Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность. Верные цифры числа

Лекция 5. Погрешности. 5.1. Источники и классификация погрешностей. Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, т.е. с некоторой точностью. Это может быть обусловлено неточностью исходных данных, конечной разрядностью вычислений (вручную или на ЭВМ), и т.п. Задача численных методов – нахождение решения с требуемой или, по крайней мере, оцениваемой точностью. Погрешность – отклонение истинного решения от приближенного. Полная погрешность вычислений состоит из двух составляющих: 1) Неустранимая погрешность – погрешность математической модели (несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению) и погрешность исходных данных (экспериментально измеренные величины). Не может быть уменьшена в процессе вычислений. 2) Устранимая погрешность состоит из двух составляющих: а) погрешность метода; б) погрешность вычислений. Могут быть уменьшены выбором более точных методов и увеличением разрядности вычислений. Чтобы получить представление о точности окончательного результата, необходим анализ погрешностей всех видов. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а вычислительная погрешность в несколько раз меньше погрешности метода. С другой стороны, при решении большинства задач нет особого смысла применять методы решения с погрешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности, т.е. оценка величины неустранимой погрешности может служить удобным поводом для понижения требований к точности последующих вычислений. 1 5.2. Абсолютная и относительная погрешность. Определение. Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом A и приближенным числом a, т.е. ∆ = |A − a| (∆ имеет размерность величины A). Замечание. На практике точное значение A обычно неизвестно, поэтому погрешность приближенного числа a определить нельзя. Но можно указать число, оценивающее эту погрешность. Определение. Предельной абсолютной погрешностью ∆a приближенного числа a называется всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа: ∆ = |A − a| 6 ∆a . (1) Замечания. 1) В качестве предельной абсолютной погрешности ∆a берут по возможности наименьшее из чисел, удовлетворяющих (1). 2) Точное число A находится в интервале a − ∆a 6 A 6 a + ∆a , или для краткости A = a ± ∆a . Пример. Пусть длина отрезка измеряется линейкой с точностью 1 мм. Тогда, если получилось l = 54,2 см, то пишут l = 54,2±0,1 см. Здесь ∆l = 0,1 см. Это означает, что точное значение l находится между 54,1 и 54,3. Для оценки точности величин понятия абсолютной погрешности недостаточно. Например, если абсолютная погрешность 1 мм получилась при измерении двух расстояний в 100 м и 1 м, то ясно, что в первом случае измерения выполнены с более высокой точностью. Более показательна в этом примере будет абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительная погрешность. 2 Определение. Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется отношение абсолютной погрешности ∆ этого числа к модулю соответствующего точного числа A (A 6= 0), т.е. δ= ∆ |A| (δ – безразмерная величина). Замечание. Часто величину δ измеряют в процентах: δ · 100%. Определение. Предельной относительной погрешностью δa приближенного числа a называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа: ∆ 6 δa . (2) |A| Замечания. 1) Из (2) следует, что ∆ 6 |A| δa . Таким образом, за преδ= дельную абсолютную погрешность числа a можно принять: ∆a = |A| δa . (3) Так как на практике A ≈ a, то вместо формулы (3) часто пользуются формулой ∆a = |a| δa . (4) Отсюда, зная предельную относительную погрешность δa , получают, что точное число лежит между a(1 − δa ) и a(1 + δa ): A = a(1 ± δa ). 2) Недостатком относительной погрешности является то, что она не определена при A = 0 и очень велика, если A близко к нулю, хотя абсолютная погрешность может быть мала. Поэтому на практике используют как абсолютную, так и относительную погрешности. 5.3. Верные цифры числа. Всякое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби a = αm 10m + αm−1 10m−1 + . . . + αm−n+1 10m−n+1 + . . . , 3 (5) где αi = 0, 1, 2, . . . , 9 – цифры числа a, причем старшая цифра αm 6= 0, а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа a). Например, 3141,59 . . . = 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 101 + 1 · 100 + 5 · 10−1 + 9 · 10−2 + . . . . Определение. Значащими цифрами приближенного числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Пример. В числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, остальные цифры (в том числе и два нуля) являются значащими. Встает вопрос, сколько из значащих цифр приближенного числа правильные? Для оценки этого существует понятие верных цифр числа. Определение. Первые n значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего n-ой значащий цифре, считая слева направо. Излишне сохраненные цифры, помимо верных, называются сомнительными. Таким образом, первые n цифр αm , αm−1 , . . . , αm−n+1 числа a (см. формулу (5)) являются верными, если ∆ = |A − a| 6 1 · 10m−n+1 . 2 (6) Например, в числе 0,004507 ± 0,00006 значащими являются все цифры, начиная с первой ненулевой слева: 0,004507. Верными из них является только первая, т.к. 0,5 · 10−4 < ∆ = 0,00006 < 0,5 · 10−3 . Замечания. 1) Если ∆ в записи числа a не указано, то подразумевается, что a имеет точность половины единицы младшего разряда (т.е. все значащие цифры в записи числа a верные). Например, если a = 0,03450, то ∆ = 0,000005 = 0,5 · 10−5 . 2) Термин n верных цифр не следует понимать буквально, т.е. так, что верные цифры приближенного числа a совпадают с соответствующими цифрами точного числа A. Например, для точного числа A = 10 число a = 9,996 является приближенным с тремя верными цифрами, т.к. ∆ = |A − a| = 0,004 < 0,005 = 0,5 · 10−2 . 4 При этом ни одна из верных цифр не совпадает с соответствующими цифрами точного числа. 3) Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Если приближенное число содержит излишнее количество неверных (сомнительных) цифр, прибегают к округлению. Алгоритм округления числа. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом: 1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения; 2) если первая из отброшенных цифр больше или равна 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица. Пример. Округлить число a = 3,9285 до тысячных, сотых, десятых и до единиц. Находим: a = 3,929; a = 3,93; a = 3,9; a = 4. Замечания. 1) Погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой. 2) Абсолютная и относительная погрешности записываются в виде чисел с одной или двумя значащими цифрами и округляются с избытком. Установим связь относительной погрешности с количеством верных значащих цифр числа. Теорема 1. Если положительное приближенное число a имеет n верных значащих цифр, то относительная погрешность δ этого числа удовлетворяет неравенству  n−1 1 1 , δ6 αm 10 где αm – первая значащая цифра числа a.  По определению ∆ = |A − a| 6 5 1 · 10m−n+1 , 2 (7) откуда  1 1 1 1  m−n+1 m m−n+1 m A > a − · 10 > αm 10 − · 10 = · 10 2αm − n−1 2 2 2 10
1 1 1 > · 10m (2αm − 1) = · 10m αm + (αm − 1) > αm 10m . 2 2 2 Следовательно, ∆ 6 δ= |A| 1 2  n−1 · 10m−n+1 1 1 = . 1 m α 10 α 10 m m 2  Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности числа a = 0,4357.  Считая, что все четыре значащие цифры числа a = 0,4357 верны, на- ходим абсолютную погрешность ∆a = 0,00005. Тогда относительная погрешность ∆a 0,00005 0,5 = = = 1,14 . . . · 10−4 < 0,00012 = 0,012 %.  a 0,4357 4357 √ 9 Пример 2. Определить какое равенство точнее: 11 = 0,818 или 18 = 4,24. δa =  Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: √ 9 = 0,81818 . . . , A2 = 18 = 4,24264 . . . . 11 Вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком A1 = ∆a1 = |A1 − a1 | = |0,81818 . . . − 0,818| = 0,00018 . . . 6 0,00019, ∆a2 = |A2 − a2 | = |4,24264 . . . − 4,24| = 0,00264 . . . 6 0,0027. Находим предельные относительные погрешности δa1 = ∆a1 0,00019 = = 0,00024 = 0,024 %, a1 0,818 δa2 = ∆a2 0,0027 = = 0,00064 = 0,064 %. a2 4,24 Так как δa1 < δa2 , то равенство 9 11 = 0,818 является более точным. 6  √ Пример 3. Вычислить 30 с относительной погрешностью δ = 0,1 %. √  Так как 30 ≈ 5,5, то αm = 5. По формуле (7)  n−1 1 1 δ = 0,001 6 . 5 10 Имеем  2 1 1 0,001 < 0,002 = 0,2 · 10 = , 5 10 откуда n − 1 = 2 и n = 3. Таким образом, получим −2 √ 30 = 5,4772 . . . = 5,48. 7