Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Краткое содержание
3.2. Комплексный метод расчета цепей
синусоидального тока.
3.2.1. Комплексная плоскость и комплексные числа
3.1.2. Компонентные уравнения в комплексной форме.
Законы Кирхгофа в комплексной форме. Комплексные
схемы замещения.
,
Для расчета напряжений и токов в цепи с синусоидальными
источниками токов и напряжений могут быть использованы законы
Кирхгофа для мгновенных значений. При дополнении
компонентными уравнениями получаем полную систему алгебро
– дифференциально – интегральных уравнений. Для линейной цепи
параметры R, L и С идеализированных резистивного, индуктивного
и емкостного элементов не зависят от значений и направлений
токов и напряжений в цепи.
Уравнения Кирхгофа для мгновенных значений
i1 (t ) = iL (t ) + iC (t )
1
iC (t )dt + iC (t ) R2
C
diL
e(t ) = i1 (t ) R1 + L
+ iL (t ) R3
dt
1
di
uC = iC (t )dt uL (t ) = L L
C
dt
e(t ) = i1 (t ) R1 +
?
2
Рассмотрим простейший пример использования уравнения,
составленного по первому закону Кирхгофа для расчета
мгновенного значения тока и показания приборов:
А1
А2
3,535 A
А3
1, 414 A
5
3,535 A
Дано: i1 (t ) = 5sin(t + 30) A
А1
2
i2 (t ) = 2sin(t − 90) A А2 I = 2 1,414 A
2
2
Определить: А3
i3 (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) ?
i3 (t ) = I m 3 sin(t + 3 )
I1 =
?
I m3 ?
Расчет во временной области
не удобен и труден
3
Для расчета синусоидальных величин (токов, напряжений, ЭДС), т.е.
для выполнения алгебраических операций над ними, переходят в
комплексную расчетную область. Метод, основанный на
использовании комплексных чисел, был предложен американским
электротехником Штейнмецом в 1893 г.
Штейнмец предложил представлять синусоидально изменяющиеся
величины, характеризуемые тремя параметрами: амплитудой,
угловой частотой и начальной фазой, векторами на
комплексной плоскости с двумя параметрами: модулем вектора
и фазным углом.
При этом математические операции с изменяющимися по
синусоидальному закону токами и напряжениями заменяются
математическими операциями над векторами (комплексными
числами), что существенно упростило расчеты цепей переменного
тока. Использование комплексного метода позволяет рассчитывать
цепи синусоидального тока с использованием алгебраических
уравнений аналогично цепям постоянного тока.
4
Расположим вектор длиной (модулем) М в координатной плоскости
X0Y под углом к оси X, как показано на рисунке. Из курса
математики известно, что при вращении вектора против часовой
стрелки с угловой скоростью его координаты меняются по закону
x(t ) = M cos(t + ) и y (t ) = Msin(t + ) .
M sin
M
x(t ) = M cos(t + )
t
y (t ) = M sin(t + )
5
Дано мгновенное значение синусоидального тока
i (t ) = 1sin(t + 30)
Изобразим окружность радиусом, определяемым амплитудой, и
отметим точку на окружности в соответствии с заданной начальной
фазой; построим радиус-вектор (длина определяется амплитудой,
положение начальной фазой). Отмечаем проекции положения точки
(вектора)при вращении на вертикальную ось.
1
t=0
1
300
6
Временная диаграмма (осциллограмма) определяет взаимное положение кривых
мгновенных значений тока и напряжения, временной диаграмме соответствует
векторная диаграмма. Выбор начала отсчета не меняет взаимного расположения
векторов.
Синусоидальное напряжение отстает
от синусоидального тока = t
i (t ) = I m sin(t ) i = 0
u (t ) = U m sin(t − )
Um
Im i(t)
-φ
векторная диаграмма
u(t)
t
2p
t
ωt
временная диаграмма
7
Временная диаграмма (осциллограмма) определяет взаимное положение кривых
мгновенных значений тока и напряжения, временной диаграмме соответствует
векторная диаграмма. Выбор начала отсчета не меняет взаимного расположения
векторов.
i (t ) = I m sin(t + )
u (t ) = U m sin t
u = 0
Синусоидальное напряжение опережает
от синусоидальный ток = t
Um
Im
φ
u(t)
i(t)
t
2p
векторная диаграмма
t
ωt
временная диаграмма
8
Поместим вектор на комплексную плоскость, образованную вещественной
(Real) и мнимой (Jmage) осями. Начальный угол определим по отношению к
действительной оси на комплексной плоскости.
j
M = Me = M
ω
Image
α
1
(длина вектора)
- угол поворота
a = Re M = M cos
M
Im[M]
оператор поворота
M -модуль комплексного числа
t=0
b
e j = cos + j sin
1
Re[M]
b = Im M = M sin
a Real
1
Me j
M
координаты
конца вектора
- единичный вектор по горизонтальной оси
j - единичный вектор по вертикальной оси
9
1 - единичный вектор по горизонтальной оси Real
j - единичный вектор по вертикальной оси Jmage
10 = e j 0 = cos0 + j sin 0 = 1
Jmage
190 = e
j 90
= cos90 + j sin 90 = j
j j = 1180 = −1
j
j j j = 1270 = − j
-1
1
-j
Real
j j j j = 1360 = 1
j 2 = 1180 = −1
−1 = j
10
M = Me j = M cos + jM sin = a + jb
a = Re M = M cos
b = Im M = M sin
Pol
ω
Image
t=0
b
M
Im[M]
α
1
1
Re[M]
a Real
Rec
Rec
M 2 = a 2 + b2
-модуль комплексного
числа
b
Pol
угол
поворота
tg =
a
1 - единичный вектор по горизонтальной оси
j - единичный вектор по вертикальной оси
M = a +(1)jb
11
Сложение и вычитание
M 1 M 2 = ( a1 + jb1 ) ( a2 + jb2 ) = ( a1 a2 ) + j ( b1 b2 )
Умножение и деление
M 1 M 2 = M 1e j1 M 2e j2 = ( M 1 M 2 )e j ( 1 +2 ) =
= ( M 1 M 2 ) ( 1 + 2 )
M 1 M 1e j1 M 1 j ( 1 −2 ) M 1
=
=
e
=
( 1 − 2 )
j 2
M 2 M 2e
M2
M2
*
Умножение на комплексно-сопряженный вектор
M = Me
j ( − )
*
M M = Me j Me j ( −) = M 2 = a 2 + b 2
12
+j
+j
5,964
2,5
M1
M1-M2
1
-2
2,33
1
-0,964
4,33
2,5
+1
M1
M1+M2
M2
1
-2
1
4,33
6,33+1
M1-M2
-3,464
правило «параллелограмма»
M2
-3,464
правило «треугольника»
13
Вращение вектора против часовой стрелки с угловой скоростью
можно представить с использованием оператора поворота:
e
jt
+j
M
t=0 t=T
+1
Me jt = Me j ( t + )
Me jt = Me j ( t + ) =
= M cos(t + ) + jM sin(t + )
Re Me jt
Im Me jt
Мгновенному значению тока (напряжения, ЭДС) с заданной амплитудой и
начальной фазой в любой фиксированный момент времени t соответствует
значение координаты, вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде
и фазный угол определяется начальной фазой
i (t ) = Im Ime jt = Im I me ji e jt = I m sin(t + i )
14
Поскольку все синусоидальные токи, напряжения, ЭДС имеют
одинаковую частоту , то взаимное расположение этих векторов
в любой момент времени остается неизменным, следовательно
расчеты можно вести по положению векторов в момент t=0.
Мгновенному значению тока (напряжения, ЭДМ) ставится в
соответствие комплексная амплитуда
i (t ) = I m sin(t + i )
Im = I m e ji = I m i
u (t ) = U m sin(t + u )
U m = U m e ju = U m u
e(t ) = Em sin(t + e )
Em = Em e je = Em e
Амплитуда
i (t ) = I m sin(t + i )
Комплексная
амплитуда
Модуль
Im = I mi
угол
начальная фаза
15
Мгновенному значению тока и напряжения поставить в
соответствие комплексные амплитуды. Изобразить вектора
на комплексной плоскости (построить векторную диаграмму)
u (t ) = 7,07sin(628t + 17,5) B
i (t ) = 0,112sin 628t A
Временная диаграмма
U m = 7,0717,5 B
Im = 0,1120 A
Векторная диаграмма
16
Как правило, расчет проводится в действующих
значениях. Действующее значение соответствует
показанию приборов и определяет тепловые потери.
Im
I=
i = I i
2
Um
U=
u = U u
2
Em
Em =
e = Ee
2
Комплексы
действующего
значения
Модуль (длина) вектора равен действующему значению
(показанию прибора), фазный угол соответствует начальной фазе
17
Мгновенному значению тока и напряжения поставить в
соответствие комплексные напряжение и ток.
u (t ) = 7,07sin(628t + 17,5) B
i (t ) = 0,112sin 628t A
U
7,0717,5
U= m
= 517,5
1,41
2
Временная диаграмма
U m = 7,0717,5 B
Im = 0,1120 A
0,1120
I=
= 0,07950
1,41
Векторная диаграмма
18
Введение вместо синусоидальных функций времени i(t), u(t),
e(t) соответствующих комплексов позволяет
алгебраизировать компонентные уравнения элементов
цепи, векторные диаграммы дают полную информацию
об участке электрической цепи, иллюстрирует расчеты в
удобной и наглядной форме. Для источников:
u (t ) = e(t )
U =E
i (t ) = J (t )
I =J
19
Закон Ома и временная диаграмма
i(t) R
Um
u(t)
для φu=0
Im
i(t)
p/2
t
T
2p
ωt
u(t)
U m = RI m
u (t ) = Ri (t )
U = RI
u (t ) = U m sin(t + u )
i (t ) = I m sin(t + i )
u = i
совпадают по фазе
Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма
I
R
U
вектора
сонаправлены
I
U
U = R I
20
Закон электромагнитной индукции и временная диаграмма
ULm
iL(t) L
uL(t)
для φi=0
ILm
iL(t)
t
T
p/2
2p
uL(t)
ωt
diL
u L (t ) = L
dt
iL (t ) = I mL sin t
cos t + 90)
u L (t ) = LI mLsin(
U mL = LI mL U L = LI L u = i + 90 фазный сдвиг (ток отстает от напряжения)
Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма
IL
jXL
UL
U L = jX L I L
Поворот на 90°
от комплекса тока
X L = L
UL
IL
Индуктивное сопротивление
21
Закон электрической индукции и временная диаграмма
iC(t) C
UCm
uC(t)
для φu=0
ICm
iC(t)
t
T
p/2
2p
ωt
uC(t)
U mC =
duC
iC (t ) = C
dt
uC (t ) = U mC sin t
cos t + 90)
iC (t ) = CU mC sin(
1
1
I mC U C =
I C i = u + 90 фазный сдвиг (ток опережает напряжение)
C
C
Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма
IC -jXC
UC
U C = − jX C IC
Поворот на 90°
от комплекса тока
1
XC =
C
Емкостное сопротивление
IC
UC
22
Закон Ома в комплексной форме
Комплексные ток и напряжение на пассивном участке цепи
связаны соотношением
U =ZI
U Ue ju U j ( u −i )
Z = = ji = e
I
Ie
I
I = Y U
Комплексное сопротивление
Z = Ze = Z cos + j Z sin = R jX = u − i
j
R = Re Z
X = Im Z
Z = R jX
Комплексная проводимость
1 I j ( i −u )
Y= = e
= Y cos(−) + jY sin(−) =
Z U
= Y cos − jY sin
Y =G
G = ReY
B = ImY
jB
23
Комплексное сопротивление
Характер участка определяется соотношение комплексов
напряжения и тока на этом участке
R
Z=
Резистивный (активное сопротивление)
jX L
Индуктивный (чисто реактивный)
− jX C
Емкостной (чисто реактивный)
R + jX L
Активно-индуктивный
R − jX C
Активно-емкостной
U
U
I
U
U =ZI
Закон Ома в комплексной форме
U
U
24
Законы Кирхгофа в комплексной форме
Составляют комплексную схему замещения цепи и
математическое описание всех ее элементов в комплексной
области. Законы Кирхгофа в комплексной форме:
I
j
j
=0
U
j
j
=0
E = Z
k
k
I
n n
n
Решив эти уравнения относительно комплексов токов и напряжений цепи, при
необходимости переходят к мгновенным значениям (соответствующим
синусоидальным функциям токов и напряжений). Представление
синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами позволяет
изображать их на комплексной плоскости в виде векторов, отображая
действия, производимые над этими числами в процессе расчета цепей, в виде
построений соответствующих векторных диаграмм. Удобной иллюстрацией
расчета является векторная диаграмма токов (ВДТ) и топографическая
диаграмма напряжений (ТДН), отражающая соотношения между
комплексами тока и напряжения на любом участке цепи и позволяющая
находить графическим путем напряжение между любыми точками
электрической цепи без дополнительного расчета.
25
Для мгновенных значений
i1 (t ) = iL (t ) + iC (t )
1
iC (t )dt + iC (t ) R2
C
diL
e(t ) = i1 (t ) R1 + L
+ iL (t ) R3
dt
e(t ) = i1 (t ) R1 +
Для комплексов
I1 = I L + IC
E = I1R1 + (− jX C ) IC + IC R2
( R2 − jX C ) IC
☺
E = I1R1 + ( jX L ) I L + I L R3
( R3 + jX L ) I L
26
Автор доц. каф. ТОЭ НИУ «МЭИ»
Жохова М.П.
ZhokhovaMP@mpei.ru
27