Кинематика вихревого движения

Кинематика вихревого движения На предыдущей лекции мы доказали теорему Коши-Гельмгольца (1-я теорема Гельмгольца) о разложении скорости в данный момент времени любой точки бесконечно малой жидкой частицы – это векторная сумма скоростей трех движений: • поступательного (вместе с этой частицей), характеризуемого скоростью одной какой-либо точки, выбранной за полюс; • вращательного, обусловленного вращением этой частицы около оси, проходящей через полюс с угловой скоростью, равной половине вихря скорости полюса; • движения, зависящего от состояния деформации в окрестности полюса (независимо от выбора полюса). Изучение вихревых движений жидкости имеет большое практическое значение, так как движение жидкости в природе является в основном вихревым: перемещающееся в воде тело (корабль, катер) оставляет сзади себя (видимую) вихревую область; тайфуны, смерчи, циклоны, антициклоны; мелкие вихри в воздухе или воде, называемые турбулентностью, изучение которых представляет одну из самых сложных задач современной аэродинамики, динамики и динамической метеорологии. Состояние движения жидкости будем называть вихревым, если существуют области, в точках которых вихрь скорости () отли­чен от 0. Считая, что точки, в которых , сплошным образом заполняют некоторое пространство, мы приходим к понятию нового векторного поля – поля вихрей. Это поле, естественно, может быт как стационарным, так и нестационарным. Подобно тому, как линии тока дают представление о поле ско­ростей, вихревые линии дают представление о поле вихрей в жидкос­ти. Вихревая линия – линия, проведенная в жидкости в данный мо­мент времени так, что вихри всех частиц, находящихся на этой ли­нии, направлены по касательной к ней в соответствующих точках. Таким образом, вихревая линия является огибающей мгновенных осей вращения (рис.1). Рис. 1. Вихревая линия Рассуждая так же, как и при выводе дифференциальных уравнений линий тока, запишем дифференциальные уравнения вихревых линий: или , или Время t при интегрировании рассматривается как параметр, так как вихревые линии относятся к отдельному моменту времени. Система двух дифференциальных уравнений решается путем интегрирования с получением двух констант интегрирования: и . Давая константам различные значения, будем получать различные вихревые линии. С вихревыми линиями тесно связано понятие о вихревых поверхностях. Возьмем внутри жидкости произвольную линию, не совпадающую ни с одной из вихревых линий, и рассмотрим совокупность всех вихревых линий, проходящих через точки этой линии. Поверхность, образованная вихревыми линиями, называется вихревой поверхностью. Очевидно, что вихри всех частиц жидкости, находящихся на вихревой поверхности, изобразятся векторами, лежащими в касательных плоскостях этой поверхности. Вихревая поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки какой-либо замкнутой кривой, взятой внутри жидкости, называется вихревой трубкой. В частном случае, если эта замкнутая кривая представляет собой бесконечно малый контур, получаем вихревую нить; следовательно, вихревая нить есть бесконечно тонкая вихревая трубка. Рассмотрим какую-либо вихревую трубку, пересечем ее в двух местах произвольными поверхностями и . Означим через боковую поверхность выделенной части вихревой трубки. Тогда полная поверхность выделенной части вихревой трубки будет (рис. 2). Вычислим поток вектора вихря через всю поверхность S, ограничивающую выделенную часть вихревой трубки, т.е. можно записать: , (1) где – единичные векторы нормали к соответствующим поверхностям . По теореме Остроградского-Гаусса левую часть уравнения (1) можно записать: . Рис. 2 Вихревая трубка Но поле вихрей скорости бездивергентно (не имеет источников и стоков): Поэтому (2) С другой стороны, боковая поверхность вихревой трубки образована вихревыми линиями, т.е. во всех точках этой поверхности вектор скорости перпендикулярен (см. рис. 2), а следовательно, . (3) Учитывая (2) и (3) , равенство (1) примет вид: . Заменяя для сечения направление внешней нормали направлением внутренней нормали можно записать: . Так как сечения и вихревой трубки были взяты произвольно, то равенство означает следующий результат, носящей название II теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости через произвольное сечение вихревой трубки есть величина постоянная для данной трубки. Из доказанного следует, что поток вихря через любое сечение вихревой трубки является характерной величиной для трубки в целом. Эту величину называют интенсивностью или напряжением вихревой трубки . Применим П теорему Гельмгольца к вихревой нити, ограниченной элементарными перпендикулярными сечениями, имеющими площади и с модулем угловой скорости соответственно (заметим, что в нити направления нормали и вектора вихря совпадают – угол 0о) . Следовательно, . Из этого равенства вытекает, что сечение вихревой трубки не может стать равным нулю, так как это привело бы к возрастанию до бесконечности угловой скорости вращения жидких частиц в этом сечении (рис. 3). Отсюда – Рис. 3 Вихревая нить известный опытный факт: вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости; они либо образуют замкнутые кольца, либо опираются на стенки сосуда или свободные поверхности (рис. 4). Примеры: воронки в реках, курят кольцами, причем если к вихревому кольцу поднести острый нож, то кольцо резко отклонится в сторону, т.е. кольцо нельзя разрезать, аналитически строго этот факт доказал в 1894 г. Николай Егорович Жуковский 1847-1921). Рис. 4. Возможные виды вихревых трубок Вторая теорема Гельмгольца представляет чисто кинематическую теорему. Доказательство теоремы основывалось лишь на общем свойстве сплошности среды. Вот почему выводы из этой важнейшей теоремы механики жидкости или газа отражают действительность. Чтобы детальнее рассмотреть эти выводы необходимо обратиться к другому, практически более удобному выражению интенсивности вихревой трубки. Вихрь скорости не поддается непосредственному измерению приборами. Нельзя также измерить и интенсивность вихревой трубки. Из формулы Стокса следует, что интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему трубку. Вследствие постоянства интенсивности для данной вихревой трубки циркуляция сохраняет постоянную величину для всех охватывающих трубку контуров. Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к измерению поля скорости и вычислению циркуляции скорости. К типу вихрей принадлежат смерчи (торнадо) как водяные, так и воздушные. Водяной вихрь можно продемонстрировать на установке Н.Е. Жуковского (искусственный смерч), которую он описал в книге «Теоретические основы воздухоплавания» (рис. 5). Рис. 5. Установка Н.Е. Жуковского Если над чаном с водой установить на расстоянии 3 м полый шкив диаметром в 1 м с несколькими перегородками, расположенными в радиальных плоскостях, и шкив привести в быстрое вращение, то последний начинает закручивать воздух. Ввиду того, что внутри образовавшегося воздушного вихря давление понижено, вода начинает подниматься и приходит во вращательное движение от трения о крутящийся воздух. Через некоторое время образуется водяной столб (см. рис. 5).