Классическая логика высказываний.
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Классическая логика высказываний.
Логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория, язык которой
содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, а также один тип
логических символов – пропозициональные связки.
Принципы построения формализованного языка:
1) формулировка алфавита – совокупности исходных символов языка, из которых строятся
выражения формализованного языка;
2) определение правильно построенных выражений.
Язык классической логики высказываний (КЛВ).
1) Алфавит:
∙ нелогические символы (параметры для высказываний или отдельных нелогических терминов
естественного языка)
p,q,r,s,p1,q1,r1,s1,p2,q2… - пропозициональные переменные (параметры простых высказываний
естественного языка);
∙ логические символы (знаки логических терминов)
&, ⋁, ⊻, ⸧, ≡, ¬
- пропозициональные связки
∙ технические символы
()
2) Определение правильно построенных выражений
В языке пропозициональной логики имеется только один тип осмысленных,
т. е. правильно построенных выражений – формулы. Формулы являются аналогами повествовательных
предложений естественного языка.
Точное определение формулы задается следующим образом:
1. Всякая пропозициональная переменная является формулой.
2. Если A – формула, то A также является формулой.
3. Если A и B – формулы, то выражения (A & B), (A B), (A B) также являются формулами.
4. Ничто иное не является формулой.
Задача 1.
Определить табличным способом, какими - тождественно-истинными, тождественно-ложными,
выполнимыми или опровержимыми являются данные формулы:
а) (p p),
б) ((p q) & (q p)),
в) ((p q) (p & q)),
г) ((p q) (q & r)),
д) (((p q) & (p r)) ((q r) p)),
е) ((p & (q r)) ((p & q) (p & r))).
Законом классической логики высказываний (тождественной-истинной/общезначимой
формулой) является формула, принимающая значение «истина» при любых наборах значений
входящих в нее пропозициональных переменных.
p
и
л
¬(р
и
и
&
л
л
¬p)
л
и
Формула называется тождественно-ложной, если и только если она принимает значение
«ложь» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных.
p
и
и
л
л
q
и
л
и
л
(p⸧q)
и
л
и
и
≡
л
л
л
л
(p &
л
и
л
л
¬q)
л
и
л
и
Формула называется выполнимой тогда и только тогда, когда она принимает значение
«истина» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных
переменных.
Формула называется опровержимой, если и только если она принимает значение «ложь» по
крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных.
p
и
и
и
и
л
л
л
л
q
и
и
л
л
и
и
л
л
r
и
л
и
л
и
л
и
л
¬
л
и
л
л
л
и
л
л
((p&
л
л
и
и
л
л
л
л
¬q)
л
л
и
и
л
л
и
и
⋁
и
л
и
и
и
л
и
и
(q⸧r))
и
л
и
и
и
л
и
и
Задача 2.
Установить, являются ли следующие высказывания логически истинными, логически ложными или
логически недетерминированными:
а) Либо Иван любит Марью, но она его не любит, либо Марья любит Ивана, но он её не любит.
б) Число делится на 2 или не делится на 3, если и только если неверно, что когда оно делится на 3,
то делится и на 2.
в) Если сложное высказывание не относится ни к конъюнктивным, ни к дизъюнктивным, ни к
импликативным, то нельзя сказать, что оно конъюнктивное или импликативное.
Теперь средствами классической пропозициональной логики можно определить, является ли
произвольное высказывание естественного языка логически истинным, логически ложным или
логически недетерминированным. Для этого необходимо выразить логическую форму данного
высказывания в языке пропозициональной логики и построить таблицу истинности для полученной
формулы. Если во всех строках таблицы формула примет значение «истина», то исходное высказывание
является логически истинным относительно данной теории. Если во всех строках формула примет
значение «ложь», то высказывание логически ложно. Если же в некоторых строках формула примет
значение «истина», а в некоторых – значение «ложь», т. е. если она одновременно окажется и
выполнимой и опровержимой, то высказывание является логически недетерминированным
относительно классической логики высказываний.
Пример:
Либо «Спартак» выиграет матч и станет чемпионом, либо он не выиграет матч и не станет
чемпионом.
р – «Спартак» выиграет матч
q – «Спартак» станет чемпионом
(p&q) ⊻ (¬p&¬q)
p
и
и
л
л
q
и
л
и
л
(p&q)
и
л
л
л
⊻
и
л
л
и
(¬ p
л
л
и
и
&
л
л
л
и
¬q)
л
и
л
и
Формула выполнимая и опровержимая.
Высказывание логически недетерминированное.
