Колебания систем с конечным числом степеней свободы

Лекция 6 Тема № 3 «КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ» 5.1. Уравнение движения Рассматриваются многомассовые механические системы с конечным числом степеней свободы. При относительно малом числе степеней свободы n и большом числе масс N (N > n) положение механической системы целесообразно описывать обобщенными координатами 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛), законы изменения во времени t которых определяют из решения уравнений движения Лагранжа II рода (1.15) 𝑑𝑑 � 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 �− 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑗𝑗 + 𝜕𝜕Ф 𝜕𝜕𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 + 𝜕𝜕П 𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖 = 𝑄𝑄𝑗𝑗 , (𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛) (5.1) где 𝑞𝑞̇ 𝑗𝑗 – точка сверху означает производную по времени t; T – кинетическая энергия системы; П – потенциальная энергия системы; Ф – диссипативная функция Релея; 𝑄𝑄𝑗𝑗 – обобщенные силы. 5.2. Свободные колебания без сопротивления Рассмотрим уравнением автономную консервативную �⃗̈ + 𝐂𝐂𝐪𝐪 �⃗ = 𝟎𝟎 𝐌𝐌𝐪𝐪 �⃗(0) = �𝒒𝒒⃗𝟎𝟎 ; с начальными условиями: 𝒒𝒒 систему, описываемую (5.2) �𝒒𝒒⃗̇(0) = 𝒒𝒒 �⃗̇𝟎𝟎 . Колебания в такой системе называются свободными и могут быть найдены в виде �𝒒𝒒⃗(𝑡𝑡) = 𝝂𝝂 �⃗ cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛽𝛽), �⃗, 𝜔𝜔, 𝛽𝛽 – параметры, подлежащие определению. где 𝝂𝝂 (5.3) Подставив (5.3) в (5.2), приходим к следующему уравнению для �⃗: определения вектора 𝝂𝝂 [𝐂𝐂 − 𝜔𝜔2 𝐌𝐌]𝝂𝝂 �⃗ = 𝟎𝟎. Уравнение (5.4) имеет отличное от нуля характеристический определитель равен нулю, т.е. (5.4) решение, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑[𝐂𝐂 − 𝜔𝜔2 𝐌𝐌] = 0. если его (5.5) При колебаниях системы около положения устойчивого равновесия все корни уравнения (5.5) относительно 𝜔𝜔2 положительные. Извлекая из них квадратные корни и принимая во внимание корни только со знаком «+», найдем для системы с n степенями свободы n собственных частот колебаний 𝜔𝜔𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛), которые вначале будем считать различными, а случай кратных частот рассмотрим ниже. Упорядоченная по мере возрастания последовательность чисел 𝜔𝜔1 , 𝜔𝜔2 , … , 𝜔𝜔𝑛𝑛 называется спектром частот собственных колебаний системы. Каждой частоте 𝜔𝜔𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛) �⃗𝑘𝑘 , определяемый в соответствии с (5.4) из решения соответствует вектор 𝝂𝝂 уравнения [𝐂𝐂 − 𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝐌𝐌] ∙ 𝝂𝝂 �⃗𝒌𝒌 = 𝟎𝟎. (5.6) �⃗𝒌𝒌 составляют спектр форм и называются собственными Векторы 𝝂𝝂 формами колебаний. �⃗𝒌𝒌 и собственных частот 𝜔𝜔𝑘𝑘 называется Совокупность спектров форм 𝝂𝝂 спектром собственных колебаний механической системы. �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 , получим Умножив соотношение (5.6) слева на вектор 𝝂𝝂 �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 ∙ С ∙ 𝝂𝝂 �⃗𝒌𝒌 − 𝜔𝜔𝑘𝑘2 ∙ 𝝂𝝂 �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 ∙ 𝐌𝐌 ∙ 𝝂𝝂 �⃗𝒌𝒌 = 0. 𝝂𝝂 (5.7) Отсюда следует зависимость, связывающая спектры частот и форм собственных колебаний: �⃗𝑻𝑻 ∙С∙𝝂𝝂 �⃗𝒌𝒌 𝝂𝝂 𝜔𝜔𝑘𝑘2 = �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 �⃗𝒌𝒌 𝝂𝝂𝒌𝒌 ∙𝐌𝐌∙𝝂𝝂 , (5.8) которую называет формулой Релея. Соотношение (5.6) представляет собой однородную систему уравнений для определения элементов следующей матрицы форм колебаний: 𝜈𝜈11 21 �⃗𝟏𝟏 , 𝝂𝝂 �⃗𝟐𝟐 , … , 𝝂𝝂 �⃗𝒏𝒏 ] = �𝜈𝜈𝑗𝑗𝑗𝑗 � = � 𝜈𝜈… 𝝂𝝂 = [𝝂𝝂 𝜈𝜈𝑛𝑛1 𝜈𝜈12 𝜈𝜈22 … 𝜈𝜈𝑛𝑛2 … 𝜈𝜈1𝑛𝑛 … 𝜈𝜈2𝑛𝑛 �, … … … 𝜈𝜈𝑛𝑛𝑛𝑛 (5.9) где индекс j указывает на номер обобщенной координаты, k – номер формы (j, k = 1, 2, …, n). Поскольку система уравнений (5.6) является однородной, то одну из строк в матрице (5.9) можно принять произвольной. Для определенности примем, что 𝜈𝜈11 = 𝜈𝜈12 = ⋯ = 𝜈𝜈1𝑛𝑛 = 1. Остальные элементы матрицы (5.9) однозначно определяются из решения системы уравнений (5.6). Из (5.6) следует также одно важное свойство форм колебаний, для установления которого запишем это уравнение применительно к некоторым k-ой и j-ой формам колебаний �⃗𝐤𝐤 ; ∙ �⃗ �⃗𝐣𝐣 . 𝐂𝐂 ∙ �⃗ 𝛎𝛎𝐤𝐤 = 𝜔𝜔𝑘𝑘2 ∙ 𝐌𝐌𝛎𝛎 𝛎𝛎𝐣𝐣 = 𝜔𝜔𝑗𝑗2 ∙ 𝐌𝐌𝛎𝛎 (5.10) �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 , второе – на �𝝂𝝂⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 и вычтя из Умножив первое уравнение слева на 𝝂𝝂 первого уравнение второе с учетом известного из теории матриц тождества 𝑥𝑥⃗ 𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑦𝑦⃗ = 𝑦𝑦⃗ 𝑇𝑇 𝐴𝐴𝑥𝑥⃗ Получим �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 ∙ 𝐂𝐂 ∙ �⃗ �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 ∙ 𝑪𝑪 ∙ �⃗ �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 ∙ 𝐌𝐌𝛎𝛎 �⃗𝐤𝐤 = 0. 𝝂𝝂 𝛎𝛎𝐤𝐤 − 𝝂𝝂 𝛎𝛎𝐣𝐣 = �𝜔𝜔𝑘𝑘2 − 𝜔𝜔𝑗𝑗2 � ∙ 𝝂𝝂 Отсюда следует, что две разные формы колебаний ортогональны с весами C и M, т.е. при 𝑘𝑘 ≠ 𝑗𝑗 выполняются соотношения: �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 ∙ 𝐌𝐌𝛎𝛎 �⃗𝐤𝐤 = 0; 𝝂𝝂 величины �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 ∙ 𝐂𝐂𝛎𝛎 �⃗𝐤𝐤 = 0 𝝂𝝂 �⃗𝑻𝑻𝒌𝒌 ∙ 𝐌𝐌𝛎𝛎 �⃗𝑻𝑻𝒋𝒋 ∙ 𝐂𝐂𝛎𝛎 �⃗𝐤𝐤 ; 𝜆𝜆𝑘𝑘 = 𝝂𝝂 �⃗𝐤𝐤 µ𝑘𝑘 = 𝝂𝝂 (5.11) (5.12) называется соответственно обобщенными массами и обобщенными жесткостями системы, соответствующими k-ой форме колебаний. 5.3. Метод главных координат в теории свободных колебаний 5.3.1. Системы без сопротивления Рассмотрим свободные колебания, описываемые уравнением 𝐌𝐌𝑞𝑞⃗̈ + 𝐂𝐂𝑞𝑞⃗ = 𝟎𝟎, (5.13) с начальными условиями: �𝒒𝒒⃗(0) = �𝒒𝒒⃗𝟎𝟎 ; �⃗̇(0) = �𝒒𝒒⃗̇𝟎𝟎 . 𝒒𝒒 Введем в рассмотрение новый вектор переменных �𝒖𝒖⃗, определяемый из решения уравнения (5.14) �⃗, 𝐕𝐕 ∙ �𝒖𝒖⃗ = 𝒒𝒒 где V – матрица собственных форм колебаний (5.9). Поставив (5.14) в (5.13) и умножив полученное равенство слева на 𝐕𝐕 𝑇𝑇 , получим уравнение �⃗̈ + 𝛌𝛌𝒖𝒖 �⃗ = 𝟎𝟎, 𝝁𝝁𝒖𝒖 (5.15) где в соответствии с (5.8) и (5.12): 𝝁𝝁 = 𝐕𝐕 𝐓𝐓 𝐌𝐌𝐌𝐌 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑[µ𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛]; 𝝀𝝀 = 𝐕𝐕 𝐓𝐓 𝐂𝐂𝐂𝐂 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑[𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝜇𝜇𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛] (5.16) С учетом (5.16) уравнение (5.15) распадается на n независимых уравнений 𝑢𝑢̈ 𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 0, 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛; (5.17) c решениями вида 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑢𝑢0𝑘𝑘 cos 𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡 + 𝑢𝑢̇ 0𝑘𝑘 где с учетом (5.14) 𝑢𝑢 �⃗0 = 𝑉𝑉 −1 𝑞𝑞⃗0 ; 𝜔𝜔𝑘𝑘 sin 𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡, 𝑢𝑢 �⃗0 ̇ = 𝑉𝑉 −1 𝑞𝑞⃗̇0 . (5.18) (5.19) В соответствии с (5.14) и (5.18) общее решение равнения (5.13) можно представить в форме разложения по собственным формам колебаний: 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡) = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝜈𝜈𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡), (𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛). 5.3.2. Системы с сопротивлением (5.20) Рассмотрим теперь свободные колебания в системе с демпфированием, описываемой уравнением 𝐌𝐌𝑞𝑞⃗̈ + 𝐁𝐁𝑞𝑞⃗̇ + 𝐂𝐂𝑞𝑞⃗ = 0. (5.21) Как и при исследовании уравнения (5.13), перейдем к главным координатам. Подставив (5.14) в (5.21) и умножив полученный результат слева на 𝐕𝐕 𝐓𝐓 , приходим к уравнению �⃗̈ + 𝜷𝜷𝒖𝒖 �⃗̇ + 𝝀𝝀𝒖𝒖 �⃗ = 𝟎𝟎, 𝝁𝝁𝒖𝒖 (5.22) где матрицы 𝝁𝝁 и 𝜆𝜆 определяются по формулам (5.16), а 𝛃𝛃 = 𝐕𝐕 𝐓𝐓 𝐁𝐁𝐁𝐁. Если матрицу β можно представить в виде 𝛃𝛃 = 2𝑛𝑛1 𝐌𝐌 + 2𝑛𝑛2 𝐂𝐂, где 𝑛𝑛1 и 𝑛𝑛2 – некоторые константы, то эта матрица будет диагональной с элементами 2𝑛𝑛𝑘𝑘 µ𝒌𝒌 , где 𝑛𝑛𝑘𝑘 = 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 𝜔𝜔𝑘𝑘2 , 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛. В этом случае уравнение (5.22) распадается на n независимых уравнений 𝑢𝑢̈ 𝑘𝑘 + 2𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑢𝑢̇ 𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 0 (5.23) С решениями вида �𝑘𝑘 𝑡𝑡 + 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑡𝑡 �𝑢𝑢0𝑘𝑘 �cos 𝜔𝜔 𝑛𝑛𝑘𝑘 � 𝑘𝑘 𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔 �𝑘𝑘 𝑡𝑡� + 𝑢𝑢̇ 0𝑘𝑘 � 𝑘𝑘 𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔 �𝑘𝑘 𝑡𝑡�, (5.24) �𝑘𝑘 = �𝜔𝜔𝑘𝑘2 − 𝑛𝑛𝑘𝑘2 . где начальные условия 𝑢𝑢0𝑘𝑘 и 𝑢𝑢̇ 0𝑘𝑘 , а 𝜔𝜔 Подставив выражения (5.24) в (5.20), получаем решение уравнения (5.21). 5.3.3. Особые случаи определения спектра собственных колебаний В случае, когда в системе обнаруживается несколько одинаковых частот собственных колебаний соотношение (5.4) представляет собой n – r независимых уравнений, где r – число одинаковых частот. В этом случае r форм колебаний могут быть выбраны произвольно. При этом можно, например, принять, что r верхних строк в матрице форм (5.9) состоят из единиц. Так, при n = r = 2 (т.е. при двух одинаковых частотах в системе с двумя степенями свободы, показанной, например, на рис.5.1) можно принять 𝜈𝜈11 = 𝜈𝜈12 = 𝜈𝜈21 = 𝜈𝜈22 = 1. уравнениями и законами Движение такой 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0; 𝑚𝑚𝑦𝑦̈ + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 ; 𝑦𝑦 = 𝐵𝐵 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔, где 𝜔𝜔 = �𝑐𝑐/𝑚𝑚; системы можно описать постоянные А и В определяются из начальных условий, в зависимости от которых имеем движение по прямой, - окружности или – эллипсу. Рис. 5.1 5.4. Метод спектральных представлений в теории вынужденных колебаний 5.4.1. Общее решение Рассмотрим колебания механической системы, воздействием 𝐹𝐹⃗𝑡𝑡 , заданным на бесконечном представимым в виде интеграла Фурье обусловленные интервале +∞ Ф(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝐹𝐹⃗ (𝑡𝑡) = ∫−∞ ���⃗ времени и (5.25) где комплексный амплитудный спектр воздействия ���⃗ Ф(𝜔𝜔) определяется как обратное преобразование Фурье ���⃗ Ф(𝜔𝜔) = +∞ 𝐹𝐹⃗ (𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. ∫ 2𝜋𝜋 −∞ 1 (5.26) Уравнение движения системы примем в виде �⃗̈ + 𝐁𝐁𝒒𝒒 �⃗̇ + 𝐂𝐂𝒒𝒒 �⃗ = 𝐃𝐃 ∙ 𝐅𝐅⃗(t), 𝐌𝐌𝒒𝒒 (5.27) а решение этого уравнения будем искать в форме следующего интеграла Фурье +∞ �𝐪𝐪⃗(𝑡𝑡) = ∫−∞ ��⃗ 𝐐𝐐(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, (5.28) ��⃗(𝜔𝜔) процесса 𝐪𝐪 �⃗(𝑡𝑡) определяется как где комплексный амплитудный спектр 𝐐𝐐 ��⃗(𝜔𝜔) = 𝐐𝐐 1 +∞ �⃗(𝑡𝑡) ∙ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. ∫ 𝐪𝐪 2𝜋𝜋 −∞ (5.29) Подставив (5.25) и (5.28) в уравнение (5.27), получим равенство +∞ ���⃗(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, ��⃗(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫+∞ 𝐃𝐃Ф ∫−∞ [−𝜔𝜔2 𝐌𝐌 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐁𝐁 + 𝐂𝐂]𝐐𝐐 −∞ из которого следует, что ��⃗(𝜔𝜔) = 𝐇𝐇(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ ���⃗ 𝐐𝐐 Ф(𝜔𝜔), (5.30) Где матрица передаточных функций определяется как 𝐇𝐇(𝑖𝑖𝑖𝑖) = �𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖)� = [−𝜔𝜔2 𝐌𝐌 + 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐁𝐁 + 𝐂𝐂]−1 ∙ 𝐃𝐃, (𝑘𝑘, 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛). Подставив (5.30) в (5.28) получим общее решение уравнения (5.27) в виде +∞ �𝐪𝐪⃗(𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝐇𝐇(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ ���⃗ Ф(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.31) Из соотношения (5.31) следует, что k-ая компонента вектора �𝐪𝐪⃗(𝑡𝑡) определяется как +∞ 𝑞𝑞𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф𝒋𝒋 (𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.32) 5.4.2. Реакция системы на гармоническое воздействие с единичной амплитудой Рассмотрим случай стационарных колебаний системы при гармоническом воздействии с единичной амплитудой и частотой ω только по одной j-ой координате, т.е. 𝐹𝐹𝑗𝑗 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔. Заметив ω на 𝜗𝜗 и j на a, представим выражение (5.32) в виде +∞ 𝑞𝑞𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ ∑𝑛𝑛𝑎𝑎=1 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф𝑎𝑎 (𝜗𝜗) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.33) В нашем случае при 𝑎𝑎 ≠ 𝑗𝑗 𝑎𝑎 = 𝑗𝑗 𝐹𝐹𝑎𝑎 (𝑡𝑡) = 0, 𝐹𝐹𝑗𝑗 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 , Ф𝑎𝑎 (𝜗𝜗) = 0; Ф𝑗𝑗 (𝜗𝜗) = 𝛿𝛿(𝜗𝜗 − 𝜔𝜔). (5.34) Принимая во внимание (5.34), проинтегрируем (5.33). Получим реакцию системы по k-ой координате на гармоническое воздействие с единичной амплитудой и частотой ω по j-ой координате 𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 . (5.35) Из соотношения (5.35) выясняется физический смысл элементов матрицы передаточных функций: 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) - это комплексная амплитуда реакции системы по k-ой координате на гармоническое воздействие с единичной амплитудой по j-ой координате (рис. 5.2). Эта реакция иногда называется «усилителем амплитуд». Рис. 5.2 Выражение (5.35) преобразуется в действительную форму следующим образом: (1) (2) 𝑞𝑞𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑅𝑅 ��𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑖𝑖𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 � (cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑖𝑖 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔� = (1) где (2) (5.36) = 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑘𝑘 (1) (2) 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑖𝑖𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖); 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑘𝑘 = �𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖)�; (2) 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (1) 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 . 5.4.3. Реакция системы на гармонические воздействия Рассмотрим случай, когда все воздействия на механическую систему являются гармоническими и синфазными, отличающимися лишь значениями амплитуд и частот, т.е. когда внешнее воздействие определяется соотношениями: 𝐅𝐅⃗(𝑡𝑡) = 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝(𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗𝑒𝑒 , 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛)𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 , ���⃗ Ф(𝑡𝑡) = 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝(𝛿𝛿 (Ɵ − 𝜔𝜔𝑖𝑖 ), 𝑗𝑗 = 1,2, … 𝑛𝑛)𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 , (5.37) где 𝜔𝜔𝑗𝑗 – частота воздействия по j-ой координате. Заменив в (5.31) ω на Ɵ и подставив в него (5.37), получим +∞ 𝑞𝑞⃗ (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝐇𝐇(𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑( 𝛿𝛿 (𝜗𝜗 − 𝜔𝜔𝑖𝑖 )𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 𝑒𝑒 𝑖𝑖Ɵ𝑡𝑡 𝑑𝑑Ɵ = 𝐻𝐻�𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗 � ∙ 𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗𝑡𝑡 = = �−𝜔𝜔𝑗𝑗2 𝐌𝐌 + 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗 𝐁𝐁 + 𝐂𝐂� −1 ∙ 𝐃𝐃 ∙ 𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗 𝑡𝑡 . (5.38) Из соотношения (5.38) следует, что k-ая компонента вектора 𝑞𝑞⃗ (𝑡𝑡) определяется как 𝑞𝑞⃗𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗 ) ∙ 𝐹𝐹0𝑗𝑗 ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗𝑡𝑡 . (5.39) Соотношение (5.39) следует также непосредственно из представлений функции 𝐻𝐻𝑘𝑘𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝜔𝜔𝑗𝑗 ) как соответствующих «усилителей амплитуд». Поскольку спектр частот собственных колебаний демпфирования определяется из решения уравнения без учета �−𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝐌𝐌 + 𝐂𝐂� = 0, (5.40) то из (5.38) следует, что при B = 0 о равенстве одной из частот воздействий одной из частот собственных колебаний (т.е. при 𝜔𝜔𝑗𝑗 = 𝜔𝜔𝑘𝑘 ) амплитуды колебаний (по j-ой форме) могут неограниченно возрастать, что соответствует явлению резонанса. При этом, однако, возможен случай, когда резонанса может и не возникнуть. Для выяснения условия, при котором это �⃗𝐓𝐓𝐤𝐤 . возможно, умножим обе части равенства (5.38) при B = 0 на вектор 𝛎𝛎 Получим соотношение �⃗(𝒕𝒕), �⃗(𝒕𝒕) = �⃗ �⃗𝐓𝐓𝐤𝐤 [С − 𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝑴𝑴]𝒒𝒒 𝛎𝛎𝐓𝐓𝐤𝐤 𝑫𝑫𝑭𝑭 𝛎𝛎 (5.41) из которого следует, что, если внешнее воздействие ортогональны некоторой k-ой форме колебаний с весом D, то даже при указанном равенстве частот явления резонанса не наступит. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, описываемую уравнением (5.27) при D = E, D = 0. 𝑚𝑚11 𝐌𝐌 = �𝑚𝑚 21 𝑚𝑚12 𝑚𝑚22 � , 𝑐𝑐11 𝐂𝐂 = �𝑐𝑐 21 𝑐𝑐12 𝑐𝑐22 �, 𝑚𝑚12 = 𝑚𝑚21 , 𝑐𝑐12 = 𝑐𝑐21 . В соответствии с правилами вычисления обратных матриц получим: 𝐻𝐻 𝐇𝐇(𝑖𝑖𝑖𝑖) = � 11 𝐻𝐻21 1 = |𝐂𝐂−𝜔𝜔2 𝐻𝐻12 � = [𝐂𝐂 − 𝜔𝜔2 𝐌𝐌]−1 = 𝐻𝐻22 𝐌𝐌| � 𝑐𝑐22 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚22 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 − 𝑐𝑐12 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 − 𝑐𝑐12 � 𝑐𝑐11 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚11 (5.42) Компоненты вектора решения получим в виде +∞ 𝑞𝑞1 (𝑡𝑡) = ∫−∞ (𝐻𝐻11 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф1 (𝜔𝜔) + 𝐻𝐻12 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф2 (𝜔𝜔))𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 +∞ 𝑞𝑞2 (𝑡𝑡) = ∫−∞ (𝐻𝐻21 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф1 (𝜔𝜔) + 𝐻𝐻22 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ Ф2 (𝜔𝜔))𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 (5.43) где Ф1 (𝜔𝜔), Ф2 (𝜔𝜔) – комплексные амплитудные спектры внешних воздействий. Если внешние воздействия являются гармоническими с частотами 𝜔𝜔1 и 𝜔𝜔2 , то Ф1 (𝜔𝜔) = 𝐹𝐹01 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 𝜔𝜔1 ); Ф2 (𝜔𝜔) = 𝐹𝐹02 𝛿𝛿(𝜔𝜔 − 𝜔𝜔2 ); (5.44) где 𝐹𝐹01 , 𝐹𝐹02 – амплитуды внешних воздействий. Подставив (5.44) в (5.43), получим 𝑞𝑞1 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻11 (𝑖𝑖𝜔𝜔1 )𝐹𝐹01 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔1𝑡𝑡 + 𝐻𝐻12 (𝑖𝑖𝜔𝜔2 )𝐹𝐹02 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔2 𝑡𝑡 ; 𝑞𝑞2 (𝑡𝑡) = 𝐻𝐻21 (𝑖𝑖𝜔𝜔1 )𝐹𝐹01 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝐻𝐻22 (𝑖𝑖𝜔𝜔2 )𝐹𝐹02 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝜔𝜔2 𝑡𝑡 , (5.45) Решение (5.45) также непосредственно следует из представления передаточных функций как «усилителей амплитуд». Пусть 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔2 = 𝜔𝜔. Тогда в соответствии с (5.42) и (5.45) амплитуды колебаний по первой и второй координатам получим в виде: 1 𝐴𝐴1 = |𝐂𝐂−𝜔𝜔2 1 𝐴𝐴2 = |𝐂𝐂−𝜔𝜔2 𝐌𝐌| 𝐌𝐌| (𝐹𝐹01 (𝑐𝑐22 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚22 ) − 𝐹𝐹02 (𝑐𝑐12 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 )); (𝐹𝐹02 (𝑐𝑐11 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚11 ) − 𝐹𝐹01 (𝑐𝑐12 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 )). (5.46) Поскольку спектр частот собственных колебаний определяется из решения уравнения (5.40), то из (5.46) следует, что при равенстве частоты возмущающей силы одной из частот собственных колебаний системы возможно неограниченное возрастание амплитуд колебаний, соответствующее явлению резонанса. Этого не будет только в том случае, когда (5.46) выражения в больших скобках равны нулю, т.е. при выполнении условий: 𝐹𝐹01 (𝑐𝑐22 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚22 ) − 𝐹𝐹02 (𝑐𝑐12 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 ) = 0; 𝐹𝐹02 (𝑐𝑐11 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚11 ) − 𝐹𝐹01 (𝑐𝑐12 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚12 ) = 0. Пусть 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔1 и выполняется равенство 𝐹𝐹01 𝜈𝜈11 + 𝐹𝐹02 𝜈𝜈21 = 0, (5.47) (5.48) �⃗𝟏𝟏 ортогональны. т.е. векторы 𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 и 𝛎𝛎 Так как в соответствии с (5.4) имеем равенство (с12 − 𝜔𝜔12 𝑚𝑚12 )𝜈𝜈11 + (с22 − 𝜔𝜔12 𝑚𝑚22 )𝜈𝜈21 = = (с11 − 𝜔𝜔12 𝑚𝑚11 )𝜈𝜈11 + (с12 − 𝜔𝜔12 𝑚𝑚12 )𝜈𝜈21 = 0, (5.49) то из соотношений (5.48) и (5.49) следуют равенства (5.47) и тогда в соответствии с (5.46) имеем 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 0. �⃗𝟐𝟐 ) = 𝟎𝟎 следует 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 0, т.е., Аналогично из условий 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔2 и (𝐅𝐅⃗𝟎𝟎 , 𝛎𝛎 если даже частоты возмущающих сил и собственных колебаний совпадают, резонансных явлений может и не происходить. На рис. 5.3 показаны два варианта нагружения, при которых описанное явление возможно. Рис. 5.3 Из соотношения (5.46) следует, что при 𝐹𝐹2 = 0 (аналогично можно рассмотреть случай 𝐹𝐹1 = 0) путем соответствующего подбора параметров системы можно добиться того, что амплитуда колебаний 𝐴𝐴1 будет равна нулю. Это соответствует явлению антирезонанса, которое наступит при выполнении условия 𝑐𝑐22 − 𝜔𝜔2 𝑚𝑚22 = 0. Отсюда следует, что при заданных значениях 𝑐𝑐22 и 𝑚𝑚22 частота воздействий 𝜔𝜔 ∗ («антирезонансная частота»), при которой наступает антирезонанс, равна частоте собственных колебаний системы с закрепленной массой 𝑚𝑚1 . Результаты проведенного анализа широко используются в технике при создании «динамических гасителей колебаний». Зависимость амплитуд от частоты внешнего воздействия (амплитудно-частотная характеристика) для динамического гасителя колебаний показана на рис. 5.4. Из нее видно, что при частоте воздействий 𝜔𝜔 ∗ амплитуда колебаний первой массы 𝐴𝐴1 становится равна нулю. Рис. 5.4 5.5. Метод главных координат в теории вынужденных колебаний Рассмотрим вынужденные колебания, описываемые уравнением ��⃗ = 𝐃𝐃𝐅𝐅⃗. 𝐌𝐌𝑞𝑞⃗̈ + 𝐁𝐁𝑞𝑞⃗̇ + 𝐂𝐂𝑞𝑞⃗ = 𝐐𝐐 (5.50) Как и при изучении свободных колебаний перейдем от обобщенных координат �𝐪𝐪⃗ к главным координатам �𝐮𝐮⃗. Получим уравнение вынужденных колебаний в главных координатах �⃗̈ + 𝛃𝛃𝐮𝐮 �⃗̇ + 𝛌𝛌𝐮𝐮 �⃗ = 𝛎𝛎𝐓𝐓 𝐃𝐃𝐅𝐅⃗. 𝝁𝝁𝐮𝐮 (5.51) Предполагаем, что в системе пропорциональное демпфирование, т.е. матрица диссипативных коэффициентов B представима в виде двух матриц, одна из которых (характеризует внешнее трение) пропорциональна матрице масс М, а другая (характеризует внутреннее трение) – матрице жесткостей C, т.е. 𝐁𝐁 = 𝜂𝜂1 𝐌𝐌 + 𝜂𝜂2 𝐂𝐂, где 𝜂𝜂1 , 𝜂𝜂2 – коэффициенты пропорциональности. В этом случае в уравнении (5.51) матрицы, 𝛃𝛃 и 𝝀𝝀 имеют диагональный вид и (5.51) в скалярной форме эквивалентно n независимым уравнениям вида: где 𝑢𝑢̈ 𝑘𝑘 + 2𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑢𝑢̇ 𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝑘𝑘2 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡), 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 1 µ𝑘𝑘 ∑𝑛𝑛𝑎𝑎=1 ∑𝑛𝑛𝛽𝛽=1 𝜈𝜈𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐹𝐹𝛽𝛽 (𝑡𝑡). При D = E (единичная матрица) имеем (5.52) 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 1 µ𝑘𝑘 ∑𝑛𝑛𝑎𝑎=1 ∑𝑛𝑛𝛽𝛽=1 𝜈𝜈𝑎𝑎𝑎𝑎 𝐹𝐹𝑎𝑎 (𝑡𝑡). Уравнения (5.52) представим в операторной форме (5.53) 𝐿𝐿𝑘𝑘 {𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡)} = 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡); где 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑊𝑊 {𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡)}, (5.54) 𝐿𝐿𝑘𝑘 = 𝑝𝑝2 + 2𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑝𝑝 + 𝜔𝜔𝑘𝑘2 ; 𝑊𝑊𝑘𝑘 = 𝐿𝐿−1 𝑘𝑘 . При решении уравнений (5.52),(5.53), (5.54) в случае стационарных воздействий целесообразно воспользоваться методом спектральных представлений Фурье, а в случае нестационарных воздействий – методом функций Грина. В первом случае в рассмотрение вводятся передаточные функции 𝐻𝐻𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖), определяемые как амплитуды реакций на гармонические воздействия с единичными амплитудами, т.е. как 𝐻𝐻𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) = 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑊𝑊𝑘𝑘 �𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � = 1 𝜔𝜔𝑘𝑘2 −𝜔𝜔2 +2𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑖𝑖 (5.55) . Внешние воздействия и реакции на них представим в виде интегралов Фурье: ∞ ∞ 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑈𝑈𝑘𝑘 (𝜔𝜔)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑, Где амплитудные спектры преобразований Фурье, т.е. как 1 ∞ 1 по формулам ∞ обратных ∫ 𝑢𝑢 (𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝜋𝜋 −∞ 𝑘𝑘 (5.57) 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝜔𝜔)𝑊𝑊𝑘𝑘 �𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−∞ 𝐻𝐻𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖)𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 (5.58) 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝜔𝜔) = ∫ 𝑓𝑓 (𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 ; 2𝜋𝜋 −∞ 𝑘𝑘 определяются (5.56) 𝑈𝑈𝑘𝑘 (𝜔𝜔) = В соответствии с (5.54), (5.55) и (5.56) имеем: ∞ ∞ Из сопоставления соотношений (5.56) и (5.58) получаем амплитудные спектры процессов 𝑈𝑈𝑘𝑘 (𝑡𝑡): 𝑈𝑈𝑘𝑘 (𝜔𝜔) = 𝐻𝐻𝑘𝑘 (𝑖𝑖𝑖𝑖) ∙ 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝜔𝜔). (5.59) 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡) = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝜈𝜈𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡), (5.60) Так как то амплитудные спектры процессов 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡) будут определяться как 𝑄𝑄𝑗𝑗 (𝜔𝜔) = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝜈𝜈𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑘𝑘 (𝜔𝜔). (5.61) 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡) = 𝑄𝑄𝑗𝑗 (𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.62) Обратные преобразования Фурье от (5.61) будут определять искомые процессы 𝑞𝑞𝑗𝑗 (𝑡𝑡): В векторной форме записи имеем: ∞ ∞ �⃗(𝑡𝑡) = 𝐕𝐕𝐮𝐮 �⃗ = 𝐕𝐕 ∫−∞ 𝐮𝐮 �⃗(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−∞ ��⃗ 𝐪𝐪 𝐐𝐐(𝜔𝜔) ∙ 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.63) При анализе нестационарных колебаний в рассмотрение вводятся функции Грина 𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡), определяемые как реакции на дельта-воздействия, т.е. находятся из уравнений 𝐿𝐿𝑘𝑘 {𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡)} = 𝛿𝛿(𝑡𝑡) 𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑊𝑊𝑘𝑘 {𝛿𝛿(𝑡𝑡)} = 1 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑘𝑘𝑡𝑡 sin 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡𝑡. (5.64) Представим внешние воздействия в виде интегралов Дирака ∞ 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝜏𝜏) ∙ 𝛿𝛿 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑. (5.65) В соответствии с (5.53), (5.64) и (5.65) имеем: ∞ ∞ 𝑢𝑢𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = ∫−∞ 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝜏𝜏)𝑊𝑊𝑘𝑘 {𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)}𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−∞ 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝜏𝜏)𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡 где �𝑘𝑘 (𝑡𝑡) + 𝑢𝑢̇ 0𝑘𝑘 𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡) + ∫0 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝜏𝜏) ∙ 𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡 − 𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑, = 𝑢𝑢0𝑘𝑘 𝘨𝘨 �𝑘𝑘 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑡𝑡 �cos 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡𝑡 + 𝘨𝘨 𝑛𝑛𝑘𝑘 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜔𝜔𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡𝑡�. (5.66) (5.67) Если ввести в рассмотрение диагональные матрицы �𝑘𝑘 (𝑡𝑡), 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛]; 𝐺𝐺0 (𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑[𝘨𝘨 𝐺𝐺1 (𝑡𝑡) = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑[𝘨𝘨𝑘𝑘 (𝑡𝑡), 𝑘𝑘 = 1,2, … , 𝑛𝑛], то соотношение (5.66) можно представить в векторно-матричной форме 𝑡𝑡 �⃗ (𝐭𝐭) = 𝐆𝐆𝟎𝟎 (𝐭𝐭)𝐮𝐮 �⃗ 𝟎𝟎 + 𝐆𝐆(𝐭𝐭)𝐮𝐮 �⃗̇ 𝟎𝟎 + ∫0 𝐆𝐆(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) ∙ 𝐟𝐟⃗(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝐮𝐮 �⃗(𝐭𝐭) производится по формуле (5.14). Обратный переход от �𝐮𝐮⃗ (𝐭𝐭) к 𝐪𝐪 (5.68)