Использование преобразования Лапласа для анализа цепей

Лекция 1 6. Использование преобразования Лапласа для анализа цепей 6.1. Операторный метод расчета переходных процессов Расчет цепей с помощью преобразования Лапласа часто называют операторным методом (ОМ). Цель операторного метода – формализовать расчет переходных процессов (производя его аналогично расчету R-цепей), поскольку основной недостаток анализа переходных процессов во временной области – это множество разноплановых пунктов расчета. 6.1.1. Законы Кирхгофа в операторной форме Используем свойство линейности преобразования Лапласа: ∑ak fk (t) ∑ak Fk (s), (6.1) где f(t) – оригинал (сигнал); F(s) – его изображение по Лапласу; s – аргумент преобразования Лапласа; – знак соответствия оригинала и изображения. Применяя (6.1) к законам Кирхгофа ∑ ik (t) = 0, ∑ uk (t) = 0, получим ∑ Ik (s) = 0; ∑Uk (s) = 0. (6.2) 6.1.2. Операторные схемы замещения пассивных элементов Используем теоремы дифференцирования и интегрирования: (6.3) причем в правой части (6.3) одна формула полностью определяет другую. Применяя (6.1), (6.3) к ВАХ пассивных элементов ; ; , получим операторные уравнения ; ; . (6.4) Уравнениям (6.4) соответствуют операторные схемы замещения (ОСЗ), изображенные на рис. 6.1, причем ОСЗ на рис. 6.1, б, в для L- и C-элементов а б в Рис. 6.1 дуальны (если ИН эквивалентно преобразовать к ИТ), а ZR, ZL, ZC – операторные сопротивления. Вывод: из анализа операторных уравнений (6.2) и ОСЗ следует, что расчет переходных процессов по ОСЗ аналогичен по форме анализу R-цепей; необходимо найти изображение реакции F2(s) и по нему – оригинал f2(t). 6.2. Передаточная функция цепи 6.2.1. Понятие о расширенном преобразовании Лапласа В теории цепей используют расширенное преобразование Лапласа: , (6.5) т. е. в (6.5) интегрирование производится от t = 0–, чтобы “захватить” ЕИФ. Найдем ее изображение: , (6.6) причем в (6.6) было использовано свойство “выборки” (4.5). Поскольку ЕСФ является интегралом от ЕИФ, то на основании (6.3) изображение ЕСФ δ1(t)  Δ1(s) = 1/s. (6.7) 6.2.2. Изображение интеграла свертки По теореме свертки преобразования Лапласа можно записать , (6.8) причем в (6.8) f2(t), f1(t), h(t) и F2(s), F1(s), H(s) – соответственно оригиналы и изображения реакции, воздействия и ИХ. При воздействии вида ЕСФ δ1(t) реакцией является ПХ, поэтому на основании (6.7), (6.8) можно найти ПХ H1(s) = (1/s) H(s)  h1(t). (6.9) 6.2.3. Передаточная функция и ее свойства Передаточной функцией (ПФ) цепи H(s) называют отношение изображения реакции к изображению единственного в цепи воздействия при независимых НУ, равных нулю: H(s) = F2(s)/F1(s). (6.10) Свойства ПФ. 1. Из сравнения (6.8) и (6.10) следует, что это – одна и та же формула, т. е. ПФ является изображением ИХ цепи: H(s)  h(t), (6.11) причем (6.11) часто называют вторым определением ПФ. 2. Выражение (6.9) определяет связь ПФ и ПХ цепи. 3. Из операторных уравнений (6.2), (6.4) и ОСЗ (см. рис. 6.1) вытекает, что для перехода от ОМ к уравнениям и схемам МКА достаточно сделать формальные замены (U(s) на , I(s) на , s на jω) и исключить дополнительные источники LiL (0–), uC (0–)/s, которыми учитывают независимые НУ. Следовательно, ЧХ цепи и ПФ связаны соотношением H(jω) = H(s), s = jω, (6.12) т. е. согласно (6.12) для получения ЧХ достаточно в ПФ сделать замену s = jω. 4. ПФ полностью определяет дифференциальное уравнение цепи, которое имеет вид Anf2(n)(t) + … + a1f2(t) + a0f2(t) = bmf1(m)(t) + … + b1f1(t) + b0f1(t). (6.13) Преобразуем (6.13) по Лапласу при нулевых НУ: F2(s)[ansn + … + a1s + a0] = F1(s)[bmsm + … + b1s + b0], откуда ПФ F2(s)/F1(s) = H(s) = (bmsm + … + b1s + b0)/(ansn + …+ a1s + a0), (6.14) т. е. знаменатель ПФ (6.14) – это ХП цепи, а ПФ полностью определяет дифференциальное уравнение цепи. Следствие: чтобы найти ХП, достаточно определить любую ПФ цепи; например, в схеме свободного режима найти операторное сопротивление Zвх(s) цепи относительно любого места ее разрыва; числитель Zвх(s) – это ХП цепи.