Классическое и статистическое определение вероятностей

Лекция 23 Классическое и статистическое определение вероятностей Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятных событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. Т.е. P( A)  m , где n – общее n число исходов опыта, m – число благоприятствующих событию А исходов опыта. Исход опыта является благоприятным событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0  P( A)  1. Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что абонент набрал «нужную» цифру. Решение. Обозначим через событие А – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число всех возможных исходов n=10, число благоприятных исходов m=1, т.к. «нужная» цифра только одна, тогда вероятность того, что абонент набрал «нужную» цифру равна P( A)  m 1   0,1 n 10 1 Пример 2. В коробке находится 10 шаров. Три из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар красный. Решение. Пусть событие А – извлеченный наугад шар красный. Всего 10 шаров, тогда число всех возможных исходов n=10. Красных шаров 3, тогда число благоприятных исходов m=3, тогда P( A)  m 3   0,3 n 10 Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. Решение. Событие А – среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. Число всех возможных исходов n  C106  число благоприятных исходов m  C74  C32  тогда P( A)  10! 7  8  9 10   210 , 6!4! 2  3 4 7! 3! 567 3     105 , 4!3! 2!1! 23 1 m 105   0,5 . n 210 Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые сводятся к схеме случаев. Тем не менее существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. Например, если допустить, что монета деформирована, то очевидно, что выпадение герба или решки нельзя считать равновозможным. Поэтому классическое определение в данном случае не применимо. В таких случаях используют статистическое определение вероятности. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. 2 Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. Пример. Предположим, что монета подбрасывается 10 раз и в 2 случаях выпал герб, тогда частота выпадения герба в этой серии опытов P* ( A)  2  0,2 , если мы ещё раз произведем серию из 10 опытов, то вполне 10 возможно, что частота окажется равной P * ( A)  8  0,8 . 10 Данная величина не совпадает с вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Т.е. классическое определение вероятности – довольно относительное. Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. Например, при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д. Таким образом, частота события – есть случайная величина, которая меняется от одной серии опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов частота события стабилизируется, и приближаются к некоторому постоянному числу. Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,85, то это означает, что из 100 выстрелов, произведенных им в определенных условиях (то же оружие, одни и те же погодные условия, 3 одна и та же мишень и т.д.), в среднем бывает 85 попаданий. Естественно, не в каждых ста выстрелах 85 будет удачными, иногда их будет больше или меньше, но в среднем при многократном повторении стрельбы этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Данная величина обычно устойчива и лишь в редких случаях значительно отклоняется от своего среднего значения. Еще одним недостатком классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов опыта. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, которое мы рассмотрим в следующей лекции 4