Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела

ЛЕКЦИЯ № 1 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1.1. Модели в механике. Система отчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей. Механика – часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение. В классической механике изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света с в вакууме. Она также называется механикой Галилея (итальянского физика и астронома (1564-1642 г.)) – Ньютона (английского ученого (16431727 г.)). Механика делится на три раздела: 1. кинематику 2. динамику 3. статику Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливают. Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение. Статика изучает законы равновесия системы тел. Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является материальная точка – тело, обладающее массой, размерами и формой. В механике сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек. Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т.е. изменять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель – абсолютно твердое тело. Абсолютным твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого при всех условиях остается постоянным. Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Движение тел происходит в пространстве и во времени. Пространство и время – основные понятия всех разделов физики. При параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат системы отсчета. Это свойство симметрии пространства называется однородностью пространства. Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени: если в любые два момента времени замкнутую систему поставить в совершенно одинаковые условия, то начинания с этих моментов времени все процессы в системе будут протекать совершенно одинаково. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать. Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не изменяются при ее повороте в пространстве как целого на любой угол, т.е. не зависят от выбора направления осей координат системы отсчета. Положение материальной точки определяется по отношению к какомулибо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом – вектором, проведенным из начала системы координат в данную точку (рис.1). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями х  х(t ) ; y=y(t); z=z(t), (1) эквивалентными векторному уравнению Рис.1 r  r (t ) (2) Уравнения (1) и (2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы (координаты x, y, z); если она движется по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если вдоль некоторой прямой, то одной степенью свободы. Исключая параметр t в уравнениях (1) или (2), получим уравнение траектории движения материальной точки. Траектория движения материальной точки – линия, которую описывает точка в пространстве при своем движении. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Путь S – длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени. Путь является скалярной функцией времени: ∆s = ∆s (t). Рис.2 Вектор r  r  r0 , соединяющий положения движущейся точки в начале и конце некоторого промежутка времени (приращение радиуса - вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением. При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения r равен пройденному пути s . Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина – скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени. 1.2. СКОРОСТЬ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиусвектор r 0 (рис.3). В течение малого промежутка времени ∆t Рис.3 точка пройдет путь ∆s и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение ∆r. Вектором средней скорости V называется отношение приращения r радиуса – вектора точки к промежутку времени ∆t:   r v  t (м/c) (3) Направление вектора средней скорости совпадает с направлением ∆ r . При неограниченном уменьшении ∆t: средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью V :    r dr v  lim  t 0 t dt Мгновенная скорость V , есть векторная величина, равная первой производной радиуса – вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости V направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис.3). По мере уменьшения ∆t: путь ∆s все больше будет приближаться к  r , поэтому модуль мгновенной скорости  v v  Таким образом,  lim t 0  r lim r lim s ds  t 0  t 0  , t t t dt модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени: v ds dt (4) При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. И пользуются скалярной величиной V – s t   Из рис. 3 вытекает, что v  v , так как s r , и только в случае  прямолинейного движения Δs = r . средней скоростью неравномерного движения: v  Если выражение ds = vdt проинтегрировать по времени в пределах от t до (t + Δt), то найдем длину пути, пройденного точкой за время ∆t: s t  t  vt dt (5) t В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно v(t) =v. Тогда выражение (5) примет вид: t  t s  v  dt  vt . t Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2 при t2 неравномерном движении, дается интегралом s   vt dt . t1 1.3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 4). Ее положение через промежуток времени ∆t зададим углом ∆φ. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются  или d  ). Модуль вектора d  равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении Рис.4 движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 4). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела:   lim t 0    d  t dt (6) Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор d  (рис.5). Размерность угловой скорости – радиан в Рис.5 секунду (рад/с). Линейная скорость точки (рис.4): v  lim t 0 s lim R R lim   t 0  t 0  R t t t (7) т.е. V=ωR – связь линейной скорости с угловой. В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:     v  R (8) При этом модуль векторного произведения, по определению, равен  R sin R , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к R . Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δt=T соответствует Δφ=2π, то ω=2π/T, откуда Т=2π/ω. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: n=1/T= ω/2π, откуда ω =2πn. В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки, направленная в сторону вогнутости траектории точки. 1.4. Ускорение поступательного движения Рассмотрим плоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор V задает скорость точки А в момент времени t. За время Δt движущаяся точка перешла в положение B и приобрела скорость, отличную от V как по модулю, так и направлению и равную V1  V  V . Перенесем вектор V 1 в точку А и найдем V (рис. 6). Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Δt называется векторная величина, равная  отношению изменения скорости v к интервалу времени Δt:   v . а  t Рис.6 Мгновенным ускорением (9)  a материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:    lim  lim v dv (10) a  t 0 a  lt 0  t dt  Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.  Разложим вектор v на две составляющие. Для этого из точки А (см.   рис. 6) по направлению скорости v отложим вектор AD , по модулю равный    v1 . Очевидно, что вектор CD , равный v определяет изменение скорости и  за время Δt по модулю: v  v1  v Вторая же составляющая v  вектора  v характеризует изменение скорости за время Δt по направлению. Тангенциальная составляющая ускорения a  lim t 0 v lim v dv  t 0  , t t dt (11) т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Δ s можно считать другой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и ЕAD следует vn AB  v1 r , но так как AB =VΔt , то v n vv1   . В пределе при t  0 получим v1  v .  t r   Поскольку v1  v , угол EAD стремится к нулю, а так как  треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и стремится к   прямому. Следовательно, при t  0 векторы v , и v n оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по  касательной к траектории, то вектор v n , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, an  равная: lim t 0 vn v 2  t r (12) называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальному зависимости нормальной   dv   a  a  an dt составляющих (рис. 7): В и от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение Рис.7 можно классифицировать следующим образом: 1) аτ = 0; an = 0 - прямолинейное равномерное движение; 2) aτ = a = const; an = 0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения: a  a  v v 2  v1 ,  t t 2  t1 Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скорость v1 = v0,то обозначив t2 = t и v2 = v, получим a = (v – v0)/t, откуда v  v0  at . Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения t t s   vdt   v0  at dt  v0 t  at 2 / 2 ; 3) aτ = f(t), an = 0 -прямолинейное движение с переменным ускорением; 4) aτ =0, an = const. При aτ = 0 скорость по модулю не изменяется, а v2 изменяется по направлению. Из формулы a n  следует, что радиус r кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным; 5) aτ = 0, а n  0 - равномерное криволинейное движение; 6) aτ = const, а n  0 - криволинейное равнопеременное движение 7) aτ = f(t), a n  0 - криволинейное движение с переменным ускорением. 1.5. Угловое ускорение Угловым ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твердого тела:  d .   dt  (13) При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору     (рис. 8), при замедленном – противонаправлен ему (рис. 9). Рис. 8 Рис. 9 Тангенциальная составляющая ускорения a  a  dv , так как v  R то dt d R  d R  R dt dt (14) v2  2R2 Нормальная составляющая ускорения a n     2 R (15) r R Таким образом, связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость V, тангенциальное ускорение aτ, нормальное ускорение an) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами: , V  R , an   2 R . a  R , В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const):   0   t , где  0 – начальная угловая скорость.    0t   t2 2 ,