Использование методов интерполяции в технико-экономических расчётах

Использование методов интерполяции в технико-экономических расчётах Интерполирование функции y = f(x) на определённом отрезке состоит в приближённой замене функции f(x) на данном отрезке одной из функций , причём функция такова, что в точках x0, x1, x2, …, xn она принимает те же значения, что и f(x). Указанные точки x0, x1, x2, …, xn называются узлами интерполяции, а - интерполирующей функцией. В том случае, когда за класс берётся класс степенных многочленов, интерполяция называется параболической. Параболическая интерполяция весьма удобна: многочлены просты по форме, легко вычисляются, их удобно дифференцировать и интегрировать. Поэтому параболическая интерполяция является наиболее распространённой. При интерполировании (рекомендуется для экономических расчётов, когда аргумент имеет не более 3-4 точек) применяется точечная интерполяция, т.е. определяются многочлены, значения которых точно совпадают со значениями функции в узлах интерполяции. Пример такой зависимости приведён на рисунке 2.1. Для придания задаче интерполировании вполне определённого характера необходимо, чтобы степень полинома была на единицу меньше точек интерполяции. Пусть функция f(x) задана таблично, т.е. пусть в узлах интерполяции x0, x1, x2,…,xn заданы значения функций y0, y1, y2, …, yn. Требуется найти не только приближенное математическое описание этой зависимости, но и точку экстремума этой эмпирической функции, что чаще всего встречается при решении оптимизационных задач электроснабжения. Предполагаем, что график функции f(x) является достаточно плавной кривой, т.е. касательная к кривой f(x) всюду между узлами интерполяции наклонна к оси OX под углом, меньшим или большим, но не близким к . Тогда по значениям функции в узлах интерполяции всегда можно определить отрезок оси OX, содержащей точку экстремума. Рассмотрим сначала случай, когда для обеспечения необходимой точности вычисления достаточна кубическая интерполяция. Выберем отрезок, содержащий четыре узла интерполяции x0, x1, x2, x3 так, чтобы искомая точка экстремума xэ находилась между значениями x0 и x3. Найдём интерполяционный полином Лагранжа , т.е. полином, совпадающий с f(x) в узлах интерполяции x0, x1, x2, x3. Рассмотрим полином ; (2.4) причём , где i = 0, 1, 2, 3. Условия (2.4) геометрически означают, что график полинома должен проходить через точки (рисунок 2.1). Используя условия (2.4), которым должен удовлетворять полином, можно записать систему линейных алгебраических уравнений (2.5) Неизвестными в этой системе уравнений являются коэффициенты Определителем системы (2.5) является определитель Вандермонда , где его величина в общем виде выражается формулой Из курса высшей алгебры известно, что если , где , то определитель Вандермонда отличен от нуля, когда среди чисел нет совпадающих. Система (2.5) является неоднородной системой линейных алгебраических уравнений. Как известно, такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. В системе (2.5) определитель , т.е. система, имеет единственное решение. Для получения аналитического выражения интерполяционного полинома присоединим к системе (2.5) ещё одно уравнение и перепишем систему уравнений (2.5) в следующем виде (2.6) Чтобы рассматривать систему (2.6) как систему однородных линейных уравнений, следует считать в ней неизвестными совокупность чисел и -1. При этих условиях система (2.6) является однородной и имеющей ненулевое решение. Как известно, система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение только тогда, когда её определитель тождественно равен нулю, т.е. . Отсюда , (2.7) или . (2.8) Это и есть интерполяционный полином Лагранжа. Так, если функция y = f(x) задана следующими значениями то интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции можно записать следующим образом В этих формулах x - текущее значение аргумента. Для нахождения , например при , необходимо в формулу интерполяционного полинома Лагранжа вместо x подставить . Для удобства пользования полученной формулой сделаем некоторые преобразования. Перепишем определитель системы (2.6) в несколько ином виде . (2.9) Разложим полученный определитель на сумму двух определителей . (2.10) Легко заметить, что первый определитель равен , а второй обозначим через D. Тогда получим , откуда интерполирующий полином определится из выражения . Итак, получено аналитическое выражение интерполяционного полинома в виде определителя (2.11) где W - определитель Вандермонда. Разложим определитель D по элементам последней строки: . (2.12) Для простоты записи введём следующие обозначения (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) В новых обозначениях интерполяционный полином примет вид . Первая часть задачи решена – мы нашли приближенное математическое описание таблично заданной функции (интерполирующий полином). Для отыскания абсциссы точки экстремума найдём первую производную интерполяционного полинома и приравняем её к нулю . Так как определитель Вандермонда , то . Из этого равенства получаем формулу для отыскивания абсциссы точки экстремума функции, заданной таблично . Из двух найденных по этой формуле значений x следует взять то, которое принадлежит отрезку . Для упрощения вычисления определителей произведём параллельный перенос системы координат x0y так, чтобы начало координат новой системы совпадало с точкой , т.е. чтобы выполнялось равенство . В новой системе (рисунок 2.2) координат узлы интерполяции обозначим , а соответствующие значения функций . При этих условиях вычислим определители (2.17) (2.18) (2.19) При осуществлении параллельного переноса осей координат формула для отыскивания абсциссы точки экстремума функции, заданной таблично, принимает вид . (2.20) Эта формула является основной расчётной формулой для отыскивания точек экстремума функции, заданной таблично. Пример. Найти оптимальный уровень напряжения на шинах РУ – 10 кВ. Критерий оптимальности – минимум потерь активной мощности в распределительной сети. Даны четыре точки замера уровня напряжения и соответствующие ему потери активной мощности в сети: U1 = 9,8 кВ., U2 = 10,3 кВ., U3 = 10,8 кВ., U4 = 11,3 кВ., ∆P1 = 5,6 кВт., ∆P2 = 5,1 кВт., ∆P3 = 4,5 кВт., ∆P4 = 5,0 кВт. Перенесем начало координат в точку U1 = 9,8 кВ. и ∆P1 = 5,6 кВт. Тогда аналогично рисунку 2.2 будем иметь следующие исходные данные для расчета: а1 = 05; а2 = 1,0; а3 = 1,5; б1 = - 0,5; б2 = - 1,1; б3 = - 0,6. D10 = ; D20 = ; D30 = . U1,2=. U1 = 9.78 кВ; U2 = 10,89 кВ. Оптимальным напряжением на шинах РУ является напряжение 10,89 кВ., так как это значение лежит в пределах рассматриваемого интервала от 9,8 до 11,3 кВ. 3 Математическое моделирование в электроснабжении 3.1 Вопросы технико-экономического анализа в электроснабжении 3.1.1 Качественный анализ. При технико-экономическом исследовании, заключающемся в экономическом обосновании принимаемых технических решений, необходимо иметь математическую модель, отражающую основные свойства и закономерности исследуемого объекта. Применяя к этой модели те или иные методы количественного анализа, получают инте­ресующие соотношения между величинами, которые, как правило, в дальнейшем ис­пользуются и для корректировки исходной модели. Таким образом, технико-экономи­ческому анализу как методу исследования реально существующих объектов свойст­венно тесное переплетение двух его сторон: качественный и количественный [7]. Обе эти стороны не только взаимообусловлены, но и преследуют, в конечном счете, одну и ту же цель: наиболее полно отразить существо исследуемого объекта. В то же время каж­дая из сторон анализа имеет и свои характерные особенности. Качественный анализ является первой ступенью познания. Он играет большую роль в процессе формирования физических и экономических представлений об иссле­дуемом объекте, тесно связан с процессом создания модели этого объекта. Если качест­венное представление о механизме исследуемого объекта достаточно полное, то функ­циональная зависимость между величинами, характеризующими свойства объекта, мо­жет быть записана в виде математической формулы или формул, которые являются ма­тематической моделью исследуемого объекта. Поскольку рассматриваемые в данной работе математические модели характеризуются не только физическими величинами, но и рядом стоимостных показателей, то такие модели в дальнейшем будем называть технико-экономическими моделями. Методику получения модели исследуемого объекта рассмотрим сначала на примере линии электропередачи и силового трансформатора. Для линии электропередачи длинной l, км, и напряжением U, кВ, затраты на потери энергии в линии Зp, тенге/год, определяется, как правило, выражением , (3.1) где S – передаваемая мощность, кВ; F – сечение проводов, ; ЗЭ – удельные затраты на компенсацию потерь электроэнергии, тенге/; ρ – удельное сопротивление материала проводов линии, Ом × мм2/м; τ – время потерь, ч/год. Рассматриваемый показатель зависит от ряда свойств линии, которые характери­зуются соответствующими величинами. Каждая из этих величин с математической точки зрения может рассматриваться в качестве независимой переменной, получающей новое численное значение при изменении исходных условий. Изменение любой из этих величин приведёт к образованию нового варианта и изменению затрат. Однако с эконо­мической точки зрения существенным для изменения затрат оказывается изменение не отдельных величин, а их вполне определённые совокупности. Так, например, если уменьшились удельные затраты , а время потерь во столько же раз увеличилось, то затраты останутся неизменными. Условимся называть существенные величины, значения которых требуется обос­новать в процессе решения технико-экономической задачи, оптимизируемыми парамет­рами. Все же остальные величины объединяем в обобщённые константы, которые ха­рактеризуют исходные данные задачи. Например, если оптимизируемым параметром является сечение проводов F, то выражение (3.1) можно записать в виде , (3.2) где . Если же оптимизируемыми параметрами будут величины F и U, то выражение (3.1) примет вид . (3.3) Таким образом, в зависимости от характера решаемой задачи одна и та же вели­чина может выступать то как константа, известная до решения задачи, то как оптимизи­руемый параметр, численное значение которого требуется экономически обосновать в процессе решения задачи. Так как в практических расчётах приходится учитывать не один эффект, а не­сколько, модель линии электропередачи усложняется. Например, если в качестве тех­нико-экономической модели линии принять выражение приведённых затрат, то модель линии электропередачи будет иметь вид , (3.4) здесь , тенге/км и , характеризуют соответствующие удельные затраты на строительство 1 км линии, а р∑ - суммарный нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений и эксплуатационных расходов. С увеличением сечения проводов затраты на строительство линии увеличиваются, а затраты на потери энергии снижаются, т.е. по сечению проводов в формуле затрат об­разуются конкурирующие группы эффектов, а само сечение проводов можно рассмат­ривать в качестве оптимизируемого параметра, численное значение которого требуется определить на стадии количественного анализа исследуемого объекта. Объединяя все величины, за исключением оптимизируемого параметра F, в обобщённые константы отдельных эффектов, формулу (3.4) можно записать в виде . (3.5) Эта формула и рассматривается в дальнейшем как один из возможных вариантов обобщённой технико-экономической модели линии электропередачи. В некоторых за­дачах может возникнуть необходимость рассматривать в качестве оптимизируемого па­раметра также напряжение линии U. В этом случае в качестве другой модели линии можно рассматривать формулу . (3.6) В этой модели два оптимизируемых параметра: сечение проводов F и напряжение U. По каждому из оптимизируемых параметров в модели имеются конкурирующие эффекты. Обобщённые константы объединяют целую совокупность свойств отдельных эффектов исследуемого объекта, но не включают оптимизируемые параметры. Находит также практическое применение технико-экономическая модель линии, которая получена в результате аппроксимации стоимости строительства линиивыражением . В этом случае обобщённая технико-экономическая модель линии имеет вид . (3.7) Выражение (3.7) представляет собой приближённую модель линии электропере­дачи, справедливую для определённого диапазона изменения оптимизируемого пара­метра U. Значение показателя степени a зависит от конкретных технико-экономических показателей линии. Для силового трансформатора приведённые затраты в зависимости от его макси­мальной нагрузки Smax определяются выражением (3.8) где КТ - стоимость трансформатора, тенге; SТР - номинальная мощность трансформатора, ; Т, τ - годовое время включения и потерь, ч/год; - удельные затраты на компенсацию потерь короткого замыкания и холостого хода, тенге/кВ▪А; - номинальные потери мощности при коротком замыкании и холостом ходе, кВт. В зависимости от целей исследования составляющие выражения (3.8) могут быть определены через необходимые параметры. В связи с этим возможны различные моди­фикации формулы приведённых затрат, т.е. различные технико-экономические модели. Выразим стоимость трансформатора , номинальные потери мощности при к.з. и х.х. в виде линейной зависимости от номинальной мощности трансформатора где - не зависящие от мощности трансформатора составляющие соот­ветственно стоимости трансформатора, потерь к.з. и х.х., а - удельные показатели, характеризующие зависимости от мощности трансформатора соответственно стоимости трансформатора, потерь к.з. и х.х. Если считать , то с учётом приведённых выше формул в качестве обобщённой технико-экономической модели силового трансформатора можно принять выражение . (3.9) Исследования показывают, что модель (3.9) достаточно точно описывает не только силовой трансформатор, но и трансформаторную подстанцию в целом, при этом изменяются не только численные значения коэффициентов . Если применить различные аппроксимации стоимости трансформатора и то можно получить следующие модификации моделей трансформаторных подстанций [8] (3.10) и . (3.11) 3.1.2 Количественный анализ. Несмотря на важность качественного исследования, технико-экономический ана­лиз приобретает конкретный и точный характер лишь при том условии, если он исполь­зует количественные соотношения. Отметим основные задачи количественного анализа, решаемые при технико-эко­номических исследованиях [7]: а) выявление технико-экономической соразмерности исследуемого объекта или, иначе, определение относительных значений затрат (долей), приходящихся на каждое слагаемое уравнения (3.12) в экономическом варианте . Такая задача возникает при распределении заданных суммарных затрат между от­дельными элементами, входящими в электроэнергетическую систему; б) определение экономически целесообразных значений оптимизируемых пара­метров и затрат (целевой функции) , соответствующих минимуму уравнения приведённых затрат. Значения , будем в дальнейшем называть для краткости экономическими значениями, которые образуют экономический вариант ; в) исследование экономической устойчивости технико-экономической модели объекта (уравнения приведённых затрат). Эта задача состоит в определении степени изменения (увеличения) затрат З при отклонении оптимизируемых параметров от их экономических значений. Считают, что если достаточно большие изменения параметра приводят к незначительному изменению затрат, то такая модель экономически устойчива к изменению данного параметра. В качестве нормированного увеличения затрат по сравнению с экономическим значением, в пределах которого технико-экономическую модель можно считать экономически устойчивой к изменению оптимизируемых параметров, обычно принимают . Тогда варианты модели, отличающиеся от экономического варианта по затратам не более чем на 2 - 5%, образуют зону, которую называют зоной равноэкономичности. В пределах этой зоны все варианты являются примерно экономически равнозначными и выбор того или иного варианта должен быть обоснован дополнительными соображениями; г) исследование чувствительности экономических значений параметров и затрат к изменению исходных данных, входящих в обобщённые константы . Рассматриваемая задача вызвана необходимостью оценки влияния погрешности исходных данных на значения и с тем, чтобы экономически обосновать требуемую степень точности, с которой они должны быть заданы. Так, если известны погрешности в задании исходных данных (обобщённые константы изменяются), то по формулам чувствительности можно найти погрешность в определении экономических значений оптимизируемых параметров и затрат. Если же заданы погрешности значений и , то формулы чувствительности позволяют определить допустимые погрешности исходных данных; д) определение оптимального варианта, т.е. экономически целесообразных значе­ний параметров и затрат, удовлетворяющих минимуму приведённых затрат с учётом технических ограничений, которые накладываются на изменение тех или иных оптимизируемых параметров. Технические ограничения целесообразно разделить на два класса: дискретные и функциональные. К первому классу относятся ограничения, удовлетворяющие неравенствам , а также ограничения, обусловленные дискретностью шкал параметров (например, шкалы сечений проводов, номинальных мощностей трансформаторов и др.). Дискретные ограничения, связанные, например, с дискретностью шкал стандартных сечений проводов, проявляются в том, что рассчитанное тем или иным методом сечение должно округляться до ближайшего большего (меньшего) стандартного значения. К функциональным ограничениям относят ограничения, накладываемые на изменения параметров аналитическими зависимостями вида в которые параметры входят в качестве независимых переменных (например, ограничения по потерям напряжения, мощности и т.д.). Сформулированные основные технико-экономические задачи могут быть решены обычными, хорошо известными из математики оптимизационными методами. Например, используя систему уравнений можно путём многовариантных расчётов решит все пять основных задач. Однако такие расчёты вызывают значительные трудности, что связано с большим количеством параметров и неточностью в задании исходных данных. Решать задачи приходится многократно, варьируя исходные данные и используя быстродействующие ЭВМ. В результате получается огромный цифровой материал, в котором затруднительно выявить наиболее характерные связи. Поэтому в последнее время для исследования целевых функций начали разрабатываться специальные методы анализа, обладающие рядом преимуществ по сравнению с традиционными оптимизационными методами. Одним из таких методов анализа является критериальный метод, разработанный на кафедре электрических систем МЭИ под руководством проф. В. А. Веникова. Преимущества этого метода по сравнению с другими существующими оптимизационными методами заключается в том, что он придаёт исследованию обобщённый характер, рационально использует информацию об исходных данных и результатах ранее сделанных расчётов и позволяет решать ряд задач, не зная численного значения исходных данных, входящих в обобщённые константы . С теоретическими принципами метода критериального программирования мы познакомимся немного позже, а сначала рассмотрим пример построения более сложной технико-экономической модели, модели системы электроснабжения мощного угольного разреза, для исследования которой применим вышеуказанный метод математического программирования.