалярное произведение r   t     r, t  (48) является волновой функцией в координатном представлении. Знак полной производной по времени мы заменили на знак частной производной по времени, т.к. теперь мы указываем, что действуем оператором именно на время, а не на координаты r . Подставим теперь в (47) выражение (46): i  1 r  t   r pˆ 2   t   r V  rˆ    t  . t 2m (49) Разберем каждое слагаемое по-отдельности. Во-первых, r V  rˆ    t   r V  rˆ  Eˆ   t   r V  rˆ    d r r r    t  3 Eˆ   d r r V  rˆ  r r   t    d r r V  rˆ  r   r, t  . 3 3   r  ,t  Задание 4. Показать, что  (50) r V  rˆ  r  V r   r  r . (51) Указание: Воспользуйтесь определением функции от оператора для V  rˆ  , а также что r r    r  r  . С учетом (51) r V  rˆ    t   V  r   r, t  . (52) Во-вторых, r pˆ 2   t   r pˆ 2 Eˆ   t   r pˆ 2   d r r r    t  3  Eˆ   d 3r r pˆ 2 r r   t    формула (44)  2 2 3  d r   r  ,t  2 d 3r  r  r   r, t    2  r 2  2  r  r    r, t   r 2 (53) 2   r, t    2  r  r, t  . 2 r С учетом (48), (52) и (53) запишем окончательное выражение для уравнения Шредингера в координатном представлении: 2  i   r, t    r  r, t   V  r   r, t  . t 2m (54) 4. Уравнение Шредингера в импульсном представлении. Умножим уравнение Шредингера слева на бра-вектор p : i  1 p   t   p Hˆ   t   p pˆ 2   t   p V  rˆ    t  . t 2m (55) Скалярное произведение (смотри формулу (37) и текст к ней) p   t     p, t  (56) является волновой функцией в импульсном представлении. Первое слагаемое в правой части (55) имеет вид: p pˆ 2   t   p pˆ 2 Eˆ   t   p pˆ 2 Eˆ   t    p pˆ 2   d p p 3  p   t    d 3p p pˆ 2 p p   t  . (57)   p , t  Eˆ Задание 5. Показать, что p pˆ 2 p  p2  p  p  . (58) Значит, p pˆ 2   t    p2  p, t   p  p d 3p  p2 p, t  . (59) Разберемся теперь со вторым слагаемым в (55). Имеем p V  rˆ    t   p V  rˆ  Eˆ   t   p V  rˆ    d p p 3  p   t   Eˆ (60)   d p p V  rˆ  p p   t    d p p V  rˆ  p   p, t  . 3 3   p ,t  Вычислим теперь матричный элемент p V  rˆ  p : p V  rˆ  p  p Eˆ  d 3r r r V  rˆ  Eˆ    d 3rd 3r p r r V  rˆ  r  r  p   d 3r rp  1  2 * V  r   r r   p  d 3r  r  r  rp формула (38) V  r  r p *  (61) формула (38)  i  d rV  r  exp   r  p  p    V  p  p  .     3 3 Значит, матричный элемент p V  rˆ  p оператора потенциальной энергии в импульсном представлении определяется фурье-образом потенциальной энергии. С учетом (59), (60) и (61) уравнение Шредингера в импульсном представлении имеет вид: i  p2   p, t     p, t    d 3pV  p  p    p, t  . t 2m (62)