Классификация пространственных поверхностей

Лекция № 1 Классификация пространственных поверхностей Пусть огибаемая поверхность совершает движение в неподвижной декартовой системе координат x, y, z . В исходном (начальном) положении огибаемая задана уравнением в неявном виде: F(x,y,z)=0. В произвольном положении уравнение огибаемой выглядит так: F(x,y,z,ψ) =0 , (2.1) где ψ - параметр движения. Уравнение (2.1) можно трактовать как уравнение семейства поверхностей, полученного при движении огибаемой поверхности. Параметром семейства служит ψ. Огибающая семейства описывается системой уравнений: первое из которых представляет собой уравнение семейства огибаемых поверхностей, а второе является условием огибания. Выражения (2.3) и (2.4) позволяют переписать систему уравнений (2.2) до перехода к пределу в таком виде: (2.5) Система уравнений (2.5) при фиксированном значении параметра ψ определяет линию пересечения двух соседних поверхностей семейства. Если же параметр ψ «течет» (непрерывно изменяется), то система (2.5) описывает совокупность таких линий. При уменьшении значения ∆ψ линия пересечения двух соседних огибаемых перемещается (на рис.2.2 показано перемещение точки пересечения огибаемых кривых), и в пределе при ∆ψ→0 она становит- ся линией касания огибаемой и огибающей. Совокупность всех линий касания и дают огибающую поверхность. При фиксированном значении параметра ψ система уравнений (2.2) описывает линию касания огибающей с одной из поверхностей семейства огибаемых. Эта линия называется характеристикой. В точках характеристики нормали к огибаемой и огибающей совпадают. При фиксированном значении параметра ψ система уравнений (2.2) описывает линию касания огибающей с одной из поверхностей семейства огибаемых. Эта линия называется характеристикой. В точках характеристики нормали к огибаемой и огибающей совпадают. Если из условия огибания, т.е. из второго уравнения системы (2.2), удается аналитически выразить параметр ψ через координаты x, y, z , то после подстановки функции ψ(x,y,z) в первое уравнение системы (2.2) получаем уравнение огибающей не в виде системы двух уравнений, с которыми затруднительно работать, а в виде одного уравнения: Φ(x,y,z) = 0 . (2.6) Такую операцию удается осуществить лишь в отдельных случаях, поскольку условие огибания, как правило, является трансцендентным уравнением. Пример 1. В декартовой системе координат u, v, t с ортами u,v,t и началом в точке Р задано уравнение сферы радиуса а, находящейся в начальном положении (рис.2.А): (а) Сфера совершает винтовое движении вокруг оси е, параллельной координатной оси v и отстоящей от центра сферы на расстоянии а+А. Отношение скорости V поступательного движения сферы к угловой скорости ω вращения есть величина постоянная и равная Требуется определить уравнение огибающей семейства сфер. Пусть уравнение семейства поверхностей, полученного при движении огибаемой поверхности, записано в некоторой системе координат в векторнопараметрическом виде: где θ и ν - криволинейные координаты точки огибаемой поверхности; ψ - параметр движения. Условие огибания в этом случае выливается в равенство нулю скалярно-векторного произведения трех векторов: представляющих собой частные производные от радиус-вектора по па- раметрам. Условие (2.9) может быть записано в кинематическом виде: N - вектор нормали к огибаемой поверхности, равный , (2.11) V - скорость той точки огибаемой поверхности, которая попала на характеристику. Эта скорость равна Как уже говорилось, в основе многих технологических процессов формообразования, т.е. получения поверхности детали режущим инструментом, лежит огибание. При этом форма полученной поверхности детали отличается от формы производящей поверхности - геометрического места бесконечного числа режущих кромок. В данном параграфе излагается подход к составлению математических моделей довольно большой группы технологических процессов формообразования, используемых в машиностроении при изготовлении деталей различной формы режущим инструментом. Чертами, объединяющими все эти процессы, являются следующие: 1) огибаемой служит производящая поверхность, форма которой считается заранее известной; 2) огибающей является обработанная режущим инструментом поверхность, форма которой заранее неизвестна; 3) огибаемая поверхность относительно условно неподвижной системы отсчета, связанной, например, со станком, может совершать сложное движение, являющееся совокупностью вращательных и прямолинейных поступательных движений, причем положение производящей поверхности в указанной системе отсчета определяется одним параметром - параметром движения; 4) заготовка в той же системе отсчета может вращаться вокруг собственной оси; угол поворота заготовки зависит от параметра движения производящей поверхности, и эта зависимость заранее известна; 5) целью составления математической модели является получение уравнения обработанной поверхности и при надобности его анализ.