Излучение электромагнитных волн. Электрический диполь Герца. Плоская однородная монохроматическая волна в неограниченной однородной изотропной линейной среде

Лекция №6 6.1 Излучение электромагнитных волн. Электрический диполь Герца Определим поле электрического диполя Герца, представляющего собой линейный проводник длиной l ( l   ), по которому протекает ток, изменяющийся по гармоническому закону (рисуноу.6.1). При условии l   распределение тока по длине провода можно считать однородным. Участок провода с однородным распределением тока можно рассматривать как электрический диполь с изменяющимися во времени зарядами. Применяя к любому объему проводника уравнение непрерывности ст  J dS   S q ст , t и считая, что он окружен непроводящей средой, получим I ст   q ст , t где I ст — изменение тока по длине рассматриваемого проводника. В символической форме I mст   jqmст . (6.1) x3 er e Er  l H E e x2  x1 Рисунок 6.1 - К расчету поля элементарного излучателя (диполь Герца) Изменение тока наблюдается лишь на концах проводника от значения I mст до нуля и, следовательно, везде, кроме концов проводника, заряд отсутствует и лишь на его концах имеются заряды, равные по величине, но 1 противоположные по знаку, т. е. имеем дело с диполем, электрический момент которого p э  q ст l, q ст  qmст sin t. В этом случае вектор Герца согласно равен Zm  qmст e jkr jI ст e jkr l  m l. 4 a r 4 a r Напряженность магнитного поля согласно H  j a rot Z . В сферической системе координат, в центре которой расположен диполь, Zm   j I mст e jkr l I ст e jkr l e3   j m (er cos   e sin  ). 4 a r 4 a r Отсюда получим H mr  H m  0, H m  j a    I mст e  jkr   jl  kI mст e  jkr   ( j rZ )  Z   sin   m  mr  4  r r2  r  r   I mст l e  jkr 4r  1  jk  sin .   r  (6.2) Электрическое поле диполя можно определить из первого уравнения Максвелла для монохроматического поля Em   j 1  a rot H m . Отсюда    ст  jkr  I le k 1 2 j m  2  j  k  sin  ,  4 a r  r r     0.   Emr   j Em Em I mст l e  jkr  1   jk  cos  , 2  2 a r  r  (6.2а) Переходя от символической записи (6.2) и (6.2а) к векторам поля, получим 2 H r  H   Ea  0,    1 cos(t  kr)  sin(t  kr) sin ,  Ha    4r  kr  ст klI m  1   cos , Er  sin(  t  kr )  cos(  t  kr )   2a r 2  kr   k 2lI mст  1 1   E   2 2  1 sin(t  kr)  cos(t  kr) sin ,    4a r  k r kr  klI mст (6.3) Из полученных выражений (6.3) очевидно, что электрический вектор лежит в меридиональной плоскости, а магнитный вектор перпендикулярен к этой плоскости. Магнитные силовые линии имеют вид концентрических окружностей, проведенных вокруг диполя. Учитывая, что k 2 ,  рассмотрим уравнения (6.3) в двух областях: вблизи излучающего провода на расстояниях и на расстояниях r  , т. е. в области, где r  , т. е. в области, где kr  1. В б л и ж н е й з о н е ( kr  1 ) можно пренебречь 1 и 1 k r 2 2 и фазовым сдвигом kr, kr  1 , 1 kr по сравнению с отсюда выражения (6.3) имеют следующий вид:  lI mст sin  cos  t ,  4r 2  ст  lI m Er  cos  sin  t ,  2a r 3   lI mст  E  sin  sin  t .  4a r 3 H  (6.4) Выражения (6.4) описывают поле, не имеющее волнового характера; здесь электрическое и магнитное поля не совпадают по фазе. Магнитное поле находится в фазе с током в проводе, электрическое поле — в фазе с зарядами на концах провода. Составляющие поля (6.4) называются индукционными составляющими. Они быстро убывают с увеличением расстояния от провода. Среднее значение вектора Пойнтинга Π 0  Re Π  1 Re[ Em H m* ]  0, 2 3 Так как согласно (6.4) E и H сдвинуты по фазе во времени на  2 и Π является чисто мнимой величиной. Таким образом, движения энергии нет, происходит лишь периодический обмен энергией между электрической и магнитной составляющими поля. Полем излучения в ближней зоне можно пренебречь по сравнению с полем индукции. В д а л ь н е й з о н е ( r   ) можно пренебречь членами порядка 1 , kr 1 k r 2 2 и тогда выражения (6.3) имеют следующий вид:  klI mст sin  sin(t  kr),  4r  Er  0,   2 ст k lI m E   sin  sin(t  kr).  4a r H   (6.5) Выражения (6.5) имеют волновой характер и характеризуют поле излучения. Это поле представляет сферическую волну, векторы E и H совпадают по направлению фазе, взаимно распространения. перпендикулярны Силовые и линии перпендикулярны магнитного поля параллельны широтам сферы, а линии электрического поля расположены вдоль меридианов. Оба поля имеют наибольшую напряженность у экватора (   90 ) и исчезают на полюсах (   0 ). Полное представление о характере поля излучения дает диаграмма направленности, представляющая в произвольной меридиональной плоскости зависимость амплитуды Em или Hm от угла  для фиксированного расстояния r (рисунок 6.2). = 0 Em = Hm = 0  r = 90 Em = Em макс Hm = Hm макс Рисунок 6.2 - Диаграмма излучения диполя Герца 4 В каждой точке пространства векторы поля изменяются во времени по синусоиде. Средняя плотность потока мощности, переносимая волной, Π 0  Re Π  I mст 2 k 3l 2 sin 2  er . 2 2 32  a r Усредненный вектор Пойнтинга направлен по радиусу и обратно пропорционален квадрату расстояния. Он характеризует энергию, распространяющуюся от диполя. Сравнивая выражения (6.4) и (6.5), видим, что электрические составляющие поля индукции и излучения находятся в противофазе, а составляющие магнитного поля сдвинуты на 90°. Это объясняется тем, что поле излучения создается не благодаря току и заряду диполя, а вследствие изменений поля индукции. Поля индукции и излучения примерно равны на расстоянии r  . 2 6.2 Плоская однородная монохроматическая волна в неограниченной однородной изотропной линейной среде. Фазовая и групповая скорости Рассмотрим распространение плоской однородной электромагнитной волны в однородной изотропной среде, лишенной источников. Волна называется плоской, однородной, если векторы поля E и H в любой точке плоскости, перпендикулярной направлению распространения, неизменны по фазе и амплитуде. Практически плоской можно считать волну, создаваемую любой антенной в дальней зоне, в пределах площадки, линейные размеры которой достаточно малы по сравнению с расстоянием этой площадки от антенны. Если совместить направление распространения волны с одной из осей декартовой системы координат, то векторы E и H будут зависеть от одной координаты и времени. Среда с потерями. В этом случае распространения 5 ~ ~    j . a  a  ja ,  a a a Постоянная k    a a    j является комплексной величиной. Пусть направление распространения совпадает с осью x3, тогда H  H( x3 , t ) и E  E( x3 , t ). Волновой процесс не зависит от координат x1 и x2, т. е.     0, x1 x2 (6.6) и волновые уравнения имеют вид 2 Hm  2 Em 2  k 2 Em  0.  k H  0, m 2 2 x3 x3 (6.7) Уравнения (6.7) называются уравнениями Гельмгольца и представляют собой линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, решения которых имеют вид Em  A e jkx3  B e jkx3 . Отбрасывая второй член уравнения, как не имеющий физического смысла (волны, идущей к источнику и возрастающей, в неограниченной однородной среде быть не может) и учитывая зависимость от времени в виде e jt , получим E  Em e j (t kx3 ) , (6.8) где Em — амплитуда электрической составляющей поля. Учитывая, что k    j , получим E  Em e x3 e j (t  x3 ) . Переходя к вектору E, получим E  Em e  x3 cos(t  x3 ). Так как уравнения (6.7) для E и H одинаковы, то H  Hm e  x3 cos(t  x3  ) и достаточно рассмотреть поведение одного из векторов E или H. Здесь  — возможный начальный сдвиг;  — постоянная затухания, характеризует 6 скорость убывания амплитуды;  — фазовая постоянная, характеризующая скорость изменения фазы при распространении волны. В каждой плоскости x3  const поле меняется во времени, в каждый данный момент поле различно для разных x3. Очевидно, фаза поля имеет одно и то же значение для различных координат x3 и моментов времени t, удовлетворяющих условию (t  t )  ( x3  x3 )  t  x3 или t  x3  0. Это значит, что если в момент времени t в плоскости x3  const поле имеет некоторое определенное значение фазы, то такое же значение оно будет иметь через промежуток времени плоскости x3  const на расстоянии x3 t в плоскости, отстоящей от по оси x3. Таким образом, значение фазы электромагнитного поля распространяется вдоль оси x3 со скоростью vф  x3   t  (6.9) называемой фазовой скоростью. С такой скоростью перемещается плоскость равных фаз, называемая фронтом волны (плоскость равных фаз и плоскость равных амплитуд могут и не совпадать). Если наблюдатель перемещается вместе с плоскостью выбранных постоянных значений фазы, то эта фаза будет для него постоянной, не зависящей от времени. Неподвижный наблюдатель отметит изменение фазы со временем, так как мимо него будут проходить плоскости с разными значениями фазы. Очевидно, имеются точки, где значение фазы в данный момент времени отличается лишь на 2. Ближайшее расстояние  между этими точками определяется из условия ( x3  )  x3  2 и называется длиной волны 7  или  2  2  (м) (6.10) (м–1), т. е.  равно числу волн, укладывающихся на отрезке в 2 единиц длины, поэтому оно называется волновым числом. Уравнения Максвелла для монохроматического поля в среде с потерями имеют вид rot H  j a E , rot E   ja H . В декартовой системе координат с учетом (6.35) и зависимости H и E      jk  получим от x3 в виде e jkx   x3  3 kH 2   a E1 ,   kH1   a E2 ,   E3  0,   kE2   a H1 ,   kE1   a H 2 ,   H 3  0.  (6.11) Постоянную распространения k можно рассматривать как вектор k , направление которого в случае плоской однородной волны определяет направление ее распространения. При этом выражения (6.40) можно представить в виде [kH ]   a E ,   [kE ]  a H .  (6.12) Из них видно, что векторы E, H и k взаимно перпендикулярны; векторы E и H лежат в плоскости x10x2. Так, если E направлен по оси x1, то H — по оси x2: E  e1Em e  x3 cos(t  x3 ), H  e 2 H m e  x3 cos(t  x3  ). Из векторных уравнений (6.12) следует выражение kH   a E 8 или с учетом k    a a Em a  , Hm a (6.13) определяющее сдвиг по фазе во времени между H и E. Выражение ~  j a ~  Z 0 e a Z0  (Ом) называется волновым сопротивлением среды. Из-за сдвига по фазе направления векторов E и H, как видно из рисунка 6.3, меняются не одновременно, поэтому вектор Пойнтинга направлен то по направлению распространения волны, то обратно к источнику. x1 t = const Еme - x 3 Е Е Н x3 Н Н Е Е x2 Рисунок 6.3 - Плоская волна в среде с потерями Средняя плотность потока мощности в среде с потерями, определяется Π 0  Re Π  e3 Em H m cos  e2 x3 2 и зависит от сдвига фаз между электрическим и магнитным полем. Затухание энергии электромагнитного поля при прохождении волной пути l определяется отношением средних плотностей потока мощности на концах этого участка  0 ( x3 )  e 2 l .  0 ( x3  l ) Затухание волны в децибелах (дБ) L  10lge 2l  8,69l. В общем случае, когда направление распространения поля не совпадает ни с одной из осей координат, волновые уравнения имеют вид 9 H  k 2 H  0, E  k 2 E  0, а их решения E  Em e j (t kr ) , H  H m e j (t kr ) , где k — комплексный волновой вектор k  β  jα. Вектор β определяет направление распространения волны. Он перпендикулярен плоскости равных фаз. Вектор  перпендикулярен плоскости равных амплитуд. Направление этих векторов может не совпадать. Радиус-вектор r определяет исследуемую точку. Определим постоянные  и  через параметры среды: k    a a   ( a  j a)(a  j a)    j , где k — постоянная распространения; a ,  a и a ,  a проницаемости — действительные и мнимые части диэлектрической ~ a  a  ja и магнитной проницаемости ~    j ,  a a a или 2 [(aa  aa )  j(aa  aa )]  (2  2 )  j 2. Приравняем действительные и мнимые части 2  2  2 (aa  aa ), 2  2 (aa  aa ). Решая эти уравнения относительно  и , получим     0 0     0 0 (   )  (   ) 2  (   ) 2  ,   2   (   )  (   ) 2  (   ) 2  .  2 Для обычных диэлектриков и металлов   1,   0, (6.14) и формулы (6.14) упрощаются     2  1  1  tg  э  .  2     0 0   ( 2  2 1  1  tg2  э   a  0 , 2 2     0 0    2  2   a  0 2 10 (6.15) В диэлектриках с малыми потерями ток проводимости мал по сравнению с током смещения (   a ) tg  э    104  и, следовательно,  — мало. Волна распространяется на большие расстояния практически без затухания. Фазовая постоянная    0 a . Если потери в диэлектрике обусловлены только проводимостью, то a   .  Воспользовавшись приближенной формулой (1  1 a) 2  1 a 2 для малых a, получим     0 0 2      1   22   0 0  60    . 2 2   (6.16) Фазовая скорость в диэлектрике с малыми потерями vф   1 c   .  0 a  Очевидно, в случае диэлектрика с малыми потерями, распространение сигнала происходит с малым затуханием и почти без искажений. В проводниках ток проводимости много больше тока смещения ( a   )    и выражения (6.15) имеют вид   0 a  2 0  . 2 (6.16а) В проводящей среде наблюдается большое затухание энергии. Расстояние , на котором амплитуда поля убывает в e = 2,72 раза, называется глубиной проникновения (м)  2 . 0  Фазовая скорость и длина волны в среде с потерями определяется выражениями (6.9) и (6.10). Очевидно, фазовая скорость и длина волны в среде с потерями меньше, чем в среде без потерь. В среде с потерями фазовая 11 скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости ф от частоты называется дисперсией. Если tg  э  tg м или то выражения (6.14) имеют следующий   , вид:   (aa  aa )  (aa  aa )   aa , 2  (aa  aa )  (aa  aa )   aa , 2 а фазовая скорость vф   1    a a не зависит от частоты. Таким образом, среда с потерями при условии дисперсией. Сигнал не искажается при tg  э  tg м не обладает распространении, а лишь уменьшается по величине. В среде существует чисто бегущая волна, так как волновое сопротивление среды Z0   0 (  j) a   0 (  j) a является действительной величиной и сдвиг фаз между электрическим и магнитным полем равен нулю. В случае монохроматического поля vф  vэ , где vэ — скорость распространения энергии. Сигнал, представляющий спектр частот, вследствие дисперсии изменяет форму, а, следовательно, изменяется и распределение энергии в спектре. В связи с этим вводится понятие групповой скорости, характеризующей распространение в пространстве максимума энергии. Рассмотрим простейший случай, когда сигнал состоит из двух синусоид с одинаковыми амплитудами и мало отличающимися частотами E ( x3 , t )  Em e  x3 cos(t  x3 )  Em e x3 cos[(  )t  (  ) x3 ]  12            2 Em e x3 cos t x3  cos    t      x3 .   2   2 2   2   Так как    и       E ( x3 , t )  2 Em e x3 cos t x3  cos(t  x3 ).  2  2 Это колебание можно рассматривать как сигнал с несущей частотой  и огибающей    2 Em e x3 cos t x3 .  2  2 Скорость перемещения максимума огибающей в пространстве и называется групповой скоростью. Групповая скорость — это скорость распространения сигнала, так как информация передается огибающей, а не высокочастотным заполнением. Максимум огибающей перемещается со скоростью, определяемой из условия     t x3  (t  t )  ( x3  x3 ), 2 2 2 2 т. е. x3   . t  Переходя к пределу, получим vгр  d x3 d  . dt d Определим зависимость между фазовой и групповой скоростью d d   vф    d d    d    1 vгр d  . 2 2     Отсюда vгр  vф  d vф 1 vф d 13 . Это соотношение называется формулой Релея. Если среда не обладает дисперсией (фазовая скорость не зависит от частоты и d vф d  0 ), то vгр  vф . Если с возрастанием частоты фазовая скорость возрастает, т.е. d vф то групповая скорость больше фазовой; если d d vф d  0,  0, то групповая скорость меньше фазовой. Дисперсия, при которой групповая скорость меньше фазовой, называется нормальной дисперсией, в противном случае — аномальной. Дисперсия, обусловленная проводимостью среды, является аномальной. Среда без потерь. В отсутствии потерь параметры среды a и a, а, следовательно, и k   a a являются действительными величинами, и уравнения Максвелла в векторной форме, аналогичные (6.12), имеют вид [kH ]   a E , [kE ]  a H , т. е. векторы E, H и k взаимно перпендикулярны (рисунок 6.4). x1 Е x1 t = const Е Н Н x2 x2 Е Н Н Е x3 x3 Н Е Рисунок 6.4 - Плоская волна в среде без потерь Волновое сопротивление среды Z0  a E  m a Hm — действительная величина. Магнитное и электрическое поля совпадают по фазе, и поле плоской волны является полем бегущей волны. 14 В воздухе волновое сопротивление Z0  0  120. 0 Поле плоской волны определяется выражениями E  e1Em cos(t  kx3 )  e1H m Z 0 cos(t  kx3 ), H  e 2 H m cos(t  kx3 )  e 2 Em cos(t  kx3 ). Z0 Вектор Пойнтинга в любой момент времени направлен в сторону распространения волны и определяет плотность потока мощности (6.17) Π  [EH ]  e 3 H m2 Z 0 cos2 (t  kx3 ). Средняя плотность потока мощности равна H m2 Z 0 Π 0  Re Π  e3 . 2 Мгновенные плотности электрической и магнитной энергии соответственно равны wэ  a E 2 a 2 2  H m Z 0 cos2 (t  kx3 ), 2 2 wм  a H 2 a 2  H m cos2 (t  kx3 ). 2 2 Учитывая значение волнового сопротивления, получим wэ  wм , и, следовательно, полная плотность электромагнитной энергии w  wэ  wм   a H m2 cos2 (t  kx3 )  a Em2 cos2 (t  kx3 ). (6.18) Фазовая скорость vф   k  1  a a  c  . Длина волны согласно (6.39)  где v  2 2 c   ô   0 , k f   a a f   c — скорости света в воздухе; 0 — длина волны в воздухе. 15 (6.19) Скорость движения энергии можно определить по формуле vэ  Π . w Действительно, вектор Пойнтинга П определяется как количество энергии, проходящей через единицу площади в единицу времени. Эта энергия заключена в объеме прямоугольного параллелепипеда с единичным основанием и высотой h. Очевидно, скорость распространения энергии и равна этой высоте. Чтобы найти значение h, надо разделить энергию П, заключенную в объеме параллелепипеда, на энергию единицы объема w. С учетом (6.46) и (6.47) v э  e3 Z0 1  e3 . a a a (6.20) Сравнивая (6.19) и (6.20), получим vэ  vф  v  1  a a . В случае немонохроматического поля это условие сохраняется, так как фазовая скорость не зависит от частоты, форма сигнала не изменяется и не изменяется распределение энергии в спектре. 16