Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки Система отсчёта – выбрано положительное направление отсчѐта x начало отсчѐта координаты и x Перемещение  x - вектор из точки xн в точку xк xк xн x x Скаляр перемещения  x  пр. x  xк  xн  x2  x1 Перемещение не зависит от смещения начала отсчѐта, но меняется на противоположное значение при смене положительного направления. Длина, расстояние  x  xк  xн   xк  xн  - не зависит от положения начала отсчѐта и выбора положительного направления 2 xк x xн x x x Равномерное движение x  const   x  v x  t t x (t )  x(t0 )  v x (t  t0 )  x (t )  x (t0 )  v x (t  t0 ) x(t ) - линейная функция времени v x  Vx  Геометрический смысл скорости и перемещения Скорость – угловой коэффициент v x  x наклона графика координаты t x (t ) Перемещение  x  vx  t – алгебраическая площадь под графиком скорости x (t ) vx t vx t0 t x x(t0 ) t t t0 t t Неравномерное движение Мгновенная скорость B2 x (t ) B3  x2 B1  x3  x1 A t0 t1 t3 t2 t3 t t2 t1  x1 на промежутке t1 - угловой t1 коэффициент наклона секущей (хорды) AB1 на графике x(t ) . Аналогично на участках t2 , t3 , … tn … Когда последовательность точек B1 , B2 , B3 … Bn приближается к точке A , в пределе секущие AB1 , AB2 , AB3 … ABn приближаются к … Средняя скорость vср  v  v  к касательной к графику x(t ) в точке A .  x dx Мгновенная скорость v(t )  lim   xt' - угловой коэффициент t 0 t dt наклона касательной к графику x(t ) = производная координаты по времени в точке t . Перемещение v (t ) v (t ) v2 v1 t1 t t2 t1 t2 t1 t1 t tn t2  x1  v1  t1 ...  x1  v1  t1  x2  v2  t2  x (t1 ; t2 )   x1   x2 v2 v1  xn  vn  tn  x (t1 ; t2 )   x1  ...   xn В пределе, когда все ti  0 , все средние скорости стремятся к мгновенным: lim vi  v(ti ) ti 0 Перемещение – алгебраическая площадь под графиком скорости = интеграл скорости по времени t2  x  lim  v(ti )  ti   v(t )  dt ti 0 t1 Частный случай неравномерного движения – равнопеременное движение, т.е. движение с постоянным ускорением. Ускорение – приращение скорости в единицу времени v a x  x  const  v x  a x  t t v (t )  v (t0 )  a (t  t0 )  v (t )  v (t0 )  a (t  t0 )  v0  a (t  t0 ) - линейный график скорости  квадратичный (параболический) график координаты a (t  t0 )2 x (t )  x (t0 )  v (t0 )(t  t0 )   2 a (t  t0 )2  x0  v0 (t  t0 )  2 v  a Ускорение – угловой коэффициент наклона линейного графика скорости (касательная совпадает с прямой) Приращение скорости v – алгебраическая площадь под av графиком ускорения x  v Мгновенная скорость – угловой коэффициент наклона касательной к графику координаты v  x Перемещение x (приращение координаты) - алгебраическая площадь под графиком скорости Ускорение a0 Горизонтальная прямая Графические связи Скорость Равномерное движение v  const Горизонтальная прямая Координата x(t )  x0  vt Наклонная прямая Равнопеременное движение v(t )  v0  at a  const  0 at 2 x(t )  x0  v0t  Горизонтальная прямая Наклонная прямая 2 Парабола Начальные условия Скорость по ускорению и координата по скорости определяются неоднозначно: только приращения v и x . Чтобы однозначно определить мгновенную скорость v(t ) и координату x(t ) в любой момент времени, надо ещѐ задать начальные условия – начальную скорость v(t0 )  v0 и начальную координату x(t0 )  x0 . Задача. По заданному графику ускорения построить графики скорости, координаты и пути. Начальная скорость v0  0 , начальная координата x0  1м . Лист А4 либо вертикальный разворот обычной тетради. a( v0  0 м ) 1 сек 2 x0  1 м t (сек ) 1 2 v( м ) 1 сек A 1 x(м) 0,5 1 S (м) 0,5 0  1 сек v  1  1  1 1  2 сек v  2  1  2 B 1 C 2 2  3 сек v  1  1  1 E 3 t (сек ) D 0  1 сек 1 1 x  1  1   2 2 1  1,5 сек 1 1 1 x  1    2 2 4 1,5  2 сек 1 1 1 x  ( 1)     2 2 4 0  1 сек 1 1 x  ( 1)  1    2 2 Преобразование Галилея – преобразование скоростей при переходе из одной инерциальной системы в другую. Положение, радиус-вектор материальной точки m в системе отсчѐта K r (t )   x(t ); y (t ); z(t )   x(t )  i  y (t )  jk  z(t )  k Вектор мгновенной скорости v (t )  (vx (t ); v y (t ); vz (t )) K' 𝑚 K r r' R O' v  v ' V v' V O r  r ' R v v '  v V Инерциальные системы отсчѐта (ИСО) движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, т.е. V  const . Инвариантами ИСО являются: а) относительная, т.е. взаимная, скорость двух частиц б) ускорение частицы a  a ' Поэтому во всех ИСО 2-й закон Ньютона F  ma не меняется. 2-й закон Ньютона ma  F  a  F a v  v  F t Задача N a1 T1 m1  a2 T3 mн Fтр T2 x2 m2 a2 m1 g T4 y1 N a1 Fтр T1 x1   T2 m2 g m1 g ma   Fi m1a1  m1 g  N  T1  Fтр (1) m2 a2  m2 g  T2 3-й закон Ньютона (2) T4  T2 Невесомый блок (без доказательства) T3  T1 Модель нити 1) Нить нерастяжимая (говорят, абсолютно упругая. Fупр  k   x; k    x  0 )  x1   x2 ; v1  v2 ; a1  a2  a 2) Нить невесомая. Предположим, mн  0 mн a2  mн g  T3  T4  mн g  (T1 )  (T2 ) Пусть mн  0  T3  ( T2 )  0  T3  T2  T2  T1  T Проекция (2) на x2 m2 a  m2 g  T (2-1) Проекция (1) на x1 m1a  T  Fтр  m1g  sin  (1-1) Проекция (1) на y1 (1-2) 0  N  m1 g cos  Модель трения Fтр   N (3)