Кинематика точки и твердого тела

Лекция 1. Кинематика точки и твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Краткие сведения по истории развития кинематики. 2. Кинематика точки. Введение в кинематику. 3. Способы задания движения точки. 4. Вектор скорости точки. 5. Вектор ускорения точки. 6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки. 7. Определение ускорения в полярных координатах. 8. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки. 9. Некоторые частные случаи движения точки. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики движения материальной точки, динамики относительного движения точки, динамики вращательного движения точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».   Краткие сведения по истории развития кинематики Кинематика, как специальный раздел теоретической механики, возникла позднее статики и динамики, а именно, в начале второй половины XIX в. Появление первых исследований по кинематике связано с изобретением огнестрельного оружия. В первую очередь внимание исследователей привлекали вопросы определения траекто­рии полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криво­линейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452—1519) первый экспериментально изучал вопрос о свободном вертикальном паде­нии тяжелого тела. Однако лишь благодаря трудам Г. Галилея (1564—1642) развитие механики тесно связывается с запросами техники того времени. Галилею принадлежит введение понятия об ускорении и доказательство того, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к горизонту, является парабола. Законы, найденные Галилеем, были развиты в исследова­ниях Э. Торричелли (1608—1647), установившем формулу пропорцио­нальности скорости падения тела корню квадратному из высоты падения. Обобщение понятия ускорения на случай криволинейного движения было получено X. Гюйгенсом (1629—1695), который первым обратил внимание на возможность разложения ускорения при криволинейном движении на касательное и нормальное. Однако строгое доказательство этого было дано Л. Эйлером (1707—1783). Кинематические законы движения планет были установлены И. Кеплером (1571—1630). Эти законы легли в основу закона все­мирного тяготения, открытого Ньютоном. Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по ки­нематике точки в случае естественного способа задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг непо­движной точки. Он создал широко применяемый метод кинематиче­ского описания движения твердого тела с помощью трех углов, назы­ваемых углами Эйлера. Развитие кинематики системы обязано трудам Ж. Лагранжа (1736-1813). Однако только бурный рост машиностроения в XIX в. повлек за собой расцвет кинематики как науки. По предложению Ж. Ампе­ра в 1851 г. кинематика выделилась в особый раздел теоретической механики. Появляется ряд глубоких исследований по кинематике твердого тела французских ученых М. Шаля (1793—1886), Л. Пуансо, Г. Кориолиса (1792—1843). П. Л. Чебышев (1821—1894) создал в России научную школу по кинематике механизмов. Богатое науч­ное наследие по кинематике механизмов Чебышева разрабатывается советскими учеными, среди которых, в первую очередь, следует отметить Н. И. Мерцалова (1860—1948), И. И. Артоболевского, А. П. Котельникова (1865—1940), Д. С. Зернова, Л. В. Асура (1878—1920), Я. Л. Геронимуса и др. «Отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921) принад­лежат первоклассные работы по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко внедрены геометрические методы доказательств различных теорем. Ряд замечательных иссле­дований по кинематике принадлежит профессору Одесского уни­верситета В. Н. Лигнину (1846—1900), возглавлявшему на Украине научное направление исследований по кинематике.   Кинематика точки. Введение в кинематику. Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения. Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени. Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела. Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени. Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1). Рис.1   Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство. Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t. В теоретической механике при измерении пространства за основ­ную единицу длины принимают метр (м), а за основную единицу времени — секунду (с). Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, прини­маемая в качестве аргумента.  При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент вре­мени. Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным момен­том называется время, с которого начинают отсчет времени. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно  данной системы отсчета в любой момент времени. Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение. Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора  или с помощью координат. Радиус-вектор  точки М - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2). Координата х точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами - координатами (рис. 2.1). Рис.2   Рис.2.1   Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно. Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения точки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к вы­бранной системе координат. Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки. В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка". Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. На практике форму траектории задают с помощью математических формул (у=f(х) — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0. Перемещение  тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М0) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2): , где  и — радиус-векторы тела в эти моменты времени. Проекция перемещения на ось Ох: ∆rx =∆х = х-х0, где x0 и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s. Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется. Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:   Способы задания движения точки Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный. 1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 3). Рис.3   При движении точки М вектор  будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно,   является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:   Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор  и найти положение движущейся точки. Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.   2. Координатный способ задания движе­ния точки. Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости x=f1(t),      y=f2(t),     z=f3(t). Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t. Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения. Разложим вектор  на составляющие по осям координат:     где rx, ry, rz - проекции вектора на оси;  – единичные векторы направленные по осям, орты осей. Так как начало    вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому      Если движение точки задано в полярных координатах r=r(t),    φ = φ(t), где r — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим r = r(φ).   Пример 1. Движение точки задано уравнениями     Рис.4                            Чтобы  исключить время, параметр t, найдём  из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем  возведём  в  квадрат  и  сложим.  Так  как sin22t+cos22t=1, получим . Это уравнение  эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4). Начальное  положение  точки M0 (при t=0) определяется  координатами x0=0,  y0=3 см.  Через 1 сек. точка будет в положении M1 с координатами x1=2sin2=2∙0,91=1,82 см,    y1=2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см. Примечание. Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.   3. Естественный способ задания движе­ния точки. Рис.5   Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси). Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t). Уравнение выражает закон движения точки М вдоль тра­ектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории. Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М1 в М2. Положению точки в М1 соответствует  время t1, а положению точки в М2 - время t2. Разложим промежуток времени t2- t1 на весьма малые промежутки времени ∆t1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆si. Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной: Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле так как где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt. Следовательно,   Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6). Рис.6   В начале движения, при t=0   s=OM0=s0=3 см. Положение точки M0 назы­вается начальным положением.  При  t=1 с,   s=OM1=5 см.  Конечно, за 1 сек. точка прошла расстоя­ние  M0M1=2 см. Так  что  s – это не путь пройденный точ­кой, а расстояние от начала отсчёта до точки.   Вектор скорости точки Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий. Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной. Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с. Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется  прямолинейным. Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t,                          (1) где v – постоянный вектор. Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет. Из соотношения  (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем Направление вектора v указано на рис. 6.1. Рис.6.1   При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто­ром , а в момент t1 приходит в положение M1 определяемое векто­ром   (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t1-t определяется вектором  который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ1 видно, что ; следовательно,  Рис. 7   Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t: Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость vср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени  направлен по касательной  к траектории точки в сторону движения.   Определение скорости точки при координатном способе задания движения Вектор скорости точки , учитывая, что rx=x, ry=y,  rz=z, найдем: Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.         Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.   Определение скорости точки при естественном способе задания движения Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ1): где ∆s – длина дуги ММ1. Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt. Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения: Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении   Вектор ускорения точки Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате . Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t1 приходит в положение M1 и имеет скорость v1 (рис. 8). Рис.8   Тогда за промежуток времени ∆t=t1-t скорость точки получает приращение . Для построения вектора  отложим от точки М вектор, равный v1, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , a одной из сторон . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор . Заметим, что вектор  всегда направлен в сторону вог­нутости траектории. Отношение приращения вектора скорости  к соответствующему про­межутку времени ∆t определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени: Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина , к которой стремится среднее ускорение  при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени. Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v посто­янна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равно­мерному движению. Найдем, как располагается вектор  по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор  направлен вдоль прямой, по которой движется точка. При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы  и  сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна. При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов  и  противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна. Рис.9   Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения , так же как и вектор , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор  на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения   лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.     Определение ускорения при координатном способе задания движения Вектор ускорения точки  в проекции на оси получаем: Или т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул где α1,  β1,  γ1 - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.   Пример 3. Движение точки задано уравнениями x=2t,  y=3-4t2. Из первого уравнения t=x/2. Подставив во второе, получим уравнение траектории: y=3-x2 Это уравнение параболы. В на­чале движения,  при t=0, точка находи­лась на самом верху, в  положении M0 (x0=0,  y0=3 см). А, например, при t =0,5 c она будет в положении M с координатами x1=1 см;   y1=2 см. Проекции скорости на оси   vx==2см∙с-1,    vy==-8t см∙с-1.   При  t =0,5 c,   vx=2см∙с-1,    vy=-4 см∙с-1.   И  модуль  скорости   Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 10. Рис.10   Проекции ускорения ax= =0,  ay==-8 см∙с-2. Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрица­тельна, то вектор ускорения на­правлен верти­кально вниз, и величина его постоянна, не за­висит от времени.   Определение ускорения в полярных координатах Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах r= r(t);  φ= φ(t). Декартовы координаты выража­ются через полярные по формулам х= r∙соsφ,    у= r∙sinφ. Найдем проекции ar и aφ ускорение a точки на радиальное (r) и трансверсальное (φ) направление (рис.10.1) Для ax и ay имеем выражение ax=arcosφ - aφsinφ,     ay=arsinφ + aφcosφ C другой стороны, ax=x=rcosφ – 2rφsinφ – rcosφ ∙φ2 – rsinφ ∙φ, ay=y=rsinφ + 2rφcosφ - rsinφ ∙φ2 + rcosφ ∙φ.     Рис.10.1   Таким образом, получим ar=r – rφ2,    aφ=2rφ + rφ. Модуль ускорения Обозначая через θ угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определим направление ускорения a точки по формуле   Определение ускорения при естественном способе задания движения. Касательное и нормальное ускорение точки При естественном способе задания движения вектор  определяют по его проекциям на оси Mτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.11). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными (естественными) осями), направлены следующим образом: ось Mτ - вдоль каса­тельной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Mn - по нормали, лежащей в соприкасающейся плос­кости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Mn, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью. Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью. Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, прохо­дящей через касательную в точке М и любую точку  кривой  М1, когда последняя стремится в пределе к совпадению  с точкой М. При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются. Рис.11             Было показано, что ускорение точки  лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости Mτn; следовательно, проекция вектора  на бинормаль равна нулю (a=0).               Вычислим проекции , на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t1=t+∆t приходит в положение М1 и имеет скорость v1. Тогда по определению Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ  и Mn, проведенные в точке М (рис.11). Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим: Учитывая, что проекция вектора на параллельные оси одинаковы,  проведем через точку М1 оси , параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол между направлением вектора  и касательной Mτ через ∆φ. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности. Напомним, что предел отношения угла смежности ∆φ к длине дуги MM1=∆s определяет кривизну k кривой в точке М.  Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом, Обращаясь теперь к чертежу (рис.11), находим, что проекции векторов  и   на оси Mτ, Mn, будут равны: где v и v1 - численные величины скорости точки в моменты t и t1. Следовательно, Заметим что при ∆t→0 точка М1 неограниченно приближается к М и одновременно Тогда, учитывая, что в пределе , получим для aτ выражение Правую часть выражения an преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при ∆t→0 равны: Окончательно получаем: Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на каса­тельную  равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинор­маль равна нулю (ab=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема­тики точки. Рис.12                                                        Отложим вдоль касатель­ной Mτ и главной нормали Mn векторы   и , чис­ленно  равные aτ и an (рис. 12).  Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая  бу­дет всегда  направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна),  а составляющая  может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проек­ции aτ  (см. рис.12, а и б). Вектор ускорения точки  изображается диагональю параллело­грамма, построенного на составляющих   и . Так как эти состав­ляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:   Относительность движения. Сложение скоростей Как отмечалось выше, для описания движения тела необходимо выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В качестве тела отсчета может выступать любое тело. В разных системах отсчета будут различны вид траектории, значения скорости, перемещения и других величин. В этом и заключается относительность движения. Например, человек идет по палубе парохода со скоростью  относительно парохода. Пароход движется поступательно со скоростью  относительно берега. Найдем скорость  человека относительно берега. Свяжем неподвижную систему отсчета (хОу) с Землей, а подвижную (х'О'у') — с пароходом. Рис.13 Из рис.13 видно, что перемещение                      (1) где  — перемещение человека относительно парохода,  — перемещение парохода относительно берега,  — перемещение человека относительно берега. Таким образом, если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. В этом состоит установленный экспериментально принцип независимости движений. Разделив уравнение (1) на промежуток времени, за который произошли перемещения человека и парохода, получим закон сложения скоростей: Скорость  тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической сумме скорости  тела относительно подвижной системы отсчета и скорости  самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Закон сложения скоростей справедлив и для неравномерного движения, только в этом случае  - мгновенные скорости. Этот закон был установлен Г. Галилеем. Он справедлив только для движений со скоростями, намного меньшими скорости света с = 3∙108 (м/с). Такие скорости в физике называют нерелятивистскими.                                                                         Некоторые частные случаи движения точки. Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки.   Равномерное прямолинейное движение Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, т. е. это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью:  — уравнение скорости,  — уравнение ускорения. Пусть в момент времени t0=0 координата тела х0, в момент t - х (рис. 14). Рис.14   Тогда за промежуток времени Δt=t-t0=t координата X тела изменилась на величину ∆х = х - х0. Следовательно, проекция скорости тела  ,следовательно, x=x0+vxt- кинематическое уравнение равномерного движения (уравнение зависимости координаты от времени). Проекция перемещения ∆rx=х-х0 ∆rx=vxt - уравнение перемещения. При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь . Следовательно,  — уравнение пути. Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически. Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел: 1, 2, 3 (рис. 15). Рис.15   Тела 1, 2 движутся в положительном направлении оси Ох, причем ; тело 3 движется в направлении, про­тивоположном оси Ох; их начальные координаты соответственно , . Графики скорости представлены на рис.16. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s (модулю перемещения), пройденному телом 1 за время t1. На рис.17 даны графики перемещения , на рис.18 - графики пути s=f(t). Рис.16                                                  Рис.17                                                 Рис.18   Наклон графика , к оси времени зависит от модуля скорости: . Графики движения (зависимости координаты от времени) изображены на рис.19. Рис.19 С помощью графика движения можно определить: 1) координаты тела в любой момент времени; 2) путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени; 3) время, за которое пройден какой-то путь; 4) кратчайшее расстояние между телами в любой момент времени; 5) момент и место встречи тел и др.   Равноускоренное прямолинейное движение Равноускоренное прямолинейное движение - это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением. =сonst — уравнение ускорения. По определению ускорения  . Пусть в момент времени t0 скорость тела равна , в момент времени t - . Тогда за промежуток времени ∆t=t-t0=t скорость изменилась на . Следовательно, ускорение   — уравнение скорости. Или в проекциях: . Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис.20). Рис.20   Графики ускорения  представлены на рис.21, а графики скорости  - на рис.22. Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис.23). Для малого промежутка времени ∆t изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени ∆t будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени ∆t=t-t0=t в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции. Рис.21                                         Рис.22                                              Рис.23   Следовательно,                                                                                   (2) Подставив значение  в (2), получим:  — уравнение перемещения в проекциях;  — уравнение перемещения в векторном виде. Учитывая, что х=х0+∆rх, имеем:  — кинематическое уравнение равноускоренного движения. Его векторный вид:  Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим: . Сравнивая выражение (2) с формулой , найдем:  - проекция средней скорости при равноускоренном движении. Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис.24). Рис.24   Равномерное криволинейное движение Равно­мерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной: v=const. Тогда  и все ускорение точки равно одному только нормальному: Вектор ускорения  направлен при этом все время по нормали к траектории точки. Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормаль­ное ускорение характеризует изменение скорости по направ­лению. Найдем закон равномерного криволинейного движения. Из формулы   имеем ds=vdt. Пусть в начальный момент (t=0) точка находится от начала отсчета на расстоянии s0. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде s=s0+vt. Если s0=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени s=vt,     v=s/t.   Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: aτ=const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s0, а v=v0, где v0 - начальная скорость точки. Согласно формуле  имеем dv=aτdt. Так как aτ=const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим: v=v0+aτt. Формулу представим в виде Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным.   Свободное падение тел. Ускорение свободного падения Свободное падение - это движение тела под действием только силы тяжести. На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме. Ускорение , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени. Ускорение свободного падения  направлено вертикально вниз. Галилео Галилей установил (закон Галилея): все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, т.е. ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Убедиться в этом можно, используя трубку Ньютона или стробоскопический метод. Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, а другой снабжен краном (рис. 25). Рис.25   Поместим в трубку три разных предмета, например дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернем трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: сначала дробинка, затем пробка и, наконец, перо. Но так падают тела в том случае, когда в трубке есть воздух (рис. 25, а). Стоит только воздух откачать насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно (рис. 25, б). В земных условиях g зависит от географической широты местности. Наибольшее значение оно имеет на полюсе g=9,81 м/с2, наименьшее — на экваторе g=9,75 м/с2. Причины этого: 1) суточное вращение Земли вокруг своей оси; 2) отклонение формы Земли от сферической; 3) неоднородное распределение плотности земных пород. Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле: где G — гравитационная постоянная, М — масса планеты, R — радиус планеты. Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R Для небольших высот (g<>  или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.   Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги. Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором , проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 6). Рис.6   За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l. Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах. Скорость  движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена: Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью: В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду . При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω=const; v=const. Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора  и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t0=0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t0 равен ∆φ=φ-φ0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности: φ=φ0+ωt Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t. Учитывая, что , получаем: — формула связи между линейнойи угловой скоростью. Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:             где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt. За время ∆t=Т тело проходит путь l=2πR. Следовательно, Величина ϑ, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения: Следовательно, .   Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение) При равномерном вращении по окружности модуль скорости движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение - движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Рис.7   По определению среднего ускорения . Треугольники ОАВ и ВСD — равнобедренные (рис. 7). Углы при вершинах — одинаковые (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Отсюда следует, что ∆ОАВ подобен ΔВСD. Из подобия  Тогда  Мгновенное ускорение β — угол между  и  —внешний по отношению к ΔВСD: При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно,  направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением: Модуль , направление  непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным. Рис.8   Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.9). Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения. Величина, обратная периоду, — частота вращения. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения. Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплос­кость  - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и  вращающую­ся вместе с ним (рис. 9).   Рис.9   Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ  будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е.                       φ=f(t).                                                Уравнение  выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Если за промежуток времени ∆t=t1-t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ1-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что  или ω=. Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмер­ная. Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси. Рис.10   Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения: При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения: Вектор  направлен по радиусу траектории точки к оси вращения. Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени ∆t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω1-ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2  (с-2). Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные. Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).   Равномерное и равнопеременное вращения Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы   имеем dφ=ωdt. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, и беря интегралы слева от φ0 до φ, а справа от 0 до t, получим окончательно φ=φ0+ωt. Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда φ0=0 φ=ωt  и  ω=φ/t. В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что ω=π∙n/30≈0,1n. Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, а угловая скорость ω=ω0 (ω0 - начальная угловая скорость). Из формулы  имеем dω=ε∙dt. Интегрируя левую часть в пределах от ω0 до ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω0+εt, dφ/dt=ω0+εt  или dφ=ω0dt+εtdt. Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек. 1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т.е Скорость   в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М. Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения. Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М. Так как для всех точек тела  имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.           Рис.11                                    Рис. 12   2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения aτ и an, получим: или окончательно: Касательная составляющая ускорения aτ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая an всегда направлена по радиусу МС  к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле Подставляя сюда зна­чения aτ  и an, получаем Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.                                 Рис.13                                                            Рис.14   3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор  точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле Таким образом, модуль векторного произведения  равен модулю скорости точки М. Направления векторов  и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно,  - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.   Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM=l=1м. (рис. 15). Рис.15   Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость  угловое ускорение   Например, при t=1 с,  φ=0,5sin2=0,45 рад≅26°;   ω=cos2=-0,42 c-1 (вращение по часовой стрелке);  ε=-2sin2=-1,82 c-2 (угловое  уско­рение направлено также по часовой стрелке). Вращение  в  этом  положении ускоренное. Скорость  точки M:  vM=lω=1∙0,42=0,42 м∙с-1 (определя­ется  модуль скорости). Направлен вектор скорости  соответственно    направлению угловой скорости  –  в сторону вращения. .   Нормальное ускорение an=lω2=1∙0,422=0,176 м∙с-2, касательное ускорение aτ=lε=1∙1,82=1,82 м∙с-2. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор  вниз, как указывает угловое ускорение). Величина полного ускорения точки     Вращение тела вокруг неподвижной точки Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение  называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям. Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов. 1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой. Рис. 9.5.   Рис. 9.5.   Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: Ψ (пси), 𝜃(тета), φ (фи). Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. На­чало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая сис­тема, оси x1, y1, z1, связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных. Рис.16   Рис. 9.4.   Рис. 9.5.   Когда  углы Эйлера  равны  нулю, под­вижные  оси  совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала  подвижные  оси,  а значит и тело, поворачи­ваем на угол Ψ вокруг оси z. При этом  оси  x1 и y1 отойдут от осей x и y в гори­зон­тальной плоскости и ось x1 займёт по­ложение OK (рис.16). Затем тело вращаем вокруг но­вого  поло­жения  оси x1 (прямой OK) на угол θ. Ось z1 отойдёт от оси z на этот угол θ, а ось y1 приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z1 на угол φ. Ось x1 отойдёт от положения OK в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси z1. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано). Линия  пересечения  неподвижной  плоскости xOy и  подвижной x1Oy1, прямая OK, называ­ется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом  нутации,  угол φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов. При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам Ψ=Ψ(t);  θ=θ(t);  φ=φ(t) которые называются уравнениями вра­щения. На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.17). Ось волчка z1 описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом Ψ (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ. А вращение  волчка  вокруг  своей  оси z1,  определяемое углом φ – собственное вращение. Рис.17   2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения. Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.18). Рис.18   По­кажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение.  Точки, а  значит и дуга, займут по­ложение A1 и B1. Соединим точки A и A1, B и B1 дугами большого радиуса AA1 и BB1. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и  най­дём их точку пересечения P1. Соединим эту точку P1 с точками A, B, A1, B1. Получим два сфе­рических треугольника ∆ABP1 и ∆A1B1P1, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A1B1, а AP1=A1P1 и BP1=B1P1  – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P1, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP1. Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера. Рис. 9.7.   Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время ∆t такого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при ∆t→0 можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью . Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения, а угло­вую скорость  – мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси. Рис. 9.8.     3) Скорость точек тела. По теореме Даламбера-Эйлера за малое время ∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP1 с некоторой угловой скоростью  (рис.19). Рис.19   Тогда скорость точки M:  В пределе, при ∆t→0, угловая скорость  будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки  - к истинному значению: Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=h∙ω  (рис.19). Рис. 9.9.   Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось P из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.   Пример 2. Водило OA=a, вращаясь  вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω0, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной  плоскости (рис.20). Рис.20   Рис. 9.10.   Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке O, то движение диска можно назвать  вращением вокруг этой неподвижной точки O. Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости  будет направлен по этой оси. Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость vA=aω0 (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения  диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой ско­рости   (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость  точки B: vB=2h∙ω.  Так как h=R∙cosα и ,  , то   и  vB=2aω0.   4) Ускорение точек тела. Сначала  определим  угловое  ускорение  тела . При  движении тела  вектор  угловой  скорости  изменяется и по  величине, и по направлению. Точка, распо­ложен­ная  на его конце будет двигаться по  некоторой  траектории  со  скоростью   (рис.21). Рис.21   Если рас­сматривать вектор  как ра­диус-вектор этой точки, то  . Итак. Угловое  ускорение  тела  можно  опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости: . Этот результат называется теоремой Резаля. Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела есть сумма двух векторов. Первый вектор . Модуль его a1=εr∙sinα1=ε∙h1, где h1 – расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендику­лярно  и . Но таким  же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую   состав­ляющую  ускорения определяют   как  ка­сательное ускорение,  предпола­гая,  что  тело  вращается  вокруг оси, совпадающей с векто­ром . И обо­значается  этот вектор ускорения так . Второй вектор  Модуль его a2=ωv∙cosα2, но α2=90°, т.к. векторы  и  перпендикулярны друг другу. Рис.22   Значит a2=ωv=ωh2ω=h2ω2,  где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора . Направлен вектор  перпендикулярно  и , т.е. так же как вектор нормального  ускорения  при вращении  вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так: Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений: Этот результат называется теоремой Ривальса. Заметим, что в общем случае векторы  и   не совпадают и угол между  и  не равен 90°,  векторы  не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.   Пример 3. Продолжим  исследование движения диска (пример 2). Модуль  угловой  скорости   Значит  вектор  вместе с осью P,  которая  всегда  проходит  через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора  движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоро­стью ω0. Поэтому  угловое  ускорение  диска   Откладывается вектор   из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 23). Рис.23   Найдём ускорение точки В. Ускорение . Направлен вектор  перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1y. Ускорение  Вектор  направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора  найдём с помощью проекций на оси x, y, z: Значит   Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса. Дано: ω=20 рад/с , N=10 об. Найти: ε-? Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φо+ωоt+εt2/2 и ω= ωо+εt. По условию ωо=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt2/2  и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω2/4πN=3,2 рад/с.   Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с2 (рис.24). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. Дано:  R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с2 Найти: ω-? v -? aτ -?  a -? Рис.24   Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ωо+εt. По условию  ωо=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с. 2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды  v = 3,14 м/с. 3) Тангенциальное ускорение aτ=𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае aτ=0,314 м/с2. 4) Нормальное ускорение an=ω2R=ε2t2R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c an=0,986м/с2. 5) Полное ускорение растет со временем по закону:    При t=1 c   a=1,03 м/с2. 6) Имеем , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =aτ - полное ускорение направлено по касательной. При t=∞  a = an (так как aτ=const  и an пропорционально времени), т.е. при t=∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα=aτ/an=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17о46’.   Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением ε= 3 рад/с2. Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения? Сколько оборотов N оно при этом совершит? Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений В начальный момент тело покоилось, значит, ω0=0.  Тогда Следовательно,  ω=εt=3∙3=9 рад/с. Количество оборотов   Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n0=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением ε он двигался? Решение. Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений  Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим   из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n0=900 об/мин = 15 об/с,  получим Время движения равно   Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ=5 см/с2. Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального? Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения  ω=ω0+εt. Так как ω0=0, то ω=εt. Нормальное ускорение an=ω2R=(εt)2R. Тангенциальное ускорение aτ=εR. По условию задачи an=2aτ, тогда (εt)2R=2εR, следовательно, εt2=2 и     Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 м/с. Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения. Отсюда, Тогда тангенциальное ускорение aτ=6∙Ct=6∙0,1∙10-2∙10=0,06 м/с2. Нормальное ускорение  Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение aτ = 1 м/с2. Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения. Рис.25   Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид  (м). Это позволяет найти длину пути  м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s1=2πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции ,  φ=2 (рад) = 114,70. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол φ. Линейная скорость точки v=v0+aτt=3+1∙2=5 м/с. Угловая скорость ω=vR=5∙4=20 рад/с. Нормальное ускорение Полное ускорение  Модуль полного ускорения Угловое ускорение    Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с2. Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между  вектором  полного ускорения автомобиля на повороте и вектором  его скорости.  Каковы  угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот? Рис.26   Решение. Зная скорость автомобиля v=36 км/ч =10 м/с, найдем его нормальное ускорение Полное ускорение автомобиля  Угловое ускорение Угловая скорость Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол α, дополняющий искомый угол до 1800.   Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2,  точки, лежащей на расстоянии r =5 cм ближе к оси колеса. Дано: v2=2,5v1,  r=R-5 Рис.27   Решение. 1)   У точек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей: т.к. ω1=ω2, приравниваем правые части  уравнений: Решим уравнение относительно R: Ответ: Радиус вращающегося колеса равен 8,33 см.   Пример 13. На рис.28 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.   Рис.28   Решение. Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис.28.1 и рис.28.3 он направлен вверх, на рис.28.2 и рис.28.4 - вниз. При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.28.2 и рис.28.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно.   Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.29. Рис.29   Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке. Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение ε=dω/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением. Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение (вспомните геометрический смысл производной) отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением (оба вектора - и угловая скорость, и угловое ускорение направлены в одну сторону).   Пример 15. Скорость точки, движущейся по кривой, уменьшается по модулю. На каком рисунке, показанных на рис.30 правильно показан вектор полного ускорения? Рис.30   Решение. При движении по криволинейной траектории скорость изменяется по величине и направлению. Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна (как на рис.30.1) Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории (как на рис. 30.3) Вектор полного ускорения  правильно изображен на рис.30.2.   Пример 16. Угловая скорость точки, движущейся по окружности, изменяется по графику, изображенному на рис.31. Как изменяется со временем угол между векторами ускорения и скорости? Рис.31   Решение. Согласно графику угловая скорость линейно возрастает. Угловое ускорение по определению равно производной угловой скорости по времени ε=dω/dt. Производная линейной функции постоянна, поэтому угловое ускорение не изменяется. Запишем выражения, связывающие составляющие ускорения с угловыми величинами:  Следовательно, тангенциальное ускорение не изменяется по величине в процессе движения, а нормальное ускорение возрастает. Построим векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорений. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Направление вектора ускорения рассматривалось ранее.   Рис.32 Из рис.32 видно, что угол α между векторами скорости и ускорения возрастает.   Пример 17. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент времени t = 0 скорость точки равна v0. Найти скорость и ускорение точки как функцию времени. Решение. Установим уравнения, связывающие аn и аτ. По условию задачи модули нормального и тангенциального ускорений совпадают: |an|=|aτ|. Нормальное ускорение всегда положительно. При замедленном движении приращение скорости отрицательно. С учетом этих замечаний система уравнений принимает вид аn=-аτ,                                      (1) Подставляя (2) и (3) в (1), приходим к уравнению с разделяющимися переменными: Разделяя переменные v и t, получаем Интегрируем в пределах от t = 0, v = v0 до t и v(t) в результате имеем: Из этого соотношения находим искомую зависимость скорости от времени Подставляем v(t) в формулу (2) Учитывая, что an=-aτ и , получаем зависимость полного ускорения от времени:   Пример 18. Материальная точка движется по окружности радиуса R так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением φ=αt3. Найти полное ускорение точки как функцию времени. Решение. Решим задачу двумя способами. 1 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия. 2 способ. Выпишем формулы соответствующие данному способу. Выполним указанные в формулах математические действия.   Пример 19. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением ε=2 рад/с, имеет в момент времени t1=2,5 с угловую скорость ω1=40 рад/с (рис.33). Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения в момент t2=7 с; 2) число оборотов N тела за время t3=10 с; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота φ0=0. Рис.33   Решение. 1. При равноускоренном вращении угловая скорость тела изменяется по закону Зная значение угловой скорости ω1 в некоторый момент времени t1 и угловое ускорение ε, можно найти начальную угловую скорость ω0 (при t0=0): Отсюда угловая скорость тела в момент времени t2=7 с будет равна Скорость v и ускорение a точки М тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения, в момент времени  t2 = 7 c будут равны: Направление векторов скорости и ускорений указаны на рис. 33. Число оборотов тела за время t3=10 с определим по соотношению где n(t) – число оборотов тела за секунду в данный момент времени. В рассматриваемой задаче  Уравнение вращательного движения тела φ=φ(t) получим из соотношения , умножив обе его части на дифференциал времени dt: . Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий (t0=0, φ0=0): получим Лекция 3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Плоскопараллельное движение твердого тела. 2. Уравнения плоскопараллельного движения. 3. Разложение движения на поступательное и вращательное. 4. Определение скоростей точек плоской фигуры. 5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела. 6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. 7. Решение задач на определение скорости. 8. План скоростей. 9. Определение ускорений точек плоской фигуры. 10. Решение задач на ускорения. 11. Мгновенный центр ускорений. Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».     Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 1). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.                       Рис.1                                            Рис.2   Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П (рис.2). При плоскопараллельном движе­нии все точки тела, лежащие на прямой ММ’, перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно. Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху. Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис.1). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты xA и yA  точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом. При движении фигуры величины xA и yA  и  будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твер­дого тела. Первые два из уравнений движения  определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А.  Третье уравнение определяет движе­ние, которое фигура совершала бы при  и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фи­гуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из по­ступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками рассматривае­мого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , а также угловая скорость  и угловое ускорение  враща­тельного движения вокруг полюса.   Определение скоростей точек плоской фигуры Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью  полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически  из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений. В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором  (рис.3), где - радиус-вектор полюса А, - вектор, определяю­щий положение точки М  относительно осей , перемещающих­ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда В полученном равенстве величина  есть скорость полюса А; величина же  равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что . Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А: , где ω - угловая скорость фигуры. Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости  находятся построением соответствующего параллело­грамма (рис.4).                                        Рис.3                                                               Рис.4   Теорема о проекциях скоростей двух точек тела Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­жущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых мето­дов определения скоростей точек фигуры (или тела). Рис.5   Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.5), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор  перпендику­лярен АВ, находим и теорема доказана.                         Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей. Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Легко   убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости  и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору  и Вb к вектору , и будет мгновенным центром скоростей  так как . В  самом  деле,  если  допустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор  должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю. Рис.6   Если теперь в момент времени  взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры  определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом Из равенств, следует еще, что   точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС. Полученные результаты приводят к следующим выводам. 1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей  и  каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям). 2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к   и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению   определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость  любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор  перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры. 3. Угловая скорость  плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р: Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей. а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу. б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна  (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что   т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость  тела в этот момент времени, как видно равна нулю.              Рис.7             Рис.8   в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р  надо кроме направлений знать еще и модули скоростей . г) Если известны вектор скорости  какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к  (рис.8,б), можно найти как .   Решение задач на определение скорости. Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачи  и следует начинать решение. Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость. Пример 1.  Тело,  имеющее  форму  ка­тушки, катится своим средним цилиндром по неподвиж­ной плоскости так, что  (см). Радиусы цилин­дров: R = 4 см  и  r = 2 см (рис.9).    . Рис.9   Решение. Определим  скорости  точек  А,В  и  С. Мгновенный  центр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью. Скорость  полюса С       . Рис. 9.23. .   Угловая скорость катушки Скорости точек  А  и  В  направлены  перпендикулярно  отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:                                 Пример 2. Колесо радиуса R = 0,6 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути (рис.9.1); скорость его центра С постоянна и равна vc= 12 м/с. Найти угловую скорость колеса и скорости концов М1, М2, M3, М4 вертикального и горизонтального диаметров колеса. Рис.9.1   Решение. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Мгно­венный центр скоростей колеса находится в точке М1 контакта с горизонтальной плоскостью, т. е. Угловая скорость колеса Находим скорости точек М2, M3 и М4   Пример 3. Ведущее колесо автомобиля радиуса R = 0,5 м катится со скольжением (с буксованием) по прямолинейному участку шоссе; скорость его центра С постоянна и равна vc = 4 м/с. Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р на расстоянии h = 0,3 м от плоскости качения. Найти угловую скорость колеса и скорости точек А и В его вертикального диаметра.   Рис.9.2   Решение. Угловая скорость колеса Находим скорости точек А и В   Пример 4. Найти угловую скорость шатуна АВ и скорости точек В и С кривошипно-шатунного механизма (рис.9.3,а). Дана угловая скорость кривошипа OA и размеры: ωОА = 2 с-1, OA = АВ = 0,36 м, АС= 0,18 м. а)                б)  Рис.9.3   Решение. Кривошип OA совершает вращательное движение, шатун АВ - плоскопараллельное движение (рис.9.3,б). Находим скорость точки А звена OA Скорость точки В направлена по горизонтали. Зная направление скоростей точек А и В шатуна АВ, определяем положение его мгновенного центра скоростей - точку РАВ. Угловая скорость звена АВ и скорости точек В и С:   Пример 5. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле  скорость  (рис.10). Длина стержня AB=l. Определим скорость конца А и угловую скорость стержня. Рис.10   Решение. Нетрудно определить направление век­тора  скорости  точки  А, скользящей по вер­тикальной  прямой. Тогда   находится на пересечении перпендикуляров  к   и   (рис. 10). Угловая скорость Скорость точки А: Рис. 9.24. .   А ско­рость центра стержня С, например,  направлена  перпендикулярно   и  равна: План скоростей. Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.11). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить  их  концы  прямыми,  то получится  картинка,  которая  называется планом скоростей. (На рисунке  ). Рис.11   Свойства  плана скоростей. Рис. 9.26.   а)  Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярны  соответствующим  прямым на плоскости тела. Действительно, . Но на плане скоростей . Значит  причём   перпендикулярна  АВ, по­этому и .  Точно так же   и . б) Стороны  плана скоростей  пропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела. Так  как  , то отсюда  и следует, что стороны  плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела. Объединив  оба  свойства,  можно  сделать вывод,  что план скоростей подобен  соответствующей  фигуре  на  теле и повёрнут относительно её на 90˚ по  направлению  вращения.  Эти  свойства  плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.   Пример 6. На  рис.12 в  масштабе  изображён  механизм. Известна угловая скорость  звена ОА. Рис.12   Решение. Чтобы построить план ско­ростей  должна  быть  известна скорость  какой-нибудь  одной точки  и  хотя  бы  направление вектора  скорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А:  и направление  её  вектора . Рис.13       Откладываем (рис.13) из точки о в масштабе  Известно направление  вектора  скорости  ползуна  В – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О  прямую I по  направлению скорости , на которой  должна  находиться  точка  b, определяющая скорость этой точки В. Так  как  стороны  плана  скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям  механизма,  то  из  точки   а  проводим  прямую  перпендикулярно АВ  до  пересечения  с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям  механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить аb пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости  (если с соединить с точкой О). Скорость  точки  Е  равна  нулю, поэтому  точка е на плане скоростей  совпадает с точкой О. Далее.  Должно  быть   и . Проводим эти прямые, находим  их  точку  пересечения  d.  Отрезок  оd  определит  вектор  скорости .   Пример 7. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип OA см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω = 4 с-1 и при помощи шатуна АВ = 20 см приводит во вращательное движение кривошип ВС вокруг оси С (рис.13.1,а). Определить скорости точек А и В, а также угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВС.   а)       б) Рис.13.1   Решение. Скорость точки А кривошипа OA Взяв точку А за полюс, составим векторное уравнение где    Графическое решение этого уравнения дано на рис.13.1,б (план скоростей). С помощью плана скоростей получаем Угловая скорость шатуна АВ Скорость точки В можно найти с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую В заключение найдем скорость точки В с помощью мгновенного центра скоростей РAB шатуна АВ. Зная направления скоростей точек А и В   находим положение точки  PAB. Угловая скорость шатуна АВ Скорость точки В и угловая скорость кривошипа СВ   Определение ускорений точек плоской фигуры Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором  где . Тогда В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение  полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение ,  которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно, . Значение , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как где  и  - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а  - угол между вектором  и отрезком МА (рис.14). Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения  какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23). Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображен­ного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо бу­дет находить значение угла , а затем - угла между векторами  и ,  Поэтому при решении задач удобнее вектор   заменять его касательной  и нормальной  составляющими и пред­ставить в виде . При этом вектор  направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор  всегда направлен от точки М к полюсу А (рис.15). Численно же . Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­жно тоже представить как сумму касательной   и нормальной  составляющих, тогда .               Рис.14                                                             Рис.15   Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то можно заменить суммой .   Решение задач на определение ускорения Ускорение любой точки плоской фигуры в данный  момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости   и ускорения  какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­статочно знать положение мгновенного центра скоростей. Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры): 1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры. 2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры. 3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения. 4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения. 5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению. 6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений. При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»: «Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны». Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны  и  – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускорения  этого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.  Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры: 1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела. 2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже). 3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.     Пример 8. Диск катится без скольжения по прямой. Центр его С имеет скорость  и ускорение  (рис. 16). Найдем ускорение точки А. Рис.16   Решение. Угловую скорость находим с помощью мгновенного центра скоростей: Угловое ускорение при таком движении можно найти как производную от угловой скорости. Имея в виду, что , а точка С движется по прямой, получим                   Если С – полюс, то , где . Величину  ускорения  найдём  с помощью проекций на оси х и у: Рис. 9.30.   Тогда . Ускорение мгновенного центра скоростей ,  где .  И, так как , ускорение    и  . Таким  образом,  ускорение  мгновенного  центра  скоростей  не равно нулю.   Пример 9. Вернёмся к примеру 5 (рис. 17).  Рис.17   Решение. Найдём  ускорение точки А, полагая  т.е.  Имеем: ,               (1) Где ,  но направление  вектора  неизвестно, неизвестно и угловое ускорение .    Предположим,  что  вектор  направлен перпендикулярно АВ, влево. Ускорение , конечно, направлено по траектории прямолинейного движения точки А, предположим вниз. Спроектируем векторное равенство (1) на оси х и у, получим:    и    . Из второго уравнения сразу находим ускорение точки А Положительное значение   указывает на то, что направление вектора  выбрано правильно. Из  первого  уравнения  можно  найти  ускорение  и угловое ускорение   (направления  и  также угаданы верно).   Мгновенный центр ускорений. При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение  какой-нибудь точки А фигуры и величины  и , следующим путем: 1) находим значение угла , из формулы ;                 2) от точки А под углом , к вектору   проводим прямую АЕ (рис.18); при этом прямая АЕ должна быть отклонена от  в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ; 3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный                   Рис.18   Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что , где численно . Подставляя сюда значение AQ  находим, что . Кроме того, вектор  должен образовывать с ли­нией AQ угол , следовательно, вектор  параллелен , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому  и  .                Если точку Q выбрать за полюс, то так как , ускорение любой точки М тела, будет При этом численно Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.19. Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.20), причем скорость его центра С постоянна (), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р (), но при этом, как было показано ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.                                               Рис.19                                                                Рис.20   Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси. Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.   Лекция 4. Сложное движение точки и тела В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: 1. Сложное движение точки. 2. Относительное, переносное и абсолютное движения. 3. Теорема сложения скоростей. 4. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. 5. Сложное движение твердого тела. 6. Цилиндрические зубчатые передачи. 7. Сложение поступательного и вращательного движений. 8. Винтовое движение.           Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики плоского движения твердого тела, динамики относительного движения материальной точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».   Сложное движение точки. Относительное,  переносное и абсолютное движения. До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше­нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не­обходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно  по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвиж­ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом  точкой (или телом), называют со­ставным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу­щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе­регу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не­подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Рис.1   Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно  системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется отно­сительно другой системы отсчета O1x1y1z1, которую называем основ­ной или условно неподвижной (рис.1). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по­казанным. Введем следующие определения. 1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи­тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении  и  можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как непод­вижные). 2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­шению к неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М пере­носным движением. Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом, Если представить себе, что относительное движение точки про­исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М. 3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекто­рией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ). В приведенном выше примере движение шара относительно палу­бы парохода будет относительным, а скорость - относительной ско­ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его пере­носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной ско­ростью шара. При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение. Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное  движение  станет  абсолютным. И наоборот, если остановить относительное  движение,  переносное станет абсолютным  и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение. В  последнем  случае,  при  определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение,  от того, где  точка  находится  на  среде  в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.   Teopeмa сложения скоростей. Пусть некоторая точка М со­вершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая са­ма движется произвольным образом по отношению к неподвижной систе­ме отсчета O1x1y1z1, (рис.2). Конечно, абсолютное  движение  точки  М определяется  уравнениями Относительное движение – в движущихся осях уравнениями      Рис. 10.3.    Уравнений,  определяющих   переносное  движение  точки,  не может быть  вообще.  Так  как, по определению, переносное движение точки М – это  движение  относительно  неподвижных  осей  той  точки  системы O1x1y1z1,  с  которой  совпадает точка  в данный момент. Но все точки подвижной сис­темы движутся по-разному. Поло­жение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором , проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов  подвижных осей Оx, Oy, Oz.  Рис.2   Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения  со скоростью  точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью . Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора  и направления единичных векторов  изменяются. Если векторы  заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета  вполне определено. Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором  , где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор  задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано. Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O1x1y1z1, может быть определено радиусом-вектором . Из рис.2 видно, что .                                           (1) Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы  определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета,  также надо считать заданным. Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора  точки M по времени t Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим                 Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета Каждая из групп слагаемых, обозначенных через  и , представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей и . Скорость , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы  остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость  представляет собой относительную скорость точки М. Скорость  вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость  представляет собой переносную скорость точки М. Итак,   .                                                                 (5) Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.   Пример 1. Колечко М  движется по вращающемуся  стержню (рис.3) так, что OM=s=3t2 (см)  и   (рад). Рис.3   Ранее  было установлено, что тра­ектория  относительного  движения – прямая  линия,  сов­падающая  со стерж­нем,  и движение  это  определяется уравнением s=s(t). Траектория  пе­реносного   движения  точки  М в мо­мент  времени  t – окружность радиуса OM=s. Поэтому  относительная  ско­рость . И  направлена  по ка­сательной к траектории вдоль  стержня (рис.3). Переносная скорость колечка,  как  при вращении вокруг оси, . Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню. Абсолютная  скорость  колечка .  Величина ее,  т.к.  . .   Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса. Ускорение составного движения точки М, или абсолютное ускорение этой точки, равно, очевидно, производной от абсолютной скорости точки М по времени t Поэтому, дифференцируя равенство по времени, получим Разделим слагаемые правой части этого равенства  на три группы. К первой группе отнесем слагаемые, содержащие только производные от относительных координат x,y и z, но не содержащие производные от векторов : Ко второй группе отнесем слагаемые, которые содержат только производные от векторов , но не содержащие производных от относительных координат x,y,z: Осталась еще одна группа слагаемых, которые не могли быть отнесены ни к первой, ни ко второй, так как они содержат производные от всех переменных x, y, z, . Обозначим эту группу слагаемых через : Каждая из выделенных групп представляет собой, по крайней мере по размерности, некоторое ускорение. Выясним физический смысл всех трех ускорений: . Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется так, как если бы относительные координаты x,y,z изменялись с течением времени, а векторы  оставались неизменными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы покоилась, а точка М двигалась. Поэтому ускорение представляет собой относительное ускорение  точки М. Так как ускорение (и скорость) относительного движения вычисляется в предположении, что подвижная система отсчета находится а покое, то для определения относительного ускорения (и скорости) можно пользоваться всеми правилами, изложенными ранее в кинематике точки. Ускорение , как это видно из равенства, вычисляется в предположении, что сама точка М покоится по отношению  к подвижной системе отсчета Oxyz (x =const, y =const, z =const) и перемещается вместе с этой системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1. Поэтому ускорение  представляет собой переносное ускорение точки М. Третья группа слагаемых определяет ускорение , которое не может быть отнесено не к относительному ускорению , так как содержит в своем выражении производные   не к переносному ускорению , так как содержит в своем выражении производные . Преобразуем правую часть равенства, припомнив, что Подставляя эти значения производных в равенства, получим или   Здесь вектор  есть относительная скорость  точки М, поэтому Ускорение  называют ускорением Кориолиса. Ввиду того, что ускорение Кориолиса появляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его называют еще поворотным ускорением. С физической точки зрения появление поворотного ускорения точки объясняется взаимным влиянием переносного и относительного движений. Итак, ускорение Кориолиса точки равно по модулю и направлению удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Равенство, которое теперь можно сокращенно записать в виде представляет теорему сложения ускорений в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускоре­ний. Эту теорему часто называют теоремой Кориолиса. Из формулы следует, что модуль поворотного ускорения будет где  - угол между вектором и вектором . Чтобы определить направление поворотного ускорения , нужно мысленно перенести вектор  в точку М и руководствоваться правилом векторной алгебры. Согласно этому правилу, вектор  нужно направлять перпендикуляр­но к плоскости, определяемой векторами   и , и так, чтобы, смотря с конца вектора , наблюдатель мог видеть кратчайший поворот от  к  происходящим против движения часовой стрелки. Для определения направления  можно также пользоваться следующим правилом Н. Е. Жу­ковского: чтобы получить направление поворот­ного ускорения , достаточно составляющую  относительной скорости  точки М, перпенди­кулярную к вектору ,  повернуть (в плоскости, перпендикулярной к вектору ) на прямой угол вокруг точки М в направлении переносного вра­щения (рис.4).   Рис.4   Если переносное движение подвижной систе­мы отсчета есть поступательное движение, то =0  и поэтому поворотное ускорение  точки также равно нулю. Поворотное ускорение равно, очевидно, нулю и в том случае, когда    в данный момент времени обращается в нуль. Кроме того, поворотное ускорение точки может, очевидно, обращать­ся в нуль, если: а) вектор относительной скорости   точки параллелен вектору уг­ловой скорости   переносного вращения, т.е. относительное движение точки происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения; б) точка не имеет движения относительно подвижной системы от­счета или относительная скорость   точки в данный момент времени равна нулю ().   Пример 2. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z. По поверхности его движется точка М (рис. 5). Конечно, скорость этого движения точки – относительная скорость , а скорость  вращения тела – угловая скорость переносного движения . Ускорение Кориолиса , направлено перпен­дикулярно этим двум векторам, по правилу направления вектора век­торного произведения. Так, как пока­зано на рис. 5. Рис.5   Нетрудно сформулировать более удобное правило определения  направ­ления вектора :  нужно спроектировать вектор относитель­ной ско­рости  на плоскость перпендикуляр­ную оси переносного вращения и за­тем повер­нуть эту проекцию на 90 градусов в плоскости по направлению переносного вращения. Конечное положение проекции вектора  укажет направление кориолисова ускорения. (Это правило было предложено Н.Е. Жуковским).   Пример 3. (Вернемся к примеру 1). Найдем абсолютное ускорение колечка М: .                                  (6) Переносное ускорение при движении колечка по окружности радиусом OM=s:, где .  Значит    (рис.6).   Рис.6   Относительное   ускорение . Ускорение Кориолиса . Вектор  направлен перпендикулярно стержню в сторону вращения (по правилу Жуковского). Рис. 10.7.   Величину абсолютного ускорения колечка М найдем с помощью проекций на подвижные оси x1 и y1 проектируя равенство (6) на оси, получим:   Тогда    Сложное движение твердого тела. Так  же  как  при сложном  движении  точки  нередко и движение тела можно  рассматривать  как  сумму  нескольких движений. Например, со­стоящее из двух поступательных движений или поступательного движения и  вращения  в округ оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений  вокруг  осей  или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование  движения  точек  принадлежащих  телу,  совершаю­щему сложное движение, можно проводить методами, изложенными выше и никаких особых трудностей не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает неко­торые особенности, которые следует рассмотреть специально.   1. Сложение вращений тела вокруг двух осей На рис. 7 изображено тело, которое со­вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не­подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на­звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна­чить . Рис.7   Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет  больший  размер,  то его точка, совпа­дающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и от­носительного вращения изображается  векто­рами  и , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответст­вующим осям. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором  (рис.7). Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: . Но  относительное  движение точки (ис­пользуя  правило остановки), есть вращение с угловой скоро­стью    вокруг  оси  , определяется радиусом-вектором. Поэтому, . Рис. 11.1.   Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя  правило  остановки, тоже  есть вращение, но вокруг оси   с угловой скоростью  и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость r. Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом  движении,  определяется  аналогично ,  где  - абсолютная  угловая  скорость,  направленная по мгновенной оси вращения Р. По  формуле  сложения  скоростей  получим:  или . Отсюда               То есть мгновенная  угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис.7). Частные случаи: 1. Оси вращения  и  параллельны, на­правления  вращений одинаковы (рис. 8). Рис.8   Так как векторы  и  параллельны и направлены  в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей  и вектор ее направлен  в туже сторону.  Мгновенная ось вращения Р делит рас­стояние между осями на части обратно  пропорциональные  и : .  (аналогично  равнодействующей параллельных сил). В  этом частном слу­чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей  находится на оси Р. 2. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны (рис.9). Рис.9   В  этом  случае  (при ).  Мгновенная  ось  вращения   и  мгновенный  центр  скоростей  находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что  (опять по аналогии   определения равнодействующей  параллельных сил). 3. Оси  вращения  параллельны,  направления  вращений  противоположны и угловые скорости равны. Угловая скорость абсолютного движения  и, следовательно, тело  совершает  поступательное  движение.  Этот  случай  называется  парой вращений, по аналогии с парой сил.   Пример 4. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью  (рис.10). Рис.10   Горизонтальная  ось  –  это  ось относительного  вращения ;  вертикальная ось – ось  переносного  вращения . Соответственно угловые скорости  векторы их направлены по осям  и . Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как , . Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относи­тельной скоростей:   ,   где   и , или как при абсо­лютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, . Вектор  скорости   будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору  и оси Р.   Пример 5. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и  заставит  вращаться  колесо 3. Найдем угловую скорость ,  этого  колеса. Радиусы колес R1, R2, R3 (рис.11). Рис.11   Колесо 3 участвует в  двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно  оси O1. Ось О будет переносной осью, ось O1 –  относительной. Переносная  угловая  скорость колеса 3 – это  угловая скорость водила  ,  направленная по часовой стрелке, как . Чтобы  определить  угловую  скорость  относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся  против  часовой  стрелки  со  скоростью   (рис. 12),  а  колесо  3 – вращающимся  с  относительной   угловой   скоростью ,  против  часовой  стрелки. Так как , то . Оси вращения   параллельны,  направления  вращений  противоположны.  Поэтому  и направлена так же как , против  часовой  стрелки. В частности, если  R3=R1,  то    и .  Колесо 3 будет двигаться поступательно. Рис.12   Исследование движения других подобных конст­рукций (планетарных и дифференциальных редукто­ров,  передач)  ведется аналогичным способом. Переносной  угловой  скоростью  является  угловая  скорость  водила (рамки,  крестовины  и т.п.),  а  чтобы определить относительную скорость какого-либо  ко­леса,  нужно  водило остановить, а неподвижное колесо за­ставить  вращаться  с угловой  скоростью  водила,  но в противоположную сторону. Угловые  ускорения  тела  в абсолютном  движении можно искать как производную , где . Покажем (рис.13) единичные векторы   и  (орты  осей   и  ),  а  векторы   угловых  скоростей  запишем так:   .  Тогда    и  угловое  ускорение, при , Рис. 11.7.   Здесь Поэтому     или      и   ,                           где  – угловое ускорение переносного вращения;  – угловое ускорение относительного  вращения;  – добавочное  угловое  ускорение, которое   определяет  изменение  относительной   угловой  скорости   при  переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осям  и ,  как скорость конца вектора . Модуль  добавочного углового ускорения , где  - угол между осями. Конечно, если оси  вращения  параллельны, это  угловое  ускорение  будет равно нулю, так как . Рис.13   2. Общий случай движения тела Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе с произвольно  выбранным  полюсом  С  и вращения  вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С:   А  второе  движение – уравнениями  вращения  вокруг точки С  с помощью углов Эйлера:   Скорости  и  ускорения  точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются  такими же методами, как при сложном движении точки (см. раздел выше).   3. Цилиндрические зубчатые передачи. Рассмотрим основные виды этих передач. 1. Рядовой назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в по­следовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, ко­лесо 1 на рис.14) является ведущим, а остальные ведомыми.   Рис.14   В случае внешнего (рис.14,а) или внутреннего (рис.14,б) зацепления двух колес имеем , так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая, что число z зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения колес происходят при внутреннем зацеплении в одну сторону, а при внешнем в разные, получаем При внешнем зацеплении трех колес (рис.14, в) найдем, что Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой пере­даче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиу­сов промежуточных (паразитных) шестерен. Из полученных результатов следует, что при рядовом сцеплении шестерен где k - число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис.14,а  имеется одно внешнее зацепление; на рис.61, в - два внешних зацепления, на рис.14,б внешних зацеплений нет).     Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина , дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого: = 2. Планетарной называется передача (рис.15), в которой шестерня 1 неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеп­лении,  укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни.                                                                     Рис.15   3. Дифференциальной называется передача, изображенная на рис. 62, если в ней шестерня 1 не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, со­общив мысленно всей неподвижной плоскости Ах1y1  вращение с угловой скоростью - , равной по модулю и противополож­ной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или ме­тод Виллиса). Тогда кривошип в этом сложном движении бу­дет неподвижен, а любая шестерня радиуса  будет иметь угловую скорость , где  - абсолютная угловая скорость этой шестерни по отношению к осям Ах1y1 (рис.15). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между  можно будет определить, приравнивая скорости точек сцепления. Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей.   4. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение. Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью  и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси Аа (рис.16), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы v и  направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения  винт будет правым; если в разные стороны, - левым.  Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величи­ны v и  постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо­значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае  и , откуда h=2πv/ω.   Рис.16   При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящей­ся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной ско­рости  и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна . Следовательно, . Направлена скорость  по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии, обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом .   Методические рекомендации по решению задач Рассматривается а) сложное движение одного тела, б) относительное движение нескольких тел. Требуется установить соотношения между скоростями (линейными и угловыми), а также ускорениями (линейными и угловыми), при сложном или относительном движении тел. Можно предложить следующий алгоритм  решения: 1) Изобразить (или при наличии некоторого опыта представить) тело или систему тел в двух состояниях. 2) Из рисунка найти связь между перемещениями - линейными и угловыми. 3) Продифференцировать полученное соотношение по времени и учесть определения скорости и ускорения (линейных и угловых).   Пример 6. На клин с углом наклона α положен брусок. Под действием силы тяжести брусок опускается со скоростью vб. Найти скорость клина.   Рис.17   Решение. 1) Под действием силы тяжести брусок движется вниз, вытесняя клин и заставляя его перемещаться вправо. Изобразим систему тел в двух состояниях (рис.18). Рис.18   2) Обозначим перемещение клина sк, а перемещение бруска sб. Из рисунка легко найти связь между ними: 3) Продифференцируем полученное соотношение по времени и учтем определение скорости В результате получим уравнения кинематической связи   Пример 7. На горизонтальной плоскости находится катушка, на которую намотана нить (рис.19). Радиус намотанного слоя ниток равен r, наибольший радиус катушки равен R. Свободный конец нити перемещают с ускорением aK.  Найти  ускорение  центра масс катушки aC и угловое ускорение ε, если катушка движется без проскальзывания. Рис.19   Решение. Решим задачу в соответствии с приведенным алгоритмом. 1. Изобразим катушку в двух состояниях. Рис.20   2. Из рисунка найдем связь между перемещениями. Пусть центр масс С переместился на расстояние sC. При этом точка А заняла нижнее положение, а радиус, соединяющий точки А и С повернулся на угол φ. При отсутствии проскальзывания длина дуги АМ равна перемещению центра масс. Учитывая связь между длиной дуги и углом φ, опирающимся на эту дугу, получаем Найдем перемещение конца нити К. При повороте катушки на угол φ точка В заняла верхнее положение, в результате чего свободная часть нити увеличилась на длину дуги sн = φ∙r. Следовательно, перемещение конца нити происходит, во-первых, за счет перемещения самой катушки, во-вторых, за счет увеличения свободного участка нити: 3. Дважды продифференцируем полученные соотношения по времени: и учтем определения ускорения В результате получим уравнения кинематической связи в виде Из этих соотношений выразим искомые величины через данные условия задачи:   Пример 8. В кулисном механизме при качании кривошипа ОС вокруг оси О, ползун А, перемещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К (рис.21). Расстояние OK=l. Определить скорость движения ползуна А относительно кривошипа ОС в функции от его угловой скорости со и угла поворота φ. Рис.21   Решение. Рассмотрим движение точки (ползуна А). Абсолютным дви­жением этой точки является прямолинейное движение по вер­тикали. Движение точки А вдоль кривошипа ОС, считая кривошип неподвижным, является относительным. Движение точки А вместе с кривошипом во вращательном движении вокруг оси О является переносным. Абсолютная скорость точки А Причем     Пример 9. Кривошип OA и кулиса 01В вращаются вокруг горизонтальных осей О и O1 (рис.22,а). Ползун А шарнирно скреплен с кривошипом OA и скользит в прорези кулисы О1В. Угловая скорость кривошипа ωOA = 4 c-1. Определить угловую скорость кулисы в указанном положении, если OA = 0,2 м.   а)              б) Рис.22   Решение. Абсолютное движение точки А - движение по окружности с центром в точке О. Разложим это движение на два движения. Движение точки А ползуна кривошипа вдоль прорези кулисы, считая кулису неподвижной, является относительным. Движение точки А ползуна кривошипа вместе с кулисой представляет собой переносное движение (как будто ползун А жестко связан с кулисой). Абсолютная скорость точки А (рис.22,б) Найдем абсолютную и переносную скорости точки А: Угловая скорость кулисы Относительная скорость точки А   Пример 10. Вдоль прорези диска радиусом R = 10 см движется ползун М, расстояние которого от центра диска изменяется по закону ОМ = х = (10t - 3t2) см. Диск вращается с постоянной угловой скоростью w = 2 с-1. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна при t1 = 4 с. Рис.23   Решение. Движение точки (ползуна M) по прорези диска, считая диск неподвижным, является относительным. Движение точки М вместе с диском во вращательном движении является переносным. Находим положение точки М на диске при  t1 = 4 с,  ОМ1 =х1 = х(t1) = 10t1 -3t12 = -8 см. Определяем абсолютную скорость точки М Найдем абсолютное ускорение точки М Ускорение Кориолиса Построим систему координат Оху . Вычислим проекции абсолютного ускорения точки М на эти оси координат в заданный момент времени t1 Абсолютное ускорение точки М   Пример 11. Точка М движется по ободу диска радиусом R=20 см согласно закону s = АМ = 6tsin(πt/3). Диск вращается вокруг неподвижной оси О1О2,  лежащей в плоскости диска, в направлении, указанном стрелкой, с постоянной угловой скоростью ω=0,5 рад/с. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1=5 с (рис.24).   Рис.24   Решение. В данной задаче относительное движение точки – движение по ободу диска относительной системы отсчета, связанной с диском; переносное движение – вращение вместе с диском вокруг неподвижной оси; абсолютное движение – движение точки относительно неподвижной оси. Определим параметры относительного движения точки: а) положение точки М в заданный момент времени t=5 с: Знак минус означает, что точка М в рассматриваемый момент времени находится в области отрицательных значений дуговой координаты s; б) определим центральный угол α и отрезок MN: в) найдем проекцию относительной скорости vотн точки М на касательную в данный момент времени (рис. 25). Рис.25   Определим модуль переносной скорости точки М как вращательной скорости той точки диска, где в данное мгновение находится точка М Вектор переносной скорости перпендикулярен плоскости диска и  направлен в сторону его вращения. Модуль абсолютной скорости точки М (рис. 25) найдем по формуле: Вектор абсолютной скорости направлен по диагонали прямоугольника, построенного на относительной и переносной скоростях как сторонах. Абсолютное ускорение  точки М равно (рис. 26) геометрической сумме относительного , переносного  и кориолисова  ускорений: , или с учетом условий задачи в развернутом виде где при t1=5 с касательное ускорение в относительном  движении: нормальное  ускорение в относительном движении: нормальное ускорение в переносном движении: кориолисово ускорение: Положительный знак  показывает, что вектор  направлен в сторону положительных значений S; вектор  направлен по нормали к траектории движения точки в относительном движении, т.е. по нормали к окружности радиусом MN к её центру, вектор  направлен согласно правилу векторного произведения векторов  и  (рис. 26).   Рис.26   Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекции на оси  х, у и  z (рис. 26): Направление вектора  определяется его углами с осями координат:   Пример 12. Кривошип ОА длиной R=64 см вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью ω=1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной L=72 см и ползун В. Для положения механизма, заданного значениями углов α=45°, β=30° найти скорость и ускорение ползуна В. Схема механизма приведена на рис. 27.   Рис.27   Решение. 1. Определим скорость точки А как вращательную вокруг неподвижной точки О по соотношению  Для определения скорости точки В найдем положение мгновенного центра скоростей Р, для чего покажем направление скоростей точек А и В, а затем из точек А и В восстановим перпендикуляры к их скоростям vA и vB. Точка пересечения перпендикуляров будет являться мгновенным центром скоростей Р (см. рис. 27). Рассмотрим движение шатуна в данный момент времени как вращательное относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р перпендикулярно неподвижной плоскости, по отношению к которой происходит плоское движение. Угловая скорость шатуна в этом случае определяется из соотношения , а скорость ползуна В как вращательная – из соотношения . Расстояния АР и BP определим из решения треугольника АВР, применив теорему синусов. Для заданного положения механизма получим откуда Подставив найденные значения расстояний в соответствующие формулы, получим  Направления скоростей показаны на рис.27. 2. Для определения ускорения ползуна B воспользуемся векторным равенством: где  – ускорение ползуна В;  – ускорение точки А, выбранной за полюс;  – осестремительное (нормальное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А;  – вращательное (касательное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А. Ускорение точки А кривошипа при равномерном вращении вокруг неподвижной оси О состоит только из осестремительной составляющей, модуль которой определяется формулой Вектор ускорения точки А направлен к оси вращения (рис.28), Осестремительное  ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:   Рис.28   Рассчитать вращательное ускорение  обычным способом не представляется возможным, так как величина углового ускорения звена АВ неизвестна. Несмотря на это обстоятельство, векторное равенство (1) позволяет найти ускорение ползуна В. Для этого воспользуемся тем, что нам известно направления вектора  (он перпендикулярен ускорению ) и вектора ускорения искомого ускорения  (вдоль прямолинейной траектории точки В). Проведем вектор ускорения  точки В, предполагая, что он направлен противоположно скорости точки В. Спроектируем векторное равенство (1) на ось u, перпендикулярную ускорению  и проходящую через точки А и В, получим    Отсюда Знак минус показывает, что истинное направление ускорения точки В противоположно принятому.