Интервальное оценивание

Мотивация Доверительные интервалы Лекция №4. Интервальное оценивание Юрий Белоусов Институт биоинформатики Москва 4 октября 2021 г. Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Пример. Распределение выборочных средних Оценивая неизвестный параметр, мы получаем случайную величину. Так как оценка может отличаться от значения параметра, хотелось бы знать и возможную погрешность. Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Доверительный интервал Определение Интервал (a(X); b(X)) называется γ-доверительным интервалом, если Pθ (a(X) < θ < b(X)) ≥ γ. Пример В модели N(θ;
1) оценим параметр
θ через X . Тогда 1 1 X ∼ N θ; n , а X − θ ∼ N 0; n . В этом случае P(a < X − θ < b) = P(X − b < θ < X − a), и чтобы получить доверительный интервал с заданным уровнем доверия в качестве a и b можно взять подходящие квантили
1 распределения N 0; n . Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Неоднозначность в выборе границ В условиях предыдущего примера, можно взять различные доверительные интервалы. Наилучший подход — брать доверительные интервалы минимальной длины. Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Построение доверительных интервалов. Центральные статистики Пусть модель абсолютно непрерывна. Определение С. в. G (X; θ) — центральная статистика, если (1) ее распределение не зависит от θ, и (2) G (X; θ) непрерывна и строго монотонна по θ для любой X. В этом случае Pθ (g1 < G (X; θ) < g2 ) = Rg2 fG (g )dg = γ. g1 Тогда решения относительно θ уравнений G (X; θ) = g1 , g2 есть доверительный интервал. Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Доверительный интервал для среднего в нормальной модели с известной дисперсией Модель N(θ, σ 2 ). √ Рассмотрим G (X; θ) = n(X − θ)/σ. Тогда F(G ) = N(0; 1). Решим уравнения G (X; θ) = g1 , g2 , где Φ(g2 ) − Φ(g1 ) = γ. Тогда доверительный интервал имеет вид:   g2 σ g1 σ . ∆γ (X) = X − √ ; X − √ n n Наикратчайший в случае g2 = −g1 = Φ−1 Ю. Белоусов Интервальное оценивание  1+γ 2  . Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Доверительный интервал для дисперсии в нормальной модели с известным средним Модель N(µ, θ2 ). Рассмотрим G (X; θ2 ) = 1 θ2 n P (Xi − µ)2 . Тогда F(G ) = χ2 (n). i=1 Решим уравнения G (X; θ2 ) = g1 , g2 , где Φχ2 (g2 ) − Φχ2 (g1 ) = γ.Тогда доверительный интервал имеет вид: ! n n X 1 X 2 1 2 (Xi − µ) ; (Xi − µ) . ∆γ (X) = g1 g2 i=1 i=1 В этом случае рекомендуется брать симметричный Rg1 R∞ доверительный интервал, т. е. kn (x)dx = kn (x)dx = Ю. Белоусов Интервальное оценивание g2 1−γ 2 . Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Доверительные интервалы в общей нормальной модели Модель N(θ1 , θ22 ). I Дисперсия. G (X; θ22 ) = nS 2 (X)/θ22 , F(G ) = χ2 (n − 1), доверительный интервал:   2 (X) 2 (X) nS nS .  ; 2 χ2 1+γ χ 1−γ ( 2 , n−1) ( 2 , n−1) √ −θ1 I Среднее. G (X; θ1 ) = n XS(X) , F(G ) = t(n − 1), доверительный интервал:   S(X) S(X) X − √ t( 1+γ , n−1) ; X + √ t( 1+γ , n−1) . 2 2 n n Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Случай непрерывной и монотонной по θ функции распределения Если функция распределения непрерывна и монотонна по θ, то n P ln F (Xi ; θ). Распределение можно положить G (X; θ) = − i=1 G (X; θ) есть Γ(n, 1). Находим g1 и g2 из условия Z g2 1 x n−1 e −x dx = γ, (n − 1)! g1 и решаем уравнения − n P ln F (Xi ; θ) = g1 , g2 . i=1 Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Доверительные интервалы при известном распределении статистики Модель непрерывна F(θ), T (X) — оценка θ c функцией распределения FT (t; θ), которая непрерывна и монотонна по θ. В этом случае γ-доверительный интервал (θ1 ; θ2 ), где θ1 ; θ2 — 1+γ решение относительно θ уравнений FT (T (X); θ) = 1−γ 2 , 2 . Замечание Можно расширить и на дискретный случай, но нужно учитывать разрывность ф. р. и брать крайние значения для θi . Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики Мотивация Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы Для состоятельной и асимптотически нормальной оценки можно построить приближенный доверительный интервал:  √ n|T (X) − θ| < c → Φ(c) − Φ(−c) = 2Φ(c) − 1. Pθ σ(T (X)) √ Иначе говоря (T (X) ± cγ σ(T (X))/ n) — γ-доверительный интервал для θ. Пример (Модель Бернулли Ber(p)) Асимптотический доверительный интервал для p:   s X (1 − X ) X ± cγ . n Ю. Белоусов Интервальное оценивание Институт биоинформатики