Кинетическая энергия.

ЛЕКЦИЯ 5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 5.1. Кинетическая энергия материальной точки, твердого тела Определение 1. Кинетической энергией материальной точки T массой m и движущуюся со скоростью V называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е. . Кинетическая энергия твердого тела. Представим твердое тело, как механическую систему, состоящую из N отдельных точек, взаимное расстояние между которыми не изменяется и рассматривается как непрерывно распределенная масса. Будем представлять механическую систему, состоящую из N отдельных точек. Кинетической энергией механической системы будем называть сумму кинетических энергий всех точек тела, входящих в механическую систему: (5.1) Кинетическая энергия, является скалярной положительной величиной. В системе СИ, единицей измерения кинетической энергии является джоуль: . Для твердого тела сумма, входящая в выражение для кинетической энергии механической системы (5.1), переходит в интеграл: (5.2) Кинетическая энергия твердого тела, двигающегося поступательно. При этом виде движения скорости всех точек тела одинаковы, рис. 5.1. Получим Итак (5.3) Здесь – скорость центра масс твердого тела. Определение 2. Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела M на квадрат скорости центра масс . Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки в плоскости. Модуль скорости Vk любой k-точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси || , равен , где – модуль угловой скорости твердого тела, – расстояние от точки до оси вращения Oz, рис. 5.2. Подставляя в формулу (5.1), получим Здесь – момент инерции твердого тела относительно оси Oz. (5.4) Моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих постоянную плотность ρ, представлены в табл. 5.1. Таблица 5.1 Тело массой m Ось Oz Квадрат Проходит через центр параллельно стороне H Прямоугольник Проходит через центрO, перпендикулярно к плоскости Диск Проходит через центрO, перпендикулярно плоскости Составной дискc Проходит через центрO, перпендикулярно плоскости - радиус инерции Определение 3. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки в плоскости, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси точки вращения А (оси Аz, проходящей через центр вращения O на квадрат угловой скорости тела, рис. 5.3 . Пример 5.1. Составной диск ( радиус инерции относительно оси вращения м), вращается с угловой скоростью c-1Вычислить кинетическую энергию диска, рис. 5.4. Решение. Вычислим кинетическую энергию диска. Имеем Кинетическая энергия твердого тела при плоско–параллельном движении. Пусть тело движется плоскопараллельно в плоскости Сxy, тогда ||, рис. 5.5. За полюс выбираем центр масс тела. При плоскопараллельном (плоском) движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения: . (5.5) Здесь – момент инерции тела относительно оси Оz, проходящей через центр вращения. Определение 4. Кинетическая энергия твердого тела при плоско – параллельном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг центра масс твердого тела. Пример 5.2. Диск массой кг и радиусом м, приводится в движение из состояния покоя некоторой силой (рис. 5.6). Диск катится по шероховатой поверхности вправо без скольжения со скоростью c=18м/c. Вычислить кинетическую энергию катушки, если, радиус инерции диска м. Решение. Диск совершает плоское движение. В начальный момент времени диск находился в покое, кинетическая энергия в конечном положении диска равна: Ответ. Кинетическая энергия катушки 5.2. Кинетическая энергия механической системы Пусть механическая система состоит из N отдельных точек. , взаимное расстояние между которыми не изменяется и рассматривается как непрерывно распределенная масса. Будем представлять механическую систему, состоящую из N отдельных точек. Кинетической энергией механической системы будем называть сумму кинетических энергий всех точек тела, входящих в механическую систему: (5.1) Пример 5.3. Механическая система состоит из диска 1 (H, м, радиус инерции относительно оси вращения м), обмотанного нерастяжимой нитью, на конце которой прикреплен груз 2 (H). Вычислить кинетическую энергию данной механической системы, как функцию скорости второго тела, рис. 5.7. Решение. Вычислим кинетическую энергию механической системы, состоящей из двух твердых тел: . (а) Первое тело – составной диск, вращающийся относительно неподвижной точки О, второе тела движется вертикально поступательно. Кинетическая энергия механической системы соответственно имеет вид (б) Направления движений тел изображены на рис. 5.8. Выразим линейные и угловые скорости в выражении (б) через скорость груза . Имеем: (г) Подставляя выражение (г) в выражения (б), получим Выражение в скобках имеет размерность массы (кг). Определим слагаемые в скобке как приведенную массу заданной механической системы, обозначим ее , тогда кинетическая энергия системы примет вид , . Вычислим значение приведенной массы системы: кг. Кинетическая энергия заданной механической системы равна . Вывод. Кинетическая энергия любой системы приводится к виду Здесь скорость – скорость ведущего звена. Это значит, что для вычисления кинетические энергии любых систем отличаются друг от друга только числом, равным эффективной массе . Пример 5.4. Два груза массой и связаны между собой нерастяжимым тросом, перекинутым через составной блок массой M и моментом инерции (рис. 5.9,а). Вычислить эффективную массу механической системы. Решение. Механическая система состоит из трехтвердых тел (связанных нерастяжимым тросом). Пусть левый груз опускается со скоростью , тогда правый груз будет подниматься соскоростью , а диск вращаться с угловой скоростью . а б Рис. 5.9 Учтем, что путь, пройденный точками А и В на соответствующих ободах диска (рис. 5.9, б) связаны между собой следующим образом: Свяжем между собой . Имеем Подставим полученные выражения в кинетическую форму каждого твердого тела, получим Тогда Получили значение кинетической энергии: Пример 5.5. Механическая система (рис. 5.10) состоит из составного диска 2 (H, м, м, радиус инерции относительно оси вращения м), обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен груз 1 (H) и однородный каток 3 (H), обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен груз 1 (H) и однородный каток 3 (H). Каток катится без скольжения по наклонной шероховатой поверхности с углом наклона . Вычислить эффективную данной механической системы. Ведущим звеном принять тело 2. Решение. Вычислим кинетическую энергию системы, равную сумме энергий всех ее тел . (а) Диск (тело 1) вращается вокруг центра вращенияО, груз (тело 2) движется поступательно, каток (тело 3) – плоскопараллельно, рис. 5.11; тогда кинетическая энергия каждого тела механической системы соответственно имеет вид , . ( б) Рис. 5.11 Моменты инерции диска и катка вычисляются по формулам , . (в) Выразим линейные и угловые скорости в выражении (б) через перемещение первого груза S и его скорость . Направления движений тел изображены на рис. 5.11. Учтем, что путь, пройденный точками А, A' и С, на соответствующих ободах дисков связаны между собой следующим образом: Уравнения связи между вторым диском и катком: , . Подставляя выражения (г) и (в) в (б), получим ; . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий элементов системы, т.е. . Вычислим значение приведенной массы системы: кг. Итак . Ответ: эффективная масса системы