Изучение динамики общественных явлений

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ Ряды динамики. Классификация Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд - это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам. 1. По времени - моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики - последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т. д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности­ населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т. д. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель - общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т. д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет. 2. По форме представления уровней - ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 1 - 3). 3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды. Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 1 и .2). Неполные- когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. .3). 4.По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики (см. табл..1 и.2). (комплексный ряд динамики получаем в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления (см. табл..3). 5. Стационарные и нестационарные – в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса Если математическое ожидание значения признака и дисперсия (основные характеристики случайного процесса) постоянны, не зависят от времени, то процесс считается стационарным и ряды динамики считают стационарными. Экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития. Таблица.1 Объем продаж долларов США на ММВБ, млн долл. Дата 10.01.2011 11.01. 2011 12.01. 2011 13.01. 11 Объем продаж 126,750 142,430 148,800 141,400 Таблица.2 Индекс инфляции в 2013 г. (на конец периода, в 2013 к декабрю 2012 г.) Период Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Индекс инфляции 126 162 190 221 264 310 Таблица.3 Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год Продукты 1980 1985 1990 1991 1992 1993 Мясо и мясопродукты 80,0 78,4 74,1 68,3 58,7 63,2 Молоко и молочные продукты 411,2 389,6 378,9 345,4 280,4 285,6 Хлебные продукты 101,2 91,6 85,7 91,8 98,0 105,8 ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: 1) абсолютный прирост, 2) темпы роста, 3) темпы прироста, 4) абсолютное значение одного процента прироста. Если сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях. Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице. Абсолютный прирост (∆) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста. (1-я строка) Коэффициент роста (Кр) или темп роста (Тр) представляют собой две формы выражения интенсивности изменения уровня. Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы) (2-я и 3-я строки) Темп прироста характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода больше или меньше базисного уровня.(5-я строка) Абсолютное значение одного процента прироста - представляет собой одну сотую часть базисного уровня и вместе с темпом прироста позволяет рассчитать абсолютный прирост уровня за рассматриваемый период. (6-я строка) Абсолютным ускорением в статистике называется разность между последующим и предыдущим абсолютными приростами Ускорение показывает, насколько данная скорость больше (меньше )предыдущей.(скорость изменения скорости). Оно может быть положительным и отрицательным. СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ Средние показатели рядов динамики являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста. Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. Методы расчета среднего уровня моментного и интервального рядов различны. В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчет среднего уровня ряда производиться по формуле средней арифметической простой: . Если интервальный ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле , где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется. Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле , где n – число уровней ряда. Средняя хронологическая для равноотстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле . Определение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле: или . Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле средней геометрической: , или , где m – число коэффициентов роста. Среднегодовой темп прироста получается вычитанием из среднего темпа роста 100%. В нашем примере ПРИЕМЫ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ. При анализе рядов динамики иногда возникает необходимость смыкания рядов, т.е. объединение двух или более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случаях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальными или ведомственными, организационными изменениями, изменением методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объем продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.: Годы Уровни продукции промышленности: В старых границах региона В новых границах региона 1991 20,1 - 1992 20,7 - 1993 21,0 - 1994 21,2 23,8 1995 - 24,6 1996 - 25,5 1997 - 27,2 Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов: Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получаем их сопоставимость с уровнями второго ряда, млн. руб.: 1991 г. – 20,1*1,12 = 22,5; 1992 г. – 20,7*1,12 = 23,2; 1993 г. – 21,0*1,12 = 23,5. Получен сопоставимый ряд динамики общего объема продукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из регионов (в новых границах, млн. руб.): Годы 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 22,5 23,2 23,5 23,8 24,6 25,5 27,2 Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере уровни 1994 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 21,2 и 23,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере до измерений – по отношению к 21,2, а после изменений – по отношению к 23,8). В результате получается сомкнутый ряд. Применив этот способ для нашего примера, получим следующий ряд динамики, характеризующий общий объем продукции региона: Годы 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Общий объем продукции в новых границах региона, (% к 1994 г.) 94,8 97,6 99,1 100,0 103,4 107,2 114,3 ПОКАЗАТЕЛИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ СЕЗОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Среди периодических колебаний особое место занимают те, которые проявляются с правильной годичной периодичностью, так как приурочены к определенным временам года, или сезонам. Характерной особенностью сезонных колебаний является то, что они, будучи частью экономического явления и процесса, тем не менее, обладают самостоятельностью. Она состоит в том, что сезонные периоды возникают независимо от хозяйственного положения и проявляются как в период подъема, так и в периоды спада. Они как бы накладываются на кривую общего движения и на долгопериодические колебания, вследствие чего сезонные колебания наблюдаются во всех фазах экономического развития. Сезонные подъемы благоприятно воздействуют на хозяйственный результат, а сезонные спады – отрицательно. Измерение сезонных колебаний состоит из определения двух видов показателей: • Показатели, характеризующие форму сезонных колебаний; • Показатели силы сезонных колебаний. Показатели как формы, так и силы сезонных колебаний могут быть абсолютными и относительными. Форма сезонных колебаний отражается совокупностью показателей – индексов сезонных колебаний либо функциональным выражением. Показатели силы сезонных колебаний являются, как правило, обобщающими показателями. К показателям формы сезонных колебаний относятся следующие: • Абсолютные отклонения месячных уровней от среднемесячных или от выравненных значений за соответствующие месяцы; • Процентные отношения месячных уровней к среднемесячному за год или выравненным значением за соответствующие месяцы; • Средние цепные темпы роста месячных уровней. Они исключают влияние случайных колебаний, но не освобождают от влияния основной тенденции развития, поэтому применимы при слабой тенденции развития ряда; • Уравнение формы сезонной волны, иначе говоря «модели» сезонной волны. Расчет модели сезонной волны может быть осуществлен разными способами: с помощью ряда Фурье, с помощью полиномов Чебышева. Вторая группа показателей, характеризующих силу сезонных колебаний, включает следующие. 1. Размах колебаний – разность между максимумом и минимумом месячных уровней: R = Ymax-Ymin. 2. Относительный размах – отношение абсолютного размаха либо к среднему уровню, либо к максимуму, либо к минимуму: . 3. Среднее абсолютное отклонение месячных уровней от среднемесячного: . 4. Относительное отклонение (ρ) – отношение среднего абсолютного отклонения к среднемесячному уровню: . 5. Среднее квадратическое отклонение месячных уровней от среднемесячного или выравненных значений за соответствующие месяцы: . 6. Коэффициент сезонных колебаний: . Как среднеквадратическое отклонение, так и коэффициент сезонных колебаний – это наиболее точные показатели измерения силы сезонных колебаний. 7. Обобщающий показатель сезонных колебаний, исчисленный на основе индивидуальных индексов сезонных колебаний как средняя арифметическая величина: , где - обобщающий показатель сезонных колебаний; - индексы сезонных колебаний за отдельные периоды; n – число периодов. В статистике принято считать, что если коэффициент сезонных колебаний меньше 10 % - сезонные колебания слабые, от 10 до 25 – умеренные; от 25 до 40 – сильные и свыше 40% - очень сильные. Если сезонные колебания изучаются за несколько лет, то целесообразно отделить их от изменений уровней за счет тенденции и от случайных колебаний, искажающих характер сезонной волны в отдельные годы. В таком случае применяется следующая методика, изложенная в учебнике «Общая теория статистики» И.И. Елисеевой, М.М. Юзбашева. 1. По месячным или квартальным уровням за ряд лет вычисляется тренд и выравненные значения (). 2. Рассчитываются индексы сезонных колебаний: . 3. Эти индексы сезонных колебаний усредняются за все годы как средневзвешенные величины. 4. Уровни тренда умножаются на эти средние индексы сезонных колебаний, и получаются уровни тренда с учетом сезонной волны (). Общую сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от среднего уровня за все годы можно разложить на составляющие элементы: - общая сумма квадратов; - общая сумма квадратов за счет тренда; - за счет сезонности; - за счет случайных колебаний. ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РЯДА ДИНАМИКИ. Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития. При изучении в рядах динамики основной тенденции развития явления применяются следующие приемы и методы. Одним из приемов, относящихся к самым простым методов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов, который позволяет в значительной степени абстрагироваться от случайных колебаний. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. При этом используют либо переменную среднюю, либо скользящую среднюю. Исчисление итогов за укрупненный период возможно, только по интервальным pядам, расчет средней по укрупненным интервалам осуществляется по формуле средней арифметической простой. Например, укрупненный интервал образован объединением трех периодов, средние для укрупненных интервалов определяются следующим образом: и т.д. где У1, У2, У3, …, Y5 — уровни исходного ряда динамики. 2. МЕТОД СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ ПРИ ВЫЯВЛЕНИИ ТРЕНДА . Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Средняя исчисляется также по среднёй арифметической простой, но не за изолированные укрупненные периоды, а со сдвигом на один период. Если в динамическом ряду имеются периодические колебания, то период средней скользящей должен совпадать с периодом колебания или быть кратным ему. Если в ряду отсутствуют периодические колебания, то укрупненный период целесообразно выбрать равным трем, так в этом случае рассчитанная средняя будет записана в середине трехлетнего периода, т.е. приписана к конкретному периоду. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, будут следующие: и т.д. Если период скользящей средней четный, то выполняют центрирование данных, т.е. определение средней из найденных средних, что необходимо для определения среднего периода. Например, если исчисляется скользящая средняя с продолжительностью периода равной 2, то расчет производится следующим образом: и т.д. Тогда центрированные средние равны: и т.д. Рассмотренные методы позволяют выявить тенденцию развития, но не могут быть использованы для прогнозирования. Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. Его сущность заключается в том, что находится уравнение, выражающее закономерность изменения явления как функции времени . Вид уравнения определяется характером динамики развития явления. Как уже было ранее отмечено: •если абсолютные приросты стабильны, та аналитическое выравнивание может быть выполнено по прямой; • если абсолютные приросты равномерно увеличиваются, то можно сглаживание производить по параболе второго порядка; • если стабильны темпы роста, то целесообразно использовать показательную функцию. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f­(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции ­ f­(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию ­ f­(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления, на основе графического изображения уровней динамического ряда. Выбор формы кривой может быть определен. Наиболее часто используются функции: • линейная ; • парабола второго порядка ; • показательная ; • гиперболическая ; • экспоненциальные ­ f­(t) = ехр (а0 + а­1t ) • или ­ f­(t) = ехр(а0 + а­1t+ а­2t2­) В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели Уt = f­(t) + t. где f­(t) - уровень, определяемый тенденцией развития; t - случайное и циклическое отклонение от тенденции. Оценка параметров (а0,а­1,а­2­,....)осуществляется следующими методами: 1) методом избранных точек, 2) методом наименьших расстояний, 3) методом наименьших квадратов (МНК). В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных: Для линейной зависимости f­(t) = а0 + а­1t параметр а0, обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а1 - сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а­ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Расчеты значительно упрощаются, если начало отсчета времени поместить в середину динамического ряда, тогда сумма временных дат будет равна нулю Σt = 0, и система нормальных уровней значительно упрощается и преобразуется в следующий вид: Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров и : откуда: представляет собой средний уровень ряда динамики (); . Аналитическое выравнивание позволяет не только определить основную тенденцию изменения явления на исследуемом отрезке времени, но выполнять расчеты для таких периодов, для которых нет информации. Нахождение недостающих данных внутри динамического ряда называется интерполяцией, а нахождение значений за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией. Прогнозирование на основе экстраполяции предполагает, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда. При составлении прогнозов социально-экономических явлений обычно оперируют интервальной оценкой, т.е. рассчитывают так называемые доверительные интервалы прогноза с заданной вероятностью. Границы интервалов определяются по формуле: , где - точечный прогноз, рассчитанный по модели; - ошибка прогноза (среднее квадратическое отклонение фактических уровней от расчетных по модели); t – коэффициент доверия по распределению Стъюдента. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (Fфакт­) сравнивается с теоретическим (табличным) значением: где k - число параметров функции, описывающей тенденцию; n - число уровней ряда; Fфакт сравнивается с Fтеор (по таблицам) при v1 = (k - 1 ), v2 = (n - k) степенях свободы и уровне значимости  (обычно  = 0,05). Если ­ Fфакт > Fтеор, то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции. Для аппроксимации процесса изменения во времени используют несколько моделей, а наилучшую пригодность проверяют на основе принципа минимизации квадратов отклонений фактических и выравненных (теоретических) значений динамического ряда. Также критерием выбора модели является средняя ошибка аппроксимации Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ ТРЕНД И ЕГО СВОЙСТВА Самым простым типом линии тренда является прямая линия, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда: где yt - выравненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i; a0 – свободный член уравнения, численно равный среднему выравненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для =0; a1 – средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени; - номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата). Среднее изменение уровней ряда за единицу времени – главный параметр и константа прямолинейного тренда. Следовательно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что такой характер динамики встречается достаточно часто. Причина близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожайность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от большого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторону ускоренного роста изучаемого явления, другие – в сторону замедленного роста, третьи – в направлении сокращения уровней и т.д. влияние разнонаправленных и разноускоренных (замедленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобретает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равномерная тенденция динамики (или застоя) – это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя. Графическое изображение прямолинейного тренда – прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (арифметическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис.1. Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражается прямолинейным трендом. 140 Рис.Динамика числа занятых в народном хозяйстве в России на 31 декабря каждого года Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы • равные изменения за равные промежутки времени; • если средний абсолютный прирост — положительная величина, то относительные приросты или темпы прироста постепенно уменьшаются; • если среднее абсолютное изменение — отрицательная величина, то относительные изменения или темпы сокращения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню; • если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее изменение b не может быть больше среднего уровня а; • при линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю. Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на следующем примере. Для прямой Параметры линейного уравнения определяются из системы уравнения: ПРИМЕР: В табл. приведены исходные и расчетные данные о динамике производства молока в регионе за 2009 – 2013 гг. Таблица : Исходные и расчетные данные для определения параметров системы уравнения Годы Млн.т t t2 tYi Yi- (Yi-)2 2009 13,3 -2 4 -26,6 13,02 0,28 0,08 2010 13,5 -1 1 -13,5 13,94 -0,44 0,19 2011 14,8 14,86 -0,0 0,00 2012 16,1 1 1 16,1 15,78 -0,32 0,10 2013 16,6 2 4 33,2 16,70 -0,1 0,01 Итого 74,3 - 10 9,2 74,30 - 0,38 Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров и : где y – исходный уровень ряда динамики; n - число членов ряда ; t – показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная с низшего. Например: Годы 2009 2010 2011 2012 2013 t 1 2 3 4 5 Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров и : откуда: представляет собой средний уровень ряда динамики (); . Расчет необходимых значений дан в табл. По итоговым данным определяем параметры уравнения: ; . В результате получаем следующее уравнение основной тенденции производства молока в регионе за 2009 – 2013 гг. . Подставляя в уравнение принятое обозначение t, вычислим выровненные уровни ряда динамики: 2009 г. - 2010 г. - и т.д. По окончании расчета основной тенденции целесообразно построить график, на котором следует изобразить исходные данные и теоретические значения уровней ряда. Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Ее можно измерить по формуле -среднее квадратическое отклонение. Используя данные этого примера, рассчитаем показатель колеблемости производства молока в регионе (таблица 3): млн. т. Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации, который вычисляется по формуле . В нашем примере , или 1,85%. Параболический тренд и его свойства Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением . Параболы III порядка и более высоких порядков редко применимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограниченной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения математики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее. Значения (смысл, сущность) параметров параболы II порядка таковы: свободный член а— это средний (выравненный) уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчёта времени, т.е. t=0; b— это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рaвномерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка таковы: 1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки времени; 2) парабола, рассматриваемая относительно ее математической формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но относительно статистики по содержанию изучаемого процесса изменений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: Либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конкретных ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд; 3) так как свободный член уравнения а как значение показателя в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с: а) при b>0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней; б) при b<0 и с<0 имеем нисходящую ветвь — тенденцию к ускоренному сокращению уровней; в) при b>0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым процессом г) при b<0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви — нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией; 4) при параболической форме тренда, в зависимости от соотношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращений уровней при b <0 и с<0 обязательно начинаrот возрастать (по абсолютной величине относительного изменения). Параметры параболического уравнения определяются из системы уравнения: для параболы Экспоненциальный тренд и его свойства Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: или в форме : . Основные свойства экспоненциального тренда: 1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональны самим уровням. 2. Экспонента экстремумов не имеет: при k>1 тренд стремится к +∞, при k<1 тренд стремится к нулю. 3. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию: уровень периода с номером t=m есть akm. 4. При k>1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k<1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Параметры линейного уравнения определяются из системы уравнения: для экспоненты вида Гиперболический тренд и его свойства Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую: y= b0 + b1/t Если основной параметр гиперболы b1>0, то этот тренд выражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при t→∞, . Таким образом, свободный член гиперболы – это предел, к которому стремится уровень тренда. Рис. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии (г на 1 кВт ч) на электростанциях региона Основные свойства гиперболического тренда: 1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускорение абсолютных изменений, темп изменения – все эти показатели не являются постоянными. При b1>0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы изменения растут и стремятся к 100%. 2. При b1<0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цепные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100 %. Как видим, гиперболический тренд описывает в любом случае тенденцию такого процесса, показатели которого со временем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Система уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии имеет вид: Логарифмический тренд и его свойства Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста какого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гиперболическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляющийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указанном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: . Основные свойства логарифмического тренда: 1. Если b>0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b<0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением. 2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда уменьшаются со временем. 3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противоположный самим абсолютным изменениям, а по модулю постепенно уменьшаются. 4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100 % при t→∞. Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, постепенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, затухание по гиперболе происходит быстро при приближении к конечному пределу, а при логарифмическом тренде затухающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее. Система уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии имеет вид: для функции вида При анализе рядов динамики значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности (Is). Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляются (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение обычно именуется индексом сезонности: Рассмотрим таблицу: Таблица : Численность рабочих фирм по месяцам Месяцы Численность рабочих,чел. Январь 620 Февраль 640 Март 710 Апрель 730 Май 880 Июнь 920 Июль 990 Август 980 Сентябрь 970 Октябрь 870 Ноябрь 740 Декабрь 630 Итого 9680 В приведенном примере средний уровень ряда составляет: человек. Индекс сезонности составляет для января ; Для февраля и т.д. Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспонециальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции, В таких случаях используют гармонический анализ. Целью данного анализа являются выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, представляют бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями синусов и косинусов определенного периода. Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью рядов Фурье представляют динамику явлений в виде некоторой функции во времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов: Параметры уравнений рассчитываются методом наименьших квадратов: На графиках представлены возможные варианты зависимостей результативного признака Y от факторного Х, где Х – фактор времени Интерполяция и экстраполяция Полученные аналитические зависимости с рассчитанными параметрами позволяют не только выявить тенденцию динамического ряда, но и определить его неизвестные промежуточные значения. Данная задача решается способом интерполяции. Интерполяция заключается в приближенном отражении сложившейся закономерности внутри определенного отрезка времени – в отличие от экстраполяции, которая требует выхода за пределы этого отрезка времени. Экстраполяция – метод определения количественных характеристик для совокупностей и явлений, не подвергшихся наблюдению, путем распространения на них результатов, полученных из наблюдения над аналогичными совокупностями за прошедшее время, на будущее. Формулы для определения значений коэффициентов линейных и нелинейных уравнений, описывающих изменение рассматриваемого показателя во времени и характеризующих тенденцию динамического ряда y=f(t) имеют вид: Для прямой для параболы для экспоненты вида y= b0 + b1/t система уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии имеет вид: для функции вида для функции вида Y=a0+a1/x гипербола Y=ax показательная ТАБЛИЦА ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ПО РЯДУ ФУРЬЕ t Yi cos t cos 2t sin t sin 2t 1 2 3 4 5 6 Y1 1 1 π/6 Y2 0,866 0,5 0,5 0,866 π/3 Y3 0,5 -0,5 0,866 0,866 π/2 Y4 -1 1 2π/3 Y5 -0,5 -0,5 0,866 -0,866 5π/6 Y6 -0,866 0,5 0,5 -0,866 π Y7 -1 1 7π/6 Y8 -0,866 0,5 -0,5 0,866 4π/3 Y9 -0,5 -0,5 -0,866 0,866 3π/2 Y10 -1 -1 5π/3 Y11 0,5 -0,5 -0,866 -0,866 11π/6 Y12 0,866 0,5 -0,5 -0,866 Для изучения сезонности как периодической функции Фурье за n берется число месяцев года, тогда ряд динамики по отношению к значениям определится в виде следующих значений Y (1и2 столбцы). Значения cos kt и sin kt для различных значений t приведены в столбцах 3-6.