Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

1 Лекция 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка Как уже отмечалось выше общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка при условии, что неизвестная функция и зависит от двух переменных х и у, таков:  2u  2u  2u u u A 2 B C 2  D E  Fu  f ( x, y ). xy x y x y (2.1) Предполагаем, что все коэффициенты уравнения постоянные величины. Большинство дифференциальных уравнений математической физики, которые мы будем изучать в настоящем курсе, являются частным случаем общего уравнения (2.1). Приводимая ниже классификация линейных уравнений переносится и на уравнения с переменными коэффициентами, которые в нашем курсе не рассматриваются. Эйлер доказал, что любое дифференциальное уравнение вида (2.1) с помощью замены независимых переменных х и у, может быть приведено к одному из следующих трех видов. 1. Если AC  B2  0 , то после введения новых независимых переменных  4 и  уравнение (I.1) примет вид  2u  2u u u   D1  E1  F1u  f1 ( , ) 2 2     (2.2) В этом случае уравнение называется эллиптическим. Наиболее простым  2u  2u эллиптическим уравнением является уравнение Лапласа 2  2  0. . x y 2 2. Если AC  B2 0 4 , то уравнению (2.1) можно придать вид:  2u  2u u u   D2  E2  F2 u  f 2 ( , ) 2 2     (2.3) Такое уравнений называется гиперболическим; простейшим примером его является одномерное уравнение свободных колебаний a 2 3. Если  2u  2u   0. x 2 y 2 B2 AC   0 , то уравнение (2.1) приводится к следующему 4 уравнению:  2u u u  D3  E3  F3 u  f 3 ( , ) 2    (2.4) и называется параболическим. Примером его служит уравнение линейной теплопроводности a 2  2 u u   0. . x 2 y Наименования уравнений объясняются тем, что при исследовании общего уравнения кривых второго оказывается, что в случае AC  порядка Ax2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 B2  0 кривая представляет эллипс, в случае 4 B2 B2 AC   0 — гиперболу и в случае AC   0 — параболу. 4 4 Уравнения (2.2), (2.3) и (2.4) можно еще более упростить введением новой неизвестной функции. Именно, вводя функцию v( , ) по формуле u( , )  v( , )e  (2.5) мы можем всегда подобрать числа  и  так, что в эллиптическом 3 уравнении и гиперболическом уравнении исчезнут члены с производными первого порядка, а в параболическом уравнении: член с первой производной по одной из независимых переменных (в уравнении (2.4) по  ) и член с самой функцией u. Окончательно любое уравнение вида (2.1) может быть, с учетом сделанных замечаний, приведено к одному из следующих канонических типов:  2u  2u   сu  g (эллиптический тип),  2  2  2u  2u   сu  g (гиперболический тип),  2  2  2 u u   g (параболический тип)  2  (с — постоянное число, g — функция переменных  и  ). Приведение уравнений к каноническому виду. A  2u  2u  2u u u  B  C D E  Fu  f ( x, y ), 2 2 xy x y x y Необходимо проинтегрировать уравнения характеристик √( ) ( И найти интегралы ) ( ( , ) , ( ) Произведем замену переменных, положив ( ) ( √( ) ) . . ( ), ( ), ), и получим уравнение в канонической форме. Рассмотрим это на примере. Пример. Привести к каноническому виду и найти общее решение 4 уравнения  2u  2u  2u u u  2  3 2 6 0 2 2 xy x y x y Решение. A=1, B=2, C=-3, AC  B2  3  1  4  0 , 4 . следовательно, уравнение называется гиперболическим. Уравнения характеристик имеют вид: √( ) ( ( или и )) и ( √( ) ( )) . Разделим переменные . Интегрируем уравнения и получаем: Откуда и Тогда . и . Делаем замену и ) ( ( . ( ) , ) ) ( , ) , , ( ( ) ) ( ) , . . и , ( и . 5 Подставляя производные в исходное уравнение, получаем: ( ( ) ) ( ) ( ) . или . Проинтегрируем его ( , откуда ) ( ), где произвольная функция. Общее решение последнего уравнения имеет вид: . – частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть уравнения произвольная функция аргумента , то частное решение также будет произвольной функцией того же аргумента, то есть, ( ), где – произвольная функция. –общее решение соответствующего однородного уравнения Решаем это уравнение образом, ( ) Тогда вид ( ( , | | ( ), Таким . ( ) или в прежних переменных решение имеет ( ) ) , . ) ( ).