Использование оператора присваивания при решении задач. Проверка правильности формул числовых рядов

Слайд 1. Использование оператора присваивания при решении задач. Проверка правильности формул числовых рядов. Ряды [1], с.19-21 Числовой ряд – сумма бесконечного числа слагаемых: ∑ = + +⋯+ +⋯ Частичная сумма ряда – сумма n первых членов ряда: ∑ = + +⋯+ = S – всегда равна какому-либо числовому значению. i – порядковый номер слагаемого в сумме. Знакочередующийся (знакопеременный) числовой ряд: ∑ (−1) = − + ⋯ − + ⋯ содержит знак минус перед четными (нечетными) слагаемыми (зависит от степени 1). Частичная сумма знакочередующегося ряда – сумма n первых слагаемых: ∑ (−1) = − + ⋯− ⋯+ =S Ряд является сходящимся, если при неограниченном увеличении n его частичные суммы стремятся к одному и тому же числу. Частичную сумму ряда можно обозначить как функцию от n: ( )=∑ или ( ) = ∑ (−1) Слагаемое ui – общий член числового ряда, выражается формулой, зависящей от i – порядкового номера слагаемого в сумме. Функциональный ряд – числовой ряд, в котором каждое слагаемое содержит неизвестное х. Функция на некотором интервале значений быть представлена в виде функционального ряда (Тейлора, Маклорена - подробнее в курсе мат. анализа), в этом случае функция и ее ряд будут стремиться к совпадению при увеличении количества слагаемых. Частичную сумму функционального ряда можно представить как функцию от n и x: ( , )=∑ ( , )∗ ( , ) ∗ или ( , ) = ∑ (−1) , где g(x,i) – выражение, зависящее от х и i. Формулу g(x,i)*ui называют общим членом функционального ряда. Общие правила для составления формулы общего члена ряда (универсальной формулы для всех рядов не существует!!!). Пример. Составить формулу общего члена и записать сумму в виде ряда: 1 − + − ⋯ = 1. Проанализировать ряд – если сумма имеет "нестандартное" слагаемое (обычно первое), например, некоторую константу, не укладывающуюся в общую схему, тогда представить сумму в виде: Сумма=Нестандартная часть + Стандартная часть. Дальше анализируется только стандартная часть суммы. 2. Для знакочередующейся суммы анализируют отдельно слагаемые и знак перед ними. Определив формулу для слагаемого, его умножают на формулу для знака: (-1)i+1 – если знак стоит перед четными слагаемыми или (-1) iперед нечетными. 3. Ту часть слагаемых, которая не изменяется, записывают в формулу исходном виде. Часть, которая меняется, пытаются выразить формулой через значение i – порядковый номер слагаемого. 4. Если первое слагаемое 1, возможно, для того, чтобы вписать его в схему, требуются преобразования: например, если складывают дроби, можно представить 1 как . 5. Если числа в слагаемых изменяются по очевидному правилу, то нечетные (см. п.4 - знаменатель) можно представить в формуле как 2*i-1 (или 2*i+1 - зависит от начального значения i), четные – как 2*i (2*i-2, 2*i+2), 3*i – кратные 3 и т.п. Для некоторых случаев можно вычислить шаг изменения и попытаться связать его со значением i. 6. Для стандартной части суммы (если она достаточно сложная) лучше всего составить таблицу (обычно достаточно проанализировать 3 или 4 слагаемых). Номер i При i=1 Слагаемое (без знака) 1= При i=2 При i=3 … Формула ui 1 2 −1 (−1) 1 3 1 5 Знак Формула знака (зависит от i) + Нечетное слагаемое (-1)1+1=(-1)2=1 - Четное слагаемое (-1)2+1=(-1)3=-1 + Нечетное слагаемое (-1)3+1=(-1)4=1 (-1)i+1 1 2 −1 Проверка формулы подстановкой i 1 1 = =1 2∗ −1 2−1 1 1 1 1 (−1) = −1 ∗ =− 2∗ −1 4−1 3 1 1 1 (−1) =1∗ = 2∗ −1 6−1 5 (−1) 1 =1∗ Комментарий к формуле: складываем дроби, первое слагаемое 1 для схемы представляем в виде 1/1. Числитель 1 – неизменяемая часть - в формуле оставляем, знаменатель – изменяется по нечетному закону – при i=1 равен 1, при i=2 – 3 и т.д. Т.е. 2i-1 – для первого слагаемого (i=1) получаем знаменатель 1. Далее умножаем на формулу знака. В последнем столбце проверяем – подставляем значение i в формулу ui, должны получить правильное слагаемое. Если не получаем, исправляем формулу. Слайд 1. Пример 1. Проверить в Mathcad равенство: ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯ = − √ + Пример 2. Проверить в Mathcad, что в диапазоне -0.9 до 0.9 равенство: − − Решение. Проведем анализ левой части формулы (числовой ряд – от х не зависит) и выведем формулу для общего члена ряда. Для этого составим таблицу в тетради. Ряд состоит из стандартной части, знакопостоянный, поэтому колонки для анализа знака не включаем. Номер i При i=1 При i=2 При i=3 … Формула ui Слагаемое (без знака) 1 2∗2 1 4∗5 1 6∗8 1 2 ∗ ∗ (3 ∗ − 1) 1 2 ∗ ∗ (3 ∗ − 1) Проверка формулы подстановкой i 2∗ 2∗ 2∗ 1 ∗ (3 ∗ 1 ∗ (3 ∗ 1 ∗ (3 ∗ 1 2∗2 1 = − 1) 4 ∗ 5 1 = − 1) 6 ∗ 8 − 1) = Комментарий к формуле: складываем дроби. Числитель 1 – неизменяемая часть - в формуле оставляем, знаменатель – произведение двух чисел. Первый сомножитель изменяется по четному закону (2*i). Второй сомножитель – ряд чисел 2, 5, 8,11… - изменяется с шагом h=3. Нужно подобрать выражение в зависимости от i и h, чтобы, подставив в него номер i из первой колонки таблицы, получили нужное значение в ряде чисел: i=1 2=h*1-1=3*1-1=3-1=2 i=2 5=h*2-1=3*2-1=6-1=5 i=3 8=h*3-1=3*3-1=9-1=8 i=4 11=h*4-1=3*4-1=12-1=11 Получаем формулу 3*i-1. В последнем столбце проверяем – подставляем значение i в формулу ui, должны получить правильное слагаемое. Оформление решения задачи в документе Mathcad: + + ⋯ = ln( + 1) Решение. Проведем анализ левой части формулы (функциональный ряд – зависит от х) и выведем формулу для общего члена ряда. Для этого составим таблицу в тетради. Ряд состоит из стандартной части, знакопеременный, включаем колонки для анализа знака. Для схемы первое слагаемое представим в виде дроби = Номер i Слагаемое Знак Формула знака (зависит Проверка формулы подстановкой i (без знака) от i) При i=1 + Нечетное слагаемое = (−1) ∗ = (-1)1+1=(-1)2=1 1 При i=2 Четное слагаемое (−1) ∗ =− (-1)2+1=(-1)3=-1 2 2 При i=3 + Нечетное слагаемое (−1) ∗ = (-1)3+1=(-1)4=1 3 3 … (-1)i+1 Комментарий к формуле: складываем дроби. Числитель xстепень – неизменяемая часть х - ее в формуле оставляем, степень и знаменатель изменяются по одному порядку: ряд чисел 1,2,3,4,…. Здесь прямая связь с i i=1 1 i=2 2 i=3 3 Получаем формулу степени и знаменателя - просто i В последнем столбце проверяем – подставляем значение i в формулу ui , должны получить правильное слагаемое. Оформление решения задачи в документе Mathcad: Формула ui (−1) ∗