Компенсационные и апериодические непрерывные и импульсные (цифровые) регуляторы

Лекция 6 Компенсационные и апериодические непрерывные и импульсные (цифровые) регуляторы Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала , (6.1) Т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. В случае непрерывной (аналоговой) одноконтурной системы управления (см. рис.6.1) Рис. 6.1. Структурная схема одноконтурной, замкнутой САУ передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безынерционное звено, например, с коэффициентом kс . Передаточную функцию замкнутой САУ, представленной на рис 6.1, приравняем безынерционному звену с коэффициентом передачи kс: . Откуда при kс  1 выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом: . Например, для объекта первого порядка , где ; . Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить. Для общего случая можно записать , (6.2) где Wg(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы, определяемая из требований к переходному процессу по времени, колебательности и точности в установившемся режиме. Из (6.2) следует, что . (6.3) Передаточная функция Wg(p) должна выбираться из двух противоречивых условий – из возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и из реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции объекта управления является выполнение условия m  n , (6.4) где m - порядок полинома числителя; n - порядок полинома знаменателя. Это гарантирует, что будут отсутствовать дифференцирующие звенья. Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (6.3) будет определяться следующим выражением: , (6.5) где  и  - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции. Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид . Значит, минимальное значение порядков числителя и знаменателя Wg(p), очевидно, будет следующим  = 0;  = 1. Т. е. желаемая передаточная функция, как и объект, будет иметь вид звена первого порядка: . Но, в отличие от объекта, замкнутая система будет иметь большее быстродействие, если задать условие Tg  To. По формуле (6.3) получим . Для удовлетворения требования по точности в установившемся режиме примем kg = 1. В этом случае , где ; . Таким образом, получили реализуемый ПИ-регулятор. При Tg  0 обеспечивается приближение к требованию наиболее быстрого воспроизведения задающего сигнала в переходных режимах. Практически минимальное значение Tg ограничивается технической реализуемостью коэффициентов kП и kИ, величина которых возрастает с увеличением Tg, и помехозащищенностью контура регулирования. Если объект более высокого порядка, то согласно условию (6.5) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования. Очевидно, что выражение (6.2) справедливо и для одноконтурной импульсной САУ. , (6.6) где WО(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном. Из этого выражения следует, что . (6.7) Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (6.4), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней объекта управления относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора так же определяется условием (6.5). Рассмотрим определение WR(z) так же на примере первого порядка (5.13): В Z-преобразованном виде получим выражение для желаемой передаточной функции первого порядка , аналогичное (5.13) имеет следующий вид: , (6.8) где ; ; , Или при коэффициент . Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину Tg накладывается дополнительное ограничение (5.21), связанное с длительность периода квантования Т: Подставляя в (6.7) выражения для передаточных функций (5.13) и (6.8), получим или , (6.9) где ; . Таким образом, получили импульсный (цифровой) ПИ-регулятор. Особый интерес в дискретных системах представляет особой вид компенсационных регуляторов, которые обеспечивают апериодическую обработку ступенчатого задающего сигнала за n-тактов, где n - порядок объекта управления. Такие регуляторы называются апериодическими регуляторами. Передаточная функция объекта в общем случае совместно с формирователем имеет вид: . (6.10) Желаемая передаточная характеристика замкнутой системы регулирования, которая соответствует апериодическому переходному процессу за n тактов, будет определяться следующим выражением: , (6.11) где . Убедимся, что при ступенчатом воздействии uз(k) = const (k = 0,1,2…) переходный процесс закончится за n тактов. В соответствии с (6.10) и (6.11) выходная координата определяется выражением6 . Применив к этому выражению обратное Z-преобразование, получим следующее разностное уравнение: . Определим y(k) при k=1,2,3… ; ; ……………………………………………………………………. ; ; …………………………………………………………………….. Учитывая, что uз(k) – постоянная величина, ее можно вынести за скобки. Из анализа двух последних выражений видно, y(n+1) = y(n), т.е. переходный процесс закончился за n тактов. Подставив из (6.11) выражение для коэффициента q0, получим, что за это время выходная координата достигает заданного значения . Определим передаточную функцию регулятора, который обеспечивает такой апериодический переходный процесс. Подставив в (6.7) выражение для передаточных функций (6.9) и (6.10), получим: . После преобразования получим передаточную функцию апериодического регулятора: . (6.12) В развернутом виде согласно (6.9) и (6.10) получим: , (6.13) где q0 = 1/bi; qi = q0 ai; pi = -q0 bi; i = 1,2,…,n; ai, bi - коэффициенты передаточной функции объекта управления. В качестве примера определим апериодический регулятор для объекта первого порядка, передаточные функции которого в непрерывной и импульсной формах имеют следующий вид (см. также(3.14)): Подставив в (6.13) значение коэффициентов передаточной функции , определим, что , (6.14) где ; ; ; . Полученная передаточная функция соответствует типовому дискретному регулятору (5.7) при =1, т.е. апериодический регулятор для объекта первого порядка представляет собой цифровой ПИ-регулятор. Отличие регулятора (6.14) от регулятора (6.9) состоит в том, что его коэффициенты определены из условия достижения выходной координаты за один такт квантования (в рассматриваемом примере n=1). Убедимся в этом, подставив в (6.6) выражения передаточных функций (3.14) и (6.14): . (6.15) После элементарных преобразований . (6.16) Разностное уравнение, соответствующее этому выражению, показывает, что величина выходной координаты повторяет задающий сигнал с отставанием на один такт, т.е. при ступенчатом изменении uз(k) переходный процесс закончится за один такт. Определим характер изменения управляющего воздействия, поступающего с апериодического регулятора на объект управления. Разностное уравнение, соответствующее передаточной функции апериодического регулятора (6.14), будет иметь вид: . (6.17) При k=0 согласно (6.17) y(0) = 0, следовательно: . (6.18) Или подставляя выражение для q0 из (6.13), получим: . (6.19) При k = 1 согласно (6.16) величина y(1) = uз(0) = uз, следовательно, . Принимая во внимание (6.16) и (6.19), получим . (6.20) На рис.6.2 представлены графики зависимости задающего и управляющего сигналов и выходной координаты. Очевидно, что возможность технической реализации апериодического регулятора с величиной периода квантования. Из (6.19) видно, что при Т0 величина управляющего воздействия u(0)  ∞. Реально эта величина ограничена определенной величиной umax. При таком ограничении длительность периода квантования может быть определена из (6.19) при uз = 1 следующим образом: . (6.21) Величина umaxko равна максимальному значению выходной координаты объекта. Отношение есть коэффициент форсировки. При y = 1, что соответствует uз = 1, выражение (6.21) примет следующий вид . (6.22) Рис.6.3. Переходные процессы в системе с апериодическим регулятором и объектом первого порядка Для объектов высокого порядка формула расчета из условия ограничения управляющего воздействия значительно усложняется. Наиболее просто задание управляющего воздействия осуществляется с помощью апериодического регулятора повышенного порядка, который производит установление выходной координаты за n + 1 тактов. Передаточная функция такого регулятора имеет вид: , (6.23) где – задается; ; . Для рассматриваемого в примере объекта первого порядка согласно (3.14) и (6.23) получим следующее выражение: , (6.24) где ; ; ; ; . Если объект имеет на m тактов запаздывание, которое в дискретной передаточной функции учитывается сомножителем z-m, то аналогично можно доказать, что передаточная функция апериодического регулятора будет иметь следующий вид: . (6.25) Длительность переходного процесса при ступенчатом изменении задания будет составлять, очевидно, n+m тактов. Из (6.13) следует, что программно-импульсные ПИД-регуляторы и апериодические регуляторы реализуются практически одинаково. Применение того или иного регулятора зависит от конкретных требований к качеству управления, вида объекта управления и допустимой величины периода квантования. Импульсные И-, ПИ-, ПИД-регуляторы целесообразно применять для объектов не выше третьего порядка или в системах подчиненного или каскадного регулирования, как правило, для стабилизации выходной координаты при uз = const. Достоинством этих регуляторов является наличие разработанных рекомендаций для их настройки, особенно для случаев, когда синтез можно производить по непрерывному описанию системы управления. Достоинство компенсационных регуляторов состоит в возможности их синтеза путем задания желаемой передаточной функции замкнутой системы. В принципе, порядок объекта не ограничен. Однако надо учитывать, что результирующая передаточная функция получается путем сокращения полюсов и нулей в передаточной функции объекта управления (путем их компенсации). Поэтому регулятор применим только для устойчивых объектов, т.е. таких, у которых полюсы и нули дискретной передаточной функции лежат на плоскости внутри единичной окружности. Наиболее просто осуществляется синтез апериодического регулятора. Однако конечное время установления достигается только при точном совпадении модели объекта и истинными параметрами самого объекта. Если такого совпадения нет, то в замкнутой системе могут возникнуть колебания. Поэтому апериодический регулятор целесообразно использовать только для хорошо демпфированных устойчивых объектов или в системах адаптивного управления с идентификацией параметров объекта.