Интерференция волн

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН Интерференция – это сложение волн. При сложении двух случайных волн в каждой точке никакого совпадения (резонанса) нет. Регистрируемая мощность равна сумме средних значений мощности, приносимой каждой из волн. Отличие возможно только в случае когерентных (совпадающих) источников волн. Для этого необходимо совпадение во времени и в пространстве. Совпадение во времени происходит, когда одинакова частота источников. Источники при этом называют монохроматическими. Совпадение в пространстве – когда размер (форма) источника не искажает волну в точке наблюдения. Идеальный источник должен быть точечным. В случае когерентных источников в разных точках пространства возникают совпадения (резонансы) и формируется интерференционная картина. Рассмотрим благодаря чему возникает интерференционная картина. Пусть в данную точку приходят две синусоидальных монохроматических когерентных волны от источников, расположенных на расстоянии l1 и l2. Тогда разность фаз, с которой приходят волны постоянна и составляет δ = 2π(𝑙1 − 𝑙2 )/λ. Результирующее поле в данной точке в любой момент времени равно сумме полей волн. В комплексном представлении (см. рисунок) 𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸1𝑎 𝑒 𝑖𝜔𝑡 + 𝐸2𝑎 𝑒 𝑖(𝜔𝑡+δ). Плотность потока энергии (интенсивность волны) в данной точке пропорциональна квадрату амплитуды. По теореме косинусов 𝐼~𝐸𝑎 2 = 𝐸1𝑎 2 + 𝐸2𝑎 2 + 2𝐸1𝑎 𝐸2𝑎 cos δ. Следовательно 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1𝐼2 cos δ. Максимум интенсивности 2 𝐼 = (√𝐼1 + √𝐼2) наблюдают при совпадении фаз, δ = 2πп, где п – любое целое число. Минимум – 2 𝐼 = (√𝐼1 − √𝐼2) когда волны приходят в противофазе, δ = π + 2πп. В максимуме интенсивности разность хода равна целому числу длин волн, в минимуме – полуцелому: max: 𝑙1 − 𝑙2 = 𝑛λ; min: 𝑙1 − 𝑙2 = (𝑛 + 1/2)λ. При равной интенсивности источников максимальная интенсивность в четыре раза больше интенсивности каждого из источников, минимальная равна 0, а среднее значение вдвое больше интенсивности каждого из источников, как и должно было бы быть при сложении двух случайных волн. Рассмотрим, как выглядит интерференционная картина при сложении волн от двух точечных источников. Пусть есть два одинаковых монохроматических источника (см. рисунок), один из которых смещен относительно другого на расстояние d. Определим, какой будет интенсивность на оси Х, параллельной линии, соединяющей источники, и находящейся на расстоянии а от них. Найдем разность хода волн от источников до точки оси Х, находящейся на расстоянии х от оси системы. По теореме Пифагора 𝑙1 2 = 𝑎2 + (𝑥 − 𝑑/2)2 ; 𝑙2 2 = 𝑎2 + (𝑥 + 𝑑/2)2 ⟹ 𝑙2 2 − 𝑙1 2 = (𝑙2 − 𝑙1 )(𝑙2 + 𝑙1) = 2𝑥𝑑. При 𝑎 ≫ 𝑥, 𝑑 искомая разность хода 𝑙2 + 𝑙1 ≈ 2𝑎 ⟹ 𝑙2 − 𝑙1 ≈ 𝑥𝑑/𝑎. Тогда условия максимумов и минимумов 𝑙2 − 𝑙1 = 𝑛λ ⟹ 𝑥max = 𝑛λ𝑎/𝑑; 𝑙2 − 𝑙1 = (𝑛 + 1/2)λ ⟹ 𝑥min = (𝑛 + 1/2)λ𝑎/𝑑. В середине интерференционной картины максимумы и минимумы чередуются эквидистантно. Период картины ∆𝑥 = λ𝑎/𝑑. Для ее наблюдения в видимом диапазоне света необходимо, чтобы расстояние от источников до экрана а было много больше расстояния между источниками d. На практике создание нескольких когерентных источников света практически невозможно. Поэтому берут один мощный монохроматический удаленный источник и перпендикулярно лучам (параллельно фронту волны) располагают тонкий экран, в котором оставляют отверстия. На них попадает и, следовательно, проходит дальше когерентное излучение. Так как через точечные отверстия проходит слишком мало света, то отверстия выполняют в виде тонких параллельных щелей. Тогда можно наблюдать интерференционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Теперь обсудим, насколько источники могут некогерентными, какова должна быть временная и пространственная когерентность источников, чтобы наблюдать интерференционную картину. Пусть источник излучает в полосе Δω. Тогда п-му максимуму картины для начала и конца диапазона соответствует сдвиг фазы δ = 𝑛∆ω𝑇 = π. Когда этот сдвиг фазы достигает π началу диапазона соответствует максимум, а концу уже минимум. Картина оказывается уже размытой. Учитывая, что период колебаний 𝑇 = 2π/ω для порядка, в котором теряется возможность наблюдать интерференционную картину 𝑛 = ω/(2∆ω). Теперь о пространственной когерентности, когда возмущение вносит размер источника. Пусть источником служит плоское отверстие размером b. Если мы смотрим на него под углом α, то ближний и дальний конец отверстия смещены на расстояние bα. Волна от отверстия в этом направлении не будет приходить в фазе, когда 𝑏α = λ/2. Угол α соответствует максимуму с номером α = λ/(2𝑏) = 𝑛λ/𝑑 ⟹ 𝑛 = 𝑑/(2𝑏) . Дифракция Дифракцией называют наблюдаемое отклонение распространения света от прямолинейного. В частности, в рассмотренном ранее примере интерференции на двух щелях положение центрального максимума на оси системы соответствует зоне геометрической тени. Существование таких максимумов и называют дифракцией (направленным рассеянием). Задачи по дифракции решают согласно принципу Гюйгенса-Френеля, который гласит, что каждая точка, которой достигла волна является источником вторичной волны, а картина распространения определяется интерференцией этих вторичных волн. Различают два вида задач, когда наблюдения производят вблизи и вдали от дифрагирующего объекта. Первый тип задач называют дифракцией Френеля, а второй - дифракцией Фраунгофера. В первом случае размер объекта сравним с расстоянием до точки наблюдения. Во втором случае расстояние до точки наблюдения много больше размеров рассеивающего объекта. При этом рассматривают интерференцию вторичных волн на бесконечном расстоянии, при которой формируются плоские волны в определенных направлениях, называемые дифракционными максимумами. Частными случаями дифракции Фраунгофера являются дифракция от отдельной щели и дифракция от дифракционной решетки, которой служит структура из периодически следующих с дистанцией d параллельных щелей одинаковой ширины. Пусть на дифракционную решетку нормально падает плоская волна. Все вторичные волны пойдут в одном направлении и в одной фазе в простейшем случае в исходном направлении волны. Следующий резонанс случится, когда волны от соседних отверстий (справа или слева) отстают ровно на длину волны. До этого, волне от данной щели найдется волна от другой щели, которая будет ее гасить. Следующий максимум – когда отстает на две длины волны и т.д. Таким образом, поле падающей волны симметрично вправо и влево распределится по дифракционным максимумам, идущим под углами, соответствующими условию 𝑑 ∙ sin α = 𝑛λ ⇒ α = arcsin(𝑛λ/𝑑 ).