Инженерная компьютерная графика

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА «КОМПЛЕКСНЫЙ ИНЖИНИРИНГ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ для лекционных занятий по дисциплине «Инженерная компьютерная графика» направление «Строительство» Студент _________________________________ Группа _________________________________ Уфа 2020 1 Содержание Введение 3 Лекция 1. Условные обозначения и знаки. Основные методы проецирования. Образование чертежа точки. 4 Лекция 2. Комплексный чертеж прямой. Следы прямой. Восходящие и нисходящие прямые. Натуральная величина отрезка. Прямые общего и частного положения. Взаимное положение прямых в пространстве. Лекция 3. Плоскость. Определители плоскости. Плоскости общего и частного положения. Следы плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости. Лекция 4. Основные позиционные задачи. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости. Лекция 5. Способы преобразования комплексного чертежа. 9 17 22 28 Лекция 6. Кривые линии. Плоские и пространственные кривые линии. Поверхности. Образование. Классификация. Лекция 7. Гранные поверхности. Поверхности вращения. Образование. Классификация по виду образующей. Лекция 8. Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью. Способы построения линий взаимного пересечения поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 34 Лекция 9. Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер. Лекция 10. Построение линии пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер. Особые случаи пересечения поверхностей 45 2 38 42 47 Введение «Чертеж – международный язык общения техников» (Г. Монж) «Начертательная геометрия – грамматика этого языка» (В.И. Курдюмов) Дисциплина «Инженерная компьютерная графика» изучается студентами в двух семестрах. В первом семестре дисциплина состоит из раздела, связанного с изучением основ начертательной геометрии. Во втором семестре в состав дисциплины входят разделы, связанные с изучением машиностроительного, строительного черчения и компьютерной графики. Формой отчетности в конце каждого семестра дисциплины является дифференцированный зачёт (т.е. зачёт с оценкой). Данная рабочая тетрадь предназначена для лучшей организации учебного процесса по дисциплине «Инженерная компьютерная графика» для студентов направления «Строительство» в первом семестре. Чертежи выполняются непосредственно на листах данной методической разработки только карандашами и при помощи чертежных инструментов с максимальной точностью. Для этого необходимо иметь циркуль, треугольники (желательно деревянные) с углами 30º и 45º, и набор простых карандашей разной жёскости. Для придания изображениям большей выразительности возможно применение цветных карандашей. Чертежи должны оформляться в соответствии с требованиями ГОСТ 2.302-68 - Линии, ГОСТ 2.304-81 – Шрифты чертежные. 3 Раздел «ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ» Лекция 1. Условные обозначения и знаки. Основные методы проецирования. Образование чертежа точки 1.1 Принятые обозначения и знаки Условные обозначения Знаки П1, П2, П3 (прописная греческая буква «пи») – главные плоскости проекций; А, В, С (прописные буквы латинского алфавита) – точки в пространстве; ɑ, b, c (строчные буквы латинского алфавита) прямые в пространстве; α, β, γ (строчные буквы греческого алфавита) – пплоскости в пространстве; А1, b2, γ3 – проекции точки, прямой и плоскости на соответствующие плоскости проекций. // ∩ ┴ − ≡ − ∈− ˂ ∟- 4 1.2 Метод проецирования В основе начертательной геометрии лежит метод проецирования. Суть метода заключается в том, чтобы перейти от пространственного представления о предмете к его плоскому изображению. Существует два способа проецирования: центральное и параллельное. 1.2.1 Центральное и параллельное проецирование Центральное (коническое) проецирование образуется при прохождении всех проецирующих лучей через точку в пространстве, называемую центром проецирования. Параллельное проецирование образуется, если центр проецирования удален в бесконечность, то можно считать, что проецирующие лучи расположены параллельно между собой. S –______________________________________________________ П - _____________________________________________________ 1 А, В, C – _________________________________________________ l, lˊ- ____________________________________________________ 5 1.2.2 Свойства параллельного проецирования 1. Проекция точки есть точка. 2. Проекция прямой, в общем случае, есть прямая. Если прямая совпадает с направлением проецирования, то проекция прямой выражается в точку. 3. Если плоская геометрическая фигура параллельна плоскости проекций, то её проекция конгруэнтна самой фигуре. 4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой. 5. Точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения проекций этих прямых. 6. Если точка делит отрезок прямой в каком-то отношении, то и проекция точки делит проекцию отрезка в таком же отношении. 1.2.3 Ортогональное проецирование Если проецирующие лучи в параллельном проецировании расположены перпендикулярно плоскости проекций, то такое проецирование называют ортогональным (прямоугольным), а проекцию некоторого геометрического элемента называют ортогональной проекцией. Все свойства параллельного проецирования справедливы и для ортогонального проецирования. 6 1.3 Двухкартинный комплексный чертеж точки Основоположник начертательной геометрии, геометр Госпар Монж в 1799 году предложил получать чертежи пространственных предметов путем их ортогонального проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Совокупность двух или более взаимосвязанных ортогональных проекций предмета, расположенных на одной плоскости, называют комплексным чертежом. Рассмотрим образование чертежа точки на две плоскости проекций (две картины). П (xoy) – ___________________________________________ l∩П П (xoz) – ___________________________________________ lˊ∩П 1 2 А- _____________________________________________ - _______________________________________ 1 - _______________________________________ 2 А А ; А А - __________________________________________ 1 12 2 12 l, lˊ- ____________________________________________ Высотой точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций – _______________________ Глубиной точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций - _______________________ Горизонтальная и фронтальная плоскости проекций делит пространство на четверти. 7 1.4 Трехкартинный комплексный чертеж точки П (zoy) – ___________________________________________ l, lˊ,lˊˊ- ____________________________________________ А- _______________________________________________ lˊˊ∩П - ___________________________________________ 3 3 Широтой точки называется расстояние от точки до ________________ плоскости проекций –________________. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трёхгранных улов, называемые октантами. 8 Лекция 2. Комплексный чертеж прямой. Следы прямой. Восходящие и нисходящие прямые. Натуральная величина отрезка. Прямые общего и частного положения. Взаимное положение прямых в пространстве 2.1 Прямая общего положения. Следы прямой Прямая в пространстве не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций называется прямой общего положения. Положение прямой в пространстве определяется двумя её точками. Например, положение прямой а определяется точками А и В а(АВ). а(АВ) -_____________________________; а (А В ) - __________________________; а (А В ) - __________________________. Следами прямой называют точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций. Прямая общего положения будет иметь два следа: - горизонтальный след прямой Н – это точка пересечения прямой с _____________________ плоскостью проекций; - фронтальный след прямой F - это точка пересечения прямой с _______________________ плоскостью проекций. Последовательность построения следов прямой (1,2,3) изображена на рисунке. 1 1 1 2 9 2 2 2.2 Восходящие и нисходящие прямые общего положения Восходящие прямые – это прямые, у которых при движении точки от наблюдателя по прямой высота точки ________________. Нисходящие прямые – это прямые, у которых при движении точки от наблюдателя по прямой высота точки ________________. Задание: Достроить проекции восхдящих прямых Достроить проекции нисходящих прямых 10 2.3 Натуральная величина отрезка и углов наклона к плоскостям проекций Длина проекций отрезка прямой общего положения на горизонтальной и фронтальной плоскости проекций меньше, чем его натуральная величина. Для нахождения на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона её к плоскостям проекций используется способ прямоугольного треугольника. Суть способа заключается в том, что в какойлибо плоскости проекции вычерчивается прямоугольный треугольник, у которого один катет является одной из проекций отрезка, второй – разность высот или глубин крайних точек этого отрезка, а гипотенуза определяет её натуральную величину. В зависимости в какой плоскости проекций строиться прямоугольный треугольник можно найти натуральную величину угла наклона прямой к соответствующей плоскости проекций. Например, для получения натуральной величины отрезка в горизонтальной плоскости проекций строится треугольник (АВВˊ). Один катет которого равен горизонтальной проекцией отрезка (А В ;), длина второго катета определяется разностью высот крайних точек отрезка (∆z =z -z ), а гипотенуза является натуральной величиной этого отрезка (нВ АВ). Угол α, противолежащий катету ВВˊ, равен натуральной величине угла наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций (нв α). 1 АВ 11 А В 1 Задание. Определить натуральную величину отрезка прямой и угла наклона: к горизонтальной плоскости проекций к фронтальной плоскости проекций Исходные данные отрезка прямой общего положения вычертить самостоятельно 12 2.4 Прямые частного положения Прямые частного положения – это прямые параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Прямые частного положения разделяются на две группы: прямые уровня и проецирующие прямые. Прямые уровня – это прямые параллельные какой-либо плоскости проекций. Горизонтальная прямая уровня – ________________________________________ ________________________________________ h - ________________________________ h - _____________________________________ h - _____________________________________ Условия на чертеже: _____________________ ________________________________________ 1 2 Фронтальная прямая уровня – ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ f- _______________________________ f – __________________________________ f - __________________________________ Условия на чертеже: __________________ ______________________________________ 1 2 13 Проецирующие прямые – это прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Горизонтально – проецирующая прямая – _____________________________________________ _____________________________________________ Фронтально - проецирующая прямая – ___________________________________________________ ___________________________________________________ 2.5 Конкурирующие точки Конкурирующими точками называются точки, проекции которых совпадают. Горизонтально-конкурирующие точки – ____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ А, В - __________________________________________________________________________________________ Фронтально-конкурирующие точки -_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ С, D - _________________________________________________________________________________________ 14 2.6 Взаимное положение прямых в пространстве Параллельные прямые – ______________________________ ______________________________ ______________________________ Пересекающиеся прямые – ___________________________ ___________________________ ___________________________ ______________________________ ______________________________ Скрещивающиеся прямые – _____________________________ _____________________________ _____________________________ ___________________________ ___________________________ 15 _____________________________ _____________________________ 2.7 Теорема о проецировании прямого угла По отношению друг к другу пересекающиеся и скрещивающиеся прямые могут быть взаимно перпендикулярны. Какие условия должны быть выполнены на чертеже, чтобы прямой угол в проекциях не исказился? Теорема: Для того чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна сторона прямого угла была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций. Задание1. Построить чертёж взаимно перпендикулярных пересекающихся прямых а  h; а  h Задание 2. Построить чертёж взаимно перпендикулярных скрещивающхся прямых b  f; b f 16 Лекция 3. Плоскость. Определители плоскости. Плоскости общего и частного положения. Следы плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости. Главные линии плоскости 3.1 Плоскость. Определители плоскости Плоскостью называется непрерывное множество последовательных положений перемещающейся параллельно самой себе по направляющей прямой. Положение плоскости можно определить соответственно: - тремя точками, не лежащими на одной прямой _________________________________________________; - плоской фигурой _________________________________; - прямой и точкой _________________________________; образующей прямой, - двумя параллельными прямыми ____________________; - двумя пересекающимися прямыми __________________; - следами плоскости________________________________ __________________________________________________. 17 3.2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскости общего положения - _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Плоскости частного положения - _____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Плоскости уровня -_________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ Горизонтальная плоскость уровня - _____________ ____________________________________________ ____________________________________________ Фронтальная плоскость уровня -____________________ ________________________________________________ ________________________________________________ Условия на чертеже: ________________________________ Условия на чертеже: _________________________________ 18 Проецирующие плоскости – ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Горизонтально-проецирующая плоскость - __________ Фронтально-проецирующая плоскость – ___________ _______________________________________________ ______________________________________________ ________________________________________________ ______________________________________________ Условия на чертеже: ________________________________ Условия на чертеже: _________________________________ 3.3 Следы плоскости Следами плоскости называются _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ Положение следа плоскости определяется положением двух его точек, которые являются одноимёнными следами двух любых прямых этой плоскости. 19 3.4 Условия принадлежности точки и прямой плоскости Аксиома: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Из этой аксиомы следуют признаки принадлежности точки и прямой к плоскости. 1.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости. Задание1. Построить проекции точки М, принадлежащую плоскости α(∆АВС). __________________________________________________________ 2. Прямая лежит в плоскости, если она проходит через две точки принадлежащие этой плоскости. Задание 2. Построить проекции прямой b, принадлежащую плоскости α(∆АВС). __________________________________________________________ 3. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости. Задание 3. Построить проекции прямой с, принадлежащую плоскости α(∆АВС) и параллельную стороне АВ этой плоскости. __________________________________________________________ 20 3.5 Главные линии плоскости. Теорема о проецировании прямого угла Главными линиями плоскости называют горизонталь h, фронталь f и линия наибольшего уклона n, лежащие в данной плоскости. Горизонталь плоскости h – ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Фронталь плоскости f –_________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ Линией наибольшего уклона плоскости (n) называется прямая, лежащая в данной плоскости и одновременно перпендикулярная её линиям уровня (h, f). Эта линия образует с соответствующей плоскостью проекций наибольший угол. Чтобы прямой угол между линией наибольшего уклона и горизонталью h и фронталью f плоскости на чертеже проецировался без искажения, необходимо применить теорему о проецировании прямого угла. Задача. Дано: Плоскость α(∆АВС) Требуется: В плоскости α(∆АВС) построить: - главные линии плоскости (h, f); - линию наибольшего уклона плоскости (n) к горизонтальной плоскости проекций; - определить натуральную величину угла наклона плоскости α(∆АВС) к горизонтальной плоскости проекций. Последовательность решения: 1 _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________; 2________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________; 3________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ . 21 Лекция 4. Основные позиционные задачи. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости 4.1 Метрические и позиционные задачи В начертательной геометрии все задачи, решаемые графически, условно можно разделить на две группы: метрические и позиционные. Метрические задачи направлены на определение метрических характеристик геометрических объектов, а также характеристик их взаимного положения, т.е. определение расстояний между геометрическими элементами, их длины или углов между ними. Позиционные задачи направлены на определение общих положений элементов различных геометрических объектов. К ним относятся задачи на взаимопринадлежность и пересечение. При решении позиционных задач метрические свойства не учитываются. 4.2 Вспомогательные позиционные задачи В начертательной геометрии к основным позиционным задачам относятся задачи: на пересечение прямой и плоскости общих положений, и пересечение плоскостей общих положений. Прежде чем приступить к решению основных задач решим вспомогательные задачи. 22 Задача. Дано: Прямая ɑ(ɑ1, ɑ2) общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость Σ(Σ1). Требуется: Построить проекции точки пересечения прямой ɑ с плоскостью Σ . Задача. Дано: Плоскость γ(∆АВС) общего положения и горизонтально-проецирующая плоскость Σ(Σ1). Требуется: Построить проекции прямой пересечения плоскости γ(∆АВС) с плоскостью Σ(Σ1). Последовательность решения: 1. __________________________________ 2. __________________________________ 3. __________________________________ Последовательность решения: 1. __________________________________ 2. __________________________________ 3. __________________________________ 23 4.3 Основные позиционные задачи 4.3.1 Первая основная позиционная задача Дано: Прямая ɑ(ɑ1, ɑ2) общего положения и плоскость γ(∆АВС) общего положения. Требуется: Определить проекции точки пересечения прямой ɑ(ɑ1, ɑ2) с плоскостью γ(∆АВС). Последовательность решения: 1._____________________________________________ ______________________________________________ 2._____________________________________________ _______________________________________________ 3. _____________________________________________ _______________________________________________ 4.______________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 24 4.3.2 Вторая основная позиционная задача Дано: Плоскость γ(∆АВС) общего положения и плоскость Σ(∆𝐸𝐷𝐹) общего положения. Требуется: Построить пересечения плоскостей. проекции линии Последовательность решения: 1.__________________________________________ ____________________________________________ 2.__________________________________________ ____________________________________________ 3.___________________________________________ ____________________________________________ 4. __________________________________________ ____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ 25 4.4 Условия взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве 1. Взаимно параллельные прямая и плоскость. 2. Взаимно параллельные плоскости. Если прямая параллельна какой-либо прямой Если две пересекающие прямые одной плоскости принадлежащей плоскости, то она параллельна самой соответственно параллельны двум пересекающимся плоскости. прямым другой плоскости, то плоскости взаимно параллельны. 3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая перпендикулярная плоскости, если она перпендикулярная двум пересекающимся прямым этой плоскости. В качестве двух пересекающихся прямых при решении задач рассматривают линии уровня плоскости – горизонталь h и фронталь f. Тогда, согласно теореме о проецировании прямого угла, углы между прямыми принадлежащими плоскости и линиями уровня проецируются в натуральную величину. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже, устанавливает теорема о перпендикулярности прямой и плоскости. 26 Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости: _______________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ Задача: Дано: Плоскость α(∆АВС). Требуется: Из А восстановить перпендикуляр к данной плоскости Последовательность решения: 1.____________________________________________________________ ___________________________________________________________; 2. __________________________________________________________ ___________________________________________________________ _______________________________________________________________. 4. Взаимно перпендикулярные плоскости. Если плоскость проходит через перпендикуляр в данной плоскости или параллельна этому перпендикуляру, то она перпендикулярна к этой плоскости. 5. Взаимно перпендикулярные прямые. Чтобы построить прямую перпендикулярную к данной прямой, необходимо провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой и построить любую прямую, принадлежащую этой плоскости. 27 Лекция 5. Способы преобразования комплексного чертежа Решение метрических и позиционных задач часто усложняются из-за случайных положений геометрических элементов на комплексном чертеже. Решение соответствующих задач возможно упростить, если заданные проекции геометрических элементов подвергнуть определенным преобразованием для получения их частных положений. Существуют следующие способы преобразования комплексного чертежа: - замена плоскостей проекций; - плоскопараллельное перемещение; - вращения: вокруг проецирующей прямой или вокруг прямой уровня. Каждым способом решаются четыре основные задачи: Задача 1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня. Задача 2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую. Задача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость. Задача 4. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня. 5.1 Способ замены плоскостей проекций Суть способа заключается в том, что для преобразования прямой или плоскости в частное положение, необходимо заменить существующую систему плоскостей (П1; П1; П1) новой, таким образом, чтобы введённые плоскости по отношению к данному геометрическому элементу располагались в каком-либо частном положении. При этом сам геометрический элемент располагается в пространстве неподвижно. 28 Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня. Последовательность решения: _________________________________. Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую. Последовательность решения: _________________________________; __________________________________. 29 Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость. Последовательность решения: ______________________________. Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня. Последовательность решения: ________________________; ______________________________________. 30 5.2 Способ плоскопараллельного перемещения Суть способа заключается в том, что для преобразования прямой или плоскости в частное положение, их необходимо плоскопараллельно переместить (т.е. все точки каждого элемента переместить в некоторой плоскости уровня), чтобы расположить их в частном положении по отношению существующей системе плоскостей проекций. Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня. Последовательность решения: __________________. Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую. Последовательность решения: __________________________; ________________________. 31 Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость. Последовательность решения: _________________________. Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня. Последовательность решения: _____________________; __________________________. 32 5.3 Способ вращения вокруг проецирующей прямой Суть способа заключается в том, что для преобразования прямой или плоскости в частное положение, прямую или плоскость общего положения, вращая вокруг некоторой проецирующей прямой (или горизонтально или фронтально проецирующей) располагают в частном положении по отношению существующей системе плоскостей проекций. Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня. Последовательность решения: _______________________. Задача 2. Преобразовать прямую общего положения в проецирующую прямую. Последовательность решения: _______________________, Задача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость. Последовательность решения: _____________________. Задача 4. Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня. Последовательность решения: _______________________, ________________________. _________________________. 33 Лекция 6. Кривые линии. Плоские и пространственные кривые линии. Поверхности. Образование. Классификация. 6.1 Кривые линии Множество всех последовательных положений точек, движущихся в пространстве, изменяя направление движения, определяют кривую линию. По своему расположению в пространстве различают плоские и пространственные кривые линии. 6.1.1. Плоские кривые линии Плоские кривые линии - это кривые линии, все точки которых лежат в одной плоскости. К плоским линиям относятся: Окружность – замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной точки – центра окружности. Эллипс - замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух определенных точек (фокусов), есть величина постоянная и равная большой оси эллипса. Парабола – незамкнутая плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от определённой точки (фокуса) и прямой (директрисы). Гипербола – плоская симметрично сдвоенная кривая, разность расстояний от каждой точки которой, до двух определённых точек (фокусов) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами ветвей гиперболы. Спираль Архимеда – незамкнутая плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра по равномерно вращающемуся радиусу. 34 Построение проекций некоторых плоских кривых линий Окружность Эллипс Спираль Архимеда 35 6.1.2 Пространственные кривые линии Пространственные кривые линии - это линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости. Цилиндрическая винтовая линия – пространственная кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно вдоль прямой, равномерно вращаясь при этом вокруг оси, параллельной данной прямой. Коническая винтовая линия – пространственная кривая, описываемая точкой, движущейся равномерно вдоль прямой, равномерно вращаясь при этом вокруг оси, пересекающейся с данной прямой. Построение проекций винтовых линии i - _________________________ R - ________________________ h- ____________________________ _______________________________ _______________________________ 36 6.2 Поверхности. Образование. Классификация. В задачах по начертательной геометрии рассматривают не тела, а их поверхность, которая определяется как граница тела или как некоторая его оболочка, не имеющая толщины. Поверхности образованы геометрическим местом последовательных положений линий (прямой или кривой), движущиеся в пространстве по определенному закону. Такие линии называются образующими l. В свою очередь образующие движутся по направляющим m. Совокупность образующих и направляющих задают каркас поверхности: (l ∩m). Классификация поверхностей по виду образующей: Линейчатые – поверхности, образующая которых прямая линия. К ним относятся: цилиндрические, конические, винтовые, поверхности с плоскостью параллелизма. Цилиндрические поверхности – поверхности, образованные движением образующей прямой линии вдоль направляющей кривой. При этом образующая перемещается параллельно самой себе. Конические поверхности – поверхности, образованные движением образующей прямой линии по направляющей кривой и проходящей через неподвижную точку S. Винтовые поверхности – это поверхности, образованные винтовым движением линии. Если образующая прямая, то поверхность называется геликоид. 37 Нелинейчатые – поверхности, образующая которых - кривая линия. К ним относятся: сфера, тор, циклические поверхности. Циклические поверхности – это поверхности, образованные движением окружности постоянного или переменного радиуса по криволинейной направляющей. Если окружность постоянного радиуса, то такие поверхности называются трубчатые. Лекция 7. Гранные поверхности. Поверхности вращения. Образование. Классификация по виду образующей. 7.1 Гранные поверхности Гранные поверхности – поверхности, образованные частями пересекающихся плоскостей, называемые гранями. В свою очередь грани, пересекаясь, образуют ребра поверхности. К гранным поверхностям относятся призматические и пирамидальные поверхности. Пирамида – гранная поверхность, боковые ребра Призма – гранная поверхность, боковые ребра которой которой пересекаются в некоторой точке, называемой расположены параллельно относительно друг друга. вершиной пирамиды (точка S). Задача: Задача. Дано: Горизонтальная Дано: Фронтальная проекция проекция точки М на точки К на поверхности поверхности призмы. пирамиды. Требуется: Построить Требуется: Построить фронтальную проекцию горизонтальную проекцию точки М. точки К. Последовательность Последовательность решения: решения: 1. _________________________ 1.________________________ __________________________; _________________________; 2. _________________________ 2.________________________ __________________________; _________________________; 3. _________________________ 3. _______________________ __________________________; _________________________; 4. _________________________ 4.________________________ ___________________________. _________________________. 38 7.2 Поверхности вращения. Образование поверхности вращения Поверхность вращения - _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 39 7.3 Классификация поверхностей вращения по виду образующей 7.3.1 Образующая - прямая линия Прямой круговой цилиндр - (l//i) Прямой круговой конус - (l∩i) 40 Однополостной гиперболоид вращения - (l i) 7.3.2 Образующая – окружность Сфера–т.О ∈ 𝑖 Открытый тор - l 41 Лекция 8. Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью. Способы построения линий взаимного пересечения поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 8.1 Способы определения точек пересечения прямой с поверхностью Определить точки пересечения прямой с поверхностью можно с помощью секущих плоскостей уровня или плоскости общего положения. Способ вспомогательных секущих плоскостей рационально применять в том случае, если вспомогательные секущие плоскости уровня рассекают поверхность по простейшим линиям (окружностям или ломаным). Задача. Дано: Поверхность закрытого тора, прамая а общего положения. Требуется: Определить проекций точек пересечения прямой с поверхностью. Последовательность решения: 1.___________________________________________________________ 2. ___________________________________________________________ ____________________________________________________________ _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 3. ___________________________________________________________ 4. ___________________________________________________________ 5. ___________________________________________________________ При помощи плоскости общего положения чаще всего находятся точки пересечения прямой с цилиндрической или конической поверхностью. Этими поверхностями могут быть прямые или наклонные, круговые или эллиптические цилиндрические, или конические поверхности. 42 8.2. Способы построения линии пересечения поверхностей Линия взаимного пересечения поверхностей является линией, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся поверхностям. В зависимости от вида поверхности в общем случае линия пересечения для: - гранных поверхностей является замкнутой пространственной ломаной; - нелинейчатой поверхности (имеющая семейство круговых сечений) и гранной, как правило является кривой линией с изломами в точках пересечения рёбер гранной поверхности с кривой поверхностью; - нелинейчатых поверхностей представляет собой пространственную кривую линию. Для построения такой линии необходимо построить ряд точек, принадлежащих и той и другой поверхности. Их можно найти с помощью следующих способов: - вспомогательных секущих плоскостей; - вспомогательных концентрических сфер; - вспомогательных эксцентрических сфер. 8.3 Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей Суть способа заключается в том, что обе поверхности рассекаясь вспомогательными секущими плоскостями, образуют простейшие линии, в пересечении которых определяются точки, одновременно принадлежащие и той и другой поверхности, а, следовательно, лежащие на их линии пересечения. Этот способ применяется если: 1. Поверхности заданы очерками; 2. Поверхности имеют в сечении простые линии (окружности или прямые линии), одновременно лежащие в некоторой введённой вспомогательной плоскости уровня. 43 Общий алгоритм построения проекций линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей: 1. Характеристика поверхностей: - наименование поверхностей; - собирательное свойство. 2. Условия применения способа. 3. Опорные точки, позволяющие видеть в каких пределах вводятся вспомогательные секущие плоскости. Если поверхности имеют общую плоскость симметрии, то опорные точки находятся как точки пересечения очерков поверхностей на другой проекции. 4. Положение секущих плоскостей. 5. Промежуточные точки. 6. Границы видимости поверхностей. Точки видимости – точки, ограничивающие видимую часть линии пересечения от невидимой. 7. С учетом видимости соединяются полученные точки, которые определяют проекций линии пересечения поверхностей. Если линия расположена за или под поверхностью – чертим штриховую линию, если внутри поверхности – сплошную тонкую. 8. Обводка очерков поверхностей с учетом видимости. 44 Лекция 9. Соосные поверхности. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер. Способ концентрических сфер. 9.1 Соосные поверхности Соосными поверхностями называются поверхности вращения, оси которых совпадают. В некоторых случаях при построении линии пересечения поверхностей целесообразно применять вспомогательные сферические поверхности. Их применение основано на свойстве соосных поверхностей пересекаться по окружностям. Эти окружности являются общими параллелями двух поверхностей вращения. Если эти окружности лежат в плоскостях уровня, то на одну плоскость проекций они проецируются в виде отрезков прямой линии, а на другую проецируются в натуральную величину. 9.2 Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных сфер Эти способы применяется в случаях, когда метод секущих плоскостей использовать нецелесообразно – например, когда оси одной или обеих поверхностей вращения расположены так, что при пересечении этих поверхностей с плоскостями, параллельными плоскостям проекций, образуются сложные плоские фигуры. В способе концентрических сфер вспомогательные сферы проводятся из одного общего для всех сфер центра. В способе эксцентрических сфер - сферы проводятся из разных центров. 45 9.3 Способ концентрических сфер Условия применения способа: 1. Обе поверхности должны являться поверхностями вращения. 2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться в пределах чертежа. 3. Поверхности должны быть заданы очерками. 4. Плоскость симметрии обеих поверхностей должна быть параллельна одной и той же плоскости проекций. Общий алгоритм построения проекции линии пересечения поверхностей способом концентрических сфер: 1. Анализ характеристики поверхностей. Условия применения способа. 2. Определение точки О – центра концентрических сфер, как результат пересечения осей поверхностей вращения. 3. Определение опорных точек как результат пересечения очерков поверхностей, полученных введением плоскости симметрии. 4. Для нахождения точек, лежащих на линии пересечения поверхностей вводим вспомогательные сферы с максимальным и минимальным радиусом. - Rmin = - наибольшее из кратчайших расстояний от т. О до очерков поверхностей. Сфера с минимальным радиусом должна быть вписана в одну поверхность, а другую пересечь по круговым сечениям. - Rmax = - расстояние от т. О до наиболее удаленной опорной точки. Между максимальной и минимальной сферами вводим промежуточные сферы: Rmin сф. ˂ Rвспом.сф. ˂ Rmax.сф. 5. На пересечении круговых сечений поверхностей, принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере, определяем положение промежуточных точек, лежащих на линии пересечения поверхностей. 6. Обозначаются границы видимости поверхностей. Определяются точки видимости. 7. С учетом видимости плавной линией соединяются найденные проекции точек на линии пересечения поверхностей. 8. Обводятся очерки поверхностей с учетом видимости. 46 Лекция 10. Построение линии пересечения способом вспомогательных эксцентрических сфер. Особые случаи пересечения поверхностей 10.1 Способ эксцентрических сфер Условия применения способа: 1. Одна поверхность должна являться поверхностью вращения; 2. Вторая поверхность должна иметь семейство круговых сечений; 3. Поверхности должны быть заданы очерками; 4. Плоскости симметрии обеих поверхностей должны быть параллельны одной и той же плоскости проекций. Общий алгоритм построения проекции линии пересечения поверхностей способом эксцентрических сфер: 1. Анализ характеристик поверхностей. Условия применения способа. 2. Определение опорных точек, как результат пересечения очерков поверхностей, полученных введением плоскости симметрии. 3. Определение промежуточных точек. Для этого: - между опорными точками вводятся вспомогательные секущие плоскости для выявления круговых сечений в циклической поверхности (в наклонном конусе или цилиндре); - из центра каждого кругового сечения к введенной плоскости восстанавливается перпендикуляр и находится точка пересечения его с осью вращения второй поверхности; - полученная точка является центром вспомогательной секущей сферы, радиус которой определяется расстоянием от этой точки до крайних точек кругового сечения; - вспомогательная сфера пересекается с поверхностью вращения по окружности как соосные поверхности; - пересечение двух круговых сечений на поверхности вспомогательной сферы образуют промежуточные точки. 4. Обозначаются границы видимости поверхностей. Точки видимости. 5. С учетом видимости полученные точки соединяются плавной линией для получения проекций линии пересечения поверхностей. 6. Обводятся очерки поверхностей с учетом видимости. 47 10.2 Особые случаи пересечения поверхностей В некоторых случаях линию пересечения поверхностей второго порядка можно построить не пользуясь секущими плоскостями и поверхностями. Просто надо уметь распознавать эти случаи. Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек, координаты x, y, z которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второго порядка в декартовой системе координат: 2 2 2 Ax +By +Cz +Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+1=0. Девять коэффициентов A, B, C,... K определяют единственную поверхность второго порядка. В зависимости от конкретных числовых значений этих коэффициентов получаются пять типов поверхностей второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Особенно важное практическое значение имеют частные случаи поверхностей второго порядка: сферические, цилиндрические и конические поверхности как частные случаи эллипсоида и однополостного гиперболоида. Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая (в общем случае - пространственная). Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей, то эта линия – всегда кривая четвертого порядка. В отличие от других алгебраических кривых четвертого порядка, ее называют биквадратной кривой. В прикладных геометрических задачах чаще всего встречается случай распадения биквадратной кривой на две кривые второго порядка. Условия, при которых возможно такое распадение, формулируются в виде трех теорем. 48 Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются еще по другой плоской кривой. 49 Теорема 2. Любые две поверхности второго порядка, имеющие двойные касания, взаимно пересекаются по двум плоским кривым второго порядка, плоскости которых проходят через линию, соединяющую точки касания. 50 Теорема Монжа. Две поверхности вращения второго порядка, вписанные в третью поверхность вращения второго порядка или описанные вокруг нее, пересекаются между собой по двум плоским кривым второго порядка. 51