Кинематический анализ плоских рычажных механизмов аналитическим методом

ТЕМА 2 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Движение звеньев механизма происходит в пространстве и во времени. Это движение можно исследовать с разных позиций. В кинематике изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. Важнейшими характеристиками движений являются траектории, скорости и ускорения точек и звеньев механизма, которые связаны с изменением времени. Если движение рассматривается в функции движения начальных звеньев, которым приписывают обобщенные координаты, то вводят кинематические передаточные функции (аналоги скоростей и ускорений), которые не зависят от времени, а являются важнейшей геометрической характеристикой механизма. В данной главе рассматриваются аналитический метод расчета (метод замкнутых векторных контуров) кинематических характеристик механизма шарнирного четырехзвенника, которые играют важную роль при расчетах на стадии проектирования машин разного назначения. 2.1 Цели и задачи кинематического анализа механизмов Целью кинематического анализа является изучение движения звеньев механизма по заданному движению начальных звеньев без учета сил, действующих на эти звенья. Движение звеньев в механизмах рассматривается только с учетом его структуры, геометрии и фактора времени. Механизм считается идеальным, состоящим из абсолютно жестких звеньев, зазоры в кинематических парах отсутствуют. Основные задачи кинематического анализа: 1) определение положений звеньев, включая и определение траекторий точек звеньев; 2) определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма; 3) определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма. При решении этих задач считаются известными законы движения начальных звеньев и кинематическая схема механизма, т. е. структурная схема механизма с указанием размеров, необходимых для кинематического анализа. Методы кинематического исследования механизмов: а) графический, б) аналитический; в) экспериментальный. К графическим методам относятся 1) метод построения планов скоростей и ускорений; 2) метод кинематических диаграмм. Вследствие неизбежных погрешностей графических методов расчета во многих случаях точность их оказывается недостаточной для практического использования полученных результатов. Кроме того, иногда необходимо производить анализ работы более детальный, чем тот, который может быть достигнут при графическом изображении результатов кинематического исследования. Аналитический метод позволяет получить любую заданную точность результатов и установить в аналитической форме функциональную зависимость кинематических параметров механизма от геометрических параметров звеньев, дает полное решение задачи, но отличается сложностью и трудоемкостью вычислений. Поэтому при кинематическом анализе аналитическим методом необходимо использовать компьютерные расчетные программы. При решении задач аналитически чаще всего используют 1) метод замкнутых векторных контуров, предложенный профессором В.А. Зиновьевым; 2) метод преобразования координат с использованием матриц. Метод замкнутых векторных контуров. Кинематический расчет начинают с составления уравнений для определения угловых координат всех звеньев и линейных координат характерных точек механизма. Угловые координаты выражаются в радианах, а линейные – в метрах. Эти уравнения выводятся из условия замкнутости всех замкнутых контуров механизма, рассматриваемых как векторные многоугольники. Определение аналогов угловых и линейных скоростей и ускорений звеньев и точек механизма сводится к дифференцированию по обобщенной координате составленных уравнений угловых и линейных координат, рассматривая их как сложные функции. Угловые и линейные координаты, аналоги угловых и линейных скоростей и ускорений звеньев и точек вычисляют обычно в пределах цикла работы механизма для ряда положений, что дает возможность построить траектории точек механизма, годографы аналогов скоростей и ускорений, а также графики перемещений, аналогов скоростей и ускорений, позволяющих произвести оценку работы механизма. Знание каждого из перечисленных кинематических элементов необходимо для практического использования при конструировании машин. Например, траектории некоторых точек механизма нужны для определения хода звеньев, установления очертания картеров и корпусов машин, а также для выяснения возможности свободного перемещения звеньев в любом из его положений и исключения столкновений с другими звеньями механизма и т. д. Необходимость вычисления сил инерции требует знания закона изменения ускорения, по которому может быть найдено наибольшее его значение. Таким образом, кинематический анализ механизмов должен производиться при расчете и конструировании машин либо для оценки качества работы механизмов, либо с целью получения необходимых данных (ускорения) для силовых расчетов. Кинематический анализ, кроме того, является большим подспорьем при синтезе механизмов. 2.2 Функция положения механизма При кинематическом исследовании механизмов скорости и ускорения выходных звеньев и точек удобнее выражать в зависимости от обобщенных координат. Вводятся понятия аналогов скоростей и ускорений, которые показывают изменение кинематических величин в зависимости от изменения положений входных звеньев механизма. В большинстве механизмов одна обобщенная координата – угол поворота кривошипа φ1. На рисунке 2.1 показаны входное звено 1 механизма с точкой В на нем и выходное звено номер k с точкой М на нем. Между этими звеньями располагаются промежуточные звенья, не указанные на рисунке. Положение входного звена 1 определяется угловой координатой φ1, а положение точки В – радиус – вектором . Положение звена k определяется углом φk, а положение точки М – радиус-вектором . Функцией положения механизма (рис. 2.1) называется зависимость координаты выходного звена от обобщённой координаты механизма . Рисунок 2.1 Функциональная зависимость угловой координаты произвольного звена (или линейных координат точки) от обобщённой координаты механизма называется функцией положения звена (или точки на нем). Функция положения произвольного звена п: . Функция положения произвольной точки М: . Функция положения является геометрической характеристикой механизма, независящей от времени. Для ее определения необязательно знать закон движения входного звена. Задание одного значения обобщенной координаты механизма вполне определяет функцию положения. Для шарнирного четырехзвенника (рис. 2.2) функция положения: Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.3) функция положения Рисунок 2.2 Рисунок 2.3 2.3 Аналоги скоростей и ускорений Аналогом угловой скорости звена k, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется первая производная от угла поворота звена по обобщенной координате механизма . Если угол поворота φk выходного звена k задан в виде функции положения , то угловая скорость этого звена может быть представлена , (2.1) где – угловая скорость входного звена. Аналогом углового ускорения звена k, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вторая производная от угла поворота звена (или первая производная от аналога угловой скорости) по обобщенной координате механизма . Дифференцируя уравнение (2.1) по времени t, получим величину углового ускорения выходного звена k: . Окончательно , (2.2) где – угловое ускорение входного звена. Аналогом скорости точки М называется первая производная радиуса – вектора точки М по обобщенной координате механизма . Скорость точки может быть найдена из равенства: . (2.3) Аналогом ускорения точки М называется вторая производная радиуса – вектора точки М ( или первая производная аналога скорости точки М) по обобщенной координате механизма . Дифференцируя уравнение (2.3) по времени, получим величину ускорения точки М выходного звена k: . Окончательно . (2.4) Из уравнений (2.1) – (2.4) видно, что скорости и ускорения точек звеньев механизма и угловые скорости и ускорения звеньев механизма можно определить через угловые скорость и ускорение входного звена механизма и соответствующие аналоги скоростей и ускорений, которые зависят только от обобщенной координаты механизма и не зависят от времени (от закона движения входного звена), то кинематическое исследование механизма можно вести чисто геометрическим путем. Аналоги линейных скоростей и ускорений являются величинами линейными, а аналоги угловых скоростей и ускорений – величинами безразмерными. На начальном этапе кинематического исследования обычно принимают угловую скорость кривошипа постоянной. Если , то , т. е. движение входного звена предполагается равномерным. Формулы для определения модулей скоростей и ускорений любого ведомого звена k и его любой точки М в этом случае будут: ; (2.5) ; (2.6) ; (2.7) . (2.8) 2.4 Определение координат звеньев и точек механизма Аналитическое исследование плоских механизмов удобнее всего вести методом замкнутых векторных контуров, подробно разработанным В.А. Зиновьевым [4]. Метод замкнутых векторных контуров состоит в том, что схема плоского рычажного механизма, располагаемая в прямоугольной системе координат, представляется как замкнутый многоугольник, состоящий в зависимости от сложности механизма из одного или нескольких замкнутых векторных контуров. Удобство метода состоит в том, что он позволяет составить алгоритм определения кинематических параметров любых звеньев и точек механизма на основе решения уравнений замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. Каждое звено механизма представляется в виде вектора, модуль которого равен его длине, а угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки от положительного направления оси Ах до направления данного вектора, определяет положение звена. Направления векторов замкнутого контура, в общем, могут быть произвольными, но целесообразно их задавать так, чтобы начало вектора одного из начальных звеньев совпадало с неподвижной точкой. Уравнение замкнутости записывается в векторной форме , где – вектор, соответствующий i-ому звену, входящему в рассматриваемый контур; – число векторов, входящих в контур. Затем уравнение замкнутости записывается в виде проекций на оси координат. В результате решения уравнений замкнутости определяют функции положения механизма. Аналоги скоростей и ускорений вычисляют путем дифференцирования уравнений замкнутости по обобщенной координате механизма. Далее смотрите пример применения метода.