Классификация оптики

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. 2. 3. 4. Лекция 1. Интерференция и дифракция света……………………….. Лекция 2. Поляризация света. Квантовая природа излучения……… Лекция 3. Элементы квантовой механики и атомной физики………. Лекция 4. Элементы квантовой статистики и ядерной физики……… 1 21 41 61 ЛЕКЦИЯ 1 1.1 . Законы геометрической оптики Оптика изучает свойства электромагнитного излучения, относящегося в основном к видимой части спектра. Она подразделяется на геометрическую (лучевую) и физическую оптику. Геометрическая оптика представляет собой простой приближенный метод построения изображений в оптических системах. Она предполает, что свет в однородной среде распространяется прямолинейно, а отдельные лучи при пересечении не возмущают друг друга. В основу геометрической оптики положен принцип, установленный французским математиком Ферма, который гласит, что свет в неднородной среде распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Из этого принципа вытекают законы отражения и преломления света на границе различных сред. 1. Закон отражения света. Луч падающий, нормаль к отражающей поверхности и луч отраженный лежат в одной плоскости (рис. 1), причем углы между лучами и нормалью равны между собой  =  . 2. Закон преломления света. Рис. 1. Отражение Падающий и преломленный лучи лежат в одной и преломление света плоскости с нормалью к границе раздела. Угол падения  и угол преломления  связаны между собой соотношением sin  = n21 , sin  где n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления n21 = n2 n1 . Абсолютный показатель преломления среды n есть показатель преломления этой среды относительно вакуума. Он равен отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости в среде n = c υ . Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n1 (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n2 1 (оптически менее плотную), например, из стекла в воду, то, согласно закону преломления света sin  n2 =  1. sin  n1 С увеличением угла падения угол преломления увеличивается до тех пор, пока при некотором угле падения (  =  пр ) угол преломления не окажется равным  2 (рис. 2). Угол  пр называется предельным углом. При углах падения    пр весь падающий свет полностью отражается. Это явление называется полным внутренним отражением. Рис. 2. Ход лучей Предельный угол, очевидно, удовлетворяет на границе сред условию n sin  пр = 2 . n1 Явление полного отражения используется в призмах полного отражения. Такие призмы применяются в оптических приборах (например, в биноклях, перископах). Явление полного отражения используется также в световодах, представляющих собой тонкие нити (волокна) из оптически прозрачного материала. По причине полного отражения от боковой поверхности световода свет распространяется только вдоль волокна. С помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Световоды используются для передачи информации в ЭВМ, медицине (для диагностики внутренних органов) и др. 1.2. Основные определения волновой оптики Физическая оптика разделяется на волновую оптику и квантово-оптические явления (квантовую природу излучения). В рамках феноменологической электромагнитной теории Максвелла распространение света рассматривается как волновой процесс. В электромагнитной   волне происходят взаимосвязанные колебания электрического E и магнитного H полей, векторы напряженностей которых можно определить из волновых уравнений    1 2E  1 2H E = 2 2 , H = 2 2 ,  t  t 2 2 2    где  = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа;  = 1 εε0μμ0 – скорость волны. x y z В вакууме  =  = 1, следовательно, скорость света в вакууме равна м . с = 1  0 0 = 2.9979 108 с Решением волновых уравнений (записанных выше) является плоская элек тромагнитная волна, распространяющаяся вдоль вектора r (рис. 3): 2    E = E0 cos(ωt − k r ) ,    H = H 0 cos(ωt − k r ) , где E0 и H 0 – амплитуды колебаний напряженностей электрического и магнитного поля;   – циклическая частота колебаний; k – волновой вектор. Рис. 3. Электромагнитная волна Световые волны – электромагнитные волны, относящиеся к видимой (оптической) части спектра. Частота света  в оптическом диапазоне определяет цвет. Если частота имеет единственное значение, то свет называется монохроматическим. В волновой теории показатель преломления среды определяется через диc электрическую  и магнитную проницаемость  среды: n = = εμ .  Для большинства прозрачных сред  = 1, поэтому для них n =  . Диэлектрическая проницаемость среды  зависит от частоты колебаний  . Отсюда следует зависимость показателя преломления от частоты. Такая зависимость называется дисперсией света. Причиной дисперсии является возникновение вынужденных колебаний заряженных частиц среды – электронов и ионов под действием переменного поля электромагнитной волны. В классической теории дисперсии принимается, что электроны и ионы ведут себя как затухающие гармонические осцилляторы с различными собственными частотами. Там, где поглощение среды невелико, показатель преломления n() возрастает с ростом частоты. В этом случае дисперсия считается нормальной. В области сильного поглощения n() уменьшается с частотой. Здесь дисперсию считают аномальной. Наглядной иллюстрацией дисперсии является разложение белого света в спектр при прохождении его через призму. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектриче ское и др. действия света вызваны в основном вектором напряженности E , который называют световым вектором. Электромагнитное излучение обладает энергией. В случае плоской монохроматической световой волны плотность потока электромагнитной энергии описывается выражением  εε 0 2 U= E0 cos2 (ωt − k r ) . μμ0 Для видимого излучения частота  чрезвычайно высока ( ~ 1015 c −1 ), поэтому реальный фотоприемник и глаз человека реагирует на усредненное по периоду значение U . Эта величина называется интенсивностью света (единица измерения в СИ – [Вт м 2 ] ) и определяется как I= U = 1 εε 0 2 E0 ~ ε E02 = nE02 . 2 μμ0 3 1.3. Интерференция света Независимость световых пучков геометрической оптики означает, что световые пучки, встречаясь, не воздействуют друг на друга. В явлениях, в которых проявляется волновая природа света, эта независимость утрачивает силу. При наложении световых волн, так же как и для всяких волн, выполняется принцип  суперпозиции: результирующий световой вектор E является векторной суммой световых векторов отдельных волн N      E = E1 + E2 + E3 + ... =  Ei . i =1 Сущность этого принципа рассмотрим на примере наложения двух плоских монохроматических волн, имеющих одинаковые частоты, но разные амплитуды. Будем считать, что от источника до точки встречи (А) первая волна прошла в среде с показателем преломления n1 геометрический путь s1 , а вторая – в среде n2 геометрический путь s 2 . Если начальные фазы обеих волн равны нулю, то в точке (А) волны возбудят колебания  s s  E1 = E01 cos ω(t − 1 ) = E01 cos t − 1  , 1 1    s2 s  ) = E02 cos t − 2  , 2 2   где 1 = c n1 и 2 = c n2 – фазовая скорость первой и второй волны соответственно. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке (А), будет равна s  s s  s  ω δ = ω 2 − 1  = ω 2 − 1  = (n2 s2 − n1s1 ) .  2 1   c n2 c n1  c В этом выражении произведение геометрической длины пути s световой волны в данной среде на показатель преломления среды n называется оптической длиной пути L = ns . Выражая циклическую частоту через длину волны в вакууме, получим 2 2 = (n2 s2 − n1s1 ) =  , c 0 где  0 – длина волны в вакууме; ν – частота волны;  = (n2 s2 − n1s1) = L2 − L1 – величина, называемая оптической разностью хода. Накладываясь друг на друга, волны возбуждают в точке (А) гармоническое колебание с интенсивностью равной  2  I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos  = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos   .  0  Из формулы видно, что если оптическая разность хода  равна четному числу полуволн в вакууме   =  m 0 = 2m 0 , m = 0, 1, 2,… 2 4 E2 = E02 cos ω(t − то колебания в точке (А) cos( 2m) = 1 и происходят в одинаковой фазе. В этом случае I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 , т.е. интенсивность максимальна и больше алгебраической суммы интенсивностей I1 и I 2 складываемых волн. Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн в вакууме   = (2m + 1) 0 , m = 0, 1, 2,… 2 то колебания в точке (А), возбуждаемые обеими волнами, происходят в противофазе. При этом cos( (2m + 1)) = −1 и I = I1 + I 2 − 2 I1I 2 , т.е. интенсивность минимальна и меньше алгебраической суммы интенсивностей складываемых волн. В общем случае наложения N волн одинаковой частоты для результирующей интенсивности по теореме косинусов имеем: N N I =   I i I k cos ik . (1) i =1 k =1 Если все волны, пришедшие в какую-нибудь точку волнового поля, отличаются по фазе на 2π, т. е. ik = 2m , а их интенсивности одинаковы и равны I 0 , то из формулы (1) получим I = N 2 I 0 – максимум интенсивности при интерференции волн. Минимум интенсивности получится, если волны придут, отличаясь друг от друга по фазе на π, т. е. ik = m . Формула (1) отражает принцип суперпозиции гармонических световых волн. Таким образом, явление наложения когерентных световых волн, при котором происходит перераспределение светового потока в пространстве так, что в одних местах волнового поля образуются устойчивые минимумы, а в других максимумы интенсивности, называется интерференцией световых волн. Когерентными волнами называются волны одинаковой частоты, разность фаз которых для любой точки волнового поля остается постоянной во времени. 1.4. Когерентность и монохроматичность световых волн. Время и длина когерентности Необходимым условием интерференции волн является их когерентность. Этому условию полностью удовлетворяют только монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Известно, что строго монохроматический свет – это идеализация. Реальный свет, как бы мы не старались его монохроматизировать, используя светофильтры, остается в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале частот. Немонохроматичность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела, воспринимаемое нами как непрерывное, складывает5 ся из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги (куски) волн длительностью 10−8 секунд независимо друг от друга (рис.4). Начальные фазы этих волновых цугов никак не связаны между собой. Помимо этого, даже для одного и того же атома начальные фазы цугов при следующих актах излучения меняются случайным образом. Таким образом, волны, испускаемые атомами, лишь в течение интервала времени ~10−8 с имеют приблизительно постоянные амплитуды и фазы колебаний, тогда как за больший промежуток времени и амплитуды и фазы изменяются. Даже если выделить (например, светофильтром) испускаемые одинаковыми атомами волны одинаковых частот (монохроматические), то разности фаз между отдельными цугами будут хаотически изменяться и такие волны являются взаимно некогеретными. Так как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны. При сложении некогерентных волн множитель cos(t ) принимает случайным образом все значения от –1 до +1 и имеет среднее значение, равное нулю. Таким образом, средняя интенсивность I = I1 + I 2 суммарной волны при этом будет неизменной, а интерференция отсутРис. 4. Цуг волны ствовать. Поэтому на опыте не наблюдается интерференция света, например, от двух электрических лампочек. Любой немонохроматический свет можно представить в виде совокупности сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга τ ког называется временем когерентности. Когерентность существует только в пределах одного цуга, и, соответственно, время когерентности не может превышать время излучения. Прибор обнаружит четкую интерференционную картину лишь тогда, когда время разрешения прибора значительно меньше времени когерентности накладываемых световых волн. Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в определенной точке пространства сохраняется только в течение времени когерентности  ког . За это время волна проходит в вакууме расстояние l ког = c ког , называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода меньших длины когерентности для используемого источника света, т.е.   l ког . Если оптическая разность хода будет больше длины цуга, то в точку наблюдения придут цуги, испущенные в разные моменты времени. В этом случае разность фаз, складывающихся колебаний не будет синхронизирована во времени и интерференционная картина исчезнет. 1.5. Способы получения когерентных источников Получение когерентных лучей оказывается возможным, если искусственно 6 разделить один источник света на два. Впервые такая схема была предложена Юнгом. В данной схеме источником света служит ярко освещенная щель S (рис. 5), от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S 2 , параллельные щели S. Таким образом, щели играют роль когерентных источников. Интерференционная картина наблюдается на экране, расположенном на некотором расстоянии от щеРис. 5. Опыт Юнга лей S1 и S 2 . В такой постановке Юнг осуществил первое наблюдение интерференции. Разделение также можно сделать с помощью бипризмы или зеркал Френеля (рис. 6). а) б) Рис. 6. Бипризма (а) и зеркала (б) Френеля В первом случае свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего образуются две когерентные цилиндрические волны, исходящие из мнимых источников S1 и S 2 . На поверхности экрана в некоторой его части происходит наложение этих волн и наблюдается интерференция. Во втором случае – световые пучки, отразившись от зеркал, являются мнимыми изображениями источник S в зеркалах. Мнимые источники S1 и S 2 взаимно когерентны, и их световые пучки интерферируют в области взаимного перекрытия. От прямого попадания света на экран от мсточника S предохраняет заслонка Э1. 1.6. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников S1 и S 2 (рис. 7). Будем считать, что свет излучается источниками в одинаковой фазе. Параллельно источникам (на расстоянии L от них) поместим экран. На экране в области перекрытия волн будет видна интерференционная картина (чередование светлых и темных полос). Рассчитаем положение и ширину 7 этих полос на экране. Начало отсчета выберем в точке, относительно которой источники S1 и S 2 расположены симметрично. Из рисунка 7 видно, что r12 = L2 + ( у − d 2)2 , r22 = L2 + ( y + d 2)2 . Для определения оптической разности хода воспользуемся соотношением: r22 − r12 = (r2 − r1)(r2 + r1) = L2 + ( y − d 2)2 − L2 − ( y + d 2)2 = 2 yd . Геометрическая разность хода (r2 – r1) составляет несколько длин волн и всегда значительно меньше r1 и r2 . Поэтому можно положить, что (r1 + r2 )  2L . Тогда оптическая разность хода лучей будет равна 2 yd yd  = n(r2 − r1 ) = n = n . (2) (r2 + r1 ) L Рис. 7. Интерференция от двух Максимумы интенсивности когерентных источников будут наблюдаться при значениях  = m 0 . После подстановки в выражение (2) получим, что координаты максимумов на экране определяются выражением L ymax =  m  , m = 0, 1, 2,… d Минимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях   = (2m + 1) 0 в точках экрана с координатами 2 1L  ymin =  m +   , m = 0, 1, 2,… 2d  Здесь  =  0 n – длина волны в среде с показателем преломления n . Расстояние между двумя соседними максимумами называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами – шириной интерференционной полосы. Эти расстояния имеют одинаковое значение равное L y =  . d 1.7. Интерференция света в тонких пленках. Полосы равного наклона Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская световая волна (рис. 8) с длиной волны 0. В результате отражений от поверхностей пластинки часть света возвращается в исходную среду. Отраженный свет состоит из лучей, испытавших многократные отражения от границ пластинки. Ввиду малой интенсивности лучи трехкратного отражения и выше принимать в расчет не будем (при n = 1,5 от поверхности пластинки отражается примерно 4 % падающего светового потока). 8 Однократно отраженные от пластинки лучи 1 и 2 будут когерентны, если оптическая разность их хода меньше длины когерентности падающей волны   2h  lког . Если на пути лучей поставить собирающую линзу, то на экране, совмещенном с фокальной плоскостью линзы, возникнет интерференционная картина. Роль линзы может играть хрусталик, а экрана – сетчатка глаза. В этом случае глаз должен быть аккомодирован (наведен на резкость) на бесконечность. Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки A до точки P   = n( AB + BC) − AD . h Согласно рисунку AB = BC = , cos Рис. 8. Интерференция в тонкой пленке AD = AC  sin α = 2h  tgβ  sin α . Учитывая закон преломления sin  = n  sin  , получим  = 2hn  cos = 2hn 1 − sin 2  = 2h n 2 − sin 2  . При вычислении разности колебаний в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода  , учесть возможность изменения фазы волны при отражении. В точке A отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому фаза отраженной волны изменяется на  радиан. Для определенности будем считать, что при этом происходит потеря полуволны. В точке B отражение происходит от оптически менее плотной среды, так что скачка фазы не происходит. С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим λ  = 2h n 2 − sin 2  − 0 . 2 Тогда в точке P будет интерференционный максимум, если   = 2h n 2 − sin 2  − 0 = m 0 , m = 0, 1, 2,… 2 и минимум, если   1  = 2h n 2 − sin 2  − 0 =  m +  0 , m = 0, 1, 2,… 2  2 При интерференции в проходящем через пластину свете условия для наблюдения минимумов и максимумов меняются местами: если в отраженном свете возникает интерференционный максимум, то в проходящем свете образуется интерференционный минимум. Из полученных формул видно, что положение максимумов зависит от длины волны  0 . Поэтому в белом свете интерференционная картина приобретает радужную окраску. Пусть пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные некоторому направлению, после отражения соберутся в одной точке и 9 создадут в ней освещенность, определяемую значением оптической разности хода. Лучи, идущие в другом направлении, соберутся в другой точке и т. д. В результате возникает система чередующихся светлых и темных полос (если линза параллельна пластинке, полосы имеют вид концентрических колец с центром в фокусе линзы). Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом. Поэтому получающиеся интерференционные полосы носят название полос равного наклона. 1.8. Интерференция света в клине. Полосы равной толщины Пусть на клин с острым углом (  ~ 1 ) и показателем преломления n падает плоская световая волна. При отражении падающего луча 1 от верхней и нижней поверхностей клина возникают лучи 1 и 1 соответственно. При распространении в воздухе они пересекаются в точке P1 . Так как лучи 1 и 1 когерентны, они будут интерферировать. Результат интерференции в точке P1 определяется по полученной выше формуле   = 2b1 n 2 − sin 2  − 0 , 2 где b1 – толщина пленки в месте падения луча 1 (рис. 9). Для точки пересечения других пар отраженных лучей (например, Р2) оптическая разность хода и результат интерференции будет зависить от локальной толщины b2 . Допустим, что условие когерентности 2b  lког выполняется для всего клина или хотя бы для его части. Тогда в плоскости экрана будет наблюдаться интерференционная картина в виде поРис. 9. Интерференция в клине лос, параллельных ребру клина. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины. Если свет падает на клин нормально (угол падения равен нулю), то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина. При ограниченной пространственной когерентности область локализации интерференционной картины (т. е. область пространства, располагая в которой экран можно наблюдать на нем интерференционную картину) также оказывается ограниченной. Причем эта область тем меньше, чем меньше степень пространственной когерентности падающей волны. Практически полосы равной толщины наблюдают визуально либо поместив линзу и за ней экран. При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или пленки будет представляться окрашенной. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся на поверхности воды тонкие пленки нефти или масла, а также мыльные пленки. Цвета побежалости, возникающие 10 на поверхности металлических изделий при их закалке, также обусловлены интерференцией от пленки прозрачных окислов. 1.9. Кольца Ньютона Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона (рис. 10). Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом толстой плоскопараллельной стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны. Роль тонкой пленки, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинками и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы, отраженные от других поверхностей лучи в образовании интерференционной картины не участвуют). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении – эллипсов. Найдем радиусы колец Ньютона, получающихся при падении света по нормали к пластинке (=0). Из рисунка 10 видно, что R 2 = ( R − h) 2 + r 2  R 2 − 2Rh + r 2 , где R – радиус кривизны линзы; r – радиус окружности, которой соответствует зазор толщины h . Таким образом Рис. 10. Кольца Ньютона r2 . h= 2R С учетом потери полуволны, возникающей при отражении от пластинки, оптическая разность хода лучей равна λ0 r 2 λ0 .  = 2h + = + 2 R 2 Используя условия максимума и минимума, получим выражения для радиусов m-го светлого и m-го темного кольца соответственно 1  rm, max =  m +  0 R , 2  rm, min = m 0 R , где m = 0, 1, 2,… 1.10. Практическое использование интерференции света Явление интерференции применяется: 11 а) для улучшения качества оптических приборов и получения высокоотражающих покрытий; б) определения длин волн излучения; в) определения качества механически обработанных поверхностей; г) измерения толщин очень тонких пленок; д) точного определения углов; е) создания просветленной оптики и интерферометров. Прохождение света через каждую преломляющую поверхность линзы сопровождается отражением 4 % падающего потока (при показателе преломления стекла 1,5). Так как современные объективы состоят из большого количества линз, то число отражений в них велико, а поэтому велики и потери светового потока. Для устранения этого и других недостатков осуществляют так называемое просветление оптики (рис. 11). Для этого на свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показателем преломления, меньшим, чем у материала линзы. При отражении света от границ раздела воздух-пленка и пленкастекло возникает интерференция отраженных лучей. Толщину пленки δ, показатели преломления стекла nc и пленки n подбираются так, чтобы отраженные волны гасили друг друга. Для этого их амплитуды должны быть равны, а оптическая разность хода равна (m + 1 2)λ 0 . Расчет показывает, что ам- Рис. 11. Объектив с просветляющей плитуды отраженных лучей равны, если n = nc . Так как пленкой nc  n  1, то потеря полуволны происходит на обеих поверхностях; следовательно, условие минимума (свет падает нормально) 1  2n =  m +  0 . 2   Обычно принимают m = 0 , тогда n = 0 . 4 Так как добиться гашения сразу для всех длин волн невозможно (показатель преломления зависит от длины волны), это делается для цвета с  0  0,55 мкм (к нему наиболее чувствителен глаз). Поэтому объективы с просветленной оптикой имеют синевато-красный оттенок. 1.11. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле – любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Из-за этого волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшое отверстие в экранах и т. д. Отметим, что дифракция наблюдается тогда, когда размеры препятствий соизмеримы с длиной волны света. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате наложения (суперпозиции) волн. По историческим причинам отклонение от 12 закона независимости световых пучков, возникающее в результате суперпозиции когерентных волн, принято называть интерференцией волн. Отклонение от закона прямолинейного распространения света, в свою очередь, принято называть дифракцией волн. Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности световой волны. За преградой располагается экран, на котором возникает дифракционная картина. Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения P на экране Э расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку P, образуют практически параллельные Рис. 14. Дифракция Фраунгофера пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света S и перед точкой наблюдения P линзы Л и Л1 так, чтобы точки S и P оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис. 14). Явление дифракции качественно объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени (рис.15). Построив огибающую для вторичРис. 15. Дифракция ных волн, видим, что фронт волны заходит в область на отверстии геометрической тени, т. е. огибает края отверстия. Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности на фронте волны. Из повседневного опыта известно, что в большом числе случаев лучи света не отклоняются от их прямолинейного распространения. Так, предметы, освещенные точечным источником света, дают резкую тень. Таким образом, принцип Гюйгенса нуждается в дополнении, позволяющем определять интенсивность волны. Рис. 16. К принципу Гюйгенса-Френеля Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей интерференции вторичных волн. Согласно принципу ГюйгенсаФренеля каждый элемент dS волновой поверхности S (рис. 16) является источником когерентных вторичных сферических волн, амплитуда которых пропорциональна величине элемента dS. В точке P амплитуда сферической волны об13 ратно пропорциональна r. Так как поверхность S является волновой поверхностью, то источники вторичных волн действуют синфазно. Результирующее колебание в точке P представляет собой суперпозицию колебаний, приходящих от всех элементов поверхности S:  E dS (3) E ( P) =  K () 0 cos(t − k r ), r S  где E0 – амплитуда световой волны в месте расположения площадки dS; k – волновой вектор; r – расстояние от площадки dS на волновой поверхности до точки  наблюдения P; K() – коэффициент, зависящий от угла  между нормалью n к  площадке dS и направлением r от dS к точке P. При  = 0 этот коэффициент максимален, при  =  / 2 он обращается в нуль. Правомерность данной формулы и вид функции K() устанавливается в рамках электромагнитной теории света (в оптическом приближении). 1.12. Метод зон Френеля Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в принципе найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства и решить задачу о распространении света. В общем случае расчет интерференции вторичных волн по формуле (3) довольно сложный и громоздкий. Однако ряд задач можно решить, применив чрезвычайно наглядный прием, заменяющий сложные вычисления. Метод этот получил название метода зон Френеля. Рис. 17. Зоны Френеля Суть метода разберем на примере точечного источника света S 0 . Волновые поверхности представляют собой в этом случае концентрические сферы с центром в S 0 . Разобьем, изображенную на рис. 17 волновую поверхность, на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки M отличаются на  2 . Обладающие таким свойством зоны называются зонами Френеля. Из рисунка видно, что расстояние l m от внешнего края – m-й зоны – до точки M равно lm = l + m 14  , 2 где l – расстояние от вершины волновой поверхности S до точки M . Колебания, приходящие в точку M от аналогичных точек двух соседних зон, находятся в противофазе. Поэтому колебания от соседних зон будут взаимно ослаблять друг друга. Тогда амплитуда результирующего светового колебания в точке М равна A = A1 − A2 + A3 − A4 + ... , где A1 , A2 , … – амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, … зонами. Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты hm . Из рисунка 17а видно, что 2  m  2 r = R − ( R − hm ) =  l +  − (l + hm ) . 2   Учитывая также, что   R и   l , по2 m 2 2 лучим ml . Рис. 17, а. К выводу площади сегмента 2( R + l ) Тогда площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны hm =  m = 2Rhm = Rl Rl . m ,  m =  m −  m−1 = R+l R+l Из последней формулы видно, что при не очень больших значениях m площади зон Френеля одинаковы. Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке M тем меньше, чем больше угол α m между нормалью n к поверхности зоны и направлением на M , т. е. действие зон постепенно убывает от центральной зоны к периферии. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки M уменьшается с ростом m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки M . Таким образом, амплитуды колебаний образуют монотонно убывающую последовательность A1  A2  A3  A4  ...  0 . Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико; например, при R = l = 10 см и  = 0,5 мкм число зон достигает ~106. Это означает, что амплитуда убывает очень медленно и поэтому можно приближенно считать A + Am +1 Am = m −1 . 2 Тогда выражение для амплитуды результирующего светового колебания в точке M (после перегруппировки) суммируется как A  A A  A A A A = 1 +  1 − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  + ... = 1 , 2  2 2   2 2  2 так как выражения в скобках равны нулю, а вклад последнего слагаемого ничтожно мал. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке M определяется как бы половинным действием центральной зоны Френеля. 15 1.13. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске Дифракция Френеля наблюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию, в данном случае – экрана с отверстием. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S , встречает на своем пути экран с отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, параллельном экрану с отверстием. Ее вид зависит от расстояния между отверстием и экраном (для данного диаметра отверстия). Проще определить амплитуду световых колебаний в центре картины. Для этого разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля. Амплитуда колебания, возбуждаемая всеми зонами, равна A A A= 1  m , 2 2 где знак плюс отвечает нечетным m и минус – четным m . Рис. 18. Дифракция Френеля на круглом отверстии Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в центральной точке будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное – то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Например, если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке М амплитуда A = A1 , т.е. вдвое больше, чем в отсутствии непрозрачного экрана с отверстием. Поскольку интенсивность пропорциональна A2 , то она соответственно больше в четыре раза (рис. 18). Расчет амплитуды колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие зоны Френеля частично перекрываются непрозрачным экраном. Качественно ясно, что дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с общим центром (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное – то светлое пятно), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается не монохроматическим светом, а белым светом, то кольца окрашены. 16 Пусть теперь на пути сферической волны, распространяющейся от точечного источника S , установлен диск. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, является центрально симметричной. Определим амплитуду световых колебаний в центре. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда A A = m +1 . 2 Рис. 19. Дифракция Френеля на диске Следовательно, в центре всегда наблюдается дифракционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами. При небольшом числе закрытых зон амплитуда Am+1 мало отличается от A1 . Поэтому интенсивность в центре будет почти такая же, как при отсутствии диска (рис. 19). 1.14. Дифракция в параллельных лучах на узкой щели Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной b (рис.20). Оптическая разность хода между крайними лучами, идущими от щели в некотором направлении   = b sin  . Сначала применим метод зон Френеля. Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели на зоны Френеля, имеющие вид равновеликих полос, параллельных щели. Так как ширина каждой зоны выбирается такой, чтобы разность хода от краев этих зон была  2 равна , то на ширине щели уместится зон. 2  Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения. Фазы колебаний от пары соседних зон Френеля отличаются на величину  , поэтому суммарная амплитуда этих колебаний равна нулю. Рис. 20. Дифракция на щели Если число зон Френеля четное, то  b sin  = 2m , m = 1, 2,…, 2 и в точке F наблюдается минимум освещенности (темный участок), если же число зон Френеля нечетное, то 17  b sin  = (2m + 1) , m = 1, 2,… 2 и наблюдается близкая к максимуму освещенность, соответствующая действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. В направлении  = 0 щель действует, как одна зона Френеля, и в этом направлении наблюдается наибольшая освещенность, точке F0 соответствует центральный или главный максимум освещенности. 1.15. Дифракция в параллельных лучах на дифракционной решетке Дифракционная решетка представляет собой систему одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционную картину от решетки можно рассматривать как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция (рис. 22). Рассмотрим дифракционную решетку. Если ширина каждой щели равна b , а ширина непрозрачных участков между щелями a , то величина d = a + b называется периодом дифракционной решетки. Из рисунка 22 видно, что разность хода от соседних щелей равна  = d sin  . Следовательно, разность фаз  2  = 2 = d sin  ,   где  – длина волны в данной среде. Для многолучевой интерференции освещенность в условиях интерференции световых лучей от N щелей равна b d sin 2 ( π sin) sin 2 ( Nπ sin ) λ λ , I = I0  b d Рис. 22. Дифракция на решетке 2 2 ( π sin) sin ( π sin ) λ λ где I 0 – освещенность, создаваемая одной щелью на оси линзы. Первый множитель обращается в нуль в точках, для которых  b sin  = 2m , m = 0, 1, 2,… 2 В этих точках освещенность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю, т. е. будут наблюдаться главные минимумы освещенности. Всё выражение, близкое к экстремальному, принимает значение (локальный максимум) в точках, удовлетворяющих условию  d sin  = 2m , m = 0, 1, 2,… 2 Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга. Это условие с достаточной точностью 18 определяет положения главных максимумов. Число m дает порядок главного максимума. Кроме главных минимумов в промежутке между соседними главными максимумами имеется N − 1 дополнительный минимум. Эти минимумы соответствуют направлениям, при которых второй множитель обращается в нуль. В данных направлениях колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления дополнительных минимумов определяются условием m d sin  =   , m = 1, 2, 3,..., N – 1, N + 1,…, 2N – 1, 2N + 1,… . N В этой формуле m принимает все целочисленные значения кроме 0, N , 2 N , ..., т. е. кроме тех, при которых наблюдаются главные максимумы. Между дополнительными минимумами располагаются N − 2 слабых вторичных максимумов. Интенсивность вторичных максимумов не превышает 1 22 интенсивности ближайшего главного максимума. Так как | sin  |  1,то наибольd ший порядок главного максимума определяется соотношением m  , т. е. опре деляется отношением периода решетки к длине волны. Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального (m = 0) , разложатся в спектр, фиолетовая область которого будет обращена к центру дифракционной картины, красная – наружу. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т. е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. 1.16. Разрешающая способность дифракционной решетки Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейной расстояние между двумя спектральными линиями, которые отличаются друг от друга по длине волны на единицу (например, на 1 Å). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн  , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно. Угловой дисперсией называется величина  , D=  где  – угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на величину  . Для дифракционной решетки d cos   = m . Отсюда, в пределах небольших углов (cos  1) , получим Dm d. Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину 19  ,  где  – минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме, что является достаточным для разрешения источников (линий). Положение m-го максимума для длины волны  +  и минимума, следующего за m-м максимумом для длины волны  , определяется соответственно условиями R= d sin max = m( + ), 1 ) . N Согласно критерию Рэлея, две эти линии разрешаются спектральным прибором, если правые части этих соотношений равны между собой или  . m = N Отсюда, для разрешающей силы получим выражение R = mN . Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (~ 2  10 5 ). d sin min = (m + 1.17. Дифракция рентгеновских лучей Дифракция наблюдается не только на одномерной дифракционной решетке, но также трехмерных периодичных структурах. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период ( ~ 10 −10 ) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов соотношение d ~  выполняется только для рентгеновских лучей. Рассматриваем кристалл как совокупность параллельных кристаллографических плоскостей (плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки), отстоящих друг от друга на расстояние d (рис. 23). Полагаем, что при падеРис. 23. Дифракция рентгеновских лучей нии рентгеновского излучения на кристалл происходит частичное отражение излучения от этих плоскостей. 20 Вторичные волны, отразившиеся от разных плоскостей, когерентны и будут интерферировать между собой. Из рисунка видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних плоскостей, равна  = 2d sin  , где  – угол между поверхностью кристалла и падающим лучем, называемый углом скольжения падающих лучей. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления определяются условием 2d sin  = m , m = 1, 2,… Это соотношение называется формулой Вульфа-Брэгга. Кристаллографические плоскости можно провести в кристалле множеством способов. Каждая система плоскостей может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполненным записанное выше условие. Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы, которые дают плоскости с густо расположенными узлами. Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения. Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции исследуемого рентгеновского излучения от кристаллов с известной структурой, можно вычислить длины волн. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристалле неизвестного строения можно найти межплоскостные расстояния и расшифровать структуру кристалла. ЛЕКЦИЯ 2 2.1. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: напряженность электрического поля E , вектор индукции магнитного поля B и скорость распространения волны  образуют правую тройку векторов. Действие света на вещество определяется в основном колебаниями вектора напряженности E . В соответствии с этим вектор напряженности называют еще световым вектором (рис. 24). Плоскость, в которой лежит световой вектор в плоско поляризованной волне, называется плоскостью колебаний. Исторически сложилось, что плоскостью поляризации называется плоскость, перпендикулярная к плоскости колебаний, т.е. плоскость, в которой лежит вектор H . Если плоскость колебаний поворачивается вокруг направления луча с угловой скоростью  и не меняется модуль светового векРис. 24. Направления колебаний световых векторов тора, то свет называется поляризованным по 21 кругу. Если модуль светового вектора при вращении меняет свою величину, т. е. его конец описывает эллипс, свет называется эллиптически поляризованным. В зависимости от направления вращения различают правую или левую эллиптиче скую и круговую поляризацию. Пусть луч движется на нас. Если вектор E вращается по часовой стрелке, поляризация называется правой, в противном случае – левой. Плоско поляризованный свет можно получить из естественного с помощью приборов, называемых поляризаторами. Поляризаторы свободно пропускают колебания, параллельные некоторой плоскости (плоскости поляризатора), и полностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из поляризатора получается свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями другого. Такой свет называется частично поляризованным. Частично поляризованный свет, как и естественный, можно представить в виде наложения двух некогерентных плоскополяризованных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний. В случае естественного света интенсивность этих волн одинакова, а в случае частично поляризованного – разная. Если пропустить частично поляризованный свет через идеальный поляризатор, то при его вращении вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от I max до I min . Выражение I −I P = max min I max + I min называется степенью поляризации. Для плоско поляризованного света I min = 0 и P = 1 ; для естественного света I max = I min и P = 0 . К эллиптически и поляризованному по кругу свету, колебания которых полностью упорядочены, понятие степени поляризации не применимо, поскольку формальное применение дает P  1 . 2.2. Закон Малюса. Закон Брюстера Поставим на пути естественного света два поляризатора, плоскости которых образуют угол  (рис. 25). Из первого поляризатора выйдет плоско поляризованный свет, интенсивность которого I 0 составляет половину интенсивности естественного света I ест . После прохождения через второй поляризатор (анализатор) интенсивность света будет равна Рис. 25. К закону Малюса I = I 0 cos2  . Это соотношение носит название закона Малюса. Максимальная интен22 сивность света ( I max = 1 2 I ест ) получается при  = 0 (поляризаторы параллельны). При скрещенных поляризаторах  =  2 интенсивность равна нулю (свет не проходит, см. рис. 25). Если угол падения на границу раздела двух диэлектриков (например, воздуха и стекла) отличен от нуля (рис. 26), отраженный и преломленный луч оказываются частично поляризованными. В отраженном свете преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения, в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения. Оказывается, что при некотором угле падения α Б , определяемого соотношением tg  Б = n21 , отраженный свет полностью поляризован перпендикулярно плоскости падения. Преломленный же луч поляризуется максимально, но не полностью. Этот закон носит название закона Брюстера, а угол  Б называют углом Брюстера. Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны, т.е. α + β = π 2 . Из этих формул также вытекает, что преломление происходит при всех условиях без изменения фазы волны. При отражении происходит изменение фазы, зависящее от следующих условий. При падении под углом    Б , отражение от оптически более плотной среды сопровождается Рис. 26. Поляризация изменением фазы на π ; отражение от оптически менее при отражении и преломлении плотной среды происходит без изменения фазы. В случае, когда    Б , фазовые соотношения для обеих компонент оказываются различными. 2.3. Поляризация света при двойном лучепреломлении. При прохождении света через все прозрачные кристаллы, за исключением кристаллов, принадлежащих к кубической системе, наблюдается явление, получившее название двойного лучепреломления. Это явление заключается в том, что упавший на кристалл луч разделяется внутри кристалла на два луча, распространяющиеся, вообще говоря, с разными скоростями и в разных направлениях (рис. 27). Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов имеется одно направление, вдоль которого лучи распространяются, не разделяясь, с одинаковой скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла. У двухосных кристаллов имеются Рис. 27. Двойное лучепреломление два таких направления (две оптические оси). У одноосных кристаллов (исландский шпат, кварц, турмалин) один из преломлен23 ных лучей подчиняется обычному закону преломления. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой o (рис. 28) . Другой луч называется необыкновенным и обозначается буквой e . Преломление необыкновенного луча происходит по другому закону. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч, вообще говоря, отклоняется от нормали. Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. У двуосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные. Исследования показывают, что вышедшие из кристалла лучи плоско поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Плоскость, проходящая через луч света и оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью (или главным сечением) кристалла. Колебания светового вектора в обыкновенном луче происходят перпендикулярно главной плоскости, а в необыкновенном – в главной плоскоРис. 28. Двойное лучепреломление в анизости. тропных кристаллах при разных углах падения Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы диэлектрическая проницаемость  зависит от направления. В одноосных кристаллах  в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней, имеет различные значения – | | и ε ⊥ . В других направлениях  имеет промежуточное значение. В обыкновенном луче световой вектор перпендикулярен оптической оси кристалла и, следовательно, скорость распространения луча для всех направлений будет одна и та же: υo = c ε ⊥ . Поэтому, если в кристалле находится такой источник, то волновая поверхность для обыкновенных лучей является сферой (рис.28). В необыкновенном луче световой вектор лежит в главной плоскости. Для луча, распространяющегося вдоль оптической оси, световой вектор перпендикулярен оптической оси. Скорость распространения луча в этом направлении такая же как для обыкновенного: υe = c ε ⊥ . Для луча, распространяющегося перпендикулярно оси: υe = c ε II . Для других лучей скорость имеет промежуточное значение. Можно показать, что волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид вращения. В местах пересечения с оптической осью волновой эллипсоид необыкновенного луча и волновая сфера обыкновенного соприкасаются. Одноосные кристаллы характеризуются показателем преломления обыкновенного луча no = c υo и показателем преломления необыкновенного луча ne = c υe . В зависимости от того, какая из скоростей, υo или υe , больше, различа- 24 ют положительные и отрицательные одноосные кристаллы. У положительных кристаллов υe  υo ( ne  no ). У отрицательных кристаллов υe  υo ( ne  no ). 2.4. Вращение плоскости поляризации. Искусственное двойное лучепреломление. Некоторые вещества (кварц, сахар), называемые оптически активными, обладают способностью вращать плоскость поляризации. Кварц, который является одноосным кристаллом, при пропускании света вдоль оптической оси должен был бы вести себя как изотропное тело. Однако опыт показывает, что при прохождении через кварц плоско поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляризации для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей  = d , для оптически активных растворов  = Cd , где d – расстояние, пройденное светом в оптически активном веществе;  – коэффициент ([] – называется удельным вращением), равный углу поворота поляризации света слоем вещества единичной толщины (и единичной концентрации – для растворов); C – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе. Удельное вращение зависит (кроме природы вещества) от температуры и длины волны света в вакууме. В прозрачных аморфных телах, а также кристаллах кубической системы, может возникать двойное лучепреломление под влиянием внешних воздействий. Первоначально оптически изотропные вещества становятся оптически анизотропными под действием: 1) одностороннего сжатия или растяжения (кристаллы кубической системы, стекла) – эффект Брюстера; 2) электрического поля – эффект Керра (жидкости, аморфные тела, газы); 3) магнитного поля – явление Коттон-Мутона (жидкости, стекла). Вещество при указанных воздействиях приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением деформации, электрического или магнитного полей соответственно. Двойное лучепреломление при деформации связано с деформационной анизотропией первоначально изотропного кристалла. Эффект Керра (как и явление Коттон-Мутона) объясняется различной поляризуемостью молекул по разным направлениям. Под действием электрического поля молекулы, обладающие дипольным моментом, приобретают преимущественную ориентацию по полю. Аналогичная ситуация возникает в магнитном поле, если молекулы вещества обладают собственным магнитным моментом. Оптически неактивные вещества приобретают способность вращать плоскость поляризации под действием магнитного поля. Это явление называется эффектом Фарадея. Оно наблюдается только при распространении света вдоль направления намагниченности. Угол поворота плоскости поляризации света 25  = VlH , где коэффициент V называется постоянной Верде; l – длина пути; H – напряженность магнитного поля. Направление вращения определяется направлением магнитного поля. Поэтому, если отразить луч зеркалом в обратном направлении, то поворот плоскости поляризации удвоится по сравнению с однократным прохождением. 2.5. Отражение и поглощение энергии излучения Рассмотрим взаимодействие потока электромагнитного излучения с какимлибо непрозрачным телом. Пусть частоты этого излучения лежат в интервале [ν, ν + d ]. Опыт показывает, что часть падающей на тело энергии излучения dW пад отражается, а часть – поглощается телом и идет на его нагревание. Обозначим их соответственно через dW отр и dW погл. Введем понятия: спектральная отражательная способность dW погл dW отр   ,T = и спектральная поглощательная способность A,T = . Эти пад пад dW dW величины показывают доли падающей энергии, которые отражаются или поглощаются единицей поверхности тела за 1 секунду в единичном спектральном интервале. Значения ,T и A,T зависят от частоты излучения, температуры тела, химического состава и состояния его поверхности (матовая или зеркальная). Тело, которое полностью отражает все падающие на него лучи, называется абсолютно белым телом. Тело, способное при любой температуре поглощать все падающее на него излучение любой частоты, называется абсолютно черным. Следовательно, для абсолютно черного тела Aачт ,T  1 . Абсолютно черное тело – идеальная физическая модель. Абсолютно черных тел не существует. Сажа, например, имеет поглощательную способность A,T , близкую к единице, лишь в очень ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области ее поглощательная способность заметно меньше единице. Реализовать абсолютно черное тело можно в виде полости с Рис. 29. Модель абсо- небольшим отверстием (рис. 29). Лучи, попадающие через лютно черного тела отверстие внутрь полости, в результате многократных отражений на внутренних стенках полости практически полностью поглощаются и не выходят наружу. Если спектральная поглощательная способность тела меньше единицы, но одинакова для всех частот, то такое тело называется серым. Отношение спектральной поглощательной способности серого тела к спектральной поглощательной способности абсолютно черного тела называется степенью черноты и обозначается как  ,T . 26 Зависимость A,T и ,T от длины волны обусловливают видимую окраску несамосветящегося тела. Тело, интенсивно поглощающее излучение всех длин волн, кроме, например, зеленого (λ ≈ 550 нм), при освещении его белым светом будет выглядеть зеленым. При освещении такого тела монохроматическим «не зеленым» светом, оно ничего не отражает и выглядит черным. Так что каждое несамосветящееся тело обладает не цветом, а отражательной способностью. Если нет облучения, то нет и цвета. 2.6. Тепловое излучение. Характеристики теплового излучения При теплообмене с окружающими телами посредством излучения баланс энергии не исчерпывается рассмотрением dW пад , dW отр и dW погл. Тело, будучи нагретым, излучает (светится). Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение, являясь самым распространенным в природе, возникает за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества, т. е. за счет его внутренней энергии. Так как тепловое движение неустранимо (оно прекращается только при температуре, равной абсолютному нулю), то и тепловое излучение вещества имеет место практически всегда. Для количественной характеристики теплового излучения тел вводится понятие спектральной излучательной способности. Спектральной излучательной способностью тела (синонимы: спектральная энергетическая светимость; спектральная поверхностная плотность излучения) называется физическая величина, численно равная отношению энергии dW изл , излучаемой за единицу времени с единицы площади поверхности тела по всем направлениям посредством электромагнитных волн в узком интервале частот [ν,  + d ] (или длин волн в вакууме [λ,  + d )], к ширине этого интервала: dW изл с dW изл = R,T 2 , ; R,T = R,T = d d  где c – скорость света в вакууме. В теоретической физике обычно пользуются величиной R,T , в экспериментальной – отдают предпочтение R,T . Значения R,T зависят от частоты излучения, температуры, химического состава тела и состояния его поверхности. Полный поток излучения всех длин волн называют интегральной излучательной способностью поверхности. Интегральная излучательная способность RT (синонимы: энергетическая светимость; поверхностная плотность излучения) – энергия, излучаемая единицей поверхности тела, имеющего температуру T , за 1 секунду по всему спектру излучения:   RT =  R,T d =  R,T d . В системе СИ спектральная излучательная способность имеет размер27 ность [Дж м 2 ] , а интегральная излучательная способность – [ Вт м 2 ]. Тепловое излучение – практически единственный вид излучения, который может быть равновесным. В равновесном состоянии во всех точках полости устанавливается однородное, изотропное и не поляризованное излучение, энергия которого определенным образом распределена по спектру частот. Это обстоятельство позволяют ввести в рассмотрение объемную спектральную плотность излучения w,T как энергию, содержащуюся в единице объема полости в единичном спектральном интервале. Аналогичное по свойствам излучение возникает в замкнутой полости, стенки которой имеют постоянную температуру T . Благодаря излучению стенок, полость также заполнится электромагнитным излучением со всевозможными направлениями распространения, поляризациями и частотами. 2.7. Закон Кирхгофа Поместим несколько различных тел с температурами T1 , T2 , T3 ,... в вакуумную адиабатическую оболочку с идеально отражающими стенками. В этом случае обмен энергией между телами возможен только за счет излучения и поглощения ими электромагнитных волн. По законам термодинамики через некоторое время все тела будут иметь одну и ту же температуру, а внутри оболочки установится равновесное излучение со спектральной объемной плотностью энергии w,T , соответствующее той же температуре. При этом со всех направлений на единицу площади поверхности тел в единичном диапазоне частот будет падать поток элекc тромагнитной энергии (модуль вектора Умова-Пойтинга), равный U ,T = w,T , 4 где c – скорость света. Выберем одно из тел и запишем для него поглощенную и излученную энергию: dW погл = A ,T  dW пад = A ,T (U  ,T  dS  dt  d) , dW изл = R,T  dS  dt  d . Аналогичные выражения можно записать и для других тел, находящихся в оболочке. Приравнивая их попарно, получим  R,T   R,T  R    =  =  ,T  = ... = U ,T . A  A     ,T 1  ,T  2  A,T 3 Данное выражение составляет суть закона, открытого Кирхгофом: отношение спектральной излучательной способности R,T к спектральной поглощательной способности A,T не зависит от природы тела и является универсальной функцией, зависящей только от температуры и частоты (длины волны). Функцию U ,T называют универсальной функцией Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует ряд важных выводов: 28 1. Чем больше тело излучает энергии на определенной частоте, тем больше на этой же частоте оно и поглощает. 2. Так как для всех реальных тел величина A,T  1, то из всех тел, находящихся при одинаковой температуре, наибольшим излучением обладает абсолютно черное тело. Из того, что функция Кирхгофа носит универсальный характер, следует, что в основе теплового излучения тел лежит некий фундаментальный, общий для тел любой природы, физический закон. Именно этим обусловлен интерес к проблеме нахождения данной функции. 2.8. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела Если закон Кирхгофа применить к абсолютно черному телу, спектральная поглощательная способность которого Aачт ,T  1 , то получим, что его спектральная излучательная способность с точностью до коэффициента совпадает со спектральной объемной плотностью равновесного излучения: c Rачт ,T = U ,T = w,T . 4 Таким образом, универсальная функция Кирхгофа – это спектральная излучательная способность абсолютно черного тела. Хорошей моделью абсолютно черного тела можно считать рассмотренную выше замкнутую полость с достаточно маленьким сквозным отверстием, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре T . Через это отверстие будет выходить практически такое же излучение, какое испускалось бы абсолютно черной площадкой той же формы, размеров и температуры. Следовательно, исследование данного излучения позволяет установить вид универсальной функции Кирхгофа. Эксперимент можно проделать, разлагая, например, излучение на спектральные составляющие с помощью дифракционной решетки и измеряя интенсивность каждой из них. Типичные зависимости спектральной излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при трех значениях температуры представлены на рис. 30. Видно, что распределение энергии в сплошном спектре излучения неравномерное. Кривые имеют явный максимум, который с ростом температуры смещается в область высоких частот (коротких длин волн). При этом суммарная излученная энергия (площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс) увеличивается. Качественно вид зависимостей можно объРис. 30. Распределение энергии яснить следующим образом. При низких темпеизучения абсолютно черного тела ратурах ( T < 500 – 600 К) излучение обусловлено в зависимости от длины волны только колебательно-вращательным движением молекул, а также колебаниями атомов или ионов, составляющих твердое тело. 29 Энергия, выделяемая при этом в единичных актах испускания, мала, и поэтому практически весь спектр излучения тел при низких температурах находится в инфракрасной невидимой области. С ростом температуры тела его энергия становится достаточной, чтобы перевести атомы или молекулы в возбужденные электронные состояния. Энергия излучения из этих состояний значительно больше, чем колебательновращательная, поэтому с увеличением T весь спектр теплового излучения смещается в сторону более коротких длин волн, т. е. в видимую область. 2.9. Законы излучения абсолютно черного тела Из закона Кирхгофа следует, что установление аналитического вида функции U ,T открывает возможность рассчитать спектральную излучательную способность R,T для любого тела, если известна его поглощательная способность A,T , которая легко измеряется экспериментально. Австрийский физик И. Стефан, анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, не дав ответа относительно спектрального состава черного излучения. Согласно закону Стефана – Больцмана интегральная излучательная способность черного тела (площадь под кривой U ,T ) пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры: RTачт  =  U ,T d = T 4 , где  = 5,67 10 −8 Вт – постоянная Стефана-Больцмана. м2 К 4 Немецкий физик В. Вин, рассмотрев процесс адиабатического сжатия излучения, заключенного внутри идеально зеркального сосуда, установил, что зависимость длины волны  max , соответствующей максимуму функции U ,T , от температуры имеет вид  max = b1 T , где b1 = 2,9  10 −3 м  К – постоянная Вина. Эту зависимость называют законом смещения Вина. Закон смещения Вина объясняет, например, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (переход белого каления в красное при остывании металла). Другим эмпирическим законом излучения абсолютно черным телом, установленный В. Вином, был закон, позволявший определять максимальное значение самой функции U ,T , представленной на графиках рис. 32. Этот закон утверждает, что максимум спектральной излучательной способности абсолютно черного тела пропорционален пятой степени абсолютной температуры: 5 ( Rачт ,T ) max = b2T , где b2 = 1,29 10 −5 Вт . м 3Т 4 30 2.10. Формула Рэлея-Джинса. Формула Вина Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа U  ,T не дает желаемых результатов, так как все константы получены эмпирическим путем, и механизм излучения энергии нагретым телом оставался неясным. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости U ,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Согласно этому закону в состоянии статистического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем энергия, kT равная  = , а на колебательную сте2 пень свободы –  = kT . С точки зрения электромагнитной теории равновесное излучение в полости Рис. 31. Сравнение экспериментальной и представляет собой систему стоячих волн теоретических зависимостей функции с разными частотами  , направлениями Кирхгофа от частоты излучения распространения и поляризациями. Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод равно числу степеней свободы системы. Рассчитав количество стоячих волн в единичном интервале частот, приходящихся на единицу объема, Рэлей и Джинс получили выражение для потока электромагнитной энергии (универсальной функции Кирхгофа) в виде 2 2 2 2 U ,T = 2  = 2 kT . c c Это равенство называется формулой Рэлея-Джинса. Она дает достаточно хорошее согласие с экспериментом лишь в области низких частот (рис. 31). При больших  спектральная плотность значительно превосходит наблюдаемую. Кроме того, интегрируя по всему диапазону частот, получаем, что излучательная способность абсолютно черного тела есть величина бесконечная RTачт  =  U ,T d =  . Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в разительном противоречии с опытом. Следует отметить, что еще раньше Вин из общих термодинамических соображений заключил, что энергия моды частотой  пропорциональна данной частоте, и, воспользовавшись распределением Больцмана, вывел формулу, которая в современных обозначениях может быть записана в виде 31 − 2h 3 U  ,T = h kT . e c2 Эта зависимость показана на рис. 33 сплошной линией. При высоких частотах данная формула правильно описывает экспериментальную зависимость, однако при низких частотах дает значительное расхождение с опытом. Кроме того, как видно из рисунка, максимум функции U ,T не совсем точно совпадает с экспериментальной кривой. 2.11. Формула Планка С классической точки зрения вывод формулы Рэлея-Джинса является безупречным. В связи с этим возникла необходимость изменения некоторых положений классической теории. В 1900 г. Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций, величина которых пропорциональна частоте излучения  = h . Коэффициент пропорциональности h = 6,62  10 −34 Дж  с получил впоследствии название постоянной Планка. Если излучение испускается порциями, то его энергия будет кратна этой величине:  n = nh , где n – целое неотрицательное число. В состоянии равновесия распределение энергии стоячей волны (моды колебаний) должно подчиняться распределению Больцмана. Вероятность того, что энергия моды колебаний имеет значение  n , определяется выражением Pn = e−n kT − e n kT . n Тогда средняя энергия данной моды найдется как  =  Pn  n . Проведя суммироn вание по всем модам, получим  = h . e −1 Заменив в формуле Релея-Джинса выражение kT на полученное выражение для  , приходим к формуле Планка U  ,T = h kT 2 2 h . c 2 e h kT − 1 Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот и дает исчерпывающее описание равновесного излучения. 2.12. Оптическая пирометрия Основываясь на законах теплового излучения, можно определять температуру раскаленных тел. Если излучающее тело является черным (или достаточно к нему приближается), то для определения его температуры можно воспользоваться 32 законами черного излучения. По существу для сильно нагретых (или удаленных) тел этот метод является единственным. Прибор для измерения температуры тел по их тепловому излучению называется пирометром. Пирометры измеряют не истинные температуры, а, в зависимости от способа, эквивалентные им: радиационную, яркостную и цветовую. 1. Радиационная температура – температура черного тела Tp , при которой его интегральная излучательная способность равна интегральной излучательной способности рассматриваемого тела. Используя закон Стефана-Больцмана, получим Tp = 4 RT  . Радиационная температура Tp всегда меньше его истинной температуры T . Действительно, для серого тела RT = AT  T 4 . Так как у серого тела AT  1 , то Tp = 4 AT  T  T . 2. Яркостная температура – температура черного тела Tя , при которой для выделенной длины волны его спектральная излучательная способность равна спектральной излучательной способности рассматриваемого тела, т. е. ачт R,T = R,T , где T – истинная температура тела. По закону Кирхгофа я Rачт ,T я A,T = Rачт ,T . Так как A,T  1 , то истинная температура тела всегда выше яркостной: Tя  T . В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. Накал нити подбирается таким, чтобы изображение нити пирометра стало неразличимым на фоне раскаленного тела, т. е. нить как бы «исчезает». Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру. Зная поглощательную способность A,T тела при той же длине волны, по яркостной температуре можно определить истинную. 3. Цветовая температура – температура черного тела Tц , определяемая по длине волны излучения, на которую приходится максимум спектральной излучательной способности тела. Согласно закону смещения Вина Tц = b1  max . Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной температурой. Например, для Солнца (с учетом поправок на поглощение в земной атмосфере) найдено, что  max = 470 нм. Этому значению соответствует температура Tц = 6150K . Для тел, которые сильно отличаются от серых (обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл. 33 2.13. Внешний фотоэффект и его законы Под фотоэффектом понимают изменение состояния электронов в веществе под действием света (электромагнитного излучения). Различают внутренний и внешний фотоэффекты. Внешний фотоэффект заключается в вырывании электронов с поверхности вещества. При внутреннем фотоэффекте электроны с поверхности вещества не вырываются, а переходят внутри вещества (полупроводника или диэлектрика) из связанных состояний в свободные. Первое обстоятельное исследование фотоэффекта было выполнено в 1888 – 1890 гг. А. Г. Столетовым, который установил, что при освещении ультрафиолетовыми лучами металлическое тело теряет отрицательный заряд. Позже, в 1897 году, Дж. Дж. Томсон открыл электрон. Затем он же и Ф. Леннард, наблюдая отклонение в электрическом и магнитном полях испускаемых при фотоэффекте частиц, показали, что под действием света действительно освобождаются электроны. Открытие электрона позволило дать современную трактовку закономерностям фотоэффекта, установленным Столетовым и описанным ниже. Рассмотрим принципиальную схему для Рис. 32. Принципиальная схема Установки исследования внешнего фотоэффекта, (рис. 32). В стеклянный баллон, из которого выкачан воздух, помещаются два электрода. На электроды подается напряжение, знак и величину которого можно менять с помощью потенциометра и измерять вольтметром. На один из электродов (катод), изготовленный из исследуемого вещества, через кварцевое окошко поступает монохроматический свет с частотой  . Под действием света катод испускает электроны, которые при движении в электрическом поле образуют электрический ток, регистрируемый миллиамперметром. Этот ток называется фототоком, а выбитые электроны (его создающие) – фотоэлектронами. Опыт показывает, что при напряжении U = 0 сила фототока между анодом и катодом отлична от нуля (рис. 33). Это означает, что часть вырванных светом электронов, двигаясь по инерции, достигает правого электрода (анода) даже в отсутствии электрического поля. При увеличении разности потенциалов между электродами сила тока в цепи постепенно нарастает и достигает своего максимального значения, которое затем не изменяРис. 33. Вольтамперная ется (все вырванные электроны достигают характеристика анода). Максимальное значение силы тока I нас называется током насыщения. Измере34 ния показывают, что его величина напрямую зависит от интенсивности света Ф . Если изменить полярность батареи (к освещаемому электроду присоединим положительный полюс батареи), то сила тока при увеличении напряжения уменьшается и при некотором значении U зад становится равной нулю. Это значит, что электрическое поле обратной полярности тормозит вырванные электроны до полной остановки, а затем возвращает их обратно. По этой точке можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов, которую они приобретают, вылетая из катода. В соответствии с законом сохранения энергии расчетная формула имеет вид: mυ2max 2 = eU зад , где m – масса электрона; e – заряд электрона. Исследования, проведенные на различных материалах катода при различных частотах и интенсивностях падающего света, позволили установить следующие законы внешнего фотоэффекта: 1) при постоянной частоте фототок насыщения (число фотоэлектронов, вырываемых из катода за 1 с) прямо пропорционален интенсивности света; 2) максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности; 3) для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота  кр света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен. Красной эта граница названа потому, что при    кр (при «более красном» свете) фотоэффект не происходит; 4) фотоэффект практически безынерционен (он возникает сразу же при освещении поверхности катода). 2.14. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта Полученные опытным путем законы фотоэффекта не удается объяснить на основе электромагнитной волновой теории света. С точки зрения этой теории электромагнитная волна, достигнув поверхности металла, вызывает вынужденные колебания электронов, отрывая их от металла. При этом требуется время для «раскачки» электронов, и при малой освещенности металла должно возникать заметное запаздывание между началом освещения и моментом вылета электронов. Далее, кинетическая энергия электронов, покидающих металл, должна зависеть от амплитуды вынуждающей силы и тем самым от напряженности электрического поля в электромагнитной волне. Однако все эти выводы противоречат законам фотоэффекта. В 1905 г. А. Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта легко объяснить, если предположить, что свет поглощается такими же порциями h (квантами), какими он, по предположению Планка, испускается. Энергия кванта, по предположению Эйнштейна, усваивается электроном целиком. Часть этой энергии, равная работе выхода, Aвых , затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело. Остаток энергии переходит в кинетическую энергию электрона. Тогда по закону сохранения энергии для системы квант-электрон получим 35 h = Aвых mυ2max . + 2 Это уравнение называется уравнением Эйнштейна. Оно находится в полном согласии с экспериментом и позволяет объяснить все законы фотоэффекта. Действительно, число высвобождаемых фотоэлектронов должно быть пропорционально числу падающих на поверхность катода квантов света. В соответствии с этим ток насыщения I нас должен быть пропорционален интенсивности света, так как интенсивность определяется количеством квантов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, что подтверждается экспериментально. Работа выхода, Aвых , является характеристикой вещества катода и не зависит от свойств излучения. Следовательно, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов Wk = mυ2max должна возрастать линейно с увеличением частоты 2 падающего излучения и не зависеть от интенсивности последнего, что также подтверждается опытами. В случае, когда работа выхода, Aвых , превышает энергию кванта h , электроны не могут покинуть металл. Поэтому для возникновения фотоэффекта необходимо, чтобы выполнялось условие: h  Aвых или    кр = Aвых h . Частота  кр называется красной границей фотоэффекта. Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что каждый квант света взаимодействует с веществом катода независимо от других квантов, т. е. практически мгновенно. 2.15. Тормозное рентгеновское излучение В 1895 г. В. Рентген обнаружил электромагнитное излучение, возникающее при бомбардировке стекла и металлов быстрыми электронами. Это излучение с длиной волны  ~ 10−14  10− 7 м позднее получило название рентгеновских лучей. В устройстве, изображенном на рис. 34, для получения тормозного рентгеновского излучения (рентгеновской трубке) электроны, испускаемые катодом в результате термоэлектронной эмиссии, фокусируются цилиндрическим электродом и ускоряются высоким напряжением, создаваемым между катодом и анодом (антикатодом). Мишенью для электронного пучка служит антикатод. В результате торможения почти вся энергия электронного пучка выделяется в антикатоде в виде тепла. На долю рентгеновского излучения приходится всего ( 1  3 ) % энергии, запасенной в пучке. Согласно классической электродинамике при торможении электрона должно возникать излучение с длинами волн от нуля до бесконечности – сплошной спектр излучения. При этом длина волны, на которую попадает максимум интенсивности излучения, должна уменьшаться по мере увеличения скорости электронов, т. е. повышения ускоряющего напряжения. Выводы Рис. 34. Схема рентгеновской трубки 36 классической теории в основном подтверждаются на опыте. Однако опыт показывает одно принципиальное отличие от классического описания. А именно, при фиксированном ускоряющем напряжении U в рентгеновском сплошном спектре отсутствует излучение с длинами волн, меньшими некоторого значения  min , т. е. возникает коротковолновая граница в сплошном рентгеновском спектре (рис. 35). При этом коротковолновая граница тормозного излучения  min определяется только ускоряющим напряжением U и не зависит от материала мишени. В целом процесс излучения при торможении электрона в электрических полях, создаваемых атомами мишени, весьма сложен, но наличие коротковолновой границы в корпускулярной картине получает очень простое объяснение. Как и в уравнении Эйнштейна для фотоэффекта, можно записать закон сохранения энергии в элементарном акте испускания кванта излучения. Фотон поРис. 35. Интенсивность лучает наибольшую энергию h max в том случае, корентгеновского излучения гда электрон полностью останавливается при столкновении с ядром атома мишени, т.е. me υ 2 h max = = eU . 2 Отсюда c ch  min = = .  max eU Существование граничной длины волны  min (частоты  max ) демонстрирует квантовый характер испускания рентгеновского излучения. По измерению её зависимости от ускоряющего напряжения можно с высокой точностью определить значение постоянной Планка. При достаточно высокой скорости электронов помимо тормозного рентгеновского излучения наблюдается также характеристическое излучение, вызванное возбуждением внутренних электронных оболочек атомов антикатода. 2.16. Фотоны и их свойства Чтобы объяснить распределение энергии в спектре равновесного теплового излучения, достаточно допустить, что свет испускается порциями. Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями. Эйнштейн пошел значительно дальше. Он выдвинул гипотезу, что и свет распространяется в виде дискретных частиц, которые впоследствии получили название фотонов. Энергия фотона согласно Планку определяется его частотой  = h (например, для зеленого света  = 500 нм и  = 2,5эВ). Так как фотон движется со скоростью света в любой инерциальной системе отсчета, то согласно принципам теории относительности его масса покоя равна нулю, а релятивистская масса находится 37 из закона взаимосвязи массы и энергии, который для фотона имеет вид:  = m c 2 . Отсюда h h m = 2 = . c c Импульс фотона соответственно определяется соотношением E h h p= = = . c c  Согласно классической электромагнитной теории, бегущая электромагнит  ная волна обладает импульсом p , направленным вдоль волнового вектора k .   Учитывая, что k = 2  , можно записать p = k , где  = h 2 – приведенная постоянная Планка. Существование фотонов подтверждено экспериментально в опыте Боте. Он показал, что энергия рентгеновских лучей распространяется в ту или иную сторону в виде порций, а не во все стороны одновременно, как для электромагнитной волны. Опыт был выполнен при помощи двух счетчиков C1 и C 2 (рис. 36), достаточно чувствительных для того, чтобы зарегистрировать действие одного рентгеновского кванта, и достаточно быстро отмечающих его появление. Счетчики располагались симметрично относительно тоненькой Рис. 36. Схема опыта Боте металлической пленки A , освещаемой сбоку рентгеновскими лучами R , которая в свою очередь сама становилась источником рентгеновских лучей (рентгеновская флуоресценция). Опыт совершенно отчетливо обнаружил беспорядочность срабатываний счетчиков. Это доказывает, что из пленки A фотоны летят то в одну, то в другую сторону. 2.17. Давление света. Опыт Лебедева Пусть на тело перпендикулярно его поверхности падает поток монохроматического излучения частотой  . Поскольку свет обладает импульсом, то он должен оказывать на него давление. Рассчитаем это световое давление с точки зрения квантовой теории, предполагая, что в единицу времени на единицу площади падает N фотонов. Если коэффициент отражения света от поверхности равен  , то N фотонов отразится, а (1 − ) N – поглотится. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс p = h c , а каждый отраженный − p = 2h c (при отражении импульс фотона меняет направление). Тогда давление света на данную поверхность будет определяться выражением 2h h h P= N + (1 − ) N = (1 + ) N . c c c Учитывая, что энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени Nh равна энергетической освещенности поверхности We , а отношение We c – объемной плотности энергии излучения w , получим 38 We (1 + ) = w(1 + ) . c Давление света на металлическую пластинку можно объяснить также исходя из представлений об электромагнитной природе света. Действительно, под действием электрического поля электромагнитной волны электроны в металле совершают вынужденные   колебания вдоль направления электрического поля волны E . Магнитное поле H электромагнитной волны действует на движущиеся заряды с силой Лоренца, направление которой в соответствии с правилом левой  руки  совпадает с направлением распространения света. Когда направления E и H меняются на противоположные, то изменяется только направление скорости электрона, в то время как направление силы Лоренца остается неизменным. Равнодействующая сил Лоренца, действующих все на свободные электроны в поверхностном слое вещества, представляет собой силу, с которой свет давит на поверхность. Расчеты показывают, что это давление описывается формулой, полученной выше. Предсказанное Максвеллом световое давление было экспериментально обнаружено и измерено русским физиком П. Н. Лебедевым. В 1900 г. он измерил давление света на твердые тела, а в 1907—1910 гг. — давление света на газы. Прибор, созданный Лебедевым для измерения давления света, представлял собой очень чувствительный крутильный динамометр (крутильные весы), помещенный в вакуумный сосуд. Его подвижной частью являлась подвешенная на тонкой кварцевой нити легкая рамка с укрепленными на ней крылышками — светлыми и черными дисками толщиной до 0,01 мм. Крылышки изготавливались из металлической фольги. Свет, падая на крылышки, оказывал на светлые и черные диски разное давление. В результате на рамку действовал вращающий момент, который закручивал нить подвеса. По углу закручивания нити определялось давление света. P= 2.18. Эффект Комптона Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства света в явлении, которое получило название эффекта Комптона. Исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, он обнаружил, что в рассеянных лучах, наряду с излучением первоначальной длины  , содержатся также лучи большей длины волны –  . Разность  =  −  оказалась зависящей только от угла  между направлением первичного пучка и рассеянным излучением. Эффект Комптона обусловлен упругим рассеянием рентгеновского излучения на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, которое сопровождается увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты. 39 Все особенности эффекта Комптона можно объяснить на основе квантовых представлений о природе света, рассматривая рассеяние как упругое столкновение рентгеновских фотонов со свободными электронами. При столкновении фотон передает электрону часть энергии и импульса в соответствии с законами сохранения. Рассмотрим упругое столкновение двух частиц – налетающего фотона, обладающего импульсом p = h c и энергией   = h , с покоящимся свободным электроном (энергия покоя E0 = m0c , m0 – масса покоя электрона). Согласно закону сохранения энергии и импульса (рис. 37):    E0 +   = E +  , p = p + p , 2 Рис. 37. Схема рассеяния фотона на электроне где p – импульс электрона, а E = p 2 c 2 + m02 c 4 – энергия электрона после столкновения;  = h – энергия; p = h c – импульс рассеянного фотона. Перейдя от векторных величин к их проекциям на направление движения фотона, и подставив соответствующие значения величин, получим m0 c 2 + h = p 2 c 2 + m02 c 4 + h , h2  h   h  p =  +  − 2 2  cos , c c c     где  – угол рассеяния фотона (см. рис. 37). Решая совместно эти два уравнения, получим m0c 2 ( − ) = h(1 − cos) . Поскольку  = c  и  = c  , получим  =  −  =  C (1 − cos ) , где  C = h m0 c называется комптоновской длиной волны рассматриваемой части. цы, в данном случае электрона. Для электрона  C = 0,0243A Как эффект Комптона, так и фотоэффект обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором – поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным или связанным электроном, а фотоэффект – со связанным электроном. Можно показать, что при столкновении фотона со свободным электроном не может произойти поглощение фотона, так как этот процесс противоречит законам сохранения энергии и импульса. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами может наблюдаться только их рассеяние, т. е. эффект Комптона. 2 2 2 2.19. Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения Итак, что же такое свет – частица или волна? Квантовая теория отвечает на этот вопрос так: ни то, ни другое. Действительно, нет необходимости пытаться 40 представить себе, как это фотон может быть сразу и волной, и частицей. Свет обладает потенциальной возможностью проявлять и волновые, и корпускулярные свойства, но эти дополняющие друг друга свойства в чистом виде проявляются лишь при взаимоисключающих условиях эксперимента. Так, чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и в меньшей степени проявляются корпускулярные свойства света. С эти связано, например, существование красной границы фотоэффекта. Фотоны, обладающие низкой энергией, просто не могут быть зафиксированы. Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и в меньшей степени проявляются волновые свойства света. Например, дифракция рентгеновского излучения обнаруживается лишь при использовании в качестве дифракционной решетки кристаллов. Таким образом, адекватный способ описания света определяется выбранным способом наблюдения, а вопрос о том, что же существует «на самом деле» – волна или частица, – лишен содержания. Одновременное существование у света волновых и квантовых свойств ставит вопрос об их сочетании и взаимозависимости. Взаимосвязь находит простое толкование при статистическом подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. Для этого рассмотрим с обеих точек зрения освещенность какойлибо поверхности. Согласно волновым представлениям освещенность в некоторой точке поверхности пропорциональна квадрату светового вектора. С корпускулярной точки зрения освещенность пропорциональна суммарным энергиям фотонов, попадающих в эту точку. Отсюда следует, что вероятность попадания фотона в данную точку поверхности определяется квадратом светового вектора dP ~ E 2 dS . Таким образом, волновые свойства фотона проявляются в том, что для него нельзя точно указать, в какую именно точку экрана он попадет после прохождения через оптическую систему (например, дифракционную решетку). Можно говорить лишь о плотности вероятности попадания фотона в различные точки экрана. ЛЕКЦИЯ 3 3.1. Гипотеза де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц и подтверждение её опытом В 1924 году Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью одного света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). В рамках этой гипотезы движению частицы массы m можно сопоставить волновой процесс с длиной волны  , равной = где m = m0 1 − υ2 c 2 h h = , p mυ – релятивистская масса; m0 – масса покоя частицы. 41 Согласно де Бройлю, количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики частиц имеютвид:  E = h =  , p = k , где k = 2  – волновой вектор;  = h 2 – приведенная постоянная Планка. Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. В 1927 году американские физики Дэвиссон и Джермер, исследуя отражение электронов, ускоренных электрическим полем, от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе, обнаружили, что рассеяние пучка электронов проявляет отчетливый дифракционный характер. Причем картина рассеяния напоминала дифракцию рентгеновских лучей на таком кристалле: угловые положения дифракционных максимумов полностью соответствовали формуле ВульфаБрегга 2d sin  = m 0 , m = 1, 2, 3,… для значения  0 равного длине волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряh h 12,3  10 −10 ющую разность потенциалов U (  = = ). = p 2me eU U В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П. С. Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Полученная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин. Впоследствии дифракционные явления обнаружили также для нейтронов (не обладающих зарядом), протонов (имеющих положительный заряд), атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля. Кроме того, стало понятно, что волны де Бройля не являются разновидностью электромагнитных волн. 3.2. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярноволнового дуализма свойств материи В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т. д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Микрочастицы – квантовые частицы – существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить о точных одновременных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны p = h  , то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. 42 И, наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что неопределенности значений координат и проекций импульса удовлетворяют соотношениям x  p x   , y  p y   , z  p z   . Пары величин, входящие в них, называются канонически сопряженными. Сами соотношения называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Поясним содержание соотношений неопределенности на следующем примере. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной x, сравнимой с длиной волны де Бройля электрона (рис. 38). Предполагаем также, что щель расположена перпендикулярно к направлению их движения. До щели электроны двигаются вдоль оси y , Рис. 38. Дифракция электронов на щели имея строго определенный импульс  p , проекция которого на ось х равна нулю (соответственно p x = 0 ). При этом координата х электронов из-за волновых свойств является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси х определяется с точностью до ширины щели – d = x . В тот же момент, вследствие дифракции, электроны отклоняются от первоначального направления и двигаются с близкими вероятностями в пределах угла 2 (  – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, у них появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси х , равная p x = p sin  . Из теории дифракции известно, что первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол , для которого x  sin  =  , где  – длина волны де Бройля. Отсюда с учетом p = h  получается соотношение x  p x = h . Поскольку часть электронов попадает за пределы главного максимума, то x  p x  h . Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у неё волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам. Здесь важно отметить, что невозможность одновременно точно определять координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершен43 ством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов. Энергия и время также являются канонически сопряженными величинами. Для них соотношение неопределенностей представляется в виде E  t   . Оно означает, что если время жизни t микрочастицы в каком-то состоянии небольшое, то неопределенность в значении её энергии составляет величину E ~  t . 3.3. Волновая функция. Статистический смысл волновой функции Из опытов по дифракции и интерференции электронов, а особенно по интерференции одиночных электронов (опыт Юнга), следует, что даже один электрон способен создать интерференционную картину, т. е. интерферирует сам с собой. Таким образом, электрон может в одно и то же время находиться в двух различных точках пространства. Очевидно, что понятие траектории для микрочастицы не определено; можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. В тоже время опыты по дифракции электронов показывают, что имеется определенная вероятность в распределении рассеянных или отраженных микрочастиц по различным направлениям. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая. Необходимость вероятностного подхода к описанию движения микрочастиц является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно описано с помощью комплексной волновой функции (t , x, y, z ) , которая связана с плотностью распределения вероятностей соотношением ( x, y, z, t ) = | ( x, y, z, t ) |2 = * ( x, y, z, t )( x, y, z, t ) , где * ( x, y, z, t ) – функция, комплексно сопряженная по отношению к ( x, y, z, t ) . Иными словами полагается, что величиной | ( x, y, z, t ) |2 определяется интенсивность волн де Бройля. Такая интерпретация волновой функции объясняет, почему волны де Бройля иногда называют «волнами вероятности». Таким образом, смысл волновой функции состоит в том, что квадрат её модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства. Из определения волновой функции следует, что она должна удовлетворять условию нормировки вероятностей + + +    |  ( x, y, z, t ) |2 dxdydz = 1. − − − 44 Это условие означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие, и его вероятность должна быть равна единице. Для нормированной пси-функции вероятность нахождения частицы в элементе объема dV определяется как dP = |  |2 dV . В соответсвии с физическим смыслом, волновая функция должна удовлетворять ряду так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной, непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на все производные от волновой функции. Волновая функция  содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная , можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле  x  =  x |  |2 dV . Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями 1 , 2 , …, n , то она также может находиться в состоянии  =  Cn n , n где C n – произвольные комплексные числа. 3.4. Уравнение Шредингера Состояние микрообъекта или какой-либо квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Общее нестационарное уравнение, позволяющее определить в любой момент времени волновую функцию ( x, y, z, t ) для частицы массы m , движущейся в силовом поле, описываемом скалярной потенциальной функцией U (x,y,z,t) , имеет вид  2 i =−  + U . t 2m Здесь i = - 1 – мнимая единица;  – дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид  =  2 x 2 +  2 y 2 +  2 z 2 . Это уравнение является основным уравнением движения частицы в квантовой механике и называется уравнением Шpедингеpа. В общем случае в задачах квантовой механики дифференциальное уравнение в частных производных должно решаться с учетом определенных начальных и граничных условий, накладываемых на волновую функцию. Начальное условие задает значение волновой функции в начальный момент времени t = 0 . 45 Граничные условия являются следствием регулярности волновой функции, обеспечивая, в частности, ее непрерывность. Эти условия формулируются на границах областей, где потенциальная функция U(x, y, z,t) терпит разрывы первого или второго рода. Сюда же относятся условия на волновую функцию в бесконечно удаленных точках пространства, которые обеспечивают выполнение условия нормировки. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно U = U ( x, y, z) , то в этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя (t , x, y, z ) = ( x, y, z )e −i ( E  )t , где E имеет смысл полной энергии частицы. Подставим это выражение в общее уравнение Шредингера. После несложных преобразований придем к дифференциальному уравнению 2m  + 2 ( E − U ) = 0 ,  которое называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (независящим от времени). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого типа имеют решения, удовлетворяющие стандартным и граничным условиям, не при любых значениях параметра E , а лишь для некоторых из них. Эти значения называются собственными значениями энергии. Решения  n , соответствующие собственным значениям En , называются собственными функциями. Таким образом, квантование энергии является следствием основных положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, является нетривиальной математической задачей. Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения электродинамики Максвелла и др. основные физические уравнения, не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого доказывается согласием результатов расчетов, выполненных с помощью уравнения Шредингера, с данными экспериментов. Такое согласие установлено для большого числа явлений в атомной и ядерной физике. 3.5. Движение свободной частицы Частица называется свободной, если на нее не действуют внешние силы. При свободном движении частицы её потенциальная энергия U = 0 , а полная p2 энергия E совпадает с кинетической энергией: Wk = . 2m Если свободная частица движется только вдоль оси x , то стационарное уравнение Шредингера запишется как:  2  2m + E = 0 . x 2  2 46  i 2mEx  , Частным решением этого уравнения является функция ( x) = Ae где A = const. Знак «плюс» определяет движение частицы в положительном направлении оси x , знак «минус» – движение в противоположном направлении. Объединяя данное решение с решением временного уравнения, получим полное решение уравнения Шредингера в виде i − Et ( x, t ) = e  i − ( Et − 2mEx ) . Ae   ( x) = Сравнивая данное решение с выражением плоской монохроматической волны ( x, t ) = Ae−i (t − kx) , видим, что для свободной частицы волновое число опре- деляется как: k = 2mE  . Отсюда получаем, что E=  2 k 2 p x2 = 2m 2m (здесь h = k – формула де Бройля). Следовательно, энергия свободной частицы  может принимать любые положительные значения, а её зависимость от импульса оказывается обычной для классических нерелятивистских частиц. px = 3.6. Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве (рис. 39). Рассмотрим простейший случай одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками: , x  0 ,  U ( x) = 0, 0  x  l , где l – ширина ямы. , x  l ,  По условию задачи (бесконечно высокие стенки), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. Следовательно, на границах ямы (0) = 0 и (l ) = 0 . Внутри ямы ( 0  x  l ) стационарное уравнение Шредингера запишется в виде  2  2m + E = 0 , x 2  2 где E – энергия частицы. Решением данного уравнения является функция ( x) = Asin kx + B cos kx , Рис. 39. Потенциальная яма где k 2 = 2mE  2 , A и B – произвольные постоянные. Для выполнения первого граничного условия (0) = Asin(0) + B cos(0) = 0 мы должны потребовать B = 0 . Второе граничное условие (l ) = Asin kl = 0 будут  выполнено при kl = n , где n – целое число. Получается, что k = n , а, соответl 47 2 2l принимает дискретные значения. = k n Поскольку k 2 = 2mE  2 , то отсюда следует, что энергия движущейся внутри потенциальной ямы частицы также принимает дискретные значения ственно, и длина волны де Бройля  = En = 2 2 2 n , (n = 1, 2, 3,…,∞). 2ml 2 Значения энергии E n называются уровнями энергии, а число n , определяющее энергетические уровни частицы, называется квантовым числом. Используя условия нормировки l n A2  sin 2 x dx = 1 , получим, что волноl вые функции такой частицы имеют вид 2 n  n ( x) = sin x , (n = 1, 2, l l 3,…,∞). На рис. 40 показаны графические зависимости волновых функций (а) и плотности вероятности обнаружения чаРис. 40. Волновые функции и плотность стицы (б) на различных расстояниях от вероятности обнаружения частицы «стенок» ямы при разных квантовых в потенциальной яме числах. Из рисунка следует, например, что в квантовом состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине ямы, в то время как одинаково часто может прибывать в её левой и правой частях. Это существенно отличается от представлений классической физики, согласно которым его нахождение равновероятно во всех местах ямы. 3.7. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике Линейный гармонический осциллятор – это система, совершающая одномерные движения под действием квазиупругой силы. Он является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Примером классического осциллятора является пружинный маятник. Он совершает гармонические колебания вдоль оси x с частотой 0 и амплитудой, определяемой его полной энергией E , которая в крайних точках (  xmax ) равна потенциальной энергии (рис.42). Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы этой области. В квантовой механике задача о колебаниях Рис. 42. Уровни энергии линейного гармонического осциллятора решается гармонического осциллятора с помощью уравнения Шредингера 48  2 + 2m ( E − U ) = 0 , x 2  2 в котором по сравнению с предыдущими задачами необходимо включить потенциальную энергию. Для этого воспользуемся значением потенциальной энергии классического гармонического осциллятора: U = m02 x 2 2 , где 0 – собственная частота колебаний осциллятора, m – масса частицы. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора будут определяться уравнением m02 x 2   2  2m  E −  = 0 , + x 2  2  2  где E – полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что такое уравнение решается только при собственных значениях энергии En = (n + 1 2)0 , (n = 1, 2, 3,…,∞). Формула показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения. Причем уровни энергии являются равноотстоящими друг от 1 друга. Наименьшее возможное значение энергии равно E0 =  . Это значение 2 называется энергией нулевых колебаний. Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей. Квантово-механический расчет показывает также, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области (  xmax ), в то время как с классической точки зрения она не может выйти за ее пределы. Следовательно, имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в той области, которая является классически запрещенной. 3.8. Закономерности атомных спектров Исследования спектров излучения разреженных газов (т. е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу соответствует определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий. Оказалось, что линии в спектре расположены определенным образом и образуют группы, называемые сериями. Качественно спектры атомов различных элементов сходны, но особенно отчетливо серии проявляются в спектре простейшего элемента – водорода. В 1885 г. швейцарский физик Бальмер обнаружил, что длины волн  отдельных линий в видимой части спектра водорода подчиняются закону 1 1   1 = R 2 − 2  , (n = 3, 4, 5,…,∞),  n  2 49 где R = 1,097  107 м–1 – постоянная Ридберга. Дальнейшие исследования показали, что в спектре водорода имеется еще несколько серий: 1 1  1 = R 2 − 2  , (n = 2, 3, 4,…,∞) , серия Лаймана  n  1 1 1   1 = R 2 − 2  , (n = 4, 5, 6,…,∞),  n  3 1 1   1 серия Брэкета = R 2 − 2  , (n = 5, 6, 7,…,∞) и др.  n  4 серия Пашена Рис. 43. Спектр водорода Серия Лаймана находится в ультрафиолетовой области, а остальные серии – в инфракрасной (рис. 43). Все приведенные выше серии могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера 1 1   1 = R 2 − 2  ,  n  m где m = 1, 2, 3,… определяет серию; n = m + 1, m + 2,… определяет отдельные линии серии. Спектральную линию с наибольшей длиной волны из всех линий серии называют головной линией серии. С увеличением n линии серии сближаются; значение n =  определяют коротковолновую границу серии, к которой примыкает сплошной спектр. В то время было твердо установлено, что свет испускается именно атомами. Поэтому функциональный вид сериальных формул, которые сводятся к одной обобщенной формуле, свидетельствует о наличии закономерности в строении всех атомов. Таким образом, из результатов изучения спектров вытекает очень важное следствие для возможной модели атома: она должна позволять испускание монохроматических волн, давать правильное их расположение и обеспечивать устойчивость атома при этом. Ни одна из существующих в то время моделей атома (например, Томсона) не позволяла получить экспериментальную картину излучения. Кроме того, из спектроскопических данных невозможно было установить внутреннее устройство атомов, доказательство сложной структуры которых, подтверждалось многими опытными и теоретическими работами. Д. И. Менделеев открыл периодический закон, свидетельствующий о периодической повторяемости основных особенностей внутренней структуры атомов 50 по мере увеличения числа частиц входящих в их состав. А. Беккерелем было открыто явление радиоактивности тяжелых атомов. Требовался эксперимент для прямого определения распределения зарядов внутри атома и его устройства. 3.9. Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома Установить распределение зарядов в какой-либо области пространства можно по виду рассеяния других заряженных частиц. Такое зондирование внутренних областей атомов тяжелых элементов (золото, серебро, медь и др.) было проведено в 1911 г. Э. Резерфордом с помощью открытых им ранее α-частиц, испускаемых радием при естественном радиоактивном распаде. Было установлено, что альфа-частицы – это полностью ионизированные атомы гелия, масса которых приблизительно в 7300 раз больше массы электрона, а положительный заряд равен удвоенному элементарному заряду. Скорость их вылета, измеренная по кривизне траектории в магнитном поле, составляет приблизительно 1,5  107 м/с, а соответствующая кинеРис. 44. Опыт Резерфорда тическая энергия равна ~ 4,8МэВ. Опыт осуществлялся следующим образом (рис. 44). Узкий пучок αчастиц, испускаемый радиоактивным веществом (Р), направлялся на тонкую золотую фольгу (Ф) (толщиной примерно 1 мкм). Рассеянные фольгой частицы попадали на экран (Э), покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способных светиться под ударами быстрых заряженных частиц. Вспышки света, сцинцилляции, наблюдались в микроскоп (М). Микроскоп и связанный с ним экран можно было вращать вокруг оси, проходящей через центр фольги, т. е. можно было всегда измерить угол отклонения  по отношению к первоначальному пучку. Весь прибор помещался в откачиваемый объем, чтобы устранить рассеяние α-частиц за счет столкновений с молекулами воздуха. В результате экспериментов было обнаружено, что большинство α-частиц проходит через тонкий слой металла, практически не испытывая отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на значительные углы, превышающие 30°. Очень редкие α-частицы (приблизительно одна на десять тысяч) испытывали отклонение на углы, близкие к 180°. Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, то наблюдаемые отклонения α-частиц возможны только в том случае, если внутри атома имеРис. 45. Модель атома ется очень небольшая положительно заряженная обРезерфорда ласть, в которой сосредоточена практически вся его масса. Основываясь на этом выводе, Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель атома (рис. 45). Согласно этой модели в центре расположено тяжелое по51 ложительное ядро размером ~ 10 −15 м и с зарядом, равным Ze , вокруг которого по всему объему атома распределены Z электронов. Поскольку статическая система зарядов не может быть устойчивой, Резерфорду пришлось предположить, что электроны вращаются вокруг ядра под действием кулоновских сил. Последнее предположение пришло в немедленное противоречие с классической электродинамикой. Электрон в атоме движется по искривленной траектории с ускорением и, согласно классической электродинамике, будет непрерывно излучать электромагнитные волны. Излучение уменьшает энергию электрона, так что он достаточно быстро должен упасть на ядро. Этот результат не соответствует действительности, так как атом является устойчивым образованием. Таким образом, планетарный атом, структура которого однозначно следует из результатов опыта Резерфорда, является неустойчивым с точки зрения классической механики и классической электродинамики. Кроме того, излучение такого атома будет иметь только непрерывный спектр. Спектральных линий не должно быть, что противоречит наблюдаемым на опыте спектральным зависимостям. 3.10. Постулаты Бора Первая попытка создать новую – квантовую – теорию атома была осуществлена Н. Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу новой теории Бор положил два постулата и правило квантования орбит. Первый постулат (постулат стационарных состояний). Электроны в атомах движутся только по определенным (стационарным) круговым орбитам. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. Правило квантования орбит. Из всех возможных орбит электрона возможны только те, для которых момент импульса равен целому кратному приведенной постоянной Планка me υrn = n , (n = 1, 2, 3,…), где me – масса электрона; υ – его скорость по n-й орбите радиуса rn . Второй постулат (правило частот). Излучение и поглощение энергии в виде кванта h происходит лишь при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается переход электрона h = En − Em , где E n и E m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). Набор возможных дискретных частот (длин волн) c E − Em = = n  h квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома. 52 Стационарная орбита возникает в том случае, когда волна непрерывно повторяет себя после каждого оборота вокруг ядра. Другими словами, стационарная орбита соответствует круговой стоячей волне де Бройля на длине орбиты (рис. 46). Это явление очень похоже на стационарную картину стоячих волн в струне с закрепленными концами. По идее Бора в стационарном квантовом состоянии атома на длине орбиты электрона должно укладываться целое число длин волн  , т.е. n n = 2rn . Подставляя сюда длину волны де h Бройля для электрона:  = , получим me υ Рис. 46. Вид стационарной орбиты me υrn = n h . Таким образом, боровское правило квантования связано с волно2 выми свойствами электронов. 3.11. Опыт Франка и Герца Существование дискретных энергетических уровней атома была подтверждена опытами Франка и Герца (1913 г.), в которых исследовалось столкновение электронов с атомами ртути. Схема их установки приведена на рис. 47. В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~0,1кПа), находились три электрода: катод К, сетка С и анод А. Термоэлектроны, вылетавшие из нагретого катода, вначале ускорялись разностью потенциалов U , приложенной между катодом и сеткой, а затем тормозились в промежутке между сеткой и анодом слабым электрическим полем с постоянной разностью потенциалов ~ 0,5 В. Проведенные исследования показали, что зависимость тока в анодной цепи от величины ускоряющего напряжения I = f (U ) имеет вид пилообразной кривой (рис. 48). Такое поведение вольтамперной характеристики можно объяснить следующим образом. При напряжении U  4,86 В электроны испытывают только упругое взаимодействие с атомами ртути, в результате которого кинетиРис. 47. Схема опыта ческая энергия электронов практически не изФранка и Герца меняется (изменяется только направление движения электронов). Поэтому с увеличением напряжения растет число электронов, достигающих анода. Анодный ток при этом возрастает. При достижении U = 4,86 В энергия электронов сравнивается с энергией первого возбужденного уровня атома ртути. Теперь происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, которые, получив порцию энергии E = eU =4,86 эВ, переходят в возбужденное состояние. Электроны, потерявшие всю ки53 нетическую энергию, не в состоянии преодолеть небольшой задерживающий потенциал. Поэтому происходит резкое уменьшение анодного тока. Аналогичные процессы наблюдается и при напряжениях, кратных U = 4,86 В, когда электроны могут испытывать с атомами ртути 2, 3, … неупругих соударения, потеряв при этом полностью (или почти полностью) свою энергию, и не достигнуть анода. Таким образом, опыт показал, что электроны Рис. 48. Вольт-амперная передают свою энергию атомам ртути порциями, характеристика причем 4,86 эВ – наименьшая возможная порция, которая может быть поглощена атомом ртути в основном энергетическом состоянии. Атомы паров ртути, получив энергию от электронов, переходят в возбужденное состояние, из которого затем самопроизвольно возвращаются в основное hc  255 нм. состояние. При этом должен излучается фотон с длинной волны  = E В опыте действительно обнаруживается одна ультрафиолетовая линия с такой длиной волны. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтверждают оба постулата Бора. 3.12. Уравнение Шредингера для атома водрода. Анализ решения задачи Рассмотрим теперь квантово-механическую теорию атома водорода (в общем случае водородоподобных атомов), гораздо более полную, чем теория Бора. С точки зрения современной квантовой механики, задача об электроне в атоме – это задача о частице в потенциальном ящике. Но, в отличие от уже рассмотренных задач такого типа, она намного сложнее по двум причинам: 1. Потенциальный рельеф для электрона в электрическом поле положительно заряженного ядра представляет собой не «прямоугольный ящик», а согласно 1 Ze 2 формуле U (r ) = − – гиперболический; 4 0 r 2. «Ящик» не одномерный, а трехмерный. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией  , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера 2m  Ze 2   = 0 ,  + 2e  E + 4 0 r    где E – полная энергия электрона в атоме. Кулоновское поле ядра, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, поэтому данное уравнение целесообразно решать в сферических координатах r ,  ,  , считая, что  = (r , , ) . 54 В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям (однозначности, конечности и непрерывности волновой функции), в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E ; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных 1 Z 2 me e 4 En = − 2 , (n = 1, 2, 3,…,∞). n 32 2  2  02 Первый случай соответствует свободному электрону Рис. 50. Схема энергетических (заштрихованная область на рис. 50), второй – элекуровней водородоподобного трону, находящемуся внутри гиперболической «поатома тенциальной ямы» (связанному электрону). Следовательно, решение уравнения Шредингера для атома водорода автоматически приводит к появлению дискретных энергетических уровней E1 , E2 , …, En , в точности совпадающих с уровнями энергии в теории атома Бора, в которой квантование вводилось как постулат. Эти уровни показаны на рис. в виде горизонтальных линий. Самый нижний уровень E1 , отвечающий минимально возможной энергии, – основной, все остальные – возбужденные. Из рисунка видно, что по мере роста квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n →  En → 0 . Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соот2 ветствует волновая функция, квадрат модуля  которой определяет плотность вероятности обнаружения электрона в окрестности данной точки пространства. Поскольку вероятность нахождения электрона в различных частях атома различна, то электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако неравномерной плотности без четких границ. Поэтому вместо представления о классических электронных орбитах в квантовой механике вводится понятие атомных орбиталей. Геометрическое представление атомной орбитали – область пространства, ограниченная поверхностью равной плотности вероятности или заряда. Плотность вероятности на граничной поверхности выбирают исходя из решаемой задачи, но, обычно, таким образом, чтобы вероятность нахождения электрона в ограниченной области лежала в диапазоне значений 0,9 – 0,99. 3.13. Квантовые числа и физические характеристики атома Общее решение рассмотренного выше уравнения Шредингера в сферической системе координат записывается в виде ψ(r , ,  ) = Rn,l (r ) l ,ml ( ) ml ( ) , где Rn ,l (r ) – радиальная волновая функция, зависящая только от r ; l , ml () и 55  ml () – угловые функции, зависящие от  и  . Каждая из этих функций характеризуется своим набором трех квантовых чисел: главного n , орбитального l и магнитного ml . Главное квантовое число n определяет энергетический уровень (полную энергию) электрона в атоме. Может принимать целые положительные значения n = 1, 2, 3,…,∞. В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числу, принято обозначать буквами K, L, M, N,… Поскольку энергия электрона определяется кулоновским взаимодействием и, следовательно, расстоянием от ядра, то главное квантовое число задаёт и размер орбитали (электронного облака). Орбитальное квантовое число l определяет орбитальный момент импульса электрона относительно ядра и характеризует форму орбитали. Согласно решению уравнения Шредингера, момент импульса квантуется по правилу Le =  l (l + 1) . При заданном числе n орбитальное квантовое число может принимать значения l = 1, 2, 3,…, n − 1. Другими словами, для электрона с определенной энергией возможны различные состояния с разными орбитальными моментами импульса. Такие состояния называются вырожденными. Для обозначения этих состояний применяются буквенные символы: s , p , d , f …. Электрон, находящийся в состоянии с l = 0 называется s-электроном (соответствующее состояние – sсостоянием), с l = 1 – p-электроном, с l = 2 – d-электроном, с l = 3 – f-электроном и далее по алфавиту Все s-состояния (1s, 2s,..., ns ) описываются сферически симметричной волновой функцией (r , , ) =  0 e −r  , где  0 и  – константы, разные для 1s, 2s и т. д. состояний. В этих состояниях электрон перемещается равновероятно в любом направлении в пределах сферы, в результате чего его среднее значение Le = 0 . Если вычислить наиболее вероятное местонахождения электрона от ядра в 1s-состоянии, то получим значение, равное радиусу первой боровской орбиты rB = 5,29  10-11 м. Вероятность обнаружения электрона в любом ns-состоянии максимальна на расстоянии rn = n 2  rB . Во всех этих случаях атом водорода можно представить в виде сферическисимметричного электронного облака, в центре которого находится ядро. Рис. 51. Формы электронных облаков вокруг ядра 56 При значениях l  0 сферическая симметрия электронного облака нарушается. Для p-состояний (Le = 2) орбиталь напоминает гимнастическую гантель, вытянутую вдоль одной из осей координат. Наибольшая плотность вероятности будет расположена в двух симметричных точках на некотором расстоянии от ядра. Орбитали для состояний d и f имеют еще более сложную форму (рис. 51). Магнитное квантовое число ml определяет ориентацию орбитального момента импульса электрона в пространстве (ориентацию электронного облака) и, соответственно, задает его возможные проекции на заданное направление. Обычно за это направление принимают направление внешнего магнитного поля, в которое помещен атом. Из решения уравнения Шредингера следует, что проекция  вектора Le на направление внешнего магнитного поля (ось Z ) может принимать только дискретные значения, кратные ћ Lez = ml . При заданном l магнитное квантовое число может принимать значения ml = 0,  1,  2,...,  l . Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l + 1 возможных ориентаций (рис. 52). Тот факт, что в  p-состоянии электрон атома имеет три ориентации вектора Le , означает, что энергетический уровень расщепляется в магнитном поле на три подуровня, а в dсостоянии – на пять. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 году П. Зееманом и получило название эффекта Зеемана. Квантовые числа позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода. Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня энергии на другой. В квантовой механике доказывается, что для орбитального Рис. 52. Ориентации вектора момента импульса и магнитного квантовых чиотносительно направления внешнего магнитного поля сел имеются правила отбора, ограничивающие число возможных переходов: l = 1 и ml = 0,1. Например, серии Лаймана соответствуют переходы np → 1s (n = 2, 3,…), а серии Бальмера – только переходы ns → 2 p и nd → 2 p (n = 3, 4,…). Правила обусловлены тем, что испускаемый (поглощаемый) фотон обладает собственным моментом импульса (спином) с s = 1 . Поэтому при переходах должен выполняться закон сохранения полного момента импульса атома и его проекции на выбранное направление. Переход из одного состояния в другое (например, 57 2 p → 1s ) надо представлять себе не как переход с одной круговой орбиты на другую, а как стягивание 2p-орбитали в 1s-орбиталь. 3.14. Магнетизм атома. Опыт Эйнштейна и Гааза Из теории электромагнетизма мы знаем, что при круговом движении электрического заряда (круговой ток) всегда возникает магнитный момент. Если рассматривать движение одного электрона, то его век торы магнитного момента pm и орбитального мо мента импульса Le ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты, противоположно направлены друг к другу (рис. 53) и связаны между собой соотношением   pm = −Le , e где  = – орбитальное гиромагнитное отно2me Рис. 53. Магнитный и орбитальный моменты шение. электрона в атоме Такая же связь векторов сохраняется и в теории Бора. К аналогичному результату приводит и квантовая механика, с той лишь разницей, что магнитный момент электрона (как и механический момент импульса) квантуется по закону e e pm = Le = l (l + 1) =  B l (l + 1) , 2me 2me (l = 0, 1, 2,…, n − 1 ), e B = = 9,27  10 −24 Дж.Тл-1 называется магнетоном Бора. Так как прогде 2me  екция орбитального момента Le на некоторое направление может принимать только дискретные значения, то это же самое относится и к магнитному моменту. Поэтому пространственное квантование орбитального магнитного момента электрона имеет вид p mz =  B  ml , (ml = 0,  1,...,l ) . Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно проверялось в разных экспериментах. Впервые магнитомеханический эффект был обнаружен экспериментально А. Эйнштейном и В. де Гаазом в 1915 году. В их опытах образцы ферромагнитных веществ в виде небольших цилиндриков подвешивались на тончайшей кварцевой нити внутри соленоида, по обмотке которого пропускался переменный ток с частотой, равной частоте собственных крутильных колебаний цилиндрика. Исходно образец покоился, и полный момент импульса электронов был равен нулю. При пропускании тока через соленоид на образец действовало магнитное поле, под влиянием которого все электроны ориентировались так, чтобы их магнитные моменты были направлены по полю. Естественно, что при этом также ориентировались в определенном направлении и моменты импульсов электронов. Цилиндрик, намагничиваясь, приобретал некото58 рый суммарный момент импульса. Поскольку полный момент импульса в изолированных системах сохраняется, то по направлению возникающего механического момента, приводящего к вращению образца, было доказано, что намагничивание обусловлено движением электронов. По результатам исследования вынужденных крутильных колебаний цилиндрика было установлено также, что отношение магнитного момента к механическому (гиромагнитное отношение) в два раза больше ожидаемого:  s = 2 . Этот результат что электрон помимо орбитального мо впоследствии привел к выводу,  мента Le и магнитного момента pm обладает еще и собственным моментом импульса (спином). 3.15. Спин электрона. Спиновое квантовое число В 1922 году О. Штерн и В. Герлах поставили опыты, целью которых было измерение магнитных моментов pm атомов различных химических элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева. Такой выбор объектов для исследования не случаен. Щелочные металлы следуют за инертными газами (литий за гелием, натрий за неоном и т. д.), которые во внешнем магнитном поле проявляют диамагнитные свойства. Это свидетельствует о том, что суммарный магнитный момент атомов инертных газов равен нулю. Поэтому можно предположить, что магнитный момент атома щелочного металла равен магнитному моменту одного валентного электрона. Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на движущийся атом в сильно неоднородном магнитном поле (неоднородность поля сравнима с размера атома). При этом ожидалось, что если магнитный момент атома может принимать строго определенные ориентации в магнитном поле, то под действием этой силы должно происходить расщепление пучка атомов. Так как сила напрямую зависит от p mz , то пучок должен расщепиться на столько компонентов, сколько возможных проекций на ось Z имеет магнитный момент. Если магнитный момент заряженной частицы обусловлен орбитальным моментом Le , то пучок должен расщепиться на 2l + 1 компонентов (нечетное число). На опыте обнаружилось, что пучки атомов серебра, водорода и лития отклонялись в магнитном поле двояким образом, соответствующим лишь двум возможным ориентациям магнитного момента. Такая картина явно противоречила теории. Кроме того, единственный электрон атома водорода, находясь в основном s-состоянии (l = 0) имеет момент импульса, а с ним и магнитный момент, равными нулю. Следовательно, магнитное поле не должно оказывать никакого влияния на движение атомов водорода, т. е. расщепления вообще не должно быть. Если бы даже в пучке были атомы в p-состоянии ( l = 1 ), то пучок должен был бы расщепиться на три компонента в соответствии с числом возможных значений магнитного квантового числа ( ml = 0,  1). Кроме того, исследование спектров (поглощения и излучения) щелочных металлов (Na, K) и водорода при помощи приборов с большой разрешающей способностью показало, что каждая линия этих спектров является двойной, т. е. 59 наблюдается дополнительное расщепление энергетических уровней (тонкая структура). Например, яркая желтая линия натрия состоит из двух линий с 1 = 588,9953 нм и  2 = 589,5930 нм. Позднее это явление было обнаружено и у других химических элементов. Для объяснения перечисленных противоречий Гаудсмит и Уленбек в 1925 году выдвинули предположение, что электрон обладает собственным неуничтожимым моментом импульса Ls , не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином. Спин – квантовая величина, характеризующая, наряду с массой и зарядом, внутреннее неотъемлемое свойство электрона. У него нет классического аналога. Можно, только очень грубо, представить его как момент импульса, возникающий при вращении электрона вокруг собственной оси. Кроме того, оказалось, что существование спина и его свойств является прямым следствием уравнения Дирака, которое заменяет уравнение Шредингера в релятивистской квантовой механике. Согласно общим выводам квантовой механики, спин также квантуется по закону Ls =  s( s + 1) .  где s – спиновое квантовое число, а вектор Ls может принимать соответственно 2s + 1 ориентации в пространстве. Если с помощью спина объяснять расщепление спектральных линий на два 1 подуровня, то следует предположить, что 2s + 1 = 2 , откуда s = . Следовательно, 2 собственный механический момент электрона имеет одно значение Ls = 3 2 и  две проекции вектора Ls на заданное направление внешнего магнитного поля (ось Z ): 1 Lsz = ms , (ms =  s =  ) , 2 где ms – магнитное спиновое квантовое число. Спину электрона (по аналогии с орбитальным моментом импульса) соответствует собственный (спиновый) магнитный момент pms , численно равный pms = − s Ls , e где  s = 2 = – спиновое гиромагнитное отношение, проекции которого на me направление внешнего магнитного поля (ось Z ) могут принимать два значения: e e ( pms ) z = − s Lsz = − ms =  =  B . me 2me Это обстоятельство также нашло подтверждение в опыте Штерна и Герлаха. Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы – спином. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами, задавать еще магнитное спиновое квантовое число. 60 ЛЕКЦИЯ 4 4.1. Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака Релятивистская квантовая механика устанавливает, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями. Такие частицы называют фермионами, и говорят, что они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называют бозонами, и говорят, что они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Состояние системы невзаимодействующих тождественных частиц можно характеризовать с помощью числа заполнения N i , указывающее степень заполнения i-го квантового состояния частицами системы. Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые неотрицательные значения: 0, 1, 2,… . Для систем, образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 – для свободных состояний и 1 – для занятых. Сумма всех чисел заполнения равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц, находящихся в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения N i . Распределение частиц по энергетическим состояниям Ei в идеальном газе, состоящем из бозонов, описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна Ni = 1 . exp[( Ei − ) kT ] − 1 Это выражение называется распределением Бозе-Эйнштейна. Здесь  – химический потенциал. Это значит, что энергия отчитывается не от нуля, а от некоторого уровня   0 . Химический потенциал по своему определению является функцией числа частиц и температуры:  = ( N ,T ) . Он необходим для описания свойств систем с переменным числом частиц. Фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака: 1 . Ni = exp[( Ei − ) kT ] + 1 Это распределение называется распределением Ферми-Дирака. Здесь   0 , и энергия отчитывается от уровня  , называемого уровнем Ферми. При высоких температурах, когда e( Ei −) kT  1, оба распределения БозеЭйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение МаксвеллаБольцмана N i = Ae− Ei kT , где A = e kT . Таким образом, при малых числах заполнения (A<<1), оба квантовых газа ведут себя подобно классическому газу. 61 4.2. Принцип Паули. Электронные оболочки Зависимость симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически было обосновано швейцарским физиком Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц. Обобщая опытные данные, В. Паули сформировал принцип исключения, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули). Из этого положения вытекает принцип запрета Паули: любые два фермиона не могут одновременно находиться в состоянии, описываемом одинаковым набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l , магнитного ml и магнитного спинового m s . Применительно к распределению электронов в атоме по состояниям этот принцип в простейшем виде может быть сформулирован так: два электрона, находящихся в одном и том же атоме, различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа. С учетом определений квантовых чисел и наличия спина электрона можно подсчитать, что максимальное число электронов, находящихся в состояниях с одn −1 ним и тем же значением n , будет равно: Z (n) = 2  (2l + 1) = 2n 2 . Такая совокупl =0 ность электронов в многоэлектронном атоме называют электронной оболочкой. В каждой электронной оболочке электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих определенному значению l . Максимальное число электронов в подоболочке равно: Z (n, l ) = 2(2l + 1) . Поскольку l принимает значения от 0 до n − 1 , то число подоболочек в определенной оболочке равно порядковому номеру этой оболочки. Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 1. Таблица 1 Конфигурация электронных оболочек Главное квантовое число 1 2 3 4 Символ оболочки Максимальное число электронов K L M N в оболочке 2n 2 Орбитальное квантовое число Символ подоболочки Максимальное число электронов в подоболочке 2(2l + 1) 2 8 18 32 1s 2 2s 2 1 2p 6 62 3s 2 1 3p 6 2 3d 10 4s 2 1 4p 6 2 4d 10 3 4f 14 4.3. Периодическая система элементов Менделеева Теория периодической системы химических элементов основывается на следующих положениях: а) порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента; б) заполнение электронами энергетических уровней в атоме происходит в соответствии с принципом Паули; в) с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон занимает состояние с наименьшей энергией. Рассмотрим кратко последовательность заполнения электронами состояний в атомах некоторых химических элементов, находящихся в основном состоянии. Единственный электрон атома водорода (H) находится в состоянии 1s и имеет ориентацию спина, условно обозначаемую как вниз ( ms = −1 2 ) или вверх ( ms = +1 2 ). Электронная конфигурация атома: 1s1 . Оба электрона атома гелия (He) также находятся в состоянии 1s , но имеют при этом антипараллельную ориентацию спинов. Его электронная конфигурация: 1s 2 . На атоме гелия заканчивается заполнение K-оболочки, что соответствует завершению 1-го периода таблицы Менделеева. Следующий по порядку атом лития (Li) содержит три электрона. Третий электрон уже не может разместиться в целиком заполненной K-оболочке и занимает наинизшее свободное энергетическое состояние с n = 2 (L-оболочка), т. е. 2s-состояние. Так как он слабее других электронов связан с ядром атома, то именно им определяются оптические и химические свойства лития – его принадлежность к щелочным металлам. Четвертый электрон бериллия (Be) занимает также 2s-состояние, а вот пятый электрон бора (B) должен уже занять энергетически более высокое – 2p-состояние. Его электронная конфигурация имеет вид: 1s 2 2s 2 2 p1 . У следующих элементов: углерода (C), азота (N) и т. д., заканчивая неоном (Ne), идет заполнение 2 p -состояния. В результате L-оболочка целиком застраивается, и на этом элементе (электронная конфигурация неона: 1s 2 2s 2 2 p 6 ) завершается 2-й период таблицы Менделеева. He, Ne и другие атомы, имеющие полностью заполненные электронами np состояния, образуют устойчивые системы. Они характеризуются отсутствием химической активности и поэтому называются инертными газами. В третьем периоде начинается заполнение M-оболочки. Одиннадцатый электрон первого элемента данного периода натрия (Na) занимает наинизшее свободное 3s-состояние. 3s-электрон является единственным валентным электроном, поэтому оптические и химические свойства натрия подобны свойствам лития. У следующих за натрием элементов, вплоть до аргона (Ar), идет последовательная застройка M-оболочки. Впервые нарушение обычной последовательности заполнения уровней происходит у калия (K). Его девятнадцатый электрон должен был бы занять 3d-состояние в M-оболочке. Но оказалось, что уровень 4s расположен ниже, чем уровень энергии, соответствующий состоянию 3d, и поэтому он заполняется 63 раньше. Только начиная со скандия (Sc) и кончая цинком (Zn), происходит заполнение 3d-состояний. У всех атомов этих элементов внешняя оболочка одинакова, в ней два 4s-электрона (например, электронная конфигурация титана: 1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 6 3d 2 4s 2 ). Затем, начиная с галлия (Ga), заполняются 4p-состояния. Такие «сбои» происходят и далее. При этом периодически повторяются сходные конфигурации внешних (валентных) электронов, чем обуславливается повторяемость химических и оптических свойств атомов. Интересно, что с увеличением числа электронов в оболочках атома почти не увеличиваются его размеры. Это происходит потому, что, чем больше у атома электронов и, следовательно, больше положительный заряд ядра, тем сильнее электронные орбитали стягиваются к ядру. Таким образом, только квантовое описание строения атомов может объяснить сходство и различие химических и физических свойств элементов, предсказать ход химических реакций и объяснить строение любого вещества. 4.4. Рентгеновские спектры Как известно, при торможении электронов на аноде возникает рентгеновское излучение. Причем при достаточно большой энергии электронов на фоне сплошного спектра появляются отдельные резкие линии. Линейчатый спектр определяется только материалом анода, поэтому данное излучение называется характеристическим излучением. Возбуждение характеристических рентгеновских спектров обязано процессам, происходящим во внутренних, застроенных оболочках атомов. Механизм их возникновения схематично представлен на рис. 54 и заключается в следующем. Под действием внешнего высокоскоростного электрона или высокоэнергетического рентгеновского фотона выбивается один из внутренних K-электронов атома анода. Нейтральный атом превращается в неустойчивый ион: его уровень с низкой энергией электрона свободен, а все уровни с более высокой энергией заняты. Поэтому на его место может перейти электрон с любых из более Рис. 54. Схема образования рентгеновского спектра удаленных от ядра оболочек L , M , N , ... . Такие переходы сопровождаются испусканием квантов рентгеновского диапазона частот и, соответственно, возникновением спектральных линий K-серии, обозначаемых в порядке возрастания частоты излучения индексами , , ,… ( K  , K  , K  , …). Так как вероятность переходов электронов с L-оболочки на K-оболочку больше, чем с более удаленных оболочек M и N , то интенсивность линий с увеличением частоты убывает. К-серия обязательно сопровождается другими сериями, поскольку при испускании ее линий появляются вакансии в оболочках L , M , N ,..., которые будут 64 заполняться электронами, находящимися на более высоких уровнях. Возникновение дальнейших серий (наблюдаются только для тяжелых элементов) L , L , L , …; M  , M  , M  , … объясняется аналогичным образом. Исследуя рентгеновские спектры химических элементов, Г. Мозли установил следующий закон 1 1   1 = R( Z − ) 2  2 − 2  ,  n  m где  – длина волны характеристического рентгеновского излучения; R – постоянная Ридберга; Z – атомный номер данного элемента; m = 1, 2, 3,… (определяет рентгеновскую серию); n = m + 1, ... (определяет линию соответствующей серии);  – постоянная экранирования, которая в пределах каждой серии имеет одинаковое значение для всех элементов (например, для K-серии  = 1 , для L-серии  = 7,5 и т. д.). Формула закона Мозли похожа на формулу Бальмера, что указывает на однотипность рассматриваемых процессов. Единственное отличие – появление постоянной экранирования. Её смысл, с точки зрения теории Бора, можно объяснить тем, что на электрон, совершающий переход, действует не весь заряд ядра Ze , а заряд ( Z − )e , ослабленный экранирующим действием других электронов. Кроме того, наличие в формуле параметра Z позволяет установить название химического элемента, создающего данный рентгеновский спектр. 4.5. Состав и характеристики атомного ядра Ядро атома состоит из нуклонов: положительно заряженных частиц – протонов и электрически нейтральных частиц – нейтронов. Размеры протона и нейтрона примерно одинаковы и равны l = (7  8)10 −15 м. Масса протона равна 1837 me , а нейтрона – 1839 me , где me – масса покоя электрона. Время жизни протона составляет  = 1032 лет. Время жизни нейтрона в свободном состоянии  ~ 12 минут (в ядре он стабилен). Спин нейтрона и протона равен 1 2 . Проекции их спинов на направление внешнего магнитного поля равны   2 . Для характеристики атомных ядер вводится ряд обозначений: – число протонов, входящих в состав атомного ядра, обозначают символом Z и называют зарядовым числом или атомным номером (это порядковый номер в периодической таблице Менделеева). Заряд ядра равен Ze , где e = 1,6  10 −19 Кл – заряд протона; – число нейтронов обозначают символом N ; – общее число нуклонов в ядре обозначается буквой A и называется массовым числом A : A = Z + N . Массовое число – округленное значение массы ядра (атома) в атомных единицах массы (1 а. е. м. = 1,67  10 − 27 кг); – ядра химических элементов обозначают символом ZA X , где X – химический символ элемента или элементарной частицы. 65 Ядра одного и того же химического элемента могут отличаться числом нейтронов. Такие ядра называются изотопами. У большинства химических элементов имеется несколько изотопов. Например, у водорода три изотопа: 11 H – ядро водорода – протон; 21 H – ядро дейтерия – дейтрон (d). Атомные ядра с оди40 40 18 Ar , 20 Ca . 14 13 6C, 7 N. наковыми A , но различными Z называют изобарами: Ядра с одина- ковыми N , но различными Z называют изотонами: Как у всякой квантовой системы у атомного ядра нет четко выраженной границы. В экспериментах по рассеянию электронов и протонов на ядрах установлено, что в каждом ядре отчетливо различается внутренняя область (керн), в которой плотность ядерного вещества практически постоянна, и поверхностный слой, в котором эта плотность падает до нуля. Если считать ядро сферой радиуса R , состоящее из A сферических нуклонов радиусом R0 , то в первом приближении размер ядра можно определить как R = R0 A1 3 , где R0 = (1,3  1,7)10 −15 м – константа, близкая к радиусу действия ядерных сил. Из формулы следует пропорциональность объема ядра числу нуклонов в 4 ядре (V = R 3 ~ A ). Это свидетельствует о том, что плотность ядерного веще3 ства примерно одинакова для всех ядер и равна   1017 кг/м3. 4.6. Механический и магнитный моменты ядра Ядро атома имеет собственный момент импульса – спин ядра, который складывается из спинов и из орбитальных моментов импульса нуклонов, обусловленных их движением внутри ядра. Обе эти величины являются векторами, поэтому спин ядра представляет их векторную сумму. Длина суммарного вектора спина ядра, согласно квантовой механике, определяется как Lя =  I ( I + 1) , где I – спиновое ядерное квантовое число. Число I принимает целочисленные или полуцелые значения: 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2 и т. д. Ядра с чётными массовыми числами A имеют целочисленный спин (в единицах  ) и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Ядра с нечётными A имеют полуцелый спин (в единицах  ) и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Опыт показывает, что спины большинства нуклонов взаимно компенсируют друг друга. Поэтому спин ядра невелик и обычно не превышает нескольких единиц. Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется магнитный момент ядра в целом. Единицей магнитных моментов ядер в e = 5,051  10 − 27 Дж/Тл. В единицах  я СИ служит ядерный магнетон:  я = 2m p магнитный момент протона Pmp = 2,79 , нейтрона Pmn = −1,91 (несмотря на отсут66 ствие у него электрического заряда). Магнитный момент нейтрона ориентирован против его спина, а протона – по направлению спина. Спин ядра Lя и его магнитный момент связаны между собой соотношением Pmя =  я  Lя , где  я – коэффициент пропорциональности, называемый ядерным гиромагнитным отношением. Для измерения магнитных моментов ядер используется явление магнитного резонанса, которое заключается в резонансном поглощении энергии высокочастотного электромагнитного поля, происходящее при переориентации магнитных моментов ядер, предварительно выстроенных в направлении постоянного магнитного поля. Магнитный момент ядра складывается с магнитным моментом электронных оболочек в полный магнитный момент атома, но поскольку ядерный магнетон значительно меньше магнетона Бора (  Б  я = m p me = 1836,5), то магнитные свойства атомов определяются магнитными свойствами его электронов. 4.7. Взаимодействие нуклонов в ядре. Природа и свойства ядерных сил Устойчивость ядер свидетельствует о том, что кроме электрических сил отталкивания, возникающих между одноименно заряженными протонами, в ядрах между нуклонами действуют силы притяжения, по интенсивности в 100 раз превышающие силы отталкивания. Эти силы носят название ядерных сил или сил сильного взаимодействия. Ядерные силы характеризуются следующими свойствами: 1. Радиус их действия конечен и равен ~ 10 −15 м. При r  10 −15 м быстро падают до нуля. На расстояниях r  10 −15 м сменяются силами отталкивания. 2. Являются самыми сильными в природе. Например, энергия связи протона и нейтрона в ядре дейтрона равна 2,23 МэВ, а энергия связи электрона с протоном в атоме водорода 13,6 эВ. 3. Не являются центральными, т. е. их действие неодинаково вдоль различных направлений. 4. Зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. Нейтрон и протон удерживаются вместе, образуя дейтрон, только в том случае, если их спины ориентированы параллельно друг другу; 5. Обладают зарядовой независимостью, которая проявляется в одинаковости сил взаимодействия нуклонов (за вычетом кулоновских сил) в системах 1 1 1 1 1 1 0 n− 0 n , 0 n−1 p , 1 p −1 p при одном и том же состоянии относительного движения частиц в этих парах. 6. Обладают свойством насыщения: каждый нуклон в ядре взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нуклонов. Это свойство проявляется в независимости удельной энергии связи атомных ядер от их массового числа A . 67 По современным представлениям сильное взаимодействие между нуклонами носит обменный характер. В квантовой теории предполагается, что обмен осуществляется «виртуальными» π-мезонами. 4.8 Дефект массы и энергия связи ядер Экспериментальные исследования показывают, что масса покоя ядра mя всегда меньше суммы масс нуклонов, составляющих ядро. Разницу между ними называют дефектом масс m = Zm p + ( A − Z )mn − mя . Этот результат вытекает из взаимосвязи массы и энергии, установленный теорией относительности. Уменьшение массы при образовании ядра из нуклонов сопровождается выделением энергии связи. Очевидно, что энергия связи ядра Eсв равна той работе, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие её нуклоны, не сообщая им кинетической энергии. Величина этой энергии рассчитывается на основании известного релятивистского соотношения: Eсв = mc 2 = [Zm p + ( A − Z )mn − mя ] c 2 , где mp, mn – массы протона и нейтрона. Важной характеристикой ядра является удельная энергия связи  св = Eсв A – энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Удельная энергия связи зависит от массового числа A и характеризует устойчивость ядер: чем больше её величина, тем прочнее ядро. График этой зависимости для наиболее стабильных изобаров (кривая Вейцзеккера) приведен на рис. 64. Из рисунка видно, что со стороны легких элементов ( A  12) значение  св резко возрастает до величины (6 – 7) МэВ/нуклон, претерпевая при этом небольшие скачки, затем медленно поднимается до максимальной величины 8,8 МэВ/нуклон (A = 50 – 60), после чего постепенно уменьшается и у самого тяжелого природного элемента урана становится равной 7,5 МэВ/нуклон. Небольшое изменение удельной энергии при переходе от ядра к ядру в Рис. 64. Зависимость удельной энергии средней части графика объясняется насысвязи от массового числа щением ядерных сил. Причем замедление роста с последующим ее снижением для малых A связывают с увеличением поверхностной энергии, а затем, с ростом A , – с увеличением энергии кулоновского отталкивания протонов между собой. Тяжелые ядра становятся менее прочными. Устойчивыми являются ядра, если у них число протонов или нейтронов равно одному из чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Последнее число допустимо только для нейтронов. Эти числа называются магическими. Происхождение и величи68 на магических чисел находит объяснение в оболочечной модели ядра. Если у ядра одновременно магическими являются как число протонов, так и нейтронов, то такое ядро называют дважды магическим, например, такими явля208 ются ядра 42 He , 168 O , 40 20 Ca , 82 Pb . Эти ядра отличаются повышенной устойчивостью (большей удельной энергией связи) и широкой распространенностью в природе. 4.9 Закон радиоактивного распада. Постоянная распада Радиоактивность – это свойство неустойчивых изотопов одного химического элемента самопроизвольно превращаться в изотопы другого химического элемента, сопровождающееся испусканием различных видов излучений и элементарных частиц. Изотопы, испытывающие радиоактивное превращение, называются радионуклидами. Все типы радиоактивности сопровождаются испусканием жесткого электромагнитного γ-излучения, поскольку после распада материнского ядра возникшее дочернее ядро оказывается возбужденным, а при его переходе в основное состояние излучаются γ-кванты. Вероятность испускания возбужденным ядром γкванта в сильной степени зависит от направления спинов начального и конечного состояний ядра. Радиоактивные ядра распадаются не сразу после своего образования. До определенного момента ядро устойчиво. Предсказать, в какой момент и какое ядро испытает превращение, не представляется возможным. Кроме того, отдельные радиоактивные ядра претерпевают превращения независимо друг от друга. Поэтому можно лишь считать (ввиду самопроизвольности радиоактивного распада), что число ядер dN , распавшихся в среднем за интервал времени [ t , t + dt ], пропорционально промежутку времени dt и числу N ядер, не распавшихся к моменту времени t : dN = −  N  dt , где  – постоянная распада, зависит от сорта распадающихся ядер. Знак минус указывает, что общее число радиоактивных ядер в процессе распада уменьшается. Решением этого простейшего дифференциального уравнения с разделяющимися переменными является функция: N = N 0 e −t , где N 0 – начальное число нераспавшихся Рис. 65. Кривая распада радиоактивных ядер в момент времени t = 0 . Эту формулу называют основным законом радиоактивного распада в интегральной форме. Его смысл состоит в том, что за равные промежутки времени распадается постоянная часть от общего количества имеющихся в данный момент атомов радиоактивного изотопа (рис. 65). Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две вели69 чины: период полураспада T1 2 и среднее время жизни  радиоактивного ядра. Величина T1 2 определяется как промежуток времени, в течение которого распадается половина данного количества радиоактивного нуклида. Это время определяется условием 1 − T N 0 = N 0e 1 2 , 2 откуда T1 2 = ln 2  = 0,693  . Используя период полураспада, закон радиоактивного распада можно записать в более удобном для практического применения виде: − t T N = N0 2 1 2 . Периоды полураспада для всех известных естественно-радиоактивных элементов колеблются от мицерных долей секунды до многих миллиардов лет. −21 9 9 Например, период полураспада 238 с. 92 U − 4,5  10 лет, а изотопа 4 Be ~ 4  10 dN Скорость распада a = − атомов радиоактивного вещества называют акdt тивностью препарата. Так как a = N , то закон радиоактивного распада можно переписать также в виде a = a0e − t , где a0 = N 0 – начальная активность. В системе СИ единицей активности является беккерель [Бк], равный 1 распаду в 1 секунду (расп/с). Используются также внесистемные единицы: кюри (Ки) – 1 Ки = 3,71010 Бк и резерфорд (Рд) – 1 Рд = 106 Бк. 4.10. Альфа-распад Альфа-распадом называется ядерное превращение, при котором из ядра вылетает дважды положительно заряженная частица, являющаяся ядром атома гелия 42 He . Масса α-частицы равна 6,64410−27 кг, спин и магнитный момент равны нулю, а энергия связи ε св =28,11 МэВ. Опытным путем установлено, что αчастицы испускаются только тяжелыми ядрами с Z  82 . Превращение материнского ядра в дочернее осуществляется по следующей схеме (правило Содди и Фаянса): A 4 A−4 Z X →2 He + Z −2Y , где ZA X – исходное (материнское) радиоактивное ядро; ZA−−42Y – новое (дочернее) радиоактивное ядро. Из приведенной формулы видно, что атомный номер дочернего ядра на две единицы меньше, чем у материнского, а массовое число на четыре единицы меньше исходного. Примерами α-распада служат типичные превращения: 70 238 4 92 U →2 210 4 206 He + 234 84 Po →2 He + 82 Pb . 90Th , Современный подход к описанию -распада опирается на методы, используемые в квантовой теории ядерных реакций. Анализ экспериментальных данных показывает, что α-частицы не существуют в готовом виде внутри ядра, они формируются в момент излучения. Обособлению двух протонов и двух нейтронов, составляющих α-частицу, способствует насыщение ядерных сил. Энергия сформированной в ядре α-частицы меньше той энергии, которую необходимо ей иметь, чтобы покинуть ядро. Однако на основании квантовых законов установлено, что есть отличная от нуля вероятность того, что α-частица выйдет за пределы ядра. Такое явление в квантовой механике называется туннельным эффектом. Теория α-распада, использующая представления о туннельном эффекте, дает результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Характерной чертой α-распада является то, что α-частицы, вылетающие из одних и тех же ядер, имеют одинаковый спектр энергий. Выделяются несколько групп α-частиц, у которых в пределах группы одинаковая длина свободного пробега, что обусловлено одинаковой кинетической энергией испущенных α-частиц. Этот факт связан с тем, что атомные ядра обладают дискретными энергетическими уровнями. Период полураспада ядер определяется в основном энергией α-частиц. Чем больше эта энергия, тем меньше ширина потенциального барьера, который ей необходимо преодолеть, тем больше вероятность просочиться сквозь него и тем 9 меньше период полураспада. Например, для 238 92 U → E = 4,2 МэВ, T1 2 = 4,510 лет; для полония 218 84 Po → E =6 МэВ, T1 2 = 3 мин. 4.11. Бета-распад Опыт показывает, что при бета-распаде из ядра вылетает электрон. Внутри ядер их нет. Следовательно, он может возникнуть внутри ядра только в результате превращения нейтрона в протон (при распаде нейтрон 01n превращается в протон 1 1 p и электрон −1 e ). Аналогичный процесс, как известно, наблюдается при распаде свободных нейтронов. Точные измерения баланса энергии в этом процессе показывают, что наблюдается кажущееся нарушение закона сохранения энергии, так как суммарная энергия протона и электрона, возникающих при распаде нейтрона, в основном меньше энергии нейтрона. Это связано с тем, что вылетающие электроны обладают разнообразными значениями кинетической энергии – от 0 до Wmax . Причем максимальная энергия электронов не равна разности энергий нейтрона и протона. Поэтому непонятно, куда исчезает энергия. В 1931 году В. Паули высказал предположение, что при распаде нейтрона выделяется ещё одна частица с нулевыми значениями массы и заряда, которая и уносит с собой часть энергии. Новая частица получила название нейтрино (маленький нейтрон). Из-за отсутствия у нейтрино заряда и массы эта частица очень слабо взаимодействует с атомами вещества, поэтому её чрезвычайно трудно об71 наружить в эксперименте. Ионизирующая способность нейтрино столь мала, что один акт ионизации в воздухе приходится приблизительно на 500 км пути. Эта частица была обнаружена лишь в 1953 г. Предположение Паули о существовании новой частицы спасло не только закон сохранения энергии, но и другой важнейший закон физики – закон сохранения момента количества движения. При β-распаде число нуклонов в ядре не изменяется, поэтому не должен изменяться и спин ядра. Однако выброс электрона (его спин равен 1 2 ) должен изменить спин ядра на величину 1 2 , что противоречит закону сохранения момента импульса. Введение нейтрино (антинейтрино) позволяет, таким образом, объяснить кажущееся несохранение спина, поскольку спин нейтрино (антинейтрино) равен 1 2 . В настоящее время бета-распад включает в себя три типа превращения: электронное, позитронное и К-захват. В одном из них – электронном или  − -распаде – ядро самопроизвольно испускает электрон −10 e и электронное антинейтрино ~ e . Это превращение происходит по схеме A A ~ Z X →Z +1Y + −1e + e . Образующееся дочернее ядро имеет то же по величине массовое число, зарядовое число возрастает на единицу. Процесс осуществляется превращением нейтрона в протон внутри ядра: 1 1 ~ 0 n→1 p + −1e + e . Примером  − -распада служит превращение тория 234 90Th в протактиний 234 234 ~ 90Th→ 91 Pa + −1e + e . 234 91 Pa : Другим типом бета-распада является позитронный или  + -распад, который происходит по схеме A A Z X →Z −1Y + +1e +  e . При  + -распаде возникает дочернее ядро, у которого зарядовое число на единицу меньше, чем у материнского ядра, а также испускаются +10 e – позитрон и  e – электронное нейтрино. Позитронный распад наблюдается, например, при превращении изотопа азота в изотоп углерода: 13 13 7 N→ 6 C+ +1e +  e . Процесс позитронного распада можно интерпретировать как превращение протона внутри ядра в нейтрон: 1 1 1 p→0 n+ +1e +  e . Необходимо отметить, что для свободного протона такое превращение невозможно ( m p  mn ), но внутри ядра протон может получить необходимую для распада энергию от других нуклонов. Третий вид бета-распада – электронный захват, при котором ядро захватывает один из электронов K-оболочки атома. В результате этого происходит превращение протона в нейтрон с испусканием нейтрино: 1 1 1 p + −1e→0 n +  e . 72 Электронный захват сопровождается испусканием рентгеновского характеристического излучения, которое возникает при переходе электронов из дальних оболочек атома в его K-оболочку. Примером электронного захвата служит реакция 40 40 19 K + −1e→18 Ar +  e . 4.12. Ядерные реакции и законы сохранения Взаимодействие между частицами возникает при сближении их до расстояний порядка 10 −15 м, благодаря действию ядерных сил. Наиболее распространены реакции взаимодействия ядра с легкой частицей, в результате которой образуется новое ядро и новая частица. Ядерная реакция записывается подобно химической реакции в виде a+ ZAX → b+ ZAY . Данная запись означает столкновение легкой частицы a с ядром ZA X , в результате чего образуются легкая частица b и ядро ZAY . В качестве легкой частицы может выступать нейтрон, протон, α-частица и γ-фотон. В отличие от радиоактивного распада, который всегда происходит с выделением энергии, при ядерных реакциях энергия может поглощаться (эндотермическая реакция), например 4 4 1 7 2 He + 2 He + 17 МэВ→1 p + 3 Li . Энергетическим выходом ядерной реакции называется величина Q = {(ma + m X ) − (mb + mY )}c 2 = m  c 2 , где ma и m X – массы исходных продуктов; mb и mY – массы конечных продуктов реакции. Величина m называется дефектом масс. Для того чтобы ядерная реакция имела положительный энергетический выход, удельная энергия связи нуклонов в ядрах исходных продуктов должна быть меньше удельной энергии связи нуклонов в ядрах конечных продуктов. Это означает, что величина m должна быть положительной. Многие ядерные реакции при невысоких энергиях частиц проходят через стадию образования составного ядра (компаунд-ядра). Такой механизм предсказан Н. Бором в 1936 г. и впоследствии был подтвержден экспериментально. Действительно, чтобы нейтрон пролетел сквозь ядро со скоростью 107 м/с, требуется время порядка  =10–22 с. Время жизни составного ядра составляет 10−16 –10−12 с, что намного больше времени пролета. Это означает, что между нейтроном и нуклонами в ядре должно произойти большое число столкновений, прежде чем нейтрон покинет ядро. В результате образуется промежуточное состояние – составное ядро, которое «забывает» о способе своего образования. Ядерные реакции, происходящие через образование составного ядра, записываются с указанием этого ядра: a+ ZAX →ZAC → b+ ZAY где ZAC – составное ядро. 73 Другой тип ядерных реакций наблюдается для быстрых частиц и происходит без образования промежуточного ядра. Такие реакции называются прямыми ядерными реакциями. В этом случае составное ядро не возникает, а налетающая частица непосредственно передает свою энергию какой-то частице или совокупности частиц внутри ядра: нуклону, α-частице и т. д., в результате чего эта частица вылетает из ядра. При бомбардировке ядер сильно взаимодействующими частицами с очень высокой энергией – от нескольких МэВ и выше – ядра могут «взрываться», распадаясь на много мелких осколков – фрагментов, а сам процесс распада называется фрагментацией. Прямые ядерные реакции идут и в низкоэнергетической области, однако, здесь с ними конкурируют реакции составного ядра. Наблюдается общая закономерность: чем ниже энергия, тем меньше вероятность прямой реакции. При очень низких энергиях прямые реакции сильно подавлены. Любые ядерные реакции происходят таким образом, что при их осуществлении выполняются определенные законы сохранения: 1. Закон сохранения электрического заряда. Сумма электрических зарядов ядер и частиц, вступающих в реакцию, равна сумме зарядов ядер и частиц, получающихся при реакции, т. е. сумма нижних индексов до реакции и после реакции одинакова; 2. Закон сохранения числа нуклонов. Общее число нуклонов в ядрах и частицах, вступающих в реакцию, равно количеству нуклонов в ядрах и частицах, получающихся в результате реакции, т. е. сумма верхних индексов до и после реакции одинакова; 3. Закон сохранения энергии. Фундаментальный закон природы, который заключается в том, что энергия любой замкнутой материальной системы при любых происходящих в ней процессах сохраняется, применительно к ядерным реакциям формулируется следующим образом: полная энергия всех ядер и частиц, вступающих в реакцию, равна полной энергии всех ядер и частиц, получающихся при реакции; 4. Закон сохранения импульса. Полный импульс частиц до реакции равен полному импульсу частиц-продуктов реакции. Закон сохранения импульса справедлив как при ядерных реакциях, так и в процессах рассеяния микрочастиц; 5. Законы сохранения и квантования момента импульса. В результате столкновения микрочастиц образуются только такие составные ядра, момент импульса которых равен одному из возможных значений момента, получающегося при сложении спинов частиц и момента их относительного движения (орбитального момента). Каналы распада составного ядра также могут быть лишь такими, чтобы сохранялся суммарный момент количества движения (сумма спинового и орбитального моментов). 4.13. Деление ядер. Реакция деления урана и тория Ядерная реакция – это процесс взаимодействия атомного ядра с другим ядром или элементарной частицей, сопровождающийся изменением состава и 74 структуры ядра и выделением вторичных частиц или γ-квантов. Ядерные реакции являются основным методом изучения структуры ядер и их свойств. В 1939 году немецкими учеными О. Ганом и Ф. Штрассманом было открыто деление ядер урана. Продолжая исследования, начатые Ферми, они установили, что при бомбардировке урана нейтронами возникают элементы средней части периодической системы – радиоактивные изотопы бария и лантана. Дальнейшие исследования показали, что деление атомных ядер может быть вызвано различными частицами (  -квантами, протонами, дейтронами), однако практически наиболее выгодно использовать для этой цели именно нейтроны. Отсутствие кулоновского отталкивания позволяет нейтронам со сколь угодно малой кинетической энергией приблизиться к ядру на расстояние меньше радиуса действия ядерных сил. Захват ядром нейтрона приводит к возбуждению ядра, и, если энергия возбуждения достаточна, происходит деление. Установлено, что под действием нейтронов делятся все ядра, если энергия нейтронов превышает 100 МэВ. Если энергия нейтронов лишь несколько МэВ, то под действием таких нейтронов делятся только те ядра, массовое число которых превышает A  210 . Некоторые тяжелые ядра, такие как изотопы урана 232 92 U и 235 92 U , делятся нейтронами любых энергий. Было установлено также, что при делении тяжелых ядер при каждом акте деления образуются дополнительные нейтроны, и выделяется большая энергия, которую называют ядерной или атомной энергией. Нейтроны, образующиеся при делении, называются вторичными. В среднем на каждый акт деления приходится 2 – 3 вторичных нейтрона, имеющих энергии, величины которых лежат в пределах 0 – 7 МэВ. Нейтронное излучение возникает потому, что ядра-осколки оказываются перегруженными нейтронами и стремятся освободиться от их избытка. Большинство нейтронов при делении испускаются практически мгновенно ( t  10-14 c) и называются мгновенными. Небольшое количество нейтронов (около 0,75 %) испускаются продуктами распада спустя некоторое время от 0,05 до 60 с. Эти нейтроны называются запаздывающими. Основной интерес для ядерной энергетики представляет реакция деления ядер урана и тория. Поэтому рассмотрим их более подробно. 239 Ядра изотопов урана 235 92 U и плутония 94 Pu делятся нейтронами любых энергий, но особенно хорошо медленными (тепловыми) нейтронами. Типичная реакция деления 235 92 U имеют вид 94 1 U+01n→139 56 Ba +36 Kr + 30 n . Энергия испускаемых при этом нейтронов в среднем равна 2 МэВ. Наиболее вероятно деление урана на осколки, один из которых примерно в полтора раза тяжелее другого. Это объясняется влиянием ядерных нейтронных оболочек, так как ядру энергетически выгоднее делиться так, чтобы число нейтронов в каждом из осколков было близко к одному из магических чисел – 50 или 82. Испускание нейтронов деления не устраняет полностью перегрузку ядеросколков нейтронами. Это приводит к тому, что осколки также могут претерпеть 235 92 75 ряд β-превращений, сопровождаемых испусканием γ-квантов, после которых образуется стабильный изотоп. Например, при делении того же ядра урана: 235 1 139 95 1 92 U+ 0 n→ 54 Xe+38 Sr + 20 n 139 54 Xe в результате трех актов β-распада превращается в стабильный изотоп лантана 139 57 La : − − − 139 139 139 139 54 Xe→ 55 Cs → 56 Ba → 57 La . 230 Тепловыми нейтронами делятся также 233 92 U и 90Th , но эти изотопы в при- осколок деления ксенона роде не встречаются, их получают искусственным путем. 232 Изотопы ядер 238 92 U и 90Th делятся только быстрыми нейтронами с энергией больше 1 МэВ. При меньших энергиях нейтроны поглощаются ядрами без последующего их деления. Такой процесс называется радиационным захватом. Например, изотоп плутония 239 94 Pu получают следующим образом: 1 − − n+ U→ U→ Np→239 94 Pu . 238 92 239 92 239 93 Образовавшееся в результате захвата нейтрона ядро 239 92 U нестабильно ( T1 2 = 23 мин). Испуская электрон, антинейтрино и γ-фотон, оно превращается в ядро − трансуранового элемента нептуния 239 93 Np . Нептуний также претерпевает  распад ( T1 2 = 2,3 дня), превращаясь в плутоний 239 94 Pu . Плутоний α-радиоактивен, однако, его период полураспада так велик ( T1 2 = 24400 лет), что его можно считать практически стабильным. При делении одного ядра урана освобождается около 200 МэВ энергии: на кинетическую энергию движения ядер-осколков приходится примерно 165 МэВ, остальную энергию уносят нейтроны деления и γ-кванты. Выход энергии при делении всех ядер 1 кг урана составляет 80 тысяч млрд. джоулей. Это в несколько миллионов раз больше, чем энергия, которая выделяется при сжигании 1 кг каменного угля или нефти. В основу теории деления атомных ядер (Н. Бор, Я. И. Френкель) положена капельная модель ядра. Ядро рассматривается как капля электрически заряженной несжимаемой жидкости, частицы которой при попадании нейтрона в ядро приходят в колебательное движение, в результате чего ядро разрывается на две части, разлетающиеся с огромной энергией. 4.14. Цепная реакция деления ядер Условием возникновения цепной реакции является наличие вторичных нейтронов, возникающих при делении тяжелых ядер и способных вызвать реакцию деления других ядер. Цепная реакция характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который определяется как отношение нейтронов в данном поколении к их 76 числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k  1 . Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного изотопа – от его количества, а также размеров и формы активной зоны. Активной зоной называется пространство, где происходит цепная реакция. Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для осуществления цепной реакция, называется критической массой. Схема деления ядер урана в цепной реакции представлена на рис. 66. Скорость развития цепной реакции определяется уравнением dN N (k − 1) , = dt  где  – среднее время жизни одного поколения, а N – число нейтронов в данном поколении. Проинтегрировав его, получ ( k −1) t , Рис. 66. Схема деления ядер N = N 0e урана в цепной реакции где N 0 – число нейтронов в начальный момент времени, а N – их число в момент времени t . N определяется знаком величины (k − 1) . При k  1 идет развивающаяся реакции – число делений непрерывно растет и реакция может стать взрывной. При k = 1 идет самоподдерживающаяся реакция – число нейтронов с течением времени не изменяется. При k  1 идет затухающая реакция. Цепные реакции делятся на управляемые и неуправляемые. Взрыв атомной бомбы, например, является неуправляемой реакцией. Чтобы атомная бомба при 239 хранении не взорвалась, в ней все количество 235 92 U (или 94 Pu ) разделяется на удаленные друг от друга части с массами ниже критических. Затем с помощью обычного взрыва эти массы сближаются, общая масса делящегося вещества становится больше критической и возникает взрывная цепная реакция, сопровождающаяся мгновенным выделением огромного количества энергии. Взрывная реакция начинается за счет имеющихся нейтронов спонтанного деления или нейтронов космического излучения. Управляемые цепные реакции деления ядер урана осуществляются в ядерных реакторах. Ядерная реакция протекает в активной зоне реактора, которая заполнена замедлителем и пронизана стержнями, содержащими обогащенную смесь изотопов урана с повышенным содержанием урана 235 92 U (до 3 %). В активную зону вводятся регулирующие стержни, содержащие кадмий или бор, которые интенсивно поглощают нейтроны. Введение стержней в активную зону позволяет управлять скоростью цепной реакции, повышая или понижая её. В ядерных реакторах используется реакция, идущая с постоянной интенсивностью ( k = 1 ). 77 Активная зона охлаждается с помощью прокачиваемого теплоносителя, в качестве которого может применяться вода или металл с низкой температурой плавления (например, натрий, имеющий температуру плавления 98 °C). В парогенераторе теплоноситель передаёт тепловую энергию воде, превращая её в пар высокого давления. Пар направляется в турбину, соединенную с электрогенератором. Из турбины пар поступает в конденсатор. Во избежание утечки радиации контуры теплоносителя и парогенератора работают по замкнутым циклам. Наряду с ядерными реакторами, работающими на медленных нейтронах, большой практический интерес представляют реакторы, работающие без замедлителя на быстрых нейтронах. В таких реакторах ядерным горючим является обогащенная смесь, содержащая не менее 15 % изотопа 235 92 U . Преимущество реакторов на быстрых нейтронах состоит в том, что при их работе ядра урана 238 92 U , поглощая нейтроны, посредством двух последовательных β-распадов превращаются в ядра плутония, которые затем можно использовать в качестве ядерного топлива. Коэффициент воспроизводства таких реакторов достигает ~1.5, т. е. на 1 кг урана 235 92 U получается до 1,5 кг плутония. В обычных реакторах также образуется плутоний, но в гораздо меньших количествах. Основным недостатком атомных электростанций является накопление радиоактивных отходов. Однако по сравнению с электростанциями на угольном топливе атомные электростанции более экологически чистые. 4.15. Термоядерный синтез Второй путь освобождения ядерной энергии связан с реакциями синтеза. При слиянии легких ядер и образовании нового ядра должно выделяться большое количество энергии. Это видно из кривой зависимости удельной энергии связи от массового числа A (см. рис. 66). Вплоть до ядер с массовым числом около 60 удельная энергия связи нуклонов растет с увеличением A . Поэтому синтез любого ядра с A  60 из более лёгких ядер должен сопровождаться выделением энергии. Общая масса продуктов реакции синтеза будет в этом случае меньше массы первоначальных частиц. Реакции синтеза легких атомных ядер в более тяжелые ядра, происходящие при сверхвысоких температурах, называются термоядерными реакциями. Высокие температуры, а соответственно, большие относительные энергии сталкивающихся ядер, необходимы для преодоления кулоновского отталкивания. Без этого невозможно сближение ядер на расстояние порядка радиуса действия ядерных сил. В природных условиях термоядерные реакции протекают в недрах звезд. Для осуществления термоядерной реакции в земных условиях необходимо сильно разогреть вещество либо ядерным взрывом, либо мощным газовым разрядом, либо импульсом лазерного излучения большой мощности. В настоящее время удалось осуществить слияние двух дейтронов 2 2 3 1 1 H+ 1H→2 He + 0 n + 3,3МэВ и синтез тритона и дейтрона 3 2 4 1 1 H+ 1H→2 He + 0 n + 17,6 МэВ . 78 Термоядерные реакции в крупных масштабах осуществлены пока в испытательных взрывах термоядерных (водородных) бомб. Термоядерные реакции дают наибольший выход энергии на единицу массы «топлива». Например, при синтезе 1 г гелия из дейтерия и трития выделяется энергия 4,2  1011Дж. Такая энергия выделяется при сжигании 10 т дизельного топлива. Особый интерес представляет осуществление управляемой термоядерной реакции, поскольку дейтерий, содержащийся в морской воде, представляет собой практически неисчерпаемый источник горючего. Для обеспечения управляемой термоядерной реакции необходимо создание и поддержание в ограниченном объеме температуры порядка 108 К. При данной температуре термоядерное рабочее вещество представляет собой полностью ионизованную плазму, поэтому возникает проблема ее термоизоляции от стенок установки, в которой она находится. Для того, чтобы удержать ее от соприкосновения со стенками установки, в настоящее время применяется магнитная термоизоляция. Так как плазма состоит из заряженных частиц, то в сильном магнитном поле на заряженную частицу действует сила Лоренца, вследствие чего траектория частицы винтообразно навивается на силовую линию. Такой способ используют, например, в термоядерных реакторах системы «Токамак», на которых удалось получить плазму с температурой (7  8)106 К и плотностью n = 1014 частиц/см3 и поддержать ее в течение  = 1 c . До более высоких температур и давлений водород может быть нагрет с помощью лазерного излучения. Суть данного метода заключается в следующем. На термоядерную мишень – полый стеклянный или металлический шарик диаметром 0,1 1 мм с толщиной стенок 10−6 м, наполненный газовой смесью дейтерия и трития под давлением нескольких атмосфер, подают одновременно несколько лазерных импульсов (длительностью 10−9 с) с суммарной энергией (1 10)104 Дж. В результате происходит бурное (взрывное) испарение оболочки мишени. Возникает, так называемая корона, стремительно расширяющаяся во все стороны навстречу лазерным импульсам. Согласно закону сохранения импульса, внутренние слои мишени стремительно движутся к центру, сжимаясь, уплотняясь и нагреваясь до температуры, необходимой для термоядерного синтеза дейтерия с тритием. В экспериментах на лазерных установках уже получена плазма с температурой в несколько десятков миллионов градусов. 4.16. Классификация элементарных частиц Элементарная частица − собирательный термин, относящийся к микрообъектам в субъядерном масштабе, которые невозможно расщепить на составные части. Элементарные частицы объединяются в три группы: фотоны, лептоны и адроны: 1. К группе фотонов относится единственная частица – γ-квант электромагнитного излучения. 79 2. К лептонам относятся отрицательно заряженные частицы: электрон e − , мюон  − и таон  − . Каждому заряженному лептону отвечает нейтральная частица – нейтрино (электронное  e , мюонное   и таонное   ). Все лептоны имеют спин, равный 1 2 (в единицах  ), и, следовательно, являются фермионами. 3. Адроны внутри группы делятся на две подгруппы: мезоны и барионы. К мезонам относятся наиболее легкие из адронов – положительно, отрицательно и нейтрально заряженные π-мезоны, четыре K-мезона и один эта-мезон – 0 . Все мезоны имеют спин, равный нулю, т. е. являются бозонами. Подгруппа барионов включает в себя более тяжелые частицы. Самыми легкими из барионов являются нуклоны: протоны и нейтроны. За ними следуют нестабильные частицы, массы которых значительно превосходят массы нуклонов – гипероны. Замыкает таблицу омега-минус-гиперон  − , открытый в 1964 г. Это тяжелая частица с массой 3273me и спином, равным 3 2 . Все остальные барионы имеют спин, равный 1 2 (в единицах  ), и относятся к фермионам. Особенность элементарных частиц заключается в том, что хотя ни одна частица не может считаться построенной из других частиц, все они способны к взаимным превращениям. Любая элементарная частица может рождаться и погибать в результате разного рода взаимодействий с другими частицами. К приведенным группам частиц относятся и их античастицы. 4.17. Античастицы и их аннигиляция Каждой из элементарных частиц, за небольшим исключением, соответствует своя античастица, обозначаемая тем же символом, но с добавлением тильды (~) над ним. Масса покоя, спин, время жизни у частиц и античастиц одинаковы. Остальные характеристики, в том числе электрический заряд и магнитный момент частицы и античастицы, равны по величине, но противоположны по знаку. В качестве примеров уже рассмотренных частиц и античастиц можно указать на электрон и позитрон (антиэлектрон), протон и антипротон,  + и  − -мезоны, нейтрино и антинейтрино, K + и K − -мезоны. Частицами, не имеющими античастиц, являются, например, фотон и 0 -мезон. Такие частицы принято называть истинно нейтральными. Наличие электрического заряда не является обязательным условием существования пары частица – античастица. Нейтрон, например, хотя и не имеет электрического заряда, не является истинно нейтральной частицей, так как он имеет античастицу – антинейтрон, отличающийся знаками магнитного момента и так называемого барионного заряда B ( B = +1 для нейтрона и B = −1 для антинейтрона). Аналогичная ситуация наблюдается и у нейтрального K 0 -мезона, ему соот~ ветствует античастица K 0 -мезон. При соединении частицы и античастицы (этот процесс называется аннигиляцией) выделяется энергия, равная, как минимум, суммарной энергии покоя частицы и античастицы. Для рождения пары частица – античастица требуется энер80 гия, превышающая суммарную энергию покоя пары частиц, так как родившимся частицам необходимо сообщить импульс (иначе они тут же аннигилируют), а, следовательно, и кинетическую энергию. Например, в результате процесса аннигиляции электрона с позитроном рождаются два γ-кванта: −01 e+ 01e → 2 . При этом вся энергия электроннопозитронной пары полностью переходит в энергию фотонов. Появление в этом процессе двух фотонов следует из закона сохранения импульса. Возможен и обратный процесс – рождение электронно-позитронной пары при взаимодействии γквантов большой энергии ( E = 2me c 2  1,02 МэВ) с ядром ZA X :  + ZAX →ZAX −10e+10e . Частица ZA X необходима для того, чтобы выполнялись законы сохранения энергии и импульса. 4.18. Виды взаимодействий элементарных частиц Взаимодействие в физике – воздействие тел или частиц друг на друга, приводящее к изменению их состояний. Несмотря на разнообразие этих взаимодействий в природе, по современным данным, имеется лишь четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Фундаментальные взаимодействия различаются по интенсивностям, радиусам действия и характерным временам. Интенсивность взаимодействия принято характеризовать с помощью, так называемой константы взаимодействия  i , которая представляет собой безразмерный параметр, определяющий вероятность процессов, обусловленных данным видом взаимодействия. Радиус действия Ri связывается с зависимостью энергии данного взаимодействия от расстояния между частицами. Понятие характерного времени i вводится как минимальное время жизни частиц, подверженных распадам в результате данного взаимодействия. Сильное (ядерное) взаимодействие вызывают процессы, протекающие с наибольшей интенсивностью ( S ~ 1) , и проявляется на расстояниях Ri  10 −15 м. В сильном взаимодействии могут принимать участие только тяжелые частицы – адроны (мезоны и барионы). Именно это взаимодействие приводит к самой сильной связи протонов и нейтронов в ядрах атомов и обеспечивает их устойчивость. При столкновении ядер или нуклонов с достаточно большой энергией (~1 МэВ) сильное взаимодействие приводит к реакциям деления и синтеза ядер. Начиная с энергий сталкивающихся нуклонов от 0,1 ГэВ, сильное взаимодействие приводит, например, к рождению пионов. Электромагнитное взаимодействие осуществляется посредством электромагнитного поля. В этом виде взаимодействия могут принимать участие любые электрически заряженные частицы – лептоны и адроны, а так же фотоны (кванты электромагнитного поля) и нейтринные частицы, обладающие магнит81 ным моментом. Оно заметно слабее сильного (ядерного) взаимодействия ( E ~ 10 −2 ) и радиус его действия не ограничен ( RE → ) . Именно это взаимодействие обуславливает связь электронов с ядром в атоме и атомов в молекуле. В то же время, именно кулоновское отталкивание протонов приводит к неустойчивости ядер с большими массовыми числами. Слабое взаимодействие – наиболее медленное из всех взаимодействий, протекающих в микромире (W ~ 10 −9 c) . В нём могут принимать участие любые элементарные частицы, за исключением фотонов. Примером процесса, обусловленного слабым взаимодействием, являются все виды β-распада и μ-распад, а также безнейтринные процессы распада частиц с большим временем жизни (W  10 −10 с). Примером элементарной частицы, способной только к слабому взаимодействию, может служить нейтрино. Именно крайне малой интенсивностью слабого взаимодействия (W ~ 10 −10 ) объясняется тот факт, что нейтрино свободно пронизывают толщу Земли и Солнца, не испытывая при этом поглощения. Гравитационное взаимодействие является универсальным, оно присуще всем без исключения частицам, однако из-за малости масс элементарных частиц силы гравитационного взаимодействия между ними пренебрежимо малы и в процессах микромира их роль несущественна. Гравитационные силы играют решающую роль при взаимодействии космических объектов (звезды, планеты и т. п.) с их огромными массами. Ряд характеристик фундаментальных взаимодействий, перечисленных выше, представлен в табл. 1. Таблица 1 Тип взаимодействия Механизм обмена (калибровочные бозоны) Сильное Электромагнитное Глюонами g (8 видов) Фотонами  Слабое Промежуточными Гравитационное  бозонами W , Z Гравитонами Интенсивность взаимодействия, i Радиус действия сил Ri , м Характерное время, i , с 1 10 −15 10 − 23 10 − 2...10 − 3  10 −20 10 −10...10 −14 10 −18 10 −10 10 −38...10 −40  – 82 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература Савельев И. В. Курс общей физики: уч. пособие для вузов. Т. 3. М.: Изд-во «Лань», 2009. 527 с. Трофимова Т. И. Курс физики: уч. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2003. 541 с. Дополнительная литература Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики: уч. пособие для втузов. 12-е изд., испр. / под ред. И. В. Савельева. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 400 с. Ивлиев А. Д. Физика: уч. пособие. СПб.: Лань, 2008. 672 с. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: Изд-во «Оникс», 2008. 1056 с. 83