Кинематика

III. Кинематика Кинематика - раздел гидравлики, изучающий движение жидкости без учёта её массы и действующих на неё сил. III.1. Существуют два принципиально различных метода описания движения жидкости: 1) Метод Лагранжа Это метод, применяемый в классической механике для описания движения материальной точки. Движение частицы жидкости в рамках данного метода описывается системой уравнений движения: где x0, y0, z0 - координаты в начальный момент времени, t - время. Недостаток метода в том, что для полного и достоверного описания картины течения потока нужно задать уравнения движения для всех частиц жидкости, которых огромное множество. Поэтому широкого распространения в гидромеханике метод не получил. 2) Метод Эйлера В рамках данного метода рассматриваются не движущиеся частицы жидкости, а неподвижные фиксированные точки пространства, через которые в разные моменты времени проходят разные частицы. Таким образом, средством описания движения жидкости является поле скоростей и поле давлений: - поле скоростей - поле давлений Поле скоростей является векторным, а поле давлений - скалярным. В том случае, когда поля скоростей и давлений не изменяются во времени, движение жидкости называют установившимся. В обратном случае - неустановившимся. Для установившегося течения: Для графического представления картины течения в каждый момент времени применяется понятие линий тока. Линия тока - это кривая (в общем случае), в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной. Определение и вид линии тока абсолютно аналогичны знакомому из механики материальной точки виду и определению траектории, при этом это совершенно разные понятия! Различие состоит в следующем: точки на траектории соответствуют положениям одной и той же частицы, но в разные моменты времени, а точки на линии тока соответствуют положениям разных частиц, но в один и тот же момент времени. В частном случае линия тока и траектория могут совпадать - при установившемся течении, когда форма и расположение линий тока не меняется с течением времени. III.2. Струйная модель потока. Трубчатая поверхность, образованная линиями тока, называется трубкой тока. Часть потока жидкости, заключённая внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. Поскольку её поверхность образована линиями тока, в каждой точке которых вектор скорости направлен по касательной, ни одна частица не может выйти из струйки наружу, как и проникнуть снаружи внутрь. Таким образом, любой поток жидкости можно представить как совокупность элементарных струек, которые вследствие разности скоростей могут скользить относительно друг друга, но не могут перемешиваться. Разбиение потока на элементарные струйки является одним из способов приложения дифференциально-интегрального исчисления. III.3. Понятие расхода. Расход - это количество жидкости, проходящее через поперечное сечение потока в единицу времени. Объёмный расход: Массовый расход: Связь между ними - через плотность жидкости: При определении расхода для произвольного потока следует иметь в виду неравномерность распределения скоростей по сечению. Поэтому используется способ разбиения потока на элементарные струйки. Тогда расход для элементарной струйки: Объём dV, прошедший через сечение за время t, можно найти из следующих соображений (см. рисунок): за это время частицы, находившиеся в сечении 1, переместятся в сечение 1', пройдя путь dx: Тогда объём dV равен: Подставляя в выражение для расхода, получим: Расход для всего потока находится суммированием всех элементарных струек (интегрированием по всей площади сечения S): Для определения расхода по этому выражению необходимо задать закон распределения скоростей по сечению потока. На практике широко используется понятие средней скорости по сечению потока υср (см. рисунок). Тогда выражение для расхода принимает вид: III.4. Ускорение жидкой частицы. Рассмотрим составляющую ускорения ax, для составляющих ay и az будет аналогично. Как известно из механики, ускорение - это производная скорости по времени: При этом однако мы помним, что скорость является функцией координат и времени, соответственно полный дифференциал: Подставляя полученное в выражение для ускорения, получим формулу для ускорения жидкой частицы: Первое слагаемое в полученном выражении носит наименование локальное ускорение. Локальное ускорение характеризует изменение скорости по времени в данной точке пространства. Соответственно, при установившемся течении локальное ускорение равно нулю. Сумма трёх последних слагаемых носит наименование конвективное ускорение. Конвективное ускорение характеризует изменение скорости при перемещении частицы из одной точки пространства в другую и обусловлено неравномерностью поля скоростей. IV. Гидродинамика Гидродинамика - раздел гидравлики, изучающий движение жидкости с учётом её массы и действующих на неё сил. IV.1. Уравнения, лежащие в основе описания трёхмерного движения жидкости. В основе описания движения реальной вязкой жидкости лежит система дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Система ДУ Навье-Стокса: Физический смысл уравнений Навье-Стокса заключается в том, что каждое слагаемое в нём учитывает влияние каких-либо сил в потоке жидкости. Например, левая часть уравнений учитывает влияние сил инерции. В правой части уравнений: первое слагаемое учитывает влияние внешних массовых сил (например, сила тяжести), второе слагаемое - влияние сил давления, и третье слагаемое - влияние сил внутреннего трения. В системе уравнений Навье-Стокса четыре неизвестных (υx, υy, υz, p) и только три уравнения. Для решения системы необходимо, чтобы число уравнений соответствовало количеству неизвестных. Значит, необходимо ещё одно уравнение для замыкания системы. Этим уравнением является уравнение неразрывности: Физический смысл уравнения неразрывности: слагаемые уравнения характеризуют скорость относительной деформации жидкой частицы в направлении соответствующих осей. Для выполнения равенства необходимо, чтобы хотя бы одно из слагаемых было отрицательным, то есть если например вдоль осей x и y частица удлиняется, вдоль оси z она должна укорачиваться. Соответственно, уравнение неразрывности по сути выражает условие сохранения объёма. IV.2. Гидродинамика одномерного движения жидкости (движение в трубопроводах) IV.2.1. Понятие напора. Напор - это энергия единица массы жидкости. Полный напор выражается уравнением: Все слагаемые полного напора имеют соответствующее название: первое слагаемое, содержащее высоту z, - геометрический напор; второе слагаемое, содержащее давление p, - пьезометрический напор; третье слагаемое, содержащее скорость υ, - динамический напор. Сумма геометрического и пьезометрического напора называется статическим напором. Множитель α в динамическом напоре - это коэффициент Кориолиса, который учитывает неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Величина этого коэффициента всегда лежит в интервале от 1 до 2. По определению размерность напора [Дж/кг], но очень часто в гидромеханике напор выражают в [м] (метры столба жидкости). Для выражения напора в метрах нужно поделить уравнение на g: Геометрическая интерпретация составляющих полного напора: Трубка, присоединённая перпендикулярно потоку в трубопроводе, воспринимает только статическое давление, соответственно высота подъёма жидкости в ней равна пьезометрическому напору. Трубка, направленная встречно потоку, воспринимает полное давление, соответственно разность уровней в трубках равна динамическому напору. IV.2.2. Уравнение Бернулли. Уравнение Бернулли связывает напоры в каких-либо двух сечениях потока жидкости. Краткая форма записи уравнения Бернулли: Полная форма записи уравнения Бернулли: Последнее слагаемое - потери напора между сечениями 1 и 2. Физический смысл уравнения Бернулли: это частная формулировка закона сохранения энергии. При движении жидкости от сечения 1 к сечению 2 часть энергии потока теряется, переходя в другие формы (выделяется в виде теплоты). Потери напора: Первое слагаемое - потери на трение, обусловленные вязкостью жидкости. Второе слагаемое - сумма местных потерь. Местные потери обусловлены деформацией потока при изменении конфигурации русла (сужения, расширения, повороты, трубопроводная арматура и т.д.). IV.2.4. Определение потерь напора. Потери на трение определяются по формуле Дарси-Вейсбаха: где L - длина трубопровода, d - внутренний диаметр трубы, λ - коэффициент трения. Коэффициент трения в общем случае зависит от числа Рейнольдса и шероховатости трубы: Конкретный вид этой зависимости определяется режимом течения жидкости. Существует два принципиально различных режима течения жидкости - ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме течения частицы жидкости движутся упорядоченно - векторы скорости всех частиц параллельны и совпадают с направлением движения потока в целом. Если в таком потоке выделить продольные слои, они не будут перемешиваться, поэтому ламинарное течение ещё называют слоистым. Распределение скоростей по сечению потока имеет профиль параболы с максимумом на оси трубопровода. Коэффициент Кориолиса α = 2. При турбулентном режиме течения частицы движутся хаотически - векторы скоростей различных частиц в разные моменты времени направлены по-разному, поток характеризуется вихреобразованием и перемешиванием. Непосредственно у стенок трубы сохраняется очень тонкий пристеночный ламинарный слой (1), а в остальной части потока (турбулентном ядре) распределение скоростей по сечению является почти равномерным, коэффициент Кориолиса α = 1. Объяснение этого состоит в том, что вследствие интенсивного перемешивания частицы жидкости обмениваются энергией, и скорости вследствие этого выравниваются. Критерием режима течения является число Рейнольдса: где d - внутренний диаметр трубы, ν - коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с. Физический смысл числа Рейнольдса: оно является мерой отношения сил инерции и сил внутреннего трения в потоке. Если доминируют силы внутреннего трения (малые значения Re) - режим течения ламинарный. Если доминируют силы инерции (большие значения Re) - режим течения турбулентный. Критическое значение числа Рейнольдса при течении в трубопроводах ReКР = 2300. Ламинарный режим наблюдается при значениях, меньших критического. При больших значениях сначала наблюдается переходный режим (неустойчивый), а при значениях порядка 4000 и больше - турбулентный. Отличие переходного режима от чисто турбулентного в том, что в данном диапазоне чисел Рейнльдса в принципе может быть получено ламинарное течение, но оно здесь является неустойчивым и поток турбулизируется при малейшем возмущении. При ламинарном режиме течения коэффициент трения λ зависит только от числа Рейнольдса: При турбулентном режиме течения коэффициент трения λ зависит и от числа Рейнольдса, и от шероховатости трубы: При этом, в зависимости от соотношения Re и Δ, выделяются три диапазона: 1) область гидравлически гладких труб - в этом диапазоне, как и при ламинарном течении, коэффициент трения не зависит от шероховатости: 2) переходная (доквадратичная) область - в этом диапазоне зависимость от обеих величин: 3) квадратичная область (область автомодельности) - в этом диапазоне коэффициент трения перестаёт зависеть от числа Рейнольдса: Существует множество эмпирических формул для расчёта коэффициента трения в этих диапазонах (формула Блазиуса, формула Конакова, формула Прандтля-Никурадзе, формула Шифринсона и т.д.). Однако для решения простейших задач можно воспользоваться универсальной формулой Альтшуля, которая даёт достаточно достоверные результаты для всех трёх диапазонов: Местные потери напора находятся по формуле Вейсбаха: где ξ - коэффициент сопротивления. Коэффициент ξ определяется видом и конфигурацией конкретного местного сопротивления. Аналитически с помощью простых формул коэффициент ξ можно найти только для некоторых простейших местных сопротивлений (сужение и расширение трубопровода, поворот). Для более сложных случаев, таких как тройники при разделении и слиянии потоков, а также различная арматура, для определения коэффициентов сопротивлений используются справочные таблицы и графики, составленные на основе обработки экспериментальных данных.